Matematica 1ºb

03 04COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er Año Secundaria MATEMÁTICA 1er Año Secundaria
IDEA DE CONJUNTO, RECONOCIMIENTO Y DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
I. Objetivos Específicos:
- Resume los datos bibliográficos del creador de la teoría de Conjunto.
- Explica con un lenguaje sencillo la idea de conjunto.
- Reconoce las de conjunto e identifica sus elementos con responsabilidad.
- Determina por extensión un conjunto dado por comprensión y viceversa.
II. Procedimiento:
A. Motivación.
Se imaginan ustedes como llevaría el control de sus ventas el administrador de una tienda
comercial, la señora que vende frutas en la esquina de una calle, el señor que vende pescado
en el mercado, la señora que vende ropa en su bazar; como el cajero de un banco tendría que
atender a un cliente con tanta rapidez cuando tenga que pagarle S/. 3548 240, todo ese control
obedece a una manera de tener cada cosa en su respectivo lugar. Seguramente el cajero del
banco tiene agrupados los billetes de S/. 200, de S/. 100, de S/. 50, de S/ 10, pequeños
montoncitos de S/. 5, de S/. 2, de S/. 1, de S/. 0.50, de S/. 0.20, de S/. 0.10 para poder pagar en
forma rápida y precisa el monto a un determinado cliente.
Sabemos que existen varias clases de conjuntos, tales como: finito, infinito, determinado,
indeterminado, etc. Algunos de ellos pueden pertenecer a una o dos clases, por ejemplo el
conjunto “El presidente del Perú” que es un conjunto determinado y unitario, asimismo hay
otros conjuntos con estas características.
B. Contenido Teórico
RESEÑA HISTÓRICA
El creador de la teoría de conjuntos, GEORGE CANTOR, nació en Sant Petersburgo (Rusia), el
año 1845, de padre Danés y madre alemana, pero su formación matemática la materializó en
Alemania, Introdujo la idea de “infinito actual”, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos
infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales
y de los conjuntos.
Tuvo entre uno de sus principales opositores a LEOPOLDO KRONECKER científico eminente
que a pesar de haber sido su maestro, le impidió el acceso a lo que en la época era un cargo
importante, es decir, dictar cátedra en la Universidad de Berlín, limitándose a dictar clases en la no
muy brillante Universidad de Halle.
La enemistad entre Kronecker y Cantor duró casi toda la vida hasta que se reconciliaron cuando
ya Cantor estaba muy enfermo. ¿Qué defendía Kronecker?. El decía que “los números naturales
son obra de Dios y lo demás es obra nuestra”; abogada por la combinación finita de los números, le
era muy difícil reconocer la existencia de los decimales infinitos y de las demostraciones
matemáticas de infinitos pasos. Cantor por el contrario fue considerado como el “profeta del
infinito”. Existen conjuntos – decía – cuyos elementos son tales que no podemos establecer cuál es
el último. A este número muy grande, Cantor le denominó ALEPH CER.
En un principio su descubrimiento fue ridiculizado, pero finalmente Cantor vivió lo suficiente para
ver que su obra era aceptada en todo el mundo. Murió en Enero de 1918.
IDEA DE CONJUNTO
Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del
conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos,
etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.).
Así tenemos los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1.
“La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada estudiante es un elemento.
Ejemplo 2.
“La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso.
Ejemplo 3.
“La colección de todas las ciudades del Perú”. Lima es un elemento del conjunto.
NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los
elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas,
gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre
al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos:
Ejemplo 1. Sea el conjunto:
A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina}
Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nely, Carmen, Adelina”.
B = {2; 4; 6; 8 }
Se lee : “B es el conjunto cuyos elementos son: 2; 4; 6; 8”
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman
dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.
1. POR EXTENSIÓN. Un conjunto se determina por extensión cuando se indican uno por uno los
elementos del conjunto. Así tenemos:
S1MA31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S1MA31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
I
BIMESTRE
TEORÍA DE

Ejemplo. Sean los conjuntos:
R = {este, oeste, norte, sur }
S = { a, e, i, o , u }
T = {1; 3; 5; 7; 9; ...}
En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el
conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se
indican todos los números naturales impares.
2. POR COMPRENSIÓN. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una
propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos:
Ejemplo 1. Considerando el conjunto:
A = {x / x es P }
Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad)
B = {x / x es una nota musical }
Se lee: El conjunto B de todos los elementos x, tales que x es una nota musical.
T = { x ∈ N / 2 < x < 7 }
Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; o sea
que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; es decir:
T = {3; 4; 5; 6 }
Ejemplo 4. Sea le conjunto:
V = { x ∈ N / x = a +2 ∧ a < 5 }
Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta:
• Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4
• Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así:
Valores x = a + 2
↓ ↓
Si a = 0 x = 0 + 2 = 2
Si a = 1 x = 1 + 2 = 3
Si a = 2 x = 2 + 2 = 4
Si a = 3 x = 3 + 2 = 5
Si a = 4 x = 4 + 2 = 6
Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera:
V = { 2; 3; 4; 5; 6 }
CLASES DE CONJUNTOS
Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden
considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos.
1. Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero
hasta el último. Ejemplos:
E = { x / x es un día de la semana }
F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 }
Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y
conjunto unitario o singletón .
CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente
símbolo ∅ o { }.
Ejemplos:
M = {hombres que viven en Marte}
N = { x / x ∈ Z , x > 8 , X < 7 }
CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos
C = { El alcalde actual de tu ciudad }
D = { x / x ∈ N , 7 < x < 9 }
2. CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento.
Ejemplo.

R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. }
S = { x/x es una estrella del universo }
El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable.
CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.- Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden
enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad.
Ejemplos.
A = {2x – 1 / x ∈ Z+
}
B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... }
CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden
enumerar consecutivamente.
Ejemplo:
A = { x / 5 ≤ x ≤ 7 , x ∈ R }
B = { x / x ∈ Q}
PRÁCTICA DE CLASE
Actividad A: En base a la lectura anterior, desarrolle en forma personal la tarea que se precisa a
continuación.
I. Responda Ud. a las siguientes preguntas:
01. ¿A quién se le considera el creador de la teoría de conjuntos?
02. ¿A qué nacionalidad pertenece y donde mayormente estudio?
03. ¿Qué defendía el creador de la teoría de conjunto?
04. ¿Quién su principal opositor y qué defendía?
05. ¿Cómo se llama una colección cualquiera de objetos?
06. ¿Hay diferencia de significado entre: “Un conjunto de objetos” y “una colección de
objetos”?
07. ¿Pueden formar un conjunto, un elefante, una flor, y un alfiler?
08. ¿Qué son elementos de un conjunto?
II. Coloca verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes
ejercicios:
01. El conjunto es una reunión sólo de objetos materiales ......................................... ( )
02. Para que sea conjunto bien definido, la idea debe ser precisa ............................. ( )
03. Los entes que pertenecen a un conjunto se llaman elementos ............................. ( )
04. Los elementos pueden ser materiales como inmateriales ..................................... ( )
05. El conjunto de alumnos de C.P “Lord kelvin” no está bien definido .................... ( )
06. El conjunto de letras: a, b , c, d es un conjunto mal definido ............................... ( )
07. Dado: “El conjunto de perros” es un conjunto mal definido ................................ ( )
08. El conjunto de los planetas del Sistema solar” no es un conjunto mal definido ..... ( )
Actividad B: Complete los espacios, según se te indica:
01. Concepto de conjunto determinado:
...............................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ......
.........................................................................................................................................
Ejemplos:
a) ............................................................................................................................................
b) ............................................................................................................................................
02. Concepto de conjunto infinito:
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
Ejemplos:
a) .......................................................................................................................................
b) .......................................................................................................................................

03. Concepto de conjunto unitario:
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
Ejemplos:
a) .......................................................................................................................................
b) .......................................................................................................................................
Actividad C: En los paréntesis colocar la clase de conjunto a la que pertenece, en caso de ser conjunto
bien definido y (no se puede determinar) en el caso contrario.
01. El conjunto se sillas de tu casa (....................................... )
02. Los profesores de matemática saben las operaciones básicas (.......................................)
03. A = { x/ x = 2} (....................................... )
04. ¿Mercurio pertenece al sistema solar? (....................................... )
05. ¡Auxilio! (....................................... )
06. Los perros ladran, señal que estamos avanzando (....................................... )
07. W = { 1; 1; 1; ...} (....................................... )
08. Los alumnos del colegio “lord kelvin” (....................................... )
Actividad D: En base a la lectura anterior, desarrolle las ideas que se precisan a continuación:
I. Colocar (V) o (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios.
01. Un conjunto está determinado por extensión cuando no se designa a ninguno
de sus elementos ................................................................................................ ( )
02. Un conjunto se determina por comprensión cuando no se designa a ninguno
de sus elementos ................................................................................................ ( )
03. El conjunto E = {x/x = 3} esta determinado por extensión ................................ ( )
04. Dado: A = {n; i; d; o; s}, se lee "A es el conjunto cuyos elementos son las letras
n; i; d; o; s " ........................................................................................................ ( )
05. Si: T = {x/x es una capital Sudamericana}, se lee "T es el conjunto de todas las
x tal que x es una capital Sudamericana"............................................................ ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
I. A continuación se te propone una serie de ejercicios tipo IBM, los cuales deberán desarrollar,
luego encierra en una circunferencia la alternativa que contiene tu respuesta. No olvides cotejar
tus respuestas con la clave (aparece al final de esta sesión).
01. De los siguientes conjuntos:
I. A = {x/ x ∈|Ν ∧ x < 10} II. B = {es una vocal fuerte}
III. C = {4; 4; 4; 4} IV. D = {x/x ∈A ∧ 2 < x < 3}
Están determinados por extensión
a) Sólo I y II b) Sólo II y IV c) sólo I y IV
d) todas excepto III e) N. a.
02. Se le considera como el creador de la “Teoría de los conjuntos” a:
a) Tales de Mileto b) Pitágoras c) Newton
d) Euclides e) Cantor
03. El conjunto: M={x2
-1 / x ∈|Ν ∧ 0 ≤ x < 5 }
Determinado por extensión es:
a) {0; 1; 2; 3; 4} b) {-1; 0; 3; 8; 15} c) {0; 5}
d) {0; 3; 8; 15} e) N. a.
04. El conjunto “A” es un conjunto cuyos elementos son números naturales y A={
6/
4
12
〈∧Ν∈
−
xx
x }, determinado por extensión es:
a) { 6;
4
15
;2;
4
3
;0;
4
1−
} b) {1; 2; 3; 4; 5} c) {0;
2; 4; -6}
d) (0; 2; 4; 6) e) {0; 2; 6}

05. El conjunto cuyos elementos son:
3
124
;21;
3
20
;
3
7
;0 . Determinado
por compresión es:
a) {
3
1x4
−
/ x ∈N} b) {
3
6x2
+
/ x ∈ N} c) {
x
1x2
+
/ x ∈ N}
d) {
3
3x2
+
/ x ∈ N} e) N.a.
06. Sea R={x/x ∈ N ∧ x < 18 ∧ x es número primo} determinado por extensión es:
a) R = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 17} b) R = {0; 1; 2; 17}
c) R = {3; 5; 7; 11; 13; 17} d) R = {1; 17} e) N.a.
07. El conjunto M = {2; 3; 4; 5; 6; 7}, determinado por comprensión:
a) { }8x2Nx/1xM <≤∧∈−= b) { }8x2Nx/1xM ≤≤∧∈−=
c) { }8x2Nx/1xM <<∧∈−= d) { }8x2Nx/1xM ≤<∧∈−= e)
N.a.
08. Sea el conjunto: { }5x1;x3a/NaT <<=∈= . Determinado por extensión es:
a) T = {6; 9; 12} b) T = {1; 2; 3; 4} c) T = {2; 3; 4}
d) { }5x1x3T <<ℵ∈= / e) N.a.
09. Dados los conjuntos:
{ }6x2Nx/1xM 2
<<∧∈+=
{ }9x4Nx/1xN 2
<≤∧∈−=
La cantidad de elementos comunes es:
a) 2 b) 3 c) 0 d) 6 e) N.a.
10. De las afirmaciones:
I. Los atletas más valores del mundo.
II. ¿Por qué los conjuntos es una colección de elementos?
III. Los peces respiran por las branquias.
IV. Los alumnos de alto coeficiente intelectual.
Son conjuntos bien definidos:
a) Sólo I y II b) Sólo I y IV c) Sólo III
d) Ninguno e) Todas
TAREA DOMICILIARIA
I. Determinar por extensión los siguientes conjuntos.
01. El conjunto de los días de la semana.
02. Los números naturales comprendidos entre 5 y 26.
03. El conjunto de los números naturales.
04. { }56x56NyyT <<∈= ;/
05. { }Nx4xx2yyR ∈<== ,,/
06. { }8xNxP <∈= /
07. { }6x1x3zNzR <<=∈= ;/
II. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos.
01. L = {3; 4; 5; 6; 7}
02. Q = {a; e; i; o; u}
03. B = {13; 14; 15; 16}
04. G = {0; 1; 2; 3; 4; 5;....}
RELACIÓN DE PERTENENCIA Y
1. Halla el cardinal de un conjunto dado por extensión como por comprensión.

2. Reconoce cuando un elemento pertenece a un conjunto.
II. Procedimientos:
A. Motivación:
Responda a las siguientes preguntas:
* ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?.
A = { 0; {1; 2 } ; {1;3;4} }
Respuesta: .................................................
* ¿El elemento 1 pertenece al conjunto A?
Respuesta: .................................................
¿ { 3 } pertenece al conjunto A ?.
Respuesta: ...............................................
¿ {1; 2} pertenece al conjunto A ?.
Respuesta: ...............................................
B. Contenido Teórico:
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo ∈ y en caso contrario se
escribe el símbolo ∉. Así tenemos:
Ejemplo 1.
Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que:
1 ∈ A ⇒ “1 pertenece a A”
3 ∉ A ⇒ “3 no pertenece a A”
4 ∈ A ⇒ “4 pertenece a A”.
5 ∉ A ⇒ “ 5 no pertenece a A”
Ejemplo 2.
Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que:
a ∈ B ⇒ “a pertenece a B”
b ∈ B ⇒ “b pertenece a B”
f ∉ B ⇒ “f no pertenece a B”
c ∈ B ⇒ “c pertenece a B”
Ejemplo 03. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7} y B = {0; {1}; 2; 3; {4}}
Se tiene que:
a) 1 ∈ A b) {1} ∈ B c) {3} ∈ A d) 7 ∈ A
e) {7}∉ B f) {5} ∉ A g) 6 ∉ A h) {2} ∉ B
NUMERO CARDINAL
Se denomina número cardinal o simplemente cardinal de un conjunto, al número de elementos de dicho
conjunto.
Se denota de la siguiente manera:
Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A
Ejemplo 1.
Determina el número cardinal del siguiente conjunto:
A = { r, s, t, u, v, x, y, z}
Solución:
Analizando el conjunto A, notamos que tiene 9 elementos, porque:
{r, s, t, u, v, x, y, z }
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 6 7 8
N° cardinal de A
Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir:
Car(A) = n(A) = 8
Ejemplo 2. Sea el siguiente conjunto:
B = {2; 4; 6; 8; 10 }
Solución: Observando que el conjunto de B tiene 5 elementos, es decir:
Car(B) = n(B) = 5
NUMERO ORDINAL

Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Así por
ejemplo, si contamos los elementos del conjunto A (Ejemplo 1), de izquierda a derecha, el ordinal de
los elementos será:
De “r” es 1 ⇒ “r” es el 1er elemento.
De “s” es 2 ⇒ “s” es el 2do elemento.
De “t” es 3 ⇒ “t” es el 3er elemento.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen
diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los
elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen.
A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático
John Venn, quien sistematizó su empleó.
Ejemplo 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos:
U = {2; 3; 5; 7; 9}
A = {2; 5; 7; 9}
A 2
5 7
9 3
U
Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos:
2 ∈ A ; 5 ∈ A
7 ∈ A ; 3 ∉ A
Ejemplo 2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos:
A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 }
B = {7; 5; 3; 9; 10 }
C = {9; 8; 5; 3; 11 }
A 1
6
10
8
3
5
7
9
11
B
C
1 ∈ A 10 ∈ A ∩ B 7 ∉ A 7 ∈ B 9 ∈ B ∩ C
8 ∉ B 11 ∈ C 8 ∈ A ∩ C 1 ∉ C
PRÁCTICA DE CLASE
I. Desarrolle lo que se le solicita:
01. Sea: A = {1; 2; 3; { 2 } }
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
* 1 ∉ A * {2; 3} ∈ A * {2} ∉ A * φ ∈ A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.
02. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A = {2; 3; {1} ; {2; 1} }
* φ ∈ A ( )
* 3 ∈ A ( )
* 1 ∈ A ( )
* {1} ∉ A ( )
* {3} ∉ A ( )
* φ ∉ A ( )
a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVV d) FVFVFV e) N.A
03. P y Q son dos conjuntos tales que:
n (P U Q) = 30; n(P - Q) = 12; n (Q - P) = 10
Calcular: n (P) + n (Q)
a) 15 b) 35 c) 28 d) 38 e) 18
04. Calcular la suma de los elementos del conjunto A.
A = {x/x ∈ N; 10 < 3x + 2 < 18 }

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 23
05. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A = {{2} ; 3; 1 ; {2; 1} }
* φ ∈ A ( )
* 3 ∈ A ( )
* 1 ∈ A ( )
* {1} ∉ A ( )
* {3} ∉ A ( )
* φ ∉ A ( )
a) FVVVVV b) FVFVFV c) FFFVVV d) FFVVVV e) N.a.
06. Se tiene: A = {1; {1}; 1; φ}.
¿Cuál es el cardinal de A?.
a) 4 b) 3 c) 2 d) no se puede determinar e) N.a.
07. Calcular la suma de los elementos del conjunto B.
B = {x/x ∈ N; 17 < 3x + 2 < 21 }
a) 17 b) 6 c) 11 d) 15 e) N.A.
01. Dado el conjunto A = {0; {1}; 2; {3; 4}} y las afirmaciones:
I. {0} ∈ A II. {2} ∉ A III. n(A) = 5 IV. {4} ∈ A
Son ciertas:
a) Sólo I y II b) sólo II y III c) Solo III y IV d) Sólo II e) N.A.
02. Si: a ∈ M; b ∉ M; {c; d} ∈ M y {e} ∉ M
El conjunto M es:
a) {a; b; c} b) {a; {c; e}; d} c) {a; c, d}
d) {a; {c; d}} e) N.a.
03. Dado: A ∪ B = {2; 3; 4, 5, 7, 8, 9}; A ∩ B = {2; 7}
B - A = {8; 9; 10}. Hallar n(B):
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5
04. Del conjunto: R = {3; {4; 5}; 0}, se afirma:
I) {0} ∈ R II) {4; 5} ∉ R III) {3} ∉ R
IV) 4 ∈ R V) {5, 4} ∈ R
Son ciertas:
a) 2 b) 3 c) 10 d) 1 e) N.a.
05. Si: n(A-B) = 2; n(B-A) = 5 y n(A∩B) = 4.
Hallar: n(A) + 2n(B)
a) 10 b) 11 c) 24 d) 16 e) 17
06. Del gráfico:
*
*
* *
*
*
*
**
*
*
¿Cuántos elementos pertenecen al rectángulo y al círculo pero no al triángulo?
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0
07. Determinar por comprensión:
F = {1; 3; 5; 7; 9}
a) F = {x / x es par} b) F = {x / x es impar} c) F = {x / x = 2n-1}
d) F = {x / x = 2n+1 ∧ 1 ≤ n ≤ 5} e) F = {x / x = 2n – 1 ∧ 1 ≤ n ≤ 5}
08. Para dos conjuntos M y N se tiene que:
M ∪ N = {x / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 8}
M ∩ N = {5}
M – N = {4; 6; 7}
Hallar la suma de los elementos de N:
a) 31 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20

09. P y Q son dos conjuntos, tales que:
n(P ∪ Q) = 38; n(P – Q) = 12; n(Q - P) = 20
Calcular: n(P) + n(Q)
a) 15 b) 35 c) 28 d) 38 e) 44
10. Sea: A = {1; 2; 3; {2}}
¿Cuántas de las proposiciones son verdaderas?
* 1 ⊂ A * {2; 3} ∈ A * Φ ⊂ A * 2 ∈ A
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
TAREA DOMICILIARIA
01. Sea M = {3; 4; {5}; {6; 7}}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas?
I) {3}∈ M II) {6} ∉ M III) {7, 5} ∈ M
IV) Φ ∈ M V) {{5}} ∈ M
02. Dados: n(A∪B) = 50; n(A-B) = 10; n(A ∩B)=15
Calcular: n(B-A)
03. Calcula la suma de los elementos del conjunto
R = {2x- 1 / x ∈ N, 10 < 3x – 2 ≤ 19}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y
* Establece los diversos tipos de relaciones que existen entre cada par de conjuntos.
* Halla el conjunto potencia y su respectivo cardinal.
II. Procedimientos:
A. Motivación:
¿Qué relación existe entre los conjuntos A y B en cada caso?
A B
1.
3.
5.
7.
9.
A = {x/x es una letra de la palabra amor}
B = {Es una letra de la palabra mar}
1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos
del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se
denota: A ⊂ B o también B ⊃ A.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5}
Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando
el Diagrama de Venn se tiene:
.1
.2
.3
B
.4
.5
A
A ⊂ B ó B ⊃ A
Se lee : “A es subconjunto de B”
“A está incluido en B” ó
“B incluye a A”
“B contiene a A”
Cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro se dice que ambos son conjuntos
comparables.
2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de
otro. Se presenta dos casos:

• Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación
de intersección.
A = { a, e, o}
B = {i, o, u }
A B
.a
.e
.o
.i
.u
A ∩ B
• Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de
conjuntos disjuntos.
M = { 4; 6; 8 }
N = { 5; 7; 9 }
.4
.6
.8
.5
.7
.9
M N
Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite
o común.
NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto.
Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A
está en B. Simbólicamente se denota : A ⊂ B.
Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que
A está incluido en B, o que B contiene a A.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { a, b, c, d }
B = { b , d }
En los conjuntos observamos que:
b ∈ B y b ∈ A
d ∈ B y d ∈ A
Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B⊂ A.
Si A no es subconjunto de B, se escribe A ⊄ B; se lee: A no es subconjunto de B
A no es parte de B
A no está incluido en B
Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será:
12 )(
−An
No se considera el mismo conjunto A.
Ejemplo:
Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán:
{2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6},∅
No es subconjunto propio de A:
{2; 4; 6}
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva.
* Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A ⊂ A
* Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; es decir: ∅ ⊂ A
* Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto
está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple:
Si A ⊂ B y B ⊂ D ⇒ A ⊂ D
3. Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.
Si: A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplos:
M = { 1; 3; 5; 7 }
N = { 2x – 1 / x ∈ Z ,1 ≤ x < 5}
⇒ M y N son dos conjuntos iguales.
4. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento
que no tiene el otro.

Ejemplos:
A = { 3; 4; 5 }
B = {3; 4; 5; 6 }
6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A ⇒ A ≠ B.
5. Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno.
Ejemplos:
A = { 2 ;4 ; 6; 8 }
B = { x / x es una vocal }
6. Relación de Coordinabilidad de conjuntos. Dos conjuntos son coordínables, equivalentes o
equipotentes ( < >), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal.
A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
B ={ a ; e ; i ; o ; u }
Graficando, tenemos:
.2
.4
.6
.8
.10
a.
e.
i.
o.
u.
A B
7. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a
su vez. Así tenemos:
Ejemplo 1.
Sean los conjuntos siguientes:
a) M = { { 5; 4}, { 7}, ∅ }
Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que:
M = { {5; 4}, {7} , ∅ }
conjunto vacío
conjunto con 1 elemento
conjunto con 2 elementos
Entonces M es una familia de conjuntos.
b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 : ∅ }
Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos.
Ejemplo 2. Sean los conjuntos:
A = { 3; 4; {5 }; 1}
B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} }
C = { {2; 4; 6}; {a, b, c }7 ; 8 }
D = { {e, f }, {0; 1; 3}
Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de
familia de conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior.
A, B, C, D son conjuntos de conjuntos
B, D son familia de conjuntos
8. Conjunto Universal. Es el conjunto referencial que nos permite identificar a otros conjuntos
incluidos en él. Se denota por la letra U y su gráfico se realiza preferentemente en un rectángulo; así
tenemos:
Ejemplo: Sean los conjuntos
A = { Aves }
B = {peces }
C = [ mamíferos}
Analizando los conjuntos, concluimos que el conjunto universal está formando por todos los
animales, es decir:
U = { los animales }
Su diagrama correspondiente es el siguiente:
aves peces
mamíferos U
BA
C
CONJUNTO POTENCIA
Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota
como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por:
son coordinables

( )[ ] ( )An
APn 2=
donde n(A) representa el número de elementos del conjunto A.
Ejemplo 01:
Dado:
A = { 14; 17} ⇒ n[P(A)] = 22
= 4
Su conjunto potencia será :
P(A)={ {14}, {17}, {14;17}, ∅ }
Ejemplo 02:
Si: n[P(A)] = 16. Hallar n(A)
* De la definición:
n[ P(A)] = 2
n(A)
2 = 2
16 = 2
4 = n (A)
Recordando
a = a x = y
x
n(A)
n(A)4
y
⇔
Ejemplo 03:
Si: n[P(A)] = 64; n[P(B)] = 32
n[P(A ∩ B)] = 8.
Hallar; n[A ∪ B]
* Aplicamos la definición en cada caso:
n[P(A)] = 2
n(A)
↓
↓
2 = 2
64 = 2
⇒ 6 = n (A)
Primero:
n(A)
n(A)6
n[P(B)] = 2
n(B)
↓
↓
2 = 2
32 = 2
⇒ 5 = n (B)
Segundo:
n(B)
n(B)5
n[P(A B)] = 2
↓
↓
2 = 2
8 = 2
⇒
Tercero:
3
3 = n (A B)∩
∩ n(A B)∩
n(A B)∩
n(A B)∩
* Ahora graficamos y colocamos los cardinales obtenidos.
A B
3 23
Recordando
Como hay intersección entre
entre A y B, se grafica así:
A B
* Ahora calculamos lo que nos piden:
n(A∪B) = 3 + 3 + 2 = 8 Rpta.
PRÁCTICA DE CLASE
ACTIVIDAD: En base a la lectura anterior, desarrolle las tareas que se precisan a continuación.
I. Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes
ejercicios:
01. El conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8} es un conjunto finito. ( )
02. El conjunto C = {0; 1; 3; ...} es un conjunto infinito. ( )
03. El conjunto de "estudiantes del planeta tierra es un conjunto finito. ( )
04. El conjunto A = {x/ x = 1,333 ...} es un conjunto infinito. ( )
05. El conjunto finito es aquel conjunto en el que el número de elementos
no se puede contar. ( )

06. El conjunto Universal es un conjunto menos amplio que un conjunto vacío. ( )
07. los diagramas de Venn-Euler, se representan mediante figuras sólo rectangulares. ( )
08. Si M = {*}, N = {1; *}, U = {1; 2; *} entonces: *∈ M, *∉ N, {*} ∈ U. ( )
09. Conjuntos disjuntos son los conjuntos que tienen, por lo menos, un elemento
común. ( )
10. Los conjuntos: D = {x ∈ N/ x < 3}, E = {x∈ N/ x > 3} son conjuntos disjuntos. ( )
11. Dados: L = {x∈ N/20 < x < 21}, M = {20; 21; 22} son conjuntos diferentes. ( )
12. Dados los conjuntos: C = {x ∈ N/ x = 3y ^ 2< y < 7},
D = {8; 9; 7; 6} son conjuntos no disjuntos. ( )
II. Dados los conjuntos, identificar que clase de conjunto es:
01. A = {{0}} (........................................)
02. B = {x/ x es una persona que mide 10 metros de altura}. (........................................)
03. Q = {x/ x es una "x"} (........................................)
04. El conjunto de personas que viven en el Sol. (........................................)
05. El conjunto de células de la planta de la mano de un gato. (........................................)
06. El conjunto de puntos de una recta. (........................................)
07. Z = {x ∈ N/ x es múltiplo de 3} (........................................)
08. M = { x – 2/x ∈ N ^ – 2 < x < 100000}. (........................................)
01. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A = {x/ x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 6};
B = {x + 1/x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 4} y C = {1; 2; 6}
Hallar: n[P(A)] + n(B) – n[P(C)]
a) 28 b) 16 c) 32 d) 24 e) N.a.
02. ¿Cuántos subconjuntos tiene R?
R = {1; {1}; 1; φ}
a) 4b) 8 c) 16 d) 32 e) N.a.
03. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene W?
W = {{3; 4}; {5; 6}; 0}
a) 3b) 4 c) 7 d) 8 e) 9
04. Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene P(A)?
a) 3b) 4 c) 7 d) 8 e) 15
05. La unión de dos conjuntos A y B tienen 126 subconjuntos más que su intersección que es un
conjunto unitario.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si (B – A) tiene dos subconjuntos?
a) 3b) 4 c) 6 d) 5 e) 2
06. Del gráfico; se cumple:
A B
a b
Cc
a) a = n(A) – n(B∪C) b) b = n(B) – n(A∪C) c) c = n(C) – n(A∪B)
d) Todas e) Ninguna
07. Del gráfico, hallar n(A) + n[P(B ∩C)]
a) 6 b) 12 c) 15 d) 8 e) 9
08. Dado el conjunto: A = {2; {3; 4}; {5}} es un elemento de P(A).
a) {2; 3} b) {{3; 4}} c) {5} d) {{2}} e) N.a.
09. El conjunto "M" tiene 2 subconjuntos más que "N" que es unitario. Hallar n(M):
a) 1 b) 2 c) 16 d) 8 e) 9
10. El número de subconjuntos de { } es:
a) 0 b) 2 c) 1
d) No se puede determinar e) faltan dados
A
B
C
.1
.2
.3 .4 .9
.0 .6 .8
.7
.5

TAREA DOMICILIARIA
I. Coloque la clase de conjunto a la que pertenece:
01. El conjunto de los dedos de la mano derecha: (.........................................)
02. El conjunto de los cabellos de todas las personas que viven en Trujillo:
(.........................................)
03. Los gatos más veloces: (.........................................)
II. Halla los subconjuntos y el cardinal del conjunto potencia de:
01. A ={a; b; c}
02. B = {m; n; p; q}
03. C = {x/ x ∈ Z; – 3 < x < 2}
04. D = {x + 1/ x < 3 ∧ x es natural}
OPERACIONES ENTRE
* Interpreta y aplica la definición de las operaciones entre conjuntos en la solución de ejercicios
y problemas.
II. Procedimientos:
A. Motivación: Colocar verdadero (V) o falso (F), en cada caso
* A ∪ A = A ( )
* A ∪ B = B ∪A ( )
* A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C ( )
* A ∩ A = A ( )
* A ∩ B = B ∩ A ( )
* A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ( )
Actividad: Lea analíticamente los contenidos que se te alcanza, subraya todo lo que te parece
de importancia para la comprensión del tema y completa intuyendo los espacios punteados.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
1. REUNIÓN ENTRE CONJUNTOS: La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos
los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
La operación de Reunión tiene como símbolo: ∪
Simbólicamente se denotaría así:
A ∪ B = {x/ x ∈ A ó x ∈ B}
Y gráficamente así:
Para Conjuntos
Disjuntos
A B
A U B
Para Conjuntos
Traslapados
A B
A U B
Para Conjuntos
Incluidos
B
A U B
A
Ejemplo:
Dado los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 2; 4; 6}, hallar:
a) A ∪ B b) B ∪ A c) A ∪ A d) B ∪ B
Solución:
a) A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gráficamente:

A B
A U B
. 3
. 5
. 2
. 1
. 4
. 6
b) B ∪ A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Gráficamente:
A B
B U A
. 3
. 5
. 2
. 1
. 4
. 6
c) A U A = {2, 3, 4}
Gráficamente:
A
A U A
. 3
. 5
. 2
2. INTERSECCIÓN: La intersección entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los
elementos comunes.
Simbólicamente se denotaría así:
A ∩ N = {x/ x ∈ A ∧ x ∈ B}
Para Conjuntos
Incluidos
B
A
A B∩
Para Conjuntos
Disjuntos
BA
A B=∩ φ
Para Conjuntos
Traslapados
A B
A B∩
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A ={x / x ∈ N ∧ 2 < x < 6}; B = {x /x ∈ Z ∧ -2 < x < 3} y
C ={ x + 2 / x ∈ Z ∧ -5< x < 3}
Hallar:
a) A ∩ B b) B ∩ C c) A ∩ C d) A ∩ B ∩ C
Solución:
Nota: Para desarrollar cualquier ejercicio sobre conjuntos, primeramente se debe tener el
conjunto determinado por extensión.
Primero: Determinando por extensión los conjuntos A; B y C, tenemos:
A = {3;4;5}; B = {-1;0;1;2}; C = { -2;-1;0;1;2;3;4}
Segundo: Hallando las operaciones solicitadas:
a) A ∩ B = { } b) B ∩ C = { -1; 0; 1; 2}
c) Hágalo Ud. d) Hágalo Ud.
............................................................ ............................................................
Actividad: En base a la información anterior y a tus deducciones lógicas, desarrolla lo que se te
solicita.
I. Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes
ejercicios:
01. Sean los conjuntos: P= { 0; 1; 2; 3 } ; ( )
Q= {2; 5; 6; 7}. Luego: P ∪ Q = {0; 1; 6; 7}.
02. Se tiene: F = { x ∈ N/ 4 < x < 8 }; ( )
G= { x+1/ x ∈ N ∧ 2< x < 5}.
Luego: F ∪ G = { 3; 4; 5; 6; 7 }.
03. Se tiene K = {x/ x ∈ N, 4 ≤ x ≤ 5 }, ( )
L= { x ∈ N/ x >1 }.
Luego: (K ∪ L) ∪ (L ∪ K) = N .
04. Dados A = { 5; 6; 8; 9 } , ( )
B = { 9; 10; 11; 12 }, entonces:
A ∪ B = { 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12 }.
05. Dados: Q= { x ∈ N/ 10 ≤ x < 15 }, ( )
L = { 6; 7; 8 }, Luego:
Q ∩ L = { }.

06. Dados: H = { x ∈ N/ x < 6 } , ( )
X = { 9; 8; 7; 6 } ,
Y = { x+1/ x ∈ N ∧ 4 < x < 8 }.
Luego: (H ∩ X) ∪ ( X ∩ Y) = {6; 7 }.
II. En tu cuaderno:
Dados los conjuntos:
A= { x -2/ x ∈ N ∧ 3 ≤ x < 7}; B= {x+1/ x ∈ N ∧ x < 8 } y
C= { x/ x es múltiplo de 3; x < 18 }
Determinar:
a) A ∪ (B ∩ C) b) (A ∪ B) ∩ C c) C ∩ ( B ∪ C)
d) ( A ∩ B ) ∪ B e) ( A ∪ B) ∩ ( C ∩ B)
3. DIFERENCIA: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por los
elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los
elementos que sólo pertenecen al conjunto A.
Simbólicamente se denota así:
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Para Conjuntos
Disjuntos
A B
A - B
Para Conjuntos
Traslapados
A B
A - B
Para Conjuntos
Incluidos
B
A - B =
A
φ
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {x/ x ∈ N ∧ x < 5},
B = { x-2/ x ∈ Z ∧ -1 < x < 3} y
C ={2x-3 / x ∈ Z ∧ -1 < x < 4}
Hallar:
a) A – B b) B - C c) C – B d) A – C
Solución:
Primero: Determinamos los conjuntos A, B y C; por extensión: (hágalo Ud.)
A = { ...........................................................................................}
B = { ...........................................................................................}
C = { ...........................................................................................}
Segundo: Hallamos las operaciones que se nos solicitan. (Debe hacerlo Ud.)
a) b)
c) d)
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero a ambos.
Y tiene como símbolo: ∆
Simbólicamente se representa así:
A ∆ B = { x / x ∈ [(A ∪ B) – ( A ∩ B ) ] }
También puede representarse así:
A ∆ B = { x / x ∈ [(A – B) ∪ (B – A ) ]

Y gráficamente así: (Hágalo usted)
Para Conjuntos
Disjuntos
A B
A B∆
Para Conjuntos
Traslapados
A B
A B∆
Para Conjuntos
Incluidos
B
A
A B∆
Ejemplo: Dado los conjuntos:
A = { x + 3 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 6}
B = { 2x – 1 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 6}
C = { x (x – 1) / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 5}
Hallar:
a) A ∆ B b) A ∆ C c) (A U B) ∆ C
Solución:
Primero: Determinar cada conjunto por extensión:
Hallando lo solicitado.
A = {5, 6; 7; 8}
B = { 3; 5; 7; 9, 11}
C = { 2; 6; 12; 20}
a) A ∆ B = { ......................................................}
b) A ∆ C = { ......................................................}
c) A ∪ B = { ......................................................}
Luego:
(A ∪ B) ∆ C = { ......................................................}
5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE
REFERENCIA: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo
pertenecen al conjunto U.
Su símbolo es: ′; ; A ; CA
Simbólicamente sería así:
A ′ = {x / x ∈ ∪ ∧ x ∉ A}
Gráficamente es:
A
U
A
Ejemplo: Dado los conjuntos:
U = Universal = { x ∈ N / x < 10}
A = { x ∈ B / B = <3; 7] }
C = { x2
– 3 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 3 }
Hallar:
a) A ′ b) CB c) (A ∩ B) ′ d) [ (A ∪ B) – C ] ′
Solución:
Determinar por extensión los conjuntos:
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {4; 5; 6; 7}
B = {4; 5; 6; 7} C = {1; 6}
Hallando lo solicitado:
a) A′ = {0; 1; 2; 8; 9}
b) CB = B ′ = {0; 1; 2; 8; 9}
c) (A ∩ B) ′
1° A ∩ B = {4; 5; 6; 7}
2° (A ∩ B) ′ = {0; 1; 2; 3; 8; 9}
d) [(A ∪B) – C] ′
1° A ∪ B = {4; 5; 6; 7}
2° (A ∪ B) – C = {4; 5; 7}
Finalmente:
[ ( A ∪ B ) – C ] ′ = {.....................................................................}

PRÁCTICA DE CLASE
I. Colocar (V) si es verdadera o (F) si es falsa, según corresponda en cada afirmación:
01. Dados: J = {x ∈ N/ x > 9}; ( )
K = {4; 5}; L = {0; 3; 7}.
Luego:(J ∪ L) ∪ (K ∪ L)= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
02. Dados: H = {x ∈ N/ x < 6} ; ( )
X = {9; 6; 7; 8} ; Y ={5; 6; 7}.
Entonces: (X ∩ H) ∪ ( X ∩ Y)= {6; 7}
03. Si: Q = { x ∈ N/ x >104}; ( )
P = {101; 102 }; T = {10}.
Entonces: Q – (P U T)= {x ∈ N/ x > 104}
04. Dados: U = { x ∈ N/ 6 < x ≤ 9 } ; ( )
C = {7} ; D = {8};
Luego: C’ ∪ D’= {7; 8; 9}
05. Si: U = {0; 4; 8; 12; 16} y ( )
J= {4; 8; 12; 16}. Entonces: J’ – J = { }
06. Si: U = {x ∈ N/ x ≤ 10}; ( )
N = { x ∈ N/ x ≤ 5}.
Entonces: (N ∩ U)’ = {x /x ∈ N ∧ 5 < x ≤ 10}
II. Dados el siguiente gráfico, determinar la operación:
. 16
. 17
. 18
. 19
Q
U
(Q – U) ∆ (Q ∩ U) = {.......................................................................}
01. Dados los conjuntos
U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 }
A = { x / x ∈ [ 1; 5 ] ∧ x ∈ N }
B = { 2; 3; 4; 5 }
C = { 1; 2, 6 }
Hallar: [ ( B ∩ C) ′ - ( A ∩ B ∩ C)] ′
a) φ b) { 2; 3 } c) { 1, 2; 3 } d) U e) { 2 }
02. ¿Qué relación dada entre conjuntos, identifica a la zona achurada?
A B
C
a) [ (A ∪ B) – (B ∩ C) ] ∪ [ C – (A ∪ B) ] b) [ (A ∩ B) – C] ∪ ( C – A )
c) [ (A ∩ B) – C] ∪ ( C – B ) d) [ C - (A ∪ B) ] ∪ [ (A ∩ B) – C ]
03. ¿Cuáles de las siguientes expresiones representa el área achurada?
A B
C
a) ( A ∪ C ) – B b) ( A ∪ B ) ∩ A c) ( A ∪ C ) ∩ B
d) ( A ∩ C ) – B e) B – ( A ∩ C )
04. P, S, T, son conjuntos no vacíos. ¿Cuál operación corresponde a la parte sombreada del diagrama?
P
S
T
a) ( P – S ) – T b) ( P ∩ S ) ∩ T c) ( S ∩ T ) – ( S ∩ P )
d) ( P ∩ S ) – ( S ∩ T ) e) ( P ∪ S ) ∩ T
05. Dado los conjuntos:
A = {1, {1; 2}; 2}; B = {{2}; 1; {1; 2}} y C = (A ∪ B ) – (A ∩ B)

¿Cuántos subconjuntos tiene C?
a) 1b) 4 c) 5 d) 8 e) 16
06. Sean los conjuntos:
A = {x ∈ Z/ x 2
≤ 4}
B = {Y ∈ A / Y = r +2; r ∈ A}
Calcular la suma de elementos de B:
a) 10 b) c) 6 d) 5 e) 4
07. Calcular el valor de verdad de cada proposición, si:
A = {8; 3; {2}; {1; 3}}
I. 3 ∈ A II. 2 ∈ A III. 8 ∈ A IV. 3 ∈ {1; 3}
a) VVVV b) VFFV c) FVF d) FFVF e) FFFF
08. Determinar por extensión el conjunto:
A = {x – 1 / x ∈ N; 4 x < 9}
a) {0; 1} b) {3; 4} c) {0; 3} d) {-1; 0; 1} e) {0; 2}
09. Determinar por extensión el conjunto:






+
==
x
x
xxA
12
/
3
, x ∈ N
a)






;...
23
9
;
9
7
;
7
4
;
13
1 b)






;...
13
2
;
13
1 c) {0; 1; 2; 3; ...}
d) No se puede determinar e) N.a.
10. De dos conjuntos finitos A y B se tiene:
n(A) = 4x + 3; n(B) = 2y – 1; n(A ∩B)= x + y +1
Calcular: n(A ∆ B)
a) 2 x b) 2 y c) 3 x d) 3x +2 e) 2 x +y
TAREA DOMICILIARIA
I. En tu cuaderno
01. Se te dan los conjuntos:
U = {0; 1; 2; ………; 9}
A = {x ∈ N / 3 < x ≤ 8}
B = {x – 1/ x ≤ 7}
C = {x ∈ N / x = 4; x = 3}
Calcular:
a) A – B b) (A ∩ C)-B c) [A ∩ B]’C d) [A ∩ (B - C)]
PROBLEMAS ENTRE
I. Objetivo específico:
Desarrolla correctamente entre conjuntos
II. Procedimientos:
A. Motivación. Para resolver problemas entre conjuntos, es necesario conocer otros elementos
básicos de matemática tales como: Adición y sustracción de expresiones algebraicas, porque
muchas veces necesitamos trabajar con datos donde se utilizan variables (letras) y resolución
de ecuaciones, porque una veces para resolver el problema se establecen ecuaciones de primer
grado tanto con una como con dos incógnitas. Para no tener dificultades en esta sesión
repasaremos estos elementos.

B. Contenido Teórico. A continuación se presenta algunos ejercicios para recordar estos
elementos básicos mencionados:
Efectuar:
1) 4x - (4 + x) = ........................................................
2) 20 + 5x - (10 - 4x) = ........................................................
3) 40 - (8 + 10-x + 12-x) = ........................................................
4) 100 - (x +12 - a - b + 28 - a - c + 30 - b - c = ........................................................
5) a- (12 - a) = ........................................................
6) 120 - (80 - x) = ........................................................
7) 1000 - (x - 20) = ........................................................
8) 120 - 2a - 2b - (2a - b) = ........................................................
Hallar los valores de las variables en cada ecuación:
I)
1) x + 3 = 5
2) 2x - 10 = 20
3) (x + 3)/2 = 4
1) x = ............ 2) x = .............. 3) x = ..............
II)
1) x + 1/2 = 5/2
2) 3x + 2 - x = 12
3)(12 - a- b) + (18 - a - b) = 42
1) x = .............. 2) x = .............. 3) x = ..............
Ejemplos:
1. En una Academia de idiomas de 600 alumnos, se sabe que 100 no estudian inglés ni francés 50
estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés. ¿Cuántos estudian inglés?
Solución:
Primero: Sacamos los datos, representándolo en forma simbólica: I = estudian inglés, F =
estudian francés.
Segundo: Representamos los conjuntos mediante un diagrama:
I F
Tercero: Haremos un vaciado de datos en éste diagrama.
I F
n[I F]'∪•
100
I F
n[F I]=50•
100
∩
50
I F
n[F]=450•
100
50 400
Cuarto: Para hallar la respuesta a la pregunta aplicamos. “La suma de los cardinales de cada zona
es igual al cardinal del universo”.
Se concluye:
I F
100
50 40050
Rpta: Estudian inglés 100 alumnos.
2. En una encuesta realizada en el CEPUNT a 150 alumnas con relación a preferencias arrojó lo
siguiente: 80 prefieren perfumes, 70 prefieren las flores, 50 prefieren las joyas y sólo a 10 los tres
regalos. ¿Cuántos prefieren las flores pero no las joyas ni los perfumes?
Solución:
Primero: P = prefieren perfumes
F = Prefieren las flores
J = Prefieren las joyas
n(U) =150 ; n(P) =80 ; n(F) =70
n(J) =50 ; n(P ∩ I) = 20 ; n(F ∩ J) = 30
n( P ∩ J) = 25 ; n(P ∩ F ∩ J) = 10
Segundo:

P F
J
Tercero: Ahora tú coloca en el diagrama los datos.
P(80) F(70)
J(50)
10
Rpta: ..............................................................
PRÁCTICA DE CLASE
I. Desarrolle en su cuaderno las siguientes situaciones:
01. En un aula de 50 alumnos; aprueban 30 de ellos, física 30; castellano 35, matemática y
física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20; y 10 alumnos aprueban los tres
cursos. Se deduce que:
a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos
b) 8 aprueban matemática y castellano pero no física
c) 2 aprueban matemática, pero no aprueban física ni castellano.
d) 6 aprueban matemática y física pero no castellano
02. En una pella criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25 cantan, 12 cantan y bailan.
El número de artistas que no cantan ni bailan es:
a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3
03. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20
alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican
un deporte y sólo uno?
a) 50 b) 55 c) 60 d) 70 e) 65
04. En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está en uno por los menos de los dos clubes
siguientes: “Club de Natación” y “Cine Club”. El número de alumnos inscritos en los clubes
es 7 y el “Cine Club” tiene registrados los 2/3 del total de alumnos. ¿Cuántos miembros
tienen el “Club de Natación”?
a) 20 b) 16 c) 11 d) 9 e) N.a.
05. Si el 6% de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado, el porcentaje
de población que consume ambas carnes es:
a) 23% b) 38% c) 39% d) 50% e) N.a.
06. En un grupo de 100 estudiantes, 42 aprobaron matemática; 30 el curso de química, 28 el
curso de física; 10 de matemática y física; 8 física y química, 5 matemática y química y sólo
3 aprobaron los tres cursos? ¿Cuántos no aprobaron ningún curso?
a) 28 b) 30 c) 38 d) 20 e) 48
07. 92 alumnos se fueron de paseo a Simbal de los cuales:
- 47 llevan sándwich mixtos
- 38 de queso
- 42 de jamón
- 28 de queso y mixto
- 31 de jamón y mixto
- 26 de queso y jamón
- 25 los tres tipos de sándwich
¿Cuántos llevaron empanadas si se sabe que varios del total de alumnos lo hicieron?
a) 1 b) 5 c) 20 d) 15 e) 25
08. Pacientemente, un hospital (con capacidad de 7000 enfermos) informada de que de 1000 de
sus enfermos recibieron las vacunas Salk y Sabin. A un total de 2000 se les administró la
vacuna Salk, mientras que 5000 recibieron la vacuna Sabin. ¿Cuántos pacientes no
recibieron ninguna de las 2 vacunas, si el hospital tenía copado toda su capacidad?
a) 7000 b) 6000 c) 5000 d) 2000 e) 1000
09. De 68 alumnos del programa de Ing. Agroindustria que han de matricularse en el primer
ciclo; 48 alumnos se matricularon en matemática, 25 en lenguaje, 30 en inglés y sólo 6 de
ellos se matricularon en las tres asignaturas. ¿Cuántos se matricularon sólo en un curso?
a) 40 b) 38 c) 39 d) 42 e) 63

10. En el IST “Carlos Salazar Romero” se requiere que los estudiantes del último ciclo de
contabilidad cursen matemática, contabilidad o economía. Si se sabe que de 610 estudiantes,
400 cursan matemática, 300 contabilidad, 250 economía, 240 economía y matemática, 90
contabilidad y matemática y 50 contabilidad y economía. ¿Cuántos alumnos cursan las 3
materias?
a) 180 b) 120 c) 60 d) 40 e) 200
11. Cuántos de los 200 alumnos de la Universidad Nacional de Trujillo están matriculados en
Complemento matemático, pero no en física I. Sabiendo que: 105 están inscritos en
Complemento matemático, 75 en física, 65 en Complemento matemático y matemática I, 35
en física y complemento matemático, 30 en matemática I y física, 115 en matemática I y 20
llevan las tres asignaturas.
a) 25 b) 45 c) 70 d) 55 e) N.a.
12. Un club consta de 78 personas, de ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, 6 figuran
en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces, cuántas personas practican
un solo deporte?
a) 57 b) 42 c) 35 d) 24 e) N.a.
01. Sea el siguiente conjunto:
A = { 4, 3, {4, 3}, {4}, φ }
Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas:
I) φ ∈ A ∧ φ ⊂ A II) { 4, 3} ∈ A ∧ {4, 3} ⊂ A
III) n(A) = n[P(A)] - 27 IV) {{4}} ∈ P(A)
a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4
02. Hallar: n[P(B ∆ A)], si:
n [P (A)] = 64, n [P (B)] = 32, n [P(A ∩ B)] = 8
a) 16 b) 32 c) 128 d) 0 e) 42
03. Sean A y B dos conjuntos contenidos en el universo, si: (A - B) ∪ (B - A) = A ∪ B
¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) A = A - B b) B = B - A c) A ∩ B ≠ φ d) B ⊂ A’ e) A ∪B) ⊂ (A ∩ B)’
04. Sean a, b ∈ R; A, B son conjuntos tales que B ≠ φ y además
(A ∩ B), si: A = {a2
+ 2b , b2
+ 1}, A ∪B = {a + 4b , -3a + b + 1}
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
05. Después de simplificar la expresión adjunta se obtiene: ({[A’ ∩ B’) ∪ (A ‘∩ B’)}]’
a) A’ ∪ B b) A’ ∩ B c) A’ ∪ B’ d) A’ ∩ B’ e) A ∩B
06. En una aula del CEPUNT que consta de 55 alumnos, 25 son hinchas de SC, 32 de AL, 33 de la U
y 5 son hinchas de los equipos ¿Cuántos alumnos son hinchas de sólo dos equipos?
a) 40 b) 22 c) 37 d) 38 e) 25
07. De un grupo de 1800 estudiantes, el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad
de los que rindieron el primero. El número de los que sólo rindieron el 1er examen es el triple de
los que rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos
rindieron al menos un examen?
a) 1200 b) 1220 c) 120 d) 20 e) 1600
08. En una población el 45% de los habitantes leen las revistas A y/o B pero no los dos a la vez, el
50% no lee la revista A, el 75% no lee la revista B y 4800 personas leen las revistas A y B.
¿Cuántos habitantes hay en la población?
a) 32 000 b) 40 000 c) 42 000 d) 4 500 e) 4 800
09. En la ciudad de Trujillo se determinó que el 46% de la población no lee la revista A, que el 60%
no lee la revista B y el 58% lee A o B pero no ambas. Si 63000 personas leen las revistas A y B.
¿Cuántas personas hay en Trujillo?
a) 300 000 b) 320 000 c) 340 000 d) 350 000 e) 400 000
10. En una estación de transportes había 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30
mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres
limeños.
a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60
TAREA DOMICILIARIA
I. Desarrolla las siguientes situaciones:
01. De 65 familias encuestadas, 38 tienen televisión y 40 radio. ¿Cuántas personas tienen un
solo artefacto?
a) 13 b) 52 c) 25 d) 31 e) N.a.

02. En una ciudad, al 78% de la población le gusta la carne y al 50% pescado. Hallar el
porcentaje de la gente que le gusta la carne y el pescado?
a) 15% b) 26% c) 28% d) 30% e) 35%
03. Una persona como huevos o tocinos en el desayuno cada mañana durante todo el mes de
enero. Si come tocinos
a) 30 b) 21 c) 15 d) 12 e) F.d.
04. En un colegio asiste 100 alumnos, 50 usan ómnibus, 40 usan bicicletas y 30 sólo caminan.
¿Cuántas personas emplean ómnibus y bicicleta a la vez?
a) 10 b) 20 c) 25 d) 15 e) 5
05. En una biblioteca había 17 personas de las cuales, 6 leyeron la revista “A”, 9 la revista “B”
y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántas no leyeron ninguna revista?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
I. Objetivos específicos
1. Reconocer el conjunto de los Números naturales
2. Reconocer las propiedades aplicadas al conjunto de los números naturales.
3. Aplicar las propiedades y técnicas operativas en la resolución de operaciones combinadas
teniendo en cuenta el orden operatorio.
II. Procedimientos
A. Motivación
El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es
obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros
antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cual era el contar los animales que
poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los
números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización
de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales,
como veremos más adelante.
B. Contenido Teórico
1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)
Sean los conjuntos: Cardinal del conjunto
{ } → 0
{0} → 1
{0; 1} → 2
{0; 1; 2} → 3
{0; 1; 2; 3} → 4
{0; 1; 2; 3; 4} → 5
........... ..........
........... ..........
........... ..........
{0; 1; 2; 3; 4; ...; 9999} → 10 000
........... ..........
A partir del cardinal de los conjuntos expuestos, construimos el conjunto de los números naturales
(N), así: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
El conjunto así construido, forma la sucesión fundamental de los números naturales que se utilizan
para contar.
2. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA SEMIRRECTA
El conjunto de los números naturales puede representarse mediante puntos igualmente espaciados en
la semirrecta. Para ello se traza una semirrecta que continua de modo indefinido hacia la derecha con
una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán los números naturales, y se hacen
marcas igualmente espaciadas sobre ella.
Luego, se hacen corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así:
0 1 2 3 4 5 6 7
· · · · · · · · · · ·
En la semirrecta numérica, el orden está claramente establecido por la posición de los puntos
marcados.
3. OPERACIONES BÁSICAS
OBSERVA:
28 + 13 = 41
Elementos para
operar
(Sumandos)
Resultado
(Suma)
Operador
COMPLETA:
59 x 21 = 1 239
CONJUNTO DE LOS

Por lo expuesto concluimos que en toda operación intervienen los siguientes elementos:
Operador: Es un símbolo que indica la operación que se va a realizar.
Elementos para operar: Son aquellos que reciben la acción del operador.
Resultado: Es lo que se obtiene después de realizar la operación.
El cuadro adjunto muestra un resumen de las cuatro operaciones básicas.
OPERACIÓN OPERADOR RESULTADO
Adición + Suma
Sustracción - Diferencia
Multiplicación × Producto
División ÷ Cociente
Completa el siguiente cuadro y escribe la palabra NO cuando la operación no sea posible en los
números naturales.
Elementos Operaciones Básicas Potencia Radicación
a b a + b a - b a x b a ÷ b b
a
b
a
16 2 416 =
5 3 8
2 6 64
17 0 NO
27 3 24
5 5 25
Luego se concluye que la adición y multiplicación son operaciones cerradas en N (su resultado es
otro número natural), cumpliendo las siguientes propiedades:
Clausura: Asociativa:
∀ a ; b ∈ N ⇒ (a + b) ∈ N ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ (a+b) + c = a + (b + c)
↓ ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ (a . b) . c = a . (b . c)
Se lee: Para todo:
∀ a ; b ∈ N ⇒ (a . b) ∈ N
Conmutativa: Distributiva:
∀ a ; b ∈ N ⇒ a + b = b + a ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ a . (b + c) = ab + ac
∀ a ; b ∈ N ⇒ a . b = b . a cambiando el orden de los factores también:
(b + c) . a = ba + ca.
Modulativa o elemento neutro
∀ a ∈ N ⇒ a + 0 = a
∀ a ∈ N ⇒ a . 1 = a
4. OPERACIONES COMBINADAS
Para poder resolver un cálculo con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación en forma combinada se deben tener en cuenta algunas reglas:
* Los operadores + y -, separan los términos.
* Para resolver operaciones combinadas donde no figuran paréntesis, primero se resuelven las
potencias y las raíces, después los productos y los cocientes y, finalmente, las sumas y las
diferencias.
* En caso de existir signos colectores, debemos cancelarlo realizando las operaciones que
contiene.
Ejemplo 1: Efectuar:
482x)645x2( 24
÷+− 1. Se realizan potencias y raíces.
4642x)85x16( ÷+− 2. Se calculan productos y cocientes
162x)880( +− 3. Operación dentro del paréntesis
72 x 2 + 16 4. Se calcula el producto
144 + 16 5. Suma
160
Ejemplo 2: Efectuar:
)))7x52((((27x464 0323
−−+−−÷+ 1.Se realizan potencias y raíces
4 + 4 x 7 ÷ 4 - (- (+(-(8 - 5 x 1))) 2. Se calculan productos y cocientes
4 + 7 - (8 - 5) 3. Operación dentro del paréntesis
4 + 7 - 3 4. Se calculan sumas y restas
8
Ejemplo 3: Si a θ b = 2a + 3b. Calcular 3 θ 5.
Resolución:
En nuestro caso el operador es θ y la regla de formación es: 2a + 3b. Lo que tenemos que hacer es
hallar el valor numérico cuando a = 3 y b = 5. Así.
a θ b = 2 (a) + 3(b) 1. Reemplacemos los valores de a y b
3 θ 5 = 2 (3) + 3(5) 2. Efectuamos las multiplicaciones
3 θ 5 = 6 + 15 3. Efectuamos la suma
3 θ 5 = 21

Ejemplo 4: Si m ∆ n = 2
m + 2mn + 2
n . Calcular E = 3 θ 5
Resolución:
Hallemos primero el valor de 1 ∆ 2:
m ∆ n = 2
m + 2mn + 2
n
1 ∆ 2 = 2
1 + 2(1)(2) + 2
2
1 ∆ 2 = 9
Ahora, hallemos el valor de 2 ∆ 3:
m ∆ n = m2
+ 2mn + n2
2 ∆ 3 = 2
2 + 2(2)(3) + 2
3
2 ∆ 3 = 25
Luego, reemplazando estos valores en E, tendremos: E = 9 ∆ 25.
Hallemos el valor de E = 9 ∆ 25.
m ∆ n = m2
+ 2mn + n2
9 ∆ 25 = 2
9 + 2(9)(25) + 2
25
9 ∆ 25 = 81+ 450 + 625
9 ∆ 25 = 1156
Ejemplo 5: es un operador rectángulo, de modo que:
= 7x - 25
= 25 - 7x
si x ≥ 4
si x > 4
x
x
Calcular : P = 2 5+
Resolución:
Hallemos primero el valor de:
2 2 = 25 - 7(2); 2 < 4
2 = 11
Hallemos luego 5 = 7 (5) - 25 5 ≥ 4
5 = 10
5
⇒
⇒
Reemplazando estos valores encontrados, en P tendremos: P = 11 + 10.
Luego: P = 21 = 7(21) - 25 = 122
PRÁCTICA DE CLASE
I. En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo resuelva cada uno
de los siguientes planteamientos:
01. Si: a; b; c ∈ N. Si a = 2; b = 4; c = 7. Ubique los números a, b y c en la semirecta numérica.
02. Escribe el nombre de la propiedad que se aplica en cada caso.
a) 48 + 37 = 37 + 48 ⇒ .................................................................
b) 40 + 0 = 40 ⇒ .................................................................
c) 36 + (32 + 15) = (36 + 12) + 15 ⇒ .................................................................
d) (36 + 32) + 15 = 36 + (32 + 15) ⇒ .................................................................
e) a . b + a . c = a . (b + c) ⇒ .................................................................
f) a . (b . c) = (a . b) . c ⇒ .................................................................
g) (3 x 2) x 6 = 6 x (3 x 2) ⇒ .................................................................
h) 5 = 5 x 1 ⇒ .................................................................
03. Completa la tabla y escriba la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números
naturales.
a b c (a+b) - c a - (b+c) b - c a+c a - (b - c)
25 31 26

50 63 24
96 97 82
36 20 74
04. En cada expresión identifique base, potencia y exponente.
a) 7
2 = 128 b) 2
25 = 625 c) b
a = c
05. Comprobar si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas.
a) 333
3:45)345( =÷ ( )
b) 623
2)2( = ( )
c) 2222
832)832( ++=++ ( )
d) 2222
7x3x5)7x3x5( = ( )
e) 333
711)711( −=− ( )
f) 18765
22.2.2 = ( )
g) 31
13 = ( )
h) 25:10025:100
2
= ( )
i)
333
8888 +=+ ( )
j)
555
243x32243x32 = ( )
k) 63 2
6464 = ( )
06. Complete la tabla
a b c 3a - 2b 22
ba − a2
– b2
+ c2
c)ba( 2
++ ab - 5c
6 6 7
9 4 5
12 8 3
16 9 2
07. Desarrolla aplicando las propiedades de la potenciación.
a) 35 2.2 e) 26
)5( i) 3
)6.2(
b) 54 3.3 f) 43
)7( j) 4
)M5(
c) 72 8.8 g) 22
)8( k) 52
)n3(
d) 64 m.m h) 94
)x( l) 35
)x4(
Nota: Al introducir el uso de variables en los ejercicios d, h, j, k, l; estamos involucrando a
todos los números en discusión.
08. Hallar el resultado de las siguientes operaciones combinadas.
a) 58 + 4(14-9)
b) [408 - (300 - 102)] ÷ 6 + 1
c) 32 ÷ (224 ÷ 7) - 1
d) 2[( 22
98 + - 1) ÷ ( 2
3 x 4) - 4]
e) 22
)3x2(5x32x49 +−
f) 16x5x3 2
g) 9:62x363x2 23
+−
h) 322
)2()48()1694( −÷−++
i) 0105
)35(6x69x281 ÷+−+
09. Hallar el valor de (5 ∆ 2
)1 si se sabe que x ∆ y = 2x + 2
x + 1
a) 25 b) 125 c) 225 d) 625 e) 325
10. Hallar el valor de (5 ∆ 1) ∆ 6 sabiendo que: a ∆ b = a2
b + b2
a
a) 5400 b) 30 c) 1080 d) 6000 e) 6480
11. Sabiendo que p ∇ q = 6p + 2q, halla el valor de M = [5 ∇ 12] ∇ [14 ∇ 6]
a) 516 b) 254 c) 196 d) 150 e) 324
01. Si E = 50 1]155)2x5[( 2
−+÷÷ y F = 500 + {1200 ÷ [10 - ( 2
12 - 71 x 2)]}.
Calcular el valor numérico de )1E()600F( 2
−+− .
a) 3600 b) 1600 c) 2500 d) 4900 e) N.a.
02. Dadas las expresiones: C = 322
10]8)2346x9[( −÷+
D = 45 {2 [41 - (20 ÷ 4) ÷ 9 - [ 26
32 − - (7)]}
Calcular el valor de x, sabiendo que X - C = D.

a) 7415 b) 7508 c) 8025 d) 8115 e) N.a.
03. Si R = {[7 - (15 ÷ 3) + 223
})920(]3 −− ; S = 3 + 3232
10:)515( − El producto de
todos los elementos del conjunto: {X ∈ N/ S < X < R}
a) 240 b) 212 c) 216 d) 210 e) N.a.
04. Se tiene las expresiones: W = 222
]4)225x6(5)23[( ÷−+÷− y
T = ]5)2015[()4160()5)(3)(2( 23
÷+÷− .
El cociente entero al dividir el doble de T entre el triple de W es:
a) 25 b) 23 c) 21 d) 27 e) N.a.
05. Si: A = 5)]210(163x4)2(5[)2)(5( 323
−−÷+÷−
B = 38)13(5x2)53( 2323
−÷−+÷−
Calcular el residuo que se obtiene al dividir A entre B.
a) 12 b) 13 c) 11 d) 8 e) N.a.
06. De las expresiones: P = [(5 - 2) ÷ 3 + (11- 5) ÷ 2
]2 + (5 x 6) ÷ 3
N = [(50 ÷ 5 - 16 ÷ 2 + 12 ÷ 3
)6 - (6 ÷ 2 + 8 ÷ 2
)4 - 2
]30
Calcular el valor de X, sabiendo que PX = N- 3.
a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) N.a.
07. Si m ♥ n = mn
nm − . Calcular 4 ♥ 2.
a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8
08. Si x ∆ y = yx + . Hallar ( 5 ∆ 4 ) ∆ 13.
a) 16 b) 8 c) 2 d) 6 e) 4
09. Si a * b = 4a - 5b , a ∆ b = 7a - 3b. Hallar (3 * 2) ∆ (4 * 3).
a) 10 b) 9 c) 15 d) 11 e) 6
10. Si a # b = (a + b) (a - b). Calcular 7 # 2.
a) 46 b) 44 c) 42 d) 45 e) N.a.
11. Si se conoce que: m @ n = 52
n2m5 − . Calcular el valor de: 1 @ 0.
a) 6 b) 5 c) 1 d) 10 e) 0
12. Si a * c = 32
c2a3 + . Calcular el valor de: (2 * 1) * (1 * 0)
a) 542 b) 510 c) 642 d) 480 e) 417
13. Sabiendo que: a = 2a + 5 . Hallar el valor de 3 1+ .
a) 18 b) 9 c) 15 d) 11 e) 6
14. Sabiendo que: = xx + x + 12
. Hallar el valor de 1 2+ .
a) 8 b) 10 c) 13 d) 15 e) 9
15. Si m  n = 2
m3 + n + 2. Hallar “x” en: 2  x = 15.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16. Hallar el valor de ΩΩΩΩΩ
−+−+ 108375 sabiendo que Ω
a = 2
a + 1 si a > 7 y Ω
a = a
+ 2 en otro caso.
a) 25 b) 50 c) 75 d) 101 e) N.a.
17. Hallar el valor de: 6 & [6 & (6 & {6& ... veces})] sabiendo que a % b = 1a2a 2
++ .
a) 49 b) 32 c) 1 d) No se sabe e) N.a.
18. Hallar el valor de : 6 % (2 ∆ [3 # 1]) sabiendo que:
a % b = 2 2
a - 3b + ab
a ∆ b = 6a + 3b - ab
a # b = 4ab - 6a + 6b
a) 100 b) 115 c) 108 d) 120 e) 101
19. ¿A qué es igual: 1 θ { 2θ [ 3θ (4θ (5θ ..... ∞ sabiendo que:
a θ
∞
=





aaaa
a6
b
1

a) 16 b) 4 c) -4 d) 6 e) ∞
20. Si a ∆ b = a - b y m φ n = (m/n) + 1. Hallar el valor de “x” en: (4 ∆ 5) φ x = 5/6.
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 3
21. Si: B = (B+1)
2
, hallar el valor de “a” en:
a = 100
a) 3 b) 9 c) 3 - 1 d) 2 e) 2 - 1
22. Sabiendo que:
x  y = 2x - 5y Si x > y
x  y = 3x - 7y Si x ≤ y
Calcular: E = (-2  -1) - (-1  -2)
a) 3 b) -7 c) 4 d) -2 e) N.a.
23. Se define el conjunto () en el conjunto A; A = {0, 2, 4, 6} y con la tabla adjunta; marcar verdadero
(V) o falso (F).
0 2 4 6
0 6 4 2 0
2 2 0 4 6
4 0 2 6 4
6 4 6 0 2

I. a  b = b  a. ∀ a ∀ b ∈ A
II. ∃ a ∈ A y ∃ b ∈ A. tal que: a  b = b  a
III. (2  4) 6 = 2  (4  6)
a) FFV b) FVV c) VVV d) VVF e) VFV
= ac + bc + ab. Calcular:
a
b c
24. Si:
1
9 3
a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41
25. De acuerdo a la tabla adjunta. ¿Qué número “x” falta en el recuadro? si se cumple: (4 Ψ X) Ψ 4 = 2.
1 2 4 8
1 4 8 2 2
2 8 1 8 4
4 2 8 4 1
8 2 4 1 2
Ψ
a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.a.
26. De acuerdo a las tablas adjuntas, determinar el valor de “X”.
1 2 3
1 3 3 2
2 2 1 1
3 3 2 1
3 2 1
3 1 1 2
2 1 2 3
1 2 3 3
#@
[(3 @ 2) # X] @ [1 # (2 # 2)] = 2.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
I. Resolver los siguientes ejercicios y encierre en un círculo la alternativa que contenga la
respuesta correcta.
01. Si A = 45
)n2( ; n20
= 30; entonces A ÷ 10 es:
a) 480 b) 240 c) 48 d) 24 e) 4800
02. Se sabe que E = 794 3;)x3( = 2187; 18x = 5 . Entonces E ÷ 2187 es:
a) 75 b) 150 c) 315 d) 225 e) 95
03. Sabiendo que A = 68
x.x ; B = 3x;)x( 774
= . El número A + B es:

a) 90 b) 88 c) 72 d) 78 e) 92
04. Se tiene A = 15 22 11)]1215(15)1113( −−−÷+
B = 511}2)]2(3)786{[( 23 +÷÷−−
Entonces el valor numérico de (A – B)2
+ 4 es:
a) 29 b) 53 c) 20 d) 40 e) N.a.
PROBLEMAS SOBRE CUATRO
PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN
1. Resuelve problemas diversos sobre operaciones fundamentales
2. Refuerza las operaciones básicas.
3. Logra habilidad mental en los alumnos.
II. Procedimiento:
A. Motivación
Los comerciantes hacen ventas por docenas, en cajas o en paquetes y también por
cantidades menores del contenido de una caja, para saber cuántos objetos han vendido,
primero ven el número de objetos que han despachado en todas las cajas y suman las otras
cantidades sueltas que han vendido.
Estas personas que tienen que hacer compras o ventas tienen que efectuar adiciones,
sustracciones, multiplicaciones otras veces divisiones u operaciones combinadas para hacer
sus cálculos.
A continuación te presento una serie de problemas explicados, trata de comprenderlos y
saca tus propias conclusiones.
01. Un comerciante compra víveres. La primera vez compra por un valor de S/. 8893; la
segunda por S/. 838 más que la primera, y luego en la tercera vez compra por S/. 7834 más
que las dos compras anteriores. Hallar:
a) ¿Cuánto pagó en la segunda compra?.
b) ¿Cuánto pagó en la tercera compra?.
c) ¿Cuánto pagó en las dos primeras compras?.
d) ¿Cuánto pagó por todo?
Resolución:
Pagó en:
La primera compra: S/. 8893
La segunda compra: S/. 838 + S/. 8893 = S/.9731
La tercera compra: S/. 7834+S/. 8893+ S/. 9731 = S/. 26 456
Respuestas:
a) En la segunda compra pagó: S/. 9 731
b) En la tercera compra pagó: S/. 26 458
c) En las dos primeras compras pagó: S/. 8893 + S/. 9731 = ..................................
d) Por las tres compras pagó: .............................................. = ...................................
02. Pedro vende 8 837 balones de gas, luego 16 836 balones, finalmente vende la diferencia
entre la segunda y la primera venta. Se pide hallar:
a) ¿Cuántos balones vende en la tercera venta?.
b) ¿Cuántos balones vende en las tres ventas?.
c) Si otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta.
¿Cuántos balones le venderá?.
Resolución:
Vende en la:
Primera venta: 8837 balones
Segunda venta: 16 836 balones
Tercera venta: 16 836 – 8837 = 7 999 balones.
Respuesta:
a) En la tercera venta vende: 7999 balones.
b) En las tres ventas vende: 8837 + 16 836 + 7 999 = 33 672 balones.
c) Como otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta
entonces le venderá: 8837 – 7999 = 838 balones.
03. Tres carpinteros hacen una obra. El maestro recibe 6 veces de lo que recibe el primer
ayudante y el segundo recibe 7343 nuevos soles menos que el primero. Si el primer
ayudante recibe 3 veces 8341 nuevos soles, se desea saber:
a) ¿Cuánto recibe el primer ayudante?.
b) ¿Cuánto recibe el maestro?.
c) ¿Cuánto recibe el segundo ayudante?.
d) La cantidad que pagó el dueño de la obra.

Resolución:
a) El primer ayudante recibe: 3(8341)= 25 023 nuevos soles.
b) El segundo ayudante recibe: 7343 nuevos soles menos que el primero: 25 023
– 7343 = 17 680 n.s.
c) El maestro recibe 6 veces del primer ayudante: 6 ( 25 023) = 150 138 n.s.
d) El dueño pagó por la obra: 25 023 + 17 680 + 150 138 = 192 841 n. s.
04. Un ciclista recorre 44 928 m en un día. Se pide hallar:
a) ¿Cuántos metros recorre en 9 horas?.
b) ¿Cuántos metros recorre en 18 horas?.
Resolución:
Cálculo de una hora: Como recorre 44 928 m en un día y un día tiene 24 horas, entonces se
divide:
44 928 ÷ 24 = 1872 m.
Luego en una hora recorre 1872 m.
Respuesta:
a) En 9 horas recorre: 9(1872m)= 16 848 m.
b) En 18 horas recorre: 18(1872m)= 33 696 m.
PRÁCTICA DE CLASE
I. Instrucción: Dar solución a las siguientes situaciones:
01. El precio de una gallina es de 24 nuevos soles y el precio de un pato es de 49 nuevos soles..
¿Cuál es la diferencia de precios entre las dos aves?.
02. Por una olla y una jarra se ha pagado 60 nuevos soles, si la olla cuesta 38 nuevos soles.
¿Cuánto cuesta la jarra?.
03. De un terreno de 816 metros cuadrados, se sacan dos lotes. Si uno mide 209 metros
cuadrados. ¿Cuánto mide el segundo lote?.
04. Un comerciante al vender una máquina de escribir por S/. 8160 ha ganado S/. 1 475. ¿Por
cuánto compró la máquina?.
05. El abuelo de Juan nació en 1903. Si murió a los 79 años. ¿Hace cuántos años falleció?.
Considerar 2002 año actual.
06. Un comerciante mayorista recibe orden para vender 714 kilos de trigo, pero solamente tiene
469 kilos. ¿Cuántos kilos de trigo le falta para completar el pedido?.
07. El administrador de una tienda escolar compra 45 naranjas de una frutera, de otra frutera
compra 62 naranjas, durante el día vendió 84 naranjas. ¿Cuántas naranjas le han sobrado
para el día siguiente?.
08. En una granja de la escuela primaria de Virú venden 7 conejos a 28 cada uno. ¿Qué cantidad
de dinero reciben por esta venta?.
09. Un obrero de construcción gana 36 soles diarios. ¿Cuánto gana por una semana y 4 días de
trabajo?.
10. Un panadero tiene contrato para entregar 68 panes diarios en un restaurante. ¿Cuántos panes
entregará en 5 días?.
11. ¿A cuánto asciende la fortuna de un señor que tiene 385 cabezas de ganado lanar, si cada
una cuesta S/. 735?.
12. En un establo ordeñan diariamente 375 litros de leche. ¿Cuántos litros de leche ordeñarán en
246 días?.
13. ¿Cuál es el precio de 4 cajas de aceite de 6 botellas cada una, si el precio de una botella es
de 8 nuevos soles?.
14. Un camionero tiene contrato de transportar 31 104 bolsas de cemento; si en cada viaje
conduce 486 bolsas. ¿En cuántos viajes transportará todas las bolsas de cemento?.
15. ¿Cuántas ovejas se necesitan vender a 253 nuevos soles cada una para con el valor de la
venta se pueda comprar un terreno por 6578 nuevos soles?.
01. En una huevería tiene para la venta 7888 huevos para vender en cajas de 164 huevos cada una.
¿Cuántas cajas de huevos hay?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 45
02. Con 1352 soles he comprado igual número de libros de 24 soles, de 32 soles y de 48 soles.
¿Cuántos libros se ha comprado en total?
a) 13 b) 26 c) 39 c) 42 e) 45
03. De la cosecha de un viñedo se ha sacado 51 000 litros de vino. ¿En cuántos barriles estarán
envasados si cada barril tiene una capacidad de 680 litros?
a) 70 b) 62 c) 65 d) 75 e) 104

04. De Trujillo sale un carro a las 5 a.m. con dirección al sur a una velocidad de 50 km/h y a las 8
a.m. de Chocope distante 50 km/s de Trujillo, sale otro a dar alcance al primero y va a una
velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora le encontrará y a qué distancia de Trujillo?
a) 12 m – 400 m b) 1 pm – 400 km c) 1 pm – 400 km
d) 3 pm – 600 km e) N.a.
05. Una señora va al mercado con cierta cantidad de dinero a comprar gallinas todas del mismo
precio, pero para comprar 8 gallinas le falta 100 soles y si solamente compra 6 gallinas le sobra 68
soles. ¿Cuánto es el precio de cada gallina y que cantidad de dinero lleva?
a) S/. 82 – S/. 556 b) S/. 31 – S/. 428 c) S/. 41 – S/. 656
d) S/. 82 – S/. 656 e) N.a.
06. En una locería compran 26 docenas de tazas a 14 soles cada una; por flete y embalaje se paga 165
soles y en timbres de factura 280 soles. Le han salido rotas 8 tazas. Hace una venta por 960 soles
a 24 soles cada taza y sal restantes las vende a 23 soles cada una. ¿Gana o pierde en este negocio?.
¿Cuánto?
a) Pierde S/. 472 b) Gana S/. 1120 c) Gana S/. 1063
d) Pierde S/. 830 e) N.a.
07. La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años,
¿cuál es la edad de Luis?
a) 8 b) 12 c) 13 d) 11 e) 15
08. Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz
dentro de 10 años?
a) 45 b) 35 c) 39 d) 29 e) N.a.
09. Entre Mario y Felipe tienen S/. 60. Si al menos afortunado le obsequiamos S/. 212 soles entonces
ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado?
a) S/. 28 b) S/. 35 c) S/. 36 d) S/. 24 e) N.a.
10. En dos cajas A y B de tizas hay 32 de éstas. Si de una cada C de tizas sacamos 8 y las agregamos
a la que menos tiene de las dos primeras, resultaría que éstas tendrían ahora la misma cantidad.
¿Cuántas tizas tenía inicialmente la que más contiene?
a) 20 b) 24 c) 19 d) 31 e) N.a.
11. En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 12 de estos y
lo colocamos dentro de la otra logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos
lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos?
a) 22 b) 25 c) 46 d) 32 e) 30
12. Entre Emilio y David tienen S/. 1200. Si David decide obsequiar S/. 260 a Emilio resulta que
ahora ambos tendrán la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene Emilio?.
a) S/. 310 b) S/. 408 c) S/. 300 d) s/. 340 e) N.a.
13. Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/. 600. Si entre ambos varones le dieran S/. 100 a
Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los otros dos varones juntos, ¿qué cantidad tenía la
damita inicialmente?
a) S/. 200 b) S/. 250 c) S/. 350 d) S/. 225 e) N.a.
14. La edad de Ernesto es la cuarta parte de la de su abuelo. Si cuando Ernesto nació su abuelo tenía
45 años, ¿cuántos años cumplirá Ernesto dentro de 5 años?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 19
15. En dos depósitos hay 72 chocolates. Si lo que hay en uno es el quíntuplo de lo que hay en el otro:
¿Cuántos chocolates hay en el depósito que más tiene?
16. Liz tiene S/. 436 y Luz S/. 244. Al ir de compras y gastar la misma cantidad cada una a Luz le
queda la cuarta parte de lo que le queda a Liz, ¿cuál es la cantidad que gasto cada una?
a) S/. 120 b) S/. 180 c) S/. 100 d) S/. 250 e) S/. 110
17. Fidencio y Petronila reciben de propina S/. 39 y S/. 23 respectivamente. Si en el kiosco gastan en
golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Fidencio es la tercera parte de
lo que le queda a Petronila. ¿Cuánto gastaron los dos juntos?
a) S/. 15 b) S/. 30 c) S/. 24 d) s/. 36 e) S/. 40
18. Mamerto y Maximina tienen S/. 50 y S/. 2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente
ahorrarán S/. 2. ¿Al cabo de cuantas semanas lo que tiene Maximina será la quinta parte de lo que
tendrá Mamerto?
a) 8 b) 10 c) 15 d) 12 e) 5
19. En una reunión hay 45 personas (entre damas y caballeros); si se retiran 5 parejas, la diferencia
entre el número de hombres, que hay más y el número de mujeres es 5. Determine el número de
damas que quedan.
a) 15 b) 18 c) 25 d) 19 e) 14
20. En el “Aula de primero A”, se cuentan 30 niños sentados; si salen al frente 4 damitas y 6 varones,
la diferencia de niñas sentadas y de varones sentados es 4. ¿Cuántas niñas hay en total en el aula?
a) 14 b) 15 c) 17 d) 18 e) 16

TAREA DOMICILIARIA
01. Una frutera con 192 soles ha comprado igual número de paltas, manzanas y chirimoyas. Si cada
palta la compra a 4 soles, cada manzana a 2 soles y cada chirimoya a 6 soles. ¿Cuántas frutas ha
comprado?
02. ¿Cuántos pollos ha comprado un negociante con 1058 soles; si al vender 18 pollos por 486 soles
ha ganado 4 soles en cada pollo?.
03. Una vendedora de fruta compra 8 cajones de 150 manzanas cada uno a 85 soles el ciento. Si le ha
salido malogradas 48 y obsequia 12 manzanas, ¿qué beneficio obtendrá si las vende la mitad a 3
manzanas por 4 soles y el resto a 5 manzanas por 7 soles?
04. Un comerciante en una hacienda compró 5 vacas a 288 soles cada una; para transportarlas ha
pagado 60 soles y en alfalfa ha gastado 16 soles. ¿A cómo tendrá que vender cada oveja si en total
desea ganar 304 soles?
05. Un comerciante compra cierto número de pelotas por 1587 soles. Vende 24 pelotas por 768 soles,
ganando así 9 soles en cada una; después vende 16 pelotas a 34 soles cada una. ¿A cómo tendrá
que vender las restantes si en total debe ganar 624 soles?
TEORÍA DE LA
1. Comprender la importancia de los sistemas de numeración.
2. Diferenciar número de numeral.
3. Diferenciar valor absoluto y valor relativo de las cifras de un numeral.
4. Escribir y leer correctamente cualquier numeral.
5. Descomponer un numeral en su forma polinómica.
6. Convierte un numeral de un sistema de numeración a otro.
7. Resuelve problemas que involucren sistemas de numeración.
II. Procedimiento:
A. Motivación.
En vista de que la serie de los números es ilimitada aparece como un problema muy difícil el dar
nombre a cada número. Efectivamente, si a cada número se le da un nombre distinto, sucede que para
nombrar, por ejemplo los mil primeros números naturales habrá que inventar y aprender mil palabras
distintas. Esto resulta casi imposible pero, además ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos
números que vienen a continuación de mil?. Además el hombre debe representarlos por símbolos
adecuados, sin duda el problema se hace más difícil. La teoría de la numeración enseña el modo
como resolver estos problemas.
La humanidad en su desarrollo histórico ha creado diferentes formas de nombrar o denotar a los
números naturales. En cada pueblo y en cada época los números naturales se representaron con
diferentes símbolos.
Al combinar los símbolo mediante ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales.
Pero además de existir estas formas de representar los números, existen otras formas que lo
estudiaremos detalladamente, los números arábigos en diferentes sistemas de numeración.
B. Contenido Teórico.
NUMERACIÓN
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los
números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales.
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los
numerales.
Número
UNIDAD IV

Es un ente o idea matemática por ello se dice que no tiene definición, el cual nos permite cuantificar los
objetos de la naturaleza.
Numeral
Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos.
Ejemplo:
   ;
4, IV, cuatro, four, ...
☺ ☺ ☺ ☺ ☺
5, IIII, , cinco, five, .....
. .
. ..
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. Del Orden
Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.
Ejemplo:
Lugar 1º 2º 3º 4º
Número 1 9 9 8
Orden 4 3 2 1
Ejemplo:
2 1 4 5 ORDEN
1 (unidades)
2 (decenas)
3 (centenas)
4 (millares)
2. De la Base
Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para
formar la unidad colectiva del orden inmediato superior:
Sea “B” una base:
∈ Z
B
Es mayor que 1
⇒ Base : 2, 3, 4, 5, 6, ......
Base 10
Sobran 2
12
Un grupo de 10
↓
↑
Base 5
↑
)(522
Convención
referencial
(sub índice)
Base 4
no sobra nada
↓
↑
(4)30
3 grupos de 4
⇒ 12 = (4)(5) 3022 =
REGLA DE LOS SIGNOS
En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base:
Ejemplo:
−+
+
= )()( zx 12023
Cumple:
z < x
Ejemplo:
- +
−+
= )()( qp 98INGRESOGEUNI
Se cumple:
q < p
3. De las cifras
Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual
son empleadas o utilizadas.
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1)
↓

cifra no cifras
significativa significativas
Cifra máxima = n-1
Cifra mínima = 0
* El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que
ocupa.
* Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de
posición o valor relativo.
Valor Absoluto (VA)
Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura.
Valor Relativo (VR)
Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.
Ejemplo:
VA (2) = 2
VA (4) = 4
VA (5) = 5
VA (3) = 3
2 4 5 3
VR(3) = 3 x 1 = 3 unidades
VR(5) = 5 x 10 1
= 5 decenas
VR(4) = 4 x 10 2
= 4 centenas
VR(2) = 2 x 10 3
= 2 millares
SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION
El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez.
Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.
1 (unidad)
10 (decena)
10 2 (centena)
10 3 (millar)
x 10
x 10
x 10
=1
millar
unidad de
cuarto
orden
10
centenas
100
decenas
1000
unidades
= = =
Cifras utilizadas:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve
Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9
a = α = (10)
b = β = (11)
c = γ = (12)
d = δ = (13)
 
PRINCIPALES SISTEMAS DE
NUMERACION
Base Nombre (Sistema) Cifras que se usan
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20

n
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal (Décuplo)
Undecimal
Duodecima
Vigesimal

Enésimal
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4, 5
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
0, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10)
0, 1, 2, . . . (10), (11)
0, 1, 2, . . . (18), (19)

0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1)
Consideraciones en el Sistema de
numeración de base “n”
a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la
primera cifra siempre es diferente de cero.
b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración,
origina una unidad del orden inmediato superior.

c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces
mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración.
d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será
numéricamente igual a la base.
Ejemplo:
Base “n” → 0, 1, 2, 3, ......, n -1
“n” cifras
e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a
derecha y al final la base.
Ejemplo: 123(4)
Se lee: uno, dos, tres de base, 4.
Representación literal de numerales.
Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una
multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.
Ejemplo:
abab ≠
ab : representa un número de 2 cifras del sistema decimal.
ab : ∈ {10, 11, 122, . . . , 98, 99}
)7(abc : numeral de 3 cifras de la base 7
)7(abc ∈ }666,...,101,{100 (7)(7)(7)
)7(abc ∈ {1000, 1001, 1002, . . . , 9999}
Numeral Capicúa
Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras
equidistantes de los extremos son iguales.
Ejemplos:
aa ∈ {11, 22, 33, . . . , 99}
aba ∈ {101, 111, 121, . . . , 999}
abba ∈ {1001, 1111, . . . , 9999}
SOMOS ;
RADAR ;
RECONOCER ;
AAMOLAPALOM ;
ATINAANITALAVAL ;
RAMISAASIMARIOOI
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES
(Exponenciación de Numerales)
A. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio
viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número.
B. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número.
C. El grado del polinomio viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha.
Polinomio Algebraico:
ax2
+ bx + c
Polinomio Aritmético o Numérico:
* 123 = 1 x 102
+ 2 x 10 + 3
* 3000204(5) = 3 x 56
+ 2 x 52
+ 4
* 210005(7) = 2 x 75
+ 1 x 74
+ 5
Ejemplos:
ab = a x 10 + b = 10a + b
abc = a x 102
+ b x 10 + c
= 100a + 10b + c
abcd = a x 103
+ b x 102
+ c x 10 + d
)8(mnp = m x 82
+ n x 8 + p
= 64m + 8n + p
)(nabcde = an4
+ bn3
+ cn2
+ dn + e
DESCOMPOSICIÓN POR BLOQUES
Es un caso particular de la descomposición polinómica consiste en tomar un bloque considerándolo
como una cifra.
Ejemplos:

2324 = 23 x 102
+ 24 = 2300 + 24
1453 = 1 x 10 + 453 = 1000 + 453
abcd = ab x 102
+ cd = 100 cdab +
abab = ab x 102
+ ab = 101 ab
abcabc = abc x 103
+ abc = 1001 abc
)5(abcabc = (5)1001 x )5(abc
ababab = ab x 104
+ ab x 102
+ ab
ababab = 10101 ab
)(nababab = (n)10101 x )(nab
)6(xyaxy = )6(
23
66 xyxaxxy ++
=)(nabcdef an5
+ )(nbcd x n2
+ )(nef
CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO
Se puede plantear los siguientes casos:
I. De base diferente de 10 a base 10.
II. De base 10 a base diferente de 10.
III. De base diferente de 10 a otra base diferente de 10.
CASO I: De base diferente de 10 a base 10
Método 1: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Ejemplos:
* (7)344 = 3 x 72
+ 4 x 7 + 4 = 179
* (5)1304 = 1 x 53
+ 3 x 52
+ 0 + 4 = 204
* (7)3241 = 3 x 73
+ 2 x 72
+ 4 x 7 + 1 = 1156
Método 2: POR RUFFINI
Sea: )(nabc = an2
+ bn + c
)(nabc = (an + b)n + c
Disponiendo:
Base a b c → cifras
n ↓ an an2
+bn
a (an+b) an2
+bn+c
CASO II: De base 10 a base diferente de 10
Método: DIVISIONES SUCESIVAS
Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de
numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se
obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.
Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y
cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su
derecha, así:
abcd → Base (B)
abcd
R1
B
q 1
R2
B
q 2 B
q 3R3
B
q nRn
.
..
∴ abcd = )(123 ))()((...))(( Bnn RRRRq
Ejemplo 1
71984 → B(15)
71984
119
148
134
14
15
4798
29
148
13
15
319
19
4
15
21
6
15
1
⇒ 71984 = )15((15) 164de(13)(14)164 =
Donde: d = 13 ; e = 14
CASO III: De Base ≠ de 10 a otra base ≠ de 10
Método general:

B(n) → B(m) ; m ≠ n
n → 10 → m
Descomposición Divisiones
polinómica sucesivas
o (Ruffini) .
Ejemplo 1: Convertir : (9)465 a base 6
Paso 1 : (9)465 → B(10)
)9(465 = 4 x 92
+ 6 x 9 + 5 = 383
Paso 2 : 383 → B(6)
Divisiones sucesivas
383
5
6
63 6
10 6
1
3
4
∴ (6)(9) 1435465 =
PRACTICA DE CLASE
I. A continuación propone una serie de ítems, los cuales debes desarrollar en forma
grupal consultando con tus compañeros o el profesor.
01. ¿En qué orden se encuentra la cifra 3 en el numeral 5437?
.......................................................................................................................................
02. ¿En que lugar se encuentra la cifra 6 en el numeral 436 559?
.......................................................................................................................................
03. ¿Qué características tiene el numeral que representa la base de un sistema de numeración?
.......................................................................................................................................
04. ¿Cuántos sistemas de numeración existen?
.......................................................................................................................................
05. En el sistema decimal cuenta 12 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 5 en 5 y responde:
a) ¿Cuántos grupitos se formaron?
b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?
c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?
d) ¿En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?
06. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 24326(8.
07. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:
a) 2341(5 = .........................................................................................................
b) 786(9 = .........................................................................................................
c) 12345(6 = .........................................................................................................
d) 23425(B = .........................................................................................................
e) xynm(p = .........................................................................................................
08. Representa 10202(4) en el sistema decimal.
10. Representa 108 en el sistema binario.
11. Representa 23102 en el sistema nonal.
12. Representa 3320(4) en el sistema heptanal.
13. Representa 2541(8) en el sistema undecimal.
01. El numeral 32012(4) representado en el sistema decimal es:
a) 900 b) 902 c) 904 d) 905 e) N.a.
02. Expresar en base 10 la suma de: 23A(D) y 107(C)
a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.

03. El numeral 476 escrito en el sistema quinario será:
a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.
04. El numeral 14 325 escrito en el sistema de base 30 será:
a) fqf(30) b) fgf(30) c) ñzñ(30) d) fkf(30) e) N.a.
05. Convertir el numeral 7ab55(12) al sistema decimal.
a) 13 975 b) 17 524 c) 13 673 d) 12 321 e) N.a.
06. El numeral 432(7) se escribe en el sistema de base 3 como:
a) 22 011(3) b) 22001(3) c) 22 010(3) d) 20121(3) e) N.a.
07. El numeral 540d(15) se escribe en el sistema duodecimal, así:
a) A 494(12) b) A 484(b) c) A 494(c) d) A 474(12) e) B264(12)
08. El numeral 5657 en el sistema octanario es:
a) 13031(8) b) 3151(8) c) 2151(8) d) 5111(8) e) N.a.
09. ¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintas, representa el
número mayor?
a) 1101(2) b) 2103(4) c) 1030(4) d) 1201(5) e) 1042(6)
10. Escriba el numeral 0,24 en el sistema quinario.
a) 0,22(5) b) 0,21(5) c) 0,11(5) d) 23(5) e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01. Expresa la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 2345(8) b) 4376(A) c)4763(9)
02. En el sistema decimal cuenta 32 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 7 en 7 y responde:
a) ¿Cuántos grupitos se formaron?
b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?
c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?
d) En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?
03. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 50 321(8)
04. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:
a) 2011(5) b) 754(9)
06. Representa el numeral 237(9) en el sistema decimal.
07. Representa el numeral 1010010(2) en el sistema ternario.
08. Inventa un ejercicio, dando un numeral en un sistema diferente al decimal y luego representarlo
en otro sistema diferente también al decimal.
TEORÍA DE LA
§
1. Determinar cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad.
2. Determinar el residuo de dividir un número entre otro, sin efectuar la operación.
3. Resolver una ecuación con más de dos variables donde todos los valores desconocidos son
números enteros (Ecuación diofántica).
4. Determinar la cantidad de múltiplos de un número que cumplen determinada condición, aplicando
criterios de conjuntos.
5. Resolver diversos tipos de problemas aplicando criterios de divisibilidad.
MOTIVACIÓN:

Parece un problema mal planteado cuando intentamos solucionar estas situaciones:
- Hallar el residuo que resulta de dividir 23 452 428 324 122 333 entre 13.
- En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son
casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron.
Pero,....... tienen solución.
CONTENIDOS TEÓRICOS
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
Definición.- Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser
divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad.
NÚMEROS DIVISIBLES ENTRE SI.-
Se dice que un número A es divisible entre otro número B cuando el residuo de dividir A entre B es
CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A.
MULTIPLO.-
Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto y entero de veces.
Representación:
Si N es múltiplo de n.; N = múlt. de n; N =
0
n ; N = m x n , si m es entero.
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar dicho número por un número entero.
DIVISOR , FACTOR O SUBMÚLTIPLO.-
Se dice que un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto y entero de
veces.
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:
01. Operaciones entre múltiplos
a) n n n
o o o
+ =
Ejm: 36 + 45 = 81
↓ ↓ ↓
ooo
999 =+
b) n n n
o o o
− =
Ejm : 72 - 16 = 56
↓ ↓ ↓
ooo
888 =−
c) nxk n
o o
=
Ejm : 48 x 5 = 240
↓ ↓ ↓
oo
x 656 =
d) n n
o
k
o




 =
Ejm : 64
= 1296
↓ ↓
3 3
4o o




 =
02.Los Números no Múltiplos :
a) División Inexacta por Defecto :
D d
r q
D = d + r
b) División Inexacta por exceso :

D d
r´ q´
D = d - r´
Ejemplo : Ejemplo :
61 9
7 6
61 = 9 + 7
61 9
2 7
61 = 9 -2
03.
N = a
N = b
N = a + r
N = b +r5
N = MCM(a, b)
N = MCM(a, b) + r
Ejemplos :
N = 8
N = 12
N = 20 + 5
N = 32 + 5
N = MCM(8,12) = 24
N = MCM(20,30b) +5 = 60 + 5
04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES:
Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no
admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible
por dicho módulo.
Ejemplo 1: 8n = 9 ⇒ n = 9
Ejemplo 2: 21.b = 35
(7x3) b = 7x 5 x K
3 b = 5
b = 5
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON:
(a + b ) K
=
0
a + b K
;
(a – b) K
=
0
a + bK
; si “K” es par y
(a – b) K
=
0
a – bK
, si “K” es impar.
Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 4365 43
entre 8.
Resolución:
4365 43
=
0
8 + r
(
0
8 + 5 )43
=
0
8 + r
0
8 + 543
=
0
8 + r
0
8 + (52
)21
. 5 =
0
8 + r
0
8 + (
0
8 + 1) 21
.5 =
0
8 + r
0
8 + (
0
8 + 1 ) . 5 =
0
8 + r
0
8 + 5 =
0
8 + r
5 = r.
El residuo es 5.
RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de
las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m".

Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5.
Solución:
30
= 5 + 1
31
= 5 + 3
32
= 5 + 4 g = 4
33
= 5 + 2
34
= 5 + 1
35
= 5 + 3
36
= 5 + 4
37
= 5 + 2
"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una
potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia
tomada".
GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo.
En el ejemplo anterior: g = 4.
Se tiene en general:
0
5 + 1 ⇔ E =
0
4
3E
=
0
5 + 3 ⇔ E =
0
4 + 1
0
5 + 4 ⇔ E =
0
4 + 2
0
5 + 2 ⇔ E =
0
4 + 3
Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001
entre 5.
340001
=
0
5 + r
34+1
=
0
5 + r
0
5 + 3 =
0
5 + r
Por tanto : r = 3
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números
enteros.
Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros:
4x + 7y = 225
Resolución: Criterio: Divisibilidad por 4
4x + 7y = 225
0
4 + (4+3)y =
0
4 + 1
3y =
0
4 + 1
3y - 1 =
0
4
3y - 1 - 8 =
0
4 -
0
4
3 ( y - 3 ) =
0
4
y - 3 =
0
4
y =
0
4 + 3 Luego y = 3
Reemplazando en la ecuación inicial:
X = 51
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par.
12; 28; 36; 456; 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número par.
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número
múltiplo de 3.
Ejemplos:
12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3 .
234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9

5775 es divisible por 3 pues 5+7+7+5 = 24.
3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos última cifras
es múltiplo de 4 o son “ceros”.
112; 128; 12300; 456; 24680; 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son
múltiplos de 4.
4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0.
35; 125; 1230; 455; 12345; 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.
5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas
cifras es múltiplo de 25 ó 00.
Ejemplos:
325; 125; 475; 123450; 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas
cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”.
6. Divisibilidad por 7: número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se
multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la
suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.
Si
o
hgfedcba 7
)()()(
13213213
=
+−+
↓↓↓↓↓↓↓↓

entonces
(h + 3g + 2f) –(e + 3d + 2c) + (b + 3a) =
o
7
OTRA FORMA:
Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así
sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7.
Ejemplos:
1582 es divisible por 7 pues:
Separamos la ultima cifra 2 y le restamos el doble
158 - 2(2) = 154; hacemos lo mismo:
15 - 2(4) = 7; y como 7 es divisible por 7; entonces 1582 es divisible por 7.
7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número
múltiplo de 9.
72 es divisible por 9 pues 7+2=9.
234 es divisible por 9 pues 2+3+4 = 9.
5445 es divisible por 9 pues 5+4+4+5=18.
8. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de
orden impar y la de orden par es múltiplo de 11.
Es decir:
Sea N = a b c d e f; es divisible por 11 sí
a b c d e f
Suma de cifras de orden par: a + c + e
Suma de cifras de orden impar: b + d + f
luego se tiene:
(a + c + e) – (b + d + f) =
0
11
123 464 es divisible por 11 pues:
1 2 3 4 6 4 ⇒ (1+3+5) - (2+4+4) = 0
72567 es divisible por 11; pues:
(7+5+7) - (2+6) = 11.
9. Divisibilidad por 13: Un número es divisible por 13 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se
multiplique por los factores: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la
suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 13.

Si

o
hgfedcba 13
13413413
)()()(
=
↓↓↓↓↓↓↓↓
−+−

entonces
h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) - 3a =
o
13
OTRA FORMA
Un número es divisible por 13 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 9 así
sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 13.
* 91 es divisible por 13 pues 9 - 9(1) = 0.
* 2665 es divisible por 13 pues:
Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda:
22 - 9(1) = 13; y como 13 es divisible por 13; entonces 2665 es divisible por 13.
10. Divisibilidad por 17: Un número es divisible por 17 si al número se le quita y resta la última
cifra multiplicado por 5 así sucesivamente y al final se debe de obtener 0 ó un divisible de 17.
* 51 es divisible por 17 pues 5 - 5(1) = 0.
* 2465 es divisible por 17 pues:
Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda:
22 - 5(1) = 17; y como 17 es divisible por17; entonces 2 465 es divisible por 17
PRÁCTICA DE CLASE
I. Actividad: Debes desarrollar en tu cuaderno.
01. Responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es múltiplo de un número?.
b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número?.
c) ¿Por qué se dice que 18 es múltiplo de 9?.
d) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de cada número natural?.
e) ¿Qué nombre reciben los múltiplos de 2?. ¿Y los que no lo son?.
f) ¿Qué es divisor de un número?.
g) ¿Cuántos divisores tiene un número natural?.
h) ¿Cuál es el mayor divisor de un número distinto de cero?.
02. Halle usted todos los factores o divisores de :
a) 10 b) 18 c) 35 d) 17 e) 60
03. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:
a) 30 es múltiplo de 3. ( )
b) 28 es múltiplo de 6. ( )
c) 0 es múltiplo de 7. ( )
d) 308 es múltiplo de 4. ( )
e) 111 es divisible por 3. ( )
f) 1050 es divisible por 125. ( )
g) 4 + 6 es un número par. ( )
h) 15 – 11 es un número impar. ( )
04. Halle usted:
a) El conjunto de todos los múltiplos de 7 menores de 100.
b) El conjunto de todos los múltiplos de 14 menores que 125.
c) El conjunto de todos los múltiplos de 2 elevada al exponente 3.
d) Pruebe usted que la suma de tres números naturales consecutivos es siempre divisible
por 3.
e) ¿Cuál es la intersección del conjunto de los números pares y el conjunto de los números
impares?.
f) Pruebe usted que la suma de dos números impares es un número par.
05. Responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es la divisibilidad?
b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?.
c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué?
d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?.
06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee
“es divisible por”)

2 3 4 5 6 7 8 9 11
18
21
33
25
17
125
485
521
127
130
333
07. Conteste lo siguiente:
a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5?
b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un
número divisible por 3; 4 y 11?
c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un número divisible
por 2; 4; 5 y 11.
d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un número
divisible por 9?
e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea
divisible por 8?
08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080;453 y 2346.
Indica lo siguiente:
a) ¿Cuáles son divisibles por 2?
b) ¿Cuáles son divisibles por 7?
c) ¿Cuáles son divisibles por 11?
d) ¿Cuántos son divisibles por 5?
e) ¿Cuántos son divisibles por 8?
09. Desarrolle los siguientes planteamientos:
a) Determinar una pareja (a; b) si: 80ab2 es múltiplo de 72.
b) Determinar una pareja (a; b) si: 4b96a es múltiplo de 12.
10. .¿Cuál es el residuo de dividir 260
entre 7?
a) 1 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A
11 .¿Cuál es el residuo de dividir 250
entre 17 ?
a) 4 b) 13 c) 8 d) 15 e) N.A
12. ¿Cuál es el residuo de dividir 370
entre 7?
a) 4 b) 2 c) 5 d) 1 e) N.A
13. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir: 2 3K+1
+ 2 6K+4
+ 23
entre 7.?
14. Hallar el residuo que resula de dividir 155 154
entre 8.
15. ¿Cuántos númerales de dos cifras son múltiplos de 8 y terminan en 6?.
16. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 terminan en 3?.
17. ¿Cuántos números de 5 cifras son tales que son 23 + 5 y terminan en la cifra tres .
a)300 b)400 c)391 d)541 e)NA
18. ¿Cuántos números 17 + 4 de cinco cifras terminan en la cifra 2 ?.
a)529 b)625 c)534 d)300 e)NA
19. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea
igual a la suma de las laterales .
a)7 b)45 c)8 d)9 e)NA
20. Cual es el menor numero de tres cifras, múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser
dividido por 3 u 11?
a)130 b)133 c)150 d)145 e)NA
21. Compre vacas a $ 45 000, cada una y caballos a $ 52 000 cada uno. Si en total gaste $ 939
000. Hallar la diferencia entre el numero de vacas y de caballos que compre .
a) 5 b) 6 c) 10 d) 9 e) NA
22. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente . Si el gasto fue de $ 123 en total.
Determinar la suma del números de panetones mas el de tortas, si el producto de estos
números es lo máximo posible.

a) 10 b) 35 c) 24 d) 26 e) NA
23. Compre vacas, cerdos y ovejas que cuestan: s/.70 000, s/.50 000, s/.30000,
respectivamente, gastando en total s/. 1 290 000. Si compré doble numero de cerdos que
ovejas. ¿Cuántos animales compré en total?
a) 23 b) 28 c) 30 d) 25 e) NA
24. Se han comprado botellas de vino: 7 cajas de 18 botellas a s/.50 por botella, 1 caja de 13
botellas a S/.300 por botella, también por lo menos una caja de 19 botellas a S/.100 por
botella y cajas (por lo menos una) de 10 botellas a S/. 290 por botella; si por todo se pago
S/. 42 000. ¿Cuantas cajas del ultimo grupo se compraron ?
a) 10 b) 15 c) 9 d) 12 e) NA
25. María va al mercado con S/. 22,590, compra papayas a 770 soles cada una, naranjas a 910
soles cada una y manzanas a 1430 soles cada una . Si compra la mayor cantidad posible de
manzanas; cuantas frutas compro en total, si gasto todo su dinero .
a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) NA
01. La suma: baab + es siempre divisible por:
a) 1 y 9 b) 1 y 11 c) 2 y 8 d) 1 y 99 e) N.a.
02. La diferencia: baab − es siempre divisible por:
a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11 d) sólo 9 e) N.a.
03. La diferencia: cbaabc − es siempre divisible por:
I) 2 II) 3 III) 1 IV) 9 V) 11 VI) 7
Son ciertas:
a) sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI c) sólo II, III y V
d) todas excepto I y Vi e) Todas
04. El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de:
a) 1; 2; 3 y 4 b) 2; 3; 4; 5 y 6 c) 1; 2; 3; y 6 d) 2 y 5 e) 1; 3; 7 y 11
05. El número de la forma )a2()b3(a es siempre divisible por:
a) 1; 2; 3 y 4 b) 1; 2; 3 y 5 c) 1; 2; 3 y 6 d) 1; 2; 3; 4; 6 e) N.a.
06. La suma de: ,babba)a2(ab ++ siempre el divisible por:
a) 1 y 7 b) 1 y 5 c) 1 y 6 c) 1; 2 y 11 e) N.a.
07. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles
respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles?. ¿Qué artículos puedo
comprar?
a) A, B y C b) A, B y D c) B, C y D d) B, D y E e) N.a.
08. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay entre 100 y 755?
a) 20 b) 13 c) 50 d) 51 e) 60
09. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450?
a) 19 b) 21 c) 20 d) 32 e) 33
10. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 200 y 1300 terminan en cifra 8?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
TAREA DOMICILIARIA
01. El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por:
02. El número de la forma )a4()a3( es siempre divisible por:
03. ¿Cuál es le valor de "a" para que a3253 sea divisible por 8?
04. Hallar el mayor valor de "a" para que 5a2a3 sea divisible por 3.
05. Hallar "x" en: °= 7969x2
1. Dado un número determinar si es primo o compuesto.
TEORÍA DE LOS

2. Determinar cuántos y cuales son los divisores de un número, así como la suma, suma de
inversas y producto de los mismos.
3. Determinar la descomposición canónica de un número.
4. Resuelve correctamente ejercicios y problemas referidos a los divisores de un número natural.
II. Procedimientos:
A. Motivación:
Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos
constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron
rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual ERATOSTENES construyó su
famosa criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales.
Considerando el campo de los números enteros positivos se clasificará de acuerdo a la cantidad
de divisores del siguiente modo.
NÚMERO PRIMO
Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.
2 ; 3 ; . . . . ; P1
2
1
P
1
3
P : número primo (# primo absoluto)
Tabla de Números Primos Menores que 200
2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 179 181 191 193 197 199
Observación
1. No existe fórmula para hallar todos los números primos.
2. La serie de los números primos es ilimitada, osea que por más grande que sea un número primo,
siempre hay otro número primo mayor. (Euclides, Elementos, IX-20)
3. Si “P” es un número mayor que 2.
P = 14 ±
o
4. Si “P” es un número primo mayor que 3.
P = 16 ±
o
5. Número simple: 1, 2, 3, 5, .......
Números primos.
6. Número compuesto: Es aquel número que tiene más de 2 divisores.
Ejemplo: 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . .
6 → 1 ; 2 ; 3 ; 6 ;
Divisores
(6 posee 4 divisores)
7. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los
factores.
Números primos relativos o primos entre si (PESI)
Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo 1
Número Divisores
10 1 ; 2 ; 5 ; 10
21 1 ; 3 ; 7 ; 21
∴ 10 y 21 son PESI
Generalización del Teorema de Arquímedes
Todo número que divide a un producto de varios factores y es primo con todos ellos menos uno, divide
a éste.
Ejemplo
11 x 17 x 19 x 4 . N =
o
3
⇔ N =
o
3

Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2)
Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser
primos entre sí.
Ejemplo 1: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2 ?
Solución:
8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8
9 : 1 ; 3 ; 9
Observación
A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.
B. Dos números impares consecutivos también son PESI
CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NÚMERO ENTERO ES PRIMO
Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:
a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto.
b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación
c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.
d. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo.
Ejemplo 1: ¿Es 853 número primo?
Solución
a) 853 ≅ 29 , . . .
b) Los números primos menores que: 29 , . . .
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29
c) Cómo 853 no es divisible por ninguno de estos números entonces podemos afirmar que es un
número primo.
REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
a) Se descompone el número en factores primos.
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del
primer factor primo.
c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.
d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor
y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado.
Tabla de divisores de 240
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48 x3
5 10 20 40 80 x5
15 30 60 120 240 3x5
* 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).
Ejemplo:
24 → 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
La Divisores Divisores
Unidad Primos Compuestos
D (24) = 8 DP = 2 DC = 5
Número de Divisores Divisores
divisores de 24 Primos compuestos
⇒ 81521DDD CP24 =++=++=
Sea “N” un número compuesto.
1DDD CP(N) ++=
DESCOMPOSICION CANONICA
(Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss)
Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus
factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única.
Sea “N” el número compuesto.
N = Aα
x Bβ
x Cθ
A, B, C → factores primos.
α, β, θ → Exponentes (números enteros positivos)

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
I. Cantidad de divisores [D(N)]
El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores
primos aumentados en 1.
D(N) = (α + 1) (β + 1) (θ + 1)
Ejemplo:
720 = 24
x 32
x 51
D(720) = (4+1)(2+1)(1+1)
D(720) = 5 x 3 x 2 = 30
II. Suma de divisores [SD(N)]
1C
1C
x
1B
1B
x
1A
1A
SD
111
(N)
−
−
−
−
−
−
=
+θ+β+α
Ejemplo:
240 = 24
x 3 x 5
744
1-5
1-5
x
1-3
1-3
x
1-2
1-2
SD
111114
(240) ==
+++
SD(240) = 744
Importante:
Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto.
Ejemplo:
9 → 1 , 3 , 9 ; D(9) = 3.
Divisores
36 → 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; D(36) = 9
Divisores
III. Suma de las inversas de los divisores [SID(N)]
N
SD
SID
)N(
)N( =
Ejemplo:
600
1
300
1
...
3
1
2
1
1
1
SID(600) +++++=
600
SD
600
12...300600
SID
)600(
(600) =
++++
=
∴
600
SD
SID
)600(
)600( =
IV. Producto de divisores de un número [PD(N)]
2
D
D
(N)
(N)
(N)
NNPD ==
Ejemplo:
D(720) = 30
152
D
(720) 720720PD
(720)
==
∴ 15
(720) 720PD =
DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE UN NUMERO
Consideraciones:
0! = 1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
 
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n
Ejemplo:
Hallar la descomposición canónica de 20!.
Solución:
20! = 1 x 2 x 3 x . . . x 19 x 20
20! = 2α
x 3β
x 5θ
x 7γ
x 11 x 13 x 17 x 19
Cálculo de α :
20 2
1
10
5
2
2
22cocientes
α= 10 + 5 + 2 + 1
= 18α
Cálculo de β :
20 3
6
2
3
β = 6 + 2 = 8
= 8β
Cálculo de θ :
20 5
4
= 4θ
Cálculo de γ :
20 7
2
= 2γ
Reemplazando:
20! = 218
x 38
x 54
x 72
x 11 x 13 x 17 x 19
PRÁCTICA DE CLASE
1. Indicar todos los divisores de 1260.
2. Determine cuántos y cuáles son los divisores de 72.
3. Para el número 1440, determine ¿Cuántos divisores tiene?; ¿Cuántos son compuestos?; ¿Cuántos
son primos?; ¿Es perfecto, defectuoso o abundante?.
4. Para los números: 60 y 496, determine:
a) El número de divisores primos.
b) El número de divisores compuestos
c) El número de divisores.
d) La suma de todos sus divisores.
e) La suma de sus divisores compuestos.
f) La suma de las inversas de sus divisores
g) El producto de los divisores.
5. Dado el número 315 000, determine:
a) El número de divisores.
b) El número de divisores pares.
c) El número de divisores impares.
d) El número de divisores múltiplos de 3.
e) El número de divisores múltiplos de 21.
f) El número de divisores que terminan en cero.
6. En la descomposición canónica de 240!, hallar el exponente de 7
7. ¿En cuántos ceros termina 180! ?
8. Hallar el valor de K, si: 25 x 15K
tiene 24 divisores.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A
9. Hallar la suma de los dígitos del menor número impar "N" que tiene cuatro factores primos y tiene
24 divisores positivos.
a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) N.A
10. Si el número: N=25
.3x
.5x
; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x".
a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) N.A
11. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean múltiplos de 3.

a) 24 b) 45 c) 18 d) 36 e) N.A
12. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6.
a) 432 b) 528 c) 682 d) 316 e) N.A
13. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A
14. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 8 el número 300 para que el resultado tenga 126
divisores?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A
15. Si 12x
tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x".
a) 5 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A
16. ¿Cuántos ceros debe tener:
N = 20guatda.com/cmx.p000...000
Para que el resultado tenga 56 divisores?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A
17. Si N= 13k+2
- 13k
tiene 75 divisores compuestos. Hallar "k".
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.A
18. Sabiendo que : 12 x 30n
tiene el doble de la cantidad de divisores que 12n
x 30. Hallar el valor de
"n".
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A
19. ¿Cuántos número de la forma aaa tienen 8 divisores?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A
20. ¿Cuántos ceros debe tener: 300 ……. 0; Para que admita 288 divisores ?
a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A
21. Descomponer polinómicamente cada número:
a) 2000 b) 5200 c) 7200
22. Descomponer canónicamente 420 e indicar los factores primos.
23. Descomponer canónicamente 770 e indicar los factores.
24. Determinar el número de divisores de 720.
25. ¿Cuántos divisores tiene B = 152
× 483
.

26. Si A = 153
× 482
B = 122
× 30
¿Cuántos divisores tiene:
B
A
?
27. ¿Cuál es el producto de los divisores de 400?
28. ¿Cuál es la suma de las inversas de los divisores de 1080?
29. ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene 480?
30. ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene 7200?
01. Si: A = 202
× 453
y B = 123
× 302
, ¿Cuántos divisores tiene A × B?
a) 1248 b) 624 c) 720 d) 814 e) N.a.
02. Calcular la suma de todos los números primos que existen entre 30 y 50.
a) 142 b) 199 c) 172 d) 184 e) 190
03. Hallar el valor de "x" para que el número A = 10 × 12x
, tenga 36 divisores.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
04. ¿Cuántas veces debemos multiplicar 5 al número 12, para que el producto tenga 24 divisores?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
05. ¿Cuál es el menor número que tenga 6 divisores?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
06. Un número tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si éste número tiene 20 divisores y es el menor
posible, ¿cuál es la suma de sus cifras?
a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 4
07. ¿Cuantos divisores de 540 son múltiplos de 2?
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 15
08. ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 10?
a) 14 b) 16 c) 18 d) 13 e) 11
09. ¿Cuántos divisores de 640 no son múltiplo de 20?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9
10. Si: A = 122
× 303
y B = 15 × 202
. ¿Cuántos divisores tiene A/B?
a) 10 b) 12 c) 16 d) 19 e) 20
11. Si: N = 50 × 722
y M = 152
× 203
. ¿Cuántos divisores tiene
M
N3
?
a) 320 b) 408 c) 352 d) 145 e) N.a.

12. Si: A = 20 × 483
y B = 15 × 302
. ¿Cuántos divisores de A × B son múltiplos de 1000?
a) 172 b) 210 c) 98 d) 108 e) 196
TAREA DOMICILIARIA
01. Descomponer crónicamente cada número:
a) 7040 b) 8100
02. Descomponer polinómicamente 630 y calcular sus divisores.
03. Descomponer canónicamente 1080 e indicar el número de divisores.
04. Descomponer polinómicamente el número 5040; e indicar:
a) Todos sus divisores. b) Sus divisores primos
c) El número de divisores d) El producto de sus divisores
e) La suma de sus divisores f) La suma de las inversas de sus divisores.
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01. D D A E E D C B B A
02. E D B D B A C A A B
03. B E C D C D D B D C
04. E A E D A B B C C D
05. B C C B E B A E C D
06. C A D A E C C C A A
07. D D E B A B D E D C
08. A B B D A E A A D B
09. C D B E D D C E B A
10. D A C A C D B C A E
11. B A C
12. C D E
13. A A
14. B C
15. C E
16. A B
17. A B
18. C E
19. D A
20. B E
21. E
22. B
23. C
24. C
25. A
26. C
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Matematica 1ºb

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