Manual de mathematica

BREVE MANUAL DE
MATHEMATICA 5.1

Robert Ipanaqué Chero
Ricardo Velesmoro León

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA, PERÚ

BREVE MANUAL DE MATHEMATICA 5.1
Mathematica y MathReader son marcas registradas de Wolfram Research

Robert Ipanaqué Chero
robertchero@hotmail.com
http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque

Ricardo Velesmoro León
velesmoro_ricardo@hotmail.com

Departamento Académico de Matemática
Universidad Nacional de Piura, Urb. Miraflores s/n, Castilla - Piura, Perú

ISBN:
Nº Registro:

Setiembre 2005, editado por el grupo eumed●net
Grupo de Investigación de la Universidad de Málaga, España
http://www.eumed.net

Para citar este libro puede utilizar el siguiente formato:
Ipanaqué Chero y Velesmoro León (2005) Breve Manual de
Mathematica 5.1. Edición a texto completo en
www.eumed.net/libros/2005/

1

Índice
Índice ...................................................................................................................... 3
1. Funcionamiento de Mathematica ........................................................................ 6
1.1. Interfase de cuaderno ................................................................................ 6
1.2. Interfase basada en texto ........................................................................... 8
2. Cálculos numéricos ............................................................................................. 9
2.1. Aritmética ................................................................................................. 9
2.2. Resultados exactos y aproximados ......................................................... 10
2.3. Algunas funciones matemáticas .............................................................. 12
2.4. Cálculos con precisión arbitraria ............................................................ 14
2.5. Números complejos ................................................................................ 15
2.6. Acostumbrándose a Mathematica ........................................................... 16
2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos ................................................... 17
3. Generación de cálculos ..................................................................................... 19
3.1. Uso de resultados previos ....................................................................... 20
3.2. Definición de variables ........................................................................... 20
3.3. Construcción de listas ............................................................................. 22
3.4. Manipulación de los elementos de una lista ........................................... 23
3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica ....................................... 25
3.6. Secuencias de operaciones ...................................................................... 25
4. Uso del sistema Mathematica ........................................................................... 26
4.1. La estructura de Mathematica ................................................................ 26
4.2. Cuadernos como documentos ................................................................. 29
4.3. Elementos activos en cuadernos ............................................................. 32
4.4. Hipervínculos y texto activo ................................................................... 35
4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno ..................................... 36
4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto ................................ 37
4.7. Paquetes en Mathematica ....................................................................... 39
4.8. Advertencias y mensajes ........................................................................ 40
4.9. Interrupción de cálculos .......................................................................... 41
5. Cálculos algebraicos ......................................................................................... 42
5.1. Cálculo simbólico ................................................................................... 42
5.2. Valores para símbolos ............................................................................ 44
5.3. Transformación de expresiones algebraicas ........................................... 48
5.4. Simplificación de expresiones algebraicas ............................................. 49
5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas ............................................ 51
5.6. Simplificación con asunciones ............................................................... 55
5.7. Seleccionar partes de expresiones algebraicas ........................................ 56
5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes .................................. 58
2

5.9. Las limitaciones de Mathematica ........................................................... 59
5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos ................................................ 61
6. Matemáticas simbólicas .................................................................................... 63
6.1. Operaciones básicas ................................................................................ 63
6.2. Diferenciación ........................................................................................ 64
6.3. Integración .............................................................................................. 65
6.4. Sumas y productos .................................................................................. 68
6.5. Ecuaciones .............................................................................................. 70
6.6. Operadores relacionales y lógicos .......................................................... 72
6.7. Solución de ecuaciones ........................................................................... 74
6.8. Desigualdades ......................................................................................... 80
6.9. Ecuaciones diferenciales ......................................................................... 82
6.10. Series de potencias ................................................................................ 83
6.11. Límites .................................................................................................. 85
6.12. Transformadas integrales ...................................................................... 86
6.13. Ecuaciones recurrentes ......................................................................... 87
6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas ................................................. 87
6.15. Casos genéricos y no genéricos ............................................................ 90
6.16. Notación matemática en cuadernos ...................................................... 91
7. Matemáticas numéricas .................................................................................... 93
7.1. Operaciones básicas ................................................................................ 93
7.2. Sumas, productos e integrales numéricas ............................................... 94
7.3. Solución numérica de ecuaciones ........................................................... 95
7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas ....................................................... 97
7.5. Optimización numérica ........................................................................... 98
7.6. Manipulación de datos numéricos ........................................................ 100
7.7. Estadística ............................................................................................. 102
8. Funciones y programas ................................................................................... 103
8.1. Definición de funciones ........................................................................ 103
8.2. Funciones como procedimientos .......................................................... 105
8.3. Operaciones repetitivas ......................................................................... 107
8.4. Reglas de transformación para funciones ............................................. 108
9. Listas ............................................................................................................... 109
9.1. Juntar objetos ........................................................................................ 109
9.2. Fabricación de tablas de valores ........................................................... 110
9.3. Vectores y matrices .............................................................................. 113
9.4. Elegir elementos de listas ..................................................................... 118
9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista ....................................... 120
9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista .............................. 122
9.7. Combinación de listas ........................................................................... 123
9.8. Listas de conjuntos ............................................................................... 124
9.9. Reordenamiento de listas ...................................................................... 125
9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas ............................. 126
3

9.11. Ordenamiento de listas ....................................................................... 127
9.12. Reorganización de listas anidadas ...................................................... 128
10. Gráficos y sonido .......................................................................................... 128
10.1. Gráficos básicos .................................................................................. 128
10.2. Opciones ............................................................................................. 131
10.3. Rehacer y combinar gráficos .............................................................. 138
10.4. Manipulación de opciones .................................................................. 143
10.5. Contornos y gráficos de densidad ....................................................... 145
10.6. Gráficos de superficies tridimensionales ............................................ 148
10.7. Conversión entre tipos de gráficos ...................................................... 156
10.8. Gráficos de listas de datos .................................................................. 157
10.9. Gráficos paramétricos ......................................................................... 160
10.10. Algunos gráficos especiales .............................................................. 165
10.11. Gráficos animados ............................................................................ 168
10.12. Sonido ............................................................................................... 169
11. Entradas y salidas en cuadernos .................................................................... 172
11.1. Ingreso de letras griegas ..................................................................... 172
11.2. Ingreso de entradas bidimensionales .................................................. 174
11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales ........................ 180
11.4. Ingreso de fórmulas ............................................................................. 181
11.5. Ingreso de tablas y matrices................................................................. 187
11.6. Subíndices, barras y otros adornos ..................................................... 188
11.7. Caracteres no ingleses ........................................................................ 190
11.8. Otras notaciones matemáticas.............................................................. 191
11.9. Formas de entrada y salida ................................................................. 193
11.10. Mezcla de texto y fórmulas ............................................................... 199
11.11. Creación de sus propias paletas ........................................................ 200
11.12. Creación de Hipervínculos ............................................................... 204
11.13. Numeración automática .................................................................... 204
12. Archivos y operaciones externas .................................................................. 205
12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica ................................ 205
12.2. Localización y manipulación de archivos ........................................... 208
12.3. Importación y exportación de datos .................................................... 210
12.4. Exportación de gráficos y sonidos ...................................................... 211
12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos ............................................... 212
12.6. Generación e Importación de TeX ...................................................... 213
12.7. Cambio de material con la Web .......................................................... 214
12.8. Generación de expresiones C y Fortran .............................................. 217
12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos ................. 218
Bibliografía ......................................................................................................... 220

4

Breve manual de Mathematica 5.1
Este libro da una introducción a Mathematica, concentrándose en usar
Mathematica como sistema interactivo para resolver problemas. Cuando lo haya
leído, debe tener suficiente conocimiento de Mathematica para abordar muchas
clases de problemas prácticos.

1. Funcionamiento de Mathematica

Para saber cómo se instala y funciona Mathematica debe leer la documentación
que vino con su copia de Mathematica. Los detalles difieren a partir de un sistema
informático a otro, y son afectados por las varias clases de arreglo para requisitos
particulares que se pueden hacer en Mathematica. Sin embargo, esta sección
delinea dos casos comunes.

Observe que aunque los detalles de funcionamiento de Mathematica difieren a
partir de un sistema informático a otro, la estructura de los cálculos de
Mathematica es igual en todos los casos. El usuario digita la entrada (input),
Mathematica la procesa, y devuelve un resultado.

1.1. Interfase de Cuaderno

utilice un icono o el menú de formas gráficas de inicializar Mathematica
Inicio
mathematica comando para inicializar Mathematica
finalizar texto con entrada para Mathematica
<Shift>+<Enter>
elegir el ítem salida del menú salir de Mathematica
Funcionamiento de Mathematica con una interfase de cuaderno.

En una interfase de “cuaderno”, usted interactúa con Mathematica creando
documentos interactivos.

Si usa su computadora vía una interfase puramente gráfica haremos como de
costumbre doble en el icono de inicio de Mathematica. En cambio, si la usa vía un
sistema operativo basado en texto digitaremos el comando mathematica para
iniciar Mathematica.

5

Cuando Mathematica inicializa usualmente presenta un cuaderno en blanco. Usted
digita la entrada (input), luego presiona (en simultáneo) <Shift>+<Enter> para que
Mathematica procese su entrada. <Shift>+<Enter> indica a Mathematica que usted
ha finalizado su entrada. Si su teclado posee teclado numérico puede usar la tecla
<Enter> del mismo en lugar de <Shift>+<Enter>.

Después de ejecutar una entrada en Mathematica desde un cuaderno, Mathematica
etiquetará su entrada con In[n]:=. También etiqueta la correspondiente salida
Out[n]=.

Usted digita 1 + 1 , luego finaliza su entrada con <Shift>+<Enter>.
Mathematica procesa la entrada, luego agrega la etiqueta a la entrada
In[1]:=, y devuelve la respectiva salida.

A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la
siguiente manera:

Con una interfase de cuaderno, usted sólo digita 1+1. Mathematica añade la
etiqueta In[1]:=, e imprime el resultado.
1 + 1
2

Recuerde que los cuadernos corresponden a la “parte visible” (“front end”) de
Mathematica. El núcleo de Mathematica que realiza realmente los cálculos puede
funcionar en la misma computadora que el front end, o en otra computadora
conectada vía alguna clase de red o de línea. En la mayoría de los casos, el núcleo
incluso no se inicializa hasta que el usuario hace realmente un cálculo con
Mathematica.

Para salir de Mathematica, usted elige el ítem salida del respectivo menú en la
interfase de cuaderno.

6

1.2. Interfase Basada en Texto

math comando del sistema operativo para
inicializar Mathematica
finalizar texto con <Enter> entrada para Mathematica
Control-D, Control-Z ó salir de Mathematica
Quit[]
Funcionamiento de Mathematica con una interfase basada en Texto.

Con una interfase basada en texto, usted interactúa con su computadora digitando
texto en el teclado.

Para inicializar Mathematica con una interfase basada en texto, se digita el
comando math en el prompt del sistema operativo. En algunos sistemas, también
es posible inicializar Mathematica con una interfase basada en texto haciendo
doble clic en el icono del núcleo de Mathematica.

Cuando Mathematica ha inicializado, imprimirá el prompt In[1]:=, esto
significa que esta lista para que usted haga su entrada. Puede entonces digitar su
entrada, terminándola con <Enter>.

Mathematica procesa la entrada, y genera un resultado, el mismo que etiquetará
con Out[1]=.

A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la
siguiente manera:

La computadora imprime In[1]:=. Usted sólo digita 1+1. La línea que
empieza con Out[1]= es el resultado de Mathematica.
1 + 1
2

Observe que usted no digita explícitamente el prompt In[1]:=; sólo digita el
texto que sigue después de este aviso.

Observe también que la mayor parte de los diálogos dados en el libro muestran
salidas en la forma que usted obtendría con una interfase de cuaderno de
Mathematica; la salida con una interfase basada en texto luce similar, pero carece
de características tales como caracteres especiales y cambio de tamaño de fuente.

7

Para salir de Mathematica, digite Control-D, Control-Z ó Quit[ ] en el prompt
de la entrada.

2. Cálculos numéricos

2.1. Aritmética

Usted puede hacer aritmética con Mathematica tal y como lo haría con una
calculadora.

Aquí tenemos la suma de dos números.
5.6 + 3.7
9.3

Con * indicamos el producto de dos números.
5.6 * 3.7
20.72

Con el espacio en blanco también se indica el producto de dos números.
5.6 3.7
20.72

Usted puede digitar operaciones aritméticas haciendo uso de los paréntesis.
(2 + 3) ^ 3 – 4 (6 + 7)
73

Los espacios no son necesarios, aunque a menudo hacen su entrada más
fácil de leer.
(2+3)^3–4(6+7)
73

x^y potencia
–x menos
x/y división
x y z o x*y*z producto
x+y+z suma
Operaciones aritméticas en Mathematica.

8

Las operaciones aritméticas en Mathematica se agrupan de acuerdo con las
convenciones estándares de la matemática. Como es usual, 2+3/7, por ejemplo,
significa 2+(3/7), y no (2+3)/7. Usted puede controlar siempre la forma de
agrupar explícitamente usando paréntesis.

Este resultado se da en notación científica.
3.7 ^ 36
2.85274×1020

Usted puede incorporar números en notación científica de esta forma.
4.6 10^45
4.6×1045

O de esta otra forma.
4.6*^45
4.6×1045

2.2. Resultados exactos y aproximados

Una calculadora electrónica hace todos sus cálculos con una precisión
determinada, digamos de diez dígitos decimales. Con Mathematica, en cambio,
usted puede obtener resultados exactos.

300
Mathematica da un resultado exacto para 2 , a pesar que éste tiene 91
dígitos decimales.
2^300
203703597633448608626844568840937816105146839366593
6250636140449354381299763336706183397376

Usted puede pedir a Mathematica que devuelva un resultado aproximado, tal como
lo daría una calculadora, para ello debe finalizar su entrada con //N.

Esto da un resultado numérico aproximado.
2^300//N
2.03704×1090

9

Mathematica puede dar resultados en términos de números racionales.
1/3 + 2/7
13
21

//N siempre da un resultado numérico aproximado.
1/3 + 2/7//N
0.619048

exp //N da un valor numérico aproximado para exp
Obteniendo aproximaciones numéricas.

Cuando usted digita un entero como 7, Mathematica asume que es exacto. Si usted
digita un número como 4.5, con un punto decimal explícito, Mathematica asume
que desea efectuar cálculo numéricos aproximados.

Esto es tomado como un número racional exacto, y es llevado a una fracción
irreducible.
26/78
1
3

Cuando usted digita un número con un punto decimal explícito,
Mathematica produce un resultado numérico aproximado.
26.7/78
0.342308

Aquí otra vez, la presencia del punto decimal hace que Mathematica dé un
resultado numérico aproximado.
26./78
0.333333

Cuando cualquier número en una expresión aritmética es digitado con un
punto decimal explícito, usted obtiene un resultado numérico aproximado
para toda la expresión.
5. + 9 / 78 - 5/8
4.49038

10

2.3. Algunas funciones matemáticas

Mathematica incluye una gran colección de funciones matemáticas. A
continuación mencionamos las más comunes.

Sqrt[x] raíz cuadrada ( x )
x
Exp[x] exponencial ( e )
Log[x] logaritmo natural ( log e x )
Log[b, x] logaritmo en base b ( log b x )
Sin[x], Cos[x], Tan[x], funciones trigonométricas (con argumentos
Cot[x], Sec[x], Csc[x] en radianes)
ArcSin[x], ArcCos[x], funciones trigonométricas inversas
ArcTan[x], ArcCot[x],
ArcSec[x], ArcCsc[x]
n! factorial de n (producto de los enteros 1, 2,
..., n)
Abs[x] valor absoluto
Round[x] redondeo del entero x
Mod[n, m] n módulo m (resto de la división de n entre
m)
Random[ ] número seudo aleatorio entre 0 y 1
Max[x, y, ...], Min[x, y, ...] máximo, mínimo de x, y, ...
FactorInteger[n] factores primos de n
Algunas de las funciones matemáticas más comunes.

Los argumentos de todas las funciones en Mathematica se colocan entre
corchetes.
Los nombres de las funciones incorporadas en Mathematica empiezan con
letra mayúscula.
Dos puntos importantes acerca de funciones en Mathematica.

Es importante recordar que todos los argumentos de funciones se colocan entre
corchetes, no entre paréntesis. Los paréntesis en Mathematica se usan solamente
para indicar agrupación de términos, y jamás para encerrar argumentos de
funciones.

Esto da log e (15.7) . Note la letra mayúscula para Log, y los corchetes para
el argumento.
11

Log[15.7]
2.75366

Esto devuelve 64 como un entero exacto.
Sqrt[64]
8

Esto da un valor numérico aproximado para 6.
Sqrt[6]//N
2.44949

La presencia explícita de un punto decimal le indica a Mathematica que dé
un resultado numérico aproximado.
Sqrt[6.]
2.44949

En este caso Mathematica devuelve un número en forma simbólica exacta.
Sqrt[6]
6

Aquí tenemos un resultado entero exacto para 30×29× ... ×1. Usted puede
digitar números grandes para calcular factoriales. Por ejemplo, puede
calcular 2000! en corto tiempo.
40!
815915283247897734345611269596115894272000000000

Esto da un valor numérico aproximado del factorial.
40!//N
8.15915×1047

Pi π ≈ 3.14159
E e ≈ 2.71828 (normalmente aparece como )
Degree π/180: factor de conversión de grados a
radianes (normalmente aparece como °)
I i = − 1 (normalmente aparece como )
Infinity ∞
Algunas constantes matemáticas comunes.
12

Note que todos los nombres de las constantes incorporadas en Mathematica
empiezan con mayúscula.

2
Este es el valor numérico de π .
Pi^2//N
9.8696

Esto devuelve un resultado exacto para sen(π/2).Note que los argumentos de
las función trigonométricas siempre se dan en radianes.
Sin[Pi/2]
1

Esto devuelve el valor numérico de sen(20°). Multiplicando por la constante
Degree convertimos el argumento a radianes.
Sin[20 Degree]//N
0.34202

Log[x] devuelve el logaritmo de x en base e.
Log[E^15]
15

Usted puede obtener logaritmos en cualquier base b usando Log[x]. Como
una notación estándar de Mathematica la b es opcional.
Log[3,81]
4

2.4. Cálculos con precisión arbitraria

Cuando usted utiliza //N para obtener un resultado numérico, Mathematica hace
que lo que haría una calculadora estándar: devuelve el resultado con un número
fijo de cifras significativas. No obstante, usted puede indicarle a Mathematica las
cifras significativas con las que desea operar. Esto permite obtener resultados
numéricos en Mathematica con cualquier grado de precisión.

exp //N o N[exp] valor numérico aproximado para exp
N[exp, n] valor numérico de exp calculado con n
dígitos de precisión
Funciones de evaluación numérica.
13

Esto devuelve el valor numérico de π con un número fijo de cifras
significativas. Digitar N[Pi] es equivalente a Pi//N.
N[Pi]
3.14159

Esto devuelve π con 50 dígitos.
N[Pi, 50]
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Aquí tenemos a 7 con 40 dígitos.
N[Sqrt[7], 40]
2.645751311064590590501615753639260425710

Al realizar cualquier tipo de cálculo numérico puede introducir pequeños errores
de redondeo en sus resultados. Cuando se aumenta la precisión numérica estos
errores se hacen más pequeños. Asegurarse que usted obtiene la misma respuesta al
aumentar la precisión numérica es a menudo una buena forma de verificar los
resultados.

π 163
La cantidad e esta bastante próxima a ser entera. Para verificar que el
resultado no es, de hecho, un entero, usted tiene que usar la precisión
numérica suficiente.
N[Exp[Pi Sqrt[163]], 40]
2.625374126407687439999999999992500725972×1017

2.5. Números complejos

Puede ingresar números complejos en Mathematica con sólo incluir la constante I,
igual a − 1 . Asegúrese que la letra I sea mayúscula. Si está usando cuadernos,
también puede ingresar I como digitando <Esc> ii <Esc>. La forma es la que
se usa normalmente como salida. Note que una i ordinaria significa una variable
llamada i, pero no −1 .

Esto devuelve como resultado el número imaginario 2i.
Sqrt[-4]
2
14

Esto devuelve la división de dos números complejos.
(8 + 4 I)/(-1 + I)
-2 - 6

Aquí tenemos el valor numérico de un exponencial complejo.
Exp[11 + 5 I]//N
16984. - 57414.8

x + I y el número complejo x + i y
Re[z] parte real
Im[z] parte imaginaria
Conjugate[z] complejo conjugado z * o z
Abs[z] módulo de z
iϕ
Arg[z] el argumento ϕ en z e
Operaciones con números complejos.

2.6. Acostumbrándose a Mathematica

Los argumentos de las funciones se colocan entre corchetes.
Los nombres de las funciones incorporadas empiezan con letra mayúscula.
La multiplicación se puede representar por un espacio.
Las potencias se denotan por ^.
Los números en la notación científica se ingresan, por ejemplo, como
2.5*^-4 ó 2,5 10^-4.
Puntos importantes a recordar en Mathematica.

Esta sección le ha dado una primera idea de Mathematica. Si ha utilizado otros
sistemas informáticos antes, habrá advertido probablemente algunas similitudes y
algunas diferencias. A menudo encontrará en las diferencias las partes más difíciles
de recordar. Esto puede ayudarle, sin embargo, a entender un poco de por qué
Mathematica funciona en la manera que lo hace, y por qué existen tales
diferencias.

Una característica importante de Mathematica que difiere de otros lenguajes de
programación, y de la anotación matemática convencional, es que los argumentos
de una función se encierran en corchetes, no en paréntesis. Los paréntesis en
Mathematica se reservan específicamente para indicar la agrupación de términos.
Hay obviamente una diferencia conceptual entre dar argumentos a una función y
15

agrupar términos entre sí; el hecho que la misma notación a menudo se ha utilizado
para ambas cosas es en gran parte una consecuencia de la tipografía y de los
primeros teclados de computadora. En Mathematica, los conceptos son
distinguidos por la diferente notación.

Esta diferencia tiene varias ventajas. En la notación de paréntesis, no está claro si
c (1 + x) significa c[1 + x] ó c*(1 + x). Usar los corchetes para los
argumentos de una función quita esta ambigüedad. También permite que la
multiplicación sea indicada sin el explícito * o algún otro caracter. Por
consiguiente, Mathematica puede manejar expresiones como 2x y a x ó
a(1 + x), tratándolos tal como en la notación matemática estándar.

Habrá visto en esta sección que las funciones incorporadas de Mathematica tienen
a menudo nombres absolutamente largos. Puede preguntarse por qué, por ejemplo,
la función del número pseudaleatorio se llama Random, en lugar de, por ejemplo,
rand. La respuesta, que depende mucho del diseño de Mathematica, es la
consistencia. Hay una convención general en Mathematica que todos los nombres
de funciones estén representados con palabras inglesas completas, a menos que
haya una abreviatura matemática estándar para ellos. La gran ventaja de este
esquema es que es fiable. Una vez que usted sabe lo que una función hace, usted
por lo general será capaz de adivinar exactamente cual es su nombre. Si los
nombres fueran abreviados, tendría que recordar siempre cual abreviatura de las
palabras inglesas estándares fue utilizada.

Otra característica de los nombres de funciones incorporadas en Mathematica es
que todos comienzan con mayúscula. En secciones posteriores, usted verá cómo
definir variables y funciones por si mismo. La convención de la mayúscula hace
fácil distinguir objetos incorporados. Si Mathematica utilizara max en vez de
Max para representar la operación de encontrar el máximo, después usted nunca
podría utilizar max como el nombre de una de sus variables. Además, cuando
usted lee los programas escritos en Mathematica, las mayúsculas de los nombres
de objetos incorporados los hace más fáciles seleccionar.

2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos

Si usa una interfase basado en texto con Mathematica, entonces las entradas que
usted vaya a hacer consistirán solamente en caracteres que digite directamente con
su teclado. Pero si usa una interfase de cuaderno entonces es posible que realice
otro tipo de entradas.

16

Usualmente se incorporan paletas las cuales operan como extensiones de su
teclado, y poseen botones sobre los que usted puede hacer clic para ingresar alguna
forma en particular. Puede acceder a las paleta estándares usando el submenú
Pelettes del menú File.

Haciendo clic en el botón π de esta paleta ingresará pi en su cuaderno.

Haciendo clic en el primer botón una estructura en blanco par ingresar una
potencia. Usted puede usar el mouse para rellenar esta estructura o
desplazarse en ella con la tecla <Tab>.

También puede hacer ingresos como los anteriores mediante teclas especiales de su
teclado.

el símbolo π
el símbolo ∞
el símbolo para constante exponencial
(equivalente a E)
el símbolo para − 1 (equivalente a I)
el símbolo ° (equivalente a Degree)
lleva al exponente de una potencia
lleva al denominador de una fracción
lleva al subradical de una raíz cuadrada
regresa de un exponente, denominador o raíz
cuadrada
Algunas maneras de ingresar notaciones especiales.

Esta es un cálculo ingresado mediante los caracteres comunes de un teclado.
N[E^3/5]
4.01711

17

Este es el mismo cálculo ingresado usando una paleta o teclas especiales.

4.01711

Esta es una secuencia de las teclas que puede usarse para ingresar la entrada
anterior.

4.01711

En un lenguaje de programación tradicional tal como C, FORTRAN, Java o Perl, la
entrada que usted da siempre debe consistir de una cadena de caracteres ordinarios
que se puedan digitar directamente del teclado. Pero el lenguaje de Mathematica
también le permite dar entradas que contienen caracteres especiales, exponentes,
fracciones, etcétera.

El lenguaje incorpora muchas características de la notación matemática tradicional.
Pero debe comprender que el objetivo del lenguaje es proporcionar una forma
exacta y constante de especificar cálculos. Y por consiguiente, no sigue todos los
detalles de la notación matemática tradicional.

Sin embargo, es posible conseguir que Mathematica produzca salidas que imitan
cada aspecto de notación tradicional matemática. Y es también posible para
Mathematica importar texto que usa tal notación, y en cierta medida traducirlo en
su propio lenguaje.

3. Cálculos

3.1. Uso de resultados previos

Al realizar cálculos, muchas veces usted necesita usar resultados previamente
obtenidos. En Mathematica, % siempre hace referencia al último resultado.

% el último resultado generado
%% el penúltimo resultado
%%...% (k veces) el k-ésimo previo resultado
%n el resultado de la línea de salida Out[n]
Formas de hacer referencia a resultados previos.

18

Aquí tenemos el primer resultado.
5^3
125

Esto agrega 6 al último resultado.
% + 6
131

Esto utiliza los dos últimos resultados.
5 + % 2 - %%
142

Hemos mencionado que las entradas y salidas en Mathematica son numeradas.
Estos números pueden ser usados para hacer referencia a resultados previos.

Esto suma los resultados de las líneas 1 y 3.
%1 + %3
267

Si utiliza una interfase basada en texto en Mathematica, entonces las líneas
sucesivas de entradas y salidas aparecerán siempre en orden, como se muestra en
este ítem. Sin embargo, si utiliza una interfase de cuaderno, entonces varias líneas
sucesivas de entradas y salidas no necesariamente aparecen en orden. Usted puede
por ejemplo “volver atrás” e insertar el cálculo siguiente dondequiera que desee en
el cuaderno. Tenga en cuenta que % siempre invoca el último resultado que
Mathematica generó. Éste puede o no ser el resultado que aparece inmediatamente
encima de su actual posición en el cuaderno. Con una interfase de cuaderno, la
única manera de saber cuándo un resultado particular fue generado es mirar la
etiqueta de Out[n] que tiene. Como usted puede insertar y suprimir en todas
partes en un cuaderno, de acuerdo a su necesidad, el ordenamiento de los
resultados en el cuaderno, por lo general, no tiene ninguna relación con el orden en
el cual los resultados fueron generados.

3.2. Definición de variables

Cuando usted efectúa cálculos extensos, muchas veces es conveniente dar nombre
a los resultados intermedios. De la misma manera que en las matemáticas
tradicionales o en otros lenguajes de programación, usted puede hacer esto
introduciendo variables nombradas.
19

Esto inicializa el valor de la variable x con 6.
x = 6
6

Donde quiera que aparezca x, Mathematica la reemplaza por su valor 6.
x^3 - 25
191

Esto asigna un nuevo valor para x.
x = 11 + 5
16

pi es inicializada con el valor numérico de π con 20 dígitos de exactitud.
pi = N[Pi, 20]
3.1415926535897932385

Aquí esta el valor de Sqrt[pi].
Sqrt[pi]
1.77245385090551602730

x = value asigna un valor a la variable x
x = y = value asigna un valor a las variable x e y
x = . o Clear[x] quita cualquier valor asignado a x
Asignando valores a variables.

Es muy importante recordar que los valores asignados a las variables son
permanentes. Una vez que usted ha asignado un valor a una variable en particular,
el valor será almacenado hasta que usted lo remueva explícitamente. El valor, claro
está, desaparecerá si usted inicia una nueva sesión con Mathematica.

Olvidarse de las definiciones hechas es la causa más común de errores al usar
Mathematica. Si usted pusiera x = 5, Mathematica asume que usted siempre
quiere que x tenga el valor 5, hasta o a menos que usted e indique explícitamente
otra cosa. Para evitar los errores, usted debe quitar los valores definidos en cuanto
haya terminado de usarlos.

Quite valores que asigne a las variables en cuanto termine de usarlos.
Un principio útil al usar Mathematica.
20

Las variables que usted define pueden tener cualquier nombre. No hay límite par
longitud de sus nombres. Un inconveniente, sin embargo, es que los nombres de las
variables nunca pueden empezar con números. Por ejemplo, x3 puede ser una
variable, pero 2x significa 2*x.

Mathematica usa letras minúsculas y mayúsculas. Hay una convención para los
objetos incorporados en Mathematica, los nombres de todos ellos empiezan con
letra mayúscula. Para evitar alguna confusión, usted siempre debe escoger nombres
que empiecen con letra minúscula.

aaaaa una variable cuyo nombre contiene sólo
letras minúsculas
Aaaaa una variable cuyo nombre empieza con una
letra mayúscula (aplicable por lo general a
objetos incorporados en Mathematica)
Convenciones para nombrar variables.

Usted puede digitar fórmulas que involucren variables en Mathematica de la
misma manera que lo haría matemáticamente. Sin embargo, hay algunos puntos
importantes que observar.

x y significa x por y.
xy sin espacio es la variable con nombre xy.
5x significa 5 por x.
x^2y significa (x^2) y, no x^(2y).
Algunos puntos a observar cuando usamos variables en Mathematica.

3.3. Construcción de listas

Al realizar cálculos, a veces es conveniente agrupar ciertos objetos, y tratarlos
como una sola entidad. Las listas proporcionan una manera de coleccionar objetos
en Mathematica. Como veremos después las listas son muy importantes en
Mathematica.

Una lista como {4,7,6} es una colección de tres objetos. Pero en muchos casos
usted puede tratar esta lista como un solo objeto. Usted puede, por ejemplo, hacer
aritmética con esta lista o asignarla a una variable.

21

Aquí hay una lista de tres números.
{4, 7, 6}
{4, 7, 6}

Esto eleva al cubo cada número de la lista, y le resta 2.
{4, 7, 6}^3 - 2
{62, 341, 214}

Esto toma la diferencia entre los correspondientes elementos de las dos
listas. Las listas deben ser de la misma longitud.
{9.5, 8, 7} - {3, 4, 2.3}
{6.5, 4, 4.7}

El valor de % es el de la lista
%
{6.5, 4, 4.7}

Usted puede aplicar cualquier función matemática a la lista.
%
//N
{665.142, 54.5982, 109.947}

Esto asigna una lista en la variable u.
u = {5, 3, 8.2}
{5, 3, 8.2}

(u + 1)/(u - 6)
{-6, −4,
3
4.18182}

3.4. Manipulación de los elementos de una lista

Muchas de las más potentes operaciones de manipulación de listas en Mathematica
tratan a las listas como un solo objeto. A veces, sin embargo, extraer un conjunto
individual de elementos de una lista.

22

Usted puede referirse a un elemento de una lista en Mathematica mediante su
“índice”. Los elementos son numerados en orden, empezando en 1.

{a, b, c} una lista
Part[list, i] o list[[i]] el i-ésimo elemento de list (el primer
elemento es list[[1]])
Part[list, {i, j, …}] o una lista formada por los elementos i, j, ... de
list[[i, j, …]] list
Operaciones con elementos de una lista.

Esto extrae el tercer elemento de la lista.
{4, -1, 8, -6}[[3]]
8

Esto extrae una lista de elementos.
{4, -1, 8, -6}[[ {2, 3, 1, 2, 3, 4, 1} ]]
{-1, 8, 4, -1, 8, -6, 4}

u = {7, 2, 4, 6}
{7, 2, 4, 6}

Usted puede extraer elementos de u.
u[[3]]
4

Al asignar una lista a una variable, usted puede usar las listas en Mathematica de
manera similar a los “arrays” en otros lenguajes de programación. De esta manera,
por ejemplo, usted puede resetear un elemento de una lista asignando un valor a
u[[i]].

Part[u, i] o u[[i]] extrae el i-ésimo elemento de una lista
Part[u, i] = value o resetea el i-ésimo elemento de una lista
u[[i]] = value
Operando listas como arrays.

23

Aquí hay una lista.
u = {2, 1, 5, 7}
{2, 1, 5, 7}

Esto resetea el segundo elemento de la lista.
u[[2]] = 0
0

Ahora la lista asignada a u se ha modificado.
u
{2, 0, 5, 7}

3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica

En las secciones anteriores hemos introducido cada una de las formas de agrupar
en Mathematica. Cada una de ellas tiene diferente significado. Es importante que
usted los recuerde.

(terms) paréntesis para agrupar
f[x] corchetes para funciones
{a, b, c} llaves para listas
u[[i]] corchetes dobles para indexar (Part[u, i])
Las cuatro formas de agrupar en Mathematica.

Cuando la expresión que usted digita es complicada, a veces es una buena idea
ingresar un espacio en blanco para conjunto de agrupaciones. Esto hace que sea
relativamente fácil ubicar pares de agrupaciones. u[[ {a, b} ]] permite, por
ejemplo, fácilmente reconocer a u[[{a, b}]].

3.6. Secuencia de operaciones

Al realizar cálculos con Mathematica, usted usualmente lo hace mediante una
secuencia de pasos. Si usted desea puede realizar cada paso en una línea separada.
A veces, sin embargo, es conveniente ingresar varios pasos en una misma línea.
Usted puede hacer esto simplemente separando cada una de las partes ingresadas
con punto y coma.

24

exp1; exp2; exp3 hace varias operaciones y da el resultado en
la última línea
exp1; exp2; hace las operaciones pero no imprime la
salida
Formas de hacer secuencias de operaciones en Mathematica.

Esto realiza tres operaciones en una misma línea. El resultado corresponde a
la última operación.
x = 3; y = 7; z = y - 2
5

Si usted finaliza su entrada con un punto y coma, esto es como si usted estuviera
ingresando una secuencia de operaciones, con un punto y coma al final. Esto tiene
el efecto de hacer que Mathematica calcule las operaciones especificadas, pero no
muestre la salida.

exp; realiza una operación, pero no muestra la
salida
Inhibiendo la salida.

Añadiendo un punto y coma al final de la línea le Mathematica que no
muestre la salida.
x = 47 + 5;

Usted puede usar % para poder visualizar la salida anterior.
%
52

4. Uso del Sistema Mathematica

4.1. La estructura de Mathematica

Kernel (núcleo) de la parte que realmente realiza los cálculos
Mathematica
Front end (parte visible) de la parte que se ocupa de interactuar con el
Mathematica usuario
Partes básicas del Sistema Mathematica.

25

Mathematica es un sistema de software modular, en el cual el kernel que realmente
realiza los cálculos está separado del front end que se ocupa de la interacción con
el usuario. El tipo más común de front end de Mathematica está basado en
documentos interactivos conocidos como cuadernos. Los cuadernos mezclan las
entradas y salidas de Mathematica con texto, gráficos, paletas y otros materiales.
Usted puede usar los cuadernos para hacer cálculos continuos o como medio para
presentar o publicar resultados.

Interfase de cuaderno documentos interactivos
Interfase basada en texto texto desde el teclado
Interfase de MathLink comunicación con otro programas
Tipos comunes de interfase con Mathematica.

Un cuaderno que mezcla texto, gráficos con entradas y salidas de
Mathematica.

26

En algunos casos, puede que usted no necesite usar la interfase de cuaderno, y que
desee en cambio interactuar directamente con el núcleo de Mathematica. Usted
puede hacer esto usando la Interfase basada en texto, en la cual usted digita el texto
en el teclado y éste va directamente al núcleo.

Un diálogo con Mathematica usando interfase basada en texto.

Un aspecto importante de Mathematica es que no solamente puede interactuar con
usuarios humanos sino que también puede hacerlo con otros programas. Esto se
logra principalmente a través del MathLink, el cual es un protocolo estandarizado
para la comunicación bidireccional entre programas externos y el núcleo de
Mathematica.

Un fragmento de código C que se comunica vía MathLink con el kernel de
Mathematica.

27

4.2. Cuadernos como documentos

Los cuadernos de Mathematica le permiten crear documentos que pueden verse
interactivamente en la pantalla o imprimirse en papel.

Particularmente, en los cuadernos extensos, es común tener los capítulos, secciones
etc., representados cada uno en grupos de celdas. La extensión de estos grupos de
celdas es indicada por el corchete que aparece a la derecha.

La agrupación de celdas en un cuaderno se indica con los corchetes
anidados que aparecen en el lado derecho.

Un grupo de celdas puede estar abierto o cerrado. Cuando está abierto usted puede
ver todas sus celdas explícitamente. Pero cuando está cerrado, usted sólo puede ver
la celda que encabeza el grupo de celdas.

Los cuadernos extensos son a menudo distribuidos con muchos grupos de celdas
cerradas, para que cuando usted vea por primera vez el cuaderno aprecie solamente
una lista de su contenido. Usted puede abrir las partes en las que esté interesado
haciendo doble clic sobre el corchete apropiado.

28

Haciendo doble clic sobre el corchete que abarca un grupo de celdas
cerramos el grupo, dejando sólo la primera celda visible.

Cuando el grupo está cerrado, el corchete que le corresponde tiene una
flecha en la parte inferior. Haciendo doble clic sobre esta flecha abrimos
nuevamente el grupo.

A cada celda dentro de un cuaderno se le asigna un estilo en particular que indica
su rol dentro del cuaderno. Así, por ejemplo, el material entendido como entrada
para ser ejecutado por el núcleo de Mathematica está típicamente el estilo de
Input (entrada), mientras que el que se entiende para ser leído como puramente
de texto está típicamente en estilo Text (texto).

La interfase de Mathematica provee menús y métodos abreviados de teclas para
crear celdas con diferentes estilos, y para cambiar estilos en las celdas existentes.

29

Esto muestra celdas en diferentes estilos. Los estilos no sólo definen el
formato del contenido de las celdas, sino que también su ubicación y
espaciado.

Poniendo una celda en un estilo en particular, usted especifica una colección entera
de propiedades para celda, incluyendo por ejemplo el tamaño y la fuente del texto
que se digitará.

La interfase de Mathematica permite modificar tales propiedades, bien sea para las
celdas completas o para material específico dentro de las celdas.

Incluso dentro de una celda con un estilo en particular, la interfase de
Mathematica permite modificar una amplia gama de propiedades en forma
separada.

Vale mencionar que al hacer diversas clases de cosas con los cuadernos de
Mathematica, usted está utilizando diversas partes del sistema de Mathematica.
Las operaciones tales como apertura y cierre de grupos de celdas, realización de
animaciones y reproducción de sonidos utilizan solamente una parte pequeña del
front end de Mathematica, y estas operaciones tranquilamente se pueden realizar
con un programa fácilmente disponible conocido como MathReader.
30

Para poder crear y corregir los cuadernos, usted necesita más que el front end de
Mathematica. Y finalmente, para poder actualizar los cálculos dentro de un
cuaderno de Mathematica, necesita un sistema completo de Mathematica, que
contenga el front end y el núcleo.

MathReader lee cuadernos de Mathematica
front end de Mathematica crea y edita cuadernos en Mathematica
núcleo de Mathematica hace cálculos en cuadernos
Programas requeridos para diversas clases de operaciones en los cuadernos.

4.3. Elementos activos en cuadernos

Una de las características más potentes de los cuadernos de Mathematica es que
sus acciones pueden ser programadas. Así, por ejemplo, usted puede establecer un
botón en un cuaderno de Mathematica que permita realizar varias operaciones
siempre que usted haga clic sobre él.

He aquí un cuaderno que contiene un botón.

Haciendo clic en el botón conseguimos que se muestre la fecha actual.

Más adelante en este libro, discutiremos cómo usted puede crear botones y otros
objetos similares en los cuadernos de Mathematica. Por ahora es suficiente decir
que siempre que una celda se indique como activa, al hacer clic en los elementos
activos dentro ella se producirá las acciones que han sido programadas para que
estos elementos realicen.

Es común inicializar paletas que consisten en una serie de botones. A veces tales
paletas aparecen como celdas dentro de un cuaderno. Aunque a menudo, se usa un
cuaderno especial que aparece como ventana, que se puede poner
convenientemente en algún lado de la pantalla de su computadora y utilizar
conjuntamente con cualquier otro cuaderno.

31

Las paletas que consisten en una serie de botones a menudo son colocadas
en cuadernos separados.

En los casos más simples, los botones en las paletas sirven como teclas adicionales
a su teclado. Así, cuando usted presiona un botón, el carácter o el objeto mostrado
en aquel botón es insertado en su cuaderno tal como si usted lo hubiera escrito a
máquina.

Aquí está una paleta de letras griegas con botones que actúan como teclas
adicionales a su teclado.

A menudo, sin embargo, un botón puede contener un placeholder indicado por .
Esto significa que cuando usted presiona el botón, lo que se selecciona actualmente
en su cuaderno será insertado en la posición del placeholder.

Estos botones contienen placeholders indicados por .

Este es un cuaderno con una expresión seleccionada.

32

Al presionar el botón superior izquierdo de la última paleta la expresión
seleccionada queda envuelta en una raíz cuadrada.

A veces los botones que contienen placeholders serán programados simplemente
para insertar una cierta expresión en su cuaderno. Pero más a menudo, serán
programados para evaluar el resultado, enviándolo como una entrada al núcleo de
Mathematica.

Estos botones se inicializan para realizar operaciones.

He aquí un cuaderno con una expresión seleccionada.

Al presionar el botón superior en la última paleta la expresión seleccionada
es simplificada.

Hay algunas situaciones en las cuales es conveniente tener varios placeholders en
un solo botón. Su actual selección se inserta en la posición del primer placeholder,
indicada por . Los placeholder adicionales se indican por , y usted puede
trasladarse a través de los placeholders sucesivos usando la tecla <Tab>.

He aquí una paleta que contiene botones con varios placeholders.

33

He aquí una expresión en un cuaderno.

Presionando el botón superior izquierdo en la última paleta insertamos la
expresión en el lugar de .

Usted puede trasladarse a los otros placeholders usando la tecla <Tab>, y
entonces los corrige para insertar lo que usted desea.

4.4. Hipervínculos y texto activo

El front end de Mathematica proporciona una variedad de formas de buscar
palabras o texto particulares en los cuadernos de Mathematica. Pero cuando los
documentos son extensos o tenemos colecciones de documentos, conviene insertar
hipervínculos que nos llevan inmediatamente a un punto específico en un
cuaderno, tal como se hace en los websites.

Los hipervínculos se indican generalmente por palabras o frases subrayadas,
y están a menudo en un color diferente. Al hacer clic en un hipervínculo le
lleva inmediatamente dondequiera que el hipervínculo señale.

Los hipervínculos en cuadernos trabajan bastante bien como los botones discutidos
en la sección anterior. Y de nuevo, todos los aspectos de hipervínculos son
programables.

De hecho, es posible crear texto activo en cuadernos que permita realizar casi
cualquier tipo de acción.

34

4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno

En la mayoría de las versiones de interfase de cuaderno de Mathematica, el menú
Help (ayuda) le da acceso al Help Browser (navegador de ayuda), el cual sirve
como un punto de entrada a la gran cantidad de documentación en línea para
Mathematica.

Getting Started un inicio rápido en el uso de Mathematica
Built-in Functions información sobre todas las funciones
incorporadas en Mathematica
The Mathematica Book el libro completo en línea
Master Index índice de todo el material documentado en
línea
Típicos tipos de ayuda disponibles en la Interfase de notebook.

Un ejemplo de buscar la información básica sobre una función en el Help
Browser de Mathematica.

35

4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto

?Name muestra información sobre Name
??Name muestra información adicional sobre Name
?Aaaa∗ muestra información sobre todos los objetos
cuyos nombres empiezan con Aaaa
Formas de recibir información directamente desde el kernel de Mathematica.

Esto da información de la función incorporada Log.

Usted puede preguntar por información acerca de cualquier objeto, si es
incorporado en Mathematica, ha sido leído en un paquete de Mathematica o ha
sido introducido por usted.

Cuando utiliza ? para conseguir la información, debe cerciorarse de que el signo
de interrogación aparezca como el primer carácter en su línea de entrada. Debe
hacer esto de modo que Mathematica sepa cuándo usted está solicitando
información y no está dando una entrada ordinaria para ser evaluada.

Vale mencionar que junto con la información brindaba aparece un hipervínculo en
color azul con la palabra More. Haciendo clic sobre este hipervínculo Mathematica
nos lleva directamente a la información de la misma en el Help Browser.

Puede conseguir información adicional usando ??.

?Aaaa le dará la información de un objeto en particular cuyo nombre especifique.
Usando el caracter *, sin embargo, usted puede obtener información sobre todos

36

los objetos con nombres similares. Así pues, por ejemplo ?Lo* brinda información
sobre todos los objetos cuyos nombres contengan las letras Lo, seguidas por
cualquier cadena de caracteres.

Esto da información sobre todos los objetos de Mathematica cuyos nombres
comiencen con Lo. Cuando hay más de un objeto, Mathematica enumera
sus nombres como hipervínculos y haciendo clic sobre ellos es posible
obtener información.

Haciendo clic en Log de la lista anterior se obtiene la respectiva
información.

Usted puede poner * en cualquier lugar de la cadena que ingresa iniciada con ?.
Por ejemplo, ?*Expand le daría todos los objetos cuyos nombres terminan en
Expand. De manera similar ?P*d le daría los objetos cuyos nombres comienzan
con P, terminan con d, y tienen cualquier cadena de caracteres intermedios. (Note
que la manera en que se utiliza * para especificar nombres en Mathematica es
similar a la manera que se utiliza * en Unix y otros sistemas operativos para
especificar nombres del archivos.)

37

Usted puede pedir la información sobre la mayor parte de las formas
especiales de entrada que Mathematica utiliza. Esto pide la información
acerca del operador :=.

4.7. Paquetes en Mathematica

Una de las características más importantes de Mathematica es que es un sistema
extensible. Hay una cierta cantidad de funciones incorporadas en Mathematica.
Pero usando el lenguaje de programación de Mathematica, siempre es posible
añadir más funciones.

Para muchos tipos de cálculos, lo incorporado en la versión estándar de
Mathematica será suficiente. Sin embargo, si usted trabaja en particular en un área
especializada, puede encontrarse en la necesidad de utilizar ciertas funciones no
incorporadas en Mathematica.

En tales casos, usted podría encontrar un package (paquete) de Mathematica que
contiene las funciones que usted necesita. Los paquetes de Mathematica son
archivos escritos en el lenguaje de programación de Mathematica. Los mismos
consisten en colecciones de definiciones hechas en Mathematica las cuales se
aplican a áreas particulares.

<< paquete lee un paquete de Mathematica
Leyendo paquetes de Mathematica.

Si usted quiere usar las funciones de un paquete en particular, primero debe leer el
paquete en Mathematica. Los detalles de como hacer esto se discuten en la sección
12. Hay varias convenciones que gobiernan los nombres que usted usará para
referirse a los paquetes.

Este comando lee un paquete en particular de Mathematica.
<<LinearAlgebra`Orthogonalization`

38

La función GramSchmidt está definida en el paquete.
GramSchmidt[{{1, 2}, {-7, 0}}]

Hay varias sutilezas asociadas a estas cosas como los conflictos entre los nombres
de las funciones en los diferentes paquetes. Un punto importante que no debe
olvidar es que usted no debe referirse a una función que leerá desde un paquete
antes de leerla realmente en el paquete. Si usted hace esto por equivocación, deberá
ejecutar el comando Remove[“name”] para librarse de la definición de la función
que usted hizo antes de leer el paquete. Si usted no usa Remove, Mathematica
usará “su” versión de la función, en lugar de la del paquete.

Remove[name] remueve una función que ha sido introducida
por error
Asegurándose que Mathematica use las definiciones correctas de los paquetes.

El hecho de que Mathematica pueda extenderse usando paquetes significa que las
“partes de Mathematica” son ilimitadas. En lo que al uso concierne, no hay en
realidad ninguna diferencia entre las funciones definidas en paquetes y las
funciones incorporadas en Mathematica.

De hecho, un número determinado de las funciones descritas en este libro se
ejecutan como paquetes de Mathematica. Sin embargo, en la mayoría de los
sistemas de Mathematica, se han cargado los paquetes necesarios, de modo que las
funciones que ellos definen estén siempre presentes.

Usted puede utilizar el Help Browser para obtener información sobre los paquetes
estándares de Mathematica. Para ello seleccione la tarjeta Add-ons & Links del
mismo.

4.8. Advertencias y mensajes

Mathematica sigue su trabajo silenciosamente, dando salida solamente cuando ha
acabado de hacer de los cálculos que usted pidió.

Sin embargo, si Mathematica se percata de algo que usted esta haciendo y que
definitivamente no entiende, imprimirá un mensaje para advertirle.

39

La función de la raíz cuadrada debe tener solamente un argumento.
Mathematica imprime un mensaje para advertirle que usted ha dado dos
argumento aquí.
Sqrt[4, 5]
Sqrt::argx : Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected.

Sqrt[4, 5]

Cada mensaje tiene un nombre. Usted puede apagar mensajes usando Off.
Off[Sqrt::argx]

El mensaje Sqrt::argx ahora se ha apagado, y no volverá a aparecer.
Off[Sqrt::argx]

Esto vuelve a encender Sqrt::argx otra vez.
On[Sqrt::argx]

Off[Función::etiqueta] apaga (suprime) un mensaje
On[Función::etiqueta] enciende un mensaje
Funciones para controla la salida de un mensaje.

4.9. Interrupción de cálculos

Probablemente habrá veces en que desee detener Mathematica en medio de un
cálculo. Tal vez usted se da cuenta que pidió a Mathematica hacer un cálculo
incorrecto. O quizás el cálculo tarda demasiado, y usted quiere saber que es lo que
pasa.

La forma en que usted interrumpe un cálculo en Mathematica depende de qué clase
de interfase está utilizando.

<Alt>+<,> interfase de cuaderno
<Control>+<c> interfase basada en texto
Combinaciones de teclas para interrumpir cálculos en Mathematica.

En algunos sistemas informáticos, puede tomar a Mathematica un cierto tiempo
para responder a su interrupción. Cuando Mathematica responde, le dará un menú
de cosas posibles para hacer.

40

continue continuar el cálculo
show mostrar que está haciendo Mathematica
inspect examinar el estado actual de su cálculo
abort abortar este cálculo en particular
exit salir de Mathematica completamente
Algunas opciones disponibles cuando usted interrumpe un cálculo en Mathematica.

5. Cálculos algebraicos

5.1. Cálculo simbólico

Una de las características importantes de Mathematica es que puede hacer cálculos
simbólicos y numéricos. Esto significa que puede manejar fórmulas algebraicas así
como números.

He aquí un típico cálculo numérico.
4 + 36 - 1
39

Este es un cálculo simbólico.
7 x – 3 x + 6
6 + 4x

Cálculo numérico 4 + 36 - 1 → 39
Cálculo simbólico 7x - 3x + 6 → 6 + 4x
Cálculo simbólico y numérico.

Usted puede digitar cualquier expresión algebraica en Mathematica.
-1 + 2 x + x^3
-1 + 2x + x3

Mathematica realiza automáticamente simplificaciones algebraicas básicas.
Aquí combina a x 2 y a − 4 x 2 para dar − 3 x 2 .
x^2 + x - 4x^2
x – 3x2

41

Usted puede digitar cualquier expresión algebraica, usando a los operadores
enumerados en la sección 2.1. Puede utilizar espacios para denotar la
multiplicación. Tenga cuidado de no olvidarse del espacio en x y . Si usted digita
xy sin espacio, Mathematica interpretará esto como solo símbolo, con el nombre
xy, no como un producto de dos símbolos x y y.

Mathematica reordena y combina términos usando las reglas estándares del
álgebra.
x y + 2 x^2 y + y^2 x^2 - 2 y x
-xy + 2x2y + x2y2

He aquí otra expresión algebraica.
(x + 2 y + 1)(x - 2)^2
(-2 + x)2(1 + x + 2y)

La función Expand amplía productos y potencias.
Expand[%]
4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2y

Factor hace lo inverso de Expand.
Factor[%]
4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2y

Cuando digita expresiones complicadas, es importante que ponga los paréntesis en
los lugares correctos. Así, por ejemplo, debe dar la expresión x 4 y en la forma
x^(4y). Si deja abiertos los paréntesis, se interpretará como x 4 y .

He aquí una fórmula más complicada, que requiere de varios paréntesis.
Sqrt[2]/9801 (4n)! (1103 + 26390 n) / (n!^4 + 1)

Cuando usted digita una expresión, Mathematica aplica automáticamente su gran
repertorio de reglas para transformar las expresiones. Estas reglas incluyen las
reglas estándares del álgebra, tales como x − x = 0 , junto con reglas mucho más
sofisticadas.

42

Mathematica utiliza reglas estándares del álgebra para sustituir ( 1 + x ) 4
por (1 + x) 2 .
Sqrt[1 + x]^4
(1 + x)2

Mathematica no conoce ninguna regla para esta expresión, así que deja
expresión en la forma original que usted le dio.
Log[1 + Cos[x]]
Log[1 + Cos[x]]

La noción de reglas de transformación es muy general. De hecho, usted puede
pensar en Mathematica como un simple sistema que aplica una colección de reglas
de transformación a diferentes clases de expresiones.

El principio general que Mathematica sigue es simple de explicar. Toma cualquier
expresión que usted introduce, y obtiene resultados aplicando una sucesión de
reglas de transformación, deteniéndose cuando no hay más reglas de
transformación que aplicar.

Tome cualquier expresión, y aplique reglas de transformación hasta que el
resultado no cambie más.
El principio fundamental Mathematica.

5.2. Valores para símbolos

Cuando Mathematica transforma una expresión por ejemplo x + x en 2x, está
tratando la variable x en forma puramente simbólica o formal. En tales casos, x es
un símbolo que puede representar cualquier expresión.

A menudo, sin embargo, usted necesita sustituir un símbolo como x por un “valor”
determinado. Algunas veces este valor será un número; aunque frecuentemente
será una expresión.

Para sustituir el símbolo x, que aparece en la expresión 1 + 2 x, con un valor
determinado; puede crear una regla de la transformación en Mathematica, y
después aplicar esta regla a la expresión. Para sustituir x por el valor 3, usted
crearía la regla de transformación x->3. Debe digitar -> como un par de

43

caracteres, sin espacio entre ellos. Puede interpretar x->3 como una regla en la
cual “x será sustituido por 3”.

Para aplicar una regla de transformación a una expresión particular de
Mathematica, usted digita expr/.regla. El “operador de reemplazo” /. se
digita como un par de caracteres, sin espacio entre ellos.

Esto utiliza la regla de transformación x->3 en la expresión 1 + 2 x .
1 + 2x /. x -> 3
7

Usted puede sustituir x por cualquier expresión. Aquí cada ocurrencia de x
es sustituida por 2 - y .
1 + x + x^2 /. x -> 2 - y
3 + (2 - y)2 - y

He aquí una regla de transformación. Mathematica la trata como cualquier
otra expresión simbólica.
x -> 3 + y
x → 3 + y

Esto aplica la regla de transformación última a la expresión x ^ 2 - 9 .
x^2 - 9 /. %
- 9 + (3 + y)2

expr /. x -> valor reemplaza x por valor en la expresión exp
expr /. {x -> xval, y -> yval} realiza varios reemplazos
Sustitución de símbolos por valores en expresiones.

Usted puede aplicar reglas juntas poniendo las reglas en una lista.
(x + y) (x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a}
(4 - a) (2 + a)2

El operador de reemplazo /. le permite aplicar reglas de la transformación a una
expresión particular. A veces, sin embargo, usted querrá definir reglas de
transformación que se apliquen siempre. Por ejemplo, puede ser que desee sustituir
x por 3 siempre que aparezca x.

44

Según lo discutido en la sección 3.2, usted puede hacer esto asignando el valor 3 a
x usando x = 3 . Una vez que haya hecho la asignación x = 3 , x siempre será
sustituido siempre por 3, cuando aparezca.

Esto asigna el valor de 3 a x.
x = 3
3

Ahora x será sustituido automáticamente por 3 dondequiera que aparezca.
x^2 - 1
8

Esto asigna la expresión 1 + a a x.
x = 1 + a
1 + a

Ahora x es reemplazado por 1 + a .
x^2 - 1
-1 + (1 + a)2

Usted puede definir como valor de un símbolo a cualquier expresión, no solamente
a un número. Recuerde que una vez que haya dado tal definición, ésta continuará
siendo utilizada siempre que aparezca el símbolo, hasta que la cambie o quite
explícitamente. Para la mayoría de usuarios, el olvidarse quitar valores que han
asignado a los símbolos es la causa más común de errores al usar Mathematica.

x = valor define un valor para x que será utilizado
siempre
x=. remueve cualquier valor definido para x
Asignando valores a símbolos.

El símbolo x todavía tiene el valor que le asignó arriba.
x + 5 - 2x
6 + a - 2(1 + a)

Esto quita el valor que asignó a x.
x =.

45

Ahora x no tiene ningún valor definido, así que puede ser utilizado como
variable puramente simbólica.
x + 5 - 2x
5 - x
Los lenguajes de programación tradicionales que no soportan el cálculo simbólico
permiten que las variables sean utilizadas solamente como nombres para objetos,
típicamente números, que se han asignado como valores para ellos. En
Mathematica, sin embargo, x se puede también tratar como variable puramente
formal, a la cual se le puede aplicar varias reglas de transformación. Por supuesto,
si usted da explícitamente una definición, por ejemplo x = 3 , entonces x será
sustituida siempre por 3, y no sirve más como variable formal.

Debe recordar que las definiciones explícitas por ejemplo x = 3 tienen un efecto
global. Por otra parte, un reemplazo tal como exp / . x - > 3 afecta solamente a la
expresión específica expr.

Puede mezclar siempre reemplazos con asignaciones. Con asignaciones, puede dar
nombres a las expresiones en las cuales desea hacer reemplazos, o a las reglas que
usted desea utilizar para hacer los reemplazos.

Esto asigna un valor al símbolo t.
t = 1 + x^2
1 + x2

Esto encuentra el valor de t, y después sustituye x por 2 en él.
t /. x -> 2
5

Esto encuentra el valor de t para un valor diferente de x.
t /. x -> 5a
1 + 25 a2

Esto encuentra el valor de t cuando x es sustituido por Pi, y luego evalúa
el resultado numéricamente.
t /. x -> Pi //N
10.8696

46

5.3. Transformación de expresiones algebraicas

A menudo hay muchas formas diferentes de escribir la misma expresión alge-
braica. Como un ejemplo, la expresión (1 + x) 2 puede ser escrita como
1 + 2 x + x 2 . Mathematica proporciona una gran colección de funciones para hacer
conversiones entre las diferentes formas de expresiones algebraicas.

Expand[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo
el resultado como suma de términos
Factor[expr] escribe expr como un producto de factores
mínimos
Dos funciones comunes para transformar expresiones algebraicas.

Expand da la “forma expandida”, con los productos y las potencias
desarrolladas.
Expand[ (1 + x)^2 ]
1 + 2 x + x2

Factor recupera la forma original.
Factor[ % ]
(1 + x)2

Es fácil generar expresiones complicadas con Expand.
Expand[ (1 + x + 3 y)^4 ]

Factor a menudo le da expresiones más simples.
Factor[ % ]
(1 + x + 3 y)4

Hay algunos casos, no obstante, donde Factor puede darle expresiones
más complicadas.
Factor[ x^10 - 1 ]

47

En este caso, Expand da la forma “más simple”.
Expand[ % ]
-1 + x10

5.4. Simplificación de expresiones algebraicas

En muchas situaciones usted desea escribir una expresión algebraica en la forma
más simple posible. Aunque sea difícil saber exactamente lo que se entiende por la
“forma más simple”, un procedimiento práctico que vale la pena seguir es analizar
varias formas diferentes de una expresión, y elegir la de menor número de partes.

Simplify[expr] intenta encontrar la forma más simple de
expr aplicando varias transformaciones
algebraicas estándares
FullSimplify[expr] intente encontrar la forma más simple
aplicando una amplia gama de
transformaciones
Simplificación de expresiones algebraicas.

Simplify escribe x 2 + 2 x + 1 en forma factorizada.
Simplify[x^2 + 2x + 1]
(1 + x)2

Simplify deja a x10 − 1 en forma expandida, puesto que para esta
expresión, la forma descompuesta en factores es más grande.
Simplify[x^10 - 1]
-1 + x10

Usted puede utilizar a menudo Simplify para “mejorar” expresiones
complicadas que obtiene como resultado de cálculos.

He aquí la integral de 1 /( x 4 − 1) .
Integrate[1/(x^4 - 1), x]

48

Al derivar el último resultado deberíamos volver a la expresión original. En
este caso, como es común, se obtiene una versión más complicada de la
expresión original.
D[%, x]

Simplify permite volver a la forma original de la expresión
Simplify[%]

Simplify se usa para aplicar varias transformaciones algebraicas estándares a las
expresiones que usted ingresa. A veces, sin embargo, puede usar transformaciones
más sofisticadas para poder encontrar la forma más simple de una expresión.

FullSimplify aplica una gama mucho más amplia de transformaciones,
incluyendo no solamente funciones algebraicas, sino también muchas otras clases
de funciones.

Simplify no altera esta expresión.
Simplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]
Gamma[1 – x] Gamma[x]

FullSimplify, sin embargo, consigue simplificarla.
FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]
πCsc[πx]

Para expresiones muy pequeñas, FullSimplify a menudo permitirá obtener
algunas simplificaciones notables. Pero para expresiones grandes, puede llegar a
ser considerablemente lento. La razón de esto es que para hacer su trabajo,
FullSimplify tiene que tratar de combinar cada parte de una expresión con otra, y
para expresiones grandes el número de casos que debe considerar puede ser
astronómicamente grande.

Simplify también tiene una tarea difícil de hacer, pero evita algunas de las
transformaciones que demandan más tiempo y que son utilizadas por
FullSimplify. Para los cálculos algebraicos simples, por lo tanto, resulta
conveniente aplicar Simplify a sus resultados.
49

En cálculos más complicados, sin embargo, incluso Simplify puede ser que
necesite probar con un número muy grande de diversas formas, y por lo tanto tome
un largo tiempo. En tales casos, necesita hacer una simplificación controlada, y
utilizar su conocimiento de manera que usted guíe el proceso.

5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas

Las expresiones algebraicas complicadas se pueden escribir generalmente en varias
maneras. Mathematica proporciona una variedad de funciones para convertir
expresiones de una forma a otra. Las más comunes de estas funciones son
Expand, Factor y Simplify. Sin embargo, cuando usted tiene expresiones
racionales que contienen cocientes, puede ser que necesite utilizar otras funciones.

Expand[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo
ExpandAll[expr] aplica Expand por todas partes
Factor[expr] reduce a producto de factores
Together[expr] pone todos los términos sobre un común
denominador
Apart[expr] separa en términos con denominadores
simples
Cancel[expr] cancela factores comunes entre numeradores
y denominadores
Simplify[expr] aplica un conjunto de transformaciones
algebraicas y da la forma más pequeña de
expr encontrada
Funciones para transformar expresiones algebraicas.

He aquí una expresión racional que puede ser escrita en varias formas
diferentes.
e = (x - 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^2)

Expand expande el numerador, pero deja el denominador en forma
factorizada.
Expand[e]

50

ExpandAll expande todo, incluyendo el denominador.
ExpandAll[e]

Apart separa la expresión en términos con denominadores simples.
Apart[%]

Factor factoriza todo, en este caso reproduce la forma original.
Factor[%]

Según Simplify, esta es la forma más simple de escribir la expresión
original.
Simplify[e]

Conseguir expresiones en la forma que uno desea se convierte en todo un arte. En
la mayoría de los casos, es mejor simplemente experimentar, intentando diversas
transformaciones hasta que se consiga lo que se desea.

Cuando tenga una expresión con una sola variable, puede elegir escribirla como
una suma de términos, un producto, etcétera. Si tiene una expresión con varias
variables, hay una colección más amplia de posibles formas. Usted puede, por
ejemplo, elegir agrupar términos en una expresión de modo que una u otra de las
variables sea “dominante”.

Collect[expr, x] agrupa juntas todos las potencias de x
FactorTerms[expr, x] extrae los factores que no dependen de x
Reordenamiento de expresiones en varias variables.

He aquí una expresión algebraica en dos variables.
v = Expand[(3 + 2 x)^2 (x + 2 y)^2]

51

Esto agrupa los términos de v afectados por la misma potencia de x.
Collect[v, x]

Esto agrupa juntas las potencias de y.
Collect[v, y]

Uno de estos factores no depende de y.
FactorTerms[v, y]

Como hemos visto, cuando usted se limita a expresiones polinómicas racionales,
hay muchas formas de escribir cualquier expresión particular. Si considera
expresiones más complicadas, que incluyan, por ejemplo, funciones matemáticas
trascendentes, la variedad de formas posibles llega a ser mayor. Por consiguiente,
es imposible tener una función incorporada específica en Mathematica para
producir cada forma posible. Más bien Mathematica le permite construir sistemas
arbitrarios de reglas de transformación para hacer diversas conversiones. Sin
embargo hay algunas funciones incorporadas adicionales de Mathematica para
transformar expresiones.

TrigExpand[expr] expande expresiones trigonométricas en una
suma de términos
TrigFactor[expr] factoriza expresiones trigonométricas en
productos de términos
TrigReduce[expr] reduce expresiones trigonométricas usando
ángulos múltiples
TrigToExp[expr] convierte funciones trigonométricas a
exponenciales
ExpToTrig [expr] convierte funciones exponenciales a
trigonométricas
FunctionExpand[expr] expande funciones especiales y otras
ComplexExpand[expr] realiza expansiones asumiendo que todas las
variables son reales
PowerExpand[expr] transforma ( x y ) p en x p y p , etc.
Algunas funciones más para transformar expresiones.

52

Esto expande la expresión trigonométrica, escribiéndola de modo que todas
las funciones tengan argumento x.
TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]]

Esto utiliza identidades trigonométricas para factorizar la expresión.
TrigFactor[%]

Esto reduce la expresión usando ángulos múltiples.
TrigReduce[%]

Esto expande el seno asumiendo que x e y son reales.
ComplexExpand[ Sin[x + I y] ]

Esto hace la extensión asumiendo que x e y son complejos.
ComplexExpand[ Sin[x + I y], {x, y} ]

Las transformaciones a expresiones hechas por funciones como Expand y
Factor siempre son correctas, independientemente del valor que puedan tener las
variables simbólicas en las expresiones. A veces, sin embargo, es útil realizar
transformaciones que sólo son correctas para algunos posibles valores de las
variables simbólicas. Una transformación como esta la realiza PowerExpand.

Mathematica no expande automáticamente potencias no enteras de
productos.
Sqrt[x y]

PowerExpand hace la expansión.
PowerExpand[%]

53

He aquí otro ejemplo.
Sqrt[a^2]//PowerExpand
a

5.6. Simplificación con asunciones

Simplify[expr, asun] simplifica exp son asunciones
Simplificación con asunciones.

Mathematica no simplifica esto automáticamente, puesto que es solamente
verdad para algunos valores de x.
Simplify[Sqrt[x^2]]

x 2 es igual a x para x ≥ 0 , pero no en otro caso.
{Sqrt[4^2], Sqrt[(-4)^2]}
{4, 4}

Esto le dice a Simplify que haga la asunción x>0, de modo que la
simplificación pueda proceder.
Simplify[Sqrt[x^2], x > 0]
x

Ninguna simplificación automática se puede hacer en esta expresión.
2 a + 2 Sqrt[a - Sqrt[-b]] Sqrt[a + Sqrt[-b]]

Si a y b son asumidos positivos, la expresión puede sin embargo ser
simplificada.
Simplify[%, a > 0 && b > 0]

He aquí un ejemplo simple que involucra funciones trigonométricas.
Simplify[ArcSin[Sin[x]], -Pi/2 < x < Pi/2]
x
54

Element[x,dom] indica que x es un elemento del dominio
dom
Element[{x1,x2,...},dom] indica que todos los xi son elementos del
dominio dom
Reals números reales
Integers enteros
Primes números primos
Algunos dominios usados en asunciones.

Esto simplifica x 2 asumiendo que x es un número real.
Simplify[Sqrt[x^2],
Element[x, Reals]]
Abs[x]

Esto simplifica el seno asumiendo que n es un entero.
Simplify[Sin[x + 2 n Pi],
Element[n, Integers]]
Sin[x]

Con las asunciones dadas, puede ser utilizado el Pequeño Teorema de
Fermat.
Simplify[Mod[a^p, p], Element[a, Integers] &&
Element[p, Primes]]
Mod[a,p]

Esto utiliza el hecho de que sin(x) , pero no arcsin(x ) , es real cuando x es
real.
Simplify[Re[{Sin[x], ArcSin[x]}],
Element[x, Reals]]
{Sin[x],Re[ArcSin[x]]}

5.7. Seleccionar partes de Expresiones Algebraicas

Coefficient[expr,form] coeficiente de form en expr
Exponent[expr,form] máxima potencia de form en expr
Part[expr,n] or exp[[n]] n-ésimo término de expr
Funciones para seleccionar partes de polinomios.
55

He aquí una expresión algebraica.
e = Expand[(1 + 3x + 4y^2)^2]

Esto da el coeficiente de x en e.
Coefficient[e, x]

Exponent[expr,y] da la mayor potencia de de y que aparece en expr.
Exponent[e, y]
4

Esto da término en e.
Part[e, 4]

Usted puede notar que la función Part[expr, n] usada para seleccionar el
n-ésimo término en una suma es igual que la función descrita en la sección 3.4 para
seleccionar elementos en listas. Ésta no es ninguna coincidencia. En efecto, según
lo discutido en la sección 3.5, cada expresión de Mathematica se puede manipular
estructuralmente como una lista. Sin embargo, según lo discutido en la sección 3.5,
debe tener cuidado, porque Mathematica muestra a menudo expresiones
algebraicas en una forma diferente a como las trata internamente.

Coefficient trabaja incluso con polinomios que no están explícitamente
expandidos.
Coefficient[(1 + 3x + 4y^2)^2, x]

Numerator[expr] numerador de expr
Denominator[expr] denominador de expr
Funciones para seleccionar partes de expresiones racionales.

He aquí una expresión racional.
r = (1 + x)/(2 (2 - y))

56

Denominator selecciona el denominador.
Denominator[%]

Denominator da 1 para las expresiones que no son cocientes.
Denominator[1/x + 2/y]
1

5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes

Cuando usted hace cálculos simbólicos, es muy fácil encontrarse con expresiones
extremadamente complicadas. A menudo, incluso no deseará ver el resultado
completo de un cálculo.

Si termina su entrada con un punto y coma, Mathematica hará el cálculo que pidió,
pero no mostrará el resultado. Puede sin embargo utilizar % o Out[n] para
referirse al resultado.

Aunque no desee ver el resultado completo de un cálculo, a menudo necesita ver su
forma básica. Puede utilizar Short para presentar la salida de una expresión,
omitiendo algunos de los términos.

Terminar su entrada con ; impide a Mathematica mostrar el resultado
complicado de un cálculo.
Expand[(x + 5 y + 10)^8] ;

Usted puede referirse al resultado como %. //Short muestra el resultado
en una línea. <<n>> indica los n términos que no se han mostrado.
% //Short

Esto muestra una versión de tres líneas de la expresión. Más partes son
visibles ahora.
Short[%, 3]

57

Esto da el número total de términos en la suma.
Length[%]
45

comando; ejecuta comando pero no imprime el
resultado
expr//Short muestra expr en una sola línea
Short[expr,n] muestra expr en n líneas
Algunas formas de acortar su salida.

5.9. Las limitaciones de Mathematica

En sólo un comando de Mathematica, usted puede especificar fácilmente un
cálculo que sea demasiado complicado de hacer para cualquier ordenador. Por
ejemplo, usted podría pedir Expand[(1+x)^(10^100)]. El resultado de este
cálculo tendría más términos que el número total de partículas en el universo.

Usted no tendría ningún problema para resolver Expand[(1+x)^100] en
cualquier ordenador que pueda utilizar Mathematica. Pero cuando usted aumenta el
exponente de (1+x), los resultados que consigue tarde o temprano se harán
demasiado grandes de almacenar para la memoria de su ordenador. Exactamente en
qué punto sucede esto depende no solamente de la cantidad total de memoria que
su computadora tiene, sino a menudo también de detalles tales como qué otros
trabajos esta realizando su computadora cuando usted intenta hacer su cálculo.

Si su ordenador realmente se queda sin memoria en medio de un cálculo, la mayor
parte de versiones de Mathematica no tienen ninguna otra opción, más que pararse
inmediatamente. Por consiguiente, es importante planificar sus cálculos de modo
que ellos nunca necesiten más memoria de la que su ordenador tiene.

Incluso si el resultado de un cálculo algebraico es absolutamente simple, las
expresiones intermedias que usted genera en el curso del cálculo pueden ser muy
complicadas. Esto significa que incluso si el resultado final es pequeño, las partes
intermedias de un cálculo pueden ser demasiado grandes de manejar para su
ordenador. Si esto sucede, puede particionar su cálculo, y resolver exitosamente
cada parte del mismo. Usted debe saber que el esquema interno que Mathematica
usa para direccionar la memoria es tal que cuando la parte de un cálculo es
terminada, la memoria que se usaba para almacenar las expresiones intermedias
que surgen inmediatamente es hecha disponible para nuevas expresiones.

58

El espacio de memoria es el factor restrictivo más común en los cálculos con
Mathematica. El tiempo también, sin embargo, puede ser un factor restrictivo.
Usted por lo general esta preparado para esperar un segundo, o aún un minuto, para
obtener el resultado de un cálculo. Pero no lo esta para esperar una hora o un día, y
casi nunca será capaz de esperar un año.

El código interno de Mathematica usa algoritmos sumamente eficientes y
optimizados. Pero hay algunas tareas para las cuales los mejores algoritmos
conocidos siempre tarde o temprano toman una gran cantidad de tiempo. Una
cuestión típica es que el tiempo requerido por el algoritmo puede aumentar casi
exponencialmente con el tamaño de la entrada. Un caso clásico es la factorización
de números enteros–donde los mejores algoritmos conocidos requieren tiempos
que crecen casi de manera exponencial con el número de dígitos. En la práctica,
usted encontrará que FactorInteger[k] dará un resultado casi inmediato
cuándo k tiene menos de aproximadamente 40 dígitos. Pero si k tiene 60 dígitos,
FactorInteger[k] puede comenzar a tomar un tiempo inmanejablemente
largo.

En algunos casos, hay mejora progresiva de los algoritmos que se conocen, de
modo que las versiones sucesivas de Mathematica puedan realizar cálculos
particulares cada vez más rápidos. Pero las ideas de la teoría de cómputo sugieren
que muchos cómputos siempre requerirán una cantidad irreducible de trabajo
computacional–de modo que ningún algoritmo más rápido sea encontrado alguna
vez para ellos.

Hacer aritmética con los números que contienen algunos cientos millones de
dígitos.
Generar un millón de dígitos de números como π y e .
Expandir un polinomio que da un millón de términos.
Factorizar un polinomio en cuatro variables con unos cien mil términos.
Reducir un sistema de desigualdades cuadráticas para unos miles de
componentes independientes.
Encontrar las raíces enteras de un polinomio con grado un millón.
Aplicación de una regla recurrente un millón de veces.
Cálculo de todos los primos hasta diez millones.
Encontrar la inversa numérica de una matriz de 1000×1000.
Solución de un sistema lineal de un millón de variables con cien mil
coeficientes no ceros.
Encontrar el determinante de una matriz entera de 250×250.
Encontrar el determinante de una matriz simbólica de 20×20.

59

Encontrar las raíces numéricas de un polinomio de grado 200.
Solución de un problema de programación lineal con cien mil variables.
Encontrar la trasformada de Fourier de una lista con cien millones de
elementos.
Representación de millón de gráficos primitivos.
Clasificar una lista de diez millones de elementos.
Buscar una cadena que tiene diez millones de caracteres.
Importación de unos diez megabytes de datos numéricos.
Formatear unas cien de páginas con salida TraditionalForm.
Algunas operaciones que típicamente toman algunos segundos en una PC 2004.

5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos

Hay muchas maneras de utilizar símbolos en Mathematica. Hasta ahora, nos
hemos concentrado en usar símbolos para almacenar valores y para representar
variables matemáticas. Esta sección describe otra manera de utilizar símbolos en
Mathematica.

La idea es utilizar símbolos como “etiquetas” para diversos tipos de objetos.

Trabajar con unidades físicas da un ejemplo simple. Cuando usted especifica la
longitud de un objeto, desea dar no solamente un número, sino también las
unidades en las cuales se mide la longitud. En la notación estándar, puede ser que
escriba una longitud como 12 metros.

Usted puede imitar esta notación casi directamente en Mathematica. Puede por
ejemplo utilizar simplemente un símbolo metros para indicar las unidades de
nuestra medida.

El símbolo metros aquí actúa como etiqueta, la cual indica las unidades
usadas.
12 metros
12 metros

Usted puede añadir longitudes como en este caso.
% + 5.3 metros
17.3 metros

60

Esto da una velocidad.
% / (25 segundos)

Esto convierte a una velocidad en pies por segundo.
% /. metros -> 3.28084 pies

Hay de hecho un paquete estándar de Mathematica que le permite para trabajar con
unidades. El paquete define muchos símbolos que representan los tipos estándar de
unidades

Cargue el paquete de Mathematica para manejar unidades.
<<Miscellaneous`Units`

EL paquete usa nombres estandarizados para unidades.
12 Meter/Second

La función Convert[expr,units] convierte a unidades especificadas.
Convert[ %, Mile/Hour ]

Por lo general usted tiene que dar los prefijos para unidades como palabras
separadas.
Convert[ 3 Kilo Meter / Hour, Inch / Minute ]

Esto convierte la temperatura. Convert sólo convierte las unidades de
temperatura.
ConvertTemperature[20, Fahrenheit, Centigrade]

61

6. Matemáticas simbólicas

6.1. Operaciones básicas

La capacidad de Mathematica de tratar con expresiones simbólicas, así como
números, le permite usarlo para muchas clases de matemáticas.

El cálculo es un ejemplo. Con Mathematica, usted puede diferenciar una expresión
simbólicamente, y conseguir una fórmula para el resultado.

Esto encuentra la derivada de x n .
D[ x^n, x ]

He aquí un ejemplo ligeramente más complicado.
D[x^2 Log[x + a], x]

∂f
D[f,x] la derivada (parcial)
∂x
Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ fdx
∑i=i
imax
Sum[f,{i,imin,imax}] la suma f
min

Solve[lhs==rhs,x] solución para una ecuación en x
Series[f,{x,x0,orden}] una expansión de f en series de potencies
alrededor del punto x = x0
Limit[f,x->x0] el límite lim f
x→ x0
Minimize[f,x] minimización de f con respecto a x
Algunas operaciones matemáticas simbólicas.

Obtener fórmulas como resultado de cómputos es generalmente deseable cuando es
posible. Hay sin embargo muchas circunstancias donde es matemáticamente
imposible conseguir una fórmula explícita como resultado de un cómputo. Esto
sucede, por ejemplo, cuando intenta solucionar una ecuación para la cual no hay
solución de “forma cerrada”. En tales casos, debe recurrir a métodos y
aproximaciones numéricas. Éstos se discuten en la sección 7.
62

6.2. Diferenciación

He aquí la derivada x n con respecto a x .
D[ x^n, x ]

Mathematica conoce las derivadas de todas las funciones matemáticas
estándar.
D[ ArcTan[x], x ]

La tercera derivada con respecto a x .
D[ x^n, {x, 3} ]

La función D[x^n,x] realmente da la derivada parcial, en la cual se asume que n
no depende x. Mathematica tiene otra función, llamada Dt, que encuentra
derivadas totales, en la cual todas las derivadas se asumen relacionadas. En
∂f df
notación matemática, D[f,x] es como , mientras Dt[f,x] es como .
∂x dx
Puede entenderse Dt como la “derivada total”.

Dt da una derivada total, asumiendo que n puede depender de x. Dt[n,x]
dn
representa .
dx
Dt[ x^n, x ]

Esto da la diferencial total d ( x n ) . Dt[x] es el diferencial dx .
Dt[ x^n ]

63

∂
D[f,x] derivada parcial f
∂x
∂ ∂
D[f,x1,x2,...] derivada múltiple Kf
∂x1 ∂x 2
∂n f
D[f,{x,n}] derivada repetida
∂x n
Dt[f] diferencial total d f
d
Dt[f,x] derivada total f
dx
Algunas funciones de diferenciación.

Así como trata variables simbólicamente, usted también puede tratar funciones
simbólicamente en Mathematica. Así, por ejemplo, puede encontrar fórmulas para
las derivadas de f[x], sin especificar una forma explícita para la función f.

Mathematica no sabe como diferenciar f, así que le devuelve un resultado
simbólico en términos de f'.
D[ f[x], x ]

Mathematica utiliza la regla de cadena para simplificar derivadas.
D[ 2 x f[x^2], x ]

6.3. Integración

∫x
n
He aquí la integral dx en Mathematica.
Integrate[x^n, x]

He aquí un ejemplo ligeramente más complicado.
Integrate[1/(x^4 - a^4), x]

64

Mathematica sabe resolver casi cualquier integral que puede ser expresada en
términos de funciones matemáticas estándares. Pero debe comprender que aun
cuando un integrando pueda contener sólo funciones simples, su integral puede
implicar funciones mucho más complicadas–o no puede ser expresable en absoluto
en términos de funciones matemáticas estándares.

He aquí una integral simple.
Integrate[Log[1 - x^2], x ]

Esta integral puede ser expresada sólo en términos de una función de
dilogarítmica.
Integrate[Log[1 - x^2]/x, x]

Esta integral involucra Erf.
Integrate[Exp[1 - x^2], x]

Y esta otra involucra una función de Fresnel.
Integrate[Sin[x^2], x]

Esta integral incluso requiere una función hipergeométrica.
Integrate[(1 - x^2)^n, x]

Esta integral simplemente no puede ser expresada en términos de funciones
matemáticas estándares. Por consiguiente, Mathematica la deja como está.
Integrate[ x^x, x ]

65

Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ f dx
Integrate[f,x,y] la integral múltiple ∫ dx dy f
x
la integral definida ∫
max
Integrate[f,{x,xmin,xmax}] f dx
x min
xmax ymax
Integrate[f,{x,xmin,xmax},
{y,ymin,ymax}]
la integral múltiple ∫xmin
dx ∫y
min
dy f

Integración.

b
∫a sin
2
He aquí la integral definida ( x) dx .

Integrate[Sin[x]^2, {x, a, b} ]

He aquí otra integral definida.
Integrate[Exp[-x^2], {x, 0, Infinity}]

Mathematica no puede darle una fórmula para esta integral definida.
Integrate[ x^x, {x, 0, 1} ]

Aunque, puede conseguir un resultado numérico.
N[ % ]
0.783431

1 x
∫0 ∫0 dy ( x
2
Esto evalúa la integral múltiple dx + y 2 ) . El rango de la variable
de integración exterior aparece primero.
Integrate[ x^2 + y^2, {x, 0, 1}, {y, 0, x} ]

66

Esto integra x10 sobre una región circular.
Integrate[ x^10 Boole[x^2 + y^2 <= 1], {x, -1, 1},
{y, -1 ,1}]

6.4. Sumas y productos

7
xi
Esto construye la suma ∑i .
i =1

Sum[x^i/i, {i, 1, 7}]

Puede obviarse el límite inferior si éste es igual a 1.
Sum[x^i/i, {i, 7}]

Los productos se obtienen en forma similar a las sumas.
Product[x + i, {i, 1, 4}]

imax
Sum[f,{i,imin,imax}] la suma ∑f
i =imin
Sum[f,{i, imin,imax,di}] la suma con i incrementándose en un paso
de di .
imax jmax
Sum[f,{i,imin,imax}, la suma anidada ∑ ∑f
{j,jmin,jmax}] i =imin j = jmin
imax
Product[f,{i,imin,imax}] el producto ∏f
i =imin

Sumas y productos.

67

La suma es calculada simbólicamente como una función de n.
Sum[i^2, {i, 1, n}]

Mathematica también puede dar un resultado exacto para esta suma infinita.
Sum[1/i^4, {i, 1, Infinity}]

Como en el caso de las integrales, sumas simples pueden conducir a
resultados complicados.
Sum[x^(i (i + 1)), {i, 1, Infinity}]

Esta suma no se puede evaluar exactamente usando funciones matemáticas
estándares.
Sum[1/(i! + (2i)!), {i, 1, Infinity}]

Usted puede sin embargo encontrar una aproximación numérica para el
resultado.
N[%]
0.373197

Mathematica también tiene una notación para sumas y productos múltiples.
Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] representa una suma en i y j , que será

∑i=i ∑ j= j
imax jmax
escrita en notación matemática estándar como f . Note que en la
min min

notación de Mathematica, como en la notación matemática estándar, el rango de la
variable exterior se da primero.

∑i=1 ∑ j=1 x i y j . Note que la suma exterior en i
3 i
Esta es la suma múltiple
se da primero, tal como en la notación matemática.

68

Sum[x^i y^j, {i, 1, 3}, {j, 1, i}]

La forma en que se especifica los rangos de las variables en Sum y Product es un
ejemplo algo general de la notación de iteradores que Mathematica utiliza. Usted
verá esta notación otra vez cuando discutamos la generación de tablas y listas
usando Table (sección 9.2), y cuando describamos los lazos Do (sección 8.3).

{imax} iterador imax sin incrementar variable alguna
{i,imax} i varía de 1 a imax en pasos de 1
{i,imin,imax} i varía de imin a imax en pasos de 1
{i,imin,imax,di} i varía de imin a imax en pasos de di
{i,imin,imax}, i varía de imin a imax, y para cada valor, j varía
{j,jmin,jmax},... de jmin a jmax, etc.
Notación de iteradores en Mathematica.

6.5. Ecuaciones

En la sección 3.2 se discutió asignaciones tales como x = y que asigna a x el valor
de y. Esta sección habla de ecuaciones, que prueban una igualdad. La ecuación
x == y , prueba si x es igual a y.

Esto prueba si 2 + 2 y 4 son iguales. El resultado es el símbolo True.
2 + 2 == 4
True

Es muy importante que usted no confunda x = y con x == y . Mientras que x = y
es una declaración imperativa que en realidad origina una asignación, x == y
simplemente prueba si x y y son iguales, y no causa ninguna acción explícita.

x=y asigna el valor de y a x
x==y prueba si x e y son iguales
Asignaciones y pruebas.

Esto asigna a x el valor 4.
x = 4
4

69

Si pregunta por x, obtiene 4.
x
4

Esto prueba si x es igual a 4. En este caso si es.
x == 4
True

x es igual a 4 no a 6.
x == 6
False

Esto remueve el valor asignado a x.
x = .

Las pruebas que hemos utilizado hasta ahora involucran solamente números, y dan
siempre una respuesta definida, True o False. Usted también puede hacer
pruebas en expresiones simbólicas.

Mathematica no puede obtener un resultado definido para esta
comprobación sin que usted especifique un valor numérico para x.
x == 5
x == 5

Si reemplaza x por el valor numérico específico 4, la prueba da False.
% / x -> 4
False

Incluso cuando hace pruebas en expresiones simbólicas, hay algunos casos donde
puede conseguir resultados definidos. Algo importante es cuando usted prueba la
igualdad de dos expresiones que son idénticas. Independientemente de los valores
numéricos que puedan tener las variables en estas expresiones, Mathematica sabe
que las expresiones siempre deben ser iguales.

Las dos expresiones son idénticas, por eso el resultado es True,
independientemente del valor que pueda tener x.
2 x + x^2 == 2 x + x^2
True
70

Mathematica no trata de averiguar si estas expresiones son iguales. En este
caso, usar Expand haría que tuvieran la misma forma.
2 x + x^2 == x (2 + x)

Las expresiones como x == 4 representan ecuaciones en Mathematica. Hay
muchas funciones en Mathematica para manipular y solucionar ecuaciones.

Esta es una ecuación en Mathematica. La sección 6.7 discutirá cómo
solucionarla para x.
x^2 + 2 x - 7 == 0

Puede asignar un nombre a la ecuación.
eqn = %

Si pregunta por eqn, obtiene la ecuación.
eqn

6.6. Operadores relacionales y lógicos

x==y igual (también se ingresa como x y)
x!=y desigual (también se ingresa como x y)
x>y mayor que
x>=y mayor o igual que (también se ingresa como
x y)
x<y menor que
x<=y mayor o igual que (también se ingresa como
x y)
x==y==z todos iguales
x!=y!=z todos desiguales (distintos)
x>y>z, etc. estrictamente decreciente, etc.
Operadores relacionales.

71

Esto prueba si 10 es menor que 7. El resultado es False.
10 < 7
False

No todos estos números son desiguales, por esta razón se obtiene False.
3 != 2 != 3
False

Puede mezclar < y <=.
3 < 5 <= 6
True

Ya que las cantidades involucradas son numéricas, Mathematica puede
determinar que esto es verdadero.
Pi^E < E^Pi
True

Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso.
x > y
x > y

!p no (también se ingresa como p)
p&&q&&... y (también se ingresa como p q ...)
p||q||... o (también se ingresa como p q ...)
Xor[p,q,...] o exclusiva (también se ingresa como p q
...)
Nand[p,q,...] y nand y nor (también se ingresan como y )
Nor[p,q,...]
If[p,then,else] da then si p es True, y else si p es False
LogicalExpand[expr] expande expresiones lógicas
Operadores lógicos.

Ambas pruebas dan True, entonces el resultado es True.
7 > 4 && 2 != 3
True

72

Usted debe recordar que las operaciones lógicas ==, && y || tienen todas doble
caracter en Mathematica. Si ha usado un lenguaje de programación como C, estará
familiarizado con esta notación.

Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso.
p && q
p && q

Mathematica deja esta expresión inalterada.
(p || q) && !(r || s)
(p || q) &&! (r || s)

Puede usar LogicalExpand para expandir los términos.
LogicalExpand[ % ]
(p && !r && !s) || (q && !r && !s)

6.7. Solución de Ecuaciones

Una expresión como representa una ecuación en Mathematica.
A menudo tendrá que solucionar ecuaciones como esta, para averiguar para qué
valores de x son verdaderas.

Esto da las dos soluciones de la ecuación cuadrática x 2 + 2 x − 7 = 0 . Las
soluciones se dan como reemplazos para x.
Solve[x^2 + 2x - 7 == 0, x]

He aquí los valores numéricos de las soluciones.
N[ % ]

Usted puede obtener una lista de las soluciones actuales para x aplicando las
reglas generadas por Solve a x mediante el operador de reemplazo.
x /. %

73

Igualmente puede aplicar los reemplazos a cualquier otra expresión que
involucra a x.
x^2 + 3 x /. %%

Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación, dando una lista de
reglas para x
x/.solución use la lista de reglas para obtener valores
para x
expr/.solución use la lista de reglas para obtener valores
para cualquier expresión
Encuentro y uso de soluciones de ecuaciones.

Solve siempre trata de darle fórmulas explícitas para las soluciones de
ecuaciones. Sin embargo, es un resultado básico matemático que, para ecuaciones
suficientemente complicadas, no pueden darse fórmulas algebraicas explícitas. Si
usted tiene una ecuación algebraica en una variable, y la potencia más alta de la
variable es menor que cinco, entonces Mathematica siempre puede darle fórmulas
para las soluciones. Sin embargo, si la potencia más alta es cinco o más, puede ser
matemáticamente imposible dar fórmulas algebraicas explícitas para todas las
soluciones.

Mathematica siempre puede solucionar ecuaciones algebraicas en una
variable cuando la potencia más alta es menor que cinco.
Solve[x^4 - 5 x^2 - 3 == 0, x]

Esto puede solucionar algunas ecuaciones que involucran potencias más
altas.
Solve[x^6 == 1, x]

74

Hay algunas ecuaciones, sin embargo, para las cuales es matemáticamente
imposible encontrar fórmulas explícitas para las soluciones. Mathematica
usa objetos Root para representar las soluciones en este caso.
Solve[2 - 4 x + x^5 == 0, x]

Incluso aunque usted no pueda conseguir fórmulas explícitas, puede
encontrar las soluciones numéricamente.
N[ % ]

Además de la capacidad de solucionar ecuaciones puramente algebraicas,
Mathematica también puede solucionar algunas ecuaciones que implican otras
funciones.

Después de la impresión de una advertencia, Mathematica devuelve una
solución para esta ecuación.
Solve[ Sin[x] == a, x ]

Es importante comprender que una ecuación tal como sin( x) = a en realidad tiene
un número infinito de soluciones posibles, en este caso que se diferencian por
múltiplos de 2π . Sin embargo, Solve por defecto da sólo una solución, pero
imprime un mensaje que le dice que pueden existir otras soluciones. Usted puede
usar Reduce para obtener más información.

No hay ninguna solución explícita para una ecuación trascendental como
esta.
Solve[ Cos[x] == x, x ]

75

Puede encontrar una solución numérica aproximada usando FindRoot, y
dando un valor inicial para x.
FindRoot[ Cos[x] == x, {x, 0} ]

Solve también puede manejar ecuaciones que involucran funciones simbólicas.
En tales casos, otra vez imprime una advertencia, luego da resultados en términos
de funciones formales inversas.

Mathematica devuelve un resultado en términos de la función formal
inversa de f.
Solve[ f[x^2] == a, x ]

Solve[{lhs1==rhs1, resuelve un conjunto de ecuaciones
lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] simultáneas para x, y, ...
Solución de conjuntos de ecuaciones simultáneas.

También puede usar Mathematica para solucionar conjuntos de ecuaciones
simultáneas. Simplemente da la lista de ecuaciones, y especifica la lista de
variables.

He aquí una lista de dos ecuaciones simultáneas, para que sean resueltas en
las variables x e y.
Solve[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, {x, y}]

He aquí algunas ecuaciones simultáneas más complicadas. Las dos
soluciones se dan como dos listas de reemplazos para x.
Solve[{x^2 + y^2 == 1, x + 3 y == 0}, {x, y}]

76

Esto usa las soluciones para evaluar la expresión x + y .
x + y /. %

Mathematica puede solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas
lineales. También puede solucionar gran número de ecuaciones polinómicas
simultáneas. Incluso cuando no logra solucionar las ecuaciones explícitamente,
Mathematica por lo general las reducirá a una forma mucho más simple.

Cuando usted trabaja con sistemas de ecuaciones en varias variables, es a menudo
conveniente reorganizar las ecuaciones eliminando algunas variables entre ellos.

Esto elimina y entre las dos ecuaciones, dando una sola ecuación para x.
Eliminate[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, y]

Si usted tiene varias ecuaciones, no hay ninguna garantía que exista cualquier
solución consistente para una variable particular.

No hay ninguna solución consistente para estas ecuaciones, así Mathematica
devuelve {}, indicando que el conjunto de soluciones es vacío.
Solve[{x==1, x==2}, x]
{}

No hay tampoco ninguna solución consistente para estas ecuaciones para
casi todos los valores de a.
Solve[{x==1, x==a}, x]
{}

La pregunta general de si un sistema de ecuaciones tiene cualquier solución
consistente es bastante sutil. Por ejemplo, para la mayor parte de valores de a, las
ecuaciones {x==1, x==a} son inconsistentes, así no hay ninguna solución
posible para x. Sin embargo, si a es igual a 1, entonces las ecuaciones tienen una
solución. Solve da soluciones genéricas para ecuaciones. Desecha cualesquiera
soluciones que existen sólo cuando los parámetros satisfacen condiciones
especiales.

77

Si usa Reduce en vez de Solve, Mathematica mantendrá todas las posibles
soluciones para un sistema de ecuaciones, incluyendo aquellas que requieren
condiciones especiales en los parámetros.

Esto muestra que las ecuaciones tienen una solución sólo cuando a==1. La
notación a==1&&x==1 representa la exigencia que tanto a==1 como
x==1 deben ser True (verdaderos).
Reduce[{x==a, x==1}, x]

Esto da el conjunto completo de posibles soluciones para la ecuación. La
respuesta es dada en términos de una combinación de ecuaciones más
simples. && indica que las ecuaciones deben ser simultáneamente
verdaderas; || indica alternativas.
Reduce[a x - b == 0, x]

Esto da una combinación más complicada de ecuaciones.
Reduce[a x^2 - b == 0, x]

Esto da una representación simbólica de todas las soluciones.
Reduce[Sin[x] == a, x]

Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación en x
Solve[{lhs1==rhs1, resuelve un conjunto de ecuaciones
lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] simultáneas en x, y, ...
Eliminate[{lhs1==rhs1, elimina x, ... en un conjunto de ecuaciones
lhs2==rhs2, ...},{x, ...}] simultáneas
Reduce[{lhs1==rhs1, da un conjunto de ecuaciones simplificadas,
lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] incluyendo todas las posibles soluciones
Funciones para solucionar y manipular ecuaciones.

78

Reduce también tiene capacidades poderosas para manipular ecuaciones
específicamente en números reales o enteros.

Esto reduce la ecuación asumiendo que x e y son complejos.
Reduce[x^2 + y^2 == 1, y]

Esto incluye las condiciones de que x e y son reales.
Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Reals]

Esto da solamente soluciones enteras.
Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Integers]

6.8. Desigualdades

Reduce[ineqs, {x, y, ...}] reduce una colección de desigualdades
FindInstance[ineqs, encuentra un caso que satisface ineqs
{x, y, ...}]
Manejo de desigualdades.

Esto encuentra una forma reducida para las desigualdades.
Reduce[x + y < 1 && y > x > 0, {x, y}]

Estas desigualdades no pueden ser satisfechas.
Reduce[x + y < 1 && y > x > 1, {x, y}]
False

79

Es fácil encontrarse con resultados algo complicados.
Reduce[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}]

Las ecuaciones a menudo pueden ser solucionadas para dar valores definidos de las
variables. Pero las desigualdades solamente definen regiones que pueden ser
especificadas por otras desigualdades. Usted puede usar FindInstance para
encontrar valores definidos de las variables que satisfacen un conjunto particular
de desigualdades.

Esto encuentra un punto en la región especificada por las desigualdades.
FindInstance[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}]

Minimize[{expr,ineq}, minimiza expr mientras satisfaga ineq
{x, y, ...}]
Maximize[{expr,ineq}, maximiza expr mientras satisfaga ineq
{x, y, ...}]
Minimización y maximización sujetas.

Esto da el máximo, junto con el valor donde ocurre.
Maximize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}]

Esto da el mínimo, junto con el valor donde ocurre.
Minimize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}]

80

6.9. Ecuaciones diferenciales

DSolve[eqns, y[x], x] resuelve una ecuación diferencial para y[x],
tomando a x como variable independiente
DSolve[eqns, y, x] da una solución para y en forma de función
pura
Solución de una ecuación diferencial ordinaria.

He aquí la solución de la ecuación diferencial y ′( x) = a y ( x) + 1 . C[1] es un
coeficiente que debe ser determinado a partir condiciones de frontera.
DSolve[ y'[x] == a y[x] + 1, y[x], x ]

Si usted incluye una condición inicial apropiada, no hay ningún coeficiente
indeterminado en la solución.
DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ]

Mientras que ecuaciones algebraicas tales como x 2 + x = 1 son ecuaciones para
variables, ecuaciones diferenciales tales como y ′′( x) + y ′( x) = y ( x) son
ecuaciones para funciones. En Mathematica, siempre debe dar las ecuaciones
diferenciales explícitamente en términos de funciones como y[x], y debe
especificar las variables como x de las cuales dependen las funciones. Por
consiguiente, debe escribir una ecuación tal como y ′′( x) + y ′( x) = y ( x) en la
forma y''[x]+y'[x]==y[x]. Usted no debe escribirla como y''+y'==y.

Mathematica puede solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias tanto lineales
como no lineales, así como listas de ecuaciones simultáneas. Si no especifica las
suficientes condiciones iniciales o de frontera, Mathematica dará las soluciones
con un número apropiado de coeficientes indeterminados. Cada vez que usted usa
DSolve, éste representa a los coeficientes indeterminados por C[1], C[2], etc.

He aquí un par de ecuaciones diferenciales simultáneas, sin condiciones
iniciales o de frontera. La solución que se obtiene tiene dos coeficientes
indeterminados.
DSolve[ {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t]}, {x[t],
y[t]}, t ]
81

Cuando usted le pide a DSolve que encuentre una solución para y[x], las reglas
que devuelve especifican como sustituir y[x] en cualquier expresión. Sin
embargo, estas reglas no especifican como sustituir objetos como y'[x]. Si usted
quiere manipular soluciones obtenidas con DSolve, a menudo encontrará mejor
pedir soluciones para y, antes que para y[x].

Esto da la solución para y como una “función pura”.
DSolve[ y'[x] == x + y[x], y, x ]

Usted puede ahora usar al operador de reemplazo para aplicar esta solución
a expresiones que involucran a y.
y''[x] + y[x] /. %

Note que DSolve puede manejar combinaciones de ecuaciones diferenciales
algebraicas. También puede manejar ecuaciones diferenciales parciales, en las
cuales hay más de una variable independiente.

6.10. Series de potencias

Las operaciones matemáticas de las que hemos hablado hasta ahora son exactas.
Considerando la entrada exacta, sus resultados son fórmulas exactas.

En muchas situaciones, sin embargo, usted no necesita un resultado exacto. Puede
ser suficiente, por ejemplo, encontrar un fórmula aproximada que es válida,
digamos, cuando la cantidad x es pequeña.

Esto da una aproximación en serie de potencias para (1 + x) n alrededor de 0,
hasta los términos de orden 3.
Series[(1 + x)^n, {x, 0, 3}]

82

Mathematica conoce las expansiones en serie de potencias para muchas
funciones matemáticas.
Series[Exp[-a t] (1 + Sin[2 t]), {t, 0, 4}]

Si usted da una función que no conoce, Series escribe la serie de
potencias en términos de derivadas.
Series[1 + f[t], {t, 0, 3}]

Las series de potencias son fórmulas aproximadas que juegan el mismo papel con
respecto a las expresiones algebraicas como los números aproximados con las
expresiones numéricas. Mathematica le permite realizar operaciones en series
potencias, en todos los casos mantiene el orden apropiado o el “grado de precisión”
para las series de potencias resultantes.

He aquí una serie de potencias simple, de orden 3.
Series[Exp[x], {x, 0, 3}]

Cuando usted hace las operaciones en una serie de potencias, el resultado es
calculado sólo en el orden apropiado en x.
%^2 (1 + %)

Esto cambia la serie de potencias en una expresión ordinaria.
Normal[%]

83

Ahora el cuadrado es calculado exactamente.
%^2

Al aplicar Expand se obtiene un resultado con once términos.
Expand[%]

Series[expr, {x, x0, n}] encuentra la expansión en serie de potencias
de expr alrededor del punto x = x0 de
n-ésimo orden
Normal[series] trunca una serie de potencias para dar una
expresión ordinaria
Operaciones en series de potencias.

6.11. Límites

He aquí la expresión sin( x) / x .
t = Sin[x]/x

Si sustituye x por 0, la expresión se hace 0/0, y obtiene un resultado
indeterminado.
t /. x->0

Indeterminate

Si encuentra el valor numérico de sin( x) / x para un x próximo a 0, usted
consigue un resultado próximo a 1.
t /. x->0.01
0.999983

84

Esto encuentra el límite de sin( x) / x cuando x tiende a 0. El resultado es
ciertamente 1.
Limit[t, x->0]
1

Limit[expr, x->x0] el límite de expr cuando x tiende a x0
Límites.

6.12. Transformadas integrales

LaplaceTransform[expr, encuentra la transformada de Laplace de
t, s] expr
InverseLaplace encuentra la transformada inversa de Laplace
Transform[expr, t, s] de expr
Transformadas de Laplace.

Esto calcula la transformada de Laplace.
LaplaceTransform[t^3 Exp[a t], t, s]

He aquí la transformada inversa.
InverseLaplaceTransform[%, s, t]

FourierTransform[expr, encuentra la transformada simbólica de
t, w] Fourier de expr
InverseFourier encuentra la transformada inversa de Fourier
Transform[expr, t, w] de expr
Transformadas de Fourier.

Esto calcula la transformada de Fourier.
FourierTransform[t^4 Exp[-t^2], t, w]

85

He aquí la transformada inversa.
InverseFourierTransform[%, w, t]

Note que en la literatura científica y técnica muchas convenciones diferentes son
usadas para definir transformadas de Fourier.

6.13. Ecuaciones recurrentes

RSolve[eqns, a[n], n] resuelve las ecuaciones recurrentes eqns para
a[n]
Solución de ecuaciones recurrentes.

Esto resuelve una ecuación recurrente simple.
RSolve[{a[n] == 3 a[n-1]+1, a[1]==1},
a[n], n]

He aquí una solución más complicada de otra ecuación recurrente.
RSolve[{a[n+1] == (a[n]+1)/(n+1), a[1]==0},
a[n], n]

He aquí la solución de una ecuación recurrente con dos condiciones
iniciales.
RSolve[{a[n+2] == (3 a[n+1]-a[n])/2, a[1]==0,
a[2]==1}, a[n], n]

6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas

Hay muchos paquetes de Mathematica que implementan operaciones matemáticas
simbólicas. Esta sección da algunos ejemplos del conjunto paquetes estándares
distribuidos con Mathematica. Sin embargo, debe tener en cuenta que algunas

86

copias de Mathematica pueden inicializarse de modo que las funciones aquí
descritas sean cargadas automáticamente si son alguna vez necesarias.

Análisis vectorial

<<Calculus`VectorAnal carga el paquete de análisis vectorial
ysis`
SetCoordinates[ especifica el sistema de coordenadas a usarse
system[names]] (Cartesian,
Cylindrical,
Spherical,
etc.),
dando los nombres de las coordenadas en ese
sistema
Grad[f] evalúa el gradiente ∇f de f en el sistema de
coordenadas escogido
Div[f] evalúa la divergencia ∇ ⋅ f de la lista f
Curl[f] evalúa el rotacional ∇ × f de la lista f
Laplacian[f] evalúa el laplaciano ∇ 2 f de f
Análisis vectorial.

Esto carga el paquete de análisis vectorial. En algunas versiones de
Mathematica, puede que no tenga que cargar el paquete explícitamente.
<<Calculus`VectorAnalysis`

Esto especifica que usted desea usar un sistema de coordenadas esférico con
las coordenadas r, theta y phi.
SetCoordinates[Spherical[r, theta, phi]]

Esto evalúa el gradiente de r 2 sin(θ ) en el sistema de coordenadas esféricas.
Grad[r^2 Sin[theta]]

87

Métodos variacionales

<<Calculus`Variationa carga el paquete de métodos variacionales
lMethods`
VariationalD[f, y[x], x] encuentra la derivada variacional de f
Métodos variacionales.

Esto carga el paquete de métodos variacionales.
<<Calculus`VariationalMethods`

Esto encuentra la derivada funcional de y ( x) y ′( x) .

VariationalD[y[x] Sqrt[y'[x]], y[x], x]

Cuaterniones

<<Algebra`Quaternions` carga el paquete de cuaterniones
Quaternion[a, b, c, d] el cuaternión a + bi + cj + dk
Cuaterniones.

Esto carga el paquete de cuaterniones.
<<Algebra`Quaternions`

Esto encuentra la principal raíz cuadrada de un cuaternión.
Sqrt[Quaternion[1, 1, 1, 0]]

88

6.15. Casos genéricos y no genéricos

Esto da un resultado para la integral de x n que es válida para casi todos los
valores de n.
Integrate[x^n, x]

Para el caso especial de x −1 , sin embargo, el resultado correcto es diferente.
Integrate[x^-1, x]
Log[x]

El objetivo general del cálculo simbólico es conseguir fórmulas que son válidas
para muchos valores posibles de las variables que aparecen en ellas. No es a
menudo práctico tratar de obtener fórmulas que son válidas para absolutamente
todo valor posible de cada variable.

Mathematica siempre reemplaza 0 / x por 0.
0 / x
0

Si x es igual 0, sin embargo, el resultado no es 0.
0 / 0

Indeterminate

Esta construcción trata ambos casos, pero sería poco utilizable.
If[x != 0, 0, Indeterminate]

Si Mathematica no sustituyera automáticamente 0 / x por 0, entonces pocos
cálculos simbólicos serían posibles. Pero debe comprender que la necesidad
práctica de hacer tales reemplazos puede hacer que se obtengan resultados
absurdos cuando se usan valores específicos de los parámetros.

89

Las operaciones básicas de Mathematica sin embargo son instaladas con cuidado
de modo que siempre sea posible que los resultados obtenidos sean válidos para
casi todos los valores de cada variable.

x 2 no es automáticamente reemplazada por x.
Sqrt[x^2]

Si así fuera, entonces este resultado sería -2, que es incorrecto.
% /. x -> -2
2

Esto hace que x se asuma como una variable real positiva, y la reemplaza.
Simplify[Sqrt[x^2], x > 0]
x

Esto hace que x se asuma como una variable real negativa, y la reemplaza.
Simplify[Sqrt[x^2], x < 0]
x

6.16. Notación matemática en cuadernos

Si usted usa una interfase de cuaderno para Mathematica (sección 4.1), entonces
usted puede ingresar algunas operaciones mencionadas en esta sección de modo
especial.

Sum[f,{i,imin,imax}] suma
Product[f,{i,imin,imax}] producto
Integrate[f, x] integral indefinida
Integrate[f,{x,xmin, integral definida
xmax}]
D[f, x] derivada parcial
D[f, x, y] derivada parcial múltiple
Formas especiales y ordinarias de ingresar operaciones matemáticas en cuadernos.

90

Esto muestra parte de la paleta estándar para ingresar operaciones
matemáticas. Cuando usted presiona un botón en la paleta, la forma
mostrada en el botón se inserta en su cuaderno, con el cuadrado negro
substituido por lo que usted había seleccionado en el cuaderno.

signo de sumatoria
signo de producto
signo de integral
diferencial especial para uso en integrales
derivada parcial
mueve a la posición de subíndice o límite
inferior de un integral
mueve a la posición de superíndice o límite
superior de un integral
mueve a la posición subescritura o límite
inferior de una suma o producto
mueve a la posición de sobreescritura o
límite superior de una suma o producto
cambia entre posiciones superiores e
inferiores
retorna de posiciones superiores o inferiores
Formas de ingresar notaciones especiales en un teclado estándar de lenguaje Inglés.

Usted puede ingresar un integral como esta. Asegúrese de usar la diferencial
especial ingresada como , no sólo una d ordinaria.

91

Aquí está la secuencia real clave que usted escribe para conseguir la entrada.

7. Matemáticas numéricas

7.1. Operaciones básicas

Los resultados exactos simbólicos son por lo general muy deseados cuando pueden
ser obtenidos. En muchos cálculos, sin embargo, no es posible conseguir resultados
simbólicos. En tales casos, usted debe recurrir a métodos numéricos.

N[expr] valor numérico de una expresión (ver
sección 2)
xmax
NIntegrate[f,{x, xmin,
xmax}]
aproximación numérica para ∫xmin
f dx

∞
NSum[f,{i, imin, aproximación numérica para ∑i min
f

Infinity}]
FindRoot[lhs==rhs, encuentra la solución numérica para una
{x, x0}] ecuación, empezando con x = x0
NSolve[lhs==rhs, x] aproximaciones numéricas de todas las
soluciones de una ecuación
FindMinimum[f,{x, x0}] encuentra un mínimo de f, empezando con
x = x0
NMinimize[f, x] intenta encontrar el mínimo global de f
Operaciones numéricas básicas.

Mathematica mantiene esta expresión en forma simbólica exacta.
(3 + Sqrt[2])^3

Usted puede incluso usar operaciones estándares simbólicas en ella.
Expand[ % ]

92

N[expr] da una aproximación numérica.
N[ % ]
86.0122

Funciones como Integrate siempre procuran obtener resultados exactos para
los cálculos. Cuando no pueden obtenerlos, devuelven los resultados sin evaluar.
Usted entonces puede encontrar aproximaciones numéricas explícitamente
aplicando N. Funciones como NIntegrate hacen los cálculos numéricamente
desde el principio, sin ninguna tentativa de obtener un resultado exacto.

No hay una fórmula exacta para esta integral, por lo cual Mathematica la
devuelve sin evaluar.
Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}]

Puede usar N para obtener un resultado numérico aproximado.
N[ % ]
0.81645

NIntegrate resuelve la integral en forma numérica desde el inicio.
NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}]
0.81645

7.2. Sumas, productos e integrales numéricos

∞
NSum[f,{i, imin, aproximación numérica para ∑i min
f
Infinity}]
∞
NProduct[f,{i, imin, aproximación numérica para ∏i min
f
Infinity}]
xmax
xmax}]
aproximación numérica para ∫x min
f dx

xmax ymax
xmax},{y, ymin, ymax}]
la integral múltiple ∫x
min
dx ∫y
min
dy f

Sumas, productos e integrales numéricos.

93

∞ 1
He aquí una aproximación numérica ∑i=1 i 3 .
NSum[1/i^3, {i, 1, Infinity}]
1.20206

NIntegrate puede manejar singularidades en los puntos finales de la
región de integración.
NIntegrate[1/Sqrt[x (1-x)], {x, 0, 1}]
3.14159

Puede resolver integrales numéricas sobre regiones infinitas.
NIntegrate[Exp[-x^2], {x, -Infinity, Infinity}]
1.77245

He aquí una integral doble sobre un dominio triangular. Note el orden en el
cual se ingresan las variables.
NIntegrate[ Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x} ]
0.119906

He aquí una integral doble sobre un dominio limitado por dos parábolas.
NIntegrate[ x^2 + y^2, {x, -1, 1}, {y, x^2 - 1,
-x^2 + 1}]
1.14286

7.3. Solución numérica de ecuaciones

NSolve[lhs==rhs, x] soluciona numéricamente una ecuación
polinomial
NSolve[{lhs1==rhs1, soluciona numéricamente un sistema de
lhs2==rhs2, ...},{x, y, ...}] ecuaciones polinomiales
FindRoot[lhs==rhs, encuentra una solución numérica para una
{x, x0}] ecuación, empezando en x = x0
FindRoot[{lhs1==rhs1, encuentra soluciones numéricas para
lhs2==rhs2, ...},{{x, x0}, ecuaciones simultáneas
{x, x0},...}]
Búsqueda de raíces numéricas.

94

NSolve le da aproximaciones numéricas a todas las raíces de una ecuación
polinomial.
NSolve[ x^5 + x + 1 == 0, x ]

También puede usar NSolve para resolver numéricamente sistemas
simultáneos de ecuaciones.
NSolve[{x + y == 2, x - 3 y + z == 3,
x - y + z == 0}, {x, y, z}]

Si sus ecuaciones involucran sólo funciones lineales o polinómicas, entonces puede
usar NSolve para obtener aproximaciones numéricas de todas las soluciones. Sin
embargo, cuando sus ecuaciones involucran funciones más complicadas, no hay en
general ningún procedimiento sistemático para obtener todas las soluciones, aún
numéricamente. En tales casos, puede usar FindRoot para buscar soluciones.
Tiene que dar a FindRoot un valor para que empiece la búsqueda.

Esto encuentra una solución numérica, empezando en x = 1 .
FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 1} ]

La ecuación tiene varias soluciones. Si usted comienza con un x diferente,
FindRoot puede devolver una solución diferente.
FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 10} ]

Usted puede buscar soluciones para sistemas de ecuaciones. Aquí la
solución involucra números complejos.
FindRoot[{x == Log[y], y == Log[x]}, {{x, I},
{y, 2}}]

95

7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas

NDSolve[eqs, y, {x, xmin, soluciona numéricamente para la función y,
xmax}] con la variable independiente x en el rango
xmin a xmax
NDSolve[eqs, {y1, y2, soluciona un sistema de ecuaciones para las
...}, {x, xmin, xmax}] yi
Solución numérica de ecuaciones diferenciales.

Esto genera una solución numérica para la ecuación y ′( x) = y ( x) con
0 < x < 2 . El resultado está dado en términos de una función interpolante.
NDSolve[{y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 2}]

He aquí el valor de y (1.5) .
y[1.5] /. %
{4.48169}

Con una ecuación algebraica como x 2 + 3 x + 1 , cada solución para x es
simplemente un número. Para una ecuación diferencial, sin embargo, la solución es
una función. Por ejemplo, en la ecuación y ′( x) = y ( x) , usted obtiene una
aproximación a la función y (x) con la variable independiente x que varía sobre
algún rango.

Mathematica representa aproximaciones numéricas a funciones como objetos.
Estos objetos son las funciones que, cuando se aplican a un x particular, devuelven
el valor aproximado de y (x) en aquel punto. InterpolatingFunction en
forma eficaz almacena una tabla de valores para y ( xi ) , luego interpola esta tabla
para encontrar una aproximación para y (x) en el x particular que usted solicita.

y[ x]/.solución usa la lista de reglas de la función y para
obtener valores para y[ x]
InterpolatingFunc evalúa una función interpolada en el punto x
tion[data, x]
Plot[Evaluate[y[ x]/. grafica la solución de la ecuación diferencial
solución],{x, xmin, xmax}]
Uso de los resultados de NDSolve.

96

Esto soluciona un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas.
NDSolve[ {y'[x] == z[x], z'[x] == -y[x], y[0] == 0,
z[0] == 1}, {y, z}, {x, 0, Pi} ]

He aquí el valor de z[2] hallado a partir de la solución.
z[2] /. %
{-0.416147}

He aquí el gráfico de la solución para z[x] encontrada anteriormente.
Plot se discute en la sección 10.1.
Plot[Evaluate[z[x] /. %%], {x, 0, Pi}]

NDSolve[eqn, u, {x, xmin, resuelve una ecuación diferencial parcial
xmax}, {t, tmin, tmax},...]
Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.

7.5. Optimización numérica

NMinimize[f,{x, y, ...}] minimiza f
NMaximize[f,{x, y, ...}] maximiza f
NMinimize[{f, ineqs}, minimiza f sujeto a las restricciones ineqs
{x, y, ...}]
NMaximize[{f, ineqs}, maximiza f sujeto a las restricciones ineqs
{x, y, ...}]
Obtención de máximos y mínimos globales.

97

Esto da el valor máximo, y dónde es que ocurre.
NMaximize[x/(1 + Exp[x]), x]

Esto minimiza la función dentro del círculo unitario.
NMinimize[{Cos[x] - Exp[x y], x^2 + y^2 < 1},
{x, y}]

FindMinimum[f,{x, x0}] busca un mínimo local de f, comenzando en
x = x0
FindMinimum[f,{{x, x0}, busca un mínimo local en varias variables
{y, y0}, ...}]
FindMaximum[f,{x, x0}] busca un máximo local de f, comenzando en
x = x0
FindMaximum[f,{{x, x0}, busca un máximo local en varias variables
{y, y0}, ...}]
Búsqueda de máximos y mínimos locales.

NMinimize y NMaximize pueden encontrar los mínimos y máximos absolutos
de muchas funciones. Pero en algunos casos no es realista hacer esto. Usted puede
buscar mínimos y máximos locales usando FindMinimum y FindMaximum.

Esto busca un mínimo local de x cos(x) , empezando en x = 2 .
FindMinimum[x Cos[x], {x, 2}]

Con un punto de partida diferente, usted puede obtener un mínimo local
diferente.
FindMinimum[x Cos[x], {x, 10}]

Esto encuentra un mínimo local de sin( x y ) .
FindMinimum[Sin[x y], {{x, 2}, {y, 2}}]

98

7.6. Manipulación de datos numéricos

Cuando usted tiene datos numéricos, es a menudo conveniente encontrar una
fórmula simple que los aproxime. Por ejemplo, usted puede tratar de “ajustar”
(“fit”) una línea o curva tomando los puntos de sus datos.

Fit[{y1, y2, ...}, ajusta los valores y n para una combinación
{f1, f2, ...}, x] lineal de funciones f i
Fit[{{x1, y1},{x2, y2}, ajusta los puntos ( x n , y n ) para una
...},{f1, f2, ...}, x] combinación lineal de las f i
Ajuste de curvas para una combinación lineal de funciones.

Esto genera una tabla de valores numéricos de la función exponencial.
Table se discutirá en la sección 9.2.
data = Table[ Exp[x/5.] , {x, 7}]

Esto encuentra un ajuste de mínimos cuadrados para data de la forma
c1 + c 2 x + c3 x 2 . Los elementos de data se hacen corresponder con valores
1, 2, ... de x.
Fit[data, {1, x, x^2}, x]

Esto encuentra un ajuste de la forma c1 + c 2 x + c3 x 3 + c4 x 5 + c5 x 7 .
Fit[data, {1, x, x^3, x^5, x^7}, x]

Esto da una tabla de pares x, y .
data = Table[ {x, Exp[Sin[x]]} , {x, 0., 1., 0.2}]

99

Esto encuentra un ajuste para los nuevos datos, de la forma
c1 + c 2 sin( x) + c3 sin(2 x) .
Fit[%, {1, Sin[x], Sin[2x]}, x]

FindFit[data, form, encuentra un ajuste para form con
{p1, p2, ...}, x] parámetros pi
Ajuste de datos en formas generales.

Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general.
FindFit[data, a + b x + c x^2, {a, b, c}, x]

Este no es un ajuste lineal.
FindFit[data, a + b^(c + d x), {a, b, c, d}, x]

Una forma común de elegir “señales” en datos numéricos es encontrar la
transformada de Fourier, o espectro de frecuencia, de los datos.

Fourier[data] transformada numérica de Fourier
InverseFourier[data] transformada inversa de Fourier
Transformadas de Fourier.

He aquí un pulso cuadrado simple.
data = {1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1}

Esto toma la transformada de Fourier del pulso.
Fourier[data]

Note que la función Fourier en Mathematica es definida con la convención de
signo típicamente usada en las ciencias físicas en contraste a la que a menudo es
usada en ingeniería eléctrica.

100

7.7. Estadística

Mean[data] media (promedia valores)
Median[data] mediana (valor central)
Variance[data] varianza
StandardDevia desviación estándar
tion[data]
Quantile[data, q] cuantil q-ésimo
Total[data] total de valores
Estadística descriptiva básica.

He aquí algunos datos.
data = {4.3, 7.2, 8.4, 5.8, 9.2, 3.9}

Esto da la media de sus datos.
Mean[data]

He aquí la varianza.
Variance[data]

El conjunto de paquetes estándares distribuidos con Mathematica incluyen varios
comandos para hacer análisis estadísticos de datos más sofisticados.

Statistics`Descripti funciones de estadística descriptiva
veStatistics`
Statistics`Multiva funciones de estadística descriptiva
riateDescripti multivariante
veStatistics`
Statistics`Conti propiedades de distribuciones estadísticas
nuousDistributions` continuas
Statistics`Discre propiedades de distribuciones estadísticas
teDistributions` discretas
Statistics`Hypo contrastes de hipótesis basados en la
thesisTests` distribución normal
Statistics`Confi intervalos de confianza sacados de la
denceIntervals` distribución normal

101

Statistics`Multi propiedades de distribuciones basadas en la
normalDistribution` distribución normal multivariante
Statistics`Li análisis de regresión lineal
nearRegression`
Statistics`Non ajuste no lineal de datos
linearFit`
Statistics`Data alisamiento de datos
Smoothing`
Statistics`Data utilidades para manipulación de datos
Manipulation`
Algunos paquetes estándares de análisis estadístico.

8. Funciones y programas

8.1. Definición de funciones

En esta parte del libro, hemos visto muchos ejemplos de funciones que son
construidas en Mathematica. En esta sección, mostramos como usted puede añadir
sus propias funciones simples a Mathematica. La parte 2 describirá en mayor
detalle los mecanismos para añadir funciones a Mathematica.

Como un primer ejemplo, piense añadir una función llamada f que eleva al
cuadrado su argumento. El comando en Mathematica para definir esta función es
f[x_]:=x^2. El _ (subguión) del miembro de la izquierda es muy importante; lo
que esto significa será mencionado debajo. Por ahora, solamente acuérdese de
poner un _ en el miembro de la izquierda, pero no en el miembro de la derecha, de
su definición.

Esto define la función f. Note el _ en el miembro de la izquierda.
f[x_] := x^2

f eleva al cuadrado su argumento.
f[a+1]

El argumento puede ser un número.
f[4]

102

O puede ser una expresión más complicada.
f[3x + x^2]

Usted puede usar f en un cálculo.
Expand[f[(x+1+y)]]

Esto muestra la definición que usted hizo para f.
?f

f[x_]:=x^2 define la función f
?f muestra la definición de f
Clear[f] borra todas las definiciones de f
Definición de una función en Mathematica.

Los nombres como f que usa para funciones en Mathematica son solamente
símbolos. A causa de esto, debería evitar usar nombres que comienzan con
mayúsculas, para prevenir la confusión con las funciones predefinidas en
Mathematica. También debería asegurarse que no ha usado los nombres
anteriormente en su sesión.

Las funciones en Mathematica pueden tener cualquier número de
argumentos.
hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^2 / xmax

Usted puede usar la función hump tal como cualquiera de las funciones
predefinidas.
2 + hump[x, 3.5]

Esto da una nueva definición para hump, que sobrescribe la anterior.
hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^4

103

La nueva definición es mostrada.
?hump

Esto limpia todas las definiciones para hump.
Clear[hump]

Cuando ha terminado con una función particular, es siempre buena idea limpiar
definiciones que haya hecho para ella. Si no hace esto, entonces podría incurrir en
un problema si trata de usar la misma función para un propósito diferente más
adelante en su sesión de Mathematica. Usted puede limpiar todas las definiciones
que haya hecho para una función o símbolo f usando Clear[f].

8.2. Funciones como procedimientos

En muchas clases de cálculos, usted puede encontrarse digitando la misma entrada
a Mathematica muchas veces. Usted puede ahorrarse mucha digitación definiendo
una función que contiene sus comandos de entrada.

Esto construye un producto de tres términos, y expande el resultado.
Expand[ Product[x + i, {i, 3}] ]

Esto hace lo mismo, pero con cuatro términos.
Expand[ Product[x + i, {i, 4}] ]

Esto define una función exprod que construye un producto de n términos,
luego lo expande.
exprod[n_] := Expand[ Product[ x + i, {i, 1, n} ] ]

Siempre que usa la función, ejecutará las operaciones Product y Expand.
exprod[5]

104

Las funciones que define en Mathematica son esencialmente procedimientos que
ejecutan los comandos que usted da. Puede tener varios pasos en sus
procedimientos, separados por puntos y coma.

El resultado que obtiene de la función es simplemente la última expresión en
el procedimiento. Note que tiene que poner paréntesis alrededor del
procedimiento cuando lo define.
cex[n_, i_] := ( t = exprod[n];
Coefficient[t, x^i] )

Esto “corre” el procedimiento.
cex[5, 3]

expr1; expr2; ... una secuencia de expresiones para evaluar
Module[{a, b, ...}, proc] un procedimiento con variables locales a, b,
...
Construcción de procedimientos.

Cuando usted escribe procedimientos en Mathematica, es por lo general una buena
idea declarar como locales las variables que usa dentro de los procedimientos, de
modo que no interfieran con cosas fuera de los procedimientos. Puede hacer esto
estableciendo sus procedimientos como módulos, en los cuales da una lista de
variables para ser tratadas como locales.

La función cex arriba definida no es un módulo, así que el valor de t
“escapa”, y existe incluso después de la evaluación de la función.
t

Esta función es definida como un módulo con variable local u.
ncex[n_, i_] := Module[{u}, u = exprod[n];
Coefficient[u, x^i]]

La función devuelve el mismo resultado que la anteriormente definida.
ncex[5, 3]

105

Ahora, sin embargo, el valor de u no se escapa de la función.
u

8.3. Operaciones repetitivas

En el uso de Mathematica, a veces tiene que repetir una operación muchas veces.
Hay muchos modos de hacer esto. A menudo el más natural es de hecho establecer
una estructura como una lista con muchos elementos, y luego aplicar su operación
a cada uno de los elementos.

Otra forma es usar la función de Mathematica Do, que trabaja de manera muy
parecida a los iteradores en lenguajes como C y Fortran. Do usa la notación
estándar de Mathematica para iteradores introducida para Sum y Product en la
sección 6.4.

Do[expr, {i, imax}] evalúa expr con i variando de 1 a imax
Do[expr, {i, imin, evalúa expr con i variando de imin a imax en
imax, di}] pasos de di
Print[expr] imprime expr
Table[expr, {i, imax}] hace una lista de valores de expr con i
variando de 1 a imax
Implementación de operaciones repetitivas.

Esto imprime las salidas de los valores de los cinco primeros factoriales.
Do[ Print[i!], {i, 5} ]

A menudo es más útil tener una lista de los resultados, que usted luego
puede manipular posteriormente.
Table[ i!, {i, 5} ]

106

Si usted no da una variable de iteración, Mathematica simplemente repite la
operación que usted ha especificado, sin cambiar algo.
r = 1; Do[ r = 1/(1 + r), {100} ]; r

8.4. Reglas de transformación para funciones

La sección 5.2 mencionó como usted puede usar las reglas de transformación de la
forma x->valor para sustituir símbolos por valores. La noción de reglas de
transformación en Mathematica es, sin embargo, bastante general. Usted puede
establecer reglas de transformación no sólo para símbolos, sino para cualquier
expresión de Mathematica.

Aplicación de la regla de transformación x->3 que reemplaza x por 3.
1 + f[x] + f[y] /. x -> 3

Puede usar una regla de transformación para f[x]. Esta regla no afecta a
f[y].
1 + f[x] + f[y] /. f[x] -> p

f[t_] es un patrón que admite cualquier argumento para f.
1 + f[x] + f[y] /. f[t_] -> t^2

Probablemente el aspecto más potente de las reglas de transformación en
Mathematica es que ellas pueden involucrar expresiones no sólo literales, sino
también patrones. Un patrón es una expresión como f[t_] que contiene un _
(subguión). El subguión representa cualquier expresión. Así, una regla de
transformación para f[t_] especifica cómo la función f con cualquier
argumento debería ser transformada. Note que, en contraste, una regla de
transformación para f[x] sin un subguión, especifica sólo como la expresión
literal f[x] debería ser transformada, y por ejemplo, no dice nada sobre la
transformación de f[y].

107

Cuando usted da una definición de función como f[t_]:=t^2, todo lo que hace
es decir a Mathematica que aplique automáticamente la regla de transformación
f[t_]->t^2 siempre que es posible.

Usted puede establecer reglas de transformación para expresiones de
cualquier forma.
f[a b] + f[c d] /. f[x_ y_] -> f[x] + f[y]

Esto usa una regla de transformación para x^p_.
1 + x^2 + x^4 /. x^p_ -> f[p]

Las secciones 2.3 y 2.5 explicarán detalladamente como establecer patrones y
reglas de transformación para cualquier clase de expresión. Basta decir aquí que en
Mathematica todas las expresiones tienen una estructura simbólica definida; las
reglas de transformación le permiten transformar partes de aquella estructura.

9. Listas

9.1. Juntar objetos

Primero encontramos listas en la sección 3.3 como una forma de agrupar números.
En esta sección, veremos diferentes formas de usar listas. Usted encontrará que las
listas son algunos de los objetos más flexibles y poderosos en Mathematica. Verá
que las listas en Mathematica representan las generalizaciones de varios conceptos
estándar en matemáticas e informática.

En un nivel básico, lo que esencialmente hace una lista en Mathematica es
proporcionar una forma de agrupar varias expresiones de cualquier clase.

He aquí una lista de números.
{2, 3, 4}

Esto da una lista de expresiones simbólicas.
x^% - 1

108

Usted puede derivar estas expresiones.
D[%, x]

Y luego puede encontrar los valores cuando x es reemplazado por 3.
% /. x -> 3

Las funciones matemáticas que son construidas en Mathematica sobre todo son
hechas “listables” de modo que actúen separadamente sobre cada elemento de una
lista. Esto no es, sin embargo, cierto para todas las funciones en Mathematica. A
no ser que usted las establezca, como una nueva función f que le permita
introducir listas como argumentos.

9.2. Fabricación de tablas de valores

Usted puede usar listas como tablas de valores. Puede generar las tablas, por
ejemplo, evaluando una expresión para una secuencia de diferentes valores de un
parámetro.

Esto da una tabla de los valores de i 2 , con i variando de 1 a 6.
Table[i^2, {i, 6}]

He aquí una tabla de sin(n / 5) para n de 0 a 4.
Table[Sin[n/5], {n, 0, 4}]

Esto da los valores numéricos.
N[%]

También puede hacer tablas de fórmulas.
Table[x^i + 2i, {i, 5}]

109

Table usa exactamente la misma notación para el iterador que las
funciones Sum y Product, que fueron mencionadas en la sección 6.4.
Product[x^i + 2i, {i, 5}]

Esto hace una tabla con valores de x variando desde 0 hasta 1 en pasos de
0.25.
Table[Sqrt[x], {x, 0, 1, 0.25}]

Usted puede realizar otras operaciones en las listas que obtiene con Table.
%^2 + 3

TableForm muestra las listas en un formato “tabular”. Note que ambas
palabras en TableForm empiezan con mayúsculas.
% // TableForm

Todos los ejemplos hasta ahora han sido de tablas obtenidas variando un sólo
parámetro. Usted también puede hacer tablas que involucran varios parámetros.
Estas tablas multidimensionales son especificadas usando las notaciones estándares
para el iterador en Mathematica, mencionadas en la sección 6.4.

Esto hace una tabla de x i + y j con i variando desde 1 hasta 3 y j
variando desde 1 hasta 2.
Table[x^i + y^j, {i, 3}, {j, 2}]

La tabla en este ejemplo es una lista de listas. Los elementos de la lista externa
corresponden a los valores sucesivos de i . Los elementos de cada lista interior
corresponden a los valores sucesivos de j , con i fijo.

110

A veces puede querer generar una tabla evaluando una expresión particular muchas
veces, sin incrementar alguna variable.

Esto crea una lista conteniendo cuatro copias del símbolo x.
Table[x, {4}]

Esto da una lista de cuatro números seudo aleatorios. Table reevalúa
Random[] para cada elemento en al lista, de modo que usted consigue un
número diferente pseudoarbitrario.
Table[Random[ ], {4}]

Table[f, {imax}] da una lista de imax valores de f
Table[f, {i, imax}] da una lista de los valores de f con i variando
de 1 a imax
Table[f, {i, imin, imax}] da una lista de valores con i variando de imin
a imax
Table[f, {i, imin, imax, di}] usa pasos de di
Table[f, {i, imin, imax}, genera una tabla multidimensional
{j, jmin, jmax}]
TableForm[list] muestra una lista en forma tabular
Funciones para generar tablas.

Usted puede usar las operaciones mencionadas en la sección 3.4 para extraer los
elementos de la tabla.

Esto crea una tabla de 2×2, y le da el nombre m.
m = Table[i - j, {i, 2}, {j, 2}]

Esto extrae la primera sublista de la lista de listas, m.
m[[1]]

Esto extrae el segundo elemento de aquella sublista.
%[[2]]

111

Esto hace las dos operaciones juntas.
m[[1,2]]

Esto muestra m en forma “tabular”.
TableForm[m]

t[[i]] o Part[t, i] da la i-ésima sublista en t (también acepta la
forma )
t[[{i1, i2, ...}]] o da una lista de las i1, i2, ... partes de t
Part[t, {i1, i2, ...}]
t[[i, j, ...]] o da la parte de t correspondiente a
Part[t, i, j, ...] t[[i]][[ j]] ...
Implementación de operaciones repetitivas.

Como mencionamos en la sección 3.4, usted puede usar las listas en Mathematica
de modo análogo a los “arrays”. Las listas de listas se usan entonces como series
bidimensionales. Cuando usted los presenta en una forma tabular, los dos índices
de cada elemento son como sus coordenadas x e y.

Puede usar Table para generar arrays de cualquier dimensión.

Esto genera un array tridimensional de 2×2×2. Es una lista de listas de listas.
Table[i j^2 k^3, {i, 2}, {j, 2}, {k, 2}]

9.3. Vectores y matrices

Vectores y matrices en Mathematica simplemente son representados por listas y
por listas de listas, respectivamente.

{a, b, c} vector (a, b, c)
{{a, b}, {c, d}} a b 
matriz 
c d 

 
Representación de vectores y matrices por listas.

112

Esta es una matriz 2×2.
m = {{a, b}, {c, d}}

He aquí la primera fila.
m[[1]]

He aquí el elemento m12 .
m[[1,2]]

Este es un vector de dos componentes.
v = {x, y}

Los objetos p y q son tratados como escalares.
p v + q

Los vectores son sumados componente más componente.
v + {xp, yp} + {xpp, ypp}

Esto calcula el producto punto (“escalar”) de dos vectores.
{x, y} . {xp, yp}

Usted también puede multiplicar una matriz por un vector.
m . v

O una matriz por una matriz.
m . m

113

O un vector por una matriz.
v . m

Esta combinación genera un escalar.
v . m . v

Debido a la forma en que Mathematica usa listas para representar vectores y
matrices, usted nunca tiene que distinguir entre los vectores de la “fila” y de la
“columna”.

Table[f, {i, n}] construye un vector de longitud n evaluando
f para i = 1, 2, ..., n
Array[a, n] construye un vector de longitud n de la
forma {a[1], a[2], ...}
Range[n] crea la lista {1, 2, 3 ... , n}
Range[n1, n2] crea la lista { n1, n1 + 1, ... , n2}
Range[n1, n2, dn] crea la lista { n1, n1 + dn, ... , n2}
list[[i]] o Part[list, i] da el i-ésimo elemento del vector list
Length[list] da el número de elementos de list
ColumnForm[list] muestra los elementos de list en una columna
cv multiplica por un escalar
a.b producto punto de vectores
Cross[a, b] producto vectorial de vectores
Norm[b] norma de un vector
Funciones para vectores.

Table[f, {i, n}, {j, m}] construye una matriz m×n evaluando f para i
variando desde 1 hasta m y j variando desde
1 hasta n
Array[a, m, n] construye una matriz m×n con elementos
a[i, j]
IdentityMatrix[n] genera una matriz identidad n×n
DiagonalMatrix[list] genera una matriz cuadrada con los
elementos de list en la diagonal
list[[i]] o Part[list, i] da la i-ésima fila de la matriz list

114

list[[All, j]] o da la j-ésima columna de la matriz list
Part[list, All, j]
list[[i, j]] o da el elemento i, j de la matriz list
Part[list, i, j]
Dimensions[list] da las dimensiones de la matriz list
MatrixForm[list] muestra list en forma matricial
Funciones para matrices.

Esto construye una matriz 3×3 con elementos si, j = i + j .

s = Table[i+j, {i, 3}, {j, 3}]

Esto muestra s en un formato estándar de matriz bidimensional.
MatrixForm[s]

Esto da un vector con elementos simbólicos. Usted puede usar esto para
obtener fórmulas generales válidas con cualquier tipo de componentes de un
vector.
Array[a, 4]

Esto da una matriz 3×2 con elementos simbólicos.
Array[p, {3, 2}]

He aquí las dimensiones de la matriz previamente definida.
Dimensions[%]

Esto genera una matriz diagonal 3×3.
DiagonalMatrix[{a, b, c}]

115

cm multiplicación por un escalar
a.b producto matricial
Inverse[m] matriz inversa
MatrixPower[m, n] n-ésima potencia de una matriz
Det[m] determinante
Tr[m] traza
Transpose[m] transpuesta
Eigenvalues[m] valores propios
Eigenvectors[m] vectores propios
Algunas operaciones matemáticas en matrices.

He aquí la matriz 2×2 de variables simbólicas que fue definida
anteriormente.
m

Esto da su determinante.
Det[m]

He aquí la transpuesta de m.
Transpose[m]

Esto da la inversa de m en forma simbólica.
Inverse[m]

He aquí una matriz racional 3×3.
h = Table[1/(i+j-1), {i, 3}, {j, 3}]

Esto da su inversa.
Inverse[h]

116

Multiplicando la inversa con la matriz original da la matriz identidad.
% . h

He aquí una matriz 3×3.
r = Table[i+j+1, {i, 3}, {j, 3}]

Eigenvalues da los valores propios de la matriz.
Eigenvalues[r]

Eigenvectors da los vectores propios de la matriz.
Eigenvectors[r]

Esto da una aproximación numérica de la matriz.
rn = N[r]

He aquí las aproximaciones numéricas para los valores propios.
Eigenvalues[rn]

9.4. Elegir elementos de listas

First[list] el primer elemento de la lista
Last[list] el último elemento
Part[list, n] o list[[n]] el n-ésimo elemento
Part[list, –n] o list[[–n]] el n-ésimo elemento empezando del final
Part[list, {n1, n2, ...}] o la lista de elementos de las posiciones n1, n2,
list[[{n1, n2, ...}]] ...
Selección de elementos de listas.
117

Usaremos esta lista para los ejemplos.
t = {a,b,c,d,e,f,g}

He aquí el último elemento de t.
Last[t]

Esto da el tercer elemento.
t[[3]]

Esto da una lista del primero y cuarto elementos.
t[[ {1, 4} ]]

Take[list, n] los n primeros elementos de list
Take[list, –n] los n últimos elementos
Take[list, {m, n}] elementos m hasta n (inclusive)
Rest[list] list con su primer elemento quitado
Drop[list, n] list con sus n primeros elemento quitados
Most[list] list con su último elemento quitado
Drop[list, –n] list con sus n últimos elemento quitados
Drop[list, {m, n}] list con sus elementos m hasta n quitados
Selección de secuencias de listas.

Esto da los tres primeros elementos de la lista t arriba definida.
Take[t, 3]

Esto da los tres últimos elementos.
Take[t, -3]

Esto da los elementos 2 hasta 5 inclusive.
Take[t, {2, 5}]

118

Esto da los elementos 3 hasta 7 en pasos de 2.
Take[t, {3, 7, 2}]

Esto da t con el primer elemento quitado.
Rest[t]

Usando Drop usted puede realizar la misma operación que con Rest.
Drop[t, 1]

Esto da t con su primeros tres elementos quitados.
Drop[t, 3]

Esto da t con sólo su tercer elemento quitado.
Drop[t, {3, 4}]

Las funciones en esta sección le permiten elegir partes ubicadas en posiciones
particulares de las listas.

9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista

Position[list, form] posiciones en las cuales form ocurre en
list
Count[list, form] número de veces que form aparece como un
elemento de list
MemberQ[list, form] prueba si form es un elemento de
list
FreeQ[list, form] prueba si form no ocurre en ninguna parte
list
Prueba y búsqueda de elementos de una lista.

119

La sección anterior mostró como extraer partes de listas basándose en sus
posiciones o índices. Mathematica también tiene funciones que buscan y prueban
elementos de listas, basándose en los valores de aquellos elementos.

Esto da una lista de las posiciones en las cuales a aparece en la lista.
Position[{a, b, c, a, b}, a]

Count cuenta el número de ocurrencias de a.
Count[{a, b, c, a, b}, a]

Esto muestra que a es un elemento de {a,b,c}.
MemberQ[{a, b, c}, a]

Por otra parte d, no lo es.
MemberQ[{a, b, c}, d]

Esto asigna a m una matriz identidad 3×3.
m = IdentityMatrix[3]

Esto muestra que 0 ocurre en alguna parte de m.
FreeQ[m, 0]

Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 0 en m.
Position[m, 0]

Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 1 en m.
Position[m, 1]

120

9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista

Prepend[list, element] agrega element al inicio de list
Append[list, element] agrega element al final de list
Insert[list, element, i] inserta element en la posición i de list
Insert[list, element, –i] inserta en la posición i contando desde el
final de list
Delete[list, i] borra el elemento de la posición i de list
ReplacePart[list, new, i] reemplaza el elemento de la posición i de list
con new
ReplacePart[list, new, reemplaza list[[i, j]] con new
{i, j}]
Funciones para manipular elementos en listas explícitas.

Esto da una lista con x insertado.
Prepend[{a, b, c}, x]

Esto inserta x en la posición 2.
Insert[{a, b, c}, x, 2]

Esto reemplaza el tercer elemento en la lista con x.
ReplacePart[{a, b, c, d}, x, 3]

Esto reemplaza el elemento 1, 2 en una matriz 2×2.
ReplacePart[{{a, b}, {c, d}}, x, {1, 2}]

Las funciones como ReplacePart toman listas explícitas y dan nuevas listas. A
veces, sin embargo, puede ser que desee modificar una lista, sin generar
explícitamente una nueva lista.

v = { e1, e2, ...} asigna una lista a una variable
v[[i]] = new asigna un nuevo valor para el i-ésimo
elemento
Reseteo de los elementos de una lista.
121

Esto define v como una lista.
v = {a, b, c, d}

Esto indica que el tercer elemento debe ser x.
v[[3]] = x

Ahora v ha sido cambiado.
v

m[[i,j]] = new reemplaza el elemento i, j de una matriz
m[[i]] = new reempaza la i-ésima fila
m[[All,j]] = new reempaza la j-ésima columna
Reseteo de elementos de matrices.

Esto define m como una matriz.
m = {{a, b}, {c, d}}

Esto reemplaza los elementos de la primera columna de la matriz.
m[[All, 1]] = {x, y}; m

Esto hace que los elementos de la primera columna sean 0.
m[[All, 1]] = 0; m

9.7. Combinación de listas

Join[list1, list2, ...] concatena listas
Union[list1, list2, ...] combina lista quitando los elementos
repetidos y ordenando el resultado
Funciones para combinar listas.

122

Join concatena cualquier cantidad de listas.
Join[{a, b, c}, {x, y}, {t, u}]

Union combina listas, manteniendo sólo los elementos distintos.
Union[{a, b, c}, {c, a, d}, {a, d}]

9.8. Listas y conjuntos

Mathematica por lo general mantiene los elementos de una lista en el orden en que
se ingresaron. Si quiere tratar una lista de Mathematica como un conjunto
matemático, sin embargo, puede que desee ignorar el orden de los elementos en la
lista.

Union[list1, list2, ...] da una lista de los distintos elementos en las
listi
Intersection[list1, list2, da una lista de los elementos que son
...] comunes a todas las listi
Complement[universo, da una lista de los elementos que están en el
list1, ...] universo, pero no en cualquiera de las listi
Subsets[list] da el conjunto potencia de list
Funciones de la teoría de conjuntos.

Union da los elementos que aparecen en cualquiera de las listas.
Union[{c, a, b}, {d, a, c}, {a, e}]

Intersection da sólo elementos que aparecen n en todas las listas.
Intersection[{a, c, b}, {b, a, d, a}]

Complement da elementos que aparecen en la primera lista, pero no en
cualquiera de las otras.
Complement[{a, b, c, d}, {a, d}]

123

Esto da el conjunto potencia de la lista.
Subsets[{a, b, c}]

9.9. Reordenamiento de listas

Sort[list] clasifica los elementos de list en orden
Union[list] da una lista de los elementos que son
comunes a todas las listi
Reverse[list] invierte el orden de los elementos de list
RotateLeft[list] rota los elementos de list n lugares a la
izquierda
RotateRight[list] rota n lugares a la derecha
Funciones para reordenar listas.

Esto ordena los elementos de una lista en forma estándar. En casos simples
como éste el ordenamiento es alfabético o numérico.
Sort[{b, a, c, a, b}]

Esto ordenada los elementos, quitando los que están duplicados.
Union[{b, a, c, a, b}]

Esto rota los elementos de la lista dos lugares a la izquierda.
RotateLeft[{a, b, c, d, e}, 2]

Puede rotar a la derecha dando un valor negativo, o usando RotateRight.
RotateLeft[{a, b, c, d, e}, -2]

PadLeft[list, len, x] completa list en la izquierda con x hasta
lograr la longitud len
PadRight[list, len, x] completa list en la derecha
Completar listas.

124

Esto completa una lista con varias x hasta lograr que tenga longitud 10.
PadLeft[{a, b, c}, 10, x]

9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas

Partition[list, n] particiona listas en piezas de n elementos
Partition[list, n, d] use d para piezas sucesivas
Split[list] da el conjunto potencia de list
Funciones para agrupar elementos de listas.

He aquí una lista.
t = {a, b, c, d, e, f, g}

Esto agrupa los elementos en pares, deshaciéndose del último elemento.
Partition[t, 2]

Esto agrupa elementos en triadas. No hay traslapamiento entre las triadas.
Partition[t, 3]

Esto hace triadas de elementos, con cada triada sucesiva compensada por
sólo un elemento.
Partition[t, 3, 1]

Esto divide la lista en piezas de elementos idénticos.
Split[{a, a, b, b, b, a, a, a, b}]

Tuples[list, n] genera todas las n-uplas posibles de
elementos de list
Tuples[{list1, list2, ...}] genera el producto cartesiano list1×list2×...
Encuentra las uplas posibles de elementos en listas.
125

Esto da todas las formas posibles de escoger dos elementos de la lista.
Tuples[{a, b}, 2]

Esto da todas las formas posibles de escoger un elemento de cada lista.
Tuples[{{a, b}, {1, 2, 3}}]

9.11. Ordenamiento de listas

Sort[list] clasifica los elementos de list en orden
Min[list] el menor elemento en list
Ordering[list, n] posiciones de n menores elementos en
list
Max[list] el mayor elemento en list
Ordering[list, –n] posiciones de n mayores elementos en list
Ordering[list] el orden de todos los elementos en list
Permutations[list] todos los posibles ordenamientos de list
Ordenamiento de listas.

He aquí una lista.
t = {17, 21, 14, 9, 18}

Esto da el menor elemento de la lista.
Min[t]

Esto da las posiciones de los tres menores elementos.
Ordering[t, 3]

He aquí los elementos.
t[[%]]

126

9.12. Reorganización de listas anidadas

Flatten[list] elimina todos los niveles en list
Flatten[list, n] elimina los n más altos niveles en list
Partition[list, {n1, n2, particiona en bloques de tamaño n1×n2×...
...}]
Transpose[list] intercambia los dos niveles superiores de list
RotateLeft[list, {n1, n2, rota niveles sucesivos n lugares
...}]
PadLeft[list, {n1, n2, completa niveles sucesivos hasta lograr la
...}] longitud ni
Algunas funciones para reorganizar listas anidadas.

Esto “elimina” las sublistas. Usted tomarlo como tan solo un comando
eficaz que quita todos las llaves interiores.
Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}]

Esto elimina sólo un nivel de sublista.
Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1]

Hay muchas otras operaciones que usted puede realizar en listas anidadas.

10. Gráficos y Sonido

10.1. Gráficos básicos

Plot[f, {x, xmin, xmax}] genera todas las n-uplas posibles de
elementos de list
Plot[{f1, f2, ...}, genera el producto cartesiano list1×list2×...
{x, xmin, xmax}]
Trazado básico de funciones.

Esto traza un gráfico de sin( x) como una función de x desde 0 hasta 2π.
Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]

127

Puede trazar funciones que tienen singularidades. Mathematica tratará de
encontrar escalas apropiadas.
Plot[Tan[x], {x, -3, 3}]

Puede dar una lista de funciones para que sean trazadas.
Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, 0, 2Pi}]

Para obtener curvas suaves, Mathematica tiene que evaluar las funciones que usted
desea trazar en un gran número de puntos. Por consiguiente, es importante que
establezca las cosas de modo que cada evaluación de las funciones sea tan rápida
como se pueda.

128

Cuando pide a Mathematica que trace un objeto, digamos f, como una función de
x, Mathematica puede hacerlo de dos formas. La primera es tratar a f como una
expresión simbólica en términos de x, y luego evaluar esta expresión
numéricamente para los valores específicos de x necesarios en el trazado. La
segunda es calcular primero que valores de x son necesarios, y sólo posteriormente
evaluar f con aquellos valores de x.

Si digita Plot[f, {x, xmin, xmax}] es usada la segunda alternativa. Esto tiene la
ventaja que Mathematica sólo trata de evaluar f para valores numéricos específicos
de x; sin importar si f define valores sensibles cuando x es simbólico.

Hay, sin embargo, algunos casos en los cuales es mucho mejor tener f evaluada
antes de empezar a hacer el trazado. Un caso típico es cuando f es en realidad un
comando que genera una tabla de funciones. Usted puede hacer que Mathematica
primero produzca la tabla, y en seguida evalúe las funciones, antes que producir la
tabla de nuevo para cada valor de x. Puede hacer esto digitando
Plot[Evaluate[f], {x, xmin, xmax}].

Esto hace un trazado de las funciones Bessel J n ( x) con n variando desde 1
hasta 4. Evaluate le dice a Mathematica que primero haga la tabla de
funciones, y sólo entonces evalúe para valores particulares de x.
Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n, x], {n, 4}]],
{x, 0, 10}]

Esto encuentra la solución numérica de una ecuación diferencial, como se
mostró en la sección 7.4.
NDSolve[{y'[x] == Sin[y[x]], y[0] == 1}, y,
{x, 0, 4}]

129

He aquí un trazado de la solución. Evaluate le dice a Mathematica que
primero obtenga un objeto con InterpolatingFunction, y luego lo evalúe en
una secuencia de valores de x.
Plot[Evaluate[ y[x] /. % ], {x, 0, 4}]

Plot[f, {x, xmin, xmax}] primero obtiene valores numéricos para x,
luego evalúa f para cada valor de x
Plot[Evaluate[f], primero evalúa f, luego obtiene valores
{x, xmin, xmax}] numéricos específicos de f
Plot[Evaluate[Table[ genera una lista de funciones, y las traza
f,...]],{x, xmin, xmax}]
Plot[Evaluate[y[x] /. traza una solución numérica para una
solution]],{x, xmin, xmax}] ecuación diferencial obtenida con NDSolve
Métodos para establecer objetos a trazar.

10.2. Opciones

Cuando Mathematica traza un gráfico para usted, tiene que escoger muchas
opciones. Tiene que resolverse lo que deben ser las escalas, donde se debe mostrar
la función, cómo deben dibujarse los ejes, etcétera. La mayoría de las veces,
Mathematica probablemente tomará opciones bastante buenas. Sin embargo, si
usted quiere obtener los mejores dibujos posibles para sus objetivos particulares,
debería ayudar a Mathematica en la elección de algunas de sus opciones.

Hay un mecanismo general para especificar “opciones” en las funciones de
Mathematica. Cada opción tiene un nombre definido. Como últimos argumentos de
una función como Plot, usted puede incluir una secuencia de reglas de la forma
nombre -> valor, para especificar los valores de varias opciones. A cualquier
opción para la cual usted no da una regla explícita se le asigna su valor por
“defecto”.

130

Plot[f, {x, xmin, xmax}, hace un trazado, especificando un valor
option -> value] particular para una opción
Elección de una opción para el trazado de un gráfico.

Una función como Plot tiene muchas opciones que usted puede ajustar. Por lo
general tendrá que usar varias de ellas a la vez.

Si usted quiere optimizar un trazado particular, probablemente deberá
experimentar, intentando una secuencia de diferentes ajustes para varias opciones.

Cada vez que usted produce un gráfico, puede especificar opciones para él. La
sección 10.3 mencionará como usted puede cambiar algunas opciones, aún después
de que ha producido el gráfico.

nombre de la opción valor por defecto
AspectRatio 1/GoldeRatio proporción alto-ancho de
el gráfico; Automatic
se usa para escalas iguales
de x e y
Axes Automatic si se desea incluir ejes
AxesLabel None etiquetas para colocarles a
los ejes; {xlabel, None}
especifica una etiqueta
para el eje x; {xlabel,
ylabel} especifica una
etiqueta para ambos ejes
AxesOrigin Automatic el punto en el que se
interceptan los ejes
TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar
para el texto del gráfico
FormatType StandardForm el tipo de formato por
defecto a usar para el
texto en el gráfico
DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos;
Identity no los
muestra
Frame False si desea dibujar un marco
alrededor del gráfico

131

FrameLabel None etiquetas alrededor del
marco; dé una lista
ordenada en sentido
horario empezando con el
valor inferior del eje x
FrameTicks Automatic qué marcas dibujar si hay
un marco; None no
muestra ninguna marca
GridLines None qué líneas de cuadrícula
incluir; Automatic
incluye una línea para
cada marca importante
PlotLabel None una expresión que se
imprimirá como etiqueta
para el gráfico
PlotRange Automatic el rango de las
coordenadas a incluir en el
gráfico; All incluye
todos los puntos
Ticks Automatic indica qué marcas dibujar
si hay ejes; None no
muestra ninguna marca
Algunas de las opciones de Plot. Estas opciones también pueden usarse en Show.

He aquí un gráfico con todas las opciones que tienen sus valores por
defecto.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}]

Esto dibuja ejes sobre un marco alrededor del gráfico.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame->True]

132

Esto especifica las etiquetas para los ejes x e y. Las expresiones que usted
da como etiquetas son impresas como salidas de Mathematica. Puede dar
cualquier porción de texto poniéndolo entre comillas.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3},
AxesLabel -> {"x value", "Sin[x^2]"} ]

Usted puede dar varias opciones al mismo tiempo, en cualquier orden.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3},
Frame -> True, GridLines -> Automatic]

133

Ajustar la opción AspectRatio cambia la forma entera de su gráfico.
AspectRatio da el cociente del ancho y alto. Su valor por defecto es el
inverso de la proporción áurea–supuestamente la forma más agradable para
un rectángulo.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AspectRatio -> 1]

Automatic usa algoritmos internos
None no incluye esto
All incluye todo
True hace esto
False no hace esto
Algunos ajustes comunes para varias opciones.

Cuando Mathematica traza un gráfico, intenta ajustar las escalas de x e y para
incluir sólo las partes “interesantes” del gráfico. Si su función aumenta muy
rápidamente, o tiene singularidades, las partes donde se torna demasiado grande
serán cortadas. Especificando la opción PlotRange, usted puede controlar
exactamente qué rangos de las coordenadas x e y se incluyen en su gráfico.

Automatic muestra por lo menos una fracción grande de
los puntos, incluyendo la región
“interesante” (ajuste por defecto)
All muestra todos los puntos
{ymin, ymax} muestra un rango específico de los valores
de y
{xrange, yrange} muestra los rangos especificados de los
valores de x e y
Ajustes para la opción PlotRange.

134

Ajustar la opción PlotRange da los límites explícitos de y para el gráfico.
Con los límites especificados aquí, el fondo de la curva es cortado.
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3},
PlotRange -> {0, 1.2}]

Mathematica siempre trata de trazar funciones como curvas suaves. Por
consiguiente, en lugares donde su función oscila mucho, Mathematica usará más
puntos.

En general, Mathematica intenta adaptar el muestreo de su función a la forma de
la función. Hay, sin embargo, un límite, que usted puede ajustar, para cómo
finalmente Mathematica muestreará una función.

La función sin ( 1 )
x
oscila infinitamente a menudo cuando x 0.
Mathematica intenta muestrear más puntos en la región donde la función
oscila mucho, pero nunca puede muestrear el número infinito que usted
necesitaría para reproducir la función exactamente. Por consiguiente, hay
leves interferencias en el diagrama.
Plot[Sin[1/x], {x, -1, 1}]

135

PlotStyle Automatic una lista de listas de
directivas para gráficos a
utilizar para cada curva
PlotPoints 25 el mínimo número de
puntos para muestrear la
función
MaxBend 10. el ángulo máximo de
flexión entre segmentos
sucesivos de una curva
PlotDivision 30. el factor máximo de
subdivisión del muestreo
de la función
Compiled True si desea compilar la
función que es trazada
Más opciones para Plot. Estas opciones no pueden usarse en Show.

Es importante comprender que puesto que Mathematica puede muestrear su
función solamente en un número limitado de puntos, siempre pueden faltar
características de la función. Aumentando PlotPoints, usted puede hacer que
Mathematica muestree su función en un mayor número de puntos. Por supuesto,
cuanto mayor sea PlotPoints, más demora Mathematica en trazar cualquier
función, incluso si ésta es suave.

Ya que Plot tiene que evaluar su función muchas veces, es importante hacer
cada evaluación tan rápida como sea posible. Por consiguiente, Mathematica por lo
general compila su función en un pseudocódigo de bajo nivel que puede ser
ejecutado de manera muy eficiente. Un problema potencial con esto, sin embargo,
es que el pseudocódigo permite sólo operaciones numéricas acordes a la precisión
de máquina. Si la función que usted traza requiere operaciones de precisión más
alta, debería apagar la compilación en Plot. Usted puede hacer esto poniendo la
opción Compile -> False.

Note que Mathematica sólo puede compilar el “código en línea”; no puede, por
ejemplo, compilar funciones que usted ha definido. Por consiguiente, cuando
posible, debería usar Evaluate como se describe en la sección 10.1 para evaluar
cualquier definición y conseguir una forma tal que el compilador de Mathematica
puede manejar.

136

10.3. Rehacer y combinar gráficos

Mathematica guarda la información sobre cada gráfico que usted produce, de modo
que usted más tarde pueda rehacerlo. Cuando usted rehace gráficos, puede cambiar
algunas opciones que ha usado.

Show[plot] rehace un gráfico
Show[plot, option -> value] rehace con opciones cambiadas
Show[plot1, plot2, ...] combina varios gráficos
Show[GraphicsArray[ dibuja un array de gráficos
{{plot1, plot2, ...} , ...}]]
InputForm[plot] muestra información guardada de un gráfico
Funciones para manipular gráficos.

He aquí un gráfico simple. por lo general es impresa en la
línea de salida para apoyar la información que guarda Mathematica sobre el
gráfico.
Plot[ChebyshevT[7, x], {x, -1, 1}]

Esto rehace el gráfico anterior.
Show[%]

137

Cuando usted redibuja el gráfico, puede cambiar algunas de las opciones.
Esto cambia la opción del rango de y.
Show[%, PlotRange -> {-1, 2}]

Esto toma el gráfico anterior, y cambia otra opción en él.
Show[%, PlotLabel -> "A Chebyshev Polynomial"]

Usando Show con una secuencia de opciones diferentes, usted puede ver el mismo
gráfico de varias formas diferentes. Puede desear hacer esto, por ejemplo, si trata
de encontrar el mejor ajuste posible de opciones.

También puede usar Show para combinar gráficos. No importa si los gráficos no
tienen la misma escala: Mathematica siempre escogerá nuevas escalas para incluir
los puntos que usted quiere.

Esto fija gj0 para que sea un gráfico de J 0 ( x) desde x = 0 hasta 10.
gj0 = Plot[BesselJ[0, x], {x, 0, 10}]

138

He aquí el gráfico de Y1 ( x) desde x = 1 hasta 10.
gy1 = Plot[BesselY[1, x], {x, 1, 10}]

Esto muestra los dos gráficos anteriores combinadas en uno. Note que la
escala es ajustada apropiadamente
gjy = Show[gj0, gy1]

Usando Show[plot1, plot2, …] usted puede combinar varios gráficos en uno.
GraphicsArray le permite dibujar varios gráficos en un array.

Show[GraphicsArray[ dibuja una fila de gráficos
{plot1, plot2, ...}]]
Show[GraphicsArray[ dibuja una fila de gráficos
{{plot1}, {plot2}, ...}]]
139

Show[GraphicsArray[ dibuja un array rectangular de gráficos
{{plot11, plot12, ...} , ...}]]
Show[GraphicsArray[ especifica el espaciado horizontal y vertical
plots, GraphicsSpacing entre los gráficos
-> {h, v}]]
Dibujo de arrays de gráficos.

Esto muestra los últimos gráficos anteriores en un array.
Show[GraphicsArray[{{gj0, gjy}, {gy1, gjy}}]]

Si muestra de nuevo un array de gráficos con Show, cualquier opción que
especifica se usará para todo el array, antes que para gráficos individuales.
Show[%, Frame->True, FrameTicks->Automatic]

He aquí una forma de cambiar opciones para todos los gráficos del array.
Show[ % /. (Ticks -> Automatic) ->
(Ticks -> None) ]

140

GraphicsArray por defecto pone un borde estrecho alrededor de cada uno de
los gráficos en el array que produce. Usted puede cambiar este el tamaño de este
borde poniendo la opción GraphicsSpacing -> {h, v}. Los parámetros h y v
dan los espaciados horizontales y verticales a usarse.

Esto incrementa el espaciado horizontal, pero disminuye el espaciado
vertical entre los gráficos en el array.
Show[%, GraphicsSpacing -> {0.3, 0}]

Cuando usted traza un gráfico, Mathematica guarda la lista de puntos que este usó,
junto con alguna otra información. Usando lo guardado, usted puede rehacer
gráficos de muchas formas diferentes con Show. Sin embargo, usted debería
comprender que no importa que opciones especifique, Show todavía tiene el
mismo conjunto básico de puntos para trabajar. Por ejemplo, si usa opciones de
modo que Mathematica muestre una pequeña parte de su gráfico original ampliado,
usted probablemente será capaz de ver los puntos individuales de la muestra que
Plot ha usado. Las opciones como PlotPoints sólo pueden ajustarse en el
comando Plot original.

141

He aquí un gráfico simple.
Plot[Cos[x], {x, -Pi, Pi}]

Esto muestra una pequeña región del gráfico en una forma ampliada. En esta
resolución los segmentos de recta individuales que fueron producidos por le
comando Plot original.
Show[%, PlotRange -> {{0, .3}, {.92, 1}}]

10.4. Manipulación de opciones

Hay un número de funciones incorporadas en Mathematica que, como Plot,
tienen varias opciones que usted puede ajustar. Mathematica proporciona algunos
mecanismos generales para manejar tales opciones.

Si usted no da un ajuste específico para una opción de una función como Plot,
entonces Mathematica automáticamente usará un valor por defecto para la opción.
La función Options[function, option] le permite averiguar el valor por defecto
para una opción particular. Usted puede resetear el valor por defecto usando
SetOptions[function, option -> value]. Note que si hace esto, el valor por
defecto que usted ha dado quedará hasta que lo cambie explícitamente.

142

Options[function] da una lista de los valores por defecto
actuales para todas las opciones
Options[function, option] da el valor por defecto para una opción
particular
SetOptions[function, resetea el valor por defecto
option -> value, ...]
Manipulación de valores por defecto para opciones.

He aquí el valor por defecto actual para la opción PlotRange de Plot.
Options[Plot, PlotRange]

Esto resetea el valor por defecto para la opción PlotRange. El punto y
coma impide que Mathematica imprima la salida de la lista bastante larga de
opciones de Plot.
SetOptions[Plot, PlotRange->All] ;

Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción
PlotRange ahora será All.

Esto vuelve a resetear el valor para la opción PlotRange.
SetOptions[Plot, PlotRange->{{-1, 1}, {-1, 1}}] ;

Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción
PlotRange ahora será {{-1, 1}, {-1, 1}}.

Los objetos gráficos que obtiene con Plot o Show almacenan la información de
las opciones que usan. Usted puede obtener esta información aplicando la función
Options a estos objetos gráficos.

Options[plot] muestra todas las opciones usadas por el
gráfico plot
Options[plot, option] muestra el ajuste para una opción específica

143

AbsoluteOptions[plot, muestra la forma absoluta usada para una
option] opción específica, incluso si el ajuste para la
opción Automatic o All
Adquisición de información sobre opciones usadas en gráficos.

He aquí un gráfico, con ajustes por defecto para todas las opciones.
g = Plot[SinIntegral[x], {x, 0, 20}]

El ajuste usado para la opción PlotRange fue All.
Options[g, PlotRange]

AbsoluteOptions da los valores absolutos escogidos automáticamente
para PlotRange.
AbsoluteOptions[g, PlotRange]

10.5. Contornos y gráficos de densidad

ContourPlot[f, traza un gráfico de contorno de f como una
{x, xmin, xmax}, función de x e y
{y, ymin, ymax}]
DensityPlot[f, traza un gráfico de densidad de f
{x, xmin, xmax},
{y, ymin, ymax}]

144

Esto da un gráfico de contorno de la función sin( x) sin( y ) .
ContourPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Un gráfico de contorno le da esencialmente un “mapa topográfico” de una función.
Los contornos unen puntos sobre la superficie que tienen la misma altura. El valor
por defecto permite obtener contornos correspondientes a una secuencia de valores
de z igualmente espaciados. Los gráficos de contorno producidos por Mathematica
por defecto son sombreados, de tal modo que las regiones con valores de z más
altos sean más claras.

ColorFunction Automatic colores a usar para el
sombreado; Hue usa una
secuencia de matices
Contours 10 el total de contornos, o la
lista de valores de z para
contornos
PlotRange Automatic el rango de valores a ser
incluidos, usted puede
especificar {zmin, zmax},
All o Automatic
ContourShading True si hay que usar sombreado
PlotPoints 30. puntos de evaluación en
cada dirección
Compiled True si hay que compilar la
Algunas opciones para ContourPlot. El primer conjunto también puede usarse en
Show.

145

Particularmente si usted utiliza una visualizadora o impresora que no maneja
bien los niveles de gris, puede encontrar mejor prescindir del sombreado en
gráficos de contorno.
Show[%, ContourShading -> False]

Usted debe comprender que si no evalúa su función sobre una cuadrícula bastante
fina, puede haber inexactitudes en su gráfico de contorno. Un punto a notar es que
mientras que una curva generada por Plot puede ser inexacta si su función varía
demasiado rápido en una región particular, la forma de los contornos puede ser
inexacta si su función varía demasiado despacio. Una función que varía
rápidamente da un modelo regular de contornos, pero una función que es casi plana
puede dar contornos irregulares. Usted puede solucionar tales problemas
aumentando el valor de PlotPoints.

Los gráficos de densidad muestran los valores de su función como un array
regular de puntos. Las regiones más claras son más altas.
DensityPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Usted puede deshacerse de la red como aquí.
Show[%, Mesh -> False]

146

ColorFunction Automatic colores para el sombreado
Mesh True si hay que dibujar una red
PlotPoints 25 puntos de evaluación en
cada dirección
Algunas opciones para DensityPlot. El primer conjunto también puede usarse en
Show.

10.6. Gráficos de superficies tridimensionales

Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, traza un gráfico tridimensional de f como
{y, ymin, ymax}] una función de las variables x e y
Trazado básico de una función 3D.

Esto traza un gráfico tridimensional de la función sin( x y ) .
Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]

147

Hay muchas opciones para gráficos tridimensionales en Mathematica. Sólo
algunos serán discutidos en esta sección.

El primer conjunto de opciones para gráficos tridimensionales es en gran parte
análogo a aquellos proveídos en el caso bidimensional.

Axes Automatic si hay que incluir ejes
AxesLabel None etiquetas para colocarles a
los ejes; {xlabel, None,
None} especifica una
etiqueta para el eje x,
{xlabel, ylabel, zlabel}
para todos los ejes
Boxed True si hay que dibujar una caja
tridimensional alrededor
de la superficie
ColorFunction Automatic colores a usar para el
sombreado; Hue usa una
secuencia de matices
TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar
para el texto del gráfico
FormatType StandardForm el tipo de formato por
defecto a usar para el
texto en el gráfico
DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos;
Identity no los
muestra
FaceGrids None para dibujar cuadrículas
sobre los bordes de las
caras de la caja; All
dibuja una cuadrícula
sobre cada cara
HiddenSurface True si se desea dibujar la
superficie como un sólido
Lighting True si se desea colorear la
superficie usando
iluminación simulada
Mesh True si se desea dibujar una red
en la superficie

148

PlotRange None el rango de las coordena-
das a incluir en el gráfico;
usted puede especificar
All, {zmin, zmax} o
{{xmin, xmax}, {ymin,
ymax},{zmin, zmax}}
Shading Automatic si se desea sombrear la
superficie o no
ViewPoint {1.3, -2.4, 2} el punto en el espacio
desde el cual se desea
mirar la superficie
PlotPoints 25 el número de puntos para
muestrear la función en
cada dirección; {nx, ny}
especifica diferentes nú-
meros en las direcciones
de x e y
Algunas opciones para Plot3D. Estas opciones también pueden usarse en Show.

Esto vuelve a dibujar el gráfico anterior, con opciones cambiadas. Con este
ajuste para PlotRange, sólo es mostrada la parte de la superficie en el
rango −0.5 ≤ z ≤ 0.5 .
Show[%, PlotRange -> {-0.5, 0.5}]

Cuando usted hace el gráfico original, puede elegir muestrear más puntos.
Necesitará hacer esto para conseguir buenos cuadros de las funciones que
oscilan mucho.
Plot3D[10 Sin[x + Sin[y]], {x, -10, 10},
{y, -10, 10}, PlotPoints -> 50]
149

He aquí el mismo gráfico, con etiquetas para los ejes, y cuadrículas añadidas
a cada cara.
Show[%, AxesLabel -> {"Time", "Depth", "Value"},
FaceGrids -> All]

Probablemente la cuestión más importante en el trazado de una superficie
tridimensional es especificar desde donde usted quiere mirar la superficie. La
opción ViewPoint para Plot3D y Show le permite especificar el punto {x, y,
z} del espacio desde el cual usted desea ver una superficie. En muchas versiones
de Mathematica, hay formas de escoger puntos de vista tridimensionales
interactivamente, luego obtener las coordenadas para ajustar la opción
ViewPoint.

He aquí una superficie, vista desde el punto de vista por defecto
. Este punto de vista se elige por ser “genérico”, de modo
que las alineaciones coincidentes visualmente confusas entre diversas partes
de su objeto sean imperceptibles.
Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]

150

Esto vuelve a dibujar el gráfico, con el punto de vista directamente enfrente.
Note el efecto de perspectiva que hace que la parte trasera de la caja parezca
mucho más pequeña que la del frente.
Show[%, ViewPoint -> {0, -2, 0}]

{1.3, -2.4, 2} punto de vista por defecto
{0, -2, 0} directamente enfrente
{0, -2, 2} enfrente y encima
{0, -2, -2} enfrente y abajo
{-2, -2, 0} esquina izquierda
{2, -2, 0} esquina derecha
{0, 0, 2} directamente encima
Opciones típicas para la opción ViewPoint.

La vista humana no es particularmente buena para entender superficies
matemáticas complicadas. Por consiguiente, usted tiene que generar cuadros que
contengan tantas pistas como sea posible sobre la forma de la superficie.

151

Los puntos de vista ligeramente encima de la superficie por lo general trabajan
mejor. Es generalmente una buena idea mantener el punto vista suficientemente
cerca a la superficie para que haya algún efecto de la perspectiva. Tener una caja
dibujada explícitamente alrededor de la superficie es provechoso en el
reconocimiento de la orientación de la superficie.

He aquí un gráfico con los ajustes por defecto para las opciones de la
superficie representada.
g = Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Esto muestra la superficie sin la red dibujada. Es por lo general mucho más
difícil de ver la forma de la superficie si la red no está allí.
Show[g, Mesh -> False]

Esto muestra la superficie sin sombrear. Algunos dispositivos de
visualización pueden no ser capaces de mostrar sombreado.
Show[g, Shading -> False]

152

La inclusión de sombreado y red es por lo general de gran ayuda para entender la
forma de una superficie. En algunos dispositivos de salida gráfica vectorial, sin
embargo, puede que usted no sea capaz de obtener sombreado. También debe
comprender que cuando el sombreado es incluido, puede tardar mucho la ejecución
la superficie sobre su dispositivo de salida.

Para añadir un elemento suplementario de realismo a la gráfica tridimensional,
Mathematica por defecto colorea superficies tridimensionales usando un modelo
de iluminación simulado. En el caso por defecto, Mathematica asume que hay tres
fuentes de iluminación que brillan sobre el objeto desde la parte superior derecha.

Mientras en la mayoría de casos, en particular con dispositivos de salida en color,
la iluminación simulada es una ventaja, a veces puede ser confusa. Si ajusta la
opción Lighting -> False, entonces Mathematica no usará la iluminación
simulada, pero en cambio va a sombrear todas las superficies con niveles de gris
determinados por su altura.

Plot3D por lo general colorea superficies usando un modelo de
iluminación simulado.
Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]

153

Lighting -> False apaga la iluminación simulada, y en lugar de esto
sombrea superficies con niveles grises determinados por la altura.
Show[%, Lighting -> False]

Con Lighting -> False, Mathematica sombrea superficies según la altura.
Usted también puede decir a Mathematica explícitamente como sombrear cada
elemento de una superficie.

Plot3D[{f, grafica una superficie correspondiente a f,
GrayLevel[s]}, sombreada en gris de acuerdo a la función s
{x, xmin, xmax},
{x, ymin, ymax}]
Plot3D[{f, Hue[s]}, sombra por variación de matices de color
{x, xmin, xmax}, antes que por niveles de gris
{x, ymin, ymax}]

Esto muestra una superficie cuya altura es determinada por la función
Sin[x y], pero cuyo sombreado es determinado por GrayLevel[x/3].
Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]

154

10.7. Conversión entre tipos de gráficos

Contornos, gráficos de densidad y gráficos de superficies son tres formas diferentes
de mostrar esencialmente la misma información sobre una función. En todos los
casos, usted necesita los valores de una función en una cuadrícula de puntos.

Las funciones ContourPlot, DensityPlot y Plot3D de Mathematica
producen objetos gráficos de Mathematica que incluyen una lista de los valores de
su función en una cuadrícula. Por consiguiente, habiendo usado cualesquiera de
estas funciones, Mathematica fácilmente puede tomar su salida y usarla para
producir otro tipo de gráfico.

He aquí el gráfico de una superficie.
Plot3D[BesselJ[nu, 3x], {nu, 0, 3}, {x, 0, 3}]

Esto convierte el objeto producido por Plot3D en un gráfico de contorno.
Show[ ContourGraphics[ % ] ]

155

Show[ContourGraphics[ convierte a un gráfico de contorno
g]]
Show[DensityGraphics[ convierte a un gráfico de densidad
g]]
Show[SurfaceGraphics[ convierte a una superficie
g]]
Show[Graphics[g]] convierte a una imagen bidimensional
Conversiones entre tipos de gráficos.

Usted puede usar GraphicsArray para mostrar diferentes tipos de
gráficos juntos.
Show[ GraphicsArray[ {%, %%} ] ]

10.8. Gráficas de listas de datos

Hasta ahora, hemos hablado como puede usar Mathematica para hacer los gráficos
de funciones. Usted da una función a Mathematica, y Mathematica construye una
curva o superficie evaluando la función en muchos puntos diferentes.

Esta sección describe como usted puede hacer gráficos de listas de datos, en vez de
funciones. (La sección 12.3 menciona como leer datos de archivos externos y
programas). Los comandos de Mathematica para trazar las listas de datos son
análogos a los mencionados para trazar funciones.

ListPlot[{y1, y2, ...}] grafica y1, y2, ... con los valores de x 1, 2, ...
ListPlot[{{x1, y1}, grafica los puntos (x1, y1), ...
{x2, y2}, ...}]

156

ListPlot[list, una los puntos con líneas
PlotJoined -> True]
ListPlot3D[ hace un gráfico tridimensional del array
{{z11, z12, ...}, alturas zyx
{z21, z22, ...}, ...}]
ListContourPlot[array] hace un gráfico de contorno a partir de un
array de alturas
ListDensityPlot[array] hace un gráfico de densidad
Funciones para trazar listas de datos.

He aquí una lista de valores.
t = Table[i^2, {i, 10}]

Esto traza un gráfico de los valores.
ListPlot[t]

Esto une los puntos con líneas.
ListPlot[t, PlotJoined -> True]

157

Esto da una lista de pares x, y.
Table[{i^2, 4 i^2 + i^3}, {i, 10}]

Esto traza un gráfico los puntos.
ListPlot[%]

Esto da un array rectangular de valores. El array es bastante grande,
entonces terminamos la entrada con un punto y coma para evitar que se
imprima.
t3 = Table[Mod[x, y], {y, 20}, {x, 30}] ;

Esto traza un gráfico tridimensional del array de valores.
ListPlot3D[t3]

Usted puede volver a dibujar el gráfico usando Show, como de costumbre.
Show[%, ViewPoint -> {1.5, -0.5, 0}]

158

Esto traza un gráfico de densidad.
ListDensityPlot[t3]

10.9. Gráficos paramétricos

La sección 10.1 describió como trazar curvas en Mathematica en la cual usted da la
coordenada y de cada punto como una función de la coordenada x. También puede
usar Mathematica para hacer gráficos paramétricos. En un gráfico paramétrico,
usted da ambas coordenadas x e y de cada punto como una función de un tercer
parámetro, llamado t.

ParametricPlot[{fx, fy}, traza un gráfico paramétrico
{t, tmin, tmax}]
ParametricPlot[{ grafica varias curvas paramétricas juntas
{fx, fy}, { gx, gy}, ...},
{t, tmin, tmax}]

159

ParametricPlot[{fx, fy}, trata de conservar las formas de las curvas
{t, tmin, tmax},
AspectRatio ->
Automatic]
Funciones para generar gráficos paramétricos.

He aquí la curva hecha tomando la coordenada x de cada punto como
Sin[t] y la coordenada y como Sin[2t].
ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}]

La “forma” de la curva producida depende de la proporción de la altura y el
ancho para el gráfico entero.
ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}]

El ajuste de la opción AspectRatio -> Automatic hace que
Mathematica conserve la “verdadera forma” de la curva, según lo definido
por los actuales valores coordinados involucrados.
Show[%, AspectRatio -> Automatic]

160

ParametricPlot3D[ traza un gráfico paramétrico de una curva
{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] tridimensional
ParametricPlot3D[ traza un gráfico paramétrico de una
{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, superficie tridimensional
{u, umin, umax}]
ParametricPlot3D[ sombrea las partes del gráfico paramétrico
{fx, fy, fz, s}, ...] según la función s
ParametricPlot[{ grafica varios objetos juntos
{fx, fy}, { gx, gy}, ...}, ...]
Gráficos paramétricos tridimensionales.

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] es el análogo directo en
tres dimensiones de ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] en dos
dimensiones. En ambos casos, Mathematica eficientemente genera una secuencia
de puntos variando el parámetro t, luego forma una curva uniendo estos puntos.
Con ParametricPlot, la curva está en dos dimensiones; con
ParametricPlot3D, está en tres dimensiones.

Esto hace un gráfico paramétrico de una curva helicoidal. La variación de t
produce movimiento circular en el plano x, y, y movimiento lineal en la
dirección z.
ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}]

161

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] crea una
superficie, y no una curva. La superficie es formada de una colección de
cuadriláteros. Las esquinas de los cuadriláteros tienen coordenadas correspondiente
a los valores de los fi cuando t y u toman valores en una cuadrícula regular.

Aquí las coordenadas x e y de los cuadriláteros están dadas simplemente por
t y u. El resultado es un gráfico de la clase que puede producirse con
Plot3D.
ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]}, {t, 0, 3},
{u, 0, 3}]

Esto muestra la misma superficie que antes, pero con las coordenadas
deformadas por una transformación cuadrática.
ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]}, {t, 0, 3},
{u, 0, 3}]

Esto produce una superficie helicoidal tomando la curva helicoidal antes
mostrada (p. 157), y en cada sección de la curva dibuja un cuadrilátero.
ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3},
{t, 0, 15}, {u, -1, 1}]

162

En general, es posible construir muchas superficies complicadas usando
ParametricPlot3D. En cada caso, puede imaginar que las superficies son
formadas de alguna menera al “deformar” o “enrollar” una cuadrícula coordenada
t, u.

Esto produce un cilindro. La variación del parámetro t origina un círculo en
el plano x, y, mientras que la variación de u hace que los círculos se mueven
en la dirección z.
ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, {t, 0, 2Pi},
{u, 0, 4}]

Esto produce un toro La variación u genera un círculo, mientras que la
variación de t hace girar el círculo alrededor del eje z para formar el toro.
ParametricPlot3D[{Cos[t] (3 + Cos[u]),
Sin[t] (3 + Cos[u]), Sin[u]}, {t, 0, 2Pi},
{u, 0, 2Pi}]

163

Esto produce una esfera.
ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[u],
Sin[t] Cos[u], Sin[u]}, {t, 0, 2Pi},
{u, -Pi/2, Pi/2}]

Usted debe comprender que cuando dibuja superficies con ParametricPlot3D,
la parametrización correcta es a menudo crucial. Debe ser cuidadoso, por ejemplo,
evitando parametrizaciones en las cuales todo o parte de su superficie son cubiertos
más de una vez. Tales cubrimientos múltiples a menudo conducen a
discontinuidades en el dibujo de la red utilizada en la superficie, y pueden hacer
que ParametricPlot3D tome mucho más tiempo para generar la superficie.

10.10. Algunos gráficos especiales

Mathematica incluye un lenguaje de programación lleno de gráficos. En este
lenguaje, usted puede establecer muchas clases diferentes de gráficos. Algunos de
los comunes son incluidos en los paquetes estándar de Mathematica.

164

<<Graphics` carga un paquete para establecer funciones
gráficas adicionales
LogPlot[f, {x, xmin, xmax}] genera un gráfico logarítmico lineal
LogLogPlot[ genera un gráfico logarítmico logarítmico
f,
{x, xmin, xmax}]
LogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico lineal de una
lista de datos
LogLogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico logarítmico de
una lista de datos
PolarPlot[ genera un gráfico polar del radio r como una
r, función del ángulo t
{t, tmin, tmax}]
ErrorListPlot[{ genera un gráfico de datos con barras de
{x1, y1, dy1}, ...}] error
TextListPlot[{ grafica una lista de datos con cada punto
{x1, y1, "s1"}, ...}] representado por la cadena de texto si
BarChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama
de barras
PieChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama
de pastel
PlotVectorField[ grafica el campo vectorial correspondiente a
{fx, fy}, la función vectorial f
{x, xmin, xmax},
{y, ymin, ymax}]
ListPlotVector grafica el campo vectorial correspondiente al
Field[list] array bidimensional de vectores en list
SphericalPlot3D[ genera un gráfico esférico tridimensional
r,
{theta, min, max},
{phi, min, max}]
Algunas funciones especiales para graficar definidas en los paquetes estándar de
Mathematica.

Esto carga un paquete estándar de Mathematica para establecer funciones
gráficas adicionales.
<<Graphics`

Esto traza un gráfico logarítmico lineal.
LogPlot[ Exp[-x] + 4 Exp[-2x], {x, 0, 6} ]

165

He aquí una lista de los 10 primeros primos.
p = Table[Prime[n], {n, 10}]

Esto traza un gráfico de los primos usando los enteros 1, 2, 3, ... símbolos
parta graficar.
TextListPlot[p]

He aquí un gráfico de barras de los primos.
BarChart[p]

166

Esto traza un gráfico de pastel.
PieChart[p]

10.11. Gráficos animados

En muchos sistemas informáticos, Mathematica puede producir imágenes no sólo
estáticas, sino también gráficos animados o “películas”.

La idea básica en todos los casos es generar una secuencia de “cuadros” que
pueden ser mostrados en forma rápida uno tras otro. Puede usar las funciones
gráficas estándar de Mathematica descritas en la sección 10.10 para producir cada
marco. El mecanismo para mostrar los cuadros como película depende del interfase
de Mathematica que usted usa. Con una interfase de cuaderno, usted pone los
cuadros en una secuencia de celdas, luego selecciona las celdas y escoge un
comando para animarlos. Con una interfase basada en texto, hay a menudo un
programa externo provisto para mostrar gráficos animados. Típicamente puede
accederse al programa dentro de Mathematica usando la función Animate.

<<Graphics`Animation` carga el paquete de animación (si fuera
necesario)
Animate[plot, ejecuta el comando de gráficos con plot para
{t, tmin, tmax}] una secuencia de valores de t, y anima la
secuencia resultante de cuadros
ShowAnimation[ produce una animación de una secuencia de
{g1, g2, ...}] objetos de gráficos
Formas típicas para producir gráficos animados.

Cuando usted produce una secuencia de cuadros para una película, es importante
que los diferentes cuadros sean consistentes. Así, por ejemplo, usted debe dar un
ajuste explícito para la opción PlotRange, antes que usar el ajuste por defecto
167

Automatic, para asegurarse que las escalas usadas en marcos diferentes sean las
mismas. Si usted tiene gráficos tridimensionales con puntos de vista diferentes, de
modo similar debe ajustar SphericalRegion -> True para asegurarse que la
escala de gráficos diferentes es la misma.

Esto genera una lista de objetos gráficos. Ajustando DisplayFunction
-> Identity se detiene la salida que Plot3D produce. Explícitamente el
ajuste de PlotRange asegura que la escala es la misma en cada uno de los
gráficos.
Table[ Plot3D[ BesselJ[0, Sqrt[x^2 + y^2] + t],
{x, -10, 10}, {y, -10, 10}, Axes -> False,
PlotRange -> {-0.5, 1.0},
DisplayFunction -> Identity ], {t, 0, 8} ] // Short

Sobre un sistema informático apropiado, ShowAnimation[%] animaría
los gráficos. Esto divide la gráfica en tres filas, y muestra el array resultante
de imágenes.
Show[ GraphicsArray[ Partition[%, 3] ] ]

10.12. Sonido

En la mayor parte de sistemas informáticos, Mathematica puede producir no sólo
gráficos, sino también sonido. Mathematica trata los gráficos y el sonido de una
forma bastante análoga.

Por ejemplo, tal como usted puede usar Plot[f, {x, xmin, xmax}] para trazar el
gráfico de una función, tan también puede usar Play[f, {t, 0, tmax}] para
“producir el sonido” de una función. Play toma la función para definir la forma

168

de la onda para un sonido: los valores de la función dan la amplitud del sonido
como una función del tiempo.

Play[f, {t, 0, tmax}] produce un sonido con la amplitud f como
una función del tiempo t en segundos
Función para producir sonido.

En un sistema informático conveniente, esto produce un tono puro con una
frecuencia de 440 hertz durante un segundo.
Play[Sin[2Pi 440 t], {t, 0, 1}]

Los sonidos producidos por Play pueden tener cualquier forma de onda. Ellos,
por ejemplo, no tienen que consistir en una colección de piezas armónicas. En
general, la función amplitud que usted da a Play especifica la señal instantánea
asociada con el sonido. Esta señal es convertida en un voltaje, y en última instancia
en un desplazamiento. Note que la amplitud a veces es definida para ser la señal
pico asociada con un sonido; en Mathematica, esto es siempre la señal instantánea
como una función del tiempo.

Esto produce un sonido más complejo.
Play[ Sin[700 t + 25 t Sin[350 t]], {t, 0, 4} ]

169

Play se establece de modo que la variable de tiempo que aparece en él siempre
sea medida en segundos absolutos. Cuando un sonido es producido, su amplitud es
muestreada un cierto número de veces cada segundo. Usted puede especificar la
tasa de muestreo ajustando la opción SampleRate.

Play[f, {t, 0, tmax}, produce un sonido, muestreándolo r veces
SampleRate -> r] por segundo
Especificación de la tasa de muestreo para un sonido.

Una tasa de muestreo r permite frecuencias de hasta r/2 hertz. El sistema humano
auditivo puede percibir sonidos en una frecuencia que se extiende de 20 a 22000
hertz (dependiendo de la edad y el sexo). Las frecuencias fundamentales para las
88 notas de un piano se extienden de 27.5 a 4096 hertz. La tasa estándar de
muestreo usada para reproducir discos compactos es 44100. La tasa eficaz de
muestreo en un típico sistema telefónico es alrededor de 8000. En la mayor parte
de sistemas informáticos, la tasa de muestreo por defecto usada por Mathematica
es alrededor de 8000.

Usted puede usar Play[{f1, f2}, ...] para producir sonido estéreo. En general,
Mathematica soporta cualquier número de canales de sonido.

ListPlay[{a1, a2, ...}, produce un sonido con una secuencia de
SampleRate -> r] niveles de amplitud

La función ListPlay le permite simplemente dar una lista de valores que son
tomados como amplitudes de sonido muestreadas en una cierta tasa.

Cuando los sonidos son dados por Mathematica, sólo cierto rango de amplitudes es
permitida. La opción PlayRange en Play y ListPlay especifica como
deberían ser escaladas las amplitudes que usted da para ajustarlas al rango
permitido. Los ajustes para esta opción son análogos a los de la opción de gráficos
PlotRange mencionada en la sección 10.2.

PlayRange -> Automatic usa un procedimiento interno para escalar
(default) amplitudes
PlayRange -> All escala de modo que todas las amplitudes
quepan en el rango permitido
PlayRange -> ajusta amplitudes entre amin y amax en el
{amin, amax} rango permitido
Especificación del escalamiento de amplitudes de sonido.

170

Mientras a menudo es conveniente usar el ajuste por defecto PlayRange ->
Automatic, debe comprender que Play puede correr considerablemente más
rápido si usted especifica un PlayRange.

Show[sound] usa algoritmos internos
Reproduciendo un objeto de sonido.

Tanto Play como ListPlay devuelven objetos Sound que contienen
procedimientos para sintetizar sonidos. Puede volver a producir un objeto Sound
en particular usando Show que también se usa para volver a mostrar los gráficos.

11. Entradas y salidas en cuadernos

11.1. Ingreso de letras griegas

use un botón en una paleta
use un nombre completo
use un alias estándar (abajo se ve como )
use un alias TeX
use un alias SGML
Formas de ingresar letras griegas en un cuaderno.

He aquí una paleta para ingresar letras griegas comunes.

Usted puede usar letras griegas igual que las letras ordinarias que digita en
su teclado.

171

Hay varias formas de ingresar letras griegas. Esta entrada usa nombres
completos.
Expand[([Alpha] + [Beta])^3]

nombre completo alias nombre completo alias
[Alpha] [CapitalGamma]
[Beta] [CapitalDelta]
[Gamma] [CapitalTheta]
[Delta] [CapitalLambda]
[Epsilon] [CapitalPi]
[Zeta] [CapitalSigma]
[Eta] [CapitalUpsilon
]
[Theta] [CapitalPhi]
[Kappa] [CapitalChi]
[Lambda] [CapitalPsi]
[Mu] [CapitalOmega]
[Nu]
[Xi]
[Pi]
[Rho]
[Sigma]
[Tau]
[Phi]
[CurlyPhi
]
[Chi]
[Psi]
[Omega]
Letras griegas comúnmente usadas. Los alias se obtienen con la tecla . Los alias TeX no
son listados explícitamente.

Note que en Mathematica la letra π se genera con Pi. Ninguna de las otras letras
griegas tiene un significado especial.

π se genera con Pi.

172

Usted puede usar letras griegas solas o con otras letras.

El símbolo πα no es relacionado con el símbolo π.

11.2. Ingreso de entradas bidimensionales

Cuando Mathematica lee el texto x^y, lo interpreta como x elevado a la
potencia y.
x^y

En un cuaderno, usted puede dar la entrada bidimensional xy directamente.

Una manera de ingresar una forma bidimensional como xy en un cuaderno de
Mathematica es copiar esta forma de una paleta pulsando el botón apropiado en la
paleta.

He aquí una paleta para ingresar algunas notaciones bidimensionales
comunes.

Hay también varias maneras de ingresar formas bidimensionales directamente
desde el teclado.

173

use combinaciones de teclas que existen en
la mayoría de teclados
use combinaciones de teclas que deberían
existir en todos los teclados
seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios
Formas de ingresar un superíndice directamente desde el teclado. se usa para
representar Control-Espacio.

Para efectuar la combinación presione la tecla Control y manteniéndola
presionada, presione la tecla ^. En cuanto hace esto, su cursor saltará de la posición
de exponente. Entonces puede escribir lo que quiera y aparecerá en aquella
posición.

Cuando ha terminado, presiona para regresar el cursor de la posición de
exponente a la posición de escritura; lo efectúa manteniendo presionada la
tecla Control, para luego presionar la barra espaciadora.

Ésta secuencia de presionamientos de teclas ingresa xy.

Aquí la expresión completa y+z está en el exponente.

Presionando (Control-Espacio) baja de la posición de exponente.

Usted puede confundir el hecho que le da un exponente y pensar que es
solamente una forma más inmediata de ^. Cuando digita usted x^y, Mathematica
dejará esta forma unidimensional sin cambios hasta que la procese explícitamente.
Pero si usted digita x y entonces Mathematica inmediatamente le dará un
exponente.

En un teclado estándar de lengua inglesa, el carácter ^ aparece en la parte superior
de la tecla 6. Mathematica por lo tanto acepta como una alternativa a .
Tenga presente que si usted usa un teclado diferente, Mathematica casi siempre
aceptará , pero puede que no acepte .
174

Ésta es una forma alternativa de entrada que evita el uso de la tecla Control.

Con esta forma de la entrada, Mathematica entiende automáticamente que
+z no debe ir en el exponente.

La utilización de la tecla Control reduce al mínimo el número de presionamientos
de teclas que tiene que hacer para incorporar un exponente. Pero en particular si
quiere guardar su entrada en un archivo, o enviarlo a otro programa, a menudo es
más conveniente usar una forma que no involucre la tecla Control. Usted puede
hacer esto utilizando secuencias de .

Si usted copia una secuencia de en Mathematica, ésta automáticamente aparecerá
en forma bidimensional. Pero si ingresa la secuencia directamente del teclado,
tiene que escoger explícitamente el ítem Make 2D del menú Edit para conseguir la
forma bidimensional.

Cuando ingresa desde el teclado secuencias de , éstas son mostradas
en forma literal.

Escogiendo el ítem Make 2D en el menú Edit convierte estas secuencias en
formas bidimensionales.

Formas de ingresar un subíndice directamente desde el teclado.

175

Los subíndices en Mathematica trabajan de manera muy similar a los superíndices.
Sin embargo, mientras que Mathematica interpreta automáticamente xy como x
elevada a la potencia y, no tiene ninguna interpretación similar para xy. Y, sólo
trata a xy como un objeto puramente simbólico.

Esto ingresa y como un subíndice.

He aquí otra forma de ingresar y como un subíndice.

use la tecla Control
Formas de ingresar una fracción directamente desde el teclado.

x
Esto ingresa la fracción .
y

Aquí la expresión completa y+z va al denominador.

Pero presionando Control-Espacio se sale denominador, así que +z no
aparece en el denominador.

Mathematica automáticamente interpreta una fracción como una división.

176

He aquí otra forma de ingresar una fracción.

Formas de ingresar una raíz cuadrada directamente desde el teclado.

Esto ingresa una raíz cuadrada.

Control-Espacio le saca de la raíz cuadrada.

He aquí una forma sin usar la tecla Control.

Y he aquí una usual entrada unidimensional en Mathematica que da la
misma expresión como salida.
Sqrt[x] + y

va a la posición de superíndice
va a la posición de subíndice
va al subradical de una raíz cuadrada
va de subíndice a exponente o viceversa, o a
la posición de índice radical
va al denominador de una fracción
retorna de una posición especial
(Control-Espacio)

177

Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería
trabajar en cualquier teclado.
Esto pone tanto subíndice como superíndice en x.

He aquí otra forma de ingresar la misma expresión.

agrupación de toda entrada bidimensional
superíndice con
subíndice con
subíndice y superíndice con
raíz cuadrada con
fracción con

Formas especiales de entrada que generan entradas bidimensionales con el ítem Make 2D.

Usted debe inicializar los exteriores con .

Usted puede usar y para indicar la agrupación de elementos en una
expresión sin introducir paréntesis explícitos.

Además de subíndices y superíndices, Mathematica también soporta la noción de y
sobreescrituras–elementos de que van directamente debajo o encima. Entre otras
cosas, usted puede usar subescrituras y sobreescrituras para ingresar los límites de
sumas y productos.

crea un subescrito
seguido por Make 2D crea un subescrito

crea un sobreescrito

178

seguido por Make 2D crea un sobreescrito
Creación de subescrituras y sobreescrituras.

11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales

Cuando usted ve una expresión bidimensional en la pantalla, puede editarla como
lo hace con el texto. Por ejemplo puede colocar su cursor en algún sitio y empezar
a digitar. O puede seleccionar una parte de la expresión, luego quitarla usando la
tecla Surpimir, o insertar una nueva versión digitándola.

selecciona la subexpresión siguiente
mueve a la derecha de la estructura actual
mueve al siguiente caracter
mueve al anterior caracter
Formas de moverse alrededor de expresiones bidimensionales.

Esto muestra una secuencia de subexpreiones seleccionadas al presionar
repetidamente .

179

Shift-Enter evalúa la celda actual completa
Shift-Control-Enter evalúa sólo la subexpresión seleccionada
Formas de evaluar expresiones bidimensionales.

En la mayor parte de cálculos, usted querrá ir de un paso al siguiente tomando la
expresión completa que ha generado, y luego evaluándola. Pero si por ejemplo
trata de manipular solamente una fórmula para expresarla en una forma particular,
puede en cambio hallar más conveniente el hecho de realizar una secuencia de
operaciones independientes sobre las diferentes partes de la expresión.

Usted hace esto seleccionando cada parte que quiere operar, para luego usar la
combinación Shift-Control-Enter.

He aquí una expresión con una parte seleccionada.

180

Presionando Shift-Control-Enter evalúa la parte seleccionada.

11.4. Ingreso de fórmulas

caracter forma corta forma larga símbolo
[Pi] Pi
[Infinity] Infinity
[Degree] Degree
Formas especiales de algunos símbolos comunes. se obtienen con la tecla .

Esto equivale a Sin[60 Degree].

He aquí la forma larga de la entrada anterior.
Sin[60 [Degree]]

Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general.

Aquí el ángulo está en radianes.

181

caracteres forma corta forma larga caracteres
especiales ordinarios
x[LessEqual]y
x[GreaterEqual]y
x[NotEqual]y
x[Element]y
x[Rule]y
Formas especiales para algunos operadores.

Aquí la regla de transformación es ingresada usando dos caracteres
ordinarios, como ->.
x/(x+1) /. x -> 3 + y

Esto significa exactamente lo mismo.
x/(x+1) /. x [Rule] 3 + y

También esto.

O esto.

La forma especial de la flecha es también usada por defecto para salidas.
Solve[x^2 == 1, x]
182

caracteres forma corta forma larga caracteres
especiales ordinarios
x[Divide]y
x[Times]y
x[Cross]y Cross[x, y]
x[Equal]y
x[LongEqual]y
x[And]y
x[Or]y
[Not]x
x[Implies]y Implies[x, y]
x[Union]y Union[x, y]
x[Intersection]y Intersection[
x, y]
x[Invisible x, y
Comma]y
x[Invisible
Application]y
Algunos operadores con formas especiales usados para entradas pero no para salidas.

Mathematica entiende , pero no lo usa por defecto para salidas.

Las formas de entrada discutidas hasta ahora en esta sección usan caracteres
especiales, pero de en otros casos sólo consisten en líneas ordinarias
unidimensionales de texto. Los cuadernos de Mathematica, sin embargo, también
hacen posible el uso de formas bidimensionales de entrada.

bidimensional unidimensional
potencia
división
Sqrt[x] raíz cuadrada
raíz n-ésima
Sum[f, suma
{i, imin, imax}]

183

Product[f, producto
{i, imin, imax}]
Integrate[f, x] integral indefinida
Integrate[f, integral definida
{x, xmin, xmax}]
D[f, x] derivada parcial
D[f, x, y] derivada parcial
multivariable
Conjugate[z] conjugado complejo
Transpose[m] transpuesta
Conjugate conjugada transpuesta
Transpose[m]
Part[expr, i, j, ...] extracción de partes
Algunas formas bidimensionales que pueden usarse en cuadernos de Mathematica.

Usted puede ingresar formas bidimensionales usando cualquiera de los
mecanismos mencionados en la sección 11.2. Note que límites superiores e
inferiores para sumas y productos deben ser ingresados como sobreescrituras y
subescrituras–no sólo como superíndices y subíndices.

Esto ingresa una integral indefinida. Note el uso de para ingresar la
“diferencial d”.

He aquí una integral indefinida que puede ser evaluada explícitamente.

He aquí la entrada usual de Mathematica para esta integral.
Integrate[Exp[-x^2], x]

Esto ingresa exactamente la misma integral.

184

!( [Integral] Exp[-x^2] [DifferentialD]x )

forma corta forma larga
[Sum] signo de sumatoria
[Product] signo de productoria
[Integral] signo de integral
[DifferentialD] especial para uso en
integrales
[PartialD] operador de derivada
parcial
[Conjugate] símbolo para conjugado
[Transpose] símbolo para transpuesta
[Conjugate símbolo para conjugada
Transpose] transpuesta
[LeftDouble pares de corchetes
Bracket],
[RightDouble
Bracket]
Algunos caracteres especiales usados para ingresar fórmulas.

Usted debe comprender que aun cuando un signo de sumatoria pueda parecer casi
idéntico a una sigma mayúscula son tratados de un modo muy diferente por
Mathematica. El punto es que sigma es sólo una letra; pero un signo de sumatoria
es un operador que dice a Mathematica que realice una operación Sum.

La sigma mayúscula es sólo una letra.
a + [CapitalSigma]^2

Un signo de sumatoria, por otra parte, es un operador.

He aquí otra forma de ingresar la misma entrada.
!( [Sum] + ( n = 0 ) % m 1 / f[n] )
185

Así como Mathematica distingue entre un signo de sumatoria y una sigma
mayúscula, también distingue entre una d ordinaria y la “ diferencial” especial
que es usada en la notación estándar para integrales. Es crucial que use esta
diferencial–ingresada como –cuando digita una integral. Si trata de usar
una d ordinaria, Mathematica la interpretará como un símbolo llamado d–no
entenderá que usted esta ingresando la segunda parte de un operador de
integración.

Esto calcula la derivada de x n .

He aquí la misma derivada especificada en una forma unidimensional
ordinaria.
D[x^n, x]

Esto calcula la tercera derivada.

He aquí la forma unidimensional equivalente.
D[x^n, x, x, x]

11.5. Ingreso de tablas y matrices

El front end de Mathematica proporciona un ítem Create Table/Matrix/Palette que le
permite crear un array en blanco con cualquier número especificado de filas y
columnas. Una vez que tiene este array, puede editarlo llenándolo con cualesquiera
elementos que usted desee.

186

Mathematica trata un array como éste como una matriz representada por una
lista de listas.

Poniendo paréntesis alrededor del array hacemos que se parezca más a una
matriz, pero esto no afecta su interpretación.

Usando MatrixForm le dice a Mathematica que muestre el resultado de
Transpose como una matriz.

agrega una columna
agrega una fila
va al siguiente elemento ó
lo saca de la tabla o matriz
Ingresando tablas y matrices.

Note que puede usar y para empezar a aumentar un array, en particular
para arrays pequeños hacer esto es a menudo más conveniente que usar el ítem
Create Table/Matrix/Palette.

El ítem Create Table/Matrix/Palette le permite hacer ajustes básicos, como el dibujo
de líneas entre filas o columnas.

11.6. Subíndices, barras y otros adornos

He aquí una típica paleta de adornos.

187

Mathematica le permite usar cualquier expresión como subíndice.

A menos que usted lo exprese de otro modo, Mathematica interpretará un
superíndice como una potencia.

va a la posición de subíndice
va a la posición de subescritura
va a la posición de superíndice
va a la posición de sobreescritura
retorna de una posición especial
(Control-Espacio)
Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería
trabajar en cualquier teclado.

Esto ingresa un subíndice usando la tecla Control.

Tal como y van a las posiciones de superíndice y subíndice, también
y pueden usarse para ir directamente a las posiciones de superescritura
y subescritura. Con la disposición de un teclado estándar de lengua inglesa
está directamente a la derecha de mientras que está directamente a la
derecha de .

188

combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión
OverBar[x]
OverVector[x]
OverTilde[x]
OverHat[x]
OverDot[x]
UnderBar[x]
Algunas formas de ingresar ciertos adornos comunes usando la tecla Control.

He aquí .

Usted puede usar como variable.

combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión
Subscript[x, y]
Underscript [x, y]

Superscript[x, y]
(interpretado como
Power[x, y])
Overscript [x, y]
OverBar[x, y]

OverVector[x, y]
OverTilde[x, y]
OverHat[x, y]
OverDot[x, y]
UnderBar[x, y]
Formas de ingresar adornos sin la tecla Control. Todas estas formas sólo pueden usarse
dentro de .

189

11.7. Caracteres no ingleses

Si usted ingresa texto en lenguas que no sean el inglés, tendrá que usar varios
caracteres acentuados adicionales y otros. Si su sistema informático esta
establecido de forma apropiada, entonces usted podrá ingresar tales caracteres
directamente usando teclas estándares de su teclado. Pero sino lo está es,
Mathematica siempre proporciona un forma uniforme de manejar tales caracteres.

[AGrave] [OSlash]
[ARing] [ODoubleDot]
[AdoubleDot] [UGrave]
[CCedilla] [UDoubleDot]
[CHacek] [SZ]
[EAcute] [CapitalARing]
[EGrave] [CapitalADoubleDot]
[IAcute] [CapitalODoubleDot]
[NTilde] [CapitalUDoubleDot]
[OGrave]
Algunos caracteres europeos comunes.

He aquí una función cuyo nombre involucra un caracter acentuado.
Lam[EAcute][x, y]

Esta es otra forma de ingresar la misma entrada.

Usted debe comprender que no hay ningún estándar uniforme para teclados de
computador en el mundo entero, y por consiguiente es inevitable que algunos
detalles que han sido mencionados en este capítulo no puedan aplicarse a su
teclado.

En particular, la identificación por ejemplo de con es válida sólo para
teclados en los cuales ^ aparece como Shift-6. En otros teclados, Mathematica usa
para ir a una posición de superíndice, pero no necesariamente .

190

Independientemente de como esté establecido su teclado usted siempre puede usar
paletas o ítems de menú para establecer superíndices y otros tipos de notación. Y
asumiendo que tiene algún modo de ingresar caracteres como , usted siempre
puede ingresar entradas que usan nombres completos como [Infinity] y
formas textuales como (x/y).

11.8. Otras notaciones matemáticas

Mathematica soporta una amplia gama de notación matemática, aunque a menudo
no le asigne un significado predefinido. Así, por ejemplo, usted puede ingresar una
expresión como , pero Mathematica inicialmente no hará ninguna asunción
sobre lo que usted quiere decir con .

Mathematica sabe que es un operador, pero no le asigna inicialmente
ningún significado específico.

Esto da a Mathematica una definición de lo que hace el operador .

Ahora Mathematica puede evaluar operaciones con . Aquí tenemos una
evaluación simbólica

He aquí evaluaciones numéricas.

[CirclePlus] [LongRightArrow]
[CircleTimes] [LeftRightArrow]
[PlusMinus] [UpArrow]
[Wedge] [Equilibrium]
[Vee] [RightTee]
[TildeEqual] [Superset]
[TildeTilde] [SquareIntersection]

191

[Tilde] [Element]
[Proportional] [NotElement]
[Congruent] [SmallCircle]
[GreaterTilde] [Therefore]
[GreaterGreater] [VerticalSeparator]
[Succeeds] [VerticalBar]
[RightTriangle] [Backslash]
Algunos de los operadores cuya entrada es soportada por Mathematica..

Mathematica asigna significado predefinido para y , pero no para ó
.

Hay algunas formas que se parecen a caracteres sobre un teclado estándar, pero que
son interpretadas de un modo diferente por Mathematica. Así, por ejemplo,
[Backslash] ó se muestran como pero no es interpretado de la misma
manera que digitado directamente en el teclado.

Los caracteres y usados aquí son diferentes a y que usted digita en
el teclado.

La mayor parte de operadores trabajan como y van en medio de sus operandos.
Pero algunos operadores pueden ir en otros sitios. Así, por ejemplo, y ó
[LeftAngleBracket] y [RightAngleBracket] son efectivamente
operadores que envuelven a su operando.

Los elementos del operador ángulo van alrededor de su operando.
[LeftAngleBracket] 1 + x [RightAngleBracket]

[ ScriptL] [ Angstrom]
[ ScriptCapitalE] [ HBar]

192

[ GothicCapitalR] [ Sterling]
[ DoubleStruckCapitalZ] [ Angle]
[ Aleph] [ Bullet]
[ EmptySet] [ Dagger]
[ Micro] [ Natural]
Algunas letras adicionales y formas parecidas a letras.

Usted puede usar cualesquiera letras y formas parecidas a letras como
nombres de símbolos.

se asume como un símbolo, y tan solo es multiplicado por a y b.

También es posible generar todas las letras del alfabeto, incluyendo
mayúsculas y minúsculas, en los tres primeros tipos que aparecen en la
última tabla, esto es Script, Gothic y DoubleStruck.

11.9. Formas de entrada y salida

Los cuadernos en Mathematica le permiten dar entradas y obtener salidas en una
variedad de formas diferentes. El front end proporciona comandos de menú para
convertir celdas de una a otra forma.

InputForm una forma que puede ser digitada directa-
mente usando caracteres en un teclado
estándar
OutputForm una forma para salida que sólo usa caracteres
en un teclado estándar
StandardForm una forma para entrada y salida que hace uso
de caracteres especiales y posicionamiento
TraditionalForm una forma principalmente para salida que

193

imita todos los aspectos de notación
tradicional matemática
Formas de entrada y salida.

La entrada de aquí trabaja en las ambas formas InputForm y
StandardForm.
x^2 + y^2/z

He aquí una versión del ingreso apropiado para StandardForm.

InputForm es la forma más general de entradas para Mathematica: esto trabaja si
usted usa una interfase de cuaderno o una interfase a basada en texto.

Con una interfase de cuaderno, la salida es producida por defecto en
StandardForm.
Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y])

Con una interfase basada en texto, en cambio es usada OutputForm.
Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y]) // OutputForm

Con una interfase de cuaderno, la forma por defecto tanto para la entrada como
para la salida es StandardForm.

La idea básica de StandardForm es proporcionar una representación exacta y
elegante de expresiones en Mathematica, haciendo uso de caracteres especiales,
posicionamientos bidimensionales, etcétera.

Entrada y salida son dadas aquí en StandardForm.
194

Una característica importante de StandardForm es que cualquier salida
usted obtiene en esta forma también puede usarla directamente como
entrada.

La naturaleza exacta de StandardForm le impide seguir todas las convenciones
algo casuales de la notación matemática tradicional. Mathematica sin embargo
también soporta TraditionalForm, que usa una amplia colección de reglas de
interpretación bastante completa de notación matemática tradicional.

TraditionalForm nombres en minúsculas para funciones, y pone sus
argumentos entre paréntesis y no entre corchetes.

He aquí algunas transformaciones hechas por TraditionalForm.
{Abs[x], ArcTan[x], BesselJ[0, x], Binomial[i, j]}
// TraditionalForm

TraditionalForm es a menudo útil para generar salidas que pueden ser
insertadas directamente en documentos que usen notación matemática tradicional.
195

Pero usted debe entender que TraditionalForm se requiere principalmente
para salidas: no tiene la clase de precisión que es necesaria para proporcionar una
entrada confiable a Mathematica.

Así, por ejemplo, en TraditionalForm, es la representación tanto para
Ci[x] como para CosIntegral[x], así que si esta forma aparece sólo como
entrada, Mathematica no tendrá ni idea de cuál de las dos interpretaciones es
correcta.

En StandardForm estas tres expresiones son mostradas de un modo
único e inequívoco.
{ Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } //
StandardForm

En TraditionalForm, sin embargo, las primeras dos son imposibles de
distinguirse, y la tercera se diferencia sólo por la presencia de un espacio
adicional.
{ Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } //
TraditionalForm

Las ambigüedades de TraditionalForm lo hacen en general inadecuado para
especificar entradas al núcleo de Mathematica. Pero al menos para casos
suficientemente simples, Mathematica realmente incluye varias reglas heurísticas
para tratar de interpretar expresiones TraditionalForm como entradas de
Mathematica.

Se asume que las celdas previstas para dar entradas al núcleo por defecto
contendrán expresiones StandardForm.

196

Aquí al front end le fue dicho que la entrada sería dada específicamente en
TraditionalForm. El corchete de la celda tiene una línea dentada para
indicar las dificultades implicadas.

La entrada es una copia o una edición simple de la salida anterior.
La entrada ha sido convertida de StandardForm, quizás con ediciones
simples.
La entrada contiene información explícita oculta que da su interpretación.
La entrada contiene sólo las notaciones más simples y familiares.
Algunas situaciones en que puede esperar que la entrada TraditionalForm trabaje.

Siempre que Mathematica genera una expresión en TraditionalForm,
automáticamente inserta varias etiquetas ocultas de modo que más adelante la
expresión pueda ser interpretada inequívocamente si se da como entrada. E incluso
si usted corrige la expresión, las etiquetas a menudo serán dejadas suficientemente
aceptables de modo que la interpretación inequívoca sea aún posible.

Esto genera una salida en TraditionalForm.
Exp[I Pi x] // TraditionalForm

Aquí le fue dicho a Mathematica que esperara una entrada
TraditionalForm. La entrada fue copiada de la línea de salida anterior,
y así contiene las etiquetas ocultas que aseguran la interpretación correcta.

Una edición simple a menudo no afecta las etiquetas ocultas.

Si usted ingresa una expresión TraditionalForm desde el principio, o la
importa desde fuera de Mathematica, entonces Mathematica hará todo lo posible
para averiguar lo que la expresión significa. Cuando hay ambigüedades, lo que

197

típicamente hace es asumir que usted esta usando alguna notación común en
aplicaciones de matemáticas elementales.

En una entrada TraditionalForm, esto es interpretado como una
derivada.

Esto es interpretado como una integral.

Esto es interpretado como un arco tangente.

Esto es interpretado como el cuadrado de una tangente.

No hay una interpretación particular estándar tradicional para esto,
Mathematica asume que es 1/Tan[x]^2.

Usted debe comprender que TraditionalForm no proporciona ningún tipo de
forma exacta o completa de especificar expresiones en Mathematica. Sin embargo,
para algunos objetivos elementales puede ser suficiente, en particular si usted usa
algunos trucos adicionales.

Use para funciones; para multiplicación.
Use para la constante exponencial E.
Use ó para la unidad imaginaria I.
Use para operadores diferenciales en integrales y derivadas.
Algunos trucos para entradas TraditionalForm.
198

Con un espacio es interpretada como multiplicación. Sin un
espacio es interpretada como una función.

La e ordinaria es interpretada como un símbolo e. La “e exponencial” que
se ingresa como , es interpretada como la constante exponencial.

11.10. Mezcla de texto y fórmulas

El modo más simple de mezclar texto y fórmulas en un cuaderno de Mathematica
es poner cada clase de material en una celda separada. A veces, sin embargo, puede
que usted quiera encajar una fórmula dentro de una celda de texto, o viceversa.

comience ingresando una fórmula dentro del
texto, o el texto dentro de una fórmula
termine entrando una fórmula dentro del
texto, o el texto dentro de una fórmula
Entrada de una fórmula dentro de texto, o viceversa.

He aquí un cuaderno con fórmulas encajados en una celda de texto.

Los cuadernos de Mathematica a menudo contienen tanto fórmulas requeridas para
la evaluación actual por Mathematica, como texto que es requerido sólo para su
lectura en forma pasiva.

Usted debe comprender, sin embargo, que hacer la tipografía detallada de fórmulas
típicas tan buena como sea posible, Mathematica automáticamente hace cosas
como insertar espacios alrededor de ciertos operadores. Pero estas clases de ajustes
pueden ser potencialmente inadecuados si usted usa una notación muy diferente a
la que Mathematica espera.
199

11.11. Creación de sus propias paletas

El front end de un cuaderno de Mathematica viene con una colección de paletas
estándar. Pero también le permite crear sus propias paletas.

Genere una paleta en blanco usando Create Table/Matrix/Palette del menú Input.
Llene el contenido.
Active la paleta usando Generate Palette from Selection del menú File.
Pasos básicos en la creación de una paleta.

Create Table/Matrix/Palette creará una paleta en blanco.

Usted entonces puede insertar lo que quiera en cada botón.

El ítem Generate Palette from Selection hace una paleta activa separada.

Haciendo clic sobre un botón de la paleta usted inserta el contenido de éste
en su cuaderno.

Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco
Generate Palette from Selection hace una paleta separada activa

200

Generate Notebook from Palette convierte una paleta en un cuaderno editable
Edit Button corrige la escritura asociada a una paleta o
botón
Ítems para generar paletas.

Cuando usted crea una paleta, puede usar los mismos mecanismos para añadir
columnas y filas que usa cuando crea cualquier otra clase de tabla, matriz o rejilla.
Así añadirá una nueva columna de botones, y (Control-Enter) añadirá
una nueva fila.

contenidos de botón acción
substituye la selección actual por
texto que contiene substituye la selección actual por
Contenidos de botones.

En el caso más simple, cuando usted presiona un botón en una paleta lo que pasará
es que el contenido del botón será insertado en su cuaderno, substituyendo lo que
era su selección actual.

A veces sin embargo puede que usted simplemente no quiera sustituir su selección
actual, sino más bien puede que quiera modificar la selección de algún modo.
Como ejemplo, puede ser que desee aplicar una función como Expand a su
selección actual. Puede hacer esto estableciendo un botón con el contenido
. El puede ingresarse como ó [SelectionPlace
holder]. En general, sirve como un guarda lugar para su selección actual.
Cuando usted presiona un botón que contiene , el es primero substituido por
su selección actual, y sólo entonces el resultado es insertado en su cuaderno.

He aquí una celda en la cual la selección actual es parte de una expresión.

Presionando un botón que contiene , Expand envuelve la
selección actual

Mathematica le permite asociar cualquier acción que usted quiere con un botón.
Puede establecer algunas acciones comunes usando el menú de Edit Button,
seleccionando un solo botón o una paleta entera.
201

Paste pega el contenido del botón (acción por
defecto)
Evaluate pega y luego evalúa en el lugar que ha sido
pegado
EvaluateCell pega y luego evalúa toda la celda
CopyEvaluate copia la selección actual en una nueva celda,
luego pega y evalúa en el lugar
CopyEvaluateCell copia la selección actual en una nueva celda,
luego pega y evalúa la celda completa
Acciones típicas para botones.

Con la acción de botón por defecto Paste, al presionar el botón se modifica el
contenido de una celda, pero no se hace ninguna evaluación. Escogiendo otras
acciones de botón, sin embargo, usted puede decir a Mathematica que realice una
evaluación siempre que presiona el botón.

Con la acción de botón Evaluate el resultado de esta evaluación es sobrescrito
sobre su selección actual. Esto es útil si usted quiere generar un botón que
modifique las partes de una expresión en el lugar.

La acción de botón Evaluate realiza la evaluación sólo sobre lo que fue pegado
en su celda actual. La acción de botón EvaluateCell, por otra parte, realiza la
evaluación sobre la celda completa, generando una nueva celda para mostrar el
resultado.


Esto muestra el resultado al presionar un botón que contiene
con una acción de botón EvaluateCell.

202

A veces es útil extraer la selección actual de una célula, y luego operar esta
selección en una nueva celda. Usted puede hacer esto utilizando las acciones de
botón CopyEvaluate y CopyEvaluateCell.


Un botón con una acción de botón CopyEvaluateCell copia la
selección actual en una nueva celda, luego pega el contenido del botón, y
luego realiza una evaluación, poniendo el resultado en una nueva celda.

Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco
Create Button genera un botón solo en una paleta
Generate Palette from Selection crea una ventana aparte
Cell Active activa botones dentro de una celda en un
cuaderno
Formas de crear elementos activos en el front end.

Mathematica le permite establecer un amplio rango de elementos activos en el
front end de cuaderno. En el caso más común, usted tiene una paleta que consiste
en una serie de botones en una ventana aparte. Pero también puede tener arrays de
botones, o hasta botones solos, dentro de una celda de un cuaderno común.

Además, usted puede hacer que un botón ejecute cualquier acción que usted
quiera–realizar cálculos en el kernel de Mathematica, o cambiar la configuración
de cuadernos en el front end.

11.12. Creación de Hipervínculos

Create Hyperlink crea un hipervínculo en el objeto
seleccionado
Ítem para generar hipervículos.
203

Un hipervínculo es una clase especial de botón que brinca a otra parte de un
cuaderno cuando es presionado. Típicamente los hipervínculo se indican en
Mathematica con texto azul o subrayado.

Para establecer un hipervínculo, solamente seleccione el texto u otro objeto al que
le quiere hacer un hipervínculo. Entonces escoja el ítem Create Hyperlink y complete
la especificación de donde usted quiere que esté el destino del hipervínculo.

11.13. Numeración automática

Escoja un estilo de celda tal como NumberedEquation.
Use el menú Create Automatic Numbering Object, con un
nombre de conteo tal como Section
Dos formas de generar numeración automática en un cuaderno de Mathematica.

La entrada para cada celda aquí es exactamente la misma, pero las celdas
contienen un elemento que muestra un número que va aumentando
progresivamente cuando avanzamos a través del cuaderno.

Esta celda está en un estilo NumberedEquation.

204

12. Archivos y operaciones externas

12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica

Usted puede usar archivos en su sistema informático para almacenar definiciones y
resultados de Mathematica. El enfoque más general es almacenar todo como texto
simple que es apropiado como entrada para Mathematica. Con este enfoque, una
versión de Mathematica corriendo en un sistema informático produce archivos que
pueden ser leídos por una versión que corre en cualquier sistema informático.
Además, tales archivos pueden ser manipulados por otros programas estándar, tales
como editores de textos.

<< name lee en un archivo de entrada de Mathematica
expr >> name produce expr como un archivo texto simple
expr >>> name añade expr un archivo
!! name muestra el contenido de un archivo de texto
simple
Lectura y escritura de archivos.

Esto expande ( x + y )3 y produce el resultado en un arhivo llamado tmp.
Expand[ (x + y)^3 ] >> tmp

He aquí los contenidos de tmp. Ellos pueden ser usados directamente como
una entrada para Mathematica.
!!tmp
x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3

Esto lee en tmp, evaluando la entrada de Mathematica que contiene.
<<tmp

Si usted esta familiarizado con los sistemas operativos, reconocerá la similitud de
los operadores de redireccionamiento de Mathematica >>, >>> y << con los
operadores de command-line >, >> y <.

Los operadores de redireccionamiento >> y >>> son convenientes para almacenar
resultados que usted obtiene de Mathematica. La función Save[“name”, f,
g,...] le permite guardar definiciones para variables y funciones.

205

Save["dir", f, g,...] guarde definiciones de variables o funciones
en un archivo
Guardando definiciones en archivos de texto simples.

He aquí una definición para una función f.
f[x_] := x^2 + c

Esto le da a c el valor de 17.
c = 17
17

Esto guarda la definición de f en el archivo ftmp.
Save["ftmp", f]

Mathematica automáticamente guarda la definición actual de f, y la
definición de c de la cual depende.
!!ftmp
f[x_] := x^2 + c
c = 17

Esto borra las definiciones de f y c.
Clear[f, c]

Usted puede rehabilitar las definiciones que guardó simplemente leyendo en
el archivo ftmp.
Exp[I Pi x] // TraditionalForm
17

file.m archivo de expresión de Mathematica en
formato de texto simple
file.nb archivo de cuaderno de Mathematica
file.mx definiciones de Mathematica en formato
DumpSave
Nombres típicos de archivos de Mathematica.

206

Si usted usa una interfase de cuaderno en Mathematica, entonces el front end de
Mathematica le permite guardar cuadernos completos, incluyendo no sólo entradas
y salidas de Mathematica, sino también texto, gráficos y otro material.

Es convencional dar nombres a los archivos de cuaderno de Mathematica que
terminen en .nb, y la mayor parte de versiones de Mathematica hacen cumplir
esta convención.

Cuando usted abre un cuaderno en el front end de Mathematica, Mathematica
inmediatamente le mostrará el contenido del cuaderno, pero normalmente no
enviará nada de este contenido al núcleo para su evaluación hasta que usted lo
solicite explícitamente.

Dentro de un cuaderno de Mathematica, sin embargo, usted puede usar el menú
Cell en el front end para identificar ciertas celdas como celdas de inicialización, y
si usted hace esto, entonces el contenido de estas celdas automáticamente será
evaluado cada vez que abra el cuaderno.

La I en el corchete de la celda indica que la segunda celda es una celda de
inicialización que será evaluada cada vez cuaderno sea abierto.

A veces es conveniente mantener el material de Mathematica tanto en un cuaderno
que contiene el texto explicativo, como en un paquete que contiene sólo la materia
prima de las definiciones de Mathematica. Usted puede hacer esto poniendo las
definiciones de Mathematica en celdas de inicialización en el cuaderno. Cuando
usted guarde el cuaderno, el front end le permitirá guardar un archivo asociado .m
que sólo contiene la materia prima de las definiciones de Mathematica.

12.2. Localización y manipulación de archivos

Aunque los detalles como son llamados y organizados los archivos se diferencian
de un sistema informático a otro, Mathematica proporciona algunos mecanismos
bastante generales para localizar y manejar archivos.

Mathematica asume que los archivos en su sistema informático son organizados en
una colección de directorios. En cualquier punto, usted tiene un directorio de

207

trabajo actual. Usted siempre puede referirse a archivos en este directorio con tan
solo dar sus nombres.

Directory[ ] da su directorio de trabajo actual
SetDirectory["dir"] fija su directorio de trabajo actual
FileNames[ ] lista los archivos en su directorio de trabajo
actual
FileNames["form"] lista los archivos cuyos nombres se ajustan a
una cierta forma
<<name lee en un archivo con el nombre especificado
<<context` lee en un archivo correspondiente al
contexto especificado
CopyFile["file1", "file2"] copia file1 a file2
DeleteFile["file"] borra un archivo
Funciones para localizar y manipular archivos.

Este es un directorio de trabajo actual. La forma que tiene se diferencia de
un sistema informático a otro.
Directory[ ]
C:Archivos de programaWolfram Research
Mathematica5.1

Esto resetea el directorio de trabajo actual.
SetDirectory["Ejemplos"]
C:Archivos de programaWolfram Research
Mathematica5.1Examples

Esto da una lista de todos los archivos en su directorio de trabajo actual
cuyos nombres se ajustan a la forma Test*.m.
FileNames["Prueba*.m"]
{Prueba1.m,Prueba2.m,PruebaFinal.m}

Aunque usted por lo general quiera crear archivos sólo en su directorio de trabajo
actual, a menudo tiene que leer en archivos de otros directorios. Por consiguiente,
cuando pide a Mathematica leer en un archivo con un nombre particular,
Mathematica automáticamente busca una lista de directorios (especificado por el
valor de la variable de búsqueda de camino $Path) hasta que, en caso de que
exista, encuentra un archivo con aquel nombre.

208

Una cuestión en archivos que se manejan en Mathematica es que la forma de los
archivos y nombres de directorio varía entre sistemas informáticos. Esto quiere
decir por ejemplo que los nombres de los archivos que contienen paquetes
estándares de Mathematica pueden ser bastante diferentes en sistemas diferentes.
Con una secuencia de convenciones, es sin embargo posible leer en un paquete
estándar de Mathematica con el mismo comando en todos los sistemas. La forma
en que esto trabaja es que cada paquete de programas define un llamado contexto
de Mathematica, de la forma name`name`. En cada sistema, todos los archivos se
nombran en correspondencia con los contextos que definen. Entonces cuando usted
usa el comando <<name`name` Mathematica automáticamente traduce el nombre
de contexto al nombre de archivo apropiado para su sistema informático particular.

FindList["file", "text"] da una lista de todas las líneas en un archivo
que contienen el texto especificado
FindList[ busca en todos los archivos en su directorio
FileNames[ ], "text"] corriente
Nombres típicos de archivos de Mathematica.

Esto busca todas las líneas en el archivo Prueba1 que contienen
ChordLengths.
FindList["Prueba1.m", "Rotation"]
{(* :Keywords: Traslation, Scaling, Reflection,
Rotation *),
Rotation::usage = "Rotation[].",
Rotation[p_, t_, q_:{0, 0}] :=,
Rotation[ptos : {{_, _} ..}, t_, q_:{0, 0}] :=,
Table[Rotation[ptos[[i]], t, q], {i,
Length[ptos]}]}

12.3. Importación y exportación de datos

Import["file", "Table"] importa una tabla de datos desde un archivo
Export["file", list, exporta list a un archivo como una tabla de
"Table"] datos
Importación y exportación de datos tabulares.

Esto exporta un array de números al archivo out.dat.
Export["out.dat", {{5.7, 4.3}, {-1.2, 7.8}}]
out.dat
209

He aquí el contenido del archivo out.dat.
!!out.dat

Esto importa el contenido de out.dat como una tabla de datos.
Import["out.dat", "Table"]
{5.7,4.3},{-1.2,7.8}}

Import["file", "Table"] manejará muchas clases de datos tabulares,
automáticamente deduciendo los detalles del formato siempre que es posible.
Export["file", list, "Table"] escribe datos separados por espacios, con
números dados en forma parecida a C o Fortran, como en 2.3E5 etcétera.

Import["name.ext"] importa datos asumiendo un formato
deducido del nombre del archivo
Export["name.ext", expr] importa datos en un formato deducido del
nombre del archivo
Importación y exportación de datos generales.

formatos de tabla "CSV", "TSV", "XLS"
formatos de matriz "HarwellBoeing", "MAT", "MTX"
formatos de datos "DIF", "FITS", "HDF5", "MPS",
especializados "SDTS", etc.
Algunos formatos comunes para datos tabulares.

Import y Export pueden manejar datos no sólo tabulares, sino también datos
correspondientes a gráficos, sonidos, expresiones y aún documentos completos
Import y Export a menudo pueden deducir el formato apropiado para datos con
simplemente ver la extensión del nombre del archivo para el archivo en el cual los
datos están siendo almacenados.

Note que usted también puede usar Import y Export para manipular archivos
de datos binarios.

Esto importa un gráfico en formato GIF.
Import["girafa.gif"]

210

Esto muestra el gráfico.
Show[%]

$ImportFormats importa formatos soportados por su sistema
$ExportFormats importa formatos soportados por su sistema
Encuentra la lista completa de formatos de importación y exportación soportados.

12.4. Exportación de gráficos y sonidos

Mathematica le permite exportar gráficos y sonidos en una amplia variedad de
formatos. Si usted usa el front end de un cuaderno de Mathematica, entonces usted
solamente puede copiar y pegar gráficos y sonidos directamente en otros
programas usando el mecanismo estándar disponible en su sistema informático.

Export["name.ext", exporta gráficos a un archivo en un formato
graphics] deducido del nombre del archivo
Export["file", graphics, exporta gráficos en el formato especificado
"format"]
Export["!command", exporta gráficos a un comando externo
graphics, "format"]
Exportación de gráficos y sonidos en Mathematica.

formatos de gráficos "EPS", "TIFF", "GIF", "JPEG",
"PNG", "PCX", "PDF", "SVG", etc.
formatos de sonido "SND", "WAV", "AIFF", "AU", etc.
Algunos formatos comunes para gráficos y sonidos.
211

Esto traza un gráfico.
Plot[Sin[x] + Sin[Sqrt[2] x], {x, 0, 10}]

Esto exporta el gráfico a un archivo en formato PostScript.
Export["sinplot.eps", %]
sinplot.eps

12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos

He aquí una celda conteniendo una fórmula.

Esto es lo que usted obtiene si copia la fórmula y la pega en un programa
externo basado en texto.

Pegando el texto nuevamente en un cuaderno inmediatamente reproduce la
fórmula original.

212

Mathematica le permite exportar fórmulas tanto textual como visualmente. Usted
puede usar la Export para decir a Mathematica que escriba una representación
visual de una fórmula en un archivo.

Export["file.eps", guarda la forma visual de expr en un archivo
ToBoxes[expr]] en formato EPS
Export["file", guarda la forma visual de expr el formato
ToBoxes[expr], "format"] especificado
Exportación de expresiones en forma visual.

12.6. Generación e Importación de TeX

Los cuadernos de Mathematica proporcionan un ambiente sofisticado para crear
documentos técnicos. Pero en particular si usted quiere combinar su trabajo con
material existente en TeX, puede encontrar conveniente usar TeXForm para
convertir expresiones de Mathematica en forma conveniente de entrada para TeX.

TeXForm[expr] imprime expr en forma de entrada para TeX
Salidas de Mathematica para TeX.

He aquí una expresión, impresa en forma estándar de Mathematica.
(x + y)^2 / Sqrt[x y]

He aquí la expresión en forma de entrada para TeX.
TeXForm[%]
frac{(x+y)^2}{sqrt{x y}}

ToExpression["input", convierte una entrada para TeX a
TeXForm] Mathematica
Conversión de cadenas TeX a Mathematica.

Esto convierte una cadena TeX a Mathematica. Observe los dobles
necesarios en la cadena.
ToExpression["sqrt{x y}", TeXForm]

213

Además de la capacidad de convertir expresiones individuales a TeX, Mathematica
también proporciona capacidades para traducir cuadernos completos. Estas
capacidades por lo general pueden accederse desde el menú Save As Special en el
front end de un cuaderno, donde pueden fijarse varias opciones.

12.7. Cambio de material con la Web

HTMLSave["file.html"] guarda su cuaderno actual completo en
forma HTML
HTMLSave["file.html", guarda una versión HTML del cuaderno
"source.nb"] source.nb
Conversión de cuadernos a HTML.

HTMLSave tiene muchas opciones que le permiten especificar como deberían ser
convertidos los cuadernos para navegadores de Web con capacidades diferentes.
Usted puede encontrar detalles escribiendo HTMLSave en el Help Browser de
Mathematica.

MathMLForm[expr] imprime expr en forma MathML
MathMLForm[ use StandardForm antes que la notación
StandardForm[expr]] matemática tradicional
ToExpression["string", interpreta una cadena de MathML como
MathMLForm] entrada de Mathematica
Conversión a y desde MathML.

He aquí una expresión impresa en forma MathML.
MathMLForm[x^2/z]
<math>
<mfrac>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>z</mi>
</mfrac>
</math>

Si usted pega MathML en un cuaderno de Mathematica, Mathematica
automáticamente tratará de convertirlo en entrada de Mathematica. Usted puede
214

copiar una expresión de un cuaderno como MathML utilizando el menú Copy As en
el front end de un cuaderno.

Export["file.xml", exporta en formato XML
expr]
Import["file.xml"] importa desde XML
ImportString[ importa datos de una cadena de XML
"string", "XML"]
Importación y exportación XML.

Similar a las expresiones de Mathematica, XML es un formato general para
representar datos. Mathematica automáticamente convierte ciertos tipos de
expresiones a y desde tipos específicos de XML. MathML es un ejemplo. Otros
ejemplos incluyen NotebookML para expresiones de cuaderno, y SVG para
gráficos.

Si usted pide a Mathematica que importe una parte genérica de XML, esto
producirá una expresión SymbolicXML. Cada elemento XML de la forma <elem
attr='val'>data</elem> es traducido a una expresión SymbolicXML de
Mathematica de la forma XMLElement["elem",{"attr"->"val"},{datos}].
Una vez que usted ha importado un parte de XML como SymbolicXML, puede
usar las potentes capacidades de programación simbólica de Mathematica para
manipular la expresión que obtiene. Entonces puede usar la Export para exportar
el resultado en la forma de XML.

Esto genera una expresión SymbolicXML, con un XMLElement
representando el elemento a en la cadena XML.
ImportString["<a aa='va'>s</a>", "XML"]
XMLObject[Document][{},
XMLElement[a,{aa→va},{s}],{}]

Ahora hay dos niveles anidados en SymbolicXML.
ImportString[ "<a>ssss</a>", "XML"]
XMLElement[
a,{},{XMLElement[b,{bb→1},{ss}],
XMLElement[b,{bb→2},{ss}]}],{}]
215

Esto hace una transformación simple en SymbolicXML.
%/."ss" -> XMLElement["c",{},{"xx"}]
XMLElement[a,{},{XMLElement[b,{bb→1},
{XMLElement[c,{},{xx}]}],XMLElement[b,
{bb→2},{XMLElement[c,{},{xx}]}]}],{}]

Esto muestra el resultado como una cadena XML.
ExportString[%, "XML"]
<a>

<c>xx</c>


<c>xx</c>

</a>

Import["http://url", ...] importación de datos de un website
Import["ftp://url", ...] importación de datos de un servidor FTP
Importación de datos de fuentes Web.

12.8. Generación de expresiones C y Fortran

Si usted tiene programas con destino especial escritos en C o Fortran, puede ser
que quiera tomar fórmulas que ha generado en Mathematica e insertarlas en el
código original de sus programas. Mathematica le permite convertir expresiones
matemáticas en expresiones C y Fortran.

CForm[expr] escribe expr para que pueda ser usada en un
programa en C
FortranForm[expr] escribe expr para Fortran
Salidas de Mathematica para lenguajes de programación.

He aquí una expresión, escrita en forma estándar de Mathematica.
Expand[(1 + x + y)^2]
216

He aquí la expresión en forma Fortran.
FortranForm[%]

He aquí la misma expresión en forma C. Las macros para objetos como
Power son definidas en el archivo mdefs.h que viene con la mayoría de
las versiones de Mathematica.
CForm[%]

Usted debe comprender que hay muchas diferencias entre Mathematica y C o
Fortran. Por consiguiente, las expresiones que usted traduce puede que no trabajen
exactamente del mismo modo que en Mathematica. Además, hay tantas diferencias
en construcciones de programación que no se hace ninguna tentativa de traducir
éstos automáticamente.

Compile[x, expr] compila una expresión en eficiente código
interno
Una forma de compilar expresiones en Mathematica.

Una de las motivaciones comunes para convertir expresiones de Mathematica en C
o Fortran es tratar de hacerlas más rápidas de evaluar numéricamente. Pero la razón
más importante por la cual C y Fortran son potencialmente más eficientes que
Mathematica es que en estos lenguajes uno siempre especifica que tipo de cada
variable usará–entera, real, array, etc.

La función Compile de Mathematica hace tales asunciones dentro de
Mathematica, y genera un código interno sumamente eficiente. Por lo general estas
corridas de código no son más lentas que las acostumbradas en C o Fortran.

12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos

Si usted quiere hacer uso de una salida de Mathematica en un archivo externo
como un programa o documento, a menudo encontrará útil “empalmar” la salida
automáticamente en el archivo.

Splice["file.mx"] empalma la salida de Mathematica en un
217

archivo externo llamado file.mx, pone los
resultados en el archivo file.x
Splice["infile", empalma la salida de Mathematica en infile,
"outfile"] enviando la salida a outfile
Empalmes de salida de Mathematica en archivos.

La idea básica es establecer las definiciones que usted necesita en una sesión
particular de Mathematica, luego correr Splice para usar las definiciones que ha
hecho para producir la salida apropiada a insertar en los archivos externos.

#include "mdefs.h"

double f(x)
double x;
{
double y;

y = <* Integrate[Sin[x]^5, x] *> ;

return(2*y - 1) ;
}

Un programa simple en C conteniendo una fórmula de Mathematica

#include "mdefs.h"

double f(x)
double x;
{
double y;

y = -5*Cos(x)/8 + 5*Cos(3*x)/48 - Cos(5*x)/80 ;

return(2*y - 1) ;
}

El programa anterior en C procesado con Splice

218

Bibliografía

Wolfram Research. The Mathematica Book.

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