Maxima_verosimilitud FINAL econometria.docx
- 1. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS PROGRAMA DE ECONOMÍA MAXIMA VEROSIMILITUD ECONOMETRIA GRUPO 1 ANA GABRIELA OROZCO CARDENAS UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO 2024
- 2. Máxima verosimilitud (MV) El método de máxima verosimilitud es una técnica estadística usada para estimar los parámetros de un modelo basado en datos observados. La idea central es encontrar los valores de los parámetros que maximicen la probabilidad de que se observe el conjunto de datos dado el modelo. Si tienes un conjunto de datos X={x1, x2,…, xn} y un modelo con parámetros θ=(θ1,θ2,…,θn), defines la función de verosimilitud L(θ) como la probabilidad conjunta de observar esos datos bajo el modelo. Para datos independientes, la función de verosimilitud se expresa como: L(θ)=∏ i=1 n f (xi ∣θ) Donde f (xi ∣θ) es la función de densidad (para datos continuos) o de probabilidad (para datos discretos) de cada observación, dada θ. Las propiedades de los logaritmos nos permiten expresar la multiplicación anterior como el sumatorio de logaritmos naturales aplicados a las funciones de densidad. Para simplificar cálculos, se trabaja con log-verosimilitud lnL(θ)=ln L(θ), que convierte el producto en una suma: lnL(θ)=∑ i=1 n En f (xi ∣θ) Los valores de θ que maximizan lnL(θ) son los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros. Esto se logra derivando lnL(θ) respecto a cada parámetro y resolviendo las ecuaciones resultantes: ∂lnL (θ) ∂θ =0
- 3. Los estimadores de máxima verosimilitud son los parámetros que hacen que los datos observados sean “más probables” bajo el modelo. Es decir, son los valores que mejor ajustan el modelo a los datos observados. Caso discreto -Supongamos que tenemos una m.a.s.(X 1,..., Xn)de una v.a. discreta con distribución P(x∨θ) conocida salvo por los parámetros θ -Una vez realizada la muestra tenemos (x1,...,xn) y estamos interesados en encontrar un estimador ˆθ del parámetro θ que maximice la probabilidad de la muestra. - Para una muestra dada, la función de probabilidad de la muestra es P( X1=x1,..., Xn=xn)=Qn i=1P(Xi=xi)=Qni=1P(xi∨θ)=l(θ∨(x 1,..., xn))≡l(θ) y la denominaremos función de verosimilitud. Caso continuo - Supongamos ahora que tenemos una m.a.s (X 1,..., Xn) de una v.a. continua con función de densidad f ¿ conocida salvo por los parámetros θ - Una vez realizada la muestra tenemos (x1,...,xn)y estamos interesados en encontrar un estimador ˆθ del parámetro θ que maximice la función de densidad conjunta de la muestra. - Para una muestra dada, la función de densidad conjunta de la muestra es f (x1,..., xn)=Qni=1fXi(xi)=Qni=1f ( xi∨θ)=l(θ∨(x 1,...,xn))≡l(θ) y la denominaremos función de verosimilitud. Propiedades Así, el método de máxima verosimilitud consistirá en encontrar el valor ˆθ que maximiza la función de verosimilitud l(θ), que coincide con el valor ˆθ que maximiza log l(θ) El estimador de máxima verosimilitud ˆθMV se calcula igualando la primera derivada de log l(θ) a 0 y comprobando que la segunda derivada en sus soluciones es negativa. El estimador de máxima verosimilitud ˆθmv tiene, bajo ciertas condiciones generales, las siguientes propiedades: · es asintóticamente centrado: a medida que crece el tamaño muestral el sesgo tiende a cero.
- 4. · sigue asintóticamente una distribución normal con media θ y varianza −1(logl(θ))' ' . · es un estimador asintóticamente eficiente: el de todos los estimadores asintóticamente centrados, el de máxima verosimilitud tiene menor varianza · es invariante: si ˆθmv es el estimador de máxima verosimilitud de θ, entonces g(ˆθmv) será el estimador de máxima verosimilitud de h(θ), para cualquier función h continua y biyectiva. Aplicación Al igual que otros métodos, la MV se basa en la iteración (repetición). Es decir, repetir una operación determinada tantas veces como requiera para encontrar el valor máximo o mínimo de una función. Este proceso puede estar sujeto a restricciones en los valores finales de los parámetros. Por ejemplo, que el resultado sea superior o igual a cero o que la suma de dos parámetros tiene que ser inferior a uno. Ejemplo en R Ejemplo tomado de Estimación máximo verosímil en R Carlos René Flores Mendive. Ejemplo verosimilitud uniforme: Primero veamos el siguiente ejemplo en donde se genera una muestra aleatoria de una distribución uniforme y se grafica la verosimilitud. El comando set.seed se usa para obtener siempre la misma muestra. El comando runif genera una muestra aleatoria de Unif (0,θ=4)
- 5. Recordando que la verosimilitud de una muestra aleatoria de tamaño n de Unif (0,θ)es L(θ∨x)=1θn∗1(0,∞)(x(1))∗1(−∞ ,θ)( x(n)) declaramos esta función en R y graficamos. Al declarar la función de verosimilitud en el siguiente código notamos que se multiplica por el valor lógico (t >max( y)) lo cual hará la función de 1(−∞,θ)(x(n)). En este caso conocemos explícitamente el estimador máximo verosímil que es igual a la máxima estadística de orden, el cual está señalado con la línea verde.