Matriz
- 1. Matriz Elementode una matriz Cada unode losnúmerosde que constala matrizse denominaelemento.Unelementose distingue de otroporla posiciónque ocupa,esdecir,lafilay lacolumnaa la que pertenece. Tipos de matrices Matriz fila: Una matrizfilaestáconstituidaporuna solafila. Matriz columna: La matrizcolumnatiene unasolacolumna Matriz nula: En una matriznulatodos loselementossonceros. Matriz cuadrada: La matrizcuadrada tiene el mismonúmerode filasque de columnas.Los elementosde laforma ai i constituyenladiagonal principal.Ladiagonal secundarialaformanloselementoscon i+j= n+1, siendonel
- 2. ordende la matriz. Las matricescuadradasson lasmás utilizadasenálgebra. Todamatrizcuadradase puede descomponerenlasumade una matrizsimétricayuna matrizantisimétrica.Si Ay B son matricesdel mismo orden,entoncesse puedensumarentre sí.Losproductosde matricessonválidosenambossentidos, ABy BA. Además,surgenlosconceptosde determinanteytrazasoloaplicablesamatricescuadradas.Una matriz cuadrada A de orden nes singularsi sudeterminante esnulo.Ental casose dice que dichamatrizno tiene inversa. Tipos de matrices cuadradas: Matriz triangular: En álgebralineal,unamatriztriangularesuntipoespecial de matrizcuadradacuyoselementos por encimao pordebajode su diagonal principal soncero.Debidoaque lossistemasde ecuacioneslinealescon matricestriangularessonmuchomásfácilesde resolver,lasmatricestriangularessonutilizadasenanálisis numéricopararesolversistemasde ecuacioneslineales,calcularinversasydeterminantesde matrices.El método de descomposición LUpermitedescomponercualquiermatrizinvertible comoproductode unamatriztriangular inferiorLy una superiorU. Propiedadesde las matrices triangulares Una matriz triangularsuperiore inferiorsiempre diagonalizaenunabase de vectorespropios (matriz diagonal). El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior). La transpuestade unamatriztriangularsuperioresunamatriztriangularinferioryviceversa. El determinantede unamatriztriangularesel productode loselementosde ladiagonal. Una matriz triangularesinvertible si ysolosi todosloselementosde ladiagonal sonnonulos.Eneste caso, lainversade una matriztriangularsuperior(inferior) esotramatrizsuperior(inferior). Los valorespropiosde unamatriztriangularsonloselementosde ladiagonal principal. Matriz triangular superior: En una matriztriangularsuperiorloselementossituadospordebajode ladiagonal principal sonceros. Matriz triangular inferior:En una matriztriangularinferiorloselementossituadospor encimade ladiagonal principal sonceros. Matriz diagonal: En una matrizdiagonal todosloselementosque noestánsituadosenladiagonal principal son nulos. Todamatrizdiagonal estambiénunamatrizsimétrica,triangular(superiore inferior) y(si lasentradas
- 3. provienendel cuerpo RoC) normal.Otroejemplode matrizdiagonal eslamatrizidentidad. Lasoperacionesde suma yproducto de matricessonespecialmentesencillasparamatricesdiagonales. Lasmatricesdiagonales tienenlugarenmuchasáreasdel álgebralineal.Debidoalasencillezde lasoperacionesconmatricesdiagonalesy el cálculode su determinanteyde susvaloresyvectorespropios,siempreesdeseablerepresentarunamatriz dada o transformaciónlinealcomounamatrizdiagonal. De hecho,unamatrizdada de n×n essimilarauna matrizdiagonal si y sólosi tiene nautovectoreslinealmente independientes.Talesmatricesse dicendiagonalizables. Enel cuerpode losnúmerosrealesocomplejosexisten más propiedades:todamatriznormal essimilarauna matrizdiagonal (véase teoremaespectral) ytodamatrizes equivalente aunamatrizdiagonal conentradasno negativas. Matriz escalar: Una matrizescalaresuna matrizdiagonal enla que loselementosde ladiagonal principalson iguales. Matriz simétrica: Una matrizsimétricaesunamatriz cuadrada que verifica:A= At. Esta tiene lacaracterística de serigual a su traspuesta. Uno de losteoremasbásicosque concierne este tipode matricesesel teoremaespectral de dimensiónfinita,que dice que todamatrizsimétricacuyoselementosseanrealesesdiagonalizable.En particular,essemejante aunamatrizortogonal. Comolasmatricessimétricassonuncaso particularde las matriceshermíticas,todossusautovaloressonreales.
- 4. Con base enlaspropiedadesde los autovalores de unamatrizsimétrica,se puedenclasificarenlossiguientestipos: definidapositiva: si ysolosi todos sus autovalores sonestrictamente positivos. definidanegativa: si ysolosi todossus autovalores sonestrictamentenegativos. semidefinidapositiva: si ysolosi todossus autovalores sonmayoresoigualesacero. semidefinidanegativa: si ysolosi todossus autovalores sonmenoresoigualesacero. indefinida:si ysolosi tiene dos autovalores condistintosigno. Matriz traspuesta: Dada una matrizA, se llamamatriztraspuestade A a la matrizque se obtiene cambiando ordenadamente lasfilasporlascolumnas. La transpuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz transpuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la transpuesta de una transpuesta es la matriz original, (AT )T = A. (At )t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matricesde ordenm x n es otra matrizdimensiónmx n. Asociativa: A + (B + C) = (A+ B) + C Elementoneutro:A + 0 = A Donde O esla matriznulade lamismadimensiónque lamatriz A. Elementoopuesto:A + (−A) = O La matrizopuestaesaquellaenque todosloselementosestáncambiadosde signo. Conmutativa: A + B = B + A https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas) http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonal https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica