Maximos minimos-lagrange-121118105935-phpapp01
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El documento presenta la resolución de varios problemas de cálculo. En el primer problema se buscan los valores máximos y mínimos de una función en un conjunto dado, encontrando un máximo local en (2,3) y mínimos locales en (0,0) y (4,0). En el segundo problema se determina el volumen máximo de una caja rectangular dada ciertas restricciones, resultando en un volumen de 2√2/3 unidades cúbicas. En el tercer problema se encuentran los valores extremos de una función en una región delimitada, siendo dos máximos
![Entonces: =
Si = en (4):
2 = $
En (5):
2 + 2$ = 2
+ $ = 1
$ = 1 −
Igualando:
2 = 1 −
2 + − 1 = 0
2 E +
1
2
−
1
2
F = 0
+
1
2
−
1
2
= 0
+
1
2
+ E
1
4
F ] −
1
2
−
1
16
= 0
E +
1
4
F =
9
16
+
1
4
= ±
3
4
Entonces: = ∨ = −1
Entonces: = ∨ = −1
$ = ∨ $ = 2](https://image.slidesharecdn.com/maximos-minimos-lagrange-121118105935-phpapp01-161129165749/85/Maximos-minimos-lagrange-121118105935-phpapp01-10-320.jpg)
Maximos minimos-lagrange-121118105935-phpapp01
- 1. Sección 11.7; Página 809. 28. Determine los valores máximos y mínimos de f en el conjunto D: , 4 6 , |0 4 , 0 5 Fig. 1. Región D. Se calculan las derivadas parciales de f: , 4 2 , 6 2 Se igualan a cero: 4 2 0 2 4 2
- 2. 6 − 2 = 0 2 = 6 2 = 6 = 3 El único punto crítico de f en D es (2,3) donde 2,3 = 4 2 + 6 3 − 2 − 3 → 2,3 = 13 Ahora se hallan los puntos críticos en las fronteras de D. Para : = 0 y 0 ≤ ≤ 4 ℎ = , 0 = 4 − ℎ = 4 − 2 → 4 − 2 = 0 ↔ 2 = 4 ↔ = 2 Comoℎ = −2 < 0 , 2,0 es un máximo. 2,0 = 4 2 + 6 0 − 2 − 0 = 4 En los extremos de este intervalo: 0,0 = 4 0 + 6 0 − 0 − 0 = 0 4,0 = 4 4 + 6 0 − 4 − 0 = 0 Ambos son mínimos. Para : = 4 y 0 ≤ ≤ 5 ℎ = 4, = 6 − ℎ = 6 − 2 → 6 − 2 = 0 ↔ 2 = 6 ↔ = 3 Comoℎ = −2 < 0 → 4,3 es un máximo. 4,3 = 4 4 + 6 3 − 4 − 3 = 9 En los extremos de este intervalo: 4,0 = 4 4 + 6 0 − 4 − 0 = 0 4,5 = 4 4 + 6 5 − 4 − 5 = 5
- 3. 4,5 es un mínimo. Para ": = 5 y 0 ≤ ≤ 4 ℎ" = , 5 = 4 − + 5 ℎ" = 4 − 2 → 4 − 2 = 0 ↔ 2 = 4 ↔ = 2 Comoℎ" = −2 < 0 → 2,5 es un máximo. 2,5 = 4 2 + 6 5 − 2 − 5 = 9 En los extremos de este intervalo: 0,5 = 4 0 + 6 5 − 0 − 5 = 5 4,5 = 4 4 + 6 5 − 4 − 5 = 5 Ambos son mínimos. Para #: = 0 y 0 ≤ ≤ 5 ℎ# = 0, = 6 − ℎ# = 6 − 2 → 6 − 2 = 0 ↔ 2 = 6 ↔ = 3 Comoℎ# = −2 < 0 → 0,3 es un máximo. 0,3 = 4 0 + 6 3 − 0 − 3 = 9 En los extremos de este intervalo: 0,0 = 4 0 + 6 0 − 0 − 0 = 0 0,5 = 4 0 + 6 5 − 0 − 5 = 5 0,0 es un mínimo. Comparando todos los puntos hallados, se tiene: 2,3 = 13 es el máximo local de f en D. 0,0 = 4,0 = 0 son los mínimos locales de f en D.
- 4. 41. Encuentre el volumen de la caja rectangular más grande que este en el primer octante y que tenga tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano + 2 + 3$ = 6. Como la caja está en el primer octante: > 0 , > 0 , $ > 0. El volumen de la caja es & = $. Se tiene la siguiente restricción: + 2 + 3$ = 6 3$ = 6 − − 2 $ = '( ( " Reemplazando en V: & = ) '( ( " * = ' ( + ( + " Se hallan las derivadas parciales de V: = 1 3 6 − 2 − 2 = 3 6 − 2 − 2 = 1 3 6 − − 4 = 3 6 − − 4 Se igualan a cero las derivadas parciales: = 0 ↔ 3 6 − 2 − 2 = 0 ↔ = 0 ∨ 6 − 2 − 2 = 0 Pero, > 0 → 6 − 2 − 2 = 0 → 2 + 2 = 6 (ec.1) = 0 ↔ 3 6 − − 4 = 0 ↔ = 0 ∨ 6 − − 4 = 0 Pero, > 0 → 6 − − 4 = 0 → + 4 = 6 (ec.2) Si se multiplica (ec.2) por (-2), se tiene:−2 − 8 = −12. Luego se suma con (ec.1), se obtiene: −6 = −6 → = 1
- 5. Se reemplaza este valor en (ec.2): 6 4 4 1 4 6 4 2 El valor de z que corresponde a un máximo es: $ '( ( " '( ( " '(# " " El volumen máximo es: & 2 1 ) " * # " ./012134 5ú70524 Sección 11.8; Página 819. 19. Encuentre los valores extremos de f en la región descrita por la desigualdad. , 3( ; 4 1 Fig. 2. Región 4 1
- 6. Para + 4 < 1 (dentro de la región): = − 3( → − 3( = 0 ↔ = 0 = − 3( → − 3( = 0 ↔ = 0 Punto crítico: 0,0 → 0,0 = 3(8 = 1 Para + 4 = 1 (en la frontera): Se usa el método de los multiplicadores de Lagrange. , = 3( ; 9 , = + 4 − 1 − 3( , − 3( = : 2 , 8 Entonces: − 3( = 2: (1) − 3( = 8: (2) + 4 = 1 (3) De (1) y (2) se sabe que : ≠ 0, ya que si : = 0 → = 0 ∧ = 0, pero de (3) eso es una contradicción. Se divide (1) entre (2): ( =>?@ ( =>?@ = A BA → = # → 4 = Se reemplaza en (3): 4 + 4 = 1 → 8 = 1 → = 1 8 → = ± 1 2√2 Se reemplaza el valor de en (3): + 4 E 1 8 F = 1 → + 1 2 = 1 → = 1 2 → = ± 1 √2 Se tiene: E 1 √2 , 1 2√2 F = 3 () G √+ *) G +√+ * = 3( G H
- 7. E 1 √2 , − 1 2√2 F = 3 () G √+ *)( G +√+ * = 3 G H E− 1 √2 , 1 2√2 F = 3 ()( G √+ *) G +√+ * = 3 G H E− 1 √2 , − 1 2√2 F = 3 ()( G √+ *)( G +√+ * = 3( G H Entonces, el primer y último valor son mínimos, y el segundo y el tercero son máximos. 22. Con base en el ejercicio 21, supongamos ahora que la producción se fija en 7 I J (I = K, donde Q es una constante. ¿Qué valores de L y K minimizan la función costo L , J = M + /J? L , J = M + /J ; 9 , J = 7 I J (I − K ∇L = :∇9 M, / = : 7O I( J (I , 7 1 − O I J(I Entonces: M = :7O I( J (I (1) / = :7 1 − O I J(I (2) 7 I J (I = K (3) De (1): M = :7O PQR PRQ → : = SPRQ TIPQR (4) De (2): / = :7 1 − O PQ RQ → : = URQ T (I PQ (5) Igualando (4) y (5):
- 8. SPRQ TIPQR = URQ T (I PQ → SP IR = U (I Despejando a L: = UIR S (I (6) Reemplazando este valor en (3): 7 E /OJ M 1 − O F I J (I = K Se despeja K: 7 /O I JI VM 1 − O WI J (I = K JI J (I = KVM 1 − O WI 7 /O I J = K 7 X M 1 − O /O Y I Se reemplaza este valor en (6): = /O M 1 − O K 7 X M 1 − O /O Y I = /O M 1 − O K 7 VM 1 − O WI /O I = K 7 /O (IVM 1 − O WI( 39. El plano + + 2$ = 2 cruza el paraboloide $ = + en una elipse. Determine los puntos sobre esta elipse que están más cerca y los que estén más lejos del origen. Se hallan los extremos de la función que representa la distancia de un punto (x, y, z) al origen: 1 = , , $ = + + $ , donde d es la distancia. Esta función está sujeta a dos restricciones:
- 9. 9 , , $ = + − $ ; ℎ , , $ = + + 2$ − 2 ∇ = :∇9 + Z∇ℎ 2 , 2 , 2$ = : 2 , 2 , −1 + Z 1,1,2 Entonces: 2 = 2: + Z (1) 2 = 2: + Z (2) 2$ = −: + 2Z (3) + = $ (4) + + 2$ = 2 (5) Se restan (1) y (2): 2 − 2 = 2: − 2: + Z − Z 2 − = 2: − Si: ≠ → : = 1 Reemplazando en (1): 2 = 2 + Z → Z = 0 De (3): 2$ = −: + 2Z 2$ = −1 + 0 $ = − 1 2 Reemplazando en (4): + = − 1 2 →← Esto es una contradicción.
- 10. Entonces: = Si = en (4): 2 = $ En (5): 2 + 2$ = 2 + $ = 1 $ = 1 − Igualando: 2 = 1 − 2 + − 1 = 0 2 E + 1 2 − 1 2 F = 0 + 1 2 − 1 2 = 0 + 1 2 + E 1 4 F ] − 1 2 − 1 16 = 0 E + 1 4 F = 9 16 + 1 4 = ± 3 4 Entonces: = ∨ = −1 Entonces: = ∨ = −1 $ = ∨ $ = 2
- 11. El punto más cercano es ) , , * : ) , , * = " # El punto más lejano es −1, −1,2 : −1, −1,2 = 6 Repaso: “Revisión de conceptos”. Página 825. 59. Use los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximos y mínimos de f sujetos a las restricciones dadas. , = ; + = 1 2 , = : 2 , 2 2 = 2: (1) = 2: (2) + = 1 (3) Si = 0 → : = 0 → _0 = 0, `ab 3 →← → : = 0 3 3 : = 1 → = ±1 → _3 c03/3: 0, ±1 = 0 De (1): _0 ≠ 0 → = : De (2): _0 = 0 → = 0 ; e3ba 3/ 3 : 0 + 0 = 1 →← Entonces: ≠ 0 → : ≠ 0 Se divide (2) entre (1) y se obtiene: = 2 De (3): 2 + = 1 → 3 = 1 → = ± √" En (3): = 1 − " = " → = ±f" Entonces: gh 2 3 , 1 √3 i = g−h 2 3 , 1 √3 i = 2 3√3 → já 0Ma4
- 12. gh 2 3 , − 1 √3 i = g−h 2 3 , − 1 √3 i = − 2 3√3 → jí/0Ma4 0, ±1 /a 34 ./ Má 0Ma /0 ./ Mí/0Ma. 63. Determine los puntos de la superficie $" = 2 más cercanos al origen. 1 = + + $ = , , $ 9 , , $ = $" − 2 → , , $ ≠ 0 2 , 2 , 2$ = : $" , 2 $" , 3 $ Entonces: 2 = : $" (1) 2 = 2: $" (2) 2$ = 3: $ (3) $" = 2 (4) De (2): 1 = $" : (5) De (3): 1 = 3 $: (6) Se igualan: $" = 3 $ → $ = 3 → = ± $ √3 3 1 , 2 , 3 , 5 6 43 c03/3: : ≠ 0 Se dividen (1) y (3): 2 2$ = : $" 3: $ $ = $ 3 3 = $
- 13. = ± $ √3 Se reemplazan y en (4): ± $ √3 E± $ √3 F $" = 2 ± $ √3 $ 3 $" = 2 → ± $' 3√3 = 2 → $' = ±6√3 → $ = f6√3 o De aquí se concluye que = p √" = q'√" o √" y = ± q'√" o √" .