Metodos numericos capitulo 3

CAPITULO II
II.1. Solución de Ecuaciones Trascendentes y Polinomiales.
Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie de métodos para
encontrar las raíces de una ecuación algebraica o trascendente. Aunque algunas fórmulas
permitían la solución de las ecuaciones de manera directa, habían ecuaciones cuya única
alternativa de solución era una técnica de aproximaciones sucesivas.
II.2. Ecuaciones Trascendentes.
Las ecuaciones trascendentes son aquellas que contienen funciones trigonómetricas,
exponenciales, logarítmicas o de otro tipo no algebraico, por ejemplo:
)2ln(
5
)2cos()( 2
x
x
x
xxf +
+
++=
f(x) = 2x3
+ 6x2
+ exp(Cos(x + 6))
ex
+ e-x
=
)(
2
xCos
II.2.1. Método de Bisecciones Sucesivas.
El método más simple e intuitivo de los métodos de aproximaciones sucesivas para
encontrar una raíz de alguna ecuación se conoce como Bisecciones Sucesivas. Para
utilizarlo es necesario conocer un intervalo [x1, x2] tal que f(x1) f(x2) < 0.

Métodos Numéricos
El método consiste en ir bisectando sucesivamente el intervalo dado y desechando el
extremo derecho o izquierdo según se continúe cumpliendo con la condición dada f(x1) f(x2)
< 0. Esto genera una sucesión {xi} la cual tiene como límite de convergencia a la raíz de la
función. El método, por lo tanto, es iterativo y se puede aproximar a la raíz tanto como se
requiera, según el valor de ε predeterminado (el cual representa el número de decimales de
aproximación). Lo anterior se muestra gráficamente en la Figura II.1.
A continuación se presenta el algoritmo estructurado para este método.
Algoritmo Bisecciones:
Definir f(x)
Leer x1, x2, ε
Repetir
xmed =
2
21 xx +
Si f(x1) f(xmed) < 0 entonces
x2 = xmed
Si_no
x1 = xmed
Fin_si
Hasta |x2 – x1| < ε
raiz =
2
21 xx +
Imprimir raiz
Terminar
16

Métodos Numéricos
Figura II.1. Método de bisecciones sucesivas.
jemplo: Calcular 2E con ε = 0.001 (dos decimales de exactitud).
Sabiendo que el valor de 2 se encuentra entre 1 y 2, tómese [x1, x2] = [1, 2] como el
tervalo a trabajar y tómese f(x) = x2
–2 como la función a trabajar.
ara facilitar de cálculo de
in
2P , se llena una tabla similar a la siguiente:
i x1 x2 |x1 – x2| xmed f(x1) f(xmed)
1 1.0000 2.0000 1.0000 1.5000 - 1.0000 0.2500
2 1.0000 1.5000 0.5000 1.2500 - 1.0000 - 0.4375
3 1.2500 1.5000 0.2500 1.3750 - 0.4375 - 1.1094
4 1.3750 1.5000 0.1250 1.4375 - 0.1094 0.0664
5 1.3750 1.4375 0.0625 1.4063 - 0.1094 - 0.0223
6 1.4063 1.4375 0.0312 1.4219 - 0.0223 0.0218
7 1.4063 1.4219 0.0156 1.4149 - 0.0223 - 0.0003
8 1.4141 1.4219 0.0078 1.4180 - 0.0003 0.0107
9 1.4141 1.4180 0.0040 1.4161 - 0.0003 0.0053
10 1.4141 1.4161 0.0020 1.4151 - 0.0003 0.0025
11 1.4141 1.4151 0.0010 1.4146 - 0.0003 0.0010
12 1.4141 1.4146 0.0005 1.4183 - 0.0003 0.0002
2Así, de los últimos valores de x, = 1.41445
ara la elaboración de la tabla, se procede de la siguiente manera:
( a ) el intervalo dado y el elemento
( b ) (x2) es el límite superior del intervalo. No se
( c ) El ele edio de
P
En la primera fila, el elemento x1 es el límite inferior d
f(x1) es la evaluación de este punto en la función dada
Similarmente, el elemento siguiente
requiere la evaluación en la función.
mento xmed se evalúa por m
2
21 xx +
y f(xmed) es la evaluación de este
( d ) que debe tender a cero, lo cual representa
( e ) E
• si f(x ) f(x ) < 0, x toma el valor de x y f(x ) el de f(x ).
e signo. Esto determina un corte de la función en el eje de las x y por lo tanto
na raíz.
punto en la función dada.
La columna |x1 – x2| representa una sucesión
el criterio de Cauchy para la convergencia.
n las siguiente filas se toma en cuenta que:
• si f(x1) f(xmed) > 0, x1 toma el valor de xmed y f(x1) el de f(xmed).
1 med 2 med 2 med
Para la búsqueda del intervalo a trabajar, cuando no se sabe por donde hay una posible raíz,
evalúe la función para valores de x hasta dar con dos valores consecutivos cuyas funciones
cambien d
u
17

Métodos Numéricos
Con este método es posible encontrar una raíz a una función cualquiera; pero es de notar
que el proceso es tardado debido a que el intervalo se reduce a la mitad en cada paso (esto
es, el intervalo se reduce siempre una cantidad constante). Los siguientes métodos a
estudiar pretenden hacer más rápida la convergencia hacia la raíz con procesos más
fisticados.
o para la búsqueda de información en general; esto se lleva a cabo de la siguiente
anera:
da binaria y forma parte esencial en la
ayoría de los paquetes de software de negocios.
búsqueda, este método resulta apropiado aún cuando para la búsqueda
e raíces no lo sea.
.2.2. Método de Interpolación Inversa o Falsa Posición.
e convergencia a la
íz de la función. Obsérvese esto de manera gráfica en la Figura II.2.
so
Finalmente, se debe hacer notar que este método no es exclusivo para la búsqueda de
raíces, sin
m
Dada una lista ordenada de datos, se puede bisectar la lista y averiguar en cuál mitad se
encuentra el valor buscado, se desecha una mitad y se procede de manera similar en la otra
mitad hasta dar con el dato buscado o determinar que el dato buscado no se encuentra en la
lista. A este método se le conoce como búsque
m
Para este proceso de
d
II
Este es un método alternativo en la búsqueda de raíces para una función. Este método
consiste en trazar una secante entre dos puntos dados, los cuales deben formar un intervalo
que contenga una raíz; el punto [x1, f(x1)] es llamado pivote (se conserva constante) y x1 es
el término de inicio de una sucesión {xi}, la cual tiene como límite d
ra
Figura II.2. Método de falsa posición.
18

Métodos Numéricos
No es una regla establecida pero, en general, este método converge más rápido que el de
on la cual se va a trabajar.
Para encontrar la fórmula generadora de la sucesión se usa la ecuación entre dos puntos y se
obtiene:
bisecciones sucesivas; sin embargo, requiere que se conozcan más datos acerca de la
función c
12
12
2
2 )()((
xx
xfxf
xx
xfy
−
−
=
−
− )
Llámese xi a x2, un punto cambiante, y xi+1 a x, el nuevo punto buscado, cuya función tiene
valor cero, debido a que es el punto en que la secante corta al eje de las x.
1
1
1
)()()( xfxf
xx
xf i
ii
i −
=
− + xxi −
Despejando se obtiene una fórmula recursiva simple, generadora de una sucesión
convergente hacia la raíz de la función dada:
)()(
))(( 1
1
xxxf
xx ii
ii
−
−=+
1xfxf i −
ara qu a, es suficiente que se cumpla con las siguientes condiciones:
( i ) f(x ) f(x ) < 0
Recuér
hacia abajo.
( i ). Significa que hay una raíz en el intervalo. Al menos una; ya que pueden haber
ii ). Asegura que se tome el punto x (el pivote) de manera adecuada. Tomar de
( iii ). Asegura que no se dé un caso extremo de divergencia. Este caso provocaría
NOTA:
P e esta sucesión converj
1 2
( ii ) f(x1) f”(x1) > 0
( iii ) f”(xi) ≠ 0 ∀ xi ∈[x1, x2]
dese que si f”(x) > 0, la concavidad es hacia arriba; si f”(x) < 0, la concavidad es
Por lo tanto, las condiciones tienen el siguiente significado:
raíces múltiples, pero en una cantidad impar. La posibilidad de raíces
múltiples se anula si la función y = f(x) es monótona en un intervalo trabajado.
( 1
manera inadecuada el pivote podría provocar una divergencia en la sucesión
generada.
una divergencia en la sucesión y se debe al hecho de encontrarse más de una
raíz en el intervalo o un cambio de concavidad.
El hecho de que la primera condición no se cumpla no significa, necesariamente,
que no hay raíz en el intervalo. La función puede cortar el eje de las x en dos o un
19

Métodos Numéricos
número par de puntos, lo cual indica que hay un número par de raíces. Esto es
r la función podría ayudar a la búsqueda del intervalo.
anterior, se presenta a continuación el algoritmo estructurado
ara el método de la Falsa Posición:
icion
similar a lo anteriormente dicho de un número impar de raíces en un intervalo
dado. Por otro lado, grafica
Al igual que en el método
p
Algoritmo Falsa_Pos
Definir f(x)
Leer x1, x2, ε
Repetir
)()(
)(
)(
12
2
1xi = 22
xfxf
xf
xx
−
−−
ta = |x2 – xi|
raiz = xi
aiz
Terminar
x
del
x2 = xi
Hasta delta < ε
Imprimir r
Ejemplo: Calcular 2 con ε = 0.0001.
Este ejemplo es el mismo utilizado anteriormente con el método de bisecciones sucesivas y
ar las convergencias de los dos métodos (nótese la
Lo a trabajar con este método son los mismos:
f(x) = x2
– 2 función
ε = 0.0001 aproximación
erific ones:
( i ) f(x ) f(x ) = f(1) f(2) = (- 1)(2) = - 2 < 0 Cumple.
ión no se cumple, se debe probar un nuevo intervalo. Una buena
ea es intentar con el mismo intervalo, pero dándolo de manera invertida; esto es:
se repite con la finalidad de compar
variación del valor de ε). s datos par
[x1, x2] = [1, 2] intervalo
V ando las condici
1 2
( ii ) f(x) = 2
f(x1) f”(x1) = f(1) f”(1) = (- 1)(2) = - 2 < 0 No cumple.
Como la segunda condic
id
[x1, x2] = [2, 1]
Este intervalo no es matemáticamente válido, puesto que un intervalo [a, b] debe cumplir
con a < b; sin embargo, para el cálculo de las raíces, esto no tiene importancia.
20

Métodos Numéricos
Es importante verificar las tres condiciones para el nuevo intervalo, ya que si este tampoco
umple, se debe busca tantos intervalos como se requiera hasta dar con uno que cumpla con
erificando las condiciones:
( ii ) f(x1) f”(x1) = f(2) f”(2) = 4 > 0 Cumple.
( iii ) f”(x) ≠ 0 2, 1]
Una vez hallado el int proc r una tabla similar a nte:
c
las tres condiciones dadas.
V
( i ) Obviamente cumple.
∀ xi ∈[ Cumple.
ervalo, se ede a llena la siguie
i xi f(xi) xi – x1 f(xi) – f(x1) xi+1 ε
1 2.0000 2.0000 - - - -
2 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 3.0000 1.3333 0.3333
3 1.3333 - 0.2222 - 0.6667 - 2.2222 1.3999 0.0666
4 1.3999 - 0.0403 - 0.6001 - 2.0403 1.4117 0.0118
5 1.4117 - 0.0071 - 0.5886 - 2.0071 1.4137 0.0020
6 1.4137 - 0.00015 - 0.5863 - 2.0015 1.4141 0.0004
7 1.4141 - 0.0003 - 0.5859 - 2.0003 1.4141 -
Así, la raíz resulta ser: 1.4141
Para la elaboración de la tabla, se procede de la siguiente manera:
( a ) límite inferior del intervalo dado y el elemento
( b ) En la segunda fila, el elemento siguiente (xi) es el límite superior del intervalo y f(xi)
( c ) – f(x1)” se evalúan como parte de la fórmula. Es
( d ) nte de la sucesión, el cual se ubica después de
( e ) ncia, en valor absoluto, de las columnas xi y
xi+1. Este término es el utilizado como criterio de paro; esto es, el criterio de Cauchy
unque en apariencia el método de Falsa Posición es más rápido en convergencia que el de
a función misma. Se pueden encontrar funciones
n las cuales el método de Bisecciones Sucesivas es más rápido que el de Falsa Posición.
En la primera fila, el elemento xi es el
f(xi) es la evaluación de este punto en la función dada. Los elementos restantes de la
fila no pueden calcularse.
su valor evaluado en la función dada.
Los elementos “xi - x1” y “f(xi)
importante recordar que el pivote es siempre constante; esto es, siempre el punto [x1,
f(x1)].
La columna xi+1 evalúa el término siguie
la siguiente fila en la columna xi.
La columna final representa a la difere
para la convergencia se determina aquí.
( f ) Las siguientes filas se evalúan de manera similar hasta que el último elemento de la
última fila sea menor a la ε establecida.
A
Bisecciones Sucesivas, esto depende de l
e
II.2.3. Método de Newton – Raphson.
21

Métodos Numéricos
Quizá el método más utilizado en la búsqueda de raíces sea el de Newton – Raphson, el
cual consiste en trazar una tangente desde un punto dado y buscar el punto de corte con el
eje de las x e ir convergiendo hasta la raíz. Gráficamente, se ilustra en la Figura II.3.
Figura II.3. Método de Newton – Raphson.
ste proceso genera una sucesión {xi} = x1, x2, x3, . . ., cuya fórmula recursiva se puede
te:
y – yi = m (x – xi)
ero la pendiente en el punto xi es: m = f’(xi)
Así, sustituyendo: - f(xi) = f’(xi)(xi+ – xi)
espejando, se obtiene la fórmula recursiva del método de Newton - Raphson:
E
hallar por medio de la fórmula de punto pendien
p
y el nuevo punto: [x, y] = [xi+1, 0]
1
D
)('
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx −=+
De la fórmula anterior se deduce que el método es aplicable solamente cuando la función
la sucesión; sin embargo, encontrando un intervalo
asegura estar cerca de la raíz para una rápida convergencia.
l igual que en los métodos anteriores, se presenta a continuación el algoritmo estructurado
Raphson:
phson
x
epeti
f(x) es derivable en el intervalo dado. Por otro lado, es importante recalcar que el método
sólo requiere de un punto para generar
se
A
para el método de Newton –
Algoritmo Newton-Ra
Definir f(x)
Leer , ε
R r
22

Métodos Numéricos
xi =
)('
)(xf
x −
xf
Hasta delta < ε
Imprimir raiz
delta = |x – xi|
x = xi
raiz = xi
Terminar
E o: Calcularjempl 2 con ε = 0.0001 (de nuevo el mismo ejemplo).
2
2] = [1, 2] intervalo
ε aproximación
De aquí, de man lar a dos an se proc nerar un como la
siguien
f(x) = x – 2 función
f’(x) = 2x primera derivada
[x1, x
= 0.0001
era simi los méto teriores, ede a ge a latab
te:
i xi f(xi) f’(xi) xi+1 ε
1 1.0000 - 1.0000 2.0000 1.5000 -
2 1.5000 0.2500 3.0000 1.4166 0.0834
3 1.4166 0.0067 2.8332 1.4142 0.0024
4 1.4142 - 0.00004 1.9999 1.4142 -
Para la elaboración de la tabla, se procede de la siguiente manera:
( a ) En la primera fila, el elemento xi es un límite del intervalo dado y los elementos f(xi) y
f’(xi) son la evaluación de este punto en la función y la derivada dadas.
( b ) La columna xi+1 se calcula dividiendo la columna f(xi) entre f’(xi) y restando a la
columna xi.
El elemento x( c ) los elementos xi de la fila inmediata anterior
er
lento es el método de Bisecciones Sucesivas, después el de Falsa Posición y el
es el de Newton – Raphson; sin embargo, la rapidez de convergencia depende,
n gran
cuales
jemplos:
i de las filas siguientes, son
en cada caso.
( d ) La columna final representa a la diferencia, en valor absoluto, de las columnas xi y
xi+1. Este término es el utilizado como criterio de paro; esto es, el criterio de Cauchy
para la convergencia se determina aquí.
Se ejemplificaron los tres métodos anteriores con la misma función con el objeto de mostrar
a rapidez de convergencia en cada uno de ellos. Como una conclusión, se puede establecl
que el más
más rápido
e parte, de la función misma. Para mostrar lo anterior, se dan dos ejemplos, los
se trabajarán por los tres métodos. Las conclusiones al respecto se dejan al lector.
E
23

Métodos Numéricos
1. Calcúlese una raíz de f(x) = x10
–1, sabiendo que esta se encuentra en el
ervalo [0.3 3]. Tóme 01.
( a) Método de Bisecc cesiva
int , 1. se ε = 0.0
iones Su s:
1 0.3000 1.3000 1.0000 0.8000 - 1.0000 - 0.8926
2 0.8000 1.3000 0.5000 1.0500 - 0.8926 0.6289
3 0.8000 1.0500 0.2500 0.9250 - 0.8926 - 0.5414
4 0.9250 1.0500 0.1250 0.9875 - 0.5414 - 0.1182
5 0.9875 1.0500 0.0625 1.0188 - 0.1182 0.2041
6 0.9875 1.0188 0.0312 1.0031 - 0.1182 0.0317
7 0.9875 1.0031 0.0156 0.9993 - 0.1182 - 0.0459
8 0.9953 1.0031 0.0078 0.9992 - 0.0459 - 0.0078
9 0.9992 1.0031 0.0040 1.0012 - 0.0078 0.0118
10 0.9992 1.0021 0.0020 1.0002 - 0.0078 0.0020
11 0.9992 1.0002 0.0010 0.9997 - 0.0078 - 0.0029
1 0.9997 1.0002 0.0005 1.0000 - 0.0029 - 0.00052
( Mé Falsab ) todo de Posición:
1 1.3000 12.7858 - - - -
2 0.3000 - 1.0000 - 1.0000 - 13.7858 0.3725 0.0725
3 0.3725 - 0.9999 - 0.9275 - 13.7858 0.4398 0.0623
4 0.4398 - 0.9997 - 0.8602 - 13.7856 0.5022 0.0624
5 0.5022 - 0.9998 - 0.7978 - 13.7848 0.5600 0.0578
6 0.5600 - 0.9970 - 0.7400 - 13.7828 0.6135 0.0535
7 0.6135 - 0.9924 - 0.6865 - 13.7783 0.6630 0.0494
8 0.6630 - 0.9836 - 0.6370 - 13.7694 0.7085 0.0455
9 0.7085 - 0.9681 - 0.5915 - 13.7540 0.7501 0.0416
10 0.7501 - 0.9436 - 0.5499 - 13.7294 0.7879 0.0378
11 0.7879 - 0.9078 - 0.5121 - 13.6936 0.8219 0.0339
12 0.8219 - 0.8594 - 0.4781 - 13.6452 0.8520 0.0301
13 0.8520 - 0.7985 - 0.4480 - 13.5844 0.8783 0.0263
14 0.8783 - 0.7268 - 0.4217 - 13.5126 0.9010 0.0227
15 0.9010 - 0.6475 - 0.3990 - 13.4333 0.9202 0.0192
16 0.9202 - 0.5646 - 0.3798 - 13.3504 0.9363 0.0161
17 0.9363 - 0.4823 - 0.3637 - 13.2682 0.9495 0.0132
18 0.9495 - 0.4044 - 0.3505 - 13.1902 0.9602 0.0107
19 0.9602 - 0.3334 - 0.3398 - 13.1193 0.9689 0.0086
20 0.9689 - 0.2710 - 0.3311 - 13.0509 0.9758 0.0069
21 0.9758 - 0.2176 - 0.3242 - 13.0035 0.9812 0.0054
22 0.9812 - 0.1730 - 0.3188 - 12.9589 0.9854 0.0043
24

Métodos Numéricos
23 0.9854 - 0.1364 - 0.3146 - 12.9223 0.9888 0.0033
24 0.9888 - 0.1069 - 0.3112 - 12.8927 0.9913 0.0026
25 0.9913 - 0.0833 - 0.3087 - 12.8691 0.9933 0.0020
26 0.9933 - 0.0647 - 0.3067 - 12.8505 0.9949 0.0015
27 0.9949 - 0.0500 - 0.3051 - 12.8359 0.9961 0.0012
28 0.9961 - 0.0383 - 0.3039 - 12.8245 0.9970 0.0009
( c ) Mé o de – Rtod Newton aphson:
1 1.3000 12.7858 106.0450 1.1794 -
2 1.1794 4.2086 44.1621 1.0841 0.0953
3 1.0841 1.2429 20.6888 1.0241 0.0601
4 1.0241 0.2683 12.3853 1.0024 0.0217
5 1.0024 0.0242 10.2171 1.0000 0.0024
6 1.0000 0.0003 10.0023 1.0000 -
¿Cuál es la el método de Falsa Posición?
e f(x) = e-x
– x, sabiendo que una raíz se encuentra en el
intervalo [0, 1]. Tómese ε = 0.001.
Se tiene f’(x) = - e-x
–1
( a) Método de Bisecc cesiva
razón de tan lenta convergencia para
2. Calcúlese una raíz d
iones Su s:
1 0.0000 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 0.1065
2 0.5000 1.0000 0.5000 0.7500 0.1065 - 0.2774
3 0.5000 0.7500 0.2500 0.6250 0.1065 - 0.0897
4 0.5000 0.6250 0.1250 0.5625 0.1065 0.0073
5 0.5625 0.6250 0.0625 0.5938 0.0073 - 0.0415
6 0.5625 0.5938 0.0312 0.5781 0.0073 - 0.0172
7 0.5625 0.5781 0.0156 0.5703 0.0073 - 0.0050
8 0.5625 0.5703 0.0078 0.5664 0.0073 0.0012
9 0.5664 0.5703 0.0040 0.5684 0.0012 - 0.0019
10 0.5664 0.5684 0.0020 0.5674 0.0012 - 0.0004
11 0.5664 0.5674 0.0010 0.5669 0.0012 - 0.0004
12 0.5669 0.5674 0.0005 0.5671 0.0004 0.0000
( Mé Falsa :b ) todo de Posición
1 0.0000 1.0000 - - - -
2 1.0000 - 0.63221 1.0000 - 1.6321 0.6127 0.3873
25

Métodos Numéricos
3 0.6127 - 0.0708 0.6127 - 1.0708 0.5722 0.0405
4 0.5722 - 0.0079 0.5722 - 1.0079 0.5677 0.0045
5 0.5677 - 0.0009 0.5677 - 1.0009 0.5672 0.0005
( c ) Mé o de – Ratod Newton phson:
1 0.0000 1.0000 - 2.0000 0.5000 -
2 0.5000 0.1065 - 1.6065 0.5663 0.0663
3 0.5663 0.0013 - 1.5676 0.5671 0.0008
II.3. Ecuaciones Polinomiales.
Como casos partic rticularmente las
íces de polinomios de la forma:
n n-1 n-2
onde a son números reales y a ≠ 0
ara extraer las raíces de estos polinomios, se tienen las siguientes reglas:
P1(x) = 0 x + a1 = 0
ría:
ulares de ecuaciones trascendentes, se tratarán ahora pa
ra
Pn(x) = a0 x + a1 x + a2 x + . . . + an-1 x + an = 0
D i 0
P
( a ) Si n = 1, resulta: a
y la única raíz se
0
1a
x −=
a
(x) = a0 x2
+ a1 x + a2 = 0( b ) Si n = 2, resulta: P2
00
20
2
11
1
2
4
a
aaaa
x
−+−
= y 20
2
11
2
4 aaaa
x
−−−
=y sus dos raíces serían:
2a
no se estudiará en este apartado.
e ) Para n ≥ 5 ha quedado matemáticamente demostrado que no es posible hallar una
( c ) La fórmula de Tartaglia – Cardano calcula raíces de algunos polinomios cuando n = 3.
Sin embargo, esta fórmula
( d ) Aún cuando para polinomios con n = 4 existe una fórmula, el cálculo de las raíces
resulta muy complicado.
(
fórmula para el cálculo de sus raíces y la única posibilidad es aproximar las raíces por
los métodos numéricos.
26

Métodos Numéricos
El método de aproximación a las raíces de un polinomio se conoce como Método de Birge
Vieta y es el que se estudiará en este capítulo; pero se estudiarán antes algunos
.3.1. Antecedentes.
AMENTAL DEL ÁLGEBRA.- Dado un polinomio de la forma:
xiste al menos un valor de x para el cual se cumple Pn(x) = 0; es decir, el polinomio tiene
al menos una raíz.
D(x), es posible
ncontrar otros dos polinomios Q(x) y R(x) tales que:
(x) resulta ser menor que el grado de D(x).
EOR MA D entre un
a.
emos
sión
R es constante por el algoritmo de la división
evaluando en x = a
P(a ) = R
Así por ejemplo, dividir (x + 7x + 5) entre (x + 2), daría un resto de:
P(- 2) = (- 2) + 7 (- 2) + 5 = - 17
TEOREMA D
a
raíz, por el TEOREMA DEL RESTO, se tiene: Pn(x)= (x–α1) Pn-1(x) + Pn(α1)
Pero
(x – α2) Pn-2(x)
Y el proceso continua hasta P1(x) = (x – αn), lo cual da como resultado:
–
antecedentes.
II
TEOREMA FUND
Pn(x) = a0 xn
+ a1 xn-1
+ a2 xn-2
+ . . . + an-1 x + an = 0
e
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.- Dados dos polinomios P(x) y
e
P(x) = Q(x) D(x) + R(x)
cumpliendo que el grado de R
T E EL RESTO.- El resto que resulta de dividir un polinomio P(x)
binomio de la forma (x – a) es igual al valor del polinomio evaluado en el punto x =
D trando:
P(x) = (x –a) Q(x) + R por el algoritmo de la divi
P(a) = (a – a) Q(a) + R
3
3
EL FACTOR.- Un polinomio Pn(x) tiene a lo más n raíces distintas.
Demostrando:
Por el Teorema Fundamental del Álgebra existe al menos una raíz; si α1 es l
Pn(α1) = 0, por ser una raíz.
Similarmente, para Pn-1(x), sea α2 la raíz, se tiene: Pn-1(x) =
27

Métodos Numéricos
Pn(x) = (x – α1) (x – α2) (x – α3) (x – α4) . . . (x – αn)
LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES.- Para todo polinomio Pn(x) se
cumple que:
( a ) al al número
de cambios de signo en el polinomio o menor en un número par.
de cambios de signo de Pn(-x) o menor en un número par.
3, tiene 3 o 1 raíces positivas, y
P8(-x) = x –3x +2x +4x -2x +3x -x –3, tiene 5, 3 o 1 raíces negativas.
RAICE ), el término de menor grado es de grado k
on k ≠ 0) el número de raíces nulas del polinomio es k.
esto es, x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 y x4 = 0.
ne una raíz compleja de la forma a + bi,
compleja conjugada a – bi también es raíz.
polinomio Pn(x) son de la forma
porque: b = ±1, ±2, ±3, ±6 y c = ±1, ±2, ±4, ±8
a forma de dividir un
o de la división: Pn(x) = (x –a) Q(x) + R
Se tiene: Pn(x) = a0 xn
+ a1 xn-1
+ a2 xn-2
+ . . . + an-1 x + an
de lo anterior:
a0xn
+a1xn-1
+a2xn-2
+. . .+an-1x+an . .+An-2x+An-1) + R
= (A0 x + A1 x + A2 x + . . . + An-2 x2
+ An-1 x)
R
= A0 x + (A1 – a A0) x + (A2 – a A1) x + . . . +
(An-1 – a An-2) x + (R – a An-1)
anterior tienen igual número de sumando, así:
Aquí, las αi son las raíces y no tienen porque ser distintas.
el número de raíces positivas de un polinomio Pn(x) es igu
( b ) el número de raíces negativas de un polinomio Pn(x) es igual al número
Así para: P8(x) = x8
–3x6
–2x5
+4x4
+2x3
+3x2
+x –
8 6 5 4 3 2
S NULAS.- Si en el polinomio Pn(x
(c
Así, por ejemplo, para P5(x) = x5
– 6x4
, se tienen 4 raíces nulas;
RAICES COMPLEJAS.- Si el polinomio Pn(x) tie
su
RAICES RACIONALES.- Las raíces racionales de un
b/c donde b es un divisor de an y c un divisor de a0.
Así, para P4(x) = 8x4
– 3x3
+ 2x2
– 5x + 6, sus posibles raíces racionales son:
b/c = ±1, ±2, ±1/2, ±1/4, ±3, ±3/2, ±3/4, ±3/8, ±6
DIVISIÓN SINTETICA.- Se pretende, ahora, encontrar un
polinomio de la forma Pn(x) entre un binomio de la forma (x – a).
Por el algoritm
y Q(x) = A0 xn-1
+ A1 xn-2
+ A2 xn-3
+ . . . + An-2 x + An-1 (un polinomio degradado)
= (x–a)( A0xn-1
+A1xn-2
+A2xn-3
+.
n n-1 n-2
– (aA0xn-1
+aA1xn-2
+aA2xn-3
+. . .+aAn-2x+aAn-1) +
n n-1 n-2
Los dos miembros de la igualdad
28

Métodos Numéricos
a0 xn
= A0 xn
a1 xn-1
= (A1 – a
n-2
A0) x
a2 x = (A2 – a A1) xn-2
an-1 x = (An-1 – a An-2) x
a An-1
os valores desconocidos:
A2 = a2 + a A1
An-1 = an-1 + a An-2
R = an + a An-1
ste método es conocido como DIV ION SIN TICA y se fo e tabla í:
n-1
. . . . . . . . . . . .
an = R –
Despejando las Ai, únic
A0 = a0
A1 = a1 + a A0
. . . . . . . . .
E IS TE da en rma d , as
a0 a1 a2 a3 . . . an-1 an
a a A0 a A1 a A2 . . . a An-2 a An-1
A0 A1 A2 A3 . . . An-1 R
En la tabla anterior, los términos ai representan los coeficientes del polinomio y a es el
gundo término del binomio divisor. Los elementos calculados Ai y R representan la
lución a la div ón (coef ntes y residuo, respectivamente)
jemplo: Dividir 2 x5
+ 5 10 x2
– 5 entre x + 3
10 0 - 5
se
so isi icie .
E x4
+
2 5 0
- 3 - 6 3 - 9 - 3 9
2 - 1 3 1 - 3 4
4 3 2
Así: Q (x) = 2 x – x + 3 x + x – 3 y R = 4
.3.2. El Método de Birge – Vieta.
Este método es una combinación del método de Newton – Raphson y la división sintética.
a fórmula recursiva sería:
II
L
)('
)(
1
n
ii
xP
xx −=+
in
i
xP
con x = xi: Pn(xi) = (xi – xi) Q(xi) + R; Pn(xi) = R
Pero se sabe que: Pn(x) = (x – xi) Q(x) + R
Y
29

Métodos Numéricos
Por otro lado, para hallar P’n(xi): Pn(x) = (x–xi) (x) + )=(x–xi)Q’(x)+Q(x)
= (xi – xi) Q’(xi) + Q(xi) P’n(xi) = Q(xi)
Q(xi) entre (x –x Q(x) = (x – xi) S(x) + R’
en x = xi: Q(xi) = (xi – xi) S(xi) + R’ Q(xi) = R’
bien: P’n(xi) = R’
Q R; P’n(x
Evaluado en x = xi: P’n(xi)
Dividiendo i), queda:
Evaluando
O
Así:
'
1
R
R
xx −= ii+
Donde:
R’ = Residuo de dividir Q(x) entre (x – xi); y
De lo a r
ias de x.
4. Establecer las posibles raíces racionales.
ar las raíces irracionales.
7. Reducir la ecuación y volver al paso 6, hasta hallar todas las raíces.
jemplo: Calcular TODAS las raíces del polinomio: P8(x) = x + x – 6x6
– x5
+2x4
= 0,
con ε = 0.0
den descendente de potencias de x.
2. Separar las raíces nulas.
0
X3 = 0 X4 = 0
R = Residuo de dividir P(x) entre (x – xi);
Q(x) = Resultado de la primera división.
nte ior, el método de Birge – Vieta se reduce a:
1. Escribir la ecuación en orden descendente de potenc
2. Separar las raíces nulas.
3. Aplicar la regla de los signos de Descartes.
5. Probarlas por división sintética o teorema del resto.
6. Sac
E 8 7
01
1. Escribir la ecuación en or
P8(x) ≡ x8
+ x7
– 6x6
– x5
+2x4
= 0
P8(x) ≡ x4
(x4
+ x3
– 6x2
– x +2) =
X1 = 0 X2 = 0
3. plicar la regla de los signos de Descartes.
P4(x) ≡ x4
+ x3
– 6x2
– x +2 = 0 2 ó 0 raíces positivas
P4(-x) ≡ x4
- x3
– 6x2
+ x +2 = 0 2 ó 0 raíces negativas
P4(x) ≡ x4
+ x3
– 6x2
– x +2 = 0
A
30

Métodos Numéricos
De aquí las siguientes posibilidades:
+ 2 2 0 0
- 2 0 2 0
Complejas 0 2 2 4
4. Establecer las posibles raíces racionales.
b = ± 2, ± 1
c = ± 1
b/c = ± 2, ± 1
5. Probarlas por división sintética o teorema del resto.
P4(1) = - 3
P4(- 1) = - 3
P4(2) = 0 ¡ ¡ ¡ Raíz ! ! !
P4(- 2) = - 12
6. Sacar la única raíz irracional:
1 1 - 6 - 1 2
2 2 6 0 - 2
1 3 0 - 1 0
X5 = 2
Degradando: P3(x) = x3
+ 3x2
–1 = 0
Sacar las raíces irracionales por Newton – Raphson:
Para extraer la primera raíz irracional, es necesario hallar un intervalo en el cual
se tenga un cambio de signo, lo cual significa una raíz en el mismo. El intervalo
es [0, 1].
Divisiones sintéticas: x1 = 1:
1 3 0 - 1
1 1 4 4
1 4 4 3
1 1 5
1 5 9
X2 = 1- 3/9 = 0.6666
31

Métodos Numéricos
1 3 0 - 1
0.6666 0.6666 2.4444 1.6296
1 3.6666 2.4444 0.6296
0.6666 0.6666 2.8886
1 4.3333 5.3333
X3 = 0.6666 – 0.6296/5.3333 = 0.5485
|X3 – X2| = |0.5486 – 0.6666| = 0.3334 > ε
1 3 0 - 1
0.5485 0.5485 1.9463 1.0675
1 3.5485 1.9463 0.0675
0.5485 0.5485 2.2472
1 4.0970 4.1935
X4 = 0.5485 – 0.0675/4.1935 = 0.5324
|X4 – X3| = |0.5324 – 0.5485| = 0.0161 > ε
1 3 0 - 1
0.5324 0.5324 1.8806 1.0012
1 3.5324 1.8806 0.0012
0.5324 0.5324 2.1641
1 4.0648 4.0446
X5 = 0.5324 – 0.0012/4.0446 = 0.5321
|X5 – X4| = |0.5321 – 0.53245| = 0.0003 < ε
Así: X6 = 0.5321
7. Reducir la ecuación y volver al paso 6, hasta hallar todas las raíces.
1 3 0 - 1
0.5321 0.5321 1.8794 1.0000
1 3.5321 1.8794 0.0000
P2(x) ≡ x2
+ 3.5321 x + 1.8794 = 0
Cuando se llega a un polinomio de segundo grado es válido, por facilidad, utilizar la
fórmula de solución de una cuadrática para hallar las dos raíces restantes. Si el grado es
tres o mayor, es recomendable regresar al paso 6 y continuar con las iteraciones para hallar
la siguiente raíz. Por lo tanto:
2
)8794.1(4)5321.3(5321.3 2
8,7
−±−
=x
Así: X7 = - 0.6527 y X8 = - 2.8794
32

Métodos Numéricos
Finalmente: X1 = 0 X2 = 0
X3 = 0 X4 = 0
X5 = 2 X6 = 0.5321
X7 = - 0.6527 X8 = - 2.8794
A continuación se presenta el algoritmo estructurado para el Método de Birge – Vieta, para
su implantación en cualquier lenguaje de programación:
Algoritmo Birge-Vieta
Leer grado, ε
m = grado + 1
Para i = 1 hasta m
Leer ai
fin_para
Para raices = 1 hasta grado
x = 1
Repetir
b1 = a1
Para i = 2 hasta m
bi = ai + x * bi-1
fin_para
c1 = b1
Para i = 2 hasta m-1
ci = bi + x * ci-1
fin_para
xraiz =
1−
−
m
m
c
b
x
delta = |xraiz – x|
x = xraiz
Hasta delta < ε
Imprimir raices, x
Para i = 2 hasta m-1
ai = bi
fin_para
m = m –1
fin_para
Terminar
Ejercicios:
1. P5(x) = x5
+ 11 x4
– 21 x3
– 10 x2
– 21 x – 5 = 0
2. P4(x) = x4
– 4 x2
– 3 x + 5 = 0
3. P4(x) = x4
+ 5 x3
– 9 x2
– 85 x – 136 = 0
4. P4(x) = 16 x4
+ 88 x3
+ 159 x2
+ 76 x – 240 = 0
5. P3(x) = x3
– x – 1 = 0
33

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