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Manual math

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Juan Timoteo Cori

Este documento presenta una introducción al uso de Mathematica. Explica que Mathematica puede usarse con una interfaz de cuaderno o basada en texto. Con una interfaz de cuaderno, los usuarios crean documentos interactivos donde escriben entradas y ven resultados. Con una interfaz basada en texto, los usuarios interactúan mediante líneas de comando. Además, introduce conceptos básicos de cálculo numérico en Mathematica como aritmética, funciones matemáticas y números complejos.

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BBRREEVVEE MMAANNUUAALL DDEE MMAATTHHEEMMAATTIICCAA 55..11 Robert Ipanaqué Chero Ricardo Velesmoro León DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA, PERÚ
1 BBRREEVVEE MMAANNUUAALL DDEE MMAATTHHEEMMAATTIICCAA 55..11 Mathematica y MathReader son marcas registradas de Wolfram Research Robert Ipanaqué Chero robertchero@hotmail.com http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque Ricardo Velesmoro León velesmoro_ricardo@hotmail.com Departamento Académico de Matemática Universidad Nacional de Piura, Urb. Miraflores s/n, Castilla - Piura, Perú ISBN: Nº Registro: Setiembre 2005, editado por el grupo eumed●net Grupo de Investigación de la Universidad de Málaga, España http://www.eumed.net Para citar este libro puede utilizar el siguiente formato: Ipanaqué Chero y Velesmoro León (2005) Breve Manual de Mathematica 5.1. Edición a texto completo en www.eumed.net/libros/2005/
2 Índice Índice ...................................................................................................................... 3 1. Funcionamiento de Mathematica ........................................................................ 6 1.1. Interfase de cuaderno ................................................................................ 6 1.2. Interfase basada en texto ........................................................................... 8 2. Cálculos numéricos ............................................................................................. 9 2.1. Aritmética ................................................................................................. 9 2.2. Resultados exactos y aproximados ......................................................... 10 2.3. Algunas funciones matemáticas .............................................................. 12 2.4. Cálculos con precisión arbitraria ............................................................ 14 2.5. Números complejos ................................................................................ 15 2.6. Acostumbrándose a Mathematica ........................................................... 16 2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos ................................................... 17 3. Generación de cálculos ..................................................................................... 19 3.1. Uso de resultados previos ....................................................................... 20 3.2. Definición de variables ........................................................................... 20 3.3. Construcción de listas ............................................................................. 22 3.4. Manipulación de los elementos de una lista ........................................... 23 3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica ....................................... 25 3.6. Secuencias de operaciones ...................................................................... 25 4. Uso del sistema Mathematica ........................................................................... 26 4.1. La estructura de Mathematica ................................................................ 26 4.2. Cuadernos como documentos ................................................................. 29 4.3. Elementos activos en cuadernos ............................................................. 32 4.4. Hipervínculos y texto activo ................................................................... 35 4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno ..................................... 36 4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto ................................ 37 4.7. Paquetes en Mathematica ....................................................................... 39 4.8. Advertencias y mensajes ........................................................................ 40 4.9. Interrupción de cálculos .......................................................................... 41 5. Cálculos algebraicos ......................................................................................... 42 5.1. Cálculo simbólico ................................................................................... 42 5.2. Valores para símbolos ............................................................................ 44 5.3. Transformación de expresiones algebraicas ........................................... 48 5.4. Simplificación de expresiones algebraicas ............................................. 49 5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas ............................................ 51 5.6. Simplificación con asunciones ............................................................... 55 5.7. Seleccionar partes de expresiones algebraicas ........................................ 56 5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes .................................. 58
3 5.9. Las limitaciones de Mathematica ........................................................... 59 5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos ................................................ 61 6. Matemáticas simbólicas .................................................................................... 63 6.1. Operaciones básicas ................................................................................ 63 6.2. Diferenciación ........................................................................................ 64 6.3. Integración .............................................................................................. 65 6.4. Sumas y productos .................................................................................. 68 6.5. Ecuaciones .............................................................................................. 70 6.6. Operadores relacionales y lógicos .......................................................... 72 6.7. Solución de ecuaciones ........................................................................... 74 6.8. Desigualdades ......................................................................................... 80 6.9. Ecuaciones diferenciales ......................................................................... 82 6.10. Series de potencias ................................................................................ 83 6.11. Límites .................................................................................................. 85 6.12. Transformadas integrales ...................................................................... 86 6.13. Ecuaciones recurrentes ......................................................................... 87 6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas ................................................. 87 6.15. Casos genéricos y no genéricos ............................................................ 90 6.16. Notación matemática en cuadernos ...................................................... 91 7. Matemáticas numéricas .................................................................................... 93 7.1. Operaciones básicas ................................................................................ 93 7.2. Sumas, productos e integrales numéricas ............................................... 94 7.3. Solución numérica de ecuaciones ........................................................... 95 7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas ....................................................... 97 7.5. Optimización numérica ........................................................................... 98 7.6. Manipulación de datos numéricos ........................................................ 100 7.7. Estadística ............................................................................................. 102 8. Funciones y programas ................................................................................... 103 8.1. Definición de funciones ........................................................................ 103 8.2. Funciones como procedimientos .......................................................... 105 8.3. Operaciones repetitivas ......................................................................... 107 8.4. Reglas de transformación para funciones ............................................. 108 9. Listas ............................................................................................................... 109 9.1. Juntar objetos ........................................................................................ 109 9.2. Fabricación de tablas de valores ........................................................... 110 9.3. Vectores y matrices .............................................................................. 113 9.4. Elegir elementos de listas ..................................................................... 118 9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista ....................................... 120 9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista .............................. 122 9.7. Combinación de listas ........................................................................... 123 9.8. Listas de conjuntos ............................................................................... 124 9.9. Reordenamiento de listas ...................................................................... 125 9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas ............................. 126
4 9.11. Ordenamiento de listas ....................................................................... 127 9.12. Reorganización de listas anidadas ...................................................... 128 10. Gráficos y sonido .......................................................................................... 128 10.1. Gráficos básicos .................................................................................. 128 10.2. Opciones ............................................................................................. 131 10.3. Rehacer y combinar gráficos .............................................................. 138 10.4. Manipulación de opciones .................................................................. 143 10.5. Contornos y gráficos de densidad ....................................................... 145 10.6. Gráficos de superficies tridimensionales ............................................ 148 10.7. Conversión entre tipos de gráficos ...................................................... 156 10.8. Gráficos de listas de datos .................................................................. 157 10.9. Gráficos paramétricos ......................................................................... 160 10.10. Algunos gráficos especiales .............................................................. 165 10.11. Gráficos animados ............................................................................ 168 10.12. Sonido ............................................................................................... 169 11. Entradas y salidas en cuadernos .................................................................... 172 11.1. Ingreso de letras griegas ..................................................................... 172 11.2. Ingreso de entradas bidimensionales .................................................. 174 11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales ........................ 180 11.4. Ingreso de fórmulas ............................................................................. 181 11.5. Ingreso de tablas y matrices................................................................. 187 11.6. Subíndices, barras y otros adornos ..................................................... 188 11.7. Caracteres no ingleses ........................................................................ 190 11.8. Otras notaciones matemáticas.............................................................. 191 11.9. Formas de entrada y salida ................................................................. 193 11.10. Mezcla de texto y fórmulas ............................................................... 199 11.11. Creación de sus propias paletas ........................................................ 200 11.12. Creación de Hipervínculos ............................................................... 204 11.13. Numeración automática .................................................................... 204 12. Archivos y operaciones externas .................................................................. 205 12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica ................................ 205 12.2. Localización y manipulación de archivos ........................................... 208 12.3. Importación y exportación de datos .................................................... 210 12.4. Exportación de gráficos y sonidos ...................................................... 211 12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos ............................................... 212 12.6. Generación e Importación de TeX ...................................................... 213 12.7. Cambio de material con la Web .......................................................... 214 12.8. Generación de expresiones C y Fortran .............................................. 217 12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos ................. 218 Bibliografía ......................................................................................................... 220
5 Breve manual de Mathematica 5.1 Este libro da una introducción a Mathematica, concentrándose en usar Mathematica como sistema interactivo para resolver problemas. Cuando lo haya leído, debe tener suficiente conocimiento de Mathematica para abordar muchas clases de problemas prácticos. 1. Funcionamiento de Mathematica Para saber cómo se instala y funciona Mathematica debe leer la documentación que vino con su copia de Mathematica. Los detalles difieren a partir de un sistema informático a otro, y son afectados por las varias clases de arreglo para requisitos particulares que se pueden hacer en Mathematica. Sin embargo, esta sección delinea dos casos comunes. Observe que aunque los detalles de funcionamiento de Mathematica difieren a partir de un sistema informático a otro, la estructura de los cálculos de Mathematica es igual en todos los casos. El usuario digita la entrada (input), Mathematica la procesa, y devuelve un resultado. 1.1. Interfase de Cuaderno utilice un icono o el menú de Inicio mathematica formas gráficas de inicializar Mathematica comando para inicializar Mathematica finalizar texto con <Shift>+<Enter> elegir el ítem salida del menú entrada para Mathematica salir de Mathematica Funcionamiento de Mathematica con una interfase de cuaderno. En una interfase de “cuaderno”, usted interactúa con Mathematica creando documentos interactivos. Si usa su computadora vía una interfase puramente gráfica haremos como de costumbre doble en el icono de inicio de Mathematica. En cambio, si la usa vía un sistema operativo basado en texto digitaremos el comando mathematica para iniciar Mathematica.
6 Cuando Mathematica inicializa usualmente presenta un cuaderno en blanco. Usted digita la entrada (input), luego presiona (en simultáneo) <Shift>+<Enter> para que Mathematica procese su entrada. <Shift>+<Enter> indica a Mathematica que usted ha finalizado su entrada. Si su teclado posee teclado numérico puede usar la tecla <Enter> del mismo en lugar de <Shift>+<Enter>. Después de ejecutar una entrada en Mathematica desde un cuaderno, Mathematica etiquetará su entrada con In[n]:=. También etiqueta la correspondiente salida Out[n]=. Usted digita 11 + , luego finaliza su entrada con <Shift>+<Enter>. Mathematica procesa la entrada, luego agrega la etiqueta a la entrada In[1]:=, y devuelve la respectiva salida. A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la siguiente manera: Con una interfase de cuaderno, usted sólo digita 1+1. Mathematica añade la etiqueta In[1]:=, e imprime el resultado. 1 + 1 2 Recuerde que los cuadernos corresponden a la “parte visible” (“front end”) de Mathematica. El núcleo de Mathematica que realiza realmente los cálculos puede funcionar en la misma computadora que el front end, o en otra computadora conectada vía alguna clase de red o de línea. En la mayoría de los casos, el núcleo incluso no se inicializa hasta que el usuario hace realmente un cálculo con Mathematica. Para salir de Mathematica, usted elige el ítem salida del respectivo menú en la interfase de cuaderno.
7 1.2. Interfase Basada en Texto math comando del sistema operativo para inicializar Mathematica finalizar texto con <Enter> Control-D, Control-Z ó Quit[] entrada para Mathematica salir de Mathematica Funcionamiento de Mathematica con una interfase basada en Texto. Con una interfase basada en texto, usted interactúa con su computadora digitando texto en el teclado. Para inicializar Mathematica con una interfase basada en texto, se digita el comando math en el prompt del sistema operativo. En algunos sistemas, también es posible inicializar Mathematica con una interfase basada en texto haciendo doble clic en el icono del núcleo de Mathematica. Cuando Mathematica ha inicializado, imprimirá el prompt In[1]:=, esto significa que esta lista para que usted haga su entrada. Puede entonces digitar su entrada, terminándola con <Enter>. Mathematica procesa la entrada, y genera un resultado, el mismo que etiquetará con Out[1]=. A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la siguiente manera: La computadora imprime In[1]:=. Usted sólo digita 1+1. La línea que empieza con Out[1]= es el resultado de Mathematica. 1 + 1 2 Observe que usted no digita explícitamente el prompt In[1]:=; sólo digita el texto que sigue después de este aviso. Observe también que la mayor parte de los diálogos dados en el libro muestran salidas en la forma que usted obtendría con una interfase de cuaderno de Mathematica; la salida con una interfase basada en texto luce similar, pero carece de características tales como caracteres especiales y cambio de tamaño de fuente.
8 Para salir de Mathematica, digite Control-D, Control-Z ó Quit[ ] en el prompt de la entrada. 2. Cálculos numéricos 2.1. Aritmética Usted puede hacer aritmética con Mathematica tal y como lo haría con una calculadora. Aquí tenemos la suma de dos números. 5.6 + 3.7 9.3 Con * indicamos el producto de dos números. 5.6 * 3.7 20.72 Con el espacio en blanco también se indica el producto de dos números. 5.6 3.7 20.72 Usted puede digitar operaciones aritméticas haciendo uso de los paréntesis. (2 + 3) ^ 3 – 4 (6 + 7) 73 Los espacios no son necesarios, aunque a menudo hacen su entrada más fácil de leer. (2+3)^3–4(6+7) 73 x^y –x x/y x y z o x*y*z x+y+z potencia menos división producto suma Operaciones aritméticas en Mathematica.
9 Las operaciones aritméticas en Mathematica se agrupan de acuerdo con las convenciones estándares de la matemática. Como es usual, 2+3/7, por ejemplo, significa 2+(3/7), y no (2+3)/7. Usted puede controlar siempre la forma de agrupar explícitamente usando paréntesis. Este resultado se da en notación científica. 3.7 ^ 36 2.85274×1020 Usted puede incorporar números en notación científica de esta forma. 4.6 10^45 4.6×1045 O de esta otra forma. 4.6*^45 4.6×1045 2.2. Resultados exactos y aproximados Una calculadora electrónica hace todos sus cálculos con una precisión determinada, digamos de diez dígitos decimales. Con Mathematica, en cambio, usted puede obtener resultados exactos. Mathematica da un resultado exacto para 300 2 , a pesar que éste tiene 91 dígitos decimales. 2^300 203703597633448608626844568840937816105146839366593 6250636140449354381299763336706183397376 Usted puede pedir a Mathematica que devuelva un resultado aproximado, tal como lo daría una calculadora, para ello debe finalizar su entrada con //N. Esto da un resultado numérico aproximado. 2^300//N 2.03704×1090
10 Mathematica puede dar resultados en términos de números racionales. 1/3 + 2/7 21 13 //N siempre da un resultado numérico aproximado. 1/3 + 2/7//N 0.619048 exp //N da un valor numérico aproximado para exp Obteniendo aproximaciones numéricas. Cuando usted digita un entero como 7, Mathematica asume que es exacto. Si usted digita un número como 4.5, con un punto decimal explícito, Mathematica asume que desea efectuar cálculo numéricos aproximados. Esto es tomado como un número racional exacto, y es llevado a una fracción irreducible. 26/78 3 1 Cuando usted digita un número con un punto decimal explícito, Mathematica produce un resultado numérico aproximado. 26.7/78 0.342308 Aquí otra vez, la presencia del punto decimal hace que Mathematica dé un resultado numérico aproximado. 26./78 0.333333 Cuando cualquier número en una expresión aritmética es digitado con un punto decimal explícito, usted obtiene un resultado numérico aproximado para toda la expresión. 5. + 9 / 78 - 5/8 4.49038
11 2.3. Algunas funciones matemáticas Mathematica incluye una gran colección de funciones matemáticas. A continuación mencionamos las más comunes. Sqrt[x] raíz cuadrada ( x ) Exp[x] exponencial ( x e ) Log[x] logaritmo natural ( xelog ) Log[b, x] logaritmo en base b ( xblog ) Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] funciones trigonométricas (con argumentos en radianes) ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], ArcSec[x], ArcCsc[x] funciones trigonométricas inversas n! factorial de n (producto de los enteros 1, 2, ..., n) Abs[x] valor absoluto Round[x] redondeo del entero x Mod[n, m] n módulo m (resto de la división de n entre m) Random[ ] número seudo aleatorio entre 0 y 1 Max[x, y, ...], Min[x, y, ...] máximo, mínimo de x, y, ... FactorInteger[n] factores primos de n Algunas de las funciones matemáticas más comunes. Los argumentos de todas las funciones en Mathematica se colocan entre corchetes. Los nombres de las funciones incorporadas en Mathematica empiezan con letra mayúscula. Dos puntos importantes acerca de funciones en Mathematica. Es importante recordar que todos los argumentos de funciones se colocan entre corchetes, no entre paréntesis. Los paréntesis en Mathematica se usan solamente para indicar agrupación de términos, y jamás para encerrar argumentos de funciones. Esto da )7.15(loge . Note la letra mayúscula para Log, y los corchetes para el argumento.
12 Log[15.7] 2.75366 Esto devuelve 64 como un entero exacto. Sqrt[64] 8 Esto da un valor numérico aproximado para 6 . Sqrt[6]//N 2.44949 La presencia explícita de un punto decimal le indica a Mathematica que dé un resultado numérico aproximado. Sqrt[6.] 2.44949 En este caso Mathematica devuelve un número en forma simbólica exacta. Sqrt[6] 6 Aquí tenemos un resultado entero exacto para 30×29× ... ×1. Usted puede digitar números grandes para calcular factoriales. Por ejemplo, puede calcular 2000! en corto tiempo. 40! 815915283247897734345611269596115894272000000000 Esto da un valor numérico aproximado del factorial. 40!//N 8.15915×1047 Pi π ≈ 3.14159 E e ≈ 2.71828 (normalmente aparece como ) Degree π/180: factor de conversión de grados a radianes (normalmente aparece como °) I i = 1− (normalmente aparece como ) Infinity ∞ Algunas constantes matemáticas comunes.
13 Note que todos los nombres de las constantes incorporadas en Mathematica empiezan con mayúscula. Este es el valor numérico de 2 π . Pi^2//N 9.8696 Esto devuelve un resultado exacto para sen(π/2).Note que los argumentos de las función trigonométricas siempre se dan en radianes. Sin[Pi/2] 1 Esto devuelve el valor numérico de sen(20°). Multiplicando por la constante Degree convertimos el argumento a radianes. Sin[20 Degree]//N 0.34202 Log[x] devuelve el logaritmo de x en base e. Log[E^15] 15 Usted puede obtener logaritmos en cualquier base b usando Log[x]. Como una notación estándar de Mathematica la b es opcional. Log[3,81] 4 2.4. Cálculos con precisión arbitraria Cuando usted utiliza //N para obtener un resultado numérico, Mathematica hace que lo que haría una calculadora estándar: devuelve el resultado con un número fijo de cifras significativas. No obstante, usted puede indicarle a Mathematica las cifras significativas con las que desea operar. Esto permite obtener resultados numéricos en Mathematica con cualquier grado de precisión. exp //N o N[exp] N[exp, n] valor numérico aproximado para exp valor numérico de exp calculado con n dígitos de precisión Funciones de evaluación numérica.
14 Esto devuelve el valor numérico de π con un número fijo de cifras significativas. Digitar N[Pi] es equivalente a Pi//N. N[Pi] 3.14159 Esto devuelve π con 50 dígitos. N[Pi, 50] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 Aquí tenemos a 7 con 40 dígitos. N[Sqrt[7], 40] 2.645751311064590590501615753639260425710 Al realizar cualquier tipo de cálculo numérico puede introducir pequeños errores de redondeo en sus resultados. Cuando se aumenta la precisión numérica estos errores se hacen más pequeños. Asegurarse que usted obtiene la misma respuesta al aumentar la precisión numérica es a menudo una buena forma de verificar los resultados. La cantidad 163π e esta bastante próxima a ser entera. Para verificar que el resultado no es, de hecho, un entero, usted tiene que usar la precisión numérica suficiente. N[Exp[Pi Sqrt[163]], 40] 2.625374126407687439999999999992500725972×1017 2.5. Números complejos Puede ingresar números complejos en Mathematica con sólo incluir la constante I, igual a 1− . Asegúrese que la letra I sea mayúscula. Si está usando cuadernos, también puede ingresar I como digitando <Esc> ii <Esc>. La forma es la que se usa normalmente como salida. Note que una i ordinaria significa una variable llamada i, pero no 1− . Esto devuelve como resultado el número imaginario 2i. Sqrt[-4] 2
15 Esto devuelve la división de dos números complejos. (8 + 4 I)/(-1 + I) -2 - 6 Aquí tenemos el valor numérico de un exponencial complejo. Exp[11 + 5 I]//N 16984. - 57414.8 x + I y el número complejo x + i y Re[z] parte real Im[z] parte imaginaria Conjugate[z] complejo conjugado * z o z Abs[z] módulo de z Arg[z] el argumento ϕ en ϕi ez Operaciones con números complejos. 2.6. Acostumbrándose a Mathematica Los argumentos de las funciones se colocan entre corchetes. Los nombres de las funciones incorporadas empiezan con letra mayúscula. La multiplicación se puede representar por un espacio. Las potencias se denotan por ^. Los números en la notación científica se ingresan, por ejemplo, como 2.5*^-4 ó 2,5 10^-4. Puntos importantes a recordar en Mathematica. Esta sección le ha dado una primera idea de Mathematica. Si ha utilizado otros sistemas informáticos antes, habrá advertido probablemente algunas similitudes y algunas diferencias. A menudo encontrará en las diferencias las partes más difíciles de recordar. Esto puede ayudarle, sin embargo, a entender un poco de por qué Mathematica funciona en la manera que lo hace, y por qué existen tales diferencias. Una característica importante de Mathematica que difiere de otros lenguajes de programación, y de la anotación matemática convencional, es que los argumentos de una función se encierran en corchetes, no en paréntesis. Los paréntesis en Mathematica se reservan específicamente para indicar la agrupación de términos. Hay obviamente una diferencia conceptual entre dar argumentos a una función y
16 agrupar términos entre sí; el hecho que la misma notación a menudo se ha utilizado para ambas cosas es en gran parte una consecuencia de la tipografía y de los primeros teclados de computadora. En Mathematica, los conceptos son distinguidos por la diferente notación. Esta diferencia tiene varias ventajas. En la notación de paréntesis, no está claro si )1( xc + significa c[1 + x] ó c*(1 + x). Usar los corchetes para los argumentos de una función quita esta ambigüedad. También permite que la multiplicación sea indicada sin el explícito * o algún otro caracter. Por consiguiente, Mathematica puede manejar expresiones como 2x y ax ó a(1 + x), tratándolos tal como en la notación matemática estándar. Habrá visto en esta sección que las funciones incorporadas de Mathematica tienen a menudo nombres absolutamente largos. Puede preguntarse por qué, por ejemplo, la función del número pseudaleatorio se llama Random, en lugar de, por ejemplo, rand. La respuesta, que depende mucho del diseño de Mathematica, es la consistencia. Hay una convención general en Mathematica que todos los nombres de funciones estén representados con palabras inglesas completas, a menos que haya una abreviatura matemática estándar para ellos. La gran ventaja de este esquema es que es fiable. Una vez que usted sabe lo que una función hace, usted por lo general será capaz de adivinar exactamente cual es su nombre. Si los nombres fueran abreviados, tendría que recordar siempre cual abreviatura de las palabras inglesas estándares fue utilizada. Otra característica de los nombres de funciones incorporadas en Mathematica es que todos comienzan con mayúscula. En secciones posteriores, usted verá cómo definir variables y funciones por si mismo. La convención de la mayúscula hace fácil distinguir objetos incorporados. Si Mathematica utilizara max en vez de Max para representar la operación de encontrar el máximo, después usted nunca podría utilizar max como el nombre de una de sus variables. Además, cuando usted lee los programas escritos en Mathematica, las mayúsculas de los nombres de objetos incorporados los hace más fáciles seleccionar. 2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos Si usa una interfase basado en texto con Mathematica, entonces las entradas que usted vaya a hacer consistirán solamente en caracteres que digite directamente con su teclado. Pero si usa una interfase de cuaderno entonces es posible que realice otro tipo de entradas.
17 Usualmente se incorporan paletas las cuales operan como extensiones de su teclado, y poseen botones sobre los que usted puede hacer clic para ingresar alguna forma en particular. Puede acceder a las paleta estándares usando el submenú Pelettes del menú File. Haciendo clic en el botón π de esta paleta ingresará pi en su cuaderno. Haciendo clic en el primer botón una estructura en blanco par ingresar una potencia. Usted puede usar el mouse para rellenar esta estructura o desplazarse en ella con la tecla <Tab>. También puede hacer ingresos como los anteriores mediante teclas especiales de su teclado. el símbolo π el símbolo ∞ el símbolo para constante exponencial (equivalente a E) el símbolo para 1− (equivalente a I) el símbolo ° (equivalente a Degree) lleva al exponente de una potencia lleva al denominador de una fracción lleva al subradical de una raíz cuadrada regresa de un exponente, denominador o raíz cuadrada Algunas maneras de ingresar notaciones especiales. Esta es un cálculo ingresado mediante los caracteres comunes de un teclado. N[E^3/5] 4.01711
18 Este es el mismo cálculo ingresado usando una paleta o teclas especiales. 4.01711 Esta es una secuencia de las teclas que puede usarse para ingresar la entrada anterior. 4.01711 En un lenguaje de programación tradicional tal como C, FORTRAN, Java o Perl, la entrada que usted da siempre debe consistir de una cadena de caracteres ordinarios que se puedan digitar directamente del teclado. Pero el lenguaje de Mathematica también le permite dar entradas que contienen caracteres especiales, exponentes, fracciones, etcétera. El lenguaje incorpora muchas características de la notación matemática tradicional. Pero debe comprender que el objetivo del lenguaje es proporcionar una forma exacta y constante de especificar cálculos. Y por consiguiente, no sigue todos los detalles de la notación matemática tradicional. Sin embargo, es posible conseguir que Mathematica produzca salidas que imitan cada aspecto de notación tradicional matemática. Y es también posible para Mathematica importar texto que usa tal notación, y en cierta medida traducirlo en su propio lenguaje. 3. Cálculos 3.1. Uso de resultados previos Al realizar cálculos, muchas veces usted necesita usar resultados previamente obtenidos. En Mathematica, % siempre hace referencia al último resultado. % el último resultado generado %% el penúltimo resultado %%...% (k veces) el k-ésimo previo resultado %n el resultado de la línea de salida Out[n] Formas de hacer referencia a resultados previos.
19 Aquí tenemos el primer resultado. 5^3 125 Esto agrega 6 al último resultado. % + 6 131 Esto utiliza los dos últimos resultados. 5 + % 2 - %% 142 Hemos mencionado que las entradas y salidas en Mathematica son numeradas. Estos números pueden ser usados para hacer referencia a resultados previos. Esto suma los resultados de las líneas 1 y 3. %1 + %3 267 Si utiliza una interfase basada en texto en Mathematica, entonces las líneas sucesivas de entradas y salidas aparecerán siempre en orden, como se muestra en este ítem. Sin embargo, si utiliza una interfase de cuaderno, entonces varias líneas sucesivas de entradas y salidas no necesariamente aparecen en orden. Usted puede por ejemplo “volver atrás” e insertar el cálculo siguiente dondequiera que desee en el cuaderno. Tenga en cuenta que % siempre invoca el último resultado que Mathematica generó. Éste puede o no ser el resultado que aparece inmediatamente encima de su actual posición en el cuaderno. Con una interfase de cuaderno, la única manera de saber cuándo un resultado particular fue generado es mirar la etiqueta de Out[n] que tiene. Como usted puede insertar y suprimir en todas partes en un cuaderno, de acuerdo a su necesidad, el ordenamiento de los resultados en el cuaderno, por lo general, no tiene ninguna relación con el orden en el cual los resultados fueron generados. 3.2. Definición de variables Cuando usted efectúa cálculos extensos, muchas veces es conveniente dar nombre a los resultados intermedios. De la misma manera que en las matemáticas tradicionales o en otros lenguajes de programación, usted puede hacer esto introduciendo variables nombradas.
20 Esto inicializa el valor de la variable x con 6. x = 6 6 Donde quiera que aparezca x, Mathematica la reemplaza por su valor 6. x^3 - 25 191 Esto asigna un nuevo valor para x. x = 11 + 5 16 pi es inicializada con el valor numérico de π con 20 dígitos de exactitud. pi = N[Pi, 20] 3.1415926535897932385 Aquí esta el valor de Sqrt[pi]. Sqrt[pi] 1.77245385090551602730 x = value asigna un valor a la variable x x = y = value asigna un valor a las variable x e y x = . o Clear[x] quita cualquier valor asignado a x Asignando valores a variables. Es muy importante recordar que los valores asignados a las variables son permanentes. Una vez que usted ha asignado un valor a una variable en particular, el valor será almacenado hasta que usted lo remueva explícitamente. El valor, claro está, desaparecerá si usted inicia una nueva sesión con Mathematica. Olvidarse de las definiciones hechas es la causa más común de errores al usar Mathematica. Si usted pusiera x = 5, Mathematica asume que usted siempre quiere que x tenga el valor 5, hasta o a menos que usted e indique explícitamente otra cosa. Para evitar los errores, usted debe quitar los valores definidos en cuanto haya terminado de usarlos. Quite valores que asigne a las variables en cuanto termine de usarlos. Un principio útil al usar Mathematica.
21 Las variables que usted define pueden tener cualquier nombre. No hay límite par longitud de sus nombres. Un inconveniente, sin embargo, es que los nombres de las variables nunca pueden empezar con números. Por ejemplo, x3 puede ser una variable, pero 2x significa 2*x. Mathematica usa letras minúsculas y mayúsculas. Hay una convención para los objetos incorporados en Mathematica, los nombres de todos ellos empiezan con letra mayúscula. Para evitar alguna confusión, usted siempre debe escoger nombres que empiecen con letra minúscula. aaaaa una variable cuyo nombre contiene sólo letras minúsculas Aaaaa una variable cuyo nombre empieza con una letra mayúscula (aplicable por lo general a objetos incorporados en Mathematica) Convenciones para nombrar variables. Usted puede digitar fórmulas que involucren variables en Mathematica de la misma manera que lo haría matemáticamente. Sin embargo, hay algunos puntos importantes que observar. x y significa x por y. xy sin espacio es la variable con nombre xy. 5x significa 5 por x. x^2y significa (x^2) y, no x^(2y). Algunos puntos a observar cuando usamos variables en Mathematica. 3.3. Construcción de listas Al realizar cálculos, a veces es conveniente agrupar ciertos objetos, y tratarlos como una sola entidad. Las listas proporcionan una manera de coleccionar objetos en Mathematica. Como veremos después las listas son muy importantes en Mathematica. Una lista como {4,7,6} es una colección de tres objetos. Pero en muchos casos usted puede tratar esta lista como un solo objeto. Usted puede, por ejemplo, hacer aritmética con esta lista o asignarla a una variable.
22 Aquí hay una lista de tres números. {4, 7, 6} {4, 7, 6} Esto eleva al cubo cada número de la lista, y le resta 2. {4, 7, 6}^3 - 2 {62, 341, 214} Esto toma la diferencia entre los correspondientes elementos de las dos listas. Las listas deben ser de la misma longitud. {9.5, 8, 7} - {3, 4, 2.3} {6.5, 4, 4.7} El valor de % es el de la lista % {6.5, 4, 4.7} Usted puede aplicar cualquier función matemática a la lista. % //N {665.142, 54.5982, 109.947} Esto asigna una lista en la variable u. u = {5, 3, 8.2} {5, 3, 8.2} Esto asigna una lista en la variable u. (u + 1)/(u - 6) {-6, 3 4 − , 4.18182} 3.4. Manipulación de los elementos de una lista Muchas de las más potentes operaciones de manipulación de listas en Mathematica tratan a las listas como un solo objeto. A veces, sin embargo, extraer un conjunto individual de elementos de una lista.
23 Usted puede referirse a un elemento de una lista en Mathematica mediante su “índice”. Los elementos son numerados en orden, empezando en 1. {a, b, c} una lista Part[list, i] o list[[i]] el i-ésimo elemento de list (el primer elemento es list[[1]]) Part[list, {i, j, …}] o list[[i, j, …]] una lista formada por los elementos i, j, ... de list Operaciones con elementos de una lista. Esto extrae el tercer elemento de la lista. {4, -1, 8, -6}[[3]] 8 Esto extrae una lista de elementos. {4, -1, 8, -6}[[ {2, 3, 1, 2, 3, 4, 1} ]] {-1, 8, 4, -1, 8, -6, 4} Esto asigna una lista en la variable u. u = {7, 2, 4, 6} {7, 2, 4, 6} Usted puede extraer elementos de u. u[[3]] 4 Al asignar una lista a una variable, usted puede usar las listas en Mathematica de manera similar a los “arrays” en otros lenguajes de programación. De esta manera, por ejemplo, usted puede resetear un elemento de una lista asignando un valor a u[[i]]. Part[u, i] o u[[i]] extrae el i-ésimo elemento de una lista Part[u, i] = value o u[[i]] = value resetea el i-ésimo elemento de una lista Operando listas como arrays.
24 Aquí hay una lista. u = {2, 1, 5, 7} {2, 1, 5, 7} Esto resetea el segundo elemento de la lista. u[[2]] = 0 0 Ahora la lista asignada a u se ha modificado. u {2, 0, 5, 7} 3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica En las secciones anteriores hemos introducido cada una de las formas de agrupar en Mathematica. Cada una de ellas tiene diferente significado. Es importante que usted los recuerde. (terms) paréntesis para agrupar f[x] corchetes para funciones {a, b, c} llaves para listas u[[i]] corchetes dobles para indexar (Part[u, i]) Las cuatro formas de agrupar en Mathematica. Cuando la expresión que usted digita es complicada, a veces es una buena idea ingresar un espacio en blanco para conjunto de agrupaciones. Esto hace que sea relativamente fácil ubicar pares de agrupaciones. u[[ {a, b} ]] permite, por ejemplo, fácilmente reconocer a u[[{a, b}]]. 3.6. Secuencia de operaciones Al realizar cálculos con Mathematica, usted usualmente lo hace mediante una secuencia de pasos. Si usted desea puede realizar cada paso en una línea separada. A veces, sin embargo, es conveniente ingresar varios pasos en una misma línea. Usted puede hacer esto simplemente separando cada una de las partes ingresadas con punto y coma.
25 exp1; exp2; exp3 hace varias operaciones y da el resultado en la última línea exp1; exp2; hace las operaciones pero no imprime la salida Formas de hacer secuencias de operaciones en Mathematica. Esto realiza tres operaciones en una misma línea. El resultado corresponde a la última operación. x = 3; y = 7; z = y - 2 5 Si usted finaliza su entrada con un punto y coma, esto es como si usted estuviera ingresando una secuencia de operaciones, con un punto y coma al final. Esto tiene el efecto de hacer que Mathematica calcule las operaciones especificadas, pero no muestre la salida. exp; realiza una operación, pero no muestra la salida Inhibiendo la salida. Añadiendo un punto y coma al final de la línea le Mathematica que no muestre la salida. x = 47 + 5; Usted puede usar % para poder visualizar la salida anterior. % 52 4. Uso del Sistema Mathematica 4.1. La estructura de Mathematica Kernel (núcleo) de Mathematica la parte que realmente realiza los cálculos Front end (parte visible) de Mathematica la parte que se ocupa de interactuar con el usuario Partes básicas del Sistema Mathematica.
26 Mathematica es un sistema de software modular, en el cual el kernel que realmente realiza los cálculos está separado del front end que se ocupa de la interacción con el usuario. El tipo más común de front end de Mathematica está basado en documentos interactivos conocidos como cuadernos. Los cuadernos mezclan las entradas y salidas de Mathematica con texto, gráficos, paletas y otros materiales. Usted puede usar los cuadernos para hacer cálculos continuos o como medio para presentar o publicar resultados. Interfase de cuaderno documentos interactivos Interfase basada en texto texto desde el teclado Interfase de MathLink comunicación con otro programas Tipos comunes de interfase con Mathematica. Un cuaderno que mezcla texto, gráficos con entradas y salidas de Mathematica.
27 En algunos casos, puede que usted no necesite usar la interfase de cuaderno, y que desee en cambio interactuar directamente con el núcleo de Mathematica. Usted puede hacer esto usando la Interfase basada en texto, en la cual usted digita el texto en el teclado y éste va directamente al núcleo. Un diálogo con Mathematica usando interfase basada en texto. Un aspecto importante de Mathematica es que no solamente puede interactuar con usuarios humanos sino que también puede hacerlo con otros programas. Esto se logra principalmente a través del MathLink, el cual es un protocolo estandarizado para la comunicación bidireccional entre programas externos y el núcleo de Mathematica. Un fragmento de código C que se comunica vía MathLink con el kernel de Mathematica.
28 4.2. Cuadernos como documentos Los cuadernos de Mathematica le permiten crear documentos que pueden verse interactivamente en la pantalla o imprimirse en papel. Particularmente, en los cuadernos extensos, es común tener los capítulos, secciones etc., representados cada uno en grupos de celdas. La extensión de estos grupos de celdas es indicada por el corchete que aparece a la derecha. La agrupación de celdas en un cuaderno se indica con los corchetes anidados que aparecen en el lado derecho. Un grupo de celdas puede estar abierto o cerrado. Cuando está abierto usted puede ver todas sus celdas explícitamente. Pero cuando está cerrado, usted sólo puede ver la celda que encabeza el grupo de celdas. Los cuadernos extensos son a menudo distribuidos con muchos grupos de celdas cerradas, para que cuando usted vea por primera vez el cuaderno aprecie solamente una lista de su contenido. Usted puede abrir las partes en las que esté interesado haciendo doble clic sobre el corchete apropiado.
29 Haciendo doble clic sobre el corchete que abarca un grupo de celdas cerramos el grupo, dejando sólo la primera celda visible. Cuando el grupo está cerrado, el corchete que le corresponde tiene una flecha en la parte inferior. Haciendo doble clic sobre esta flecha abrimos nuevamente el grupo. A cada celda dentro de un cuaderno se le asigna un estilo en particular que indica su rol dentro del cuaderno. Así, por ejemplo, el material entendido como entrada para ser ejecutado por el núcleo de Mathematica está típicamente el estilo de Input (entrada), mientras que el que se entiende para ser leído como puramente de texto está típicamente en estilo Text (texto). La interfase de Mathematica provee menús y métodos abreviados de teclas para crear celdas con diferentes estilos, y para cambiar estilos en las celdas existentes.
30 Esto muestra celdas en diferentes estilos. Los estilos no sólo definen el formato del contenido de las celdas, sino que también su ubicación y espaciado. Poniendo una celda en un estilo en particular, usted especifica una colección entera de propiedades para celda, incluyendo por ejemplo el tamaño y la fuente del texto que se digitará. La interfase de Mathematica permite modificar tales propiedades, bien sea para las celdas completas o para material específico dentro de las celdas. Incluso dentro de una celda con un estilo en particular, la interfase de Mathematica permite modificar una amplia gama de propiedades en forma separada. Vale mencionar que al hacer diversas clases de cosas con los cuadernos de Mathematica, usted está utilizando diversas partes del sistema de Mathematica. Las operaciones tales como apertura y cierre de grupos de celdas, realización de animaciones y reproducción de sonidos utilizan solamente una parte pequeña del front end de Mathematica, y estas operaciones tranquilamente se pueden realizar con un programa fácilmente disponible conocido como MathReader.
31 Para poder crear y corregir los cuadernos, usted necesita más que el front end de Mathematica. Y finalmente, para poder actualizar los cálculos dentro de un cuaderno de Mathematica, necesita un sistema completo de Mathematica, que contenga el front end y el núcleo. MathReader lee cuadernos de Mathematica front end de Mathematica crea y edita cuadernos en Mathematica núcleo de Mathematica hace cálculos en cuadernos Programas requeridos para diversas clases de operaciones en los cuadernos. 4.3. Elementos activos en cuadernos Una de las características más potentes de los cuadernos de Mathematica es que sus acciones pueden ser programadas. Así, por ejemplo, usted puede establecer un botón en un cuaderno de Mathematica que permita realizar varias operaciones siempre que usted haga clic sobre él. He aquí un cuaderno que contiene un botón. Haciendo clic en el botón conseguimos que se muestre la fecha actual. Más adelante en este libro, discutiremos cómo usted puede crear botones y otros objetos similares en los cuadernos de Mathematica. Por ahora es suficiente decir que siempre que una celda se indique como activa, al hacer clic en los elementos activos dentro ella se producirá las acciones que han sido programadas para que estos elementos realicen. Es común inicializar paletas que consisten en una serie de botones. A veces tales paletas aparecen como celdas dentro de un cuaderno. Aunque a menudo, se usa un cuaderno especial que aparece como ventana, que se puede poner convenientemente en algún lado de la pantalla de su computadora y utilizar conjuntamente con cualquier otro cuaderno.
32 Las paletas que consisten en una serie de botones a menudo son colocadas en cuadernos separados. En los casos más simples, los botones en las paletas sirven como teclas adicionales a su teclado. Así, cuando usted presiona un botón, el carácter o el objeto mostrado en aquel botón es insertado en su cuaderno tal como si usted lo hubiera escrito a máquina. Aquí está una paleta de letras griegas con botones que actúan como teclas adicionales a su teclado. A menudo, sin embargo, un botón puede contener un placeholder indicado por . Esto significa que cuando usted presiona el botón, lo que se selecciona actualmente en su cuaderno será insertado en la posición del placeholder. Estos botones contienen placeholders indicados por . Este es un cuaderno con una expresión seleccionada.
33 Al presionar el botón superior izquierdo de la última paleta la expresión seleccionada queda envuelta en una raíz cuadrada. A veces los botones que contienen placeholders serán programados simplemente para insertar una cierta expresión en su cuaderno. Pero más a menudo, serán programados para evaluar el resultado, enviándolo como una entrada al núcleo de Mathematica. Estos botones se inicializan para realizar operaciones. He aquí un cuaderno con una expresión seleccionada. Al presionar el botón superior en la última paleta la expresión seleccionada es simplificada. Hay algunas situaciones en las cuales es conveniente tener varios placeholders en un solo botón. Su actual selección se inserta en la posición del primer placeholder, indicada por . Los placeholder adicionales se indican por , y usted puede trasladarse a través de los placeholders sucesivos usando la tecla <Tab>. He aquí una paleta que contiene botones con varios placeholders.
34 He aquí una expresión en un cuaderno. Presionando el botón superior izquierdo en la última paleta insertamos la expresión en el lugar de . Usted puede trasladarse a los otros placeholders usando la tecla <Tab>, y entonces los corrige para insertar lo que usted desea. 4.4. Hipervínculos y texto activo El front end de Mathematica proporciona una variedad de formas de buscar palabras o texto particulares en los cuadernos de Mathematica. Pero cuando los documentos son extensos o tenemos colecciones de documentos, conviene insertar hipervínculos que nos llevan inmediatamente a un punto específico en un cuaderno, tal como se hace en los websites. Los hipervínculos se indican generalmente por palabras o frases subrayadas, y están a menudo en un color diferente. Al hacer clic en un hipervínculo le lleva inmediatamente dondequiera que el hipervínculo señale. Los hipervínculos en cuadernos trabajan bastante bien como los botones discutidos en la sección anterior. Y de nuevo, todos los aspectos de hipervínculos son programables. De hecho, es posible crear texto activo en cuadernos que permita realizar casi cualquier tipo de acción.
35 4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno En la mayoría de las versiones de interfase de cuaderno de Mathematica, el menú Help (ayuda) le da acceso al Help Browser (navegador de ayuda), el cual sirve como un punto de entrada a la gran cantidad de documentación en línea para Mathematica. Getting Started un inicio rápido en el uso de Mathematica Built-in Functions información sobre todas las funciones incorporadas en Mathematica The Mathematica Book el libro completo en línea Master Index índice de todo el material documentado en línea Típicos tipos de ayuda disponibles en la Interfase de notebook. Un ejemplo de buscar la información básica sobre una función en el Help Browser de Mathematica.
36 4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto ?Name muestra información sobre Name ??Name muestra información adicional sobre Name ?Aaaa∗ muestra información sobre todos los objetos cuyos nombres empiezan con Aaaa Formas de recibir información directamente desde el kernel de Mathematica. Esto da información de la función incorporada Log. Usted puede preguntar por información acerca de cualquier objeto, si es incorporado en Mathematica, ha sido leído en un paquete de Mathematica o ha sido introducido por usted. Cuando utiliza ? para conseguir la información, debe cerciorarse de que el signo de interrogación aparezca como el primer carácter en su línea de entrada. Debe hacer esto de modo que Mathematica sepa cuándo usted está solicitando información y no está dando una entrada ordinaria para ser evaluada. Vale mencionar que junto con la información brindaba aparece un hipervínculo en color azul con la palabra More. Haciendo clic sobre este hipervínculo Mathematica nos lleva directamente a la información de la misma en el Help Browser. Puede conseguir información adicional usando ??. ?Aaaa le dará la información de un objeto en particular cuyo nombre especifique. Usando el caracter *, sin embargo, usted puede obtener información sobre todos
37 los objetos con nombres similares. Así pues, por ejemplo ?Lo* brinda información sobre todos los objetos cuyos nombres contengan las letras Lo, seguidas por cualquier cadena de caracteres. Esto da información sobre todos los objetos de Mathematica cuyos nombres comiencen con Lo. Cuando hay más de un objeto, Mathematica enumera sus nombres como hipervínculos y haciendo clic sobre ellos es posible obtener información. Haciendo clic en Log de la lista anterior se obtiene la respectiva información. Usted puede poner * en cualquier lugar de la cadena que ingresa iniciada con ?. Por ejemplo, ?*Expand le daría todos los objetos cuyos nombres terminan en Expand. De manera similar ?P*d le daría los objetos cuyos nombres comienzan con P, terminan con d, y tienen cualquier cadena de caracteres intermedios. (Note que la manera en que se utiliza * para especificar nombres en Mathematica es similar a la manera que se utiliza * en Unix y otros sistemas operativos para especificar nombres del archivos.)
38 Usted puede pedir la información sobre la mayor parte de las formas especiales de entrada que Mathematica utiliza. Esto pide la información acerca del operador :=. 4.7. Paquetes en Mathematica Una de las características más importantes de Mathematica es que es un sistema extensible. Hay una cierta cantidad de funciones incorporadas en Mathematica. Pero usando el lenguaje de programación de Mathematica, siempre es posible añadir más funciones. Para muchos tipos de cálculos, lo incorporado en la versión estándar de Mathematica será suficiente. Sin embargo, si usted trabaja en particular en un área especializada, puede encontrarse en la necesidad de utilizar ciertas funciones no incorporadas en Mathematica. En tales casos, usted podría encontrar un package (paquete) de Mathematica que contiene las funciones que usted necesita. Los paquetes de Mathematica son archivos escritos en el lenguaje de programación de Mathematica. Los mismos consisten en colecciones de definiciones hechas en Mathematica las cuales se aplican a áreas particulares. << paquete lee un paquete de Mathematica Leyendo paquetes de Mathematica. Si usted quiere usar las funciones de un paquete en particular, primero debe leer el paquete en Mathematica. Los detalles de como hacer esto se discuten en la sección 12. Hay varias convenciones que gobiernan los nombres que usted usará para referirse a los paquetes. Este comando lee un paquete en particular de Mathematica. <<LinearAlgebra`Orthogonalization`
39 La función GramSchmidt está definida en el paquete. GramSchmidt[{{1, 2}, {-7, 0}}] Hay varias sutilezas asociadas a estas cosas como los conflictos entre los nombres de las funciones en los diferentes paquetes. Un punto importante que no debe olvidar es que usted no debe referirse a una función que leerá desde un paquete antes de leerla realmente en el paquete. Si usted hace esto por equivocación, deberá ejecutar el comando Remove[“name”] para librarse de la definición de la función que usted hizo antes de leer el paquete. Si usted no usa Remove, Mathematica usará “su” versión de la función, en lugar de la del paquete. Remove[name] remueve una función que ha sido introducida por error Asegurándose que Mathematica use las definiciones correctas de los paquetes. El hecho de que Mathematica pueda extenderse usando paquetes significa que las “partes de Mathematica” son ilimitadas. En lo que al uso concierne, no hay en realidad ninguna diferencia entre las funciones definidas en paquetes y las funciones incorporadas en Mathematica. De hecho, un número determinado de las funciones descritas en este libro se ejecutan como paquetes de Mathematica. Sin embargo, en la mayoría de los sistemas de Mathematica, se han cargado los paquetes necesarios, de modo que las funciones que ellos definen estén siempre presentes. Usted puede utilizar el Help Browser para obtener información sobre los paquetes estándares de Mathematica. Para ello seleccione la tarjeta Add-ons & Links del mismo. 4.8. Advertencias y mensajes Mathematica sigue su trabajo silenciosamente, dando salida solamente cuando ha acabado de hacer de los cálculos que usted pidió. Sin embargo, si Mathematica se percata de algo que usted esta haciendo y que definitivamente no entiende, imprimirá un mensaje para advertirle.
40 La función de la raíz cuadrada debe tener solamente un argumento. Mathematica imprime un mensaje para advertirle que usted ha dado dos argumento aquí. Sqrt[4, 5] Sqrt::argx : Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected. Sqrt[4, 5] Cada mensaje tiene un nombre. Usted puede apagar mensajes usando Off. Off[Sqrt::argx] El mensaje Sqrt::argx ahora se ha apagado, y no volverá a aparecer. Off[Sqrt::argx] Esto vuelve a encender Sqrt::argx otra vez. On[Sqrt::argx] Off[Función::etiqueta] On[Función::etiqueta] apaga (suprime) un mensaje enciende un mensaje Funciones para controla la salida de un mensaje. 4.9. Interrupción de cálculos Probablemente habrá veces en que desee detener Mathematica en medio de un cálculo. Tal vez usted se da cuenta que pidió a Mathematica hacer un cálculo incorrecto. O quizás el cálculo tarda demasiado, y usted quiere saber que es lo que pasa. La forma en que usted interrumpe un cálculo en Mathematica depende de qué clase de interfase está utilizando. <Alt>+<,> <Control>+<c> interfase de cuaderno interfase basada en texto Combinaciones de teclas para interrumpir cálculos en Mathematica. En algunos sistemas informáticos, puede tomar a Mathematica un cierto tiempo para responder a su interrupción. Cuando Mathematica responde, le dará un menú de cosas posibles para hacer.
41 continue show inspect abort exit continuar el cálculo mostrar que está haciendo Mathematica examinar el estado actual de su cálculo abortar este cálculo en particular salir de Mathematica completamente Algunas opciones disponibles cuando usted interrumpe un cálculo en Mathematica. 5. Cálculos algebraicos 5.1. Cálculo simbólico Una de las características importantes de Mathematica es que puede hacer cálculos simbólicos y numéricos. Esto significa que puede manejar fórmulas algebraicas así como números. He aquí un típico cálculo numérico. 4 + 36 - 1 39 Este es un cálculo simbólico. 7 x – 3 x + 6 6 + 4x Cálculo numérico Cálculo simbólico 4 + 36 - 1 → 39 7x - 3x + 6 → 6 + 4x Cálculo simbólico y numérico. Usted puede digitar cualquier expresión algebraica en Mathematica. -1 + 2 x + x^3 -1 + 2x + x3 Mathematica realiza automáticamente simplificaciones algebraicas básicas. Aquí combina a 2 x y a 2 4x− para dar 2 3x− . x^2 + x - 4x^2 x – 3x2
42 Usted puede digitar cualquier expresión algebraica, usando a los operadores enumerados en la sección 2.1. Puede utilizar espacios para denotar la multiplicación. Tenga cuidado de no olvidarse del espacio en x y . Si usted digita xy sin espacio, Mathematica interpretará esto como solo símbolo, con el nombre xy, no como un producto de dos símbolos x y y. Mathematica reordena y combina términos usando las reglas estándares del álgebra. x y + 2 x^2 y + y^2 x^2 - 2 y x -xy + 2x2 y + x2 y2 He aquí otra expresión algebraica. (x + 2 y + 1)(x - 2)^2 (-2 + x)2 (1 + x + 2y) La función Expand amplía productos y potencias. Expand[%] 4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2 y Factor hace lo inverso de Expand. Factor[%] 4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2 y Cuando digita expresiones complicadas, es importante que ponga los paréntesis en los lugares correctos. Así, por ejemplo, debe dar la expresión y x4 en la forma x^(4y). Si deja abiertos los paréntesis, se interpretará como yx4 . He aquí una fórmula más complicada, que requiere de varios paréntesis. Sqrt[2]/9801 (4n)! (1103 + 26390 n) / (n!^4 + 1) Cuando usted digita una expresión, Mathematica aplica automáticamente su gran repertorio de reglas para transformar las expresiones. Estas reglas incluyen las reglas estándares del álgebra, tales como 0=− xx , junto con reglas mucho más sofisticadas.
43 Mathematica utiliza reglas estándares del álgebra para sustituir 4 )1( x+ por 2 )1( x+ . Sqrt[1 + x]^4 (1 + x)2 Mathematica no conoce ninguna regla para esta expresión, así que deja expresión en la forma original que usted le dio. Log[1 + Cos[x]] Log[1 + Cos[x]] La noción de reglas de transformación es muy general. De hecho, usted puede pensar en Mathematica como un simple sistema que aplica una colección de reglas de transformación a diferentes clases de expresiones. El principio general que Mathematica sigue es simple de explicar. Toma cualquier expresión que usted introduce, y obtiene resultados aplicando una sucesión de reglas de transformación, deteniéndose cuando no hay más reglas de transformación que aplicar. Tome cualquier expresión, y aplique reglas de transformación hasta que el resultado no cambie más. El principio fundamental Mathematica. 5.2. Valores para símbolos Cuando Mathematica transforma una expresión por ejemplo x + x en 2x, está tratando la variable x en forma puramente simbólica o formal. En tales casos, x es un símbolo que puede representar cualquier expresión. A menudo, sin embargo, usted necesita sustituir un símbolo como x por un “valor” determinado. Algunas veces este valor será un número; aunque frecuentemente será una expresión. Para sustituir el símbolo x, que aparece en la expresión 1 + 2 x, con un valor determinado; puede crear una regla de la transformación en Mathematica, y después aplicar esta regla a la expresión. Para sustituir x por el valor 3, usted crearía la regla de transformación x->3. Debe digitar -> como un par de
44 caracteres, sin espacio entre ellos. Puede interpretar x->3 como una regla en la cual “x será sustituido por 3”. Para aplicar una regla de transformación a una expresión particular de Mathematica, usted digita expr/.regla. El “operador de reemplazo” /. se digita como un par de caracteres, sin espacio entre ellos. Esto utiliza la regla de transformación x->3 en la expresión 1 + 2 x . 1 + 2x /. x -> 3 7 Usted puede sustituir x por cualquier expresión. Aquí cada ocurrencia de x es sustituida por 2 - y . 1 + x + x^2 /. x -> 2 - y 3 + (2 - y)2 - y He aquí una regla de transformación. Mathematica la trata como cualquier otra expresión simbólica. x -> 3 + y x → 3 + y Esto aplica la regla de transformación última a la expresión x ^ 2 - 9 . x^2 - 9 /. % - 9 + (3 + y)2 expr /. x -> valor expr /. {x -> xval, y -> yval} reemplaza x por valor en la expresión exp realiza varios reemplazos Sustitución de símbolos por valores en expresiones. Usted puede aplicar reglas juntas poniendo las reglas en una lista. (x + y) (x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a} (4 - a) (2 + a)2 El operador de reemplazo /. le permite aplicar reglas de la transformación a una expresión particular. A veces, sin embargo, usted querrá definir reglas de transformación que se apliquen siempre. Por ejemplo, puede ser que desee sustituir x por 3 siempre que aparezca x.
45 Según lo discutido en la sección 3.2, usted puede hacer esto asignando el valor 3 a x usando x = 3 . Una vez que haya hecho la asignación x = 3 , x siempre será sustituido siempre por 3, cuando aparezca. Esto asigna el valor de 3 a x. x = 3 3 Ahora x será sustituido automáticamente por 3 dondequiera que aparezca. x^2 - 1 8 Esto asigna la expresión 1 + a a x. x = 1 + a 1 + a Ahora x es reemplazado por 1 + a . x^2 - 1 -1 + (1 + a)2 Usted puede definir como valor de un símbolo a cualquier expresión, no solamente a un número. Recuerde que una vez que haya dado tal definición, ésta continuará siendo utilizada siempre que aparezca el símbolo, hasta que la cambie o quite explícitamente. Para la mayoría de usuarios, el olvidarse quitar valores que han asignado a los símbolos es la causa más común de errores al usar Mathematica. x = valor x = . define un valor para x que será utilizado siempre remueve cualquier valor definido para x Asignando valores a símbolos. El símbolo x todavía tiene el valor que le asignó arriba. x + 5 - 2x 6 + a - 2(1 + a) Esto quita el valor que asignó a x. x =.
46 Ahora x no tiene ningún valor definido, así que puede ser utilizado como variable puramente simbólica. x + 5 - 2x 5 - x Los lenguajes de programación tradicionales que no soportan el cálculo simbólico permiten que las variables sean utilizadas solamente como nombres para objetos, típicamente números, que se han asignado como valores para ellos. En Mathematica, sin embargo, x se puede también tratar como variable puramente formal, a la cual se le puede aplicar varias reglas de transformación. Por supuesto, si usted da explícitamente una definición, por ejemplo x = 3 , entonces x será sustituida siempre por 3, y no sirve más como variable formal. Debe recordar que las definiciones explícitas por ejemplo x = 3 tienen un efecto global. Por otra parte, un reemplazo tal como exp / . x - > 3 afecta solamente a la expresión específica expr. Puede mezclar siempre reemplazos con asignaciones. Con asignaciones, puede dar nombres a las expresiones en las cuales desea hacer reemplazos, o a las reglas que usted desea utilizar para hacer los reemplazos. Esto asigna un valor al símbolo t. t = 1 + x^2 1 + x2 Esto encuentra el valor de t, y después sustituye x por 2 en él. t /. x -> 2 5 Esto encuentra el valor de t para un valor diferente de x. t /. x -> 5a 1 + 25 a2 Esto encuentra el valor de t cuando x es sustituido por Pi, y luego evalúa el resultado numéricamente. t /. x -> Pi //N 10.8696
47 5.3. Transformación de expresiones algebraicas A menudo hay muchas formas diferentes de escribir la misma expresión alge- braica. Como un ejemplo, la expresión 2 )1( x+ puede ser escrita como 2 21 xx ++ . Mathematica proporciona una gran colección de funciones para hacer conversiones entre las diferentes formas de expresiones algebraicas. Expand[expr] Factor[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo el resultado como suma de términos escribe expr como un producto de factores mínimos Dos funciones comunes para transformar expresiones algebraicas. Expand da la “forma expandida”, con los productos y las potencias desarrolladas. Expand[ (1 + x)^2 ] 1 + 2 x + x2 Factor recupera la forma original. Factor[ % ] (1 + x)2 Es fácil generar expresiones complicadas con Expand. Expand[ (1 + x + 3 y)^4 ] Factor a menudo le da expresiones más simples. Factor[ % ] (1 + x + 3 y)4 Hay algunos casos, no obstante, donde Factor puede darle expresiones más complicadas. Factor[ x^10 - 1 ]
48 En este caso, Expand da la forma “más simple”. Expand[ % ] -1 + x10 5.4. Simplificación de expresiones algebraicas En muchas situaciones usted desea escribir una expresión algebraica en la forma más simple posible. Aunque sea difícil saber exactamente lo que se entiende por la “forma más simple”, un procedimiento práctico que vale la pena seguir es analizar varias formas diferentes de una expresión, y elegir la de menor número de partes. Simplify[expr] FullSimplify[expr] intenta encontrar la forma más simple de expr aplicando varias transformaciones algebraicas estándares intente encontrar la forma más simple aplicando una amplia gama de transformaciones Simplificación de expresiones algebraicas. Simplify escribe 122 ++ xx en forma factorizada. Simplify[x^2 + 2x + 1] (1 + x)2 Simplify deja a 110 −x en forma expandida, puesto que para esta expresión, la forma descompuesta en factores es más grande. Simplify[x^10 - 1] -1 + x10 Usted puede utilizar a menudo Simplify para “mejorar” expresiones complicadas que obtiene como resultado de cálculos. He aquí la integral de )1/(1 4 −x . Integrate[1/(x^4 - 1), x]
49 Al derivar el último resultado deberíamos volver a la expresión original. En este caso, como es común, se obtiene una versión más complicada de la expresión original. D[%, x] Simplify permite volver a la forma original de la expresión Simplify[%] Simplify se usa para aplicar varias transformaciones algebraicas estándares a las expresiones que usted ingresa. A veces, sin embargo, puede usar transformaciones más sofisticadas para poder encontrar la forma más simple de una expresión. FullSimplify aplica una gama mucho más amplia de transformaciones, incluyendo no solamente funciones algebraicas, sino también muchas otras clases de funciones. Simplify no altera esta expresión. Simplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]] Gamma[1 – x] Gamma[x] FullSimplify, sin embargo, consigue simplificarla. FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]] πCsc[πx] Para expresiones muy pequeñas, FullSimplify a menudo permitirá obtener algunas simplificaciones notables. Pero para expresiones grandes, puede llegar a ser considerablemente lento. La razón de esto es que para hacer su trabajo, FullSimplify tiene que tratar de combinar cada parte de una expresión con otra, y para expresiones grandes el número de casos que debe considerar puede ser astronómicamente grande. Simplify también tiene una tarea difícil de hacer, pero evita algunas de las transformaciones que demandan más tiempo y que son utilizadas por FullSimplify. Para los cálculos algebraicos simples, por lo tanto, resulta conveniente aplicar Simplify a sus resultados.
50 En cálculos más complicados, sin embargo, incluso Simplify puede ser que necesite probar con un número muy grande de diversas formas, y por lo tanto tome un largo tiempo. En tales casos, necesita hacer una simplificación controlada, y utilizar su conocimiento de manera que usted guíe el proceso. 5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas Las expresiones algebraicas complicadas se pueden escribir generalmente en varias maneras. Mathematica proporciona una variedad de funciones para convertir expresiones de una forma a otra. Las más comunes de estas funciones son Expand, Factor y Simplify. Sin embargo, cuando usted tiene expresiones racionales que contienen cocientes, puede ser que necesite utilizar otras funciones. Expand[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo ExpandAll[expr] aplica Expand por todas partes Factor[expr] reduce a producto de factores Together[expr] pone todos los términos sobre un común denominador Apart[expr] separa en términos con denominadores simples Cancel[expr] cancela factores comunes entre numeradores y denominadores Simplify[expr] aplica un conjunto de transformaciones algebraicas y da la forma más pequeña de expr encontrada Funciones para transformar expresiones algebraicas. He aquí una expresión racional que puede ser escrita en varias formas diferentes. e = (x - 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^2) Expand expande el numerador, pero deja el denominador en forma factorizada. Expand[e]
51 ExpandAll expande todo, incluyendo el denominador. ExpandAll[e] Apart separa la expresión en términos con denominadores simples. Apart[%] Factor factoriza todo, en este caso reproduce la forma original. Factor[%] Según Simplify, esta es la forma más simple de escribir la expresión original. Simplify[e] Conseguir expresiones en la forma que uno desea se convierte en todo un arte. En la mayoría de los casos, es mejor simplemente experimentar, intentando diversas transformaciones hasta que se consiga lo que se desea. Cuando tenga una expresión con una sola variable, puede elegir escribirla como una suma de términos, un producto, etcétera. Si tiene una expresión con varias variables, hay una colección más amplia de posibles formas. Usted puede, por ejemplo, elegir agrupar términos en una expresión de modo que una u otra de las variables sea “dominante”. Collect[expr, x] FactorTerms[expr, x] agrupa juntas todos las potencias de x extrae los factores que no dependen de x Reordenamiento de expresiones en varias variables. He aquí una expresión algebraica en dos variables. v = Expand[(3 + 2 x)^2 (x + 2 y)^2]
52 Esto agrupa los términos de v afectados por la misma potencia de x. Collect[v, x] Esto agrupa juntas las potencias de y. Collect[v, y] Uno de estos factores no depende de y. FactorTerms[v, y] Como hemos visto, cuando usted se limita a expresiones polinómicas racionales, hay muchas formas de escribir cualquier expresión particular. Si considera expresiones más complicadas, que incluyan, por ejemplo, funciones matemáticas trascendentes, la variedad de formas posibles llega a ser mayor. Por consiguiente, es imposible tener una función incorporada específica en Mathematica para producir cada forma posible. Más bien Mathematica le permite construir sistemas arbitrarios de reglas de transformación para hacer diversas conversiones. Sin embargo hay algunas funciones incorporadas adicionales de Mathematica para transformar expresiones. TrigExpand[expr] expande expresiones trigonométricas en una suma de términos TrigFactor[expr] factoriza expresiones trigonométricas en productos de términos TrigReduce[expr] reduce expresiones trigonométricas usando ángulos múltiples TrigToExp[expr] convierte funciones trigonométricas a exponenciales ExpToTrig [expr] convierte funciones exponenciales a trigonométricas FunctionExpand[expr] expande funciones especiales y otras ComplexExpand[expr] realiza expansiones asumiendo que todas las variables son reales PowerExpand[expr] transforma p yx )( en pp yx , etc. Algunas funciones más para transformar expresiones.
53 Esto expande la expresión trigonométrica, escribiéndola de modo que todas las funciones tengan argumento x. TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]] Esto utiliza identidades trigonométricas para factorizar la expresión. TrigFactor[%] Esto reduce la expresión usando ángulos múltiples. TrigReduce[%] Esto expande el seno asumiendo que x e y son reales. ComplexExpand[ Sin[x + I y] ] Esto hace la extensión asumiendo que x e y son complejos. ComplexExpand[ Sin[x + I y], {x, y} ] Las transformaciones a expresiones hechas por funciones como Expand y Factor siempre son correctas, independientemente del valor que puedan tener las variables simbólicas en las expresiones. A veces, sin embargo, es útil realizar transformaciones que sólo son correctas para algunos posibles valores de las variables simbólicas. Una transformación como esta la realiza PowerExpand. Mathematica no expande automáticamente potencias no enteras de productos. Sqrt[x y] PowerExpand hace la expansión. PowerExpand[%]
54 He aquí otro ejemplo. Sqrt[a^2]//PowerExpand a 5.6. Simplificación con asunciones Simplify[expr, asun] simplifica exp son asunciones Simplificación con asunciones. Mathematica no simplifica esto automáticamente, puesto que es solamente verdad para algunos valores de x. Simplify[Sqrt[x^2]] 2 x es igual a x para 0≥x , pero no en otro caso. {Sqrt[4^2], Sqrt[(-4)^2]} {4, 4} Esto le dice a Simplify que haga la asunción x>0, de modo que la simplificación pueda proceder. Simplify[Sqrt[x^2], x > 0] x Ninguna simplificación automática se puede hacer en esta expresión. 2 a + 2 Sqrt[a - Sqrt[-b]] Sqrt[a + Sqrt[-b]] Si a y b son asumidos positivos, la expresión puede sin embargo ser simplificada. Simplify[%, a > 0 && b > 0] He aquí un ejemplo simple que involucra funciones trigonométricas. Simplify[ArcSin[Sin[x]], -Pi/2 < x < Pi/2] x
55 Element[x,dom] indica que x es un elemento del dominio dom Element[{x1,x2,...},dom] indica que todos los xi son elementos del dominio dom Reals números reales Integers enteros Primes números primos Algunos dominios usados en asunciones. Esto simplifica 2 x asumiendo que x es un número real. Simplify[Sqrt[x^2], Element[x, Reals]] Abs[x] Esto simplifica el seno asumiendo que n es un entero. Simplify[Sin[x + 2 n Pi], Element[n, Integers]] Sin[x] Con las asunciones dadas, puede ser utilizado el Pequeño Teorema de Fermat. Simplify[Mod[a^p, p], Element[a, Integers] && Element[p, Primes]] Mod[a,p] Esto utiliza el hecho de que )sin(x , pero no )arcsin(x , es real cuando x es real. Simplify[Re[{Sin[x], ArcSin[x]}], Element[x, Reals]] {Sin[x],Re[ArcSin[x]]} 5.7. Seleccionar partes de Expresiones Algebraicas Coefficient[expr,form] coeficiente de form en expr Exponent[expr,form] máxima potencia de form en expr Part[expr,n] or exp[[n]] n-ésimo término de expr Funciones para seleccionar partes de polinomios.
56 He aquí una expresión algebraica. e = Expand[(1 + 3x + 4y^2)^2] Esto da el coeficiente de x en e. Coefficient[e, x] Exponent[expr,y] da la mayor potencia de de y que aparece en expr. Exponent[e, y] 4 Esto da término en e. Part[e, 4] Usted puede notar que la función Part[expr, n] usada para seleccionar el n-ésimo término en una suma es igual que la función descrita en la sección 3.4 para seleccionar elementos en listas. Ésta no es ninguna coincidencia. En efecto, según lo discutido en la sección 3.5, cada expresión de Mathematica se puede manipular estructuralmente como una lista. Sin embargo, según lo discutido en la sección 3.5, debe tener cuidado, porque Mathematica muestra a menudo expresiones algebraicas en una forma diferente a como las trata internamente. Coefficient trabaja incluso con polinomios que no están explícitamente expandidos. Coefficient[(1 + 3x + 4y^2)^2, x] Numerator[expr] Denominator[expr] numerador de expr denominador de expr Funciones para seleccionar partes de expresiones racionales. He aquí una expresión racional. r = (1 + x)/(2 (2 - y))
57 Denominator selecciona el denominador. Denominator[%] Denominator da 1 para las expresiones que no son cocientes. Denominator[1/x + 2/y] 1 5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes Cuando usted hace cálculos simbólicos, es muy fácil encontrarse con expresiones extremadamente complicadas. A menudo, incluso no deseará ver el resultado completo de un cálculo. Si termina su entrada con un punto y coma, Mathematica hará el cálculo que pidió, pero no mostrará el resultado. Puede sin embargo utilizar % o Out[n] para referirse al resultado. Aunque no desee ver el resultado completo de un cálculo, a menudo necesita ver su forma básica. Puede utilizar Short para presentar la salida de una expresión, omitiendo algunos de los términos. Terminar su entrada con ; impide a Mathematica mostrar el resultado complicado de un cálculo. Expand[(x + 5 y + 10)^8] ; Usted puede referirse al resultado como %. //Short muestra el resultado en una línea. <<n>> indica los n términos que no se han mostrado. % //Short Esto muestra una versión de tres líneas de la expresión. Más partes son visibles ahora. Short[%, 3]
58 Esto da el número total de términos en la suma. Length[%] 45 comando; ejecuta comando pero no imprime el resultado expr//Short muestra expr en una sola línea Short[expr,n] muestra expr en n líneas Algunas formas de acortar su salida. 5.9. Las limitaciones de Mathematica En sólo un comando de Mathematica, usted puede especificar fácilmente un cálculo que sea demasiado complicado de hacer para cualquier ordenador. Por ejemplo, usted podría pedir Expand[(1+x)^(10^100)]. El resultado de este cálculo tendría más términos que el número total de partículas en el universo. Usted no tendría ningún problema para resolver Expand[(1+x)^100] en cualquier ordenador que pueda utilizar Mathematica. Pero cuando usted aumenta el exponente de (1+x), los resultados que consigue tarde o temprano se harán demasiado grandes de almacenar para la memoria de su ordenador. Exactamente en qué punto sucede esto depende no solamente de la cantidad total de memoria que su computadora tiene, sino a menudo también de detalles tales como qué otros trabajos esta realizando su computadora cuando usted intenta hacer su cálculo. Si su ordenador realmente se queda sin memoria en medio de un cálculo, la mayor parte de versiones de Mathematica no tienen ninguna otra opción, más que pararse inmediatamente. Por consiguiente, es importante planificar sus cálculos de modo que ellos nunca necesiten más memoria de la que su ordenador tiene. Incluso si el resultado de un cálculo algebraico es absolutamente simple, las expresiones intermedias que usted genera en el curso del cálculo pueden ser muy complicadas. Esto significa que incluso si el resultado final es pequeño, las partes intermedias de un cálculo pueden ser demasiado grandes de manejar para su ordenador. Si esto sucede, puede particionar su cálculo, y resolver exitosamente cada parte del mismo. Usted debe saber que el esquema interno que Mathematica usa para direccionar la memoria es tal que cuando la parte de un cálculo es terminada, la memoria que se usaba para almacenar las expresiones intermedias que surgen inmediatamente es hecha disponible para nuevas expresiones.
59 El espacio de memoria es el factor restrictivo más común en los cálculos con Mathematica. El tiempo también, sin embargo, puede ser un factor restrictivo. Usted por lo general esta preparado para esperar un segundo, o aún un minuto, para obtener el resultado de un cálculo. Pero no lo esta para esperar una hora o un día, y casi nunca será capaz de esperar un año. El código interno de Mathematica usa algoritmos sumamente eficientes y optimizados. Pero hay algunas tareas para las cuales los mejores algoritmos conocidos siempre tarde o temprano toman una gran cantidad de tiempo. Una cuestión típica es que el tiempo requerido por el algoritmo puede aumentar casi exponencialmente con el tamaño de la entrada. Un caso clásico es la factorización de números enteros–donde los mejores algoritmos conocidos requieren tiempos que crecen casi de manera exponencial con el número de dígitos. En la práctica, usted encontrará que FactorInteger[k] dará un resultado casi inmediato cuándo k tiene menos de aproximadamente 40 dígitos. Pero si k tiene 60 dígitos, FactorInteger[k] puede comenzar a tomar un tiempo inmanejablemente largo. En algunos casos, hay mejora progresiva de los algoritmos que se conocen, de modo que las versiones sucesivas de Mathematica puedan realizar cálculos particulares cada vez más rápidos. Pero las ideas de la teoría de cómputo sugieren que muchos cómputos siempre requerirán una cantidad irreducible de trabajo computacional–de modo que ningún algoritmo más rápido sea encontrado alguna vez para ellos. Hacer aritmética con los números que contienen algunos cientos millones de dígitos. Generar un millón de dígitos de números como π y e . Expandir un polinomio que da un millón de términos. Factorizar un polinomio en cuatro variables con unos cien mil términos. Reducir un sistema de desigualdades cuadráticas para unos miles de componentes independientes. Encontrar las raíces enteras de un polinomio con grado un millón. Aplicación de una regla recurrente un millón de veces. Cálculo de todos los primos hasta diez millones. Encontrar la inversa numérica de una matriz de 1000×1000. Solución de un sistema lineal de un millón de variables con cien mil coeficientes no ceros. Encontrar el determinante de una matriz entera de 250×250. Encontrar el determinante de una matriz simbólica de 20×20.
60 Encontrar las raíces numéricas de un polinomio de grado 200. Solución de un problema de programación lineal con cien mil variables. Encontrar la trasformada de Fourier de una lista con cien millones de elementos. Representación de millón de gráficos primitivos. Clasificar una lista de diez millones de elementos. Buscar una cadena que tiene diez millones de caracteres. Importación de unos diez megabytes de datos numéricos. Formatear unas cien de páginas con salida TraditionalForm. Algunas operaciones que típicamente toman algunos segundos en una PC 2004. 5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos Hay muchas maneras de utilizar símbolos en Mathematica. Hasta ahora, nos hemos concentrado en usar símbolos para almacenar valores y para representar variables matemáticas. Esta sección describe otra manera de utilizar símbolos en Mathematica. La idea es utilizar símbolos como “etiquetas” para diversos tipos de objetos. Trabajar con unidades físicas da un ejemplo simple. Cuando usted especifica la longitud de un objeto, desea dar no solamente un número, sino también las unidades en las cuales se mide la longitud. En la notación estándar, puede ser que escriba una longitud como 12 metros. Usted puede imitar esta notación casi directamente en Mathematica. Puede por ejemplo utilizar simplemente un símbolo metros para indicar las unidades de nuestra medida. El símbolo metros aquí actúa como etiqueta, la cual indica las unidades usadas. 12 metros 12 metros Usted puede añadir longitudes como en este caso. % + 5.3 metros 17.3 metros
61 Esto da una velocidad. % / (25 segundos) Esto convierte a una velocidad en pies por segundo. % /. metros -> 3.28084 pies Hay de hecho un paquete estándar de Mathematica que le permite para trabajar con unidades. El paquete define muchos símbolos que representan los tipos estándar de unidades Cargue el paquete de Mathematica para manejar unidades. <<Miscellaneous`Units` EL paquete usa nombres estandarizados para unidades. 12 Meter/Second La función Convert[expr,units] convierte a unidades especificadas. Convert[ %, Mile/Hour ] Por lo general usted tiene que dar los prefijos para unidades como palabras separadas. Convert[ 3 Kilo Meter / Hour, Inch / Minute ] Esto convierte la temperatura. Convert sólo convierte las unidades de temperatura. ConvertTemperature[20, Fahrenheit, Centigrade]
62 6. Matemáticas simbólicas 6.1. Operaciones básicas La capacidad de Mathematica de tratar con expresiones simbólicas, así como números, le permite usarlo para muchas clases de matemáticas. El cálculo es un ejemplo. Con Mathematica, usted puede diferenciar una expresión simbólicamente, y conseguir una fórmula para el resultado. Esto encuentra la derivada de n x . D[ x^n, x ] He aquí un ejemplo ligeramente más complicado. D[x^2 Log[x + a], x] D[f,x] la derivada (parcial) x f ∂ ∂ Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ fdx Sum[f,{i,imin,imax}] la suma ∑= max min i ii f Solve[lhs==rhs,x] solución para una ecuación en x Series[f,{x,x0,orden}] una expansión de f en series de potencies alrededor del punto 0xx = Limit[f,x->x0] el límite f xx 0 lim → Minimize[f,x] minimización de f con respecto a x Algunas operaciones matemáticas simbólicas. Obtener fórmulas como resultado de cómputos es generalmente deseable cuando es posible. Hay sin embargo muchas circunstancias donde es matemáticamente imposible conseguir una fórmula explícita como resultado de un cómputo. Esto sucede, por ejemplo, cuando intenta solucionar una ecuación para la cual no hay solución de “forma cerrada”. En tales casos, debe recurrir a métodos y aproximaciones numéricas. Éstos se discuten en la sección 7.
63 6.2. Diferenciación He aquí la derivada n x con respecto a x . D[ x^n, x ] Mathematica conoce las derivadas de todas las funciones matemáticas estándar. D[ ArcTan[x], x ] La tercera derivada con respecto a x . D[ x^n, {x, 3} ] La función D[x^n,x] realmente da la derivada parcial, en la cual se asume que n no depende x. Mathematica tiene otra función, llamada Dt, que encuentra derivadas totales, en la cual todas las derivadas se asumen relacionadas. En notación matemática, D[f,x] es como x f ∂ ∂ , mientras Dt[f,x] es como dx df . Puede entenderse Dt como la “derivada total”. Dt da una derivada total, asumiendo que n puede depender de x. Dt[n,x] representa dx dn . Dt[ x^n, x ] Esto da la diferencial total )( n xd . Dt[x] es el diferencial dx . Dt[ x^n ]
64 D[f,x] derivada parcial f x∂ ∂ D[f,x1,x2,...] derivada múltiple f xx K 21 ∂ ∂ ∂ ∂ D[f,{x,n}] derivada repetida n n x f ∂ ∂ Dt[f] diferencial total fd Dt[f,x] derivada total f dx d Algunas funciones de diferenciación. Así como trata variables simbólicamente, usted también puede tratar funciones simbólicamente en Mathematica. Así, por ejemplo, puede encontrar fórmulas para las derivadas de f[x], sin especificar una forma explícita para la función f. Mathematica no sabe como diferenciar f, así que le devuelve un resultado simbólico en términos de f'. D[ f[x], x ] Mathematica utiliza la regla de cadena para simplificar derivadas. D[ 2 x f[x^2], x ] 6.3. Integración He aquí la integral ∫ dxxn en Mathematica. Integrate[x^n, x] He aquí un ejemplo ligeramente más complicado. Integrate[1/(x^4 - a^4), x]
65 Mathematica sabe resolver casi cualquier integral que puede ser expresada en términos de funciones matemáticas estándares. Pero debe comprender que aun cuando un integrando pueda contener sólo funciones simples, su integral puede implicar funciones mucho más complicadas–o no puede ser expresable en absoluto en términos de funciones matemáticas estándares. He aquí una integral simple. Integrate[Log[1 - x^2], x ] Esta integral puede ser expresada sólo en términos de una función de dilogarítmica. Integrate[Log[1 - x^2]/x, x] Esta integral involucra Erf. Integrate[Exp[1 - x^2], x] Y esta otra involucra una función de Fresnel. Integrate[Sin[x^2], x] Esta integral incluso requiere una función hipergeométrica. Integrate[(1 - x^2)^n, x] Esta integral simplemente no puede ser expresada en términos de funciones matemáticas estándares. Por consiguiente, Mathematica la deja como está. Integrate[ x^x, x ]
66 Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ dxf Integrate[f,x,y] la integral múltiple ∫ fdydx Integrate[f,{x,xmin,xmax}] la integral definida ∫ max min x x dxf Integrate[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}] la integral múltiple ∫ ∫ max min max min x x y y fdydx Integración. He aquí la integral definida ∫ b a dxx)(sin2 . Integrate[Sin[x]^2, {x, a, b} ] He aquí otra integral definida. Integrate[Exp[-x^2], {x, 0, Infinity}] Mathematica no puede darle una fórmula para esta integral definida. Integrate[ x^x, {x, 0, 1} ] Aunque, puede conseguir un resultado numérico. N[ % ] 0.783431 Esto evalúa la integral múltiple ∫ ∫ + 1 0 0 22 )( x yxdydx . El rango de la variable de integración exterior aparece primero. Integrate[ x^2 + y^2, {x, 0, 1}, {y, 0, x} ]
67 Esto integra 10 x sobre una región circular. Integrate[ x^10 Boole[x^2 + y^2 <= 1], {x, -1, 1}, {y, -1 ,1}] 6.4. Sumas y productos Esto construye la suma ∑ = 7 1i i i x . Sum[x^i/i, {i, 1, 7}] Puede obviarse el límite inferior si éste es igual a 1. Sum[x^i/i, {i, 7}] Los productos se obtienen en forma similar a las sumas. Product[x + i, {i, 1, 4}] Sum[f,{i,imin,imax}] la suma ∑ = max min i ii f Sum[f,{i, imin,imax,di}] la suma con i incrementándose en un paso de di . Sum[f,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax}] la suma anidada ∑ ∑ = = max min max min i ii j jj f Product[f,{i,imin,imax}] el producto ∏ = max min i ii f Sumas y productos.
68 La suma es calculada simbólicamente como una función de n. Sum[i^2, {i, 1, n}] Mathematica también puede dar un resultado exacto para esta suma infinita. Sum[1/i^4, {i, 1, Infinity}] Como en el caso de las integrales, sumas simples pueden conducir a resultados complicados. Sum[x^(i (i + 1)), {i, 1, Infinity}] Esta suma no se puede evaluar exactamente usando funciones matemáticas estándares. Sum[1/(i! + (2i)!), {i, 1, Infinity}] Usted puede sin embargo encontrar una aproximación numérica para el resultado. N[%] 0.373197 Mathematica también tiene una notación para sumas y productos múltiples. Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] representa una suma en i y j , que será escrita en notación matemática estándar como ∑ ∑= = max min max min i ii j jj f . Note que en la notación de Mathematica, como en la notación matemática estándar, el rango de la variable exterior se da primero. Esta es la suma múltiple ∑ ∑= = 3 1 1i i j ji yx . Note que la suma exterior en i se da primero, tal como en la notación matemática.
69 Sum[x^i y^j, {i, 1, 3}, {j, 1, i}] La forma en que se especifica los rangos de las variables en Sum y Product es un ejemplo algo general de la notación de iteradores que Mathematica utiliza. Usted verá esta notación otra vez cuando discutamos la generación de tablas y listas usando Table (sección 9.2), y cuando describamos los lazos Do (sección 8.3). {imax} iterador imax sin incrementar variable alguna {i,imax} i varía de 1 a imax en pasos de 1 {i,imin,imax} i varía de imin a imax en pasos de 1 {i,imin,imax,di} i varía de imin a imax en pasos de di {i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},... i varía de imin a imax, y para cada valor, j varía de jmin a jmax, etc. Notación de iteradores en Mathematica. 6.5. Ecuaciones En la sección 3.2 se discutió asignaciones tales como x = y que asigna a x el valor de y. Esta sección habla de ecuaciones, que prueban una igualdad. La ecuación x == y , prueba si x es igual a y. Esto prueba si 2 + 2 y 4 son iguales. El resultado es el símbolo True. 2 + 2 == 4 True Es muy importante que usted no confunda x = y con x == y . Mientras que x = y es una declaración imperativa que en realidad origina una asignación, x == y simplemente prueba si x y y son iguales, y no causa ninguna acción explícita. x=y asigna el valor de y a x x==y prueba si x e y son iguales Asignaciones y pruebas. Esto asigna a x el valor 4. x = 4 4
70 Si pregunta por x, obtiene 4. x 4 Esto prueba si x es igual a 4. En este caso si es. x == 4 True x es igual a 4 no a 6. x == 6 False Esto remueve el valor asignado a x. x = . Las pruebas que hemos utilizado hasta ahora involucran solamente números, y dan siempre una respuesta definida, True o False. Usted también puede hacer pruebas en expresiones simbólicas. Mathematica no puede obtener un resultado definido para esta comprobación sin que usted especifique un valor numérico para x. x == 5 x == 5 Si reemplaza x por el valor numérico específico 4, la prueba da False. % / x -> 4 False Incluso cuando hace pruebas en expresiones simbólicas, hay algunos casos donde puede conseguir resultados definidos. Algo importante es cuando usted prueba la igualdad de dos expresiones que son idénticas. Independientemente de los valores numéricos que puedan tener las variables en estas expresiones, Mathematica sabe que las expresiones siempre deben ser iguales. Las dos expresiones son idénticas, por eso el resultado es True, independientemente del valor que pueda tener x. 2 x + x^2 == 2 x + x^2 True
71 Mathematica no trata de averiguar si estas expresiones son iguales. En este caso, usar Expand haría que tuvieran la misma forma. 2 x + x^2 == x (2 + x) Las expresiones como x == 4 representan ecuaciones en Mathematica. Hay muchas funciones en Mathematica para manipular y solucionar ecuaciones. Esta es una ecuación en Mathematica. La sección 6.7 discutirá cómo solucionarla para x. x^2 + 2 x - 7 == 0 Puede asignar un nombre a la ecuación. eqn = % Si pregunta por eqn, obtiene la ecuación. eqn 6.6. Operadores relacionales y lógicos x==y igual (también se ingresa como x y) x!=y desigual (también se ingresa como x y) x>y mayor que x>=y mayor o igual que (también se ingresa como x y) x<y menor que x<=y mayor o igual que (también se ingresa como x y) x==y==z todos iguales x!=y!=z todos desiguales (distintos) x>y>z, etc. estrictamente decreciente, etc. Operadores relacionales.
72 Esto prueba si 10 es menor que 7. El resultado es False. 10 < 7 False No todos estos números son desiguales, por esta razón se obtiene False. 3 != 2 != 3 False Puede mezclar < y <=. 3 < 5 <= 6 True Ya que las cantidades involucradas son numéricas, Mathematica puede determinar que esto es verdadero. Pi^E < E^Pi True Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso. x > y x > y !p no (también se ingresa como p) p&&q&&... y (también se ingresa como p q ...) p||q||... o (también se ingresa como p q ...) Xor[p,q,...] o exclusiva (también se ingresa como p q ...) Nand[p,q,...] y Nor[p,q,...] nand y nor (también se ingresan como y ) If[p,then,else] da then si p es True, y else si p es False LogicalExpand[expr] expande expresiones lógicas Operadores lógicos. Ambas pruebas dan True, entonces el resultado es True. 7 > 4 && 2 != 3 True
73 Usted debe recordar que las operaciones lógicas ==, && y || tienen todas doble caracter en Mathematica. Si ha usado un lenguaje de programación como C, estará familiarizado con esta notación. Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso. p && q p && q Mathematica deja esta expresión inalterada. (p || q) && !(r || s) (p || q) &&! (r || s) Puede usar LogicalExpand para expandir los términos. LogicalExpand[ % ] (p && !r && !s) || (q && !r && !s) 6.7. Solución de Ecuaciones Una expresión como representa una ecuación en Mathematica. A menudo tendrá que solucionar ecuaciones como esta, para averiguar para qué valores de x son verdaderas. Esto da las dos soluciones de la ecuación cuadrática 0722 =−+ xx . Las soluciones se dan como reemplazos para x. Solve[x^2 + 2x - 7 == 0, x] He aquí los valores numéricos de las soluciones. N[ % ] Usted puede obtener una lista de las soluciones actuales para x aplicando las reglas generadas por Solve a x mediante el operador de reemplazo. x /. %
74 Igualmente puede aplicar los reemplazos a cualquier otra expresión que involucra a x. x^2 + 3 x /. %% Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación, dando una lista de reglas para x x/.solución use la lista de reglas para obtener valores para x expr/.solución use la lista de reglas para obtener valores para cualquier expresión Encuentro y uso de soluciones de ecuaciones. Solve siempre trata de darle fórmulas explícitas para las soluciones de ecuaciones. Sin embargo, es un resultado básico matemático que, para ecuaciones suficientemente complicadas, no pueden darse fórmulas algebraicas explícitas. Si usted tiene una ecuación algebraica en una variable, y la potencia más alta de la variable es menor que cinco, entonces Mathematica siempre puede darle fórmulas para las soluciones. Sin embargo, si la potencia más alta es cinco o más, puede ser matemáticamente imposible dar fórmulas algebraicas explícitas para todas las soluciones. Mathematica siempre puede solucionar ecuaciones algebraicas en una variable cuando la potencia más alta es menor que cinco. Solve[x^4 - 5 x^2 - 3 == 0, x] Esto puede solucionar algunas ecuaciones que involucran potencias más altas. Solve[x^6 == 1, x]
75 Hay algunas ecuaciones, sin embargo, para las cuales es matemáticamente imposible encontrar fórmulas explícitas para las soluciones. Mathematica usa objetos Root para representar las soluciones en este caso. Solve[2 - 4 x + x^5 == 0, x] Incluso aunque usted no pueda conseguir fórmulas explícitas, puede encontrar las soluciones numéricamente. N[ % ] Además de la capacidad de solucionar ecuaciones puramente algebraicas, Mathematica también puede solucionar algunas ecuaciones que implican otras funciones. Después de la impresión de una advertencia, Mathematica devuelve una solución para esta ecuación. Solve[ Sin[x] == a, x ] Es importante comprender que una ecuación tal como ax =)sin( en realidad tiene un número infinito de soluciones posibles, en este caso que se diferencian por múltiplos de π2 . Sin embargo, Solve por defecto da sólo una solución, pero imprime un mensaje que le dice que pueden existir otras soluciones. Usted puede usar Reduce para obtener más información. No hay ninguna solución explícita para una ecuación trascendental como esta. Solve[ Cos[x] == x, x ]
76 Puede encontrar una solución numérica aproximada usando FindRoot, y dando un valor inicial para x. FindRoot[ Cos[x] == x, {x, 0} ] Solve también puede manejar ecuaciones que involucran funciones simbólicas. En tales casos, otra vez imprime una advertencia, luego da resultados en términos de funciones formales inversas. Mathematica devuelve un resultado en términos de la función formal inversa de f. Solve[ f[x^2] == a, x ] Solve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] resuelve un conjunto de ecuaciones simultáneas para x, y, ... Solución de conjuntos de ecuaciones simultáneas. También puede usar Mathematica para solucionar conjuntos de ecuaciones simultáneas. Simplemente da la lista de ecuaciones, y especifica la lista de variables. He aquí una lista de dos ecuaciones simultáneas, para que sean resueltas en las variables x e y. Solve[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, {x, y}] He aquí algunas ecuaciones simultáneas más complicadas. Las dos soluciones se dan como dos listas de reemplazos para x. Solve[{x^2 + y^2 == 1, x + 3 y == 0}, {x, y}]
77 Esto usa las soluciones para evaluar la expresión x + y . x + y /. % Mathematica puede solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas lineales. También puede solucionar gran número de ecuaciones polinómicas simultáneas. Incluso cuando no logra solucionar las ecuaciones explícitamente, Mathematica por lo general las reducirá a una forma mucho más simple. Cuando usted trabaja con sistemas de ecuaciones en varias variables, es a menudo conveniente reorganizar las ecuaciones eliminando algunas variables entre ellos. Esto elimina y entre las dos ecuaciones, dando una sola ecuación para x. Eliminate[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, y] Si usted tiene varias ecuaciones, no hay ninguna garantía que exista cualquier solución consistente para una variable particular. No hay ninguna solución consistente para estas ecuaciones, así Mathematica devuelve {}, indicando que el conjunto de soluciones es vacío. Solve[{x==1, x==2}, x] {} No hay tampoco ninguna solución consistente para estas ecuaciones para casi todos los valores de a. Solve[{x==1, x==a}, x] {} La pregunta general de si un sistema de ecuaciones tiene cualquier solución consistente es bastante sutil. Por ejemplo, para la mayor parte de valores de a, las ecuaciones {x==1, x==a} son inconsistentes, así no hay ninguna solución posible para x. Sin embargo, si a es igual a 1, entonces las ecuaciones tienen una solución. Solve da soluciones genéricas para ecuaciones. Desecha cualesquiera soluciones que existen sólo cuando los parámetros satisfacen condiciones especiales.
78 Si usa Reduce en vez de Solve, Mathematica mantendrá todas las posibles soluciones para un sistema de ecuaciones, incluyendo aquellas que requieren condiciones especiales en los parámetros. Esto muestra que las ecuaciones tienen una solución sólo cuando a==1. La notación a==1&&x==1 representa la exigencia que tanto a==1 como x==1 deben ser True (verdaderos). Reduce[{x==a, x==1}, x] Esto da el conjunto completo de posibles soluciones para la ecuación. La respuesta es dada en términos de una combinación de ecuaciones más simples. && indica que las ecuaciones deben ser simultáneamente verdaderas; || indica alternativas. Reduce[a x - b == 0, x] Esto da una combinación más complicada de ecuaciones. Reduce[a x^2 - b == 0, x] Esto da una representación simbólica de todas las soluciones. Reduce[Sin[x] == a, x] Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación en x Solve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] resuelve un conjunto de ecuaciones simultáneas en x, y, ... Eliminate[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x, ...}] elimina x, ... en un conjunto de ecuaciones simultáneas Reduce[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] da un conjunto de ecuaciones simplificadas, incluyendo todas las posibles soluciones Funciones para solucionar y manipular ecuaciones.
79 Reduce también tiene capacidades poderosas para manipular ecuaciones específicamente en números reales o enteros. Esto reduce la ecuación asumiendo que x e y son complejos. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y] Esto incluye las condiciones de que x e y son reales. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Reals] Esto da solamente soluciones enteras. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Integers] 6.8. Desigualdades Reduce[ineqs, {x, y, ...}] reduce una colección de desigualdades FindInstance[ineqs, {x, y, ...}] encuentra un caso que satisface ineqs Manejo de desigualdades. Esto encuentra una forma reducida para las desigualdades. Reduce[x + y < 1 && y > x > 0, {x, y}] Estas desigualdades no pueden ser satisfechas. Reduce[x + y < 1 && y > x > 1, {x, y}] False
80 Es fácil encontrarse con resultados algo complicados. Reduce[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}] Las ecuaciones a menudo pueden ser solucionadas para dar valores definidos de las variables. Pero las desigualdades solamente definen regiones que pueden ser especificadas por otras desigualdades. Usted puede usar FindInstance para encontrar valores definidos de las variables que satisfacen un conjunto particular de desigualdades. Esto encuentra un punto en la región especificada por las desigualdades. FindInstance[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}] Minimize[{expr,ineq}, {x, y, ...}] minimiza expr mientras satisfaga ineq Maximize[{expr,ineq}, {x, y, ...}] maximiza expr mientras satisfaga ineq Minimización y maximización sujetas. Esto da el máximo, junto con el valor donde ocurre. Maximize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}] Esto da el mínimo, junto con el valor donde ocurre. Minimize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}]
81 6.9. Ecuaciones diferenciales DSolve[eqns, y[x], x] resuelve una ecuación diferencial para y[x], tomando a x como variable independiente DSolve[eqns, y, x] da una solución para y en forma de función pura Solución de una ecuación diferencial ordinaria. He aquí la solución de la ecuación diferencial 1)()( +=′ xyaxy . C[1] es un coeficiente que debe ser determinado a partir condiciones de frontera. DSolve[ y'[x] == a y[x] + 1, y[x], x ] Si usted incluye una condición inicial apropiada, no hay ningún coeficiente indeterminado en la solución. DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ] Mientras que ecuaciones algebraicas tales como 12 =+ xx son ecuaciones para variables, ecuaciones diferenciales tales como )()()( xyxyxy =′+′′ son ecuaciones para funciones. En Mathematica, siempre debe dar las ecuaciones diferenciales explícitamente en términos de funciones como y[x], y debe especificar las variables como x de las cuales dependen las funciones. Por consiguiente, debe escribir una ecuación tal como )()()( xyxyxy =′+′′ en la forma y''[x]+y'[x]==y[x]. Usted no debe escribirla como y''+y'==y. Mathematica puede solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias tanto lineales como no lineales, así como listas de ecuaciones simultáneas. Si no especifica las suficientes condiciones iniciales o de frontera, Mathematica dará las soluciones con un número apropiado de coeficientes indeterminados. Cada vez que usted usa DSolve, éste representa a los coeficientes indeterminados por C[1], C[2], etc. He aquí un par de ecuaciones diferenciales simultáneas, sin condiciones iniciales o de frontera. La solución que se obtiene tiene dos coeficientes indeterminados. DSolve[ {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t]}, {x[t], y[t]}, t ]
82 Cuando usted le pide a DSolve que encuentre una solución para y[x], las reglas que devuelve especifican como sustituir y[x] en cualquier expresión. Sin embargo, estas reglas no especifican como sustituir objetos como y'[x]. Si usted quiere manipular soluciones obtenidas con DSolve, a menudo encontrará mejor pedir soluciones para y, antes que para y[x]. Esto da la solución para y como una “función pura”. DSolve[ y'[x] == x + y[x], y, x ] Usted puede ahora usar al operador de reemplazo para aplicar esta solución a expresiones que involucran a y. y''[x] + y[x] /. % Note que DSolve puede manejar combinaciones de ecuaciones diferenciales algebraicas. También puede manejar ecuaciones diferenciales parciales, en las cuales hay más de una variable independiente. 6.10. Series de potencias Las operaciones matemáticas de las que hemos hablado hasta ahora son exactas. Considerando la entrada exacta, sus resultados son fórmulas exactas. En muchas situaciones, sin embargo, usted no necesita un resultado exacto. Puede ser suficiente, por ejemplo, encontrar un fórmula aproximada que es válida, digamos, cuando la cantidad x es pequeña. Esto da una aproximación en serie de potencias para n x)1( + alrededor de 0, hasta los términos de orden 3. Series[(1 + x)^n, {x, 0, 3}]
83 Mathematica conoce las expansiones en serie de potencias para muchas funciones matemáticas. Series[Exp[-a t] (1 + Sin[2 t]), {t, 0, 4}] Si usted da una función que no conoce, Series escribe la serie de potencias en términos de derivadas. Series[1 + f[t], {t, 0, 3}] Las series de potencias son fórmulas aproximadas que juegan el mismo papel con respecto a las expresiones algebraicas como los números aproximados con las expresiones numéricas. Mathematica le permite realizar operaciones en series potencias, en todos los casos mantiene el orden apropiado o el “grado de precisión” para las series de potencias resultantes. He aquí una serie de potencias simple, de orden 3. Series[Exp[x], {x, 0, 3}] Cuando usted hace las operaciones en una serie de potencias, el resultado es calculado sólo en el orden apropiado en x. %^2 (1 + %) Esto cambia la serie de potencias en una expresión ordinaria. Normal[%]
84 Ahora el cuadrado es calculado exactamente. %^2 Al aplicar Expand se obtiene un resultado con once términos. Expand[%] Series[expr, {x, x0, n}] encuentra la expansión en serie de potencias de expr alrededor del punto 0xx = de n-ésimo orden Normal[series] trunca una serie de potencias para dar una expresión ordinaria Operaciones en series de potencias. 6.11. Límites He aquí la expresión xx /)sin( . t = Sin[x]/x Si sustituye x por 0, la expresión se hace 0/0, y obtiene un resultado indeterminado. t /. x->0 Indeterminate Si encuentra el valor numérico de xx /)sin( para un x próximo a 0, usted consigue un resultado próximo a 1. t /. x->0.01 0.999983
85 Esto encuentra el límite de xx /)sin( cuando x tiende a 0. El resultado es ciertamente 1. Limit[t, x->0] 1 Limit[expr, x->x0] el límite de expr cuando x tiende a x0 Límites. 6.12. Transformadas integrales LaplaceTransform[expr, t, s] encuentra la transformada de Laplace de expr InverseLaplace Transform[expr, t, s] encuentra la transformada inversa de Laplace de expr Transformadas de Laplace. Esto calcula la transformada de Laplace. LaplaceTransform[t^3 Exp[a t], t, s] He aquí la transformada inversa. InverseLaplaceTransform[%, s, t] FourierTransform[expr, t, w] encuentra la transformada simbólica de Fourier de expr InverseFourier Transform[expr, t, w] encuentra la transformada inversa de Fourier de expr Transformadas de Fourier. Esto calcula la transformada de Fourier. FourierTransform[t^4 Exp[-t^2], t, w]
86 He aquí la transformada inversa. InverseFourierTransform[%, w, t] Note que en la literatura científica y técnica muchas convenciones diferentes son usadas para definir transformadas de Fourier. 6.13. Ecuaciones recurrentes RSolve[eqns, a[n], n] resuelve las ecuaciones recurrentes eqns para a[n] Solución de ecuaciones recurrentes. Esto resuelve una ecuación recurrente simple. RSolve[{a[n] == 3 a[n-1]+1, a[1]==1}, a[n], n] He aquí una solución más complicada de otra ecuación recurrente. RSolve[{a[n+1] == (a[n]+1)/(n+1), a[1]==0}, a[n], n] He aquí la solución de una ecuación recurrente con dos condiciones iniciales. RSolve[{a[n+2] == (3 a[n+1]-a[n])/2, a[1]==0, a[2]==1}, a[n], n] 6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas Hay muchos paquetes de Mathematica que implementan operaciones matemáticas simbólicas. Esta sección da algunos ejemplos del conjunto paquetes estándares distribuidos con Mathematica. Sin embargo, debe tener en cuenta que algunas
87 copias de Mathematica pueden inicializarse de modo que las funciones aquí descritas sean cargadas automáticamente si son alguna vez necesarias. Análisis vectorial <<Calculus`VectorAnal ysis` carga el paquete de análisis vectorial SetCoordinates[ system[names]] especifica el sistema de coordenadas a usarse (Cartesian, Cylindrical, Spherical, etc.), dando los nombres de las coordenadas en ese sistema Grad[f] evalúa el gradiente f∇ de f en el sistema de coordenadas escogido Div[f] evalúa la divergencia f⋅∇ de la lista f Curl[f] evalúa el rotacional f×∇ de la lista f Laplacian[f] evalúa el laplaciano f2 ∇ de f Análisis vectorial. Esto carga el paquete de análisis vectorial. En algunas versiones de Mathematica, puede que no tenga que cargar el paquete explícitamente. <<Calculus`VectorAnalysis` Esto especifica que usted desea usar un sistema de coordenadas esférico con las coordenadas r, theta y phi. SetCoordinates[Spherical[r, theta, phi]] Esto evalúa el gradiente de )sin(2 θr en el sistema de coordenadas esféricas. Grad[r^2 Sin[theta]]
88 Métodos variacionales <<Calculus`Variationa lMethods` carga el paquete de métodos variacionales VariationalD[f, y[x], x] encuentra la derivada variacional de f Métodos variacionales. Esto carga el paquete de métodos variacionales. <<Calculus`VariationalMethods` Esto encuentra la derivada funcional de )()( xyxy ′ . VariationalD[y[x] Sqrt[y'[x]], y[x], x] Cuaterniones <<Algebra`Quaternions` carga el paquete de cuaterniones Quaternion[a, b, c, d] el cuaternión dkcjbia +++ Cuaterniones. Esto carga el paquete de cuaterniones. <<Algebra`Quaternions` Esto encuentra la principal raíz cuadrada de un cuaternión. Sqrt[Quaternion[1, 1, 1, 0]]
89 6.15. Casos genéricos y no genéricos Esto da un resultado para la integral de n x que es válida para casi todos los valores de n. Integrate[x^n, x] Para el caso especial de 1− x , sin embargo, el resultado correcto es diferente. Integrate[x^-1, x] Log[x] El objetivo general del cálculo simbólico es conseguir fórmulas que son válidas para muchos valores posibles de las variables que aparecen en ellas. No es a menudo práctico tratar de obtener fórmulas que son válidas para absolutamente todo valor posible de cada variable. Mathematica siempre reemplaza x/0 por 0. 0 / x 0 Si x es igual 0, sin embargo, el resultado no es 0. 0 / 0 Indeterminate Esta construcción trata ambos casos, pero sería poco utilizable. If[x != 0, 0, Indeterminate] Si Mathematica no sustituyera automáticamente x/0 por 0, entonces pocos cálculos simbólicos serían posibles. Pero debe comprender que la necesidad práctica de hacer tales reemplazos puede hacer que se obtengan resultados absurdos cuando se usan valores específicos de los parámetros.
90 Las operaciones básicas de Mathematica sin embargo son instaladas con cuidado de modo que siempre sea posible que los resultados obtenidos sean válidos para casi todos los valores de cada variable. 2 x no es automáticamente reemplazada por x. Sqrt[x^2] Si así fuera, entonces este resultado sería -2, que es incorrecto. % /. x -> -2 2 Esto hace que x se asuma como una variable real positiva, y la reemplaza. Simplify[Sqrt[x^2], x > 0] x Esto hace que x se asuma como una variable real negativa, y la reemplaza. Simplify[Sqrt[x^2], x < 0] x 6.16. Notación matemática en cuadernos Si usted usa una interfase de cuaderno para Mathematica (sección 4.1), entonces usted puede ingresar algunas operaciones mencionadas en esta sección de modo especial. Sum[f,{i,imin,imax}] suma Product[f,{i,imin,imax}] producto Integrate[f, x] integral indefinida Integrate[f,{x,xmin, xmax}] integral definida D[f, x] derivada parcial D[f, x, y] derivada parcial múltiple Formas especiales y ordinarias de ingresar operaciones matemáticas en cuadernos.
91 Esto muestra parte de la paleta estándar para ingresar operaciones matemáticas. Cuando usted presiona un botón en la paleta, la forma mostrada en el botón se inserta en su cuaderno, con el cuadrado negro substituido por lo que usted había seleccionado en el cuaderno. signo de sumatoria signo de producto signo de integral diferencial especial para uso en integrales derivada parcial mueve a la posición de subíndice o límite inferior de un integral mueve a la posición de superíndice o límite superior de un integral mueve a la posición subescritura o límite inferior de una suma o producto mueve a la posición de sobreescritura o límite superior de una suma o producto cambia entre posiciones superiores e inferiores retorna de posiciones superiores o inferiores Formas de ingresar notaciones especiales en un teclado estándar de lenguaje Inglés. Usted puede ingresar un integral como esta. Asegúrese de usar la diferencial especial ingresada como , no sólo una d ordinaria.
92 Aquí está la secuencia real clave que usted escribe para conseguir la entrada. 7. Matemáticas numéricas 7.1. Operaciones básicas Los resultados exactos simbólicos son por lo general muy deseados cuando pueden ser obtenidos. En muchos cálculos, sin embargo, no es posible conseguir resultados simbólicos. En tales casos, usted debe recurrir a métodos numéricos. N[expr] valor numérico de una expresión (ver sección 2) NIntegrate[f,{x, xmin, xmax}] aproximación numérica para ∫ max min x x dxf NSum[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∑ ∞ mini f FindRoot[lhs==rhs, {x, x0}] encuentra la solución numérica para una ecuación, empezando con 0xx = NSolve[lhs==rhs, x] aproximaciones numéricas de todas las soluciones de una ecuación FindMinimum[f,{x, x0}] encuentra un mínimo de f, empezando con 0xx = NMinimize[f, x] intenta encontrar el mínimo global de f Operaciones numéricas básicas. Mathematica mantiene esta expresión en forma simbólica exacta. (3 + Sqrt[2])^3 Usted puede incluso usar operaciones estándares simbólicas en ella. Expand[ % ]
93 N[expr] da una aproximación numérica. N[ % ] 86.0122 Funciones como Integrate siempre procuran obtener resultados exactos para los cálculos. Cuando no pueden obtenerlos, devuelven los resultados sin evaluar. Usted entonces puede encontrar aproximaciones numéricas explícitamente aplicando N. Funciones como NIntegrate hacen los cálculos numéricamente desde el principio, sin ninguna tentativa de obtener un resultado exacto. No hay una fórmula exacta para esta integral, por lo cual Mathematica la devuelve sin evaluar. Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}] Puede usar N para obtener un resultado numérico aproximado. N[ % ] 0.81645 NIntegrate resuelve la integral en forma numérica desde el inicio. NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}] 0.81645 7.2. Sumas, productos e integrales numéricos NSum[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∑ ∞ mini f NProduct[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∏ ∞ mini f NIntegrate[f,{x, xmin, xmax}] aproximación numérica para ∫ max min x x dxf NIntegrate[f,{x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}] la integral múltiple ∫ ∫ max min max min x x y y fdydx Sumas, productos e integrales numéricos.
94 He aquí una aproximación numérica ∑ ∞ =1 3 1 i i . NSum[1/i^3, {i, 1, Infinity}] 1.20206 NIntegrate puede manejar singularidades en los puntos finales de la región de integración. NIntegrate[1/Sqrt[x (1-x)], {x, 0, 1}] 3.14159 Puede resolver integrales numéricas sobre regiones infinitas. NIntegrate[Exp[-x^2], {x, -Infinity, Infinity}] 1.77245 He aquí una integral doble sobre un dominio triangular. Note el orden en el cual se ingresan las variables. NIntegrate[ Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x} ] 0.119906 He aquí una integral doble sobre un dominio limitado por dos parábolas. NIntegrate[ x^2 + y^2, {x, -1, 1}, {y, x^2 - 1, -x^2 + 1}] 1.14286 7.3. Solución numérica de ecuaciones NSolve[lhs==rhs, x] soluciona numéricamente una ecuación polinomial NSolve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x, y, ...}] soluciona numéricamente un sistema de ecuaciones polinomiales FindRoot[lhs==rhs, {x, x0}] encuentra una solución numérica para una ecuación, empezando en 0xx = FindRoot[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{{x, x0}, {x, x0},...}] encuentra soluciones numéricas para ecuaciones simultáneas Búsqueda de raíces numéricas.
95 NSolve le da aproximaciones numéricas a todas las raíces de una ecuación polinomial. NSolve[ x^5 + x + 1 == 0, x ] También puede usar NSolve para resolver numéricamente sistemas simultáneos de ecuaciones. NSolve[{x + y == 2, x - 3 y + z == 3, x - y + z == 0}, {x, y, z}] Si sus ecuaciones involucran sólo funciones lineales o polinómicas, entonces puede usar NSolve para obtener aproximaciones numéricas de todas las soluciones. Sin embargo, cuando sus ecuaciones involucran funciones más complicadas, no hay en general ningún procedimiento sistemático para obtener todas las soluciones, aún numéricamente. En tales casos, puede usar FindRoot para buscar soluciones. Tiene que dar a FindRoot un valor para que empiece la búsqueda. Esto encuentra una solución numérica, empezando en 1=x . FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 1} ] La ecuación tiene varias soluciones. Si usted comienza con un x diferente, FindRoot puede devolver una solución diferente. FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 10} ] Usted puede buscar soluciones para sistemas de ecuaciones. Aquí la solución involucra números complejos. FindRoot[{x == Log[y], y == Log[x]}, {{x, I}, {y, 2}}]
96 7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas NDSolve[eqs, y, {x, xmin, xmax}] soluciona numéricamente para la función y, con la variable independiente x en el rango xmin a xmax NDSolve[eqs, {y1, y2, ...}, {x, xmin, xmax}] soluciona un sistema de ecuaciones para las yi Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Esto genera una solución numérica para la ecuación )()( xyxy =′ con 20 << x . El resultado está dado en términos de una función interpolante. NDSolve[{y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 2}] He aquí el valor de )5.1(y . y[1.5] /. % {4.48169} Con una ecuación algebraica como 132 ++ xx , cada solución para x es simplemente un número. Para una ecuación diferencial, sin embargo, la solución es una función. Por ejemplo, en la ecuación )()( xyxy =′ , usted obtiene una aproximación a la función )(xy con la variable independiente x que varía sobre algún rango. Mathematica representa aproximaciones numéricas a funciones como objetos. Estos objetos son las funciones que, cuando se aplican a un x particular, devuelven el valor aproximado de )(xy en aquel punto. InterpolatingFunction en forma eficaz almacena una tabla de valores para )( ixy , luego interpola esta tabla para encontrar una aproximación para )(xy en el x particular que usted solicita. y[ x]/.solución usa la lista de reglas de la función y para obtener valores para y[ x] InterpolatingFunc tion[data, x] evalúa una función interpolada en el punto x Plot[Evaluate[y[ x]/. solución],{x, xmin, xmax}] grafica la solución de la ecuación diferencial Uso de los resultados de NDSolve.
97 Esto soluciona un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas. NDSolve[ {y'[x] == z[x], z'[x] == -y[x], y[0] == 0, z[0] == 1}, {y, z}, {x, 0, Pi} ] He aquí el valor de z[2] hallado a partir de la solución. z[2] /. % {-0.416147} He aquí el gráfico de la solución para z[x] encontrada anteriormente. Plot se discute en la sección 10.1. Plot[Evaluate[z[x] /. %%], {x, 0, Pi}] NDSolve[eqn, u, {x, xmin, xmax}, {t, tmin, tmax},...] resuelve una ecuación diferencial parcial Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. 7.5. Optimización numérica NMinimize[f,{x, y, ...}] minimiza f NMaximize[f,{x, y, ...}] maximiza f NMinimize[{f, ineqs}, {x, y, ...}] minimiza f sujeto a las restricciones ineqs NMaximize[{f, ineqs}, {x, y, ...}] maximiza f sujeto a las restricciones ineqs Obtención de máximos y mínimos globales.
98 Esto da el valor máximo, y dónde es que ocurre. NMaximize[x/(1 + Exp[x]), x] Esto minimiza la función dentro del círculo unitario. NMinimize[{Cos[x] - Exp[x y], x^2 + y^2 < 1}, {x, y}] FindMinimum[f,{x, x0}] busca un mínimo local de f, comenzando en 0xx = FindMinimum[f,{{x, x0}, {y, y0}, ...}] busca un mínimo local en varias variables FindMaximum[f,{x, x0}] busca un máximo local de f, comenzando en 0xx = FindMaximum[f,{{x, x0}, {y, y0}, ...}] busca un máximo local en varias variables Búsqueda de máximos y mínimos locales. NMinimize y NMaximize pueden encontrar los mínimos y máximos absolutos de muchas funciones. Pero en algunos casos no es realista hacer esto. Usted puede buscar mínimos y máximos locales usando FindMinimum y FindMaximum. Esto busca un mínimo local de )cos(xx , empezando en 2=x . FindMinimum[x Cos[x], {x, 2}] Con un punto de partida diferente, usted puede obtener un mínimo local diferente. FindMinimum[x Cos[x], {x, 10}] Esto encuentra un mínimo local de )sin( yx . FindMinimum[Sin[x y], {{x, 2}, {y, 2}}]
99 7.6. Manipulación de datos numéricos Cuando usted tiene datos numéricos, es a menudo conveniente encontrar una fórmula simple que los aproxime. Por ejemplo, usted puede tratar de “ajustar” (“fit”) una línea o curva tomando los puntos de sus datos. Fit[{y1, y2, ...}, {f1, f2, ...}, x] ajusta los valores ny para una combinación lineal de funciones if Fit[{{x1, y1},{x2, y2}, ...},{f1, f2, ...}, x] ajusta los puntos ),( nn yx para una combinación lineal de las if Ajuste de curvas para una combinación lineal de funciones. Esto genera una tabla de valores numéricos de la función exponencial. Table se discutirá en la sección 9.2. data = Table[ Exp[x/5.] , {x, 7}] Esto encuentra un ajuste de mínimos cuadrados para data de la forma 2 321 xcxcc ++ . Los elementos de data se hacen corresponder con valores 1, 2, ... de x. Fit[data, {1, x, x^2}, x] Esto encuentra un ajuste de la forma 7 5 5 4 3 321 xcxcxcxcc ++++ . Fit[data, {1, x, x^3, x^5, x^7}, x] Esto da una tabla de pares yx, . data = Table[ {x, Exp[Sin[x]]} , {x, 0., 1., 0.2}]
100 Esto encuentra un ajuste para los nuevos datos, de la forma )2sin()sin( 321 xcxcc ++ . Fit[%, {1, Sin[x], Sin[2x]}, x] FindFit[data, form, {p1, p2, ...}, x] encuentra un ajuste para form con parámetros ip Ajuste de datos en formas generales. Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general. FindFit[data, a + b x + c x^2, {a, b, c}, x] Este no es un ajuste lineal. FindFit[data, a + b^(c + d x), {a, b, c, d}, x] Una forma común de elegir “señales” en datos numéricos es encontrar la transformada de Fourier, o espectro de frecuencia, de los datos. Fourier[data] transformada numérica de Fourier InverseFourier[data] transformada inversa de Fourier Transformadas de Fourier. He aquí un pulso cuadrado simple. data = {1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1} Esto toma la transformada de Fourier del pulso. Fourier[data] Note que la función Fourier en Mathematica es definida con la convención de signo típicamente usada en las ciencias físicas en contraste a la que a menudo es usada en ingeniería eléctrica.
101 7.7. Estadística Mean[data] media (promedia valores) Median[data] mediana (valor central) Variance[data] varianza StandardDevia tion[data] desviación estándar Quantile[data, q] cuantil q-ésimo Total[data] total de valores Estadística descriptiva básica. He aquí algunos datos. data = {4.3, 7.2, 8.4, 5.8, 9.2, 3.9} Esto da la media de sus datos. Mean[data] He aquí la varianza. Variance[data] El conjunto de paquetes estándares distribuidos con Mathematica incluyen varios comandos para hacer análisis estadísticos de datos más sofisticados. Statistics`Descripti veStatistics` funciones de estadística descriptiva Statistics`Multiva riateDescripti veStatistics` funciones de estadística descriptiva multivariante Statistics`Conti nuousDistributions` propiedades de distribuciones estadísticas continuas Statistics`Discre teDistributions` propiedades de distribuciones estadísticas discretas Statistics`Hypo thesisTests` contrastes de hipótesis basados en la distribución normal Statistics`Confi denceIntervals` intervalos de confianza sacados de la distribución normal
102 Statistics`Multi normalDistribution` propiedades de distribuciones basadas en la distribución normal multivariante Statistics`Li nearRegression` análisis de regresión lineal Statistics`Non linearFit` ajuste no lineal de datos Statistics`Data Smoothing` alisamiento de datos Statistics`Data Manipulation` utilidades para manipulación de datos Algunos paquetes estándares de análisis estadístico. 8. Funciones y programas 8.1. Definición de funciones En esta parte del libro, hemos visto muchos ejemplos de funciones que son construidas en Mathematica. En esta sección, mostramos como usted puede añadir sus propias funciones simples a Mathematica. La parte 2 describirá en mayor detalle los mecanismos para añadir funciones a Mathematica. Como un primer ejemplo, piense añadir una función llamada f que eleva al cuadrado su argumento. El comando en Mathematica para definir esta función es f[x_]:=x^2. El _ (subguión) del miembro de la izquierda es muy importante; lo que esto significa será mencionado debajo. Por ahora, solamente acuérdese de poner un _ en el miembro de la izquierda, pero no en el miembro de la derecha, de su definición. Esto define la función f. Note el _ en el miembro de la izquierda. f[x_] := x^2 f eleva al cuadrado su argumento. f[a+1] El argumento puede ser un número. f[4]
103 O puede ser una expresión más complicada. f[3x + x^2] Usted puede usar f en un cálculo. Expand[f[(x+1+y)]] Esto muestra la definición que usted hizo para f. ?f f[x_]:=x^2 define la función f ?f muestra la definición de f Clear[f] borra todas las definiciones de f Definición de una función en Mathematica. Los nombres como f que usa para funciones en Mathematica son solamente símbolos. A causa de esto, debería evitar usar nombres que comienzan con mayúsculas, para prevenir la confusión con las funciones predefinidas en Mathematica. También debería asegurarse que no ha usado los nombres anteriormente en su sesión. Las funciones en Mathematica pueden tener cualquier número de argumentos. hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^2 / xmax Usted puede usar la función hump tal como cualquiera de las funciones predefinidas. 2 + hump[x, 3.5] Esto da una nueva definición para hump, que sobrescribe la anterior. hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^4
104 La nueva definición es mostrada. ?hump Esto limpia todas las definiciones para hump. Clear[hump] Cuando ha terminado con una función particular, es siempre buena idea limpiar definiciones que haya hecho para ella. Si no hace esto, entonces podría incurrir en un problema si trata de usar la misma función para un propósito diferente más adelante en su sesión de Mathematica. Usted puede limpiar todas las definiciones que haya hecho para una función o símbolo f usando Clear[f]. 8.2. Funciones como procedimientos En muchas clases de cálculos, usted puede encontrarse digitando la misma entrada a Mathematica muchas veces. Usted puede ahorrarse mucha digitación definiendo una función que contiene sus comandos de entrada. Esto construye un producto de tres términos, y expande el resultado. Expand[ Product[x + i, {i, 3}] ] Esto hace lo mismo, pero con cuatro términos. Expand[ Product[x + i, {i, 4}] ] Esto define una función exprod que construye un producto de n términos, luego lo expande. exprod[n_] := Expand[ Product[ x + i, {i, 1, n} ] ] Siempre que usa la función, ejecutará las operaciones Product y Expand. exprod[5]
105 Las funciones que define en Mathematica son esencialmente procedimientos que ejecutan los comandos que usted da. Puede tener varios pasos en sus procedimientos, separados por puntos y coma. El resultado que obtiene de la función es simplemente la última expresión en el procedimiento. Note que tiene que poner paréntesis alrededor del procedimiento cuando lo define. cex[n_, i_] := ( t = exprod[n]; Coefficient[t, x^i] ) Esto “corre” el procedimiento. cex[5, 3] expr1; expr2; ... una secuencia de expresiones para evaluar Module[{a, b, ...}, proc] un procedimiento con variables locales a, b, ... Construcción de procedimientos. Cuando usted escribe procedimientos en Mathematica, es por lo general una buena idea declarar como locales las variables que usa dentro de los procedimientos, de modo que no interfieran con cosas fuera de los procedimientos. Puede hacer esto estableciendo sus procedimientos como módulos, en los cuales da una lista de variables para ser tratadas como locales. La función cex arriba definida no es un módulo, así que el valor de t “escapa”, y existe incluso después de la evaluación de la función. t Esta función es definida como un módulo con variable local u. ncex[n_, i_] := Module[{u}, u = exprod[n]; Coefficient[u, x^i]] La función devuelve el mismo resultado que la anteriormente definida. ncex[5, 3]
106 Ahora, sin embargo, el valor de u no se escapa de la función. u 8.3. Operaciones repetitivas En el uso de Mathematica, a veces tiene que repetir una operación muchas veces. Hay muchos modos de hacer esto. A menudo el más natural es de hecho establecer una estructura como una lista con muchos elementos, y luego aplicar su operación a cada uno de los elementos. Otra forma es usar la función de Mathematica Do, que trabaja de manera muy parecida a los iteradores en lenguajes como C y Fortran. Do usa la notación estándar de Mathematica para iteradores introducida para Sum y Product en la sección 6.4. Do[expr, {i, imax}] evalúa expr con i variando de 1 a imax Do[expr, {i, imin, imax, di}] evalúa expr con i variando de imin a imax en pasos de di Print[expr] imprime expr Table[expr, {i, imax}] hace una lista de valores de expr con i variando de 1 a imax Implementación de operaciones repetitivas. Esto imprime las salidas de los valores de los cinco primeros factoriales. Do[ Print[i!], {i, 5} ] A menudo es más útil tener una lista de los resultados, que usted luego puede manipular posteriormente. Table[ i!, {i, 5} ]
107 Si usted no da una variable de iteración, Mathematica simplemente repite la operación que usted ha especificado, sin cambiar algo. r = 1; Do[ r = 1/(1 + r), {100} ]; r 8.4. Reglas de transformación para funciones La sección 5.2 mencionó como usted puede usar las reglas de transformación de la forma x->valor para sustituir símbolos por valores. La noción de reglas de transformación en Mathematica es, sin embargo, bastante general. Usted puede establecer reglas de transformación no sólo para símbolos, sino para cualquier expresión de Mathematica. Aplicación de la regla de transformación x->3 que reemplaza x por 3. 1 + f[x] + f[y] /. x -> 3 Puede usar una regla de transformación para f[x]. Esta regla no afecta a f[y]. 1 + f[x] + f[y] /. f[x] -> p f[t_] es un patrón que admite cualquier argumento para f. 1 + f[x] + f[y] /. f[t_] -> t^2 Probablemente el aspecto más potente de las reglas de transformación en Mathematica es que ellas pueden involucrar expresiones no sólo literales, sino también patrones. Un patrón es una expresión como f[t_] que contiene un _ (subguión). El subguión representa cualquier expresión. Así, una regla de transformación para f[t_] especifica cómo la función f con cualquier argumento debería ser transformada. Note que, en contraste, una regla de transformación para f[x] sin un subguión, especifica sólo como la expresión literal f[x] debería ser transformada, y por ejemplo, no dice nada sobre la transformación de f[y].
108 Cuando usted da una definición de función como f[t_]:=t^2, todo lo que hace es decir a Mathematica que aplique automáticamente la regla de transformación f[t_]->t^2 siempre que es posible. Usted puede establecer reglas de transformación para expresiones de cualquier forma. f[a b] + f[c d] /. f[x_ y_] -> f[x] + f[y] Esto usa una regla de transformación para x^p_. 1 + x^2 + x^4 /. x^p_ -> f[p] Las secciones 2.3 y 2.5 explicarán detalladamente como establecer patrones y reglas de transformación para cualquier clase de expresión. Basta decir aquí que en Mathematica todas las expresiones tienen una estructura simbólica definida; las reglas de transformación le permiten transformar partes de aquella estructura. 9. Listas 9.1. Juntar objetos Primero encontramos listas en la sección 3.3 como una forma de agrupar números. En esta sección, veremos diferentes formas de usar listas. Usted encontrará que las listas son algunos de los objetos más flexibles y poderosos en Mathematica. Verá que las listas en Mathematica representan las generalizaciones de varios conceptos estándar en matemáticas e informática. En un nivel básico, lo que esencialmente hace una lista en Mathematica es proporcionar una forma de agrupar varias expresiones de cualquier clase. He aquí una lista de números. {2, 3, 4} Esto da una lista de expresiones simbólicas. x^% - 1
109 Usted puede derivar estas expresiones. D[%, x] Y luego puede encontrar los valores cuando x es reemplazado por 3. % /. x -> 3 Las funciones matemáticas que son construidas en Mathematica sobre todo son hechas “listables” de modo que actúen separadamente sobre cada elemento de una lista. Esto no es, sin embargo, cierto para todas las funciones en Mathematica. A no ser que usted las establezca, como una nueva función f que le permita introducir listas como argumentos. 9.2. Fabricación de tablas de valores Usted puede usar listas como tablas de valores. Puede generar las tablas, por ejemplo, evaluando una expresión para una secuencia de diferentes valores de un parámetro. Esto da una tabla de los valores de 2 i , con i variando de 1 a 6. Table[i^2, {i, 6}] He aquí una tabla de )5/sin(n para n de 0 a 4. Table[Sin[n/5], {n, 0, 4}] Esto da los valores numéricos. N[%] También puede hacer tablas de fórmulas. Table[x^i + 2i, {i, 5}]
110 Table usa exactamente la misma notación para el iterador que las funciones Sum y Product, que fueron mencionadas en la sección 6.4. Product[x^i + 2i, {i, 5}] Esto hace una tabla con valores de x variando desde 0 hasta 1 en pasos de 0.25. Table[Sqrt[x], {x, 0, 1, 0.25}] Usted puede realizar otras operaciones en las listas que obtiene con Table. %^2 + 3 TableForm muestra las listas en un formato “tabular”. Note que ambas palabras en TableForm empiezan con mayúsculas. % // TableForm Todos los ejemplos hasta ahora han sido de tablas obtenidas variando un sólo parámetro. Usted también puede hacer tablas que involucran varios parámetros. Estas tablas multidimensionales son especificadas usando las notaciones estándares para el iterador en Mathematica, mencionadas en la sección 6.4. Esto hace una tabla de ji yx + con i variando desde 1 hasta 3 y j variando desde 1 hasta 2. Table[x^i + y^j, {i, 3}, {j, 2}] La tabla en este ejemplo es una lista de listas. Los elementos de la lista externa corresponden a los valores sucesivos de i . Los elementos de cada lista interior corresponden a los valores sucesivos de j , con i fijo.
111 A veces puede querer generar una tabla evaluando una expresión particular muchas veces, sin incrementar alguna variable. Esto crea una lista conteniendo cuatro copias del símbolo x. Table[x, {4}] Esto da una lista de cuatro números seudo aleatorios. Table reevalúa Random[] para cada elemento en al lista, de modo que usted consigue un número diferente pseudoarbitrario. Table[Random[ ], {4}] Table[f, {imax}] da una lista de imax valores de f Table[f, {i, imax}] da una lista de los valores de f con i variando de 1 a imax Table[f, {i, imin, imax}] da una lista de valores con i variando de imin a imax Table[f, {i, imin, imax, di}] usa pasos de di Table[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}] genera una tabla multidimensional TableForm[list] muestra una lista en forma tabular Funciones para generar tablas. Usted puede usar las operaciones mencionadas en la sección 3.4 para extraer los elementos de la tabla. Esto crea una tabla de 2×2, y le da el nombre m. m = Table[i - j, {i, 2}, {j, 2}] Esto extrae la primera sublista de la lista de listas, m. m[[1]] Esto extrae el segundo elemento de aquella sublista. %[[2]]
112 Esto hace las dos operaciones juntas. m[[1,2]] Esto muestra m en forma “tabular”. TableForm[m] t[[i]] o Part[t, i] da la i-ésima sublista en t (también acepta la forma ) t[[{i1, i2, ...}]] o Part[t, {i1, i2, ...}] da una lista de las i1, i2, ... partes de t t[[i, j, ...]] o Part[t, i, j, ...] da la parte de t correspondiente a t[[i]][[ j]] ... Implementación de operaciones repetitivas. Como mencionamos en la sección 3.4, usted puede usar las listas en Mathematica de modo análogo a los “arrays”. Las listas de listas se usan entonces como series bidimensionales. Cuando usted los presenta en una forma tabular, los dos índices de cada elemento son como sus coordenadas x e y. Puede usar Table para generar arrays de cualquier dimensión. Esto genera un array tridimensional de 2×2×2. Es una lista de listas de listas. Table[i j^2 k^3, {i, 2}, {j, 2}, {k, 2}] 9.3. Vectores y matrices Vectores y matrices en Mathematica simplemente son representados por listas y por listas de listas, respectivamente. {a, b, c} vector ),,( cba {{a, b}, {c, d}} matriz       dc ba Representación de vectores y matrices por listas.
113 Esta es una matriz 2×2. m = {{a, b}, {c, d}} He aquí la primera fila. m[[1]] He aquí el elemento 12m . m[[1,2]] Este es un vector de dos componentes. v = {x, y} Los objetos p y q son tratados como escalares. p v + q Los vectores son sumados componente más componente. v + {xp, yp} + {xpp, ypp} Esto calcula el producto punto (“escalar”) de dos vectores. {x, y} . {xp, yp} Usted también puede multiplicar una matriz por un vector. m . v O una matriz por una matriz. m . m
114 O un vector por una matriz. v . m Esta combinación genera un escalar. v . m . v Debido a la forma en que Mathematica usa listas para representar vectores y matrices, usted nunca tiene que distinguir entre los vectores de la “fila” y de la “columna”. Table[f, {i, n}] construye un vector de longitud n evaluando f para i = 1, 2, ..., n Array[a, n] construye un vector de longitud n de la forma {a[1], a[2], ...} Range[n] crea la lista {1, 2, 3 ... , n} Range[n1, n2] crea la lista { n1, n1 + 1, ... , n2} Range[n1, n2, dn] crea la lista { n1, n1 + dn, ... , n2} list[[i]] o Part[list, i] da el i-ésimo elemento del vector list Length[list] da el número de elementos de list ColumnForm[list] muestra los elementos de list en una columna c v multiplica por un escalar a . b producto punto de vectores Cross[a, b] producto vectorial de vectores Norm[b] norma de un vector Funciones para vectores. Table[f, {i, n}, {j, m}] construye una matriz m×n evaluando f para i variando desde 1 hasta m y j variando desde 1 hasta n Array[a, m, n] construye una matriz m×n con elementos a[i, j] IdentityMatrix[n] genera una matriz identidad n×n DiagonalMatrix[list] genera una matriz cuadrada con los elementos de list en la diagonal list[[i]] o Part[list, i] da la i-ésima fila de la matriz list
115 list[[All, j]] o Part[list, All, j] da la j-ésima columna de la matriz list list[[i, j]] o Part[list, i, j] da el elemento i, j de la matriz list Dimensions[list] da las dimensiones de la matriz list MatrixForm[list] muestra list en forma matricial Funciones para matrices. Esto construye una matriz 3×3 con elementos jis ji +=, . s = Table[i+j, {i, 3}, {j, 3}] Esto muestra s en un formato estándar de matriz bidimensional. MatrixForm[s] Esto da un vector con elementos simbólicos. Usted puede usar esto para obtener fórmulas generales válidas con cualquier tipo de componentes de un vector. Array[a, 4] Esto da una matriz 3×2 con elementos simbólicos. Array[p, {3, 2}] He aquí las dimensiones de la matriz previamente definida. Dimensions[%] Esto genera una matriz diagonal 3×3. DiagonalMatrix[{a, b, c}]
116 c m multiplicación por un escalar a . b producto matricial Inverse[m] matriz inversa MatrixPower[m, n] n-ésima potencia de una matriz Det[m] determinante Tr[m] traza Transpose[m] transpuesta Eigenvalues[m] valores propios Eigenvectors[m] vectores propios Algunas operaciones matemáticas en matrices. He aquí la matriz 2×2 de variables simbólicas que fue definida anteriormente. m Esto da su determinante. Det[m] He aquí la transpuesta de m. Transpose[m] Esto da la inversa de m en forma simbólica. Inverse[m] He aquí una matriz racional 3×3. h = Table[1/(i+j-1), {i, 3}, {j, 3}] Esto da su inversa. Inverse[h]
117 Multiplicando la inversa con la matriz original da la matriz identidad. % . h He aquí una matriz 3×3. r = Table[i+j+1, {i, 3}, {j, 3}] Eigenvalues da los valores propios de la matriz. Eigenvalues[r] Eigenvectors da los vectores propios de la matriz. Eigenvectors[r] Esto da una aproximación numérica de la matriz. rn = N[r] He aquí las aproximaciones numéricas para los valores propios. Eigenvalues[rn] 9.4. Elegir elementos de listas First[list] el primer elemento de la lista Last[list] el último elemento Part[list, n] o list[[n]] el n-ésimo elemento Part[list, –n] o list[[–n]] el n-ésimo elemento empezando del final Part[list, {n1, n2, ...}] o list[[{n1, n2, ...}]] la lista de elementos de las posiciones n1, n2, ... Selección de elementos de listas.
118 Usaremos esta lista para los ejemplos. t = {a,b,c,d,e,f,g} He aquí el último elemento de t. Last[t] Esto da el tercer elemento. t[[3]] Esto da una lista del primero y cuarto elementos. t[[ {1, 4} ]] Take[list, n] los n primeros elementos de list Take[list, –n] los n últimos elementos Take[list, {m, n}] elementos m hasta n (inclusive) Rest[list] list con su primer elemento quitado Drop[list, n] list con sus n primeros elemento quitados Most[list] list con su último elemento quitado Drop[list, –n] list con sus n últimos elemento quitados Drop[list, {m, n}] list con sus elementos m hasta n quitados Selección de secuencias de listas. Esto da los tres primeros elementos de la lista t arriba definida. Take[t, 3] Esto da los tres últimos elementos. Take[t, -3] Esto da los elementos 2 hasta 5 inclusive. Take[t, {2, 5}]
119 Esto da los elementos 3 hasta 7 en pasos de 2. Take[t, {3, 7, 2}] Esto da t con el primer elemento quitado. Rest[t] Usando Drop usted puede realizar la misma operación que con Rest. Drop[t, 1] Esto da t con su primeros tres elementos quitados. Drop[t, 3] Esto da t con sólo su tercer elemento quitado. Drop[t, {3, 4}] Las funciones en esta sección le permiten elegir partes ubicadas en posiciones particulares de las listas. 9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista Position[list, form] posiciones en las cuales form ocurre en list Count[list, form] número de veces que form aparece como un elemento de list MemberQ[list, form] prueba si form es un elemento de list FreeQ[list, form] prueba si form no ocurre en ninguna parte list Prueba y búsqueda de elementos de una lista.
120 La sección anterior mostró como extraer partes de listas basándose en sus posiciones o índices. Mathematica también tiene funciones que buscan y prueban elementos de listas, basándose en los valores de aquellos elementos. Esto da una lista de las posiciones en las cuales a aparece en la lista. Position[{a, b, c, a, b}, a] Count cuenta el número de ocurrencias de a. Count[{a, b, c, a, b}, a] Esto muestra que a es un elemento de {a,b,c}. MemberQ[{a, b, c}, a] Por otra parte d, no lo es. MemberQ[{a, b, c}, d] Esto asigna a m una matriz identidad 3×3. m = IdentityMatrix[3] Esto muestra que 0 ocurre en alguna parte de m. FreeQ[m, 0] Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 0 en m. Position[m, 0] Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 1 en m. Position[m, 1]
121 9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista Prepend[list, element] agrega element al inicio de list Append[list, element] agrega element al final de list Insert[list, element, i] inserta element en la posición i de list Insert[list, element, –i] inserta en la posición i contando desde el final de list Delete[list, i] borra el elemento de la posición i de list ReplacePart[list, new, i] reemplaza el elemento de la posición i de list con new ReplacePart[list, new, {i, j}] reemplaza list[[i, j]] con new Funciones para manipular elementos en listas explícitas. Esto da una lista con x insertado. Prepend[{a, b, c}, x] Esto inserta x en la posición 2. Insert[{a, b, c}, x, 2] Esto reemplaza el tercer elemento en la lista con x. ReplacePart[{a, b, c, d}, x, 3] Esto reemplaza el elemento 1, 2 en una matriz 2×2. ReplacePart[{{a, b}, {c, d}}, x, {1, 2}] Las funciones como ReplacePart toman listas explícitas y dan nuevas listas. A veces, sin embargo, puede ser que desee modificar una lista, sin generar explícitamente una nueva lista. v = { e1, e2, ...} asigna una lista a una variable v[[i]] = new asigna un nuevo valor para el i-ésimo elemento Reseteo de los elementos de una lista.
122 Esto define v como una lista. v = {a, b, c, d} Esto indica que el tercer elemento debe ser x. v[[3]] = x Ahora v ha sido cambiado. v m[[i,j]] = new reemplaza el elemento i, j de una matriz m[[i]] = new reempaza la i-ésima fila m[[All,j]] = new reempaza la j-ésima columna Reseteo de elementos de matrices. Esto define m como una matriz. m = {{a, b}, {c, d}} Esto reemplaza los elementos de la primera columna de la matriz. m[[All, 1]] = {x, y}; m Esto hace que los elementos de la primera columna sean 0. m[[All, 1]] = 0; m 9.7. Combinación de listas Join[list1, list2, ...] concatena listas Union[list1, list2, ...] combina lista quitando los elementos repetidos y ordenando el resultado Funciones para combinar listas.
123 Join concatena cualquier cantidad de listas. Join[{a, b, c}, {x, y}, {t, u}] Union combina listas, manteniendo sólo los elementos distintos. Union[{a, b, c}, {c, a, d}, {a, d}] 9.8. Listas y conjuntos Mathematica por lo general mantiene los elementos de una lista en el orden en que se ingresaron. Si quiere tratar una lista de Mathematica como un conjunto matemático, sin embargo, puede que desee ignorar el orden de los elementos en la lista. Union[list1, list2, ...] da una lista de los distintos elementos en las listi Intersection[list1, list2, ...] da una lista de los elementos que son comunes a todas las listi Complement[universo, list1, ...] da una lista de los elementos que están en el universo, pero no en cualquiera de las listi Subsets[list] da el conjunto potencia de list Funciones de la teoría de conjuntos. Union da los elementos que aparecen en cualquiera de las listas. Union[{c, a, b}, {d, a, c}, {a, e}] Intersection da sólo elementos que aparecen n en todas las listas. Intersection[{a, c, b}, {b, a, d, a}] Complement da elementos que aparecen en la primera lista, pero no en cualquiera de las otras. Complement[{a, b, c, d}, {a, d}]
124 Esto da el conjunto potencia de la lista. Subsets[{a, b, c}] 9.9. Reordenamiento de listas Sort[list] clasifica los elementos de list en orden Union[list] da una lista de los elementos que son comunes a todas las listi Reverse[list] invierte el orden de los elementos de list RotateLeft[list] rota los elementos de list n lugares a la izquierda RotateRight[list] rota n lugares a la derecha Funciones para reordenar listas. Esto ordena los elementos de una lista en forma estándar. En casos simples como éste el ordenamiento es alfabético o numérico. Sort[{b, a, c, a, b}] Esto ordenada los elementos, quitando los que están duplicados. Union[{b, a, c, a, b}] Esto rota los elementos de la lista dos lugares a la izquierda. RotateLeft[{a, b, c, d, e}, 2] Puede rotar a la derecha dando un valor negativo, o usando RotateRight. RotateLeft[{a, b, c, d, e}, -2] PadLeft[list, len, x] completa list en la izquierda con x hasta lograr la longitud len PadRight[list, len, x] completa list en la derecha Completar listas.
125 Esto completa una lista con varias x hasta lograr que tenga longitud 10. PadLeft[{a, b, c}, 10, x] 9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas Partition[list, n] particiona listas en piezas de n elementos Partition[list, n, d] use d para piezas sucesivas Split[list] da el conjunto potencia de list Funciones para agrupar elementos de listas. He aquí una lista. t = {a, b, c, d, e, f, g} Esto agrupa los elementos en pares, deshaciéndose del último elemento. Partition[t, 2] Esto agrupa elementos en triadas. No hay traslapamiento entre las triadas. Partition[t, 3] Esto hace triadas de elementos, con cada triada sucesiva compensada por sólo un elemento. Partition[t, 3, 1] Esto divide la lista en piezas de elementos idénticos. Split[{a, a, b, b, b, a, a, a, b}] Tuples[list, n] genera todas las n-uplas posibles de elementos de list Tuples[{list1, list2, ...}] genera el producto cartesiano list1×list2×... Encuentra las uplas posibles de elementos en listas.
126 Esto da todas las formas posibles de escoger dos elementos de la lista. Tuples[{a, b}, 2] Esto da todas las formas posibles de escoger un elemento de cada lista. Tuples[{{a, b}, {1, 2, 3}}] 9.11. Ordenamiento de listas Sort[list] clasifica los elementos de list en orden Min[list] el menor elemento en list Ordering[list, n] posiciones de n menores elementos en list Max[list] el mayor elemento en list Ordering[list, –n] posiciones de n mayores elementos en list Ordering[list] el orden de todos los elementos en list Permutations[list] todos los posibles ordenamientos de list Ordenamiento de listas. He aquí una lista. t = {17, 21, 14, 9, 18} Esto da el menor elemento de la lista. Min[t] Esto da las posiciones de los tres menores elementos. Ordering[t, 3] He aquí los elementos. t[[%]]
127 9.12. Reorganización de listas anidadas Flatten[list] elimina todos los niveles en list Flatten[list, n] elimina los n más altos niveles en list Partition[list, {n1, n2, ...}] particiona en bloques de tamaño n1×n2×... Transpose[list] intercambia los dos niveles superiores de list RotateLeft[list, {n1, n2, ...}] rota niveles sucesivos n lugares PadLeft[list, {n1, n2, ...}] completa niveles sucesivos hasta lograr la longitud ni Algunas funciones para reorganizar listas anidadas. Esto “elimina” las sublistas. Usted tomarlo como tan solo un comando eficaz que quita todos las llaves interiores. Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}] Esto elimina sólo un nivel de sublista. Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1] Hay muchas otras operaciones que usted puede realizar en listas anidadas. 10. Gráficos y Sonido 10.1. Gráficos básicos Plot[f, {x, xmin, xmax}] genera todas las n-uplas posibles de elementos de list Plot[{f1, f2, ...}, {x, xmin, xmax}] genera el producto cartesiano list1×list2×... Trazado básico de funciones. Esto traza un gráfico de sin( )x como una función de x desde 0 hasta 2π. Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]
128 Puede trazar funciones que tienen singularidades. Mathematica tratará de encontrar escalas apropiadas. Plot[Tan[x], {x, -3, 3}] Puede dar una lista de funciones para que sean trazadas. Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, 0, 2Pi}] Para obtener curvas suaves, Mathematica tiene que evaluar las funciones que usted desea trazar en un gran número de puntos. Por consiguiente, es importante que establezca las cosas de modo que cada evaluación de las funciones sea tan rápida como se pueda.
129 Cuando pide a Mathematica que trace un objeto, digamos f, como una función de x, Mathematica puede hacerlo de dos formas. La primera es tratar a f como una expresión simbólica en términos de x, y luego evaluar esta expresión numéricamente para los valores específicos de x necesarios en el trazado. La segunda es calcular primero que valores de x son necesarios, y sólo posteriormente evaluar f con aquellos valores de x. Si digita Plot[f, {x, xmin, xmax}] es usada la segunda alternativa. Esto tiene la ventaja que Mathematica sólo trata de evaluar f para valores numéricos específicos de x; sin importar si f define valores sensibles cuando x es simbólico. Hay, sin embargo, algunos casos en los cuales es mucho mejor tener f evaluada antes de empezar a hacer el trazado. Un caso típico es cuando f es en realidad un comando que genera una tabla de funciones. Usted puede hacer que Mathematica primero produzca la tabla, y en seguida evalúe las funciones, antes que producir la tabla de nuevo para cada valor de x. Puede hacer esto digitando Plot[Evaluate[f], {x, xmin, xmax}]. Esto hace un trazado de las funciones Bessel ( )nJ x con n variando desde 1 hasta 4. Evaluate le dice a Mathematica que primero haga la tabla de funciones, y sólo entonces evalúe para valores particulares de x. Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n, x], {n, 4}]], {x, 0, 10}] Esto encuentra la solución numérica de una ecuación diferencial, como se mostró en la sección 7.4. NDSolve[{y'[x] == Sin[y[x]], y[0] == 1}, y, {x, 0, 4}]
130 He aquí un trazado de la solución. Evaluate le dice a Mathematica que primero obtenga un objeto con InterpolatingFunction, y luego lo evalúe en una secuencia de valores de x. Plot[Evaluate[ y[x] /. % ], {x, 0, 4}] Plot[f, {x, xmin, xmax}] primero obtiene valores numéricos para x, luego evalúa f para cada valor de x Plot[Evaluate[f], {x, xmin, xmax}] primero evalúa f, luego obtiene valores numéricos específicos de f Plot[Evaluate[Table[ f,...]],{x, xmin, xmax}] genera una lista de funciones, y las traza Plot[Evaluate[y[x] /. solution]],{x, xmin, xmax}] traza una solución numérica para una ecuación diferencial obtenida con NDSolve Métodos para establecer objetos a trazar. 10.2. Opciones Cuando Mathematica traza un gráfico para usted, tiene que escoger muchas opciones. Tiene que resolverse lo que deben ser las escalas, donde se debe mostrar la función, cómo deben dibujarse los ejes, etcétera. La mayoría de las veces, Mathematica probablemente tomará opciones bastante buenas. Sin embargo, si usted quiere obtener los mejores dibujos posibles para sus objetivos particulares, debería ayudar a Mathematica en la elección de algunas de sus opciones. Hay un mecanismo general para especificar “opciones” en las funciones de Mathematica. Cada opción tiene un nombre definido. Como últimos argumentos de una función como Plot, usted puede incluir una secuencia de reglas de la forma nombre -> valor, para especificar los valores de varias opciones. A cualquier opción para la cual usted no da una regla explícita se le asigna su valor por “defecto”.
131 Plot[f, {x, xmin, xmax}, option -> value] hace un trazado, especificando un valor particular para una opción Elección de una opción para el trazado de un gráfico. Una función como Plot tiene muchas opciones que usted puede ajustar. Por lo general tendrá que usar varias de ellas a la vez. Si usted quiere optimizar un trazado particular, probablemente deberá experimentar, intentando una secuencia de diferentes ajustes para varias opciones. Cada vez que usted produce un gráfico, puede especificar opciones para él. La sección 10.3 mencionará como usted puede cambiar algunas opciones, aún después de que ha producido el gráfico. nombre de la opción valor por defecto AspectRatio 1/GoldeRatio proporción alto-ancho de el gráfico; Automatic se usa para escalas iguales de x e y Axes Automatic si se desea incluir ejes AxesLabel None etiquetas para colocarles a los ejes; {xlabel, None} especifica una etiqueta para el eje x; {xlabel, ylabel} especifica una etiqueta para ambos ejes AxesOrigin Automatic el punto en el que se interceptan los ejes TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar para el texto del gráfico FormatType StandardForm el tipo de formato por defecto a usar para el texto en el gráfico DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos; Identity no los muestra Frame False si desea dibujar un marco alrededor del gráfico
132 FrameLabel None etiquetas alrededor del marco; dé una lista ordenada en sentido horario empezando con el valor inferior del eje x FrameTicks Automatic qué marcas dibujar si hay un marco; None no muestra ninguna marca GridLines None qué líneas de cuadrícula incluir; Automatic incluye una línea para cada marca importante PlotLabel None una expresión que se imprimirá como etiqueta para el gráfico PlotRange Automatic el rango de las coordenadas a incluir en el gráfico; All incluye todos los puntos Ticks Automatic indica qué marcas dibujar si hay ejes; None no muestra ninguna marca Algunas de las opciones de Plot. Estas opciones también pueden usarse en Show. He aquí un gráfico con todas las opciones que tienen sus valores por defecto. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}] Esto dibuja ejes sobre un marco alrededor del gráfico. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame->True]
133 Esto especifica las etiquetas para los ejes x e y. Las expresiones que usted da como etiquetas son impresas como salidas de Mathematica. Puede dar cualquier porción de texto poniéndolo entre comillas. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AxesLabel -> {"x value", "Sin[x^2]"} ] Usted puede dar varias opciones al mismo tiempo, en cualquier orden. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame -> True, GridLines -> Automatic]
134 Ajustar la opción AspectRatio cambia la forma entera de su gráfico. AspectRatio da el cociente del ancho y alto. Su valor por defecto es el inverso de la proporción áurea–supuestamente la forma más agradable para un rectángulo. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AspectRatio -> 1] Automatic usa algoritmos internos None no incluye esto All incluye todo True hace esto False no hace esto Algunos ajustes comunes para varias opciones. Cuando Mathematica traza un gráfico, intenta ajustar las escalas de x e y para incluir sólo las partes “interesantes” del gráfico. Si su función aumenta muy rápidamente, o tiene singularidades, las partes donde se torna demasiado grande serán cortadas. Especificando la opción PlotRange, usted puede controlar exactamente qué rangos de las coordenadas x e y se incluyen en su gráfico. Automatic muestra por lo menos una fracción grande de los puntos, incluyendo la región “interesante” (ajuste por defecto) All muestra todos los puntos {ymin, ymax} muestra un rango específico de los valores de y {xrange, yrange} muestra los rangos especificados de los valores de x e y Ajustes para la opción PlotRange.
135 Ajustar la opción PlotRange da los límites explícitos de y para el gráfico. Con los límites especificados aquí, el fondo de la curva es cortado. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, PlotRange -> {0, 1.2}] Mathematica siempre trata de trazar funciones como curvas suaves. Por consiguiente, en lugares donde su función oscila mucho, Mathematica usará más puntos. En general, Mathematica intenta adaptar el muestreo de su función a la forma de la función. Hay, sin embargo, un límite, que usted puede ajustar, para cómo finalmente Mathematica muestreará una función. La función ( )1sin x oscila infinitamente a menudo cuando 0x . Mathematica intenta muestrear más puntos en la región donde la función oscila mucho, pero nunca puede muestrear el número infinito que usted necesitaría para reproducir la función exactamente. Por consiguiente, hay leves interferencias en el diagrama. Plot[Sin[1/x], {x, -1, 1}]
136 nombre de la opción valor por defecto PlotStyle Automatic una lista de listas de directivas para gráficos a utilizar para cada curva PlotPoints 25 el mínimo número de puntos para muestrear la función MaxBend 10. el ángulo máximo de flexión entre segmentos sucesivos de una curva PlotDivision 30. el factor máximo de subdivisión del muestreo de la función Compiled True si desea compilar la función que es trazada Más opciones para Plot. Estas opciones no pueden usarse en Show. Es importante comprender que puesto que Mathematica puede muestrear su función solamente en un número limitado de puntos, siempre pueden faltar características de la función. Aumentando PlotPoints, usted puede hacer que Mathematica muestree su función en un mayor número de puntos. Por supuesto, cuanto mayor sea PlotPoints, más demora Mathematica en trazar cualquier función, incluso si ésta es suave. Ya que Plot tiene que evaluar su función muchas veces, es importante hacer cada evaluación tan rápida como sea posible. Por consiguiente, Mathematica por lo general compila su función en un pseudocódigo de bajo nivel que puede ser ejecutado de manera muy eficiente. Un problema potencial con esto, sin embargo, es que el pseudocódigo permite sólo operaciones numéricas acordes a la precisión de máquina. Si la función que usted traza requiere operaciones de precisión más alta, debería apagar la compilación en Plot. Usted puede hacer esto poniendo la opción Compile -> False. Note que Mathematica sólo puede compilar el “código en línea”; no puede, por ejemplo, compilar funciones que usted ha definido. Por consiguiente, cuando posible, debería usar Evaluate como se describe en la sección 10.1 para evaluar cualquier definición y conseguir una forma tal que el compilador de Mathematica puede manejar.
137 10.3. Rehacer y combinar gráficos Mathematica guarda la información sobre cada gráfico que usted produce, de modo que usted más tarde pueda rehacerlo. Cuando usted rehace gráficos, puede cambiar algunas opciones que ha usado. Show[plot] rehace un gráfico Show[plot, option -> value] rehace con opciones cambiadas Show[plot1, plot2, ...] combina varios gráficos Show[GraphicsArray[ {{plot1, plot2, ...} , ...}]] dibuja un array de gráficos InputForm[plot] muestra información guardada de un gráfico Funciones para manipular gráficos. He aquí un gráfico simple. por lo general es impresa en la línea de salida para apoyar la información que guarda Mathematica sobre el gráfico. Plot[ChebyshevT[7, x], {x, -1, 1}] Esto rehace el gráfico anterior. Show[%]
138 Cuando usted redibuja el gráfico, puede cambiar algunas de las opciones. Esto cambia la opción del rango de y. Show[%, PlotRange -> {-1, 2}] Esto toma el gráfico anterior, y cambia otra opción en él. Show[%, PlotLabel -> "A Chebyshev Polynomial"] Usando Show con una secuencia de opciones diferentes, usted puede ver el mismo gráfico de varias formas diferentes. Puede desear hacer esto, por ejemplo, si trata de encontrar el mejor ajuste posible de opciones. También puede usar Show para combinar gráficos. No importa si los gráficos no tienen la misma escala: Mathematica siempre escogerá nuevas escalas para incluir los puntos que usted quiere. Esto fija gj0 para que sea un gráfico de 0 ( )J x desde 0x = hasta 10. gj0 = Plot[BesselJ[0, x], {x, 0, 10}]
139 He aquí el gráfico de 1( )Y x desde 1x = hasta 10. gy1 = Plot[BesselY[1, x], {x, 1, 10}] Esto muestra los dos gráficos anteriores combinadas en uno. Note que la escala es ajustada apropiadamente gjy = Show[gj0, gy1] Usando Show[plot1, plot2, …] usted puede combinar varios gráficos en uno. GraphicsArray le permite dibujar varios gráficos en un array. Show[GraphicsArray[ {plot1, plot2, ...}]] dibuja una fila de gráficos Show[GraphicsArray[ {{plot1}, {plot2}, ...}]] dibuja una fila de gráficos
140 Show[GraphicsArray[ {{plot11, plot12, ...} , ...}]] dibuja un array rectangular de gráficos Show[GraphicsArray[ plots, GraphicsSpacing -> {h, v}]] especifica el espaciado horizontal y vertical entre los gráficos Dibujo de arrays de gráficos. Esto muestra los últimos gráficos anteriores en un array. Show[GraphicsArray[{{gj0, gjy}, {gy1, gjy}}]] Si muestra de nuevo un array de gráficos con Show, cualquier opción que especifica se usará para todo el array, antes que para gráficos individuales. Show[%, Frame->True, FrameTicks->Automatic] He aquí una forma de cambiar opciones para todos los gráficos del array. Show[ % /. (Ticks -> Automatic) -> (Ticks -> None) ]
141 GraphicsArray por defecto pone un borde estrecho alrededor de cada uno de los gráficos en el array que produce. Usted puede cambiar este el tamaño de este borde poniendo la opción GraphicsSpacing -> {h, v}. Los parámetros h y v dan los espaciados horizontales y verticales a usarse. Esto incrementa el espaciado horizontal, pero disminuye el espaciado vertical entre los gráficos en el array. Show[%, GraphicsSpacing -> {0.3, 0}] Cuando usted traza un gráfico, Mathematica guarda la lista de puntos que este usó, junto con alguna otra información. Usando lo guardado, usted puede rehacer gráficos de muchas formas diferentes con Show. Sin embargo, usted debería comprender que no importa que opciones especifique, Show todavía tiene el mismo conjunto básico de puntos para trabajar. Por ejemplo, si usa opciones de modo que Mathematica muestre una pequeña parte de su gráfico original ampliado, usted probablemente será capaz de ver los puntos individuales de la muestra que Plot ha usado. Las opciones como PlotPoints sólo pueden ajustarse en el comando Plot original.
142 He aquí un gráfico simple. Plot[Cos[x], {x, -Pi, Pi}] Esto muestra una pequeña región del gráfico en una forma ampliada. En esta resolución los segmentos de recta individuales que fueron producidos por le comando Plot original. Show[%, PlotRange -> {{0, .3}, {.92, 1}}] 10.4. Manipulación de opciones Hay un número de funciones incorporadas en Mathematica que, como Plot, tienen varias opciones que usted puede ajustar. Mathematica proporciona algunos mecanismos generales para manejar tales opciones. Si usted no da un ajuste específico para una opción de una función como Plot, entonces Mathematica automáticamente usará un valor por defecto para la opción. La función Options[function, option] le permite averiguar el valor por defecto para una opción particular. Usted puede resetear el valor por defecto usando SetOptions[function, option -> value]. Note que si hace esto, el valor por defecto que usted ha dado quedará hasta que lo cambie explícitamente.
143 Options[function] da una lista de los valores por defecto actuales para todas las opciones Options[function, option] da el valor por defecto para una opción particular SetOptions[function, option -> value, ...] resetea el valor por defecto Manipulación de valores por defecto para opciones. He aquí el valor por defecto actual para la opción PlotRange de Plot. Options[Plot, PlotRange] Esto resetea el valor por defecto para la opción PlotRange. El punto y coma impide que Mathematica imprima la salida de la lista bastante larga de opciones de Plot. SetOptions[Plot, PlotRange->All] ; Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción PlotRange ahora será All. Options[Plot, PlotRange] Esto vuelve a resetear el valor para la opción PlotRange. SetOptions[Plot, PlotRange->{{-1, 1}, {-1, 1}}] ; Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción PlotRange ahora será {{-1, 1}, {-1, 1}}. Options[Plot, PlotRange] Los objetos gráficos que obtiene con Plot o Show almacenan la información de las opciones que usan. Usted puede obtener esta información aplicando la función Options a estos objetos gráficos. Options[plot] muestra todas las opciones usadas por el gráfico plot Options[plot, option] muestra el ajuste para una opción específica
144 AbsoluteOptions[plot, option] muestra la forma absoluta usada para una opción específica, incluso si el ajuste para la opción Automatic o All Adquisición de información sobre opciones usadas en gráficos. He aquí un gráfico, con ajustes por defecto para todas las opciones. g = Plot[SinIntegral[x], {x, 0, 20}] El ajuste usado para la opción PlotRange fue All. Options[g, PlotRange] AbsoluteOptions da los valores absolutos escogidos automáticamente para PlotRange. AbsoluteOptions[g, PlotRange] 10.5. Contornos y gráficos de densidad ContourPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico de contorno de f como una función de x e y DensityPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico de densidad de f Funciones para manipular gráficos.
145 Esto da un gráfico de contorno de la función sin( )sin( )x y . ContourPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Un gráfico de contorno le da esencialmente un “mapa topográfico” de una función. Los contornos unen puntos sobre la superficie que tienen la misma altura. El valor por defecto permite obtener contornos correspondientes a una secuencia de valores de z igualmente espaciados. Los gráficos de contorno producidos por Mathematica por defecto son sombreados, de tal modo que las regiones con valores de z más altos sean más claras. nombre de la opción valor por defecto ColorFunction Automatic colores a usar para el sombreado; Hue usa una secuencia de matices Contours 10 el total de contornos, o la lista de valores de z para contornos PlotRange Automatic el rango de valores a ser incluidos, usted puede especificar {zmin, zmax}, All o Automatic ContourShading True si hay que usar sombreado PlotPoints 30. puntos de evaluación en cada dirección Compiled True si hay que compilar la función que es trazada Algunas opciones para ContourPlot. El primer conjunto también puede usarse en Show.
146 Particularmente si usted utiliza una visualizadora o impresora que no maneja bien los niveles de gris, puede encontrar mejor prescindir del sombreado en gráficos de contorno. Show[%, ContourShading -> False] Usted debe comprender que si no evalúa su función sobre una cuadrícula bastante fina, puede haber inexactitudes en su gráfico de contorno. Un punto a notar es que mientras que una curva generada por Plot puede ser inexacta si su función varía demasiado rápido en una región particular, la forma de los contornos puede ser inexacta si su función varía demasiado despacio. Una función que varía rápidamente da un modelo regular de contornos, pero una función que es casi plana puede dar contornos irregulares. Usted puede solucionar tales problemas aumentando el valor de PlotPoints. Los gráficos de densidad muestran los valores de su función como un array regular de puntos. Las regiones más claras son más altas. DensityPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Usted puede deshacerse de la red como aquí. Show[%, Mesh -> False]
147 nombre de la opción valor por defecto ColorFunction Automatic colores para el sombreado Mesh True si hay que dibujar una red PlotPoints 25 puntos de evaluación en cada dirección Compiled True si desea compilar la función que es trazada Algunas opciones para DensityPlot. El primer conjunto también puede usarse en Show. 10.6. Gráficos de superficies tridimensionales Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico tridimensional de f como una función de las variables x e y Trazado básico de una función 3D. Esto traza un gráfico tridimensional de la función sin( )x y . Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
148 Hay muchas opciones para gráficos tridimensionales en Mathematica. Sólo algunos serán discutidos en esta sección. El primer conjunto de opciones para gráficos tridimensionales es en gran parte análogo a aquellos proveídos en el caso bidimensional. nombre de la opción valor por defecto Axes Automatic si hay que incluir ejes AxesLabel None etiquetas para colocarles a los ejes; {xlabel, None, None} especifica una etiqueta para el eje x, {xlabel, ylabel, zlabel} para todos los ejes Boxed True si hay que dibujar una caja tridimensional alrededor de la superficie ColorFunction Automatic colores a usar para el sombreado; Hue usa una secuencia de matices TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar para el texto del gráfico FormatType StandardForm el tipo de formato por defecto a usar para el texto en el gráfico DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos; Identity no los muestra FaceGrids None para dibujar cuadrículas sobre los bordes de las caras de la caja; All dibuja una cuadrícula sobre cada cara HiddenSurface True si se desea dibujar la superficie como un sólido Lighting True si se desea colorear la superficie usando iluminación simulada Mesh True si se desea dibujar una red en la superficie
149 PlotRange None el rango de las coordena- das a incluir en el gráfico; usted puede especificar All, {zmin, zmax} o {{xmin, xmax}, {ymin, ymax},{zmin, zmax}} Shading Automatic si se desea sombrear la superficie o no ViewPoint {1.3, -2.4, 2} el punto en el espacio desde el cual se desea mirar la superficie PlotPoints 25 el número de puntos para muestrear la función en cada dirección; {nx, ny} especifica diferentes nú- meros en las direcciones de x e y Compiled True si desea compilar la función que es trazada Algunas opciones para Plot3D. Estas opciones también pueden usarse en Show. Esto vuelve a dibujar el gráfico anterior, con opciones cambiadas. Con este ajuste para PlotRange, sólo es mostrada la parte de la superficie en el rango 0.5 0.5z− ≤ ≤ . Show[%, PlotRange -> {-0.5, 0.5}] Cuando usted hace el gráfico original, puede elegir muestrear más puntos. Necesitará hacer esto para conseguir buenos cuadros de las funciones que oscilan mucho. Plot3D[10 Sin[x + Sin[y]], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotPoints -> 50]
150 He aquí el mismo gráfico, con etiquetas para los ejes, y cuadrículas añadidas a cada cara. Show[%, AxesLabel -> {"Time", "Depth", "Value"}, FaceGrids -> All] Probablemente la cuestión más importante en el trazado de una superficie tridimensional es especificar desde donde usted quiere mirar la superficie. La opción ViewPoint para Plot3D y Show le permite especificar el punto {x, y, z} del espacio desde el cual usted desea ver una superficie. En muchas versiones de Mathematica, hay formas de escoger puntos de vista tridimensionales interactivamente, luego obtener las coordenadas para ajustar la opción ViewPoint. He aquí una superficie, vista desde el punto de vista por defecto . Este punto de vista se elige por ser “genérico”, de modo que las alineaciones coincidentes visualmente confusas entre diversas partes de su objeto sean imperceptibles. Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
151 Esto vuelve a dibujar el gráfico, con el punto de vista directamente enfrente. Note el efecto de perspectiva que hace que la parte trasera de la caja parezca mucho más pequeña que la del frente. Show[%, ViewPoint -> {0, -2, 0}] {1.3, -2.4, 2} punto de vista por defecto {0, -2, 0} directamente enfrente {0, -2, 2} enfrente y encima {0, -2, -2} enfrente y abajo {-2, -2, 0} esquina izquierda {2, -2, 0} esquina derecha {0, 0, 2} directamente encima Opciones típicas para la opción ViewPoint. La vista humana no es particularmente buena para entender superficies matemáticas complicadas. Por consiguiente, usted tiene que generar cuadros que contengan tantas pistas como sea posible sobre la forma de la superficie.
152 Los puntos de vista ligeramente encima de la superficie por lo general trabajan mejor. Es generalmente una buena idea mantener el punto vista suficientemente cerca a la superficie para que haya algún efecto de la perspectiva. Tener una caja dibujada explícitamente alrededor de la superficie es provechoso en el reconocimiento de la orientación de la superficie. He aquí un gráfico con los ajustes por defecto para las opciones de la superficie representada. g = Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Esto muestra la superficie sin la red dibujada. Es por lo general mucho más difícil de ver la forma de la superficie si la red no está allí. Show[g, Mesh -> False] Esto muestra la superficie sin sombrear. Algunos dispositivos de visualización pueden no ser capaces de mostrar sombreado. Show[g, Shading -> False]
153 La inclusión de sombreado y red es por lo general de gran ayuda para entender la forma de una superficie. En algunos dispositivos de salida gráfica vectorial, sin embargo, puede que usted no sea capaz de obtener sombreado. También debe comprender que cuando el sombreado es incluido, puede tardar mucho la ejecución la superficie sobre su dispositivo de salida. Para añadir un elemento suplementario de realismo a la gráfica tridimensional, Mathematica por defecto colorea superficies tridimensionales usando un modelo de iluminación simulado. En el caso por defecto, Mathematica asume que hay tres fuentes de iluminación que brillan sobre el objeto desde la parte superior derecha. Mientras en la mayoría de casos, en particular con dispositivos de salida en color, la iluminación simulada es una ventaja, a veces puede ser confusa. Si ajusta la opción Lighting -> False, entonces Mathematica no usará la iluminación simulada, pero en cambio va a sombrear todas las superficies con niveles de gris determinados por su altura. Plot3D por lo general colorea superficies usando un modelo de iluminación simulado. Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
154 Lighting -> False apaga la iluminación simulada, y en lugar de esto sombrea superficies con niveles grises determinados por la altura. Show[%, Lighting -> False] Con Lighting -> False, Mathematica sombrea superficies según la altura. Usted también puede decir a Mathematica explícitamente como sombrear cada elemento de una superficie. Plot3D[{f, GrayLevel[s]}, {x, xmin, xmax}, {x, ymin, ymax}] grafica una superficie correspondiente a f, sombreada en gris de acuerdo a la función s Plot3D[{f, Hue[s]}, {x, xmin, xmax}, {x, ymin, ymax}] sombra por variación de matices de color antes que por niveles de gris Funciones para manipular gráficos. Esto muestra una superficie cuya altura es determinada por la función Sin[x y], pero cuyo sombreado es determinado por GrayLevel[x/3]. Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]
155 10.7. Conversión entre tipos de gráficos Contornos, gráficos de densidad y gráficos de superficies son tres formas diferentes de mostrar esencialmente la misma información sobre una función. En todos los casos, usted necesita los valores de una función en una cuadrícula de puntos. Las funciones ContourPlot, DensityPlot y Plot3D de Mathematica producen objetos gráficos de Mathematica que incluyen una lista de los valores de su función en una cuadrícula. Por consiguiente, habiendo usado cualesquiera de estas funciones, Mathematica fácilmente puede tomar su salida y usarla para producir otro tipo de gráfico. He aquí el gráfico de una superficie. Plot3D[BesselJ[nu, 3x], {nu, 0, 3}, {x, 0, 3}] Esto convierte el objeto producido por Plot3D en un gráfico de contorno. Show[ ContourGraphics[ % ] ]
156 Show[ContourGraphics[ g]] convierte a un gráfico de contorno Show[DensityGraphics[ g]] convierte a un gráfico de densidad Show[SurfaceGraphics[ g]] convierte a una superficie Show[Graphics[g]] convierte a una imagen bidimensional Conversiones entre tipos de gráficos. Usted puede usar GraphicsArray para mostrar diferentes tipos de gráficos juntos. Show[ GraphicsArray[ {%, %%} ] ] 10.8. Gráficas de listas de datos Hasta ahora, hemos hablado como puede usar Mathematica para hacer los gráficos de funciones. Usted da una función a Mathematica, y Mathematica construye una curva o superficie evaluando la función en muchos puntos diferentes. Esta sección describe como usted puede hacer gráficos de listas de datos, en vez de funciones. (La sección 12.3 menciona como leer datos de archivos externos y programas). Los comandos de Mathematica para trazar las listas de datos son análogos a los mencionados para trazar funciones. ListPlot[{y1, y2, ...}] grafica y1, y2, ... con los valores de x 1, 2, ... ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}] grafica los puntos (x1, y1), ...
157 ListPlot[list, PlotJoined -> True] una los puntos con líneas ListPlot3D[ {{z11, z12, ...}, {z21, z22, ...}, ...}] hace un gráfico tridimensional del array alturas zyx ListContourPlot[array] hace un gráfico de contorno a partir de un array de alturas ListDensityPlot[array] hace un gráfico de densidad Funciones para trazar listas de datos. He aquí una lista de valores. t = Table[i^2, {i, 10}] Esto traza un gráfico de los valores. ListPlot[t] Esto une los puntos con líneas. ListPlot[t, PlotJoined -> True]
158 Esto da una lista de pares x, y. Table[{i^2, 4 i^2 + i^3}, {i, 10}] Esto traza un gráfico los puntos. ListPlot[%] Esto da un array rectangular de valores. El array es bastante grande, entonces terminamos la entrada con un punto y coma para evitar que se imprima. t3 = Table[Mod[x, y], {y, 20}, {x, 30}] ; Esto traza un gráfico tridimensional del array de valores. ListPlot3D[t3] Usted puede volver a dibujar el gráfico usando Show, como de costumbre. Show[%, ViewPoint -> {1.5, -0.5, 0}]
159 Esto traza un gráfico de densidad. ListDensityPlot[t3] 10.9. Gráficos paramétricos La sección 10.1 describió como trazar curvas en Mathematica en la cual usted da la coordenada y de cada punto como una función de la coordenada x. También puede usar Mathematica para hacer gráficos paramétricos. En un gráfico paramétrico, usted da ambas coordenadas x e y de cada punto como una función de un tercer parámetro, llamado t. ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] traza un gráfico paramétrico ParametricPlot[{ {fx, fy}, { gx, gy}, ...}, {t, tmin, tmax}] grafica varias curvas paramétricas juntas
160 ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}, AspectRatio -> Automatic] trata de conservar las formas de las curvas Funciones para generar gráficos paramétricos. He aquí la curva hecha tomando la coordenada x de cada punto como Sin[t] y la coordenada y como Sin[2t]. ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}] La “forma” de la curva producida depende de la proporción de la altura y el ancho para el gráfico entero. ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}] El ajuste de la opción AspectRatio -> Automatic hace que Mathematica conserve la “verdadera forma” de la curva, según lo definido por los actuales valores coordinados involucrados. Show[%, AspectRatio -> Automatic]
161 ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] traza un gráfico paramétrico de una curva tridimensional ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] traza un gráfico paramétrico de una superficie tridimensional ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz, s}, ...] sombrea las partes del gráfico paramétrico según la función s ParametricPlot[{ {fx, fy}, { gx, gy}, ...}, ...] grafica varios objetos juntos Gráficos paramétricos tridimensionales. ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] es el análogo directo en tres dimensiones de ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] en dos dimensiones. En ambos casos, Mathematica eficientemente genera una secuencia de puntos variando el parámetro t, luego forma una curva uniendo estos puntos. Con ParametricPlot, la curva está en dos dimensiones; con ParametricPlot3D, está en tres dimensiones. Esto hace un gráfico paramétrico de una curva helicoidal. La variación de t produce movimiento circular en el plano x, y, y movimiento lineal en la dirección z. ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}]
162 ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] crea una superficie, y no una curva. La superficie es formada de una colección de cuadriláteros. Las esquinas de los cuadriláteros tienen coordenadas correspondiente a los valores de los fi cuando t y u toman valores en una cuadrícula regular. Aquí las coordenadas x e y de los cuadriláteros están dadas simplemente por t y u. El resultado es un gráfico de la clase que puede producirse con Plot3D. ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}] Esto muestra la misma superficie que antes, pero con las coordenadas deformadas por una transformación cuadrática. ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}] Esto produce una superficie helicoidal tomando la curva helicoidal antes mostrada (p. 157), y en cada sección de la curva dibuja un cuadrilátero. ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}, {u, -1, 1}]
163 En general, es posible construir muchas superficies complicadas usando ParametricPlot3D. En cada caso, puede imaginar que las superficies son formadas de alguna menera al “deformar” o “enrollar” una cuadrícula coordenada t, u. Esto produce un cilindro. La variación del parámetro t origina un círculo en el plano x, y, mientras que la variación de u hace que los círculos se mueven en la dirección z. ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}] Esto produce un toro La variación u genera un círculo, mientras que la variación de t hace girar el círculo alrededor del eje z para formar el toro. ParametricPlot3D[{Cos[t] (3 + Cos[u]), Sin[t] (3 + Cos[u]), Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]
164 Esto produce una esfera. ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2}] Usted debe comprender que cuando dibuja superficies con ParametricPlot3D, la parametrización correcta es a menudo crucial. Debe ser cuidadoso, por ejemplo, evitando parametrizaciones en las cuales todo o parte de su superficie son cubiertos más de una vez. Tales cubrimientos múltiples a menudo conducen a discontinuidades en el dibujo de la red utilizada en la superficie, y pueden hacer que ParametricPlot3D tome mucho más tiempo para generar la superficie. 10.10. Algunos gráficos especiales Mathematica incluye un lenguaje de programación lleno de gráficos. En este lenguaje, usted puede establecer muchas clases diferentes de gráficos. Algunos de los comunes son incluidos en los paquetes estándar de Mathematica.
165 <<Graphics` carga un paquete para establecer funciones gráficas adicionales LogPlot[f, {x, xmin, xmax}] genera un gráfico logarítmico lineal LogLogPlot[ f, {x, xmin, xmax}] genera un gráfico logarítmico logarítmico LogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico lineal de una lista de datos LogLogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico logarítmico de una lista de datos PolarPlot[ r, {t, tmin, tmax}] genera un gráfico polar del radio r como una función del ángulo t ErrorListPlot[{ {x1, y1, dy1}, ...}] genera un gráfico de datos con barras de error TextListPlot[{ {x1, y1, "s1"}, ...}] grafica una lista de datos con cada punto representado por la cadena de texto si BarChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama de barras PieChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama de pastel PlotVectorField[ {fx, fy}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] grafica el campo vectorial correspondiente a la función vectorial f ListPlotVector Field[list] grafica el campo vectorial correspondiente al array bidimensional de vectores en list SphericalPlot3D[ r, {theta, min, max}, {phi, min, max}] genera un gráfico esférico tridimensional Algunas funciones especiales para graficar definidas en los paquetes estándar de Mathematica. Esto carga un paquete estándar de Mathematica para establecer funciones gráficas adicionales. <<Graphics` Esto traza un gráfico logarítmico lineal. LogPlot[ Exp[-x] + 4 Exp[-2x], {x, 0, 6} ]
166 He aquí una lista de los 10 primeros primos. p = Table[Prime[n], {n, 10}] Esto traza un gráfico de los primos usando los enteros 1, 2, 3, ... símbolos parta graficar. TextListPlot[p] He aquí un gráfico de barras de los primos. BarChart[p]
167 Esto traza un gráfico de pastel. PieChart[p] 10.11. Gráficos animados En muchos sistemas informáticos, Mathematica puede producir imágenes no sólo estáticas, sino también gráficos animados o “películas”. La idea básica en todos los casos es generar una secuencia de “cuadros” que pueden ser mostrados en forma rápida uno tras otro. Puede usar las funciones gráficas estándar de Mathematica descritas en la sección 10.10 para producir cada marco. El mecanismo para mostrar los cuadros como película depende del interfase de Mathematica que usted usa. Con una interfase de cuaderno, usted pone los cuadros en una secuencia de celdas, luego selecciona las celdas y escoge un comando para animarlos. Con una interfase basada en texto, hay a menudo un programa externo provisto para mostrar gráficos animados. Típicamente puede accederse al programa dentro de Mathematica usando la función Animate. <<Graphics`Animation` carga el paquete de animación (si fuera necesario) Animate[plot, {t, tmin, tmax}] ejecuta el comando de gráficos con plot para una secuencia de valores de t, y anima la secuencia resultante de cuadros ShowAnimation[ {g1, g2, ...}] produce una animación de una secuencia de objetos de gráficos Formas típicas para producir gráficos animados. Cuando usted produce una secuencia de cuadros para una película, es importante que los diferentes cuadros sean consistentes. Así, por ejemplo, usted debe dar un ajuste explícito para la opción PlotRange, antes que usar el ajuste por defecto
168 Automatic, para asegurarse que las escalas usadas en marcos diferentes sean las mismas. Si usted tiene gráficos tridimensionales con puntos de vista diferentes, de modo similar debe ajustar SphericalRegion -> True para asegurarse que la escala de gráficos diferentes es la misma. Esto genera una lista de objetos gráficos. Ajustando DisplayFunction -> Identity se detiene la salida que Plot3D produce. Explícitamente el ajuste de PlotRange asegura que la escala es la misma en cada uno de los gráficos. Table[ Plot3D[ BesselJ[0, Sqrt[x^2 + y^2] + t], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, Axes -> False, PlotRange -> {-0.5, 1.0}, DisplayFunction -> Identity ], {t, 0, 8} ] // Short Sobre un sistema informático apropiado, ShowAnimation[%] animaría los gráficos. Esto divide la gráfica en tres filas, y muestra el array resultante de imágenes. Show[ GraphicsArray[ Partition[%, 3] ] ] 10.12. Sonido En la mayor parte de sistemas informáticos, Mathematica puede producir no sólo gráficos, sino también sonido. Mathematica trata los gráficos y el sonido de una forma bastante análoga. Por ejemplo, tal como usted puede usar Plot[f, {x, xmin, xmax}] para trazar el gráfico de una función, tan también puede usar Play[f, {t, 0, tmax}] para “producir el sonido” de una función. Play toma la función para definir la forma
169 de la onda para un sonido: los valores de la función dan la amplitud del sonido como una función del tiempo. Play[f, {t, 0, tmax}] produce un sonido con la amplitud f como una función del tiempo t en segundos Función para producir sonido. En un sistema informático conveniente, esto produce un tono puro con una frecuencia de 440 hertz durante un segundo. Play[Sin[2Pi 440 t], {t, 0, 1}] Los sonidos producidos por Play pueden tener cualquier forma de onda. Ellos, por ejemplo, no tienen que consistir en una colección de piezas armónicas. En general, la función amplitud que usted da a Play especifica la señal instantánea asociada con el sonido. Esta señal es convertida en un voltaje, y en última instancia en un desplazamiento. Note que la amplitud a veces es definida para ser la señal pico asociada con un sonido; en Mathematica, esto es siempre la señal instantánea como una función del tiempo. Esto produce un sonido más complejo. Play[ Sin[700 t + 25 t Sin[350 t]], {t, 0, 4} ]
170 Play se establece de modo que la variable de tiempo que aparece en él siempre sea medida en segundos absolutos. Cuando un sonido es producido, su amplitud es muestreada un cierto número de veces cada segundo. Usted puede especificar la tasa de muestreo ajustando la opción SampleRate. Play[f, {t, 0, tmax}, SampleRate -> r] produce un sonido, muestreándolo r veces por segundo Especificación de la tasa de muestreo para un sonido. Una tasa de muestreo r permite frecuencias de hasta r/2 hertz. El sistema humano auditivo puede percibir sonidos en una frecuencia que se extiende de 20 a 22000 hertz (dependiendo de la edad y el sexo). Las frecuencias fundamentales para las 88 notas de un piano se extienden de 27.5 a 4096 hertz. La tasa estándar de muestreo usada para reproducir discos compactos es 44100. La tasa eficaz de muestreo en un típico sistema telefónico es alrededor de 8000. En la mayor parte de sistemas informáticos, la tasa de muestreo por defecto usada por Mathematica es alrededor de 8000. Usted puede usar Play[{f1, f2}, ...] para producir sonido estéreo. En general, Mathematica soporta cualquier número de canales de sonido. ListPlay[{a1, a2, ...}, SampleRate -> r] produce un sonido con una secuencia de niveles de amplitud Funciones para manipular gráficos. La función ListPlay le permite simplemente dar una lista de valores que son tomados como amplitudes de sonido muestreadas en una cierta tasa. Cuando los sonidos son dados por Mathematica, sólo cierto rango de amplitudes es permitida. La opción PlayRange en Play y ListPlay especifica como deberían ser escaladas las amplitudes que usted da para ajustarlas al rango permitido. Los ajustes para esta opción son análogos a los de la opción de gráficos PlotRange mencionada en la sección 10.2. PlayRange -> Automatic (default) usa un procedimiento interno para escalar amplitudes PlayRange -> All escala de modo que todas las amplitudes quepan en el rango permitido PlayRange -> {amin, amax} ajusta amplitudes entre amin y amax en el rango permitido Especificación del escalamiento de amplitudes de sonido.
171 Mientras a menudo es conveniente usar el ajuste por defecto PlayRange -> Automatic, debe comprender que Play puede correr considerablemente más rápido si usted especifica un PlayRange. Show[sound] usa algoritmos internos Reproduciendo un objeto de sonido. Tanto Play como ListPlay devuelven objetos Sound que contienen procedimientos para sintetizar sonidos. Puede volver a producir un objeto Sound en particular usando Show que también se usa para volver a mostrar los gráficos. 11. Entradas y salidas en cuadernos 11.1. Ingreso de letras griegas use un botón en una paleta use un nombre completo use un alias estándar (abajo se ve como ) use un alias TeX use un alias SGML Formas de ingresar letras griegas en un cuaderno. He aquí una paleta para ingresar letras griegas comunes. Usted puede usar letras griegas igual que las letras ordinarias que digita en su teclado.
172 Hay varias formas de ingresar letras griegas. Esta entrada usa nombres completos. Expand[([Alpha] + [Beta])^3] nombre completo alias nombre completo alias [Alpha] [CapitalGamma] [Beta] [CapitalDelta] [Gamma] [CapitalTheta] [Delta] [CapitalLambda] [Epsilon] [CapitalPi] [Zeta] [CapitalSigma] [Eta] [CapitalUpsilon ] [Theta] [CapitalPhi] [Kappa] [CapitalChi] [Lambda] [CapitalPsi] [Mu] [CapitalOmega] [Nu] [Xi] [Pi] [Rho] [Sigma] [Tau] [Phi] [CurlyPhi ] [Chi] [Psi] [Omega] Letras griegas comúnmente usadas. Los alias se obtienen con la tecla . Los alias TeX no son listados explícitamente. Note que en Mathematica la letra π se genera con Pi. Ninguna de las otras letras griegas tiene un significado especial. π se genera con Pi.
173 Usted puede usar letras griegas solas o con otras letras. El símbolo πα no es relacionado con el símbolo π. 11.2. Ingreso de entradas bidimensionales Cuando Mathematica lee el texto x^y, lo interpreta como x elevado a la potencia y. x^y En un cuaderno, usted puede dar la entrada bidimensional xy directamente. Una manera de ingresar una forma bidimensional como xy en un cuaderno de Mathematica es copiar esta forma de una paleta pulsando el botón apropiado en la paleta. He aquí una paleta para ingresar algunas notaciones bidimensionales comunes. Hay también varias maneras de ingresar formas bidimensionales directamente desde el teclado.
174 use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar un superíndice directamente desde el teclado. se usa para representar Control-Espacio. Para efectuar la combinación presione la tecla Control y manteniéndola presionada, presione la tecla ^. En cuanto hace esto, su cursor saltará de la posición de exponente. Entonces puede escribir lo que quiera y aparecerá en aquella posición. Cuando ha terminado, presiona para regresar el cursor de la posición de exponente a la posición de escritura; lo efectúa manteniendo presionada la tecla Control, para luego presionar la barra espaciadora. Ésta secuencia de presionamientos de teclas ingresa xy . Aquí la expresión completa y+z está en el exponente. Presionando (Control-Espacio) baja de la posición de exponente. Usted puede confundir el hecho que le da un exponente y pensar que es solamente una forma más inmediata de ^. Cuando digita usted x^y, Mathematica dejará esta forma unidimensional sin cambios hasta que la procese explícitamente. Pero si usted digita x y entonces Mathematica inmediatamente le dará un exponente. En un teclado estándar de lengua inglesa, el carácter ^ aparece en la parte superior de la tecla 6. Mathematica por lo tanto acepta como una alternativa a . Tenga presente que si usted usa un teclado diferente, Mathematica casi siempre aceptará , pero puede que no acepte .
175 Ésta es una forma alternativa de entrada que evita el uso de la tecla Control. Con esta forma de la entrada, Mathematica entiende automáticamente que +z no debe ir en el exponente. La utilización de la tecla Control reduce al mínimo el número de presionamientos de teclas que tiene que hacer para incorporar un exponente. Pero en particular si quiere guardar su entrada en un archivo, o enviarlo a otro programa, a menudo es más conveniente usar una forma que no involucre la tecla Control. Usted puede hacer esto utilizando secuencias de . Si usted copia una secuencia de en Mathematica, ésta automáticamente aparecerá en forma bidimensional. Pero si ingresa la secuencia directamente del teclado, tiene que escoger explícitamente el ítem Make 2D del menú Edit para conseguir la forma bidimensional. Cuando ingresa desde el teclado secuencias de , éstas son mostradas en forma literal. Escogiendo el ítem Make 2D en el menú Edit convierte estas secuencias en formas bidimensionales. use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar un subíndice directamente desde el teclado.
176 Los subíndices en Mathematica trabajan de manera muy similar a los superíndices. Sin embargo, mientras que Mathematica interpreta automáticamente xy como x elevada a la potencia y, no tiene ninguna interpretación similar para xy. Y, sólo trata a xy como un objeto puramente simbólico. Esto ingresa y como un subíndice. He aquí otra forma de ingresar y como un subíndice. use la tecla Control seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar una fracción directamente desde el teclado. Esto ingresa la fracción x y . Aquí la expresión completa y+z va al denominador. Pero presionando Control-Espacio se sale denominador, así que +z no aparece en el denominador. Mathematica automáticamente interpreta una fracción como una división.
177 He aquí otra forma de ingresar una fracción. use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar una raíz cuadrada directamente desde el teclado. Esto ingresa una raíz cuadrada. Control-Espacio le saca de la raíz cuadrada. He aquí una forma sin usar la tecla Control. Y he aquí una usual entrada unidimensional en Mathematica que da la misma expresión como salida. Sqrt[x] + y va a la posición de superíndice va a la posición de subíndice va al subradical de una raíz cuadrada va de subíndice a exponente o viceversa, o a la posición de índice radical va al denominador de una fracción retorna de una posición especial (Control-Espacio)
178 Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería trabajar en cualquier teclado. Esto pone tanto subíndice como superíndice en x. He aquí otra forma de ingresar la misma expresión. agrupación de toda entrada bidimensional superíndice con subíndice con subíndice y superíndice con raíz cuadrada con fracción con Formas especiales de entrada que generan entradas bidimensionales con el ítem Make 2D. Usted debe inicializar los exteriores con . Usted puede usar y para indicar la agrupación de elementos en una expresión sin introducir paréntesis explícitos. Además de subíndices y superíndices, Mathematica también soporta la noción de y sobreescrituras–elementos de que van directamente debajo o encima. Entre otras cosas, usted puede usar subescrituras y sobreescrituras para ingresar los límites de sumas y productos. crea un subescrito seguido por Make 2D crea un subescrito crea un sobreescrito
179 seguido por Make 2D crea un sobreescrito Creación de subescrituras y sobreescrituras. 11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales Cuando usted ve una expresión bidimensional en la pantalla, puede editarla como lo hace con el texto. Por ejemplo puede colocar su cursor en algún sitio y empezar a digitar. O puede seleccionar una parte de la expresión, luego quitarla usando la tecla Surpimir, o insertar una nueva versión digitándola. selecciona la subexpresión siguiente mueve a la derecha de la estructura actual mueve al siguiente caracter mueve al anterior caracter Formas de moverse alrededor de expresiones bidimensionales. Esto muestra una secuencia de subexpreiones seleccionadas al presionar repetidamente .
180 Shift-Enter evalúa la celda actual completa Shift-Control-Enter evalúa sólo la subexpresión seleccionada Formas de evaluar expresiones bidimensionales. En la mayor parte de cálculos, usted querrá ir de un paso al siguiente tomando la expresión completa que ha generado, y luego evaluándola. Pero si por ejemplo trata de manipular solamente una fórmula para expresarla en una forma particular, puede en cambio hallar más conveniente el hecho de realizar una secuencia de operaciones independientes sobre las diferentes partes de la expresión. Usted hace esto seleccionando cada parte que quiere operar, para luego usar la combinación Shift-Control-Enter. He aquí una expresión con una parte seleccionada.
181 Presionando Shift-Control-Enter evalúa la parte seleccionada. 11.4. Ingreso de fórmulas caracter forma corta forma larga símbolo [Pi] Pi [Infinity] Infinity [Degree] Degree Formas especiales de algunos símbolos comunes. se obtienen con la tecla . Esto equivale a Sin[60 Degree]. He aquí la forma larga de la entrada anterior. Sin[60 [Degree]] Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general. Aquí el ángulo está en radianes.
182 caracteres especiales forma corta forma larga caracteres ordinarios x[LessEqual]y x[GreaterEqual]y x[NotEqual]y x[Element]y x[Rule]y Formas especiales para algunos operadores. Aquí la regla de transformación es ingresada usando dos caracteres ordinarios, como ->. x/(x+1) /. x -> 3 + y Esto significa exactamente lo mismo. x/(x+1) /. x [Rule] 3 + y También esto. O esto. La forma especial de la flecha es también usada por defecto para salidas. Solve[x^2 == 1, x]
183 caracteres especiales forma corta forma larga caracteres ordinarios x[Divide]y x[Times]y x[Cross]y Cross[x, y] x[Equal]y x[LongEqual]y x[And]y x[Or]y [Not]x x[Implies]y Implies[x, y] x[Union]y Union[x, y] x[Intersection]y Intersection[ x, y] x[Invisible Comma]y x, y x[Invisible Application]y Algunos operadores con formas especiales usados para entradas pero no para salidas. Mathematica entiende , pero no lo usa por defecto para salidas. Las formas de entrada discutidas hasta ahora en esta sección usan caracteres especiales, pero de en otros casos sólo consisten en líneas ordinarias unidimensionales de texto. Los cuadernos de Mathematica, sin embargo, también hacen posible el uso de formas bidimensionales de entrada. bidimensional unidimensional potencia división Sqrt[x] raíz cuadrada raíz n-ésima Sum[f, {i, imin, imax}] suma
184 Product[f, {i, imin, imax}] producto Integrate[f, x] integral indefinida Integrate[f, {x, xmin, xmax}] integral definida D[f, x] derivada parcial D[f, x, y] derivada parcial multivariable Conjugate[z] conjugado complejo Transpose[m] transpuesta Conjugate Transpose[m] conjugada transpuesta Part[expr, i, j, ...] extracción de partes Algunas formas bidimensionales que pueden usarse en cuadernos de Mathematica. Usted puede ingresar formas bidimensionales usando cualquiera de los mecanismos mencionados en la sección 11.2. Note que límites superiores e inferiores para sumas y productos deben ser ingresados como sobreescrituras y subescrituras–no sólo como superíndices y subíndices. Esto ingresa una integral indefinida. Note el uso de para ingresar la “diferencial d”. He aquí una integral indefinida que puede ser evaluada explícitamente. He aquí la entrada usual de Mathematica para esta integral. Integrate[Exp[-x^2], x] Esto ingresa exactamente la misma integral.
185 !( [Integral] Exp[-x^2] [DifferentialD]x ) forma corta forma larga [Sum] signo de sumatoria [Product] signo de productoria [Integral] signo de integral [DifferentialD] especial para uso en integrales [PartialD] operador de derivada parcial [Conjugate] símbolo para conjugado [Transpose] símbolo para transpuesta [Conjugate Transpose] símbolo para conjugada transpuesta [LeftDouble Bracket], [RightDouble Bracket] pares de corchetes Algunos caracteres especiales usados para ingresar fórmulas. Usted debe comprender que aun cuando un signo de sumatoria pueda parecer casi idéntico a una sigma mayúscula son tratados de un modo muy diferente por Mathematica. El punto es que sigma es sólo una letra; pero un signo de sumatoria es un operador que dice a Mathematica que realice una operación Sum. La sigma mayúscula es sólo una letra. a + [CapitalSigma]^2 Un signo de sumatoria, por otra parte, es un operador. He aquí otra forma de ingresar la misma entrada. !( [Sum] + ( n = 0 ) % m 1 / f[n] )
186 Así como Mathematica distingue entre un signo de sumatoria y una sigma mayúscula, también distingue entre una d ordinaria y la “ diferencial” especial que es usada en la notación estándar para integrales. Es crucial que use esta diferencial–ingresada como –cuando digita una integral. Si trata de usar una d ordinaria, Mathematica la interpretará como un símbolo llamado d–no entenderá que usted esta ingresando la segunda parte de un operador de integración. Esto calcula la derivada de n x . He aquí la misma derivada especificada en una forma unidimensional ordinaria. D[x^n, x] Esto calcula la tercera derivada. He aquí la forma unidimensional equivalente. D[x^n, x, x, x] 11.5. Ingreso de tablas y matrices El front end de Mathematica proporciona un ítem Create Table/Matrix/Palette que le permite crear un array en blanco con cualquier número especificado de filas y columnas. Una vez que tiene este array, puede editarlo llenándolo con cualesquiera elementos que usted desee.
187 Mathematica trata un array como éste como una matriz representada por una lista de listas. Poniendo paréntesis alrededor del array hacemos que se parezca más a una matriz, pero esto no afecta su interpretación. Usando MatrixForm le dice a Mathematica que muestre el resultado de Transpose como una matriz. agrega una columna agrega una fila va al siguiente elemento ó lo saca de la tabla o matriz Ingresando tablas y matrices. Note que puede usar y para empezar a aumentar un array, en particular para arrays pequeños hacer esto es a menudo más conveniente que usar el ítem Create Table/Matrix/Palette. El ítem Create Table/Matrix/Palette le permite hacer ajustes básicos, como el dibujo de líneas entre filas o columnas. 11.6. Subíndices, barras y otros adornos He aquí una típica paleta de adornos.
188 Mathematica le permite usar cualquier expresión como subíndice. A menos que usted lo exprese de otro modo, Mathematica interpretará un superíndice como una potencia. va a la posición de subíndice va a la posición de subescritura va a la posición de superíndice va a la posición de sobreescritura retorna de una posición especial (Control-Espacio) Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería trabajar en cualquier teclado. Esto ingresa un subíndice usando la tecla Control. Tal como y van a las posiciones de superíndice y subíndice, también y pueden usarse para ir directamente a las posiciones de superescritura y subescritura. Con la disposición de un teclado estándar de lengua inglesa está directamente a la derecha de mientras que está directamente a la derecha de .
189 combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión OverBar[x] OverVector[x] OverTilde[x] OverHat[x] OverDot[x] UnderBar[x] Algunas formas de ingresar ciertos adornos comunes usando la tecla Control. He aquí . Usted puede usar como variable. combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión Subscript[x, y] Underscript [x, y] Superscript[x, y] (interpretado como Power[x, y]) Overscript [x, y] OverBar[x, y] OverVector[x, y] OverTilde[x, y] OverHat[x, y] OverDot[x, y] UnderBar[x, y] Formas de ingresar adornos sin la tecla Control. Todas estas formas sólo pueden usarse dentro de .
190 11.7. Caracteres no ingleses Si usted ingresa texto en lenguas que no sean el inglés, tendrá que usar varios caracteres acentuados adicionales y otros. Si su sistema informático esta establecido de forma apropiada, entonces usted podrá ingresar tales caracteres directamente usando teclas estándares de su teclado. Pero sino lo está es, Mathematica siempre proporciona un forma uniforme de manejar tales caracteres. nombre completo alias nombre completo alias [AGrave] [OSlash] [ARing] [ODoubleDot] [AdoubleDot] [UGrave] [CCedilla] [UDoubleDot] [CHacek] [SZ] [EAcute] [CapitalARing] [EGrave] [CapitalADoubleDot] [IAcute] [CapitalODoubleDot] [NTilde] [CapitalUDoubleDot] [OGrave] Algunos caracteres europeos comunes. He aquí una función cuyo nombre involucra un caracter acentuado. Lam[EAcute][x, y] Esta es otra forma de ingresar la misma entrada. Usted debe comprender que no hay ningún estándar uniforme para teclados de computador en el mundo entero, y por consiguiente es inevitable que algunos detalles que han sido mencionados en este capítulo no puedan aplicarse a su teclado. En particular, la identificación por ejemplo de con es válida sólo para teclados en los cuales ^ aparece como Shift-6. En otros teclados, Mathematica usa para ir a una posición de superíndice, pero no necesariamente .
191 Independientemente de como esté establecido su teclado usted siempre puede usar paletas o ítems de menú para establecer superíndices y otros tipos de notación. Y asumiendo que tiene algún modo de ingresar caracteres como , usted siempre puede ingresar entradas que usan nombres completos como [Infinity] y formas textuales como (x/y). 11.8. Otras notaciones matemáticas Mathematica soporta una amplia gama de notación matemática, aunque a menudo no le asigne un significado predefinido. Así, por ejemplo, usted puede ingresar una expresión como , pero Mathematica inicialmente no hará ninguna asunción sobre lo que usted quiere decir con . Mathematica sabe que es un operador, pero no le asigna inicialmente ningún significado específico. Esto da a Mathematica una definición de lo que hace el operador . Ahora Mathematica puede evaluar operaciones con . Aquí tenemos una evaluación simbólica He aquí evaluaciones numéricas. nombre completo alias nombre completo alias [CirclePlus] [LongRightArrow] [CircleTimes] [LeftRightArrow] [PlusMinus] [UpArrow] [Wedge] [Equilibrium] [Vee] [RightTee] [TildeEqual] [Superset] [TildeTilde] [SquareIntersection]
192 [Tilde] [Element] [Proportional] [NotElement] [Congruent] [SmallCircle] [GreaterTilde] [Therefore] [GreaterGreater] [VerticalSeparator] [Succeeds] [VerticalBar] [RightTriangle] [Backslash] Algunos de los operadores cuya entrada es soportada por Mathematica.. Mathematica asigna significado predefinido para y , pero no para ó . Hay algunas formas que se parecen a caracteres sobre un teclado estándar, pero que son interpretadas de un modo diferente por Mathematica. Así, por ejemplo, [Backslash] ó se muestran como pero no es interpretado de la misma manera que digitado directamente en el teclado. Los caracteres y usados aquí son diferentes a y que usted digita en el teclado. La mayor parte de operadores trabajan como y van en medio de sus operandos. Pero algunos operadores pueden ir en otros sitios. Así, por ejemplo, y ó [LeftAngleBracket] y [RightAngleBracket] son efectivamente operadores que envuelven a su operando. Los elementos del operador ángulo van alrededor de su operando. [LeftAngleBracket] 1 + x [RightAngleBracket] nombre completo alias nombre completo alias [ ScriptL] [ Angstrom] [ ScriptCapitalE] [ HBar]
193 [ GothicCapitalR] [ Sterling] [ DoubleStruckCapitalZ] [ Angle] [ Aleph] [ Bullet] [ EmptySet] [ Dagger] [ Micro] [ Natural] Algunas letras adicionales y formas parecidas a letras. Usted puede usar cualesquiera letras y formas parecidas a letras como nombres de símbolos. se asume como un símbolo, y tan solo es multiplicado por a y b. También es posible generar todas las letras del alfabeto, incluyendo mayúsculas y minúsculas, en los tres primeros tipos que aparecen en la última tabla, esto es Script, Gothic y DoubleStruck. 11.9. Formas de entrada y salida Los cuadernos en Mathematica le permiten dar entradas y obtener salidas en una variedad de formas diferentes. El front end proporciona comandos de menú para convertir celdas de una a otra forma. InputForm una forma que puede ser digitada directa- mente usando caracteres en un teclado estándar OutputForm una forma para salida que sólo usa caracteres en un teclado estándar StandardForm una forma para entrada y salida que hace uso de caracteres especiales y posicionamiento TraditionalForm una forma principalmente para salida que
194 imita todos los aspectos de notación tradicional matemática Formas de entrada y salida. La entrada de aquí trabaja en las ambas formas InputForm y StandardForm. x^2 + y^2/z He aquí una versión del ingreso apropiado para StandardForm. InputForm es la forma más general de entradas para Mathematica: esto trabaja si usted usa una interfase de cuaderno o una interfase a basada en texto. Con una interfase de cuaderno, la salida es producida por defecto en StandardForm. Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y]) Con una interfase basada en texto, en cambio es usada OutputForm. Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y]) // OutputForm Con una interfase de cuaderno, la forma por defecto tanto para la entrada como para la salida es StandardForm. La idea básica de StandardForm es proporcionar una representación exacta y elegante de expresiones en Mathematica, haciendo uso de caracteres especiales, posicionamientos bidimensionales, etcétera. Entrada y salida son dadas aquí en StandardForm.
195 Una característica importante de StandardForm es que cualquier salida usted obtiene en esta forma también puede usarla directamente como entrada. La naturaleza exacta de StandardForm le impide seguir todas las convenciones algo casuales de la notación matemática tradicional. Mathematica sin embargo también soporta TraditionalForm, que usa una amplia colección de reglas de interpretación bastante completa de notación matemática tradicional. TraditionalForm nombres en minúsculas para funciones, y pone sus argumentos entre paréntesis y no entre corchetes. He aquí algunas transformaciones hechas por TraditionalForm. {Abs[x], ArcTan[x], BesselJ[0, x], Binomial[i, j]} // TraditionalForm TraditionalForm es a menudo útil para generar salidas que pueden ser insertadas directamente en documentos que usen notación matemática tradicional.
196 Pero usted debe entender que TraditionalForm se requiere principalmente para salidas: no tiene la clase de precisión que es necesaria para proporcionar una entrada confiable a Mathematica. Así, por ejemplo, en TraditionalForm, es la representación tanto para Ci[x] como para CosIntegral[x], así que si esta forma aparece sólo como entrada, Mathematica no tendrá ni idea de cuál de las dos interpretaciones es correcta. En StandardForm estas tres expresiones son mostradas de un modo único e inequívoco. { Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } // StandardForm En TraditionalForm, sin embargo, las primeras dos son imposibles de distinguirse, y la tercera se diferencia sólo por la presencia de un espacio adicional. { Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } // TraditionalForm Las ambigüedades de TraditionalForm lo hacen en general inadecuado para especificar entradas al núcleo de Mathematica. Pero al menos para casos suficientemente simples, Mathematica realmente incluye varias reglas heurísticas para tratar de interpretar expresiones TraditionalForm como entradas de Mathematica. Se asume que las celdas previstas para dar entradas al núcleo por defecto contendrán expresiones StandardForm.
197 Aquí al front end le fue dicho que la entrada sería dada específicamente en TraditionalForm. El corchete de la celda tiene una línea dentada para indicar las dificultades implicadas. La entrada es una copia o una edición simple de la salida anterior. La entrada ha sido convertida de StandardForm, quizás con ediciones simples. La entrada contiene información explícita oculta que da su interpretación. La entrada contiene sólo las notaciones más simples y familiares. Algunas situaciones en que puede esperar que la entrada TraditionalForm trabaje. Siempre que Mathematica genera una expresión en TraditionalForm, automáticamente inserta varias etiquetas ocultas de modo que más adelante la expresión pueda ser interpretada inequívocamente si se da como entrada. E incluso si usted corrige la expresión, las etiquetas a menudo serán dejadas suficientemente aceptables de modo que la interpretación inequívoca sea aún posible. Esto genera una salida en TraditionalForm. Exp[I Pi x] // TraditionalForm Aquí le fue dicho a Mathematica que esperara una entrada TraditionalForm. La entrada fue copiada de la línea de salida anterior, y así contiene las etiquetas ocultas que aseguran la interpretación correcta. Una edición simple a menudo no afecta las etiquetas ocultas. Si usted ingresa una expresión TraditionalForm desde el principio, o la importa desde fuera de Mathematica, entonces Mathematica hará todo lo posible para averiguar lo que la expresión significa. Cuando hay ambigüedades, lo que
198 típicamente hace es asumir que usted esta usando alguna notación común en aplicaciones de matemáticas elementales. En una entrada TraditionalForm, esto es interpretado como una derivada. Esto es interpretado como una integral. Esto es interpretado como un arco tangente. Esto es interpretado como el cuadrado de una tangente. No hay una interpretación particular estándar tradicional para esto, Mathematica asume que es 1/Tan[x]^2. Usted debe comprender que TraditionalForm no proporciona ningún tipo de forma exacta o completa de especificar expresiones en Mathematica. Sin embargo, para algunos objetivos elementales puede ser suficiente, en particular si usted usa algunos trucos adicionales. Use para funciones; para multiplicación. Use para la constante exponencial E. Use ó para la unidad imaginaria I. Use para operadores diferenciales en integrales y derivadas. Algunos trucos para entradas TraditionalForm.
199 Con un espacio es interpretada como multiplicación. Sin un espacio es interpretada como una función. La e ordinaria es interpretada como un símbolo e. La “e exponencial” que se ingresa como , es interpretada como la constante exponencial. 11.10. Mezcla de texto y fórmulas El modo más simple de mezclar texto y fórmulas en un cuaderno de Mathematica es poner cada clase de material en una celda separada. A veces, sin embargo, puede que usted quiera encajar una fórmula dentro de una celda de texto, o viceversa. comience ingresando una fórmula dentro del texto, o el texto dentro de una fórmula termine entrando una fórmula dentro del texto, o el texto dentro de una fórmula Entrada de una fórmula dentro de texto, o viceversa. He aquí un cuaderno con fórmulas encajados en una celda de texto. Los cuadernos de Mathematica a menudo contienen tanto fórmulas requeridas para la evaluación actual por Mathematica, como texto que es requerido sólo para su lectura en forma pasiva. Usted debe comprender, sin embargo, que hacer la tipografía detallada de fórmulas típicas tan buena como sea posible, Mathematica automáticamente hace cosas como insertar espacios alrededor de ciertos operadores. Pero estas clases de ajustes pueden ser potencialmente inadecuados si usted usa una notación muy diferente a la que Mathematica espera.
200 11.11. Creación de sus propias paletas El front end de un cuaderno de Mathematica viene con una colección de paletas estándar. Pero también le permite crear sus propias paletas. Genere una paleta en blanco usando Create Table/Matrix/Palette del menú Input. Llene el contenido. Active la paleta usando Generate Palette from Selection del menú File. Pasos básicos en la creación de una paleta. Create Table/Matrix/Palette creará una paleta en blanco. Usted entonces puede insertar lo que quiera en cada botón. El ítem Generate Palette from Selection hace una paleta activa separada. Haciendo clic sobre un botón de la paleta usted inserta el contenido de éste en su cuaderno. Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco Generate Palette from Selection hace una paleta separada activa
201 Generate Notebook from Palette convierte una paleta en un cuaderno editable Edit Button corrige la escritura asociada a una paleta o botón Ítems para generar paletas. Cuando usted crea una paleta, puede usar los mismos mecanismos para añadir columnas y filas que usa cuando crea cualquier otra clase de tabla, matriz o rejilla. Así añadirá una nueva columna de botones, y (Control-Enter) añadirá una nueva fila. contenidos de botón acción substituye la selección actual por texto que contiene substituye la selección actual por Contenidos de botones. En el caso más simple, cuando usted presiona un botón en una paleta lo que pasará es que el contenido del botón será insertado en su cuaderno, substituyendo lo que era su selección actual. A veces sin embargo puede que usted simplemente no quiera sustituir su selección actual, sino más bien puede que quiera modificar la selección de algún modo. Como ejemplo, puede ser que desee aplicar una función como Expand a su selección actual. Puede hacer esto estableciendo un botón con el contenido . El puede ingresarse como ó [SelectionPlace holder]. En general, sirve como un guarda lugar para su selección actual. Cuando usted presiona un botón que contiene , el es primero substituido por su selección actual, y sólo entonces el resultado es insertado en su cuaderno. He aquí una celda en la cual la selección actual es parte de una expresión. Presionando un botón que contiene , Expand envuelve la selección actual Mathematica le permite asociar cualquier acción que usted quiere con un botón. Puede establecer algunas acciones comunes usando el menú de Edit Button, seleccionando un solo botón o una paleta entera.
202 Paste pega el contenido del botón (acción por defecto) Evaluate pega y luego evalúa en el lugar que ha sido pegado EvaluateCell pega y luego evalúa toda la celda CopyEvaluate copia la selección actual en una nueva celda, luego pega y evalúa en el lugar CopyEvaluateCell copia la selección actual en una nueva celda, luego pega y evalúa la celda completa Acciones típicas para botones. Con la acción de botón por defecto Paste, al presionar el botón se modifica el contenido de una celda, pero no se hace ninguna evaluación. Escogiendo otras acciones de botón, sin embargo, usted puede decir a Mathematica que realice una evaluación siempre que presiona el botón. Con la acción de botón Evaluate el resultado de esta evaluación es sobrescrito sobre su selección actual. Esto es útil si usted quiere generar un botón que modifique las partes de una expresión en el lugar. La acción de botón Evaluate realiza la evaluación sólo sobre lo que fue pegado en su celda actual. La acción de botón EvaluateCell, por otra parte, realiza la evaluación sobre la celda completa, generando una nueva celda para mostrar el resultado. He aquí una expresión con una parte seleccionada. Esto muestra el resultado al presionar un botón que contiene con una acción de botón EvaluateCell.
203 A veces es útil extraer la selección actual de una célula, y luego operar esta selección en una nueva celda. Usted puede hacer esto utilizando las acciones de botón CopyEvaluate y CopyEvaluateCell. He aquí una expresión con una parte seleccionada. Un botón con una acción de botón CopyEvaluateCell copia la selección actual en una nueva celda, luego pega el contenido del botón, y luego realiza una evaluación, poniendo el resultado en una nueva celda. Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco Create Button genera un botón solo en una paleta Generate Palette from Selection crea una ventana aparte Cell Active activa botones dentro de una celda en un cuaderno Formas de crear elementos activos en el front end. Mathematica le permite establecer un amplio rango de elementos activos en el front end de cuaderno. En el caso más común, usted tiene una paleta que consiste en una serie de botones en una ventana aparte. Pero también puede tener arrays de botones, o hasta botones solos, dentro de una celda de un cuaderno común. Además, usted puede hacer que un botón ejecute cualquier acción que usted quiera–realizar cálculos en el kernel de Mathematica, o cambiar la configuración de cuadernos en el front end. 11.12. Creación de Hipervínculos Create Hyperlink crea un hipervínculo en el objeto seleccionado Ítem para generar hipervículos.
204 Un hipervínculo es una clase especial de botón que brinca a otra parte de un cuaderno cuando es presionado. Típicamente los hipervínculo se indican en Mathematica con texto azul o subrayado. Para establecer un hipervínculo, solamente seleccione el texto u otro objeto al que le quiere hacer un hipervínculo. Entonces escoja el ítem Create Hyperlink y complete la especificación de donde usted quiere que esté el destino del hipervínculo. 11.13. Numeración automática Escoja un estilo de celda tal como NumberedEquation. Use el menú Create Automatic Numbering Object, con un nombre de conteo tal como Section Dos formas de generar numeración automática en un cuaderno de Mathematica. La entrada para cada celda aquí es exactamente la misma, pero las celdas contienen un elemento que muestra un número que va aumentando progresivamente cuando avanzamos a través del cuaderno. Esta celda está en un estilo NumberedEquation.
205 12. Archivos y operaciones externas 12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica Usted puede usar archivos en su sistema informático para almacenar definiciones y resultados de Mathematica. El enfoque más general es almacenar todo como texto simple que es apropiado como entrada para Mathematica. Con este enfoque, una versión de Mathematica corriendo en un sistema informático produce archivos que pueden ser leídos por una versión que corre en cualquier sistema informático. Además, tales archivos pueden ser manipulados por otros programas estándar, tales como editores de textos. << name lee en un archivo de entrada de Mathematica expr >> name produce expr como un archivo texto simple expr >>> name añade expr un archivo !! name muestra el contenido de un archivo de texto simple Lectura y escritura de archivos. Esto expande 3 ( )x y+ y produce el resultado en un arhivo llamado tmp. Expand[ (x + y)^3 ] >> tmp He aquí los contenidos de tmp. Ellos pueden ser usados directamente como una entrada para Mathematica. !!tmp x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 Esto lee en tmp, evaluando la entrada de Mathematica que contiene. <<tmp Si usted esta familiarizado con los sistemas operativos, reconocerá la similitud de los operadores de redireccionamiento de Mathematica >>, >>> y << con los operadores de command-line >, >> y <. Los operadores de redireccionamiento >> y >>> son convenientes para almacenar resultados que usted obtiene de Mathematica. La función Save[“name”, f, g,...] le permite guardar definiciones para variables y funciones.
206 Save["dir", f, g,...] guarde definiciones de variables o funciones en un archivo Guardando definiciones en archivos de texto simples. He aquí una definición para una función f. f[x_] := x^2 + c Esto le da a c el valor de 17. c = 17 17 Esto guarda la definición de f en el archivo ftmp. Save["ftmp", f] Mathematica automáticamente guarda la definición actual de f, y la definición de c de la cual depende. !!ftmp f[x_] := x^2 + c c = 17 Esto borra las definiciones de f y c. Clear[f, c] Usted puede rehabilitar las definiciones que guardó simplemente leyendo en el archivo ftmp. Exp[I Pi x] // TraditionalForm 17 file.m archivo de expresión de Mathematica en formato de texto simple file.nb archivo de cuaderno de Mathematica file.mx definiciones de Mathematica en formato DumpSave Nombres típicos de archivos de Mathematica.
207 Si usted usa una interfase de cuaderno en Mathematica, entonces el front end de Mathematica le permite guardar cuadernos completos, incluyendo no sólo entradas y salidas de Mathematica, sino también texto, gráficos y otro material. Es convencional dar nombres a los archivos de cuaderno de Mathematica que terminen en .nb, y la mayor parte de versiones de Mathematica hacen cumplir esta convención. Cuando usted abre un cuaderno en el front end de Mathematica, Mathematica inmediatamente le mostrará el contenido del cuaderno, pero normalmente no enviará nada de este contenido al núcleo para su evaluación hasta que usted lo solicite explícitamente. Dentro de un cuaderno de Mathematica, sin embargo, usted puede usar el menú Cell en el front end para identificar ciertas celdas como celdas de inicialización, y si usted hace esto, entonces el contenido de estas celdas automáticamente será evaluado cada vez que abra el cuaderno. La I en el corchete de la celda indica que la segunda celda es una celda de inicialización que será evaluada cada vez cuaderno sea abierto. A veces es conveniente mantener el material de Mathematica tanto en un cuaderno que contiene el texto explicativo, como en un paquete que contiene sólo la materia prima de las definiciones de Mathematica. Usted puede hacer esto poniendo las definiciones de Mathematica en celdas de inicialización en el cuaderno. Cuando usted guarde el cuaderno, el front end le permitirá guardar un archivo asociado .m que sólo contiene la materia prima de las definiciones de Mathematica. 12.2. Localización y manipulación de archivos Aunque los detalles como son llamados y organizados los archivos se diferencian de un sistema informático a otro, Mathematica proporciona algunos mecanismos bastante generales para localizar y manejar archivos. Mathematica asume que los archivos en su sistema informático son organizados en una colección de directorios. En cualquier punto, usted tiene un directorio de
208 trabajo actual. Usted siempre puede referirse a archivos en este directorio con tan solo dar sus nombres. Directory[ ] da su directorio de trabajo actual SetDirectory["dir"] fija su directorio de trabajo actual FileNames[ ] lista los archivos en su directorio de trabajo actual FileNames["form"] lista los archivos cuyos nombres se ajustan a una cierta forma <<name lee en un archivo con el nombre especificado <<context` lee en un archivo correspondiente al contexto especificado CopyFile["file1", "file2"] copia file1 a file2 DeleteFile["file"] borra un archivo Funciones para localizar y manipular archivos. Este es un directorio de trabajo actual. La forma que tiene se diferencia de un sistema informático a otro. Directory[ ] C:Archivos de programaWolfram Research Mathematica5.1 Esto resetea el directorio de trabajo actual. SetDirectory["Ejemplos"] C:Archivos de programaWolfram Research Mathematica5.1Examples Esto da una lista de todos los archivos en su directorio de trabajo actual cuyos nombres se ajustan a la forma Test*.m. FileNames["Prueba*.m"] {Prueba1.m,Prueba2.m,PruebaFinal.m} Aunque usted por lo general quiera crear archivos sólo en su directorio de trabajo actual, a menudo tiene que leer en archivos de otros directorios. Por consiguiente, cuando pide a Mathematica leer en un archivo con un nombre particular, Mathematica automáticamente busca una lista de directorios (especificado por el valor de la variable de búsqueda de camino $Path) hasta que, en caso de que exista, encuentra un archivo con aquel nombre.
209 Una cuestión en archivos que se manejan en Mathematica es que la forma de los archivos y nombres de directorio varía entre sistemas informáticos. Esto quiere decir por ejemplo que los nombres de los archivos que contienen paquetes estándares de Mathematica pueden ser bastante diferentes en sistemas diferentes. Con una secuencia de convenciones, es sin embargo posible leer en un paquete estándar de Mathematica con el mismo comando en todos los sistemas. La forma en que esto trabaja es que cada paquete de programas define un llamado contexto de Mathematica, de la forma name`name`. En cada sistema, todos los archivos se nombran en correspondencia con los contextos que definen. Entonces cuando usted usa el comando <<name`name` Mathematica automáticamente traduce el nombre de contexto al nombre de archivo apropiado para su sistema informático particular. FindList["file", "text"] da una lista de todas las líneas en un archivo que contienen el texto especificado FindList[ FileNames[ ], "text"] busca en todos los archivos en su directorio corriente Nombres típicos de archivos de Mathematica. Esto busca todas las líneas en el archivo Prueba1 que contienen ChordLengths. FindList["Prueba1.m", "Rotation"] {(* :Keywords: Traslation, Scaling, Reflection, Rotation *), Rotation::usage = "Rotation[].", Rotation[p_, t_, q_:{0, 0}] :=, Rotation[ptos : {{_, _} ..}, t_, q_:{0, 0}] :=, Table[Rotation[ptos[[i]], t, q], {i, Length[ptos]}]} 12.3. Importación y exportación de datos Import["file", "Table"] importa una tabla de datos desde un archivo Export["file", list, "Table"] exporta list a un archivo como una tabla de datos Importación y exportación de datos tabulares. Esto exporta un array de números al archivo out.dat. Export["out.dat", {{5.7, 4.3}, {-1.2, 7.8}}] out.dat
210 He aquí el contenido del archivo out.dat. !!out.dat Esto importa el contenido de out.dat como una tabla de datos. Import["out.dat", "Table"] {5.7,4.3},{-1.2,7.8}} Import["file", "Table"] manejará muchas clases de datos tabulares, automáticamente deduciendo los detalles del formato siempre que es posible. Export["file", list, "Table"] escribe datos separados por espacios, con números dados en forma parecida a C o Fortran, como en 2.3E5 etcétera. Import["name.ext"] importa datos asumiendo un formato deducido del nombre del archivo Export["name.ext", expr] importa datos en un formato deducido del nombre del archivo Importación y exportación de datos generales. formatos de tabla "CSV", "TSV", "XLS" formatos de matriz "HarwellBoeing", "MAT", "MTX" formatos de datos especializados "DIF", "FITS", "HDF5", "MPS", "SDTS", etc. Algunos formatos comunes para datos tabulares. Import y Export pueden manejar datos no sólo tabulares, sino también datos correspondientes a gráficos, sonidos, expresiones y aún documentos completos Import y Export a menudo pueden deducir el formato apropiado para datos con simplemente ver la extensión del nombre del archivo para el archivo en el cual los datos están siendo almacenados. Note que usted también puede usar Import y Export para manipular archivos de datos binarios. Esto importa un gráfico en formato GIF. Import["girafa.gif"]
211 Esto muestra el gráfico. Show[%] $ImportFormats importa formatos soportados por su sistema $ExportFormats importa formatos soportados por su sistema Encuentra la lista completa de formatos de importación y exportación soportados. 12.4. Exportación de gráficos y sonidos Mathematica le permite exportar gráficos y sonidos en una amplia variedad de formatos. Si usted usa el front end de un cuaderno de Mathematica, entonces usted solamente puede copiar y pegar gráficos y sonidos directamente en otros programas usando el mecanismo estándar disponible en su sistema informático. Export["name.ext", graphics] exporta gráficos a un archivo en un formato deducido del nombre del archivo Export["file", graphics, "format"] exporta gráficos en el formato especificado Export["!command", graphics, "format"] exporta gráficos a un comando externo Exportación de gráficos y sonidos en Mathematica. formatos de gráficos "EPS", "TIFF", "GIF", "JPEG", "PNG", "PCX", "PDF", "SVG", etc. formatos de sonido "SND", "WAV", "AIFF", "AU", etc. Algunos formatos comunes para gráficos y sonidos.
212 Esto traza un gráfico. Plot[Sin[x] + Sin[Sqrt[2] x], {x, 0, 10}] Esto exporta el gráfico a un archivo en formato PostScript. Export["sinplot.eps", %] sinplot.eps 12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos He aquí una celda conteniendo una fórmula. Esto es lo que usted obtiene si copia la fórmula y la pega en un programa externo basado en texto. Pegando el texto nuevamente en un cuaderno inmediatamente reproduce la fórmula original.
213 Mathematica le permite exportar fórmulas tanto textual como visualmente. Usted puede usar la Export para decir a Mathematica que escriba una representación visual de una fórmula en un archivo. Export["file.eps", ToBoxes[expr]] guarda la forma visual de expr en un archivo en formato EPS Export["file", ToBoxes[expr], "format"] guarda la forma visual de expr el formato especificado Exportación de expresiones en forma visual. 12.6. Generación e Importación de TeX Los cuadernos de Mathematica proporcionan un ambiente sofisticado para crear documentos técnicos. Pero en particular si usted quiere combinar su trabajo con material existente en TeX, puede encontrar conveniente usar TeXForm para convertir expresiones de Mathematica en forma conveniente de entrada para TeX. TeXForm[expr] imprime expr en forma de entrada para TeX Salidas de Mathematica para TeX. He aquí una expresión, impresa en forma estándar de Mathematica. (x + y)^2 / Sqrt[x y] He aquí la expresión en forma de entrada para TeX. TeXForm[%] frac{(x+y)^2}{sqrt{x y}} ToExpression["input", TeXForm] convierte una entrada para TeX a Mathematica Conversión de cadenas TeX a Mathematica. Esto convierte una cadena TeX a Mathematica. Observe los dobles necesarios en la cadena. ToExpression["sqrt{x y}", TeXForm]
214 Además de la capacidad de convertir expresiones individuales a TeX, Mathematica también proporciona capacidades para traducir cuadernos completos. Estas capacidades por lo general pueden accederse desde el menú Save As Special en el front end de un cuaderno, donde pueden fijarse varias opciones. 12.7. Cambio de material con la Web HTMLSave["file.html"] guarda su cuaderno actual completo en forma HTML HTMLSave["file.html", "source.nb"] guarda una versión HTML del cuaderno source.nb Conversión de cuadernos a HTML. HTMLSave tiene muchas opciones que le permiten especificar como deberían ser convertidos los cuadernos para navegadores de Web con capacidades diferentes. Usted puede encontrar detalles escribiendo HTMLSave en el Help Browser de Mathematica. MathMLForm[expr] imprime expr en forma MathML MathMLForm[ StandardForm[expr]] use StandardForm antes que la notación matemática tradicional ToExpression["string", MathMLForm] interpreta una cadena de MathML como entrada de Mathematica Conversión a y desde MathML. He aquí una expresión impresa en forma MathML. MathMLForm[x^2/z] <math> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>z</mi> </mfrac> </math> Si usted pega MathML en un cuaderno de Mathematica, Mathematica automáticamente tratará de convertirlo en entrada de Mathematica. Usted puede
215 copiar una expresión de un cuaderno como MathML utilizando el menú Copy As en el front end de un cuaderno. Export["file.xml", expr] exporta en formato XML Import["file.xml"] importa desde XML ImportString[ "string", "XML"] importa datos de una cadena de XML Importación y exportación XML. Similar a las expresiones de Mathematica, XML es un formato general para representar datos. Mathematica automáticamente convierte ciertos tipos de expresiones a y desde tipos específicos de XML. MathML es un ejemplo. Otros ejemplos incluyen NotebookML para expresiones de cuaderno, y SVG para gráficos. Si usted pide a Mathematica que importe una parte genérica de XML, esto producirá una expresión SymbolicXML. Cada elemento XML de la forma <elem attr='val'>data</elem> es traducido a una expresión SymbolicXML de Mathematica de la forma XMLElement["elem",{"attr"->"val"},{datos}]. Una vez que usted ha importado un parte de XML como SymbolicXML, puede usar las potentes capacidades de programación simbólica de Mathematica para manipular la expresión que obtiene. Entonces puede usar la Export para exportar el resultado en la forma de XML. Esto genera una expresión SymbolicXML, con un XMLElement representando el elemento a en la cadena XML. ImportString["<a aa='va'>s</a>", "XML"] XMLObject[Document][{}, XMLElement[a,{aa→va},{s}],{}] Ahora hay dos niveles anidados en SymbolicXML. ImportString[ "<a><b bb='1'>ss</b><b bb='2'>ss</b></a>", "XML"] XMLObject[Document][{}, XMLElement[ a,{},{XMLElement[b,{bb→1},{ss}], XMLElement[b,{bb→2},{ss}]}],{}]
216 Esto hace una transformación simple en SymbolicXML. %/."ss" -> XMLElement["c",{},{"xx"}] XMLObject[Document][{}, XMLElement[a,{},{XMLElement[b,{bb→1}, {XMLElement[c,{},{xx}]}],XMLElement[b, {bb→2},{XMLElement[c,{},{xx}]}]}],{}] Esto muestra el resultado como una cadena XML. ExportString[%, "XML"] <a> <b bb='1'> <c>xx</c> </b> <b bb='2'> <c>xx</c> </b> </a> Import["http://url", ...] importación de datos de un website Import["ftp://url", ...] importación de datos de un servidor FTP Importación de datos de fuentes Web. 12.8. Generación de expresiones C y Fortran Si usted tiene programas con destino especial escritos en C o Fortran, puede ser que quiera tomar fórmulas que ha generado en Mathematica e insertarlas en el código original de sus programas. Mathematica le permite convertir expresiones matemáticas en expresiones C y Fortran. CForm[expr] escribe expr para que pueda ser usada en un programa en C FortranForm[expr] escribe expr para Fortran Salidas de Mathematica para lenguajes de programación. He aquí una expresión, escrita en forma estándar de Mathematica. Expand[(1 + x + y)^2]
217 He aquí la expresión en forma Fortran. FortranForm[%] He aquí la misma expresión en forma C. Las macros para objetos como Power son definidas en el archivo mdefs.h que viene con la mayoría de las versiones de Mathematica. CForm[%] Usted debe comprender que hay muchas diferencias entre Mathematica y C o Fortran. Por consiguiente, las expresiones que usted traduce puede que no trabajen exactamente del mismo modo que en Mathematica. Además, hay tantas diferencias en construcciones de programación que no se hace ninguna tentativa de traducir éstos automáticamente. Compile[x, expr] compila una expresión en eficiente código interno Una forma de compilar expresiones en Mathematica. Una de las motivaciones comunes para convertir expresiones de Mathematica en C o Fortran es tratar de hacerlas más rápidas de evaluar numéricamente. Pero la razón más importante por la cual C y Fortran son potencialmente más eficientes que Mathematica es que en estos lenguajes uno siempre especifica que tipo de cada variable usará–entera, real, array, etc. La función Compile de Mathematica hace tales asunciones dentro de Mathematica, y genera un código interno sumamente eficiente. Por lo general estas corridas de código no son más lentas que las acostumbradas en C o Fortran. 12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos Si usted quiere hacer uso de una salida de Mathematica en un archivo externo como un programa o documento, a menudo encontrará útil “empalmar” la salida automáticamente en el archivo. Splice["file.mx"] empalma la salida de Mathematica en un
218 archivo externo llamado file.mx, pone los resultados en el archivo file.x Splice["infile", "outfile"] empalma la salida de Mathematica en infile, enviando la salida a outfile Empalmes de salida de Mathematica en archivos. La idea básica es establecer las definiciones que usted necesita en una sesión particular de Mathematica, luego correr Splice para usar las definiciones que ha hecho para producir la salida apropiada a insertar en los archivos externos. #include "mdefs.h" double f(x) double x; { double y; y = <* Integrate[Sin[x]^5, x] *> ; return(2*y - 1) ; } Un programa simple en C conteniendo una fórmula de Mathematica #include "mdefs.h" double f(x) double x; { double y; y = -5*Cos(x)/8 + 5*Cos(3*x)/48 - Cos(5*x)/80 ; return(2*y - 1) ; } El programa anterior en C procesado con Splice
219 Bibliografía Wolfram Research. The Mathematica Book.

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  • 1. BBRREEVVEE MMAANNUUAALL DDEE MMAATTHHEEMMAATTIICCAA 55..11 Robert Ipanaqué Chero Ricardo Velesmoro León DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA, PERÚ
  • 2. 1 BBRREEVVEE MMAANNUUAALL DDEE MMAATTHHEEMMAATTIICCAA 55..11 Mathematica y MathReader son marcas registradas de Wolfram Research Robert Ipanaqué Chero robertchero@hotmail.com http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque Ricardo Velesmoro León velesmoro_ricardo@hotmail.com Departamento Académico de Matemática Universidad Nacional de Piura, Urb. Miraflores s/n, Castilla - Piura, Perú ISBN: Nº Registro: Setiembre 2005, editado por el grupo eumed●net Grupo de Investigación de la Universidad de Málaga, España http://www.eumed.net Para citar este libro puede utilizar el siguiente formato: Ipanaqué Chero y Velesmoro León (2005) Breve Manual de Mathematica 5.1. Edición a texto completo en www.eumed.net/libros/2005/
  • 3. 2 Índice Índice ...................................................................................................................... 3 1. Funcionamiento de Mathematica ........................................................................ 6 1.1. Interfase de cuaderno ................................................................................ 6 1.2. Interfase basada en texto ........................................................................... 8 2. Cálculos numéricos ............................................................................................. 9 2.1. Aritmética ................................................................................................. 9 2.2. Resultados exactos y aproximados ......................................................... 10 2.3. Algunas funciones matemáticas .............................................................. 12 2.4. Cálculos con precisión arbitraria ............................................................ 14 2.5. Números complejos ................................................................................ 15 2.6. Acostumbrándose a Mathematica ........................................................... 16 2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos ................................................... 17 3. Generación de cálculos ..................................................................................... 19 3.1. Uso de resultados previos ....................................................................... 20 3.2. Definición de variables ........................................................................... 20 3.3. Construcción de listas ............................................................................. 22 3.4. Manipulación de los elementos de una lista ........................................... 23 3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica ....................................... 25 3.6. Secuencias de operaciones ...................................................................... 25 4. Uso del sistema Mathematica ........................................................................... 26 4.1. La estructura de Mathematica ................................................................ 26 4.2. Cuadernos como documentos ................................................................. 29 4.3. Elementos activos en cuadernos ............................................................. 32 4.4. Hipervínculos y texto activo ................................................................... 35 4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno ..................................... 36 4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto ................................ 37 4.7. Paquetes en Mathematica ....................................................................... 39 4.8. Advertencias y mensajes ........................................................................ 40 4.9. Interrupción de cálculos .......................................................................... 41 5. Cálculos algebraicos ......................................................................................... 42 5.1. Cálculo simbólico ................................................................................... 42 5.2. Valores para símbolos ............................................................................ 44 5.3. Transformación de expresiones algebraicas ........................................... 48 5.4. Simplificación de expresiones algebraicas ............................................. 49 5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas ............................................ 51 5.6. Simplificación con asunciones ............................................................... 55 5.7. Seleccionar partes de expresiones algebraicas ........................................ 56 5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes .................................. 58
  • 4. 3 5.9. Las limitaciones de Mathematica ........................................................... 59 5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos ................................................ 61 6. Matemáticas simbólicas .................................................................................... 63 6.1. Operaciones básicas ................................................................................ 63 6.2. Diferenciación ........................................................................................ 64 6.3. Integración .............................................................................................. 65 6.4. Sumas y productos .................................................................................. 68 6.5. Ecuaciones .............................................................................................. 70 6.6. Operadores relacionales y lógicos .......................................................... 72 6.7. Solución de ecuaciones ........................................................................... 74 6.8. Desigualdades ......................................................................................... 80 6.9. Ecuaciones diferenciales ......................................................................... 82 6.10. Series de potencias ................................................................................ 83 6.11. Límites .................................................................................................. 85 6.12. Transformadas integrales ...................................................................... 86 6.13. Ecuaciones recurrentes ......................................................................... 87 6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas ................................................. 87 6.15. Casos genéricos y no genéricos ............................................................ 90 6.16. Notación matemática en cuadernos ...................................................... 91 7. Matemáticas numéricas .................................................................................... 93 7.1. Operaciones básicas ................................................................................ 93 7.2. Sumas, productos e integrales numéricas ............................................... 94 7.3. Solución numérica de ecuaciones ........................................................... 95 7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas ....................................................... 97 7.5. Optimización numérica ........................................................................... 98 7.6. Manipulación de datos numéricos ........................................................ 100 7.7. Estadística ............................................................................................. 102 8. Funciones y programas ................................................................................... 103 8.1. Definición de funciones ........................................................................ 103 8.2. Funciones como procedimientos .......................................................... 105 8.3. Operaciones repetitivas ......................................................................... 107 8.4. Reglas de transformación para funciones ............................................. 108 9. Listas ............................................................................................................... 109 9.1. Juntar objetos ........................................................................................ 109 9.2. Fabricación de tablas de valores ........................................................... 110 9.3. Vectores y matrices .............................................................................. 113 9.4. Elegir elementos de listas ..................................................................... 118 9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista ....................................... 120 9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista .............................. 122 9.7. Combinación de listas ........................................................................... 123 9.8. Listas de conjuntos ............................................................................... 124 9.9. Reordenamiento de listas ...................................................................... 125 9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas ............................. 126
  • 5. 4 9.11. Ordenamiento de listas ....................................................................... 127 9.12. Reorganización de listas anidadas ...................................................... 128 10. Gráficos y sonido .......................................................................................... 128 10.1. Gráficos básicos .................................................................................. 128 10.2. Opciones ............................................................................................. 131 10.3. Rehacer y combinar gráficos .............................................................. 138 10.4. Manipulación de opciones .................................................................. 143 10.5. Contornos y gráficos de densidad ....................................................... 145 10.6. Gráficos de superficies tridimensionales ............................................ 148 10.7. Conversión entre tipos de gráficos ...................................................... 156 10.8. Gráficos de listas de datos .................................................................. 157 10.9. Gráficos paramétricos ......................................................................... 160 10.10. Algunos gráficos especiales .............................................................. 165 10.11. Gráficos animados ............................................................................ 168 10.12. Sonido ............................................................................................... 169 11. Entradas y salidas en cuadernos .................................................................... 172 11.1. Ingreso de letras griegas ..................................................................... 172 11.2. Ingreso de entradas bidimensionales .................................................. 174 11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales ........................ 180 11.4. Ingreso de fórmulas ............................................................................. 181 11.5. Ingreso de tablas y matrices................................................................. 187 11.6. Subíndices, barras y otros adornos ..................................................... 188 11.7. Caracteres no ingleses ........................................................................ 190 11.8. Otras notaciones matemáticas.............................................................. 191 11.9. Formas de entrada y salida ................................................................. 193 11.10. Mezcla de texto y fórmulas ............................................................... 199 11.11. Creación de sus propias paletas ........................................................ 200 11.12. Creación de Hipervínculos ............................................................... 204 11.13. Numeración automática .................................................................... 204 12. Archivos y operaciones externas .................................................................. 205 12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica ................................ 205 12.2. Localización y manipulación de archivos ........................................... 208 12.3. Importación y exportación de datos .................................................... 210 12.4. Exportación de gráficos y sonidos ...................................................... 211 12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos ............................................... 212 12.6. Generación e Importación de TeX ...................................................... 213 12.7. Cambio de material con la Web .......................................................... 214 12.8. Generación de expresiones C y Fortran .............................................. 217 12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos ................. 218 Bibliografía ......................................................................................................... 220
  • 6. 5 Breve manual de Mathematica 5.1 Este libro da una introducción a Mathematica, concentrándose en usar Mathematica como sistema interactivo para resolver problemas. Cuando lo haya leído, debe tener suficiente conocimiento de Mathematica para abordar muchas clases de problemas prácticos. 1. Funcionamiento de Mathematica Para saber cómo se instala y funciona Mathematica debe leer la documentación que vino con su copia de Mathematica. Los detalles difieren a partir de un sistema informático a otro, y son afectados por las varias clases de arreglo para requisitos particulares que se pueden hacer en Mathematica. Sin embargo, esta sección delinea dos casos comunes. Observe que aunque los detalles de funcionamiento de Mathematica difieren a partir de un sistema informático a otro, la estructura de los cálculos de Mathematica es igual en todos los casos. El usuario digita la entrada (input), Mathematica la procesa, y devuelve un resultado. 1.1. Interfase de Cuaderno utilice un icono o el menú de Inicio mathematica formas gráficas de inicializar Mathematica comando para inicializar Mathematica finalizar texto con <Shift>+<Enter> elegir el ítem salida del menú entrada para Mathematica salir de Mathematica Funcionamiento de Mathematica con una interfase de cuaderno. En una interfase de “cuaderno”, usted interactúa con Mathematica creando documentos interactivos. Si usa su computadora vía una interfase puramente gráfica haremos como de costumbre doble en el icono de inicio de Mathematica. En cambio, si la usa vía un sistema operativo basado en texto digitaremos el comando mathematica para iniciar Mathematica.
  • 7. 6 Cuando Mathematica inicializa usualmente presenta un cuaderno en blanco. Usted digita la entrada (input), luego presiona (en simultáneo) <Shift>+<Enter> para que Mathematica procese su entrada. <Shift>+<Enter> indica a Mathematica que usted ha finalizado su entrada. Si su teclado posee teclado numérico puede usar la tecla <Enter> del mismo en lugar de <Shift>+<Enter>. Después de ejecutar una entrada en Mathematica desde un cuaderno, Mathematica etiquetará su entrada con In[n]:=. También etiqueta la correspondiente salida Out[n]=. Usted digita 11 + , luego finaliza su entrada con <Shift>+<Enter>. Mathematica procesa la entrada, luego agrega la etiqueta a la entrada In[1]:=, y devuelve la respectiva salida. A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la siguiente manera: Con una interfase de cuaderno, usted sólo digita 1+1. Mathematica añade la etiqueta In[1]:=, e imprime el resultado. 1 + 1 2 Recuerde que los cuadernos corresponden a la “parte visible” (“front end”) de Mathematica. El núcleo de Mathematica que realiza realmente los cálculos puede funcionar en la misma computadora que el front end, o en otra computadora conectada vía alguna clase de red o de línea. En la mayoría de los casos, el núcleo incluso no se inicializa hasta que el usuario hace realmente un cálculo con Mathematica. Para salir de Mathematica, usted elige el ítem salida del respectivo menú en la interfase de cuaderno.
  • 8. 7 1.2. Interfase Basada en Texto math comando del sistema operativo para inicializar Mathematica finalizar texto con <Enter> Control-D, Control-Z ó Quit[] entrada para Mathematica salir de Mathematica Funcionamiento de Mathematica con una interfase basada en Texto. Con una interfase basada en texto, usted interactúa con su computadora digitando texto en el teclado. Para inicializar Mathematica con una interfase basada en texto, se digita el comando math en el prompt del sistema operativo. En algunos sistemas, también es posible inicializar Mathematica con una interfase basada en texto haciendo doble clic en el icono del núcleo de Mathematica. Cuando Mathematica ha inicializado, imprimirá el prompt In[1]:=, esto significa que esta lista para que usted haga su entrada. Puede entonces digitar su entrada, terminándola con <Enter>. Mathematica procesa la entrada, y genera un resultado, el mismo que etiquetará con Out[1]=. A lo largo de este libro los “diálogos” con Mathematica se mostrarán de la siguiente manera: La computadora imprime In[1]:=. Usted sólo digita 1+1. La línea que empieza con Out[1]= es el resultado de Mathematica. 1 + 1 2 Observe que usted no digita explícitamente el prompt In[1]:=; sólo digita el texto que sigue después de este aviso. Observe también que la mayor parte de los diálogos dados en el libro muestran salidas en la forma que usted obtendría con una interfase de cuaderno de Mathematica; la salida con una interfase basada en texto luce similar, pero carece de características tales como caracteres especiales y cambio de tamaño de fuente.
  • 9. 8 Para salir de Mathematica, digite Control-D, Control-Z ó Quit[ ] en el prompt de la entrada. 2. Cálculos numéricos 2.1. Aritmética Usted puede hacer aritmética con Mathematica tal y como lo haría con una calculadora. Aquí tenemos la suma de dos números. 5.6 + 3.7 9.3 Con * indicamos el producto de dos números. 5.6 * 3.7 20.72 Con el espacio en blanco también se indica el producto de dos números. 5.6 3.7 20.72 Usted puede digitar operaciones aritméticas haciendo uso de los paréntesis. (2 + 3) ^ 3 – 4 (6 + 7) 73 Los espacios no son necesarios, aunque a menudo hacen su entrada más fácil de leer. (2+3)^3–4(6+7) 73 x^y –x x/y x y z o x*y*z x+y+z potencia menos división producto suma Operaciones aritméticas en Mathematica.
  • 10. 9 Las operaciones aritméticas en Mathematica se agrupan de acuerdo con las convenciones estándares de la matemática. Como es usual, 2+3/7, por ejemplo, significa 2+(3/7), y no (2+3)/7. Usted puede controlar siempre la forma de agrupar explícitamente usando paréntesis. Este resultado se da en notación científica. 3.7 ^ 36 2.85274×1020 Usted puede incorporar números en notación científica de esta forma. 4.6 10^45 4.6×1045 O de esta otra forma. 4.6*^45 4.6×1045 2.2. Resultados exactos y aproximados Una calculadora electrónica hace todos sus cálculos con una precisión determinada, digamos de diez dígitos decimales. Con Mathematica, en cambio, usted puede obtener resultados exactos. Mathematica da un resultado exacto para 300 2 , a pesar que éste tiene 91 dígitos decimales. 2^300 203703597633448608626844568840937816105146839366593 6250636140449354381299763336706183397376 Usted puede pedir a Mathematica que devuelva un resultado aproximado, tal como lo daría una calculadora, para ello debe finalizar su entrada con //N. Esto da un resultado numérico aproximado. 2^300//N 2.03704×1090
  • 11. 10 Mathematica puede dar resultados en términos de números racionales. 1/3 + 2/7 21 13 //N siempre da un resultado numérico aproximado. 1/3 + 2/7//N 0.619048 exp //N da un valor numérico aproximado para exp Obteniendo aproximaciones numéricas. Cuando usted digita un entero como 7, Mathematica asume que es exacto. Si usted digita un número como 4.5, con un punto decimal explícito, Mathematica asume que desea efectuar cálculo numéricos aproximados. Esto es tomado como un número racional exacto, y es llevado a una fracción irreducible. 26/78 3 1 Cuando usted digita un número con un punto decimal explícito, Mathematica produce un resultado numérico aproximado. 26.7/78 0.342308 Aquí otra vez, la presencia del punto decimal hace que Mathematica dé un resultado numérico aproximado. 26./78 0.333333 Cuando cualquier número en una expresión aritmética es digitado con un punto decimal explícito, usted obtiene un resultado numérico aproximado para toda la expresión. 5. + 9 / 78 - 5/8 4.49038
  • 12. 11 2.3. Algunas funciones matemáticas Mathematica incluye una gran colección de funciones matemáticas. A continuación mencionamos las más comunes. Sqrt[x] raíz cuadrada ( x ) Exp[x] exponencial ( x e ) Log[x] logaritmo natural ( xelog ) Log[b, x] logaritmo en base b ( xblog ) Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] funciones trigonométricas (con argumentos en radianes) ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], ArcSec[x], ArcCsc[x] funciones trigonométricas inversas n! factorial de n (producto de los enteros 1, 2, ..., n) Abs[x] valor absoluto Round[x] redondeo del entero x Mod[n, m] n módulo m (resto de la división de n entre m) Random[ ] número seudo aleatorio entre 0 y 1 Max[x, y, ...], Min[x, y, ...] máximo, mínimo de x, y, ... FactorInteger[n] factores primos de n Algunas de las funciones matemáticas más comunes. Los argumentos de todas las funciones en Mathematica se colocan entre corchetes. Los nombres de las funciones incorporadas en Mathematica empiezan con letra mayúscula. Dos puntos importantes acerca de funciones en Mathematica. Es importante recordar que todos los argumentos de funciones se colocan entre corchetes, no entre paréntesis. Los paréntesis en Mathematica se usan solamente para indicar agrupación de términos, y jamás para encerrar argumentos de funciones. Esto da )7.15(loge . Note la letra mayúscula para Log, y los corchetes para el argumento.
  • 13. 12 Log[15.7] 2.75366 Esto devuelve 64 como un entero exacto. Sqrt[64] 8 Esto da un valor numérico aproximado para 6 . Sqrt[6]//N 2.44949 La presencia explícita de un punto decimal le indica a Mathematica que dé un resultado numérico aproximado. Sqrt[6.] 2.44949 En este caso Mathematica devuelve un número en forma simbólica exacta. Sqrt[6] 6 Aquí tenemos un resultado entero exacto para 30×29× ... ×1. Usted puede digitar números grandes para calcular factoriales. Por ejemplo, puede calcular 2000! en corto tiempo. 40! 815915283247897734345611269596115894272000000000 Esto da un valor numérico aproximado del factorial. 40!//N 8.15915×1047 Pi π ≈ 3.14159 E e ≈ 2.71828 (normalmente aparece como ) Degree π/180: factor de conversión de grados a radianes (normalmente aparece como °) I i = 1− (normalmente aparece como ) Infinity ∞ Algunas constantes matemáticas comunes.
  • 14. 13 Note que todos los nombres de las constantes incorporadas en Mathematica empiezan con mayúscula. Este es el valor numérico de 2 π . Pi^2//N 9.8696 Esto devuelve un resultado exacto para sen(π/2).Note que los argumentos de las función trigonométricas siempre se dan en radianes. Sin[Pi/2] 1 Esto devuelve el valor numérico de sen(20°). Multiplicando por la constante Degree convertimos el argumento a radianes. Sin[20 Degree]//N 0.34202 Log[x] devuelve el logaritmo de x en base e. Log[E^15] 15 Usted puede obtener logaritmos en cualquier base b usando Log[x]. Como una notación estándar de Mathematica la b es opcional. Log[3,81] 4 2.4. Cálculos con precisión arbitraria Cuando usted utiliza //N para obtener un resultado numérico, Mathematica hace que lo que haría una calculadora estándar: devuelve el resultado con un número fijo de cifras significativas. No obstante, usted puede indicarle a Mathematica las cifras significativas con las que desea operar. Esto permite obtener resultados numéricos en Mathematica con cualquier grado de precisión. exp //N o N[exp] N[exp, n] valor numérico aproximado para exp valor numérico de exp calculado con n dígitos de precisión Funciones de evaluación numérica.
  • 15. 14 Esto devuelve el valor numérico de π con un número fijo de cifras significativas. Digitar N[Pi] es equivalente a Pi//N. N[Pi] 3.14159 Esto devuelve π con 50 dígitos. N[Pi, 50] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 Aquí tenemos a 7 con 40 dígitos. N[Sqrt[7], 40] 2.645751311064590590501615753639260425710 Al realizar cualquier tipo de cálculo numérico puede introducir pequeños errores de redondeo en sus resultados. Cuando se aumenta la precisión numérica estos errores se hacen más pequeños. Asegurarse que usted obtiene la misma respuesta al aumentar la precisión numérica es a menudo una buena forma de verificar los resultados. La cantidad 163π e esta bastante próxima a ser entera. Para verificar que el resultado no es, de hecho, un entero, usted tiene que usar la precisión numérica suficiente. N[Exp[Pi Sqrt[163]], 40] 2.625374126407687439999999999992500725972×1017 2.5. Números complejos Puede ingresar números complejos en Mathematica con sólo incluir la constante I, igual a 1− . Asegúrese que la letra I sea mayúscula. Si está usando cuadernos, también puede ingresar I como digitando <Esc> ii <Esc>. La forma es la que se usa normalmente como salida. Note que una i ordinaria significa una variable llamada i, pero no 1− . Esto devuelve como resultado el número imaginario 2i. Sqrt[-4] 2
  • 16. 15 Esto devuelve la división de dos números complejos. (8 + 4 I)/(-1 + I) -2 - 6 Aquí tenemos el valor numérico de un exponencial complejo. Exp[11 + 5 I]//N 16984. - 57414.8 x + I y el número complejo x + i y Re[z] parte real Im[z] parte imaginaria Conjugate[z] complejo conjugado * z o z Abs[z] módulo de z Arg[z] el argumento ϕ en ϕi ez Operaciones con números complejos. 2.6. Acostumbrándose a Mathematica Los argumentos de las funciones se colocan entre corchetes. Los nombres de las funciones incorporadas empiezan con letra mayúscula. La multiplicación se puede representar por un espacio. Las potencias se denotan por ^. Los números en la notación científica se ingresan, por ejemplo, como 2.5*^-4 ó 2,5 10^-4. Puntos importantes a recordar en Mathematica. Esta sección le ha dado una primera idea de Mathematica. Si ha utilizado otros sistemas informáticos antes, habrá advertido probablemente algunas similitudes y algunas diferencias. A menudo encontrará en las diferencias las partes más difíciles de recordar. Esto puede ayudarle, sin embargo, a entender un poco de por qué Mathematica funciona en la manera que lo hace, y por qué existen tales diferencias. Una característica importante de Mathematica que difiere de otros lenguajes de programación, y de la anotación matemática convencional, es que los argumentos de una función se encierran en corchetes, no en paréntesis. Los paréntesis en Mathematica se reservan específicamente para indicar la agrupación de términos. Hay obviamente una diferencia conceptual entre dar argumentos a una función y
  • 17. 16 agrupar términos entre sí; el hecho que la misma notación a menudo se ha utilizado para ambas cosas es en gran parte una consecuencia de la tipografía y de los primeros teclados de computadora. En Mathematica, los conceptos son distinguidos por la diferente notación. Esta diferencia tiene varias ventajas. En la notación de paréntesis, no está claro si )1( xc + significa c[1 + x] ó c*(1 + x). Usar los corchetes para los argumentos de una función quita esta ambigüedad. También permite que la multiplicación sea indicada sin el explícito * o algún otro caracter. Por consiguiente, Mathematica puede manejar expresiones como 2x y ax ó a(1 + x), tratándolos tal como en la notación matemática estándar. Habrá visto en esta sección que las funciones incorporadas de Mathematica tienen a menudo nombres absolutamente largos. Puede preguntarse por qué, por ejemplo, la función del número pseudaleatorio se llama Random, en lugar de, por ejemplo, rand. La respuesta, que depende mucho del diseño de Mathematica, es la consistencia. Hay una convención general en Mathematica que todos los nombres de funciones estén representados con palabras inglesas completas, a menos que haya una abreviatura matemática estándar para ellos. La gran ventaja de este esquema es que es fiable. Una vez que usted sabe lo que una función hace, usted por lo general será capaz de adivinar exactamente cual es su nombre. Si los nombres fueran abreviados, tendría que recordar siempre cual abreviatura de las palabras inglesas estándares fue utilizada. Otra característica de los nombres de funciones incorporadas en Mathematica es que todos comienzan con mayúscula. En secciones posteriores, usted verá cómo definir variables y funciones por si mismo. La convención de la mayúscula hace fácil distinguir objetos incorporados. Si Mathematica utilizara max en vez de Max para representar la operación de encontrar el máximo, después usted nunca podría utilizar max como el nombre de una de sus variables. Además, cuando usted lee los programas escritos en Mathematica, las mayúsculas de los nombres de objetos incorporados los hace más fáciles seleccionar. 2.7. Notaciones matemáticas en cuadernos Si usa una interfase basado en texto con Mathematica, entonces las entradas que usted vaya a hacer consistirán solamente en caracteres que digite directamente con su teclado. Pero si usa una interfase de cuaderno entonces es posible que realice otro tipo de entradas.
  • 18. 17 Usualmente se incorporan paletas las cuales operan como extensiones de su teclado, y poseen botones sobre los que usted puede hacer clic para ingresar alguna forma en particular. Puede acceder a las paleta estándares usando el submenú Pelettes del menú File. Haciendo clic en el botón π de esta paleta ingresará pi en su cuaderno. Haciendo clic en el primer botón una estructura en blanco par ingresar una potencia. Usted puede usar el mouse para rellenar esta estructura o desplazarse en ella con la tecla <Tab>. También puede hacer ingresos como los anteriores mediante teclas especiales de su teclado. el símbolo π el símbolo ∞ el símbolo para constante exponencial (equivalente a E) el símbolo para 1− (equivalente a I) el símbolo ° (equivalente a Degree) lleva al exponente de una potencia lleva al denominador de una fracción lleva al subradical de una raíz cuadrada regresa de un exponente, denominador o raíz cuadrada Algunas maneras de ingresar notaciones especiales. Esta es un cálculo ingresado mediante los caracteres comunes de un teclado. N[E^3/5] 4.01711
  • 19. 18 Este es el mismo cálculo ingresado usando una paleta o teclas especiales. 4.01711 Esta es una secuencia de las teclas que puede usarse para ingresar la entrada anterior. 4.01711 En un lenguaje de programación tradicional tal como C, FORTRAN, Java o Perl, la entrada que usted da siempre debe consistir de una cadena de caracteres ordinarios que se puedan digitar directamente del teclado. Pero el lenguaje de Mathematica también le permite dar entradas que contienen caracteres especiales, exponentes, fracciones, etcétera. El lenguaje incorpora muchas características de la notación matemática tradicional. Pero debe comprender que el objetivo del lenguaje es proporcionar una forma exacta y constante de especificar cálculos. Y por consiguiente, no sigue todos los detalles de la notación matemática tradicional. Sin embargo, es posible conseguir que Mathematica produzca salidas que imitan cada aspecto de notación tradicional matemática. Y es también posible para Mathematica importar texto que usa tal notación, y en cierta medida traducirlo en su propio lenguaje. 3. Cálculos 3.1. Uso de resultados previos Al realizar cálculos, muchas veces usted necesita usar resultados previamente obtenidos. En Mathematica, % siempre hace referencia al último resultado. % el último resultado generado %% el penúltimo resultado %%...% (k veces) el k-ésimo previo resultado %n el resultado de la línea de salida Out[n] Formas de hacer referencia a resultados previos.
  • 20. 19 Aquí tenemos el primer resultado. 5^3 125 Esto agrega 6 al último resultado. % + 6 131 Esto utiliza los dos últimos resultados. 5 + % 2 - %% 142 Hemos mencionado que las entradas y salidas en Mathematica son numeradas. Estos números pueden ser usados para hacer referencia a resultados previos. Esto suma los resultados de las líneas 1 y 3. %1 + %3 267 Si utiliza una interfase basada en texto en Mathematica, entonces las líneas sucesivas de entradas y salidas aparecerán siempre en orden, como se muestra en este ítem. Sin embargo, si utiliza una interfase de cuaderno, entonces varias líneas sucesivas de entradas y salidas no necesariamente aparecen en orden. Usted puede por ejemplo “volver atrás” e insertar el cálculo siguiente dondequiera que desee en el cuaderno. Tenga en cuenta que % siempre invoca el último resultado que Mathematica generó. Éste puede o no ser el resultado que aparece inmediatamente encima de su actual posición en el cuaderno. Con una interfase de cuaderno, la única manera de saber cuándo un resultado particular fue generado es mirar la etiqueta de Out[n] que tiene. Como usted puede insertar y suprimir en todas partes en un cuaderno, de acuerdo a su necesidad, el ordenamiento de los resultados en el cuaderno, por lo general, no tiene ninguna relación con el orden en el cual los resultados fueron generados. 3.2. Definición de variables Cuando usted efectúa cálculos extensos, muchas veces es conveniente dar nombre a los resultados intermedios. De la misma manera que en las matemáticas tradicionales o en otros lenguajes de programación, usted puede hacer esto introduciendo variables nombradas.
  • 21. 20 Esto inicializa el valor de la variable x con 6. x = 6 6 Donde quiera que aparezca x, Mathematica la reemplaza por su valor 6. x^3 - 25 191 Esto asigna un nuevo valor para x. x = 11 + 5 16 pi es inicializada con el valor numérico de π con 20 dígitos de exactitud. pi = N[Pi, 20] 3.1415926535897932385 Aquí esta el valor de Sqrt[pi]. Sqrt[pi] 1.77245385090551602730 x = value asigna un valor a la variable x x = y = value asigna un valor a las variable x e y x = . o Clear[x] quita cualquier valor asignado a x Asignando valores a variables. Es muy importante recordar que los valores asignados a las variables son permanentes. Una vez que usted ha asignado un valor a una variable en particular, el valor será almacenado hasta que usted lo remueva explícitamente. El valor, claro está, desaparecerá si usted inicia una nueva sesión con Mathematica. Olvidarse de las definiciones hechas es la causa más común de errores al usar Mathematica. Si usted pusiera x = 5, Mathematica asume que usted siempre quiere que x tenga el valor 5, hasta o a menos que usted e indique explícitamente otra cosa. Para evitar los errores, usted debe quitar los valores definidos en cuanto haya terminado de usarlos. Quite valores que asigne a las variables en cuanto termine de usarlos. Un principio útil al usar Mathematica.
  • 22. 21 Las variables que usted define pueden tener cualquier nombre. No hay límite par longitud de sus nombres. Un inconveniente, sin embargo, es que los nombres de las variables nunca pueden empezar con números. Por ejemplo, x3 puede ser una variable, pero 2x significa 2*x. Mathematica usa letras minúsculas y mayúsculas. Hay una convención para los objetos incorporados en Mathematica, los nombres de todos ellos empiezan con letra mayúscula. Para evitar alguna confusión, usted siempre debe escoger nombres que empiecen con letra minúscula. aaaaa una variable cuyo nombre contiene sólo letras minúsculas Aaaaa una variable cuyo nombre empieza con una letra mayúscula (aplicable por lo general a objetos incorporados en Mathematica) Convenciones para nombrar variables. Usted puede digitar fórmulas que involucren variables en Mathematica de la misma manera que lo haría matemáticamente. Sin embargo, hay algunos puntos importantes que observar. x y significa x por y. xy sin espacio es la variable con nombre xy. 5x significa 5 por x. x^2y significa (x^2) y, no x^(2y). Algunos puntos a observar cuando usamos variables en Mathematica. 3.3. Construcción de listas Al realizar cálculos, a veces es conveniente agrupar ciertos objetos, y tratarlos como una sola entidad. Las listas proporcionan una manera de coleccionar objetos en Mathematica. Como veremos después las listas son muy importantes en Mathematica. Una lista como {4,7,6} es una colección de tres objetos. Pero en muchos casos usted puede tratar esta lista como un solo objeto. Usted puede, por ejemplo, hacer aritmética con esta lista o asignarla a una variable.
  • 23. 22 Aquí hay una lista de tres números. {4, 7, 6} {4, 7, 6} Esto eleva al cubo cada número de la lista, y le resta 2. {4, 7, 6}^3 - 2 {62, 341, 214} Esto toma la diferencia entre los correspondientes elementos de las dos listas. Las listas deben ser de la misma longitud. {9.5, 8, 7} - {3, 4, 2.3} {6.5, 4, 4.7} El valor de % es el de la lista % {6.5, 4, 4.7} Usted puede aplicar cualquier función matemática a la lista. % //N {665.142, 54.5982, 109.947} Esto asigna una lista en la variable u. u = {5, 3, 8.2} {5, 3, 8.2} Esto asigna una lista en la variable u. (u + 1)/(u - 6) {-6, 3 4 − , 4.18182} 3.4. Manipulación de los elementos de una lista Muchas de las más potentes operaciones de manipulación de listas en Mathematica tratan a las listas como un solo objeto. A veces, sin embargo, extraer un conjunto individual de elementos de una lista.
  • 24. 23 Usted puede referirse a un elemento de una lista en Mathematica mediante su “índice”. Los elementos son numerados en orden, empezando en 1. {a, b, c} una lista Part[list, i] o list[[i]] el i-ésimo elemento de list (el primer elemento es list[[1]]) Part[list, {i, j, …}] o list[[i, j, …]] una lista formada por los elementos i, j, ... de list Operaciones con elementos de una lista. Esto extrae el tercer elemento de la lista. {4, -1, 8, -6}[[3]] 8 Esto extrae una lista de elementos. {4, -1, 8, -6}[[ {2, 3, 1, 2, 3, 4, 1} ]] {-1, 8, 4, -1, 8, -6, 4} Esto asigna una lista en la variable u. u = {7, 2, 4, 6} {7, 2, 4, 6} Usted puede extraer elementos de u. u[[3]] 4 Al asignar una lista a una variable, usted puede usar las listas en Mathematica de manera similar a los “arrays” en otros lenguajes de programación. De esta manera, por ejemplo, usted puede resetear un elemento de una lista asignando un valor a u[[i]]. Part[u, i] o u[[i]] extrae el i-ésimo elemento de una lista Part[u, i] = value o u[[i]] = value resetea el i-ésimo elemento de una lista Operando listas como arrays.
  • 25. 24 Aquí hay una lista. u = {2, 1, 5, 7} {2, 1, 5, 7} Esto resetea el segundo elemento de la lista. u[[2]] = 0 0 Ahora la lista asignada a u se ha modificado. u {2, 0, 5, 7} 3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica En las secciones anteriores hemos introducido cada una de las formas de agrupar en Mathematica. Cada una de ellas tiene diferente significado. Es importante que usted los recuerde. (terms) paréntesis para agrupar f[x] corchetes para funciones {a, b, c} llaves para listas u[[i]] corchetes dobles para indexar (Part[u, i]) Las cuatro formas de agrupar en Mathematica. Cuando la expresión que usted digita es complicada, a veces es una buena idea ingresar un espacio en blanco para conjunto de agrupaciones. Esto hace que sea relativamente fácil ubicar pares de agrupaciones. u[[ {a, b} ]] permite, por ejemplo, fácilmente reconocer a u[[{a, b}]]. 3.6. Secuencia de operaciones Al realizar cálculos con Mathematica, usted usualmente lo hace mediante una secuencia de pasos. Si usted desea puede realizar cada paso en una línea separada. A veces, sin embargo, es conveniente ingresar varios pasos en una misma línea. Usted puede hacer esto simplemente separando cada una de las partes ingresadas con punto y coma.
  • 26. 25 exp1; exp2; exp3 hace varias operaciones y da el resultado en la última línea exp1; exp2; hace las operaciones pero no imprime la salida Formas de hacer secuencias de operaciones en Mathematica. Esto realiza tres operaciones en una misma línea. El resultado corresponde a la última operación. x = 3; y = 7; z = y - 2 5 Si usted finaliza su entrada con un punto y coma, esto es como si usted estuviera ingresando una secuencia de operaciones, con un punto y coma al final. Esto tiene el efecto de hacer que Mathematica calcule las operaciones especificadas, pero no muestre la salida. exp; realiza una operación, pero no muestra la salida Inhibiendo la salida. Añadiendo un punto y coma al final de la línea le Mathematica que no muestre la salida. x = 47 + 5; Usted puede usar % para poder visualizar la salida anterior. % 52 4. Uso del Sistema Mathematica 4.1. La estructura de Mathematica Kernel (núcleo) de Mathematica la parte que realmente realiza los cálculos Front end (parte visible) de Mathematica la parte que se ocupa de interactuar con el usuario Partes básicas del Sistema Mathematica.
  • 27. 26 Mathematica es un sistema de software modular, en el cual el kernel que realmente realiza los cálculos está separado del front end que se ocupa de la interacción con el usuario. El tipo más común de front end de Mathematica está basado en documentos interactivos conocidos como cuadernos. Los cuadernos mezclan las entradas y salidas de Mathematica con texto, gráficos, paletas y otros materiales. Usted puede usar los cuadernos para hacer cálculos continuos o como medio para presentar o publicar resultados. Interfase de cuaderno documentos interactivos Interfase basada en texto texto desde el teclado Interfase de MathLink comunicación con otro programas Tipos comunes de interfase con Mathematica. Un cuaderno que mezcla texto, gráficos con entradas y salidas de Mathematica.
  • 28. 27 En algunos casos, puede que usted no necesite usar la interfase de cuaderno, y que desee en cambio interactuar directamente con el núcleo de Mathematica. Usted puede hacer esto usando la Interfase basada en texto, en la cual usted digita el texto en el teclado y éste va directamente al núcleo. Un diálogo con Mathematica usando interfase basada en texto. Un aspecto importante de Mathematica es que no solamente puede interactuar con usuarios humanos sino que también puede hacerlo con otros programas. Esto se logra principalmente a través del MathLink, el cual es un protocolo estandarizado para la comunicación bidireccional entre programas externos y el núcleo de Mathematica. Un fragmento de código C que se comunica vía MathLink con el kernel de Mathematica.
  • 29. 28 4.2. Cuadernos como documentos Los cuadernos de Mathematica le permiten crear documentos que pueden verse interactivamente en la pantalla o imprimirse en papel. Particularmente, en los cuadernos extensos, es común tener los capítulos, secciones etc., representados cada uno en grupos de celdas. La extensión de estos grupos de celdas es indicada por el corchete que aparece a la derecha. La agrupación de celdas en un cuaderno se indica con los corchetes anidados que aparecen en el lado derecho. Un grupo de celdas puede estar abierto o cerrado. Cuando está abierto usted puede ver todas sus celdas explícitamente. Pero cuando está cerrado, usted sólo puede ver la celda que encabeza el grupo de celdas. Los cuadernos extensos son a menudo distribuidos con muchos grupos de celdas cerradas, para que cuando usted vea por primera vez el cuaderno aprecie solamente una lista de su contenido. Usted puede abrir las partes en las que esté interesado haciendo doble clic sobre el corchete apropiado.
  • 30. 29 Haciendo doble clic sobre el corchete que abarca un grupo de celdas cerramos el grupo, dejando sólo la primera celda visible. Cuando el grupo está cerrado, el corchete que le corresponde tiene una flecha en la parte inferior. Haciendo doble clic sobre esta flecha abrimos nuevamente el grupo. A cada celda dentro de un cuaderno se le asigna un estilo en particular que indica su rol dentro del cuaderno. Así, por ejemplo, el material entendido como entrada para ser ejecutado por el núcleo de Mathematica está típicamente el estilo de Input (entrada), mientras que el que se entiende para ser leído como puramente de texto está típicamente en estilo Text (texto). La interfase de Mathematica provee menús y métodos abreviados de teclas para crear celdas con diferentes estilos, y para cambiar estilos en las celdas existentes.
  • 31. 30 Esto muestra celdas en diferentes estilos. Los estilos no sólo definen el formato del contenido de las celdas, sino que también su ubicación y espaciado. Poniendo una celda en un estilo en particular, usted especifica una colección entera de propiedades para celda, incluyendo por ejemplo el tamaño y la fuente del texto que se digitará. La interfase de Mathematica permite modificar tales propiedades, bien sea para las celdas completas o para material específico dentro de las celdas. Incluso dentro de una celda con un estilo en particular, la interfase de Mathematica permite modificar una amplia gama de propiedades en forma separada. Vale mencionar que al hacer diversas clases de cosas con los cuadernos de Mathematica, usted está utilizando diversas partes del sistema de Mathematica. Las operaciones tales como apertura y cierre de grupos de celdas, realización de animaciones y reproducción de sonidos utilizan solamente una parte pequeña del front end de Mathematica, y estas operaciones tranquilamente se pueden realizar con un programa fácilmente disponible conocido como MathReader.
  • 32. 31 Para poder crear y corregir los cuadernos, usted necesita más que el front end de Mathematica. Y finalmente, para poder actualizar los cálculos dentro de un cuaderno de Mathematica, necesita un sistema completo de Mathematica, que contenga el front end y el núcleo. MathReader lee cuadernos de Mathematica front end de Mathematica crea y edita cuadernos en Mathematica núcleo de Mathematica hace cálculos en cuadernos Programas requeridos para diversas clases de operaciones en los cuadernos. 4.3. Elementos activos en cuadernos Una de las características más potentes de los cuadernos de Mathematica es que sus acciones pueden ser programadas. Así, por ejemplo, usted puede establecer un botón en un cuaderno de Mathematica que permita realizar varias operaciones siempre que usted haga clic sobre él. He aquí un cuaderno que contiene un botón. Haciendo clic en el botón conseguimos que se muestre la fecha actual. Más adelante en este libro, discutiremos cómo usted puede crear botones y otros objetos similares en los cuadernos de Mathematica. Por ahora es suficiente decir que siempre que una celda se indique como activa, al hacer clic en los elementos activos dentro ella se producirá las acciones que han sido programadas para que estos elementos realicen. Es común inicializar paletas que consisten en una serie de botones. A veces tales paletas aparecen como celdas dentro de un cuaderno. Aunque a menudo, se usa un cuaderno especial que aparece como ventana, que se puede poner convenientemente en algún lado de la pantalla de su computadora y utilizar conjuntamente con cualquier otro cuaderno.
  • 33. 32 Las paletas que consisten en una serie de botones a menudo son colocadas en cuadernos separados. En los casos más simples, los botones en las paletas sirven como teclas adicionales a su teclado. Así, cuando usted presiona un botón, el carácter o el objeto mostrado en aquel botón es insertado en su cuaderno tal como si usted lo hubiera escrito a máquina. Aquí está una paleta de letras griegas con botones que actúan como teclas adicionales a su teclado. A menudo, sin embargo, un botón puede contener un placeholder indicado por . Esto significa que cuando usted presiona el botón, lo que se selecciona actualmente en su cuaderno será insertado en la posición del placeholder. Estos botones contienen placeholders indicados por . Este es un cuaderno con una expresión seleccionada.
  • 34. 33 Al presionar el botón superior izquierdo de la última paleta la expresión seleccionada queda envuelta en una raíz cuadrada. A veces los botones que contienen placeholders serán programados simplemente para insertar una cierta expresión en su cuaderno. Pero más a menudo, serán programados para evaluar el resultado, enviándolo como una entrada al núcleo de Mathematica. Estos botones se inicializan para realizar operaciones. He aquí un cuaderno con una expresión seleccionada. Al presionar el botón superior en la última paleta la expresión seleccionada es simplificada. Hay algunas situaciones en las cuales es conveniente tener varios placeholders en un solo botón. Su actual selección se inserta en la posición del primer placeholder, indicada por . Los placeholder adicionales se indican por , y usted puede trasladarse a través de los placeholders sucesivos usando la tecla <Tab>. He aquí una paleta que contiene botones con varios placeholders.
  • 35. 34 He aquí una expresión en un cuaderno. Presionando el botón superior izquierdo en la última paleta insertamos la expresión en el lugar de . Usted puede trasladarse a los otros placeholders usando la tecla <Tab>, y entonces los corrige para insertar lo que usted desea. 4.4. Hipervínculos y texto activo El front end de Mathematica proporciona una variedad de formas de buscar palabras o texto particulares en los cuadernos de Mathematica. Pero cuando los documentos son extensos o tenemos colecciones de documentos, conviene insertar hipervínculos que nos llevan inmediatamente a un punto específico en un cuaderno, tal como se hace en los websites. Los hipervínculos se indican generalmente por palabras o frases subrayadas, y están a menudo en un color diferente. Al hacer clic en un hipervínculo le lleva inmediatamente dondequiera que el hipervínculo señale. Los hipervínculos en cuadernos trabajan bastante bien como los botones discutidos en la sección anterior. Y de nuevo, todos los aspectos de hipervínculos son programables. De hecho, es posible crear texto activo en cuadernos que permita realizar casi cualquier tipo de acción.
  • 36. 35 4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno En la mayoría de las versiones de interfase de cuaderno de Mathematica, el menú Help (ayuda) le da acceso al Help Browser (navegador de ayuda), el cual sirve como un punto de entrada a la gran cantidad de documentación en línea para Mathematica. Getting Started un inicio rápido en el uso de Mathematica Built-in Functions información sobre todas las funciones incorporadas en Mathematica The Mathematica Book el libro completo en línea Master Index índice de todo el material documentado en línea Típicos tipos de ayuda disponibles en la Interfase de notebook. Un ejemplo de buscar la información básica sobre una función en el Help Browser de Mathematica.
  • 37. 36 4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto ?Name muestra información sobre Name ??Name muestra información adicional sobre Name ?Aaaa∗ muestra información sobre todos los objetos cuyos nombres empiezan con Aaaa Formas de recibir información directamente desde el kernel de Mathematica. Esto da información de la función incorporada Log. Usted puede preguntar por información acerca de cualquier objeto, si es incorporado en Mathematica, ha sido leído en un paquete de Mathematica o ha sido introducido por usted. Cuando utiliza ? para conseguir la información, debe cerciorarse de que el signo de interrogación aparezca como el primer carácter en su línea de entrada. Debe hacer esto de modo que Mathematica sepa cuándo usted está solicitando información y no está dando una entrada ordinaria para ser evaluada. Vale mencionar que junto con la información brindaba aparece un hipervínculo en color azul con la palabra More. Haciendo clic sobre este hipervínculo Mathematica nos lleva directamente a la información de la misma en el Help Browser. Puede conseguir información adicional usando ??. ?Aaaa le dará la información de un objeto en particular cuyo nombre especifique. Usando el caracter *, sin embargo, usted puede obtener información sobre todos
  • 38. 37 los objetos con nombres similares. Así pues, por ejemplo ?Lo* brinda información sobre todos los objetos cuyos nombres contengan las letras Lo, seguidas por cualquier cadena de caracteres. Esto da información sobre todos los objetos de Mathematica cuyos nombres comiencen con Lo. Cuando hay más de un objeto, Mathematica enumera sus nombres como hipervínculos y haciendo clic sobre ellos es posible obtener información. Haciendo clic en Log de la lista anterior se obtiene la respectiva información. Usted puede poner * en cualquier lugar de la cadena que ingresa iniciada con ?. Por ejemplo, ?*Expand le daría todos los objetos cuyos nombres terminan en Expand. De manera similar ?P*d le daría los objetos cuyos nombres comienzan con P, terminan con d, y tienen cualquier cadena de caracteres intermedios. (Note que la manera en que se utiliza * para especificar nombres en Mathematica es similar a la manera que se utiliza * en Unix y otros sistemas operativos para especificar nombres del archivos.)
  • 39. 38 Usted puede pedir la información sobre la mayor parte de las formas especiales de entrada que Mathematica utiliza. Esto pide la información acerca del operador :=. 4.7. Paquetes en Mathematica Una de las características más importantes de Mathematica es que es un sistema extensible. Hay una cierta cantidad de funciones incorporadas en Mathematica. Pero usando el lenguaje de programación de Mathematica, siempre es posible añadir más funciones. Para muchos tipos de cálculos, lo incorporado en la versión estándar de Mathematica será suficiente. Sin embargo, si usted trabaja en particular en un área especializada, puede encontrarse en la necesidad de utilizar ciertas funciones no incorporadas en Mathematica. En tales casos, usted podría encontrar un package (paquete) de Mathematica que contiene las funciones que usted necesita. Los paquetes de Mathematica son archivos escritos en el lenguaje de programación de Mathematica. Los mismos consisten en colecciones de definiciones hechas en Mathematica las cuales se aplican a áreas particulares. << paquete lee un paquete de Mathematica Leyendo paquetes de Mathematica. Si usted quiere usar las funciones de un paquete en particular, primero debe leer el paquete en Mathematica. Los detalles de como hacer esto se discuten en la sección 12. Hay varias convenciones que gobiernan los nombres que usted usará para referirse a los paquetes. Este comando lee un paquete en particular de Mathematica. <<LinearAlgebra`Orthogonalization`
  • 40. 39 La función GramSchmidt está definida en el paquete. GramSchmidt[{{1, 2}, {-7, 0}}] Hay varias sutilezas asociadas a estas cosas como los conflictos entre los nombres de las funciones en los diferentes paquetes. Un punto importante que no debe olvidar es que usted no debe referirse a una función que leerá desde un paquete antes de leerla realmente en el paquete. Si usted hace esto por equivocación, deberá ejecutar el comando Remove[“name”] para librarse de la definición de la función que usted hizo antes de leer el paquete. Si usted no usa Remove, Mathematica usará “su” versión de la función, en lugar de la del paquete. Remove[name] remueve una función que ha sido introducida por error Asegurándose que Mathematica use las definiciones correctas de los paquetes. El hecho de que Mathematica pueda extenderse usando paquetes significa que las “partes de Mathematica” son ilimitadas. En lo que al uso concierne, no hay en realidad ninguna diferencia entre las funciones definidas en paquetes y las funciones incorporadas en Mathematica. De hecho, un número determinado de las funciones descritas en este libro se ejecutan como paquetes de Mathematica. Sin embargo, en la mayoría de los sistemas de Mathematica, se han cargado los paquetes necesarios, de modo que las funciones que ellos definen estén siempre presentes. Usted puede utilizar el Help Browser para obtener información sobre los paquetes estándares de Mathematica. Para ello seleccione la tarjeta Add-ons & Links del mismo. 4.8. Advertencias y mensajes Mathematica sigue su trabajo silenciosamente, dando salida solamente cuando ha acabado de hacer de los cálculos que usted pidió. Sin embargo, si Mathematica se percata de algo que usted esta haciendo y que definitivamente no entiende, imprimirá un mensaje para advertirle.
  • 41. 40 La función de la raíz cuadrada debe tener solamente un argumento. Mathematica imprime un mensaje para advertirle que usted ha dado dos argumento aquí. Sqrt[4, 5] Sqrt::argx : Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected. Sqrt[4, 5] Cada mensaje tiene un nombre. Usted puede apagar mensajes usando Off. Off[Sqrt::argx] El mensaje Sqrt::argx ahora se ha apagado, y no volverá a aparecer. Off[Sqrt::argx] Esto vuelve a encender Sqrt::argx otra vez. On[Sqrt::argx] Off[Función::etiqueta] On[Función::etiqueta] apaga (suprime) un mensaje enciende un mensaje Funciones para controla la salida de un mensaje. 4.9. Interrupción de cálculos Probablemente habrá veces en que desee detener Mathematica en medio de un cálculo. Tal vez usted se da cuenta que pidió a Mathematica hacer un cálculo incorrecto. O quizás el cálculo tarda demasiado, y usted quiere saber que es lo que pasa. La forma en que usted interrumpe un cálculo en Mathematica depende de qué clase de interfase está utilizando. <Alt>+<,> <Control>+<c> interfase de cuaderno interfase basada en texto Combinaciones de teclas para interrumpir cálculos en Mathematica. En algunos sistemas informáticos, puede tomar a Mathematica un cierto tiempo para responder a su interrupción. Cuando Mathematica responde, le dará un menú de cosas posibles para hacer.
  • 42. 41 continue show inspect abort exit continuar el cálculo mostrar que está haciendo Mathematica examinar el estado actual de su cálculo abortar este cálculo en particular salir de Mathematica completamente Algunas opciones disponibles cuando usted interrumpe un cálculo en Mathematica. 5. Cálculos algebraicos 5.1. Cálculo simbólico Una de las características importantes de Mathematica es que puede hacer cálculos simbólicos y numéricos. Esto significa que puede manejar fórmulas algebraicas así como números. He aquí un típico cálculo numérico. 4 + 36 - 1 39 Este es un cálculo simbólico. 7 x – 3 x + 6 6 + 4x Cálculo numérico Cálculo simbólico 4 + 36 - 1 → 39 7x - 3x + 6 → 6 + 4x Cálculo simbólico y numérico. Usted puede digitar cualquier expresión algebraica en Mathematica. -1 + 2 x + x^3 -1 + 2x + x3 Mathematica realiza automáticamente simplificaciones algebraicas básicas. Aquí combina a 2 x y a 2 4x− para dar 2 3x− . x^2 + x - 4x^2 x – 3x2
  • 43. 42 Usted puede digitar cualquier expresión algebraica, usando a los operadores enumerados en la sección 2.1. Puede utilizar espacios para denotar la multiplicación. Tenga cuidado de no olvidarse del espacio en x y . Si usted digita xy sin espacio, Mathematica interpretará esto como solo símbolo, con el nombre xy, no como un producto de dos símbolos x y y. Mathematica reordena y combina términos usando las reglas estándares del álgebra. x y + 2 x^2 y + y^2 x^2 - 2 y x -xy + 2x2 y + x2 y2 He aquí otra expresión algebraica. (x + 2 y + 1)(x - 2)^2 (-2 + x)2 (1 + x + 2y) La función Expand amplía productos y potencias. Expand[%] 4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2 y Factor hace lo inverso de Expand. Factor[%] 4 – 3x2 + x3 + 8y – 8xy + 2x2 y Cuando digita expresiones complicadas, es importante que ponga los paréntesis en los lugares correctos. Así, por ejemplo, debe dar la expresión y x4 en la forma x^(4y). Si deja abiertos los paréntesis, se interpretará como yx4 . He aquí una fórmula más complicada, que requiere de varios paréntesis. Sqrt[2]/9801 (4n)! (1103 + 26390 n) / (n!^4 + 1) Cuando usted digita una expresión, Mathematica aplica automáticamente su gran repertorio de reglas para transformar las expresiones. Estas reglas incluyen las reglas estándares del álgebra, tales como 0=− xx , junto con reglas mucho más sofisticadas.
  • 44. 43 Mathematica utiliza reglas estándares del álgebra para sustituir 4 )1( x+ por 2 )1( x+ . Sqrt[1 + x]^4 (1 + x)2 Mathematica no conoce ninguna regla para esta expresión, así que deja expresión en la forma original que usted le dio. Log[1 + Cos[x]] Log[1 + Cos[x]] La noción de reglas de transformación es muy general. De hecho, usted puede pensar en Mathematica como un simple sistema que aplica una colección de reglas de transformación a diferentes clases de expresiones. El principio general que Mathematica sigue es simple de explicar. Toma cualquier expresión que usted introduce, y obtiene resultados aplicando una sucesión de reglas de transformación, deteniéndose cuando no hay más reglas de transformación que aplicar. Tome cualquier expresión, y aplique reglas de transformación hasta que el resultado no cambie más. El principio fundamental Mathematica. 5.2. Valores para símbolos Cuando Mathematica transforma una expresión por ejemplo x + x en 2x, está tratando la variable x en forma puramente simbólica o formal. En tales casos, x es un símbolo que puede representar cualquier expresión. A menudo, sin embargo, usted necesita sustituir un símbolo como x por un “valor” determinado. Algunas veces este valor será un número; aunque frecuentemente será una expresión. Para sustituir el símbolo x, que aparece en la expresión 1 + 2 x, con un valor determinado; puede crear una regla de la transformación en Mathematica, y después aplicar esta regla a la expresión. Para sustituir x por el valor 3, usted crearía la regla de transformación x->3. Debe digitar -> como un par de
  • 45. 44 caracteres, sin espacio entre ellos. Puede interpretar x->3 como una regla en la cual “x será sustituido por 3”. Para aplicar una regla de transformación a una expresión particular de Mathematica, usted digita expr/.regla. El “operador de reemplazo” /. se digita como un par de caracteres, sin espacio entre ellos. Esto utiliza la regla de transformación x->3 en la expresión 1 + 2 x . 1 + 2x /. x -> 3 7 Usted puede sustituir x por cualquier expresión. Aquí cada ocurrencia de x es sustituida por 2 - y . 1 + x + x^2 /. x -> 2 - y 3 + (2 - y)2 - y He aquí una regla de transformación. Mathematica la trata como cualquier otra expresión simbólica. x -> 3 + y x → 3 + y Esto aplica la regla de transformación última a la expresión x ^ 2 - 9 . x^2 - 9 /. % - 9 + (3 + y)2 expr /. x -> valor expr /. {x -> xval, y -> yval} reemplaza x por valor en la expresión exp realiza varios reemplazos Sustitución de símbolos por valores en expresiones. Usted puede aplicar reglas juntas poniendo las reglas en una lista. (x + y) (x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a} (4 - a) (2 + a)2 El operador de reemplazo /. le permite aplicar reglas de la transformación a una expresión particular. A veces, sin embargo, usted querrá definir reglas de transformación que se apliquen siempre. Por ejemplo, puede ser que desee sustituir x por 3 siempre que aparezca x.
  • 46. 45 Según lo discutido en la sección 3.2, usted puede hacer esto asignando el valor 3 a x usando x = 3 . Una vez que haya hecho la asignación x = 3 , x siempre será sustituido siempre por 3, cuando aparezca. Esto asigna el valor de 3 a x. x = 3 3 Ahora x será sustituido automáticamente por 3 dondequiera que aparezca. x^2 - 1 8 Esto asigna la expresión 1 + a a x. x = 1 + a 1 + a Ahora x es reemplazado por 1 + a . x^2 - 1 -1 + (1 + a)2 Usted puede definir como valor de un símbolo a cualquier expresión, no solamente a un número. Recuerde que una vez que haya dado tal definición, ésta continuará siendo utilizada siempre que aparezca el símbolo, hasta que la cambie o quite explícitamente. Para la mayoría de usuarios, el olvidarse quitar valores que han asignado a los símbolos es la causa más común de errores al usar Mathematica. x = valor x = . define un valor para x que será utilizado siempre remueve cualquier valor definido para x Asignando valores a símbolos. El símbolo x todavía tiene el valor que le asignó arriba. x + 5 - 2x 6 + a - 2(1 + a) Esto quita el valor que asignó a x. x =.
  • 47. 46 Ahora x no tiene ningún valor definido, así que puede ser utilizado como variable puramente simbólica. x + 5 - 2x 5 - x Los lenguajes de programación tradicionales que no soportan el cálculo simbólico permiten que las variables sean utilizadas solamente como nombres para objetos, típicamente números, que se han asignado como valores para ellos. En Mathematica, sin embargo, x se puede también tratar como variable puramente formal, a la cual se le puede aplicar varias reglas de transformación. Por supuesto, si usted da explícitamente una definición, por ejemplo x = 3 , entonces x será sustituida siempre por 3, y no sirve más como variable formal. Debe recordar que las definiciones explícitas por ejemplo x = 3 tienen un efecto global. Por otra parte, un reemplazo tal como exp / . x - > 3 afecta solamente a la expresión específica expr. Puede mezclar siempre reemplazos con asignaciones. Con asignaciones, puede dar nombres a las expresiones en las cuales desea hacer reemplazos, o a las reglas que usted desea utilizar para hacer los reemplazos. Esto asigna un valor al símbolo t. t = 1 + x^2 1 + x2 Esto encuentra el valor de t, y después sustituye x por 2 en él. t /. x -> 2 5 Esto encuentra el valor de t para un valor diferente de x. t /. x -> 5a 1 + 25 a2 Esto encuentra el valor de t cuando x es sustituido por Pi, y luego evalúa el resultado numéricamente. t /. x -> Pi //N 10.8696
  • 48. 47 5.3. Transformación de expresiones algebraicas A menudo hay muchas formas diferentes de escribir la misma expresión alge- braica. Como un ejemplo, la expresión 2 )1( x+ puede ser escrita como 2 21 xx ++ . Mathematica proporciona una gran colección de funciones para hacer conversiones entre las diferentes formas de expresiones algebraicas. Expand[expr] Factor[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo el resultado como suma de términos escribe expr como un producto de factores mínimos Dos funciones comunes para transformar expresiones algebraicas. Expand da la “forma expandida”, con los productos y las potencias desarrolladas. Expand[ (1 + x)^2 ] 1 + 2 x + x2 Factor recupera la forma original. Factor[ % ] (1 + x)2 Es fácil generar expresiones complicadas con Expand. Expand[ (1 + x + 3 y)^4 ] Factor a menudo le da expresiones más simples. Factor[ % ] (1 + x + 3 y)4 Hay algunos casos, no obstante, donde Factor puede darle expresiones más complicadas. Factor[ x^10 - 1 ]
  • 49. 48 En este caso, Expand da la forma “más simple”. Expand[ % ] -1 + x10 5.4. Simplificación de expresiones algebraicas En muchas situaciones usted desea escribir una expresión algebraica en la forma más simple posible. Aunque sea difícil saber exactamente lo que se entiende por la “forma más simple”, un procedimiento práctico que vale la pena seguir es analizar varias formas diferentes de una expresión, y elegir la de menor número de partes. Simplify[expr] FullSimplify[expr] intenta encontrar la forma más simple de expr aplicando varias transformaciones algebraicas estándares intente encontrar la forma más simple aplicando una amplia gama de transformaciones Simplificación de expresiones algebraicas. Simplify escribe 122 ++ xx en forma factorizada. Simplify[x^2 + 2x + 1] (1 + x)2 Simplify deja a 110 −x en forma expandida, puesto que para esta expresión, la forma descompuesta en factores es más grande. Simplify[x^10 - 1] -1 + x10 Usted puede utilizar a menudo Simplify para “mejorar” expresiones complicadas que obtiene como resultado de cálculos. He aquí la integral de )1/(1 4 −x . Integrate[1/(x^4 - 1), x]
  • 50. 49 Al derivar el último resultado deberíamos volver a la expresión original. En este caso, como es común, se obtiene una versión más complicada de la expresión original. D[%, x] Simplify permite volver a la forma original de la expresión Simplify[%] Simplify se usa para aplicar varias transformaciones algebraicas estándares a las expresiones que usted ingresa. A veces, sin embargo, puede usar transformaciones más sofisticadas para poder encontrar la forma más simple de una expresión. FullSimplify aplica una gama mucho más amplia de transformaciones, incluyendo no solamente funciones algebraicas, sino también muchas otras clases de funciones. Simplify no altera esta expresión. Simplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]] Gamma[1 – x] Gamma[x] FullSimplify, sin embargo, consigue simplificarla. FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]] πCsc[πx] Para expresiones muy pequeñas, FullSimplify a menudo permitirá obtener algunas simplificaciones notables. Pero para expresiones grandes, puede llegar a ser considerablemente lento. La razón de esto es que para hacer su trabajo, FullSimplify tiene que tratar de combinar cada parte de una expresión con otra, y para expresiones grandes el número de casos que debe considerar puede ser astronómicamente grande. Simplify también tiene una tarea difícil de hacer, pero evita algunas de las transformaciones que demandan más tiempo y que son utilizadas por FullSimplify. Para los cálculos algebraicos simples, por lo tanto, resulta conveniente aplicar Simplify a sus resultados.
  • 51. 50 En cálculos más complicados, sin embargo, incluso Simplify puede ser que necesite probar con un número muy grande de diversas formas, y por lo tanto tome un largo tiempo. En tales casos, necesita hacer una simplificación controlada, y utilizar su conocimiento de manera que usted guíe el proceso. 5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas Las expresiones algebraicas complicadas se pueden escribir generalmente en varias maneras. Mathematica proporciona una variedad de funciones para convertir expresiones de una forma a otra. Las más comunes de estas funciones son Expand, Factor y Simplify. Sin embargo, cuando usted tiene expresiones racionales que contienen cocientes, puede ser que necesite utilizar otras funciones. Expand[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendo ExpandAll[expr] aplica Expand por todas partes Factor[expr] reduce a producto de factores Together[expr] pone todos los términos sobre un común denominador Apart[expr] separa en términos con denominadores simples Cancel[expr] cancela factores comunes entre numeradores y denominadores Simplify[expr] aplica un conjunto de transformaciones algebraicas y da la forma más pequeña de expr encontrada Funciones para transformar expresiones algebraicas. He aquí una expresión racional que puede ser escrita en varias formas diferentes. e = (x - 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^2) Expand expande el numerador, pero deja el denominador en forma factorizada. Expand[e]
  • 52. 51 ExpandAll expande todo, incluyendo el denominador. ExpandAll[e] Apart separa la expresión en términos con denominadores simples. Apart[%] Factor factoriza todo, en este caso reproduce la forma original. Factor[%] Según Simplify, esta es la forma más simple de escribir la expresión original. Simplify[e] Conseguir expresiones en la forma que uno desea se convierte en todo un arte. En la mayoría de los casos, es mejor simplemente experimentar, intentando diversas transformaciones hasta que se consiga lo que se desea. Cuando tenga una expresión con una sola variable, puede elegir escribirla como una suma de términos, un producto, etcétera. Si tiene una expresión con varias variables, hay una colección más amplia de posibles formas. Usted puede, por ejemplo, elegir agrupar términos en una expresión de modo que una u otra de las variables sea “dominante”. Collect[expr, x] FactorTerms[expr, x] agrupa juntas todos las potencias de x extrae los factores que no dependen de x Reordenamiento de expresiones en varias variables. He aquí una expresión algebraica en dos variables. v = Expand[(3 + 2 x)^2 (x + 2 y)^2]
  • 53. 52 Esto agrupa los términos de v afectados por la misma potencia de x. Collect[v, x] Esto agrupa juntas las potencias de y. Collect[v, y] Uno de estos factores no depende de y. FactorTerms[v, y] Como hemos visto, cuando usted se limita a expresiones polinómicas racionales, hay muchas formas de escribir cualquier expresión particular. Si considera expresiones más complicadas, que incluyan, por ejemplo, funciones matemáticas trascendentes, la variedad de formas posibles llega a ser mayor. Por consiguiente, es imposible tener una función incorporada específica en Mathematica para producir cada forma posible. Más bien Mathematica le permite construir sistemas arbitrarios de reglas de transformación para hacer diversas conversiones. Sin embargo hay algunas funciones incorporadas adicionales de Mathematica para transformar expresiones. TrigExpand[expr] expande expresiones trigonométricas en una suma de términos TrigFactor[expr] factoriza expresiones trigonométricas en productos de términos TrigReduce[expr] reduce expresiones trigonométricas usando ángulos múltiples TrigToExp[expr] convierte funciones trigonométricas a exponenciales ExpToTrig [expr] convierte funciones exponenciales a trigonométricas FunctionExpand[expr] expande funciones especiales y otras ComplexExpand[expr] realiza expansiones asumiendo que todas las variables son reales PowerExpand[expr] transforma p yx )( en pp yx , etc. Algunas funciones más para transformar expresiones.
  • 54. 53 Esto expande la expresión trigonométrica, escribiéndola de modo que todas las funciones tengan argumento x. TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]] Esto utiliza identidades trigonométricas para factorizar la expresión. TrigFactor[%] Esto reduce la expresión usando ángulos múltiples. TrigReduce[%] Esto expande el seno asumiendo que x e y son reales. ComplexExpand[ Sin[x + I y] ] Esto hace la extensión asumiendo que x e y son complejos. ComplexExpand[ Sin[x + I y], {x, y} ] Las transformaciones a expresiones hechas por funciones como Expand y Factor siempre son correctas, independientemente del valor que puedan tener las variables simbólicas en las expresiones. A veces, sin embargo, es útil realizar transformaciones que sólo son correctas para algunos posibles valores de las variables simbólicas. Una transformación como esta la realiza PowerExpand. Mathematica no expande automáticamente potencias no enteras de productos. Sqrt[x y] PowerExpand hace la expansión. PowerExpand[%]
  • 55. 54 He aquí otro ejemplo. Sqrt[a^2]//PowerExpand a 5.6. Simplificación con asunciones Simplify[expr, asun] simplifica exp son asunciones Simplificación con asunciones. Mathematica no simplifica esto automáticamente, puesto que es solamente verdad para algunos valores de x. Simplify[Sqrt[x^2]] 2 x es igual a x para 0≥x , pero no en otro caso. {Sqrt[4^2], Sqrt[(-4)^2]} {4, 4} Esto le dice a Simplify que haga la asunción x>0, de modo que la simplificación pueda proceder. Simplify[Sqrt[x^2], x > 0] x Ninguna simplificación automática se puede hacer en esta expresión. 2 a + 2 Sqrt[a - Sqrt[-b]] Sqrt[a + Sqrt[-b]] Si a y b son asumidos positivos, la expresión puede sin embargo ser simplificada. Simplify[%, a > 0 && b > 0] He aquí un ejemplo simple que involucra funciones trigonométricas. Simplify[ArcSin[Sin[x]], -Pi/2 < x < Pi/2] x
  • 56. 55 Element[x,dom] indica que x es un elemento del dominio dom Element[{x1,x2,...},dom] indica que todos los xi son elementos del dominio dom Reals números reales Integers enteros Primes números primos Algunos dominios usados en asunciones. Esto simplifica 2 x asumiendo que x es un número real. Simplify[Sqrt[x^2], Element[x, Reals]] Abs[x] Esto simplifica el seno asumiendo que n es un entero. Simplify[Sin[x + 2 n Pi], Element[n, Integers]] Sin[x] Con las asunciones dadas, puede ser utilizado el Pequeño Teorema de Fermat. Simplify[Mod[a^p, p], Element[a, Integers] && Element[p, Primes]] Mod[a,p] Esto utiliza el hecho de que )sin(x , pero no )arcsin(x , es real cuando x es real. Simplify[Re[{Sin[x], ArcSin[x]}], Element[x, Reals]] {Sin[x],Re[ArcSin[x]]} 5.7. Seleccionar partes de Expresiones Algebraicas Coefficient[expr,form] coeficiente de form en expr Exponent[expr,form] máxima potencia de form en expr Part[expr,n] or exp[[n]] n-ésimo término de expr Funciones para seleccionar partes de polinomios.
  • 57. 56 He aquí una expresión algebraica. e = Expand[(1 + 3x + 4y^2)^2] Esto da el coeficiente de x en e. Coefficient[e, x] Exponent[expr,y] da la mayor potencia de de y que aparece en expr. Exponent[e, y] 4 Esto da término en e. Part[e, 4] Usted puede notar que la función Part[expr, n] usada para seleccionar el n-ésimo término en una suma es igual que la función descrita en la sección 3.4 para seleccionar elementos en listas. Ésta no es ninguna coincidencia. En efecto, según lo discutido en la sección 3.5, cada expresión de Mathematica se puede manipular estructuralmente como una lista. Sin embargo, según lo discutido en la sección 3.5, debe tener cuidado, porque Mathematica muestra a menudo expresiones algebraicas en una forma diferente a como las trata internamente. Coefficient trabaja incluso con polinomios que no están explícitamente expandidos. Coefficient[(1 + 3x + 4y^2)^2, x] Numerator[expr] Denominator[expr] numerador de expr denominador de expr Funciones para seleccionar partes de expresiones racionales. He aquí una expresión racional. r = (1 + x)/(2 (2 - y))
  • 58. 57 Denominator selecciona el denominador. Denominator[%] Denominator da 1 para las expresiones que no son cocientes. Denominator[1/x + 2/y] 1 5.8. Controlar la presentación de expresiones grandes Cuando usted hace cálculos simbólicos, es muy fácil encontrarse con expresiones extremadamente complicadas. A menudo, incluso no deseará ver el resultado completo de un cálculo. Si termina su entrada con un punto y coma, Mathematica hará el cálculo que pidió, pero no mostrará el resultado. Puede sin embargo utilizar % o Out[n] para referirse al resultado. Aunque no desee ver el resultado completo de un cálculo, a menudo necesita ver su forma básica. Puede utilizar Short para presentar la salida de una expresión, omitiendo algunos de los términos. Terminar su entrada con ; impide a Mathematica mostrar el resultado complicado de un cálculo. Expand[(x + 5 y + 10)^8] ; Usted puede referirse al resultado como %. //Short muestra el resultado en una línea. <<n>> indica los n términos que no se han mostrado. % //Short Esto muestra una versión de tres líneas de la expresión. Más partes son visibles ahora. Short[%, 3]
  • 59. 58 Esto da el número total de términos en la suma. Length[%] 45 comando; ejecuta comando pero no imprime el resultado expr//Short muestra expr en una sola línea Short[expr,n] muestra expr en n líneas Algunas formas de acortar su salida. 5.9. Las limitaciones de Mathematica En sólo un comando de Mathematica, usted puede especificar fácilmente un cálculo que sea demasiado complicado de hacer para cualquier ordenador. Por ejemplo, usted podría pedir Expand[(1+x)^(10^100)]. El resultado de este cálculo tendría más términos que el número total de partículas en el universo. Usted no tendría ningún problema para resolver Expand[(1+x)^100] en cualquier ordenador que pueda utilizar Mathematica. Pero cuando usted aumenta el exponente de (1+x), los resultados que consigue tarde o temprano se harán demasiado grandes de almacenar para la memoria de su ordenador. Exactamente en qué punto sucede esto depende no solamente de la cantidad total de memoria que su computadora tiene, sino a menudo también de detalles tales como qué otros trabajos esta realizando su computadora cuando usted intenta hacer su cálculo. Si su ordenador realmente se queda sin memoria en medio de un cálculo, la mayor parte de versiones de Mathematica no tienen ninguna otra opción, más que pararse inmediatamente. Por consiguiente, es importante planificar sus cálculos de modo que ellos nunca necesiten más memoria de la que su ordenador tiene. Incluso si el resultado de un cálculo algebraico es absolutamente simple, las expresiones intermedias que usted genera en el curso del cálculo pueden ser muy complicadas. Esto significa que incluso si el resultado final es pequeño, las partes intermedias de un cálculo pueden ser demasiado grandes de manejar para su ordenador. Si esto sucede, puede particionar su cálculo, y resolver exitosamente cada parte del mismo. Usted debe saber que el esquema interno que Mathematica usa para direccionar la memoria es tal que cuando la parte de un cálculo es terminada, la memoria que se usaba para almacenar las expresiones intermedias que surgen inmediatamente es hecha disponible para nuevas expresiones.
  • 60. 59 El espacio de memoria es el factor restrictivo más común en los cálculos con Mathematica. El tiempo también, sin embargo, puede ser un factor restrictivo. Usted por lo general esta preparado para esperar un segundo, o aún un minuto, para obtener el resultado de un cálculo. Pero no lo esta para esperar una hora o un día, y casi nunca será capaz de esperar un año. El código interno de Mathematica usa algoritmos sumamente eficientes y optimizados. Pero hay algunas tareas para las cuales los mejores algoritmos conocidos siempre tarde o temprano toman una gran cantidad de tiempo. Una cuestión típica es que el tiempo requerido por el algoritmo puede aumentar casi exponencialmente con el tamaño de la entrada. Un caso clásico es la factorización de números enteros–donde los mejores algoritmos conocidos requieren tiempos que crecen casi de manera exponencial con el número de dígitos. En la práctica, usted encontrará que FactorInteger[k] dará un resultado casi inmediato cuándo k tiene menos de aproximadamente 40 dígitos. Pero si k tiene 60 dígitos, FactorInteger[k] puede comenzar a tomar un tiempo inmanejablemente largo. En algunos casos, hay mejora progresiva de los algoritmos que se conocen, de modo que las versiones sucesivas de Mathematica puedan realizar cálculos particulares cada vez más rápidos. Pero las ideas de la teoría de cómputo sugieren que muchos cómputos siempre requerirán una cantidad irreducible de trabajo computacional–de modo que ningún algoritmo más rápido sea encontrado alguna vez para ellos. Hacer aritmética con los números que contienen algunos cientos millones de dígitos. Generar un millón de dígitos de números como π y e . Expandir un polinomio que da un millón de términos. Factorizar un polinomio en cuatro variables con unos cien mil términos. Reducir un sistema de desigualdades cuadráticas para unos miles de componentes independientes. Encontrar las raíces enteras de un polinomio con grado un millón. Aplicación de una regla recurrente un millón de veces. Cálculo de todos los primos hasta diez millones. Encontrar la inversa numérica de una matriz de 1000×1000. Solución de un sistema lineal de un millón de variables con cien mil coeficientes no ceros. Encontrar el determinante de una matriz entera de 250×250. Encontrar el determinante de una matriz simbólica de 20×20.
  • 61. 60 Encontrar las raíces numéricas de un polinomio de grado 200. Solución de un problema de programación lineal con cien mil variables. Encontrar la trasformada de Fourier de una lista con cien millones de elementos. Representación de millón de gráficos primitivos. Clasificar una lista de diez millones de elementos. Buscar una cadena que tiene diez millones de caracteres. Importación de unos diez megabytes de datos numéricos. Formatear unas cien de páginas con salida TraditionalForm. Algunas operaciones que típicamente toman algunos segundos en una PC 2004. 5.10. Uso de símbolos para etiquetar objetos Hay muchas maneras de utilizar símbolos en Mathematica. Hasta ahora, nos hemos concentrado en usar símbolos para almacenar valores y para representar variables matemáticas. Esta sección describe otra manera de utilizar símbolos en Mathematica. La idea es utilizar símbolos como “etiquetas” para diversos tipos de objetos. Trabajar con unidades físicas da un ejemplo simple. Cuando usted especifica la longitud de un objeto, desea dar no solamente un número, sino también las unidades en las cuales se mide la longitud. En la notación estándar, puede ser que escriba una longitud como 12 metros. Usted puede imitar esta notación casi directamente en Mathematica. Puede por ejemplo utilizar simplemente un símbolo metros para indicar las unidades de nuestra medida. El símbolo metros aquí actúa como etiqueta, la cual indica las unidades usadas. 12 metros 12 metros Usted puede añadir longitudes como en este caso. % + 5.3 metros 17.3 metros
  • 62. 61 Esto da una velocidad. % / (25 segundos) Esto convierte a una velocidad en pies por segundo. % /. metros -> 3.28084 pies Hay de hecho un paquete estándar de Mathematica que le permite para trabajar con unidades. El paquete define muchos símbolos que representan los tipos estándar de unidades Cargue el paquete de Mathematica para manejar unidades. <<Miscellaneous`Units` EL paquete usa nombres estandarizados para unidades. 12 Meter/Second La función Convert[expr,units] convierte a unidades especificadas. Convert[ %, Mile/Hour ] Por lo general usted tiene que dar los prefijos para unidades como palabras separadas. Convert[ 3 Kilo Meter / Hour, Inch / Minute ] Esto convierte la temperatura. Convert sólo convierte las unidades de temperatura. ConvertTemperature[20, Fahrenheit, Centigrade]
  • 63. 62 6. Matemáticas simbólicas 6.1. Operaciones básicas La capacidad de Mathematica de tratar con expresiones simbólicas, así como números, le permite usarlo para muchas clases de matemáticas. El cálculo es un ejemplo. Con Mathematica, usted puede diferenciar una expresión simbólicamente, y conseguir una fórmula para el resultado. Esto encuentra la derivada de n x . D[ x^n, x ] He aquí un ejemplo ligeramente más complicado. D[x^2 Log[x + a], x] D[f,x] la derivada (parcial) x f ∂ ∂ Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ fdx Sum[f,{i,imin,imax}] la suma ∑= max min i ii f Solve[lhs==rhs,x] solución para una ecuación en x Series[f,{x,x0,orden}] una expansión de f en series de potencies alrededor del punto 0xx = Limit[f,x->x0] el límite f xx 0 lim → Minimize[f,x] minimización de f con respecto a x Algunas operaciones matemáticas simbólicas. Obtener fórmulas como resultado de cómputos es generalmente deseable cuando es posible. Hay sin embargo muchas circunstancias donde es matemáticamente imposible conseguir una fórmula explícita como resultado de un cómputo. Esto sucede, por ejemplo, cuando intenta solucionar una ecuación para la cual no hay solución de “forma cerrada”. En tales casos, debe recurrir a métodos y aproximaciones numéricas. Éstos se discuten en la sección 7.
  • 64. 63 6.2. Diferenciación He aquí la derivada n x con respecto a x . D[ x^n, x ] Mathematica conoce las derivadas de todas las funciones matemáticas estándar. D[ ArcTan[x], x ] La tercera derivada con respecto a x . D[ x^n, {x, 3} ] La función D[x^n,x] realmente da la derivada parcial, en la cual se asume que n no depende x. Mathematica tiene otra función, llamada Dt, que encuentra derivadas totales, en la cual todas las derivadas se asumen relacionadas. En notación matemática, D[f,x] es como x f ∂ ∂ , mientras Dt[f,x] es como dx df . Puede entenderse Dt como la “derivada total”. Dt da una derivada total, asumiendo que n puede depender de x. Dt[n,x] representa dx dn . Dt[ x^n, x ] Esto da la diferencial total )( n xd . Dt[x] es el diferencial dx . Dt[ x^n ]
  • 65. 64 D[f,x] derivada parcial f x∂ ∂ D[f,x1,x2,...] derivada múltiple f xx K 21 ∂ ∂ ∂ ∂ D[f,{x,n}] derivada repetida n n x f ∂ ∂ Dt[f] diferencial total fd Dt[f,x] derivada total f dx d Algunas funciones de diferenciación. Así como trata variables simbólicamente, usted también puede tratar funciones simbólicamente en Mathematica. Así, por ejemplo, puede encontrar fórmulas para las derivadas de f[x], sin especificar una forma explícita para la función f. Mathematica no sabe como diferenciar f, así que le devuelve un resultado simbólico en términos de f'. D[ f[x], x ] Mathematica utiliza la regla de cadena para simplificar derivadas. D[ 2 x f[x^2], x ] 6.3. Integración He aquí la integral ∫ dxxn en Mathematica. Integrate[x^n, x] He aquí un ejemplo ligeramente más complicado. Integrate[1/(x^4 - a^4), x]
  • 66. 65 Mathematica sabe resolver casi cualquier integral que puede ser expresada en términos de funciones matemáticas estándares. Pero debe comprender que aun cuando un integrando pueda contener sólo funciones simples, su integral puede implicar funciones mucho más complicadas–o no puede ser expresable en absoluto en términos de funciones matemáticas estándares. He aquí una integral simple. Integrate[Log[1 - x^2], x ] Esta integral puede ser expresada sólo en términos de una función de dilogarítmica. Integrate[Log[1 - x^2]/x, x] Esta integral involucra Erf. Integrate[Exp[1 - x^2], x] Y esta otra involucra una función de Fresnel. Integrate[Sin[x^2], x] Esta integral incluso requiere una función hipergeométrica. Integrate[(1 - x^2)^n, x] Esta integral simplemente no puede ser expresada en términos de funciones matemáticas estándares. Por consiguiente, Mathematica la deja como está. Integrate[ x^x, x ]
  • 67. 66 Integrate[f,x] la integral indefinida ∫ dxf Integrate[f,x,y] la integral múltiple ∫ fdydx Integrate[f,{x,xmin,xmax}] la integral definida ∫ max min x x dxf Integrate[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}] la integral múltiple ∫ ∫ max min max min x x y y fdydx Integración. He aquí la integral definida ∫ b a dxx)(sin2 . Integrate[Sin[x]^2, {x, a, b} ] He aquí otra integral definida. Integrate[Exp[-x^2], {x, 0, Infinity}] Mathematica no puede darle una fórmula para esta integral definida. Integrate[ x^x, {x, 0, 1} ] Aunque, puede conseguir un resultado numérico. N[ % ] 0.783431 Esto evalúa la integral múltiple ∫ ∫ + 1 0 0 22 )( x yxdydx . El rango de la variable de integración exterior aparece primero. Integrate[ x^2 + y^2, {x, 0, 1}, {y, 0, x} ]
  • 68. 67 Esto integra 10 x sobre una región circular. Integrate[ x^10 Boole[x^2 + y^2 <= 1], {x, -1, 1}, {y, -1 ,1}] 6.4. Sumas y productos Esto construye la suma ∑ = 7 1i i i x . Sum[x^i/i, {i, 1, 7}] Puede obviarse el límite inferior si éste es igual a 1. Sum[x^i/i, {i, 7}] Los productos se obtienen en forma similar a las sumas. Product[x + i, {i, 1, 4}] Sum[f,{i,imin,imax}] la suma ∑ = max min i ii f Sum[f,{i, imin,imax,di}] la suma con i incrementándose en un paso de di . Sum[f,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax}] la suma anidada ∑ ∑ = = max min max min i ii j jj f Product[f,{i,imin,imax}] el producto ∏ = max min i ii f Sumas y productos.
  • 69. 68 La suma es calculada simbólicamente como una función de n. Sum[i^2, {i, 1, n}] Mathematica también puede dar un resultado exacto para esta suma infinita. Sum[1/i^4, {i, 1, Infinity}] Como en el caso de las integrales, sumas simples pueden conducir a resultados complicados. Sum[x^(i (i + 1)), {i, 1, Infinity}] Esta suma no se puede evaluar exactamente usando funciones matemáticas estándares. Sum[1/(i! + (2i)!), {i, 1, Infinity}] Usted puede sin embargo encontrar una aproximación numérica para el resultado. N[%] 0.373197 Mathematica también tiene una notación para sumas y productos múltiples. Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] representa una suma en i y j , que será escrita en notación matemática estándar como ∑ ∑= = max min max min i ii j jj f . Note que en la notación de Mathematica, como en la notación matemática estándar, el rango de la variable exterior se da primero. Esta es la suma múltiple ∑ ∑= = 3 1 1i i j ji yx . Note que la suma exterior en i se da primero, tal como en la notación matemática.
  • 70. 69 Sum[x^i y^j, {i, 1, 3}, {j, 1, i}] La forma en que se especifica los rangos de las variables en Sum y Product es un ejemplo algo general de la notación de iteradores que Mathematica utiliza. Usted verá esta notación otra vez cuando discutamos la generación de tablas y listas usando Table (sección 9.2), y cuando describamos los lazos Do (sección 8.3). {imax} iterador imax sin incrementar variable alguna {i,imax} i varía de 1 a imax en pasos de 1 {i,imin,imax} i varía de imin a imax en pasos de 1 {i,imin,imax,di} i varía de imin a imax en pasos de di {i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},... i varía de imin a imax, y para cada valor, j varía de jmin a jmax, etc. Notación de iteradores en Mathematica. 6.5. Ecuaciones En la sección 3.2 se discutió asignaciones tales como x = y que asigna a x el valor de y. Esta sección habla de ecuaciones, que prueban una igualdad. La ecuación x == y , prueba si x es igual a y. Esto prueba si 2 + 2 y 4 son iguales. El resultado es el símbolo True. 2 + 2 == 4 True Es muy importante que usted no confunda x = y con x == y . Mientras que x = y es una declaración imperativa que en realidad origina una asignación, x == y simplemente prueba si x y y son iguales, y no causa ninguna acción explícita. x=y asigna el valor de y a x x==y prueba si x e y son iguales Asignaciones y pruebas. Esto asigna a x el valor 4. x = 4 4
  • 71. 70 Si pregunta por x, obtiene 4. x 4 Esto prueba si x es igual a 4. En este caso si es. x == 4 True x es igual a 4 no a 6. x == 6 False Esto remueve el valor asignado a x. x = . Las pruebas que hemos utilizado hasta ahora involucran solamente números, y dan siempre una respuesta definida, True o False. Usted también puede hacer pruebas en expresiones simbólicas. Mathematica no puede obtener un resultado definido para esta comprobación sin que usted especifique un valor numérico para x. x == 5 x == 5 Si reemplaza x por el valor numérico específico 4, la prueba da False. % / x -> 4 False Incluso cuando hace pruebas en expresiones simbólicas, hay algunos casos donde puede conseguir resultados definidos. Algo importante es cuando usted prueba la igualdad de dos expresiones que son idénticas. Independientemente de los valores numéricos que puedan tener las variables en estas expresiones, Mathematica sabe que las expresiones siempre deben ser iguales. Las dos expresiones son idénticas, por eso el resultado es True, independientemente del valor que pueda tener x. 2 x + x^2 == 2 x + x^2 True
  • 72. 71 Mathematica no trata de averiguar si estas expresiones son iguales. En este caso, usar Expand haría que tuvieran la misma forma. 2 x + x^2 == x (2 + x) Las expresiones como x == 4 representan ecuaciones en Mathematica. Hay muchas funciones en Mathematica para manipular y solucionar ecuaciones. Esta es una ecuación en Mathematica. La sección 6.7 discutirá cómo solucionarla para x. x^2 + 2 x - 7 == 0 Puede asignar un nombre a la ecuación. eqn = % Si pregunta por eqn, obtiene la ecuación. eqn 6.6. Operadores relacionales y lógicos x==y igual (también se ingresa como x y) x!=y desigual (también se ingresa como x y) x>y mayor que x>=y mayor o igual que (también se ingresa como x y) x<y menor que x<=y mayor o igual que (también se ingresa como x y) x==y==z todos iguales x!=y!=z todos desiguales (distintos) x>y>z, etc. estrictamente decreciente, etc. Operadores relacionales.
  • 73. 72 Esto prueba si 10 es menor que 7. El resultado es False. 10 < 7 False No todos estos números son desiguales, por esta razón se obtiene False. 3 != 2 != 3 False Puede mezclar < y <=. 3 < 5 <= 6 True Ya que las cantidades involucradas son numéricas, Mathematica puede determinar que esto es verdadero. Pi^E < E^Pi True Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso. x > y x > y !p no (también se ingresa como p) p&&q&&... y (también se ingresa como p q ...) p||q||... o (también se ingresa como p q ...) Xor[p,q,...] o exclusiva (también se ingresa como p q ...) Nand[p,q,...] y Nor[p,q,...] nand y nor (también se ingresan como y ) If[p,then,else] da then si p es True, y else si p es False LogicalExpand[expr] expande expresiones lógicas Operadores lógicos. Ambas pruebas dan True, entonces el resultado es True. 7 > 4 && 2 != 3 True
  • 74. 73 Usted debe recordar que las operaciones lógicas ==, && y || tienen todas doble caracter en Mathematica. Si ha usado un lenguaje de programación como C, estará familiarizado con esta notación. Mathematica no sabe si esto es verdadero o falso. p && q p && q Mathematica deja esta expresión inalterada. (p || q) && !(r || s) (p || q) &&! (r || s) Puede usar LogicalExpand para expandir los términos. LogicalExpand[ % ] (p && !r && !s) || (q && !r && !s) 6.7. Solución de Ecuaciones Una expresión como representa una ecuación en Mathematica. A menudo tendrá que solucionar ecuaciones como esta, para averiguar para qué valores de x son verdaderas. Esto da las dos soluciones de la ecuación cuadrática 0722 =−+ xx . Las soluciones se dan como reemplazos para x. Solve[x^2 + 2x - 7 == 0, x] He aquí los valores numéricos de las soluciones. N[ % ] Usted puede obtener una lista de las soluciones actuales para x aplicando las reglas generadas por Solve a x mediante el operador de reemplazo. x /. %
  • 75. 74 Igualmente puede aplicar los reemplazos a cualquier otra expresión que involucra a x. x^2 + 3 x /. %% Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación, dando una lista de reglas para x x/.solución use la lista de reglas para obtener valores para x expr/.solución use la lista de reglas para obtener valores para cualquier expresión Encuentro y uso de soluciones de ecuaciones. Solve siempre trata de darle fórmulas explícitas para las soluciones de ecuaciones. Sin embargo, es un resultado básico matemático que, para ecuaciones suficientemente complicadas, no pueden darse fórmulas algebraicas explícitas. Si usted tiene una ecuación algebraica en una variable, y la potencia más alta de la variable es menor que cinco, entonces Mathematica siempre puede darle fórmulas para las soluciones. Sin embargo, si la potencia más alta es cinco o más, puede ser matemáticamente imposible dar fórmulas algebraicas explícitas para todas las soluciones. Mathematica siempre puede solucionar ecuaciones algebraicas en una variable cuando la potencia más alta es menor que cinco. Solve[x^4 - 5 x^2 - 3 == 0, x] Esto puede solucionar algunas ecuaciones que involucran potencias más altas. Solve[x^6 == 1, x]
  • 76. 75 Hay algunas ecuaciones, sin embargo, para las cuales es matemáticamente imposible encontrar fórmulas explícitas para las soluciones. Mathematica usa objetos Root para representar las soluciones en este caso. Solve[2 - 4 x + x^5 == 0, x] Incluso aunque usted no pueda conseguir fórmulas explícitas, puede encontrar las soluciones numéricamente. N[ % ] Además de la capacidad de solucionar ecuaciones puramente algebraicas, Mathematica también puede solucionar algunas ecuaciones que implican otras funciones. Después de la impresión de una advertencia, Mathematica devuelve una solución para esta ecuación. Solve[ Sin[x] == a, x ] Es importante comprender que una ecuación tal como ax =)sin( en realidad tiene un número infinito de soluciones posibles, en este caso que se diferencian por múltiplos de π2 . Sin embargo, Solve por defecto da sólo una solución, pero imprime un mensaje que le dice que pueden existir otras soluciones. Usted puede usar Reduce para obtener más información. No hay ninguna solución explícita para una ecuación trascendental como esta. Solve[ Cos[x] == x, x ]
  • 77. 76 Puede encontrar una solución numérica aproximada usando FindRoot, y dando un valor inicial para x. FindRoot[ Cos[x] == x, {x, 0} ] Solve también puede manejar ecuaciones que involucran funciones simbólicas. En tales casos, otra vez imprime una advertencia, luego da resultados en términos de funciones formales inversas. Mathematica devuelve un resultado en términos de la función formal inversa de f. Solve[ f[x^2] == a, x ] Solve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] resuelve un conjunto de ecuaciones simultáneas para x, y, ... Solución de conjuntos de ecuaciones simultáneas. También puede usar Mathematica para solucionar conjuntos de ecuaciones simultáneas. Simplemente da la lista de ecuaciones, y especifica la lista de variables. He aquí una lista de dos ecuaciones simultáneas, para que sean resueltas en las variables x e y. Solve[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, {x, y}] He aquí algunas ecuaciones simultáneas más complicadas. Las dos soluciones se dan como dos listas de reemplazos para x. Solve[{x^2 + y^2 == 1, x + 3 y == 0}, {x, y}]
  • 78. 77 Esto usa las soluciones para evaluar la expresión x + y . x + y /. % Mathematica puede solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas lineales. También puede solucionar gran número de ecuaciones polinómicas simultáneas. Incluso cuando no logra solucionar las ecuaciones explícitamente, Mathematica por lo general las reducirá a una forma mucho más simple. Cuando usted trabaja con sistemas de ecuaciones en varias variables, es a menudo conveniente reorganizar las ecuaciones eliminando algunas variables entre ellos. Esto elimina y entre las dos ecuaciones, dando una sola ecuación para x. Eliminate[{a x + y == 0, 2 x + (1-a) y == 1}, y] Si usted tiene varias ecuaciones, no hay ninguna garantía que exista cualquier solución consistente para una variable particular. No hay ninguna solución consistente para estas ecuaciones, así Mathematica devuelve {}, indicando que el conjunto de soluciones es vacío. Solve[{x==1, x==2}, x] {} No hay tampoco ninguna solución consistente para estas ecuaciones para casi todos los valores de a. Solve[{x==1, x==a}, x] {} La pregunta general de si un sistema de ecuaciones tiene cualquier solución consistente es bastante sutil. Por ejemplo, para la mayor parte de valores de a, las ecuaciones {x==1, x==a} son inconsistentes, así no hay ninguna solución posible para x. Sin embargo, si a es igual a 1, entonces las ecuaciones tienen una solución. Solve da soluciones genéricas para ecuaciones. Desecha cualesquiera soluciones que existen sólo cuando los parámetros satisfacen condiciones especiales.
  • 79. 78 Si usa Reduce en vez de Solve, Mathematica mantendrá todas las posibles soluciones para un sistema de ecuaciones, incluyendo aquellas que requieren condiciones especiales en los parámetros. Esto muestra que las ecuaciones tienen una solución sólo cuando a==1. La notación a==1&&x==1 representa la exigencia que tanto a==1 como x==1 deben ser True (verdaderos). Reduce[{x==a, x==1}, x] Esto da el conjunto completo de posibles soluciones para la ecuación. La respuesta es dada en términos de una combinación de ecuaciones más simples. && indica que las ecuaciones deben ser simultáneamente verdaderas; || indica alternativas. Reduce[a x - b == 0, x] Esto da una combinación más complicada de ecuaciones. Reduce[a x^2 - b == 0, x] Esto da una representación simbólica de todas las soluciones. Reduce[Sin[x] == a, x] Solve[lhs==rhs,x] resuelve una ecuación en x Solve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] resuelve un conjunto de ecuaciones simultáneas en x, y, ... Eliminate[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x, ...}] elimina x, ... en un conjunto de ecuaciones simultáneas Reduce[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x,y, ...}] da un conjunto de ecuaciones simplificadas, incluyendo todas las posibles soluciones Funciones para solucionar y manipular ecuaciones.
  • 80. 79 Reduce también tiene capacidades poderosas para manipular ecuaciones específicamente en números reales o enteros. Esto reduce la ecuación asumiendo que x e y son complejos. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y] Esto incluye las condiciones de que x e y son reales. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Reals] Esto da solamente soluciones enteras. Reduce[x^2 + y^2 == 1, y, Integers] 6.8. Desigualdades Reduce[ineqs, {x, y, ...}] reduce una colección de desigualdades FindInstance[ineqs, {x, y, ...}] encuentra un caso que satisface ineqs Manejo de desigualdades. Esto encuentra una forma reducida para las desigualdades. Reduce[x + y < 1 && y > x > 0, {x, y}] Estas desigualdades no pueden ser satisfechas. Reduce[x + y < 1 && y > x > 1, {x, y}] False
  • 81. 80 Es fácil encontrarse con resultados algo complicados. Reduce[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}] Las ecuaciones a menudo pueden ser solucionadas para dar valores definidos de las variables. Pero las desigualdades solamente definen regiones que pueden ser especificadas por otras desigualdades. Usted puede usar FindInstance para encontrar valores definidos de las variables que satisfacen un conjunto particular de desigualdades. Esto encuentra un punto en la región especificada por las desigualdades. FindInstance[x + y < 1 && y^2 > x > 0, {x, y}] Minimize[{expr,ineq}, {x, y, ...}] minimiza expr mientras satisfaga ineq Maximize[{expr,ineq}, {x, y, ...}] maximiza expr mientras satisfaga ineq Minimización y maximización sujetas. Esto da el máximo, junto con el valor donde ocurre. Maximize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}] Esto da el mínimo, junto con el valor donde ocurre. Minimize[{x^2 + y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}]
  • 82. 81 6.9. Ecuaciones diferenciales DSolve[eqns, y[x], x] resuelve una ecuación diferencial para y[x], tomando a x como variable independiente DSolve[eqns, y, x] da una solución para y en forma de función pura Solución de una ecuación diferencial ordinaria. He aquí la solución de la ecuación diferencial 1)()( +=′ xyaxy . C[1] es un coeficiente que debe ser determinado a partir condiciones de frontera. DSolve[ y'[x] == a y[x] + 1, y[x], x ] Si usted incluye una condición inicial apropiada, no hay ningún coeficiente indeterminado en la solución. DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ] Mientras que ecuaciones algebraicas tales como 12 =+ xx son ecuaciones para variables, ecuaciones diferenciales tales como )()()( xyxyxy =′+′′ son ecuaciones para funciones. En Mathematica, siempre debe dar las ecuaciones diferenciales explícitamente en términos de funciones como y[x], y debe especificar las variables como x de las cuales dependen las funciones. Por consiguiente, debe escribir una ecuación tal como )()()( xyxyxy =′+′′ en la forma y''[x]+y'[x]==y[x]. Usted no debe escribirla como y''+y'==y. Mathematica puede solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias tanto lineales como no lineales, así como listas de ecuaciones simultáneas. Si no especifica las suficientes condiciones iniciales o de frontera, Mathematica dará las soluciones con un número apropiado de coeficientes indeterminados. Cada vez que usted usa DSolve, éste representa a los coeficientes indeterminados por C[1], C[2], etc. He aquí un par de ecuaciones diferenciales simultáneas, sin condiciones iniciales o de frontera. La solución que se obtiene tiene dos coeficientes indeterminados. DSolve[ {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t]}, {x[t], y[t]}, t ]
  • 83. 82 Cuando usted le pide a DSolve que encuentre una solución para y[x], las reglas que devuelve especifican como sustituir y[x] en cualquier expresión. Sin embargo, estas reglas no especifican como sustituir objetos como y'[x]. Si usted quiere manipular soluciones obtenidas con DSolve, a menudo encontrará mejor pedir soluciones para y, antes que para y[x]. Esto da la solución para y como una “función pura”. DSolve[ y'[x] == x + y[x], y, x ] Usted puede ahora usar al operador de reemplazo para aplicar esta solución a expresiones que involucran a y. y''[x] + y[x] /. % Note que DSolve puede manejar combinaciones de ecuaciones diferenciales algebraicas. También puede manejar ecuaciones diferenciales parciales, en las cuales hay más de una variable independiente. 6.10. Series de potencias Las operaciones matemáticas de las que hemos hablado hasta ahora son exactas. Considerando la entrada exacta, sus resultados son fórmulas exactas. En muchas situaciones, sin embargo, usted no necesita un resultado exacto. Puede ser suficiente, por ejemplo, encontrar un fórmula aproximada que es válida, digamos, cuando la cantidad x es pequeña. Esto da una aproximación en serie de potencias para n x)1( + alrededor de 0, hasta los términos de orden 3. Series[(1 + x)^n, {x, 0, 3}]
  • 84. 83 Mathematica conoce las expansiones en serie de potencias para muchas funciones matemáticas. Series[Exp[-a t] (1 + Sin[2 t]), {t, 0, 4}] Si usted da una función que no conoce, Series escribe la serie de potencias en términos de derivadas. Series[1 + f[t], {t, 0, 3}] Las series de potencias son fórmulas aproximadas que juegan el mismo papel con respecto a las expresiones algebraicas como los números aproximados con las expresiones numéricas. Mathematica le permite realizar operaciones en series potencias, en todos los casos mantiene el orden apropiado o el “grado de precisión” para las series de potencias resultantes. He aquí una serie de potencias simple, de orden 3. Series[Exp[x], {x, 0, 3}] Cuando usted hace las operaciones en una serie de potencias, el resultado es calculado sólo en el orden apropiado en x. %^2 (1 + %) Esto cambia la serie de potencias en una expresión ordinaria. Normal[%]
  • 85. 84 Ahora el cuadrado es calculado exactamente. %^2 Al aplicar Expand se obtiene un resultado con once términos. Expand[%] Series[expr, {x, x0, n}] encuentra la expansión en serie de potencias de expr alrededor del punto 0xx = de n-ésimo orden Normal[series] trunca una serie de potencias para dar una expresión ordinaria Operaciones en series de potencias. 6.11. Límites He aquí la expresión xx /)sin( . t = Sin[x]/x Si sustituye x por 0, la expresión se hace 0/0, y obtiene un resultado indeterminado. t /. x->0 Indeterminate Si encuentra el valor numérico de xx /)sin( para un x próximo a 0, usted consigue un resultado próximo a 1. t /. x->0.01 0.999983
  • 86. 85 Esto encuentra el límite de xx /)sin( cuando x tiende a 0. El resultado es ciertamente 1. Limit[t, x->0] 1 Limit[expr, x->x0] el límite de expr cuando x tiende a x0 Límites. 6.12. Transformadas integrales LaplaceTransform[expr, t, s] encuentra la transformada de Laplace de expr InverseLaplace Transform[expr, t, s] encuentra la transformada inversa de Laplace de expr Transformadas de Laplace. Esto calcula la transformada de Laplace. LaplaceTransform[t^3 Exp[a t], t, s] He aquí la transformada inversa. InverseLaplaceTransform[%, s, t] FourierTransform[expr, t, w] encuentra la transformada simbólica de Fourier de expr InverseFourier Transform[expr, t, w] encuentra la transformada inversa de Fourier de expr Transformadas de Fourier. Esto calcula la transformada de Fourier. FourierTransform[t^4 Exp[-t^2], t, w]
  • 87. 86 He aquí la transformada inversa. InverseFourierTransform[%, w, t] Note que en la literatura científica y técnica muchas convenciones diferentes son usadas para definir transformadas de Fourier. 6.13. Ecuaciones recurrentes RSolve[eqns, a[n], n] resuelve las ecuaciones recurrentes eqns para a[n] Solución de ecuaciones recurrentes. Esto resuelve una ecuación recurrente simple. RSolve[{a[n] == 3 a[n-1]+1, a[1]==1}, a[n], n] He aquí una solución más complicada de otra ecuación recurrente. RSolve[{a[n+1] == (a[n]+1)/(n+1), a[1]==0}, a[n], n] He aquí la solución de una ecuación recurrente con dos condiciones iniciales. RSolve[{a[n+2] == (3 a[n+1]-a[n])/2, a[1]==0, a[2]==1}, a[n], n] 6.14. Paquetes para matemáticas simbólicas Hay muchos paquetes de Mathematica que implementan operaciones matemáticas simbólicas. Esta sección da algunos ejemplos del conjunto paquetes estándares distribuidos con Mathematica. Sin embargo, debe tener en cuenta que algunas
  • 88. 87 copias de Mathematica pueden inicializarse de modo que las funciones aquí descritas sean cargadas automáticamente si son alguna vez necesarias. Análisis vectorial <<Calculus`VectorAnal ysis` carga el paquete de análisis vectorial SetCoordinates[ system[names]] especifica el sistema de coordenadas a usarse (Cartesian, Cylindrical, Spherical, etc.), dando los nombres de las coordenadas en ese sistema Grad[f] evalúa el gradiente f∇ de f en el sistema de coordenadas escogido Div[f] evalúa la divergencia f⋅∇ de la lista f Curl[f] evalúa el rotacional f×∇ de la lista f Laplacian[f] evalúa el laplaciano f2 ∇ de f Análisis vectorial. Esto carga el paquete de análisis vectorial. En algunas versiones de Mathematica, puede que no tenga que cargar el paquete explícitamente. <<Calculus`VectorAnalysis` Esto especifica que usted desea usar un sistema de coordenadas esférico con las coordenadas r, theta y phi. SetCoordinates[Spherical[r, theta, phi]] Esto evalúa el gradiente de )sin(2 θr en el sistema de coordenadas esféricas. Grad[r^2 Sin[theta]]
  • 89. 88 Métodos variacionales <<Calculus`Variationa lMethods` carga el paquete de métodos variacionales VariationalD[f, y[x], x] encuentra la derivada variacional de f Métodos variacionales. Esto carga el paquete de métodos variacionales. <<Calculus`VariationalMethods` Esto encuentra la derivada funcional de )()( xyxy ′ . VariationalD[y[x] Sqrt[y'[x]], y[x], x] Cuaterniones <<Algebra`Quaternions` carga el paquete de cuaterniones Quaternion[a, b, c, d] el cuaternión dkcjbia +++ Cuaterniones. Esto carga el paquete de cuaterniones. <<Algebra`Quaternions` Esto encuentra la principal raíz cuadrada de un cuaternión. Sqrt[Quaternion[1, 1, 1, 0]]
  • 90. 89 6.15. Casos genéricos y no genéricos Esto da un resultado para la integral de n x que es válida para casi todos los valores de n. Integrate[x^n, x] Para el caso especial de 1− x , sin embargo, el resultado correcto es diferente. Integrate[x^-1, x] Log[x] El objetivo general del cálculo simbólico es conseguir fórmulas que son válidas para muchos valores posibles de las variables que aparecen en ellas. No es a menudo práctico tratar de obtener fórmulas que son válidas para absolutamente todo valor posible de cada variable. Mathematica siempre reemplaza x/0 por 0. 0 / x 0 Si x es igual 0, sin embargo, el resultado no es 0. 0 / 0 Indeterminate Esta construcción trata ambos casos, pero sería poco utilizable. If[x != 0, 0, Indeterminate] Si Mathematica no sustituyera automáticamente x/0 por 0, entonces pocos cálculos simbólicos serían posibles. Pero debe comprender que la necesidad práctica de hacer tales reemplazos puede hacer que se obtengan resultados absurdos cuando se usan valores específicos de los parámetros.
  • 91. 90 Las operaciones básicas de Mathematica sin embargo son instaladas con cuidado de modo que siempre sea posible que los resultados obtenidos sean válidos para casi todos los valores de cada variable. 2 x no es automáticamente reemplazada por x. Sqrt[x^2] Si así fuera, entonces este resultado sería -2, que es incorrecto. % /. x -> -2 2 Esto hace que x se asuma como una variable real positiva, y la reemplaza. Simplify[Sqrt[x^2], x > 0] x Esto hace que x se asuma como una variable real negativa, y la reemplaza. Simplify[Sqrt[x^2], x < 0] x 6.16. Notación matemática en cuadernos Si usted usa una interfase de cuaderno para Mathematica (sección 4.1), entonces usted puede ingresar algunas operaciones mencionadas en esta sección de modo especial. Sum[f,{i,imin,imax}] suma Product[f,{i,imin,imax}] producto Integrate[f, x] integral indefinida Integrate[f,{x,xmin, xmax}] integral definida D[f, x] derivada parcial D[f, x, y] derivada parcial múltiple Formas especiales y ordinarias de ingresar operaciones matemáticas en cuadernos.
  • 92. 91 Esto muestra parte de la paleta estándar para ingresar operaciones matemáticas. Cuando usted presiona un botón en la paleta, la forma mostrada en el botón se inserta en su cuaderno, con el cuadrado negro substituido por lo que usted había seleccionado en el cuaderno. signo de sumatoria signo de producto signo de integral diferencial especial para uso en integrales derivada parcial mueve a la posición de subíndice o límite inferior de un integral mueve a la posición de superíndice o límite superior de un integral mueve a la posición subescritura o límite inferior de una suma o producto mueve a la posición de sobreescritura o límite superior de una suma o producto cambia entre posiciones superiores e inferiores retorna de posiciones superiores o inferiores Formas de ingresar notaciones especiales en un teclado estándar de lenguaje Inglés. Usted puede ingresar un integral como esta. Asegúrese de usar la diferencial especial ingresada como , no sólo una d ordinaria.
  • 93. 92 Aquí está la secuencia real clave que usted escribe para conseguir la entrada. 7. Matemáticas numéricas 7.1. Operaciones básicas Los resultados exactos simbólicos son por lo general muy deseados cuando pueden ser obtenidos. En muchos cálculos, sin embargo, no es posible conseguir resultados simbólicos. En tales casos, usted debe recurrir a métodos numéricos. N[expr] valor numérico de una expresión (ver sección 2) NIntegrate[f,{x, xmin, xmax}] aproximación numérica para ∫ max min x x dxf NSum[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∑ ∞ mini f FindRoot[lhs==rhs, {x, x0}] encuentra la solución numérica para una ecuación, empezando con 0xx = NSolve[lhs==rhs, x] aproximaciones numéricas de todas las soluciones de una ecuación FindMinimum[f,{x, x0}] encuentra un mínimo de f, empezando con 0xx = NMinimize[f, x] intenta encontrar el mínimo global de f Operaciones numéricas básicas. Mathematica mantiene esta expresión en forma simbólica exacta. (3 + Sqrt[2])^3 Usted puede incluso usar operaciones estándares simbólicas en ella. Expand[ % ]
  • 94. 93 N[expr] da una aproximación numérica. N[ % ] 86.0122 Funciones como Integrate siempre procuran obtener resultados exactos para los cálculos. Cuando no pueden obtenerlos, devuelven los resultados sin evaluar. Usted entonces puede encontrar aproximaciones numéricas explícitamente aplicando N. Funciones como NIntegrate hacen los cálculos numéricamente desde el principio, sin ninguna tentativa de obtener un resultado exacto. No hay una fórmula exacta para esta integral, por lo cual Mathematica la devuelve sin evaluar. Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}] Puede usar N para obtener un resultado numérico aproximado. N[ % ] 0.81645 NIntegrate resuelve la integral en forma numérica desde el inicio. NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 1, 2}] 0.81645 7.2. Sumas, productos e integrales numéricos NSum[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∑ ∞ mini f NProduct[f,{i, imin, Infinity}] aproximación numérica para ∏ ∞ mini f NIntegrate[f,{x, xmin, xmax}] aproximación numérica para ∫ max min x x dxf NIntegrate[f,{x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax}] la integral múltiple ∫ ∫ max min max min x x y y fdydx Sumas, productos e integrales numéricos.
  • 95. 94 He aquí una aproximación numérica ∑ ∞ =1 3 1 i i . NSum[1/i^3, {i, 1, Infinity}] 1.20206 NIntegrate puede manejar singularidades en los puntos finales de la región de integración. NIntegrate[1/Sqrt[x (1-x)], {x, 0, 1}] 3.14159 Puede resolver integrales numéricas sobre regiones infinitas. NIntegrate[Exp[-x^2], {x, -Infinity, Infinity}] 1.77245 He aquí una integral doble sobre un dominio triangular. Note el orden en el cual se ingresan las variables. NIntegrate[ Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x} ] 0.119906 He aquí una integral doble sobre un dominio limitado por dos parábolas. NIntegrate[ x^2 + y^2, {x, -1, 1}, {y, x^2 - 1, -x^2 + 1}] 1.14286 7.3. Solución numérica de ecuaciones NSolve[lhs==rhs, x] soluciona numéricamente una ecuación polinomial NSolve[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{x, y, ...}] soluciona numéricamente un sistema de ecuaciones polinomiales FindRoot[lhs==rhs, {x, x0}] encuentra una solución numérica para una ecuación, empezando en 0xx = FindRoot[{lhs1==rhs1, lhs2==rhs2, ...},{{x, x0}, {x, x0},...}] encuentra soluciones numéricas para ecuaciones simultáneas Búsqueda de raíces numéricas.
  • 96. 95 NSolve le da aproximaciones numéricas a todas las raíces de una ecuación polinomial. NSolve[ x^5 + x + 1 == 0, x ] También puede usar NSolve para resolver numéricamente sistemas simultáneos de ecuaciones. NSolve[{x + y == 2, x - 3 y + z == 3, x - y + z == 0}, {x, y, z}] Si sus ecuaciones involucran sólo funciones lineales o polinómicas, entonces puede usar NSolve para obtener aproximaciones numéricas de todas las soluciones. Sin embargo, cuando sus ecuaciones involucran funciones más complicadas, no hay en general ningún procedimiento sistemático para obtener todas las soluciones, aún numéricamente. En tales casos, puede usar FindRoot para buscar soluciones. Tiene que dar a FindRoot un valor para que empiece la búsqueda. Esto encuentra una solución numérica, empezando en 1=x . FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 1} ] La ecuación tiene varias soluciones. Si usted comienza con un x diferente, FindRoot puede devolver una solución diferente. FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 10} ] Usted puede buscar soluciones para sistemas de ecuaciones. Aquí la solución involucra números complejos. FindRoot[{x == Log[y], y == Log[x]}, {{x, I}, {y, 2}}]
  • 97. 96 7.4. Ecuaciones diferenciales numéricas NDSolve[eqs, y, {x, xmin, xmax}] soluciona numéricamente para la función y, con la variable independiente x en el rango xmin a xmax NDSolve[eqs, {y1, y2, ...}, {x, xmin, xmax}] soluciona un sistema de ecuaciones para las yi Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Esto genera una solución numérica para la ecuación )()( xyxy =′ con 20 << x . El resultado está dado en términos de una función interpolante. NDSolve[{y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 2}] He aquí el valor de )5.1(y . y[1.5] /. % {4.48169} Con una ecuación algebraica como 132 ++ xx , cada solución para x es simplemente un número. Para una ecuación diferencial, sin embargo, la solución es una función. Por ejemplo, en la ecuación )()( xyxy =′ , usted obtiene una aproximación a la función )(xy con la variable independiente x que varía sobre algún rango. Mathematica representa aproximaciones numéricas a funciones como objetos. Estos objetos son las funciones que, cuando se aplican a un x particular, devuelven el valor aproximado de )(xy en aquel punto. InterpolatingFunction en forma eficaz almacena una tabla de valores para )( ixy , luego interpola esta tabla para encontrar una aproximación para )(xy en el x particular que usted solicita. y[ x]/.solución usa la lista de reglas de la función y para obtener valores para y[ x] InterpolatingFunc tion[data, x] evalúa una función interpolada en el punto x Plot[Evaluate[y[ x]/. solución],{x, xmin, xmax}] grafica la solución de la ecuación diferencial Uso de los resultados de NDSolve.
  • 98. 97 Esto soluciona un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas. NDSolve[ {y'[x] == z[x], z'[x] == -y[x], y[0] == 0, z[0] == 1}, {y, z}, {x, 0, Pi} ] He aquí el valor de z[2] hallado a partir de la solución. z[2] /. % {-0.416147} He aquí el gráfico de la solución para z[x] encontrada anteriormente. Plot se discute en la sección 10.1. Plot[Evaluate[z[x] /. %%], {x, 0, Pi}] NDSolve[eqn, u, {x, xmin, xmax}, {t, tmin, tmax},...] resuelve una ecuación diferencial parcial Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. 7.5. Optimización numérica NMinimize[f,{x, y, ...}] minimiza f NMaximize[f,{x, y, ...}] maximiza f NMinimize[{f, ineqs}, {x, y, ...}] minimiza f sujeto a las restricciones ineqs NMaximize[{f, ineqs}, {x, y, ...}] maximiza f sujeto a las restricciones ineqs Obtención de máximos y mínimos globales.
  • 99. 98 Esto da el valor máximo, y dónde es que ocurre. NMaximize[x/(1 + Exp[x]), x] Esto minimiza la función dentro del círculo unitario. NMinimize[{Cos[x] - Exp[x y], x^2 + y^2 < 1}, {x, y}] FindMinimum[f,{x, x0}] busca un mínimo local de f, comenzando en 0xx = FindMinimum[f,{{x, x0}, {y, y0}, ...}] busca un mínimo local en varias variables FindMaximum[f,{x, x0}] busca un máximo local de f, comenzando en 0xx = FindMaximum[f,{{x, x0}, {y, y0}, ...}] busca un máximo local en varias variables Búsqueda de máximos y mínimos locales. NMinimize y NMaximize pueden encontrar los mínimos y máximos absolutos de muchas funciones. Pero en algunos casos no es realista hacer esto. Usted puede buscar mínimos y máximos locales usando FindMinimum y FindMaximum. Esto busca un mínimo local de )cos(xx , empezando en 2=x . FindMinimum[x Cos[x], {x, 2}] Con un punto de partida diferente, usted puede obtener un mínimo local diferente. FindMinimum[x Cos[x], {x, 10}] Esto encuentra un mínimo local de )sin( yx . FindMinimum[Sin[x y], {{x, 2}, {y, 2}}]
  • 100. 99 7.6. Manipulación de datos numéricos Cuando usted tiene datos numéricos, es a menudo conveniente encontrar una fórmula simple que los aproxime. Por ejemplo, usted puede tratar de “ajustar” (“fit”) una línea o curva tomando los puntos de sus datos. Fit[{y1, y2, ...}, {f1, f2, ...}, x] ajusta los valores ny para una combinación lineal de funciones if Fit[{{x1, y1},{x2, y2}, ...},{f1, f2, ...}, x] ajusta los puntos ),( nn yx para una combinación lineal de las if Ajuste de curvas para una combinación lineal de funciones. Esto genera una tabla de valores numéricos de la función exponencial. Table se discutirá en la sección 9.2. data = Table[ Exp[x/5.] , {x, 7}] Esto encuentra un ajuste de mínimos cuadrados para data de la forma 2 321 xcxcc ++ . Los elementos de data se hacen corresponder con valores 1, 2, ... de x. Fit[data, {1, x, x^2}, x] Esto encuentra un ajuste de la forma 7 5 5 4 3 321 xcxcxcxcc ++++ . Fit[data, {1, x, x^3, x^5, x^7}, x] Esto da una tabla de pares yx, . data = Table[ {x, Exp[Sin[x]]} , {x, 0., 1., 0.2}]
  • 101. 100 Esto encuentra un ajuste para los nuevos datos, de la forma )2sin()sin( 321 xcxcc ++ . Fit[%, {1, Sin[x], Sin[2x]}, x] FindFit[data, form, {p1, p2, ...}, x] encuentra un ajuste para form con parámetros ip Ajuste de datos en formas generales. Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general. FindFit[data, a + b x + c x^2, {a, b, c}, x] Este no es un ajuste lineal. FindFit[data, a + b^(c + d x), {a, b, c, d}, x] Una forma común de elegir “señales” en datos numéricos es encontrar la transformada de Fourier, o espectro de frecuencia, de los datos. Fourier[data] transformada numérica de Fourier InverseFourier[data] transformada inversa de Fourier Transformadas de Fourier. He aquí un pulso cuadrado simple. data = {1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1} Esto toma la transformada de Fourier del pulso. Fourier[data] Note que la función Fourier en Mathematica es definida con la convención de signo típicamente usada en las ciencias físicas en contraste a la que a menudo es usada en ingeniería eléctrica.
  • 102. 101 7.7. Estadística Mean[data] media (promedia valores) Median[data] mediana (valor central) Variance[data] varianza StandardDevia tion[data] desviación estándar Quantile[data, q] cuantil q-ésimo Total[data] total de valores Estadística descriptiva básica. He aquí algunos datos. data = {4.3, 7.2, 8.4, 5.8, 9.2, 3.9} Esto da la media de sus datos. Mean[data] He aquí la varianza. Variance[data] El conjunto de paquetes estándares distribuidos con Mathematica incluyen varios comandos para hacer análisis estadísticos de datos más sofisticados. Statistics`Descripti veStatistics` funciones de estadística descriptiva Statistics`Multiva riateDescripti veStatistics` funciones de estadística descriptiva multivariante Statistics`Conti nuousDistributions` propiedades de distribuciones estadísticas continuas Statistics`Discre teDistributions` propiedades de distribuciones estadísticas discretas Statistics`Hypo thesisTests` contrastes de hipótesis basados en la distribución normal Statistics`Confi denceIntervals` intervalos de confianza sacados de la distribución normal
  • 103. 102 Statistics`Multi normalDistribution` propiedades de distribuciones basadas en la distribución normal multivariante Statistics`Li nearRegression` análisis de regresión lineal Statistics`Non linearFit` ajuste no lineal de datos Statistics`Data Smoothing` alisamiento de datos Statistics`Data Manipulation` utilidades para manipulación de datos Algunos paquetes estándares de análisis estadístico. 8. Funciones y programas 8.1. Definición de funciones En esta parte del libro, hemos visto muchos ejemplos de funciones que son construidas en Mathematica. En esta sección, mostramos como usted puede añadir sus propias funciones simples a Mathematica. La parte 2 describirá en mayor detalle los mecanismos para añadir funciones a Mathematica. Como un primer ejemplo, piense añadir una función llamada f que eleva al cuadrado su argumento. El comando en Mathematica para definir esta función es f[x_]:=x^2. El _ (subguión) del miembro de la izquierda es muy importante; lo que esto significa será mencionado debajo. Por ahora, solamente acuérdese de poner un _ en el miembro de la izquierda, pero no en el miembro de la derecha, de su definición. Esto define la función f. Note el _ en el miembro de la izquierda. f[x_] := x^2 f eleva al cuadrado su argumento. f[a+1] El argumento puede ser un número. f[4]
  • 104. 103 O puede ser una expresión más complicada. f[3x + x^2] Usted puede usar f en un cálculo. Expand[f[(x+1+y)]] Esto muestra la definición que usted hizo para f. ?f f[x_]:=x^2 define la función f ?f muestra la definición de f Clear[f] borra todas las definiciones de f Definición de una función en Mathematica. Los nombres como f que usa para funciones en Mathematica son solamente símbolos. A causa de esto, debería evitar usar nombres que comienzan con mayúsculas, para prevenir la confusión con las funciones predefinidas en Mathematica. También debería asegurarse que no ha usado los nombres anteriormente en su sesión. Las funciones en Mathematica pueden tener cualquier número de argumentos. hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^2 / xmax Usted puede usar la función hump tal como cualquiera de las funciones predefinidas. 2 + hump[x, 3.5] Esto da una nueva definición para hump, que sobrescribe la anterior. hump[x_, xmax_] := (x - xmax)^4
  • 105. 104 La nueva definición es mostrada. ?hump Esto limpia todas las definiciones para hump. Clear[hump] Cuando ha terminado con una función particular, es siempre buena idea limpiar definiciones que haya hecho para ella. Si no hace esto, entonces podría incurrir en un problema si trata de usar la misma función para un propósito diferente más adelante en su sesión de Mathematica. Usted puede limpiar todas las definiciones que haya hecho para una función o símbolo f usando Clear[f]. 8.2. Funciones como procedimientos En muchas clases de cálculos, usted puede encontrarse digitando la misma entrada a Mathematica muchas veces. Usted puede ahorrarse mucha digitación definiendo una función que contiene sus comandos de entrada. Esto construye un producto de tres términos, y expande el resultado. Expand[ Product[x + i, {i, 3}] ] Esto hace lo mismo, pero con cuatro términos. Expand[ Product[x + i, {i, 4}] ] Esto define una función exprod que construye un producto de n términos, luego lo expande. exprod[n_] := Expand[ Product[ x + i, {i, 1, n} ] ] Siempre que usa la función, ejecutará las operaciones Product y Expand. exprod[5]
  • 106. 105 Las funciones que define en Mathematica son esencialmente procedimientos que ejecutan los comandos que usted da. Puede tener varios pasos en sus procedimientos, separados por puntos y coma. El resultado que obtiene de la función es simplemente la última expresión en el procedimiento. Note que tiene que poner paréntesis alrededor del procedimiento cuando lo define. cex[n_, i_] := ( t = exprod[n]; Coefficient[t, x^i] ) Esto “corre” el procedimiento. cex[5, 3] expr1; expr2; ... una secuencia de expresiones para evaluar Module[{a, b, ...}, proc] un procedimiento con variables locales a, b, ... Construcción de procedimientos. Cuando usted escribe procedimientos en Mathematica, es por lo general una buena idea declarar como locales las variables que usa dentro de los procedimientos, de modo que no interfieran con cosas fuera de los procedimientos. Puede hacer esto estableciendo sus procedimientos como módulos, en los cuales da una lista de variables para ser tratadas como locales. La función cex arriba definida no es un módulo, así que el valor de t “escapa”, y existe incluso después de la evaluación de la función. t Esta función es definida como un módulo con variable local u. ncex[n_, i_] := Module[{u}, u = exprod[n]; Coefficient[u, x^i]] La función devuelve el mismo resultado que la anteriormente definida. ncex[5, 3]
  • 107. 106 Ahora, sin embargo, el valor de u no se escapa de la función. u 8.3. Operaciones repetitivas En el uso de Mathematica, a veces tiene que repetir una operación muchas veces. Hay muchos modos de hacer esto. A menudo el más natural es de hecho establecer una estructura como una lista con muchos elementos, y luego aplicar su operación a cada uno de los elementos. Otra forma es usar la función de Mathematica Do, que trabaja de manera muy parecida a los iteradores en lenguajes como C y Fortran. Do usa la notación estándar de Mathematica para iteradores introducida para Sum y Product en la sección 6.4. Do[expr, {i, imax}] evalúa expr con i variando de 1 a imax Do[expr, {i, imin, imax, di}] evalúa expr con i variando de imin a imax en pasos de di Print[expr] imprime expr Table[expr, {i, imax}] hace una lista de valores de expr con i variando de 1 a imax Implementación de operaciones repetitivas. Esto imprime las salidas de los valores de los cinco primeros factoriales. Do[ Print[i!], {i, 5} ] A menudo es más útil tener una lista de los resultados, que usted luego puede manipular posteriormente. Table[ i!, {i, 5} ]
  • 108. 107 Si usted no da una variable de iteración, Mathematica simplemente repite la operación que usted ha especificado, sin cambiar algo. r = 1; Do[ r = 1/(1 + r), {100} ]; r 8.4. Reglas de transformación para funciones La sección 5.2 mencionó como usted puede usar las reglas de transformación de la forma x->valor para sustituir símbolos por valores. La noción de reglas de transformación en Mathematica es, sin embargo, bastante general. Usted puede establecer reglas de transformación no sólo para símbolos, sino para cualquier expresión de Mathematica. Aplicación de la regla de transformación x->3 que reemplaza x por 3. 1 + f[x] + f[y] /. x -> 3 Puede usar una regla de transformación para f[x]. Esta regla no afecta a f[y]. 1 + f[x] + f[y] /. f[x] -> p f[t_] es un patrón que admite cualquier argumento para f. 1 + f[x] + f[y] /. f[t_] -> t^2 Probablemente el aspecto más potente de las reglas de transformación en Mathematica es que ellas pueden involucrar expresiones no sólo literales, sino también patrones. Un patrón es una expresión como f[t_] que contiene un _ (subguión). El subguión representa cualquier expresión. Así, una regla de transformación para f[t_] especifica cómo la función f con cualquier argumento debería ser transformada. Note que, en contraste, una regla de transformación para f[x] sin un subguión, especifica sólo como la expresión literal f[x] debería ser transformada, y por ejemplo, no dice nada sobre la transformación de f[y].
  • 109. 108 Cuando usted da una definición de función como f[t_]:=t^2, todo lo que hace es decir a Mathematica que aplique automáticamente la regla de transformación f[t_]->t^2 siempre que es posible. Usted puede establecer reglas de transformación para expresiones de cualquier forma. f[a b] + f[c d] /. f[x_ y_] -> f[x] + f[y] Esto usa una regla de transformación para x^p_. 1 + x^2 + x^4 /. x^p_ -> f[p] Las secciones 2.3 y 2.5 explicarán detalladamente como establecer patrones y reglas de transformación para cualquier clase de expresión. Basta decir aquí que en Mathematica todas las expresiones tienen una estructura simbólica definida; las reglas de transformación le permiten transformar partes de aquella estructura. 9. Listas 9.1. Juntar objetos Primero encontramos listas en la sección 3.3 como una forma de agrupar números. En esta sección, veremos diferentes formas de usar listas. Usted encontrará que las listas son algunos de los objetos más flexibles y poderosos en Mathematica. Verá que las listas en Mathematica representan las generalizaciones de varios conceptos estándar en matemáticas e informática. En un nivel básico, lo que esencialmente hace una lista en Mathematica es proporcionar una forma de agrupar varias expresiones de cualquier clase. He aquí una lista de números. {2, 3, 4} Esto da una lista de expresiones simbólicas. x^% - 1
  • 110. 109 Usted puede derivar estas expresiones. D[%, x] Y luego puede encontrar los valores cuando x es reemplazado por 3. % /. x -> 3 Las funciones matemáticas que son construidas en Mathematica sobre todo son hechas “listables” de modo que actúen separadamente sobre cada elemento de una lista. Esto no es, sin embargo, cierto para todas las funciones en Mathematica. A no ser que usted las establezca, como una nueva función f que le permita introducir listas como argumentos. 9.2. Fabricación de tablas de valores Usted puede usar listas como tablas de valores. Puede generar las tablas, por ejemplo, evaluando una expresión para una secuencia de diferentes valores de un parámetro. Esto da una tabla de los valores de 2 i , con i variando de 1 a 6. Table[i^2, {i, 6}] He aquí una tabla de )5/sin(n para n de 0 a 4. Table[Sin[n/5], {n, 0, 4}] Esto da los valores numéricos. N[%] También puede hacer tablas de fórmulas. Table[x^i + 2i, {i, 5}]
  • 111. 110 Table usa exactamente la misma notación para el iterador que las funciones Sum y Product, que fueron mencionadas en la sección 6.4. Product[x^i + 2i, {i, 5}] Esto hace una tabla con valores de x variando desde 0 hasta 1 en pasos de 0.25. Table[Sqrt[x], {x, 0, 1, 0.25}] Usted puede realizar otras operaciones en las listas que obtiene con Table. %^2 + 3 TableForm muestra las listas en un formato “tabular”. Note que ambas palabras en TableForm empiezan con mayúsculas. % // TableForm Todos los ejemplos hasta ahora han sido de tablas obtenidas variando un sólo parámetro. Usted también puede hacer tablas que involucran varios parámetros. Estas tablas multidimensionales son especificadas usando las notaciones estándares para el iterador en Mathematica, mencionadas en la sección 6.4. Esto hace una tabla de ji yx + con i variando desde 1 hasta 3 y j variando desde 1 hasta 2. Table[x^i + y^j, {i, 3}, {j, 2}] La tabla en este ejemplo es una lista de listas. Los elementos de la lista externa corresponden a los valores sucesivos de i . Los elementos de cada lista interior corresponden a los valores sucesivos de j , con i fijo.
  • 112. 111 A veces puede querer generar una tabla evaluando una expresión particular muchas veces, sin incrementar alguna variable. Esto crea una lista conteniendo cuatro copias del símbolo x. Table[x, {4}] Esto da una lista de cuatro números seudo aleatorios. Table reevalúa Random[] para cada elemento en al lista, de modo que usted consigue un número diferente pseudoarbitrario. Table[Random[ ], {4}] Table[f, {imax}] da una lista de imax valores de f Table[f, {i, imax}] da una lista de los valores de f con i variando de 1 a imax Table[f, {i, imin, imax}] da una lista de valores con i variando de imin a imax Table[f, {i, imin, imax, di}] usa pasos de di Table[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}] genera una tabla multidimensional TableForm[list] muestra una lista en forma tabular Funciones para generar tablas. Usted puede usar las operaciones mencionadas en la sección 3.4 para extraer los elementos de la tabla. Esto crea una tabla de 2×2, y le da el nombre m. m = Table[i - j, {i, 2}, {j, 2}] Esto extrae la primera sublista de la lista de listas, m. m[[1]] Esto extrae el segundo elemento de aquella sublista. %[[2]]
  • 113. 112 Esto hace las dos operaciones juntas. m[[1,2]] Esto muestra m en forma “tabular”. TableForm[m] t[[i]] o Part[t, i] da la i-ésima sublista en t (también acepta la forma ) t[[{i1, i2, ...}]] o Part[t, {i1, i2, ...}] da una lista de las i1, i2, ... partes de t t[[i, j, ...]] o Part[t, i, j, ...] da la parte de t correspondiente a t[[i]][[ j]] ... Implementación de operaciones repetitivas. Como mencionamos en la sección 3.4, usted puede usar las listas en Mathematica de modo análogo a los “arrays”. Las listas de listas se usan entonces como series bidimensionales. Cuando usted los presenta en una forma tabular, los dos índices de cada elemento son como sus coordenadas x e y. Puede usar Table para generar arrays de cualquier dimensión. Esto genera un array tridimensional de 2×2×2. Es una lista de listas de listas. Table[i j^2 k^3, {i, 2}, {j, 2}, {k, 2}] 9.3. Vectores y matrices Vectores y matrices en Mathematica simplemente son representados por listas y por listas de listas, respectivamente. {a, b, c} vector ),,( cba {{a, b}, {c, d}} matriz       dc ba Representación de vectores y matrices por listas.
  • 114. 113 Esta es una matriz 2×2. m = {{a, b}, {c, d}} He aquí la primera fila. m[[1]] He aquí el elemento 12m . m[[1,2]] Este es un vector de dos componentes. v = {x, y} Los objetos p y q son tratados como escalares. p v + q Los vectores son sumados componente más componente. v + {xp, yp} + {xpp, ypp} Esto calcula el producto punto (“escalar”) de dos vectores. {x, y} . {xp, yp} Usted también puede multiplicar una matriz por un vector. m . v O una matriz por una matriz. m . m
  • 115. 114 O un vector por una matriz. v . m Esta combinación genera un escalar. v . m . v Debido a la forma en que Mathematica usa listas para representar vectores y matrices, usted nunca tiene que distinguir entre los vectores de la “fila” y de la “columna”. Table[f, {i, n}] construye un vector de longitud n evaluando f para i = 1, 2, ..., n Array[a, n] construye un vector de longitud n de la forma {a[1], a[2], ...} Range[n] crea la lista {1, 2, 3 ... , n} Range[n1, n2] crea la lista { n1, n1 + 1, ... , n2} Range[n1, n2, dn] crea la lista { n1, n1 + dn, ... , n2} list[[i]] o Part[list, i] da el i-ésimo elemento del vector list Length[list] da el número de elementos de list ColumnForm[list] muestra los elementos de list en una columna c v multiplica por un escalar a . b producto punto de vectores Cross[a, b] producto vectorial de vectores Norm[b] norma de un vector Funciones para vectores. Table[f, {i, n}, {j, m}] construye una matriz m×n evaluando f para i variando desde 1 hasta m y j variando desde 1 hasta n Array[a, m, n] construye una matriz m×n con elementos a[i, j] IdentityMatrix[n] genera una matriz identidad n×n DiagonalMatrix[list] genera una matriz cuadrada con los elementos de list en la diagonal list[[i]] o Part[list, i] da la i-ésima fila de la matriz list
  • 116. 115 list[[All, j]] o Part[list, All, j] da la j-ésima columna de la matriz list list[[i, j]] o Part[list, i, j] da el elemento i, j de la matriz list Dimensions[list] da las dimensiones de la matriz list MatrixForm[list] muestra list en forma matricial Funciones para matrices. Esto construye una matriz 3×3 con elementos jis ji +=, . s = Table[i+j, {i, 3}, {j, 3}] Esto muestra s en un formato estándar de matriz bidimensional. MatrixForm[s] Esto da un vector con elementos simbólicos. Usted puede usar esto para obtener fórmulas generales válidas con cualquier tipo de componentes de un vector. Array[a, 4] Esto da una matriz 3×2 con elementos simbólicos. Array[p, {3, 2}] He aquí las dimensiones de la matriz previamente definida. Dimensions[%] Esto genera una matriz diagonal 3×3. DiagonalMatrix[{a, b, c}]
  • 117. 116 c m multiplicación por un escalar a . b producto matricial Inverse[m] matriz inversa MatrixPower[m, n] n-ésima potencia de una matriz Det[m] determinante Tr[m] traza Transpose[m] transpuesta Eigenvalues[m] valores propios Eigenvectors[m] vectores propios Algunas operaciones matemáticas en matrices. He aquí la matriz 2×2 de variables simbólicas que fue definida anteriormente. m Esto da su determinante. Det[m] He aquí la transpuesta de m. Transpose[m] Esto da la inversa de m en forma simbólica. Inverse[m] He aquí una matriz racional 3×3. h = Table[1/(i+j-1), {i, 3}, {j, 3}] Esto da su inversa. Inverse[h]
  • 118. 117 Multiplicando la inversa con la matriz original da la matriz identidad. % . h He aquí una matriz 3×3. r = Table[i+j+1, {i, 3}, {j, 3}] Eigenvalues da los valores propios de la matriz. Eigenvalues[r] Eigenvectors da los vectores propios de la matriz. Eigenvectors[r] Esto da una aproximación numérica de la matriz. rn = N[r] He aquí las aproximaciones numéricas para los valores propios. Eigenvalues[rn] 9.4. Elegir elementos de listas First[list] el primer elemento de la lista Last[list] el último elemento Part[list, n] o list[[n]] el n-ésimo elemento Part[list, –n] o list[[–n]] el n-ésimo elemento empezando del final Part[list, {n1, n2, ...}] o list[[{n1, n2, ...}]] la lista de elementos de las posiciones n1, n2, ... Selección de elementos de listas.
  • 119. 118 Usaremos esta lista para los ejemplos. t = {a,b,c,d,e,f,g} He aquí el último elemento de t. Last[t] Esto da el tercer elemento. t[[3]] Esto da una lista del primero y cuarto elementos. t[[ {1, 4} ]] Take[list, n] los n primeros elementos de list Take[list, –n] los n últimos elementos Take[list, {m, n}] elementos m hasta n (inclusive) Rest[list] list con su primer elemento quitado Drop[list, n] list con sus n primeros elemento quitados Most[list] list con su último elemento quitado Drop[list, –n] list con sus n últimos elemento quitados Drop[list, {m, n}] list con sus elementos m hasta n quitados Selección de secuencias de listas. Esto da los tres primeros elementos de la lista t arriba definida. Take[t, 3] Esto da los tres últimos elementos. Take[t, -3] Esto da los elementos 2 hasta 5 inclusive. Take[t, {2, 5}]
  • 120. 119 Esto da los elementos 3 hasta 7 en pasos de 2. Take[t, {3, 7, 2}] Esto da t con el primer elemento quitado. Rest[t] Usando Drop usted puede realizar la misma operación que con Rest. Drop[t, 1] Esto da t con su primeros tres elementos quitados. Drop[t, 3] Esto da t con sólo su tercer elemento quitado. Drop[t, {3, 4}] Las funciones en esta sección le permiten elegir partes ubicadas en posiciones particulares de las listas. 9.5. Prueba y búsqueda de elementos de una lista Position[list, form] posiciones en las cuales form ocurre en list Count[list, form] número de veces que form aparece como un elemento de list MemberQ[list, form] prueba si form es un elemento de list FreeQ[list, form] prueba si form no ocurre en ninguna parte list Prueba y búsqueda de elementos de una lista.
  • 121. 120 La sección anterior mostró como extraer partes de listas basándose en sus posiciones o índices. Mathematica también tiene funciones que buscan y prueban elementos de listas, basándose en los valores de aquellos elementos. Esto da una lista de las posiciones en las cuales a aparece en la lista. Position[{a, b, c, a, b}, a] Count cuenta el número de ocurrencias de a. Count[{a, b, c, a, b}, a] Esto muestra que a es un elemento de {a,b,c}. MemberQ[{a, b, c}, a] Por otra parte d, no lo es. MemberQ[{a, b, c}, d] Esto asigna a m una matriz identidad 3×3. m = IdentityMatrix[3] Esto muestra que 0 ocurre en alguna parte de m. FreeQ[m, 0] Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 0 en m. Position[m, 0] Esto da una lista de las posiciones en las cuales ocurre 1 en m. Position[m, 1]
  • 122. 121 9.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista Prepend[list, element] agrega element al inicio de list Append[list, element] agrega element al final de list Insert[list, element, i] inserta element en la posición i de list Insert[list, element, –i] inserta en la posición i contando desde el final de list Delete[list, i] borra el elemento de la posición i de list ReplacePart[list, new, i] reemplaza el elemento de la posición i de list con new ReplacePart[list, new, {i, j}] reemplaza list[[i, j]] con new Funciones para manipular elementos en listas explícitas. Esto da una lista con x insertado. Prepend[{a, b, c}, x] Esto inserta x en la posición 2. Insert[{a, b, c}, x, 2] Esto reemplaza el tercer elemento en la lista con x. ReplacePart[{a, b, c, d}, x, 3] Esto reemplaza el elemento 1, 2 en una matriz 2×2. ReplacePart[{{a, b}, {c, d}}, x, {1, 2}] Las funciones como ReplacePart toman listas explícitas y dan nuevas listas. A veces, sin embargo, puede ser que desee modificar una lista, sin generar explícitamente una nueva lista. v = { e1, e2, ...} asigna una lista a una variable v[[i]] = new asigna un nuevo valor para el i-ésimo elemento Reseteo de los elementos de una lista.
  • 123. 122 Esto define v como una lista. v = {a, b, c, d} Esto indica que el tercer elemento debe ser x. v[[3]] = x Ahora v ha sido cambiado. v m[[i,j]] = new reemplaza el elemento i, j de una matriz m[[i]] = new reempaza la i-ésima fila m[[All,j]] = new reempaza la j-ésima columna Reseteo de elementos de matrices. Esto define m como una matriz. m = {{a, b}, {c, d}} Esto reemplaza los elementos de la primera columna de la matriz. m[[All, 1]] = {x, y}; m Esto hace que los elementos de la primera columna sean 0. m[[All, 1]] = 0; m 9.7. Combinación de listas Join[list1, list2, ...] concatena listas Union[list1, list2, ...] combina lista quitando los elementos repetidos y ordenando el resultado Funciones para combinar listas.
  • 124. 123 Join concatena cualquier cantidad de listas. Join[{a, b, c}, {x, y}, {t, u}] Union combina listas, manteniendo sólo los elementos distintos. Union[{a, b, c}, {c, a, d}, {a, d}] 9.8. Listas y conjuntos Mathematica por lo general mantiene los elementos de una lista en el orden en que se ingresaron. Si quiere tratar una lista de Mathematica como un conjunto matemático, sin embargo, puede que desee ignorar el orden de los elementos en la lista. Union[list1, list2, ...] da una lista de los distintos elementos en las listi Intersection[list1, list2, ...] da una lista de los elementos que son comunes a todas las listi Complement[universo, list1, ...] da una lista de los elementos que están en el universo, pero no en cualquiera de las listi Subsets[list] da el conjunto potencia de list Funciones de la teoría de conjuntos. Union da los elementos que aparecen en cualquiera de las listas. Union[{c, a, b}, {d, a, c}, {a, e}] Intersection da sólo elementos que aparecen n en todas las listas. Intersection[{a, c, b}, {b, a, d, a}] Complement da elementos que aparecen en la primera lista, pero no en cualquiera de las otras. Complement[{a, b, c, d}, {a, d}]
  • 125. 124 Esto da el conjunto potencia de la lista. Subsets[{a, b, c}] 9.9. Reordenamiento de listas Sort[list] clasifica los elementos de list en orden Union[list] da una lista de los elementos que son comunes a todas las listi Reverse[list] invierte el orden de los elementos de list RotateLeft[list] rota los elementos de list n lugares a la izquierda RotateRight[list] rota n lugares a la derecha Funciones para reordenar listas. Esto ordena los elementos de una lista en forma estándar. En casos simples como éste el ordenamiento es alfabético o numérico. Sort[{b, a, c, a, b}] Esto ordenada los elementos, quitando los que están duplicados. Union[{b, a, c, a, b}] Esto rota los elementos de la lista dos lugares a la izquierda. RotateLeft[{a, b, c, d, e}, 2] Puede rotar a la derecha dando un valor negativo, o usando RotateRight. RotateLeft[{a, b, c, d, e}, -2] PadLeft[list, len, x] completa list en la izquierda con x hasta lograr la longitud len PadRight[list, len, x] completa list en la derecha Completar listas.
  • 126. 125 Esto completa una lista con varias x hasta lograr que tenga longitud 10. PadLeft[{a, b, c}, 10, x] 9.10. Agrupación y combinación de elementos de listas Partition[list, n] particiona listas en piezas de n elementos Partition[list, n, d] use d para piezas sucesivas Split[list] da el conjunto potencia de list Funciones para agrupar elementos de listas. He aquí una lista. t = {a, b, c, d, e, f, g} Esto agrupa los elementos en pares, deshaciéndose del último elemento. Partition[t, 2] Esto agrupa elementos en triadas. No hay traslapamiento entre las triadas. Partition[t, 3] Esto hace triadas de elementos, con cada triada sucesiva compensada por sólo un elemento. Partition[t, 3, 1] Esto divide la lista en piezas de elementos idénticos. Split[{a, a, b, b, b, a, a, a, b}] Tuples[list, n] genera todas las n-uplas posibles de elementos de list Tuples[{list1, list2, ...}] genera el producto cartesiano list1×list2×... Encuentra las uplas posibles de elementos en listas.
  • 127. 126 Esto da todas las formas posibles de escoger dos elementos de la lista. Tuples[{a, b}, 2] Esto da todas las formas posibles de escoger un elemento de cada lista. Tuples[{{a, b}, {1, 2, 3}}] 9.11. Ordenamiento de listas Sort[list] clasifica los elementos de list en orden Min[list] el menor elemento en list Ordering[list, n] posiciones de n menores elementos en list Max[list] el mayor elemento en list Ordering[list, –n] posiciones de n mayores elementos en list Ordering[list] el orden de todos los elementos en list Permutations[list] todos los posibles ordenamientos de list Ordenamiento de listas. He aquí una lista. t = {17, 21, 14, 9, 18} Esto da el menor elemento de la lista. Min[t] Esto da las posiciones de los tres menores elementos. Ordering[t, 3] He aquí los elementos. t[[%]]
  • 128. 127 9.12. Reorganización de listas anidadas Flatten[list] elimina todos los niveles en list Flatten[list, n] elimina los n más altos niveles en list Partition[list, {n1, n2, ...}] particiona en bloques de tamaño n1×n2×... Transpose[list] intercambia los dos niveles superiores de list RotateLeft[list, {n1, n2, ...}] rota niveles sucesivos n lugares PadLeft[list, {n1, n2, ...}] completa niveles sucesivos hasta lograr la longitud ni Algunas funciones para reorganizar listas anidadas. Esto “elimina” las sublistas. Usted tomarlo como tan solo un comando eficaz que quita todos las llaves interiores. Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}] Esto elimina sólo un nivel de sublista. Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1] Hay muchas otras operaciones que usted puede realizar en listas anidadas. 10. Gráficos y Sonido 10.1. Gráficos básicos Plot[f, {x, xmin, xmax}] genera todas las n-uplas posibles de elementos de list Plot[{f1, f2, ...}, {x, xmin, xmax}] genera el producto cartesiano list1×list2×... Trazado básico de funciones. Esto traza un gráfico de sin( )x como una función de x desde 0 hasta 2π. Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]
  • 129. 128 Puede trazar funciones que tienen singularidades. Mathematica tratará de encontrar escalas apropiadas. Plot[Tan[x], {x, -3, 3}] Puede dar una lista de funciones para que sean trazadas. Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, 0, 2Pi}] Para obtener curvas suaves, Mathematica tiene que evaluar las funciones que usted desea trazar en un gran número de puntos. Por consiguiente, es importante que establezca las cosas de modo que cada evaluación de las funciones sea tan rápida como se pueda.
  • 130. 129 Cuando pide a Mathematica que trace un objeto, digamos f, como una función de x, Mathematica puede hacerlo de dos formas. La primera es tratar a f como una expresión simbólica en términos de x, y luego evaluar esta expresión numéricamente para los valores específicos de x necesarios en el trazado. La segunda es calcular primero que valores de x son necesarios, y sólo posteriormente evaluar f con aquellos valores de x. Si digita Plot[f, {x, xmin, xmax}] es usada la segunda alternativa. Esto tiene la ventaja que Mathematica sólo trata de evaluar f para valores numéricos específicos de x; sin importar si f define valores sensibles cuando x es simbólico. Hay, sin embargo, algunos casos en los cuales es mucho mejor tener f evaluada antes de empezar a hacer el trazado. Un caso típico es cuando f es en realidad un comando que genera una tabla de funciones. Usted puede hacer que Mathematica primero produzca la tabla, y en seguida evalúe las funciones, antes que producir la tabla de nuevo para cada valor de x. Puede hacer esto digitando Plot[Evaluate[f], {x, xmin, xmax}]. Esto hace un trazado de las funciones Bessel ( )nJ x con n variando desde 1 hasta 4. Evaluate le dice a Mathematica que primero haga la tabla de funciones, y sólo entonces evalúe para valores particulares de x. Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n, x], {n, 4}]], {x, 0, 10}] Esto encuentra la solución numérica de una ecuación diferencial, como se mostró en la sección 7.4. NDSolve[{y'[x] == Sin[y[x]], y[0] == 1}, y, {x, 0, 4}]
  • 131. 130 He aquí un trazado de la solución. Evaluate le dice a Mathematica que primero obtenga un objeto con InterpolatingFunction, y luego lo evalúe en una secuencia de valores de x. Plot[Evaluate[ y[x] /. % ], {x, 0, 4}] Plot[f, {x, xmin, xmax}] primero obtiene valores numéricos para x, luego evalúa f para cada valor de x Plot[Evaluate[f], {x, xmin, xmax}] primero evalúa f, luego obtiene valores numéricos específicos de f Plot[Evaluate[Table[ f,...]],{x, xmin, xmax}] genera una lista de funciones, y las traza Plot[Evaluate[y[x] /. solution]],{x, xmin, xmax}] traza una solución numérica para una ecuación diferencial obtenida con NDSolve Métodos para establecer objetos a trazar. 10.2. Opciones Cuando Mathematica traza un gráfico para usted, tiene que escoger muchas opciones. Tiene que resolverse lo que deben ser las escalas, donde se debe mostrar la función, cómo deben dibujarse los ejes, etcétera. La mayoría de las veces, Mathematica probablemente tomará opciones bastante buenas. Sin embargo, si usted quiere obtener los mejores dibujos posibles para sus objetivos particulares, debería ayudar a Mathematica en la elección de algunas de sus opciones. Hay un mecanismo general para especificar “opciones” en las funciones de Mathematica. Cada opción tiene un nombre definido. Como últimos argumentos de una función como Plot, usted puede incluir una secuencia de reglas de la forma nombre -> valor, para especificar los valores de varias opciones. A cualquier opción para la cual usted no da una regla explícita se le asigna su valor por “defecto”.
  • 132. 131 Plot[f, {x, xmin, xmax}, option -> value] hace un trazado, especificando un valor particular para una opción Elección de una opción para el trazado de un gráfico. Una función como Plot tiene muchas opciones que usted puede ajustar. Por lo general tendrá que usar varias de ellas a la vez. Si usted quiere optimizar un trazado particular, probablemente deberá experimentar, intentando una secuencia de diferentes ajustes para varias opciones. Cada vez que usted produce un gráfico, puede especificar opciones para él. La sección 10.3 mencionará como usted puede cambiar algunas opciones, aún después de que ha producido el gráfico. nombre de la opción valor por defecto AspectRatio 1/GoldeRatio proporción alto-ancho de el gráfico; Automatic se usa para escalas iguales de x e y Axes Automatic si se desea incluir ejes AxesLabel None etiquetas para colocarles a los ejes; {xlabel, None} especifica una etiqueta para el eje x; {xlabel, ylabel} especifica una etiqueta para ambos ejes AxesOrigin Automatic el punto en el que se interceptan los ejes TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar para el texto del gráfico FormatType StandardForm el tipo de formato por defecto a usar para el texto en el gráfico DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos; Identity no los muestra Frame False si desea dibujar un marco alrededor del gráfico
  • 133. 132 FrameLabel None etiquetas alrededor del marco; dé una lista ordenada en sentido horario empezando con el valor inferior del eje x FrameTicks Automatic qué marcas dibujar si hay un marco; None no muestra ninguna marca GridLines None qué líneas de cuadrícula incluir; Automatic incluye una línea para cada marca importante PlotLabel None una expresión que se imprimirá como etiqueta para el gráfico PlotRange Automatic el rango de las coordenadas a incluir en el gráfico; All incluye todos los puntos Ticks Automatic indica qué marcas dibujar si hay ejes; None no muestra ninguna marca Algunas de las opciones de Plot. Estas opciones también pueden usarse en Show. He aquí un gráfico con todas las opciones que tienen sus valores por defecto. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}] Esto dibuja ejes sobre un marco alrededor del gráfico. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame->True]
  • 134. 133 Esto especifica las etiquetas para los ejes x e y. Las expresiones que usted da como etiquetas son impresas como salidas de Mathematica. Puede dar cualquier porción de texto poniéndolo entre comillas. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AxesLabel -> {"x value", "Sin[x^2]"} ] Usted puede dar varias opciones al mismo tiempo, en cualquier orden. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame -> True, GridLines -> Automatic]
  • 135. 134 Ajustar la opción AspectRatio cambia la forma entera de su gráfico. AspectRatio da el cociente del ancho y alto. Su valor por defecto es el inverso de la proporción áurea–supuestamente la forma más agradable para un rectángulo. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AspectRatio -> 1] Automatic usa algoritmos internos None no incluye esto All incluye todo True hace esto False no hace esto Algunos ajustes comunes para varias opciones. Cuando Mathematica traza un gráfico, intenta ajustar las escalas de x e y para incluir sólo las partes “interesantes” del gráfico. Si su función aumenta muy rápidamente, o tiene singularidades, las partes donde se torna demasiado grande serán cortadas. Especificando la opción PlotRange, usted puede controlar exactamente qué rangos de las coordenadas x e y se incluyen en su gráfico. Automatic muestra por lo menos una fracción grande de los puntos, incluyendo la región “interesante” (ajuste por defecto) All muestra todos los puntos {ymin, ymax} muestra un rango específico de los valores de y {xrange, yrange} muestra los rangos especificados de los valores de x e y Ajustes para la opción PlotRange.
  • 136. 135 Ajustar la opción PlotRange da los límites explícitos de y para el gráfico. Con los límites especificados aquí, el fondo de la curva es cortado. Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, PlotRange -> {0, 1.2}] Mathematica siempre trata de trazar funciones como curvas suaves. Por consiguiente, en lugares donde su función oscila mucho, Mathematica usará más puntos. En general, Mathematica intenta adaptar el muestreo de su función a la forma de la función. Hay, sin embargo, un límite, que usted puede ajustar, para cómo finalmente Mathematica muestreará una función. La función ( )1sin x oscila infinitamente a menudo cuando 0x . Mathematica intenta muestrear más puntos en la región donde la función oscila mucho, pero nunca puede muestrear el número infinito que usted necesitaría para reproducir la función exactamente. Por consiguiente, hay leves interferencias en el diagrama. Plot[Sin[1/x], {x, -1, 1}]
  • 137. 136 nombre de la opción valor por defecto PlotStyle Automatic una lista de listas de directivas para gráficos a utilizar para cada curva PlotPoints 25 el mínimo número de puntos para muestrear la función MaxBend 10. el ángulo máximo de flexión entre segmentos sucesivos de una curva PlotDivision 30. el factor máximo de subdivisión del muestreo de la función Compiled True si desea compilar la función que es trazada Más opciones para Plot. Estas opciones no pueden usarse en Show. Es importante comprender que puesto que Mathematica puede muestrear su función solamente en un número limitado de puntos, siempre pueden faltar características de la función. Aumentando PlotPoints, usted puede hacer que Mathematica muestree su función en un mayor número de puntos. Por supuesto, cuanto mayor sea PlotPoints, más demora Mathematica en trazar cualquier función, incluso si ésta es suave. Ya que Plot tiene que evaluar su función muchas veces, es importante hacer cada evaluación tan rápida como sea posible. Por consiguiente, Mathematica por lo general compila su función en un pseudocódigo de bajo nivel que puede ser ejecutado de manera muy eficiente. Un problema potencial con esto, sin embargo, es que el pseudocódigo permite sólo operaciones numéricas acordes a la precisión de máquina. Si la función que usted traza requiere operaciones de precisión más alta, debería apagar la compilación en Plot. Usted puede hacer esto poniendo la opción Compile -> False. Note que Mathematica sólo puede compilar el “código en línea”; no puede, por ejemplo, compilar funciones que usted ha definido. Por consiguiente, cuando posible, debería usar Evaluate como se describe en la sección 10.1 para evaluar cualquier definición y conseguir una forma tal que el compilador de Mathematica puede manejar.
  • 138. 137 10.3. Rehacer y combinar gráficos Mathematica guarda la información sobre cada gráfico que usted produce, de modo que usted más tarde pueda rehacerlo. Cuando usted rehace gráficos, puede cambiar algunas opciones que ha usado. Show[plot] rehace un gráfico Show[plot, option -> value] rehace con opciones cambiadas Show[plot1, plot2, ...] combina varios gráficos Show[GraphicsArray[ {{plot1, plot2, ...} , ...}]] dibuja un array de gráficos InputForm[plot] muestra información guardada de un gráfico Funciones para manipular gráficos. He aquí un gráfico simple. por lo general es impresa en la línea de salida para apoyar la información que guarda Mathematica sobre el gráfico. Plot[ChebyshevT[7, x], {x, -1, 1}] Esto rehace el gráfico anterior. Show[%]
  • 139. 138 Cuando usted redibuja el gráfico, puede cambiar algunas de las opciones. Esto cambia la opción del rango de y. Show[%, PlotRange -> {-1, 2}] Esto toma el gráfico anterior, y cambia otra opción en él. Show[%, PlotLabel -> "A Chebyshev Polynomial"] Usando Show con una secuencia de opciones diferentes, usted puede ver el mismo gráfico de varias formas diferentes. Puede desear hacer esto, por ejemplo, si trata de encontrar el mejor ajuste posible de opciones. También puede usar Show para combinar gráficos. No importa si los gráficos no tienen la misma escala: Mathematica siempre escogerá nuevas escalas para incluir los puntos que usted quiere. Esto fija gj0 para que sea un gráfico de 0 ( )J x desde 0x = hasta 10. gj0 = Plot[BesselJ[0, x], {x, 0, 10}]
  • 140. 139 He aquí el gráfico de 1( )Y x desde 1x = hasta 10. gy1 = Plot[BesselY[1, x], {x, 1, 10}] Esto muestra los dos gráficos anteriores combinadas en uno. Note que la escala es ajustada apropiadamente gjy = Show[gj0, gy1] Usando Show[plot1, plot2, …] usted puede combinar varios gráficos en uno. GraphicsArray le permite dibujar varios gráficos en un array. Show[GraphicsArray[ {plot1, plot2, ...}]] dibuja una fila de gráficos Show[GraphicsArray[ {{plot1}, {plot2}, ...}]] dibuja una fila de gráficos
  • 141. 140 Show[GraphicsArray[ {{plot11, plot12, ...} , ...}]] dibuja un array rectangular de gráficos Show[GraphicsArray[ plots, GraphicsSpacing -> {h, v}]] especifica el espaciado horizontal y vertical entre los gráficos Dibujo de arrays de gráficos. Esto muestra los últimos gráficos anteriores en un array. Show[GraphicsArray[{{gj0, gjy}, {gy1, gjy}}]] Si muestra de nuevo un array de gráficos con Show, cualquier opción que especifica se usará para todo el array, antes que para gráficos individuales. Show[%, Frame->True, FrameTicks->Automatic] He aquí una forma de cambiar opciones para todos los gráficos del array. Show[ % /. (Ticks -> Automatic) -> (Ticks -> None) ]
  • 142. 141 GraphicsArray por defecto pone un borde estrecho alrededor de cada uno de los gráficos en el array que produce. Usted puede cambiar este el tamaño de este borde poniendo la opción GraphicsSpacing -> {h, v}. Los parámetros h y v dan los espaciados horizontales y verticales a usarse. Esto incrementa el espaciado horizontal, pero disminuye el espaciado vertical entre los gráficos en el array. Show[%, GraphicsSpacing -> {0.3, 0}] Cuando usted traza un gráfico, Mathematica guarda la lista de puntos que este usó, junto con alguna otra información. Usando lo guardado, usted puede rehacer gráficos de muchas formas diferentes con Show. Sin embargo, usted debería comprender que no importa que opciones especifique, Show todavía tiene el mismo conjunto básico de puntos para trabajar. Por ejemplo, si usa opciones de modo que Mathematica muestre una pequeña parte de su gráfico original ampliado, usted probablemente será capaz de ver los puntos individuales de la muestra que Plot ha usado. Las opciones como PlotPoints sólo pueden ajustarse en el comando Plot original.
  • 143. 142 He aquí un gráfico simple. Plot[Cos[x], {x, -Pi, Pi}] Esto muestra una pequeña región del gráfico en una forma ampliada. En esta resolución los segmentos de recta individuales que fueron producidos por le comando Plot original. Show[%, PlotRange -> {{0, .3}, {.92, 1}}] 10.4. Manipulación de opciones Hay un número de funciones incorporadas en Mathematica que, como Plot, tienen varias opciones que usted puede ajustar. Mathematica proporciona algunos mecanismos generales para manejar tales opciones. Si usted no da un ajuste específico para una opción de una función como Plot, entonces Mathematica automáticamente usará un valor por defecto para la opción. La función Options[function, option] le permite averiguar el valor por defecto para una opción particular. Usted puede resetear el valor por defecto usando SetOptions[function, option -> value]. Note que si hace esto, el valor por defecto que usted ha dado quedará hasta que lo cambie explícitamente.
  • 144. 143 Options[function] da una lista de los valores por defecto actuales para todas las opciones Options[function, option] da el valor por defecto para una opción particular SetOptions[function, option -> value, ...] resetea el valor por defecto Manipulación de valores por defecto para opciones. He aquí el valor por defecto actual para la opción PlotRange de Plot. Options[Plot, PlotRange] Esto resetea el valor por defecto para la opción PlotRange. El punto y coma impide que Mathematica imprima la salida de la lista bastante larga de opciones de Plot. SetOptions[Plot, PlotRange->All] ; Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción PlotRange ahora será All. Options[Plot, PlotRange] Esto vuelve a resetear el valor para la opción PlotRange. SetOptions[Plot, PlotRange->{{-1, 1}, {-1, 1}}] ; Hasta que usted explícitamente lo resetee, el valor por defecto de la opción PlotRange ahora será {{-1, 1}, {-1, 1}}. Options[Plot, PlotRange] Los objetos gráficos que obtiene con Plot o Show almacenan la información de las opciones que usan. Usted puede obtener esta información aplicando la función Options a estos objetos gráficos. Options[plot] muestra todas las opciones usadas por el gráfico plot Options[plot, option] muestra el ajuste para una opción específica
  • 145. 144 AbsoluteOptions[plot, option] muestra la forma absoluta usada para una opción específica, incluso si el ajuste para la opción Automatic o All Adquisición de información sobre opciones usadas en gráficos. He aquí un gráfico, con ajustes por defecto para todas las opciones. g = Plot[SinIntegral[x], {x, 0, 20}] El ajuste usado para la opción PlotRange fue All. Options[g, PlotRange] AbsoluteOptions da los valores absolutos escogidos automáticamente para PlotRange. AbsoluteOptions[g, PlotRange] 10.5. Contornos y gráficos de densidad ContourPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico de contorno de f como una función de x e y DensityPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico de densidad de f Funciones para manipular gráficos.
  • 146. 145 Esto da un gráfico de contorno de la función sin( )sin( )x y . ContourPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Un gráfico de contorno le da esencialmente un “mapa topográfico” de una función. Los contornos unen puntos sobre la superficie que tienen la misma altura. El valor por defecto permite obtener contornos correspondientes a una secuencia de valores de z igualmente espaciados. Los gráficos de contorno producidos por Mathematica por defecto son sombreados, de tal modo que las regiones con valores de z más altos sean más claras. nombre de la opción valor por defecto ColorFunction Automatic colores a usar para el sombreado; Hue usa una secuencia de matices Contours 10 el total de contornos, o la lista de valores de z para contornos PlotRange Automatic el rango de valores a ser incluidos, usted puede especificar {zmin, zmax}, All o Automatic ContourShading True si hay que usar sombreado PlotPoints 30. puntos de evaluación en cada dirección Compiled True si hay que compilar la función que es trazada Algunas opciones para ContourPlot. El primer conjunto también puede usarse en Show.
  • 147. 146 Particularmente si usted utiliza una visualizadora o impresora que no maneja bien los niveles de gris, puede encontrar mejor prescindir del sombreado en gráficos de contorno. Show[%, ContourShading -> False] Usted debe comprender que si no evalúa su función sobre una cuadrícula bastante fina, puede haber inexactitudes en su gráfico de contorno. Un punto a notar es que mientras que una curva generada por Plot puede ser inexacta si su función varía demasiado rápido en una región particular, la forma de los contornos puede ser inexacta si su función varía demasiado despacio. Una función que varía rápidamente da un modelo regular de contornos, pero una función que es casi plana puede dar contornos irregulares. Usted puede solucionar tales problemas aumentando el valor de PlotPoints. Los gráficos de densidad muestran los valores de su función como un array regular de puntos. Las regiones más claras son más altas. DensityPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Usted puede deshacerse de la red como aquí. Show[%, Mesh -> False]
  • 148. 147 nombre de la opción valor por defecto ColorFunction Automatic colores para el sombreado Mesh True si hay que dibujar una red PlotPoints 25 puntos de evaluación en cada dirección Compiled True si desea compilar la función que es trazada Algunas opciones para DensityPlot. El primer conjunto también puede usarse en Show. 10.6. Gráficos de superficies tridimensionales Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] traza un gráfico tridimensional de f como una función de las variables x e y Trazado básico de una función 3D. Esto traza un gráfico tridimensional de la función sin( )x y . Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
  • 149. 148 Hay muchas opciones para gráficos tridimensionales en Mathematica. Sólo algunos serán discutidos en esta sección. El primer conjunto de opciones para gráficos tridimensionales es en gran parte análogo a aquellos proveídos en el caso bidimensional. nombre de la opción valor por defecto Axes Automatic si hay que incluir ejes AxesLabel None etiquetas para colocarles a los ejes; {xlabel, None, None} especifica una etiqueta para el eje x, {xlabel, ylabel, zlabel} para todos los ejes Boxed True si hay que dibujar una caja tridimensional alrededor de la superficie ColorFunction Automatic colores a usar para el sombreado; Hue usa una secuencia de matices TextStyle $TextStyle el estilo por defecto a usar para el texto del gráfico FormatType StandardForm el tipo de formato por defecto a usar para el texto en el gráfico DisplayFunction $DisplayFunction para mostrar los gráficos; Identity no los muestra FaceGrids None para dibujar cuadrículas sobre los bordes de las caras de la caja; All dibuja una cuadrícula sobre cada cara HiddenSurface True si se desea dibujar la superficie como un sólido Lighting True si se desea colorear la superficie usando iluminación simulada Mesh True si se desea dibujar una red en la superficie
  • 150. 149 PlotRange None el rango de las coordena- das a incluir en el gráfico; usted puede especificar All, {zmin, zmax} o {{xmin, xmax}, {ymin, ymax},{zmin, zmax}} Shading Automatic si se desea sombrear la superficie o no ViewPoint {1.3, -2.4, 2} el punto en el espacio desde el cual se desea mirar la superficie PlotPoints 25 el número de puntos para muestrear la función en cada dirección; {nx, ny} especifica diferentes nú- meros en las direcciones de x e y Compiled True si desea compilar la función que es trazada Algunas opciones para Plot3D. Estas opciones también pueden usarse en Show. Esto vuelve a dibujar el gráfico anterior, con opciones cambiadas. Con este ajuste para PlotRange, sólo es mostrada la parte de la superficie en el rango 0.5 0.5z− ≤ ≤ . Show[%, PlotRange -> {-0.5, 0.5}] Cuando usted hace el gráfico original, puede elegir muestrear más puntos. Necesitará hacer esto para conseguir buenos cuadros de las funciones que oscilan mucho. Plot3D[10 Sin[x + Sin[y]], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotPoints -> 50]
  • 151. 150 He aquí el mismo gráfico, con etiquetas para los ejes, y cuadrículas añadidas a cada cara. Show[%, AxesLabel -> {"Time", "Depth", "Value"}, FaceGrids -> All] Probablemente la cuestión más importante en el trazado de una superficie tridimensional es especificar desde donde usted quiere mirar la superficie. La opción ViewPoint para Plot3D y Show le permite especificar el punto {x, y, z} del espacio desde el cual usted desea ver una superficie. En muchas versiones de Mathematica, hay formas de escoger puntos de vista tridimensionales interactivamente, luego obtener las coordenadas para ajustar la opción ViewPoint. He aquí una superficie, vista desde el punto de vista por defecto . Este punto de vista se elige por ser “genérico”, de modo que las alineaciones coincidentes visualmente confusas entre diversas partes de su objeto sean imperceptibles. Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
  • 152. 151 Esto vuelve a dibujar el gráfico, con el punto de vista directamente enfrente. Note el efecto de perspectiva que hace que la parte trasera de la caja parezca mucho más pequeña que la del frente. Show[%, ViewPoint -> {0, -2, 0}] {1.3, -2.4, 2} punto de vista por defecto {0, -2, 0} directamente enfrente {0, -2, 2} enfrente y encima {0, -2, -2} enfrente y abajo {-2, -2, 0} esquina izquierda {2, -2, 0} esquina derecha {0, 0, 2} directamente encima Opciones típicas para la opción ViewPoint. La vista humana no es particularmente buena para entender superficies matemáticas complicadas. Por consiguiente, usted tiene que generar cuadros que contengan tantas pistas como sea posible sobre la forma de la superficie.
  • 153. 152 Los puntos de vista ligeramente encima de la superficie por lo general trabajan mejor. Es generalmente una buena idea mantener el punto vista suficientemente cerca a la superficie para que haya algún efecto de la perspectiva. Tener una caja dibujada explícitamente alrededor de la superficie es provechoso en el reconocimiento de la orientación de la superficie. He aquí un gráfico con los ajustes por defecto para las opciones de la superficie representada. g = Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Esto muestra la superficie sin la red dibujada. Es por lo general mucho más difícil de ver la forma de la superficie si la red no está allí. Show[g, Mesh -> False] Esto muestra la superficie sin sombrear. Algunos dispositivos de visualización pueden no ser capaces de mostrar sombreado. Show[g, Shading -> False]
  • 154. 153 La inclusión de sombreado y red es por lo general de gran ayuda para entender la forma de una superficie. En algunos dispositivos de salida gráfica vectorial, sin embargo, puede que usted no sea capaz de obtener sombreado. También debe comprender que cuando el sombreado es incluido, puede tardar mucho la ejecución la superficie sobre su dispositivo de salida. Para añadir un elemento suplementario de realismo a la gráfica tridimensional, Mathematica por defecto colorea superficies tridimensionales usando un modelo de iluminación simulado. En el caso por defecto, Mathematica asume que hay tres fuentes de iluminación que brillan sobre el objeto desde la parte superior derecha. Mientras en la mayoría de casos, en particular con dispositivos de salida en color, la iluminación simulada es una ventaja, a veces puede ser confusa. Si ajusta la opción Lighting -> False, entonces Mathematica no usará la iluminación simulada, pero en cambio va a sombrear todas las superficies con niveles de gris determinados por su altura. Plot3D por lo general colorea superficies usando un modelo de iluminación simulado. Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
  • 155. 154 Lighting -> False apaga la iluminación simulada, y en lugar de esto sombrea superficies con niveles grises determinados por la altura. Show[%, Lighting -> False] Con Lighting -> False, Mathematica sombrea superficies según la altura. Usted también puede decir a Mathematica explícitamente como sombrear cada elemento de una superficie. Plot3D[{f, GrayLevel[s]}, {x, xmin, xmax}, {x, ymin, ymax}] grafica una superficie correspondiente a f, sombreada en gris de acuerdo a la función s Plot3D[{f, Hue[s]}, {x, xmin, xmax}, {x, ymin, ymax}] sombra por variación de matices de color antes que por niveles de gris Funciones para manipular gráficos. Esto muestra una superficie cuya altura es determinada por la función Sin[x y], pero cuyo sombreado es determinado por GrayLevel[x/3]. Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]
  • 156. 155 10.7. Conversión entre tipos de gráficos Contornos, gráficos de densidad y gráficos de superficies son tres formas diferentes de mostrar esencialmente la misma información sobre una función. En todos los casos, usted necesita los valores de una función en una cuadrícula de puntos. Las funciones ContourPlot, DensityPlot y Plot3D de Mathematica producen objetos gráficos de Mathematica que incluyen una lista de los valores de su función en una cuadrícula. Por consiguiente, habiendo usado cualesquiera de estas funciones, Mathematica fácilmente puede tomar su salida y usarla para producir otro tipo de gráfico. He aquí el gráfico de una superficie. Plot3D[BesselJ[nu, 3x], {nu, 0, 3}, {x, 0, 3}] Esto convierte el objeto producido por Plot3D en un gráfico de contorno. Show[ ContourGraphics[ % ] ]
  • 157. 156 Show[ContourGraphics[ g]] convierte a un gráfico de contorno Show[DensityGraphics[ g]] convierte a un gráfico de densidad Show[SurfaceGraphics[ g]] convierte a una superficie Show[Graphics[g]] convierte a una imagen bidimensional Conversiones entre tipos de gráficos. Usted puede usar GraphicsArray para mostrar diferentes tipos de gráficos juntos. Show[ GraphicsArray[ {%, %%} ] ] 10.8. Gráficas de listas de datos Hasta ahora, hemos hablado como puede usar Mathematica para hacer los gráficos de funciones. Usted da una función a Mathematica, y Mathematica construye una curva o superficie evaluando la función en muchos puntos diferentes. Esta sección describe como usted puede hacer gráficos de listas de datos, en vez de funciones. (La sección 12.3 menciona como leer datos de archivos externos y programas). Los comandos de Mathematica para trazar las listas de datos son análogos a los mencionados para trazar funciones. ListPlot[{y1, y2, ...}] grafica y1, y2, ... con los valores de x 1, 2, ... ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}] grafica los puntos (x1, y1), ...
  • 158. 157 ListPlot[list, PlotJoined -> True] una los puntos con líneas ListPlot3D[ {{z11, z12, ...}, {z21, z22, ...}, ...}] hace un gráfico tridimensional del array alturas zyx ListContourPlot[array] hace un gráfico de contorno a partir de un array de alturas ListDensityPlot[array] hace un gráfico de densidad Funciones para trazar listas de datos. He aquí una lista de valores. t = Table[i^2, {i, 10}] Esto traza un gráfico de los valores. ListPlot[t] Esto une los puntos con líneas. ListPlot[t, PlotJoined -> True]
  • 159. 158 Esto da una lista de pares x, y. Table[{i^2, 4 i^2 + i^3}, {i, 10}] Esto traza un gráfico los puntos. ListPlot[%] Esto da un array rectangular de valores. El array es bastante grande, entonces terminamos la entrada con un punto y coma para evitar que se imprima. t3 = Table[Mod[x, y], {y, 20}, {x, 30}] ; Esto traza un gráfico tridimensional del array de valores. ListPlot3D[t3] Usted puede volver a dibujar el gráfico usando Show, como de costumbre. Show[%, ViewPoint -> {1.5, -0.5, 0}]
  • 160. 159 Esto traza un gráfico de densidad. ListDensityPlot[t3] 10.9. Gráficos paramétricos La sección 10.1 describió como trazar curvas en Mathematica en la cual usted da la coordenada y de cada punto como una función de la coordenada x. También puede usar Mathematica para hacer gráficos paramétricos. En un gráfico paramétrico, usted da ambas coordenadas x e y de cada punto como una función de un tercer parámetro, llamado t. ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] traza un gráfico paramétrico ParametricPlot[{ {fx, fy}, { gx, gy}, ...}, {t, tmin, tmax}] grafica varias curvas paramétricas juntas
  • 161. 160 ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}, AspectRatio -> Automatic] trata de conservar las formas de las curvas Funciones para generar gráficos paramétricos. He aquí la curva hecha tomando la coordenada x de cada punto como Sin[t] y la coordenada y como Sin[2t]. ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}] La “forma” de la curva producida depende de la proporción de la altura y el ancho para el gráfico entero. ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}] El ajuste de la opción AspectRatio -> Automatic hace que Mathematica conserve la “verdadera forma” de la curva, según lo definido por los actuales valores coordinados involucrados. Show[%, AspectRatio -> Automatic]
  • 162. 161 ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] traza un gráfico paramétrico de una curva tridimensional ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] traza un gráfico paramétrico de una superficie tridimensional ParametricPlot3D[ {fx, fy, fz, s}, ...] sombrea las partes del gráfico paramétrico según la función s ParametricPlot[{ {fx, fy}, { gx, gy}, ...}, ...] grafica varios objetos juntos Gráficos paramétricos tridimensionales. ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] es el análogo directo en tres dimensiones de ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] en dos dimensiones. En ambos casos, Mathematica eficientemente genera una secuencia de puntos variando el parámetro t, luego forma una curva uniendo estos puntos. Con ParametricPlot, la curva está en dos dimensiones; con ParametricPlot3D, está en tres dimensiones. Esto hace un gráfico paramétrico de una curva helicoidal. La variación de t produce movimiento circular en el plano x, y, y movimiento lineal en la dirección z. ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}]
  • 163. 162 ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] crea una superficie, y no una curva. La superficie es formada de una colección de cuadriláteros. Las esquinas de los cuadriláteros tienen coordenadas correspondiente a los valores de los fi cuando t y u toman valores en una cuadrícula regular. Aquí las coordenadas x e y de los cuadriláteros están dadas simplemente por t y u. El resultado es un gráfico de la clase que puede producirse con Plot3D. ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}] Esto muestra la misma superficie que antes, pero con las coordenadas deformadas por una transformación cuadrática. ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}] Esto produce una superficie helicoidal tomando la curva helicoidal antes mostrada (p. 157), y en cada sección de la curva dibuja un cuadrilátero. ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}, {u, -1, 1}]
  • 164. 163 En general, es posible construir muchas superficies complicadas usando ParametricPlot3D. En cada caso, puede imaginar que las superficies son formadas de alguna menera al “deformar” o “enrollar” una cuadrícula coordenada t, u. Esto produce un cilindro. La variación del parámetro t origina un círculo en el plano x, y, mientras que la variación de u hace que los círculos se mueven en la dirección z. ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}] Esto produce un toro La variación u genera un círculo, mientras que la variación de t hace girar el círculo alrededor del eje z para formar el toro. ParametricPlot3D[{Cos[t] (3 + Cos[u]), Sin[t] (3 + Cos[u]), Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]
  • 165. 164 Esto produce una esfera. ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2}] Usted debe comprender que cuando dibuja superficies con ParametricPlot3D, la parametrización correcta es a menudo crucial. Debe ser cuidadoso, por ejemplo, evitando parametrizaciones en las cuales todo o parte de su superficie son cubiertos más de una vez. Tales cubrimientos múltiples a menudo conducen a discontinuidades en el dibujo de la red utilizada en la superficie, y pueden hacer que ParametricPlot3D tome mucho más tiempo para generar la superficie. 10.10. Algunos gráficos especiales Mathematica incluye un lenguaje de programación lleno de gráficos. En este lenguaje, usted puede establecer muchas clases diferentes de gráficos. Algunos de los comunes son incluidos en los paquetes estándar de Mathematica.
  • 166. 165 <<Graphics` carga un paquete para establecer funciones gráficas adicionales LogPlot[f, {x, xmin, xmax}] genera un gráfico logarítmico lineal LogLogPlot[ f, {x, xmin, xmax}] genera un gráfico logarítmico logarítmico LogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico lineal de una lista de datos LogLogListPlot[list] genera un gráfico logarítmico logarítmico de una lista de datos PolarPlot[ r, {t, tmin, tmax}] genera un gráfico polar del radio r como una función del ángulo t ErrorListPlot[{ {x1, y1, dy1}, ...}] genera un gráfico de datos con barras de error TextListPlot[{ {x1, y1, "s1"}, ...}] grafica una lista de datos con cada punto representado por la cadena de texto si BarChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama de barras PieChart[list] grafica una lista de datos como un diagrama de pastel PlotVectorField[ {fx, fy}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] grafica el campo vectorial correspondiente a la función vectorial f ListPlotVector Field[list] grafica el campo vectorial correspondiente al array bidimensional de vectores en list SphericalPlot3D[ r, {theta, min, max}, {phi, min, max}] genera un gráfico esférico tridimensional Algunas funciones especiales para graficar definidas en los paquetes estándar de Mathematica. Esto carga un paquete estándar de Mathematica para establecer funciones gráficas adicionales. <<Graphics` Esto traza un gráfico logarítmico lineal. LogPlot[ Exp[-x] + 4 Exp[-2x], {x, 0, 6} ]
  • 167. 166 He aquí una lista de los 10 primeros primos. p = Table[Prime[n], {n, 10}] Esto traza un gráfico de los primos usando los enteros 1, 2, 3, ... símbolos parta graficar. TextListPlot[p] He aquí un gráfico de barras de los primos. BarChart[p]
  • 168. 167 Esto traza un gráfico de pastel. PieChart[p] 10.11. Gráficos animados En muchos sistemas informáticos, Mathematica puede producir imágenes no sólo estáticas, sino también gráficos animados o “películas”. La idea básica en todos los casos es generar una secuencia de “cuadros” que pueden ser mostrados en forma rápida uno tras otro. Puede usar las funciones gráficas estándar de Mathematica descritas en la sección 10.10 para producir cada marco. El mecanismo para mostrar los cuadros como película depende del interfase de Mathematica que usted usa. Con una interfase de cuaderno, usted pone los cuadros en una secuencia de celdas, luego selecciona las celdas y escoge un comando para animarlos. Con una interfase basada en texto, hay a menudo un programa externo provisto para mostrar gráficos animados. Típicamente puede accederse al programa dentro de Mathematica usando la función Animate. <<Graphics`Animation` carga el paquete de animación (si fuera necesario) Animate[plot, {t, tmin, tmax}] ejecuta el comando de gráficos con plot para una secuencia de valores de t, y anima la secuencia resultante de cuadros ShowAnimation[ {g1, g2, ...}] produce una animación de una secuencia de objetos de gráficos Formas típicas para producir gráficos animados. Cuando usted produce una secuencia de cuadros para una película, es importante que los diferentes cuadros sean consistentes. Así, por ejemplo, usted debe dar un ajuste explícito para la opción PlotRange, antes que usar el ajuste por defecto
  • 169. 168 Automatic, para asegurarse que las escalas usadas en marcos diferentes sean las mismas. Si usted tiene gráficos tridimensionales con puntos de vista diferentes, de modo similar debe ajustar SphericalRegion -> True para asegurarse que la escala de gráficos diferentes es la misma. Esto genera una lista de objetos gráficos. Ajustando DisplayFunction -> Identity se detiene la salida que Plot3D produce. Explícitamente el ajuste de PlotRange asegura que la escala es la misma en cada uno de los gráficos. Table[ Plot3D[ BesselJ[0, Sqrt[x^2 + y^2] + t], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, Axes -> False, PlotRange -> {-0.5, 1.0}, DisplayFunction -> Identity ], {t, 0, 8} ] // Short Sobre un sistema informático apropiado, ShowAnimation[%] animaría los gráficos. Esto divide la gráfica en tres filas, y muestra el array resultante de imágenes. Show[ GraphicsArray[ Partition[%, 3] ] ] 10.12. Sonido En la mayor parte de sistemas informáticos, Mathematica puede producir no sólo gráficos, sino también sonido. Mathematica trata los gráficos y el sonido de una forma bastante análoga. Por ejemplo, tal como usted puede usar Plot[f, {x, xmin, xmax}] para trazar el gráfico de una función, tan también puede usar Play[f, {t, 0, tmax}] para “producir el sonido” de una función. Play toma la función para definir la forma
  • 170. 169 de la onda para un sonido: los valores de la función dan la amplitud del sonido como una función del tiempo. Play[f, {t, 0, tmax}] produce un sonido con la amplitud f como una función del tiempo t en segundos Función para producir sonido. En un sistema informático conveniente, esto produce un tono puro con una frecuencia de 440 hertz durante un segundo. Play[Sin[2Pi 440 t], {t, 0, 1}] Los sonidos producidos por Play pueden tener cualquier forma de onda. Ellos, por ejemplo, no tienen que consistir en una colección de piezas armónicas. En general, la función amplitud que usted da a Play especifica la señal instantánea asociada con el sonido. Esta señal es convertida en un voltaje, y en última instancia en un desplazamiento. Note que la amplitud a veces es definida para ser la señal pico asociada con un sonido; en Mathematica, esto es siempre la señal instantánea como una función del tiempo. Esto produce un sonido más complejo. Play[ Sin[700 t + 25 t Sin[350 t]], {t, 0, 4} ]
  • 171. 170 Play se establece de modo que la variable de tiempo que aparece en él siempre sea medida en segundos absolutos. Cuando un sonido es producido, su amplitud es muestreada un cierto número de veces cada segundo. Usted puede especificar la tasa de muestreo ajustando la opción SampleRate. Play[f, {t, 0, tmax}, SampleRate -> r] produce un sonido, muestreándolo r veces por segundo Especificación de la tasa de muestreo para un sonido. Una tasa de muestreo r permite frecuencias de hasta r/2 hertz. El sistema humano auditivo puede percibir sonidos en una frecuencia que se extiende de 20 a 22000 hertz (dependiendo de la edad y el sexo). Las frecuencias fundamentales para las 88 notas de un piano se extienden de 27.5 a 4096 hertz. La tasa estándar de muestreo usada para reproducir discos compactos es 44100. La tasa eficaz de muestreo en un típico sistema telefónico es alrededor de 8000. En la mayor parte de sistemas informáticos, la tasa de muestreo por defecto usada por Mathematica es alrededor de 8000. Usted puede usar Play[{f1, f2}, ...] para producir sonido estéreo. En general, Mathematica soporta cualquier número de canales de sonido. ListPlay[{a1, a2, ...}, SampleRate -> r] produce un sonido con una secuencia de niveles de amplitud Funciones para manipular gráficos. La función ListPlay le permite simplemente dar una lista de valores que son tomados como amplitudes de sonido muestreadas en una cierta tasa. Cuando los sonidos son dados por Mathematica, sólo cierto rango de amplitudes es permitida. La opción PlayRange en Play y ListPlay especifica como deberían ser escaladas las amplitudes que usted da para ajustarlas al rango permitido. Los ajustes para esta opción son análogos a los de la opción de gráficos PlotRange mencionada en la sección 10.2. PlayRange -> Automatic (default) usa un procedimiento interno para escalar amplitudes PlayRange -> All escala de modo que todas las amplitudes quepan en el rango permitido PlayRange -> {amin, amax} ajusta amplitudes entre amin y amax en el rango permitido Especificación del escalamiento de amplitudes de sonido.
  • 172. 171 Mientras a menudo es conveniente usar el ajuste por defecto PlayRange -> Automatic, debe comprender que Play puede correr considerablemente más rápido si usted especifica un PlayRange. Show[sound] usa algoritmos internos Reproduciendo un objeto de sonido. Tanto Play como ListPlay devuelven objetos Sound que contienen procedimientos para sintetizar sonidos. Puede volver a producir un objeto Sound en particular usando Show que también se usa para volver a mostrar los gráficos. 11. Entradas y salidas en cuadernos 11.1. Ingreso de letras griegas use un botón en una paleta use un nombre completo use un alias estándar (abajo se ve como ) use un alias TeX use un alias SGML Formas de ingresar letras griegas en un cuaderno. He aquí una paleta para ingresar letras griegas comunes. Usted puede usar letras griegas igual que las letras ordinarias que digita en su teclado.
  • 173. 172 Hay varias formas de ingresar letras griegas. Esta entrada usa nombres completos. Expand[([Alpha] + [Beta])^3] nombre completo alias nombre completo alias [Alpha] [CapitalGamma] [Beta] [CapitalDelta] [Gamma] [CapitalTheta] [Delta] [CapitalLambda] [Epsilon] [CapitalPi] [Zeta] [CapitalSigma] [Eta] [CapitalUpsilon ] [Theta] [CapitalPhi] [Kappa] [CapitalChi] [Lambda] [CapitalPsi] [Mu] [CapitalOmega] [Nu] [Xi] [Pi] [Rho] [Sigma] [Tau] [Phi] [CurlyPhi ] [Chi] [Psi] [Omega] Letras griegas comúnmente usadas. Los alias se obtienen con la tecla . Los alias TeX no son listados explícitamente. Note que en Mathematica la letra π se genera con Pi. Ninguna de las otras letras griegas tiene un significado especial. π se genera con Pi.
  • 174. 173 Usted puede usar letras griegas solas o con otras letras. El símbolo πα no es relacionado con el símbolo π. 11.2. Ingreso de entradas bidimensionales Cuando Mathematica lee el texto x^y, lo interpreta como x elevado a la potencia y. x^y En un cuaderno, usted puede dar la entrada bidimensional xy directamente. Una manera de ingresar una forma bidimensional como xy en un cuaderno de Mathematica es copiar esta forma de una paleta pulsando el botón apropiado en la paleta. He aquí una paleta para ingresar algunas notaciones bidimensionales comunes. Hay también varias maneras de ingresar formas bidimensionales directamente desde el teclado.
  • 175. 174 use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar un superíndice directamente desde el teclado. se usa para representar Control-Espacio. Para efectuar la combinación presione la tecla Control y manteniéndola presionada, presione la tecla ^. En cuanto hace esto, su cursor saltará de la posición de exponente. Entonces puede escribir lo que quiera y aparecerá en aquella posición. Cuando ha terminado, presiona para regresar el cursor de la posición de exponente a la posición de escritura; lo efectúa manteniendo presionada la tecla Control, para luego presionar la barra espaciadora. Ésta secuencia de presionamientos de teclas ingresa xy . Aquí la expresión completa y+z está en el exponente. Presionando (Control-Espacio) baja de la posición de exponente. Usted puede confundir el hecho que le da un exponente y pensar que es solamente una forma más inmediata de ^. Cuando digita usted x^y, Mathematica dejará esta forma unidimensional sin cambios hasta que la procese explícitamente. Pero si usted digita x y entonces Mathematica inmediatamente le dará un exponente. En un teclado estándar de lengua inglesa, el carácter ^ aparece en la parte superior de la tecla 6. Mathematica por lo tanto acepta como una alternativa a . Tenga presente que si usted usa un teclado diferente, Mathematica casi siempre aceptará , pero puede que no acepte .
  • 176. 175 Ésta es una forma alternativa de entrada que evita el uso de la tecla Control. Con esta forma de la entrada, Mathematica entiende automáticamente que +z no debe ir en el exponente. La utilización de la tecla Control reduce al mínimo el número de presionamientos de teclas que tiene que hacer para incorporar un exponente. Pero en particular si quiere guardar su entrada en un archivo, o enviarlo a otro programa, a menudo es más conveniente usar una forma que no involucre la tecla Control. Usted puede hacer esto utilizando secuencias de . Si usted copia una secuencia de en Mathematica, ésta automáticamente aparecerá en forma bidimensional. Pero si ingresa la secuencia directamente del teclado, tiene que escoger explícitamente el ítem Make 2D del menú Edit para conseguir la forma bidimensional. Cuando ingresa desde el teclado secuencias de , éstas son mostradas en forma literal. Escogiendo el ítem Make 2D en el menú Edit convierte estas secuencias en formas bidimensionales. use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar un subíndice directamente desde el teclado.
  • 177. 176 Los subíndices en Mathematica trabajan de manera muy similar a los superíndices. Sin embargo, mientras que Mathematica interpreta automáticamente xy como x elevada a la potencia y, no tiene ninguna interpretación similar para xy. Y, sólo trata a xy como un objeto puramente simbólico. Esto ingresa y como un subíndice. He aquí otra forma de ingresar y como un subíndice. use la tecla Control seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar una fracción directamente desde el teclado. Esto ingresa la fracción x y . Aquí la expresión completa y+z va al denominador. Pero presionando Control-Espacio se sale denominador, así que +z no aparece en el denominador. Mathematica automáticamente interpreta una fracción como una división.
  • 178. 177 He aquí otra forma de ingresar una fracción. use combinaciones de teclas que existen en la mayoría de teclados use combinaciones de teclas que deberían existir en todos los teclados seguido por Make 2D use sólo caracteres imprimibles ordinarios Formas de ingresar una raíz cuadrada directamente desde el teclado. Esto ingresa una raíz cuadrada. Control-Espacio le saca de la raíz cuadrada. He aquí una forma sin usar la tecla Control. Y he aquí una usual entrada unidimensional en Mathematica que da la misma expresión como salida. Sqrt[x] + y va a la posición de superíndice va a la posición de subíndice va al subradical de una raíz cuadrada va de subíndice a exponente o viceversa, o a la posición de índice radical va al denominador de una fracción retorna de una posición especial (Control-Espacio)
  • 179. 178 Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería trabajar en cualquier teclado. Esto pone tanto subíndice como superíndice en x. He aquí otra forma de ingresar la misma expresión. agrupación de toda entrada bidimensional superíndice con subíndice con subíndice y superíndice con raíz cuadrada con fracción con Formas especiales de entrada que generan entradas bidimensionales con el ítem Make 2D. Usted debe inicializar los exteriores con . Usted puede usar y para indicar la agrupación de elementos en una expresión sin introducir paréntesis explícitos. Además de subíndices y superíndices, Mathematica también soporta la noción de y sobreescrituras–elementos de que van directamente debajo o encima. Entre otras cosas, usted puede usar subescrituras y sobreescrituras para ingresar los límites de sumas y productos. crea un subescrito seguido por Make 2D crea un subescrito crea un sobreescrito
  • 180. 179 seguido por Make 2D crea un sobreescrito Creación de subescrituras y sobreescrituras. 11.3. Edición y evaluación de expresiones bidimensionales Cuando usted ve una expresión bidimensional en la pantalla, puede editarla como lo hace con el texto. Por ejemplo puede colocar su cursor en algún sitio y empezar a digitar. O puede seleccionar una parte de la expresión, luego quitarla usando la tecla Surpimir, o insertar una nueva versión digitándola. selecciona la subexpresión siguiente mueve a la derecha de la estructura actual mueve al siguiente caracter mueve al anterior caracter Formas de moverse alrededor de expresiones bidimensionales. Esto muestra una secuencia de subexpreiones seleccionadas al presionar repetidamente .
  • 181. 180 Shift-Enter evalúa la celda actual completa Shift-Control-Enter evalúa sólo la subexpresión seleccionada Formas de evaluar expresiones bidimensionales. En la mayor parte de cálculos, usted querrá ir de un paso al siguiente tomando la expresión completa que ha generado, y luego evaluándola. Pero si por ejemplo trata de manipular solamente una fórmula para expresarla en una forma particular, puede en cambio hallar más conveniente el hecho de realizar una secuencia de operaciones independientes sobre las diferentes partes de la expresión. Usted hace esto seleccionando cada parte que quiere operar, para luego usar la combinación Shift-Control-Enter. He aquí una expresión con una parte seleccionada.
  • 182. 181 Presionando Shift-Control-Enter evalúa la parte seleccionada. 11.4. Ingreso de fórmulas caracter forma corta forma larga símbolo [Pi] Pi [Infinity] Infinity [Degree] Degree Formas especiales de algunos símbolos comunes. se obtienen con la tecla . Esto equivale a Sin[60 Degree]. He aquí la forma larga de la entrada anterior. Sin[60 [Degree]] Esto encuentra los mejores parámetros para un ajuste general. Aquí el ángulo está en radianes.
  • 183. 182 caracteres especiales forma corta forma larga caracteres ordinarios x[LessEqual]y x[GreaterEqual]y x[NotEqual]y x[Element]y x[Rule]y Formas especiales para algunos operadores. Aquí la regla de transformación es ingresada usando dos caracteres ordinarios, como ->. x/(x+1) /. x -> 3 + y Esto significa exactamente lo mismo. x/(x+1) /. x [Rule] 3 + y También esto. O esto. La forma especial de la flecha es también usada por defecto para salidas. Solve[x^2 == 1, x]
  • 184. 183 caracteres especiales forma corta forma larga caracteres ordinarios x[Divide]y x[Times]y x[Cross]y Cross[x, y] x[Equal]y x[LongEqual]y x[And]y x[Or]y [Not]x x[Implies]y Implies[x, y] x[Union]y Union[x, y] x[Intersection]y Intersection[ x, y] x[Invisible Comma]y x, y x[Invisible Application]y Algunos operadores con formas especiales usados para entradas pero no para salidas. Mathematica entiende , pero no lo usa por defecto para salidas. Las formas de entrada discutidas hasta ahora en esta sección usan caracteres especiales, pero de en otros casos sólo consisten en líneas ordinarias unidimensionales de texto. Los cuadernos de Mathematica, sin embargo, también hacen posible el uso de formas bidimensionales de entrada. bidimensional unidimensional potencia división Sqrt[x] raíz cuadrada raíz n-ésima Sum[f, {i, imin, imax}] suma
  • 185. 184 Product[f, {i, imin, imax}] producto Integrate[f, x] integral indefinida Integrate[f, {x, xmin, xmax}] integral definida D[f, x] derivada parcial D[f, x, y] derivada parcial multivariable Conjugate[z] conjugado complejo Transpose[m] transpuesta Conjugate Transpose[m] conjugada transpuesta Part[expr, i, j, ...] extracción de partes Algunas formas bidimensionales que pueden usarse en cuadernos de Mathematica. Usted puede ingresar formas bidimensionales usando cualquiera de los mecanismos mencionados en la sección 11.2. Note que límites superiores e inferiores para sumas y productos deben ser ingresados como sobreescrituras y subescrituras–no sólo como superíndices y subíndices. Esto ingresa una integral indefinida. Note el uso de para ingresar la “diferencial d”. He aquí una integral indefinida que puede ser evaluada explícitamente. He aquí la entrada usual de Mathematica para esta integral. Integrate[Exp[-x^2], x] Esto ingresa exactamente la misma integral.
  • 186. 185 !( [Integral] Exp[-x^2] [DifferentialD]x ) forma corta forma larga [Sum] signo de sumatoria [Product] signo de productoria [Integral] signo de integral [DifferentialD] especial para uso en integrales [PartialD] operador de derivada parcial [Conjugate] símbolo para conjugado [Transpose] símbolo para transpuesta [Conjugate Transpose] símbolo para conjugada transpuesta [LeftDouble Bracket], [RightDouble Bracket] pares de corchetes Algunos caracteres especiales usados para ingresar fórmulas. Usted debe comprender que aun cuando un signo de sumatoria pueda parecer casi idéntico a una sigma mayúscula son tratados de un modo muy diferente por Mathematica. El punto es que sigma es sólo una letra; pero un signo de sumatoria es un operador que dice a Mathematica que realice una operación Sum. La sigma mayúscula es sólo una letra. a + [CapitalSigma]^2 Un signo de sumatoria, por otra parte, es un operador. He aquí otra forma de ingresar la misma entrada. !( [Sum] + ( n = 0 ) % m 1 / f[n] )
  • 187. 186 Así como Mathematica distingue entre un signo de sumatoria y una sigma mayúscula, también distingue entre una d ordinaria y la “ diferencial” especial que es usada en la notación estándar para integrales. Es crucial que use esta diferencial–ingresada como –cuando digita una integral. Si trata de usar una d ordinaria, Mathematica la interpretará como un símbolo llamado d–no entenderá que usted esta ingresando la segunda parte de un operador de integración. Esto calcula la derivada de n x . He aquí la misma derivada especificada en una forma unidimensional ordinaria. D[x^n, x] Esto calcula la tercera derivada. He aquí la forma unidimensional equivalente. D[x^n, x, x, x] 11.5. Ingreso de tablas y matrices El front end de Mathematica proporciona un ítem Create Table/Matrix/Palette que le permite crear un array en blanco con cualquier número especificado de filas y columnas. Una vez que tiene este array, puede editarlo llenándolo con cualesquiera elementos que usted desee.
  • 188. 187 Mathematica trata un array como éste como una matriz representada por una lista de listas. Poniendo paréntesis alrededor del array hacemos que se parezca más a una matriz, pero esto no afecta su interpretación. Usando MatrixForm le dice a Mathematica que muestre el resultado de Transpose como una matriz. agrega una columna agrega una fila va al siguiente elemento ó lo saca de la tabla o matriz Ingresando tablas y matrices. Note que puede usar y para empezar a aumentar un array, en particular para arrays pequeños hacer esto es a menudo más conveniente que usar el ítem Create Table/Matrix/Palette. El ítem Create Table/Matrix/Palette le permite hacer ajustes básicos, como el dibujo de líneas entre filas o columnas. 11.6. Subíndices, barras y otros adornos He aquí una típica paleta de adornos.
  • 189. 188 Mathematica le permite usar cualquier expresión como subíndice. A menos que usted lo exprese de otro modo, Mathematica interpretará un superíndice como una potencia. va a la posición de subíndice va a la posición de subescritura va a la posición de superíndice va a la posición de sobreescritura retorna de una posición especial (Control-Espacio) Formas especiales de entrada usando la tecla Control. La segunda forma dada debería trabajar en cualquier teclado. Esto ingresa un subíndice usando la tecla Control. Tal como y van a las posiciones de superíndice y subíndice, también y pueden usarse para ir directamente a las posiciones de superescritura y subescritura. Con la disposición de un teclado estándar de lengua inglesa está directamente a la derecha de mientras que está directamente a la derecha de .
  • 190. 189 combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión OverBar[x] OverVector[x] OverTilde[x] OverHat[x] OverDot[x] UnderBar[x] Algunas formas de ingresar ciertos adornos comunes usando la tecla Control. He aquí . Usted puede usar como variable. combinación de teclas forma en que es mostrada forma de expresión Subscript[x, y] Underscript [x, y] Superscript[x, y] (interpretado como Power[x, y]) Overscript [x, y] OverBar[x, y] OverVector[x, y] OverTilde[x, y] OverHat[x, y] OverDot[x, y] UnderBar[x, y] Formas de ingresar adornos sin la tecla Control. Todas estas formas sólo pueden usarse dentro de .
  • 191. 190 11.7. Caracteres no ingleses Si usted ingresa texto en lenguas que no sean el inglés, tendrá que usar varios caracteres acentuados adicionales y otros. Si su sistema informático esta establecido de forma apropiada, entonces usted podrá ingresar tales caracteres directamente usando teclas estándares de su teclado. Pero sino lo está es, Mathematica siempre proporciona un forma uniforme de manejar tales caracteres. nombre completo alias nombre completo alias [AGrave] [OSlash] [ARing] [ODoubleDot] [AdoubleDot] [UGrave] [CCedilla] [UDoubleDot] [CHacek] [SZ] [EAcute] [CapitalARing] [EGrave] [CapitalADoubleDot] [IAcute] [CapitalODoubleDot] [NTilde] [CapitalUDoubleDot] [OGrave] Algunos caracteres europeos comunes. He aquí una función cuyo nombre involucra un caracter acentuado. Lam[EAcute][x, y] Esta es otra forma de ingresar la misma entrada. Usted debe comprender que no hay ningún estándar uniforme para teclados de computador en el mundo entero, y por consiguiente es inevitable que algunos detalles que han sido mencionados en este capítulo no puedan aplicarse a su teclado. En particular, la identificación por ejemplo de con es válida sólo para teclados en los cuales ^ aparece como Shift-6. En otros teclados, Mathematica usa para ir a una posición de superíndice, pero no necesariamente .
  • 192. 191 Independientemente de como esté establecido su teclado usted siempre puede usar paletas o ítems de menú para establecer superíndices y otros tipos de notación. Y asumiendo que tiene algún modo de ingresar caracteres como , usted siempre puede ingresar entradas que usan nombres completos como [Infinity] y formas textuales como (x/y). 11.8. Otras notaciones matemáticas Mathematica soporta una amplia gama de notación matemática, aunque a menudo no le asigne un significado predefinido. Así, por ejemplo, usted puede ingresar una expresión como , pero Mathematica inicialmente no hará ninguna asunción sobre lo que usted quiere decir con . Mathematica sabe que es un operador, pero no le asigna inicialmente ningún significado específico. Esto da a Mathematica una definición de lo que hace el operador . Ahora Mathematica puede evaluar operaciones con . Aquí tenemos una evaluación simbólica He aquí evaluaciones numéricas. nombre completo alias nombre completo alias [CirclePlus] [LongRightArrow] [CircleTimes] [LeftRightArrow] [PlusMinus] [UpArrow] [Wedge] [Equilibrium] [Vee] [RightTee] [TildeEqual] [Superset] [TildeTilde] [SquareIntersection]
  • 193. 192 [Tilde] [Element] [Proportional] [NotElement] [Congruent] [SmallCircle] [GreaterTilde] [Therefore] [GreaterGreater] [VerticalSeparator] [Succeeds] [VerticalBar] [RightTriangle] [Backslash] Algunos de los operadores cuya entrada es soportada por Mathematica.. Mathematica asigna significado predefinido para y , pero no para ó . Hay algunas formas que se parecen a caracteres sobre un teclado estándar, pero que son interpretadas de un modo diferente por Mathematica. Así, por ejemplo, [Backslash] ó se muestran como pero no es interpretado de la misma manera que digitado directamente en el teclado. Los caracteres y usados aquí son diferentes a y que usted digita en el teclado. La mayor parte de operadores trabajan como y van en medio de sus operandos. Pero algunos operadores pueden ir en otros sitios. Así, por ejemplo, y ó [LeftAngleBracket] y [RightAngleBracket] son efectivamente operadores que envuelven a su operando. Los elementos del operador ángulo van alrededor de su operando. [LeftAngleBracket] 1 + x [RightAngleBracket] nombre completo alias nombre completo alias [ ScriptL] [ Angstrom] [ ScriptCapitalE] [ HBar]
  • 194. 193 [ GothicCapitalR] [ Sterling] [ DoubleStruckCapitalZ] [ Angle] [ Aleph] [ Bullet] [ EmptySet] [ Dagger] [ Micro] [ Natural] Algunas letras adicionales y formas parecidas a letras. Usted puede usar cualesquiera letras y formas parecidas a letras como nombres de símbolos. se asume como un símbolo, y tan solo es multiplicado por a y b. También es posible generar todas las letras del alfabeto, incluyendo mayúsculas y minúsculas, en los tres primeros tipos que aparecen en la última tabla, esto es Script, Gothic y DoubleStruck. 11.9. Formas de entrada y salida Los cuadernos en Mathematica le permiten dar entradas y obtener salidas en una variedad de formas diferentes. El front end proporciona comandos de menú para convertir celdas de una a otra forma. InputForm una forma que puede ser digitada directa- mente usando caracteres en un teclado estándar OutputForm una forma para salida que sólo usa caracteres en un teclado estándar StandardForm una forma para entrada y salida que hace uso de caracteres especiales y posicionamiento TraditionalForm una forma principalmente para salida que
  • 195. 194 imita todos los aspectos de notación tradicional matemática Formas de entrada y salida. La entrada de aquí trabaja en las ambas formas InputForm y StandardForm. x^2 + y^2/z He aquí una versión del ingreso apropiado para StandardForm. InputForm es la forma más general de entradas para Mathematica: esto trabaja si usted usa una interfase de cuaderno o una interfase a basada en texto. Con una interfase de cuaderno, la salida es producida por defecto en StandardForm. Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y]) Con una interfase basada en texto, en cambio es usada OutputForm. Sqrt[x] + 1/(2 + Sqrt[y]) // OutputForm Con una interfase de cuaderno, la forma por defecto tanto para la entrada como para la salida es StandardForm. La idea básica de StandardForm es proporcionar una representación exacta y elegante de expresiones en Mathematica, haciendo uso de caracteres especiales, posicionamientos bidimensionales, etcétera. Entrada y salida son dadas aquí en StandardForm.
  • 196. 195 Una característica importante de StandardForm es que cualquier salida usted obtiene en esta forma también puede usarla directamente como entrada. La naturaleza exacta de StandardForm le impide seguir todas las convenciones algo casuales de la notación matemática tradicional. Mathematica sin embargo también soporta TraditionalForm, que usa una amplia colección de reglas de interpretación bastante completa de notación matemática tradicional. TraditionalForm nombres en minúsculas para funciones, y pone sus argumentos entre paréntesis y no entre corchetes. He aquí algunas transformaciones hechas por TraditionalForm. {Abs[x], ArcTan[x], BesselJ[0, x], Binomial[i, j]} // TraditionalForm TraditionalForm es a menudo útil para generar salidas que pueden ser insertadas directamente en documentos que usen notación matemática tradicional.
  • 197. 196 Pero usted debe entender que TraditionalForm se requiere principalmente para salidas: no tiene la clase de precisión que es necesaria para proporcionar una entrada confiable a Mathematica. Así, por ejemplo, en TraditionalForm, es la representación tanto para Ci[x] como para CosIntegral[x], así que si esta forma aparece sólo como entrada, Mathematica no tendrá ni idea de cuál de las dos interpretaciones es correcta. En StandardForm estas tres expresiones son mostradas de un modo único e inequívoco. { Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } // StandardForm En TraditionalForm, sin embargo, las primeras dos son imposibles de distinguirse, y la tercera se diferencia sólo por la presencia de un espacio adicional. { Ci[1+x], CosIntegral[1+x], Ci(1+x) } // TraditionalForm Las ambigüedades de TraditionalForm lo hacen en general inadecuado para especificar entradas al núcleo de Mathematica. Pero al menos para casos suficientemente simples, Mathematica realmente incluye varias reglas heurísticas para tratar de interpretar expresiones TraditionalForm como entradas de Mathematica. Se asume que las celdas previstas para dar entradas al núcleo por defecto contendrán expresiones StandardForm.
  • 198. 197 Aquí al front end le fue dicho que la entrada sería dada específicamente en TraditionalForm. El corchete de la celda tiene una línea dentada para indicar las dificultades implicadas. La entrada es una copia o una edición simple de la salida anterior. La entrada ha sido convertida de StandardForm, quizás con ediciones simples. La entrada contiene información explícita oculta que da su interpretación. La entrada contiene sólo las notaciones más simples y familiares. Algunas situaciones en que puede esperar que la entrada TraditionalForm trabaje. Siempre que Mathematica genera una expresión en TraditionalForm, automáticamente inserta varias etiquetas ocultas de modo que más adelante la expresión pueda ser interpretada inequívocamente si se da como entrada. E incluso si usted corrige la expresión, las etiquetas a menudo serán dejadas suficientemente aceptables de modo que la interpretación inequívoca sea aún posible. Esto genera una salida en TraditionalForm. Exp[I Pi x] // TraditionalForm Aquí le fue dicho a Mathematica que esperara una entrada TraditionalForm. La entrada fue copiada de la línea de salida anterior, y así contiene las etiquetas ocultas que aseguran la interpretación correcta. Una edición simple a menudo no afecta las etiquetas ocultas. Si usted ingresa una expresión TraditionalForm desde el principio, o la importa desde fuera de Mathematica, entonces Mathematica hará todo lo posible para averiguar lo que la expresión significa. Cuando hay ambigüedades, lo que
  • 199. 198 típicamente hace es asumir que usted esta usando alguna notación común en aplicaciones de matemáticas elementales. En una entrada TraditionalForm, esto es interpretado como una derivada. Esto es interpretado como una integral. Esto es interpretado como un arco tangente. Esto es interpretado como el cuadrado de una tangente. No hay una interpretación particular estándar tradicional para esto, Mathematica asume que es 1/Tan[x]^2. Usted debe comprender que TraditionalForm no proporciona ningún tipo de forma exacta o completa de especificar expresiones en Mathematica. Sin embargo, para algunos objetivos elementales puede ser suficiente, en particular si usted usa algunos trucos adicionales. Use para funciones; para multiplicación. Use para la constante exponencial E. Use ó para la unidad imaginaria I. Use para operadores diferenciales en integrales y derivadas. Algunos trucos para entradas TraditionalForm.
  • 200. 199 Con un espacio es interpretada como multiplicación. Sin un espacio es interpretada como una función. La e ordinaria es interpretada como un símbolo e. La “e exponencial” que se ingresa como , es interpretada como la constante exponencial. 11.10. Mezcla de texto y fórmulas El modo más simple de mezclar texto y fórmulas en un cuaderno de Mathematica es poner cada clase de material en una celda separada. A veces, sin embargo, puede que usted quiera encajar una fórmula dentro de una celda de texto, o viceversa. comience ingresando una fórmula dentro del texto, o el texto dentro de una fórmula termine entrando una fórmula dentro del texto, o el texto dentro de una fórmula Entrada de una fórmula dentro de texto, o viceversa. He aquí un cuaderno con fórmulas encajados en una celda de texto. Los cuadernos de Mathematica a menudo contienen tanto fórmulas requeridas para la evaluación actual por Mathematica, como texto que es requerido sólo para su lectura en forma pasiva. Usted debe comprender, sin embargo, que hacer la tipografía detallada de fórmulas típicas tan buena como sea posible, Mathematica automáticamente hace cosas como insertar espacios alrededor de ciertos operadores. Pero estas clases de ajustes pueden ser potencialmente inadecuados si usted usa una notación muy diferente a la que Mathematica espera.
  • 201. 200 11.11. Creación de sus propias paletas El front end de un cuaderno de Mathematica viene con una colección de paletas estándar. Pero también le permite crear sus propias paletas. Genere una paleta en blanco usando Create Table/Matrix/Palette del menú Input. Llene el contenido. Active la paleta usando Generate Palette from Selection del menú File. Pasos básicos en la creación de una paleta. Create Table/Matrix/Palette creará una paleta en blanco. Usted entonces puede insertar lo que quiera en cada botón. El ítem Generate Palette from Selection hace una paleta activa separada. Haciendo clic sobre un botón de la paleta usted inserta el contenido de éste en su cuaderno. Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco Generate Palette from Selection hace una paleta separada activa
  • 202. 201 Generate Notebook from Palette convierte una paleta en un cuaderno editable Edit Button corrige la escritura asociada a una paleta o botón Ítems para generar paletas. Cuando usted crea una paleta, puede usar los mismos mecanismos para añadir columnas y filas que usa cuando crea cualquier otra clase de tabla, matriz o rejilla. Así añadirá una nueva columna de botones, y (Control-Enter) añadirá una nueva fila. contenidos de botón acción substituye la selección actual por texto que contiene substituye la selección actual por Contenidos de botones. En el caso más simple, cuando usted presiona un botón en una paleta lo que pasará es que el contenido del botón será insertado en su cuaderno, substituyendo lo que era su selección actual. A veces sin embargo puede que usted simplemente no quiera sustituir su selección actual, sino más bien puede que quiera modificar la selección de algún modo. Como ejemplo, puede ser que desee aplicar una función como Expand a su selección actual. Puede hacer esto estableciendo un botón con el contenido . El puede ingresarse como ó [SelectionPlace holder]. En general, sirve como un guarda lugar para su selección actual. Cuando usted presiona un botón que contiene , el es primero substituido por su selección actual, y sólo entonces el resultado es insertado en su cuaderno. He aquí una celda en la cual la selección actual es parte de una expresión. Presionando un botón que contiene , Expand envuelve la selección actual Mathematica le permite asociar cualquier acción que usted quiere con un botón. Puede establecer algunas acciones comunes usando el menú de Edit Button, seleccionando un solo botón o una paleta entera.
  • 203. 202 Paste pega el contenido del botón (acción por defecto) Evaluate pega y luego evalúa en el lugar que ha sido pegado EvaluateCell pega y luego evalúa toda la celda CopyEvaluate copia la selección actual en una nueva celda, luego pega y evalúa en el lugar CopyEvaluateCell copia la selección actual en una nueva celda, luego pega y evalúa la celda completa Acciones típicas para botones. Con la acción de botón por defecto Paste, al presionar el botón se modifica el contenido de una celda, pero no se hace ninguna evaluación. Escogiendo otras acciones de botón, sin embargo, usted puede decir a Mathematica que realice una evaluación siempre que presiona el botón. Con la acción de botón Evaluate el resultado de esta evaluación es sobrescrito sobre su selección actual. Esto es útil si usted quiere generar un botón que modifique las partes de una expresión en el lugar. La acción de botón Evaluate realiza la evaluación sólo sobre lo que fue pegado en su celda actual. La acción de botón EvaluateCell, por otra parte, realiza la evaluación sobre la celda completa, generando una nueva celda para mostrar el resultado. He aquí una expresión con una parte seleccionada. Esto muestra el resultado al presionar un botón que contiene con una acción de botón EvaluateCell.
  • 204. 203 A veces es útil extraer la selección actual de una célula, y luego operar esta selección en una nueva celda. Usted puede hacer esto utilizando las acciones de botón CopyEvaluate y CopyEvaluateCell. He aquí una expresión con una parte seleccionada. Un botón con una acción de botón CopyEvaluateCell copia la selección actual en una nueva celda, luego pega el contenido del botón, y luego realiza una evaluación, poniendo el resultado en una nueva celda. Create Table/Matrix/Palette genera una paleta en blanco Create Button genera un botón solo en una paleta Generate Palette from Selection crea una ventana aparte Cell Active activa botones dentro de una celda en un cuaderno Formas de crear elementos activos en el front end. Mathematica le permite establecer un amplio rango de elementos activos en el front end de cuaderno. En el caso más común, usted tiene una paleta que consiste en una serie de botones en una ventana aparte. Pero también puede tener arrays de botones, o hasta botones solos, dentro de una celda de un cuaderno común. Además, usted puede hacer que un botón ejecute cualquier acción que usted quiera–realizar cálculos en el kernel de Mathematica, o cambiar la configuración de cuadernos en el front end. 11.12. Creación de Hipervínculos Create Hyperlink crea un hipervínculo en el objeto seleccionado Ítem para generar hipervículos.
  • 205. 204 Un hipervínculo es una clase especial de botón que brinca a otra parte de un cuaderno cuando es presionado. Típicamente los hipervínculo se indican en Mathematica con texto azul o subrayado. Para establecer un hipervínculo, solamente seleccione el texto u otro objeto al que le quiere hacer un hipervínculo. Entonces escoja el ítem Create Hyperlink y complete la especificación de donde usted quiere que esté el destino del hipervínculo. 11.13. Numeración automática Escoja un estilo de celda tal como NumberedEquation. Use el menú Create Automatic Numbering Object, con un nombre de conteo tal como Section Dos formas de generar numeración automática en un cuaderno de Mathematica. La entrada para cada celda aquí es exactamente la misma, pero las celdas contienen un elemento que muestra un número que va aumentando progresivamente cuando avanzamos a través del cuaderno. Esta celda está en un estilo NumberedEquation.
  • 206. 205 12. Archivos y operaciones externas 12.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica Usted puede usar archivos en su sistema informático para almacenar definiciones y resultados de Mathematica. El enfoque más general es almacenar todo como texto simple que es apropiado como entrada para Mathematica. Con este enfoque, una versión de Mathematica corriendo en un sistema informático produce archivos que pueden ser leídos por una versión que corre en cualquier sistema informático. Además, tales archivos pueden ser manipulados por otros programas estándar, tales como editores de textos. << name lee en un archivo de entrada de Mathematica expr >> name produce expr como un archivo texto simple expr >>> name añade expr un archivo !! name muestra el contenido de un archivo de texto simple Lectura y escritura de archivos. Esto expande 3 ( )x y+ y produce el resultado en un arhivo llamado tmp. Expand[ (x + y)^3 ] >> tmp He aquí los contenidos de tmp. Ellos pueden ser usados directamente como una entrada para Mathematica. !!tmp x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 Esto lee en tmp, evaluando la entrada de Mathematica que contiene. <<tmp Si usted esta familiarizado con los sistemas operativos, reconocerá la similitud de los operadores de redireccionamiento de Mathematica >>, >>> y << con los operadores de command-line >, >> y <. Los operadores de redireccionamiento >> y >>> son convenientes para almacenar resultados que usted obtiene de Mathematica. La función Save[“name”, f, g,...] le permite guardar definiciones para variables y funciones.
  • 207. 206 Save["dir", f, g,...] guarde definiciones de variables o funciones en un archivo Guardando definiciones en archivos de texto simples. He aquí una definición para una función f. f[x_] := x^2 + c Esto le da a c el valor de 17. c = 17 17 Esto guarda la definición de f en el archivo ftmp. Save["ftmp", f] Mathematica automáticamente guarda la definición actual de f, y la definición de c de la cual depende. !!ftmp f[x_] := x^2 + c c = 17 Esto borra las definiciones de f y c. Clear[f, c] Usted puede rehabilitar las definiciones que guardó simplemente leyendo en el archivo ftmp. Exp[I Pi x] // TraditionalForm 17 file.m archivo de expresión de Mathematica en formato de texto simple file.nb archivo de cuaderno de Mathematica file.mx definiciones de Mathematica en formato DumpSave Nombres típicos de archivos de Mathematica.
  • 208. 207 Si usted usa una interfase de cuaderno en Mathematica, entonces el front end de Mathematica le permite guardar cuadernos completos, incluyendo no sólo entradas y salidas de Mathematica, sino también texto, gráficos y otro material. Es convencional dar nombres a los archivos de cuaderno de Mathematica que terminen en .nb, y la mayor parte de versiones de Mathematica hacen cumplir esta convención. Cuando usted abre un cuaderno en el front end de Mathematica, Mathematica inmediatamente le mostrará el contenido del cuaderno, pero normalmente no enviará nada de este contenido al núcleo para su evaluación hasta que usted lo solicite explícitamente. Dentro de un cuaderno de Mathematica, sin embargo, usted puede usar el menú Cell en el front end para identificar ciertas celdas como celdas de inicialización, y si usted hace esto, entonces el contenido de estas celdas automáticamente será evaluado cada vez que abra el cuaderno. La I en el corchete de la celda indica que la segunda celda es una celda de inicialización que será evaluada cada vez cuaderno sea abierto. A veces es conveniente mantener el material de Mathematica tanto en un cuaderno que contiene el texto explicativo, como en un paquete que contiene sólo la materia prima de las definiciones de Mathematica. Usted puede hacer esto poniendo las definiciones de Mathematica en celdas de inicialización en el cuaderno. Cuando usted guarde el cuaderno, el front end le permitirá guardar un archivo asociado .m que sólo contiene la materia prima de las definiciones de Mathematica. 12.2. Localización y manipulación de archivos Aunque los detalles como son llamados y organizados los archivos se diferencian de un sistema informático a otro, Mathematica proporciona algunos mecanismos bastante generales para localizar y manejar archivos. Mathematica asume que los archivos en su sistema informático son organizados en una colección de directorios. En cualquier punto, usted tiene un directorio de
  • 209. 208 trabajo actual. Usted siempre puede referirse a archivos en este directorio con tan solo dar sus nombres. Directory[ ] da su directorio de trabajo actual SetDirectory["dir"] fija su directorio de trabajo actual FileNames[ ] lista los archivos en su directorio de trabajo actual FileNames["form"] lista los archivos cuyos nombres se ajustan a una cierta forma <<name lee en un archivo con el nombre especificado <<context` lee en un archivo correspondiente al contexto especificado CopyFile["file1", "file2"] copia file1 a file2 DeleteFile["file"] borra un archivo Funciones para localizar y manipular archivos. Este es un directorio de trabajo actual. La forma que tiene se diferencia de un sistema informático a otro. Directory[ ] C:Archivos de programaWolfram Research Mathematica5.1 Esto resetea el directorio de trabajo actual. SetDirectory["Ejemplos"] C:Archivos de programaWolfram Research Mathematica5.1Examples Esto da una lista de todos los archivos en su directorio de trabajo actual cuyos nombres se ajustan a la forma Test*.m. FileNames["Prueba*.m"] {Prueba1.m,Prueba2.m,PruebaFinal.m} Aunque usted por lo general quiera crear archivos sólo en su directorio de trabajo actual, a menudo tiene que leer en archivos de otros directorios. Por consiguiente, cuando pide a Mathematica leer en un archivo con un nombre particular, Mathematica automáticamente busca una lista de directorios (especificado por el valor de la variable de búsqueda de camino $Path) hasta que, en caso de que exista, encuentra un archivo con aquel nombre.
  • 210. 209 Una cuestión en archivos que se manejan en Mathematica es que la forma de los archivos y nombres de directorio varía entre sistemas informáticos. Esto quiere decir por ejemplo que los nombres de los archivos que contienen paquetes estándares de Mathematica pueden ser bastante diferentes en sistemas diferentes. Con una secuencia de convenciones, es sin embargo posible leer en un paquete estándar de Mathematica con el mismo comando en todos los sistemas. La forma en que esto trabaja es que cada paquete de programas define un llamado contexto de Mathematica, de la forma name`name`. En cada sistema, todos los archivos se nombran en correspondencia con los contextos que definen. Entonces cuando usted usa el comando <<name`name` Mathematica automáticamente traduce el nombre de contexto al nombre de archivo apropiado para su sistema informático particular. FindList["file", "text"] da una lista de todas las líneas en un archivo que contienen el texto especificado FindList[ FileNames[ ], "text"] busca en todos los archivos en su directorio corriente Nombres típicos de archivos de Mathematica. Esto busca todas las líneas en el archivo Prueba1 que contienen ChordLengths. FindList["Prueba1.m", "Rotation"] {(* :Keywords: Traslation, Scaling, Reflection, Rotation *), Rotation::usage = "Rotation[].", Rotation[p_, t_, q_:{0, 0}] :=, Rotation[ptos : {{_, _} ..}, t_, q_:{0, 0}] :=, Table[Rotation[ptos[[i]], t, q], {i, Length[ptos]}]} 12.3. Importación y exportación de datos Import["file", "Table"] importa una tabla de datos desde un archivo Export["file", list, "Table"] exporta list a un archivo como una tabla de datos Importación y exportación de datos tabulares. Esto exporta un array de números al archivo out.dat. Export["out.dat", {{5.7, 4.3}, {-1.2, 7.8}}] out.dat
  • 211. 210 He aquí el contenido del archivo out.dat. !!out.dat Esto importa el contenido de out.dat como una tabla de datos. Import["out.dat", "Table"] {5.7,4.3},{-1.2,7.8}} Import["file", "Table"] manejará muchas clases de datos tabulares, automáticamente deduciendo los detalles del formato siempre que es posible. Export["file", list, "Table"] escribe datos separados por espacios, con números dados en forma parecida a C o Fortran, como en 2.3E5 etcétera. Import["name.ext"] importa datos asumiendo un formato deducido del nombre del archivo Export["name.ext", expr] importa datos en un formato deducido del nombre del archivo Importación y exportación de datos generales. formatos de tabla "CSV", "TSV", "XLS" formatos de matriz "HarwellBoeing", "MAT", "MTX" formatos de datos especializados "DIF", "FITS", "HDF5", "MPS", "SDTS", etc. Algunos formatos comunes para datos tabulares. Import y Export pueden manejar datos no sólo tabulares, sino también datos correspondientes a gráficos, sonidos, expresiones y aún documentos completos Import y Export a menudo pueden deducir el formato apropiado para datos con simplemente ver la extensión del nombre del archivo para el archivo en el cual los datos están siendo almacenados. Note que usted también puede usar Import y Export para manipular archivos de datos binarios. Esto importa un gráfico en formato GIF. Import["girafa.gif"]
  • 212. 211 Esto muestra el gráfico. Show[%] $ImportFormats importa formatos soportados por su sistema $ExportFormats importa formatos soportados por su sistema Encuentra la lista completa de formatos de importación y exportación soportados. 12.4. Exportación de gráficos y sonidos Mathematica le permite exportar gráficos y sonidos en una amplia variedad de formatos. Si usted usa el front end de un cuaderno de Mathematica, entonces usted solamente puede copiar y pegar gráficos y sonidos directamente en otros programas usando el mecanismo estándar disponible en su sistema informático. Export["name.ext", graphics] exporta gráficos a un archivo en un formato deducido del nombre del archivo Export["file", graphics, "format"] exporta gráficos en el formato especificado Export["!command", graphics, "format"] exporta gráficos a un comando externo Exportación de gráficos y sonidos en Mathematica. formatos de gráficos "EPS", "TIFF", "GIF", "JPEG", "PNG", "PCX", "PDF", "SVG", etc. formatos de sonido "SND", "WAV", "AIFF", "AU", etc. Algunos formatos comunes para gráficos y sonidos.
  • 213. 212 Esto traza un gráfico. Plot[Sin[x] + Sin[Sqrt[2] x], {x, 0, 10}] Esto exporta el gráfico a un archivo en formato PostScript. Export["sinplot.eps", %] sinplot.eps 12.5. Exportación de fórmulas de cuadernos He aquí una celda conteniendo una fórmula. Esto es lo que usted obtiene si copia la fórmula y la pega en un programa externo basado en texto. Pegando el texto nuevamente en un cuaderno inmediatamente reproduce la fórmula original.
  • 214. 213 Mathematica le permite exportar fórmulas tanto textual como visualmente. Usted puede usar la Export para decir a Mathematica que escriba una representación visual de una fórmula en un archivo. Export["file.eps", ToBoxes[expr]] guarda la forma visual de expr en un archivo en formato EPS Export["file", ToBoxes[expr], "format"] guarda la forma visual de expr el formato especificado Exportación de expresiones en forma visual. 12.6. Generación e Importación de TeX Los cuadernos de Mathematica proporcionan un ambiente sofisticado para crear documentos técnicos. Pero en particular si usted quiere combinar su trabajo con material existente en TeX, puede encontrar conveniente usar TeXForm para convertir expresiones de Mathematica en forma conveniente de entrada para TeX. TeXForm[expr] imprime expr en forma de entrada para TeX Salidas de Mathematica para TeX. He aquí una expresión, impresa en forma estándar de Mathematica. (x + y)^2 / Sqrt[x y] He aquí la expresión en forma de entrada para TeX. TeXForm[%] frac{(x+y)^2}{sqrt{x y}} ToExpression["input", TeXForm] convierte una entrada para TeX a Mathematica Conversión de cadenas TeX a Mathematica. Esto convierte una cadena TeX a Mathematica. Observe los dobles necesarios en la cadena. ToExpression["sqrt{x y}", TeXForm]
  • 215. 214 Además de la capacidad de convertir expresiones individuales a TeX, Mathematica también proporciona capacidades para traducir cuadernos completos. Estas capacidades por lo general pueden accederse desde el menú Save As Special en el front end de un cuaderno, donde pueden fijarse varias opciones. 12.7. Cambio de material con la Web HTMLSave["file.html"] guarda su cuaderno actual completo en forma HTML HTMLSave["file.html", "source.nb"] guarda una versión HTML del cuaderno source.nb Conversión de cuadernos a HTML. HTMLSave tiene muchas opciones que le permiten especificar como deberían ser convertidos los cuadernos para navegadores de Web con capacidades diferentes. Usted puede encontrar detalles escribiendo HTMLSave en el Help Browser de Mathematica. MathMLForm[expr] imprime expr en forma MathML MathMLForm[ StandardForm[expr]] use StandardForm antes que la notación matemática tradicional ToExpression["string", MathMLForm] interpreta una cadena de MathML como entrada de Mathematica Conversión a y desde MathML. He aquí una expresión impresa en forma MathML. MathMLForm[x^2/z] <math> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>z</mi> </mfrac> </math> Si usted pega MathML en un cuaderno de Mathematica, Mathematica automáticamente tratará de convertirlo en entrada de Mathematica. Usted puede
  • 216. 215 copiar una expresión de un cuaderno como MathML utilizando el menú Copy As en el front end de un cuaderno. Export["file.xml", expr] exporta en formato XML Import["file.xml"] importa desde XML ImportString[ "string", "XML"] importa datos de una cadena de XML Importación y exportación XML. Similar a las expresiones de Mathematica, XML es un formato general para representar datos. Mathematica automáticamente convierte ciertos tipos de expresiones a y desde tipos específicos de XML. MathML es un ejemplo. Otros ejemplos incluyen NotebookML para expresiones de cuaderno, y SVG para gráficos. Si usted pide a Mathematica que importe una parte genérica de XML, esto producirá una expresión SymbolicXML. Cada elemento XML de la forma <elem attr='val'>data</elem> es traducido a una expresión SymbolicXML de Mathematica de la forma XMLElement["elem",{"attr"->"val"},{datos}]. Una vez que usted ha importado un parte de XML como SymbolicXML, puede usar las potentes capacidades de programación simbólica de Mathematica para manipular la expresión que obtiene. Entonces puede usar la Export para exportar el resultado en la forma de XML. Esto genera una expresión SymbolicXML, con un XMLElement representando el elemento a en la cadena XML. ImportString["<a aa='va'>s</a>", "XML"] XMLObject[Document][{}, XMLElement[a,{aa→va},{s}],{}] Ahora hay dos niveles anidados en SymbolicXML. ImportString[ "<a><b bb='1'>ss</b><b bb='2'>ss</b></a>", "XML"] XMLObject[Document][{}, XMLElement[ a,{},{XMLElement[b,{bb→1},{ss}], XMLElement[b,{bb→2},{ss}]}],{}]
  • 217. 216 Esto hace una transformación simple en SymbolicXML. %/."ss" -> XMLElement["c",{},{"xx"}] XMLObject[Document][{}, XMLElement[a,{},{XMLElement[b,{bb→1}, {XMLElement[c,{},{xx}]}],XMLElement[b, {bb→2},{XMLElement[c,{},{xx}]}]}],{}] Esto muestra el resultado como una cadena XML. ExportString[%, "XML"] <a> <b bb='1'> <c>xx</c> </b> <b bb='2'> <c>xx</c> </b> </a> Import["http://url", ...] importación de datos de un website Import["ftp://url", ...] importación de datos de un servidor FTP Importación de datos de fuentes Web. 12.8. Generación de expresiones C y Fortran Si usted tiene programas con destino especial escritos en C o Fortran, puede ser que quiera tomar fórmulas que ha generado en Mathematica e insertarlas en el código original de sus programas. Mathematica le permite convertir expresiones matemáticas en expresiones C y Fortran. CForm[expr] escribe expr para que pueda ser usada en un programa en C FortranForm[expr] escribe expr para Fortran Salidas de Mathematica para lenguajes de programación. He aquí una expresión, escrita en forma estándar de Mathematica. Expand[(1 + x + y)^2]
  • 218. 217 He aquí la expresión en forma Fortran. FortranForm[%] He aquí la misma expresión en forma C. Las macros para objetos como Power son definidas en el archivo mdefs.h que viene con la mayoría de las versiones de Mathematica. CForm[%] Usted debe comprender que hay muchas diferencias entre Mathematica y C o Fortran. Por consiguiente, las expresiones que usted traduce puede que no trabajen exactamente del mismo modo que en Mathematica. Además, hay tantas diferencias en construcciones de programación que no se hace ninguna tentativa de traducir éstos automáticamente. Compile[x, expr] compila una expresión en eficiente código interno Una forma de compilar expresiones en Mathematica. Una de las motivaciones comunes para convertir expresiones de Mathematica en C o Fortran es tratar de hacerlas más rápidas de evaluar numéricamente. Pero la razón más importante por la cual C y Fortran son potencialmente más eficientes que Mathematica es que en estos lenguajes uno siempre especifica que tipo de cada variable usará–entera, real, array, etc. La función Compile de Mathematica hace tales asunciones dentro de Mathematica, y genera un código interno sumamente eficiente. Por lo general estas corridas de código no son más lentas que las acostumbradas en C o Fortran. 12.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos Si usted quiere hacer uso de una salida de Mathematica en un archivo externo como un programa o documento, a menudo encontrará útil “empalmar” la salida automáticamente en el archivo. Splice["file.mx"] empalma la salida de Mathematica en un
  • 219. 218 archivo externo llamado file.mx, pone los resultados en el archivo file.x Splice["infile", "outfile"] empalma la salida de Mathematica en infile, enviando la salida a outfile Empalmes de salida de Mathematica en archivos. La idea básica es establecer las definiciones que usted necesita en una sesión particular de Mathematica, luego correr Splice para usar las definiciones que ha hecho para producir la salida apropiada a insertar en los archivos externos. #include "mdefs.h" double f(x) double x; { double y; y = <* Integrate[Sin[x]^5, x] *> ; return(2*y - 1) ; } Un programa simple en C conteniendo una fórmula de Mathematica #include "mdefs.h" double f(x) double x; { double y; y = -5*Cos(x)/8 + 5*Cos(3*x)/48 - Cos(5*x)/80 ; return(2*y - 1) ; } El programa anterior en C procesado con Splice