Programación geométrica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA
por
Naupay Gusukuma, Alvaro Miguel
Prácticas
Pre Profesionales
en MATEMÁTICA
Mg. Echegaray Castillo, William Carlos
Asesor
Uni, 29 de Diciembre de 2014

Índice general
1. Antecedentes históricos 3
2. Programación geométrica sin restricciones 5
2.1. Conocimientos previos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Primeros ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Programación geométrica sin restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Ejemplos sin restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Progamación geométrica con restricciones 26
3.1. Conocimientos previos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Programación geométrica con restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bibliograf´ıa 41
1

Agradecimientos
Quiero agradecer a m´ıs padres por apoyarme constantemente y a mi asesor por su apoyo
incondicional que d´ıa a d´ıa me guia a ser un mejor profesional.
2

Cap´ıtulo 1
Antecedentes históricos
A Clarence Zener, Director de Ciencias en Westinghouse Electric en Pittsburgh,
Pennsylvania, USA, se le acredita como el padre de la Programación Geométrica. En 1961,
publicó un art´ıculo en el Proceedings del National Academy of Science sobre “A Mathema-
tical Aid in Optimizing Engineering Designs”, que es considerado como el primer art´ıculo
sobre programación geométrica. Clarence Zener es mejor conocido en ingenier´ıa eléctrica
por el diodo Zener. Que mas tarde se asocio con Richard J. Duffin y Elmor L. Peterson del
Carnegie Institute of Technology (ahora Carnegie-Mellon University, USA) para escribir el
primer libro sobre programación geométrica, llamado “Geometric Programming” en 1967.
Un reporte fue publicado en Agosto de 1966 por el profesor Douglas Wilde y el estudiante
de graduación Ury Passey. El profesor Douglas Wilde del Stanford University y el profe-
sor Charles Beightler del University of Texas incluyeron un cap´ıtulo sobre programación
geométrica en el libro “Fundations of Optimization”.
Otros primeros libros por estos l´ıderes fueron “Engineering Design By Geometric Pro-
gramming” por Clarence Zener en 1971, “Applied Geometric Programming” por C.S.
Beightler y D.T. Phillips en 1976, y la segunda edición del “Foundations of Optimiza-
tion” por C.S. Beightler, D.T. Phillips y D.Wilde en 1979. Muchos de las aplicaciones
iniciales fueron en el área del diseño de tranformadores cuando Clarence Zener trabajaba
para Westinghouse Electric en el área de ingenier´ıa qu´ımica, que fué el área enfatizada
por Beightler y Wilde. También es importante resaltar que muchos estudiantes de gra-
3

duaci´on jugaron un papel importante, a saber Elmor Peterson en el Carnegie Institute of
Technology y Ury Passy y Mordecai Avriel en el Stanford University.
4

Cap´ıtulo 2
Programación geométrica sin
restricciones
El nombre de programación geométrica (P.G.) se debe a que se utiliza la generaliza-
ción de la desigualdad media aritmética geométrica para resolver algunos problemas de
optimización.
2.1. Conocimientos previos.
Teorema 2.1.1. Sea f : C ⊂ Rn
→ R una función convexa donde C es un conjunto
convexo. Si λ1, λ2, . . . , λk son números no negativos con suma igual a 1 y si x1, x2, . . . , xk
son puntos de C, entonces
f
k
i=1
λixi ≤
k
i=1
λif(xi) . (∗)
Si f es estrictamente convexa sobre C y si todos los λi’s son positivos, entonces la igualdad
en (∗) se cumple si y sólo si todos los xi’s son iguales.
El nombre de Programación Geométrica es debido a que esta técnica utiliza variantes
de la desigualdad media aritmética geométrica. A continuación presentamos una de ellas.
Teorema 2.1.2. (Desigualdad Media Aritmética-Geométrica o Desigualdad (A-
G)). Si x1, x2, . . . , xn son números reales positivos y si δ1, δ2, . . . , δn son números positivos
5

cuya suma es uno, entonces
n
i=1
(xi)δi
≤
n
i=1
δixi , (A-G)
con la igualdad en (A-G) si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn
El producto del lado izquierdo de A-G es llamada media geométrica de x1, x2, . . . , xn
con pesos δ1, δ2, . . . , δn mientras que la suma de la derecha de A-G es la media aritmética
de x1, x2, . . . , xn con pesos δ1, δ2, . . . , δn.
La desigualdad (A-G) se puede demostrar usando la convexidad en la siguiente manera.
Primero, observe que la función f definida para x > 0 por
f(x) = − ln x
es estrictamente convexa ya que f′′
(x) =
1
x2
> 0. Consecuentemente, si x1, x2, . . . , xn y
δ1, δ2, . . . , δn son números positivos tales que
δ1 + δ2 + · · · + δn = 1
entonces (2.1.1) implica que
− ln
m
i=1
δixi = f
m
i=1
δixi ≤
n
i=1
δif(xi) = −
n
i=1
δi ln xi
con la igualdad si y sólo si todos los xi’s son iguales. La anterior desigualdad es equivalente
a
ln
n
i=1
δixi ≥
n
i=1
ln(xδi
i ) = ln
n
i=1
xδi
i .
Consecuentemente, como la función logar´ıtmo y exponencial son estrictamente creciente,
obtenemos
n
i=1
δixi ≥
n
i=1
(xi)δi
con la igualdad en esta desigualdad si y sólo si todos los xi’s son iguales.
Como veremos, la desigualdad (A-G) es muy adecuada para la solución de una clase
considerable de problemas de optimización no lineal. Antes de intentar identificar esta clase
de problemas y formalizar el procedimiento de optimización, daremos algunos ejemplos en
los que se aplica (A-G) para proporcionar la solución algunos problemas estándares de
máximos y m´ınimos del cálculo.
6

2.2. Primeros ejemplos.
Ejemplo 2.2.1. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con una área
fija de superficie S0 que tenga volumen máximo.
Solución: Veamos la figura
x1
x2
x3
(x1, x2, x3)
Volumen = V = x1x2x3 .
Área de superficie = S0 = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 .
Por consiguiente, nuestro trabajo es resolver el siguiente problema:
Maximizar V (x1, x2, x3) = x1x2x3 ,
sujeto a x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = S0 ,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .
En esta forma, al problema se le puede aplicar la desigualdad (A-G) de manera natural.
Observe que:
S0 = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
luego utilizando la desigualdad (A-G) tenemos
S0 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
(A-G)
≥ 3((x1x2)1/3
(2x1x3)1/3
(2x2x3)1/3
)
= 3 · 41/3
(x2
1x2
2x2
3)1/3
= 3 · 41/3
V 2/3
Notemos que el valor de V está acotado y que esta cota (Máxima) es alcanzada cuando
hay igualdad en la desigualdad (A-G), esto es, supongamos que V es maximizado cuando
7

x1 = x∗
1, x2 = x∗
2 y x3 = x∗
3, de esto tendriamos que se debe cumplir y teniendo encuenta
el teorema 2.1.2
x∗
1x∗
2 = 2x∗
1x∗
3 = 2x∗
2x∗
3 =
S0
3
resolviendo esto tenemos que las dimensiones son
x∗
1 = x∗
2 =
S0
3
, x∗
3 =
1
2
S0
3
,
y además el volumen máximo de la caja será
V0 = x∗
1x∗
2x∗
3 =
S
3/2
0
2 · 33/2
.
Ejemplo 2.2.2. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con volumen
fijo V0 que tiene la minima área de superficie.
Solución: Apoyándonos en la figura del ejemplo anterior vemos que necesitamos resolver
el siguiente problema.
Minimizar S(x1, x2, x3) = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 ,
sujeto a x1x2x3 = V0 ,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .
procediendo exactamente como en el ejemplo anterior, obtenemos
S = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
(A-G)
≥ 3 · 41/3
V
2/3
0 .
Por consiguiente, el valor de S es el menor cuando hay igualdad en la desigualdad (A-G),
esto es, S es minimizado cuando x1 = x∗
1, x2 = x∗
2 y x3 = x∗
3 de donde tenemos que (ver
teorema 2.1.2)
x∗
1x∗
2 = 2x∗
1x∗
3 = 2x∗
2x∗
3 =
3 · 41/3
V
2/3
0
3
= 41/3
V
2/3
0 .
Resolviendo esto tenemos que las dimensiones son
x∗
1 = x∗
2 = 41/6
V
1/3
0 , x∗
3 =
41/6
V
1/3
0
2
,
8

además el área m´ınima de la superficie es
S0 = x∗
1x∗
2 + 2x∗
1x∗
3 + 2x∗
2x∗
3 = 3 · 4/3
V
2/3
0 .
Ejemplo 2.2.3. Maximizar el volumen de una lata cil´ındrica de costo fijo c0 soles si el
costo del material, parte superior e inferior de la lata es c1 soles por metro cuadrado y el
costo del material, la parte lateral de la lata es de c2 soles por metro cuadrado.
Solución: Si r es el radio y h es la altura de la lata en metros cuadrados, entocnes el
volumen de la lata es
r
h V (r, h) = πr2
h
y el costo de la lata es
c0 = 2πr2
c1 + 2πrhc2 .
Entonces vemos que necesitamos resolver el siguiente problema
Maximizar V (r, h) = πr2
h ,
sujeto a 2πr2
c1 + 2πrhc2 = c0 .
Ahora podemos proceder como en el ejemplo 2.2.1 , obtendremos
c0 = 2πr2
c1 + 2πrhc2 = 4
πr2
c1
2
+
πrhc2
2
(A-G)
≥ 4(πr2
c1)1/2
(πrhc2)1/2
= 4πr3/2
h1/2
(c1c2)1/2
.
9

Desafortunadamente, a diferencia de la situación en el ejemplo 2.2.1, el término en el lado
derecho de la desigualdad resultante no se reduce a un múltiplo constante de una potencia
del volumen V, por lo que no se puede proceder como en el ejemplo 2.2.1. Lo que tenemos
que hacer es “dividir” c0 en una suma de términos de tal manera que la aplicación de
la desigualdad (A-G) produzca un múltiplo constante de una potencia de V en el lado
derecho. Un poco de experimentación mostrar que tal separación puede llevarse a cabo
como sigue:
c0 = 2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2 = 3
2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2
3
(A-G)
≥ 3(2πr2
c1)1/3
(πrhc2)1/3
(πrhc2)1/3
= 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V 2/3
.
Ahora podemos ver que V es el mayor cuando hay igualdad en esta (A-G) desigualdad,
esto es, cuando
2πr2
c1 = πrhc2 = πrhc2 =
c0
3
,
resolviendo tenemos que
r =
c0
6πc1
, h =
c0
3πc2
6πc1
c0
,
luego el volumen máximo será
Vmáx =
√
6
18π1/2
×
c
3/2
0
c
1/2
1 c2
.
Sin embargo, queremos señalar un interesante análisis de los costos relacionados con nuestra
solución del problema: Independientemente de los valores de c1 y c2, el óptimo de las
dimensiones de la lata, asignar 1
3
del coste total a la parte superior e inferior y 2
3
del coste
total a la parte lateral.
Ejemplo 2.2.4. Minimizar el costo de una lata cil´ındrica de volumen V0 fijo si el costo de
la parte superior e inferior de la lata es c1 soles por metro cuadrado y el costo de la parte
lateral de la lata es c2 soles por metro cuadrado.
10

Solución: Si r y h denotan el radio y la altura de la lata, entonces nuestro problema puede
ser formulado como sigue:
Minimizar c(r, h) = 2πr2
c1 + 2πrhc2 ,
sujeto a πr2
h = V0 .
r ≥ 0, h ≥ 0
La misma “división” de la función de costo que usamos en el ejemplo anterior, en combi-
nación con la desigualdad (A-G), nos da
c(r, h) = 2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2 = 3
2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2
3
A-G
≥ 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0 .
Por lo tanto, el costo es el menor cuando hay igualdad en la desigualdad (A-G), esto es,
cuando
2πr2
c1 = πrhc2 = πrhc2 =
3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0
3
= (2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0 .
Vemos de nuevo que la asignación de costo óptimo es 1
3
del costo de la parte superior e
inferior y 2
3
del costo de los lados, independientemente de los valores de c1 y c2. Luego
resolviendo, las dimensiones del cilindro de costo m´ınimo son
r =
c
1/3
2 V
1/3
0
21/3π1/3c
1/3
1
, h =
22/3
c
2/3
1 V
1/3
0
π1/3c
2/3
2
,
luego el costo será m´ınimo cuando la desigualdad (A-G) sea igualdad, por lo tanto
cm´ın = 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0
Los pares de ejemplos (2.2.1), (2.2.2) y (2.2.3), (2.2.4) proporcionan nuestros primeros
pasos de problemas duales. Los ejemplos anteriores tratan esencialmente con las mismas
funciones, excepto que la función objetivo en un problema es la función de restricción
en el otro, y un problema es de minimización mientras que el otro es un problema de
maximización. El siguiente ejemplo proporciona una mayor ilustración de la dualidad.
11

Ejemplo 2.2.5. Considere el siguiente problema:
Maximizar f(x1, x2, x3) = x1x2
2x3 ,
sujeto a x1 + x2 + x3
3 = k ,
donde k > 0 es fijo y x1, x2, x3 son números reales positivos.
(P)
Solución: En este caso, el problema dual es
Minimizar g(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x2
3 ,
sujeto a x1x2
2x3 = c ,
donde c > 0 es fijo y x1, x2, x3 son números reales positivos.
(D)
Desde luego, (P) es también el problema dual para (D).
Para resolver ambos problemas, necesitamos desdoblar x1 + x2 + x2
3 de tal manera que
la aplicación de la desigualdad (A-G) produzca un múltiplo constante de una potencia
adecuada de (x1x2
2x3) en el extremo inferior de la desigualdad. Esto se puede lograr como
sigue:
k = x1 + x2 + x2
3 =
x1
2
+
x1
2
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+ x2
3
= 7


x1
2
+
x1
2
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+ x2
3
7


(A-G)
≥ 7
1
2
2/7
1
4
4/7
(x1x2
2x3)2/7
.
La igualdad se cumple en esta desigualdad precisamente cuando
x1
2
=
x2
4
= x2
3 =
k
7
.
Para maximizar x1x2
2x3 sujeto a la restricción x1 +x2 +x2
3 = k, elegimos los valores óptimos
x∗
1, x∗
2, x∗
3 que fuerzan a la igualdad en la desigualdad (A-G) con el extremo superior de la
desigualdad igual a k, esto es,
x∗
1 =
2k
7
, x∗
2 =
4k
7
, x∗
3 =
k
7
.
12

Para minimizar x1 + x2 + x2
3 sujeto a la restricción x1x2
2x3 = c, elegir los valores óptimos
x∗
1, x∗
2, x∗
3 que fuerzan a la igualdad en la desigualdad (A-G) con en el extremo inferior de
la desigualdad igual a 1
2
2/7 1
4
4/7
c2/7
, esto es,
x∗
1 = 2
1
2
2/7
1
4
4/7
c2/7
, x∗
2 = 2x∗
1 , x∗
3 =
1
2
x∗
1 .
La desigualdad (A-G) puede también ser usada para resolver algunos problemas de
minimización sin restricciones. El truco es desdoblar la función objetivo de tal manera que
la aplicación de la desigualdad (A-G) produzca una constante en el extremo inferior de la
desigualdad. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.
Ejemplo 2.2.6. Encontrar los valores de x > 0 que minimizan la función
f(x) = c1x3
+
c2
x
,
donde c1, c2 son constantes positivas.
Solución: Para resolver este problema con la desigualdad (A-G), procederemos como si-
gue:
f(x) = c1x3
+
c2
x
= c1x3
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
= 4



c1x3
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
4



(A-G)
≥ 4
1
3
3/4
c
1/4
1 c
3/4
2 .
Para minimizar f, forzar la igualdad en (A-G). Esto equivale a la elección de x∗
de modo
que
c1(x∗
)3
=
1
3
c2
x∗
=
1
3
3/4
c
1/4
1 c
3/4
2 .
Esto da lugar a
x∗
=
1
3
1/4
c
−1/4
1 c
1/4
2
como el minimizador.
13

En realidad, el ejemplo anterior podr´ıa haber sido fácilmente resuelto como un problema
de cálculo. El siguiente ejemplo no es fácil de hacer con los métodos de cálculo, pero es
bastante fácil para una aplicación de la desigualdad (A-G).
Ejemplo 2.2.7. Encontrar los minimizadores de
f(x1, x2) = 4x1 +
x1
x2
2
+
4x2
x1
para x1 > 0, x2 > 0.
Solución: Este problema puede resolverse por la desigualdad (A-G) de la siguiente ma-
nera:
f(x1, x2) = 4




4x1 +
x1
x2
2
+
2x2
x1
+
2x2
x1
4




(A-G)
≥ 4(41/4
)(22/4
)
x2
1x2
2
x2
2x2
1
1/4
= 8 .
Si forzamos a la igualdad en la desigualdad anterior, vemos que los valores x∗
1 y x∗
2 que
minimizan f(x1, x2) son dados por
4x∗
1 =
x∗
1
(x∗
2)2
=
2x∗
2
x∗
1
= 2 ,
esto es,
x∗
1 =
1
2
, x∗
2 =
1
2
,
y que el m´ınimo valor es 8.
Note que este ejemplo no es fácil de atacar con los métodos del cálculo. De hecho, los
puntos cr´ıticos son soluciones del sistema
∂f
∂x1
= 4 +
1
x2
2
−
4x2
x2
1
= 0 ,
∂f
∂x2
= −
2x1
x3
2
+
4
x1
= 0 .
14

Resolver este sistema por medios no fáciles y además examinar el Hessiano




8x2
x3
1
−
2
x3
2
−
4
x2
1
−
2
x3
2
−
4
x2
1
6x1
x4
2




esto es una perspectiva ¡aterradora!.
Los ejemplos discutidos en esta sección ciertamente indican que la desigualdad (A-G)
puede ser una herramienta importante para la solución de problemas de optimización. La
única parte de nuestro planteamiento, que no estaba completamente claro era “dividir” o
“desdoblar” la función apropiadamente en el extremo superior de la desigualdad (A-G).
Hicimos esto fácilmente por inspección en los ejemplos considerados aqu´ı porque las fun-
ciones que consideramos envolvian tres o menos variables. Sin embargo, es aparente que el
proceso de dividir (desdoblar) puede ser dif´ıcil de aplicar para funciones con más variables.
El otro punto en nuestro enfoque que es un poco nebuloso por el momento es el alcance del
método, es decir, todav´ıa tenemos que identificar con precisión los tipos de problemas de
optimización que son tratables v´ıa la desigualdad (A-G). Abordaremos estas dos cuestiones
en la siguiente sección. En particular, vamos a desarrollar un marco formal y un procedi-
miento sistemático llamado programación geométrica aplicando la desigualdad (A-G) a los
problemas de optimización. En programación geométrica, el proceso de dividir (desdoblar)
que fue desarrollado por inspección en los ejemplos de esta sección es sustituido por la so-
lución de un cierto sistema de ecuaciones lineales determinado por el problema en cuestión.
Esta sustitución da lugar a un procedimiento sistemático y práctico que se aplicará ruti-
nariamente a una amplia clase de problemas. Sin embargo, la esencia de la programación
geométrica se encuentra en las soluciones informales de los ejemplos considerados en esta
sección, el resto es sólo una cuestión de hacer el procedimiento sistemático y rutinario.
15

2.3. Programación geométrica sin restricciones.
Esta sección presenta un procedimiento sistemático para manipular problemas de pro-
gramación geométrica sin restricciones. Como demostramos en la sección anterior, es con
frecuencia posible resolver estos problemas directamente de la desigualdad (A-G) y por
inspección. Sin embargo, algunos problemas son muy complicados para hacerlos de esta
manera, y el procedimiento que estamos apunto de discutir entonces viene al rescate.
También tenemos otro objetivo en mente para esta sección. Se habrá notado ya, que
nunca probamos que siempre es posible forzar a la igualdad en la desigualdad (A-G) en los
ejemplos de la sección anterior. Una vez que hallamos establecido nuestro procedimiento
sistemático para problemas de programación geométrica sin restricciones, probaremos que
siempre es posible forzar a la igualdad.
Definición 2.3.1. Una función g definida para todo
t = (t1, . . . , tm) ∈ Rm
con tj > 0 para todo j = 1, . . . , m es
llamado posinomial si g(t) es de la forma
g(t) =
n
i=1
ci
m
j=1
(tj)αij
,
donde los ci’s son constantes positivas y los αij son exponentes
reales arbitrarios.
As´ı pues, un posinomial es una combinación lineal con coeficientes no negativos de términos
que son productos de potencias reales de variables no negativas t1, . . . , tm. Por ejemplo,
g(t1, t2) = 3t−1
1 t
√
2
2 + t3
1t
1/2
2 +
√
3t
−1/2
1
es un posinomial definido sobre en interior de el primer cuadrante en R2
.
El objetivo de la programación geométrica sin restricciones es resolver el siguiente pro-
16

grama geométrico primal:
Minimizar el posinomial g(t) =
n
i=1
ci
m
j=1
t
αij
j , (GP)
donde t1 > 0, . . . , tm > 0 .
Por una solución del (GP) sencillamente nos referimos a un minimizador global t∗
para g
sobre el conjunto de vectores t en Rm
con componentes positivas.
Comenzaremos nuestro ataque sobre el programa (GP) observando que g puede ser
reescrito como
g(t) =
n
i=1
δi






ci
m
j=1
t
αij
j
δi






,
donde cada δi se supone que es un número positivo (Condición de Positividad). Si a esto
añadimos la restricción de que
n
i=1
δi = 1 , (Condición de Normalidad)
podemos aplicar la desigualdad (A-G) a esta nueva expresión de g para obtener
g(t)
(A-G)
≥
n
i=1






ci
m
j=1
t
αij
j
δi






δi
=
n
i=1
ci
δi
δi n
i=1
m
j=1
t
αij δi
j
=
n
i=1
ci
δi
δi m
j=1
t i αij δi
j
Por lo tanto, si se impone la restricción adicional de que
n
i=1
αijδj = 0 ; j = 1, . . . , m , (Condición de Ortogonalidad)
17

entonces la desigualdad anterior nos da el siguiente resultado
g(t) ≥
n
i=1
ci
δi
δi
.
As´ı, si definimos
v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
entonces los cálculos anteriores muestran que
g(t) ≥ v(δ) (Desigualdad Primal-Dual)
para cualquier t ∈ Rm
con componentes positivas y cualquier δ ∈ Rn
que satisface las
Condiciones de Positividad, Normalidad y Ortogonalidad.
Estas consideraciones nos lleva a considerar el siguiente programa geométrico dual:
Maximizar v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
, (PGD)
sujeto a δ1 > 0, . . . , δn > 0 , (Condición de Positividad)
n
i=1
∀j :
n
i=1
αijδi = 0 , (Condición de Ortogonalidad)
Un vector δ ∈ Rn
que satisface las Condiciones de Positividad, Normalidad y Ortogonalidad
es un vector factible para el (PGD). El programa dual es consistente si el conjunto de
vectores factibles para el (PGD) es no vacio. Finalmente, por una solución para el progama
dual (PGD) nos referimos a un vector δ∗
∈ Rn
que es un maximizador global para v(δ)
sobre el conjunto de vectores factibles para el (PGD).
Note que si t∗
es una solución al programa primal (GP) y si δ∗
es una solución al
programa dual (PGD), entonces
g(t∗
) ≥ v(δ∗
)
por la desigualdad Primal-Dual. A continuación se muestra, entre otras cosas, que en
realidad g(t∗
) es igual a v(δ∗
) y que de esta igualdad genera un procedimiento para calcular
las soluciones del programa (GP) y (PGD) cuando estos programas tienen soluciones.
18

Teorema 2.3.1. Si t∗
= (t∗
1, . . . , t∗
m) es una solución del programa geométrico primal (GP),
entonces el correspondiente programa geométrico dual (PGD) es consistente. Además, el
vector δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
n) definido por
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, . . . , n
(donde ui(t) = cit
αij
1 · · · tαim
m es el i’ésimo término de g) es una solución para el (PGD) y
la igualdad se cumple en la Desigualdad Primal-Dual, esto es,
g(t∗
) = v(δ∗
) .
Demostración: Un término t´ıpico de g en (GP) es
ui(t) = citαi1
1 · · · tαim
m .
La derivada parcial de ui(t) respecto de tj tiene un efecto muy simple sobre ui(t), simple-
mente se multiplica ui(t) por αij y se reduce el exponente de tj en 1. Esto significa que la
siguiente ecuación se cumple:
tj
∂ui
∂tj
= αijui .
Ya que t∗
= (t∗
1, . . . , t∗
m) es un minimizador para g en (GP), se deduce que
0 =
∂g
∂tj
(t∗
) =
n
i=1
∂ui
∂tj
(t∗
) , j = 1, 2, . . . , m .
Pero entonces de las observaciones anteriores tenemos que
0 =
n
i=1
αijui(t∗
) , j = 1, 2, . . . , m .
Ya que g(t∗
) > 0 (ver (GP)), podemos dividir en ambos lados de la última ecuación por
g(t∗
) obteniendo
0 =
n
i=1
αij
ui(t∗
)
g(t∗)
, j = 1, 2, . . . , m .
Consecuentemente, si definimos
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, . . . , n ,
19

entonces δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
n) satisfacen la Condición de Ortogonalidad para el programa dual
(PGD). Por otra parte, δ∗
i > 0 para i = 1, . . . , n por lo que la Condición de Positividad es
satisfecha. Finalmente,
n
i=1
δ∗
i =
n
i=1
ui(t∗
)
g(t∗)
=
g(t∗
)
g(t∗)
= 1
por lo que la Condición de Normalidad se cumple. Concluimos que el vector δ∗
es factible
para el programa dual, por lo que el programa dual (PGD) es consistente. Además
g(t∗
) = g(t∗
)δ∗
1 +···+δ∗
n = (g(t∗
))δ∗
1 · · ·(g(t∗
))δ∗
n
=
u1(t∗
)
δ∗
1
δ∗
1
· · ·
un(t∗
)
δ∗
n
δ∗
n
=
c1
δ∗
1
δ∗
1
· · ·
cn
δ∗
n
δ∗
n
= v(δ∗
) ,
asi que se cumple la igualdad en la desigualdad Primal-Dual. Esto implica que δ∗
es una
solución del programa dual (PGD). Puesto que
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, 2, . . . , n ,
la prueba está completa.
Con el teorema anterior en manos, podemos formular el siguiente método para un
programa geométrico.
El procedimiento de Programación Geométrica. Dado un programa geométrico
primal
Minimizar el posinomial g(t) =
n
i=1
ui(t) , (PD)
donde ui(t) = citαi1
1 . . . tαim
m y ti > 0, . . . , tm > 0; ci > 0
procedemos como sigue:
Paso 1. Calcular el conjunto F de vectores facibles para el programa geométrico dual
20

(PGD), es decir, el conjunto de todos los vectores δ en Rn
tales que
δ1 > 0, . . . , δn > 0 , (Condición de Positivadad)
n
i=1
n
i=1
αijδi = 0 ; j = 1, . . . , m (Condición de Ortogonalidad)
Paso 2. Si el conjunto F de vectores factibles para el (PGD):
(a) Es vacio, entonces parar. El programa dado (GP) no tiene solución en este
caso;
(b) Consta de un sólo vector δ∗
, entonces δ∗
es un solución del (PGD). Vaya al
Paso 4;
(c) Consta de más de un vector, entonces vaya al Paso 3.
Paso 3. Encuentre un vector δ∗
que es un maximizador global para la función dual
v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
sobre el conjunto F de vectores factibles para el (PGD). Entonces δ∗
es una
solución del (PGD). Vaya al Paso 4.
Paso 4. Dado una solución δ∗
del (PGD), una solución t∗
del programa primal es obtenido
de resolver las ecuaciones
δ∗
1 =
ui(t∗
)
v(δ∗)
, i = 1, . . . , n ,
para t∗
1, . . . , t∗
m. El valor m´ınimo g(t∗
) de g es igual al valor máximo v(δ∗
) para la
función dual v.
Comentarios.
(1) Para encontrar el conjunto F de vectores factibles para el programa dual, primero re-
solver el sistema lineal de ecuaciones que consiste de las Condiciones de Ortogonalidad
y Normalidad, y luego imponer la Condición de Positividad en la solución resultante.
21

(2) La instrucción en el Paso 2(a) de que el (GP) no tiene soluciones si el conjunto F
de vectores factibles de el programa dual es vacio es consecuencia del Teorema 2.3.1.
Porque si (GP) tiene un solución t∗
, entonces el Teorema 2.3.1 afirma que el programa
dual es consistente, es decir, F es no vacio.
(3) La alternativa “dif´ıcil” es el Paso 2(c) , porque estamos obligados a encontrar un
maximizador δ∗
para v en el conjunto F de vectores factibles para (PGD) por algún
medio.
(4) La solución del sistema de ecuaciones prescrito en la Paso 4 parece complicado porque
las ecuaciones no son lineales en la variables t∗
1, . . . , t∗
m. Sin embargo, debido
ui(t∗
) = ci(t∗
1)αi1
· · · (t∗
m)αim
,
podemos obtener t∗
1, . . . , t∗
m resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
αi1 log t∗
1 + · · · + αim log t∗
m = log δ∗
i − log ci + log v(δ∗
) , i = 1, . . . , n .
Por lo tanto, el procedimiento sistemático para la programación geométrica que fue
descrito anteriormente es un proceso extremadamente lineal.
(5) La i-ésima componente δ∗
i de la solución δ∗
del programa dual (PGD) especifica el
aporte realtivo del i-ésimo término ui(t∗
) al valor m´ınimo g(t∗
) del (GP).
2.4. Ejemplos sin restricciones.
Ejemplo 2.4.1. Sea c1, c2, c3, c4 y V constantes positivas. Considere el siguiente programa
geométrico:
Minimizar g(t) =
c1V
t1t2t3
+ 2c2t2t3 + 2c3t1t3 + c4t1t2 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
22

Solución: Aqu´ı el problema dual es
Maximizar V (δ) =
c1V
δ1
δ1
2c2
δ2
δ2
2c3
δ3
δ3
2c4
δ4
δ4
,
sujeto a δ1 + δ2 + δ3 + δ4 = 1 (Condición de Normalidad),
δi > 0, 1 = 1, 2, 3, 4 (Condición de Positividad),
−δ1 + + δ3 + δ4 = 0
−δ1 + δ2 + δ4 = 0
−δ1 + δ2 + δ3 = 0





Condición de
Ortogonalidad

 .
Si aplicamos el Paso 1 del precedimiento mostrado en sección anterior, encontraremos que
el vector
δ∗
=
2
5
,
1
5
,
1
5
,
1
5
es el único vector factible para el dual, por lo que seguimos la alternativa (b) en el Paso 3.
Por consiguiente, podemos encontrar las soluciones t∗
1, t∗
2, t∗
3 resolviendo el sistema.
c1V
t∗
1t∗
2t∗
3
= δ∗
1v(δ∗
) =
2
5
v(δ∗
) ,
2c2t∗
2t∗
3 = δ∗
2v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) ,
2c3t∗
1t∗
3 = δ∗
3v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) ,
c4t∗
1t∗
2 = δ∗
4v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) .
Omitiremos el resto de los detalles del cálculo. Note que las contribuciones relativas de los
cuatro términos en g(t∗
) son 2
5
, 1
5
, 1
5
, 1
5
independiente de los valores de c1, c2, c3, c4.
Ejemplo 2.4.2. Considere el programa geométrico
Minimizar g(t1, t2) =
2
t1t2
+ t1t2 + t1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0 .
23

Solución: El programa dual es
Maximizar v(δ) =
2
δ1
δ1
1
δ2
δ2
1
δ3
δ3
,
sujeto a δ1, δ2, δ3 > 0 ,
δ1 + δ2 + δ3 = 1 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 = 0 .
Resolviendoe stas ecuaciones, encontramos que la única solución es δ1 = 1
2
, δ2 = 1
2
, y δ3 = 0.
Estos vector no es factible para el dual (porque δ3 = 0) y por lo tanto no hay vectores
factibles para el dual. Consecuentemente, la alternativa (a) en el Paso 2 nos dice que el
programa dado no tiene solución.
Ejemplo 2.4.3. Considere el programa geométrico
Minimizar g(t1, t2) =
1
t1t2
+ t1t2 + t1 + t2 ,
donde t1 > 0, t2 > 0 .
Solución: El programa dual es
Maximizar v(δ) =
1
δ1
δ1
1
δ2
δ2
1
δ3
δ3
1
δ4
δ4
,
sujeto a δ1, δ2, δ3, δ4 > 0 ,
δ1 + δ2 + δ3 + δ4 = 1 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 .
24

Un poco de trabajo muestra que este sistema es equivalente al siguiente:
δ1 = δ1 > 0 ,
δ2 = 3δ1 − 1 > 0 ,
δ3 = 1 − 2δ1 > 0 ,
δ4 = 1 − 2δ1 > 0 ,
y estas desigualdades restringen δ1 al rango 1
3
< δ1 < 1
2
. As´ı, la maximización de v(δ)
equivale a la maximización de
f(s) =
1
2
s
1
1 − 2s
1−2s
1
1 − 2s
1−2s
1
3s − 1
3s−1
en el intervalo 1
3
< s < 1
2
. Tomando logaritmos, maximizamos
ln f(s) = −s ln 2 − 2(1 − 2s) ln(1 − 2s) − (3s − 1) ln(3s − 1) ,
que es posible resolver por métodos iterativos sin ningún problema.
25

Cap´ıtulo 3
Progamación geométrica con
restricciones
3.1. Conocimientos previos.
Teorema 3.1.1 (Desigualdad Media Aritmética-Geométrica Extendida). Suponga que
x1, . . . , xn son números positivos. Si δ1, . . . , δn son números que son todos positivos o todos
ceros y si λ = δ1 + · · · + δn, entonces
n
i=1
xi
λ
≥ λλ
n
i=1
xi
δi
δi
bajo la convención 00
= 1 y (xi/0)0
= 1.
La igualdad se cumple en esta desigualdad si y sólo si δ1 = δ2 = · · · = δn = 0 o
xi =
δi
λ
n
j=1
xj
para i = 1, . . . , n.
Demostración: Suponga primero que todos los δi’s son números positivos. Note que δi/λ
es positivo para i = 1, 2, . . . , n y que
δ1
λ
+
δ2
λ
+ · · · +
δn
λ
= 1 .
26

Consequentemente, si aplicamos la desidgualdad Media Aritmética Geométrica (A-G) Teo-
rema 1.2.1 a (λxi)/δi y δi/λ para i = 1, 2, . . . , n, obtenemos
n
i=1
xi =
n
i=1
δi
λ
λxi
δi
≥
n
i=1
λxi
δi
δi/λ
,
cumpliendose la igualdad si y sólo si
λx1
δ1
=
λx2
δ2
= · · · =
λxn
δn
.
Pero luego
n
i=1
xi
λ
≥
n
i=1
λxi
δi
δi
= λλ
n
i=1
xi
δi
δi
.
Por otra parte, si λxi/δi = M para i = 1, 2, . . . , n, entonces
n
i=2
xi =
n
i=1
Mδi
λ
=
M
λ
n
i=1
δi = M ,
luego con λ
xi
δi
= M tenemos que
xi =
Mδi
λ
=
δi
λ
n
i=1
xi ,
por lo tanto la condición de igualdad se cumple.
Finalmente, note que si todos los δi’s son iguales a cero, entonces ambos lados de la
desigualdad prescrita son iguales a 1. Esto completa la prueba.
La siguiente definición describe el marco de la programación geométrica con restriccio-
nes.
27

Definición 3.1.1. Suponga que g0, g1, . . . , gk son posinomiales
con m-variables reales positivas t = (t1, t2, . . . , tm). Entonces el
programa
(PG)



Minimizar g0(t)
s.a. g1(t) ≤ 1, g2(t) ≤ 1, . . . , gk(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0
es llamado un programa geométrico con restricciones.
La siguiente definición define el marco de la programación convexa.
Definición 3.1.2. Suponga que f, g1, . . . , gm son funcioines
real-valuadas definidas sobre un subconjunto C de Rn
.
(PC)



Minimizar f
s.a. g1(x) ≤ 0, g2(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0 ,
donde x ∈ C ⊂ Rn
.
La función f es llamada la función objetivo de (PC) y las desigualdades de funciones
g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0 son llamadas las restricciones (desigualdades) para (PC). Un
punto x ∈ C que satisface todas las restricciones del programa (PC) es llamado un punto
factible para (PC), y el conjunto F de todos los puntos factibles para (PC) es llamado región
de factibilidad para (PC). Si la región factible para (PC) es no vacia, diremos que (PC)
es consistente. Si hay un punto factible x para (PC) tal que gi(x) < 0 para i = 1, . . . , m,
entonces (PC) es superconsistente y el punto x es llamado un punto de Slater para (PC).
Teorema 3.1.2 (Karush-Kuhn-Tucker(Forma de Gradiente)). Suponga que (PC)
es un programa convexo superconsistente tal que la función objetivo f y las funciones de
restricción g1, . . . , gm tienen la primera de derivada continua en el conjunto C para (PC).
28

Si x∗
es factible para (PC) y es un punto interior de C, entonces x∗
es una solución de
(PC) si y sólo si existe un λ∗
∈ Rm
tal que:
(1) λ∗
i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , m;
(2) λ∗
i gi(x∗
) = 0 para i = 1, 2, . . . , m;
(3) ∇f(x∗
) +
m
i=1
λ∗
i ∇gi(x∗
) = 0.
Teorema 3.1.3.
(a) Si f1, . . . , fk son funciones convexas en el conjunto convexo C de Rn
, entonces
f(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fk(x)
es convexa. Además, si al menos uno de los fi es estrictamente convexa en C, entonces
la suma f(x) es estrictamente convexa.
(b) Si f es convexa (estrictamente convexa) en el conjunto convexo C de Rn
y si α es un
número positivo, entonces αf es convexo (estrictamente convexo) en C.
(c) Si f es una función convexa (estrictamente convexa) definida en un conjunto convexo
C de Rn
, y si g es una función convexa creciente (estrictamente creciente) definida en
el rango de f de R, entonces la función composición g ◦ f es convexa (estrictamente
convexa) en C.
3.2. Ejemplo.
Ejemplo 3.2.1. Considere el siguiente programa
Minimizar
40
t1t2t3
+ 40t2t3
sujeto a 2t1t3 + t1t2 ≤ 4 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
29

Solución: Si dividimos la desigualdad de restricción por 4, obtenemos un programa
geométrico de la forma 3.1.1 con
g0(t1, t2, t3) =
40
t1t2t3
+ 40t2t3 ,
g1(t1, t2, t3) =
t1t3
2
+
t1t2
4
.
Ahora procedemos como sigue: Para cualquier λ > 0, (g1(t))λ
≤ 1 as´ı que para cualesquiera
δ1 > 0, δ2 > 0, tenemos
g0(t) ≥ g0(t)(g1(t))λ
=
40
t1t2t3
+ 40t2t3 (g1(t))λ
= δ1
40
δ1t1t2t3
+ δ2
40t2t3
δ2
(g1(t))λ
.
Si ahora imponemos la restricción de que δ1 + δ2 = 1 y aplicamos la Desigualdad Media
Aritmética-Geométrica Teorema 2.1.2, obtenemos
g0(t) ≥
40
δ1t1t2t3
δ1
40t2t3
δ2
δ2
(g1(t))λ
=
40
δ1
δ1
40
δ2
δ2
(t1)−δ1
(t2)(−δ1+δ2)
(t3)(−δ1+δ2)
(g1(t))λ
.
Luego, nos enfocamos en el factor (g1(t))λ
en la última expresión y aplicamos la Desigualdad
Media Aritmética Geométrica Extendida Teorema 3.1.1, luego tenemos
g1(t)λ
=
t1t3
2
+
t1t2
4
λ
≥ λλ t1t3
2δ3
δ3
t1t2
4δ4
δ4
= λλ 1
2δ3
δ3
1
4δ4
δ4
t
(δ3+δ4)
1 tδ4
2 tδ3
3 ,
siempre que λ = δ3 + δ4. Si combinamos las conclusiones de los cálculos anteriores, vemos
que
g0(t) ≥
40
δ1
δ1
40
δ2
δ2
1
2δ3
δ3
1
4δ4
δ4
(δ3 + δ4)δ3+δ4
= v(δ1, δ2, δ3, δ4)
30

siempre que
δ1 + δ2 = 1 ,
δ3 + δ4 = λ ,
−δ1 + δ3 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
δ1 > 0, δ2 > 0, δ3 > 0, δ4 > 0 .
(Las tres últimas ecuaciones resultan de igualar los exponentes de t1, t2, t3 a cero.) Este
sistema tiene la solución única
δ∗
1 =
2
3
, δ∗
2 =
1
3
, δ∗
3 =
1
3
, δ∗
4 =
1
3
,
y el correspondiente valor de v(δ1, δ2, δ3, δ4) es
v
2
3
,
1
3
,
1
3
,
1
3
= 60 .
As´ı, 60 es una cota inferior para el valor de g0 sujeto a la restricción g1(t) ≤ 1. Encon-
trar el valor m´ınimo de g0 y un minimizador t∗
= (t∗
1, t∗
2, t∗
3) que conduce a este valor
m´ınimo, buscamos esos valores t∗
1, t∗
2, t∗
3 que fuerzan a la igualdad en las Desigualdades
Media-Geométrica de 2.1.2 y 3.1.1 y simultáneamente en la restricción g1(t) ≤ 1. Si po-
demos encontrar tales t∗
1, t∗
2, t∗
3, entonces sabremos que el m´ınimo de g0(t) sujeto a esta
restricción es actualmente 60 y que t∗
= (t∗
1, t∗
2, t∗
3) es el punto minimizador.
Las condiciones de igualdad para las Desigualdades Media Geométrica Aritmética 2.1.2
y 3.1.1 implican que
40
2
3
t∗
1t∗
2t∗
3
=
40t∗
2t∗
3
1
3
= 60 ,
t∗
1t∗
3
2
3
=
t∗
1t∗
2
4
3
= K .
(¿Por qué los dos términos en la primera ecuación es igual a 60?) Ya que δ∗
3, δ∗
4 son positivos,
la igualdad se debe tener en la restricción g1(t) ≤ 1 de modo que
1 = δ3K + δ4K =
2
3
K ,
31

y por lo tanto K = 3
2
. Estas consideraciones nos llevan al siguiente sistema de ecuaciones:
t∗
1t∗
2t∗
3 = 1 ,
2t∗
2t∗
3 = 1 ,
t∗
1t∗
3 = 1 ,
t∗
1t∗
2 = 2 .
Podemos convertir este sistema a un sistema de ecuaciones lineales en log t∗
1, log t∗
2, log t∗
3
tomando logaritmos
log t∗
1 + log t∗
2 + log t∗
3 = 0 ,
log t∗
2 + log t∗
3 = − log 2 ,
log t∗
1 + log t∗
3 = 0 ,
log t∗
1 + log t∗
2 = log 2 .
Resolviendo este último sistema tenemos que la única solución es t∗
1 = 2, t∗
2 = 1 y t∗
3 = 1
2
,
que son los valores que minimizan el problema inicial.
Comentarios sobre el problema anterior: Resolvimos el programa geométrico del
ejemplo anterior aplicando la Desigualdad Media Geométrica Aritmética 2.1.2 a la función
obgetivo g0(t) y la Desigualdad Media Geométrica Aritmética Extendida 3.1.1 a la restric-
ción g1(t) ≤ 1. ¿Qué pasar´ıa si hubiéramos aplicado 2.1.2 a las dos funciones?. Esto habr´ıa
resultado en el siguiente sistema de ecuaciones de δ1, δ2, δ3, δ4:
δ1 + δ2 = 1 ,
δ3 + δ4 = 1 ,
−δ1 + δ3 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 .
Este es un sistema de ecuaciones inconsistente. En otra palabras, si usamos 2.1.2 en las
funciones objetivo y de restricción, y si a continuación añadimos las ecuacionies resultan-
32

tes de establecer los exponentes de t1, t2, t3 iguales a cero, se han impuesto demasiadas
restricciones sobre δ1, δ2, δ3, δ4.
Con la ayuda del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker, podemos mostrar que la técnica
aplicada al problema anterior funciona realmente, en general.
3.3. Programación geométrica con restricciones.
Ahora desarrollaremos la técnica mostradad en la sección anterior en el contexto general
de la programación geométrica con restricciones (PG) definido en 3.1.1.
Debido a que cada uno de los k + 1 posinomiales en el programa geométrico con res-
triccioines estándar (PG) Definición 3.1.1 puede consistir de varios términos, tenemos que
organizar todos los términos de manera que la notación resultante sea simple y descriptiva.
Una forma razonable de hacerlo es empezar por contar los términos de la función objetivo
g0(t) de izquierda a derecha, enumerándolos desde 1 hasta n0, y luego continuar contando
los términos de la primera restricción posinomial g1(t) de izquierda a derecha, enumeran-
dolos desde n0 + 1 hasta n1, y as´ı sucesivamente hasta contar los términos de la última
restricción posinomial gk(t) de izquierda a derecha, enumerandolos desde nk−1 + 1 hasta
nk = p. El término j’ésimo en este esquema de recuento se indica como sigue:
uj(t) = cjt
αj1
1 t
αj2
2 . . . tαjm
m .
Con este esquema notacional, podemos reescribir el programa geométrico con restricciones
33

estándar (GP) como
(GP)



Minimizar g0(t) = u1(t) + · · · + un0 (t)
sujeto a las restricciones
g1(t) = un0+1(t) + · · · + un1 (t) ≤ 1 ,
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
gk(t) = unk−1+1(t) + · · · + unk
(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0, y nk = p .
La aplicación de la Desigualdades Media Geométrica Aritmética 2.1.2 y 3.1.1 sólo a las
funciones g0(t), g1(t), . . . , gk(t) como en el ejemplo de la sección anterior 3.2.1 nos lleva a
considerar el siguiente programa:
(PGD)



Maximizar v(δ) = p
j=1
cj
δj
δj
k
i=1 λi(δ)λi(δ)
δ1 + · · · + δn0 = 1 ,
α11δ1 + · · · + αp1δp = 0 ,
...
...
...
...
α1mδ1 + · · · + αpmδp = 0 ,
donde δi > 0 para i = 1, . . . , n0, y para cada k ≥ 1, ya sea
δi > 0 para todo i con nk−1 + 1 ≤ i ≤ nk o δi = 0 para todo i
con nk−1 + 1 ≤ i ≤ nk. Donde, λi(δ) = δni−1+1 + · · · + δni
.
El programa (PGD) es llamado el programa dual del (GP), la función v(δ) es la función
objetivo dual y las restricciones en (PGD) son las restricciones dual. Si δ1, δ2, . . . , δp son
números que satisfacen las restricciones dual en (PGD), entonces δ = (δ1, . . . , δp) es un
vector fatible para (PGD) y el (PGD) se dice que es consistente. Un vector δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
p)
34

que maximiza v(δ) en el conjunto de vectores factibles para (PGD) es una solución de
(PGD).
Para el programa geométrico con restricciones considerado en el ejemplo de la sección
anterior, hay cuatro variables duales δ1, δ2, δ3, δ4 porque la función objetivo y la única
función de restricción cada una contienen dos términos. Hay un y sólo vector δ = 2
3
, 1
3
, 1
3
, 1
3
que es factible para (PGD) por lo que es automáticamente una solución de (PGD).
En general, el número de variables dual en (PGD) es igual al número total p(= nk)
de términos en las funciones de restricción y objetivo de (GP). Note que las ecuaciones
de restricción en (PGD) son lineales, por lo que el problema de identificar los vectores
factibles de (PGD) se reduce a encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones lineales
que tiene componentes no negativos. También note que λi(δ) es simplimente la suma de
las componentes de δ que corresponden a los términos de la i’ésima función de restricción
gi(t) para i = 1, 2, . . . , k.
Antes de proceder al desarrollo de la relación entre las soluciones del programa (GP)
y el correspondiente programa dual (PGD), vamos a resolver el dual de otro programa
geométrico concreto.
Ejemplo 3.3.1. Considere el programa geométrico.
Minimizar t1t−1
2 t2
3
1
2
t3
1t2t−1
3 ≤ 1 ,
1
4
t
−1/2
1 +
1
4
t
−1/2
2 +
1
4
t3 ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
Solución: La función objetivo y las dos restricciones contienen un total de 5 términos por
35

lo que hay 5 variables duales. las restricciones duales son
δ1 = 1 ,
δ1 + 3δ2 −
1
2
δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 −
1
2
δ4 = 0 ,
2δ1 − δ2 + δ5 = 0 ,
donde
δ1 > 0, δ2 ≥ 0, δ3 ≥ 0, δ4 ≥ 0, δ5 ≥ 0,
y la función objetivo dual es
v(δ) =
1
δ1
δ1
1
2δ2
δ2
1
4δ3
δ3
1
4δ4
δ4
1
4δ5
δ5
(δ2)δ2
(δ3 + δ4 + δ5)δ3+δ4+δ5
El programa dado es consistente; de hecho, es incluso superconsistente porque, por ejemplo,
los valores t1 = 1, t2 = 1, t3 = 1 satisfacen ambas restricciones con desigualdades estrictas.
El programa dual es consistente; de hecho, es materia rutinaria verificar que la solución
general de las cuatro ecuaciones de restricción dual son
δ1 = 1, δ2 = −
1
3
+
1
6
r, δ3 = r, δ4 = −
8
3
+
1
3
r, δ5 = −
7
3
+
1
6
r ,
donde r es un número real arbitrario. Los requisito de que δi ≥ 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 añade
la restricciónadicional de que r ≥ 14 As´ı, el conjunto de puntos factibles para el programa
dual es
F = 1, −
1
3
, r, −
1
8
+
1
3
r , −
7
3
+
1
6
r : r ≥ 14 .
El teorema de Karush-Khun-Tucker no parece ser apliclable a los programas geométri-
cos, porque los posinomiales no necesariamente son funciones convexas. Por ejemplo, el
posinomial en un variable
g(t) = t1/2
, t > 0 ,
36

no es convexo. Sin embargo, cualquier posinomial g(t) puede ser transformado en una
función convexa h(x) por los cambios de variables
tj = exj
, j = 1, 2, . . . , m . (∗)
Más precisamente, si el cambio de variables (∗) es aplicado al posinomial
g(t) =
n
i=1
citαi1
1 tαi2
2 . . . tαim
m , ci > 0 ,
la correspondiente función de x = (x1, x2, . . . , xm) es
h(x) =
n
i=1
cie
m
j=1 αij xj
,
y h(x) es convexo en Rn
en virtud del Teorema 3.1.3.
Esta observación nos permite transformar el programa geométrico con restricciones
estándar
(PG)



Minimizar g0
s.a. g1(t) ≤ 1, g2(t) ≤ 1, . . . , gk(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0
en un programa convexo asociado
(GP)∗



Minimizar h0(x) sujeto a las restricciones
h1(x) − 1 ≤ 0, h2(x) − 1 ≤, . . . , hk(x) − 1 ≤ 0 ,
donde x ∈ Rm
,
via los cambios de variables ti = exi
para i = 1, 2, . . . , m. Es mas, porque t = ex
es una
función estrictamente convexa. Los programas (GP) y (GP)∗
son equivalentes en el sentido
de que t∗
= (t∗
1, t∗
2, . . . , t∗
m) es una solución para (GP) si y sólo si x∗
= (x∗
1x∗
2, . . . , x∗
m) es
una solución de (GP)∗
donde t∗
i = ex∗
i para i = 1, 2, . . . , m.
Estamos preparados para enunciar y demostrar el resultado central en la teor´ıa de
programación geométrica con restricciones.
Teorema 3.3.1.
37

(1) Si t es un vector factible para el programa geométrico con restricciones (GP) y si δ es
un vector factible para el programa dual correspondiente (PGD), entonces
g0(t) ≥ v(δ) (la Desigualdad Primal − Dual) .
(2) Supongamos que el programa geométrico con restricciones (GP) es superconsistente y
que t∗
es una solución para (GP). Entonces el correspondiente programa dual (PGD)
es consistente y tiene una solución δ∗
que satisface
g0(t∗
) = v(δ∗
) ,
y
δ∗
i =



ui(t∗
)
g0(t∗)
, i = 1, . . . , n0 ,
λj(δ∗
)ui(t∗
) , i = nj−1 + 1, . . . , nj ; j = 1, . . . , k .
Demostración:
(1) La Desigualdad Primal-Dual sigue inmediatamente de la definición de el programa dual
(PGD) y las Desigualdades Media Aritmética-Geométrica 2.1.2 y 3.1.1.
(2) Ya que (GP) es superconsistente, por lo que es el programa convexo asociado de (GP)∗
.
También desde que (GP) tiene una solución t∗
= (t∗
1, t∗
2, . . . , t∗
m), el programa convexo
asociado (GP)∗
tiene una solución x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
m) dada por
x∗
i = ln t∗
i , i = 1, 2, . . . , m .
De acuerdo al Teorema de Karush-Kuhn-Tucker 3.1.2, existe un vector λ∗
=
(λ∗
1, . . . , λ∗
k) tal que:
(a) λ∗
i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , k;
(b) λ∗
i (hi(x∗
) − 1) = 0 para i = 1, 2, . . . , k;
(c)
∂h0
∂xj
(x∗
) +
k
i=1
λ∗
i
∂hi
∂xj
(x∗
) = 0 para j = 1, . . . , m.
38

porque ti = exi
para i = 1, . . . , m, se deduce que para i = 0, 1, . . . , k
∂hi
∂xj
=
∂hi
∂tj
dtj
dxj
=
∂gi
∂tj
exj
,
as´ı la condición (c) es equivalente a
∂g0
∂tj
(t∗
) +
k
i=1
λ∗
i
∂gi
∂tj
(t∗
) = 0 , j = 1, 2, . . . , m (c’)
ya que exj
> 0 para j = 1, . . . , m. Pero t∗
j > 0 para j = 1, 2, . . . , m, por lo que (c’) es
equivalente a
t∗
j
∂g0
∂tj
(t∗
) +
k
i=1
λ∗
i t∗
j
∂gi
∂tj
(t∗
) = 0 , j = 1, . . . , m . (c”)
Porque los términos de gi(t) son de la forma
uq(t) = cqt
αq1
1 t
αq2
2 . . . tαqm
m ,
es claro que
t∗
j
∂gi
∂tj
(t∗
) =
ni
q=ni−1+1
αqjuq(t∗
) , j = 1, . . . , m ,
as´ı (c”) implica que
0 =
n0
q=1
αqjuq(t∗
) +
k
r=1
nr
q=nr−1+1
λ∗
rαqjuq(t∗
) .
si dividimos la última ecuación por
g0(t∗
) =
n0
q=1
uq(t∗
) ,
obtenemos
0 =
n0
q=1
αqj
uq(t∗
)
g0(t∗)
+
k
r=1
nr
q=nr−1+1
αqj
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
.
Definir el vector δ∗
por
δ∗
q =



uq(t∗
)
g0(t∗)
, q = 1, 2, . . . , n0 ,
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
, q = nr−1 + 1, . . . , nr, r = 1, . . . , k .
39

Note que δ∗
q > 0 para q = 1, 2, . . . , n0 y que, para cada r ≥ 1, ya sea δ∗
i > 0 para todo
i con nr−1 + 1 ≤ i ≤ nr o δ∗
i = 0 para todo i con nr−1 + 1 ≤ i ≤ nr de acuerdo al
correspondiente multiplicador λ∗
r de Karush-kuhn-Tucker, es positivo o cero. También
observe que el vector δ∗
satisface todas las m ecuaciones de restricción exponenciales
en (PGD) as´ı como la restricción
n0
q=1
δ∗
q =
n0
q=1
uq(t∗
)
g0(t∗)
= 1 .
Por lo tanto, δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
p) es un vector factible para (PGD).
Los multiplicadores λ∗
r de Karush-kuhn-Tucker están relacionados con las correspon-
dientes λr(δ∗
) en (PGD) com sigue:
λr(δ∗
) =
nr
q=nr−1+1
δ∗
q
nr
q=nr−1+1
λ∗
r
uq(t∗
)
g0(t∗)
= λ∗
r
gr(t∗
)
g0(t∗)
para r = 1, . . . , k. La condición (b) de Karush-Kuhn-Tucker nos da
λ∗
r(gr(t∗
) − 1) = 0 , r = 1, . . . , k , (b’)
por lo que λ∗
rgr(t∗
) = λ∗
r para r = 1, . . . , k. Por lo tanto, para r = 1, . . . , k y q =
nr−1 + 1, . . . , nr, vemos que
δ∗
q =
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
=
λ∗
rgr(t∗
)uq(t∗
)
g0(t∗)
= λr(δ∗
)uq(t∗
) . (∗)
El hecho de que δ∗
es factible en (PGD) y que t∗
es factible en (GP) implica que
g0(t∗
) ≥ v(t∗
)
debido a la Desigualdad Prima-Dual (1). Por otra parte, los valores de δ∗
q en q =
1, 2, . . . , p son precisamente los que fuerzan a la igualdad en las Desigualdades Media
Aritmética-Geométrica 2.1.2 y 3.1.1 que se utiliza para obtener la Desigualdad de
Dualidad. Finalmente, la ecuación (b’) muestra que o bien gr(t∗
) = 1 o λ∗
r = 0 para
r = 1, 2, . . . , k y la ecuación (∗) muestra que λ∗
r = 0 si y sólo si λr(δ∗
) = 0 para
r = 1, . . . , k. Esto significa que los valores de δ∗
q en ralidad fuerzan a la igualdad en la
Desigualdad Prima-Dual. Esto completa la demostración.
40

La segunda afirmación del teorema anterior implica que si (GP) es un programa
geométrico superconsistente para el cual el dual (PGD) es no consistente, entonces (GP)
no tiene solución.
41

Bibliograf´ıa
[1] R.J. Duﬃn, E.L. Peterson, and C. Zener. Geometric Programming, Wiley, New York,
1967
[2] M. Avriel and D.J. Wilde. Optimal condenser design by geometric programming, Ind.
Eng. Chem. Process Des. Develop. 6 (1967), 256-263.
[3] M. Avriel. Fudamentals of geometric, in Applications of Mathematical Programming
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[7] Stephen Boyd, Seung Jean Kim. A tutorial on geometric programming. Opt. Eng.
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[8] O. G¨uler. Fundations of Optimization. Springer. 2010.
[9] M. Avriel, A.C.Williams. An Extension of Geometric Programming with Applications
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42

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