Mat ii

Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y
propiedades.
El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma, es un operador matemático que
permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se
expresa con la letra griega sigma ( ), y se define como:
Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m.
La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente
debe cumplirse que:
Pudiendo ver además que si m = n entonces:
Si m es mayor que n, el resultado es el elemento neutro de la suma, el cero:
Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se
relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático
de Inducción Completa.
III.1 Reportadas en la literatura
Propiedad #1:
Propiedad #2:
Propiedad #3:
Propiedad #4:
Propiedad #5:
Propiedad #6:

Propiedad #7:
Propiedad #8:
Propiedad #9:
Propiedad #10:
Propiedad #11:
Encontrar el área de una región plana, mediante el
desarrollo de la suma inferior y superior.
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo
(producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo
es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula
para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es
igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos
lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su
área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este
procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de
rectas.
Para medir el área de una figura limitada por
curvas se debe recurrir a otro método, que es el
que vamos a estudiar a continuación.
(fig.1)

Establecer la integral definida de una función estableciendo
como límite de la suma de Riemann.
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los
métodos derecha eizquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos
finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo ymínimo hacen
la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del
punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los
subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos
sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este
método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.
Estas sumas toman su nombre del matemático alemán BernhardRiemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos
dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El
problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene
un margen de error muy grande.

Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c
en el interior del intervalo tal que:

Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2
en
el intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar
el teorema de la media.
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la
siguiente función en el intervalo [0, 1]?
Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la
media.

Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos
de sustitución y cambios de variables.
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que
toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella
misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un
reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con
unaintegral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se
puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo
opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo #1[editar · editar código]
Suponiendo que la integral a resolver es:
En la integral se reemplaza con :
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación se
despeja y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o
por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se
puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado
que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que
modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se
obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo :
(límite inferior)
(límite superior)
Tras de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una
forma final:
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la
integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la
primera. Para integrales simples de una sola variable si es la variable original y es una
función invertible, se tiene:

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