Metodos numericos para ingenieros
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Este documento presenta un resumen de los temas cubiertos en el libro "Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales". El libro introduce los métodos numéricos y su aplicación en la ingeniería a través del uso de computadoras personales. Cubre temas como raíces de ecuaciones, sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, ajuste de curvas, integración numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias. El objetivo es integrar efectivamente el uso de computadoras en la educación de ingenier
![16 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
De acuerdo al modelo, el paracaidista acelera rápidamente (Fig. 1.2).Se
llega a una velocidad de 4 487.3cm/s (161.5km/h) despu6s de 10 s.
Nótese también que después deun tiempo suficientemente grande se al-
canza una velocidad constante (llamadavelocidad final) de 5339.0cm/s
(192.2km/h). Esta velocidad es constante porque después de un tiem-
po suficiente, la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia
del aire. Por lo tanto, la fuerza total es cero y cesa la aceleración.
A la ecuación (1.9)se le llama una solución analítica o exacta porque
satisface exactamente la ecuación diferencial original. Desafortunadamen-
te, hay muchos modelos matemáticos que no puedenresolverse exacta-
mente. En muchos de estos casos,la única alternativa es la de desarrollar
una solución numérica que se aproxime a la solución exacta. Como se
mencionó con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los
que se reformula el problema matemático paraque se puedaresolver me-
diante operacionesaritméticas. Esto puede ilustrarse para la segunda ley
de Newton notándose que se puede aproximar la razón de cambio de
la velocidad conrespecto al tiempomediante (Fig. 1.3)
[1.10]
FIGURA1.3 USO de una diferenciafinita paraaproximarlaprimeraderivadade
v con respecto a t.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-29-320.jpg)
![METODOS MATEMATICOS 17
donde Au y At son diferencias enla velocidad y el tiempo calculadas so-
breintervalosfinitos, u(t,) es lavelocidadeneltiempoinicial t,, y u(t,+I)
es la velocidadalgúntiempo más tarde t,, Laecuación (l.10)es una
diferencia finita diuida enel tiempo ti. Puede sustituirseenla ecuación
(1.8)paradar
Estaecuaciónpuedeordenarseotra vez paradar
u(t1+1) = U@¡) + 9 - -u(ti) &+I - ti)
[ : I [1.12]
Y así, la ecuacióndiferencial (1.8)se transforma enuna ecuación qGe
puederesolversealgebraicamentepara u(ti+J . Si se da un valorinicial
para la velocidad en un tiempo ti,se puede calcular fácilmente u en t!,
Este nuevo valor de u en ti+lpuede emplearse para extender el cálculo
de u en ti+2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquiertiemporde
la trayectoria,
Nuevovalor - valoranteriorvalorestimuladoincremento
de u + de lapendiente x deltiempode u
-
EJEMPLO 1.2
Soluciónnumérica al problema del paracaidistaquecae
Enunciado del problema: efectuarel mismo cálculo que en el ejemplo l.1
perousando la ecuación (1.12)paracalcular u(t) con un incremento de
tiempo igual a 2 s.
Solución: alprincipio de los cSlculos (tl =O), la velocidaddel paracai-
dista uft,) es igual a cero. Conestainformación y los valoresde los pa-
rámetros del ejemplo l.l, la ecuación (l.12)se puede usar para estimar
v (ti+1)en ti+l = 2 s.
Para el siguienteintervalo (de t = 2 a 4 S), se repiteelcálculoconel re-
sultado,
~ ( 4 )= 1960 + 980 - ___
[ 68l2500100(1960+
= 3200.5 cmis](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-30-320.jpg)
![20 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
significat~voasociadocon los puntos de los datos.
i) Los sistemas grandes de ecuaciones. las no linealidades 51 las geometrías com-
plicadas son comunes enla práctica de la ingeniería y fáciles de resolver analí-
ticamente
j) Los modelosmatemáticos no sepueden usar nunca con propósitos depre-
dicción.
1.2 Léanse las siguientes descripciones de problemase identifíquese qué área de los
métodos numéricos (según lo señalado enla Fig. 1.2)se relaciona con su solución.
Una persona pertenece a una cuadrilla de reconocimiento topográfico y debe
determinar el área deun terreno limitado por dos caminos y una corriente que
serpentea
Un ingeniero es responsable de la determinación de losflujos en una gran red
de tuberías interconectadas entre sí para distribuir gas natural a una serie de
comunidadesdiseminadasen un área de 20 km2
Para el problema del paracaidista que cae. se debe decidir el valor del coefi-
ciente de arrastre para que un paracaidista de 90 kg de masa no exceda los
160km/h en los primeros 10 S después de haber saltado. Deberá hacer esta
evaluación sobre la base. de la solución analítica [Ec. (1.9)].
La información se empleará para diseñar un tra~edesalto.
Un investigador efectúa experimentos para encontrar la caída de voltaje a tra-
vés de una resistencia como una función de la corriente. Hace las mediciones
de la caída de voltaje para diferentes valores de la corriente Aunque hay al-
gún error asociado con sus datos, al91-aficar los puntos. éstos le sugieren una
relación curvilínea. Debe derwar una ecuación que caracterice esta relación.
Un ingeniero mecánico tiene que desarrollar un sistemade amortiguamiento para
un auto decarreras. Puede usar la segunda ley de Newton para tener una ecua-
ción para predecir la razón de cambio en la posición de la rueda delantera en
respuesta a fuerzas externas. Debe calcular el movimiento de la rueda. como
una función del tiempo después de golpear contra un tope de 15 cm a 240
km/h.
Un administrador tiene que calcular el ingreso anual requerido en un periodo
de 20 años para un centro de entretenimientos que se va a construir para un
cliente. El préstamo puede hacerse a una tasa de interés del 17.6"; Aunque
para hacer este estimado. la información está contenida en tablas de econo-
mía, sólo aparecen listados los valores paratasasde interés del 15 y 20%
1.3 Proporciónese un ejemplo de un problema de ingeniería donde sea oportuno cada
uno delos siguientes tipos de métodos numéricos. En IO posible. remitasr el ejem-
plo de las experiencias del lector en cursos y en conferencias u otras experiencias
profesionales que haya acumulado hasta la fecha.
a) Raíces deecuaciones
b) Ecuaciones algebraicas lineales
c) Ajuste de curvas: regresión
d) Ajuste de curvas: interpotación
el Integración
fi Ecuaciones diferenciales ordinaria5](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-31-320.jpg)
![34 M~TODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS
CUADRO 2.2. Referenciarápida:comparacióndeFORTRAN y BASIC. (cant.)
FORTRAN BASIC
La declaración DIG-ENSION se debe co- La declaración DIM se debe colocar antes
locar antes de cualquier declaración de la primera línea dondelavariable
ejecutable. dimensionada se va a usar. En caso de
no ir, supone el valorn = 10. El redi-
mensionamiento generaa unmensaje
de error.
Las variables definidas en la declaración
DIMENSION (esto es,A o ISUM)tienen
la misma regla de las variables numéri-
cas "esto es, el arreglo A debe conte-
ner valores reales, mientras que el
arreglo ISUM debe contener valores
enteros.
ENTRADAlSALlDA
qué medios se transmite información a y desde un programa),
Declaraciones de formato
especifican la longitud y la posición de cada uno de los datos, que se vana leer
o a imprimir.
Aunque en laentraday salida de da- Aunque existe Io declaración de formato
tos existe formato libre, el FORTRAN para lectura o impresión de datos, las
estándar, en general impone un for- versiones recientes de BASIC no lo em-
mato de lectura o impresión. pleon.
Entrada
especifica los medios por los cuales se transmitendatos al programa
Declaración READ
permitenintroducirdatos alprograma
durante su ejecución:
READ f varl,vur2,. . . , vur,
donde f esun código de formato que
especifica el tipo, disposición y, en algu-
nos casos, el dispositivo usado para leer
los valores de var], var2, . . ., varn. Por
ejemplo:
READ (5,2)A,B
donde el 2 es la etiqueta donde está la
declaración FORMAT correspondiente
y el 5 especifica que los datos se obten-
drán de unalectora de tarjetas.
Declaración DATA
son declaraciones no ejecutables que defi-
nen el valor inicial de una variable.
Tienen laformageneral.
Declaración INPUT
Permitenintroducir datos at programa
durante su ejecución:
In INPUT varl,vur2,. . . , var,
donde Ines el número de líneas donde
está la declaración INPUT y var,, var2,
. . ., var, son los nombres de las varia-
blescuyosvalores se vanaleer. Por
ejemplo:
10 INPUT A,B
Cuando se ejecutaestainstrucciónse
deben introducir los valores de A y B en
undispositivo,tal como el teclado.
DeclaracionesREDlDATA
consiste de una declaración READ asocia-
da a una declaración DATA que contie-
ne los valores que se van a leer, como:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-45-320.jpg)
![46 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS -
perforadas se podían guardar, pero paraun programa decualquier mag-
nitud resultaban difíciles de manejar y susceptibles a deteriorarse.
Como se menciona al principio de este capítulo, los dispositivos de
almacenamientomagnéticohanmejoradosustancialmente la habilidad
de retener programas. Un dispositivocomún de almacenamiento esel disco
flexible. mostrado en la figura 2.8. Los discos flexibles son un medio ba-
rato para almacenar programas y datos. Aunque los discos flexibles tie-
nen una granutilidad. también tienen algunas desventajas. Por unaparte,
su tiempo de acceso es muy lento; por otra, se deben manejary se deben
guardar con mucho cuidado. Dado que pueden borrarse muy fácilmen-
te, siempre se debe teneruna copia de cada uno de ellos. Además,cuando
se termina un programa de computadora, se debe imprimir inmediata-
mente y almacenarlo con la documentación correspondiente. Estas im-
presiones pueden ser útiles en el caso no deseado, peroposible, de que
el disco y su copia se destruyan.
2.3 DESARROLLODE UN PROGRAMA PARA
EL PROBLEMADELPARACAIDISTA
Ahora se usará el material de las secciones previas para escribir un pro-
grama en BASIC y en FORTRAN para el problema del paracaidista. Es-
tos programas son un ejemplo ideal porque contienen todoslos elementos
-entrada-salida, ciclos, decisiones, cálculos y subprogramas- que con-
forman al programa en el resto del capítulo.
Recuérdese que el problema del paracaidistaes equivalente ala solu-
ción de la ecuación (l.12):
r -7
donde v es la velocidad en un tiempo posterior v(tJ es la velo-
cidad en el tiempo actual ti, g es la aceleración de la gravedad (igual a)
980 cms/s2, c es el coeficiente de rozamiento, m es la masa del para-
caidista y At = ti+l - ti. El término entre corchetes es el valor actual del
promedio de cambio de velocidad respecto al tiempo [Ec. (1.8)].Si se
conoce la velocidad inicial del paracaidista v (ti)la ecuación (2.1)se pue-
de resolverrepetidamenteparavalores de v(ti+J, como se hizo en el
ejemplo l.2.
Con esta información como antecedente, ahorase puede desarrollar
un algoritmo para el problema. En este punto, se podría desarrollar un
algoritmo bien detallado. Sin embargo, con la práctica que se tiene, difí-
cilmente se podría. En lugar de ello, se empezará con una versión gene-
ral simple, agregándole detalles poco a poco en forma secuencia1 para
expandir la definición. Entonces, cuando se haya obtenido una versión](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-57-320.jpg)
![68 MgTODOS NUMeRICOSPARA INGENIEROS
EJEMPLO 3.1
Cálculo de errores
Enunciado del problema: supóngase que se tiene que medir la longitud
de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectiva-
mente. Silos valores verdaderos son10 O00 y 10 cm, calcúlesea) el error
y b) el errorrelativoporcentual de cada caso.
Solución: a) Elerrorenlamedicióndel puentees [Ec. (3.2)]
E, = 10 O00 - 9999 = 1 cm
y parael remache es de
E,= 1 0 - 9 = l c m
b) El errorrelativoporcentualparaelpuenteesde [Ec. (3.3)]
1
E” = 100% = 0.01 %
10 O00
y parael remache esde
€, = -100% = 10%
10
Por lo tanto, aunqueambasmedidastienen un error de 1 cm, elerror
relativoporcentual del remache esmuchomás grande. Se puede con-
cluir que se ha hecho un buen trabajo enlamedidadel puente, mientras
que la estimaciónpara el remache dejamuchoque desear.
donde E, se usapara denotar elvalor exacto delerror. Se incluyeel
subíndice v paradar a entenderquesetratadel“verdadero”error.Como
ya se mencionó brevemente, esto contrastacon los otros casos, donde
se debeemplearunaestimación“aproximada” del error.
Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el or-
dendemagnituddelvalorqueseestáprobando.Por ejemplo, un error
de un centímetroesmuchomássignificativo si seestámidiendo un re-
mache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de lascanti-
dadesque se estánevaluandoesnormalizarelerrorrespecto al valor
verdadero. como en
Errorrelativofracciona1 =
error
valorverdadero](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-79-320.jpg)
![APROXIMACIONES Y ERRORES 69
donde, como ya se dijo en la ecuación (3.2)error = valor verdadero -
valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por el
100%para expresarlo como
error verdadero
valor verdadero
E , = 100%
donde E, denota el error relatioo porcentual.
Nótese que en las ecuaciones (3.2)y (3.3)E y E tienen un subíndice
u que significa la normalización del error al valor verdadero. En el ejemplo
3.1, se utilizó el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones realeses
a veces difícil contar con tal infornación. Para los métodos numéricos,
elvalor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones
que se puedan resolver analíticamente. Porlo general este seráel.casocuando
se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin em-
bargo, en aplicaciones reales, obviamente no se conocela respuesta verda-
dera a priori. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando
la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es, a la aproximación
misma, como
error aproximado
valor aproximado
€a = 100%
donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor
aproximado. Nótese también que en aplicaciones reales, la ecuación (3.2)
no sepuede usar para calcularel término del error para la ecuación (3.4).Uno
de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar
estimaciones del error en ausencia de conocimiento delos valores verda-
deros. Por ejemplo, ciertos métodos numéricosusan un esquema iterati-
uo para calcular resultados. En tales esquemas, sehace una aproximación
en base a la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces,
o de forma iterativa, para calcular sucesivamente más y mejores aproxi-
maciones. En tales casos, el error a menudose calcula como la diferencia
entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo por-
centual está dado por
€a =
aproximaciónactual - aproximación previa
aproximación actual
100% [3.5]
-
En capítulos posteriores se explicarán con detalle éstey otros esquemas
para expresar errores.
El signo de las ecuaciones (3.2)hasta la (3.5)puede ser positivo o
negativo. Si la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la apro-
ximación previa es mayor quela aproximación actual),el error es negati-
vo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo.
También, en las ecuaciones (3.2)a la (3.5),el denominador puede ser](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-80-320.jpg)
![70 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
menor de cero, lo que puedellevar a un error negativo. A menudo. cuando
se realizan cálculos, puede noimportar mucho el signo del error sinomás
bien que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada E,. Por
lo tanto, a menudo es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones
(3.2)a la (3.5).En tales casos, los cálculos se repiten hasta que
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado
obtenidoestádentrodel nivel aceptable, fijado previamente, E,.
Es también conveniente enfocar estos erroreshacia el número de ci-
fras significativas en la aproximación. Se puede demostrar (Scarborough.
1966)que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad
que el resultado es correcto en al menos n cifrassignificativas.
[3.7]
EJEMPLO 3.2
Estimación del error para métodos iterativos
Enunciado del problema: en matemáticas, a menudo se pueden repre-
sentar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo, la función
exponencial se puede calcular usando:
[E3.2.1]
Mientras más términos se le agreguen a la serie. la aproximación se acer-
cará más y más al valor de ex.A la ecuación (E3.2.1)se le llama expan-
sión en series de Maclaurin.
Empezando con el primer término, ex = 1,y agregando un término
a la vez, estímese elvalor de e"'. Después que se agregue cada térmi-
no, calcúlense los errores relativos porcentuales real y aproximado. usando
las ecuaciones (3.3)y (3.5),respectivamente.Nóteseque el valor real
es eo = 1.648721 271. Agréguense términos hasta que elvalor abso-
luto del error aproximado e, sea menor al criterio preestablecido. f , que
contempla tres cifrassignificativas.
Solución: en primer lugar, la ecuación (3.7)se puede emplear para de-
terminar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al me-
1 nos tres cifrassignificativas:
es = (0.5 X 102-3)%= 0.05%
Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que E, sea menor que
este nivel.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-81-320.jpg)
![APROXIMACIONES Y ERRORES 71
La primera estimación es iguala la ecuación (E3.2.1)con un sólo tér-
mino. Por lo tanto la primer estimación es igual a l. La segunda estima-
ción se obtieneagregando el segundo término, como sigue:
e x = l + x
y para x = 0.5
= 1 + 0.5 = 1.5
Querepresenta un errorrelativoporcentualde [Ec. (3.3)]
1.648721271 - 1.5 = 9.029%
€" =
1.648721271
La ecuación (3.5)determina una estimación aproximada del error, dado
por:
1.5 - 1
Eo =
1.5
100%= 33.3%
Ya que E, no es menor que elvalor prefijado, E$, los cálculos continúan
agregandootro término, x2 / 2! y repitiendo los cdlculosdeerrores. El
proceso se continúa hasta que eo < E,. Todos los cálculos se pueden re-
sumirde la siguiente manera.
Términos Resultado E" 9% EL7 5%
1 39.3
2 9.02 33.3
3 1.625 1.44 7.69
4 1.645833333 O. 1751.27
5 1.648437500 0.0172 O. 158
6 1.648697917 0.00142 0.0158
Así, después de que los seis términosse incluyen, el error estimado baja
de E, = 0.05%, y el cálculotermina. Sin embargo, nótese que en vez
de tres cifras significativas, ¡el resultadose mejora al llegar a cinco cifras!
Esto se debe a que, para este caso, las ecuaciones (3.5)y 3.7) son con-
servativas,esto es, aseguran que los resultados sonpor lo menos tan bue-
nos como lo especifican. Aunque, como se analiza en el cápítulo 5, este
no es siempreel caso para la ecuación (3.5),y es ciertocasisiempre.
Con las definicionesanteriorescomoantecedente,sepuedeproceder
ahora sobrelos dos tipos de error ligados directamente conlos métodos nu-
méricos. Estos son los errores de redondeo y los erroresdetruncamiento.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-82-320.jpg)
![72 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
3.4 ERRORES DE REDONDEO
Como ya se ha mencionado, los errores de redondeo se deben a que las
computadorassólo guardan un número finito de cifras significativas durante
un cálculo. Las computadoras realizanestafuncióndemanerasdiferentes.
Por ejemplo,si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede
almacenary usar K como K = 3.141 592,omitiendolos términos restantes
y generando un errorde redondeo,[de la ecuación (3.2)]:
E, = 0.000 O00 65.
Laanterioresunadelasvariasformasqueutilizaunacomputadora
para redondear números. Esta técnica de retener sólo los primeros siete
términos se lellamó “truncamiento”enel ambiente de computación. De
preferencia se lellamará de corte paradistinguirlode los errores de trunca-
mientodiscutidosen la próxima sección. Un corteignora los términos res-
tantes de la representación decimal completa. Por ejemplo, el octavo dígito
significativoeneste caso es 6. Por lo tanto K se representa de manera más
exacta como3.141 593que como3.141 592 obtenido medianteun corte,
ya que el valor está más cercano del valor verdadero. Esto se puede visuali-
zardelasiguiente manera, si K seaproximapor K = 3.141 593, elerror
de redondeo sereduce a:
E, = 0.000 O00 35.
Las computadoras se pueden desarrollar para redondear números de
acuerdo a reglasde redondeo,como laquese acabademencionar.Sin
embargo, esto agrega costo computacional por lo que algunas computado-
rasusanelcorte directo. Este enfoque se justifica bajo la suposición de que
elnúmerodecifrassignificativasen la mayor parte de las computadoras es
muchomayorqueelerrorde redondeo dado por un corteusualmente in-
significante.Estasuposiciónsesustentaenelsiguiente ejemplo.
Los errores de redondeo asociados con el ejemplo 3.3 son impercep-
tibles en todos los casos cuando se comparan conel error de truncamiento
en t = 12 S que es (véanse los ejemplos 1.1 y 1.2):
4749.0 - 4995.9
E, =
4749.0
100 = -5.20%
EJEMPLO 3.3
Efectos del error de redondeo en los cálculos del problema del para-
caidista
Enunciado del problema: repítanse los cálculos del ejemplo 1.2, usando
tres, cuatrocinco y seiscifrassignificativas.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-83-320.jpg)
![APROXIMACIONES Y ERRORES 77
I 9.08 X 10-3-A9.1X 10-3
6.740X 10-5- 8.7X 10-7
b) Evalúese
2.672X lo3+ 5.8
Antes de realizar las sumas y las restas, se expresan los números del nu-
merador y del denominador de manera que estén elevadosal mismo ex-
ponente.
674 X 10-7- 8.7 X 10-7
2.672 x lo3 + 0.0058 x lo3
Ahora se hace la suma y la resta:
665.3X
2.6778 x lo3
1 y seredondea:
665 X 10-7
2.678X lo3
finalmente, se divide y se redondea el resultado:
2.483 196. . . X lo-*"+ 2.48x
3.5 ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproxi-
mación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en
el capitulo 1 se aproximó la derivada de la velocidad de caída de un para-
caidista mediante la ecuación de diferencia divididade la forma [€c. (l.lo)]:
Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que
la ecuación de diferencias sólo aproxima el valor verdadero de la deriva-
da (Fig. 1.3).Además para obtener conocimiento de las características](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-88-320.jpg)
![78 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS
de estoserroresseregresa a la formulaciónmatemáticausadaamplia-
mente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma poli-
nomial:La serie de Taylor.
3.5.1 Serie de Taylor
Enel ejemplo 3.2 se usauna serie infinitaparaevaluarunafunciónen
un valor específico de lavariable independientex. De manera similar, la
seriedeTaylordaunaformulaciónparapredecirelvalordelafunción
en x,+lentérminos de lafunción y de susderivadasenunavecindad
al punto x,.
Envez de presentar en conjunto la serie de Taylor, se obtendrá más
conocimiento de lamisma construyéndola términoa término. Por ejem-
plo, elprimertérminodelaserie es:
Estaigualdad, conocida como aproximacióndeorden cero, indica que
el valor def en el nuevo punto esel mismo que el valor en el punto ante-
rior.Esteresultado se lograintuitivamente ya que si xi y xi+ están muy
próximasunade la otra, entonces esigualmenteposibleque el nuevo
valor sea probablemente similaral anterior.
La ecuación (3.9)da una estimación perfecta silafunción que se va
a aproximar es una constante. Sin embargo, si la función cambia en todo
el intervalo, entonces se requieren los términos adicionalesde la serie de
Taylor para obtener unamejor aproximación. Por ejemplo, la aproxima-
ción aprimerorden se obtienesumandootrotérmino al anteriorpara
obtener:
[3.10]
El término adicional de primer orden consiste de la pendiente f' (xi) mul-
tiplicada por la distancia entre xiy xi+l.Por lo tanto, la expresión ahora
representa una línea rectay es capaz de predecir un incremento o un de-
cremento de lafunción entre xi y x ~ + ~ .
Aunque la ecuación (3.10)puede predecir un cambio, sólo es exacta
paraunalínearecta o esdedirecciónlineal. Por lo tanto, se leagrega
a la serie un término de segundo orden para obteneralgo sobre la curva-
turade la función si es que la tiene:
[3.11]
De manera similar, se pueden agregar términos adicionales para desarro-
llarla expansióncompletade la seriedeTaylor:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-89-320.jpg)
![APROXIMACIONESY ERRORES 79
+m(xi+l- Xj)3 + . . . + -f(,)(Xi)
3! (Xii-1 - xi)" + R"n!
[3.12]
Nótese que debido a quela ecuación (3.12) es unaserie infinita, el signo
igual reemplaza al de aproximación usado en las ecuaciones (3.9)a la
(3.11). Seincluye un término residual para considerartodos los términos
desde n + 1 hasta el infinito:
f'"+"(h)R, =
(n + l)!
(Xi+1 - Xi),+] [3.13]
donde el subíndice n indica que el residuo es dela aproximación a n-esimo
orden y ( es un valorcualquiera de x que se encuentra en xi y xi+
La inclusión de dentro de la serie esdemucha importancia al grado
que se dedica una sección completa (sección 3.5.2)para su estudio. Por
ahora, essuficiente darsecuenta queexiste estevalor que da una estima-
ción exacta del error.
Frecuentemente es convenientesimplificar la serie de Taylor definiendo
un paso h = - xi y expresando la ecuación (3.12)como:
en donde el término residual es ahora:
[3.15]
EJEMPLO 3.6
Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.
Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero
a cuarto orden para aproximar la función:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-90-320.jpg)
![80 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
desde elpunto xi = O y con h = 1. Esto es, predecirelvalor de la fun-
ciónen xi+ = 1.
Solución: ya que se tratadeunafunción conocida, se puedencalcular
valoresde f (x) O y 1. Los resultados (Fig. 3.3) indicanquelafunción
empiezaen f (O) = 1.2 y continúahaciaabajohasta f (1) = 0.2. Por lo
tanto, elvalor que se tratadepredecires 0.2
La aproximaci6n en serie deTaylor de orden cero es [Ec. (3.9)1:
Como se puede verenlafigura 3.3, la aproximacióndeorden cero es
una constante. El errordetruncamiento en este caso es [recuérdese la
ecuación (3.2)]:
E” = 0.2 - 1.2:- 1.0
en x = 1.
x = O, como:
Para n = 1, laprimerderivada se debedeterminar y evaluaren
FIGURA3.3 La aproximación de {(x) = -0.1 x4 - 0 . 1 5 ~ ~-0.5~’- 0 . 2 5 ~+ 1.2
en X = 7 mediante series de Taylor de orden cero, de primero y se-
gundo orden.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-91-320.jpg)
![APROXIMACIONESY ERRORES 81
I Laaproximaciónaprimerorden es[Ec. (3.10)]
f ( x i + l )E 1.2 - 0.25h
que se puede usar para calcularf (1)= 0.95. Por consiguiente,la aproxi-
mación empieza a coincidir conla trayectoria de la función como la pen-
diente de una línea recta (Fig.3.3).De esta manera el error de truncamiento
se reduce a:
E, = 0.2 - 0.95 = -0.75
en x = 1.Para n = 2, se evalúa la segundaderivadaen x = O:
f”(0)= -1.2(0.0)*- 0.9(0.0)- 1.0 = -1.0
y de acuerdo a la ecuación (3.11):
f ( x i + l ) 1.2 - 0.25h - 0.5h2
y, sustituyendo h = 1
f(1)= 0.45
Al incluirse la segunda derivadase añade una curvatura descendente
que proporcionauna estimación mejor, como se muestra en la figura 3.3.
El errordetruncamiento se reducea 0.2 - 0.45 = - 0.25.
Los términos adicionales mejoranaún m6s la aproximación. En efec-
to, incluyendo la terceray la cuarta derivada, se obtiene la ecuación original:
f ( q + l ) = 1.2 - 0.25h - 0.5h2- 0.15h3- 0.10h4
donde eltérminoresidual es:
ya que laquintaderivada de un polinomio de cuartoordenes nula,
R4 = O. Por consiguiente, la expansiónenseriedeTaylorhastalacuarta
derivadaproduceunaaproximación exacta en x = 1.
En general,la expansión en serie de Taylor de n-ésimo ordenes exacta
para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas di-
ferenciables, como las exponencialeso senoidales, no se obtiene una estima-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-92-320.jpg)
![APROXIMACIONESY ERRORES 83
en x = a / 3 (60O)en base alvalor def (x)y de sus derivadas alrededor
delpunto x = a / 4 (45). Nóteseque esto significaque h = a / 3 -
a / 4 = a / 1 2 .
Solución: como en el ejemplo 3.6,el conocimiento dela función original
implicaque se puede conocer elvalor exacto de f (a / 3 ) = 0.5.
Laaproximacióndeorden cero es [Ec. (3.9)]:
f(d3) = COS ( d 4 ) = 0.707 io6781
querepresenta un errorrelativoporcentual de:
E” =
0.5 - 0.707106781 loo^ = “41,49g
0.5
Para la aproximación de primer orden, se suma el término que con-
tiene a laprimer derivada,donde f’(x) = - sen x:
f(:) COS (3-Sen(:)(g) = 0.521986659
quetiene un errorrelativoporcentualde E, = - 4.40.
tiene a la segundaderivada,donde f’ ’ (x) = - cos x:
Enla aproximaciónde segundoorden, se incluye el término quecon-
con un errorrelativoporcentual de E, = -0.449. Por lo tanto, al agre-
garmástérminos a laserie se obtieneunamejoraproximación.
Este proceso se puede continuar,los resultados se muestran en el cua-
dro 3.2. Nótesequelasderivadasnunca se acercan a cero, como es el
CUADRO 3.2 Aproximaciones mediante la serie deTaylor de f (x)
= cos x en x I 3 alrededor delpunto x 14. Los
~ valores se muestran para varios brdenesde apro-
I xirnaci¿n (m).
Orden n f”(x) P(nI3) C”
O cos x 0.707106781-41.4
1 -sin x 0.521986659
2
-4.4
“cos x 0.497754491
3
0.449
sin x 0.499869147
4
2.62 x
cos x 0.500007551
5 -sin x 0.500000304
6 -cos x 0.4999999882.40 x
-1.51 X 10-3
-6.08 X 10-5](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-94-320.jpg)
![84 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
casodelpolinomiodelejemplo 3.6. Sin embargo,cada término que
se le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese también
que la mayor aproximación se consigue con los primeros términos. En
este caso, en el momento que se le agregó el tercer término, el error se
redujo al 2.62 x lo-*%, lo que significa que se haalcanzado el 99.9738%
del valor exacto. Por consiguiente, si se le agregan más términos a
la serie el error decrece, pero la mejoría será mínima.
En general, se puede suponer queel error de truncamientodisminu-
ye agregando términos a la serie de Taylor. Además, si h es lo suficiente-
mentepequeño,entonces los términos de primero y segundoorden
influyen desproporcionadamente en el porcentaje del error. Esta propie-
dad se ilustra en el ejemplo siguiente.
3.5.2 El residuo delaexpansión en la serie de Taylor
Antes de demostrar cómo se usa la serie de Taylor en la estimación de
errores numéricos, se debeexplicar por qué seincluye el argumento [ en
la ecuación (3.15).Envez de presentar una derivación matemática ge-
neral se desarrollará una exposición más simple basada en una interpre-
tación geométrica. En seguida se puede extender este caso específico a
una formulación más general.
Supóngase que se truncóla expansión en seriede Taylor [€c. (3.14)l
después del término de orden cero para obtener:
f(Xi+l) = f(x0
En la figura 3.4 se muestra un bosquejo de esta predicción de orden ce-
ro. El residuo o error de esta predicción, que se muestra también en la
figura, consiste de la serie infinita de términos que fueron truncados:
Ro = f’(xi)h + -h2 + -h3 + . . .f”(Xi) f’”(X.)
2! 3!
Es obvio que tratar el residuo de esta serie infinita con este formato
es inconveniente. Se puede obtener unasimplificación truncando el resi-
duo mismo, de la siguiente manera:
Ro 2 f’(xi)h [3.16]
Aunque, como se mencionó en la sección previa, los términos de las de-
rivadas de ordeninferior cuentan mucho más enel residuo que los térmi-
nos de las derivadas de ordensuperior, este resultado todavíaes inexacto,
ya que se han despreciado los términos de segundo orden y de órdenes](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-95-320.jpg)
![84 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 3.5 Representación gráfica del teorema del valor medio.
que se puede reordenar para obtener:
Por lo tanto, seha obtenido el término de orden cerode la ecuación (3.15).
Los términos de órdenes superiores son una extensión lógicadel razona-
miento usado para derivar la ecuación (3.17),basado en la forma general
del teorema extendido delvalor medio (Thomas y Finney, 1979).Por lo
tanto, la versión de primer orden es:
[3.18]
En este caso, el valor de 4 conforma el valor de x que corresponde a la
derivada de segundo orden que hace exacta a la ecuación (3.18).Los
términos de orden másalto se pueden desarrollar de la ecuación (3.15).
3.5.3 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento
Aunque la serie de Taylor es extremadamente útil en la estimación de
errores de truncamiento a lo largo de este libro, puede que aún no esté
muy claro cómo la expansión puede aplicarse en estos momentos a los
métodos numéricos. En realidad, esto ya se hizo en el ejemplo del para-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-97-320.jpg)
![APROXIMACIONESY ERRORES a7
caidista. Recuérdese que el objetivo de los ejemplos l.1y l.2 fue el de
predecir la velocidad en función del tiempo.Esto es, se deseaba determi-
nar u (t). Como se especificó en la ecuación (3.12),u (t)se puede expan-
dir en la serie de Taylor como:
Ahora, truncando la serie después del término con primera derivada, se
obtiene:
La ecuación (3.20) se puede resolver para:
[3.21]
"
Aproximación de Error
primerorden detruncamiento
La primera parte de la ecuación (3.21) es exactamentela misma relación
que se usó para aproximar la derivada del ejemplo 1.2 [Ec. (1.lo)].Sin
embargo, con el esquema de la serie de Taylor se ha obtenido una esti-
mación del error de truncamiento asociadocon esta aproximación de la
derivada.Usando las ecuaciones (3.13)y (3.21) seobtiene:
O
~-R1 - O(tii.1 - ti)
ti+1 - ti
[3.22]
[3.23]
Por lo tanto, la estimación de la derivada [Ec. (1.10)o !a primera parte
de la Ec. (3.21)]tiene un error de truncamiento deorden t,+ - ti. En
otras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debe ser
proporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éstese divide a la
mitad, entonces se espera queel error de la derivada, se reduzca ala mi-
tad.
3.5.4. Diferenciación numérica
A la ecuación (3.21) se le conoce con un nombre especial en el análisis
numérico, se le llarr,a diferencias diuididas finitas. Se puede representar](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-98-320.jpg)
![88 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
generalmente como:
O
[3.24]
[3.25]
donde a Aj,se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a
h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el
cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia "hacia adelante" ya
que usa los datos i e i -t 1para estimar la derivada (Fig. 3.6~1).AI térmi-
no completo Af,/h se le conoce como primera diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que
se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación
de derivadas numéricas. Por ejemplo,las aproximaciones a primeras de-
rivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se
pueden desarrollar de una manerasimilar a la de la ecuación (3.24).Las
primerasusan a (Fig. 3.6b),mientras que las segundasusan infor-
mación igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimada
la derivada (Fig.3 . 6 ~ ) .Las aproximaciones más exactasde la primer de-
rivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos
de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anterioresse pueden
desarrollar para derivadas de segundo orden,tercer orden y órdenes su-
periores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilus-
trando cómo se deriva cada uno de ellos.
Aproximaciones a la primera derivada con diferencias hacia atrás.
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor
anteriorsobre el valor actual, dada por:
[3.26]
Truncando la ecuación después de la primer derivada y ordenando los
términos se obtiene:
[3.27]
donde el error es O (h) y V f, indica la primer diferencia dividida hacia
atrús. Véase lafigura 3.6b para una representación gráfica,.
Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales. Una
tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación (3.26)](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-99-320.jpg)
![90 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
para obtener
que se puede resolver para
or
[3.28]
[3.29]
La ecuación (3.29)es una representación de las diferencias centrales (o
centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento
es del orden de h2 en contraste con las diferencias divididas hacia adelan-
te y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, elanálisis de
la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia
central es la representación más exactade la derivada (Fig.3 . 6 ~ ) .Por ejemplo,
si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o
hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras
que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.
Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias fini-
tas. Junto ala primer derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede
usar parauna estimación numérica de las derivadas de ordensuperior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en serie deTaylor hacia adelante
para f (xj+*)en términos de f (xi)de la siguiente forma:
f(Xi+2) = f k i ) + f'(XiI(2h) + -
f"(xi)(2h)Z +
2 [3.30]
La ecuación (3.28) se puedemultiplicar por 2 y restarse de la ecuación
(3.30)para obtener:
. . .
que se puede resolver para:
[3.31]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-101-320.jpg)
![APROXIMACIONESY ERRORES 91
A esta relación se lellamadiferenciasdiuididasfinitas hacia adelante de
segundo orden. Se puedenusarprocedimientossimilaresparaobtener
lasversioneshaciaatrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden
delasdiferenciasdivididashacia adelante, haciaatrás y centrales tam-
bién pueden obtenerse (Fig. 3.7 a la 3.9).En todos los casos, las diferen-
ciascentradas danuna mejoraproximación.
Fórmulasde exactitud para diferencias de orden superior.Todas las esti-
maciones anteriores truncaron las estimaciones dadas porla serie de Taylor
después de algunos términos. Las fórmulas de más exactitud se pueden
desarrollarincluyendotérminosadicionales.Por ejemplo, la expansión
hacia adelante [Ec. (3.28)jse puederesolver para:
[3.32]
FIGURA 3.7 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia atrás. Se presentan dos
versiones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos
de la serie de Taylor y, por lo tanto, esmás exacta.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-102-320.jpg)
![94 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
EJEMPLO 3.8
Aproximaciones de derivadas usando diferencias divididas finitas
Enunciado del problema: úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia
adelantey hacia atrás de O (h) y centradas, deO (h'), paraestimularlapri-
meraderivada de:
f(x) = - 0 . 1 ~ ~- 0 . 1 5 ~ ~- 0 . 5 ~ ~- 0 . 2 5 ~+ 1.2
en x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repetirloscálculos
usando h = 0.25.Nótese que la derivadase puede calcular directamen-
te como:
f'(x) = - 0 . 4 ~ ~- 0 . 4 5 ~ ~- 1 . 0 ~- 0.25
y se puedeusarparacalcular elvalor exacto de f' (0.5) = - 0.912 5.
Solución: para h = 0.5, se puedeusar lafunciónparadeterminar:
x,-1 = o f(Xj-1) = 1.2
Xi+! = 1.0 f(xj+J = 0.2
xi = 0.5 !(X¡) = 0.925
Estos datosse pueden usar para calcular la diferencia dividida haciaade-
lante [Ec.(3.24)]:
f'(0.5) =
0.2 - 0.925
O.5
= -1.45 E, = 58.9%
la diferenciadivididahaciaatrás [ € c .(3.27)]:
f '(0.5) =
0.925 - 1.2
0.5
-0.55 E, = 39.7%
y la diferenciadivididacentral [Ec. (3.29)]:
Para h = 0.25, los datos son:
xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.10351563
x, = 0.50 f ( x , )= 0.925
Xi+l -- 0.75 f(xi+l)= 0.636328 13
que se pueden usar paracalcular la diferencia divididahacia adelan-
te:
f'(0.5) =
0.636 328 13 - 0.925
-"1.155 = E" = 26.5%
0.25](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-105-320.jpg)
![PART’E
I
~
~ DOS
RAKES 11.1
DE
ECUACIONES
. .
a
Desde hace años, se aprendió a uiar la fórmula
cuadrática:
pura resolver
f(x) = ax2 + bx + c = O ~ [11.2]
A los valores calculados con la ecuiación (11.1) se
les llama “raíces” de la ecuación (11.2).Éstos re-
presentan los valores de x que hacen la ecuación
(11.2)igual a cero. Por IS tanto, se puede definir
la raiz de una ecuación como el valor de x que
hace f (x) = O. Por esta razón, algunas veces a
las raíces se les conoce comoceros de la ecuación.
Aunque la fórmula cuadrática es útil para resol-
’ ver la ecuación (ll.2), hay muchas funciones dife-
rentes que no se pueden resolver de manera tan
fácil. En estos casos, los métodos numéricos des-
critos en los capítulos 4 y 5 proporcionan medios
eficientes para obtener la respuesta.
,
13
II. 1 .l Métodos empleados antes de la era de la
computadora pura determinar raíces.
Antes deladvenimientode las computadoras
digitales, había una serie de métodos para encon-
trar las raíces de ecuaciones algebraicas o trascen-
dentales. Para algunos casos, lasraíces se podían
obtener con métodos directos, como se hace con
la ecuación (11.1). Aunque había ecuaciones como
ésta que se podían resolver directamente, había
muchas otras que no lo eran. Por ejemplo, hasta
una función aparentemente simple tal,como f (x)
= e-” - x no se puede resolver analíticamente.
En estos casos, la única alternativaes una técnica
de solución aproximada.
I _ ,A”.” -x/ .; ?.., L .
U n método para obtener unasolución aproxima-
da es la de graficar la función y determinar dón-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-120-320.jpg)
![112 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS
11.2
Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente
de rozamiento paraun paracaidista de una masa dada, para alcan-
zarunavelocidad prescrita enun periodo dado de tiempo.
Aunque la ecuación (11.3)proporciona una representación matemática
de la interrelación entre las variables del ,modelo y los parámetros, no
se puede resolver explícitamente para el coeficiente de rozamiento.
Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación para despejar c
de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implicita.
Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de
diseñosen ingeniería, involucran la especificación de las propieda-
des o la composición de un sistema (representado por sus paráme-
tros) para asegurar que funciona de la manera deseada (representada
por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren
que se determinen sus parámetros de forma explícita.
La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para
raíces de ecuaciones.Pararesolver el problemausando métodos
numéricos es conveniente cambiar la ecuación(11.3).Esto se hace res-
tando la variable dependiente v de ambos lados de la ecuación, ob-
teniendo:
V [11.4]
Por lo tanto, el valor de c que cumple f (c) = O, es la raíz de la ecua-
ción. Este valor también representa el coeficiente de rozamiento que
soluciona el problema de diseño.
La parte I 1 de este libro analiza una gran variedad de métodos nu-
méricos y gráficos para determinar raíces de relaciones tales como
la ecuación (11.4).Estas técnicas se pueden aplicar a los problemas
de diseño en ingeniería basados en los principios fundamentales deli-
neados en el cuadro II.1 así como tantos otros problemas que se afron-
tanfrecuentemente en laprácticadelaingeniería.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
En la mayor parte delas áreas mencionadas en este libro, en general
existen algunos prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesa-
rios para conocer a fondoel tema. Por ejemplo, los conceptos de es-
timación de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadas en
el capítulo 3, tienen importancia directaen el análisis de raíces de ecua-
ciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los tér-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-123-320.jpg)
![RAlCES ECUACIONES 113
minos de ecuaciones"algebraicas"y "trascendentales".Puede
resultar útil definir formalmente estos términos y discutir como se re-
lacionancon esta partedellibro.
Por definición, unafunción dada pory = f (x)es algebraica si se pue-
de expresar de la siguiente manera:
fnyn + fn-1yn-1 + . . . + f i y + fo = o [11.5]
donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple
de funciones algebraicas que se representan generalmente como:
{(x) = a0 + UlX + * * . + a,x" C11.61
donde las a sonconstantes. Algunos ejemplosespecíficosson:
{(X) = 1 - 2 . 3 7 ~+ 7 . 5 ~ ~
Y
f(x) = 5x2 - x3 + 7x6
[11.7]
[11.8]
Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye fun-
ciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas y otras menos fa-
miliares. Algunos ejemplosson:
f(x) = e-' - x [11.9]
f(x) = sen x [11.10]
f(x) = In x2 - 1 p1.1 1J
Las raíces de las ecuaciones puedenser realeso complejas. Un ejem-
plo simple de raícescomplejas es el caso para el cual el término
b2 - 4 ac de la ecuación (II.1 ) es negativo. Por ejemplo, dado el po-
linomio de segundo orden:
f(x) = 4x2 - 16x + 17
La ecuación (11.1) se puede usar para determinar que las raíces son:
16 V(-16)2 - 4(4) (17) 16 * mX =
2 (4)
--
8
Por lo tanto,unaraíz es:
x = 2 + ; ;](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-124-320.jpg)
![METODOS 127
es el caso de una situación real ya que no habría motivo para usar elmé-
todo siya se supiese laraíz.
Por lo tanto, se requiere estimarel error de manera tal que no incluya
el conocimientoprevio de laraíz.De maneraanáloga a como se ve en
la sección 3.3, se puede calcular el error relativo aproximado € , d ela si-
guientemanera [recuérdese la ecuación (3.5)]:
donde es laraíz de la iteraciónactual y xYteriores elvalordela
raíz de la iteraciónanterior. Se usaelvalorabsolutoya que, en general
importa sólo lamagnitudde E , sin considerar su signo. Cuando I E, I es
menorque un valorpreviamente fijado, quedefineelcriterio de paro,
el programa se detiene.
EJEMPLO 4.4
Estimación del error para el método de la bisección
Enunciado del problema:úsese la ecuación (4.2) paraestimarelerror
delasiteracionesdelejemplo 4.3.
Solución: las primeras dos estimaciones de laraízenel ejemplo 4.3 fue-
ron 0.5 y 0.75. Sustituyendo estos valoresenla ecuación (4.2)se obtiene:
0.75 - 0.5
lea' = 1 0.75 1100% = 33.3%
Recuérdese queel error exacto para la raíz estimada de O.75 es del 32.2%.
De esta manera, E, es mayor que E , . Este comportamientose muestra en
lasotrasiteraciones
Iteraci6n Xr I 4 ?fío /%It O h
1 0.5
2
3
4
5
11.8
O.75 32.2 33.3
0.625 10.2 20.0
0.56250.819 11.1
0.593754.695.3](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-138-320.jpg)
![METODOS QUE 131
muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. También propor-
ciona una buena referencia para valorary examinar los programas del usuario.
EJEMPLO 4.5
Localización de raícesusando la computadora
Enunciado del problema: asociado con los programas de NUMERICOMP,
se encuentra un programa legible al usuario sobre el métodode bisección.
Se puedeusaresteprogramapararesolver un problema de diseño
asociado con el ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo 1. Co-
mo se recordará, la velocidad del paracaidista está dada, enfuncióndel
tiempo, de lasiguiente manera:
[E4.5.1]
donde u es la velocidaddelparacaidistaencentímetrospor segundo, g
es la constante gravitacionalcuyovalor es 980 cm / s2, m es la masa
del paracaidista cuyo valores 68 100 g y c es el coeficiente de rozamien-
to. Enel ejemplo l.1 se calculó la velocidad del paracaidista en función
del tiempo para valores dadosde m,c y g. Sin embargo, supóngase que
se desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma que se al-
cance una velocidad prefijada en caída libre despuésde un tiempo dado.
En este caso, se debe seleccionar un valor apropiado de c que satisfaga
los requisitos de diseñocuando se mantengan constantesm,g, t y u. Una
ojeada a la ecuación a (E4.5.1)muestra quec no se puede calcular explí-
citamente en función de lasvariables conocidas. Supóngase que se de-
sea que la velocidaddelparacaidista alcance un valorde 4 O00 cm/s
después de7 s. De esta manera, se debe determinarun valor de c tal que:
[E4.5.2]
con t = 7 S y u = 4 O00 cm/s.
Solución: para implementar el método de BISECCIÓN, se requiere ob-
tener un intervaloinicialque contenga alvalor de c quesatisfaga la
ecuación (E4.5.2).Es conveniente seleccionar este intervalo conjuntamente
con la opción de graficación de BISECCIÓN que viene con el disco (op-
ción 3). El programapregunta los valoresmínimo y máximo de x y de
f (x) generando lagrdficamostradaenlafigura 4.1l a despuésque se
han introducido las dimensionesde la gráfica. Puede verse que existe una
raíz entre 10 O00 y 15 O00 g/s.
El programa BISECCIÓN pregunta porun límite máximo de iteracio-
nes permitido, un error de convergencia E , y un límite inferior y superior](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-142-320.jpg)
![134 METODOS NUMtRICOSPARA INGENIEROS
RECUADRO 4.1 Derivacióndelmétodo de lo regla falso
Multiplicandoencruzla ecuación (4.3) se obtiene: sumando y restando x, del lado derecho:
Dividiendo entre - f (x"):
xuf(x1) - x,f(xu)
f(X/) - f(xu)
xr =
x, = xu- f(xu>(x/- xu)
f (XI) - f(xJÉsta es unaformadel método de la regla falsa. Nótese
que esto permite cualcular laraíz x, en función de los 1:-
que es igual a la ecuación (4.4).Se usa esta forma ya que
manera alternativa, expandiéndola:
analizadoen el capítulo 5.
mites inferior, Y superiorxu. Se puede Ordenar de una es directamente con el método de la secante
Esta es lafórmula de laregla falsa. El valor de xr, calculado con la ecua-
ción (3.4), reemplazaa uno de los dos valores, x, o a x, queproduzca
un valordelafunción que tenga elmismosigno de f (x,). De esta ma-
nera, los valores xly x, siempre encierran a laraíz. El proceso se repite
hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idénti-
co al de la bisección (Fig.4.6)con la excepción de que la ecuación (4.4)
se usa en los pasos 2 y 4. Además, se usan los mismos criterios de paro
[(Ec. (4.2)] para detener los cSlculos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-145-320.jpg)
![MhODOS ABIERTOS 147
EJEMPLO 5.1
Iteración de puntofijo
Enunciadodelproblema:úseseiteración de puntofijoparalocalizar la
raíz de f(x) = e “x “x.
Solución: lafunción se puede separardirectamente y expresarse enla
forma de ecuación (5.2)como = e-”.Empezandocon un valor ini-
cial de x,,=-O, se puedeaplicarestaecuacióniterativa y calcular:
I
Iteraci6n. i X
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1.oooooo
0.367879
0.692201
0.500473
0.606244
0.545396
0.57961 2
0.5601 15
0.571 143
0.564879
1O0
76.3100.0
35.1171.8
22.146.9
11.838.3
6.8917.4
2.205.90
1.243.48
O.7051.93
0.3991.1 1
3.8311.2
I
Deesta manera, cada iteración acerca cada vez más alvalorestimado
con elvalorverdadero de laraíz, o sea 0.567 143 29.
RECUADRO 5.1 Convergencia de la iteración de punto fiio
AI analizar la figura 5.3, se debe notar que la iteración de
punto fijo converge si en laregión de interés g’ ( x ) < 1.
En otras palabras, la convergencia ocurre silamagnitud
de la pendiente de g ( x ) es menor que la pendiente de la
líneaf(x ) = x. Esta observaciónse puede demostrar teóri-
camente. Recuérdese que la ecuación aproximada es:
Xi+l = g(xi)
Supóngase que la solución verdadera es:
x, = S(&)
Restando estas dos ecuaciones se obtiene:
xr - Xi+l = g(xJ - g(xJ [B5.1.1]
En el cálculo, existe un principio llamado teorema del
valor medio (sección3.5.2).Dice que si una función g ( x )
y su primeraderivadason continuas sobre un intervalo
a < x <b, entonces existe un valor de x = { dentro del
intervaloparael que:
[B5.1.2]
El lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la lí-
nea que une ag ( a ) y g ( b ) , De esta manera, el teorema
del valor medio dice que hay al menos un punto entre a
y b que tiene una pendiente, denotada por S({), que es
paralelaa la línea que une g(a)con g(b) (Fig. 3.5).
Ahora, si se hace a = xi y b = x, el lado derecho
de la ecuación (B5.1.2)se puede expresar como:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-158-320.jpg)
![MnODOS ABIERTOS lb1
Enelprimer caso (Fig. 5.3~4,elvalorinicial x, se usaparadetermi-
narelpuntocorrespondientealacurva yz, [xg,g(xo)].El punto [x1,xl]
se encuentra moviendo la curva y1 a la izquierda y horizontalmente.Es-
tos movimientossonequivalentesa laprimeraiteracióndelmétodo de
punto fijo:
De esta manera, enla ecuación y enla gráfica se usa un valorinicial x.
para obtener laaproximación xI. La siguienteiteraciónconsiste en mo-
versealpunto [xl,g (xl)]b después a [x2,x2]. Estaiteración es equiva-
lentea la ecuación:
Lasoluciónenlafigura 5.3a es convergente ya que la aproximación de
x se acerca mása laraíz con cada iteración. Lo mismo se cumplepara
lafigura 5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras 5 . 3 ~y d,
en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la convergencia
ocurreúnicamentecuandoelvalordelapendientede y2 = g ( x ) es me-
nor alvalor de la pendiente de yI = x, esto es, cuando 19' ( x ) I c 1.
Enel recuadro 5.1 se presenta una derivación teórica de este resultado.
5.1.2 Programaparalaiteración de punto fijo
El algoritmopara la computadora de la iteracióndepuntofijoes extre-
madamente simple. Consisteen un ciclo que calcula iterativamente nue-
vas aproximaciones junto con una declaración lógica que determina cuando
se hacumplidoelcriterio de paro.
FORTRAN
f
1 so
I70
2
a 1 0
a F O R M h T C ', Z F I 0 . 3 , I S f
U R I T E ~ 6 . 3 ? X N , E A , N I
STOP
END
BASIC
1X I
I Iü
1213
130
140
150
160
1.70
180
I90
200
210
220
,lFunc16n a la que se
desea calcular la raizl
ES = errorporcentualaceptable
XN = aproximact6n a laraíz
INPUrXR.ES. Ill
FORNI = 1 TU In
I F XN = 0, THEN 170
XN = FN FCXR) IM = numeromaxmodeiteraclones
E A = AB5 ( I X N - XR) I XN) e-. EA = aproximaci6nporcentualdel
I FE A = ES THEN 210 -(pruebade
1W error
NEXT NI
PRINT"NO SE ENCONTRO L A R A I L "
END
P R I N TX N . E A . N I
XR = XN
NINI - I
FIGURA 5.4 Programa parala iteración de punto fijo.Nótese que este algoritmo
general es similar al de los métodos abiertos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-162-320.jpg)
![152 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
En la figura 5.4se presentanlos programas enFORTRAN Y BASIC para
el algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abier-
tos,simplementecambiando la fórmula iterativa (declaración 130).
5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Tal vez, dentro delas fórmulas paralocalizar raíces, la fórmula de Newton-
Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de
la raíz-es x,, entonces se puede extender una tangente desde el punto
[x;, f (xi)].El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una
aproximación mejorada a la raíz.
El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente
(una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita
en el recuadro 5.2).Como en la figura 5.5, la primera derivada en x es
equivalente a la pendiente.
que se puede reordenar para obtener:
a la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson.
FIGURA 5.5 Esquemagráfico del métododeNewton-Raphson. Se extrapolauna
tangentea la función enel punto xi [esto es, f'(x;)] hasta el eje x pa-
ra obtener una estimación de la raíz en x,+ !.
_l__l ~~.~~](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-163-320.jpg)
![154 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
RECUADRO5.2 Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson a partir de la serie de Taylor
Además de laderivación geométrica [ecuaciones (5.5) y 0 = f(Xi) + f'(Xi) (xr - Xi)
(5.6)],el método de Newton-Raphson se puede derivar
también con eluso de la serie Taylor. Esta derivación al- f"(O
ternativa es muyútil en el sentido de que muestra laDe-
+ 2(xr- X,)' [B5.2.3]
netración en la velocidad de convergencia del método. L~ ecuación (B5.2.2) se puede restar de la ecuación
puede representar como:
Recuérdese delcapítulo 3 que la serie de Taylor se (85.2.3) para obtener:
f"(47
+ -(x~+I- X¡)' [B5.2.1]
2
L
[B5.2.4]
en donde t: se encuentraen parte de1intervaloen- Ahora, notando que el es igual a la diferencia entre
tre xiy xi+,. Truncando la serie de Taylor después de la
primera derivada, se obtiene unaversión aproximada:
xi+l y elvalor real, x, como en:
f(Xi+l) -- f(Xi) + f '(Xi)(X¡+l - Xi)
Ev.i+l=xr"xi+l
En la intersección con el eje x,f(xi+,) debe ser igual a ce-
ro, o:
y la ecuación (B5.2.4)se puede expresar como:
0 = f(Xi) + f '(Xi)(Xi+l - Xi) [B5.2.2] [B5.2.5]
L
que se puede resolver para:
que es idéntica a la ecuación (5.6).De esta forma, se ha
derivado el método de Newton-Raphson usando la serie
de Taylor.
Además de la derivación, la serie de Taylor se puede
usar para estimarel error de la fórmula. Esto se puede lo-
grar alutilizar todos los términos de la ecuación B5.2.1
con el resultado exacto. Por esta situación xi+l= x,, en
donde x, es elvalor exacto de laraíz.Sustituyendo este
valor, junto con f(x,) = O en la ecuación (B5.2.1)se
obtiene:
Si se supone que hay convergencia, entonces xi y t: se
deberían aproximar a laraíz x,, y la ecuación (B5.2.5) se
puede reordenar para obtener:
[B5.2.6]
De acuerdo a la ecuaci6n (B5.2.6)el errores casi propor-
cional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el
número de cifras decimales correctas se duplica aproxi-
madamente en cada iteración. A este comportamientose
lellama conoergencia cuadráfica. El ejemplo 5.4 ilustra
esta propiedad.
EJEMPLO 5.4
Análisis de error en el método de Newton-Raphson
Enunciado del problema: como se dedujo enel recuadro 5.2, el método
de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente. Esto es, el error
es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior, dado por:
CE5.4.11](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-165-320.jpg)
![METODOS ABIERTOS 157
taraunaposiciónvariasraíceslejos.Estatendenciadealejarsedel área
de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas acero. Ob-
viamente, unapendiente cero Lf'(x)= O] es un realdesastrequecausa](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-168-320.jpg)
![158 METODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS
5.3
una división por cero en la fórmula de Newton-Raphson [Ec. (5.6)]Gráfi-
camente (Fig. 5.6d), esto significa que la solución se dispara horizontal-
mente y jam& toca al eje x.
La única solución en estoscasos es la de tenerun valor inicial cerca-
no a la raíz. Este conocimiento, de hecho,lo proporciona el conocimien-
to físico del problema o mediante el uso de herramientas tales como las
gráficas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la so-
lución. Esto sugiere tambiOn que se deben diseñar programas eficientes
que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia. La siguiente sec-
ción está enfocada hacia estos temas.
5.2.3 Programa para el método de Newton-Raphson
Con sólo sustituir la línea 130 de la figura 5.4, se obtiene el método de
Newton-Raphson.Nótese, sin embargo, que el programa se debetam-
bién modificar para calcular la derivada. Estose puede llevar a cabo sim-
plemente incluyendo una función definida por el usuario.
Además, de acuerdoa las discusiones anteriores sobrelos problemas
potenciales delmétodo de Newton-Raphson,el programa se debe modi-
ficar incorporándole algunos rasgos adicionales:
1.Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del pro-
-
grama.
2.A1 final de los cálculos, la aproximación a la raíz siempre se debe susti-
tuir en la función originalpara calcular en qué casosel resultado se acerca
a cero.Esta prueba protege contraaquéllos casos donde se observa con-
vergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños
de E,, mientras que la solución puede estar aún muy lejos de una raíz.
3.El programa siempre debeincluir un límite m6ximosobre el número per-
mitido de iteracionesparaestarprevenidoscontra las oscilaciones y
la convergencia lenta,o las soluciones divergentespersistirán intermina-
blemente.
MÉTODO DE LA SECANTE
Un problema fuerte enla implementación del método deNewton-Raphson
es el de la evaluación de la derivada. Aunque esto no esun inconvenien-
te para los polinomios y para muchas otras funciones,existen algunasde
éstas cuyas derivadas pueden ser extremadam-ente difíciles de evaluar.
En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia
divida, como (Fig. 5.7):](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-169-320.jpg)
![METODOS ABIERTOS 165
Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978),
es la de definir una nueva función u(x),que es el cociente de la función
y su derivada, esto es:
[5.10]
Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posicio-
nes que la función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puedesusti-
tuir en la ecuación (5.6)y de esta forma desarrollar una formaalternativa
del método de Newton-Raphson:
Se puede derivar la ecuación (5.10),obteniendo:
[5.11J
[5.12]
Se pueden sustituir las ecuaciones (5.10)y (5.12) en la ecuación (5.11)
[5.13]
EJEMPLO 5.8
Método de Newton-Raphsonmodificado para el cálculo de raíces
múltiples.
Enunciado del problema: úsenselos dos métodos, el estándar y el modi-
ficado de Newton-Raphson para evaluar laraíz múltiple de la ecuación
(5.9), con un valor inicial de xo= O.
Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) esf(x) = 3x2- lox
+ 7, y por lo tanto, el método de Newton-Raphson para esteproblema
[Ec. (5.6)]es:
xi3- 5Xi2+ 7xi - 3
3xi* - loxi + 7
Xi+l = x, -
que se puede resolver iterativamente para obtener:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-176-320.jpg)
![166 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
i Xi 1 € “ I Ojo
O 0 1O0
1 0.42857142957
2 0.68571428631
3 0.83286540017
4 0.913328983 8.7
5 0.9557832934.4
6 0.9776551012.2
Como ya se habíaanticipado, el métodoconvergelinealmentehasta el
valorverdadero de 1.O.
Para el caso delmétodomodificado,lasegundaderivada es f” ( x )
= 60 x - 10, y larelacióniterativa es[Ec. (5.13)]:
(Xi3 - 5xi2 + 7xi - 3) (3Xi2 - loxi + 7)
Xi+l = xi -
(3xi2- lOxi + 7)2- (xi3 - 5xi2 + 7x, - 3) (6xi - 10)
que se puede resolverpara obtener:
i xi lk”l
O 0 1O0
1 l.105263158 1 1
2 1.003081664 0.31
3 1.O00002382 0.00024
De esta forma, el método modificado converge cuadráticamente.Se pue-
denusarambosmétodosparabuscar laraízsimpleen x = 3.
Usando un valorinicial de xo= 4 se obtienen los siguientesresultados:
i Estándar, cy Modificado l t ~ l
o 4 (33%) 4(33%)
-
1 3.4(13%) 2.636 363 637(12%)
2 3.1 (3.3%) 2.820 224 720(6.0%)
3 3.008 695652 (0.29%) 2.961 728211 (1.3%)
4 3.000 074 641 (2.5X 2.998 478 719 (0.051%)
5 3.000000 O06 (2x 2.999 997 682 (7.7X
De esta forma, ambos métodos convergenrápidamente,siendo el méto-
do estándar más eficiente.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-177-320.jpg)
![176 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 6.3 a) Curvas del costo neto de las computadorasMicro-uno[Ec. (6.3)]y
Micro-dos[Ec. (6.4)]. b) La función de punto de equilibrio [Ec. (6.5)J.
estudio de la sección 11.1.2y el ejemplo 4.5,los aspectos considerados en
la elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamiento
numérico.
Las raíces de la ecuación (6.5)se pueden calcular usando algunos
de los métodos numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se pueden
aplicar los métodos que usan intervalos y el método de la secante con
un esfuerzo mínimo, mientrasque el método deNewton-Raphson es em-
barazoso ya que consume muchotiempo al determinar df/dn de la ecua-
ción (6.5).
En base a la figura 6.3,se sabe quela raíz se encuentra entre n = 2 y
n = 10. Estos valores se pueden usar en el método de bisección. L a bi-
sección de intervalos se puede llevar a cabo 18 veces para obtener un
resultado en donde E, sea menor de 0.001%.El punto de equilibrio ocu-
rre a los n = 3.23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndolo
en la ecuación (6.5)para ver que f (3.23) = O.
Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3)o en la (6.4)se
muestra que en el punto de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-187-320.jpg)
![182 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
to K esde 2 X litrosporcélulapor día. Se requierecalcularla den-
sidad de la población bacterial cuando t = 90 días. Si su número excede
de 40 O00 células por litro,entonces la calidad estándar del aguarequie-
rela implementación de algún procedimiento para disminuirlas y prote-
ger a las personas que se introduzcanal agua.
Solución: sustituyendo la informaciónconocida enla ecuación (6.9)se
obtiene:
15O00 =
Pm6x
I [6.10]
lacualtiene sólo unaincógnita, pmdx.Si la ecuación (6.10)se pudiera
resolverpara pmAx,entonces p(t = 90) se podríadeterminarfácilmente
de la ecuación (6.9).Sinembargo,yaque pmsxes implícita,nosepuede
obtenerdirectamentedelaecuación (6.10).Por lo tanto, se debe usar un
método numérico delos capítulos 4 y 5. No se usará el método de Newton-
Raphson ya queladerivadadelaecuación (6.10)es difícil dedeterminar.
Sin embargo,se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la
reglafalsa y de la secante. Con un errorrelativodel 0.01% los valores ini-
ciales dados de 60 O00 y 70 O00 células por litro generan las siguientes apro-
ximacionesde pmsx.
Método empleado Resultado lteracioner
Bisección 63 198 1 1
Regla falsa 63 199 5
Secante 63 200 4
Nótese que los métodos delareglafalsa y de la secante convergen a la
mitaddel númerodeiteraciones del métododebisección.
Ahora, de la ecuación (6.9),con pmdx= 63 200:
63 200
P(90) = = 58 930 células por litro
e-2x10-6(63 200)(90)
Este nivel demográfico sobrepasa ellímite estándar en cuanto a calidad
del agua que es de 40 O00 células por litro y por lo tanto, se debe tomar
algunamedida de corrección.
Este ejemplo, ilustrala eficiencia computacional relativa de tres mé-
todos diferentes para encontrar raícesde ecuaciones en un problema de
diseño de ingeniería civil. Sin embargo, como se menciona anteriormen-
te, el esquema general tiene unaaplicaciónampliaentodos los campos](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-193-320.jpg)
![CASOS DE LA PARTE DOS: RAfCES DE ECUACIONES 187
resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos
(k) y a la distancia al punto de equilibrio (x):
Fuerzadelresorte = "kx [6.13]
en donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa
al auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada
por:
dx
dt
Fuerza de amortiguación = "c-
en donde c esun coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad
vertical. Elsigno negativoindica que la fuerza de amortiguación actúa en
dirección opuesta a la velocidad.
Las ecuacionesde movimiento parael sistema están dadas por la se-
gunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresada
como:
d2x dx
dt dt
m - -- "c - + ( - W
Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerzadelresorte
O
d2x c dx k-+"-+"X=o
dt2 m dt m
Esta es una ecuacióndiferencial ordinaria de segundo ordenque se pue-
de resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si el auto encuen-
tra por casualidad un hoyo en el camino en t = O de tal forma que se
desplazadel punto de equilibrio x = x. y dx/dt = O, entonces:
x(t) = e-"' (xocos pt +
donde n = c/(2m), p =
- sen pt)
n
P
[6.14]
dk/m-c2/(4m2) v k/m > c2/(4m2).La
ecuación (6.14) proporcionala velocidad vertical del auto enfunción del
tiempo. Los valores de los parámetrosson c = 1.4por lo7g/s, m =
1.2 por lo6g y k = 1.25por lo99/s2. Si x. = 0.3. las consideracio-
nes de diseño enla ingeniería mecánica requieren que se denlos estima-
dos en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto
de equilibrio.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-198-320.jpg)
![192 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
FIGURA P6.12 Representaciónesquemática de un reactor de fluioconreciclaje.
(esto es, en la que uno de los productos actúa como catalizador o de estimulante
en la reacción), o
A + B - B + B
se puede demostrar que una tasa óptima de reciclaje debe satisfacer
en donde X,, es la fracción del reactante A que se convierteal producto B. La ta-
sa óptima de reciclaje corresponde aun reactor de tamaño mínimo, necesario para
alcanzar elnivel de conversión deseado.
Úsese el método de bisección para determinar las tasas de reciclaje necesarias
que minimicen al tamaño del reactor en conversiones fraccionales de
U) X,, = 0.99
b)X, = 0.995
c)XA/ = 0.999
6.13 En un proceso químico, el vapor de agua (HzO)se calienta a una temperatura lo
suficientementealta para que unaporción significativa del agua sedisocie o se rompa
enpartesparaformaroxígeno (O,) ehidrógeno (Hz):
Si se supone que es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar (x)
de HzO que se separa puede representarse como:
k, = -
1 - x
[P6.13]
en donde k, es la constante de equilibrio de la reacción y pt es la presi6n total de
la mezcla. Si pt = 2 atm. y k, = 0.045 68, determínese el valor de x que satisfa-
ce a la ecuación (P6. 13).
Ingeniería civil
6.14 Usando los programaspropios,repítanse los cálculos del caso 6.3](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-203-320.jpg)
![194 METODOS NUMtRICOS PARA INGENIEROS-
6.20 La figura P6.20 muestra un canal abierto de dimensionesconstantes con un área
transversal A. Bajo condiciones de flujo uniforme, se cumple la siguiente relación
basada en la ecuación de Manning:
23
Q = "( ) su2
n B + 2y,
[P6.7]
en donde Q es el flujo, y, es la profundidadnormal, B es el ancho del
canal, n es un coeficiente derugosidadusado para medir los efectos de
lafriccióndel materialen el canal y S es la pendiente del canal. La ecua-
ción se usa en ingeniería de fluidos y recursos de agua para determinar la profun-
didad normal. Si este valor es menor que la profundidadcrítica:
FIGURA P6. 20.
en donde g es la aceleración de lagravedad (980cm/s2),entonces el flujo es sub-
crítico.
Úsese un método gráfico y el método de bisecciónparadeterminar y,, si
Q = 14.15 m3/s; B = 4.572 m;n = 0.017 y S = 0.001 5. Señálese siel flujo
es sub o supercrítico.
Ingenieríaeléctrica
6.21 Úsense los programaspropios para repetir los cálculosdel caso 6.4.
6.22 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.4 suponiendo que la carga se debe disi-
paral 2% de su valororiginalen 0.04 s.
6.23 Efectúense los mismoscálculosdel caso 6.4, determinando el tiempo necesario
para que el circuitodisipeel 10% suvalor original, dado R = 300 Q C = lop4
F y L = 4 H .
6.24 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.4 determinando elvalor de L necesa-
rio para que elcircuitodisipe al 1% de su valororiginalen t = 0.05 S, dado
R = 300 Q y c = F.
6.25 Una corriente oscilatoriaen un circuito eléctrico se describemediante
I = 1Oe" sen(27rt)
en donde t está dado en segundos. Determínense todos los valores de t tales que
I = 2.
Ingeniería mecánica
6.26 Usando los programas propios, repítanse los cálculos realizadosen el caso 6.5.
6.27 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, usando c = 1.5 por lo7 g/s,
k = 1.5 por lo9 g/s2 y m = 2 por lo6g.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-205-320.jpg)
![SISTEMAS ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 207
111.2.1 Notación matricial
Una matriz-constade un arreglo rectangular de elementos represen-
tados por un símbolo simple. Como se puede ver en la figura 111.2,
[A]es la notación abreviada para la matriz y uiirepresenta un ele-
mentoindividual delamatriz.
Al conjunto horizontal de elementosse le llama renglón y al conjunto
vertical se le llama columna. El primer subíndice i siempre denota el
número del renglón en quese encuentra el elemento. El segundo sub-
índice j denota la columna. Porejemplo,elelemento 023 estáenel
renglón 2 y en la columna 3.
La matriz de la figura 111.2 tiene m renglones y n columnas y se dice
que es dimensión m por n (o m X n). Se le conoce como una matriz
m por n.
Las matrices con dimensión m = 1 en el renglón, tales como
[B] = [b,b2. . . b"]
seles llama vectores renglón. Nótese que por simplicidad, se omite
elprimersubíndice.
Las matrices con dimensiónn = 1 en lacolumna, tales como
FIGURA 111.2 Una matriz.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-218-320.jpg)
![208 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
se les conoce como vectores columna. Por simplicidad se omite el se-
gundo subíndice.
A las matrices donde m = n se les llama matrices cuadradas. Por ejem-
plo, una matriz 4 por 4 es
a11 a12 a13 a14
[Al =
a21 a22 023 024
[:: 2 2: 24
Se le llama diagonal principal de la matriz a la diagonal consistente
de los elementos a,,,aZ2,q 3 y ad4.
Las matrices cuadradas son particularmente importantes en la solu-
ción de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Para tales siste-
mas, el número de ecuaciones (correspondiente a los renglones) y el
número de incógnitas (correspondientea las columnas)deben ser iguales
en orden para que sea posible unasolución única. Porconsiguiente, las
matrices cuadradas se encuentran al trabajar con tales sistemas. Al-
gunos tipos especiales de matrices se describen en el recuadro 1 1 1 . 1 .
RECUADRO 1 1 1 . 1 Tipos especiales de matrices cuadradas
Hay algunas formas especiales de matrices cuadradas Nótese que se deian en blanco los bloques grandes de
que son importantes y se deben mencionar: elementos que son cero.
Una matriz simétrica es aquelladonde ai; = qij para Una matriz identidad es una matriz diagonaldonde to-
toda i ytoda ;. Por ejemplo, dos los elementos de ladiagonal principal son iguales
a 1 , como en
[A] = [i 1a] [/I = r l l 11 11
es una matrizsimétrica 3 por 3.
Una matriz diagonal es una matriz cuadradadonde to- tiene propiedades a la unidad.
dos loselementos fuera de la diagonal principal son
iguales a cero, como en
El símbolo [I] denota la matriz identidad. Esta matriz
Una matriz triangular superior es aquella dondetodos
sus elementos baio la diagonal principalson cero, como
[all all a13 a141
[Al = I a23a33 a34 IL (7441](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-219-320.jpg)
![SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 209
Una motriz triangular inferior es aquella donde todos cero, conlaexcepción de una banda centradasobre
sus elementos arribadeladiagonalprincipal son ce- la diagonalprincipal:
ro, como
Una motriz banda tienetodos los elementosiguales a le da un nombre especial, motr;z tr;d;agonal,
La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se
111.2.2 Reglas deoperaciónsobre matrices
Ahora que se ha especificado lo que significa una matriz, se pueden
definir algunas reglas de operación que gobiernansu uso. Dos matri-
ces m por n son iguales, si y sólo si, cada elemento de la primera es
igual a cada elemento de la segunda; esto es [A] = [B]si a;, = bjjpa-
ra toda i, j.
La suma de dos matrices, [A]y [B],se realiza sumando los elementos
correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz [C]re-
sultante se calculan como:
p a r a i = 1 , 2 , . . ., m y i = 1 , 2, - .. , n.
De formasimilar, la resta de dos matrices, [E]y [F], se obtiene restan-
do los términos correspondientes, como:
d..= e.."..'I 'I 'I
para i = 1 , 2, . . . ,my j = 1 , 2, . . . , n. De la definición anterior,
se sigue inmediatamente quela suma y la resta se puede llevara ca-
bo sólo entrematrices que tienenlas mismas dimensiones.
Lasuma y la restasonconmutativas:
Y](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-220-320.jpg)
![210 MÉTODOS NUM~RICOSPARAINGENIEROS
La suma y la restatambién son asociativas, esto es,
La multiplicación de una matriz [A]por un escalar g se obtiene multi-
plicando cada elemento de [A] por g, como en
El producto dedos matrices se representa como [C]= [A][B],en don-
de los elementos de [C]se definen como (véaseel recuadro 111.2 donde
se expone el conceptosimpledelamultiplicaciónmatricial)
n
k= 1
C;; = a r k bk; [111.2]
Donde n = la dimensión de las columnas de [A]y la dimensión de
los renglones de [B].
RECUADRO 111.2 Método simple para multiplicardosmatrices
Aunque la ecuación (111.2)está bien definida para im-
plementarse en una computadora, noes la forma más
simple de visualizar la mecánica de multiplicación de
dos matrices. En seguida se presenta una expresión más
tangible sobre este concepto. Supóngase que se desea
multiplicar [A] por [B] y obtener [C]:
Una forma simple de representar el cálculo de [C]es
elevar [B],como en
Ahora la respuesta [C]se puede calcular enel espacio
vacante deiado por[B]. Este formato tiene utilidad por-
que alinea los renglones apropiados y las columnas que
se van a multiplicar. Por ejemplo,de acuerdo a la ecua-
ción (111.2)el elemento c1 se obtienemultiplicandoel
primer renglón de [A]por la primera columna de [B].
Esto es equivalente a sumar el producto de y bl,,
al producto de y b , ,como
912
7=22
For io tanto, cl,,es igual a 22. El elemento c2,,se pue-
de calcular en unaforma similar, como](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-221-320.jpg)
![SISTEMAS DE ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 211
14".:',[A]+ 8 6 x 5 + 6 ~ 7 = 8 2 +[C]
o 4 Nótese queeste método esclarece el porqué es impo-
sible multiplicar si el número de columnasde la prime-
ra matriz no es igual al número ¿e renglonesde la
El calculo se puede continuar deesta manera, siguien- segunda. Nótese cómo demuestra que el orden de la
do la alineación de renglones y columnas, para obte- mdtiplicación coincide también. De la misma manera
ner el resultado: ilustra estos puntos el problema 7.3.
Esto es, el elemento cji se obtiene sumando el producto de elemen-
tos individualesdel i-ésimo renglón de la primera matriz,en este caso
[A],por la i-ésima columna de la segunda [B]. De acuerdo aesta de-
finición, la multiplicación de dos matrices sólo se puede realizar si la
primera matriz tiene tantas columnas como renglones la segunda. Por
lo tanto, si [A] es una matriz m por n, [B] deberá ser una matriz n
por p. En este caso, la matriz [C]resultante tendrá dimensión m por
p. Sin embargo, si [B]fuese una matriz p por n, la multiplicación no
se podría llevar a cabo. La figura 111.3 muestra una forma fácil de
verificar si se pueden multiplicar dos matrices.
Si las dimensiones de las matrices son compatibles, la multiplicacion
matricial es asociativo:
FIGURA 111.3 Una manera simple de comprobar si es posible multiplicar dos matrices.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-222-320.jpg)
![212 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
y distributiva:
Sin embargo, en generalla multiplicaciónno es conmutativa:
[AI[Bl + [BI[AI
Estoes,el orden de multiplicación es importante.
Aunque la multiplicación es posible, la división matricial aún no está
definida. Sin embargo, si una matriz [A]es cuadrada, hay otra ma-
triz [A]", llamada la inversa de [A],tal que
[A][A]" = [A]"[A] = [I] [111.3]
De esta forma, lamultiplicación de una matriz por su inversa, es aná-
loga a la división, en el sentido de que un número dividido por sí mis-
mo es igual a uno. Esto es, la multiplicación de una matriz por su inversa
es iguala la matriz identidad(recuérdese el recuadro 111.1).
La inversa de unamatriz cuadrada bidimensional se puede represen-
tar simplemente como:
1
[A)" =
e2 -a12
0 1 1 a22 - a12 9 1 [- 9 1 al,]
[111.4]
Las matrices de dimensión mayor son mucho más difíciles de expre-
sar.Lasección 8.2 se dedica a estudiar una técnica quecalculala
inversa de talessistemas.
Las operaciones finales de las matricesque tienen utilidad en este aná-
lisis son las de transposición y de matriz aumentada. La transpuesta
de una matriz comprende la transformación de sus renglones en co-
lumnasy sus columnas en renglones.Latranspuesta de la matriz:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-223-320.jpg)
![SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 213
denotada por [AlT,se definecomo:
En otras palabras, el elemento a;;de latranspuesta es igualalele-
mento ai;de la matriz original, o ai = ai;. La matriz transpuesta tie-
ne una gran variedad defunciones enel álgebra matricial. Una ventaja
simple es la de permitir escribir un vector columna como vector fila.
Porejemplo, si:
entonces
en donde el superíndice T denota transposición. Esto puede ahorrar
espacio al escribir un vector columna en un manuscrito. Además, la
matriz transpuestatiene una gran variedad deaplicaciones en las ma-
temáticas.
Una matriz aumentada es el resultado de agregarle una columna(o
más columnas) a la matriz original. Por ejemplo, supóngase que se
tiene una matriz:
Si se deseaaumentarestamatriz [A] con una matrizidentidad(re-
cuérdese el recuadro Ill.1 ), entonces se obtiene una matriz 3 por 6
dimensional, dada por:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-224-320.jpg)
![214 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS-
Esta expresión tiene utilidad cuandose desea realizar un conjunto de
operaciones idénticas sobre dos matrices. De esta forma, se pueden
llevar a cabo las operaciones sobre unamatriz aumentada en vez de
hacerlo sobre dos matricesindependientes.
111.2.3 Representaciónenformamatricial de sistemas de
ecuaciones algebraicas lineales
Debe ser claro que las matrices proporcionan una notación concisa
en la representación de ecuaciones simultáneas lineales. Por ejemplo,
la ecuación (111.1) se puede expresar como:
donde [A] es una matriz cuadrada n por n decoeficientes:
[Al =
[C]es unvector columna n por 1 de constantes:
[C]T = [Cl c2c3 . . . cn]
y [Aes un vectorcolumna n por 1 de incógnitas:
[XIT= [x1x2x3 . . xn]
Recuérdese la definición de la multiplicación matricial [Ec. (111.2)o re-
cuadro 111.21 para comprobar laequivalencia de las ecuaciones(111.1)
y (111.5).También, nótese que la multiplicación matricial (111.5)es vá-
lida ya que el número de columnas (n)de laprimermatriz ([A])es
igualalnúmeroderenglones (n) dela segunda matriz ([A).
En esta parte del libro se resuelve la ecuación (111.5)para [A.Una
manera formal de obtener una solución usando álgebra matricial es
la de multiplicar cada lado de la ecuación por la inversa de [A]para
obtener:
Ya que [A]” [A]es la matriz identidad, la ecuación anterior se con-
vierte en:
[XI = [Al”[Cl 1 [111.6]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-225-320.jpg)
![SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 215
Por lo tanto, la ecuaciónse ha resuelto para [A.Este es otro ejemplo
del juego de la matriz inversa similar a la división en el algebra ma-
tricial.
Finalmente, algunasveces es útil aumentar [A]con [C].Por ejemplo,
si n = 3 elresultado es una matriz 3 por 4 dimensional, dada por:
[111.7]
Expresar de esta manera la ecuacióntiene utilidad, ya que varias de
las técnicas en la solución de sistemas lineales hacen operacionesidén-
ticas a una fila de coeficientes y a la constante correspondiente del
lado derecho. Comose expresó en la ecuación (lll.7), se pueden rea-
lizar algunas operaciones sobre un renglón de la matriz aumentada
en lugar de hacerlo separadamente sobre la matriz de coeficientes
y el vectordel lado derecho.
111.3
Antes de considerar los métodos numéricos,es útil mencionar alguna
orientación adicional. A continuación se muestra superficialmente el
material analizado en la parte Ill. Además, se han formulado algu-
nos objetivos para ayudar a enfocarlos esfuerzos cuando se estudie
el material.
111.3.1 Metasyavances
En la figura 111.4 se proporciona un esquema de la parteIll. El capitu-
lo 7 muestra la técnica fundamental en la solución de sistemas alge-
braicoslineales:laeliminacióngaussiana.Antesdeentrar en los
detalles de esta técnica, se incluye una sección que menciona algu-
nos métodos simples para sistemas pequeños. Esto se hace con el fin
de dar una ideavisual y debido a que uno delos métodos -la elimi-
nacióndeincógnitas- es la base de la eliminación gaussiana.
Después de presentar los antecedentes,se analiza laeliminación gaus-
siana simple.
Se inicia con esta versión ya que permite la elaboración del método
completo sin mayores complicaciones. Después,en las siguientes sec-
ciones, se analizan posibles problemasque usen el método simple
presentando ciertas modificacicnes que minimiceny eviten estos pro-
blemas. AI final del capítulo, se dedica un recuadro a una formamuy](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-226-320.jpg)
![220 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
unalínea recta. Esto puedeilustrarsefácilmenteporlas ecuaciones ge-
nerales:
QlXl + a12xz = c1
a21x1 + a22x2 = c2
Ambas ecuaciones se puedenresolverpara x2:
De esta manera, las ecuaciones seencuentranahora en la forma de lí-
neas rectas; esto es, x2 = (pendiente)x1 + intersección.Estaslíneas se
pueden graficar en coordenadas cartesianas con x2como la ordenada y
x1como la abscisa. Los valores de x1y x2enla intersección de las líneas
representan la solución.
EJEMPLO 7.1
El método gráfico para dos ecuaciones
Enunciado del problema:úsese el métodográficopararesolver
3x1 + 2x2 = 18 [E7.1.1]
-x1 + 2x2 = 2 [E7.1.2]
Solución: sea x1la abscisa. AI resolver la ecuación (E7.1.1) para x2:
que, al graficarse en la figura 7.1, da una línea recta con una intersección
en 9 y pendientede -3/2.
La ecuación (E7.1.2) se puederesolverparax2:
x2 = (1/2)x, + 1
lacualtambién se grafica enlafigura 7.1. La solución es la intersección
delasdoslíneasen x1 = 4 y x2 = 3. Esteresultado se puedeverificar
sustituyendoestosresultados enlas ecuaciones originalespara obtener:
3(4) + 2(3) = 18
I -4 + 2(3) = 2](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-231-320.jpg)
![222 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 7.2 Esquema gráfico de sistemas malcondicionados: a) nohay solución, b)
hay una infinidadde soluciones y c) un sistema mal condicionadoen donde
las pendientes son muy parecidas en el punto de intersección yes difícil
de detectar fácilmente la solución.
secciones,los sistemas mal condicionados también tienen problemas cuan-
do ?e encuentran en la soluciónnuméricade ecuaciones lineales.
7.1.2 Determinantes y laregladeCramer
La reglade Crameres otra técnica de solución aplicablea pocas ecuacio-
nes. Antes de describir estemétodo, se menciona brevementeel concep-
to de determinantes, que se usanenla implementaciónde la reglade
Cramer. Además, el determinante es útil enla evaluacióndemal condi-
cionamiento de unamatriz.
Determinantes. Se puedeilustrar un determinante medianteun conjun-
to de tres ecuaciones:
o. enformamatricial:
en donde [A]es lamatriz de coeficientes:
all a12 a13](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-233-320.jpg)
![ELlMlNAClONGAUSSIANA 223
El determinante D de este sistema se forma con los coeficientes dela ecua-
ción, de la siguiente manera:
Aunqueeldeterminante D y lamatriz [A]se componen de los mismos
elementos,tienen conceptos matemáticos completamente diferentes. Para
denotar lamatriz se usan corchetes y para los determinantesse usan ba-
rras verticales. En contraste con una matriz,el determinantees un núme-
ro. Por ejemplo, elvalordel determinantedesegundo orden:
D = all a12
(a21
se calculamediante:
Enel caso de tercer orden [Ec. (7.2)],se puede calcular elvalordel de-
terminante como:
en donde a los determinantesde 2 por 2 se lesllama menores.
EJEMPLO 7.2
Determinantes
Enunciado del problema: calcúlense los valores de los determinantesde
lossistemasrepresentadosenlasfiguras 7.1 y 7.2.
Solución: para lafigura 7.1:
Para lafigura 7.2~1:
-1/2 1 -1 1
1 = 1-1,2 11 = -(l)2 - 1(%) = o](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-234-320.jpg)
![224 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS
I Para lafigura 7.2b:
I Para lafigura 7 . 2 ~ :
Enel ejemplo anterior, los sistemas singulares tienen un valor de ce-
ro. Además, elresultadoindicaqueelsistemacasisingular (Fig. 7 . 2 ~ )
tiene un determinante cercano a cero. Estas ideas se seguirán manejan-
do posteriormente enlos análisis de mal condicionamiento (sección 7.3.3).
Regla de Cramer. Estaregladicequecadaincógnita de un sistema de
ecuaciones algebraicas linealesse puede expresarcomo el cociente de dos
determinantescon el denominador D y con el numeradorobtenido de
D reemplazando la columna de coeficientes de la incógnitaencuestión
porlasconstantes cl, c2, . . . , c,. Por ejemplo, x1 se calcula como:
EJEMPLO 7.3
Regla de Cramer
Enunciadodelproblema:úsese lareglade Cramerpararesolver:
0.3~1+ 0.52~2+ x3 = -0.01
0 . 1 ~ 1+ O.3X2 + O.5X3 = -0.44
Solución: el determinante D se puedeescribir como [Ec. (7.2)]:
D =
0.3 0.52 1
0.5 1 1.9
0.1 0.3 0.5](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-235-320.jpg)
![226 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
c7.61
La estrategia básicaes multiplicar lasecuaciones por constantespara que
una de las incógnitasse elimine al combinar las dosecuaciones. El resul-
tado es unaecuaciónque se puederesolverpara la incógnita restante.
Estevalor se puedesustituirencualquieradelas ecuaciones originales
paracalcular la otravariable.
Por ejemplo, la ecuación (7.6)se puedemultiplicarpor a21y la ecua-
ción (7.7) por all paradar:
Restando la ecuación (7.8) de la ecuación (7.9),se eliminael término
x1 de la ecuaciónpara obtener:
que se puederesolverpor
[7.10]
La ecuación 7.10 se puede sustituirenla ecuación (7.6),que se puede
resolverpor
[7.11]
Nótese que las ecuaciones (7.10) y (7.11) se calculandirectamentepor
la regla de Cramer, que establece:
1°C: :;;IXI = - c1a22 - a12c2-
alla22 - (3112a21](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-237-320.jpg)
![228 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
7.2.1 Algoritmo para la eliminación gaussianasimple
Se incluye en esta secciónla técnica sistemática de eliminación haciaade-
lante y la sustitución hacia atrás que comprende la eliminación gaussia-
na. Aunque estas técnicasse adaptan perfectamentea las condiciones de
implementación sobre una microcomputadora,se requieren algunasmo-
dificaciones para obtenerun algoritmo legible. En particular, el programa
debe evitar divisiones por cero. Al método siguiente se le llama elimina-
ción gaussiana"simple" porque no evitaestascontingencias. Enlas si-
guientesseccionesse muestran algunos rasgos adicionales necesarios para
tener un programa efectivo.
El procedimiento estáplaneadopara resolverun conjunto de n ecua-
ciones:
allxl + ~112x2+ a13x3+ * * + al,xn = c1 C7.1201
a21x1+ a22x2 + ~ 1 ~ ~ x 3+ ' * * + aZnxn= c2 [7.12b]
[7.12c]
Como en el caso de solución de dos ecuaciones, el método para n ecua-
ciones consiste de dos fases: la eliminación delas incógnitasy su solución
mediantesustituciónhaciaatrás.
Eliminaciónhacia adelante de incógnitas. La primera fase reduce elcon-
juntode ecuaciones a un sistematriangularsuperior(Fig. 7.3).El paso
inicial del procedimiento consiste en dividir la primera ecuación[Ec. 7.12a1
porel coeficiente de laprimer incógnita, all:
a12
x1 + " x 2 + * . + " x , = -
Q l n c1
a11 al1 all
A este procedimiento se le conoce como normalización y tiene como fi-
nalidad convertir el primer coeficiente de la ecuación normalizada en 1.
En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primercoe-
ficiente de la segundaecuación [Ec. (7.12b)],a21:
[7.13]
Nótesequeelprimertérmino de laprimera ecuaciónes ahora idéntico
alprimertérmino de la segunda ecuación. Por consiguiente, se puede
eliminarlaprimeraincógnita de la segundaecuaciónrestando la ecua-
ción (7.13)de la (7.12b) para obtener](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-239-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 229
FIGURA 7.3 Esquema gráficode lasdos partes del método de eliminación gaussia-
na. La eliminación hacia adelante reducela matriz de coeficientes a una
forma triangular superior. Después, se usa la sustitución hacia atrás pa-
ra encontrar las incógnitas.
O
ahax? + * * * + ahnxn= c$
en donde el apóstrofo indica que los elementos han cambiado sus valo-
resoriginales.
El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las
ecuacionesrestantes. Por ejemplo, la ecuación normalizadase multiplica
por a31 y elresultado se resta de la tercera ecuación para obtener
a&x2 + aj3x3 + * . + a&,x,,= c$
Repitiendoel procedimiento parael resto de ecuaciones da como resul-
tado elsiguientesistemamodificado:
[7.14a]
[7.14b]
[7.14c]
[7.14d]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-240-320.jpg)
![230 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
De ahora en adelante, a la ecuación (7.12a)se le llama ecuación pivotal
y a all se lellama pivote.
En seguida se repite el proceso para eliminarla segunda incógnitade
las ecuaciones (7.14~)hasta la (7.14d).Para hacerlo, se usa como ecua-
ción pivotal la ecuación (7,14b)normalizándolay dividiéndola por el pi-
votea'22. Multiplicando la ecuación normalizada por a'32 y restando el
resultado a la ecuación (7.14~)se elimina la segunda incógnita. Repitien-
do el proceso conlas ecuaciones restantes se obtiene:
a"n3x3 + * . + axnx,= c:
en donde el apóstrofe doble indica que los coeficientesse han modifica-
do dos veces.
El procedimiento se puedecontinuarusando las ecuaciones restan-
tes como pivotales. La operación finalde esta secuencia es ladeusarla
(n- 1)-ésimaecuaciónparaeliminar el términode la n-ésima ecua-
ción. En ese momento elsistema se transforma en un sistematriangular
superior (recuérdese el recuadro 111.1).
[7.15a]
[7.15b]
[7.15c]
[7.15dj
Sustitución hacia atrás. La ecuación (7.15d)se puede resolver para x,:
1
17.161
Este resultadose puede sustituir en la (n-1)-ésima ecuacióny resolverse
éstapara x,,~- El procedimientoserepiteevaluandolas x restantes, éste
se puederepresentarmediante la fórmula:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-241-320.jpg)
![ELlMlNAClON 231
[7.17]
para i = n-1, n-2, . . . , 1.
EJEMPLO 7.5
Eliminacióngaussianasimple
Enunciadodelproblema:úsese la eliminacióngaussianapararesolver:
3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85
0.1~1+ 7x2 - O.3X3 = -19.3
0 . 3 ~ ~- 0 . 2 ~ ~+ lox3 = 71.4
[E7.5.lj
[E7.5.2]
rE7.5.31
Efectúense 10scálculosconseiscifrassignificativas.
Solución: la primera parte del procedimientoes la eliminación haciaade-
lante. La normalización de la ecuación (€7.5.1)se lleva a cabo dividién-
dolapor el elemento pivotal, obteniendo:
XI - 0,033 333 3x2 - 0.066 666 7x3 = 2.616 67 [E7.5.4]
En seguida,multiplíquesela ecuación (E7.5.4)por 0.1 y t6stese el resul-
tado de la ecuación (E7.5.2)se tiene:
7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.5]
Por lo tanto almultiplicarla ecuación (E7.5.4)por O.1 y al restarla a la
ecuación (E7.5.3)se elimina xl. Despuésdeestas operaciones, el con-
juntode ecuaciones es
3x1 -- o.lx, - 0.2X3 = 7<65 rE7.5.61
7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.7]
-0.190 000x2 + 10.020 Ox3 = 70.615 O [E7.5.8]
Paraterminar la eliminaciónhaciaadelante xp debe desaparecer de la
ecuación (E7.5.8).Para llevarlo a cabo, normalícese la ecuación (E7.5.7)
dividiéndolapor 7.003 33:
x2 - 0.041 884 8x3 = -2.793 20 [E7.5.9]
Después,multiplíquese la ecuación (€7.5.9)por -0.190 O00 y réstese el
resultado de la ecuación (E5.7.8). Con esto se elimina x2de la tercera
ecuación y reduce el sistema a la formatriangularsuperior,dada por:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-242-320.jpg)
![232 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
3x1 - O.lx, - 0,2~3= 7.85
7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.10]
10.012 Oxg = 70.084 3 [E7.5.11]
Ahora se puedenresolverestas ecuaciones porsustituciónhacia atrás.
Enprimer lugar, la ecuación (E7.5.11)se puede resolver, dando:
x3 = 7.00003 [E7.5.12]
Esteresultado se puede sustituirenla ecuación (E7.5.10),para dar:
7.003 33x2 - 0.293 333(7.000 03) = -19.561 7
que se puederesolverpara
x2 = "2.500 O0 [E7.5.13]
Finalmente, las ecuaciones (E7.S.12) y (E7.5.13)se puedensustituiren
la ecuación (E7.5.6)para dar:
3x1 - 0.1(-2.500 00) - 0.2(7.00003) = 7.85
que se puederesolver para:
x1 = 3.000 O0
Aunquehay un pequeiio error de redondeo enla ecuación (E7.5.E ) ,
los resultadosson muy cercanos a lasoluciónexactade x1 = 3, x2 = -2.5
y xg = 7. Estosepuedeverificarsustituyendolasrespuestasenel con-
junto de ecuaciones originales,para dar:
3(3) - 0.1(--2.5) - 0.2(7.00003) = 7.84999 = 785
0.1(3) + 7("2.5) - 0.3(7.00003) = -19.300 O = -19.3
0.3(3) - 0.2(-2.5) + lO(7.00003) = 71.4003 = 71.4
7.2.2 Programadelmétodode eliminación gaussiana simple
La figura 7.4 muestra los programas de la eliminación gaussiana simple.
Los programasconstan de cuatro partes: entradade dabs, eliminación
hacia adelante, sustituciónhaciaatrás e impresiónde datos. Nótese que
la matriz de coeficientes se aumenta por las constantes del ladoderecho.
Esta informaciónse almacena enlamatriz A. Ya que estamatriz es aumen-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-243-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 237
lanormalización de laprimer ecuaciónimplicaunadivisiónentre all = O.
El problema se presentatambién cuando el coeficiente es muy cercano
a cero. Se ha desarrollad? una estrategia del pivote0 para evitar parcial-
menteestosproblemas.Este se describeenla sección 7.4.2.
7.3.2. Errores deredondeo
Aun cuando la solucióndelejemplo 7.5 se acerca mucho a la solución
real, hayuna pequeña diferencia enel resultadode x3 [Ec. (E7.5.12)].
Esta diferencia, quesignifica un errordel -0.000 43%, se debe al uso
de seis cifras significativas durante los cálculos. Si se hubieran usado más
cifrassignificativas,elerror se habríareducidoaún más. Si se hubieran
usado fracciones envez de decimales(y por consiguientese hubieran evi-
tadoloserrores de redondeo), la respuestahabríasido exacta. Sin em-
bargo, ya que las microcomputadoras manejansólo un número limitado
de cifrassignificativas ( = lo), puedenocurrirloserroresde redondeo y
se debenconsiderar al evaluar los resultados.
EJEMPLO 7.7
Efecto de los errores de redondeo en la eliminación gaussiana
Enunciado del problema: resuélvaseelmismn problema del ejemplo7.5,
usandotrescifrassignificativasduranteloscálculos.
Solución: la eliminación de x1de la segunda y tercera ecuación y la eli-
minaciónde x2 de la tercera llevaalsiguientesistematriangular:
3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85
7.00~2- 0.293~3= -19.6
9.99~3= 70.1
Compárese este sistema con el obtenido previamente usando seis cifras
significativas [ecuación(E7.5.10)hasta la (E7.5.121. Sepuede usarla sus-
tituciónhaciaatráspararesolverel sistema, obteniendo:
x1 = 3.17 I E , ~ = 5.7%
x2 = -2.51 I E, 1 = 0.4%
x3 = 7.02 1 E , I = 0.29%](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-248-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 239
x1 + 2x2 = 10 [E7.8.1]
1 . 1 ~ 1+ 2x2 = 10.4 [E7.8.2]
Después, resuélvase nuevamente, conel coeficiente de x1de la segunda
ecuaciónmodificadolevemente a 1.05.
Solución: usandolas ecuaciones (7.10)y (7.11), la solución es:
2(10) - 2(10.4)
l(2) - 2(1.1)
l(10.4) - 1.1(10)
l(2) - 2(1.1)
x1 = = 4
x2 = = 3
Sin embargo, conelcambioalcoeficiente a21de 1.1 a 1.05, el resulta-
docambiadrásticamente a:
2(10) - 2(10.4)
l(2) - 2(1.05)
x1 = = 8
l(10.4) - 1.05(10)
l(2) - 2(1.05)
x2 = = 1
Nótese que la razón principal de la diferencia entre los dos resultados
es que el denominador representa la diferencia de dos nfimeros casi iguales.
Como se explica previamente enel ejemplo3.4,estas diferencias sonmuy
sensitivas a pequeñas variacionesen los números quese están manejando.
En este punto, se podríasugerirquelasustitucióndelosresultados
en las ecuaciones originales alertaríaal lector enel problema. Desafortu-
nadamente, este no esel caso en sistemas mal condicionados. La sustitu-
cióndevalores erróneos de x1 = 8 y x2 = 1 enlas ecuaciones (E7.8.1)
y (€7.8.2) lleva a:
8 + 2(1) = 10 = 10
1.1(8) + 2(1) = 10.8 = 10.4
Porlo tanto, aunque x1 = 8 y x2 = 1 nosonlassolucionesrealesal pro-
blemaoriginal, la prueba de errorescasiigual, lo quepuedeprovocar
el error al hacercreerquelassolucionesson correctas.
Como se hizo previamente enla sección de métodos gráficos, se puede
desarrollar una representación visual del mal condicionamiento grafican-
dolas ecuaciones (E7.8.1)y (E7.8.2) (recuérdeselafigura 7.2).Debido
a quelaspendientesdelaslíneassoncasiiguales,visualmentees difícil
de ver exactamente donde se intersectan. Esta dificultad. visual se refleja](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-250-320.jpg)
![240 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
cuantitativamenteen los resultados inciertos del ejemplo 7.8. Esta situa-
ción se puede caracterizar matemáticamente escribiendo las dosecuacio-
nes en su forma general:
Dividiendola ecuación (7.18)por a12y la ecuación (7.19)por aZ2y or-
denando términos se obtienenlasversionesalternativasdelformato de
unalínearecta [x?= (pendiente)x1 + intersección].
a21 c2
x1 + "
a22
x2 = "
a22
Por consiguiente, silas pendientessoncasiiguales, entonces:
- = -all 021
012 a22
o, multiplicandoencruz:
alla22 = a21a12
que se puedeexpresartambién como:
alla22 - a12~21= 0 r7.201
Ahora, recordandoque all a22- a12a21es el determinantedelsis-
temabidimensional [Ec. (7.3)],se puedeobtener la conclusióngeneral
deque un sistema mal condicionado es aquelenque su determinante
se aproxima acero. En efecto, siel determinante es exactamente igual
a cero, las dos pendientes son idénticas, lo que produce de forma indis-
tinta o ningunasolución o un númeroinfinitode ellas, como enel caso
delsistemasingularmostrado enlafigura 7.21y b.
Es difícil especificar qué tan cerca debe estar el determinantede cero
de maneraqueindique mal condicionamiento.Estosecomplicapor el
hecho de queun determinante puede cambiarsu valor simplementemul-
tiplicando una o más ecuaciones por un factor escalar sin alterar la solu-
cicin. Por consiguiente, el determinante esun valor relativo que se modifica
conlamagnitudde los coeficientes.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-251-320.jpg)
![ELlMlNAClONGAUSSIANA 241
EJEMPLO 7.9
Efecto de escalamiento enel determinante
Enunciadodelproblema:evalúeseeldeterminantedelossistemas Si-
guientes:
a) Del ejemplo 7.1:
3x1 + 2x2 = 18 [E7.9.1]
-x1 + 2x2 = 2 [E7.9.2]
b) Del ejemplo 7.8:
x1 + 2x2 = 10 [E7.9.3]
1.lxl + 2x2 = 10.4 [E7.9.4]
c) Repítase b) multiplicandolas ecuaciones por 10.
Solución:
a) El determinantede las ecuaciones (E7.9.1)y (E7.9.2)quees un sis-
tema bien condicionado, es:
D = 3(2) - 2(-1) = 8
b) El determinantede las ecuaciones (E7.9.3)y (E7.9.4),quees un sis-
tema mal condicionado, es:
D = l(2) - 2(1.1) = -0.2
c) Los resultadosde a) y de b) parecen corroborar el argumentodeque
los sistemasmal condicionados tienen determinantescercanos a cero.
Sin embargo, supóngase queel sistema mal condicionadob) se multi-
plicapor 10, para obtener:
10x1 + 20x2 = 100
11x1 + 20x2 = 104
La multiplicación de una ecuación por una constante no tiene efecto en
la solución. Además, aún está mal condicionado. Esto se puede verificar
multiplicando por unaconstante que no tenga efecto enla solución gráfi-
ca. Sin embargo, el determinanteresulta muy afectado.
1
D = lO(20) - 20(11) = -20
No sólo se han elevadodos órdenes de magnitud,sinoqueeldetermi-
nante es el dobledelsistema bien condicionado a ) .](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-252-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 143
Stark, 1970).Además, como seveenelcapítulosiguiente(sección 8.2.2),
la matriz inversa puede usarse en la evaluación de la condición de un sis-
tema. Finalmente, unapruebasimple (pero queconsumemuchotiem-
po) consisteenmodificar un poco loscoeficientes y repetirlasolución.
Si estas modificaciones generan resultados drásticamente diferentes, el sis-
temaprobablementeestámalcondicionado.
Como se puede deducir del análisis anterior, definitivamente no exis-
te un métodosimpleparaevaluarelmalcondicionamiento.Enlaelimi-
RECUADRO 7.1 Evaluación de determinantesusando la eliminacion gaussiana
En la sección 7.1.2,se dijo que la evaluación de los de-
terminantes por expansión de menores era impráctica
para conjuntos grandes de ecuaciones. De esta forma,
se concluye que la regla de Cramer sólo es aplicablepa-
ra sistemas pequeños. Sin embargo, como se dijo en la
sección 7.3.3,el determinantetiene sentido cuando va-
lorala condición de un sistema. Por lo tanto, sería útil
poseer un método práctico para calcular esta cantidad.
Afortunadamente,la eliminación gaussiana propor-
ciona unaformasimple de hacerlo. El método se basa
en el hecho de que el determinantede la matriz triangu-
lar se puede calcular simplemente con el producto de
los elementos de su diagonal:
D = a11a22a33. . . ann [B7.1.1]
La validez de ,estafórmula se puede ilustrar en sistemas
de 3 por 3:
en donde el determinante se puede evaluar como [re-
cuérdese la ecuación (7.4)]
o, evaluando por menores (esto es, los determinantes
2 por 2).
D = a11a22m - a d o ) + a d o ) = a11a~~a33
Recuérdese que el paso de eliminación progresiva
de la eliminación gaussiana genera un sistema triangu-
lar superior. Ya que el valor del determinante se puede
evaluarsimplemente al final de este paso:
D = a11a&a&. . . a?;') [B7.1.2]
en donde los superíndices indican que los elementos se
han modificado durante el proceso de eliminación. Por
lo tanto, se puede aprovechar el esfuerzoque se ha he-
cho al reducir elsistema a su formatriangular,y por aña-
didura obtener una aproximación al determinante.
Hay una pequeña modificación en elplanteamien-
to anterior cuando el programa usa pivote0 parcial (sec-
ción 7.4.2).En este caso, el determinante cambia de
signo cada vez que un renglón se usa como pivotal. Una
manera de representar esto es modificando la ecuación
(B7.1.2):
D = alla&?a:3. . . ak-l)(-l)p [B7.1.3]
en donde p representa el número de veces en que los
renglones se usan como pivotales. Esta modificación se
puede incorporar de forma simple enun programa: úni-
camente se toma en cuenta el número de pivoteos que
se llevan a cabo durante los c6lculos y después se usa
la ecuación (B7.1.3)pata evaluar el determinante.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-254-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 245
0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1
1.0000x1 + 1.000 0x2 = 1.000 o
Nótesequeenestaformaelprimer elemento pivotal, all = 0.000 3, es
muy cercano a cero. Despuésrepítanseloscálculosconpivote0parcial
pero invirtiendo el orden de las ecuaciones. La solución exacta es x1 =
1/3 y x2 = 2/3.
Solución: normalizando laprimer ecuación se obtiene:
x1 + 10 000x2 = 6 667
lacual se puedeusarparaeliminar x1de la segunda ecuación:
-9 999x2 = -6 666
que se puederesolver para:
x2 = 2/3
Esteresultado se puede sustituirenlaprimer ecuación y evaluar xl:
2.000 1 - 3(2/3)
0.000 3
x1 = [E7.11.1]
Sin embargo, el resultado es muy sensitivoal número de cifras significati-
vasincluidasenel cálculo:
Valor absoluto
del error
relativo
Cifras porcentual
significativas x? X1 ¿e x1
3 0.667 -3.33 1 099
4 0.6667 0.000 1O0
5 0.66667 0.300 O0 10
6 0.666 667 0.330O00 1
7 0.666666 7 0.333 O00 O o.1
Nóteseque la soluciónpara x1 dependemuchodelnúmerode ci-
fras significativas.Esto se debe a que enla ecuación (E7.11.1), se resta-
ron dos números casi iguales (recuérdeseel ejemplo3.4). Por el otrolado,
si se resuelvenlas ecuaciones en orden inverso, se normalizaelrenglón
conel elemento pivotal mayor. Las ecuaciones son:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-256-320.jpg)
![246 METODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS
1.000 Ox1 + 1.000 ox* = 1.000o
0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1
La normalización y laeliminaciónproduce x2 = 2/3. Para cantidades di-
ferentes de cifras significativas, x1se puede calcular de laprimera ecua-
ción,como:
[E7.11.2]
Este caso es mucho menos sensitivo al número de cifras significativas en
los cálculos:
Cifras
significativas x2 X1
0.667 0.333
0.666 7 0.333.3
0.66667 0.333 33
0.666667 0.333 333
0.666666 7 0.333 3333
Valor absoluto
del error
relativo
porcentual
de x1
0.1
0.01
0.001
0.000 1
0.000 o1
De esta forma, la estrategiapivotalesmuchomássatisfactoria.
Los programas de NUMERICOMP de propósitos generales queacom-
paiían este libro, incluyena menudo una estrategia pivotal.La figura 7.8
muestra un algoritmoparaimplementarestaestrategia.Esteprograma
se puede integrar al de la figura 7.4 para incorporar el pivote0 parcialen
los programasdelusuario.
7.4.3 Escalamiento
En la sección 7.3.3 se dedujo que el escalamiento influye enla estandari-
zación del valor del determinante.Más allá de esta aplicación,tiene utili-
dadenlaminimizaciónde los erroresde redondeo paraaquellos casos
en donde alguna de las ecuaciones de un sistema tiene unos elementos
mucho más grandes que otros. Estas situacionesse encuentran frecuen-
temente en la ingeniería cuando se usan ampliamente unidades diferen-
tes en el desarrollo de ecuaciones simultáneas. Porejemplo, en problemas
de circuitos eléctricos, los voltajes desconocidos se puedenexpresar en](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-257-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 249
Por lo que e l escalamiento introduce un error de redondeo en el primer
coeficiente. Por esta razón, algunas veces se sugiere que el escalamiento
sólo se emplee en casos donde realmente sea necesario, esto es, cuando
el sistema involucre coeficientes de magnitudes muy diferentes.
7.4.4 Correccióndeerrores
En algunos casos, el pivote0 parcial y el escalamiento no son suficientes
para asegurar resultadosprecisos. Por ejemplo, recuérdese el ejemplo 7.7,
que tenía los elementos mayores en la diagonal, pero que debido a los
errores de redondeo,la solución final aún presentaba errores. Estos erro-
res, en general se pueden reducir con el siguiente procedimiento. Consi-
dérese un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
[7.21]
anlxl+ aax2 + * * + a,,x, = c,
Supóngasequese tiene un vectorsoluciónaproximado dado por kl,
kz, . . . , k,,.Estos resultados se sustituyenen la ecuación (7.21),para
dar:
[7.22]
Ahora supóngase que la soluciónexacta xlrxz, . . . , x, se expresa en
función de 21, 2 2 , . . . , k,, y de los factores de corrección Ax,,
Ax2, . . . , Ax,, endonde
[7.23]
x, = R, + Ax,
-. -. ." . .](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-260-320.jpg)
![250 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS
Si estosresultados se sustituyenenla ecuación (7.21) da como conse-
cuencia el siguientesistema:
Ahoralaecuación (7.22) se puederestarde la ecuación (7.24) para
obtener:
allAxl + a12Ax2 + * * + alnAx,= c1 - El = El
azlAxl + a22Ax2 + * * + az,Ax, = c~- E2 = €2
[7.25]
anlAxl+ ~ ~ ~ 2 6 x 2+ * + a,,Ax,, = c, - E, = E,
Este sistema en sí mismo es un conjunto de ecuaciones lineales simultá-
neas que sepuederesolverobteniendoconello los factoresde correc-
ción. Estosfactores se pueden aplicar para mejorar la solución especificada
porla ecuación (7.23).
EJEMPLO 7.13
Uso de las ecuaciones de errorparacorregir los deredondeo
Enunciado del problema: recuérdese que enel ejemplo 7.7 seusala eli-
minacióngaussianacontrescifrassignificativaspara resoher
0.1~1+ 7x2 - 0 . 3 ~ 3= -19.3.
O.3X1 - 0.2~2+ 10x3 71.4
, Debidoalnúmerolimitadodecifrassignificativas,lasolucióndifierede
la verdadera (x1 = 3, x2 = -2.5, x3 = 7) en:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-261-320.jpg)
![ELlMlNAClON 251
x1 = 3.17 E, 5.7%
x2 = -2.51 E , = 0.4%
x3 = 7.02 E, = 0.29%
Úsenselas ecuaciones delerrorpararefinar estas aproximaciones.
Solución: la sustitución de las soluciones en el conjunto originalde ecua-
ciones produce el vectordetérminosindependientes:
[elT= [8.36 -19.4 71.71
que no es igualalvalor real. Por lo tanto, se puede desarrollar un vector
de error:
Ahora, se puedegenerar un conjunto de ecuaciones error [Ec. (7.25)]:
3AX1 - 0.1Ax2 - 0.2Axs = -0.51
O.lAx1 + 7AX2 - 0.3Ax3 = 0.1
O.3Ax1 - 0.2A~2+ 1OAx3 = -0.3
que se puederesolver (usandotrescifrassignificativas de formatal que
existaconsistenciacon elproblema original),para obtener:
[AX]' = [-0.1710.015 7 -0.02461
los cuales se puedenusarparacorregirlas soluciones, dando:
XI = 3.17 - 0.171 = 3.00
x2 = -2.51 + 0.015 7 -2.49
x3 = 7 O2 - 0.024 6 = 7.00
que se aproximanmuchomás a la soluciónverdadera
Ecuaciones del error en los programas. Se puedenintegrarlas ecua-
ciones del error en los programas de la eliminacióngaussiana.En la figu-
ra 7.9 se delinea un algoritmoquerealizaesta tarea. Nótese que para
hacer más efectiva la corrección de sistemas altamente mal condiciona-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-262-320.jpg)
![254 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
PROBLEMAS
Cálculos a mano
7.1 Escríbase el siguiente conjunto de ecuaciones ennotaciónmatricial:
Escríbase la transpuesta de la matriz.
7.2 Algunasmatrices se definen como:
1 5 6
4 0 5
[Al = [2 1 3 1 [Bl = [;;;]4 3 1
[Cl= [a]
5 4 3 6
[GI = [ 8 6 41
Respóndase a lassiguientespreguntasde acuerdo a las matrices anteriores:
o) ¿Cuáles sonlas dimensiones de lasmatrices?
b) Identifíquenselasmatrices cuadradas, columna y renglón.
c) Cuáles son los valores de los elementos:
012 b23 d32 e22 112 912
d) Efectúense lassiguientes operaciones
7.3 Se definentresmatrices como:
a) Efectúense todas lasmultiplicacionesposibles que se pueden llevar a cabo
b) Usese el método del recuadro 111.2 para justificar por qué las parejas restan-
eptre parejas de estas matrices.
tes no se pueden multiplicar](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-265-320.jpg)
![ELlMlNAClON GAUSSIANA 257
Problemas para resolver con una computadora
7.14
7.15
7.16
7.17
7-18
7.19
7.20
7.21
7.22
Escríbase un programageneralparamultiplicardosmatrices, esto es, [X] = [y][Zl
donde [X]es m por n y [Zl es n por p. Pruébese elprogramausando
Escríbase un programa que genere la transpuestadeunamatriz. Pruébese con
Reprográmese la figura 7.4 de tal forma quesea más legibleal usuario. Entre otras
cosas:
a) Intégrese lafigura 7.8 al programa de tal forma que éste realice pivote0
b) Documéntese el programa para identificar cada sección.
c) Etiquétese la entrada y la salida.
d) Escálense las ecuaciones de talforma que el coeficiente mayor en cada
parcial.
renglón sea 1. Calcúlese el determinante como una medidadela condi-
cióndelsistema (opcional).
Pruébese el programa desarrollado en el problema 7.16 duplicando los cálculos
del ejemplo 7.5 y 7.6.
Úsese el programa desarrollado enelproblema 7.16 y repítanse los problemas
7.8 al 7.11.
Repítanse los problemas7.17 y 7.18 usando los programas de NUMERICOMP
disponiblescon el texto. Usese también NUMERICOMPpara realizar una prueba
de error para cada problema.
Desarróllese un programa para sistemas tridiagonales legiblesal usuario y basán-
dose enel recuadro 7.2.
Pruébese el programa desarrolladoen el problema 7.20 resolviendo el problema
7.12.
Resuélvase el problema 7.13 usando los programas desarrolladosen el problema
7.16.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-268-320.jpg)
![262 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Todo el materialdelcapítulo 7 relacionadocon las ventajas y
desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de
Gauss-Jordan. Por ejemplo, se puedeusar una estrategia similar al pivoteo
para evitar divisiones por cero y reducir el error de redondeo.
Aunque los métodosdeGauss-Jordan y de eliminación gaussiana
pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente de
50 % menosoperaciones.Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el
método simple por excelenciaen la obtención de soluciones exactas alas
ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones paraincluir
en estecapítulo el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un
método directo de obtener la matriz inversa, tal como se describe en la
sección 8.2
8.1.1 Algoritmo del método de Gauss-Jordan
Enla figura 8.2 se muestra un algoritmo del método de Gauss-Jordan
sin pivote0 parcial. Un esquema con pivoteomuy parecido al que muestra
en la figura 7.10 se puede incorporar a este algoritmo.
8.2 INVERSIóN DE MATRICES
Enla introduccióna las operacionesconmatrices(sección 111.2.2) se
mencionaque si una matriz es cuadrada, entonces existeotramatriz,
[A]- I , llamada la matriz inversa de [A],para el cual[Ec. (111.3)]:
[A][A]" = [A]" [A] = [I]
También sedemuestraque la inversa se puede usarpararesolver un
conjunto de ecuaciones simultáneas, si se toma [Ec. (111.6)J:
[XI= [Al" [CI @.11
La aplicación de la inversa ocurre cuando esnecesario resolver varios
sistemas de ecuaciones de la forma:
que difieren únicamente en el vector de términos independientes [C].En
vez de resolver cada sistema por separado, unaalternativadiferente consiste
en determinar la inversa de la matriz de coeficientes. Entonces, se puede
usar la ecuación (8.1)paraobtener las soluciones,simplemente multi-
plicando la matriz [A] por el vector de términosindependientescorres-
pondiente [C].Ya que la multiplicación matricial es mucho más rápida
que la inversión, el consumo de tiempo se lleva a cabo sólo una vez y
después se obtienen las soluciones adicionales de una manera eficiente.
También,comosemencionaen la sección 8.2.1, los elementos de la
inversa son extremadamente útiles en sí mismos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-273-320.jpg)
![264 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 8.3 Esquemagráfico del métodode Gauss-Jordan,con inversiónde matrices.
Con el método de Gauss-Jordan se puedecalculardirectamente la
inversa. Para hacerlo, lamatriz de coeficientes se aumenta con una ma-
triz identidad (Fig. 8.3).Posteriormente se aplicael métodode Gauss-
Jordan para reducirla matriz de coeficientesa la matriz identidad. Cuando
se completa esta tarea, el lado derecho de lamatriz aumentada contiene
lamatriz inversa.Esta técnica seilustraenel ejemplosiguiente.
EJEMPLO 8.2
El uso del método de Gauss-Jordan en el cálculo de la matriz inversa
Enunciadodel problema: determínese la matriz inversa del sistema resuelto
en el ejemplo 7.5. Obténgase la solución multiplicando [A]-1Por el vec-
tor de términosindependientes: [CIT = [ 7.85 -19.3 71.4 1. Además,
obténgase la solución para un vector de términos independientes diferente:
[CIT = [2050 151.
Solución: auméntese lamatriz de coeficientes con unamatriz identidad:
3 -0.1 -0.2 I 1 o o
0.3 -0.2 10 j O O 1
-0.3 I O 1 O]
Usando all como pivote, elrenglón 1 se normaliza y se usaparaelimi-
nar a x1 de los otrosrenglones
1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 0.333 333
O 7.003 33 -0.293 333 1-0.033 333 3
o -0.190 O00 10.020 o ~ -0.0999999 o 1](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-275-320.jpg)
![266 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
8.2.1 Cálculos estírnulo-respuesta
Como sedijo enla sección III.1.2,muchos de los sistemaslinealesde
ecuaciones usados en ingeniería se derivan de las leyes de conservación.
La expresión matemática de estas leyes es un tipo de ecuaciónes de ba-
lancequeaseguraque se conserve unapropiedadenparticular; masa,
fuerza, calor, momento u otras. Enelequilibrio de fuerzas de una estruc-
tura, laspropiedadespuedentener componentes horizontales y vertica-
lesdelasfuerzas queactúansobrecadanodode la estructura (véase el
caso de estudio9.3).Para un balance de masas, las propiedades pueden
ser la masa en cada reactor de un proceso químico. Existen ejemplos si-
milaresen otroscamposde la ingeniería.
Se puede escribir una ecuación simple de balance para cada una de
las partes delsistema,generandoun conjunto de ecuaciones que definen
el comportamientodelsistema completo. Estas ecuaciones se interrela-
cionan o se acoplandemaneraque cada ecuaciónincluyeuna o más
delasvariablesdelasotras ecuaciones. En muchas ocasiones, los siste-
masson lineales, y por lo tanto, dela forma exacta que se hatratado
en estecapítulo:
Ahora, en ecuaciones de balance, los términos de la ecuación (8.2)
tieneninterpretaciónfísicadefinida.Por ejemplo, los elementos-de [X]
representan los valoresdelasvariablesque se estánequilibrandopara
cada unadelaspartesdel sistema. Enelequilibrio de fuerzas de la es-
tructura, representan las fuerzas verticales y horizontales de cada miem-
bro. Enel balance de masas, son las masas de sustancia química en cada
uno de los reactores. En cualquier caso, representan las respuestas o es-
tadosdelsistemaqueestátratando de determinar.
El vector [C]de términos independientes contiene aquellos elemen-
tos del balance que son independientes del comportamiento delsistema,
esto es, son constantes. Como tales, representanlasfuerzasexternas o
los estímulosquemanejan al sistema.
Finalmente, lamatriz [A]de coeficientes contiene, en general los pa-
rámetros que expresancomo interactúael sistemao su acoplamiento. Por
consiguiente, la ecuación (8.2)se puedereexpresar como:
[Iteraciones] [respuestas] = [estímulos]
Ahora, como se havistoen este capítulo, existen muchas formas de re-
solver la ecuación (8.2).Sin embargo, elusodelamatrizinversalleva
a un resultado particularmente interesante. La solución formal [Ec. (8.1)]
se puedeexpresar como:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-277-320.jpg)
![GAUSS-JORDAN,INVERS16N Y GAUSS-SEIDEL 267
o (recordandola definiciónde multiplicaci6n matricial del recuadro111.2):
De esta forma, se ha encontrado que lamatrizinvertida misma, además
de proporcionar unasolución,tiene propiedadesmuy útiles. Esto es, ca-
da uno de sus elementos representa la respuesta deuna parte simple del
sistema a un estímulounitarioencualquierpartedelmismo.
Nótese que estas formulaciones son lineales y, por lo tanto, se cum-
plela superposición y la proporcionalidad.Lasuperposiciónindicaque
si un sistema está sujeto a varios estímulos diferentes (lasc), las respues-
tas se pueden calcular individualmentey sumarse los resultados paraob-
tener la respuesta total. Laproporcionalidadindicaque si se multiplica
el estímuloporunacantidad genera unarespuestarespecto al estímulo
multiplicadaporlamisma cantidad.Deesta forma, el coeficiente all'
es una constante deproporcionalidadqueproporcionaelvalorde x1
debido alnivelun'ttario cl. Este resultado es independiente de los efectos
de c2 y c3 sobre xl, los cuales se reflejansobre aA12y aA13respectiva-
mente. Por lo tanto, se puedellegar a la conclusióngeneraldeque el
elemento a-llj de la matriz invertida representa el valor de x1debido a la
cantidadunitariade cj. Usando el ejemplode la estructura, el elemento
aAgde lamatrizinversa representa lafuerzaenelmiembro i debido a una
fuerza externa individual en el nodo. j. Aun para sistemas pequeños, los
comportamientosde las interacciones estímulo respuesta individuales no
son obvios. Porlo que, la matriz inversa proporciona una técnica potente
para comprender las interrelaciones de partes componentes de sistemas
complicados.Esta potencia se demuestra enel caso deestudio 9.3.
8.2.2 La inversa y el malcondicionamiento
Además de sus aplicacionesa la ingeniería,la inversa también suministra
una maneradediscernircuando los sistemasestán mal condicionados.
Existentresmétodosparaestepropósito:
1. Escalar lamatriz decoeficientes [A],detalformaqueel elemento
mayor en cada renglón sea 1.Si los elementos de [A]-'son varias
órdenes demagnitudmásgrandesquelos elementos de lamatriz
original, entonces probablementeéstaesté mal condicionada.
2. Multiplicarlainversaporlamatrizde coeficientes original y estimar
siel resultado se encuentra cerca de lamatriz identidad. Si no lo es-
tá, entonces haymal condicionamiento.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-278-320.jpg)
![268 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
3. Invertirlamatrizinvertida y estimar siel resultadoestá lo suficiente-
mente cerca de lamatriz original. Si no lo está, nuevamente el siste-
ma está mal condicionado.
8.2.3 Algoritmo para la inversión matricial
El algoritmo de la figura 8.2 se puede modificar para calcularla matriz in-
versa.Estoimplica,aumentar lamatriz de coeficientesconuna matriz
identidad al principio del programa. Además, alguno de los indices que
manejan un ciclo se debe aumentar aldoblepara que los cálculos se Ile-
ven a cabo en todas las columnas de la matriz decoeficientes aumentada.
Si se incorporaelpivote0parcialenelalgoritmo de Gauss-Jordan,
entonces serequierenalgunasmodificacionesadicionales.Esto se debe
a que cada vez que un renglón de lamatrizusa un pivote, lacolumnd
de lamatriz inversasedebeajustardeformasimilar.
La figura8.4ilustra este fenómeno. Por ejemplosi el renglón 3 se usa
como pivote o se mueve a la posiciónentre los renglones 1 y 2, se
modifica también el “significado”o “interpretación” del renglón2 dela matriz
invertida. Envez de indicar el efecto de un cambio unitariode c2 sobre las
x, se debeindicar el efecto de un cambiounitariode c3 sobrelas x.
Además de las características anteriores, el programa debe diseñarse
para que calcule las soluciones de un gran número de vectores de térmi-
nos independientes, como se menciona al principio de la sección8:2. Esto
se puede llevar a cabo, simplemente colocando un ciclo después de cal-
cularlamatrizinversa.Este ciclo puede llevar a usar un vector de térmi-
nos independientes, puede entoncesmultiplicarseporlamatriz [A]-’pa-
ra obtenerla solución. El procedimientose continúa hasta queel usuario
indiqueque no requieremás soluciones.
FIGURA 8.4 Esquemagráfico del cambio que se produce en los elementos de la matriz
inversa resultante al mover un renglón de la matriz de coeficientes.
8.3 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Los métodos deeliminacióndirectaanalizadosenlas secciones previas
se puedenusarpararesolveraproximadamente de 25 a 50 ecuaciones
lineales simultáneas. Esta cantidada veces se puede aumentarsiel siste-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-279-320.jpg)
![GAUSS-JORDAN,INVERS16N DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 269
maestábien condicionado, si se emplea la estrategiapivotal, si se usan
las ecuaciones delerror o silamatriz es disprsa. Sin embargo, debido
a loserroresde redondeo, losmétodos de eliminaciónalgunas veces
son inadecuados para sistemas muy grandes. En este tipo de problemas,
sepuedenusarlos métodos iterativos o deaproximaciónconalguna
ventaja.
En el capítulo 5 se usan tipos similares detécnicaspara obtener raíces
deuna ecuacion. Aquellos planteamientos consistenenelusode un va-
lorinicial a partirdel cual, medianteuna técnica sistemáticaseobtiene
una mejoraproximación a laraíz.Debido a que en estapartedeltexto
se enfrenta un problema similar "la obtención de valores para satisfacer
simultáneamenteun conjunto de ecuaciones- se espera que puedan ser
útiles talesmétodosdeaproximacióndentro de este contexto.
La razónporlacuallos métodositerativossonútilesenla disminu-
ción de los erroresde redondeo en sistemas, se debe a que un método
de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de algu-
na tolerancia de error previamenteespecificada.De esta forma, el redon-
deonoes un problema, ya que se controla elniveldeerror aceptable.
El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más usado.Supón-
gaseque se hadado un conjuntode n ecuaciones:
si los elementos de la diagonal son diferentes de cero, la primera ecuación
se puederesolverpara xl, la segundapara x2,etcétera, lo quelleva a:
[8.3a]
[8.3b]
[8.3c]
cn- anlxl- an2x2- * -
X" =
an,n-&-1
[8.3d]
ann
Ahora, se puede empezarel proceso de solución usando un valor ini-
cialparalas x. Lasolución trivial puedeservirdevalor inicial, esto es,
todas las x valen cero. Estos ceros se puedensustituir en la ecuación (8.3a),
que se puede usarparacalcular un nuevovalorde x1 = c1 / all. Lue-,
go, se sustituyeelnuevovalorde xl, con x3,...,x,,aunen cero, enla
ecuación (8.3b)con lacual se calcula un nuevovalorde x2.Este proce-
so se repite en cada una de las ecuaciones hasta llegara la ecuación (8.3d)](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-280-320.jpg)
![270 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
la cual calcula un nuevo valor de x,. En seguida se regresa a la primera
ecuación y se repite todo el proceso hasta que la solución converja bas-
tante cerca de los valores reales. La convergencia se puedeverificar usando
el criterio [recuérdese la ecuación (3.5)]:
- .
E . =
a,1 1 I x{ 1'100% < Es ~8.41
para toda i en donde j y j - 1denotan la iteración actual y la anterior.
EJEMPLO 8.3
Método de Gauss-Seidel
Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Seidely resuélvase
el sistema del ejemplo 7.5 y 8.1:
3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85
0.1~1+ 7x2 - O.3X3 = -19.3
0.3~1- 0.2~2+ 10x3 = 71.4
Recuerdese que la solución real es x1 = 3, x2 = -2.5 y x? = 7.
Solución: en primer lugar. se despejan cada una de las variables sobre
la diagonal:
7.85 + 0.1~2+ 0.2~3
3
x1 =
-19.3 - 0.1~1+x2 =
7
71.4 - 0.3~1+ 0.2~2
10
x3 =
[E8.3.1]
[E8.3.2]
[E8.3.3]
Suponiendo que x2 y x3 son cero, la ecuación (E8.3.1) puede usarse
para calcular:
7.85
3
x1 = - = 2.616 666 667
Este valor,juntocon el de = O, puede sustituirse en la ecuación
(E8.3.2)obteniendo:
-19.3 - 0.1(2.616666 667) + O ="2,794 523 810
x2 =
7](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-281-320.jpg)
![274 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
8.3.3 Algoritmo del método de Gauss-Seidel
En lafigura 8.6se muestraun algoritmo del método de Gauss-Seidel con
relajación.Nótese que este algoritmo no estágarantizado para obtener
resultados adecuados si las ecuaciones no son de tipo diagonalmente do-
minante.
Una manera demodificar el algoritmo para tomar un poco en cuenta
esta desventaja es la de buscar los coeficientes de cada ecuación durante
cada una delas iteraciones e identificar el mayor de ellos. La ecuación en
turno se resuelve para el va!or de x asociadacon el coeficiente. En el
siguiente cálculo, se rastrean los coeficientes de los valores restantes de
x y se encuentra el coeficiente mayor. La ecuación se resuelve para el
valor correspondiente de x.
Procediendode esta manera,seaumentan al máximo las opor-
tunidades de alcanzar unadominanciadiagonal. Sin embargo el es-
quemano garantiza éxito en sistemas de alta divergencia.Porotra
parte,no sería fácil de programar un algoritmo queimplementeeste
esquema
8.3.4 ProblemasdecontextoenelmétododeGauss-Seidel
Además deevitar el problema del redondeo, el método de Gauss-Seide!
tiene otras ventajas quelo hacen particularmente atractivo en el contexto
de ciertosproblemas de ingeniería. Porejemplo,cuando lamatriz en
cuestión sea muy grande y muy dispersa (esto es, que la mayor parte de
los elementos son ceros,los métodos deeliminación gastan una grancan-
tidad de memoria para almacenar los ceros.
En el recuadro 7.2, se muestra como puede evitarse este problema
si la matriz de coeficientes es banda. Para sistemas diferentes, no es fácil
evitar el uso de cantidades grandes de memoria, cuando se usan méto-
dos deeliminación. Ya que todas las computadoras tienen una cantidad
finita de memoria, esta ineficiencia puede llegar a ser una restricción real
en el tamaño del sistema para el que, los métodos de eliminación resul-
tanprácticos.
Aunque un algoritmo general como el de la figura (8.6)está propen-
sa a la misma restricción, la estructura de las ecuaciones de Gauss-Seidel
[€c.(8.3)]permitedesarrollar programas concisos para sistemas espe-
cíficos. Ya que en la ecuación (8.3)se necesita almacenar sólo los coefi-
cientesdiferentes decero, es posible ahorrargrandescantidades de
memoria.Aunqueestoimponemayorcostoen la inversión de desa-
rrollo de programas, las ventajas a largo plazo son sustanciales cuando
se manejansistemas grandes sobre los que se pueden realizar varios
procesos. Los sistemas macro-y microvariables pueden generar matrices
grandes y dispersaspara las cuales se utilizael método de Gauss-
Seidel. En el caso de estudio 9.2 se trabaja un pocomás sobreestos
puntos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-285-320.jpg)
![276 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
PROBLEMAS
Cálculos a Mano
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver el problema 7.6
Determínese la matriz inversa del problema 7.6. Compruébenselos resultados mul-
tiplicando [A] por[A]" y obténgase lamatriz identidad.
Usando el método de Gauss-Jordan, repítase el problema 7.9
Determínese la matriz inversa del problema 7.9. Compruébense los resultadosve-
rificando que [A][A]" = [!] . Evítese el uso de la estrategia del pivoteo.
Usando el método de Gauss-Jordan, conpivoteo parcial, calcúlese lamatriz in-
versadelproblema 7.10. Ordenando la inversadetal forma, que los renglones
y las columnas conformenla secuencia de la matriz original anterior al pivoteo (véase
lafigura 8.4 y el análisis de la sección 8.2.3).
Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver:
10x1 - 3x2 + 6x3 = 24.5
1x1 + 8x2 - 2x3 = -9
"2x1 + 4x2 - 9x3 -50
Determínese lamatriz inversadelproblema 8.6. Úsese la inversapararesolver
el problemaoriginal así como para resolver el caso adicional en donde el vector
de términos independientes es [CIT= [110 55 - 1051.
Resuélvase el problema 8.6 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de
paro del E, = 10 % .
Resuélvase el problema 7.8 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de
paro del t, = 10 % .
- 6 ~ 1+ 12x3 = 60
4x1 - x2 - x3 = -2
6x1 + 8x2 = 4 4](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-287-320.jpg)
![282 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
De esta forma, se puede obtener una ganancia de $44 200 diarios, con
los recursosespecificados enel problema.
Ahora, supóngasequeexiste laposibilidad de aumentarcualquie-
ra de los recursos disponibles. Un objetivoeseldevalorarquérecursosse
debenescogerde talformaquegenerenlamayorganancia.Unamanera
de hacerlo es el de incrementar cada uno de los cuatro recursos individual-
mente, calcularlasganancias y posteriormentecomparar los resultados.
Una alternativamás simple se basa en la matriz inversa, que se puede
calcularusando el métodode Gauss-Jordan, como:
[ 1
-0.081 7 0.0396 -0.146 5 0.191 8
[A]" = 0.1066 -0.225 6 0.408 5 0.010 7
-0.136 8 0.172 8 "0.190 9 -0.113 7
0.088 8 -0.021 3 0.007 1 0.0089
Cada uno de los elementos aij~'indicaelcrecimientoenlacomputadora
i debido al crecimientounitariodelrecurso j. Por ejemplo, el elemento
alyl especifica un incrementounitariode 0.039 6 delacomputadora 1 cuan-
doseagrega un kilogramodemetal.Nótesequealgunosde los coeficientes
son negativos, indicando que un incremento unitario en algunos recursos ba-
jalaproduccióndeesetipodecomputadora.
Ahora,con esta información como antecedente,se puede llevara cabo
un evaluación rápida sobre los beneficios obtenidos al incrementar cada
uno de los recursos multiplicandolos elementos de cada columna por la
gananciaunitariadelcuadro 9.2. Por ejemplo, enlaprimera columna:
API = -0.081 7(1 000) + 0.1066(700) - 0.136 8(1100)
+0.088 8(400) = -122.04
en donde A Pj es el incremento en gananciasdebido a un incremento
al recursoj . De esta forma, un incremento unitario enhoras-hombrebaja
en $122.04 las ganancias. Se pueden llevar a cabo cálculos similaresso-
bre los otros recursos, para obtener:
Ap2 = $ 63.24
A% = $-67.70
AP4 = $ 77.78
De esta forma, un incrementode componentes 0' = 4 genera una mayor
ganancia, seguida por el aumento en los metales 0'= 2). El análisis indi-
ca tambiénque un incremento en losplásticos 0' = 3) genera pérdidas.
El problema anterior es una variación del análisis general sobre eco-
nomíaconocidocorno modelo de entrada-salida. Este ejemplo, difiere
de la aplicación clásica de esta técnica enla cuantificación de transferen-
cia de materialentre los sectores dela economía. Sin embargo, el USO
de la matriz inversa profundiza en interacciones complejas de sistemasli-
neales y es muy representativo del proceso del modelo de entrada-salida.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-293-320.jpg)
![288 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
Las fuerzas ( F ) representan ya sea las tensiones o lascompresiones
de los elementos dela estructura. Las reacciones externas (H2V2 V,)
sonfuerzasquecaracterizan cómo interacciona la armaduracon la su-
perficie quela soporta. El gozne del nodo2 puede transmitir fuerzas hori-
zontalesy verticalesa la superficie, mientras queel rodillo del nodo 3 sólo
transmite fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa
de 1 O00 kg se distribuye a todos los elementos de la armadura.
Solución: este tipodeestructuras se puedendescribir como un sistema
de ecuaciones algebraicaslineales acopladas. En la figura 9.6 se mues-
tran los diagramas de cuerpo libre sobre cada nodo. La suma de las fuer-
zasenlas direccionesvertical y horizontaldebeser cero en cada nodo,
ya que el sistema se encuentra en reposo. Por lo tanto, para el nodo 1:
XFV= O = -Flsen 30" - F3sen60" + F1," P.91
para el nodo 2:
XFv= O = Flsen 30" + Fz,u + VZ [9.11]
para el nodo 3:
XFv = O = F3sen 60" + F3,"+ V3 [9.13]
FIGURA 9.6 Diagramas de cuerpo libre en los nodos de laarmadura estáticamente determinada.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-299-320.jpg)
![CASOSDE TRES: SISTEMASDEECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 289
en donde Fj,hes la fuerza horizontal externa aplicada al nodo i (una fuer-
za positivava de izquierda a derecha) y F;,"es lafuerzavertical externa
aplicada al nodo i (unafuerzapositivavadearriba hacia abajo). De esta
manera, en este problema, la fuerza hacia abajo de 1 O00 kg sobre el no-
do 1corresponde a F,," = - 1000. En este caso lasfuerzasrestantes
Fj,v,F;,hson cero. Nótese que la dirección de las fuerzas y reacciones inter-
nas son desconocidas. La aplicación correcta de la segunda ley de New-
tonrequiereGnicamentequelassuposicionesrelacionadasconlas
direcciones sean consistentes. Si las direccionesno se toman correctamente,
entonces la solución será negativa. También nótese que en este proble-
malasfuerzasde todoslos elementos se suponequeestán entensión
y que actúan jalando a lavez a los nodos adyacentes. Este problema se
puedeescribir como el siguientesistemadeseis ecuaciones conseis in-
cógnitas:
-
0.866 O -0.5 O 0 0
0.5 O 0.866 O O O
-0.866 -1 O -1 o o
-0.5 O 0 o -1 o
O 1 0.5 O 0 0
O O -0.866 O O -1
Nótese que, como seformulaenla ecuación (9.14),
i O -
-1000
- 0
o- E9.141
J
parcial para evitar divisiones porcero sobre loselementos de la diagonal.
Empleando una estrategia de pivoteo, el sistema se puede resolver usan-
dolas técnicas de eliminación analizadas en los capítulos 7 y 8. Sin em-
bargo, debido a queesteproblemaes un caso deestudioidealpara
demostrar la utilidad de la matriz inversa, seusa el método de Gauss-Jordan
para obtener:
y lamatrizinversa es:
[A]-1 =
0.866 0.5 O 0 0 0
0.25 -0.433 O O 1 O
-0.5 0.866 O O O O
-1 O -1 o -1 o
-0.433 -0.25 O -1 O O
0.433-0.75 O O O -1
se requiere-pivote0
Ahora, supóngase que el vector de términos independientes representa
las fuerzas horizontalesy verticales aplicadas externamentea cada nodo,
como:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-300-320.jpg)
![290 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
Debido aque las fuerzas externas no tienen efecto sobrela matriz de coe-
ficientes, el método de Gauss-Jordan no senecesita implementar una y otra
vez para analizar el efecto de las fuerzas externas diferentes sobre la ar-
madura. Envez de esto, todo lo que se tiene que hacer es multiplicar
la matriz inversa por cada uno delos vectores de términos independien-
tes para obtener soluciones alternativas diferentes. Por ejemplo, podría
desearse estudiar el efecto de las fuerzas horizontales producidas por el
viento que sopla de izquierda a derecha. Si la fuerza eólica se puede re-
presentar como dos fuerzas puntuales de 1O00 kg cada una sobre los
nodos 1y 2 (Fig.9.7),entonces el vector de términos independientes es:
[Vector de términos independiente^]^ = [1O00 O 1 O00 O O O]
que se puede multiplicar por lamatriz inversa para dar:
Fl = 866 F 2 = 250 F3 = -500
H* = -2000 v2 = -433 v. = 433
Para un viento de derecha, Fj,h = -1 000, F3,h = -1000, y todas las
demás fuerzas externas son cero, resultando:
FI = -866 F2 = -1250 F3 500
H, = 2000 v, = 433 v, = -433
Losresultados indican que los vientos han tenido marcados efectos dife-
rentes sobre la estructura. Ambos casos se muestran en la figura 9.7.
Los elementos individuales de la matriz invertida tienen también utilidad
directa en el esclarecimientode las interacciones carga-respuestade la es-
tructura. Cada uno de los elementos representa el cambio de una de las
variables hacia un cambio unitario de uno de las cargas externas.Por ejem-
plo, e] elemento aG1 indica que la tercera incógnita F3) cambiará 0.866
"~
FIGURA 9.7 Dos casos de carga que muestran a) vientos de izquierda y b) vientos dederecha.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-301-320.jpg)
![CASOSDEASES 291
debido a la carga unitaria de la segunda carga externa F1,”).De esta for-
ma, sila cargaverticalenelprimernodo se aumenta en uno, entonces
F3se incrementa en 0.866. El hecho de que los elementos sean cero in-
dica que ciertas incógnitaspermanecen inalteradas por alguna de lascar-
gas externas. Por ejemplo, a = O significaque F, nosealterapor
cambiosen FZ,h.Estahabilidaddeaislar interacciones tiene unacantidad
deaplicaciones enla ingenieríaincluyendo la identificacióndeaquellos
componentes que son más sensibles a las cargas externas y, por lo tanto
estánmáspropensos a lafalla.
El planteamiento anterior vienea ser particularmente útil cuando se apli-
ca a estructuras complejas. Enla práctica de la ingenieria puede necesi-
tarse la solución de estructuras con cientos o talvezmiles de elementos
estructurales. Las ecuacioneslineales son una herramienta útil enla com-
prensióndelcomportamiento de estasestructuras.
CASO 9.4 CORRIENTESY VOLTAJESENCIRCUITOSRESISTIVOS
(INGENIERíA ELÉCTRICA)
Antecedentes: un problema comúnen la ingeniería eléctrica es aquel que
implicala determinación de corrientes y voltajes envarias posiciones de
ley de corriente de Kirchhoffy laley de Ohm. La ley de la corriente dice
que la sumaalgebraicadetodaslascorrientessobre un nododebeser
cero (Fig. 9.8a), o
il Nodo i, circuitos complejos deresistencias. Estos problemas se resuelvencon la
” I .
‘2
Cik = O [9.16]
endondetodaslascorrientesqueentran al nodo tienen signo positivo.
a)
Y Rif 1: LaleydeOhmdice que la corriente a travésdeunaresistenciaestá
.”.,‘ ’ ” , *
- dada enfuncióndelcambio de voltaje y de la resistencia (Fig. 9.8b),
‘i/
b)
FIGURA 9.8 Represen-
tación esquemáticade la
a)leyde la corrientede
Kirchhoff y b)leyde Ohm.
3 R = l O R 2 R = 5 R
v, = 200 v
R = 5 nO R
& = o v
R = l 5 R R = 2 0 R 6
[9.17]
FIGURA 9.9 Solucióndelcircuito deuna resistencia usando ecuaciones algebraicas linealessirnul-
táneas.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-302-320.jpg)
![AJUSTE DE CURVAS 311
6.395 hasta un máximo de 6.775.Se puede profundizaren el conoci-
miento de los mismos agrupando los datos en una o mas medidas es-
tadísticas conocidas que proporcionen tanta información como sea
posible acerca decaracterísticas específicasdel conjunto de datos.Estas
medidas estadísticas descriptivas se seleccionan más a menudo para
representar 1 ) la posición central de la distribución de datos y 2) el
grado de dispersióndelconjunto dedatos.
La medida estadística más común es la medida. La media (y)de una
muestra se define como la suma de los datos individuales (y;)dividi-
do
en
La
por el númerodepuntos (n), o:
.. .
[IV.l]
dondela sumatoria va desde i = 1 hasta n.
medida mas común de la dispersión de una muestra es la desvia-
ción estándar (sJ, enfunción de la media:
[IV.2]
I I
en donde S es la suma total de los cuadros de los residuos entre los
puntosy la media, esto es:
S, = c (y, - [IV.3]
Por lo tanto, si las medidas individuales se dispersan muy lejos de la
media, S, (y, por lo tanto sy) crecerá. Si se agrupan muy cerca de la
media entonces la desviación estándar será pequeña. La dispersión
también se puede representar por el cuadrado de la desviación es-
tándar,alacuál se le llamavarianza:
[IV.4]
Nótese que el denominador en ambos casos es n - l. Esto toma en
consideración que un promedio derivado previamente de los datos
(estoes, la media) se usó para determinar S,. Formalmente, se dice
que se pierde un grado ¿e Iibedad. Otra justificación de dividir por
n - 1 es que no hay dispersión en un solo dato. Por lo tanto, en el
casodonde n = 1, laecuación (IV.4) proporciona unresultado sin
sentido o infinito.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-322-320.jpg)
![312 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
Una medidaestadística final quetiene utilidad en la cuantificación de
la dispersión de los datos es el coeficiente de variación (c. v). Esta me-
dida estadística es el cociente de la desviación estándar dela media.
Como tal, proporciona una media normalizada de la dispersión. A
menudo se multiplica esta cantidad por 100, de tal manera que se
pueda expresar en forma porcentual:
[ ; IC.V. = = 100% [IV.5]
Nóteseque elcoeficiente devariación essimilaralerrorrelativo porcen-
tual (tu)mencionadoen la sección 3.3. Es decir, el cociente de una
medida de error (S,,) entre una estimación del valor verdadero (a.
EJEMPLO IV.l
Tratamiento estadístico sencillo de una muestra
Enunciadodelproblema: calcúlense lamedia,varianza,desvia-
ción estándar y coeficiente de variación de los datos del cuadro IV.l.
Solución: los datos se suman (cuadro IV.2) y los resultados se usan
para calcular [Ec.(lV.l)]:
- 158.400
24
= 6.6
Como enel cuadro IV.2, la suma de los cuadrados de los residuos
es 0.217 00, que se puede usar en el calculo de la desviación están-
dar [Ec.(lV.2)]:
II
sy = ,/T= 0.097 733
I
1 y la varianza[Ec.(lV.4)]:
S’, = 0.009435
y los coeficientes de variación [Ec.(lV.S)]:
C.V. =0.097 33100% = 1.47%
6.6](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-323-320.jpg)
![REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 321
10.1 REGRESIóNLINEAL
Ei ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es
el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observa-
das: (x1,yl), (xp,y2), ...,(x,,,y,,). La expresión matemática de una línea
rectaes:
y = a0 + alx + E [10.1]
en donde a. y al son coeficientes que representan la intersección con el
eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o resi-
duo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reor-
denando la ecuación (10.1)como:
E = y - a0 - alx
Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y
y el valor aproximado, a. + a, x, predichopor la ecuaciónlineal.
10.1.1 Criterio para un mejor” ajuste
Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debe
minimizar la suma de los errores residuales, como en:
/ /
i=1 i=l
[10.2]
Sin embargo, estecriterio es inadecuado, como se puedever en la figura
10.2a, en donde semuestra la línea recta que ajusta dos puntos. Obvia-
mente, la mejor línea ajustada esaquella que conecte ambos puntos. Sin
embargo, cualquier línea que pasa por el punto medio de la línea que
los conecta (excepto unalínea perfectamente vertical)genera un valor mí-
nimo en la ecuación (10.2)igual a cero ya que los errores se cancelan.
Otro criterio sería minimizar la suma de los valores absolutos de las
diferencias,esto es:
n n
1 6 1 = 2 I M - a0 - alxil
i= 1 i= 1
En la figura 10.21se muestra por qué este criterio también es inadecua-
do. Con los cuatro puntos mostrados, cualquier línea recta que se en-
cuentre dentro de las líneas punteadas minimiza el valor absoluto de la
suma. Por lo que estecriterio aún no produceel mejor ajusteque sea único.
Una tercera estrategia en el ajuste de una línea óptima es el criterio
de minimax. En este método, la línea se escoge de tal manera que mini-
mice la distancia máxima a la que se encuentraun punto de la linea rec-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-332-320.jpg)
![REGRESIóN CON MíNIMOS CUADRADOS 323
Este criterio tiene muchasventajas, incluyendoel que ajusta una linea única
a un conjunto dado de datos. Antes deanalizar estas propiedades, se mues-
tra un métodoquedetermina los valoresde a. y al que minimizanla
ecuación (10.3).
10.1.2 Ajuste deunarectautilizando mínimos
cuadrados
Paradeterminar los valoresdelas constantes a. y al, se derivala ecua-
ción (10.3)conrespecto a cadaunodelos coeficientes:
Nóteseque se hansimplificadolossímbolosdelasumatoria; a menos
queotra cosa se indique,todaslassumatorias van desde i = 1 hasta n.
Igualando estas derivadas a cero, se genera un mínimo S,. Si se hace así',
las ecuaciones anteriores se expresarán cómo:
Ahora, considerandoque C a. = nao,las ecuaciones se pueden expre-
sar como un conjunto de dosecuaciones lineales simultáneas con dosin-
cógnitas (aoy al):
nao + C xial = yi [10.4]
[10.5]
A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones normales.Se pueden
resolversimultáneamente y obtener [(recuérdese la Ec. 7.10)]:
[10.6]
Este resultado se puede usar junto conla ecuación (10.4)para obtener:
en donde v y X sonlamedid¿+de
lll__..... .". . .
[10.7]
y y x, respectivamente.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-334-320.jpg)
![REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 325
10.1.3 Cuantificación del error enla regresión lineal
Cualquier línea recta diferentea la que se calculó en el ejemplo 10.1 ge-
nera una mayor suma de cuadradosde los residuos. Porlo tanto, la línea
esúnica y en términosdelcriterioescogido es “la mejor” línea a través
de los puntos. Se puede derivar un gran número de propiedades adicio-
nales deeste ajuste, examinando más de cerca la manera como se calcu-
laron los residuos. Recuérdese que la suma de los cuadrados se define
como [Ec. (10.3)]: I
S, = 2 (yi - a. - alxi)* 110.81
Nótese lasimilitud entre las ecuaciones (IV.3)y (10.8).Enelprimer
caso, los residuos representabanla diferencia entrelos datosy una aproxi-
mación simple de la medida de la tendencia central; la media. En la ecuación
(10.8),los residuos representanel cuadrado dela distancia vertical entre
los datos y otra medida de la tendencia central; la línea recta (Fig. 10.3).
La analogía se puede extender más paracasos en donde 1) la dispersión
de los puntos alrededorde la recta son de magnitud similar a lo largo del
rango entero delosdatos y 2) ladistribución de estospuntosalrededor
de la línea es normal. Se puede demostrar que si este criterio se cumple,
la regresión con mínimos cuadrados proporciona la mejor(esdecir, la más
probable) aproximación de a. y al (Draper y Smith, 1981). A esto se le
conoce como principio de probabilidad máxima dentro de la estadística.
Además, si este criterio se cumple, una “desviación estándar”de la línea
deregresión se puededeterminar como [compárece conla Ec. (IV.2)]:
i= 1
FIGURA 10.3 El residuo en la regresiónlinealrepresenta el cuadradode la distancia
verticalentreunpunto y la línearecta.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-336-320.jpg)
![326 M~TODOSNUM~RICOSPARA lNGENlEROS
[10.9]
en donde sy,x se llama error estándar de la aproximación.Lanotación
consubíndice “y/x” indicaque el error es para un valorpredichode y
correspondiente a un valorparticular de x. También, nótesequeahora
ladivisión es por n - 2 ya que se usan dosaproximacionesobtenidas
de los datos; a. y a, paracalcular S; por lo tanto, se han perdidodos
grados de libertad.Como con el análisis de desviación estándar en lasec-
ción IV.2.1,otrajustificaciónde dividir por n - 2 es que no existeuna
“dispersión de los datos”alrededordeunalínearecta que conecta dos
puntos.Deesta manera, para el caso cuando n = 2, la ecuación (10.9)
noproporciona un valordeinfinitoelcual no tiene sentido.
Así como con la desviación estándar,el error estándx de la aproxima-
cióncuantifica ladispersión de los datos. Sin embargo, cuantificala
dispersión alrededor de la linea de regresión, como se muestra en la figura
10.4, contrario a la desviaciónestándaroriginal, S, quecuantifica la
dispersión alrededor de la media.
Los conceptos anteriores se pueden emplear para cuantificarla “efi-
ciencia”del ajuste. Esto es particularmente útil enla comparación de va-
riasregresiones (véase la Fig. 10.5).Parahacerloseregresa a losdatos
originalesy se determina la suma de los cuadrados alrededorde la media
para la variable dependiente (en este caso,y). Se le puede llamar a esto](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-337-320.jpg)
![REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 327
FIGURA 10.5 Ejemplos de la regresiónlinealcon a) erroresresidualespequeños y b)
grandes.
lasumatotalde los cuadrados, S,. Esta es lacantidad de dispersiónen
la variable dependiente que existe antes de la regresión. Después de Ile-
var a cabo la regresiónlineal, se puedecalcular S,, que es la5uma de
los cuadradosde los residuos alrededorde la linea de regresión. Este pre-
senta la dispersión que existe despuésde la regresión. La diferencia entre
lasdos cantidades, o St - S, cuantifica la mejora enla reduccióndel
error debidoal modelo de la línea recta. Esta diferenciase puede norma-
lizar al errortotal y obtener:
[10.10]
endonde r es el coeficiente de correlación y r2 es el coeficiente de de-
terminación. Para un ajuste perfecto, S, = O y r2 = l, indicando que
la línearectaexplicael 100 % de lavariabilidad. Si r2 = O, entonces el
ajustenorepresenta mejorías.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-338-320.jpg)
![328 MhODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS
EJEMPLO 10.2
Estimación de los errores en el ajuste por mínimos cuadrados lineal
Enunciadodelproblema:calcúlese la desviaciónestándar total, elerror
estándar de la aproximación y el coeficiente decorrelación de los datos
del ejemplo 10.1.
Solución: lassumatorias se muestranenel cuadro 10.1. L.a desviación
estándar total es [Ec.(IV.2)]
y el errorestándar de la aproximaciónes IEc. (10.9)]:
por lo tanto, ya que S , , < S,, el modeloderegresiónlineales acepta-
ble. El alcance dela mejoríasecuantificamediante [Ec. (10.lO)l
22.714 3 - 2.991 1)-2 =
22.714 3
= 0.868
O
r = = 0.932
Estos resultados indican que el 86.8% de laincertidumbreoriginal se ha
explicadomediante el modelolineal.
Antes de proceder con el programa de computadora parael método
de regresión lineal, son necesarios algunos comentarios.Aunque el coe-
ficiente de correlación proporcionaun medio fácil de medir la efectividad
del ajuste, se debe tener cuidado de no atribuirle significado garantizado.
El que r esté “cercano”a 1, no significa que el ajuste sea necesariamente
“bueno”. Por ejemplo, es posible obtener un valorrelativamentealto de
r cuando la relación mencionada entre y y x ni siquiera es lineal. Draper
y Smith (1981) proporcionan una guía y material adicional que sirve para
valorar los resultados de una regresión lineal. Además, como mínimo, se
debe inspeccionar siempre una gráfica de los datos con una línea de re-
gresión cuando se ajusten curvas de regresión. Como se verá en la siguien-
te sección, los programasdeNUMERICOMPcontienenestas opciones.
10.1.4 Programadecomputadoraparalaregresión lineal
Es relativamente sencillo desarrollarun programa parala regresión lineal.
La figura 10.6 muestra las versiones en FORTRAN y BASIC. Ya que las
opciones gráficasdeunamicrocomputadora](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-339-320.jpg)
![REGRESION 329
FORTRAN BASIC
DATA SX/O./,SU/O./,XZ/O./,XY/O./ 100
FORHAT (I5 120
Do 170 I=l,N 139
READ(5,2)X,Y 140
fOiWAT(2F10.0) 150
READ(5rl)N 110
9!=SX*X 160
sY=sv+Y I79
x2=X2+x~x 1BO
sY=xY+x'Y 190
XY=SX/N
CONTINUE 200
YM=SY/N 210
kl=(N~XY-SX~SY)/(N.X2-sX*Sx) 229
.?,O=YM-Al*XH 230
WRITE(6t3)AOrAl
FORMAT(' *,2F10.3)
STOP
mn
INPUT N
FOR I = 1 TO N X = independentvariable
INPUT X . Y Y = dependentvariable
N = number of data points
sx = sx + x SX = sum of X's
SY = S Y + Y
SY = sum of Y's
x2 = x2 + x I x-
X Y = X Y + X O Y X2 = sum of square of X's
NEXT I __2_____ X Y = sum of product of X andY
X t l = SX / N XM = meanof X's
YM = SY / N
A I = (N :X Y - sx t S Y ) (N m , YM=meanofY's
x2 - sx :SX)
PRINT ClO.61
END i
A l = slope
A0 = interceptA 0 = YM - Al I XH
FIGURA 10.6 Programas FORTRAN y Basic para la regresión lineal.
son muy variadas,no se incluyengráficasdeestosprogramas.Sin em-
bargo, como se mencionó anteriormente,esta opción es importante para
el uso e interpretación efectiva de la regresión y se incluye en el paquete
suplementario de NUMERICOMP. Si la computadora que el lector usa,
tiene la posibilidad de graficaciónse recomienda quese expandan los pro-
gramas de tal manera quese incluya una gráfica dey contra x que mues-
tre los datos y la línea de regresión. La inclusión de gráficas aumenta en
gran medida la utilidad de los programas dentro delcontexto de solución
deproblemas.
EJEMPLO 10.3
Regresión lineal usando la computadora
Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICOMP aso-
ciado a este texto incluye un programa legibleal usuario que implementa
la regresiónlineal.Esteprogrdmasepuedeusar enla solucióndelpro-
blema de pruebadehipótesis asociado conelparacaidistaanalizadoen
el capítulo 1.Se dio un modelo matemático teórico parala velocidad del
paracaidistamediante la fórmula [Ec. (1.9)]:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-340-320.jpg)
![330 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
en donde u es la velocidad en centímetros porsegundo,g es la constante
de aceleración gravitacional de 980 cm/s’, m es la masa del paracaidis-
ta e igual a 68 100 g , y c es el coeficiente defricción de 12 500 g/s. Co-
mosedescribeenelejemplo l . l ,el modelopredice la velocidaddel
paracaidista en función del tiempo.En el ejemplo2.1 se muestra una gráfica
de lavariacióndelavelocidadenfuncióndel tiempo.
Un modelo empírico para la velocidad del paracaidista está dado por
la siguientefórmula:
v(t) = [ ]t
c 3.75 + t
[E10.3.1]
Supóngase quese desea probar y comparar la suficienciadeestos
dos modelos matemáticos. Esto se puede llevara cabo midiendo la velo-
cidad verdadera del paracaidista en intervalos detiempo conocidosy compa-
rando los resultados con la velocidad predicha por cada uno de los modelos.
Se tiene un grupodedatosmedidosexperimentalmente los que se
listanenla columna a) delcuadro 10.2. Las velocidadescalculadas de
cada modelo se listanenlas columnas b) y c).
CUADRO 10.2 Velocidades medidas y velocidades calculadas para la caída del
paracaidas
Tiempo, S
V Calculada,
Medida V Calculada, cmls cmls [ecuación
cmls [ecuación (1.9)] (E10.3.l)l
( 4 ( 4 ( 4
1
2
3
4
5
6
7
9
10
11
12
13
14
15
a
100 o
163 O
230 O
275 O
310 O
356 O
390 O
415 O
429 O
450 O
460 O
455 o
460 O
490 O
500 O
895.3
1 640.5
2260.7
2776.9
3 206.5
3 564.1
4109.5
4315.6
4 630.1
4749.0
4847.9
4 930.3
3861.7
4487.2
4998.8
1 124.0
1 857.0
2 372.9
2755.6
3 050.9
3 285.5
3 476.6
3 635.1
3 768.7
3981.6
4143.7
3 882.9
4067.8
4211.0
4 271.2
Solución: lavalidez de los modelos se puede probar graficando las velo-
cidadesmedidascontra la velocidadcalculadapor el modelo. Se usala
regresión lineal enel cálculo de lalínea recta y se gráfica. Esta línea ten-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-341-320.jpg)
![334 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS
en donde a2 y b2son coeficientes. Este modelo tiene una amplia aplica-
ción en todos los campos de la ingeniería. Como se muestra en la figura
10.9b, la ecuación (para b2 # O o 1) es no lineal.
Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de prome-
dio de crecimiento de saturación:
X
y = a3-
b3 + X
[10.13]
en donde a3 y b3son coeficientes constantes. Este modelo, que es parti-
cularmente útil enla caracterización de crecimientospoblacionales bajo
condicioneslimitantes,tambiénrepresentaunarelaciónnolinealentre
y y x (Fig. 10.94 que nivela, o “satura”conforme x crece.
Las técnicas de regresión no lineal se usan para ajustar directamente
estas ecuaciones a los datos experimentales. Sin embargo, una alternati-
va mássimple es ladeusar manipulacionesmatemáticas y transformar
las ecuaciones a la forma lineal. En seguida se puede aplicar la regresión
linealsimpleparaajustarlas ecuaciones a los datos.
Por ejemplo, la ecuación (10.11)se puedelinealizarmediante loga-
ritmosnaturales y obtener:
In y = In al + blx In e
Pero, ya que In e = 1, se tiene:
In y = In al + blx [10.141
Por lo tanto una gráfica semilogarítmicade In y contra x genera una línea
rectacon una pendientede bly una intersecciónde In al (Fig. 10.9d).
La ecuación (10.12)se puedelinealizartomadologaritmosdebase
10 y obtener:
log y = b2log x + log a2 [lo.151
De esta forma, una gráfica logarítmica de log y contra log x genera una
línearectaconunapendiente de b2 y unaintersecciónde log a2 (Fig.
10.9e).
La ecuaci6n (10:13) se linealizainvirtiéndola, y se obtiene:
[10.16]
Y a3 x a3
Por lo tanto, unagráficade l / y contra l/x serálineal,conpendiente
b3/a3y unaintersecciónde l/a3 (Fig. lO.9j).
Estos modelos,en sus estados transformados,se ajustan usando regre-
siónlinealparaevaluarlos coeficientes constantes. Después se pueden
transformar a su estado original y usarse para propósitos predictivos. En
el ejemplo 10.4 se ilustra esteprocedimientopara la ecuación (10.12).
Además los casos 12.2 y 12.3 proporcionan ejemplos de este tipo de cálculos
aplicados a problemasdeingeniería.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-345-320.jpg)
![REGRES16N 337
nosdatosdeingeniería,aunquemuestren un marcadopatrón como el
de lafigura 10.8, se representan pobremente mediante unalínea recta.
En estos casos, se ajustamejor unacurva a los datos. Como se analiza
enla sección anterior, un métodoparallevar a cabo esteobjetivoes el
de usar transformaciones. Otra alternativaes ajustar polinomiosa los da-
tos usandoregresiónpolinomial.
El procedimiento de mínimos cuadradosse puede extender fácilmente
y ajustardatos a un polinomiodem-ésimogrado:
y = a0 + alx + a2x2+ * * + a,xm
En este caso, la sumade los cuadradosde losresiduos es [compárese
con la Ec. (10.3)]:
n
Sr= (yi - a. - alxi - a2x? - * . - amx?)2 [10.17]
i= 1
Siguiendo elmismo procedimiento dela sección anterior, se toma la de-
rivada de la ecuación (10.17)con respecto a cada uno de los coeficientes
delpolinomio,para obtener:
Estas ecuaciones se puedenigualar a cero y reordenarde tal forma
queseobtenga el siguienteconjuntode ecuaciones normales:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-348-320.jpg)
![338 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
en dondetodaslassumatorias van desde i = 1 hasta n. Nótesequelas
m + 1ecuaciones anterioressonlineales y tienen m + 1 incógnitas:ao.
al, ..., a,. Los coeficientes delasincógnitas se puedencalculardirecta-
mente de los datos observados. Por lo tanto, el problema de determinar
polinomios de gradom con mínimos cuadradoses equivalentea resolver
un sistemade m + 1 ecuaciones linealessimultáneas. Los métodos de
solución de estos sistemas se analizanen los capítulos 7 y 8.
Así como en la regresión lineal, el error enla regresión polinomial se
puedecuantificarmediante el errorestándarde la aproximación:
%/x = u'".- n - (m + 1) [10.19]
en donde m es elordendelpolinomio.Estacantidad se dividepor
n- ( m + 1) ya que se usaron m + 1 coeficientes - a. , al,...,am-
derivadosde los datosparacalcular S; por lo tanto, se hanperdido
m + 1gradosdelibertad.Ademásdelerror estándar, se puedecalcular
también el coeficiente de correlación en la regresión polinomial de la mis-
ma maneraquepara el caso lineal:
r2 = S" - Sr
S"
Ejemplo 10.5
Regresión polinomial
Enunciado del problema: ajústese un polinomio de segundo orden a los
datosdelasdoscolumnasdelcuadro 10.4.
Solución: de los datos dados:
m - 2 x, = 15 2,xp = 979
n = 6 y, = 152.6 xx,y, = 585.6
-
x = 2.5 x' = 55 2 x'y, = 2 488.8
I 5 = 25.433 x? = 225
Por lo tanto, las ecuaciones linealessimultáneas son:
6ao + 15al + 55a2 = 152.6
15ao + 55al + 225a2= 585.6
55ao + 225a1 + 979a2= 2 488.8](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-349-320.jpg)
![REGRESldN CUADRADOS 341
SUBROUTINE POLREG(X,P,A)
DIMEIiSION X(15),Y(15).A(15.161
IP=Io*1 2030 FOR L = 1 TO N
2000 FOR I = 1 TO I O + 1
2010 FOR J = 1 TO IO + 1
2020K = I + J - 2
IO = order of regression
ccnnoN N,IO
polynolnsal
N = number of data oolnts
2050
2060
2090
2100
DO 2100 I=l,IP
DO 2060 J=l,IP
K=I+J-2
W 2050 L=l,N
A(I,Jl=A(I.Jl+X(L)~~K
CONTINUE
CONTINUE
~~
2040 A ( I , J ) = A ( I , J ) + x ( L )
2050 NEXT L
2070 FOR L = 1 TO N
2060 NEXT J
2080 A ( I , I O + 2 ) = A ( I , I O +
Y ( L ) t X ( ¡ ) ( 1 - 1 )
K- (Determlnatlon of
coefficlents of normal
equations and
storage In matrix A l
(Deterrnlnation of
2) +,
"
2090 NEXT L
" ..
right hand side constants
M) 2090 L=l,N ' 2100 NEXT I
IR=lP+l 2 11O RETURN
CONTINUE
A ~ 1 , I R ~ = A ~ I . I R ~ + Y ~ L I ~ X ~ L ~ ~ ~ ~ I - l ~
CONTINUE
RETURN
END
and storage In last
for normal equations
column of rnatrlx A l
FIGURA 10.13 Subrutinasen FORTRAN y BASIC que calcula las ecuaciones normales,
de la regresión polinomial, en forma matrical.
10.2.1 Algoritmo para la regresión polinomial
En la figura 10.12 se muestra un algoritmo sobrela regresión polinomial.
Nótese que la tarea principales la obtención delos coeficientes de lasecua-
ciones normales[Ec. (10.la)].(Lassubrutinas que llevan a cabo esta tarea
se presentan enlafigura 10.13).En seguida se pueden aplicar los méto-
dos de los capítulos 7 y 8 enla solución de estas ecuaciones simultáneas
para esos coeficientes.
Un problema potencial quese presenta conla implementación polino-
mial es que algunasveces las ecuaciones normales estánmal condiciona-
das. Esto se cumple en particular cuandolos sistemasson muy grandes. En
estos casos, los coeficientescalculadossonaltamentesusceptiblesa los
errores de redondeoy, por lo tanto, los resultados resultan inexactos. Entre
otrascosas, este problema está relacionado con e!hecho de que parapo-
linomios de órdenes superiores las ecuaciones normales pueden tenercoe-
ficientes muy grandes y muy pequeños almismo tiempo. Esto se debe
a que los coeficientes son sumatorias de los datos elevados a potencias.
Aunque algunas de las estrategias para amortiguarlos errores de redon-
deo analizadas enel capítulo 7, tales como el pivote0 y las ecuaciones
de error, pueden ayudar a remediar parcialmente este problema, una al-
ternativa más simple es usaruna computadora de alta precisión. Este es
un caso dondelasmicrocomputadoraspuedenrepresentardesventajas
en la implementación efectiva de este método numéricoen especial. Afor-
tunadamente, la mayor parte de los problemasprácticosestdnlimitados
apolinomiosdeordeninferior en los que los erroresde redondeo, en
general, son despreciables. En situaciones dondese requiera polinomios
de orden superior, se disponedeotrasalternativasparaciertostiposde
datos. Sin embargo, estos métodos (talescomo los polinomiosortogona-
les) van más allá del alcance de este libro. El lector debe consultar textos
sobre regresión tales como el Draper y Smith (1981)para obtener infor-
maciónrelacionadacon el problema y susposiblesalternativas.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-352-320.jpg)
![342 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
10.3 REGRESIóNLINEALMúLTIPLE
Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una
función lineal de doso más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una fun-
ción lineal de x1 y x2, de la forma:
Tal ecuación es útil particularmente cuando seajustan datos experimen-
tales en donde la variable que se está analizando, a menudo es función
de otras dosvariables. En este casobidimensional, la “línea” de regresión
viene aser un “plano” (Fig. 10.14).
Como con los casos anteriores,los “mejores”valores de los coeficientes
se determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos:
n
Sr = (yi --‘a0 - alxl,¡ - ~ 2 , ~ )
2
i=l
y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:
[10.20]
Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los
residuos se obtienen igualando cada unade las derivadas parciales a cero
y expresando la ecuación (10.20)como un conjuntodeecuaciones li-
neales simultáneas, de la forma:
o como una matriz:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-353-320.jpg)
![344 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
Solución: las sumatorias necesarias para desarrollar la ecuación (10.21)
se calculan en el cuadro 10.5.Sustituyéndolas enla ecuación (10.21)se
obtiene:
[;{.5 :::5 g]54 [a2 = [g.51
que se puede resolver usando un método comola eliminación gaussiana
para obtener:
a. = 5 al = 4 a2 = -3
los cuáles son consistentes con la ecuación original de donde sederiva-
ron los datos.
La regresión lineal múltiple se puede formular en el caso más general
como:
y = a0 + alxl + a2x2 + * * . + a,xm
en dondelos coeficientes que minimizan la suma delos cuadrados delos
residuos se determinan resolviendo el sistema:
El error estándar de la aproximación para regresiónli
formula de la siguiente manera:
[10.22]
neal múltiple se
y el coeficiente de correlación se calcula como en la ecuación (10.10).
Aunque existenciertos casos en donde una variable es linealmente
dependiente de dos o más variables diferentes, la regresión lineal múlti-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-355-320.jpg)
![348 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
10.22
10.23
10.24
Usese regresiónlinealmúltiplepara ajustar:
x1
x2
1 1 2 2 3 3 4 4
18 12.825.720.6 35.0 29.845.540.3y
1 2 1 2 1 2 1 2
Calcúlense los coeficientes, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de corre-
lación.
Problemasrelacionadoscon la computadora
Desarrólleseun programa legible al usuario para regresión lineal basado en la figura 10.6.
Entreotras cosas:
a) Agréguense instrucciones que documenten el programa.
b) Háganse másdescriptivas las operaciones de entrada salida y orientadas al usuario.
C) Calcúlese e imprímaseel error estándar de la aproximación [Ec.(10.9)]y el coeficiente
de correlación [la raíz cuadrada de la ecuación (10.10)].
d) (Opcional)Inclúyase una gráfica por computadora delos datos y de la línea de regresión.
e) (OpcionalInclúyase una opción que permita analizar ecuaciones deltipo exponencial,
de potencias y depromediode crecimiento de saturación.
Desarróllese un programa que sea legible al usuario para regresión polinomialbasado en
las figuras 10.12 y 10.13.Pruébese el programa repitiendo los cálculos del ejemplo 10.5.
Desarróllese un programa que sea legible al usuario para la regresión múltiple basado en
lafigura 10.12, pero con lamatriz especificada como la ecuación (10.22).pruébese el
progrmarepitiendo los cálculos del ejemplo 10.6
Repítanse los problemas 10.4 y 10.5 usando el programadelproblema 10.18
Úsese el paquete de programas NUMERICOMP para resolver los problemas 10.4, 10.5
y 10.6a
Repítanse los problemas 10.9, 10.13 y 10.15 usando el programa del problema 10.19.
Repítanse los problemas 10.16 y 10.17 usando el programadelproblema 10.20](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-359-320.jpg)
![C A P í T U L O O N C E
Confrecuenciasetienenqueestimarvaloresintermediosentrevalores
conocidos. El método más común empleado para este propósitoes la in-
terpolaciónpolinominal.
Recuérdese que la fórmulageneral de un polinomioden-ésimo or-
den es:
f(x) = a0 + a1x + a2x2+ * + anxn [11.1]
Para n + 1 puntos, existeuno y sólo un polinomio de n-ésimoorden o
menor que pasaa través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una
línea recta (esdecir, un polinomio de primer orden) queconecta dos puntos
(Fig. 11.la). De manera similar hay sólo una parábolaque conecta a tres
puntos (Fig. 11.lb). El polinomio de interpolaciónconsisteendetermi-
narelÚnicopolinomio de n-ésimoorden que se ajusta a los n + 1 pun-
tos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcularlos valores
intermedios.
Aunque existe unoy sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta
a los n + 1 puntos, existenunagranvariedaddefórmulasmatemáticas
FIGURA 1 1 . 1 Ejemplos de interpolación polinomial:a) Primer orden (lineal),conexión
de dos puntos; b) conexión de tres puntos, segundo orden (cuadrática
o parabólica) y c) conexión de cuatro puntos, tercer orden(cúbico).](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-360-320.jpg)
![350 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En este capítulo,
se estudian dos técnicas alternativas que est6n bien condicionadas para
implementarse en una microcomputadora. Estos son los polinomios de
Newton y los de Lagrange.
11.1 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNCON
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Como ya se dijo, existe una variedad de maneras diferentes de expresar
un polinomio de interpolación. El polinomio de interpolacióncondife-
rencias diuididas de Newton, entre otros, es la forma más popular además
de la más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan las ver-
siones de primero y segundo orden debido a sufácil interpretación visual.
11.l. 1 Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con
una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal,se muestra en
la figura 11.2. Usando triángulos semejantes, se tiene:
FIGURA 11.2 Esquema gráfico de la interpolación lineal. Las áreossombreadas mues-
tran triángulos semejantes usados en la derivación de la fórmula de in-
terpolaciónlineal [€c. (1 1.2)].](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-361-320.jpg)
![INTERPOLACldN 351
que se puedereordenar como:
[11.2]
lacual es unafórmuladeinterpolaciónlineal. La notación fl(x) indica
que se trata de un polinomio de interpolacióndeprimer orden. Nótese
que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos
puntos, eltérmino Lf(xl)-f (xo)]/(xl- xo)es una aproximación de di-
ferencias divididasfinitas a laprimeraderivada [recuérdesela ecuación
(3.24)].En general, entre máspequeño sea el intervalo entre lospuntos,
más exacta será la aproximación. Esta característica se demuestra en el
ejemplo, siguiente.
EJEMPLO 1 l . 1
lnterpolaciónlineal
Enunciado del problema: calcúlese el logaritmo natural de 2 (In 2) usan-
do interpolación lineal. Primero, llévense a cabo los cálculos interpolan-
do entre In 1 = O y In 6 = 1.791 759 5. Despuésrepítanse el
procedimiento,perousando un intervalomás pequeño desde In 1a In
4 (1.386 294 4). Nóteseque elvalorrealde In 2 = 0.693 147 18.
Solución: usando la ecuación (11.2),unainterpolaciónlinealde x = 1
a x = 6 da:
f,(2) = 0 +
1.791 759 5 - O
6 - 1
(2 - 1) = 0.358 351 90
la cual representa un error porcentualde = 48.3%.Usando el intervalo
más pequeño desde x = 1 a x = 4 da:
fi(2)= 0 +
1.386 294 4 - O
4 - 1
(2 - 1) 0.462 098 13
Por lo tanto, usandoelintervalomás pequeño reduce elerrorrelativo
porcentual a E, = 33.3%.Ambasinterpretaciones se muestranen la fi-
gura 11.3,juntocon lafunción verdadera.
1 l. 1.2 interpolación cuadrática
El errorenelejemplo 11.1se debe a que se aproximó unacurva me-
diante una línearecta. Por consiguiente,una estrategia que mejora la apro-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-362-320.jpg)
![352 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
FIGURA 11.3 Dos interpolaciones lineales para aproximar In 2. Nótese cómo el intervalo más pe-
queño proporciona una mejor aproximación.
ximación es la de introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los
puntos. Si se dispone de tres datos: lo anterior se puede llevar a cabo
conun polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cua-
drático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
Nótese que aunque la.ecuación (11.3)parezca diferente de la ecuación
general de un polinomio [Ec. (11.l)], las dos ecuaciones son equivalen-
tes. Esto se puede demostrarsi se multiplican lostérminos de la ecuación
(11.3)y obtener:
A(x) = bo + blx - blxo + b2X2 + bzxoxl - ~ ~ x x O- b2XXI
o, agrupando términos:
f2(x) = a0 -t alx + a2x2
en dónde:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-363-320.jpg)
![INTERPOLACI6N 353
De esta manera, las ecuaciones (11.1)y (11.3)son fórmulas alternativas
equivalentes del Único polinomio de segundo grado que une a los tres
puntos.
Se puedeusar un procedimiento simple para determinar los valores
de los coeficientes. Para bo, se usa la ecuación (11.3) con x = x0 y se
obtiene
bo = f (xo) [11.4]
Sustituyendo la ecuación (11.4) en la ecuación (11.3) y evaluando en
x = x1 se obtiene:
[11.5]
Y por último, las ecuaciones (11.4) y (11.5)se sustituyen en la ecuación
(11.3),y se evalúa ésta en x = x2 y seobtiene:
[11.6]
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, bl aún re-
presenta la pendiente de la línea que une los puntos x0 y xl. Por lo tan-
to, los primeros dos términos de la ecuación (11.3)son equivalentes a
la interpolación de x. a xl, como ya se especificó anteriormenteen la
ecuación (11.2).El Gltimo término, b2(x- xo)(x- xl),introduce la cur-
vatura de segundo orden en la fórmula.
Antes de ilustrar como se usa la ecuación (11.3), sedebe examinar
la forma del coeficiente b2. Es muysimilar a la aproximación por dife-
rencias divididas finitas de la segunda derivada introducida previamente
en la ecuación (3.31).Por io tanto. la ecuación (11.3)empieza a mani-
festar una estructura muy similar a la serie de Taylor. Esta observación
se explora con más detalle cuando se relacione el polinomio de Newton
con la serie de Taylor en la sección 11.1.4.Pero primero, se muestra có-
mo se usa la ecuación (11.3)para interpolar entre tres puntos.
EJEMPLO 11.2
Interpolación cuadrática
Enunciado del problema: ajústese el polinomio de segundo orden a los
tres puntos usados en el ejemplo 11.1:
x0 = 1 f(xo) = o
XI = 4 f(x1) = 1.386294 4
x2 = 6 f ( ~ 2 )= 1.791759 5](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-364-320.jpg)
![354 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
úsese el polinomio para evaluar In 2.
Solución:aplicando la ecuación (11.4)da:
Las ecuaciones (1l .5) generan :
y la ecuación (11.6)da:
1.791 759 5-1.386 294 4 "o.426 098 13
b2 =
6-4
= - 0.051873 116
6 . 1
Sustituyendo estos valores en la ecuación (11.3)se obtiene la fórmula
cuadrática:
f 2 ( ~ ) O + 0.462 098 1 3 ( ~- 1)- 0.051 873 1 1 6 ( ~- l)(x- 4)
que se evalúa en x = 2 y se obtiene
f2(2) = 0.565 84436
lo que representa un error porcentual del .E" = 18.4%.Por lo tanto, la
curvatura introducida por la fórmula cuadrática (Fig. 11.4)mejora la in-
terpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una línea recta
en el ejemplo 11.1y la figura 11.3.
11.1.3 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de
n-ésimo orden a los n + 1puntos. El polinomio den-ésimoorden es:
j n ( X ) = bo + bl(x - ~ g )+ * * * + b,(x - XO)(X- XI) . . . (X - Xn-l)
[11.7]
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráti-
cas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes bo. b l , . . . .
b,. Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo
orden: x(),xl, , . . , x,. Usando estos datos, con las ecuaciones siguien-
tes se evalúan los coeficientes:
[11.8]
[11.9]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-365-320.jpg)
![lNTERPOLACl6N 355
FIGURA-11.4 uso de la interpolación cuadratica para calcular In 2.Se incluye también la interpo-
lociónlineal de x = 1 a 4 para comparación.
b 2 = f b 2 , x17 x01 [11.10]
en donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias
divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia divididafinita se re-
presenta generalmente como:
[ll.121
La segunda diferencia diuididafinita, que representa la diferencia de dos
primeras diferencias dividas finitas, se expresa generalmente como:
[11.13]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-366-320.jpg)
![356 MÉTODOS NUM~RICOSPARAINGENIEROS
Estas diferenciasse usan para evaluar los coeficientes de lasecuacio-
nes (11.8)a la (1l.ll),los cualesse sustituyen en la ecuación (11.7) pa-
ra obtener el polinomiodeinterpolación:
FIGURA 11.5
[11.15]
Al cual se lellama polinomio de interpolación con diferencias divididas
de Newton. Se debe notar que no es necesario que los datos usados en
la ecuación (11.15)estén igualmente espaciados o que los valores de la
abscisanecesariamenteseencuentrenenordenascendente,como se ilus-
traenelsiguiente ejemplo. Tambiénnótesequelasecuaciones (11.12) a
la (11.14)son recursivas, esto es, las diferencias de orden superior se com-
ponen de diferenciasde orden inferior (Fig. 11.5).Esta propiedadse apro-
vechará al desarrollar un programa eficiente para la computadora enla
sección 11.1.5 queimplementeeste método.
Esquema gráfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida
finita.
EJEMPLO 11.3
Polinomios de interpolacion de Newtoncon diferencias divididas
Enunciado del problema: enel ejemplo 11.2, se usaron los puntos en
x. = 1, xi = 4 y x2 = 6 paracalcular In 2 conuna parábola. Ahora,
agregando un cuartopunto [x3 = 5; f(x3)= 1.609 437 91, calcúlese In 2
con un polinomio de interpolacióndeNewtoncondiferenciasdivididas
detercer orden.
Solución: el polinomiodetercer orden, ecuación ( 11.3) con n = 3, es](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-367-320.jpg)
![INTERPOLACI6N 357
las primeras diferencias divididas del problema son [Ec. (11.12)J
fkl, x01 = 294 - o = 0.462 098 13
4 - 1
1.791 759 5 - 1.386 294 4 = o.2o2 732 55
f k 2 , x11 =
6 - 4
1.609 437 9 - 1.791 759 5 = o.182 321 6o
f[X3, x21 =
5 - 6
Las segundas diferencias divididas son [Ec.(11.13)]
0.202 73255 - 0.46209813
6 - 1
f k 2 , x19 x01 = = - 0.051 873 116
0.182 321 60 - 0.202 73255
5 - 4
fix39 x27 x11 = = - 0.020 410950
La tercera diferencia dividida es [Ec. (11.14)]con n = 31
-0.020 410 950 - (-0.051 873 116)
5 - 1
f b 3 , x2, x19 x01 =
= 0.007 865 541 5
FIGURA 11.6 USOde interpolación cúbica para aproximar In 2.
" " ~ - _ I .._" "X.L.1 I -."l"""-.-.---](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-368-320.jpg)
![358 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Los resultadospara f[xl,xo],f[x2,xl,xo]y f[x3,x2,xl,x"] representan los
coeficientesbl, b2y b3dela ecuación (11.7).Juntocon bo = f(xo)= 0.0
la ecuación (11.7) da
f3(~) = O + 0.462 09813 (X - 1) - 0.051 873 116(X " 1 ) (X - 4)
+ 0.007 865 541 5(x- l)(x - 4)(~- 6)
conlaquesepuedeevaluar
f3(2) = 0.628 768 69
lo que representa un error relativo porcentual del t u = 9.3%.El polino-
mio cúbicocompleto se muestraenlafigura 11.6.-
11.1.4 Errores en los polinomios interpolantes de Newton
Nótese que la estructura de la ecuación (1l.15)es similar a la expansión
de la serie de Tayloren el sentido de quelos términos agregadossecuen-
cialmente consideran el comportamiento de orden superior dela función
representada. Estos términosson diferencias divididas finitasy, por lo tanto,
representan aproximaciones a lasderivadasdeordensuperior. En con-
secuencia, como sucede con la serie de Taylor, si la función representati-
va es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante den-ésimo
ordenbasado en n + 1 puntosllevará a resultados exactos.
También, como enel caso de la seriede Taylor, se puedeobtener
unaformulacióndelerrordetruncamiento. Recuérdese dela ecuación
(3.13)que elerrordetruncamientoen la seriedeTaylor se expresa en
formageneral cómo:
f'"'(S)
(x,+1- xi)"+'R,,=
(n-+ 1)!
en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo [x,,x,,,),Una re-
lación an6loga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden
estádada por:
..
[11.16]
en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo quecontiene las
incógnitas y los datos. Parauso de estafórmula lafunciónencuestión
debe ser conociday diferenciable.Y usualmente, esteno es el caso. Afor-
tunadamente, existeuna fórmula alternativa que no requiere conocimiento](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-369-320.jpg)
![lNTERPOLACl6N 359
previo de la función. Envez de ello, se usaunadiferenciadivididafinita
queaproxima la (n + 1)-ésima derivada:
en donde f[x, x,, x,-1 ,. . . , xo]es la (n + 1)-ésima diferenciadividi-
da. Yaque la ecuación (1l.17) contiene la incógnita)(x), ésta nose pue-
deresolver y obtener el error. Sin embargo, si se disponede un dato
adicional f(x,+J, la ecuación (11.17) daunaaproximacióndelerror
como:
EJEMPLO 11.4
Estimación del error en el polinomiodeinterpolaciónde Newton
Enunciado del problema: úsesela ecuación (11.18) para calculare! error
del polinomio de interpolación de segundo orden del ejemplo112 . Usense
los datosadicionales f(x3) = f(5) = 1.609 437 9 para obtener los re-
sultados.
Solución: recuérdese que en el ejemplo 11.2 el polinomiodeinterpola-
cióndesegundoordenproporcionóunaaproximaciónde f(2) = 0.565
844 346, querepresenta un errorde 0.693 147 18 - 0.565 844 346
= O. 127 302 835.Si no se sabe elvalor verdadero, como es enla ma-
yorparte de los casos, se puede usarla ecuación (1l.18),junto con el
valoradicionalen x3,paracalcular el error, como
O
R2 = 0.007 865 541 5 (X - l)(x - 4 ) ( ~- 6)
en donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer ordense calcu-
ló previamente enel ejemplo 11.3. Estarelación se evalúa en x = 2 y
se obtiene:
R2 = 0.007 865 541 5 (2 - 1)(2 - 4)(2 - 6) = 0.062 924 332
quees delmismoordenqueelerrorverdadero](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-370-320.jpg)
![360 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
11.1.5 Programa de computadora para el polinomio de
interpolación de Newton
Son tres las propiedades que hacen delpolinomio de interpolación
de Newton un método extremadamente atractivo para usarse en una
computadora:
1. Como enla ecuación (11.7),las versiones de orden superiorse pue-
den desarrollar secuencialmente agregandoun término simplea la si-
guiente ecuación de orden inferior. Esto facilitala evaluación de varias
versiones de orden diferente enelmismo programa. Esta capacidad
es muy útil cuando no seconoce a priori el orden del polinomio. Agre-
gando nuevos términossecuencialmente,puede determinarse cuán-
dosealcanza un puntode retorno, es decir, cuándo al agregar un
término de orden superior no se mejora significativamentela aproxi-
mación o en ciertos casos se disminuye. Lasecuacionesde error ana-
lizadasenelpunto (3)sonútilesaldefinir un criterioobjetivoen la
determinacióndeestepuntodetérminos decrecientes.
2. Las diferenciasdivididasfinitas que constituyen los coeficientes del
polinomio [Ec. (11.8) a la (11.1l)] se calculan con una relación re-
cursiva.Esto es, como enla ecuación (11.14) y lafigura 11.5, las
diferencias de orden inferior se usan para calcular las diferencias de
orden superior. Usando la información previamente determinada,los
coeficientes se calculan eficientemente.El programa dela figura 11.7
contiene este esquema.
ORTRA ASIC
DIMENSION F X C 1 0 , l O ) ~ X ~ l O )
READ<5 , l )N
1 FORRLTC I S )
DO 140 I - $ . N
READ<S,2)X<I ) , F X <I , 1 )
2 FORMAT<2F1 U ~ 0 )
140 CONTINUE
M-N-1
DO 2 0 0J - I , M
NP-N- J
K=J+T
DO 190 I=l,NP
F x ( I , K ) - ~ F X ~ I + l , J ) - F ~ ~ I , J ~ ) ~ ~ X ( I + J ) - % ~ I ) ~
190CONTINUE
200 CONTINUE
DO 230J=t,N
3FORMRTC. - , F 1 0 . 3 )
W R I T E ( 6 , 3 > F X ( I , J )
2 3 0 CONTINUE
RERD<S,2)XI
F A - l .
Y.0,
DO 340 J-V.N
Y-Y+FX< 1 , J >+Fa
WRITE(6,3)Y
FA-FR*<XI-X( J i )
EAnFArFX<1, JP >
JP-J+l
WRITEC6,J)EA
IF CJ.GE.N)COTO350
340 CONTINUE
350 STOP
END
F h l N T EA
I E X I . I
F
FIGURA 11.7 Programaparacomputadoradelpolinomiointerpolante de Newton](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-371-320.jpg)
![INTERPOLACldN 361
3. Laecuacióndeerror [Ec. (11.18)]se expresa entérminosdelasdi-
ferencias divididas finitas que yase han calculado para determinar los
coeficientesdelpolinomio.Por lo tanto, si se guardaestainforma-
ción, se calculaelerroraproximado sinvolver a calcularestas can-
tidades.
Todas las características anterioresse pueden aprovechar e incorpo-
raren un programageneralparacomputadoraqueimplementeelpoli-
nomio de Newton (Fig. 11.7).Aligual que todoslos programas del libro,
esta versión no se documenta. Además, no incluye el error aproximado
mencionado en el punto (3).Una de las tareas esla de hacereste progra-
mamáslegiblealusuario (véase elproblema 11.11) y queincorpore la
ecuación de error. La utilidad de esta ecuación se demuestraenel ejem-
plosiguiente.
EJEMPLO 11.5
Uso de la estimación de error para determinar el orden apropiado
de interpolación
Enunciadodel problema: después de incorporarel error [Ec. 11.181, uti-
lícese el programa de computadora dado en lafigura 11.7 y la siguiente
informaciónparaevaluar f(x) = In x en x = 2.
x f(x)= In x
1 O
4 1.386 294 4
61.791 759 5
5 1.609 437 9
3 1.O9861 23
1.5 0.405 465 11
2.5 0.916 290 73
3.5 1.252 763 O
Solución: losresultados de emplear elprograma de lafigura 11.7 para
obtener la solución se muestranen la figura 11.8. Enla figura 11.9 se
representa el error aproximado,junto con el error verdadero (basadoen
el hecho deque In 2 = 0.693 147 18).Nótesequeelerrorcalculado
y el verdadero son similaresy su coincidencia mejoraa medida quecrece
el orden. Dela gráfica se puede concluir que las versiones de quinto or-
den llevan a una buena aproximación y que los términos de orden supe-
riornoprecisansignificativamentelapredicción.
Este ejercicioilustra también la importancia de la posición y orden de
los puntos. Por ejemplo, las aproximacionesde orden superior al tercero
mejoranmáslentamente ya que los puntosque se le agregan(en x =
4 , 6 y 5) estándistantes y a un ladodel punto en cuestión en x = 2.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-372-320.jpg)
![362 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
-a Number of data potnts
FIGURA 11.8 Salida del programa BASIC para evaluar In 2.
La aproximación de cuarto orden muestra mayor mejoría porque elnue-
vo punto en x = 3 está más cerca de la incógnita. Sin embargo, el decre-
mento en el error más dramático estáasociado conla inclusión del término
dequintoordenusando los datos en x = 1.5. No sólo estepuntoestá
cerca de la incógnita sino tambiénse encuentra al lado opuesto de la ma-
yor parte de los puntos. En consecuencia, el error se reduce casi una or-
den de magnitud.
El significado dela posición y secuencia de los datos pueden también
ilustrarsealusar los mismosdatospara obtener unaaproximaciónpara
In 2, pero considerando los puntosenuna secuencia diferente. Enla fi-
gura 11.9 se muestran los resultadosparael caso enque se inviertenel
ordende los puntosoriginales, esto es, x. = 3.5, x1 = 2.5, x2 = 1.5,
etc. Debido a que los puntos iniciales en estecaso se encuentranmás cerca
y espaciados a los lados de In 2, el error decrece mucho más rápidamen-
teque enla situaciónoriginal.Medianteeltérmino de segundo orden,
elerror se hareducido a un nivelrelativoporcentualdemenosdel E, = 2%.
Se pueden emplear otras combinaciones para obtener diferentesprome-
dios de converqencia.
El ejemplo anterior ilustra la importancia de escoger los puntos base.
Como es obvio, los puntosdebenestartan cerca como sea posiblede
lasincógnitas.Estaobservacióntambiénsenotaporsimpleexamendela
ecuacióndeerror [Ec. (11.17)]. Suponiendo que la diferenciadividida](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-373-320.jpg)
![FIGURA 11.9
11.2
Errores relativos porcentuales en la aproximación de In 2 en función del
ordendelpolinomiodeinterpolación.
finita no varía demasiadoa lo largo del rango de datos, entonces el error
es proporcional al producto:(x - xo)(x - xl) . . . (x - x,,).Obviamen-
te, mientrasmás cercanos estén los puntosbase a las x, menorserá la
magnitud de este producto.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una refor-
mulación del pqlinomio de Newton que evita los cálculos de las diferen-
ciasdivididas.Este se puederepresentar concretamente cómo:
en donde:
[11.19]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-374-320.jpg)
![364 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
[11.20]
endonde I’I denota el “producto de.”. Porejemplo, la versiónlineal
(n = 1)es:
I
y la versión de segundo orden es:
[11.21]
[11.22]
Al igual que el método de Newton,la versión de Lagrange tiene un error
aproximado, dado por:
n
La ecuación (11.19)se deriva directamente del polinomio de New-
ton (recuadro 11.1).Sin embargo, la razón fundamental de la formula-
ción de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada
término Li(x)será 1en x = x,y O en todos los demás puntos. Por lo tan-
to, cada producto LJx) f(xi)toma un valor de f(x,)en el punto x,.For
consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación
(11.19)es el Único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente
por los n + 1puntos.
RECUADRO 1 1 . 1 Derivación delaformadeLagrange directamente del polinomio de interpolación
deNewton
El polinomio deinterpolación de Lagrange se puedederi-
var directamente de la formulación de Newton. Se hará
esto en el caso de primer orden,
f [XI, x03 =
f(XI) - f (xo,
x1 - x0
fdx) = f(x0) + (x - xO)f[Xl, x01 [B11.1.1] sepuede reformular como:
Para derivar la forma de Lagrange, se reformulan las di-
ferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia di- f b l , x03 = ___f(x1) + ~ f (x01 [B11.1.2]
vidida. x1 - x0 x0 - XI](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-375-320.jpg)
![INTERPOLACldN 365
a la cual se le conoce con elnombre de forma simétrica. Finalmente, agrupando términos similares y simplifican-
Sustituyendo la ecuación (B11.1,2) en la ecuación do, se llega a la forma de Lagrange,
(B1l.l.l)se obtiene
EJEMPLO 11.6
Polinomios de interpolación de Lagrange
Enunciado del problema: úsese un polinomio de interpolaciónde Lagrange
de primero y segundo orden paraevaluar In 2 en base a los datos dados
en el ejemplo 11.2:
x0 = 1 f(xo) = o
XI = 4 !(XI) = 1.386 294 4
x2 = 6 f ( ~ 2 )= 1.791759 5
Solución: el polinomio de primer ordenes [Ec. (11.21)]
y, por lo tanto, la aproximación en x = 2 es
2 - 4 2 - 1
f l k ) = ~ O+"-
l " 44 - 1
1.386 294 4 = 0.462 098 1
De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como
[Ec. (11.22)]:
+ (2 - 1)(2- 4)
(6 - 1)(6 - 4)
1.791 759 5 = 0.565 844 37
Como se esperaba, ambosresultados coinciden muy de cerca con los que
se obtuvieron previamente usando la interpolación polinomialde Newton.~](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-376-320.jpg)
![INTERPOLAC16N 369
que se puede expresar como
ya que x, - x1 = x1 - x2 = (xo- x?)/2 = h. Ahora
recuérdese que la segunda diferencia dividida hacia ade-
lante A2j(xo)es igual al numerador de la [Ec. (3.3111.
A2f(x0) = f(x0) - 2f(xJ + f(x2)
Por lo tanto, la ecuación (B11.2.1)se puede representar
mediante:
o. en general.
[B11.2.2]
Usando la ecuación (Bll.2.2),el polinomio de interpola-
ción de Newton [Ec. (11.15)]se puede expresar enel ca-
so de datos igualmente espaciados como
A"f (x0)+- n !h"
(X - XO)(X - xo - h)
{X - xo - (n - 1)h)
+ R n [B11.2.3]
en donde el residuo es el mismo de la ecuación (11.16).
Esta ecuación se conoce como fórmula de Newton ofórmula
hacia adelante de Newton -Gregory. Esta se puedesim-
plificar más aún definiendo una nueva cantidad, (Y:
X"
h
(y=-
Esta definición se puedeusar para desarrollar la siguiente
expresión simplificada de los términosen la ecuación
(8112.3):
los cuales pueden sustituirse en la ecuación (B11.2.3) para
dar
(a - n + 1) + R, [B11.2.4]
en donde
Esta notación concisa tieneutilidad en la derivación y aná-
lisis de error de las fórmulas de integración del capítulo 13.
Además de la fórmula hacia adelante, existen tam-
bién lasfórmulas centrales y hacia atrásdeNewton-
Gregory. Se puedeconsultar Carnahan, Luthery Wilkes
(1969)para mayor información acerca dela interpolación
de datos igualmente espaciados.
La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(x)que cae fuera
delrangode los puntosbase conocidos, xo,x1 ,. . . , x, (Fig. 11.11). En
una sección anterior,se dijo que la interpolación más exacta usualmente
se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de lospuntos base. Obvia-
mente, esto no sucede cuando las incógnitascaen fuera del rango, y por
lo tanto, elerrorenla extrapolaciónpuedeser muy grande. Como se](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-380-320.jpg)
![INTERPOLAC16N 375
FIGURA 1l. 14 Ajustecon interpolaciónsegmentariasobreunconjunto de cuatro pun-
tos. a) interpolación segmentaria lineal;b)interpolación segmentaria cua-
drática y c) interpolación cúbica segmentaria, con un polinomio cúbico
interpolante que también aparece en la gráfica.
Se haincluidolafigura 11.15paraayudar a clarificarlanotación. Para
los n + 1puntos (i = O, 1,2,. . . , n), existen n intervalos, y por lo tan-
to, 3n incógnitas constantes por evaluar (lasp, las b y las c).Por lo tanto,
se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas.Es-
tas son:
1. Los valores de las funciones deben ser iguales en los nodos interio-
res. Esta condiciónserepresentamediante:
[11.25]
[11.26]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-386-320.jpg)
![376 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 11.15 Notación usadaen la derivación de interpolación segmentaria cuadráti-
ca. Nótese que hay n intervalosy n + 1 puntos. El ejemplo que se mues-
traes para n = 3.
para i = 2 hasta n. Como se usan sólo los nodos interiores, las ecuacio-
nes (11.25) y (11.26) proporcionancadauna n - 1condiciones, con
un total de 2n - 2.
2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos fi-
nales. Esto agregados ecuaciones adicionales:
[11.27]
[11.28]
con un total de 2n - 2 + 2 = 2n condiciones.
primeraderivada enla ecuación (11.22)es:
3. Las primeras deriuadas en los nodos interiores deben ser iguales. La
f '(x) = 2ax + b
Por lo tanto, la condición se representa generalmente cómo:
íkblxi+ bi-l = 2aixi+ bi E11.291
para i = 2 hasta n. Esto proporcionaotras n - 1 condicionescon
un totalde 2n + n - 1 = 3n - 1. Debido a que hay 3n incógnitas,
se tiene una condición menos. A menos que exista una información
adicional en relación a las funciones o sus derivadas, se debe escoger](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-387-320.jpg)
![INTERPOLACI~N 377
arbitrariamente una condición para calcular eficientemente las cons-
tantes. Aunque existen algunas alternativas diferentesque se pueden
hacer, aquí se escoge la siguiente:
4. Se supone que la segunda derivada es cero en el primer punto. Ya
que la segunda derivada de la ecuación (11.24) es 2a,esta condición
se expresa matemáticamente cómo:
al = O [11.30]
La interpretación visual de esta condición es que los primeros dospun-
tos se conectarán medianteunalínea recta.
EJEMPLO 11.9
Interpolacion cuadráticasegmentaria
Enunciado del problema: ajústense polinomios cuadráticos-por segmen-
tos a los datos usados en el ejemplo 11.8 (Cuadro 11.1). Usense los re-
sultadosparacalcularelvalorpara x = 5.
Solución: en este problema, se tienencuatrodatos y n = 3 intervalos.
Por lo tanto, se debendeterminar 3(3)= 9 incógnitas. Las ecuaciones
(11.25)y (11.26) llevana 2(3) - 2 = 4 condiciones.
20.25~1~+ 4.5bl + c1 = 1.0
2 0 . 2 5 ~+ 4.5b2 + c2 = 1.0
49a2 + 7b2 + c2 = 2.5
49a3 + 7b3 + c3 = 2.5
Pasando laprimera y laúltima función por los valores iniciales y finales
agrega dos más: [Ec. (11.27)]
gal + 3bl + c1 = 2.5
y [Ec. (11.28)]
81a3 + 9b3 + c3 = 0.5
Lacontinuidad de lasderivadas crea adicionalmente 3 - 1 = 2 [Ec.
(11.29)]:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-388-320.jpg)
![378 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Finalmente, la ecuación (11.30)especifica que al = O. Ya queesta
ecuación especifica al exactamente, el problema se reduce aresolver
ocho ecuaciones simultáneas. Estas condiciones se pueden expresar en
forma matricial como
4.5 1.0
0.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
3.0 1.0
0.0 0.0
1.0 0.0
0.0 0.0
o.o
20.25
49.00
o.O
o.o
0.0
-9.00
14.00
0.0 0.0
4.5 1.0
7.0 1.0
0.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
-1.0 0.0
1.0 0.0
0.0
0.0
o.o
49.00
o.o
81.00
o.o
- 14.00
0.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
7.00 1.00
0.0 0.0
9.00 1.00
0.0 0.0
-1.00 0.0
1.0
1.0
2.5
2.5
2.5
0.5
o.o
o.o
Estas ecuaciones se resuelven usando las técnicas de la parte 111 con los
resultados:
al = O bl = "1 c1 = 5.5
a2 = 0.64 b2 = -6.76 c2 = 18.46
a3 = -1.6 b3 = 24.6 ~3 = -91.3
los cuales se sustituyen en las ecuaciones cuadráticas originales desarro-
llando la relación siguiente para cada intervalo:
fI(X) = "x + 5.5 3.0 5 x 5 4.5
f2(x) = 0 . 6 4 ~ ~- 6.76~+ 18.46 4.5 5 X 5 7.0
f3(~)= -1.6~' + 24.6~- 91.3 7.0 5 X 5 9.0
la predicción para x = 5 es, por lo tanto
f2(5) = 0.64(5)' - 6.76(5)+ 18.46 = 0.66
El ajuste polinominal segmentario totalse muestra en la figura 11.14b.
Nótese que hay dos inconvenientes enelajuste: 1)la línea recta que une
los primeros dos puntosy 2) el polinomio del último intervalo parece ser-
pentear demasiado alto. Los polinomios segmentarios cúbicos de la si-
guiente sección no muestran estos incovenientes y como consecuencia,
en general son mejores métodos de interpolaciónsegmentaria.
11.4.3 lnterpolaciónsegmentaria
El objetivo de la interpolación cúbica segmentaria es obtener polinomios
de tercer orden para cada uno delos intervalos entre nodos, dela forma
fi(x) = aix3+ bix2+ cix + di [11.31]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-389-320.jpg)
![INTERPOLACldN 379
Por lo tanto, para los n + 1 puntos (i = O, 1, 2,. . . , n ) ,existen n inter-
valos y. por lotanto, 4 n incógnitas constantespor evaluar. Como sehizo
parapolinomios cuadrájicos, ahora se requierede 4n condicionespara
evaluarlasincógnitas.Estas son:
1. Los valores de la función deben seriguales en los nodos interiores
(2n - 2 condiciones).
2. La primera y la última funciones deben pasar a través de los puntos
finales (2 condiciones).
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben seriguales (n
- 1 condiciones).
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n
- 1 condiciones).
5. Las segundas derivadas enlos nodos finales son cero (2condiciones).
La interpretación visual de la condición 5 es que la función sea una línea
recta en los nodosfinales.Debido a la especificación de estacondición
es que se le llama interpolación segmentaria “natural”.Se le da este nombre
ya que el polinomio interpolante se comporta de manera natural en este
esquema (Fig. 11.13). Si elvalordela segundaderivadaenlos nodos
finales fuese diferente de cero (es decir, existe alguna curvatura),enton-
ces esta informaciónse usaría alternativamente para proporcionar lasdos
condiciones necesarias.
Los cincotiposanteriores de condicionesproporcionan un totalde
4n ecuacionesnecesarias para encontrarlos 4n coeficientes. Mientras que
es posibledesarrollarinterpolacióncúbicasegmentariaconeste esque-
ma, aquí se presentauna técnica diferente que requiere únicamente de
la soluciónde n - 1 ecuaciones. Aunque laderivacióndeestemétodo
(recuadro 11.3) es algo menos directo que el de interpolación cuadrática
segmentaria, la ganancia en eficiencia bienvaleel esfuerzo.
RECUADRO 11.3 Obtención de la interpolación cúbica segmentaria
El primer pasoen la obtención(Chene y Kincaid, 1980) x - xi
se basa en la observación de que debidoa que cada pare-
ja de nodos está conectada por un polinomio cúbico, la
segundaderivadadentro intervalo esuna línea [B11.3.1]
recta. La ecuación (11.31)se puede derivar dos veces para
verificar esta observación. Con base a lo anterior, las se-
gundas derivadas se representan mediante los polinomios en donde f,” (x)es el valor de la segunda derivada en el
de interpolación de primer ordendeLagrange[Ec. primer nodo x dentrodel i-ésimointervalo. Por lo tanto,
x - xi-1
xi-1 - xi xi - xi-1
fl’(x) = f”(Xi-1)~ +f“(Xi)_ _ _ c
(11.21)l: estaecuaciónesuna línea rectaqueconecta la segunda](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-390-320.jpg)
![380 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
derivada en el primer nodo f”(xiPl)con la segunda deri-
vada en el segundo nodo f”(x,).
En seguida, la ecuación (B11.3.1)se integra dos ve-
ces y se obtiene una expresión para ft(x).Sin embargo,
esta expresión contendrá dos incógnitasconstantes de in-
tegración. Estas constantes se evalúan invocando lascon-
diciones de equiespaciamiento, f(x) debe ser igual f(x,-J
en y f(x) debe ser igual a !(x,) en x,. Llevando a ca-
bo estas evaluaciones,resulta la siguiente ecuacióncúbica:
Ahora, esta expresión es mucho más complicadapara los
polinomios de interpolación segmentariaen el i-ésimo in-
tervalo, digamos, la ecuación (11.31).Sin embargo, nó-
tese que esta contiene sólo dos “coeficientes” incógnitas,
las segundas derivadas al principio y al final del intervalo,
f’ ’h-1) y f’ ’(xi).Por lo tanto, si se determina propia-
mente la segunda derivadaen cada nodo, la ecuación
(B11.3.2)es un polinomio de tercer orden que se usa pa-
rainterpolar dentro de un intervalo.
Las segundas derivadas se evalúan usando la condi-
ción de que lasprimerasderivadasen los nodos deben
ser continuas:
f I-1(Xi) = f I(Xi) [B11.3.3]
La ecuación (B11.3.2)se deriva y se obtiene una expre-
sión de la primera derivada. Si esto se hace para los inter-
valos (¡ - l)-ésimos e ¡-ésimos y los dos resultados se
igualan, de acuerdo a la ecuación (B11.3.3),resulta la si-
guiente relación:
(Xi - xi-1) f“(Xi-1) + 2(Xi+l - X,-d f ’ W
+ (Xi+l - Xi) f“(Xi+l)
Si la ecuación (B11.3.4)se escribe para todos los nodos
interiores, resultan n - 1 ecuaciones simultáneas con
n + 1 segundas derivadas incógnitas.Sin embargo, yaque
este es un polinomio interpolante “natural”,las segundas
derivadas en los nodos finales son cero y el problema se
reduce a n - 1 ecuaciones con n - 1 incógnitas. Ade-
más, nótese que elsistema de ecuaciones será tridiago-
nal. Por lo tanto, no sólo se tiene que reducir el número
de ecuaciones sino que también se calculan de forma que
sean muy fáciles de resolver (recuérdeseel recuadro 7.2).
La derivación del recuadro 11.3genera las siguientes ecuaciones cú-
bicasparacadaintervalo:
[11.32]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-391-320.jpg)
![392 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS
cimientode la población (dp/dt)es proporcional a la población actual (p)
enel tiempo (f) es de fundamental importancia en muchos de los mode-
los, enforma de ecuación
- = / qdP
dt
[12.11
en donde k es un factor de proporcionalidad conocido como la tasa de
crecimientoespecífico y tieneunidadesde tiempo-l. Si k es una cons-
tante, entonces se puedeobtener lasolucióndela ecuación (12.1) de
lateoría de ecuaciones diferenciales:
en donde poes la población enel tiempo t = O. Se observaque p(t)en
la ecuación (12.2)tiende a infinitoa medida que t crece. Este comporta-
miento es claramenteimposible en los sistemas reales. Por lo tanto, se
debemodificarelmodelo y hacerlomásrealista.
Solución: primero, se debe reconocer que la tasa de crecimiento específi-
co k nopuedeserconstante a medidaque la población crece. Esto es
porque, cuando p tiende a infinito, el organismo que semodela se ve
limitado por factores talescomo el almacenamientode comida y produc-
ción de desperdicios tóxicos. Una manera de expresar esto matemática-
mente es la de usar el modelo de tasa-de-crecimiento-y-saturacióntal como:
[12.3]
en donde kmdxes la máxima tasa de crecimiento posible para valores de
comida v) abundante y K es la constante de semi-saturación. La gráfica de
la ecuación (12.3) de lafigura 12.4 muestraquecuando f = K, k
= kmex/2.Por lo tanto, K es la cantidad de comidadisponible que sos-
tiene una tasa de crecimiento poblacionaligual a la mitad de la tasa máxima.
Las constantes K y kmáxsonvaloresempíricosbasados en medidas
experimentales de k para varios valores de f. Como ejemplo, supóngase
que la población p representa una levadura empleada en la producción
comercialdecerveza y f es la concentraciónde la fuentede carbono a
fermentarse. Las medidas de k contra f de lalevadura se muestranen
el cuadro 12.3. Se necesitacalcular kmáx y K de estosdatosempíricos.
Esto se lleva a caboinvirtiendo la ecuación (12.3) demanera similar a
la ecuación (10.16),obteniendo
[12.4]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-403-320.jpg)
![CASOS IV: AJUSTEDE CURVAS 393
FIGURA 12.4
CUADRO 12.3
Gráfica del promedio de crecimiento específico contra la comida dispo-
nible con el modelode promedio-de-crecimiento-de-saturaciónusado en
la caracterización de la cinética microbial. El valor de K es llamado cons-
tante de saturaciónmedia ya que representa la concentración endonde
el promedio de crecimientoespecífico es la mitad del valor máximo.
Datos usadosen la evaluación de las constantes
en un modelo de promedio-de-crecimiento-de-
saturaciónque caracterizaa la cinéticamicrobial
f, mglL k, dias" llf, Llmg Ilk, día
7 0.29
9 0.37
15 0.48
25 0.65
40 0.80
75 0.97
1O0 0.99
150 1.O7
O.142 86
0.111 11
0.066 66
0.040 O0
0.025 O0
0.013 33
0.010 O0
0.006 66
3.448
2.703
2.083
1.538
1.250
1.O31
1.o1o
0.935
De esta manera, se ha transformado la ecuación (12.3)a la forma lineal;
esto es, l / k es unafunciónlineal de l/f, conpendiente K/kmdX.Estos
valores se grafican en lafigura 12.5.
Debido a la transformación, se puede usar el procedimientode míni-
moscuadradoslinealesdescrito enelcapítulo 10 paradeterminar kmdx
= 1.23 días" y K = 22.18 mg/L.Combinando estos resultadoscon
la ecuación (12.3) y comparándolos con los datos sin transformarde la
figura 12.6, y cuando se sustituyenenelmodelode la ecuación (12.1)
se obtiene:
[12.5]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-404-320.jpg)
![396 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
CUADRO 12.4 Datos de esfuerzo-deformación ordenados
de tal maneraque los puntos usados enla
interpolación estén siempre más cercanos
al esfuerzo de7 350 Iblpulg'
Número de Esfuerzo, Deformación
puntos lblpu1g2 pieslpie
1 7 200 0.002 o
2 7 500 0.004 5
3 8 O00 0.006 O
4 5 200 0.001 3
5 10 O00 0.008 5
6 1 800 0.000 5
En este caso, se tiene una fuerza del vientode 6 440.6 libras (nótese que
al igual que enel caso 15.3 se usan métodos numéricos para determinar
este valor directamente de los datos del viento), y elesfuerzo se calcula
mediante:
Esfuerzo = 440'6 = 7 350 Ib/pulg2
0.876
Este esfuerzo puede ser usado para calcular la deformación de la fi-
gura 12.7,el cual, a su vez, se puede sustituir en la ley de Hooke y calcu-
larelcambioenlalongituddelmástil:
AL = (deformación) (longitud) [12.6]
en donde la longitud se refiere a la altura del mástil. Por lo tanto, el pro-
blema se reduce a la determinación de valores de la deformación de los
datos enlafigura 12.7. Ya que no se dispone de ningún punto para un
valor de esfuerzo dado de 7 350, el problema necesitará algún ajuste de
curvas. En este caso se usarándosplanteamientos:eldeinterpolación
polinomial y elderegresiónconmínimoscuadrados.
Solución: elprimer planteamientousará la interpolaciónpolinomialde
orden O al 5 paracalcular la deformación a un esfuerzo de 7 350
lb/pulg2.Para hacerlo, los datos se ordenan de tal manera que la inter-
polación siempre use información quese encuentre más cercana a los pun-
tos incógnitas (cuadro 12.4). Sepuede aplicarla interpolación polinomial
de Newton,con los resultadosdadosen el cuadro 12.5.
Todos los polinomios excepto el de orden cero llevan a resultados
que casi coinciden.
En base al análisis, se concluiríaqueunadeformacióndeaproximada-
mente 3.4 X pies/pieesunaaproximaciónrazonable.
Sin embargo, hayuna aclaraciónimportante.Esrealmentefortuito
que la aproximaciónde la deformacióntienda a un mismovalor.Esto
se puede ver examinando lafigura 12.8, en donde se muestra el polino-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-407-320.jpg)
![398 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
miodequintoordenjuntocon los datos. Nótese que debido a que los
tres datos se encuentran muy cercanos delvalor de 7 350, la interpola-
ción no debe variar significativamente en este punto, como era de espe-
rarse. Sin embargo, si se requieren aproximaciones de otras fuerzas, las
oscilaciones de los polinomiospuedenllevar a resultados inexactos.
Los resultados anterioresilustran que la interpolación con polinomios
de grado superior está mal condicionada para datos inciertoso con “rui-
do” del tipo de este problema. La regresión proporciona una alternativa
que, en general, esmásapropiadoparaestassituaciones.
Por ejemplo, se puede usar la regresión lineal para ajustar una línea
recta a travésde los datos. Lalíneademejorajustees
Deformación = -0.002527 + 9.562 x esfuerzo [12.7]
la línea y los datos se muestranenlafigura 12.9. Sustituyendoel esfuer-
zo = 7 350 libras/pulg2en la ecuación (12.7) se obtiene unapredicción
de 4.5 X pulgs/pulg.
Un problema con regresión lineal llevaa resultados fuera de la reali-
dad con deformaciones negativas en un esfuerzoigual a cero. Una ma-
neradiferente de regresión que evita este resultado no realistaes la de
ajustar una línea recta al logaritmo (base 10) de la tensión contra el loga-
ritmo del esfuerzo (recuérdesela sección 10.1.5).El resultado en este ca-
so es:
log (deformación)= -8.565 + 1.586 log(esfuerzo)
Esta ecuación se puede transformar a laformainicial que predice la de-
formación, sacando antilogaritmos se obtiene:
deformación = 2.723 X (esfuerzo) [12.8]
Esta curva tambiénse superpone a la figura 12.9 en donde se puede ver
que esta versión muestralos resultados físicos más realistasya que la de-
formaciónes cero cuando el esfuerzo escero. Lacurvatambién es un
poco más realista ya que captura algunas de las curvaturas sugeridas por
los datos. Sustituyendoel esfuerzo = 7 350 enla ecuación (12.8)se ob-
tieneunapredicciónde la deformación = 3.7 x lop3pulgs/pulg.
De esta manera, la interpolación polinomialy los dos tipos de regre-
sión llevan a resultados diferentesde deformación.Debido al realismo fí-
sico y al comportamientomássatisfactorio a travésdelrango completo
de los datos, se optará por la ecuación (12.8)ya que proporciona mejo-
res predicciones. Usandoun valor de longitud = 30 pies y con la ecuación
(12.6)se obtiene el siguiente resultado del cambio en la longitud del mástil:
AL = (3.7 x pies/pie)(30 pies) = 0.11 pies](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-409-320.jpg)
![400 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
La misma aproximaciónse muestra gráficamente enla figura 12.loa. Co-
mo se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero ya que las áreas
positiva y negativa bajo la curva se cancelan.
A pesar de que el resultado neto es cero, esta corriente es capaz de
realizar un trabajo y generar calor. Por lo tanto, los ingenieroseléctricos,
a menudo, caracterizanestacorrientemediante
[12.9]
en donde I,,, se conoce como corriente RMS (raíz cuadradamedia, en
inglés “root-mean-square”).El problema de cancelación de signos positi-
vos y negativos se evita elevandola corriente al cuadradoantes de calcu-
larel promedio.
FIGURA 12.1O a) Gráfica de una corriente eléctrica oscilante. Sobre un periodo T (esto
es, un cic!o completo), laintegral de la función es cero ya que las áreos
positivasy negativas son iguales, y por lo tanto, se cancelan. Paraevitar
este resultado, la corriente se eleva alcuadrado, como en b). La raíz
cuadrada del promedio del cuadrado, a lacual se le llama corriente RMS,
proporcionauna medida de la magnitud de la corriente.
””](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-411-320.jpg)
![CASOS IV: AJUSTEDECURVAS 401
En este caso, supóngaseque la corriente en un circuito es de
i(t) = 10e-t’Tsen- para O It IT / 2
i(t) = O para T / 2 < t 5 T
( 2;t) [12.10]
Determínesela corriente RMS ajustandoun polinomio de segundo grado
quecoincidacon i2(t)exactamente en t = O, T/4 y 1/2. En seguida, in-
tégrese este polinomio analíticamentey calcúlese la corriente RMS en el
intervalode O a T usandolaecuación (12.9).Supóngase que T = 1s.
Este resultado se puede comparar al caso 15.4 en donde se emplear6n
otrastécnicasparacalcular la corriente RMS.
Solución: usando la ecuación (12.lo),se generan los siguientes puntos.
t i(t) i*(t)
O 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0
114 7.788007 831 60.653 065 98
1/2 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0
Ajustando un polinomiodeNewtonde
obtiene elpolinomio
segundoorden(Fig. 12.11),se
i2(t)= 242.612 264t - 970.449 056t(t - 1/4)
FIGURA 12.1 1 Gráfica de la corriente verdadera [Ec. (1 2.10)], junto con laparábola
que se usa como aproximación.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-412-320.jpg)
![CASOS DE IV: AJUSTE DE CURVAS 403
en donde Q es el flujo (en pies cúbicos por segundo), S es la pendiente
(en pies por pie), D es el diámetro del tubo (en pies) y ao, al y a2 son
coeficientes. Extrayendo logaritmos a esta ecuación se obtiene
log Q = log a. + al log D + a2 log S
De esta forma, la ecuación se adapta ala regresión lineal múltiple ya
que log Q es función lineal de log S y de log D. Usando los logaritmos
(base 10)de los datos en el cuadro 12.6,se generan las siguientes ecua-
cionesnormales expresadas en forma matricial [recuérdesela Ec. (10.21)]:
2.3340.954 -4.903][ :t]= [ 3.9451
2.334 -18.903 log a. 11.691
-18.903-4.903 44.079-22.207
Este sistemase puede resolver usando eliminación gaussiana para obtener:
log a. = 1.747 5%
al = 2.62
a2 = 0.54
Si log a. = 1.747 5, entonces a. = 55.9 y la ecuación (12.11)se con-
vierte en:
Q = 55.902.62SO.54 [12.12]
La ecuación (12.12) se puede usar para predecir elflujo en el caso en
que D = 2.5 pies y S = 0.025 piedpie, dando
Q = 55.9(2.5)2.62(0.025)o.54= 84.1 pies3/s
Se debe notar que la ecuación (12.12) puedeusarse para otros pro-
pósitos además de calcular flujos.”Por ejemplo, la pendiente está dada
en función de la pérdida de calor hL y la longitud del tubo L por S =
h,/L. Si esta relación se sustituye en la ecuación (12.12)y la fórmula re-
sultante se resuelve para hL. se obtiene la siguiente ecuación:
Esta relación se conoce con el nombre de ecuación de Hazen-Williams.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-414-320.jpg)
![422 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
v.2
sión. Cuando las funciones a integrar sonsimples, normalmente se
integran analíticamente. Por ejemplo, enel problema del paracaidis-
ta, se determinó la velocidad en función del tiempo (Ec. (1.8)]. Esta
relación se puede sustituir en la ecuación (V.4), la cuál se integra fá-
cilmente y de esta manera se determina que tan rápido cae el para-
caidista enun periodo detiempo t. En este caso, simplementese evalúa
la integral. Sin embargo, es dificil o imposible cuando la función se
complica, como es el caso para ejemplos más comunes. Además, la
función en cuestión a menudo se desconoce y se define únicamente
con medidas en puntos discretos. En ambos casos,se debe tener la
suficiente habilidad como para obtener valores aproximados a las in-
tegrales usando métodos numéricos. Algunosde estos métodosse ana-
lizan enesta parte del libro.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
En la preparatoriao en los primeros años de la facultad, se ven intro-
ducciones al c6lculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen
solucionesanalíticas o soluciones exactasde integrales definidas e in-
definidas. En la parte VI se analiza la integración indefinida, que
involucra en primer lugarla determinación de una función cuya deri-
vada está dada.
En esta parte del libro se desarrolla la integraci6n definida, que se
ocupa de determinar una integral entre un par de límites específicos,
como en
I = f(x)dx
De acuerdo al teorema fundamental del cálculo integral, la ecuación
(V.5) se evalúa como
labf(x) ¿x = F(x)
1." ~ 5 1
1:en donde F (x) es la integral de f (x), esto es, cualquier función tal
que F' (x) = f (x). La nomenclatura sobre el lado derecho queda
F(x)1 = F(6)- F(a) [ W
I = r8(0.2+ 25x - 200x2+ 675x3 - 900x4 + 400x5)dx [V.7]
En este caso, la función es un simple polinomio quese puede integrar
analíticamente evaluando cada uno delos términos de acuerdo a la
regla
b
O
Un ejemplo de una integral definida es](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-433-320.jpg)
![INTEGRACldN 423
x n t ~ b
Jab x" dx = -
n + l a
en donde n no puede ser igual a -1. Aplicando esta regla a cada
uno de los términos en la ecuación (V.7) se obtiene
200 400 1O'*
I = 0 . 2 ~+ 1 2 . 5 ~ ~- -x3 + 1 6 8 . 7 5 ~ ~- 1 8 0 ~ ~+ -X'
3 I o
que se puedeevaluardeacuerdo a la ecuación (V.6) como I =
1.640 533 34. Este valor es igual al área bajo el polinomio original
[Ec. (V.7)] entre x = O y x =0.8.
La integración anterior depende del conocimiento de laregla expresa-
da por la ecuación (V.8). Otras funcionespermitenreglasdiferentes.
Todas estas "reglas" son meros ejemplos de antidiferenciación, esto
CUADRO V. 1 Algunas integrales simples usadas enla
parte V. La a y la b en este cuadro son
constantes y no se deben confundir con
los límites de integracibn discutidos enel
texto.
j u d v = u v - j v d u
""+l
ubxdx = -U bx
b In a
+ c U > O , U f l
l u " d u = - n + 1 + c n f - 1
j $ = In 1x1+ c
j e o x d x = - +eUOx C
j x e a x d x = 7 ( u x -eOx 1) + C
U](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-434-320.jpg)
![C A P í T U L O T R E C E
FóRMULAS DE
INTEGRACIóN DE
NEWTON-COTES
Lasfórmulas de integración de Newton-Cotesson los esquemas más co-
munesdentrodelaintegraciónnumérica. Se basanenlaestrategiade
reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con
algunafunciónaproximadaqueseamásfácildeintegrar:
endonde j,(x) es un polinomio de la forma:
fn(x)= aa + al + . . . + a,-l xn-l + a, x"
[13.1]
FIGURA 13.1 Estimación de una integral mediante el área baio a) una línea recta, y b) una
parábola.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-440-320.jpg)
![FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 431
se reconoceque el “método de bandas” de la figuraV.3 empleó una se-
riedepolinomiosdeorden cero (esto es, constantes) para aproximar la
integral.
Se dispone de las formas abiertay cerrada de las fórmulas de Newton-
Cotes. Lasformas cerradas son aquéllas en donde los puntos al principio
y al final de los límites de integración se conocen (Fig. 13.3~1).Las fórmu-
las abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango
de los datos (Fig. 13.3b). En este sentido, se parecen a la extrapolación
analizadaalfinaldelcapítulo 11. Las fórmulasabiertasdeNewton-
Cotes, engeneral,noseusanen la integracióndefinida.Sinembargo,se
usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En
este capítulo se hace hincapié en las fórmulas cerradas. Sin embargo, el
material de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes se introduce brevemente
alfinaldelcapítulo.
13.1 REGLADEL TRAPECIO
La regla del trapecioo regla trapezoidal es la primera de las fórmulas ce-
rradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de
laecuación (13.1) es deprimerorden.
Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar co-
mo (Ec. (11.2)]
[13.2]
El área bajo la línea rectaes una aproximación de la integral def (x) entre
loslímites a y b:
El resultado de la integración (véaseel recuadro13.1 para mayores deta-
lles) es
[13.3]
alque se lellamareglatrapezoidal.
Geométricamente,la regla trapezoidal es equivalentea aproximar el
área deltrapeciobajolalínearectaqueune a f (a) y f (b) enlafigura
13.4. Recuérdesede la geometría de lafórmulaparacalcularelárea](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-442-320.jpg)
![432 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS
RECUADRO 13.1 Derivaciónde la regla trapezoidal
Antesdeintegrar, la ecuación (13.2)se puedeexpresar Este resultadosepuedeevaluar,obteniendo
como
Agrupando los dos últimos términos se obtiene
f(x) = .
f(b) - f(a)
X
Ahora,considerando que b2 - a2 = (b - a) (b + a)
b - a Multiplicando y agrupando términos se obtiene
que es la fGrmula de la regla trapezoidal
que se puede integrar entre x = a y x = b y obtener
f(b) - f(a)x*
r = - + bfb) - af (b)x 1b - a 2 b - a a
de un trapecio es laalturaporelpromedio de las bases (Fig. 13.5~).En
este caso, el concepto es elmismo pero el trapecio se encuentrasobre
uno de sus lados (Fig. 13.56).Por lo tanto, la aproximación a laintegral
se puederepresentar como
I =ancho X alturapromedio [13.4]
FIGURA 13.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal.
~ ~~~ _l_l](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-443-320.jpg)
![FoRMlJLACl6NDE lNTEGKACl6NDE NEWTON-COTES 433
FIGURA 13.5 a) Fórmula para calcular el area de un trapecio: altura por el promedio
de las bases. b)En la regla trapezoidal, el concepto es el mismo sólo que
el trapecio estásobreuno de sus lados.
I = (b - a) x altura promedio [13.5]
en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio de
los valores de la función en 10s puntos de los extremos, es decir v (a)
+ f ( W 2 .
Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar en
el formato general de la ecuación (13.5).De hecho, solo difieren con res-
pecto a la formulación de la altura media.
13.l. 1 Error en laregla trapezoidal
Cuando se emplea la integral bajo un segmento delínea recta para apro-
ximar la integral bajo una curva, obviamente que sejncurre en un error
que puede ser sustancial (Fig. 13.6)Una estimación del error de trunca-
miento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (recuadro 13.2)
[13.6]
en donde E es un punto cualquiera dentro del intervalo de a a b. La ecua-
ción (13.6)indica que sila función que se está integrando es lineal, la](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-444-320.jpg)
![FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 435
1 = h f(a) + - - ,,f”(8h3
[ *Y)]
Debido a que A f (u) = f (b)-f (u),el resultado se puede
escribir como
ReglatrapezoidalErrordetruncamiento
Por lo tanto, elprimertérmino es el de la regla trapezoi-
dal y el segundo es unaestimacióndel error.
EJEMPLO 13.1
Aplicación de lareglatrapezoidal simple
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3) para integrar numé-
ricamente
f(x) = 0.2 + 2 5 ~- 200~‘+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~
desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que el
valor exacto de laintegral se puededeterminaranalíticamente como
1.640 533 34.
Soluci6n: losvaloresde lafunción
f(0) = 0.2
f(0.8)= 0.232
se pueden sustituirenla ecuación (13.3) y obtener
0.2 + 0.232
2
I = 0.8 = 0.1 728
querepresenta un errorde
E, = 1.640 533 34 - 0.1 728 = 1.467 733 34
quecorresponde a un errorrelativoporcentual de E , = 89.5 %. La ra-
zón para este error tan grandees evidente en la gráfica de la figura 13.6.
Nótesequeel área bajo la línearectadescuidaunaporciónsignificativa
de la integralsobre la línea.
Enlasituación actual, nosetendríaconocimientopreviodelvalorver-
dadero. Porlo tanto, se requiere una aproximación al error. Para obtener esta
aproximación,se calcula la segunda derivada dela función sobre el inter-
valo, derivando lafunciónoriginaldos vecespara dar
f’’(X) = -400 + 4 0 5 0 ~- 10 800~’+ 8 OOOx3
elvalor promedio de lasegundaderivadapuedesercalculadausando
la ecuación V.3](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-446-320.jpg)
![436 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
(-400 + 4 0 5 0 ~- 10 8002 + 8 OOOx9dx
f,= 0.8 - O - -60
que se puede sustituirenla ecuación (13.6)y obtener
E, -=(-60)(0.8)3 = 2.56
1
1L
que es delmismoordendemagnitud y signo que tiene el error verdadero.
Existe una discrepancia debidoa que en un intervalo de estetamaño, el pro-
medio de la segundaderivadanoesnecesariamenteunaaproximación
exacta de f’ ’(E). Por lo tanto, se denota que elerroresaproximado
usando la notación E,, envez deusar E,.
13.1.2 La regla deltrapecio usando segmentos multiples
Una manera de mejorarla exactitudde la regla trapezoidales la de dividir
elintervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y apli-
car el método a cada unode los segmentos (Fig. 13.7). En seguida se
suman las áreas de los segmentosindividualesy se obtiene la integral so-
breelintervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce co-
mofórmulas de integración de segmento múltiple o fórmulas de integración
compuestas.
En la figura 13.8 se muestra el formato generaly la nomenclatura que
se usaráenlacaracterización de integrales de segmentos múltiples. Hay
n + 1 puntosbaseigualmenteespaciados (xo,xl, x2,.. ., x,), Por con-
siguiente, hay n segmentos de igual anchura:
h = -b - a
[13.7]
n
Si a y b se igualan a x. y a x,, respectivamente,la integral total se repre-
senta como
I = l:f(x)dx + [f(x)dx +
Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integrales, se obtiene
[13.8]
o, agrupandotérminos
[13.9]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-447-320.jpg)
![438 METODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS
-
FIGURA 13.8 Formatogeneral de la nomenclaturapara integralesde segmentos múltiples.
o, usando la ecuación (13.7)para expresar la ecuación (13.9)en la for-
ma generaí de la ecuación (13.5),se obtiene
I + <
Ancho Altura promedio
[13.10]
Ya que la sumatoria de los coeficientes de f (x) en el numerador dividido
por 2n es igual a 1,la altura promedio representa un promedio pesado
de los valores de la función. De acuerdo a la ecuación (13.lo),las altu-
ras de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a los puntos
finales f (xg)y f (x,,).](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-449-320.jpg)
![FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 439
El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando loserro-
resindividualesde cada uno de los segmentos, dando
[13.11]
en dondef’’(ti)es la segunda derivada de la función evaluada en el pun-
to tilocalizado dentro del segmento ¡. Este resultado se simplificacalcu-
lando la mediao el valor promedio de la segunda derivada sobre el intervalo
completo [Ec. (V.2)]:
n
J
n
[13.12]
Por lo tanto, C f’ ’ (ti)= n f’ ’ y la ecuación (13.11)sereescribe como
[13.13]
De manera que, siel número de segmentosse duplica, el error de trun-
camientodisminuyea un cuarto de suvalor.Nótesequelaecuación
(13.13)es un erroraproximadodebidoa la naturalezaaproximada de
la ecuación (13.12).
EJEMPLO 13.2
Regla trapezoidal de segmentos múltiples
Enunciado del problema: utilícese la regla trapezoidal de dos segmentos
paracalcular laintegralde
!(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4+ 400x5
desde a = O hasta b = 0.8. Empléese la ecuación (13.13)paracalcular
el error. Recuérdese de la sección V.2 que el valor correcto de la integral
es 1.640 533 34.
Solución: n = 2 (h = 0.4):
f(0) = 0.2
f(0.4) = 2.456
f(0.8)= 0.232
I = 0.8
0.2 + Z(2.456) + 0.232
4
= 1.068 8](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-450-320.jpg)
![440 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
~ E , = 1.640 533 34 - 1.068 8 = 0.571 73 E, = 34.9%
E, = -
12(2)2
(-60) = 0.64
I
en donde -60 es el promedio de la segunda derivada determinada pre-
viamente enel ejemplo 13.1.
~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~ .~~~
En el cuadro 13.1 se resumen los resultados delejemplo anteriorjun-
toconlaaplicacióndelareglatrapezoidalusando desde tres hasta diez
segmentos. Nóteseque elerrordisminuye a medidaqueelnúmero
de segmentos crece. Sin embargo, también se nota que el promedio de
disminución es gradual.Esto se debeque elerror es inversamente pro-
porcionalal cuadrado de n [Ec. (13.13)]Por lo tanto, si se duplica el nú-
mero de segmentos el error disminuyea un cuarto de su valor. En secciones
posteriores se desarrollan fórmulas de orden superior que son másexac-
tas y que convergen más rápidamente a laintegralreal a medida que el
númerode segmentos crece. Sin embargo, antesdeinvestigarestas
fórmulas,primero se analiza un programadecomputadoraqueimple-
mente lareglatrapezoidal.
13.1.3 Programa de computadora sobre lareglatrapezoidal de
segmentosmúltiples
Enlafigura 13.9 se muestra un pequeño programaqueimplementa la
regla trapezoidal. Este programa tiene algunos inconvenientes.Primero,
está limitado a que los datosesténenformatabular. Un programageneral
debe tener la capacidad de evaluartambiénfunciones conocidas. Ade-
más, el programa no es legibleal usuario, está diseñado estrictamente para
CUA,DRO 13.1 Resultadode la regla trapezoidalde seg-
mentos múltiplesparacalcular la integral de
+ 400x5de x O hasta 0.8. el valor exac-
to es 1.640 533 34
n h I t, 9 0
f(x) 0.2 + 2 5 ~-2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~-9 0 0 ~ ~
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.266 7
0.2
0.16
0.133 3
0.1 14 3
o.1
0.088 9
0.08
1.O68 34.9
1.3695 16.5
1.484 8 9.5
1.539 9 6.1
1.570 3 4.3
1.588 7 3.2
1.600 8 2.4
1.609 1 1.9
1.615 O 1.6](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-451-320.jpg)
![442 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
tando lareglatrapezoidaldesegmentosmúltiples. Estos programas se
pueden usar para resolverun problemaasociadocon el problema delpa-
racaidista. Como se recordar6 del ejemplo l.l,la velocidad del paracai-
distaest6dada como lasiguientefuncióndel tiempo:
[E13.3.1]
en donde u es la velocidad en centímetros porsegundo,g es la constante
de aceleracióngravitacionaligual a 980 cm/s2, m es lamasadel para-
caidistaigual a 68 100 g, y e es el coeficiente defricciónigual a 12 500
g / s . El modelo predice la velocidad del paracaidista en función deltiem-
po como se describe en el ejemplo 1.1. Unagráficadelavariaciónde
la velocidad se desarrollaenel ejemplo 2.1.
Supóngase que se desea conocer la distancia que ha recorrido el pa-
racaidista después de cierto tiempoT.La distancia está dada por[ € c .(V.4)]
d = v(t) dt
endonde d es la distancia en centímetros.Sustituyendo la ecuación
(E.13.3.1) y haciendo T = 10 S ,
FIGURA 13.1O Pantallas de la computadora que muestran a)entrada de los parámetros
de integración y los resultados de la integración y b)gráfica de la integral
como el área baio la función y el eje x.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-453-320.jpg)
![iORMULACl6N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 445
[13.141
donde, en este caso, h = (b - a ) / 2 . Esta ecuación se conoce como re-
gla de Simpson de 113. Esta es la segunda fórmula de integración de
Newton-Cotes. La etiqueta “1/3”viene de que h se divide por 3 en la
ecuación (13.14).Enel recuadro 13.3se muestra una derivación alter-
nativa en donde seintegra el polinomio de Newton-Gregory y se obtiene
la misma fórmula.
Laregla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formato
de la ecuación (13.5):
I +
Ancho Altura promedio
I
[13.15]
en donde a = xo,b = xp,y x1es el punto medio entre a y b, dado por
(b + a ) / 2 .Nótese que de acuerdo ala ecuación (13.15),el punto medio
se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto.
Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp-
sonde 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3):
RECUADRO 13.3 Obtención y estimación del errorde la reglade Simpson basado en el polinomio de
interpolación haciaadelantedeNewton-Gregory.
Como se hizoenel recuadro 13.2 para laregla trapezoi- mo se esperaría que fuese. La razón de esto es que apa-
dal, la regla de Simpson de 1/3 se puede derivar integran- rentemente será corto. Nótese también que 10s límites de
do el polinomio de interpolaciónhacia adelante de integración van desde x, hasta xp. Por lotanto, cuando
Newton-Gregory. se hacen lassimplificaciones y la sustitución (recuérdese
el recuadro 13.2), la integral va desde a= O hasta 2:
I = I”[ ~ ( x o )+ Af(x0)a + -A2f(xo) (a - 1)
a (a - l ) ( a- 2)
X0 2
I = h loz[f ( x o ) + Af(x0) a + -a (a - 1)
AZf(x01
A3f(xo)
2
+- 6
+-A3f(x0)a (a - l ) ( a- 2)
6
Nótesequeseha escrito el polinomiohastatérminos de +-f‘4’(n
cuarto orden en vez de hasta términos de tercer orden co- 24
a (a - l ) ( a- 2)(a - 3) h 4 da
l](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-456-320.jpg)
![446 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
que se puede integrar para obtener Nótese el resultadosignificativo de que el coeficiente de
la tercera diferencia dividida es cero. Debido a que A (xo)
= f (x1) - f (x01Y de que A2f (x,) = (XP)- 2 f (x1 +
f (xo), la ecuación (B13.3.1)se puede reescribir como
--f'4'(i3 h5
1
90
"
Regla Error
de Simmon de 1/3 de truncamiento
;; 11a3 1'+ -- - + -- - j [ 4 ) ( # h 4
72 8
Por IO tanto, el primer término es la regla de Simpson de
0 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Debido a
y evaluarse en los límites para dar que la tercera diferencia dividida se anula, se obtiene el
resultado significativode que la fórmulatiene exactitud de
tercer orden.A2f(xo)2j(~0)+ 2Aj (a)+ -
3
+ ( 0 ) A 3 j ( ~ )- 90f'4)(# h4 [B13.3.1]
1
1
o, ya que h = (b - a)/2:
[13.16]
en donde cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. Por lo tanto,
la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sin
embargo, la comparación con la ecuación (13.6) indica que es mucho
más exactade lo que se esperaba.En vez de ser proporcional a la tercera
derivada, el error es proporcional a la cuartaderivada. Esto se debe
a que, como semostró en el recuadro 13.3,los coeficientes del término
de tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de inter-
polación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta
tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.
EJEMPLO 13.4
Aplicación de la regia Simpson de 1/3 simple.
Enunciado del problema: utilícesela ecuación (13.15)para integrar
f(x) = 0.2 + 2 5 ~- 2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~
desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdeseque la integral exacta es
1.640533 34.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-457-320.jpg)
![FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 447
Solución:
f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8)= 0.232
Por lo tanto, la ecuación (13.15)se puede usar para calcular
1 = 0.8
0.2 + 4(2.456) + 0.232 = 466 67
6
que representa un error exacto de
E, = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273066 66 t u = 16.6%
que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una aplica-
ción de la regla trapezoidal (Ej. 13.1).
El errorestimado es [Ec. (13.16)]
E, = - (03)5
2 880
(-2 400) = 0.273066 67
en donde -2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo
obtenido usando la ecuación (V.3).Como fue el caso del ejemplo 13.1,
el error es aproximado (E,)porque el promedio de la cuarta derivada no
es una estimación exacta de f4 (E). No obstante, ya que en estecaso
se trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia no es mayor y
los errores exacto y aproximado son casi idénticos.
13.2.2 Regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples
Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson sepuede mejorar
dividiendo el intervalo de integraciónen segmentosde igual anchura (Fig.
13.12):
h = -b - a
n
La integral total se representa como
[13.17]
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales indivi-
duales se obtiene
1 = 2h f k o ) + 4fkd + f(x2) + 2h f(X2) + 4f(x3) + f(X4)
66
+ * . . + 2h f(X,-z) f 4f(Xn-1) f(X,)
€](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-458-320.jpg)
![450 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
en donde h = (b - a)/3. A esta ecuacipn se le llama regla de Simpson
de 318 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de
integración de Newton-Cotes. La regla de Simpson de 3/8 se puedeex-
presar en la forma de la ecuación (13.5):
"
U
,
Ancho Altura promedio
[13.20]
Por lo tanto, a los dos puntos interiores se les dan pesos de tres octavos,
mientras que a los puntos extremos se les da un peso de un octavo. La
regla de Simpson de 3/8 tiene un error de
3
80
E,, = "h5j'"'(d
FIGURA 13.13 Ilustración de cómo las reglas de Simpson de 1/3y de 3/8 se pueden apli-
cara la vez para manejar segmentos múltiples connúmerosparesde
intervalos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-461-320.jpg)
![FORMULACldN DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 45 1
o, ya que h = (b - a)/3:
[13.21]
Por lo tanto, laregla 3/8 es algo más exacta que laregla de 1/3 [ecua-
ción (13.16)].
La regla de Simpsonde 1/3 es, en general, el método de preferencia
ya que alcanzaexactituddetercerordencontrespuntosen vez de los
cuatropuntosnecesariospara laversiónde 3/8. No obstante, laregla
de 3/8tiene utilidadenlas aplicaciones de segmentos múltiples cuando
el número de segmentos es impar. Obsérvese que enel ejemplo 13.5 se
usala regla de Simpsonparaintegrar la funcióndecuatro segmentos.
Supóngase que se desea unaestimaciónparacinco segmentos. Una
opción sería usar una aplicación de segmentos múltiples de la regla tra-
pezoidal como se hizoenel ejemplo 13.3. Sin embargo esto noes
aconsejable, debidoalerrorgrande de truncamientoasociado con este
método. UnaalternativaseríaladeaplicarlaregladeSimpson de 1/3
a los primeros dossegmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos
tres (Fig. 13.13). De esta manera, se obtendría una estimación con exacti-
tud detercerorden a travésdelintervalo completo.
EJEMPLO 13.6
Regla de Simpson de 3/8
Enunciadodelproblema:
a) Utilíceselaregla de Simpsonde 3/8 paraintegrar
f(x') = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + WOx5
desde a = O hasta b = 0.8.
b) Utilíceseen conjunción con laregla de Simpson de 1/3 para integrar
lamismafunciónusandocinco segmentos.
Solución:
a) Una aplicación simple de la regla de Simoson de 3/8requiere de cua-
tropuntosigualmente espaciados:
f(0) = 0.2
f(0.266 7) = 1.432 724 28
f(0.5333) = 3.487 176 96
f(0.8) = 0.232](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-462-320.jpg)
![FORMULACION DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 455
13.2.5 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes de orden superior
Como se dijo previamente,la regla trapezoidaly la reglade Simpson son
miembros de unafamilia de ecuaciones de integración conocidas como
fórmulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Enel cuadro 13.2
se encuentran resumidas algunas deestasfórmulas, junto con las estima-
ciones de su error de truncamiento.
Nótese que, aligualenel caso de lasreglasdeSimpson de 1/3 y
3/8,las fórmulasde cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error.
Esta característica general se cumpleparalasfórmulasconm6spuntos
y trae como consecuencia de que las fórmulasde segmentospares punto
impares (por ejemplo la regla de 1/3 y la regla de Boole) sean, en gene-
ral, losmétodos de preferencia.
Sin embargo, se debe tomar en cuenta que en la ingeniería prsctica,
las fórmulas de orden superior (esto es, mayores de cuatro puntos) rara
vez se usan. Las reglas de Simpson son suficientes enla mayor parte de
lasaplicaciones. Se puedemejorar la exactitudusandounaversión
de segmentosmúltiples en vez de optar por las fórmulas de mds puhtos.
Adem&, cuando la función seconoce y se requiere de exactitud muy
alta, los métodosde integración de Rombergo cuadratura gaussiana,ana-
lizadosenelcapítulo 14, ofrecen alternativasviables y atractivas.
13.3 INTEGRACIóNUSANDOINTERVALOSDESIGUALES
Hastael momento, las fórmulas de integración numérica se han basado
enpuntosigualmenteespaciados.Enlapr6ctica,existenmuchos casos en
donde esta suposiciónno se cumple y se debe tratar con diferentestama-
ños de segmentos. Por ejemplo, los datos derivadosexperimentalmente,
a menudo, son de este tipo. En estos casos, un método es aplicarla regla
trapezoidala cada unodelos segmentos y sumar los resultados:
[13.22]
en donde hies el ancho del segmento i. Nóteseque este fueelmismo
planteamiento usado enlareglatrapezoidal de segmentos múltiples. La
únicadiferenciaentrelasecuaCiones (13.8) y (13.22) es quelas h de
la primera son constantes. Por consiguiente,la ecuación (13.8) se puede
simplificar y llevarala ecuación (13.9).Aunqueestasimplificaciónno
se puede aplicar ala ecuación (13.22),se puede desarrollar con facilidad
un programadecomputadora que acomode lossegmentosde tamaño
desigual. Antesde describir tal programa, se ilustra en el siguiente ejem-
plo como se aplica la ecuación (13.22)enla evaluación de una integral.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-466-320.jpg)
![C A P í T U L OC A T O R C E
INTEGRACIóN DE ROMBERG Y
CUADRATURA GAUSSIANA
Enla introduccióna la parte V se menciona que lasfuncionesa integrar-
se numéricamente tienen, en general, dosformas:unatabladevalores
o una ecuación. Laforma de losdatostieneunainfluenciaimportante
enel esquema que se va a usarparaevaluarla integral. Para el caso de
información tabular,se está limitadoal número de puntosdatos. En con-
traste, si se dispone de la funciónanalíticamente,entonces se pueden ge-
nerar tantos valores def(x)como sean necesarios para alcanzaruna exac-
titud aceptable (recuérdese la Fig. V.4).
Este capítulose dedica al estudio de dos métodos que estánexpresa-
mentediseñadosparaanalizar casos en que se conoce la función. Am-
bos métodos aprovechanla facilidad de generar valores de la función en
el desarrollode esquemas eficientes de la integraciónnumérica. El pri-
mero de ellos se basa enla extrapolación de Richardson,método que
combina dos aproximaciones de integración numéricaen la obtención de
un tercer valor que es más exacto. El algoritmo que implementala extra-
polación de Richardsonensuforma más eficiente se llamaintegración
de Romberg. Este métodoes recursivo y se usa para generar una aproxi-
mación a laintegral dentro de unatolerancia de error especificada.
El segundométodoes elllamadocuadratura gaussiana.Recuérdese
que enelúltimocapítulo los valores de f(x) enlasfórmulasdeNewton
Cotes se determinanenvaloresespecíficos de x. Por ejemplo, si se usa
la regla trapezoidal para determinar una integralse está restringiendoa tomar
el promedio pesado def(x)en los intervalos de los extremos.Las fórmulas
de cuadratura gaussiana emplean valores dex contenidos dentrode a y de
b de talformaqueresultaunaintegralmuchomás exacta.
14.1 INTEGRACIóN DE ROMBERG
Enel capítulo 13 se presenta una versión de la regla trapezoidal con seg-
mentos múltiples y lasreglasde Simpson. Paraunafunciónanalítica
(opuestaa la forma tabular),las ecuacionesde error [Ec. (13.13)y (13.19)]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-476-320.jpg)
![INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 467
cálculo)paraalcanzarnivelesaltosdeexactitud. Como una consecuen-
cia de estos inconvenientes,la regla trapezoidal de segmentos múltiples
y las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problemas donde
se necesita gran eficiencia y pocos errores.
La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos
inconvenientes.Es muy similar a losmétodosanalizados enel capítulo
13, enel sentido de que está'basado en la aplicación sucesiva de la regla
trapezoidal. Sin embargo, mediante manipulacionesmatemáticas,se ob-
tienen mejores resultadoscon menos esfuerzo.
14.1.1 Extrapolación de Richardson
Recuérdese que en la sección 7.4.4se usan ecuacionesde error parame-
jorar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales. En el mismo sen-
tido, existenmétodosquecorrigenerrores y mejoran los resultadosde
la integración numérica en basea la estimación de la integral misma.Co-
nocidos generalmentecomo extrapolación de Richardson, estos métodos
usan dos cálculosde la integral para efectuarun tercer cálculo másexacto.
El cálculo y el error asociado con lareglatrapezoidaldesegmentos
múltiples se representa generalmente como:
I = I(h) + € ( h )
en donde I es el valor exacto de la integral, I(h)es la aproximación de
la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con tamaño de
paso h = (b - a)/n y E(h)es elerrordetruncamiento. Si se obtienen
dos aproximaciones porseparado usando tamaños de paso hl y hz y se
tiene elvalor exacto del error, entonces
Ahora recuérdese queel error de la regla trapezoidal de segmentos múl-
tiplesserepresentapor la ecuación (13.13) [con n = (b - a)/h]:
[14.2]
Si se supone quef'' es una constante que depende del tamaño delpaso,
entonces la ecuación (14.2)se usaenla determinacióndelpromediode
losdos errores,que es:
[14.3]
Este cálculo tiene elimportante efecto de quitareltérmino f' ' de los cál-
culos. AI hacerlo, se ha hecho posibleutilizarlainformaciónrelacionada](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-478-320.jpg)
![c
468 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
c
con la ecuación (14.2) sin conocimientopreviode la segundaderivada
de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3)para obtener:
lacual se puede sustituirenla ecuación (14.1):
la cual, puederesolverse
Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error detrun-
camiento en teiminos delvalordelaintegral y el tamaño de paso. Esta
estimación se sustituyeen
I = I(h2) + E(h2)
obteniendounaestimaciónmejoradade la integral:
r 1 1
[14.4]
Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti-
mación es O(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimacionesde la
reglatrapezoidalde O(h2) enla obtenciónde unanuevaestimaciónde
O(h4).Enel caso especial en que el intervalo se divide en dos partes (h2
= h l / 2 ) ,la ecuación se transforma a:
o, reordenando términos,
[14.5]
EJEMPLO 14.1
Correction de errores en la reglatrapezoidal
Er,unciadodelproblema:en el capítuloanterior (ejemplo 13.1 y el ma-
dro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lie-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-479-320.jpg)
![INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 469
va a los siguientesresultados:
-~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~
Segmentos h Integral ev,%
1 0.8 0.172 8 89.5
2 0.4 1.068 8 34.9
4 0.2 1.484 8 9.5
Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5)para calcular me-
jores estimacionesde la integral.
Solución: los cálculoscon uno y dos segmentosse combinan y se obtiene
4 1
33
I = -(1.068 8) - -(O. 172 8) = 1.367 466 67
El errorenlaintegral mejoradaes
E, = 1.640533 34 - 1.36746667 = 0.273 066 67 E, = 16.6%
queessuperior a la aproximación en que se basó.
binan y se obtiene
De la misma manera, los cákulos de dosy cuatro segmentosse com
4 1
33
I = "1.484 8) - -(1.068 8) = 1.623 46667
querepresenta un errorde
E, = 1.640533 34 - 1.623 46667 = 0.017 066 67 E, = 1.0%
La ecuación 14.4proporciona una formade combinar dos aplicacio-
nesde lareglatrapezoidalconerror O(h2)y calcular una estimación de
O(b4).Este planteamiento es un subconjunto de un método más general
que combina integrales paraobtener mejores estimaciones. Porejemplo,
enel ejemplo 14.1, se calcularondosintegralesmejoradas de O(h4) en
base a tres estimaciones de reglas trapezoidales. Estas dos estimaciones
mejoradas, pueden a la vez, combinarse paraobtenertodavía una mejor
estimaciónde O(h6).Para el caso especialen que lasestimaciones me-
diante regla trapezoidal originalse basen en divisiones sucesivasa la mi-
taddel intervalo, la ecuaciónusadacon O(h6) deexactitud es:
16 1
1515
I = "I,- "4 [14.6]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-480-320.jpg)
![470 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
en donde I, y I, son las estimaciones más y menos exactas, respectiva-
mente. De manera similar, dos resultados de O(h6) se combinanpara
calcularunaintegral que es O(h8) usando
64 1
I = -I, - -1,
63 63
[14.71
EJEMPLO 14.2
Corrección del error de órdenes mayores de dosen la
estimación de integrales
Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1se usa la extrapolación de
Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de O(h4). Utilí-
cense la ecuación (14.6)y combínense estas estimaciones para calcular
una integral con O(h6).
Solución: las dos aproximacionesde O(h4) obtenidas en el ejemplo 14.1
fueron 1.367466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en la
ecuación (14.6) y se obtiene
la cual es la respuesta correcta a nueve cifrassignificativas que son las
obtenidas en este ejemplo.
14.1.2 Algoritmo de la integración de Romberg
Nótese que los coeficientesen cada unade las ecuacionesde extrapolación
[Ec. (14.5),(14.6)y (14.7)]suman 1. Por lo tanto, representan factores
de peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamen-
te pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientos
pueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a las
implementaciones mediante computadora:
[14.8]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-481-320.jpg)
![INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 471
en donde [,+I,+" y lj,k-lson las integrales más y menos exactas, respec-
tivamente, 1j.k es laintegral mejorada. El índice k indicaelnivelde inte-
gración, k = 1 corresponde a la estimación de la regla trapezoidal original,
k = 2 corresponde a O(h4), k = 3 a O(h6),etcétera. El índice j se usa
paradistinguir entrelasestimaciones mejores (j + 1) y menores (j). Por
ejemplo, si k = 2 y j = 1, entonces la ecuación (14.8)se transformaen
lacual esequivalente a la ecuación (14.5).
La forma general representada mediantela ecuación (14.8)se le atri-
buye a Romberg, y a la aplicaciónsistemáticaenlaevaluacióndeinte-
gralesse le conoce como integración de Romberg. La figura 14.2 muestra
un esquema gráfico de la secuencia deestimaciones generadas usando
este método. Cada una de las matrices corresponde a una iteración. La
primera columnacontiene las evaluaciones dela regla trapezoidal quese
denotan por J,l, en dondej = 1 es la aplicación sobre un solo segmento
(eltamaño del paso es b - a);j = 2 es la aplicación sobre lossegmentos
[tamaño del paso (b - a)/4];etcétera. Las otras columnas de lamatriz
se generansistem6ticamenteaplicando la ecuación (14.8) paraobtener
sucesivamente mejores estimacionespara la integral.
Por ejemplo, la primera interación (Fig. 14.2a) implica calcularla re-
glatrapezoidaldeuno y dos segmentos (11,1y 12,1).En seguida se usala
ecuación (14.8)paracalcularel elemento 11,2= 1.367 466 67, que tie-
ne un errorde O(h4).
FIGURA 14.2 Esquema gráfico de la secuencia de aproximaciones a la integral gene-
radas usando la integración de Romberg.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-482-320.jpg)
![472 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS
Ahora, se debeverificarque este resultado sea adecuadoa las nece-
sidades. Como se hizo con los otros métodos de aproximación de este
libro, se requiere un criteriode terminación o de paropara valorar la exac-
titud de los resultados. Un método que se puedeemplear para los propó-
sitos actuales es(Ec. (3.5)]
[14.9]
en donde E, es una estimación del error relativo porcentual. Por lo tan-
to, de la manera como sehizo anteriormente en los otros procesos iterati-
VOS, se compara la nueva estimación con el valor anterior. Cuando el
cambio entre los valores anterior y actual representados mediante E*, es-
tá bajo un criterio de error preespecificado E,, los cálculos se terminan.
Enla figura 1 4 . 2 ~esta evaluación indica un cambio del 87.4% decam-
bio sobre el curso de la primera interación.
El objeto de la segunda iteración (Fig. 14.2b) esel de obtener la esti-
mación O(h6):11,s. Para hacerlo, se determina una nueva estimación tra-
pezoidal, 13.1 = 1.484 8. En seguida ésta se combina con 12,1usando
la ecuación (14.8)para obtener 12,* = 1.623 466 67.Este resultado, a la
vez, se combina con 11,2para obtener 11,3 = 1.640 533 34. La ecuación
(14.9)se aplica para determinarque este resultado representa un cambio
del 16.6% cuando se compara con el anterior 11,2.
La tercera iteración (Fig. 14.2%)continúa el proceso de la misma ma-
nera. En este caso,se agrega una estimación trapezoidal a la primera co-
lumna y luego se aplica la fórmula (14.8)al cálculo sucesivo de integrales
más exactasbajo la diagonal inferior. Después de tres iteraciones, se sabe
que el resultado, 11,5= 1.640533 34, es exacto al menos hasta nueva
cifrassignificativas.
La integración de Romberg es más eficiente que la regla trapezoidal
y que las reglas de Simpson analizadas en el capítulo 13.Por ejemplo.
en la determinación de la integral mostrada en la figura 14.1,la regla de
Simpson de 1/3requeriría una aplicación de 256 segmentospara encontrar
un valor de 1.640533 32. No serían posibles mejores aproximaciones
debido al error de redondeo. En contraste, la integración de Romberg ob-
tiene un resultado exacto (hasta nueve cifras significativas)basado en la
combinación de la regla trapezoidal de dos, cuatro y ocho segmentos.
Enla figura 14.3se muestra un diagrama de flujo de la integración
de Romberg. Usando ciclos, el algoritmo implementa el método de ma-
nera eficiente. Recuérdeseque la integración de Romberg está diseñada
para casos en que la función por integrar se conoce. Esto se debe a que
el conocimiento de la función permite las evaluaciones necesarias para
las implementaciones inicialesde la regla trapezoidal. Los datos en forma
tabular rara vez se encuentran en forma necesaria para llevar a cabo eva-
luaciones sucesivas.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-483-320.jpg)
![474 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
14.2 CUADRATURA GAUSSIANA
En el capítulo 13se analiza un conjunto de fórmulas de integración nu-
mérica o de cuadratura conocidas como las ecuaciones de Newton-Cotes.
Una característica de estas fórmulas (con la excepción del caso especial
de la sección 13.3)es que la estimación de la integral se basa en puntos
igualmente espaciados. Por consiguiente,la posición de los puntos base
usados en estas ecuaciones estaba predeterminado o fijo.
Por ejemplo, como se puede ver en la figura 14.4~1,la base de la re-
gla trapezoidal es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de
la función evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para
calcular esta área es
1 (b - U)
f (a>+ f tb)
2
[14.10]
FIGURA 14.4 a)Esquema gráfico de la regla trapezoidal dada por el área baio la línea
recta que une los puntos extremos. b) Se obtiene una aproximación
meiorada a la integral tomando el área baio la línea recta que pasa a
través de dospuntos intermedios. Colocandoadecuadamente estos
puntos, los errores, positivo y negativo se equilibran y resulta una
aproximación a la integral meiorada.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-485-320.jpg)
![INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 477
14.2.2 Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre
basada en dos puntos
Como enel caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal,la cua-
dratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de la forma
en donde lasc son los coeficientes incógnitas. Sin embargo,en contraste a
la reglatrapezoidal que usapuntosextremos a y b, losargumentos de
lafunción x1y x2 ahora no estánfijos a lospuntos extremos, sino que
son incógnitas (Fig.14.6). Por lotanto, ahora se tiene un total de cuatroin-
cógnitas que se deben evaluar, y por consiguiente,se requieren de cua-
trocondicionesparadeterminarlos exactamente.
Al igual que con la regla trapezoidal,se pueden obtener dos de estas
condicionessuponiendoque la ecuación (14.12) ajusta exactamente la
integral de una corstante y deunafunciónlineal. Entonces, parallegar
a las otras dos condiciones,se extiende este razonamientoal suponer que
también se ajusta laintegral a unafunciónparabólica (y = x2) y a una
funcióncúbica (y = x3).Haciendo esto, se determinanlascuatro incóg-
nitas conviniendo enderivarunafórmula de integración de doble punto
que sea exacta paracúbicas. Las cuatro ecuaciones porresolverson
Clf(X1) + C2f(X2) = 1 dx = 2 [14.13]
[14.14]
[14.15]
[14.16]
Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16)se resuelven simultáneamente,
c1 = c2 = 1
x l = - = -0.577 350 269. . .
-1
d3
x 2 = " - 0.577350 269. . .
d3](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-488-320.jpg)
![478 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas -x1 y x2- para integración
usando cuadratura gaussiana.
las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12)y obtener la fórmula
de Gauss-Legendre de dos puntos
[14.17]
Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple de
los valores de la función en x = 1/& y - l/& lleva a una estimación
de la integral con una exactitud de tercer orden.
Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13)a la
(14.16)van desde - 1a 1.Esto se hizo para simplificar la aritmética y
hacer la formulación tan general como seaposible. Un simple cambio de
la variable se puedeusar para trasladar otroslímites de integración en es-
ta forma. Esto se lleva a cabo suponiendo quela nueva variable xd está
dada en función de la variable original x en una forma lineal como en:
x = a. + alxd [14.18]
si el limite inferior, x = a, corresponde a x d = - 1, estosvalores S e
sustituyen en la ecuación (14.18)y se obtiene:
a = a0 + al(-l) [14.19]
Demanera similar el límite superior, x = b, corresponde a xd = 1, y
obtener
b = a0 + al(1) [14.20]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-489-320.jpg)
![INTEGRACI~NDE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSlANA 479
Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente,ge-
nerando:
b + a
a0 = -
2
b - a
at = -2
Y
quesesustituyeenlaecuación (14.18) para obtener:
(b + a) + (b - a)xd
2
X =
Estaecuación se diferencia dando:
& = -b - a
2
dx;
[14.21]
[14.22]
[14.23]
[14.24]
Las ecuaciones (14.23)y (14.24)se pueden sustituir parax y dx, respec-
tivamente, enla ecuaciónporintegrar.Estassustitucionestransforman
efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los valores de la in-
tegral. El ejemplosiguienteilustra cómo se hace esto enla práctica.
EJEMPLO 14.3
Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos
Enunciadodel problema: utilícese la ecuación (14.14)para evaluarla in-
tegral
!(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4+ @Ox5
entre los límitesx = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fueel mismo pro-
blema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de formulaciones
de Newton-Cotes. El valor exacto de laintegral es 1.640 533 34.
Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de va-
riable de tal forma que los límites sean desde - l hasta l. Para hacerlo,
se sustituye a = O y b = 0.8 enla ecuación (14.23) y se obtiene
X = 0.4 + 0.4xd
al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]
I & = 0.4 dxd](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-490-320.jpg)
![INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 481
CUADRO 14.1 Factores de peso c y argumentos x de la funci6n usados en
las f6rmulas de Gauss-legendre
Factores
Puntos de peso
Argumentos
de la funelen
Error de
trunca-
miento
2 c1 = 1.000O00 O00 x1 = -0.577 350 269 = f(41([)
3 c1 =0.555 555 556 x1 = -0.774 596 669 = f(6)([)
c:, = 1 .O00 O00 O00 X:, = 0.577 350 269
c:, = 0.888 888 889 x2 = 0.0
~3 = 0.555 555 556 x3 = 0.774 596 669
4 c1 = 0.347854845 X] = -0.861136312 = f(*)([)
c:, = 0.652 145 155 X:, = -0.339 981 044
~3 = 0.652 145 155 x3 = 0.339 981 044
~4 = 0.347 854 845x4 0.861136312
5 ~1 = 0.236926885 x1 = -0.906179846 = f(”](t)
C? = 0.478 628 670X:, = -0.538 469 310
~3 = 0.568 888 889 x3 = 0.0
~4 = 0.478 628 670 x4 = 0.538 469 310
~5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846
6 ~1 = 0.171324492 X, = -0.932469514 = Cl2’([)
c:, = 0.360 761 573 X:, = -0.661 209 386
~3 = 0.467 913 935x3 = -0.238 619 186
~4 = 0.467 913 935x4 = 0.238 619 186
~5 = 0.360 761 573 x5 = 0.661 209 386
c6 = 0.171 324 492 X6 = 0.932 469 514
Solución:deacuerdo al cuadro 14.1, lafórmuladetrespuntoses
1 = 0.555 555 556 f(”0.774 596 669) + 0.888 888 889 f(0)
+ 0.555 555 556 f(0.774596 669)
1 1 = 0.281301 290 + 0.873244 444 + 0.485987 599 = 1.640533 34
lacuales exacta.
Debido a quelacuadraturagaussianarequieredeevaluacionesde
la función en puntos que no están uniformemente espaciados dentro del
intervalo de integración, no es aplicable a loscasosenquelafunciónse
desconoce. Por lo tanto, noseadapta a muchosproblemasdelainge-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-492-320.jpg)
![484 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
14.2.5Análisis de error en la cuadratura gaussiana
El error en las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica generalmente
mediante(Carnahan et al.,1969):
[14.26]
en donde n es el número de puntos menos uno y f""+*J(~) es la (2n +
2)-ésima derivada de la función después del cambio de variable y 4 se
localiza en algún lugar dentro del intervalo de - 1a 1.La comparación
de la ecuación (14.26) con el cuadro 13.2 indicala superioridad de la
cuadratura guassiana sobre las fórmulas de Newton-Cotes, dado quelas
derivadasde orden superior no crecen sustancialmentea medida que crece
n.En el problema 14.8,al finalde este capítulo se ilustra un caso en don-
de las fórmulas de Gauss-Legendre trabajan deficientemente. En estos
casos, serápreferible la regla de Simpson de segmentos múltipleso la in-
tegración de Romberg. Sin embargo, la cuadratura de Gauss proporcio-
na un medio eficiente para evaluar las integrales en muchas funciones
usadas en ingeniería.
PROBLEMAS
Cálculos a mano
14.1 Utilícese la integración deRombergpara evaluar
[sen (5x + l)] dx
con una exactitud de E, = 0.5%. Los resultados se deben presentar en la for-
ma dada en la figura 14.1. Calcúlese la solución analítica y úsese para determi-
nar el errorreal E, delresultadoobtenidocon la integracion deRomberg.
Verifíquese que E , sea menor que el criterio de paro E,.
14.2 Efectúense los mismos cálculos del problema 14.1con la integral
xeZxdx
14.3 Utilicese la integración deRombergpara evaluax
dx
con unaexactitud del O.1 % . Los resultados se deben presentar enla forma dada
en la figura 14.2.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-495-320.jpg)
![488 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
CASO 15.1 ANALISIS DE MOVIMIENTO DE EFECTIVOS
(INGENIERíAENGENERAL)
Antecedentes: el análisis de movimiento de efectivos es una parte impor-
tante dentro de cualquier proyectode ingeniería o de cualquier proyecto
de negocios. El efectivo disponible puede afectar muchos aspectos del pro-
blema, por ejemplo, la localizaciónderecursos (véase el caso 9.I). La
posiciónde un ingeniero enla Compañía de Computadoras Micro-1 es
lade calcularelefectivototal generado deunaventadecomputadoras
en los primeros60 días que siguen a la introducción de una computado-
raal mercado (véaseel cuadro 15.1 sobre los datos de venta de compu-
tadoras).
Su problema es complicado ya que elcosto de la computadora esmuy
sensitivo a la demanda abastecimiento o a ladisponibilidad. Los equipos
de ventas e investigación de mercados han obtenido la información de que
el precio de venta base considerando una demanda óptima es de $1 250
por computadora.A medida que la demanda disminuye, el precio aumenta
a un máximo de $3 O00por computadora.Más aún, la variación continua
del costo con un suministro N se define por la ecuaciónderivadaempíri-
camente:
Costo por computadora ($) = 3 O00 - 1 750
N
10 O00 + N
[15.13
que se grafica enlafigura 15.1.
CUADRO 15.1 Datosde venta de computadorasy de fluio deefectivos. La columnac) se
calcula usando derivación num6ricade la información enla columna b).
El primero y últimovalor de la columnae) se determinan usando diferen-
cias hacia adelantey hacia atrásde orden h2,los valores medios median-
te diferencias centrales de ordenh2
CostoporEfectivo
computadora,generado
CantidaddePromediode ($) [basado diaria-
computadoras Númerode computadorasen la columnameme
disponibles computado- vendidas 4 Y la $ Tiempo
en el mercado ras vendidas diariamente ecuación (1 5.1 )] [(c)X (d)] en días
a) b) 4 4 e) f)
50 O00 O 2 050.0 1 542 3 161 100 O
35 O00 15 O00 950.0 1 639 1 557 050 10
31 O00 19 O00 1 500.0 1 677 2 515 500 20
20 O00 30 O00 600.0 1 833 1 099800 30
19 O00 31 O00 397.5 1 853 736 568 40
12 050 37 950 400.0 2 040 816 O00 50
11 O00 39 O00 -1 90.0 2 083 -395 770 60](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-499-320.jpg)
![490 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
CUADRO 15.2 Resultadosal aplicar la regla trapezoidaly la regla
de Simpsonde 113 para calcular el flulo de efectivos
generado dela venta de computadoras
Mdtodo SegmentosEfectivogenerado $
Regla
trapezoidal
1
2
3
6
82 959 900
74 473950
96 294 660
81 075 830
Regla de 2
Simpson de 1/3 6
71 645 300
77 202 887
rían los resultadosampliamente, dependiendo de cuántos segmentos se
empleen enel análisis. En particular, la estimaciónde laversióndetres
segmentos de la regla trapezoidal es mucho mayor que las otras estima-
ciones debido a la inclusión selectiva delas altas estimaciones de flujo de
efectivos eneldía 20.
En base a este análisis se puede concluir que elflujode efectivos es
de aproximadamente $77 millones. Sin embargo, los resultadosindican
que se debe tener cuidadocuando se aplican los métodos de integración
numérica y que las aproximacionesde datos tabulares pueden, en gene-
ral, mejorarsesi se obtiene información adicional. Esta conclusiónla com-
pruebael caso deestudio 15.5 en dondesedemuestraque elnúmero
de datos puede tenerun efectosignificativo en el resultado final de laapro-
ximación a unaintegral.
CASO 15.2 EL USO DEINTEGRALESPARADETERMINARLA
CANTIDAD TOTALDECALOR EN LOS MATERIALES
(INGENIERíA QUíMICA)
Antecedentes: los cálculos de calor se empleanrutinariamenteen la in-
geniería química, asícomo también en otros campos de la ingeniería. Es-
te caso proporciona un ejemplo simplepero muy útil de estos cálculos.
Un problema que se encuentra a menudo es determinar la cantidad
de calor necesaria para elevarla temperatura de un material. La caracte-
rística necesaria para realizareste cálculo es la capacidad caloríficac. Este
parámetro representala cantidad de calor necesaria para elevar una uni-
dad de masa a unaunidad de temperatura. Si c es la constante sobre el
rango de temperaturas quese van a examinar, el calor necesario AH (en
calorías) se calcula como
AH = me AT [15.2]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-501-320.jpg)
![CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 491
en donde c tiene unidades de calorías por gramo por grado centígrado,
m es la masa (en gramos) y AT es elcambio de temperatura (en grados
centígrados). Porejemplo, la cantidad de calor necesaria para elevar20 g
deaguade 5 a 10°C es igual a
AH = (20)1(10 - 5) = 100 cal
en donde la capacidad calorífica del aguaes aproximadamente1 cal/g/"C.
Tal valor es adecuado cuando AT es pequeño. Sin embargo, en rangos
mayores de temperatura,la capacidad caloríficano es constante, y de he-
cho, varía en función de la temperatura. Por ejemplo, la capacidad calo-
rífica de un material aumenta conla temperatura de acuerdoa relaciones
tales como
c(T) = 0.132 + 1.56 X 10-4T + 2.64 X 10-7T2 [15.3]
En este caso se pidecalcularelcalor necesario paraelevar 1 O00 g
deestematerialde -100 a 200°C.
Solución: la ecuación (V.3)proporciona una manera de calcular el valor
promedio de c(T):
quepuedesersustituidoen la ecuación (15.2) y obtenerse
AH = m ITT:c(T)dT [15.4]
en donde AT = T2- T1.Ahora, ya que en este caso c(T)es una cua-
dráticasimple, AH se determinaanalíticamente. La ecuación (15.3) se
sustituyeenla ecuación (15.4) y elresultado se integraparaobtenerel
valor exacto de AH = 42 732calorías. Es útil y además instructivocom-
parar este resultado conlos métodos numéricos desarrollados en elcapí-
tulo 13. Para llevara cabo esto, es necesariogenerar una tabla de valores
de c paravariosvaloresde T:
T, OC c callglOC
-100 0.119 04
-50 0.124 86
O 0.132 O0
50 0.140 46
100 0.150 24
150 0.161 34
200 0.173 76](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-502-320.jpg)
![CASOS DE V: INTEGRACldN 495
O
lo3'200z[z/(5 + ~ ) ] e - ~ / ~ 'dz
1480.6
d =
Esta integral se evalúa usando métodos similaresa los anteriores. Porejem-
plo, la regla de Simpson de1/3con un tamaño de paso de0.5 proporciona
19 326.9
1 480.6
d = = 13.05 pies
Con F y d conocidos de los métodos numéricos, se usa un diagrama de
cuerpo libre paradesarrollar ecuaciones de equilibrio de fuerzas y mo-
mentos. Este diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 15.3. Su-
mando fuerzas en la dirección verticaly horizontal y tomando momentos
alrededor delpunto O, se obtiene
EFH= O = F - Tsen 8 - H
CF"= O = v - reos o
EM0 = O = 3V - Fd
[15.9]
[15.10]
E15.111
en donde T es la tensiónenel cable. H y V sonlas reacciones que se
desconocen sobreelmástiltransmitidasal casco. Ladirección y magni-
tud de H y V se desconocen. Laecuación (15.11) se resuelvedirecta-
mentepara V ya que se conocen F y d.
Por lo tanto, de la ecuacion (15.lo),
y de la ecuación (15.9),
H = F - T sen 8 = 1480.6 - (4 473)(0.099 5) = 836.54 lb
Estasfuerzasleayudanal diseñadorparacontinuarconotros aspectos
del diseño estructural delvelero, tales como los cablesy el sistema deso-
porte del mástil sobre el puente. Este problema ilustra muy bien dos usos
dela integraciónnuméricaque se puedenencontrardurante el diseño](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-506-320.jpg)
![496 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
de estructuras.Se ha visto que la regla trapezoidaly la regla de Simpson de
1/3 sonfáciles de aplicar y sonherramientasprácticas enla solución
de problemas. La regla de Simpsonde 1/3 es más exacta que laregla
trapezoidalpara el mismotamañodepaso y por lo tanto, se prefiere a
menudo.
CASO 15.4 DETERMINACIóN DE LA CORRIENTERMS
MEDIANTEINTEGRACIóN NUMÉRICA
(INGENIERíA ELÉCTRICA)
Antecedentes: el valor efectivo de una corriente eléctrica cuyo valorvaría
periódicamente está dado porla fórmula de raíz cuadrada de la corriente
al cuadrado (véase el caso 12.4):
1
IWS= i2(t)dt [15.12]
endonde T es el periodo, esto es, eltiempode un ciclo e i(t) es la co-
rriente instantánea.Calcúlese la corriente RMS de la forma de onda mos-
tradaenlafigura 15.4 usando laregla trapezoidal, lareglade Simpson
de 1/3,laintegración de Romberg y la cuadratura gaussiana para T = 1 s.
Recuérdese que enel caso 12.4, se resolvióesteproblemaporintegra-
FIGURA 15.4 Corriente eléctrica que varíaperiódicamente.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-507-320.jpg)
![498 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Además, se puedeusar la cuadratura gaussiana para obtener la mis-
ma aproximación. Recuérdeseque la determinación de la corriente RMS
del caso 12.4 se incluye la evaluación de la integral (T= 1)
I = (b” (lOe-tsen 2at)* dt [15.13]
Primero se hace un cambio de variable aplicando la ecuación (14.23)
y (14.24)paraobtener
1 1
t = - + - t d
4 4
Y
1
dt = - dtd
4
Estas relaciones se sustituyen en la ecuación (15.13)y se obtiene
Con la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos,la función se eva-
lúa en td = 1/43 y - 1/43, con los resultados de 7.684 096 2 y
4.313 728 O,respectivamente. Estos valores se sustituyen en la ecuación
(14.17)y se obtiene una aproximación a la integral de 11.997 824 2,
que representa un error del = 22%.
La fórmula de tres puntos es (cuadro 14.1):
I = 0.555555556 (1.237449 345) + 0.888888889 (15.163266 49)
+ 0.555 555 556 (2.684914 679)
= 15.657 550 21 = 1.6%
En el cuadro 15.7se resumen los resultados del uso de fórmulas de más
puntos.
CUADRO 15.7 Resultadosobtenidosusandovarios
puntos y la cuadratura gaussiana para
aproximar la integral
Puntos Aproximacih !%
~~
2 11.997824 3 22.1
3 15.657 550 2 -1.59
415.405802 3 4.42 x
5 15.412 639 1 -2.01 X 1 0 - ~
615.412 610 9 -1.82 x 10-5](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-509-320.jpg)
![CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 499
Laaproximación a laintegralde 15.412 608 1 se sustituyeenla
ecuación (15.12) y se calcula IRMscomo 3.925 889 5 A. Esteresul-
tado se emplea enlaguíade otros aspectos deldiseño y operación del
circuito.
CASO 15.5 INTEGRACIóN NUMÉRICA EN EL CALCULODE
TRABAJO (INGENIERíA MECANICA)
Antecedentes: muchos problemas de ingeniería incluyenel cálculo del tra-
bajo. Lafórmulageneral es:
Trabajo = fuerza X distancia
Cuando se estudiaeste concepto en la materia de físicaa nivel preuniver-
sitario, se presentanaplicacionessimplesusandofuerzasque permane-
cen constantes a travésdeldesplazamiento. Por ejemplo, si se usauna
fuerza de 10 libras para jalar un bloque una distancias de 15 pies, el tra-
bajo se calcula como 150 pies X libra.
Aunqueestecálculosimplees útil enla introduccióndel concepto,
los problemas realistas, en general, son más complejos. Por ejemplo, su-
póngase que la fuerza varía durante el curso del cálculo. En estos casos,
la ecuación deltrabajopuedeexpresarse como
w = F(x) cix [15.14]
donde W es el trabajo enpie X libra, x. y x, sonlasposicionesinicial y
final, respectivamentey F(x)es la fuerza que varía en función de la posi-
ción. Si F(x)es fácilde integrar, entonces la ecuación (15.14)se integra
analíticamente. Sin embargo, en problemas reales, la fuerza no se puede
expresar de esta manera. De hecho cuando se analizanlos datos medios,
la fuerza puede estar disponible en forma tabular. En estos casos, la inte-
graciónnumérica es laúnicaopciónviablepara la evaluación.
Cuando el ángulo de la fuerza y la dirección del movimiento también
varíanconla posición, se introducemayorcomplejidad(Fig. 15.6). La
ecuación del trabajo se puede modificar aún más tomando en cuenta es-
te efecto,
w = F(x) cos [O(x)]dx [15.15]
Otravez, si F(x) y O(x) sonfuncionessimples, la ecuación (15.15)se re-
suelve analíticamente. Sinembargo, como enlafigura 15.6, es más fácil](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-510-320.jpg)
![CASOS DE LAE V: INTEGRACldN 501
CUADRO 15.8 Datos de la fuerza F(x) y del ánglo @(x)en fun-
cidn de la posicidn x
CUA
x, pies F(x),libras O, radianes F(x)cos 0
O 0.0 030 0.000o
5 9.0 1.40 1 S29 7
1013.0 0.75 9.512 O
1514.0 0.90 8.702 5
2010.5 1.30 2.808 7
2512.0 1.48 1.088 1
30 5.0 1 S O 0.353 7
de laintegral cuyo valor es 129.52, calculando en base a los valores to-
mados de lafigura 15.6 conintervalosde un pie.
Estos resultados son importantes porque el resultado másexacto ocurre
cuando se usala reglatrapezoidal de dos segmentos. Las estimaciones
más refinadas usando mássegmentos, así como la regla de.Simpson, lle-
van aresultados menos exactos.
La razónde este resultado aparentementeilógico es que el espacia-
miento grueso de los puntos no es adecuado para capturar las variacio-
nesdelasfuerzas y losángulos.Esto es evidente enlafigura 15.7, en
donde se ha graficado la curva continua de los productos de F(x) y cos
[e(x)].Nótese cómo el uso de siete puntos para caracterizar la continui-
dad de la función falla en los dos picosx = 2.5 y x = 12.5 pies. La omi-
sión de estos dos puntos limita efectivamente la exactitud de la integración
numérica en el cuadro 15.9. El hecho de que la regla trapezoidal de dos
segmentosobtenga la mayorprecisiónen estos resultados se debe a la
forma en que se posicionan los puntos en este problema en particular (Fig.
15.8).
,DRO 15.9 A roximacionesdel trabalo calculado usando la re-
gPatrapezoidaly lareglade Simpson. El error relati-
vooreentual (e,) se calculdenreferencia al valor
reaPde la integral (129.52pies libra)calculadoen
base a los valores en intervalos de1 pie
M6todo
Regla trapezoidal 1 5.3195.9
2
3
133.19-2.84
124.983.51
6 1 19.09 8.05
Regla de Simpson de 1/3 2 175.82-35.75
6 117.139.57
Regiade Simpson de 3/8 3 139.93 -8.04](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-512-320.jpg)
![502 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FlGlJRA 15.7 Gráfica continua de f(x) cos [O(x)]contralaposición, junto con los siete
puntos discretos usados para desarrollar la aproximación a la integral
numérica del cuadro 15.9. Nótese cómo el uso de siete puntos para ca-
racterizar esta funciónquevaríacontinuamente omite dospicos en x
= 2.5 y 12.5 pies.
FIGURA 15.8 Esquema gráfico del por qu6 la regla trapezoidal de dos segmentos ge-
nera una buena aproximación de la integral para este caso en particu-
lar. Por casualidad el uso de los dos trapecios genera un balance entre
los errores positivos y negativos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-513-320.jpg)
![CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACION 503
FIGURA 15.9 Esquemas de segmentación desigual que resulta al incluir dos puntos
iniciales en x = 2.5 y 12.5 en los datos delcuadro 15.8. Se mues-
tran las fórmulas de integración aplicadas a cada conjunto de seg-
mentos.
La conclusión derivada delafigura 15.7 es que se debe hacer un nú-
mero adecuado de medidas para calcular exactamente las integrales. En
este caso, si se conociera F (2.5)cos [0(2.5)]= 4.350 O y F(12.5) cos
[6(12.5)] = 11.360O se podría determinarun cálculo de la integral usando
elalgoritmode datos desigualmente espaciados descrito previamente enla
sección 13.3. En la figura 15.9 se ilustra la segmentación desigualen este
caso. Incluyendo los dos puntos adicionales, llevaa un mejor cálculo dela
integral de 126.9 (E,, = 2.02%). Por lo tanto, lainclusiónde los datos
adicionales podría incorporarlos picos quese habían ignorado previamente
y, en consecuencia, !levar a un resultado mejor.
PROBLEMAS
Ingeniería en general
15.1 Repítanse los cálculos del caso 15.1usando los programas propios](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-514-320.jpg)
![EPILOG0 PARTE V 511
ciones con un número par desegmentos, se recomienda la aplicación
múltiple de la regla de1/3.Para el caso de un número impar de seg-
mentos, se puede aplicar la regla 3/8a los últimos tres segmentos y
lareglade 1/3a los restantes.
También existen fórmulas de Newton-Cotes de ordensuperior. Sin em-
bargo, rara vez se usan en la práctica. Cuando se requiere de alta
exactitud se dispone de la integración de Romberg y de la cuadratu-
ra gaussiana. Debehacerse notar quelas fórmulas de integración de
Romberg y la cuadratura gaussiana tiene valor práctico sólo en ca-
sos donde se conoce la función en forma continua. Estos métodos no
funcionan para datos tabulares.
V.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES
En el cuadro V.4 se resume la información más importante analizada
en la parte V. Este cuadro se puede consultar para tener un rápido
accesoa las relaciones y fórmulas de mayor importancia.
V.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS
REFERENCIAS ADICIONALES
Aunque se han analizado varios métodos numéricos, existen otros más
que tienen utilidad en la práctica de la ingeniería. Por ejemplo, la in-
tegración adaptiva de Sirnpson se basa en la división del intervalo de
integración en una serie de subintervalos de ancho h. En seguida se
usa la regla de Simpson de 1/3para evaluar la integral en cada su-
bintervalo, partiendo el tamaño de paso de maneraiterativa, es de-
cir, con un tamaño de paso h, h/2, h/4, h/8, etc. Las iteraciones se
continúan para cada uno de los subintervalos hasta que una aproxi-
mación con error calculado E, [Ec. (3.5)]cae dentro de un criterio de
paro antes especificado E,. La integral total se calcula como la suma-
toria de las aproximaciones a la integral evaluadas en cada subinter-
valo. Este método se usa, especialmente, en funciones complicadas
que tienen regiones con variaciqnes de baio y alto orden. El análisis
de la integraciónadaptiva se encuentra en Gerald y Wheatley (1 984)
y Rice (1983).
Otro método para la obtención de integrales esel de ajustar polino-
rnios cúbicos segrnentarios a los datos. La ecuación cúbica resultante
se puede integrar fácilmente (Forshyteet al., 1977).Finalmente,aparte
de las fórmulas de Gauss-Legendre analizadas en la sección 14.2,exis-
te una variedad de fórmulas de cuadratura. En Carnahan, Luther y](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-522-320.jpg)
![516 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
d2x dX
dt dt
m - + C" + k x = O [VI.21
en donde c es un coeficiente de amortiguamiento y k es la constante
delresorte. Demanera similar, una ecuaciónde n-ésimo orden in-
cluiría una n-ésima derivada.
Las ecuaciones de orden superior se pueden reducir a un sistema de
ecuaciones de primer orden. Para la ecuación (V1.2)) estose lleva a
cabo definiendo una nueva variable y donde
dx
Y = %
que se puede derivar y obtener
dy d2x-"-
df dt2
[V1.3]
[V1.4]
Las ecuaciones (V1.3) y (V1.4) se pueden sustituir en la ecuación(V1.2)
y obtener
m- + cy + &x = odY
dt
O
dy cy + kx"--
dt m
[VIS]
[V1.6]
Por lo tanto, las ecuaciones (V1.3) y (V1.6) son un par de ecuaciones
de primer orden que son equivalentes a la ecuación original de se-
gundo orden. Debido a queotras ecuaciones diferenciales de n-ésimo
orden se pueden reducir de lamisma manera, esta parte del libro se
enfoca a la solución de ecuaciones de primer orden. Algunos de los
casos de estudio del capítulo 18 tratan con la solución de E D 0 de se-
gundo ordenreduciéndolas a un par deecuaciones de primer orden.
VI. 1.1. Métodos anteriores al uso de computadoras
en la solución d e ED0
Antes de la era de la computación, las E D 0 se resolvían por lo co-
mún, con métodos de integración analítica. Por eiemolo, la ecuacion
(VI.l) se puede multiplicar por dt e integrarse para obtener
[V1.7]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-527-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 517
AI lado derecho de esta ecuación se le llama integralindefinida debi-
do a que los límites de integración no están definidos. Esto contrasta
con las integrales definidasanalizadas previamente enla parteV [com-
párese la Ec. (V1.7)con laEc. (VS)].
Se obtiene una solución analítica de la ecuación (V1.7)si la integral
indefinida se puede evaluar exactamente en forma de una ecuación.
Por ejemplo, recuérdese que para el problema del paracaidista la
ecuación (VI.7)se resuelve analíticamente mediantela ecuación (1.9)
(suponiendo que v = O en t = O):
FIGURA VI.l
Péndulo oscilador.
[V1.8]
La mecánica de derivación de talessolucionesanalíticas se analiza
en la sección V1.2. En este momento, lo importante es que, como en
el caso de la integral definida, la evaluación analítica de las integra-
les indefinidas, en general depende del conocimientoprevio de la res-
puesta. Desafortunadamente,las soluciones exactasde muchas EDOsde
importancia práctica no existen. Como sucedeen la mayor parte
de las Gtuacionesanalizadas en otras partes de este libro, los métodos
numéricos ofrecen la única alternativa viable enestos casos. De-
bido a que estos métodos numéricos, por lo común, requieren de
computadora, los ingenieros de la era anterior al uso de las mismas
se veían limitados enel alcance de sus investigaciones.
Un método muy importante que los ingenieros y matemáticos desa-
rrollaron para evitar este dilema fueel de linealización. Una ecua-
ción diferencial ordinaria es aquella que se ajusta alaforma
a,(x)y'"' + . . . + a1(x)y' + uo(x)y = +(x) [V1.9]
en donde y(")es la n-ésima derivada de y con respecto a x y las a
y las f son funciones específicas de x. A esta ecuación se le llama li-
neal ya que no hay productos o funciones no lineales de la variable
dependiente y de sus derivadas. La importancia práctica de las ED0
lineales es que se pueden resolver analíticamente.En contraste,la ma-
yor parte de las ecuaciones no linealesno se pueden resolver exacta-
mente. Porlo tanto en la épocaanterior al uso de computadoras, una
táctica para resolver las ecuaciones no lineales fue la de linealizar-
las. Un ejemplo simple de la aplicación de ED0 es el predecir el mo-
vimientodel péndulo oscilante (Fig. VI.1). De manera similar ala
derivación del problema del paracaidista, se puede usar la segunda
ley de Newton para desarrollar la siguiente ecuación diferencial (véase
el caso 18.5 para la derivación completa:
d28 g
-+-sen0 = O
dt2 I CVl.1O]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-528-320.jpg)
![518 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
donde e es el ángulo dedesplazamiento del péndulo,g es la acelera-
ción gravitacional y I es la longitud del péndulo. Esta ecuación no es
lineal ya que contiene el término sen 8 . Una manera deobtener una
solución analítica es la de considerar pequeños desplazamientos del
péndulo a partir del equilibrio (estoes, para valores pequeños de6 ),
sen 8 = 8 [VI.11]
Por lo tanto, si se supone que sólo estamos interesados en los casos
donde O sea pequeña, entonces la ecuación (VI.11) se puede sustituir
en la ecuación (VI.1O) para obtener
[V1.12]
De esta manera se ha transformado la ecuación (VI.1 O) en una for-
ma linealfácil de resolveranalíticamente.
Aunque la linealización sigue siendo una herramienta muy útil en la
solución de problemas de ingeniería,existen casos donde no se pue-
de usar. Por ejemplo, supóngase queestamos interesados en estudiar
el comportamiento del péndulo para grandes desplazamientos a partir
del punto de equilibrio. En estos casos, los métodos numéricos ofre-
cen una opción viable en la obtención de soluciones. Actualmente,
la amplia disponibilidad de computadoras coloca esta opción al al-
cance de todos los ingenieros.
Vi.1.2 Las ED0 en la prácticadelaingeniería
Las leyes fundamentales de la física, la mecánica, laelectricidad y la
termodinámica se basan en general en observaciones empíricas que
explican la variación delas propiedades físicas y estados de los siste-
mas. En lugar de describir el estadode los sistemas físicos directamente,
las leyes se expresan en cambios del tiempo y del espacio.
En el cuadro VI.l se muestranvarios ejemplos. Estas leyes definen me-
canismos de cambio. Cuandoéstas se combinan conlas leyes de con-
tinuidad ¿e la energía, de mesa o de momento, se generan ecuaciones
diferenciales. La integraciónsubsecuente de estas ecuaciones diferen-
ciales genera funciones matemáticas que describen el estado espacial
y temporal de un sistema en términos variacionales de la energía, de
la masa y de la velocidad.
El problema del paracaidista introducido en el capítulo 1 es un ejem-
plo de la derivación de una ecuación diferencial ordinaria apartir
de una ley fundamental. Recuérdese que la segunda ley de Newton
se usa en el desarrollo de una E D 0 que describe el cumbic propor-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-529-320.jpg)
![CUADRO VI. 1
v1.2
Ejemplos de lasleyes fundamentales escritas en terminos del
promedio de cambiode las variables (t = tiempo y x = posición)
Ley
Expresión
matemática
Segunda ley de dv f
Newton del
movimiento dt m
- = -
Ley del calor de Flujo de calor = k-
aT
Fourier ax
Ley de difusión Flujo de masa = 4-
ac
axde Fick
Ley de Farafay
(describe la caída del Caída de voltaje = L-
di
voltaje a través de un dt
conductor)
Conservación de Acumulación = V--
dc
la masa dt
Variables y
parámetros
Velocidad (v ), fuerza (F)
y masa (m)
Conductividad térmica (k)
y temperatura (T)
Coeficiente de difusión (D)
y concentración (c)
lnductancia (I)y
corriente (i)
Volumen (V) y
concentración (c)
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 519
"I*_ .c. ~ ...
cional de la velocidad de caída del paracaidista. Integrando esta re-
lación se obtiene una ecuación que predice la velocidad de caída en
función del tiempo. Esta ecuación puede usarse de diferentes mane-
ras, incluyendo propósitos de diseño.
De hecho, estas relaciones matemáticas sonla base de la solución de
un gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como se
describe en la sección anterior, muchas de las ecuacionesdiferencia-
les de significancia práctica no se pueden resolver usando métodos
analíticos delcálculo. Por lo tanto, los métodos analizados en los ca-
pítulos siguientes son sumamente importantes entodos los campos de
la ingeniería.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una funciónes-
pecífica de la variable independiente y de sus parametros que satis-
facen la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, se
tiene la siguientefunción
y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ 1 [V1.13]
la cual esun polinomio de cuarto orden (Fig. V1.20). Ahora, si se de-
riva la ecuación (VI.13), se obtiene la EDO:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-530-320.jpg)
![ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521
aquí es el de determinar la función original dada laecuación diferen-
cial. La función original representa entonces la solución. En este caso
se puede determinar la solución enforma analítica, integrando la ecua-
ción (VI. 14):
y = [-2x3 + 1 2x2 - 2Ox + 8.51 dx
I
Aplicando las reglas de integración(recuérdese el cuadro V.l)
AI resolver cada término de la ecuación se obtiene la solución:
y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ C [VI.15]
que es idéntica a la función original con una notable excepción. En
el acto de derivacióne integración, se pierde el valor de la constante
1 en la ecuación original y se gana el valor C. Esta C es conocida
con el nombre de constante de integración. El hecho de que aparez-
ca una constante indica que la solución no es única. De hecho, ésta
es sólo una de un número infinito de funciones posibles (correspon-
dientes a un número infinito de valores posibles para C)que satisfa-
cen a la ecuación diferencial. Por ejemplo, en la figura V1.3 se muestran
seis posibles funciones que satisfacen la ecuación (V1.14).
FIGURA V1.3 Seis soluciones posibles de laintegral de -2x3 + 12x2 - 2Ox + 8.5.
Cada uno tiene un valor diferente de la constante de integración c.
""I.. .- . ."... ..~](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-532-320.jpg)
![522 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
VI.3
Por lo tanto, para especificar la solución completamente, una ecua-
ción diferencial se acompaña decondiciones auxiliares. Para EDOs de
primer orden, a un tipo de condición auxiliar sele llama valor inicial
y es necesaria para determinar la constante y obtener una solución
única. Por ejemplo, la ecuación (VI.14)puede ir acompañada de una
condición inicial en que x = O, y = l . Estos valores se sustituyen en
la ecuación (VI.15):
1 = -0.5(0)4+ 4(0)3- 10(0)2+ 8.5(0) + C [VI.161
para determinar C = l. Por lo tanto, la solución única que satisface
a la ecuacióndiferencial y a la condicióninicial especificada se obtie-
ne sustituyendo C = 1 en laecuación ('41.15) para obtener
y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ 1 [VI.17]
De esta manera, se ha considerado en la ecuación (VI.15) que pasa
a través de la condición inicial, al hacerlo, se ha obtenido una solu-
ción única para laE D 0 y se ha completado el círculo hasta la función
inicial [ecuación (VI.13)].
Las condiciones iniciales por lo común tienen interpretacicpes muy tan-
gibles en ecuaciones diferenciales de problemasfísicos. Por ejemplo,
en el problema del paracaidista la condicióninicial fue reflectiva del
hecho físico de que en un tiempo cero la velocidad vertical fue cero.
Si el paracaidista hubieraestado en movimientovertical en el momento
cero, la solución se habría modificado para tomar en consideración
esta velocidad inicial.
Cuando se trata con ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden se re-
quieren de n condiciones para obtener una solución única. Si todas
las condiciones se especifican en el mismo valor de la variable inde-
pendiente (por ejemplo, en x o t = O), entonces al problemase le co-
noce como problema¿e valor inicial. Esto contrasta con los problemas
de valor en la frontera en donde las especificacionesde las condiciones
ocurren en valores diferentes de la variable independiente. Los capítu-
los 16 y 17se enfocan a problemas con valores iniciales. Los problemas
con valores en la frontera se mencionan al final del capítulo 16.
Antes de continuar con los métodos numéricos en la solución de ecua-
ciones diferenciales ordinarios, puederesultar otil una orientación.El
material siguiente tiene lafinalidaddeproporcionaruna visión
general de los temas analizados en la parte VI. Además, se han for-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-533-320.jpg)
![C A P í T U L O D I E C I S É I S
MÉTODOS DE
UN PASO
Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones diferencialesor-
dinariasdelaforma
Enel capítulo 1 se usa un métodonuméricopararesolverelproblema
del paracaidista.Recuérdese que la ecuación usada enla solución de es-
teproblemafuede laforma general [Ec. (1.13)]
Valoractual = valoranterior + pendiente X tamaño delpaso
o, en términosmatemáticos
FIGURA 16.1 Esquema gráfico del método de un paso.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-538-320.jpg)
![528 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
16.1
Y i t l = Y¡+ 4h [16.1]
De acuerdoa esta ecuación,se usa la aproximación a la pendiente 4 pa-
ra extrapolar a partir de un valor anterior y, a un valor actual y,, l en una
distancia h (Fig. 16.1).Esta fórmula se aplica paso a paso para calcular
una solución futura y, de aquí, trazar la trayectoria de la solución.
Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma ge-
neral, con la única diferencia en el cálculo de la pendiente. Como en el
problema del paracaidista, el esquema simple como la primera derivada
de xi. Este esquema, llamado método de Euler, se analiza en la primera
parte de estecapítulo. A este le siguen otros métodos de un paso que
emplean aproximaciones alternativas ala pendiente que dan comoresul-
tado mejoresaproximaciones.
MÉTODO DE EULER
La primera derivada proporciona una aproximación directaa la pendien-
teen xi (Fig. 16.2):
4 = f h ,Y¡)
donde f (xt,y,) es la ecuación diferencial evaluada en x,y y,. Esta apro-
ximación se sustituye en la ecuación (16.1):
[16.2]
A estafórmula se le conoce como método de Euler (o método de
Euler-Cauchy o de pendiente puntual). Se predice un nuevo valor de y
usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original x)
paraextrapolarlinealmentesobre el tamaño de paso h (Fig. 16.2).
FIGURA 16.2 Método de Euler.
~ -](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-539-320.jpg)
![MÉTODOS DE UN PASO 531
cálculos capturan la tendencia general de la solución verdadera, el error
es considerable. Como se analizaenlasiguiente sección, esteerror se
puedereducirusando un tamaño depaso menor.
16.1.1 Análisis deerror enel métodode Euler
Lasoluciónnuméricade ED0 incluyedostiposdeerror (recuérdesela
sección 3.6):
1. Erroresdetruncamiento causados porlanaturalezade los métodos
empleados enla aproximación a los valoresde y, y
2. Erroresde redondeo causadosporelnúmerolimitado de dígitos o
decifrassignificativasquepuederetenerlacomputadora.
Los errores de truncamientose componen de dos partes. La primera
es un error de truncamiento local que resultaal aplicar elmétodo en cues-
tiónen un paso. El segundo es un error de programación que resulta de
las aproximaciónesproducidasdurante los pasosanteriores.Lasuma
delosdoseselerrordetruncamientoglobal.
El conocimientode lamagnitud y propiedadesdelerror de trun-
camiento se puede obtener derivando el método de Euler directamente
de la expansión de la serie de Taylor. Con el fin de hacer esto recuérde-
se que la ecuacióndiferencialque se estáintegrandoserá de la forma
general.
Y' = f k Y) [16.3]
donde y' = dy/dx y x e y son las variables independiente y dependien-
te, respectivamente. Sila solución, estoes, la función que describe elcom-
portamientode y tienederivadas continuas, ésta se puederepresentar
mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto inicial
(xl,yi),como en [recuérdese la Ec. (3.14)]:
donde h = x,, - x, y R, es eltérminoresidualdefinido como
[16.4]
r16.51](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-542-320.jpg)
![532 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
donde <;.estádentro delintervalode x; a xi+ Se puededesarrollaruna
forma alternativa sustituyendo la ecuación (16.3)enlas ecuaciones (16.4)
y (16.5)y obtener.
[16.6]
en donde O (h"+')especifica que elerror de truncamiento local es pro-
porcional al tamaño de paso elevado a la (n + 1)-ésima potencia.
Comparandolas ecuaciones (16.2)y (16.6),puede verse que el mé-
todo de Euler correspondea la serie de Taylor truncada hastael término
f (xi,yi) h. Adicionalmente, la comparaciónindicaqueelerrorde trun-
camiento se debe a que se aproxima la soluciónverdaderausandouna
cantidad finita de términos de la serie de Taylor. Por lo tanto, se trunca
o se deja fuera una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error
de truncamiento enel método de Euleresatribuible a los términos res-
tantes de la expansión que no se incluyenenla ecuación (16.2).Restan-
dola ecuación (16.2) de la ecuación (16.6)se obtiene
[16.71
donde € , e sel error de truncamiento local. Para una h lo suficientemen-
te pequeña, loserrores en los términosde la ecuación (16.7)decrecen
por lo común a medidaqueelorden crece (recuérdeseel ejemplo 3.7
y elanálisisquelo acompaña), y el resultado, a menudo, serepresenta
como
O
E, = O(h2)
[16.8]
[16.9]
donde E, es el error de.truncamiento local aproximado.
EJEMPLO 16.2
Aproximación del error en el método de Euler usando
la serie de Taylor.
Enunciadodelproblema:utilíceselaecuación (16.7) paraaproximarel
error del primer paso del ejemplo 16.1. Úsesetambién la ecuación para](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-543-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 533
determinar el error ocasionado porcadaunodelostérminosdeorden
superior de la expansiónde la serie de Taylor.
Solución: debidoa que se trata de un polinomio, se puede usarla expan-
sión de la serie de Taylor para obtener una aproximaciónexacta del error
usando el método de Euler. La ecuación (16.7)se puede escribir como:
rE16.2.11
en donde !’(x,, y,) es laprimeraderivadadela ecuacióndiferencial (es
decir, la segundaderivada de lafunción original).Paraeste caso, es:
f‘(xi, yi) = - 6 ~ ’ + 2 4 ~- 20 [E16.2.2]
y f “ (xi,y) es la segundaderivada de la E D 0
ff’(xi,yi) = - 1 2 ~+ 24 [E16.2.3]
y f”’ (xi,yi) es la tercera derivada de la ED0
f”’(Xi, y¡) = -12 rE16.2.41
Se puedenomitir los términosadicionales (esto es, lasderivadascuarta
y deordensuperior) de la ecuación (E16.2.1) ya que en este caso en
particular son cero. Se debe notar que en otras funciones (porejemplo),
las funciones trascendentes tales como seno, coseno o exponenciales) esto
no es necesariamente cierto, y los términos de ordensuperiornovalen
cero. Sin embargo, en este caso, las ecuaciones (E16.2.1) hasta la
(E16.2.4)definen completamente el errordetruncamientodeunaapli-
cacióndelmétododeEuler.
Por ejemplo, el error debidoal truncamiento del segundo término se
puedecalcular como:
-6(0.0)’ + 24(0.0) - 20
2
E u 2 = (0.5)2= -2.5
Para el términodetercerorden
-12(0.0) + 24
6
Eu3 = (0.5)3= 0.5
y para el términodecuarto orden:
-12
24
Eu4 = -(0.5)4= -0.031 25](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-544-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 539
la parte I que el modelo matemático de la velocidad se basa en la segun-
da ley de Newton de la forma:
dv C
dt -g-mU"
Se resuelve la ecuación diferencial analíticamente (ejemplo l.1)y numé-
ricamente usando el método de Euler (ejemplo 1.2).El objetivo de este
ejemplo es el de repetir estos cálculos numéricos empleando un modelo
sobre la velocidad más complicado basado en unadescripción matemáti-
ca más completa acerca del coeficiente de fricción causado por la resis-
tencia del viento. Este modelo está dado por:
[E16.4.1]
en donde a, b y umáXson constantes empíricas. Obsérvese que este mo-
delo es capaz de ajustar más exactamente medidas empíricas de coefi-
cientes de fricción contra la velocidad que el modelo lineal simple del
ejemplo l. l.Sin embargo, esto incrementa la flexibilidad a expensas de
evaluar tres coeficientes en vez de uno. Además, el modelo matemático
resultante es másdifícilde resolver analíticamente. En este caso, el méto-
do de Euler proporciona una alternativa conveniente para obtener una
solución numérica aproximada.
FIGURA 16.7 a) Resultados tabulares de los cálculos y b) resultados gráficos de la so-
lución de la E D 0 [Ec. (E16.4.11.Nótese que b)también muestra la solu-
ción del modelo lineal con propósitos de comparación. De hecho, el
programa no está diseñado para superponer gráficas de esta manera.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-550-320.jpg)
![540 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
Solución: se usaráel paquete NUMERICOMP para abordar la ecuación
(E16.4.1).Enlafigura 16.7a se muestralasolucióndelmodelocon un
tamaño de paso de O. 1 s. Para propósitosde comparación en la gráfica de
la figura 16.7bse muestra la solución no linealy el modelo lineal superpues-
tos. Nótese quela computadora puede graficarsólo una solucióna la vez.
Los resultados de los dos cálculos indican el crecimiento de la com-
plejidad enla formulación de los efectos que lafuerzadefricción ejerce
sobre la velocidaddelparacaidista. En este caso, la velocidadterminal
disminuye debido a la resistencia causada por los términos de orden su-
periorenla ecuación (E16.4.1).
Se pueden probar modelos alternos de manera similar. La combina-
cióndel paquete NUMERICOMP y la computadora hacen que esto sea
una tarea fácil y eficiente. Estaconvenienciapermite alusuariodedicar
más de su tiempo en considerar alternativas creativas y aspectos globales
delproblemaenlugarde los tediososcálculos manuales.
16.1.3 Métodos con serie de Taylor de orden superior
Una manera de reducir el error en el método de Euler sería incluir térmi-
nosdeordensuperiorenlaexpansión de la seriedeTayloralrededor
de la solución. Por ejemplo, incluyendo el término de segundo orden de
la ecuación (16.6) se obtiene
[16.11]
con un errorlocaldetruncamiento de:
Aunque la incorporación de términos de orden superiores lo suficien-
temente simple como para implementarse en polinomios,su inclusión no
es tantrivial cuando la E D 0 es complicada. En particular,las ED0 que
son una función de la variable dependientey de la variable independien-
te requieren derivación conlaregla de la cadena. Por ejemplo, la prime-
ra derivadade f (x, y) es
Lasegundaderivada es](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-551-320.jpg)
![MhODOS DE UN PASO 541
Y las derivadas de ordensuperior vienen a ser crecientemente más com-
plicadas.
Por consiguiente, como sedijo en las secciones previas, se han desa-
rrollado métodos alternativos de un paso. Estos esquemas son compara-
bles en ejecución a1 de la serie de Taylor de órdenes superiores pero re-
quieren únicamente el cálculo de la primera derivada.
16.2 MODIFICACIONES Y MEJORAS AL
MÉTODO DE EULER
Una fuente fundamentalde error en el método deEuler es quela deriva-
da al principio del intervalo se supone quese aplica a través del intervalo
entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este in-
conveniente. Como se demuestra en la sección 16.3, las dos modifica-
ciones en realidad pertenecen a unaclase mayor de métodos desolución
llamados métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, ya que tienen una in-
terpretación gráfica sencilla, se presentan antes de la derivación formal
de los ,métodos de Runge-Kutta.
16.2.1 Método de Heun
Un método paramejorar la aproximación a la pendiente implica el cálcu-
lo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el
punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una
aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Este
esquema, llamado método deHeun, se muestra gráficamente en la figu-
ra 16.8.
Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio de
un intervalo
Y: = !(X¡, Y¡> r16.121
Se usa para extrapolar linealmente a
Enel método estándar de Euler se pararía en este punto. Sin embargo,
en el método deHeun, la calculada con la ecuación (16.3)noes
la respuesta final sino una predicción intermedia. Esto se debe a que se
ha distinguido a ésta con el superíndice O. La ecuación (16.13) sellama
ecuación.predictora. Proporcionauna aproximación de y¡+ que permi-
te el cálculo de una pendiente aproximada alfinaldel intervalo:
y:+1 = f(Xi+l, Y?*d [16.14]
"P"__ I.... . .. ".".,](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-552-320.jpg)
![542 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 16.8 Esquema gráfico del método de Heun. o) Predictor y b) corrector.
Por 10 tanto, se pueden combinar las dos pendientes [ecuaciones(16.12)
y (16.14)]y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:
Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de y, a y,,
usando el método de Euler:
que se llama una ecuación correctora.
El método de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los mé-
todos de pasos múltiples por discutirseen el capítulo 17 son de este tipo.
El Único método corrector-predictor de un paso descrito en este libro es
el método de Heun. Como sedijo antes, se puedeexpresar concisamen-
te como:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-553-320.jpg)
![MÉTODOS DE UN PASO 543
I Predictor(Fig 16.8a): = yi + f(xi,yi) h I [16.15]
Corrector(Fig. 16.8b): yi+l = yi + f k i , Y¡> + f(Xi+lr Y?+J
[16.161
2
Nótese que debido a que la ecuación (16.16) tiene y¡+ 1 en ambos lados
del signo igual, ésta puede aplicarse para “corregir” enun esquema itera-
tivo. Esto es, se puede usar una aproximación anterior varias veces para
proporcionarunaaproximaciónmejoradadeElprocesomuestra
enlafigura 16.9. Se debe entender que este proceso no necesariamente
converge a la respuesta correcta sino que converge a una aproximación
con un error de truncamiento finito, como se demuestra enelsiguiente
ejemplo.
Como conlosmétodositerativossimilaresanalizadosenlas seccio-
nes previas del libro,un criterio de paro en la convergencia del corrector
lo proporciona[recuérde la ecuación (3.5)]
[16.17]
en donde y!;: y yj+l son el resultado de la iteración anterior y actual del
corrector, respectivamente.
FIGURA 16.9 Representacióngráfica de la iteración del corrector del método de Heun
para obtener una rrleior aproximación.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-554-320.jpg)
![544 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
EJEMPLO 16.5
Método de Heun
Enunciado del problema: empléese el método de Heun para integrar y '
= 4e08x - 0 . 5 ~desde x = O a x = 4 contamañodepaso 1.La con-
dicióninicialen x = O es y = 2.
Solución: antes de resolver el problema numéricamente,se puede efec-
tuarel cálculomediante la siguientesoluciónanalítica:
4
1.3
y = - e-0.5~) + &-0.5~ [E16.5.1]
Esta fórmula se puede usar para generar los valores verdaderos los cua-
les se presentan enel cuadro 16.2.
Lasoluciónnumérica se obtieneusando la fórmulapredictora [Ec.
16.15)]paraobtener un valorde y para 0.5:
y': = 2 + [4e0 - 0.5(2)] 1 = 5
Obsérvese que este esel resultado que se debería obtener con el método
deEulerestándar.Usando elvalorverdaderodelcuadro 16.2, a este
corresponde un errorrelativoporcentualdel 19.3%.
Lapendiente en (xo,yo) es
yó = 4 e o - 0.5(2) = 3
Este resultado es muy diferente de la pendiente promedio verdaderoen
intervalode O a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculadade la ecuación
diferencial original usando la ecuación (V.3).Por lo tanto, para mejorarla
aproximaciónde la pendiente, se usaelvalor y: parapredecir la pen-
diente alfinaldel intervalo:
que se puedecombinarcon la pendiente inicial y obtener:
que es más cercana a la pendiente promedio de 4.194 6.Este resultado
se puede sustituirenla ecuacióncorrectora [Ec. (16.16)]paraobtener
la predicción en x = 1:
y1 = 2 + (4.701 081 86)l = 6.701 081 86](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-555-320.jpg)
![MCTODOS DE UN PASO 545
CUADRO 16.1 Comparacidn delos valores verdaderosy aproximados dela inte-
gral de y' = 4eo*8x-0.5~con la condicidn incial de que y 2 en
x O. Los valores aproximadosse calcularon usandoel metodo de
Heun con un tamañode paso de1. Se muestran dos casos, corres-
pondientesa números diferentes de iteracionesdel corrector, jun-
to con el error relativoporcentual absoluto
lteraciones con el metodo de Heun
1 15
x Yverdmdero Yheun lEvl '10 Yheun kv1
O 2.000 O00 O0 2.000O00 O0 0.00 2.000 O00 o 0.00
1 6.19463138 6.701 081 86 8.18 6.360 865 492.68
2 14.843921 9 16.319 7819 9.94 15.302 2367 3.09
3 33.677171 8 37.199 2489 10.46 34.743 2761 3.17
4 75.338 962 6 83.337 7674 10.62 77.735 0962 3.18
querepresenta un errorrelativoporcentualdel -8.18%. Por lo tanto,
el método deHeun reduce el valor absoluto del error en un factor de2.4
comparadocon el método de Euler.
Ahora esta aproximaciónse puede usar para refinaro corregirla pre-
dicción de yl sustituyendo el nuevo resultado de nuevo enel lado dere-
cho de la ecuación (16.16):
[3 + 4eo.8"' - 0.5(6.701081 86)]
y ] = 2 +
2
1 = 6.275 81139
querepresenta un errorrelativoporcentualdel 1.31%. Esteresultado,
a suvez se puede sustituirenla ecuación (16.16)para una mejor aproxi-
mación yl:
[3 + 4eo.8(1) - 0.5(6.275 811 39)]
y 1 = 2 +
2
= 6.382 129 O 1
que representa un error 1 ~ ~ 1de 3.03%. Nótese cómo los errores algunas
veces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por ejemplo, enlas
tresiteraciones el error crece en un 3.03%, estos incrementospueden
ocurrir,especialmente en tamaños depaso muy grandes. Elusuario
debeevitarlaconclusióngeneraldequeunaiteraciónadicionalsiempre
mejora el resultado. No obstante, para un tamaño depaso lo suficien-
temente pequeño, la iteracióndebeeventualmenteconverger a un solo
valor. En este caso, se obtiene el resultado6.360865 49, que representa
un error relativo del2.68% después de 15 iteraciones.Enel cuadro 16.2
se muestran los resultados delos calculos restantes usandoel método con
1 y 15 iteracionespor paso.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-556-320.jpg)
![546 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
Enel ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable de-
pendiente y y de la variable independiente x. Para casos polinomiales,
endonde las ED0 son sólo función de la variable independiente, el
tamaño predictor [Ec. (16.15)Jno se necesita y se aplica únicamente
el corrector a cada una de las iteraciones. En estos casos el método se
expresa abreviadamente como
[16.18]
Nótese la similitud entre el lado derecho de la ecuación (16.18)y la
regla trapezoidal [Ec. (13.3)].La conexión entre los dos métodosse pue-
de demostrarformalmenteempezando con la ecuación diferencial ordinaria
Esta ecuación se resuelve para y integrando:
r+'dy = R"!(x)dx
que lleva a
[16.19]
[16.20]
O
Y i t l = yi + [+I f(x) dx [16.21]
Ahora, recuérdese de la sección 13.1que la regla trapezoidal [Ec. (13.3)]
se define como
o, enestecaso
L16.221
donde h = xi+l- xi. Sustituyendo la ecuación (16.22)en la ecuación
(16.21) se obtiene](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-557-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 547
[16.23]
queesequivalente a la ecuación correctora [Ec. (16.16)].
Debido a que la ecuación (16.23)es una expresión directa dela regla
trapezoidal, el error local de truncamiento está dado por [recuérdesela
Ec. (13.6)]
[16.24]
donde está entre xi y xi+l.Por lo tanto, el método es de segundo orden
debido a que la derivadadesegundoorden de E D 0 es cero cuando la
solución es cuadrática. Además, loserroreslocal y globalson de O(h3)
y O(h2),respectivamente. Por lo tanto, disminuyendoel tamaño de pa-
so se disminuye también el error más rápidamente que usando el méto-
do de Euler. Lafigura 16.10, que muestra el resultado de usar el método
de Heun para resolver el polinomio del ejemplo16.1, demuestra estecom-
portamiento.
16.2.2 Método meiorado del polígono (Euler modificado)
La figura 16.11 ilustra otra modificación simple del método de Euler. Es-
te método, llamadopoligono mejorado (o€ d e rmodificado),usa el mé-
Figura 16.1O Comparación de la solución verdadera con un método numérico usan-
do los métodos de Euler y Heundela integral de y' = -2x3 + 12x2
- 2oX + 8.5
""" . . - .- ' ... .](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-558-320.jpg)
![548 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 16.11 Esquema gráfico del método del polígono mejorado. a)Ecuación ( 1 6.25)
y b) ecuación (1 6.27).
todo deEuler para predecir un valorde y en el punto medio del intervalo
(Fig. 16.l l a ):
116.251
Entonces este valor predecid0 se usa en la aproximación de la pendiente
en el punto medio:
I y:+1/2 = f(Xi+l/2,Yi+l/2) I [16.26]
lo cual, se supone, representa una aproximación válida de la pendiente
promedio en el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapo-
lar linealmente de x,a x,, usando el métodode Euler (Fig. 16.l l b ) :](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-559-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 549
1 Yi+l = Y¡ + f(X,+1,2, Yi+l/2)h 1 [16.27]
Nótesequedebido a quenoestáenambos lados, la correctora [Ec.
(16.27)]no se puedeaplicariterativamenteparamejorar la solución.
El método del polígono mejorado es superior al método de Euler ya
que éste utiliza una aproximación dela pendiente enel punto medio del
intervalodeprediccfón. Recuérdese delanálisisdederivaciónnumérica
de la sección 3.5.4 que las diferenciasdivididas centrales fueron mejores
aproximaciones a la derivada que lasversioneshaciaadelante y atrás.
Enelmismo sentido, unaaproximación centrada, como la ecuación
(16.26)tiene un error de truncamiento local de O(h2)en comparación con
la aproximaciónhacia adelante del método de Euler que tiene un error
de O(h). Por consiguiente,los errores local y global del método del poli-
gono mejorado son O(h3)y O(h2),respectivamente.
16.2.3 Algoritmo para lacomputadora de los métodosde Euler
meiorado y modificado
El métodode Heuncon un correctorsimple y el métodomejoradodel
polígono se pueden programar con facilidad usandola estructura general
mostrada enlafigura 16.6. Es una tarea relativamente simplela de mo-
dificar lasubrutinadelprogramageneralparacalcularlapendientede
acuerdoconestos métodos.
Sin embargo, cuando se implementa laversióniterativadel método
de Heun, las modificaciones son un poco más complicadas. Enla figura
16.12se ha desarrollado una subrutina para este propósito. Esta subruti-
SUBROUTINEHEUN( X , Y >
COMMON H. I M , E S
F( X , Y )-4*EXP( ,8oX )- , 5-Y
X-X+N
S l = F < X , Y )
YI=Y+$I*n
DO 1100 IT=l.IM
S P - F ( X . Y l )
SL-~s1*S2,,'2
EA=ABS( ( V 2 - Y I )/Y2 M 1 0 8
YP-Y+SL.M
Y I -Y2
I F < E A . L E , E S ) G O TO I 1 2 0
Y R I T E ( 6 . 4 ) E A
I 1 O9 CONTINUE
4 FORMAT( ' ' I ' L A I T E R A r l O N MAXIMA EXCEDID EA=
I 1 2 0 X-X-H
C F 1 0 . 5 )
RETURN
E N 0
S1 = pendiente al prmclplo
del intervalo
Y1 = prediccldn al h i l l del
1nterva10
IM = ttsracl6n rnAxma del
COrleCtOr
S2 = pendente al fm.9 del
!"tervalo
SL = pendmnte promedlo
EA = error calculado %
fCorrector1
ES = error aceptable1
fPrueba del error donde
FIGURA 16.12 Versionesen FORTRAN y BASIC de la subrutinaqueimplementaelmé-
todo iterativo de Hewn.
"""" .. . ._,." . ...,..- .](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-560-320.jpg)
![550 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS
na se puede combinar con lafigura 16.6 para desarrollar programas del
métodoiterativode Heun.
16.2.4 Resumen
Manipulando el métododeEuler se handerivadodosnuevosmétodos
de segundo orden. Aun cuando estas versiones requieren mayor esfuer-
zo de cálculo para determinarla pendiente, la reducción que acompaña
al errorpermitiráconcluirenunasecciónsubsiguiente (sección 16.3.4)
que la exactitud mejoradaes, en general, merecedora del esfuerzo. Aunque
existenciertos casos en dondelosmétodosfácilmenteprogramables
talescomo el método de Eulerse pueden aplicarventajosamente,los mé-
todos del polígono mejorado son generalmente superioresy se deben im-
plementar si sonconsistentescon los objetivos del problema.
Como se menciona al principio de la sección, el método deHeun (sin
iteraciones), el métododelpolígonomejorado y, de hecho, el método
mismo de Euler son versiones de una clase más amplia de esquemas de
un paso llamado métodosde Runge-Kutta.Ahora se desarrollala deriva-
ciónformaldeestos métodos.
16.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
Los métodos de Runge-Kutta tienenla exactitud del esquema de la serie
de Taylor sin necesitardelcálculo de derivadas superiores. Existen mu-
chas variaciones pero todas ellasse pueden ajustar a la forma general de
la ecuación (16.1):
Yi+l = Y, + +(Xi, Yi, h) h r16.281
donde a 4 (xi,yi, h) se le llama función de incremento y puede interpre-
tarse como elpromedio de la pendientesobre el intervalo.Lafunción
de incremento se puedeescribir enla formageneral como
# = alkl + a2k2 + * * + ankn [16.29]
endondelas a sonconstantes y las k son
[16.29a]
[16.29b]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-561-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO SS 1
Obsérvesequelas k sonrelaciones recurrentes. Esto es, kl aparece en
la ecuación de kZ,que aparece enla ecuación de k3,etc. Esta recurren-
cia hace alosmétodos RK eficientespara su cálculo en computadora.
Se pueden desarrollar varios métodos de Runge-Kutta empleando una
cantidad diferente de términos enla función de incremento especificados
por n. Nótese que el método RK de primerordencon n = 1 es, de he-
cho, el métododeEuler.Una vez que se haescogido n, losvaloresde
las a, de las p y de las q se evalúan igualando la ecuación (16.28) a los
términosenunaexpansión de la serie de taylor (recuadro 16.1). Porlo
tanto, al menos para versiones menores dela orden, en general, el nú-
mero de términos n representa elordendel método. Por ejemplo, enla
siguente sección, los métodos RK desegundoorden usanunafunción
de incremento con dos términos (n = 2). Estos métodos de segundo or-
den son exactos si la solución ala ecuación diferenciales cuadrática.Ade-
más, debido a que se desprecian los términos con h3 y de orden superior
durante la derivación, elerrorlocal de truncamiento es O(h3) y elerror
global es O(h2).En secciones posterioresse desarrollan los métodos RK de
tercer y cuartoorden (n = 3 y 4). En estos casos, loserroresglobales
detruncamientoson O(h3) y O(h4), respectivamente.
RECUADRO 16.1 Obtención de los coeficientes de los métodos de segundo orden de Runge-Kutta
Laversióndesegundoordendelaecuación (16.28)es:
donde
[B16.1.5]
Sustituyendola ecuaci6n (B16.1.5)en (B16.1.4)se
obtiene:
donde f' (xi,y,) debedeterminarsederivandoconla re- g(x+r, y + ~ )= g(x, y) + r-as + s-as + * - .
gladela cadena(sección 16.1.3): ax ay](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-562-320.jpg)
![552 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Aplicando estemétodo enlaexpansióndelaecuación Ahora,comparandotérminossemejantes enlas ecuacio-
(B16.1.3)seobtienenes (B16.1.6)y (B16.1.7),se determinaqueparaquelas
dos ecuaciones sean equivalentes, se debecumplir lo si-
f(xt + plh, YI + q11klh) guiente:
al + a2 = 1
azpl = $
a2q11 = 5
Esteresultadosepuedesustituirjuntoconlaecuación 1
(B16.1.2)enlaecuación (B16.1.1)paraobtener
Estastres ecuaciones simultáneascontienenlascuatro
másqueelnúmerode ecuaciones, nohay un conjunto
Únicodevaloresquesatisfaganlas ecuaciones. Sin em-
yi+l = y, + alhf(x1,y11+ a2hf(xi,yi) constantesincógnitas.Debidoaqueexisteunaincógnita
af
ax ay bargo,adjudicándole un valor a unadelas constantes, se
+ azph2- + azqllh2f(xi,y3-af
+o@3) puedendeterminarlasotrastres.Por consiguiente,existe
una familia de métodos de segundo orden en vez de una
o, reordenandotérminos,sola
+ o(h3) [B16.1.7]
16.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden
La versión de segundoordende la ecuación (16.28) es
[16.30]
[16.30a]
[16.30b]
Como se describeenelrecuadro 16.1, los valoresde al, a2,P1y q1 se
evalúan igualandola ecuación (16.30)a la expansión de la serie de Tay-
lor hasta el segundo término. Haciendoesto, se obtienen tresecuaciones
paraevaluarlascuatroincógnitas constantes. Estastres ecuaciones son
al + a2 = 1 [16.31]
[16.32]
[16.33]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-563-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 553
Debido a que se tienen tresecuaciones con cuatro incógnitasse debe
suponer el valor de una de las incógnitaspara determinar las otras tres.
Supóngase que se especificaelvalor de a2. Entonces las ecuaciones
(16.31)a la (16.33) se resuelven simultáneamente para:
a1 = 1 - a2
1
[16.34]
P1 = 911 = -
1
2a2 [16.35]
Ya que se puede escoger una cantidadinfinita de valores de a2, existe
un número infinito de métodos de RK de segundo orden. Cada versión
llevaría exactamente a los mismos resultados sila solución de la ED0 es
cuadrática, lineal o constante. Sin embargo, llevan a resultados diferen-
tes cuando la solución es más complicada(comoes el caso típico).A con-
tinuación se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas y
preferidas:
Método de Heun con un corrector simple (a2 = 1/2).Si se considera
que a2 es igual a un medio (1/2), entonces 1% ecuaciones (16.34) y
(16.35)se pueden resolver para al = 1/2 y p1 = qll = 1.Estos pará-
metros, cuando se sustituyen en la ecuación (16.30) generan
[16.36]
donde
[16.364
l16.3661
Obsérvese que kles la pendiente al principio del intervalo y k2 es la pen-
diente alfinaldelintervalo.Por consiguiente, este segundo método de
Runge-Kutta es realmente el método de Heun con una sola iteración del
corrector.
El método meiorado del polígono (a2= 1). Si se supone que a2 sea
1,entonces al = C, p1 = qll = 1/2, y la ecuación (16.30)viene a ser:
[16.37]
donde
[16.37a]
[16.376]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-564-320.jpg)
![554 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
Estees el métodomejorado delpolígono
Método de Ralston (a2 = 2/3).Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz
(1978)determinaronque escoger a2 = 2/3 proporciona un límitemíni-
moenelerrorde truncamiento delos algoritmosRK de segundo orden.
Paraesta versión, a , = 1/3 y p1 = qI1= 3/4:
donde
[16.38]
EJEMPLO 16.6
Comparación de varios métodos RK de segundo orden
Enunciadodelproblema:utilícese el polígonomejorado [Ec. (16.3711 y
el método de Ralston [Ec. (16.38)]para integrar numéricamentela ecua-
ción (VI.14):
f(x, y) = - z X 3 + 12x* - zox + 8.5
desde x = O hasta x = 4 usando un tamañodepaso de 0.5. La condi-
cióninicialen x = O es y = 1.Compárense estosresultadoscon los va-
lores obtenidos usando otro algoritmoRK de segundc orden: el método
deHeunconiteracionesde un corrector (Fig. 16.10 y cuadro 16.3).
Solución: elprimer paso enel métododelpolígonomejorado es elde
usarla ecuación (16.37a) paracalcular:
kl = -2(0)3 + 12(0)' - 2O(O) + 8.5 = 8.5
No obstante, debido a que la ED0 es una función sólo de x,este resulta-
do se requiereparacalcular k,; alusarla ecuación (16.37b)se tiene
k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75
Nótese que esta aproximaciónde la pendiente es mucho más cercana al
valor promedio sobre el intervalo (4.437 5) que la pendiente al principio
delmismo (8.5)quedebióusarseenelmétodode Euler. Lapendiente
1 en el puntomediosepuedesustituirenlaecuación (16.37)para predecir](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-565-320.jpg)
![556 M~TODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS
Enel método de Ralston, kl en el primer intervalo también es igual
a 8.5 y [Ec. (16.38b)l:
k2 = -2(0.375)3 + 12(0.375)2- ZO(0.375) + 8.5 = 2.582 031 25
La pendiente promedio se calcula mediante
4 = i(8.5)+ $ (2.582 031 25) = 4.554 687 5
que se puede usar para predecir
~(0.5)= 1 + 4.5546875(0.5) = 3.27734375 = -1.82%
Los cálculos se repiten, y los resultados se resumen en la figura 16.13
y el cuadro 16.3.Obsérvese cómo todoslos métodos RK de segundo or-
den son superiores al método de Euler.
16.3.2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden
Se puede llevar a cabo unaderivación análoga ala del método de segun-
do orden,para n = 3. El resultado de esta derivación es de seis ecuacio-
nes con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben especificar a priori los
valores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restan-
tes. Una versión común que resulta es
donde
r16.391
[16.39a]
[16.39b]
[16.39c]
Obsérvese que si la derivada es una función sólo de x, este rnétodo de
tercer orden se reduce a la regla de Simpson de 1/3. Ralston (1962)y
Ralston y Rabinowitz (1978)han desarrollado una versión alternativa que
proporciona un límite mínimo en el error de truncamiento. En cualquier
caso, los métodos RK de tercer orden tienen errores globales de O(h4)
y O(h3), respectivamente, y llevan a resultados exactos cuando la solu-
ción es de ordencúbico. Como semuestra enel siguiente ejemplo, cuan-
dose trata de polinomios, la ecuación (16.39)seráexacta cuando la
ecuación diferencial sea de orden cúbico y la solución de orden cuarto.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-567-320.jpg)
![MÉTODOS DE UN PASO 557
Esto es porque la regla de Simpson de 1/3proporciona aproximaciones
exactas a laintegraldeordencúbico (recuérdese el recuadro 13.3).
EJEMPLO 16.7
Método RK de tercer orden
Enunciado del problema:utilícese la ecuación (16.39) paraintegrar
a) Una ED0 queesexclusivamenteunafunciónde x [Ec. (VI.14)]:
"d~ - -2x3 + 12x2 - 20x + 8.5
dx
con y(0) = 1 y detamañodepaso igual a 0.5.
b) Una ED0 que es unafunciónde x y y:
dY
- = 4e0,&- 0 . 5 ~
dx
con y(0) = 2 desde x = O a 1 con un tamañodepaso 1.
Solución:
a) Se puedenusarlas ecuaciones (16.39~1)a la (16.39~)paracalcular:
kl = -2(0)3 + 12(0)2- 20(0) + 8.5 = 8.5
k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75
k3 = -2(0.5)3 + 12(0.5)2- 20(0.5) + 8.5 = 1.25
que se puedesustituirenla ecuación (16.39) para obtener:
y(0.5) = 1 + {i[8.5 +4(4.218 75)+ 1.25]}0.5 = 3.218 75
la cual es exacta. Porlo tanto,ya que la solución verdaderaes un polinomio
de cuarto orden [Ec. (VI.13)].La regla de Simpson de 1/3 proporciona
un resultado exacto.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-568-320.jpg)
![558 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
que se puede sustituirenla ecuación (16.39)y obtener:
~(1.0)= 2 + + 4(4.217 298 79) + 5.184 864 92411 1
= 6.175 676 681
querepresenta un E , = 0.31 % (valorverdadero = 6.194 631 38),que
es superior en mucho a los resultados obtenidos previamente con los mé-
todos RK de segundo orden (esto es, elHeunsin iteraciones) del ejemplo
16.5.
16.3.3 Métodos de Runge-Kutta de cuartoorden
Los métodos RK más populares son los de cuarto orden. Como sucede
con los métodos de segundo orden, existe un número infinito de versio-
nes. El siguiente algunas veces se llamamétodo clásicoRK de cuarto orden:
donde
[16.40~11
[16.40b]
[16.40~1
[16.40d]
Obsérvese que para las ED0 que sólo son función de x, el método clási-
co deRKtambién es equivalente a laregladeSimpsonde 1/3.
EJEMPLO 16.8
Método clásico RK de cuarto orden
Enunciado del problema: utilícese el método clásico RKde cuarto orden
[Ec. (16.4O)Jparaintegrar:
f(x,y) = -2x3 + 1 z x 2 - 2oX + 8.5
usando un tamaño de paso de 0.5 y unacondicióninicialde y = 1
en x = 0.
Solución: las ecuaciones (16.40~)a la (16.40d)se usan paracalcular:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-569-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 559
kl = -2(0)3 + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5
k2 = ~ 2 ( 0 . 2 5 ) ~+ 12(0.25)' - 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75
k3 = 4.218 75
k4 = -2(0.5)3 + 12(0.5)* - 20(0.5) + 8.5 = 1.25
que se puedensustituirenla ecuación (16.40)para obtener:
y(O.5) = 1 + {i[8.5 + 2(4.21875) +2(4.218 75) + 2(4.21875)
+ 1.25110.5 = 3.21875
el cual es exacto. Por lo tanto, debido a que la solución verdadera es de
cuartoorden [Ec. (VI.131,el método de cuartoordenproporciona un
resultado exacto.
16.3.4 Métodode Runge-Kutta de orden superior
Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda elmétodoRK de quinto
orden, Butcher (1964):
donde
kl = f k i , Y¡) [16.41a]
k5 = f(xi + h, yi + &hkl + & h b ) [16.41e]
ks =/(xi + h, yi - Qhkl +'$hk2 + yhk3 - Yhk4 + $hk5) [16.41f]
Obsérvese lasimilitud entre el método de Butcher y la fórmula Newton-
Cotes de quinto orden del cuadro 13.3. Se puede disponer de fórmulas
RK de orden superior, tales como el método de Butcher, pero, en gene-
ral, la ganancia obtenidaen exactitud por los métodos de orden superior
al cuarto se contrapone con la complejidad y esfuerzode cálculo.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-570-320.jpg)
![560 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
EJEMPLO 16.9
Comparación de los métodosdeRunge-Kutta
Enunciado del problema: emplirenselos métodos RK desde primero has-
ta quinto orden para resolver
con y(0) = 2 de x = O hasta x = 4 con varios tamaños de paso. Com-
párese la exactitud de los varios métodos en el resultado x = 4 basado
en la respuestaexacta de y(4) = 75.338 962 61.
Solución: efectúense los cálculos usando los métodos deEuler, Heun sin
corregir, RK de tercerorden[Ec. (16.39)],RK clásico de cuarto orden
y el método RK de Butcher de quinto orden. Los resultados se mues-
tran en la figura 16.14, en donde se ha graficado el valor absoluto del
error relativo porcentua! contra el esfuerzo computacional.Esta última can-
FIGURA 16.14 Comparación del errorrelativoporcentualcontra el esfuerzo de
cálculo de los métodos del primero ai cuarto de Runge-Kutta.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-571-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 561
tidad es equivalente al número de evaluaciones de lafunción necesarias
paraalcanzar un resultado,
Esfuerzo = nf~
b - a
h
[16.42]
en donde nf es el número de cálculos de la función relacionados con el
cálculoparticular RK. Para órdenes 5 4, nf es igualalordendel méto-
do. Sin embargo, obsérveseque el método RK de Butcher de quinto
orden requiere de seis cálculosde la función [Ec. (16.41a)a la (16.41fl1.
Lacantidad (b - a ) / h es el intervalototaldeintegracióndivididopor
el tamaño del paso, es decir, es el númerodeaplicacionesdelmétodo
RK necesarias para obtenerel resultado. Por lo tanto, ya que las evalua-
ciones de lafunción son, en general, los pasos que consumen más tiem-
po, la ecuación (16.42)proporciona una medida aproximada del tiempo
decorridanecesariosparaalcanzar la respuesta.
Analizandolafigura 16.14 se llega a algunas conclusiones: prime-
ro, que los métodos de ordensuperiorobtienen mejores exactitudes
con el mismo esfuerzo de cálculo y segundo, que la ganancia en exacti-
tud por el esfuerzo adicional tiefidea disminuir después de un punto. (NÓ-
tese que lascurvas caen rápidamente alprincipio y despuéstienden a
nivelarse.)
El ejemplo 16.9 y lafigura 16.14 llevan a la conclusióndeque los
métodos RK de orden superior son siempre los métodos de preferencia.
Sin embargo, se deben considerar también otros factores tales como los
costosdeprogramación y los requisitosdeexactituddelproblemacuando
se escoja un método de solución. Estos elementos de juicio se analizan de-
talladamenteen los casos delcapítulo 18 y enelepílogo de laparte VI.
16.3.5 Error local de truncamiento de los métodos de Runge-Kutta
Debido a que un método de Runge-Kutta de n-ésimo orden se determi-
naigualando los términosde la ecuación (16.28) y la expansiónde la
seriedeTaylorhasta los términosquecontienen h", elerrorlocalde
truncamiento se puedeexpresar como
E, = O(,"+') [16.43]
en donde elvalor exacto de E, depende de f(x,y) y sus derivadas supe-
riores. En general, noesposiblecalcular E, enbase a la ecuación (16.43)
ya que los cálculossondemasiadocomplicados. Enel mejor de los
casos, si h es pequeña, y por consiguiente si a la ecuación la domina el
primertérminode la seriede Taylor, los coeficientes del método de RK
[esto es, las a, p y q de la ecuación (16.29))sepuedenescogerdetal](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-572-320.jpg)
![562 M~TODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS
maneraqueminimicenellímitesuperior E,. Más alláde eso, un análisis
delerrordelmétodo RK viene a sermás complicado.
Por ejemplo, el método deRunge-Kutta-Fehlbergse basaenel cálculo
de dosaproximaciones RK deorden diferente, restando los resultados
para obtener una aproximación del error.El método consisteen la fórmula
de cuarto orden:
25 1408 2 197 1
2 565 4 104 5
Y i + l = + ( E k 1 + ~ k3 + ~ k4 - -ks) h 1r16.441
juntocon lafórmuladequinto orden:
6 656 28 561
12 825 k3 + 56 430
yi+l = yi + ( g k l +
[16.45]
donde
12 1932
k4 = f(xi + Gh, yi + -
7 296
2 197
hkl - ~
2 197
'Oo hkp + -hk3 32 197
439 3 680
+ h, yi + -hkl - 8hk2 +"-216 513 410
1 8
ki = f(xi + Zh, yi - -hk, + 2hk2- ___
3 544
27 2 565 hk3
1859
4 104 40
+-
la aproximacih al error se obtienerestando la ecuación (16.44) de la
(16.45) paraobtener
I I](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-573-320.jpg)
![MÉTODO DE UN PASO 563
Por lo tanto, la ED0 se puede resolver conla ecuación (16.44)y la apro-
ximación del error dela ecuación (16.46).Sin embargo, la aproximación
al error se alcanza a costa de una complejidad extra y de un esfuerzo de
cálculo. Nóteseque, después de cada uno delos pasos, la ecuación (16.46)
se puede sumara la ecuación (16.44)y llegar a resultados de quinto orden.
Aunqueelmétodo de Runge-Kutta-Fehlberges algomás pesado
para manejarse que el método Runge-Kutta de cuarto orden, existen si-
tuaciones en donde el error aproximadolo convierte en un método pre-
ferible. El cálculodelerrores de particularimportanciacuando se trata
de funciones que requieren pasospequeños en algunas regionesy pasos
grandes en otras. En tales funciones, un erroraproximadoproporciona
una baseparacambiar el tamañodepasodurante los cálculos. De otra
forma, el tamaño del pasose debe escogerconservadoramente,es decir,
debe sermás pequeño que lo necesario para alcanzarla exactitud desea-
da, ademásde acomodar laregiónquerequieradelostamañosmás
pequeños. Esta limitación se considerará con más detalle cuandose ana-
licen métodos de pasos múltiples en el capítulo 17 para los cuales las apro-
ximaciones delerror se obtienenconmayorfacilidad.
16.3.6 Algoritmos para computadora de los métodos de Runge-Kutta
Como en todos los métodoscubiertosen el capítulo, el métodode RK
se ajusta muy bienenelalgoritmo general de lafigura 16.6. Enlafigura
16.15 se presentan subrutinas en los lenguajes FORTRANy BASIC que
determinanlapendientedelmétodo RKde segundoorden de Ralston
[Ec. (16.38)].Las subrutinas para calcular pendientes de todas las otras
versiones se puedenprogramarfácilmentedemanerasimilar.
Enel método de RK-Fehlberg, el tamaño variable de paso se puede
incorporardediferentes maneras. Unaformadehacerlo (Maron, 1982)
es lade especificarun límite inferior y otro superior enel error. El objeti-
vo es el deemplear un tamaño de pasoque genere unaaproximación
FIGURA 16.15 Subrutinas en FORTRAN y BASIC para determinarlapendienteusando
el métodode Ralston desegundoordende RK](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-574-320.jpg)
![564 METODOSNUMfRICOSPARAINGENIEROS
del error dentro del rango aceptable. Si el error aproximado es mayor
que el límite superior, el tamaño de paso se parte a la mitad hasta que
el error se encuentre dentrodel rango aceptable. Si el error aproximado es
menor que ellímite inferior, el tamaño de paso se duplica hasta que el
error se eleva de un rango aceptable.
16.4 SISTEMAS DE ECUACIONES
Muchos problemas prácticos de ciencia e ingeniería requieren de la solu-
ción de un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias en lugar de una
sola ecuación. Tales sistemas se pueden representar generalmente como
[16.47]
La solución de este sistema requiere que las n condiciones iniciales se co-
nozcan en unvalorinicial de x.
Todos los métodos analizados en este capítulo para ecuaciones sim-
ples se puedenextender para el sistema mostrado anteriormente. Las apli-
caciones de la ingeniería pueden implicar la solución de varios cientos de
ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento de solución del
sistema de ecuacionessimplementesignifica aplicar elmétodo de un paso a
cada una de las ecuaciones antes de continuar con el siguiente paso. Es-
to se ilustramejor en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 16.1O
Solución de sistemas de ED0 usando el método de Euler
Enunciado del problema: resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones
diferenciales usando elmGtodo de Euler, suponiendo que en x = O, y1
= 4, y y2 = 6. Intégrese a x = 2 con un tamañodepaso de 0.5.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-575-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO 565
Solución: el método de Euler se implementa como en la ecuación (16.2)
yZ(0.5) = 6 + [4 - 0.3(6)- 0.1(4)]0.5 = 6.9
Obdervese que yl(0) = 4 se usa en la segunda ecuación en vez de
yl(0.5) = 3, calculado con la primera ecuación.Procediendo de una
manera semejante se obtiene
X Y1 Y2
O 4 6
0.5 3 6.9
1.0 2.25 7.715
1.5 1.6875 8.445 25
2.0 1.2656215 9.094 0875
16.4.1 Algoritmo para la computadora para la solución de sistemas
de ED0
El programa para resolver una sola E D 0 con el método de Euler (Fig.
16.6)se puedeextender fácilmente a un sistema de ecuaciones. Las mo-
dificaciones incluyen:
1.
2.
3.
4.
5.
Introducir el núrrero de ecuaciones, n.
Introducir los valc'resiniciales para cada unade las n variables depen-
dientes.
Modificar lasubrutina de tal manera que calcule las pendientes de ca-
da una de lasvariables dependientes.
Incluir funciones adicionales para calcular las derivadas de cada una
de las EDO.
Incluir las ecuacicnes restantes(del tipo en la linea 230 de la versión
BASIC)para calc.darun nuevo valor de cada una delas variablesde-
pendientes.
Obsérvese que cualquiera de los métodos de un paso deeste capitu-
lo se pueden usar para este algoritmo. Laúnica diferencia seria la for-
mulación de la subrutina que calculalas pendientes. El método clásico
RK de cuarto orden es una buena alternativa para este propósito ya que
proporciona una exactitud excelente y es relativamente fácil de progra-
mar. Una característicaimportante de un programa de computadora para
resolver sistemas de E D 0 con un método RK es la secuencia del cálculo
de las k como se demuestra en el ejemplo siguiente.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-576-320.jpg)
![568 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
con las condiciones en la frontera y(0) = O y y(10) = O.
Solución: usando el mismo esquema empleado en la transformación de
la ecuación (VI.2)en las ecuaciones (VI.3)y (VI.6),la ecuación de se-
gundo orden se puede expresar como dos EDO:
dY
dx
"
- 2
Y
dz
dx
"
- 2 - 0.2y
[E16.12.1]
[E16.12.2]
FIGURA 1616 Métododedisparo: a)el primer "disparo"; b) segundo "disparo";
y c) el "tiro" exacto final.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-579-320.jpg)
![METODOS DE UN PASO
L
569
A fin deresolverestas ecuaciones, se requiere un valorinicialpara
z. Para el método de disparo, se elige un valor, que puede ser 40) = 1.
Entonces la solución se obtieneintegrandolas ecuaciones (E.16.12.1)
y (E16.12.2) simultáneamente.Por ejemplo, usando un método RK
decuartoordenparasistemas de ODES, se obtiene un valorfinaldel
intervalode y(10) = 10.208 (Fig. 16.164, quedefine elvalor verdade-
ro y (10) = O por lo tanto, se hace otra elección, z(0) = 2, y se llevan
a cabo nuevamenteloscálculos.Estavez, elresultado y (10) = 8.035
está un poco más cercano alvalorverdaderode y(10) = O, peroaún
persisteelerror (Fig. 16.166).
Ahora, debido a que la ED0 es lineal, los valores
z(0) = 1 y(10) = 10.208
Y
z(0) = 2 y(10) = 8.035
están relacionados linealmente. Como tales, se pueden usar para calcu-
larelvalorde z(0) queconforma a y(10) = O. Se puedeemplear una
fórmuladeinterpolaciónparaestepropósito [recuérdesela Ec. (ll.í!)]:
z(0) = 1 + 2 - 1
8.035 - 10.208
(O - 10.208) = 5.7
Estevalorse pQedeusarparadeterminarlasolución correcta como
se muestraenlafigura 16.16~.
Paraproblemasconvalor a la frontera no lineales, la interpolación
lineal o extrapolacióna través dela solución de dos puntos no resultane-
cesariamente una aproximación segura de la condición en la frontera re-
queridaparaobtenerunasolución exacta. Un esquema alternoes el de
realizar tres simulacionesy usar un polinomio de interpolación cuadrático
para calcular la condición enla frontera. Sin embargo, no es muy proba-
ble que tal esquema lleve a la respuesta exacta, y con iteraciones adicio-
nalesseríanecesarioobtener la solución.
Debido a que éste esun proceso ineficiente, existen métodos alterna-
tivosentales casos. Los máscomunes son los métodos de diferencias
finitas. Estosmétodossonapropiadosparaproblemasconvalores a la
fronteralineales y no lineales. En estos esquemas, lasdiferencias dividi-
das finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación original. De esta](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-580-320.jpg)
![574 MtTODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS
17.1 UNENFOQUESIMPLE DE PASOSMúLTIPLES:
MÉTODO DE HEUNSINPRINCIPIO
Recuérdese que el métodode Heunusael método de Euler como un
predictor:
y la regla trapezoidd como corrector:
[17.2]
Por lo tanto, elpredictor y el corrector tienen errores locales de trunca-
mientode O(h2)y O(h3),respectivamente.Estosugiereque el predictor
sea el puntodébilenel método ya que tiene el mayor error. Este punto
débil es significativo debidoa que la eficiencia delpaso corrector iterativo
depende de la exactitud de la prediccióninicial.Por consiguiente, una
manerademejorarelmétododeHeun es desarrollar un predictorque
tenga un error local de O(h3).Esto se puede llevar a cabo usando el mé-
todo de Euler y la pendiente en y,, perohaciendo la correccióndesde
un puntoprevio yi.l, como en:
La ecuación (17.3)no es auto-principianteya que implica un valor ante-
rior de lavariable dependienteEstevalornodeberíaestardisponi-
bleen un problematípico de valorinicial.Debido a este hecho, a las
ecuaciones (17.3) y (17.2) se les conoce como método de Heun sin
principio.
Obsérvese que, como se muestraenlafigura 17.2, la aproximación
a la derivadaenla ecuación (17.3) se localizaahoraenelpuntomedio
envez de alprincipiodelintervalosobreelcual se hace la predicción.
Como se demuestra subsecuentemente,este centrado mejorael error del
predictor a O(h3).Sin embargo, antes de continuar a unaderivación for-
mal del método deHeun sin principio,se resume el método y se expresa
usandounanomenclatura un poco modificada:
Predictor: ykl = yP1 + f(xi,y?) 2h
Corrector: y(+l = y7 + fhi, Y 3 + f(Xi+l, YG)
2
(paraj = 1, 2, . . . , m)
[17.4]
C17.51](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-585-320.jpg)
![MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 575
FIGURA 17.2 Esquema gráfico del método de Heun sin principio. al método de P’Jnto
medio usado como predictor; b) regla trapezoidal empleada como CO-
rrector.
donde los Subindices se han agregadoparadenotarque el corrector se
aplica iterativamente desdej = 1a m para obtener soluciones refinadas.
Nóteseque y? y y,ml son los resultadosfinalesdelasiteracionesdel co-
rrector en los pasos de cálculo anteriores. Las iteracionesse terminan en
cualquierpasodelcálculoenbase alcriteriode paro
[17.6]
Cuando E, es menor que una tolerancia preespecificada enel error, E, se
terminanlas iteraciones. En este punto, j = m.El usodelas ecuaciones
(17.4)a la (17.6)enla solución de una E D 0 se demuestraenel ejemplo
siguiente.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-586-320.jpg)
![576 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
EJEMPLO 17.1
Método de Heun sin principio
Enunciado del problema: utilicese el método de Heun sinprincipio para
realizar los cálculos del ejemplo 16.5usando el método de Heun. Es de-
cir, intégrese y ' = 4e0.8X- 0.5 y desde x = O hasta x = 4 usando un
tamaño de paso de 1.0. Como con el ejemplo 16.5, la condición inicial
en x = O es y = 2. Sin embargo, debido a que se está utilizando un mé-
todo de pasos múltiples, se requiere la información adicional de que y
es iqual a -0.392995325 en x = - 1.
Solución: se usa el predictor [Ec. (17.4)]para extrapolar linealmente de
x = -1 a x "1:
y': = -0.392 995 325 + [4e0.8io)- 0.5(2)]2 = 5.607 004 675
Entonces se usa el corrector [Ec. (17.5)]para calcular el valor
- 0.5(2) + 4eo.8(') - 0.5(5.607004 675)]
y : = 2 +
2
1
= 6.549 330 688
que representa un error relativo porcentual de - 5.73% (Valorverdade-
ro = 6.194 631 377). Este error es algo más pequeño que elvalor de
-8.18% contraído con el método de Heun auto-principiante.
Ahora se puede aplicar iterativamente la ecuación (17.5)para mejo-
rar la solución:
y T = 2 +
3 + &o.8i') - 0.5(6.549330 688) = 6.313 749 185
2
que representa un E, del - 1.92%.También se puede determinar una
aproximación del error usando la ecuación (17.6):
6.313 749 185 - 6.549 330 688
= 3,7%1 4 1 =
6.313 749 185
La ecuación (17.5)se puede aplicar iterativamente hasta que to se en-
cuentre dentro de un valor E, preespecificado. Como en el caso del mé-
todo de Heun (recuérdese el ejemplo 16.5),las iteraciones convergen al
valor 6.360 86549 (E, = - 2.68%).Sin embargo, debido a que el va-
lor del predictor inicial es más exacto, el método depasos múltiples con-
verge en proporci6n un poco más rápida:](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-587-320.jpg)
![METODOS DE PASOS MúLTIPLES 577
1 Enel segundopaso, el predictor es
y; = 2 + - 0.5(6.360865 49)]2
= 13.443461 2 €, = 9.43%
que es superior a la predicción de 12.082 569 46 (E, = 18%calculada
con el método de Heun original. El primercorrector lleva a 15.95539553
E, = - 6.8%) y las iteraciones siguientes convergen al mismo resultado
que se obtiene con el método de Heun sin principio: 15.302 236 7 (E,
= - 3.1%). Como en el paso anterior, la proporción de convergencia
del corrector se perfecciona un poco debido ala mejor preducción inicial.
17.1.1 Obtencióny análisis de error de las fórmulas predictor-corrector
Se han empleado conceptosgráficos para derivar el método sin principio
de Heun. Hasta ahora se ha demostrado como las mismas ecuaciones
se puedenderivar matemáticamente. La obtención de estas fórmulas par-
ticularmente interesante debido a sus vínculos con las ideas de ajuste de
curvas, integraciónnumérica y EDO. La obtención de estas fórmulas tam-
bién es útil ya que proporciona un medio de avancesimple en el desarro-
llo de métodos de pasos múltiples de orden superior y la aproximación
a sus errores.
La obtención se basa en la solución de la ED0 general
Esta ecuación se puede resolver multiplicando ambos ladospor dx e inte-
grandoentre los límites i e i + 1:
El lado izquierdo se puede integrar y evaluar usando el teorema funda-
mental [recuérdese la ecuación (16.21)]:
Yi+l = Y¡ + h, f(x, y) dx
Kit1
[17.7]
Si se puedeevaluar la integral, entonces la ecuación (17.7)represen-
ta la solución a la EDO. Es decir, esta fórmula proporciona una manera
de calcular un nuevo valor de la variable dependiente y;, I en base al va-
lor anterior y; y la ecuación diferencial.
Las fórmulas de integración numérica tales como las desarrolladas en
el capítulo 13proporcionan una manera de realizar esta evaluación. Por
ejemplo, la regla trapezoidal [ecuación (13.3)Jse puede usar en la eva-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-588-320.jpg)
![578 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
luación de la integral, como en
[17.8]
donde h = x , + ~- x, es el tamaño de paso. Sustituyendo la ecuación
(17.8) en la ecuación (17.7)seobtiene
Y i i l = Yi + f k i l Y¡>+ f(Xi+l, Y i + d
2
-h
que es la ecuación corrector delmétodo de Heun.Debido a queesta ecua-
ción se basa en la regla trapezoidal, el error de truncamiento se puede
tomardirectamente del cuadro 13.2:
E, = - -1 h3Y"'((c) = - 1h3 f"((J
12 12 [17.9]
donde el subíndice c denota que éste es el errordelcorrector.
caso, los límites de integraciónvan desde i - 1 a i + 1:
Se puede usar un esquema similar para derivar el predictor. En este
y" dy = r"f (x, y) dx
]Y¡-1 J x ~ -1
que se puede integrar y reordenar para obtener
[17.10]
Ahora, en vez de usar una f6rmula cerrada del cuadro 13.2,se puede
usar la primera fórmula de integraciónabierta de Newton-Cotes (véase
el cuadro 13.4)para evaluar la integral
[17.11]
a la cual se le llama el método del punto medio. Sustituyendo la ecua-
ción (17.11) en la ecuación(17.10) se obtiene
yi+l = yi-1 f f(xi, yJ2h
que representa al predictor del método de Heunsin principio. Como su-
cede con el corrector, el error local de truncamiento se puede tomar di--
rectamente del cuadro 13.4
E, = 5 h 3 y"'((,) = 5 h3 f"(&,) [17.12]
donde el subíndice p denota que éste es el errordelpredictor.
Por lo tanto, el predictor y el corrector del método de Heunsin prin-
cipio tienen los mismos errores de truncamiento. Además de aumentar
la exactitud del predictor, este hecho tienelos beneficios adicionales rela-
cionados con el análisis del error. como semuestra en la siguiente sección.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-589-320.jpg)
![METODOS DE PASOS 579
17.1.2 Aproximación del error
Si el predictor y el correctorde un métododepasos múltiplessondel
mismo orden, entonces el error local de truncamiento se puede obtener
a lo largo delcálculo. Esta es una ventaja tremenda debidoa que estable-
ce un criteriodeajusteen el tamaño del paso.
Elerror local de truncamiento del predictor se calcula mediante laecua-
ción (17.12).Esta aproximación del errorse puede combinar conla apro-
ximación de y;, ,del paso predictor para obtener [recuérdesela definición
básicade la ecuación (3.l)]:
Valorverdadero = yp+l + $ h3 y”’(&,) C17.131
Usando un esquema similar, la aproximacióndelerrorparaelpredictor
[Ecuación (17.9)]se puede combinar con el valor verdadero y el resulta-
dodel corrector genera:
Valorverdadero = y21 - ffh3y”’(&) C17.141
La ecuación (17.13)se puede restar de la ecuación (17.14)para obtener
o = y21 - y?+1 - & h 3 y”’([) r17.151
donde 4 está entre xiPly xi+l.Ahora dividiendo la ecuación (17.15)en-
tre 5 y reordenandotérminos el resultado es
C17.161
Obsérvese quelos lados derechos de las ecuaciones (17.9)y (17.16)son
idénticos, conla excepción delargumentode la terceraderivada.Si la
tercera derivada no varía apreciablemente sobreel intervalo en cuestión,
se suponeque los lados derechos soniguales, y, por lo tanto, también
los ladosizquierdosdebenser iguales, como en
[17.17]
Por lo tanto, hemos llegado a una relación que se puede usar para apro-
ximar el error de truncamiento por pasoen base a dos cantidades,el pre-
dictor (y:+l) y el corrector (yzJ, quesonrutinasporproductos de los
cálculos.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-590-320.jpg)
![MÉTODOS PASOS MÜLTIPLES 581
paso, representa una aproximación numéricade la diferencia entre el va-
lorcorregidofinalen cada unodelospasos y,+] y el errorverdadero.
Por lo tanto, éstepuedesumarsedirectamente y,,] paramejorar aún
másla aproximación:
YZ1 - Yi+l
5
O
YZl + YE1 - L17.181
A la ecuación (17.18) se lellama corrector modificador. (Elsímbolo -se lee“sereemplaza por”.) El ladoizquierdo es elvalormodificadode
Y%].
Una segundamejora, relacionada más conla eficiencia de programa-
ción,es el predictor modificador, elcual estádiseñadoparaajustar el
resultado del predictor de tal manera queesté más cercano al valor con-
vergentefinal del corrector. Esto es ventajoso debidoa que, como se men-
ciona al principio de esta sección, el número de iteraciones del corrector
depende altamente de la exactitud de la predicción inicial. Por consiguiente,
sila predicción se modifica de manera conveniente, se puede reducir el
número de iteraciones necesarias para convergera un valor final del co-
rrector.
Este modificador puede derivarse simplemente suponiendo que la ter-
cera derivada es relativamente constante de paso a paso. Por lo tanto,
usando el resultado del paso anterior en i, la ecuación (17.16) se puede
resolverpor
[17.19]
la cual, suponiendo que y ’’ (t)= y ”’ (,$J. se puede sustituirenla ecua-
ción (17.12) para obtener
E17.201
que entonces se puedeusarparamodificarelresultadodelpredictor:
Yi+l +YLl + 4 (y? - y:)O
r17.211
EJEMPLO 17.3
Efecto de los modificadores en los resultados del
predictor-corrector
Enunciado del problema: calcúlese nuevamente el ejemplo 17.1 usando
losmodificadoresespecificadosen lafigura 17.3.
Solución: como enel ejemplo 17.1, el resultadodelpredictorinicial es
5.607 004 675. Debido a que elpredictormodificador [Ec.(17.21)]
requiere de valoresde una iteración previa,éste no puede emplearsepa-
ra mejorar elresultadoinicial.Sin embargo, la ecuación (17.18) se usa](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-592-320.jpg)
![MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 589
(elmétodo del punto medio) paracalcular una aproximación inicial. Este
paso predictor requiere un punto previo. En seguida se aplica iterativa-
mente unafórmula de integración cerrada (laregla trapezoidal) para me-
jorar la solución.
Es obvio que una estrategia de mejoramiento sobre los métodos de
pasos múltiples podría ser la de usar fórmulas de integración de orden
superior como predictores y correctores. Por ejemplo, podrían ser útiles
para este propósito las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior de-
sarrolladas en el capítulo 13.
Antes de describir estos métodos, se revisan algunas de las fórmulas
de integración máscomunes sobre las cuales estánbasados. Como se men-
ciona anteriormente, las primeras de éstas son las fórmulas de Newton-
Cotes de orden superior. No obstante existe una segunda clase llamadas
fórmulas de Adams que también se revisan y que seprefieren a menudo.
Como muestra la figura 17.7, la diferencia fundamental entrelas fórmu-
las de Newton-Cotes y de Adams está relacionada con la manera como
se aplica la integral para obtener la solución. Como semuestra en la figu-
ra 17.7a, las fórmulas de Newton-Cotes calculan la integral sobre un in-
tervalo generando varios puntos. Esta integrai se emplea para proyectar
desde el principio hasta elfinaldel intervalo. En contraste, las fórmulas
de Adams (Fig. 17.7b) usan un conjunto de puntos deun intervalo para
calcular la integral solamente del último segmento en el intervalo. La in-
tegral se usa después paraproyectarse a través de este último segmento.
17.2.1 Fórmulas de Newton-Cotes
Algunas de las fórmulas más comunes pararesolver ecuaciones diferen-
ciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolación de
n-ésimo grado para n + 1puntos conocidos de y y después se usa esta
ecuación paracalcular la integral. Como seanaliza previamente en el ca-
pítulo 13,las fórmulas de integración de Newton-Cotes se basan en este
esquema. Estas fórmulas son de dos tipos: abiertas y cerradas.
Fórmulas abiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las fórmulas
abiertas se pueden expresar en la forma de una solución de una EDO,
como sehizo anteriormente en la ecuación (17.10).La ecuación general
para este propósito es
[17.22]
donde !,(x) es un polinomio de interpolación de n-ésimo orden. La eva-
luación de la integral obtiene una fórmulade integración abiertade Newton-
Cotesde n-ésimo orden. Por ejemplo si n = 1.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-600-320.jpg)
![590 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
donde f, es una abreviación de f(xi,y,), esto es, la ecuación diferencial
evaluada en xiy y,. A la ecuación (17.23) sele llama método del punto
medio y se usa previamente como el predictor del método de Heun sin
principio. Para n = 2,
3h
Yi+ 1 = Yi-2 + 7j-ifi + fi-1)
y para n = 3,
La ecuación (17.24) se muestra gráficamente en la figura 17.8~1
Yi+l = Y¡-n+l + I f"(XMX
Y + I
Xi-n+l
[17.251
FIGURA 17.8 Esquema de las fórmulas de integración cerradadeNewton-Cotes. a)
Tercera fórmula abierta [Ec. (17.24)] Y b) regla de Simpson de 1/3 [Ec.
(17.26)].](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-601-320.jpg)
![METODOS DE PASOS 591
donde la integral se aproxima mediante unafórmula cerrada de Newton-
Cotes(cuadro 13.2).Porejemplo,para n = 1:
h
Yi+l = Y¡ + 5 (fi + f i + l >
que es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2:
h
3
Y ~ + I= yi-1 + - Cfi-1 + 4fi + f i + l ) C17.261
la cual es equivalente ala regla de Simpson de 1/3. La ecuación (17.26)
se muestra en la figura 17.8b.
17.2.2 Fórmulas de Adams
El otro tipo de fórmulas de integración que se puede usar en la solución
de E D 0 son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de pasos múlti-
ples muy utilizados en computación que resuelven E D 0 se basan en es-
tas fórmulas.
Fórmulas abiertas (Adams-Bashforth).Las fórmulas de Adams se pue-
den obtener de varias formas. Un método esel de escribir una expansión
hacia adelante de la serie de Taylor alrededor del punto xi:
que se puede escribir como
[17.27]
Recuérdese de la sección 3.5.4 que se puede usar una diferencia hacia
atrás para aproximar la derivada:
f; = -fi - fi-1 fI’
h 2
+ - h + O(h2)
que se puede sustituir en la ecuación (17.27)para obtener
o, agrupando términos:
yi+l = y, + h($fi - fi-1) + & b 3 fl‘ + O(h4) [17.28]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-602-320.jpg)
![592- MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
A estafórmula se le llama segunda fórmulaabierta de Adams. Las
Fórmulas abiertas de Adamsson designadas también como fórmulas de
Adams-Bashforth. Por consiguiente a la ecuación (17.28) algunas veces
se le llama segunda fórmula de Adams-Bashforth.
Se pueden desarrollar fórmulas de Adams-Bashforth de orden supe-
rior sustituyendo las derivadas de orden superior por aproximaciones en
la ecuación (17.27). La fórmula abierta de Adams de n-ésimo orden se
puede representar por lo común como
n-1
[17.29]
Los coeficientes Pk se muestran en el cuadro 17.1. La versión de cuarto
orden se muestra en la figura 17.9a. Nótese que la primeraversión es
el método de Euler.
Fórmulas cerradas (Adams-Moulton).Una expansión de la serie de Tay-
lor alrededorde xi+ se puede escribir como
yi = Y¡+] - h+lh + -+* -
f:+1
L
Resolviendopara yj+ seobtiene
l17.301
Se puede usar una diferencia para aproximar la derivada:
CUADRO 17.1 Coeficientes y error de truncamiento en los predictoresde
Adams-Bashforth
Error local de
Orden Po PI Pz P3 P4 P s truncamiento
1 1
4
55 59 37 9
242424 24
- " - "
1901 2 774 2 616 1 274 251 475
720 720720 720720 1440
4 277 792399827 298 2877 475 19 087 h7f(6)(0
5
6
__ "__ "~
-h6f'"([)
__ -~ __ "__
720720 720 720720 720 60 480
" -](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-603-320.jpg)
![MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 593
FIGURA 17.9 Esquema de las fórmulas de integración deAdams abiertas y cerradas.
u). Fórmula abierta de Adams-Bashforth de cuarto orden y b) fórmula
cerrada de cuarto orden de Adams-Moulton.
f! = ___I+ 1
fi+l - fi + &lh + O(h2)
h 2
que se sustituyeenla ecuación (17.30)para obtener:
Y,+]= y; + h [i.,,-
A esta fórmula se le llama fórmula cerrada de Adams de segundo orden
o segunda fórmula de Adams-Moulton. Obsérvesetambiénqueésta es
la reglatrapezoidal.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-604-320.jpg)
![594 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
CUADRO 17.2 Coeficientes y error de truncamiento en los correctoresde
Adams-Moulton
2
1 1
2 2
- -
3
4
5
5 8
12 12
9 19
2424
251 646
720720
- -
- -
"
Error local de
P2 P 3 P4 PS truncamiento
1
12
1 1
12
- -h3P(5)
" -- __ h4{f'3)(()
-h5f'4'(5)
19
720
26410619
720720 720
" - " -.-.____27 ,!,6f(5)(5)
1 AA0
6
475 1 427 798 482 173 27 863 h7f(6,(5)
_ _ -
1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 &I480
"~~""-
L a fórmula cerrada de Adams se puede escribir generalmente como
n-1
y!+] = yi + h P k f i i l - k + O(h"+')
k=O
Los coeficientes & se listan en el cuadro 17.2. El método de cuarto or-
den se muestra en lafigura 17.9b.
17.3 MÉTODOS DE PASOSMúLTIPLES
DE ORDEN SUPERIOR
Ahora que se han desarrollado formalmente las fórmulas de integración
de Newton-Cotes y de Adams, podemosusarlas en la derivación de mé-
todos de pasos múltiples de orden superior.Como en el caso del método
de Heun sin principio, las fórmulas de integración se aplican en fila como
los métodos de predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y ce-
rradas tienen errores locales de truncamientodel mismo orden, entonces
los modificadores listados en la figura 17.3 se pueden incorporar en el
mejoramiento de la exactitud y para permitir el control sobre los tamaños
del paso. En el recuadro 17.1se proporcionan ecuaciones generalespa-
ra estos modificadores. Enla siguiente sección, se presentan dos de los
RECUADRO 17.1 Obtenciónde las relacionesgeneralesde los modificadores
La relación entre el valor verdadero,laaproximación, Va,or verdadero = + "& + I ~ ( ~ + I ) ( ~ ~ )
y el errorde un predictor se puederepresentargene- %
ralmente como [B17.1.1]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-605-320.jpg)
![MÉTODOS DE 595
donde vc y 6, son el numerador y el denominador de la
constante del error de truncamiento del predictorde cual-
quiera de los métodos abiertosde Newton-Cotes (cuadro
13.4) o de los métodos de Adams-Bashforth(cuadro17.1)
y n es el orden.
Se puede desarrollar una relación similar para el co-
rrector
Valor verdadero = y;"+l- s,h'Jc n + l y (n+l)(5,)
[B17.1.2]
donde y 6, son el numerador y el denominador de la
constante del error de truncamiento para cualesquieraCO-
rrector de Newton-Cotes abierto (cuadro 13.2) O de
Adams-Moulton (cuadro 17.2). Como sehizo en la deri-
vación de la ecuación (17.15),la ecuación (B17.1.1)se
puede sustraer de la ecuación (B17.1.2)para obtener
[B17.1.3]
Ahora dividiendo la ecuación entre vc + vp6J¿iP,multi-
plicando elúltimo término por 6,/6, y reordenando tér-
minos se obtiene una aproximación del error local de
truncamiento del corrector
Yl+l - YE1
rlc + 'JPWS,
O
E, =
Para el predictor modificador, la ecuación (B17.1.3)
se puede resolver en el paso anterior mediante
que se puede sustituir en el término del error de la ecua-
ción (B17.1.1) para obtener
[B17.1.5]
Las ecuaciones (B17.1.4) y (B17.1.5)son versiones ge-
nerales que se pueden usar para mejorar los algoritmos
de pasos múltiples. Por ejemplo, el método de Milne tie-
ne ?, = 14, 6, = 45, vc = l, y 6; = 90. Sustituyendo
estos valores en las ecuaciones (B17.1.4)y en (B17.1.5)
se obtienen las ecuaciones (17.33)y (17.34).Se pueden
desarrollar modificadores sirnilares para otro par de
fórmulas abiertas y cerradas que tienen errores locales
de truncamiento delmismo orden.
métodos de paso múltiple de orden superior más comunes: el método
de Milne y el método de Adams de cuarto orden.
17.3.1 Método de Milne
El método de Milne es el método depasos múltiples más común basado
en las fórmulasde integración de Newton-Cotes.Este usa la fórmula abierta
de Newton-Cotes de tres puntos como predictor:
[17.31]
y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson
de 1/3) como corrector:
y{+1 = yim_1+ !gfi"-l+ 4jy + f{;!) [17.32]
Los modificadores predictor y corrector del método deMilne se pue-
den desarrollar a partir de las fórmulas del recuadro 17.1y los coeficien-
tes del error de los cuadros 13.2 y 13.4:
E, = %(y? - y?) [17.331](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-606-320.jpg)
![596 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
Y
EJEMPLO 17.4
Método de Milne
Enunciado del problema: utilicese elmétodo deMilne para integrar y' =
4&.Y - 0.5y desde x = 4 usando un tamaño de paso de 1.La condi-
ción inicial en x = O es y = 2. Debido a que se utiliza un método de paso
múltiple, se necesitan los puntos anteriores. En una aplicación verdadera
se debe usar bun método de un paso tal como RK de cuarto orden para
calcular lospuntos necesarios. En este ejemplo, se usa la solución analítica
[recuérdese la Ec. (E16.5.1) del ejemplo 16.51 para calcular los
valores exactos en xi-3 = - 3, xi-2 = - 2, y xi"l = 1de yi-3 = -
respectivamente.
4.547 302 219, yi-2 = - 2.306 160 375 y yi-1 = - 0.392 995 325
Solución: el predictor [Ec. (17.31)]se emplea para calcular un valor en
x = 1:
y; = -4.547 302219 + 4[2(3) - 1.993813 519 + 2(1.960 666 259)]
3
= 6.022 723 13 €, = 2.8%
El corrector [Ec. (17.32)J seempleaentonces para calcular
y: = -0.392 995 325 + 711.993 813 519 + 4(3) + 5.890 802 1-57]
1
= 6.235 209 902 C, -0.66%
Este resultado se sustituye en la ecuación (17.32)para corregir iterativa-
mente la aproximación. Este proceso converge a un valor corregido final
de 6.204 854 65 (E, = - 0.17%).
Este valor es más.exacto que la aproximación comparable de 6.360
865 49 (E, = - 2.68%) obtenido previamente con el método de Heun
sin principio (ejemplos17.1al 17.3).Los resultados en los pasos restantes
son y (2) = 14.860307 2 (E, - O . l l % ) , y (3)= 33.724260 1 =
- 0.14%),y y (4) = 75.432 948 7 (E, = - 0.12%).
Corno en el ejemplo anterior, el método deMilne, en general, obtie-
ne resultados de alta exactitud. Sin embargo, existen ciertos casos en los
que ésta es baja. Antes de entrar en detalle en estos casos. se describirá
otro método de pasosmúltiples de orden superior, el método de Adams
de cuarto orden.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-607-320.jpg)
![METODOS D E PASOS MúLTIPLES 597
17.3.2 Método de Adams de cuarto orden
Un método de pasos múltiples ampliamente usado basadoen las fórmu-
las de integraciónde Adams utiliza la fórmula de cuarto ordende Adams-
Bashforth(cuadro 17.1)como predictor:
y?+* = y? + h(zf!"24 I - sf?24 I 1 + zf"'24 1-2 - zfF3) [17.35]
y la fórmula de cuarto orden de Adams-Moulton (cuadro17.2)como co-
rrector:
y{+l y? + h (xfj-124 1+1 + Bf!"24 I - Af!"24 1-1 + 'f!"24 1-2 ) [17.36]
Los modificadores predictory corrector del método de Adams de cuar-
to orden se pueden desarrollara partir de las fórmulas del recuadro 17.1
y los coeficientesdeerror de loscuadros 17.1 y 17.2 para obtener:
[17.37]
[17.38]
EJEMPLO 17.5
Método de Adams de cuarto orden
Enunciado del problema: utilícese el método de Adams de cuarto orden
pararesolverelmismoproblemadelejemplo 17.4.
Solución: el predictor [Ec. (17.35)lse usa para calcularun valor en x = 1.
y? = 2 + I(E3 - $1.993 813 519 + 1.960 666259
- 9 2.649 382 908)24
= 6.002 716992 E , = 3.1%
que es comparable pero un poco menos exacto que el resultado obteni-
doconel métododeMilne. El corrector [Ec. (17.38)Jse empleapara
calcular
y{ = 2 + l(&5.900 805 218 + E3 - & 1.993 813 519
+ & 1.960 666 259)
= 6.254 118 568 E , = -0.96%
quenuevamente es comparablepero un poco menos exacto que el re-
sultado obtenido con el método de Milne. Este resultado se puede susti-](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-608-320.jpg)
![598 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENfEROS
tuir en la ecuación (17.38)para corregir iterativamente la aproximación.
El proceso converge a un valor corregido final de 6.214 423 582 (E, =
0.32%) el cual es un resultado exacto pero nuevamente algo inferior al
obtenido con el método de Milne.
17.3.3 Estabilidad de los métodos de pasos múltiples
La gran exactitud mostrada por el método deMilne en los ejemplos 17.4
y 17.5puede anticiparse con base en los términos del error de los predic-
tores[Ec. (17.33) y (17.37)]y a los de los correctores [Ec. (17.34) y
(17.38)].Los coeficientes del método de Milne, 14/45 y 1/90, son más
pequeños que para el método de Adams, 251/720 y 19/720. Adicio-
nalmente, el método de Milne emplea algunas evaluaciones más de la
función para alcanzar estas altas exactitudes. Por los valores obtenidos,
estos resultados pueden llevar a la conclusión de queel método deMilne
es superior y, por lo tanto, es preferible al método de Adams de cuarto
orden. Aunque esta conclusión se cumple en la mayor parte de los ca-
sos, existen ejemplos en donde el método de Milne trabaja inadecuada-
mente. Este comportamientose muestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 17.6
Estabilidad del método de Milne y del método de Adams de cuarto
orden
Enunciado del problema: utiliceseel método de Milne y el método de Adams
de cuarto orden para resolver
"-
dx
con la condición inicial de que y = 1en x = O. Resuélvase la ecuación
de x = O a x = 10 usando un tamañode paso h = 0.5. Nótese que
la solución analítica es y = e "'.
Solución: los resultados, resumidos en la figura 17.10. indican problemas
con el método de Milne. Un pocodespués del arranquede los
cálculos, los errores empiezan a crecer y a oscilar en el signo. En t = 10,
el error relativo se ha inflado a 2 831% y elvalor predecid0 mismo ha
empezado a oscilar en el signo.
En contraste, los resultados delmétodo de Adams son mucho másacep-
tables. Aunque el error también crece, lo hace de manera lenta. Adicio-
nalmente, las diferencias no deberían exhibir los cambios bruscos de signo
mostrados por el método de Milne.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-609-320.jpg)
![604 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS
CASO 18.1 MODELOSMATEMÁTICOS PARAPROYECTOSDE
VENTA DE COMPUTADORAS
(INGENIERíA EN GENERAL)
Antecedentes:las operacionesy las utilidades de una compañíade compu-
tadoras dependen mucho del conocimiento sobreel manejo del número
de computadoras disponibles en el mercado enun tiempo cualquiera.Los
métodosde extrapolación analizados en elcaso 12.1 han demostrado que
no existeconfiabilidad ni exactitud. Se tiene, por lo tanto, quederivar
un modelomatemáticoque sea capaz de simular y predecirelnúmero
de computadoras disponiblesenel mercado en función del tiempo t . Se
puededesarrollarunaecuacióndiferencialparaestepropósito.
El departamento demercadeo de la compañía ha determinado a tra-
vés de la experiencia y de observaciones empíricas, quelas ventas espe-
radasdelascomputadoras se describenmediante.
Promedio de venta
(número de computadoras o:
número de computadoras en el mercado
vendidas por día) costo por computadora
[18.11
Es decir,mientras más computadoras se muestren al público, mayor venta
de las mismas; y a mayor costo, menos ventas. Además, el costo de una
computadora individual está relacionado con el número de computado-
rasenel mercado, [recuérdese la Eq. (15.1)]
N
10 O00 + N
Costo porcomputadora ($) = 3 O00 - 1750 [18.2]
donde N es el númerodecomputadoras.
La razóndecambio a travésdeltiempodelnúmerodecomputado-
ras restantes enel mercado es igualal registrodelpromediode ventas:
dN
dt
- = - promedio de ventas [18.3)
donde el promedio de ventasse deriva combinando las ecuaciones(18.1)
y (18.2):
N
3 O00 - 1750N/(10 O00 + N)
Promediodeventas = k I18.41
donde k es una constante de proporcionalidad que tiene unidades dedó-
larespor tiempo. Sustituyendola ecuación (18.4)enla ecuación (18.3)
se obtiene
dN N
dt 3 O00 - 1750N/(10 O00 + N)
-= -k [18.5]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-615-320.jpg)
![CASOSDELAPARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIOS 605
Las consideraciones de planeación requierenque se obtenga una es-
timación de cuánto tiempopermaneceránen el mercado 50 O00 nuevas
computadoras. En el cuadro 12.1 se cuenta con algunos datos. Utilicese
esta información para calcular el parámetro k. Después empléese el mé-
todo RK decuartoordenpararesolver la ecuación (18.5) desde t = O
hasta t = 90.
Solución: elprimer paso de este análisis será determinar un valor de k.
Para hacerlo, se puederesolver la ecuación (18.5)
dN 3 x lo7 + 1250Nk = - -
dtN(10 O00 + N)
Con base en esta ecuación, se puede evaluark si tiene una aproximación
a dN / dt. Esto se puede hacer con los datosdelcuadro 18.1, usando
diferenciasdivididas finitas para calcular dN / dt, [recuérdesela sección
3.5.41:
""I=Ni+l - 4 - 1
dt . 2At
Los resultados se muestran en el cuadro 18.1 y se pueden usar para de-
terminar un valormedio de k = $49.3 diarios.
Cuadro 18.1 Cálculosde k obtenidos de los da-
tos de venta de computadoras.l a
media de k es 49.3
t
dias N dNldt k
O 50 O00
10 35 O00 -95044.5
20 31 O00 -75040.6
30 20 O00 -600 55.0
40 19 O00 -397.538.8
50 12 050 -40067.8
60 1 1 O00
Ahora este valor se puede sustituirenla ecuación (18.5)para obtener:
dN N
dt 3 O00 - 1750 [N/(10 O00 + N ) ]
"
- -49.3
que se puede integrarusan¿o un método RK de cuarto orden conla con-
dicióninicial N = 50 O00 y un tamaño de paso de un día.Obsérvese
que se llevó a cabo la simulación usando un tamaño de paso de0.5 días](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-616-320.jpg)
![606 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 18.1 Gráfica del número de computadoras Nen el mercado contra el tiempo
t en días. Se usan tres simulaciones con un modelo de ecuación diferen-
cialordinaria[Ec. (18.5)], se muestran en el casodonde N = 50 O00
en t = O. Las tres simulaciones corresponden a valores diferentes del pa-
rámetro k.
y se obtuvieron resultados casi idénticos, indicando quela exactitud al usar
un tamatio de paso de 1.0 es aceptable. Los resultados se muestranen
lafigura 18.1 juntoconlos datos. Así como sucede enla regresión, se
puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos para cuantificar
la calidaddel ajuste. El resultado es 2.85 X lo7.Aunque al ajuste
parece ser satisfactorio, se llevan a cabo nuevamentelosc6lculosusan-
do valores de k que son f20% del valor original de $49.3diarios. Usando
losvalores de k de 59.2 y 39.4 se obtienenlassumasresidualesdelos
cuadradosiguales a 1.05 x 10' y 5.35 x lo', respectivamente. Estas si-
mulacionestambién se muestranen la figura 18.l.
En seguida se grafica la suma de los cuadrados de losresiduos contra
k (Fig. 18.2) y se ajustaunaparábola a travésde los puntosusando un
polinomio de interpolación, Después se determina k, como la suma mí-
nima de los cuadrados, derivando la ecuación de segundo orden, igua-
lándolaa cero y resolviendo parak. El valor resultante de k = $46.8diarios
se sustituyeenla ecuación (18.5)y se obtiene
dN N
dt 3 O00 - 1 750[N/(10 O00 + N ) ]
- = -46.8](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-617-320.jpg)
![CASOS DELA VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 613
Inconvenientes de costo en varios niveles iniciales de organismos
empleados en un proceso químico de producción
CASO 18.3
FIGURA 18.8
ConcentraciónCosto de Tiempo de Costo por Costo
inicial de compra de inicio retardo total
organismos organismos
célulasllitro $ h $ $
100 O00 2 100 9.2 9 200 11 300
200 O00 4 200 6.0 6 O00 10 200
400 O00 8 400 2.5 2 500 10 900
~~ ~~ ~ ~ -~
DEFLEXIÓN DEL MÁSTILDE UNVELERO
(INGENIERíA CIVIL)
Antecedentes: en la figura 18.8se muestra un velero similar al de los ca-
sos 12.3y 15.3,con una fuerza uniforme f distribuida a lo largo del más-
til. En este caso, los cables que soportan al mástil se han quitado, pero
elmástil se monta firmemente en el casco del velero.
La fuerza del viento causa que elmástil se desvíe como se muestra
en lafigura 18.9.La desviación es similar a la de una viga en voladizo.
Se puede usar la siguiente ecuación diferencial, basada en las leyes de
la mecánica, para calcular la deflexión:
-- (L - 2)*
d2Y
d z 2 2EI
"
[18.7]
Mástil del velero sujeto a una fuerza uniforme f.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-624-320.jpg)
![614 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
FIGURA 18.9 Deflexióndel mástil sujeto a unafuerzauniforme.
en donde E es el nódulo de elasticidad, L es la altura del mástil e I es
el momento de inercia. En z = O y dy / dz = O. Calcúlese la deflexión
en el tope del mástil en donde z = L usando métodos analíticos y numé-
ricos. Supóngase que el casco no gira.
Solución: la ecuación (18.7)se puederesolver analíticamente para la de-
flexión en z = L:
fL4y(z = L)= -
8EI
[18.8]
Este problema incluye una ecuación diferencial que tiene una solución
con características uniformes. Además, el intervalo de integración es re-
lativamente corto y la desviación del mástil es pequeña. También los va-
lores de f y E se basan en datos experimentales variables y difíciles de
medir exactamente.Por lo tanto,parece satisfactorio usarunmBtodo
de bajo orden pararesolver la ecuación diferencial. Só10 se necesitará un
valor inicial,y probablemente se use un tamaño de paso pequeñosin acu-
mulación de errores de redondeo excesivos.
La ecuación (18.7)se puede escribir como un sistema de dos ecua-
ciones de primer orden con una transformación de variables. Sea
dY- = u
dz
y, por lo tanto, la ecuación (18.7)seexpresacomo
[18.9]
du
dz 2El
”-
- (L- 2)* [18.10]](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-625-320.jpg)
![616 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS
Eit)
a-. . " h
Conmu-'#* i *,. 1
tador
,, .
-
Batería -2Vo ,:' Capacitor , Inductor
-
+ t
/ i
s .
Resistencia
FIGURA 18.1 1 Circuito eléctricodondelacorrientevaríaconel tiempo.
(en coulombs),C es la capacitancia (en faradios),E(t)es la fuente de voltaje
(en voltios)variablecon el tiempo, y
[18.12]
Lasecuaciones (18.11) y (18.12)son un par deecuacionesdiferenciales
linealesdeprimerordenquesepuedenresolveranalíticamente.Por ejem-
plo, si E(t) = Eo sen wt y R = 0,
-Eo w €0
U P 2 - w2) P L(p2 - w2)
q(t) = "-senp t + senw t [18.13]
en donde p = i/mLos valoresde q y dq/dt son cero en t = O.
Empléese un método numérico para resolver las ecuaciones (18.11)y (18.12)
y compárense los resultadoscon la ecuación (18.13).
Solución:esteproblemaincluye un intervalodeintegración más grande y
demanda el uso de métodos de gran exactitud para resolver ecuaciones di-
ferenciales si seesperanbuenosresultados.Supongamosque L = 1 H,
Eo = 1V, C = 0.25 C y W2 = 3.5 s2.Estogenera p = 2 y lasolución
analíticadelaecuación (18.13) viene a ser:
q(t) = - 1.870 8 sen 2t + 2 sen (1.8708 t)
Esta funciónse muestraen la figura 18.12. La naturaleza de cambio r6pi-
do de la función exige grandes requerimientosa cualquier procedimiento
numérico para calcularq(t).Además, debido a que la función exhibe una
pequefia variación de naturaleza periódica así como un componente de
variación rápida,se necesitan periodosde integración grandes para tratar
de nuevo la solución. Por lo tanto, se espera que sea preferido un méto-
dodeordensuperiorenesteproblema.
No obstante, se pueden probar los métodos de Euler y Runge-Kutta
de cuartoorden y comparar los resultados.Con el método de Euler y
usando un tamañodepasode 0.1 S en t = 10 S se obtiene un valor de
q igual a -6.638 mientras que con el método de Runge-Kutta de cuarto
orden se obtiene un valorde -1.989 7. Esteresultadoescomparable
a la solución exacta, -1.996 C.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-627-320.jpg)
![CASOS DE LA PARTE VI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 617
FIGURA 18.12 Pantalla de la computadora mostrando la gráfica de una función [Ec. (18.13)].
Lafigura 18.13muestra los resultados de la integración de Euler cada
1.O S comparada conla solución exacta. Nótese que se grafica sólo cada
décima de punto en la salida. Se puede ver que el error global aumenta
a medida que t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica a
medida que t tiende a infinito.
FiGURA 18.13 Resultados de la integración de Euler contra la solución exacta. Nótese que se grafi-
ca sólo cada décima de punto.
""""".-.-..-"". . . . . ....~.. _ ~ _ - ~.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-628-320.jpg)
![618 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
CASO 18.5
W
FIGURA 18.14
Diagrama de cuerpo
libre del péndulo
oscilante mostrando
las fuerzas sobre la
partícula y la
aceleración.
EL PÉNDULO OSCILANTE
(INGENIERíA MECÁNICA)
Antecedentes: en la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenie-
rías) a menudo se enfrentan problemas relacionados con el movimiento
periódico de cuerpos libres (recuérdese el caso 6.5).Los métodos de in-
geniería requieren fundamentalmente que seconozca de la posición y la
velocidad del cuerpo en función del tiempo. Estas funciones del tiempo
invariablemente son ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones
diferenciales, en general, se basan en la segunda ley de Newton del mo-
vimiento.
Como ejemplo, considéreseel péndulo simple mostrado previamen-
te en la figura VI.l. La partícula de peso W se suspende de un hilo de
peso despreciable, de longitud l. Las únicas fuerzas que actúan sobre la
partícula son un peso y la tensión R del hilo. La posición de la partícula
en cualquier tiempo seespecifica completamente en términos del ángulo
0 y 1.
El diagrama de cuerpo libre de la figura 18.14muestra las fuerzas
que actúan sobre la partícula asícomo su aceleración. Es conveniente apli-
car la segunda ley de Newton del movimiento en la direcciónx, tangente
a la trayectoria de la partícula:
F = -Wseno =-a
W
9
donde g es la constante gravitacional (32.3pies/s2) y a es la aceleración
en ladirección x. La aceleraciónangular de la partícula (a)es
Por lo tanto, en coordenadas polares (a = d2d/dt2),
O
d2e g
-+ -sen6 = O
df2 1
[18.14]
Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no lineal
de segundo orden, En general, tales ecuacionesson difícileso hasta imposi-
bles de resolver analíticamente. Existen dos alternativas relacionadas con
el avance en la solución de este problema. Primero,la ecuación diferen-
cial se puedereducir a una forma deresolver analíticamente (recuérdese
la sección (VI.l.1).O se puede usar un método numérico para resol-
ver la ecuación diferencial directamente. Se examinan ambas alternati-
vas en este ejemplo.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-629-320.jpg)
![CASOS DE LAPARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIOS 619
Solución: de acuerdo al primer método, se puede ver que la expansión de
la serieTaylordel sen 8 está dada por
o3 o5 07
seno=o--+-."
3! 5! 7 !
+ * * * [18.15]
Para pequeños desplazamientosangulares, sen 6es aproximadamenteigual
a 8 cuando se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pe-
queños la ecuación (18.14)se convierte en:
d20 g
- + - o = odt2 I
E18.161
que es unaecuacióndiferenciallineal de segundo orden. Esta aproxima-
ción es muy importante debido a que la ecuación (18.16)es muy fácil de
resolver analíticamente. La solución, basada en la teoría de las ecuaciones
diferenciales,esta dada por:
o(t) = eocos 4t [18.17]
donde es el desplazamientoen t = O y en donde se supone que la ve-
locidad (u = dO/dt) de la partícula es cero en t = O. Al tiempo necesario
para que la partícula complete un ciclo de oscilación se le llama periodo y
está dado por
FIGURA 18.1 5 Gráfica del desplazamiento (e)y la velocidad (d8/dt)en función del tiempo (t), colcu-
lada de la ecuación (18.17).eo es n/4 y la longitud es de 2 pies.
"."I.._""I_ . , .. . - . .._"_](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-630-320.jpg)
![620 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
En la figura 18.15se muestra una gráfica del desplazamiento (O)y
la velocidad (de/&) en función del tiempo, como se calcula en la ecua-
ción (18.17)con Bo = 7r/4 y 1 = 2 pies. El periodo,calculadocon la
ecuación (18.17) es 1.5659 s.
Los cálculos anteriores en esencia son una solución completa del movi-
miento de la partícula. Sin embargo también se debe considerar la exactitud
de los resultados debido a la suposición inherente en la ecuación (18.16).
Además, para evaluar la exactitud, es necesario obtener una solución nu-
mérica de la ecuación (18.14)! que es una representación física más com-
pleta del movimiento. Se puede usar cualquiera de los métodos analizados
en los capítulos 16 y 17 para este propósito, por ejemplo, los métodos de
Euler y RK de cuarto orden. La ecuación (18.16)5% debe transformar en
dos ecuaciones de primer orden compatibles con los métodosanteriores.
Esto se lleva acabocomosigue. La velocidad u se define como
dO
dt
- = u
y, por lo tanto la ecuación (18.14)se puede expresar como
[18.181
[18.19]
Lasecuaciones (18.18)Y (18.19)son un par de ecuaciones diferenciales
ordinarias simultáneas. En el cuadro 18.4se muestran los resultados gene-
radoscon la solución numéricapor el método de Euler y el método RK
CUADRO 18.4 Comparaciónde la solución analiticalinealdel péndulo oscilante con
tres soluciones numéricasno lineales
Soluciones no lineales
Solución
analitica
Tiempo lineal Euler RK de cuarto RK de cuarto
(h=0.05) orden orden
(h=0.05) (h=0.0 1)
S ( 4 (b) ( 4 ( 4
0.0 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.785 398
0.2 0.545 784 0.615 453 0.566 582 0.566 579
0.4 -0.026 852 0.050 228 0.021895 0.021 882
0.6 "0.058 3104 -0.639 652 -0.535 802 -0.535 820
0.8 -0.783 562 -1.050 679 -0.784 236 -0.784 242
1.o -0.505 912 -0.940 622 -0.595 598 -0.595 583
1.2 0.080 431 -0.299 819 -0.065 611 -0.065 575
1.4 0.617 698 0.621 700 0.503 352 0.503 392
1.6 0.778 062 1.316 795 0.780 762 0.780 777](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-631-320.jpg)
![CASOSDE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 621
CUADRO 18.5
decuarto orden. Enelcuadro 18.4 se comparalasoluciónanalíticadela
ecuaciónlinealdelmovimiento [Ec. (18.17)]enla columna a) conlasolu-
ciónnuméricaenlascolumnas b), c) y d).
Losmétodos de Euler y RK de cuarto orden generan resultados dife-
rentes y ambosdivergen de la solución analítica, aunque el métodoRK
de cuarto orden parael caso no lineal se acerca más a la solución analíti-
ca que el de Euler. Para evaluar propiamentela diferencia entre los mo-
delos lineal y no lineal es importante determinar la exactitud delos resultados
numéricos. Esto se lleva a cabo de tres formas diferentes. Primero, la so-
luciónnumérica de Euler se reconoce fácilmente ya queesinadecuada
debido a sus inconvenientesenla condición inicial ent = 0.8s. Esto vio-
la claramente laleydela conservaciónde la energía. Segundo, las co-
lumnas c) y d) delcuadro 18.4 muestranlasolucióndel métodode
Runge-Kutta de cuarto orden con tamaños de paso de0.05y 0.01.Debi-
do a queestos varíanenelcuartolugar decimal, es razonablesuponer
que la solución con un tamaño de paso de0.01 también será exacta con
este grado de certeza. Tercero, para el caso con un tamaño de paso de
0.01S , 6alcanza un valor local máximo de0.785 385 en t = 1.63 S (que
no se muestra en el cuadro 18.4).Esto indica que la partícula regresa a
su posición original con una exactitud de cuatro cifras con un periodo de
1.63 s. Estas consideraciones permiten tener la seguridad que la diferen-
cia entre las columnas a) y d) del cuadro 18.4 representan realmente la
diferenciaentre el modelolineal y no lineal.
Otra manera de caracterizar la diferencia entre el modelo lineal y no
lineal es en base al periodo. Enel cuadro 18.5 se muestra el periodo de
oscilacióncalculadoconlosmodeloslineal y no linealparatresvalores
diferentes iniciales del desplazamiento.Se ve que losperiodos calculados
casi son igualescuando 0 es pequeño debida a que 0 es una buenaapro-
ximación para sen 0 en la ecuación (18.15).Esta aproximación se dete-
riora a medidaque 6 crece.
Estos análisis soncomunes en los casos en que rutinariamentese en-
cuentra un ingeniero. La utilidadde los métodosnuméricosviene a ser
particularmente significativacuando se trata de problemas no lineales, y
muchosproblemasdela vida realsonnolineales.
Comparación del periodo de un cuerpo oscilante calculadode los
modelos lineal y no lineal
Periodo, S
~
Desplazamiento Modelo lineal Modelo no lineal
inicial ( I 2 7 r J / / g ) [solución numérica de la
60 ecuación (18.14)]
a/l6
a/4
1.565 9 1.57
1.565 9 1.63
1.565 9 1.85
~~~~~ ~ ~~](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-632-320.jpg)
![622 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS
PROBLEMAS
lngeniería en general
18.1 Repítase los cálculos realizadosen el caso 18.1 usando los programaspropios
18.2 Efectúense losmismos cálculos del caso 18.1 usando k = $60/día.
18.3 Efectuénse los mismoscálculos del caso 18.1 con una nueva ecuación del costo
de las computadoras [reemplácese la Ec. (18.2)]:
Costo por computadora individual ($) = 1 500 (I + e - 4 4x10-5N 1
18.4 Repítase el problema delparacaidista (ejemplo 1.2), pero con unafuerza ac-
tuando hacia arribadebida a lafuerza de rozamiento que es proporcional a la
velocidad al cuadrado:
F, = -cu2
donde c = 2.4 g/cm. Grafíquense los resultados y compárensecon los del ejem-
plo 1.1.
Ingeniería química
18.5 Repítanse los cálculos del caso 18.2 usando los programaspropios
18.6 Efectúense los mismoscdlculosdel caso 18.2 peroparaelcasoenque p(t= 0)
= 50 O00 célulasporlitro.
18.7 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.2, pero para p ( t = 0) = 100 O00
células por litro y k = 3 X litros por célulapor día.
18.8 Enel caso 12.2 se desarrolla la ecuación (12.5) paramodelar el crecimiento
de la levadura empleada en la producción comercial de cerveza. Si el decai-
miento de la levadura es proporcional a 0.8 p y sila proporción de cambio de
f se describe como
df dP"
dt dt
- -_
resuélvase para j y p en función del tiempo si f(0)= 100 y p(0)= 1.Intégrese
el par de ED0 hasta que p y f alcancen niveles estables. Grafíquense los re-
sultados
18.9 Un balance de masa deunasustanciaquímicaen un reactor mezclada comple
tamente, se puede escribir como
velocidad de flujo de
Acumulación = alimentación - - reacción
salida](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-633-320.jpg)
![CASOSDE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 623
donde V es elvolumen (10 m3), c es la concentración, F es la alimentación
(200 g./min), Q esla velocidad de flujo (1 m3/min),y K es la velocidad de
reacción (0.1 m3/g/min). Si c(0) = O, Resuélvase la ED0 hasta que la con-
centración alcance un nivel estable. Grafíquense los resultados.
18.10 Repítase el problema usando el método de disparo.
Ingeniería civil
18.11 Repítanse los cálculos del caso 18.3 usando los propios programas.
18.12 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.3, pero con una cargauniformede
80 libras/pie y una E = 2 x lo8libras/pie2.Verifíquense los resultados com-
parándolos con la soluciónanalítica.
18.13 Efectuénse los mismos cálculos del caso 18.3, pero en vez de usarunafuerza
delviento constante, utilíceseunafuerza que varíe con laaltura de acuerdo a
(recuérdese el caso 15.3):
. !(x) = 200 -e -22/30
5 + 2
Grafíquese y contra z compárense con los resultados con los del caso 18.3.
18.14 Duplíquesela figura 6.4integrando numéricamente la ED0 del caso 6.3. VerifC
quense los resultados comparándoloscon los de la soluci6n analítica [Ec. (6.9)].
18.15 El modelo de crecimiento logísticodel caso 6.3se puede aplicar tanto a la po-
blaciónmicrobial como a la humana. Supóngase que se planea un sistema de
abastecimiento de agua para unaisla. Si pmlx= 100 O00 personas y K =
personas . año y si lapoblacióninicial es de 10 O00 personas, ¿qué tiem-
PO pasará para que la poblaciónllegue a 90 O00 habitantes?
Ingeniería eléctrica
18.16 Repítanse los cálculos del caso 18.4 usando los programaspropios
18.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.4, pero con R = 203.
18.18 Resuélvase la ED0 del caso 6.4 usando los métodos numéricos si q = 0.1 e
i = -3.281 5i5 en t = O.
18.19 En un circuito RL simple, laley de los voltajes de Kirchhoff requiere que (sise
cumple laley de Ohm):
di
dt
L - + Ri = O
donde i es la corriente, L la inductancia y R la resistencia. Resuélvase para
i, si L = R = 1 e ¡(O) = amperios. Resuélvase este problema analítica-
mente y con un método numérico.](https://image.slidesharecdn.com/l34-150513180457-lva1-app6891/85/Metodos-numericos-para-ingenieros-634-320.jpg)
Metodos numericos para ingenieros
- 1. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicaciones en computadoraspersonales
- 2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicacionesen computadoraspersonales Steven C. Chapra, Ph.D. Professorof Civil Engineering Texas A&M University Raymond P. Canale, Ph.D. Professor of Ci.vil Engineering The University of Michigan Traducción: CarlosZapata S. Ingeniero Electricista, UDLA Diplomado enCiencias de la Computación, Fundaci6nArturoRosenblueth Alfredo CortésAnaya LicenciadoenCienciasFísico-Matemiticas, UMSNH MaestroenCiencias de la Computaci6n, IIMAS,UNAM Revisión técnica: FernandoVeraBadillo IngenieroCivil,Universidad La Salle Jefe del DepartamentodeMatemlticasAplicadas, Universidad La Salle McGRAW-HILL MÉXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTIAGO SÁ0 PAUL0 AUCKLAND HAMBURG0 LONDRES MONTREAL NUEVADELHI PARíS SANFRANCISCO SINGAPUR ST.LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO
- 3. METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicaciones en computadoras personales Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medlo, sin autorizactón escrita del editor DERECHOS RESERVADOS (9 1987, respecto a la primera edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MCXICO. S. A. DE C. V. Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la lndustrla Editorial, Reg. Núm. 465 ISBN 968-451-847-1 Traducido de la primera edlclon en Inglés de Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications Copyright @ MCMLXXXV, by McGraw-Hill, Inc., U.S. A ISBN 0-07-010664-9 1234567890L.M.437 ImpresoenMexicoPunted InMexico Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1988 en Talleres Gráficos Continental, S. R. deC. V. Calz. Tlalpan No. 4620 col. Niño Jesús Delegación Tlalpan 1408 México, D.F. Se tiraron 2 600 ejemplares
- 4. C O N T E N I D O PREFACIO PARTE I LOS METODOSNUMERICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES I.1 Motivación 1.2 Fundamentosmatemáticos 1.3 Orientación Capítulo 1 Modelosmatemáticos Problemas Capítulo 2 La programación en las computadoras personales 2.1 Antecedenteshistóricos 2.2 Desarrollodeprogramas 2.3 Desarrollodeunprogramapara el problemadelparacaidista 2.4 Estrategiasdeprogramación Problemas Capítulo 3 Aproximaciones y errores 3.1 Cifrassignificativas 3.2 Exactitud y precisión 3.3 Definicionesdeerror 3.4Erroresderedondeo 3.5 Erroresdetruncamiento 3.6 Errornuméricototal 3.7 Erroresporequivocación,deplanteamiento e incertidumbre en los datos Problemas xi 1 4 7 11 19 21 22 24 46 52 56 63 64 66 67 72 77 95 96 98
- 5. Vi CONTENIDO- EPILOG0 PARTE I 1.4 ElementosdeJuicio 1.5 Relacionesyfórmulasimportantes 1.6 Métodosavanzadosyalgunasreferenciasadicionales PARTE II RAíCES DEECUACIONES II.1 Motivación 11.2 Fundamentosmatemáticos 11.3 Orientación Capítulo 4 Métodos queusan intervalos 4.1 Métodosgráficos 4.2 Métododebisección 4.3 Métododelareglafalsa 4.4 Búsquedasconincrementosdeterminandouna aproximacióninicial Problemas Capitulo 5 Métodos abiertos 5.1 Iteracióndepuntofijo 5.2 MétododeNewton-Raphson 5.3 Métodode la secante 5.4 Raícesmúltiples Problemas EPiLOGO PARTE II 11.4 Elementos¿e juicio 11.5 Relacionesyfórmulasimportantes 11.6 Métodosavanzadosyalgunasreferenciasadicionales PARTE 111 SISTEMAS DEECUACIONESALGEBRAICAS LINEALES III.1 Motivación 111.2 Fundamentosmatemáticos 111.3 Orientación Capítulo 7 Eliminacióngaussiana 7.1 Solucióndepocasecuaciones 7.2 Eliminacióngaussianasimple 1o1 106 107 109 112 114 119 119 123 132 139 140 145 146 152 158 163 167 171 172 177 180 183 186 1 89 197 199 199 203 206 21 5 219 219 227
- 6. EPILOG0 PARTE IV 7.3 Desventajasde los métodosdeeliminación 7.4 Técnicasdemejoramientoenlassoluciones 7.5 Resumen Problemas Capítulo 8 Gauss-Jordan, inversión de matrices y Gauss-Seidel 8.1 MétododeGauss-Jordan 8.2 Inversióndematrices 8.3 MétododeGauss-Seidel Problemas Capítulo 9 Casos de la parte 111: Sistemas de ecuaciones Caso 9.1 Distribuciónderecursos(Ingenieríaengeneral) , Caso 9.2 Cálculodedistribucióndetemperaturas Caso 9.3 Análisisdeunaarmaduraestáticamentedeterminada Caso 9.4 Corrientes y voltajesencircuitosresistivos Caso 9.5,Dinámica de partículas y cuerposrígidos Problemas algebraicas lineales (Ingenieríaquímica) (Ingenieríacivil) (Ingenieríaeléctrica) (Ingenieríamecánica) PARTE 111 111.4 Elementosde juicio 111.5 Relaciones y fórmulasimportantes 111.6 Métodosavanzados y algunasreferenciasadicionales AJUSTE DE CURVAS IV.1 Motivación IV.2 Fundamentosmatemáticos lV.3 Orientación Capítulo 1O Regresión con mínimos cuadrados 10.1 Regresiónlineal 10.2 Regresiónpolinomial 10.3 Regresiónlinealmúltiple Problemas Capitulo 11 lnterpolación 1l. 1 Polinomiosdeinterpolacióncondiferencias divididasdeNewton 11.2 PolinomiosdeinterpolacióndeLagrange 11.3 Comentariosadicionales 11.4 lnterpolaciónsegmentaria(spline) Problemas 236 244 252 254 259 259 262 268 276 279 280 283 287 291 293 295 301 304 304 307 310 315 319 321 336 342 345 349 350 363 368 370 383
- 7. vi¡¡ CONTENIDO EPiLOGO PARTE V Capítulo 12 Casosde la parte IV: Ajustedecurvas 387 Caso 12.1 Modelodeingenieríadeventadeproductos (Ingenieriaen 387 Caso 12.2 Regresiónlineal y modelosdemográficos (Ingenieríaquímica) 391 Caso 12.3 Ajuste decurvasen el diseñodeunmástil parabarco (Ingenieria 395 Caso 12.4 Ajuste decurvas en laestimacióndelacorriente RMS (Ingenieríaca) 399 Caso 12.5 Regresiónlinealmúltipleen el análisisdedatos experimentales(Ingenieríamecánica) 402 Problemas 404 PARTE IV IV.4 Elementosde juicio IV.5 Relaciones y fórmulasimportantes IV.6 Métodosavanzados y algunasreferenciasadicionales INTEGRACION V. 1 Motivación V.2 Fundamentosmatemáticos V.3 Orientación 409 41 1 41 1 415 422 424 Capítulo 13 FórmulasdeintegracióndeNewton-Cotes 429 13.1 Regladel 431 13.2 Reglade 443 13.3 Integraciónconintervalosdesiguales 455 13.4 Fórmulasdeintegraciónerta 458 Problemas 461 Capítulo 14 IntegracióndeRomberg y cuadratura gaussiana 465 14.1 Integraciónde 465 14.2 Cuadraturagaussiana 474 Problemas 484 Capítulo 15 Casos de laparte V: Integración 487 Caso 15.1 Análisisdemovimientodeefectivos(Ingenieríaengeneral) 488 Caso 15.2 El usodeintegralesparadeterminarlacantidad total decaloren los materiales(Ingenieríaquímica) 490 Caso 15.3 Fuerzaefectivasobreelmástildeunvelerodecarreras (Ingeniería 492 Caso 15.4 Determinacióndelacorriente RMS medianteintegración numérica(Ingenieríaeléctrica) 496 Caso 15.5 Integraciónnuméricaen el cálculodeltrabajo (Ingenieríaánica) 499 Problemas 503
- 8. CONTENIDO i X EPiLOGO PARTE V V.4 Elementosdeiuicio V.5 Relacionesyfórmulasimportantes V.6 Métodosavanzadosyalgunasreferenciasadicionales PARTE VI ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS VI.1 Motivación V1.2 Fundamentosmatemáticos V1.3 Orientación Capítulo 16 Métodosde un paso 16.1 Métodode Euler 16.2 Modificacionesymeiorasalmétodode Euler 16.3 MétodosdeRunge-Kuttc 16.4 Sistemasdeecuaciones Problemas Capítulo 17 Métodos de pasos múltiples 17.1 Unenfoque simple depasosmúltiples:Métodode Heun sin principio 17.2 Fórmulasdeintegración 17.3 Métodosdepasos múltiples deordensuperior Problemas Capítulo 18 Casos de la parte VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias Caso 18.1 Modelosmatemáticosparaproyectosdeventade computadoras(Ingenieriaengeneral) Caso 18.2 Diseñodeunreactorparaproducciónfarmacéutica (Ingenieríaquímica) Caso 18.3 Deflexióndel mástil de unvelero(Ingeniería civil) Caso 18.4 Simulacióndeunacorrientetransitoriaenuncircuitoeléctrico Caso 18.5 El péndulooscilante(Ingenieríamecánica) Problemas (Ingenieríaeléctrica) EPiLOGO PARTE VI V1.4 Elementosde juicio V1.5 Relacionesyfórmulasimportantes V1.6 Métodosavanzadosyalgunasreferenciasadicionales BlBUOGRAFiA iNDlCE 509 51 1 51 1 51 5 519 522 527 528 550 564 570 573 574 588 594 600 603 604 608 61 3 61 5 61 8 622 541 625 627 627 631 635
- 10. P R E F A C I O Para el ingeniero modernoel hecho de “ir a la par con su profesión” im- plica inevitablementeel uso de las computadoras.Hay pocas disciplinas, o dicho sea de otra forma, pocas actividadescotidianasque de alguna manera no tienen contacto con estas máquinas tan poderosasy rápidas. Ciertamente, las computadoras hansidopor años un aliado de la inge- nieríaal desempeñar millaresde tareas, tanto analíticas como prácticas, enel desarrollo de proyectos y la solucióndeproblemasenformamás eficiente. En consecuencia, cuanto mása fondo y más tempranose fami- liarice el estudiante de ingeniería con su terminal o su computadora pel. sonal, mejorserá su formación. Pero, ¿desde cuándo?, y ¿qué tan a fondodebesereste contacto? Los profesores de ingenieríareconocen desde hace mucho tiempo la im- portanciadelentrenamientoenlosprimerossemestres enla tecnología de las computadoras. Tradicionalmente este entrenamiento abarcabacom- putadorasgrandes(mainframes) y un lenguaje de programación de alto nivel como el FORTRAN. Desafortunadamente,es frecuente que a los estudianteslesresulte difícil aplicarsusnuevashabilidades a proble- mas de otras materias. Esto se debe a una variedad de factores, de entre loscualesno carece deimportancia la preparaciónnecesariaparausar sistemas con máquinas grandes.Como resultado, muchos estudiantes de ingenieríanoexplotanbienlacapacidaddesolucióndeproblemasque tienenlascomputadorashastaqueestánadentrados ensu educación. Creemos que la revoluciónde la microelectrónica nos dala oportuni- daddeintegrarla computación de una manera más efectiva enel salón de clases. Debido a su bajo costo y conveniencia, las computadorasper- sonales pueden aumentar la capacidad del estudiante de ingeniería para resolver problemas durante sus añosescolares. Sin embargo, para explo- tar esta oportunidad al máximo es necesaria una innovación de los cursos de introducción a la computación. Por ejemplo, a través de los años se ha desarrollado en las universidades’deTexas A&M y Michigan una rees- tructuración en dos etapas. Hay un “primer cursode computación” dedi- cado a orientar al estudiante al equipocomputacionaldisponible y al
- 11. Xii PREFACIO desarrollo de habilidades firmes dentro dela programación. El “segundo curso de computación” está planeado para reafirmar estas habilidadesy mostrarel empleode lasolu&n deproblemas en ingeniería. El presente libro emanó del segundo curso. Se eligióel tema de los métodosnuméricos como puntoprincipalporsusmuchasaplicaciones a la ingeniería. Ya sea quelosingenieros utilicensoftware comercial o propio, creemos que es esencial una base sólida en los métodosnuméri- cos para la aplicación efectiva de las computadoras en la solución de pro- blemasdeingeniería. Desafortunadamente,los métodosnuméricos se presentan durante elúltimo año de licenciatura o a nivel de posgradua- dos, años después del punto donde pudieron habersido herramientasúti- les, instructivas y creativasparaelfuturoingeniero. Por consigu.iente,hemos elaborado este libro de tal forma que pueda enseñarse en los extremos inferior o superior de la carrera de ingeniería a nivel de licenciatura. Un aspecto de este plan se hace notar en la orga- nización y enel alcance dellibro,queestádivididoenseispartes.Laparte I tratadelmaterialintroductorio e incluyeinformaciónsobreprogramación y análisis de aproximación y error. Las cinco partes restantes están dedica- das a las áreas de métodos numéricos, que tienen importancia directa para el candidato a ingeniero: raíces de ecuaciones no lineales, ecuaciones alge- braicaslineales,ajustedecurvas(regresióneinterpolación),integración y ecuacionesdiferencialesordinarias.Excluimostemas como los valores ca- racterísticosy las ecuaciones diferenciales parciales, que tiene mayor impor- tanciapara los estudiantesdeposgrado. Junto con este materialhemosincorporado ciertas características adi- cionales en la elaboración de este libro, para hacerlo más accesible a lec- tores tanto de losprimeros como de los últimosniveles de licenciatura. Incluyen: 1. Recuadros. Nos hemos empeñado enincluir derivaciones importan- tes y análisis de error, conel fin de enriquecer la presentación. Sin embargo, algunas veces tal material representa un escollo parael es- tudiante novato. En consecuencia, hemos apartado en recuadros el material matemático más complicado. Muchos estudiantesencontra- rán quepuedenaplicar los métodosnuméricos sin tener que domi- narcompletamente el materialcontenido en losrecuadros. 2. Material introductorioy fundamentos matemáticos. Cada parte del li- broincluyeunaseccióndeintroducción.Después de unabreve ex- posición al problemamatemáticogeneralque va aestudiarse, se suministra una motivación describiendocómo podría enfocarseel pro- blema en ausencia decomputadoras,y dónde se plantea este proble- maenla práctica de la ingeniería. En seguida se efectúa una revisión delos conceptos matemáticosnecesariosparacomprender el tema por estudiar. Por ejemplo, se revisa álgebra matricial antes del estu- dio de ecuaciones algebraicas lineales, y estadística antes del estudio
- 12. PREFACIO xiil de regresión.Por último, se presentan un esquema y los objetivos de estudio de cada parte, como orientaciónpara el lector. 3. Epilogos. Así como la introduccih estáplaneadaparadaruna mo- tivación y una orientación, incluimos un epílogo alfinal de cada partedellibroparaconsolidar ios conceptos reciénadquiridos. Un detalleimportantedeesteepílogo es una seccióndedicada a los elementos de juicio necesarios para la elección de los métodos numéricosapropiadospara un problemaenparticular. Además, se resumenalgunasfórmulasimportantes y se citanreferenciaspara métodosavanzados. 4. Presentaciones secuenciales y gráficas. Cada parteprincipaldellibro consta de trescapítulos:dosdedicados a la teoría y uno al estudio de casos. Siempre que es posible, los capítulos de teoría se estructu- ranen forma secuencial, esto es, primero se presentanlos plantea- mientos más directosy elementales. Dado que muchos de los métodos más avanzados se construyen sobre los más simples, la intención de este desarrollo es proporcionarun sentido de evolución de lastécni- cas. Adicionalmente hemos desarrollado representaciones gráficas para complementarlas descripciones matemáticas en la mayor parte de los planteamientoscontenidos enellibro. Hemos encontradoqueesta orientación visual es particularmente efectiva para proporcionar una mayor comprensióna los estudiantes de los primeros niveles de licen- ciatura. 5. Estudio de casos. En cadapartedellibro se incluyen casos para de- mostrar lautilidad práctica de los métodos numéricos. Se realizó un gran esfuerzo para darejemplos de los cursos iniciales de las carreras de ingeniería. Cuando esto no es posible, se hansuministrado bases teóricas y motivaciónpara los problemas. 6. Software. Se disponede un paquete de softwaredenominado NU- MERICOMP que muestra algunos métodos numéricosque se cubren enel texto: bisección,eliminación gaussiana, interpolación de Lagrange, regresión lineal, la regla trapezoidal y el método de Euler. Estos pro- gramas proporcionanal estudiantelos criterios de programaciónnece- sarios para cada una de las partes del libro. El software está diseñado para utilizarse con facilidad.Los estudiantes también pueden emplear- loparaverificar los resultados de sus propios esfuerzos de programa- ción. Aunque el paquete es opcional, pensamos que puede lograrse un progreso más rápidocuandose emplean ellibro y el softwarecon- juntamente;se puede conseguira través de McGraw-Hill para lascom- putadoraspersonales IBM-PC y APPLE 11. Unaversión profesional de NUMERICOMP puede adquirirse directamente de EnginCompSoft- ware, Inc., 15 Research Dr., Ann Arbor, MI 48103.
- 13. Finalmente, nos hemos esforzado conscientemente en hacer este li- bro tan sencillo al usuario como seaposible, por lo que nos empefiamos en mantener nuestras explicaciones con una orientacióndirecta y prácti- ca. Aunque nuestraintención primaria es presentar a los estudiantes una sólida introducción a los métodos numéricos, un objetivo subordinado ha sido hacerde esta introducción una experiencia agradable. Creemos que los estudiantes que disfruten los métodos numéricos, las computadoras y las matemáticas, serán al final mejores ingenieros.Si nuestro libro alienta el entusiasmo por estas materias, consideraremos nuestro esfuerzo como un éxito. AGRADECIMIENTOS Queremos agradecer las revisiones hechas por los profesores Ted Cad- man (Universityof Maryland), Lee W. Johnson(VirginiaPolytechnic and State University),Richard Noble (University of Colorado),Satish Ramadh- yani (Purdue University), Howard Wicke (Ohio University) y Thomas C. Young (Clarkson University). Extendemos nuestra gratitud a la Texas A&M University y a la Universityof Michigan por proporcionarnos apoyo secretarial y gráfico y el tiempo necesario para preparar estelibro. En par- ticular, Donald McDonald y Roy Hann de Texas A&M apoyaron cons- tantemente este esfuerzo.Obtuvimossugerencias y buenasideas de nuestros colegas Bill Batchelor, Harry Jones,Bill Ledbetter, James Mar- tin y Ralph Wurbs. Jeanne Castro ideóla organización gráfica de los capí- tulos. También Vanessa Stipp, con la ayuda de Kathy Childers, Cindy Denton y Frances Kahlich, hicieron una excelente labor al mecanografiar el manuscrito. Este libro se experimentó en clase durante cuatro semestres, princi- palmente con alumnos de segundo año en Texas A&M y durante dos semestres con alumnosde todoslos niveles de licenciatura en Michigan. Durante este tiempo, muchosde los alumnos nos ayudarona comprobar la exactitud matemáticay a enriquecer la comprensión de este libro. Lisa Olson leyó el texto completo varias veces y preparó los programas en FOR- TRAN. Tad Slawecki proporcionó una ayuda excelente en cuantoal soft- ware complementario. Además, Marla lsenstein, Luis Garcia, Sijin “Tom” Lee y Rick Thurman hicieron contribuciones notables. También debemos agradecer a Kiran Verma, Dave Damstra y a B. J. Clark de McGraw-Hill su supervisión y aliento. Ursula Smith efectuó un trabajo impecable en la edición de pruebas del libro. Finalmente, nos gustaría agradecer a nuestras familias, amigos y colegas, quienes sopor- taron comprensivamente la gran cantidad de horas “robadas”, necesa- rias para completar esta obra. Steven C. Chapra Raymond P.Canale
- 14. P A R T E U N O LOSMÉTODOS NUMÉRICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES '), 7, I.1 MOTIVACI~N Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal for- maquepuedan resolverse usandooperaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una característica co- mún: Invariablemente los métodos numéricos Ile- van a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el pa- pel de los métodos numéricos en la solución de pro- blemas de ingeniería haya aumentado considera- blementeen losúltimos años. I. 1 . l Métodos anteriores a la aparición de la computadora Más allá de sólo proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad general de las computadoras (especialmente de las compu- tadoras personales)y su asociación con los méto- dosnuméricos, ha tenido una influenciamuy significativa en el proceso de solución de proble- mas de ingeniería. Antes del uso de la computa- dora había tres métodos diferentes que los inge- nieros aplicaban a la solución de problemas: 1. Primero, se encontraban las soluciones de al- gunosproblemasusando métodos exactos o analíticos. Con frecuencia estas soluciones re- sultaban útiles y proporcionaban una compren- sión excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analiti- cas pueden encontrarse sólo para unaclase Ii- mitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellosquepuedenaproximarse mediante modelos lineales y también aquellos quetienen una geometríasimple y pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones anabjticas tienen valor práctico limitado, porque la mayor par- te de los problemas reales no son lineales,e implican formas y procesos complejos.
- 15. 2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 2.Para analizar el comportamiento de los sistemasse usaban solu- ciones gráficas. Éstas tomaban la forma de grafoso nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a menudopueden emplearse parare- solver problemas complejos, IQS resultados no sonmuy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sinla ayuda de una computadora)son tediosas en extremo y difíciles de implementar. Finalmente,las técni- cas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan des- cribirse usando tres dimensiones o menos. 3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculado- ras manuales y reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproxi- macionesdeberían ser perfectamenteadecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan algunas difi- cultades. Los cálculos manuales sonlentos y tediosos. Además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocacio- nes cuando se efectúanlastareasmanualmente. Antesdel uso de la computadora, se gastaba mucha energía en la técnica misma de solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación (Fig. 1.1~).Esta situación desafortunada existía debidoal tiempoy trabajomonótonoque se requeríanpa- ra obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban a la computadora. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan unaalternativapara cálculostan complicados. AI usar lacompu- tadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o técnicas deficientes.Aunque dichas suposiciones son aún extremada- mente valiosas tanto para resolver problemas comopara proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan alternati- vas queamplíanconsiderablementela capacidadparaconfrontar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovecharlas habilidades creativas personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema total, o conciencia“holística” (Fig. 1 . 1 b). 1.1.2 Los métodosnuméricosy la práctica delaingeniería Desde finales de la década de 1940, la multiplicacióny disponibilidad de las computadoras digitales ha llevado a una verdaderaexplosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a com- putadoras grandes (rnainfiames),por lo que muchos ingenieros conti- nuaban usando simples planteamientos analíticosen una buena parte
- 16. LOS METODOSNUMÉRICOS Y LAS COMPUTADORASPERSONALES ..___3 Formulac4dn Exposici6n a fondo de 1. rdaci6n del problema con las leyes fundamentales fundamentales Metodos muy elaborados Mdtodo num6rico y frecuentemente complcador para hacer manelable el problema lnterpretacidn lhmitado por una Anll~oma fonda holisticamente y permite pensar desarrollar la intulmdn: se puede estudtar la FIGURA 1.1 Lastresfases en la solución de problemas de ingenieríaen a) laera anterioralas computadoras y b) la era de las cornputadoras. Los tamaños de los recuadros indi- can el nivel de importancia que se dirige a cada fase en el salón de clases. Las corn- putadoras facilitan la implementaciónde técnicas de solucion y así permiten un mayor cuidado sobrelos aspectos creativos de la formulación de problemas y la interpreta- ción de resultados. de su trabaio. No es necesario mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de baio costo, ha dado a mucha gente un fácilaccesoapoderosascapacidades de cómputo. Además existeun buen número de razones por las cuales se deben estudiarlosmétodosnuméricos: 1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente pode- rosas para lasolución de problemas.Son capaces de manejarsis- temas deecuacionesgrandes,nolinealidades y geometrías complicadas que son comunes en la prácticade la ingenieríay que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por l o tan- to, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver pro- blemas. 2. En el transcurso de su carrera, es posibleque el lectortengala ocasión de usar software disponible comercialmente que conten-
- 17. 4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS ga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas de- pende delconocimiento de lateoría básica enla que se basan estos métodos. 3. Hay muchos problemas que no puedenplantearse al emplear pro- gramas “hechos”. Si se está versado en los métodosnuméricos y sees un adepto de la programación de computadoras, enton- cesse tiene la capacidad de diseñar programas propios para re- solver los problemas, sin tener que comprar unsoftware costoso. 4. Los métodosnuméricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales.Es bien sabido que una manera efectiva de aprender a programar las computadoras es al escribir los programas. Comolos métodos numéricos, ensu ma- yor parte están elaborados para implementarse en computado- ras, resultan ideales para este propósito. Aúnmás, están especial- mente adaptados parailustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras. Cuando el lector implemente con buen re- sultado los métodosnuméricos en una computadora personal y los aplique para resolver problemas que de otro modo resultan intratables, entonces tendrá una demostración tangible de cómo pueden ayudarlelas computadoras para su desarrollo profesional. AI mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inesperables de los cálculos numéricos a granescala. 5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su compren- sión de las matemáticas. Porque una función de los métodos nu- méricos es la de reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas, ya que profundizanen los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensiónyentendimiento en la materia. 1.2 FUNDAMENTOSMATEMÁTICOS Cada parte de este libro requiere de algunosantecedentes matemá- ticos. En consecuencia, el material introductorio de cada parte inclu- ye una sección, como la que el lector está leyendo en este momento, de fundamentos matemáticos. Debido Q que la parte I en sí está dedi- cada al material básico sobre las matemáticasy la computación, la presentesección noabarca la revisión dealgúntema matemático específico. En su lugar, se presentan los temas delcontenidoma- temático que se cubre en este libro. Estos se resumen en la figura 1.2, y son:
- 18. LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LASCOMPUTADORASPERSONALES 5 FIGURA 1.2 Resumen de los métodosnuméricos que se cubren eneste libro.
- 19. 6 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 1. Rakes deecuaciones (Fig. 1.24. Estos problemas están re- lacionados con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería donde confrecuencia resulta imposible despejar ana- líticamente parámetros de ecuaciones de diseño. 2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Fig.1.2b). En esencia, estos problemas son similares a los de raíces de ecua- cionesen el sentido de que están relacionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, a diferencia de satisfacer una sola ecuación, se busca un conjunto devaloresque satisfaga simultáneamente a un conjunto deecuacionesalgebraicas. Las ecuaciones lineales simultáneas surgenen el contexto deuna variedad de problemasy en todas las disciplinas de la ingeniería. En particular,se originan a partir de modelos matemáticos de sis- temas grandes de elementos interconectados, como:estructuras, circuitos eléctricos y redes de fluio de fluidos, aunque también pueden encontrarse en otras áreasde los métodosnuméricos como el aiuste de curvas. 3. Ajuste de curvas (Fig. 1.24. Con frecuencia se presentará la oportunidad de ajustar curvas a un conjuntode datos representados por puntos. Las técnicas que se han desarrollado para este fin pue- den dividirse endos categorías generales: regresión e interpolacion. La regresión se emplea cuando hay un grado significativo de error asociado a los datos; frecuentemente los resultados experimentales son de esta clase. Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos sin ne- cesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpola- ción se maneja cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que esténrelativamentelibres de error. Tal esel caso de la información tabulada. Para estassituaciones, la estrategia es ajustar una curva directamente a través de los puntos y usar esta curva para predecir valores intermedios. 4. Integración (Fig.l.2d).Tal como se representa, una interpre- tación física de la integración numérica es la determinación del área bajo la curva. La integracióntiene muchas aplicaciones pa- ra el ingeniero práctico, empezando por la determinación de los centroides de objetos con formas extravagantes hasta el cálculo de cantidadestotales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adicionalmente las fórmulas de integración numérica juegan un papel importante en la solución de las ecuaciones en diferencias. 5 . Ecuaciones diferencialesordinarias.(Fig. 1.2e). Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen un enorme significado
- 20. LOS METODOSNUMERICOS Y LASCOMPUTADORASPERSONALES 7 en la práctica de la ingeniería. Esto se debe a que muchas leyes físicas están expresadas en tefminos de la razónde cambio de una cantidad más que en términos de su magnitud. Entre los ejemplos se observan desde los modelos de predicción demográfica (razón de cambio de la población) hasta la aceleración deun cuerpo en descenso (razón de cambio de la velocidad). 1.3 ORIENTACI~N Resultaútilesta orientación antes de proceder a la introducción de los métodos numéricos.Lo que sigue está pensado como unavista pa- norámica del material contenido en la parte l. Se incluyen además algunos objetivos como ayuda para concentrarel esfuerzo del lector alestudiar el material. 1.3.1 Alcanceycontenido La figura 1.3 es una representación esquemáticadel material conteni- do en la parte I. Se ha elaborado este diagrama para darleun pano- rama global de esta parte del libro. Se considera que un sentido de "imagen global" resulta importante para desarrollar una verdadera comprensión de los métodos numéricos. AI leer un texto, es posible que frecuentemente se pierda uno en los detalles técnicos. Siempre que el lector perciba que está perdiendo la "imagen global" regrésese a la figura 1.3 para orientarse nuevamente.Cada parte de este libro incluye una figura similar. Esta figura sirve también como una breve revisión previa del mate- rial que se cubre en la parte I. El capítulo 1 está diseñado para orien- tarle a los métodos numéricosy para darleuna motivación mostrándole cómo pueden usarse estas técnicas en el proceso de elaborar mode- los matemáticos aplicados a la ingeniería. El capítulo 2 es una intro- ducciónyuna revisiónde los aspectosdecomputaciónque están relacionados con los métodosnuméricos y presenta las habilidades de programación que se deben adquirir para explotareficientemen- te la computadora. El capítulo 3 se ocupa delimportantetemadel análisis de error, que debe entenderse bien para eluso efectivo de los métodosnuméricos. 1.3.2 Metasy objetivos Estúdiese los objetivos. AI terminm la parte I el lector deberá estar preparado para aventurarse en los métodos numéricos. En general,
- 21. 8 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 1.3 Representación de la organización del material en la parte I: Los métodos numéricos y las computadoras personales. habrá adquirido una noción fundamental de la importancia de las com- putadoras y el papel de las aproximaciones y los errores en la imple- mentación y desarrollo de los métodos numéricos. Adicionalmente a estas metas generales, deberá dominar cada uno delos objetivos es- pecíficos de estudio que se enuncianen la tabla 1 . 1 .
- 22. LOS MhODOS NUMERICOS Y LAS COMPUTADORASPERSONALES 9 TABLA 1.1 Obietivos de estudio especificos para la parte I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1o. 11. Entender la diferencia entre error de truncamiento y de redondeo Entender el concepto de cifras significativas Conocer la diferencia entre exactitud y precisión Apreciarla utilidad del error relativo Conocer la diferencia entre el error relativo verdadero E" y el error relativo aproximado eo; darse cuenta de cómo este último puede emplearse en conjunci6n con un error aceptable especificado con anterioridad E , para terminar un cálculo Ser capaz de relacionar el error relativo con cifrassignificativas Ser capaz de aplicar las reglas de redondeo explicadas enel recuadro 3.1 Comprender cómo se usa la serie de Taylor para aproximar funciones Comprender la naturaleza de la aproximación y los términos residuales de la serie de Taylor Conocer la relación que existeentrelas diferencias finitas y las derivadas Familiarizarse con los elementos de juicio que se describen enel epílogo de laparte I Objetivos en computación. AI completar la parte I el lector se habrá familiarizado con el software (NUMERICOMP)disponible para este libro. Deberá saber qué programas contieney algunas de sus capa- cidades de graficación. También deberátener las habilidades de pro- gramaciónnecesariasparadesarrollarsoftwarepropiocon los métodos numéricos de este libro. Deberá ser capaz de desarrollar pro- gramas en términos de los algoritmos o diagramas de fluio dados. Podrá guardarsu software en dispositivos de almacenamiento, como discos flexibles o cinta magnbtica. Finalmente, el lector habrá desa- rrollado la capacidad de documentarsus programas de tal forma que los usuarios puedan emplearlos eficientemente.
- 24. C A P í T U L O U N O MODELOS MATEMÁTICOS ¿Por qué se debendominar los métodosnuméricos y la programación de computadoras para resolver los problemas? Adem6s del hecho deque a diario se observa que las computadoras intervienen enlasactividades m6s comunes de lavida diaria, dhabr6algunacontribución esencial que estasmAquinas, con sus capacidades decididamente sobrehumanas,pue- dan hacer a las tareas y retos de los ingenieros? Es totalmente factible, y con el material contenido en este capítulo, se tratar6 de orientar al lec- tor y motivarlo haciauna posibilidad cuando menos. Primero se aplicael concepto de modelos matemáticos para ayudar a definir lo que se entiende por métodos numéricos y para ilustrar cómo pueden facilitar la solución de problemas en ingeniería. Paraesto, se des- arrolla aquíel modelo matemático deun proceso físico y se resuelve con un métodonuméricosencillo. El mundo físico, con toda su complejidad,puede parecer abrumador e impredecible, Tradicionalmente,la tarea del científico ha sido la de iden- tificar los patrones reproduciblesy las leyes que gobiernaneste caos. Por ejemplo, sobre la base de sus observaciones, Newton formuló su segun- da ley del movimiento, queafirma que la velocidad de cambio dela can- tidaddemovimientode un cuerpocon respecto al tiempoesigual a la fuerza resultante que actúa sobreél.Considerandolas maneras excesiva- mente complejas en que las fuerzas y los objetos interactúan en la tierra, estaleyhaprobadoserunageneralizaciónválida. Además de que estas leyes proveen de discernimiento, los ingenieros pueden aplicarlas para formular solucionesa problemas prácticos. Porejem- plo,los conocimientos científicosse usan rutinariamente por los ingenie- ros en el diseño de,elementostales como estructuras, mhquinas, circuitos eléctricos y sustancias químicas sintéticas. Desdelaperspectivadel dise- ño de ingeniería,estos conocimientos sonmuy útiles cuando se expresan en formade un modelomatem6tico. Un modelo matemático puede definirse, de una manerageneral, co- mo una formulacióno ecuación que expresalas características fundamen- tales de un sistema o proceso fisico en términos matemáti'cos. Los modelos
- 25. 12 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA.INGENIEROS se clasifican desde simples relaciones algebraicas hasta grandesy compli- cados sistemas de ecuaciones diferenciales. Recordando nuevamente a Newton para este ejemplo,la expresión matemática,o modelo, desu se- gunda ley es la bien conocida ecuación F = ma [1.11 donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo (en dinas, o gramo- centímetro por segundo cuadrado),m es la masa del objeto (en gramos), y a es su aceleración (en centímetros por segundo cuadrado). La ecuación (1.1)tiene varias características habitualesde los mode- los matemáticos del mundo físico. 1. Describe un sistema o procesonatural en términosmatemáticos. 2. Representa unaidealización y una simplificaciónde la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones elementales. Es por esto que la segunda ley no incluye los efectos de la relatividad,quetienenunaimportan- cia mínima cuando se aplicanaobjetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededorde la tierra aescalas visibles a los sereshuma- nos. 3. Finalmente, conduce a resultadospredecibles y, en consecuencia, pue- de emplearse para propósitosde predicción. Por ejemplo,si se cono- cen la fuerza aplicada sobre un objeto y su masa, entonces puedeusarse la ecuación (l.1)para predecir la aceleración. Como tiene unaforma algebraica sencilla, puede despejarse directamente F m a = - De este modo, la aceleración puede calcularse fácilmente. Sin em- bargo, los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requieren de técnicas matemáticas más complejas que la simple álgebra para suso- luci6n. Para ilustrar unmodelo de este tipo pero más complicado, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de un cuerpo en caídalibre cerca de la superficie terrestre. El cuerpo en descen- so será un paracaidista como se muestra en la figura 1.1.Para este caso puede crearse un modelo al expresar la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dtj y sustituir en la
- 26. MODELOSMATEMÁTICOS 13 FIGURA 1.1 Representaciónde las fuerzas que actúan sobreun paracaidista en des- censo. FD es la fuerza hacia abaiodebido a la atracción de la grave- dad. Fu. es la fuerzahacia arribadebido a la resistencia del aire. ecuación (l.1) paradar dv dt m - = F u31 donde u es la velocidad en centímetros porsegundo). Así, la masa multi- plicada porla razón de cambio dela velocidad es igual a la suma de fuer- zasqueactúansobreel cuerpo. Si lafuerzatotal es positiva, el objeto acelera. Si esnegativa, el objeto sufreuna desaceleración. Si lafuerza neta es cero, lavelocidaddel objeto permanecerá a un nivel constante. Para un cuerpo que cae dentro del perímetro de latierra (Fig. l.1), la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias:la atracción ha- cia abajo debida a la gravedad F D y la fuerza hacia arriba debida a la re- sistenciadelaire Fu. Si a lafuerza hacia abajo se leasigna un signopositivo, se puedeusar la segunda leyparaformularlafuerzadebida a lagravedad como donde g es la constante de gravitación, o la aceleración debida a la gra- vedad, queesaproximadamente igual a 980 cm/s2.
- 27. 14 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS La resistencia del aire puede formularse de diferentes maneras. Una aproximación sencilla es suponer que es linealmente proporcionala la ve- locidad, como en donde c es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de arrastre (en gramos por segundo).Así, a mayor velocidad de caída, ma- yor es la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto descendente, talescomo la forma o la aspereza de su superficie, que afectanla resistencia del aire. Para este caso, c podría ser una función del tipo de traje o la orientación usadaporelparacaidistadurantelacaídalibre. La fuerzatotal es la diferenciaentrelasfuerzashacia abajo y hacia arriba. Portanto, las ecuaciones (1.3)a (1.6)pueden combinarse para dar dv dt m- = mg - cv o, dividiendocadaladoentre m, dv C dt m ” - 9 - - v La ecuación (1.8)es un modelo que relacionala aceleración de un cuer- po que cae a las fuerzas que actúan sobre él. Es una ecuación diferencia[ porque está escrita en términosde la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Por esta razón a veces se deno- mina ecuación en diferencias. Sin embargo, en contraste con la solución dada porla segunda ley de Newton en la ecuación(1.2),la soluciónexacta de la ecuación (1.8)para la velocidad del paracaidista quecae, no puede obtenerseusando simples manipulaciones algebraicasy operacionesarit- méticas. Envez de eso, deberánaplicarselas técnicas delcálculopara obtener una solución exacta. Por ejemplo, siel paracaidista inicialmente está en reposo (u = O en t = O), se puede usarelcálculopararesolver la ecuación (1.8),así EJEMPLO 1.1 Solución analítica al problema del paracaidista que cae Enunciado del problema: un paracaidista con una masa de 68 100 g sal- tade un aeroplano. Aplíquese la ecuación (1.9)paracalcular la veloci-
- 28. MÉTODOS MATEMATICOS 15 FIGURA 1.2 Soluciónanalítica al problema del paracaidista que cae según se calcula enel ejemplo l. l. La velocidad aumenta con el tiempo y se aproxima asintóticamente o una velocidad final. dadantes de abrir el paracaídas. El coeficiente de arrastre c es aproximadamente igual a 12 500 g / s . Solución: al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.9) se obtiene I 980(68,100) v (t) = [I - e-t12.500/68.1001f 12,500 1 = 5339.0 (1 - e-0 18355t ) al dar varios valores de t se obtienen las velocidades para dicho tiempo: los resultados se presentan a continuación t, S v, cm/s O O 21640.5 4 2776.9 6 3564.2 10 4487.3 12 4749.0 X 5339.0 a 4109.5
- 29. 16 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS De acuerdo al modelo, el paracaidista acelera rápidamente (Fig. 1.2).Se llega a una velocidad de 4 487.3cm/s (161.5km/h) despu6s de 10 s. Nótese también que después deun tiempo suficientemente grande se al- canza una velocidad constante (llamadavelocidad final) de 5339.0cm/s (192.2km/h). Esta velocidad es constante porque después de un tiem- po suficiente, la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia del aire. Por lo tanto, la fuerza total es cero y cesa la aceleración. A la ecuación (1.9)se le llama una solución analítica o exacta porque satisface exactamente la ecuación diferencial original. Desafortunadamen- te, hay muchos modelos matemáticos que no puedenresolverse exacta- mente. En muchos de estos casos,la única alternativa es la de desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta. Como se mencionó con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático paraque se puedaresolver me- diante operacionesaritméticas. Esto puede ilustrarse para la segunda ley de Newton notándose que se puede aproximar la razón de cambio de la velocidad conrespecto al tiempomediante (Fig. 1.3) [1.10] FIGURA1.3 USO de una diferenciafinita paraaproximarlaprimeraderivadade v con respecto a t.
- 30. METODOS MATEMATICOS 17 donde Au y At son diferencias enla velocidad y el tiempo calculadas so- breintervalosfinitos, u(t,) es lavelocidadeneltiempoinicial t,, y u(t,+I) es la velocidadalgúntiempo más tarde t,, Laecuación (l.10)es una diferencia finita diuida enel tiempo ti. Puede sustituirseenla ecuación (1.8)paradar Estaecuaciónpuedeordenarseotra vez paradar u(t1+1) = U@¡) + 9 - -u(ti) &+I - ti) [ : I [1.12] Y así, la ecuacióndiferencial (1.8)se transforma enuna ecuación qGe puederesolversealgebraicamentepara u(ti+J . Si se da un valorinicial para la velocidad en un tiempo ti,se puede calcular fácilmente u en t!, Este nuevo valor de u en ti+lpuede emplearse para extender el cálculo de u en ti+2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquiertiemporde la trayectoria, Nuevovalor - valoranteriorvalorestimuladoincremento de u + de lapendiente x deltiempode u - EJEMPLO 1.2 Soluciónnumérica al problema del paracaidistaquecae Enunciado del problema: efectuarel mismo cálculo que en el ejemplo l.1 perousando la ecuación (1.12)paracalcular u(t) con un incremento de tiempo igual a 2 s. Solución: alprincipio de los cSlculos (tl =O), la velocidaddel paracai- dista uft,) es igual a cero. Conestainformación y los valoresde los pa- rámetros del ejemplo l.l, la ecuación (l.12)se puede usar para estimar v (ti+1)en ti+l = 2 s. Para el siguienteintervalo (de t = 2 a 4 S), se repiteelcálculoconel re- sultado, ~ ( 4 )= 1960 + 980 - ___ [ 68l2500100(1960+ = 3200.5 cmis
- 31. 20 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS significat~voasociadocon los puntos de los datos. i) Los sistemas grandes de ecuaciones. las no linealidades 51 las geometrías com- plicadas son comunes enla práctica de la ingeniería y fáciles de resolver analí- ticamente j) Los modelosmatemáticos no sepueden usar nunca con propósitos depre- dicción. 1.2 Léanse las siguientes descripciones de problemase identifíquese qué área de los métodos numéricos (según lo señalado enla Fig. 1.2)se relaciona con su solución. Una persona pertenece a una cuadrilla de reconocimiento topográfico y debe determinar el área deun terreno limitado por dos caminos y una corriente que serpentea Un ingeniero es responsable de la determinación de losflujos en una gran red de tuberías interconectadas entre sí para distribuir gas natural a una serie de comunidadesdiseminadasen un área de 20 km2 Para el problema del paracaidista que cae. se debe decidir el valor del coefi- ciente de arrastre para que un paracaidista de 90 kg de masa no exceda los 160km/h en los primeros 10 S después de haber saltado. Deberá hacer esta evaluación sobre la base. de la solución analítica [Ec. (1.9)]. La información se empleará para diseñar un tra~edesalto. Un investigador efectúa experimentos para encontrar la caída de voltaje a tra- vés de una resistencia como una función de la corriente. Hace las mediciones de la caída de voltaje para diferentes valores de la corriente Aunque hay al- gún error asociado con sus datos, al91-aficar los puntos. éstos le sugieren una relación curvilínea. Debe derwar una ecuación que caracterice esta relación. Un ingeniero mecánico tiene que desarrollar un sistemade amortiguamiento para un auto decarreras. Puede usar la segunda ley de Newton para tener una ecua- ción para predecir la razón de cambio en la posición de la rueda delantera en respuesta a fuerzas externas. Debe calcular el movimiento de la rueda. como una función del tiempo después de golpear contra un tope de 15 cm a 240 km/h. Un administrador tiene que calcular el ingreso anual requerido en un periodo de 20 años para un centro de entretenimientos que se va a construir para un cliente. El préstamo puede hacerse a una tasa de interés del 17.6"; Aunque para hacer este estimado. la información está contenida en tablas de econo- mía, sólo aparecen listados los valores paratasasde interés del 15 y 20% 1.3 Proporciónese un ejemplo de un problema de ingeniería donde sea oportuno cada uno delos siguientes tipos de métodos numéricos. En IO posible. remitasr el ejem- plo de las experiencias del lector en cursos y en conferencias u otras experiencias profesionales que haya acumulado hasta la fecha. a) Raíces deecuaciones b) Ecuaciones algebraicas lineales c) Ajuste de curvas: regresión d) Ajuste de curvas: interpotación el Integración fi Ecuaciones diferenciales ordinaria5
- 32. C A P I T U L O D O S LA PROGRAMACION EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES Los métodos numéricos combinan dos en las herramientas más impor- tantes en el repertorio de la ingeniería: matemáticasy computadoras. Los métodos numéricos se pueden definir (sin ser muy exacto) como las ma- temáticas por computadora. Las buenas técnicas de programación aumen- tan la habilidad para aplicar los conocimientos de los métodos numéricos. En particular, las potencialidades y limitaciones de las técnicas nu- méricas se aprecian mejor cuando se usan estos métodos para resolver los problemas de ingeniería utilizando como herramientauna compu- tadora. Al usar este libro se obtiene la posiblidad de desarrollar los propios programas. Debido ala gran disponibilidad de computadoras personales y dispositivos de memoria magnética, los programas se pueden conser- var y usar durante toda la carrera. Por lo tanto, uno de los principales objetivos de este texto es que el lector obtenga programas útiles y de alta calidad. Este texto contiene características especialesque maximizan esta po- sibilidad. Todas las técnicas numéricasvan acompañadas de material pa- ra una implementación efectiva en la computadora. Además, se dispone de programas suplementarios para seis de los métodos más elementales discutidos enel libro. Estos programas, desarrollados para computadoras personales (IBM-PC y Apple 11), pueden servir como base para una bi- blioteca de programas propios. Este capítulo presenta una información preliminar que tiene utilidad siempre y cuando se desee usar este texto como base para el desarrollo de programas. Está escrito bajo la suposición de que ya se ha tenido una experiencia previa en la programación de computadoras. Debido a que ellibro no está enfocado hacia un curso de programación, se estudian únicamente aquellos aspectos que definen el desarrollo de programas de análisis numérico. También se propone proporcionarcriterios específicos para la evaluación de los esfuerzos del lector.
- 33. 22 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 2.1 ANTECEDENTES HISTóRICOS En el sentido más amplio, una computadora se puede definir como un dispositivo que ayuda acalcular. Con base en esta definición, una de las computadoras más antiguas es el ábaco. Descubierto en el antiguo Egip- to y en China, se compone de cuentashiladas sobre alambresen un marco rectangular (Fig. 2.la). Las cuentas se usan para guardar potencias de10 (unidades, decenas, centenas, etc.) durante un cálculo. Cuando se emplea con destreza, el ábaco puede competir en velocidad con una calculadora de bolsillo. Aunque los dispositivos manuales tales comoel ábaco aceleran la ve- locidad en los cálculos, las máquinas extienden aún más las capacidades humanas para estos cálculos.Estimuladospor la revoluciónindustrial, los científicos del siglo XVII desarrollaron la primera de tales computadoras mecánicas. Blas Pascal inventó, en 1642,una máquina para sumar (Fig. 2.lb). AI final de ese siglo, Gottfried Leibnitz desarrolló una calculadora mecánica que podía multiplicar y dividir. Aunque en los siglos siguientes se desarrollaron otros instrumentos de cálculo, no fuesino hasta la década de 1940cuando surgieron las com- putadoras electrónicas. Se originaron, inicialmente para proyectosmilita- res en la segunda guerra mundial, erandispositivos de investigación para un solo propósito. Estas máquinas, con nombres comoENIAC Y EDSAC, usaron tubos al vacío como componentes electrónicos básicos. Aunque eran caras, lentas y a menudo desconfiables, estas computadoras de la primera generación auguraban un procesamiento de datos agran escala. Aunque algunas máquinas de la primera generación, en especial la UNIVAC,se vendieron a nivel comercial, no fue sino hastala década de 1960 que las computadoras estuvieron disponibles para una gran canti- dad de científicos e ingenieros. Esto se debió al desarrollo de los transis- tores y de algunos dispositivoselectrónicos de estadosólido que suplieron a los tubos al vacío creando computadoras que, entre otras cosas, eran más confiables. Aunque el uso de estas computadoras se extendió, su acceso era algunas veces limitado ya que las máquinas seguían siendo muy caras para quela mayoría de los profesionistas las obtuvieran indivi- dualmente.Por lo tanto, los ingenierosdebíanasociarsecon grandes organizaciones talescomo universidades, oficinas gubernamentales, cor- poraciones o firmas consultoras para tener acceso a las computadoras. Sin embargo, a la mitad de la década de 1960 y principios de la dé- cada de1970un adelanto en la técnica alteró dramáticamente esta situa- ción. En particular, el reemplazo de los transistores por circuitos integrados ha producido un gran poder computacional en el medio profesional de los ingenieros. Un circuito integrado, o CI, consiste en una pastilla delga- da de silicón donde se han colocado miles de transistores. El resultado práctico de esta innovación ha sido en dos aspectos. Primero, en el nú- cleo de la máquina o la parte central de las computadoras, las velocida-
- 34. LA PROGRAMAC16NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 23 FIGURA 2.1 Evolución de los dispositivos de cálculo: a)ábuco; b)calculadora de Pas- cal; c) supercomputadora y d) microcomputadora o computadora per- sonal (los incisos b y c con permiso de IBM; el inciso d con permiso de AppleComputer,Inc.). des y la capacidaddememoriason muy grandes. Segundo, y más importante en el contextoactual,las computadoras personales que soncon- venientes, pequeñas, rápidas y confiablesse están produciendo en masa y a precios razonables.Como se expresóen un artículo de la revistaScien- tificAmerican: “Las microcornputadoras dehoy día a un costo talvez de $300 dólares, tienen más capacidad de cómputo que las primeras com- putadoraselectrónicasgigantescas ENIAC. Son 20 veces másrápidas,
- 35. 24 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 2.1 Comparación de sistemascomunes de cómputo* Longitud Cifrasde significa-palabraCostodecálculo,almacena- Sistema tivas bits(dólares) ciclosls miento (K) Calculadora O 25-3501-2 Microcomputadora 7-1 O 7-1 6 100-5000 106-1 o7 16-256 Minicornputadora 7-1 O 16-32 15,000-1 20,000 106-1 o7 128-51 2 Cornputadoras 7-1 4 32 100,000-1 o,ooo,ooo+ 106-1 o* 8000-32,000 prograrnable grandes * Condensodo de AuerbochComputer Technology Reports, Agosto 1983. tienenunamemoriamayor,sonmilesdevecesmás confiables, consu- menla energíade un bulboenvezdeladeuna locomotora,ocupan 1/30O00 de volumen y cuestan 1/10 O00 parte. Se pueden obtener por unaordenpostal o encualquiertiendaespecializada” (Noyce, 1977). Lascomputadoraspersonales se agrupan,por lo general enunade dos categorías que a veces no están biendelimitadas:micro y minicom- putadoras. Las rnicrocornputadoras sonaquellascuyafunciónprincipal está contenida enunasolapastilladecircuitointegrado.Comúnmente cuestan unos miles de dólares.Las minicomputadoras son un término más imprecisoque se refiere a computadorasquesonmáspotentesque las micros pero caen aún dentro de las posibilidades de compra de algunas personas y pequeñascompañías.Ambostiposdecomputadorasestán encontrasteconcomputadorasgrandes, o supercornputadoras, que se manejan en intervalos de millones de dólares y sus propietariosson, por lo general, organizaciones o compañías muy grandes. El cuadro 2.1 re- sume lainformacióngeneralsobrevariostiposdecomputadoras. Larevoluciónenelcampodelestadosólidohaabiertolaspuertas en el área computacional a cada ingeniero.Sin ernhnrgo, no importa qué tipo de computadora se use, ésta sólo tiene utilidadsi se le proporcionan instrucciones precisas. A estas instrucciones se les conoce como progra- mas.Lassiguientesseccionescontieneninformaciónqueserá útil para el desarrollodeprogramasdealtacalidadpara utilizar los métodos nu- méricos. 2.2 DESARROLLODE PROGRAMAS El material de este capítulo está organizado alrededor de cinco temas, es- quematizados en lafigura 2.2, requeridos para la elaboración y cuidado deprogramasdealtacalidad.Estecaljitulocontieneseccionesque cu- bren cadaunode estos pasos.Estematerialincluye un casodeestudio dondecadaunode los pasosseaplicaparadesarrollar un programa y resolverelproblemadelparacaidista.Despuésdeasimilar este material,
- 36. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 25 el estudiante debe estar mejor preparado para desarrollar programas de altacalidadpara los métodos delrestodellibro. 2.2.1 Diseño de algoritmos Se puede ahora empezar con el proceso de desarrollar programas para una computadora. Un programa es simplemente un conjunto de instruc- ciones para la computadora. Todos los programas que se necesitan co- rrerenuna computadoraparticular,en conjunto se lesllama software. FIGURA 2.2 Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de al- ta calidad .Las flechas hacia atrás indican que los primeros cuatro pasos se pueden ir meiorando conforme se gane experiencia.
- 37. 26 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS Un algoritmo es una secuencia l6gica de pasos necesarios paraejecu- tar una tarea específicatal como la solución de un problema. Losbuenos algoritmos tienen ciertas características. Siempre deben terminardespuk de unacantidadfinita de pasos y deben ser lomás general posible para tratarcualquier caso particular. Los buenosalgoritmosdebenser deter- minísticos; esto es, no debendejarnada al azar. Los resultadosfinales no pueden ser dependientes de quién esté usando el algoritmo. En este sentido, un algoritmo esanálogo a una receta. Doscocineros que prepa- ran independientemente unabuenarecetadeben obtener dos platillos idénticos. La figura2 . 3 ~muestra un algoritmo para la solución de un problema simplequesumados números. Dos programadoresquepartandeeste algoritmopuedendesarrollardosprogramasconestilos diferentes. Sin FIGURA 2.3 a) Algoritmo y b) diagramade fluio para la solucióndel problema de una sumasimple.
- 38. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 27 embargo, dados los mismos datos, los programas deben arrojar los mis- mosresultados. Una forma alternativade representarun algoritmo es medianteun dia- grama de flujo. Estaesunarepresentaciónvisual o gráficadelalgoritmo que emplea una serie de bloques y flechas. Cada bloque enel diagrama representaunaoperaciónparticular o un paso enelalgoritmo. Las fle- chas indican la secuencia en que se implementan las operaciones. La fi- gura 2.4 ilustra ocho tipos de bloques y flechas que conformanla mayor parte de las operaciones que se requierenen laprogramacióndeuna computadora personal. Lafigura 2.3b muestraun diagrama de flujo para el problemasimpledesumardosnúmeros. Los diagramasdeflujotienen unautilidadparticularpara bosquejar algoritmoscomplicados. En estos casos, un bosquejo gráfico puede serútil para visualizar el flujo lógico del algoritmo. En este texto, se hanincluidodiagramasdeflujoparala ma- yor partede los métodosimportantes. Se puedenusarestosdiagramas como basepara el desarrollodesuspropiosprogramas. 2.2.2 Composición de un programa Después de confeccionarun algoritmo, el paso siguiente es expresarlocomo una secuencia de declaracionesde programación llamado código. Esim- portante resistir la tentación de escribir el códigoantesdequeelproble- maen su totalidad esté claramente definido y la técnica de solución y el algoritmo hayan sido cuidadosamente diseñados. Lasdificultades que más comúnmente encuentran los programadoressin experiencia se deben por lo general a lapreparaciónprematura de un código que no abarque un plan o unaestrategia total, para la solucióndelproblema. Después que se ha diseñado un buen algoritmo, el código se escribe en un lenguaje de alto nivel para una computadora.Se han desarrollado cientos de lenguajes de programación de altonivel desde que la era de las computadoras empezó. Entre ellos, haytresquetienenimportancia paracomputadoras personales: BASIC, FORTRAN y PASCAL. FORTRAN, es la construccióndefórmulatranslation(traducciónde fórmulas),y se desarrolló enla década de 1950. Debido a que fue expre- samente diseñado para cálculos, hasidoel lenguaje más usado en la in- geniería y la ciencia. BASIC, es la contracción de beginner’s all-purpose symbolic instruc- tion code (clave de instrucciones simbólicas de propósito general para prin- cipiantes),fuedesarrolladoenla década de 1960. Requiere unacantidad pequeña de memoria y es relativamente simple de implementar.En con- secuencia es uno de los lenguajes másusadosenlas computadorasper- sonales; sin embargo, el BASIC no es tanflexible como el FORTRAN y a veces no es conveniente paraprogramasgrandes o complejos. El PASCAL, que debesu nombre al científico francés BlasPascal, esun lenguajeestructuradoquesedesarrolló enla década de 1970. Los pro- gramasescritos en Pascalpara una computadoradeterminadapueden
- 39. 28 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 2.4 Símbolos utilizados en diagramas de fluio.
- 40. LA PROGRAMACldN EN LASCOMPUTADORASPERSONALES 29 ser corridos fácilmente en otra. Aunque el Pascal es másdifícilde apren- derqueel BASIC y el FORTRAN, sufuerzasugierequesuimportancia crecerá en el futuro. Esto es verdad para la programación avanzadaa gran escala. BASIC y FORTRAN son convenientes para programas simplesy cortos que son suficientes parala implementación de los métodos numéricosde estelibro.Por lo tanto, se ha optadoporlimitarlaspresentacionesdel texto,a programas en estos lenguajes. BASICes unaalternativaobvia por su amplia disponibilidad.Se ha incluido el FORTRAN por su signifi- cado continuo enel trabajo de ingeniería. Aunque este libro hace énfasis enlas computadoras personales, puedeusarseporaquéllosquetienen acceso a máquinas más grandes y en conjunción con cualquier lenguaje dealtonivel.Con este espíritu, los programas y diagramasdeflujoson lo suficientementesimples como paraquepuedanservirdebaseenel desarrollodeprogramasparaaquéllosquesonexpertosen Pascal. Una descripción completa delBASIC y el FORTRAN, obviamente va más allá del alcance de este libro. Además, el número de dialectos dispo- niblesen cada lenguajecomplicaaúnmássudescripción.Por ejemplo, existen más de 10 dialectos derivados del BASIC. Sin embargo, limitan- do ladiscusión a lo fundamental, se puede cubririnformaciónsuficiente de forma tal que se pueda entender e implementar efectivamenteel ma- terialrelacionadocon la computadora enel resto dellibro. Enlafigura 2.5 SF! presentan los códigos en FORTRAN y BASIC pa- ra sumar dosnúmeros, mostrando las diferencias estructurales principales entre los dos lenguajes, el etiquetado y el espaciamientode código. En BASIC, cada instrucción se escribe con un número. En contraste,en FOR- TRAN se etiquetancon un número sólo aquéllasinstruccionesque re- quierenidentificación.Por ejemplo, lainstrucciónque tiene la etiqueta número 1 en la versión FORTRAN de la figura 2.5 se llama una declara- SIC c I FIGURA 2.5 Programadecomputadora en FORTRANy BASIC para el problemade la suma simple.
- 41. 30 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS ción FORMAT. Especifica la forma en que seva a introduciro a imprimir una línea particular. Por lo tanto, se debe etiquetar con un número para que la computadora pueda distinguirla de otras declaracionesFORMAT. Las declaraciones FORTRAN se deben numerar para otros casos pero la mayor parte, por lo general van sin numerar. Otra diferencia entre los dos lenguajes es el espaciamiento de cada línea; en BASIC, por lo general el espaciamiento no tiene importancia. Por ejemplo, la línea 10 se pudo haber escrito de las siguientes formas 10 A = 25 1OA=25 10 A = 25 y la computadora debe interpretar todas las formas como equivalentes. En contraste, los términos en FORTRAN se deben alinear en columnas específicas. Las reglas sobre la alineación provienen del hecho de queel FORTRAN se introducía originalmenteen una computadora usandolec- tora de tarjetas. Aunque las tarjetas se emplean menos frecuentemente hoy en día, las reglas de espaciamiento por lo general se han conservado. A las 80 columnas de la tarjeta perforada se les llama campos de la tarjeta. Los campos de la tarjeta se agrupan por partes para diferentes propósitos. Estos se ilustran en la forma de codificación de la figura 2.6. Una forma de codificación es un pedazo de papel donde se puedeescri- bir y verificar un programa para revisarlo de errores antes de introducirlo a la computadora. Nótese que también contiene80 columnas al igual que una tarjeta perforada. También obsérvese que cada una delas partes de los campos se usa para propósitos particulares. Aparte de la estructura, los dos lenguajes tienen otras diferencias así como fuertessimilitudes. En el cuadro 2.2 se delinean éstas. Este cuadro muestra comparaciones en paralelo deseis elementos principalesde pro- gramacióc que tienen importancia directa en el uso de los métodos nu- méricos. Estos son: 1. Constantes y variables. Se debenseguirciertasreglasparaexpresar números y nombres simbólicos en los dos lenguajes. Como se puede ver en el cuadro 2.2 ésta es un área en donde elBASIC y el FOR- TRAN son muy diferentes. 2.Entrada-salida. Éstas son instrucciones mediante las cuales se trans- mite información de y hacia la computadora. He aquíotra área donde los lenguajes muestran diferenciasconsiderables.Aunque la mayor parte de los lenguajes modernos mejoran esta situación, históricamente las capacidades de entrada-salidadel BASIC, han sido muy limitadas. En constraste, las declaraciones FORMAT del FORTRAN son herramientas muy potentes para etiquetary espaciar la salida. Sin embargo, son de las declaraciones de programación más difícilespara un novato y aun para un experto.
- 43. 32 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. FORTRAN y BASIC son lenguajes de computadora fáciles de aprender y de practicar, en general son los primeros lenguajes de programación que se les enseña a los estudiantes de ingeniería. Como sucede con muchoslenguajes de programación, existen varios aspectos que hacen dificil entender su uso. La siguiente comparación resulta del intento de bosquejar las diferencias generales y las similitudes entre FORTRAN y BASIC y a la vez servir de referencia rápida y como recordatorio. Se pueden consultar otras fuentes para los detalles referentes Q cada uno de los lenguajes. Este resumen se limita y se enfoca a la vez al material que tiene importancia directa con los metodos numéricosy con los programas descritos en el texto. FORTRAN BASIC CONSTANTES Y VARIABLES (Representan los números y caracteres usados a lo largo del programa) Constantes Son valores positivos o negativos,(excluyendo las comas o los símbolos especiales) que se mantienen inalterados a lo largo del programa. EnterosConstantesnuméricas sonconstantes que no contienenpuntosonnúmerosenteros o reales con punto decimal: decimal: 1, -2, 100 1, -2.0, 0.001,100 Constantes reales: contienenpunto decimal: 1.o, -2., 0.001 Exponenciales sonconstantesescritasen notación científica. Por ejemplo, los números: -12 000,0.000 006 8, 386 O00 O00 se expresan ennotación científica como: -12 x lo3,6.8 x 3.86 x 10’ y se pueden escribiren FORTRAN y BASIC como: -12E3, 6.8E-6, 3.86E8 Constantes alfanuméricas y cadenas de caracteres representan letras, números y símbolos que se usanenestetexto para etiquetar. Las cadenas de caracteres tienenotras aplicaciones,incluyendo el USO de expresiones de relación. En FORTRAN se encierrancomo: En BASIC se encierran como: ‘JOHN DOE’, ’INTRODUCE B’ “VALOR DE A =”, “8/5/48”
- 44. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 33 CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.) FORTRAN Variables numéricas representan cantidades que pueden cambiar de valor. Se usan para estas variables los nombres simbólicos, que deben empezar con una letra y no pueden contener símbolos especiales. Nombres de variables Nombres de variables consistende uno aseis caracteres, desde constan dedos caracteres (mós en algu- la A a la Z y del O a 9: nos dialectos) dela A a la Z y del O al 9: Variables enteras AA, X, N1 representanvaloresenteros y empiezanrepresentanvalores reales o enteros. con las letras I a la N: N,KOUNT, lNDl Variables reales representanvaloresreales y empiezan con las letras A a la H y O a la Z: X, COUNT, VEL1 Variables de caracteres o cadenas representan cadenas alfanuméricas y de caracteres. Se usan nombres simbólicos. .El tratamiento de las cadenas de caracteres varía considerablemente entre diferentes versiones Declaración CHARACTER Cadenas variables son de la forma:terminancon $. La longitud de la varia- CHARACTER * n vorl,vor2 ble es limitada. A$, N1$ donde n es la longitud específica dela cadena de caracteres seguidapor una lista de variables. Por ejemplo, CHARACTER * 4 NOMBRE1,NOMBRE2 Arreglos son variables con subíndiceque almacenan un conjunto de valores envectores de una dimensión y en matrices multidimensionales. El espacio de almacenamiento suficiente para un número dado de elementos se especifica mediante ~~ Declaración DlMENSldN Declaración DIM DIMENSION A(n),ISUM(n,,n2) DIM A(n), IS(nl,n2) Se permiten hastasietesubindices que La declaración DIM, en general se limita a deben ser enteros positivos. arreglos bidimensionales; las n pueden Los arreglos no dimensionados generan ser variables. un error. Los arreglosnodimensionados suponen un valor den = 10.
- 45. 34 M~TODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 2.2. Referenciarápida:comparacióndeFORTRAN y BASIC. (cant.) FORTRAN BASIC La declaración DIG-ENSION se debe co- La declaración DIM se debe colocar antes locar antes de cualquier declaración de la primera línea dondelavariable ejecutable. dimensionada se va a usar. En caso de no ir, supone el valorn = 10. El redi- mensionamiento generaa unmensaje de error. Las variables definidas en la declaración DIMENSION (esto es,A o ISUM)tienen la misma regla de las variables numéri- cas "esto es, el arreglo A debe conte- ner valores reales, mientras que el arreglo ISUM debe contener valores enteros. ENTRADAlSALlDA qué medios se transmite información a y desde un programa), Declaraciones de formato especifican la longitud y la posición de cada uno de los datos, que se vana leer o a imprimir. Aunque en laentraday salida de da- Aunque existe Io declaración de formato tos existe formato libre, el FORTRAN para lectura o impresión de datos, las estándar, en general impone un for- versiones recientes de BASIC no lo em- mato de lectura o impresión. pleon. Entrada especifica los medios por los cuales se transmitendatos al programa Declaración READ permitenintroducirdatos alprograma durante su ejecución: READ f varl,vur2,. . . , vur, donde f esun código de formato que especifica el tipo, disposición y, en algu- nos casos, el dispositivo usado para leer los valores de var], var2, . . ., varn. Por ejemplo: READ (5,2)A,B donde el 2 es la etiqueta donde está la declaración FORMAT correspondiente y el 5 especifica que los datos se obten- drán de unalectora de tarjetas. Declaración DATA son declaraciones no ejecutables que defi- nen el valor inicial de una variable. Tienen laformageneral. Declaración INPUT Permitenintroducir datos at programa durante su ejecución: In INPUT varl,vur2,. . . , var, donde Ines el número de líneas donde está la declaración INPUT y var,, var2, . . ., var, son los nombres de las varia- blescuyosvalores se vanaleer. Por ejemplo: 10 INPUT A,B Cuando se ejecutaestainstrucciónse deben introducir los valores de A y B en undispositivo,tal como el teclado. DeclaracionesREDlDATA consiste de una declaración READ asocia- da a una declaración DATA que contie- ne los valores que se van a leer, como:
- 46. LA PROGRAMACldN EN LASCOMPUTADORASPERSONALES 35 CUADRQ 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC.(cont.). FORTRAN BASIC DATA var,, , . .,var,,lvalor,, 10 READA,B,C,Z . . .,valor,,/ donde var es el nombre de la variable y valor es una constante. Por ejemplo: 90 DATA5,0.001,88,1 E-6 DATA A,B,C,Z/5.,0.001,88.,1.E-6/ Salida esel medio por el cual se transmiten datos del programa. DeclaraciónWRITE Declaración PRINT se usa comúnmente para imprimir datos. se usa comúnmente para imprimirdatos. Su formageneral es: Su formageneral es: WRITE fvarl, . . . , vur, In PRINT varl, . . . , var, Por ejemplo: WRITE (6,2)A,B Por ejemplo: 10PRINTA,B donde (6,2) es el código de formato, el Enel momento que esta declaración 2 es la etiqueta de la declaración FORMAT se ejecuta, los valores de A y B se impri- correspondiente y el 6 especifica que los men en un dispositivo tal como la panta- datos se imprimirán en una impresora. lla o unaimpresora. IcA1cu10s (Operaciones que usan expresiones matemáticas)1 Declaracionesde asignación se usan para asignar un valoraunavariable: XM=3.281 indica a la computrdora que asigne el valor 3.281 a lavariable XM; A=XM+5 indica a la computadora que sume 5 a XM y le asigne el resultado (en este caso, 8.281) alavariable A; A=A+40 indica alacomputadora que sume 40 a A y le asigne el resultado (en este caso, 48.281) ala variable A. El valor anterior de A se destruye enel proceso. Nóteseque,aunque A = A + 40 no es una expresión matemática válida, tiene un significado especial dentro de la computadora. AI signo de igual en la declaraciónde asignación se le puededar un significado de "se reemplaza por", como en: A se remplazapor A+40 + - Operadores aritméticos sonsímbolos usados para representar operaciones matemáticas: Suma Resta + - ...
- 47. 36 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 2.2 Referenciarápida:comparacióndeFORTRAN y BASIC. (cont.). FORTRAN BASIC * Multiplicación * i División i ** Exponenciación **, ?,A (El signode exponenciación dependedel tipo de BASIC) Si una expresiónaritméticatuvieratodos los operadores, el orden en que se efectuaríansería: primero, todas las exponenciaciones deizquierda a derecha en BASIC, Applesoft y Microsoft, y de derecha a izquierdaen FORTRAN; a continuacidntodaslasmultiplicacionesydivisiones de izquierda a derecha, y finalmentetodaslassumasyrestas de izquierda a derecha. Cuando una expresiónpresentaparéntesis, laformade efectuarlos es del másinterno al más externo. x = $0 + 3":- "y4 45 X=(((A+B)-R**3)/33-Y**4/45)**.5 X=(((A+B)-RA3)/33-YA4/45)A.5 CONTROL (Dirigen el flujo del programa mediante saltos, transferencias y reasignacianes) Dedaración GO TO especificaunsalto incondicional aun número de líneaespecífico: GO TO 200 .EQ. .NE. .IT. .LE. .GT. .GE. .AND. .OR. Operadores lógicos se usan para comparar los valores de , .Igual a diferente de menor que menor o igual que mayor que mayor o igual que lógica dosexpresiones: - < > < < = > > = - AND OR Declaración lógica If se utilizan para la toma de decisiones, de acuerdo al valor verdadero a falso que tenga una expresión lógica IF(N.GT.l .OR.N.LT.3)N=2 IF(N.GE.l) GOTO 10 IF(N>l)OR(N<3)THEN N=2 IF N>=l THEN 10 En los ejemplos anteriores, si la expresión lógica se cumple, seejecuta la transferencia o la asignación. En el primer ejemplo, si N es mayorque 1 a
- 48. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 37 CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.). FORTRAN BASIC menor que 3, entonces N se iguala a 2 y el control pasa a la siguiente línea. En el segundo, si N es mayor o igual a 1, el programo se transfiere a la línea 1O. En cualquier caso, si la expresión es falsa, no se ejecuto la transferencia o reasignación y el control se pasa a la siguiente línea. Ciclos permiten repetir cálculos con una cantidad mínima de declaraciones Ciclos con IF lógico repiten calculos que se controlan con base en la declaración IF: 1 0 X=Y(I)*Z(I-1) IF(X.LT.O)GO T O 50 GO TO 10 1=1+1 50 X=-X 10 X=Y(I)*Z(I-1) 20 IF X<O THEN 50 30 I=!+l 40 GO T O 10 50 X=-X Ciclos controlados por un indice Ciclos DO CiclosFORlNEXT DO In I=j,n,k FOR I = i T O n STEP k In C O N T I N U E In NEXT I donde In es el número de línea de la ú h a declaración del ciclo, ies el valor inicial del contador, n es el valor final o terminal y k es el incremento dado a la variable I para que.varíe desde j hasta n. Después de terminar el ciclo, valor de n + k siempre y cuando Isea múltiplo de n. SUBPROGRAMAS: FUNCIONES Y SUBRUTINAS (ejecutan una proposición o un conjunto de proposiciones que se repiten varias veces a lo largo de un programa) , I tiene el Funciones intrínsecas operaciones matemáticas o trigonométricas que se emplean comúnmente. ~~ ~ son funciones construidas internamente o funciones de biblioteca que realizan SIN Seno cos T A N Coseno ALOG o LOG Tangente Logaritmo natural o de base e ALOG o LOGIO EXP Logoritmo común o de base 10 Exponencial SQRT Raíz cuadrada ABS Valorabsoluto I N T El entero más grandeque Es menor o igu:?! a x SIN cos TAN L O G EXP SQR ABS INT
- 49. 38 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparacióndeFORTRAN y BASIC.(cont.). FORTRAN SOL. donde x es el argumento de la función. Nótese que la listaanteriorno está completa.Dependiendode la versióndel compiladorpueden existirmás funcio- nes intrínsecas. Funciones definidas por el usuario son funcionesdefinidas por el programador. Declaración de funciones son de la forma: narnbre(xl, . . . ,xn) = f donde nombre es el nombre de la fun- ción (se puede dar cualquier nombre); x , , . . .,x,,son variablesnuméricas que no tienensubíndice y f es unaexpre- siónaritméticaquedependede x , ,. . .,x,,. Las declaraciones de funciones van antes de laprimera proposiciónde ejecutable. Se puedenpasar variosargumentosen unadeclaración de unafunción. Las otras variables dentrode lafunción tie- nen el mismo valor que en el programa principal en el punto donde se llama la función. TRIG(X,Y)=SIN(X)-LOG(Y) A=5 )'&&B=10 S=TRIG(A,B) Declaración DEF son de laformageneral: in DEF FNa(x) = f donde In es el número de línea, a es cualquier letra del alfabeto, x es una variable numérica (sinsubíndice) y f es una expresión aritmética que es función de x . La declaración DEF va antes de ejecutar dichafunción. Se puede pasar sólo argumentos en una declaración DEF. Lasotras variables dentro de la función tienen el mismo va- lor que enel programa principal enel punto donde se llamaa la función. 10 DEF FNT(X)=SIN(X)-LOG(B) r 70A=580 E= 10 990 S=FNT(AJ Subprogramas Function se parecen alas declaraciones de funcio- nes en la ejecución pero, como su nom- bre lo indica, son programas, esto es, consisten de varias líneas. Los subpro- gramas tipofunctionson de lo forma general: FUNCTION name(xl,. . . x2j nombre = f RETURN donde todos los valores que toma la funciónsonaquellos que se definen a1 llamaradicha Función.
- 50. LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORASPERSONALES 39 CUADRO 2.2 Referenciarápida:comparacióndeFORTRAN y BASIC. (cont.). FORTRAN BASIC A= 5 B=10 S=TRIG (A.B) FUNCTION TRIG(X,Y) RETURN TRIG=SIN(X)-LOG(Y) Nótese quelas constantes y las variables que no se pasan como argumentosde- ben definirse dentro dela función o pa- sarse por una declaración COMMON. Subrutinas son subprogramas que consisten de un conjunto de proposiciones que realizan una tarea en particular. Contienen una declaración RETURN que regresa al punto donde se llamó a la subrutina. Las subrutinas se llaman con una decla- ración CALL de la forma: Call nombre (arg,,org,,. . .,arg,) donde nombre es el nombre de la subru- tina y org,,. . ., org, son los n argu- mentos (variables o constantes) que se pasan a la subrutina. La subrutinava después del programa principal y empieza conuna declaración SUBROUTINE, de la forma: Las subrutinas se llaman con una decla- ración GOSUB de la forma: In, GOSUB Inn donde In, es el númerodelínea de la declaración GOSUBy In2 es el número de línea donde empieza la subrutina. La primera línea de la subrutina puedeir en cualquier lugar dentro del programa. donde nombredebe ser el mismo al Ila- mar dicha subrutina conla proposición CALL. Una vez dentro de la subrutina, las proposiciones se ejecutan ensecuencia hasta que se encuentra una declaración RETURN, después de lo cual regresa a la si- guiente línea de donde está la subrutina. Se pasana y desde la subrutinoúnica- Todos los valores se pasan a y desde la mentelos valoresqueaparecencomosubrutina. argumentos de la misma:
- 51. 40 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 2.2. Referenciarápida:comparacióndeFORTRAN y BASIC. (cont.) FORTRANBAS IC CALL SUM (X.Y,Z) - 200GOSUB 800 END 500 END SUBROUTINE SUM (A,B,C) 800Z=X+Y C=A+B 850 RETURN RETURN Nóteseque lasconstantes y las varia- bles que no se pasan comoargumentos se deben definir dentro dela subru- tina o pasarseconunadeclaración COMMON. DOCUMENTACI~N (le permiteincluirinformación para el usuario de los programas) las declaraciones de documentación son instruccionesnoejecutables. DeclaracióndecomentarioDeclaración REM Consistedelcarácter C o delsímbolo * enConsistede la declaración REM seguida C aquí se puede teclear cualquier 1 O REMaquí se puede teclearcualquier la columna 1 seguido por unmensaje: por unmensaje: mensaje. mensaje. 3. Cálculos. Las operaciones matemáticas son muy similares en ambos lenguajes. Aunquela nomenclatura es un poco diferente,las ecuacio- nes escritas en los dos lenguajes casi son idénticas. 4. Control. Estas declaracionesseusanpara dirigirla secuencia lógica de las instrucciones en el programa. Para los m6todos numéricos, es suficiente con tres tipos: la declaración GO TO, el IF lógico y los ci- clos. Aunque hay pequeñas diferencias en la nomenclatura de ambos lenguajes, las declaraciones son muy similares en operación. 5. Subprogramas. Como lo indica el nombre, sonminiprogramas dentro del programa principal. Se diseñan para ejecutar declaraciones que se repiten muchas veces a lo largo del programa. En vez de reescribir los miniprogramas muchas veces dentro del programa, se pueden es- cribir sólo una vez e invocarse con una declaración simplecuando sea necesario. Estos .subprogramas, que incluyen las subrutinas, funcio- nes definidas por el usuario y funciones predefinidas, son otro caso
- 52. 0 7 8 f q LA PROGRAMACIóN EN LASCOMPUTADORASPERSONALES donde FORTRAN y BASICdifieren significativamente. Lasdiferen- cias estriban en la manera en que se pasainformación entre el cuerpo principal del programa y los subprogramas. Como se muestra en el cuadro 2.2. los argumentos de los subprogramas FORTRAN actúan como ventanaspara controlar el paso de informacih.Este es un ejem- plo que muestra al FORTRAN como un lenguaje más complicado y. enconsecuencia.máspotenteque el BASIC. 6. Documentación. Estas declaraciones permiten incluir información en- focada al usuario dentro del programa. En resumen, el FORTRAN es un poco más flexible y más poderoso aunque también es más difícil de aprender que el BASIC. Sin embargo. ya que éste sedesarrolló originalmente como unaversión simplificada del FORTRAN. los dos lenguajes muestran varias similitudes. Aunque cada uno de ellos tiene sus reglas que deben respetarse en cuanto a estilo. su vocabulario y gramática son lo suficientemente similares como para per- mitir una traducción fácil de la mayor parte de los programas de un len- guaje a otro. Por10 tanto, en estelibro todo el código para computadora se presenta en formato doble como el de la figura 2.5.Aunque algunas veces signifique que se olvidarán características peculiares de uno u otro lenguaje, esto permitirá alcanzar un conocimiento de los dos lenguajes FORTRAN y BASIC. 2.2.3 Rastreo y prueba Después de escribir el código del programa. se debe probar para buscar los errores, a los que seles llamabugs. AI proceso de localizar y corregir los errores se les conocecomo rastreo. Pueden ocurrirvarios tipos de erro- res cuando se programa encualquier lenguaje. Los errores desintaxis violan las reglas del lenguaje como la ortografía. la formación de los números. los números delínea y otras reglas específicasa cadalenguaje. Estos errores a menudo resultan al teclear cosas raras. Por ejemplo. la declaración en BASIC 30A = 5/(0.2+ 4 * SIN (2* Y1 generaría un error de sintaxis inmediato porque los paréntesis no se en- cuentran por parejas. Los errores más difíciles de detectar están asociados con la lógica y con la construcción de los programas y pueden ocurrir sin interrupciones de sintaxis. Por lo tanto, se debe tener especial cuidado y asegurarse de que el programahace lo quese le pide. Porejemplo.supóngase que. se deseansumar los enterosentre 1 y 10 y luego dividirlos entre 10 (esdecir. calcular su promedio). Loscódigos en FORTRAN y BASIC de- ben ser
- 53. 42 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FORTRAN s = o DO40 I = 1, 10 S = S + I 40 CONTINUE A = S/I WRITE (6, 1)A BASIC 1 o s = o 20 FOR I = 1 TO 10 3 O S = S + I 40 NEXT I 5C A = S/l 60PRINT A obteniendo como resultado A = 5.mientras que el resultado esperado era A = 5.5.Lasintaxis está perfecta. pero hay un error de lógica que la computadora jamás podrá detectar porque no hay forma deobservar- lo. Una manera de eliminar este tipo de error es la de imprimir durante el programa los valores de las variables que no se requieran en la forma final del programa. Por ejemplo. si se ha escrito WRITE f V O ~ I ,. . . , vorn in PRINT vorl, . . . , V O ~ , con los resultados A = 5 e I = 11,probablemente se notará que el error estriba en que el valor de I se incrementa al salir del ciclo. Los erroresdeeste tipo a menudoson muy dificiles de detectar en programas muy grandeso muy complejos. Porlo tanto, es una buena práctica verificar manualmente si es posible, los resultados dadospor ' el programa y probarlos en casos especiales. Estopuede hacerse con lápiz, papel y una calculadora. Los errores asociados con la lógica o con la fi- nalidad de un programa. no con la gramática, se les conoce como erro- res de semántica. Estos ocurren. por lo general durante la ejecución del programa y se les conoce también como erroresen el momento de /aco- rrida (run time errors). Es absolutamentenecesaria la técnica de impri- mir los valores de las variables intermedias para verificar la lógica de un programa y evitar errores de semántica en programas muy grandes. Elrastreo y la prueba de los programas sefacilita empleando un buen estilo de codificación,Esto puede implicar que el disefio de los programas consista de varias partes pequeñas. A este tipo de estilo de programa- ción se le conoce como programación modular. Cada parte esespecifica e identifica fácilmente lastareas a ejecutar. Las subrutinas son medios apro- piados para tal modularización. El programa principal (oel programa que las llama) puede, entoncesser simplemente un director que guía cada una de las partes en un esquema lógico. De esta manera. si los programas no funcionan perfectamente, se puede aislar y localizar el problema más rápidamente. Por ejemplo. se pueden escribir subrutinas para c,ada una de las siguientes tareas: 1. Leerdatos. 4. Ejecutar algoritmos numéricos. 2. Mostrar datos. 5. Mostrar los resultados enuna tabla. 3. Mostrarun carácter para 6. Mostrar los resultados enuna gráfica. información.
- 54. LA PROGRAMACIóN EN LAS COMPUTADORASPERSONALES 43- Cada unade estas subrutinas realiza una tarea limitada y aislada que se puede programary rastrear separadamente. Esto simplifica mucho eltra- bajo total. comparado con el rastreo de todo el programa simultáneamente. Después de probar los módulos, todo el programa se debe sujetar a una prueba total del sistema. Para un programa de métodos numéricos, se debe realizar una serie de cálculos y debe compararse con casos donde se conozcapreviamente lasolución exacta. Algunas veces sedispone de la soluciónanalítica lacual esaceptablepara estos propósitos.Talfue el caso delparacaidista (recuérdenselos ejemplos 1.1. y 1.2). En otros casos, el programadordeberealizarcálculosmanualesconunacalcula- dora de bolsillo para comprobar que el programa lleva a resultados con- fiables. En cualquier caso, elprograma se sujetará a unagranvariedad de pruebas para asegurarse de que funcionará confiablemente bajo todas las condicionesde operación posibles. Unicamente hastaentonces el pro- grama estará listo para ser usado en la solución de problemas de ingeniería. 2.2.4 Documentación Despuésde que el programa ha sido rastreadoy probado, se debe docu- mentar. La documentación es la inclusión de comentarios que le permi- ten al usuario implementar el programa más fácilmente. Recuérdese que junto con otras personas que pueden usar sus programas, el programa- dor mismo es un “usuario”. Aunque un programa parezca simpley claro cuando está reciénhecho y se guarda en la mente, después de pasar cierto tiempo el mismo códigopuede parecer inaccesible.Por lo tanto, sedebe incluir suficiente información para permitirlea los usuariosentendere im- plementarinmediatamentetalesprogramas. Esta tarea exhibeaspectosinternos y externos. La documentaciónin- terna consiste dealgún análisis o explicación que se inserta a lo largo del códigodelprogramaparaladescripción de cómo trabaja cada una de las secciones del mismo. Es importante en casos donde se va a modificar el programa. Esta documentaciónse debe incluir tan prontocomo se ter- mine una parte del programa, en lugar de hacerlo hasta el final, para evi- tar la pérdida del concepto en el diseño original que se tuvo en el desarrollo delprograma.Ladocumentacióninterna se mejoraconsiderablemente con el uso de nombres mnemónicos apropiados para las variables. Estos nombrespuedensermásdifícilesdecodificarquelosnombres peque- ños, pero la ventaja de sermásinformativos,porlogeneral hace que valga la pena el esfuerzo adicional.Utilizar nombres mnemónicosconve- nientes, incluyeen esencia eluso de nombres convencionales o est6n- dares o abreviaciones comunes paravariables. Ladocumentaciónexternaexplicalasinstrucciones como mensajes e información impresa suplementaria diseñada para auxiliaral usuario en la implementación de los programas. Los mensajes impresos se supone queayudan a que los resultadosesténbienpresentados y accesibles al usuario. Esto implica el uso correcto de espacios, líneas en blanco o ca-
- 55. 44 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS racteres especiales que ilustren la secuencia lógica y la estructura de los resultados de un programa. Los resultados bien presentados simplifican la detección de errores y aumentan la comprensión de los mismos. La información suplementaria puede variar desde una hoja hasta un manual para el usuario. La figura 2.7 muestra un ejemplo de una forma FIGURA 2.7 Formato simple de una página para la documentación de un programa. Esta página se debe guardar en una carpeta con un listado del programa.
- 56. LA PROGRAMACI~NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 45 de documentación simpleque se recomienda para preparar cada unode los programas a desarrollar. Estas formas se pueden mantener enun cua- derno denotas para tener unareferencia rápida parala biblioteca de pro- gramas. El manual del usuario para una computadora es un ejemplo de una documentación accesible.Este manual indica cómo correr el sistema y los programas de operación en disco de la computadora. 2.2.5 Almacenamiento y mantenimiento Los pasos finales en el desarrollo de un programa son el almacenamiento y mantenimiento del mismo. El mantenimiento involucra acondicionar el programa e incluso hacerle cambios que lo hagan accesible a problemas reales. Después de varias corridas, estos cambios pueden hacer al pro- grama más fácil de usar y más aplicable a mayor cantidad de problemas. El mantenimiento se facilita conuna buena documentación. El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas se guardan para uso posterior. Antes del advenimiento de las computado- ras personales, no había formas simples de almacenar copias de trabajo de programas realizados.Loslistados de código, de hecho se guardaban, pero tenían que teclearse de nuevo para usos posteriores. Las cajasde tarjetas FIGURA 2.8 Disco flexible.
- 57. 46 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS - perforadas se podían guardar, pero paraun programa decualquier mag- nitud resultaban difíciles de manejar y susceptibles a deteriorarse. Como se menciona al principio de este capítulo, los dispositivos de almacenamientomagnéticohanmejoradosustancialmente la habilidad de retener programas. Un dispositivocomún de almacenamiento esel disco flexible. mostrado en la figura 2.8. Los discos flexibles son un medio ba- rato para almacenar programas y datos. Aunque los discos flexibles tie- nen una granutilidad. también tienen algunas desventajas. Por unaparte, su tiempo de acceso es muy lento; por otra, se deben manejary se deben guardar con mucho cuidado. Dado que pueden borrarse muy fácilmen- te, siempre se debe teneruna copia de cada uno de ellos. Además,cuando se termina un programa de computadora, se debe imprimir inmediata- mente y almacenarlo con la documentación correspondiente. Estas im- presiones pueden ser útiles en el caso no deseado, peroposible, de que el disco y su copia se destruyan. 2.3 DESARROLLODE UN PROGRAMA PARA EL PROBLEMADELPARACAIDISTA Ahora se usará el material de las secciones previas para escribir un pro- grama en BASIC y en FORTRAN para el problema del paracaidista. Es- tos programas son un ejemplo ideal porque contienen todoslos elementos -entrada-salida, ciclos, decisiones, cálculos y subprogramas- que con- forman al programa en el resto del capítulo. Recuérdese que el problema del paracaidistaes equivalente ala solu- ción de la ecuación (l.12): r -7 donde v es la velocidad en un tiempo posterior v(tJ es la velo- cidad en el tiempo actual ti, g es la aceleración de la gravedad (igual a) 980 cms/s2, c es el coeficiente de rozamiento, m es la masa del para- caidista y At = ti+l - ti. El término entre corchetes es el valor actual del promedio de cambio de velocidad respecto al tiempo [Ec. (1.8)].Si se conoce la velocidad inicial del paracaidista v (ti)la ecuación (2.1)se pue- de resolverrepetidamenteparavalores de v(ti+J, como se hizo en el ejemplo l.2. Con esta información como antecedente, ahorase puede desarrollar un algoritmo para el problema. En este punto, se podría desarrollar un algoritmo bien detallado. Sin embargo, con la práctica que se tiene, difí- cilmente se podría. En lugar de ello, se empezará con una versión gene- ral simple, agregándole detalles poco a poco en forma secuencia1 para expandir la definición. Entonces, cuando se haya obtenido una versión
- 58. LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 47 FIGURA 2.9 Diagrama de fluio de un programa simple para el problema del paracaidista.
- 59. 48 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS final. se puede proceder a escribir el programa. En programación. este método de iniciar en general e ir avanzando hacia lo específico se le co- noce como esquema de análisis descendente. Entre otras cosas. es efi- ciente porque,engeneralesmuchomás fácil eliminar errores si los algoritmos y los programas se escriben en pasos simples y se van verifi- cando conforme se avanza. Un algoritmo muy simple para realizar los cálculos del ejemplo 1.2 puede escribirse con palabras de la siguiente manera: introducir los da- tos. calcular la velocidad, imprimir la respuesta y repetir hasta quese hayan calculado tantos valores como seanecesario. Este algoritmose puede expresar de manera más formal con un diagrama de flujo. La figura 2.9 muestra un procedimiento detalladode la implementación de los cálculos. El diagramade flujo consiste de tres conjuntos de declaraciones: 1. Introducir variables y constantes 2. Inicializar todas las variables 3. Hacer unciclo iterativo que calcule e imprimalas respuestas Con base al diagrama de flujo, se puedeescribir ahora un programa. Las versiones en FORTRAN y BASIC se muestran en la figura 2.10.NÓ- tese que para laversicin en BASIC, se usan incrementos de 10 para eti- quetar los números de línea. Esto se hace para prever la posibilidad de T0=0 v0=0 H=Z t4=t 0 C = t 2 5 0 0 I M1681 O 0 T=TO 'V=v o U R I T E < 6 , I > T , V FORMAT(2( ' ' , F 1 0 . 3 > ) I=O T=T+H W R I T E ( 6 , l ) T , V I = I + t I F ! I . L T . H jC O T O2 0 0 S T O P EtiC) 2 0O 'V=V+C 98 O-C*V,'l'l >*H FIGURA 2.1O Programas FORTRAN y BASIC para el problema del paracaidista. Estos programasduplican los cálculosmanuales del ejemplo 1.2. . ". .
- 60. LA PROGRAMAC16NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 49 insertar nuevas líneas de código en refinamiento subsecuentes del pro- grama. Aunque el ejercicio mencionado anteriormente ciertamentees un pro- grama válido para el problema del paracaidista, por ningún medio explo- ta todas las posibilidades de programación ni en FORTRAN ni en BASIC. Para demostrar como se pueden emplear líneas adicionales, para desa- rrollar una versión mejor, ahora se refinará el programa. Muchas de las modificaciones e insercionessiguientes representan una técnica de programación más eficiente y más sencilla de ejecutar.Sin embargo, cierto material se enfoca hacia propósitos didáctico5 para de- mostrar el uso de ciertasdeclaraciones. El siguiente análisis muestra directamente la versión en BASIC. Ya que losprogramas de la figura 2.11 están escritos en paralelo, es muy fácil extender el análisis a la versión FORTRAN. El programa dela figura 2.11 tiene nuevas características. Lasprinci- pales son: 1. 2. El programa calcula ahora la velocidadpara tres valores diferentes del coeficiente de rozamiento y de la masa. La habilidad de realizar cálculosrepetitivos es una delas ventajas de las computadoras. Dentro del diseño en ingeniería, a menudo esútil realizar una serie de cálcu- los varias veces con valores diferentesde los coeficientes para valorar la sensibilidad del modelo a estos cambios. Esto se hace en este caso, realizando los cálculosdel ejemplo 1.2con el coeficientede rozamiento variando 2 10%.De esta manera, los tres casos usados en el pro- grama son parael caso del coeficientede rozamiento original (12500 g/s), el coeficiente de rozamiento más el 10 por ciento (13750 g/s) y el coeficiente de rozamiento menos el 10 por ciento (11250 g/s). El cálculo repetitivo se lleva a cabo agregando un ciclo iterativo (lí- neas 3080 a la 3390).Cada vez que el programa pasa a través del ciclo, se usa un coeficiente de rozamiento diferente para calcular la velocidad. Nótese también que el coeficiente de rozamiento y la ma- sa se usan como variables con subindicesC(K) y M(K). Por lo tanto, se les asigna una dimensión en la línea 3040. El programa tiene ahora un esquema iterativomás preciso. Además de agregar el ciclomayor para los tres casos dec y de m (líneas3080 a la 3390),se han usado dos ciclos para calcular el valor actual de u. Se hace así porque pudiese ser que no se deseeimprimir una res- puesta después de cada paso. Esto seríaespecialmentecierto si se usara un paso muy pequeño, por ejemplo 0.01 S , para obtener resul- tados más exactos. Para calcular desde t = O hasta 20 S , se requeri- rían 20/0.01ó 2 O00 números. Ya que se requiereun valor para cada 2 S que esquemetice razonablementela caída del paracaidista, se han usado dos ciclos anidados de forma tal que el programa imprima re- sultados en tiempos intermedios.Un ciclo anidado es aquelciclo que
- 61. 50 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS F C PRDCRRMR LEGIBLE RL USURRIO C DEL PARPCP,IDISTP. c En FDRTRBN p a s a EL PROBLEMQ C C CIVILEHCINEERIHC C CDLLECE STATION, TEXnS 77843 C c sc cuwRn c TEXPS a w UNIVERSITY ................................................C FUHCIOH PPlRP CRLCULURDV/DT ................................................DVDT(C.V,N)-980-C.V/M ................................................C PRDCRRMR PRINCIPRL ................................................ €UD ................................................C SUBRUTINR p a w IMPRIMIR EL ENCP,BEZPDO ................................................SUBRDUTIHE LRBEL VRITE(6, I > RETURN END I FORMIIT( '-':SDLUCION Paun LP, VELOCIDAD DE c a l w GEL PmmaIDIsTfi ................................................C SUBRUTINR PRWLEER DRTDS ................................................SUBROUTINE INPUT(TO,TI,VO,U,P> RERD <5.2>10 TIEMPO zHIclaL ( S E G ) (S.Z)TI TIEMPO FIHAL(SEG) VELDCIDRD INIClPL (CM/SEC> RD(S.2)VO RD<5 , 2 >H ~~ MRCNITUD DEL IHCREIEUTO (SEC) IMPRIME EL IHTERVPlLO ( S E C ) C C C C RE, REI RE! RERD(S , 2 )P 2 FORtlPIT<F 6 . 2 ) C VERIFICL LP, RPlCHITUD DEL IHCRENEHTO E IMPRIME EL IHTERVIILO IF <P.CE.W.IIND.P.NE.O> COTO 222U URIlE(6,3> 3 FDRNPIT('EL IWTERVLLD DESE SER MRVOR D IGURL P LO MPIGNITUD 22: *DELINCREMENTO Y NO PUEDEVPLER CERO') C C C 2 0 RETURN END ..............................................SUBRUTIN0 PRRR RERLIZRR CfiLCULOS ..............................................SUBRDUTIHE CILC(TO,T1,VO,H,P) REM. M DIMEHSIOU C < 2 O ) , l M Z O ) NC-IHT(P/HI DVOT(C.V,M)-SBO-C.Y~M HP-IHTl(Tl-TO>/P> DO 3370 K-1.20 REIID<S,4)C(K) IF (C<K).EP.O.) COTO 3390 REIID (S.4IJUK) CICLO PP,RR CRLCULRRV CDU DIFERENTES C Y M LEEELCOEFICIENTEDEFRICCIDU LEE LIImen 4 FOR11RT<FIO.O) VERIFICPIQUELR (1181 SE1 CERD I F ( ~ l K > . C T . O . O ) C O T D3220 S FORMRT('-','LR NASR DEBE SER M(IV0R PUE CERO', VRITE(6,5> COTO 3390 C INICIPLIZI( TIEMPO Y VELDCIDRD 3200 r-To 6 C C 3340 3360 1170 3390 v-vo VRITE(6.6) FDRIIPIT(, , , 4 Y , ' T tSEC>'.1OX,'V ( YRITE(6.7>T.V DO 31601-1,NP INPRIME E L CICLO CICLO DE CP,LCULD C O N T I k RETURN END CWSEC INTERVALO FIGURA 2.1 1 Versiones FORTRANy BASIC legibles al usuario del programa de la caída delparacaidista.
- 62. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 51 contiene otrodentro de sí mismo. En este ejemplo, el ciclointerno (líneas3320 a la 3350) realiza los cálculos usandoel tamaño de paso deseado (línea2100). Después de NC iteraciones de este ciclo (don- de NC se calcula internamenteen la línea 3050),se imprime una res- puesta. El procedimiento se repiteNP veces (donde NP se calcula internamenteen la línea 3060) mediante el cicloexterno (líneas3300 a la 3370). Nótesetambiénqueenvez de especificar elnúmerode pasos (N, especificado enla línea 130 enlasversionessimples de la figura 2.10), ahora sólo se introducenlostiemposinicial y final (lí- neas 2040 y 2060) y se usan las líneas 3050 y 3060 para determinar internamente el númeroapropiadode pasos. 3. El programa muestra ahora un esquemade etiquetado mbs descripti- vo.Se incluyen declaraciones de documentaciónal principio del pro- grama, los mensajes de salida, por ejemplo las líneas 1030 a la 1080 y las entradas más descriptivas, por ejemplo las líneas2040 a la 2130. 4. El programa está modularizado. Nótese que el programaconsiste de una serie de subrutinas que realizan tareas bien definidas. El progra- ma principal sirve como supervisor para dirigir cada una de las parte dentrode un esquema lógico. 5. Se incluyen los diagnósticos para indicaral usuario que Se ha cometi- do un error. Los diagnósticos son declaracionesenelprogramaque imprimenparaelusuario un mensajedescriptivo, siha ocurrido un error. Las líneas3160 a la 3210 representan un diagnóstico que veri- fica si la masa es cero.Si asífuese, la ecuación dela línea 210 realiza- ríaunadivisiónpor cero. Si lamasa es menor o igual a cero, la lines 3170 transfiere el control a la línea 3180, queimprimeel mensaje: LA MASA NO DEBE SER MENOR O IGUAL A CERO Deformasimilar,lalínea 2150 examinaque elintervalo de impre- sión sea mayorqueel tamaño del paso. Si no es así, se imprimen los mensajes de laslíneas 2170 a la 2190 y el programatransfiere el control a lalínea 2100 y pide un nuevo tamaño de paso. Las anteriores no son mas que cincode varias modificaciones quese han hecho para incrementar las capacidades del programa.Se debe verificar línea por línea para entender a fondo cómo contribuye cada una de las declaraciones enel programa total. Lafigura 2.12 muestrauna corrida. En esta figura se introduce un error intencionalmente enelintervalo de impresión para demostrar lascapacidadesde diagnósticos del programa. El análisis deestas corridas junto conla figura 2.11 deben sugerir algunas alternativas para empezar a obtener resultados claros y con un esquema descriptivo.
- 63. 52 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 2.1 2 2.4 Texas A&MUnwerstty Depto Ingentería Cwl College Stahon. Texas 77843 DESCRlPClON Este programa calcula la velocidad vertical de caída de un paracatdtsta en functón del tiempo REQUISITOSESPECIALES: Se pueden usar hasta 20 coeficientes diferentes de rozamiento REQUISITOSESPECIALES- y masas para calcular la uelocldad REFERENCIA Métodos numértcos para Ingenieros con dphcaciones en computadoras personales, 1986 (Mc-Graw-Hill. México),Cap 2 SOLUCION PARA LA VELOCIDAD Dt CAlCA DEL PARACAIDISTA MASS IGI-68100 TIEMPOINICIAL lSEG1 10 TILMPOR FINAL (SEGI 123 TISECIVICMISECI O O 7 1 w n VFLOCIOADINICIALICMlSEGl 456 MAGNITUD DEL INCREMENTO 32 IMPRIME EL INTERVALOISEGI = 3 EL (NTERVALO NO DEBE SER MAYOR O IGUAL QUE LA MAGNITUD DEL INCREMENTO Y N O DEBE VALER CERO MAGNITUD DEL INCREMENTO - 8 IMPRIME EL INTERVALOSEGI = 26 COEFICIENTE DE FRlCClONIG'SEGI TECLEA UN CERO) 65 (PARA TERMINAR EL CALCULO MASAIGI = 23 TlSEGlVICMiSLGl TISECIVlCMlSECl O 0 2 1960 6 382516572 4312851689 10 4488 10732 14 472373869 164776.20838 18 4807 48987 20 4826 13934 8 4240 49528 12 463572918 DRAGCOEFFICIENTEIG.SECI ENTERLEROi=12500 IT0 TERMINATE COMPUTATION 4 6 8 10 12 14 16 20 18 3%;4699 4482 42869 4796 89686 4995 92151 5201 60276 5121 88278 5252 05696 5283 98906 3985 55437 DRAGCOEFFICIENT(GlSECl I T 0 TERMINATE COMPUTATION ENTER ZERO1= 11250 MASSIGI= 68100 TlSEClVICMiSECI O O 2 1960 4327242291 6 4151.22591 6 4739.6755 105133.70342 12 14 5397 5459 5574 21 576 16 569251452 20 185771 72778 5824.76927 DRAGCOEFFICIENTIGISECI ENTER ZERO1= O (TO TERMINATE COMPUTATION Documentación del orograma legible al usuario del problema del paracaidista, incluye corrtda del programa. ESTRATEGIAS DE PROGRAMACIóN Este librobrindaalestudiosodiversos medios, decálculoconel fin de convertirlateoríade los métodosnuméricos en herramientasprácticas para la soluci6n de problemas de ingeniería,Estos medios incluyen 1) discos
- 64. LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 53 queguardan a losprogramas, 2) programas, 3) algoritmos y 4) diagra- mas de flujo. El propósito de esta sección es eldedescubrir la forma en que cada una de estos medios complementa a los otros a lo largo del li- bro. Laestrategiaglobal se ilustraenlafigura 2.13. Tal vezal comprar este libroel lector también adquirió un disco para computadora. A este disco se le conocerá con el nombredeNUMERI- COMP, correrásobreunacomputadora IBM-PC (o cualquiercompati- ble) o sobre una APPLE 11. El disco contiene seisprogramasescritosen BASIC: bisección, eliminación Gaussiana, regresión lineal, interpolación Meta: Resolver los problemas de ingenieríausando una computadora y los métodos numéricos FIGURA 2.13 Estrategia empleada en el texto para integrar las computadoras personales y los métodosnuméricos en la solución deproblemasde ingeniería.
- 65. 54 MÉTODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS de Lagrange, regla trapezoidal y el método de Euler. Los programas re- presentan una colección de métodos numéricos simples, pero muy úti!es para cada una de las partes de este libro. Con muy poca preparación puede usarse NUMERICOMP para la solución de problemas. Esto se debe prin- cipalmente a que los programasestánescritos en un lenguajelegible y claro, además que proporciona todala información necesaria para su ope- ración. Ademásdetener utilidad inmediata, el disco ofrece un ejemplo concreto de programasbienescritosquesepueden usar como modelo para programas escritos porel usuario. Finalmente,los programas se pue- denusarparaverificarlaexactitudde los resultados en los esfuerzosde programacióndelusuario. Cada unode los programas se ilustra completamente enel capítulo que le corresponde dentro del libro.Las ilustraciones muestran talcomo se veríanenunapantalla, los datosque se requieren, los resultados de los cálculosy una gráfica de los resultados. Estas ilustracionesse generan usando NUMERICOMP en la solución de un problema determinado.Se incluyen algunos ejercicios en cada unode los capítulos para reforzar la habilidad en el manejo de los discos del usuario en su propia computadora. Se danloscódigosdeambas versiones. FORTRAN y BASIC para los mismos métodos. Estosprogramascontienen los algoritmosfunda- mentales con esquemas simples de entrada y salida de datos y con poca documentación. Por lo que no son muy claros ensu exposición. Una de las tareas será la de modificar estos programas de forma tal que sean un poco más claros, usando los recursos y la técnica individual de cada pro- gramador. Una vez que esto se haya llevadoa cabo, se tendrá unaherra- mientaque se aproximará a los programassuplementarios. Los seis programas del disco NUMERICOMP son para los métodos básicos de cada una de las partesdellibro. No son, necesariamente los más eficientescomputacionalmente hablando sobrelos existentes. Por lo tanto se han incluido diagramasde flujo o algoritmos parala mayor parte de los otros métodos numéricos del libro. Se puedenusarestosdiagra- mas y algoritmos con la destrezade programación propia del usuario, para escribirprogramasdecualquierotrode los métodos expuestos. EJEMPLO 2.1 Gráficas por computadora Enunciado del problema: el propósito de este ejemplo es el defamiliari- zarse con los programas opcionalesNUMERICOMP disponibles con el texto FIGURA 2.14 a) Título de los programas NUMERICOMP que acompañan al texto. b) Menúprincipal de NUMERICOMP. c) Menúpara BISECCION,d) La pantalla muestra cómo se introduce una función para BISECCION; la función en estecaso es la ecuación (1.9), que calcula la velocidad de caída del paracaidista.e) La pantalla muestra unagráfica de la velocidad contra el tiempopara el paracaidista, como lo calcula NUMERICOMP.
- 66. LA PROGRAMAC16NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 55 FIGURE 2.14
- 67. 56 MoODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS y usar las capacidadesgráficas de NUMERICOMP para trazarfunciones. Si el libro se compró sin estos programas, entonces se deben buscar for- maspararealizar tareas similaressobre la computadora.Esto se puede llevar a cabo con la ayuda de los programas dados porel sistema o pue- de requerirse que se desarrollen los propios. La habilidad en el trazo de funciones es muy importante ya que la forma de resolver un prob!zma de métodos numéricos se facilita mucho cuando se usa en coordinación congráficaspor computadora. Solución: insértese el discoNUMERICOMPen launidad de discos y córrase el programa de acuerdoa las instrucciones delManual del usuario. La pantalla debe producir un esquema similar al de lafigura 1.14~1. Simplemente es la presentación del programa. Tecléese RETURN para continuar. La pantalla debe mostrar ahora un menú de selección princi- pal como se muestraenlafigura 2.14b.El menú contiene unalista de seisprogramasincluyendounaopción que termina la sesión. Se usará cada uno de estos programas en el momento apropiado dentro del libro, cuando se haya visto previamentela teoría de cada uno de los métodos. Por ahorase usará 19 opción de grdficas por computadora dentro delpro- grama de BISECCION para gráficarla velocidad del paracaidista entun- ción del ti9mpo. Para hacerlo, simplemente se introduce el programa de BISECCION mediante laopción 1.La pantalla, automáticamentedebe mostrar un patrón similar al de la figura 2.14~después de algunos movi- mientos del disco.Sólo se requieren usar lasopciones 1, 3 y 4 para grafi- car funciones. Selecciónese la opción 1 para introducir la función usando la ecuación (1.9) con m = 68 100g, c = 12 500 g/s y g = 980 cm/s (Fig. 2.14d). Regrésese al menúprincipal y escójase laopción 3 para graficarla función. Antesde trazar la gráficase deben dar valores mínimo y máximo para x y paraf(x) que corresponden al tiempo y a la veloci- daden este caso. Los valorespara x y f ( x ) estándadospordefinición enlaprimer columna (en este caso son cero). Pruébense variosvalores para los ejes x y paraf(x) (incluyendo valores negativos) para familiari- zarse con el diseño y operaci6n de la opción de graficación. Enlafigura 2.14e se muestraunagráficaquemuestrael esquema de lavelocidad como funcióndeltiempo. La opción de graficación dada por este programa tendrá muchosotros usos para visualizar mejor los resultados de la aplicación de los métodos numéricos y la computación enla solucióndeproblemasdeingeniería. Estosusos se exploran en las secciones subsecuentesdel texto. PROBLEMAS 2.1 Escríbanselasdeclaraciones BASIC y FORTRAN equivalentesa cada una de las siguientesexpresiones:
- 68. LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 57 2.2 2.3 2.4 2.5 xlsenl -b - -x - 1 2a b) y=- c) x = I) Si A y Z tienen elmismo signo, entonces reemplácese 2 por Q. Escríbanse las declaracionesBASIC y FORTRAN para realizar la siguienteoperación S = 2 xi2 Para i = 3, 6, 9,. . ., 21. Dado el siguienteprograma 10 A = 10.1 20 B = 3.1416 30 Z = 1.1 40 PRINT X1 ¿Cuál será elresultado que se imprima, si se insertanlassiguientes expresiones entre las líneas 30 y 40? a) 35 X1 = A"Z/B b) 35 X1 = A' (Z/B) cj 35 X1 = A'B - B**B/Z + 2'2 d) 35 X1 = ((A'Z) - B/Z)'*Z)/(B - Z) e) 32 J = INT(A* *Z/B - 2) 36 X1 = J'A Dado el programadelproblema 2.3, escríbase el código de la línea 35 que eva- luarálassiguientes expresiones algebraicas: a' - 4 6 x1 = 2 7 XI = a - d z / 5 + 6(a + 2)2'3 - - b La figura para este problema muestra la página de una bitácora de un automóvil. Cada renglón representa una visita a la gasolinera en la que el tanque se llena de gasolina. La página tiene, además columnas para la fecha, el kilometraje mar- cado porel odómetro, la cantidad de gasolina y su costo. Escríbase un programa, diseñado de forma tal que acepte datos de entrada bajo este esquema y calcule los kilómetros recorridos por litro y el costo por ki16- metro de acuerdo a cada intervalo entre llenado y llenado. Debe imprimir una tabla con tres columnas que conforman la fecha, los kilómetros por litroy el costo por litro.
- 69. 58 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURADELPROBLEMA 2.5 2.6 Se invierteunacantidaddedinero P en una cuenta cuyos intereses se reinvierten alfinaldel periodo. El monto futuro F, conuna tasa deinterés i después de n periodos se puede determinarfácilmentecon la fórmula siguiente: F = P (1 + i)" Escríbase un programa que calcule el monto futurodeuna inversión. Los datos de entrada deben incluirla cantidadinicial P,la tasa de interés i (como fracción decimal), y el número de a6os n para los cuales se va a calcular el monto futuro. La salida debe incluir también estos valores. Incluyendo, en forma de tablael monto futuro para cada uno de los años, hasta el n-ésimo año. Correr el programa para P = $ 1 000.00, i = 0.1 y n = 20 años. 2.7 Escríbase un programa para calcularlas raíces reales de la ecuación cuadrática ax' + bx + c = O donde a, b y c son coeficientes reales. La fórmulaparacalcular las raíces es la fórmulacuadrática
- 70. LA PROGRAMAC16NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES 59 -b f X = 2a Nótese que sila cantidad dentro del signo de laraíz cuadrada es negativa enton- ces las raíces son complejas. También ocurre una división por cero si a = O. Disé- ñese el programa de forma tal que contemple estas contingencias imprimiendo un mensaje de error. También, inclúyasealgo de documentación a lo largodel programa y etiquétense las salidaspara hacer el programalegible. Repítanse los cálculos paravalores diferentes de a, b y c, tantas veces como elusuario desee. Efectúense pruebas para los casos: a) a = l b = 4 c = 2 b) a = O b = -4 c = 2.3 c) a = l h = 2- c = 2.3 2.8 La función exponencial e"se puedeevaluarmediante la serieinfinita: Escribase un programa para implementar esta fórmula que calcule los valores ex agregando un término cada vez a la serie. En otras palabras, calcúlese e impríma- se la secuencia ex = 1 e x = l + x e X = l + x + - X* 2 hasta la orden de término prefijado. Para cada caso, calcúlese el porcentaje de errorrelativo dado por % error = solución real - solución aproximada soluciónreal 100% Utilícese la funcióndebibliotecaparacalcular exy determinar la"solución real". El progrma debe imprimir la solución aproximada y el error en cada paso. Se pue- de emplear una función definida porel usuario para calcular el error. y usar ciclos para simplificar los cálculos tanto como sea posible. Para probarlo, utilicese el pro- grama para calcular exp(0.5) desde elprimer término de la serie hasta el término x2"/20!. Interprétense los resultados. 2.9 En economía se dispone de fórmulasparacalcular los pagos anuales debidos a un préstamo. Supóngase que se desea pedir un préstamo de Ppesos para pagar- lo en n pagos anuales con una tasa de interés ¡. La fórmula para calcular el pago anual, A, es. A1 = P i(1 + i)" (1 + i)" - 1
- 71. 60 METODOS NUMERICOSPARA INGENIEROS Escríbase un programa para calcular A,. Pruébese con P = $10 O00 y una tasa de interés del20 por ciento. (i = 0.20).Hágase el programa detal forma quese puedan evaluar tantosvalores de n como se desee. Calcúlenselos resultados para n = 1, 2, 3, 4 y 5. 2.10 Junto con los cálculos de los pagos anuales por préstamos, como se hizo en el problema 2.9, las fórmulas de economía se puedenemplear para determinar los pagos anuales correspondientes a otros tipos de flujo de efectivo. Por ejemplo, supóngase que existe un gasto que crece de manera uniforme a un promedio G conforme avanza el tiempo. A estos pagosse les conoce como series degradiente aritméticas. La fórmula de economía que calcula un pago anual equivalente para este tipo de flujo de efectivo es n 1Ahora, supóngase que se pide un préstamo de P = $10 O00 con un interés del 20% (i = 0.20)y se compra un nuevo sistema de cómputo. El costo de manteni- miento de la computadora crece de acuerdoa la serie de gradiente aritmética con unatasa de G = $50/año/año. Junto con estos dos costos (esto es, flujos de efectivo negativos para los pagos del préstamoy del mantenimiento),también se obtendrán beneficios o flujos de efectivo positivos con el uso del sistema.El apro- vechamiento en consulta y el uso de la computadora se pueden tasar conun valor anual de A, = $4 000. Por lo tanto, el valor neto A, como propietario de la má- quina sobre una base anual, se puede calcular como beneficios menos costos, o A N = AB- A, - A2 Por lo tanto, si A, es positivo, la computadora está generando ganancias sobre una base anual. Si A, es negativo, se está perdiendo dinero. Desarróllese, rastréese,pruébese y documéntese un programa que calcule ANEl programa se debe diseñar de tal forma que el usuario pueda introducir co- mo datos las variables P, i, G, A, y n. Úsese el programa para estimar A, con el nuevo sistema de cómputo para n = 1,2, 3, 4 y 5. Esto es, evalúense las ga- nancias si el sistema se posee de l a 5 años. Grafíquese AN contra n (si es posi- ble se puedeusar la computadora para hacerla gráfica). Determíneseel plazo que se debe poseerel sistema para empezara ganar dinero. (Nota:la información adi- cional para este problema se puede obtener del primer caso del capítulo 6). 2.11 Impleméntese el programa de la figura 2.11.Efectúense las modificaciones nece- sarias de tal forma que sea compatible conel lenguaje usado enla computadora. Una vez que el programa se encuentre en la computadora, pruébese duplicando los cálculos de la figura 2.12.Repítanse los cálculos con pasos de tamaño1y 0.5. Compárense los resultados con la solución analítica obtenida anteriormente en el ejemplo 1.1.?.Mejorano empeoran los resultados al hacer el tamaño del pasomás pequeño?. Explíquense los resultados. 2.12 El siguiente algoritmo está diseñado para determinarla calificación final de un cur- so, que consiste en exámenes parciales. tareas y examenfinal: Paso 1: Introducir el número del curso y el nombre. Paso 2: Introducir los factores de peso: para exámenes parciales REP) para ta- reas (PT) y para el examen final (PEF)
- 72. LA PROGRAMACl6NEN LAS COMPUTADORASPERSONALES if)Zfji3fi51*1 Paso 3: Paso 4: Paso 5: Paso 6: Paso 7: Paso 8: Paso 9: Paso 10: Paso 11: Introducir las calificaciones de los exámenes parciales y determinar la calificación promedio (CEP). Introducir las calificacionesde las tareas y determinar la calificación pro- medio (CT) . Si ésta esla última calificación, ir al paso 8;de otra manera, continuar. Determinar la calificación promedio (CP) mediante PEP CEP + PT * CT PEP PT CP = Ir al paso 10. Introducir la calificación del examen final (CEF). Determinar la calificación promedio (CP) mediante PEP CEP + PT CT + (PEF) (CEF) PEP + PT + (PEF) CP = Imprimir el número del curso, nombre y calificación promedio Detener los cálculos. a) Escríbaseun programa basado en este algoritmo b) Rastréese y pruébese usando los datos: PEP = 35;PT = 25; PEF = 40; Exá- menesparciales = 100, 98, 83, 76, 100; tareas = 96, 94, 83, 100, 77, y examen final = 88. c) Prepárese una pequeña documentación para el programa. 2.13 La figura para este problema muestra el reverso de una hoja de estado de cuenta de cheques. El banco ha elaborado esta hoja para ayudar en el balance de una cuenta de cheques.Si se observa bien, se podr6realizar un algoritmo. Desarrólle- se, rastréesey documéntese un programa que obtengael saldo actual dela cuen- ta de cheques basado en el esquema de la figura. Se pueden usar los números de la figura para probar el programa. 2.14 Escríbase, rastréese y documéntese un programaquedetermine las estadísticas del deporte preferido. Escójase cualquiera desde futbol hasta el lanzamiento de bolos. Si el lector practica deportes eninteriores elabórese uno para el propio equipo. Diséñese el programa de forma tal que sea legible y muestre información intere- sante a cualquiera (por ejemplo,al entrenador o jugador) que pueda usarse para evaluar el rendimiento de los jugadores. 2.15 Úsese la opción de graficación del programa BISECCIÓN (en el disco NUMERI- COMP) para trazar varias funciones de cualquiertipo. Pruébense funciones poli- nominales y trascendentes cuyo comportamiento sea difícil de visualizar antes de graficarlas. Úsense varias alternativas para ambos ejesx y y para facilitar la explo- ración. Háganse copias permanentes de los trazos si se tiene una impresora. 2.16 Se debe lograr la capacldad de graticar funciones de una forma parecida a como lo hace el programa BISECCIÓN. Prográmese la computadora de una manera apropiada para lograrlo. Si la computadora no tiene un sistema operativo cuyos programas puedan ayudar, entonces se deben escribir, usando las capacidades de la misma. ?.
- 73. 62 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS EL ÁREA DE ABAJO SE PROPORCIONA PARAAYUDAR EN EL SALDODEL TALONARlO CHEQUESPORCOBRAR NO CARGADOSALESTADODE CUENTA 4 58 O050466 IS4446S 329464 74I4463 O015046 I 33134 60 685 ~ FIGURADELPROBLEMA 2.13 MES Abrl I I p ~ SALDO NUEVO COMO SE MUESTRA EN 643.S4 ESTEESTADODECUENTA SUMA DEPóSITOSQUE NO 250.00 CUENTA ESTANEN ESTEESTADODE 22. IS TorAL S RESTA TOTAL DE CHEQUES POR COBRAR SALDO DEL TALONARIO 600.52 DESPUÉS DERESTARLA CARGADESERVICIODEL MES ACTUAL Y SUMAR LOS INTERESESDEVENGADOS ( s b l o LASCUENTAS AFAVORDELSALDO El programa se debe guardar en un disco de memoria magnética. Documéntese este programa después de rastrearlo y examinarlo cuidadosamente. Déjese listo para poder modificarlo de acuerdo a los requisitos del libro, conforme se avance 2.17 Apréndase la manera de hacer copias permanentes de las gráficas del problema 2.16 si se Tiene una impresora.
- 74. C A P í T U L O T R E S APROXIMACIONES Y ERRORES Debido a que la mayor parte de los métodos expuestos en este libro son muy claros en su descripción y en sus aplicaciones, resulta tentador en este momento ir directamente al cuerpo principal del texto y averiguar el uso de estastécnicas. Sin embargo, ya que los errores son parte intrín- seca en el entendimiento y uso efectivo de los métodos numéricos, se ha escogido este capítulo para desarrollar este tema. La importancia de los errores se menciona por primeravez con el pro- blema delparacaidista, en el capítulo 1. Recuérdesequesedeterminó la velocidad de caída del paracaidista analítica y numéricamente. Aun- que con la técnica numérica se obtuvo una solución cercana a la real (la analítica), hubo cierta discrepanciao error, debido aq1.le los métodos nu- méricosson sólo una aproximación. La mayor parte de las técnicas desarrolladas en este libro tienen la característica de poseer errores. Esto puede parecer contradictorio a pri- mera vistaya que no coincidecon la imagen que setiene de un buen mecanismo de ingeniería. Los estudiantes y pasantes deingeniería luchan constantemente para limitar este tipo de errores en sus trabajos. Cuando hacen un examen o realizan tareas, son sancionados mas no premiados por sus errores. En la práctica profesional, los errores pueden resultar cos- tosos y en algunas ocasiones catastróficos.Se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil,si no imposible, alcanzarla. Por ejemplo, a pesar de que el modelo obtenido mediante la segunda ley de Newton es una aproximación excelente. en la práctica jamás predecirá exactamente la caída del paracaidista. Algunos fenómenos, tales como la velocidad del viento y alguna pequena variación en la resistencia del airecambiarán totalmente la predicción,Si estas desvia- ciones se comportan bajo un patrón constante ya sea subiendo o bajando. bastará con formular un nuevo modelo. Sin embargo, si su distribución es aleatoria pero se agrupamuy próxima alrededor de la predicción, entonces las desviaciones pueden calificarse como insignificantes y el modelo nueva- mente se considerará adecuado. Las aproximaciones numéricas pueden in-
- 75. 64 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 3.1 troducirerroressimilaresenelanálisis.Nuevamentelapregunta es: ¿qué errorpuedeconsiderarsetolerable? Estecapítulocubrevariosaspectosqueidentifican,cuantifican y mini- mizan estoserrores. Enlasprimeras secciones se revisalainformación referente a lacuantificacióndeloserrores.Enseguidaseestudiandosde los erroresmás comunes: errores de redondeo y erroresdetruncamiento. Los errores de redondeose deben a que la computadorasólo puede repre- sentarcantidadescon un númerofinito dedígitos. Los errores de trunca- miento representanladiferenciaentreunaformulaciónmatemáticaexacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico. Final- mente, se discuten los errores sin relacionarloscon ningún método nu- mérico en especial. Incluyendoerrorespor equivocación, erroresen la formulacióndemodelos y la incertidumbre enla obtención de datos. CIFRAS SIGNIFICATIVAS En este libro se analizan casi exclusivamente aproximaciones que se relacio- nanconel manejo de números. En consecuencia, antesde discutir los erro- res asociados con los métodos numéricos, esútil repasar algunosconceptos básicos referentes a la representación aproximada de los números mismos. Cuando seemplea un número en un cálculo, debehaberseguridad quepuedausarseconconfianza.Por ejemplo, la figura 3.1 muestra un velocímetro y el odómetro (contador de kilometraje) deun automóvil. Con un simple vistazo al velocímetro puede verse que el automóvil viajaa una velocidadcomprendidaentre 48 y 49 km/h. Ya que la flecha está más FIGURA 3.1 El velocímetro y el odómetro de un automóvil ilustranel concepto de ci- fras significativas.
- 76. APROXIMACIONES Y ERRORES 65 alládelamitaddelas marcasdelindicador, se puedeasegurarque el automóvil viaja aproximadamentea 49 km/h. Este resultado casies verí- dico ya que dos o más lecturas individualesal indicador llevana la misma conclusión. Sin embargo, supóngase que se desea obtener una cifra de- cimal más en la estimación de la velocidad. En este caso, alguien puede decir48.7, mientras que otro podrá decir48.8 km/h. Por lo tanto, debi- do a los límites del instrumento, únicamente se pueden usar dos dígitos con confianza. Las estimacionesdeltercerdígito (o más) sólo se pueden calcu- lar someramente. Seríaridículo afiimar, con base al velocímetro, que el auto- móvil está viajandoa una velocidad de 48. 764 213 8 km/h. En contraste, el odómetro muestra hasta seis dígitos confiables. De la figura 3.1 se puede concluir que el automóvil ha recorridoun poco menos de87 324.5 km du- rante su uso. En este caso el séptimo dígito (y los siguientes) sedesconocen. El concepto de cifras o digitos significatiuos se hadesarrolladopara designar formalmentela confiabilidadde un valor numérico. El número decifrassignificativas es el númerodedígitos,más un dígitoestimado que se puedausarconconfianza.Por ejemplo, el velocímetro y el odó- metro de lafigura 3.1 estimanhastatres y sietecifrassignificativas res- pectivamente.Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarsesóloparaubicar el puntodecimal. Los números 0.000018 45 0.000184 5 0.001 845 tienen cuatro cifras significativas. Cuando se incluyen ceros en números muy grandes, no se ve clarocuantos ceros sonsignificativos, sies que los hay. Por ejemplo, enelvalor nominal, el número 45 300 puede tener tres, cuatro o cincodígitossignificativos,dependiendo si los ce- ros se conocen conexactitud.Laincertidumbre se puede desechar usandolanotacióncientífica en donde 4.53 X lo4, 4.530 X lo4 y 4.530 O x lo4 muestranque el númerotiene tres, cuatro y cin- co cifrassignificativas. El concepto decifrassignificativastienedosimplicacionesimportan- tes enel estudio de los métodosnuméricos. 1. Como sedijoenelproblemadelparacaidista, los métodosnuméri- cos obtienenresultadosaproximados.Por lo tanto, se deben desa- rrollarcriteriosparaespecificarquétanprecisosson los resultados obtenidos.Una manera de hacerlo esen términos de cifras significati- vas. Por ejemplo, se puede decidir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativas -es- to es, debeexistirseguridadquelasprimerascuatrocifrasson co- rrectas.
- 77. 66 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS 2. Aunque ciertas cantidades tales como T , e, o firepresentan números específicos, no se pueden expresar exactamente conun número fini- to de dígitos. Por ejemplo, el número T es igual a 3.141 592 653 589 793 238 462 643 . hasta el infinito. Debido a que las computadoras personales sólo re- tienen aproximadamente diez cifras significativas(comúnmentevarían entre 7 y 14, como se puede ver en el cuadro 2.l),tales números jamás se podrán representar exactamente. A la omisión del resto de cifrassignificativas se le conoce como error de redondeo. Los erroresde redondeoy el uso de cifras significativaspara expresar la exactitud de un número se estudian con más detalle en las siguientes secciones. Además, el concepto de cifrassignificativas tiene mucha im- portancia en la definición de exactitud y precisión en la siguiente sección. 3.2 EXACTITUD Y PRECISIóN Los errores asociados con loscálculos y medidas se pueden caracterizar observando SU precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1)el núme- ro de cifras significativas que representan una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida alvalor verdadero que se supone representa. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analo- gía con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura 3.2 se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representala verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo)se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura 3 . 2 ~están más juntas que las de la figura 3.2~1,los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras 3.2b y 3.2d son igualmente exactas (esto es. igualmente centradas respectoal blanco), la última es más precisaya que las balasestán en un grupo más compacto. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos paraque cumplan los requisitos de un problemaparticular de inge- niería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. En este libro se usa el término error para representarla ine- xactitud y la imprecisión de las predicciones. Con estos conceptos como antecedentes, ahora se puedendiscutir los factores que contribuyen al error en los cálculos numéricos.
- 78. APROXIMACIONESY ERRORES 67 FIGURA 3.2 Un ejemplo de un buentirador ilustrael conceptode exactitud y preci- sión. o) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso;c) inexacto y preci- so; d) exacto y preciso. 3.3 DEFINICIONES DE ERROR Los errores numéricos se generan conel uso de aproximaciones para re- representar las operaciones y cantidades matemáticas.Estos incluyen erro- resdetruncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resul- tan de representar aproximadamente números exactos. Para los dos ti- posdeerrores, la relación entre el resultadoexacto o verdadero y el aproximado está dada por Valor verdadero = valor aproximado + error [3.11 reordenando la ecuación (3.l),se encuentra queel error numérico es igual a la diferenciaentre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es E, = valor verdadero - valoraproximado D.21
- 79. 68 MgTODOS NUMeRICOSPARA INGENIEROS EJEMPLO 3.1 Cálculo de errores Enunciado del problema: supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectiva- mente. Silos valores verdaderos son10 O00 y 10 cm, calcúlesea) el error y b) el errorrelativoporcentual de cada caso. Solución: a) Elerrorenlamedicióndel puentees [Ec. (3.2)] E, = 10 O00 - 9999 = 1 cm y parael remache es de E,= 1 0 - 9 = l c m b) El errorrelativoporcentualparaelpuenteesde [Ec. (3.3)] 1 E” = 100% = 0.01 % 10 O00 y parael remache esde €, = -100% = 10% 10 Por lo tanto, aunqueambasmedidastienen un error de 1 cm, elerror relativoporcentual del remache esmuchomás grande. Se puede con- cluir que se ha hecho un buen trabajo enlamedidadel puente, mientras que la estimaciónpara el remache dejamuchoque desear. donde E, se usapara denotar elvalor exacto delerror. Se incluyeel subíndice v paradar a entenderquesetratadel“verdadero”error.Como ya se mencionó brevemente, esto contrastacon los otros casos, donde se debeemplearunaestimación“aproximada” del error. Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el or- dendemagnituddelvalorqueseestáprobando.Por ejemplo, un error de un centímetroesmuchomássignificativo si seestámidiendo un re- mache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de lascanti- dadesque se estánevaluandoesnormalizarelerrorrespecto al valor verdadero. como en Errorrelativofracciona1 = error valorverdadero
- 80. APROXIMACIONES Y ERRORES 69 donde, como ya se dijo en la ecuación (3.2)error = valor verdadero - valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por el 100%para expresarlo como error verdadero valor verdadero E , = 100% donde E, denota el error relatioo porcentual. Nótese que en las ecuaciones (3.2)y (3.3)E y E tienen un subíndice u que significa la normalización del error al valor verdadero. En el ejemplo 3.1, se utilizó el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones realeses a veces difícil contar con tal infornación. Para los métodos numéricos, elvalor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se puedan resolver analíticamente. Porlo general este seráel.casocuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin em- bargo, en aplicaciones reales, obviamente no se conocela respuesta verda- dera a priori. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es, a la aproximación misma, como error aproximado valor aproximado €a = 100% donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Nótese también que en aplicaciones reales, la ecuación (3.2) no sepuede usar para calcularel término del error para la ecuación (3.4).Uno de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento delos valores verda- deros. Por ejemplo, ciertos métodos numéricosusan un esquema iterati- uo para calcular resultados. En tales esquemas, sehace una aproximación en base a la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces, o de forma iterativa, para calcular sucesivamente más y mejores aproxi- maciones. En tales casos, el error a menudose calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo por- centual está dado por €a = aproximaciónactual - aproximación previa aproximación actual 100% [3.5] - En capítulos posteriores se explicarán con detalle éstey otros esquemas para expresar errores. El signo de las ecuaciones (3.2)hasta la (3.5)puede ser positivo o negativo. Si la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la apro- ximación previa es mayor quela aproximación actual),el error es negati- vo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo. También, en las ecuaciones (3.2)a la (3.5),el denominador puede ser
- 81. 70 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS menor de cero, lo que puedellevar a un error negativo. A menudo. cuando se realizan cálculos, puede noimportar mucho el signo del error sinomás bien que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada E,. Por lo tanto, a menudo es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones (3.2)a la (3.5).En tales casos, los cálculos se repiten hasta que Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenidoestádentrodel nivel aceptable, fijado previamente, E,. Es también conveniente enfocar estos erroreshacia el número de ci- fras significativas en la aproximación. Se puede demostrar (Scarborough. 1966)que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifrassignificativas. [3.7] EJEMPLO 3.2 Estimación del error para métodos iterativos Enunciado del problema: en matemáticas, a menudo se pueden repre- sentar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo, la función exponencial se puede calcular usando: [E3.2.1] Mientras más términos se le agreguen a la serie. la aproximación se acer- cará más y más al valor de ex.A la ecuación (E3.2.1)se le llama expan- sión en series de Maclaurin. Empezando con el primer término, ex = 1,y agregando un término a la vez, estímese elvalor de e"'. Después que se agregue cada térmi- no, calcúlense los errores relativos porcentuales real y aproximado. usando las ecuaciones (3.3)y (3.5),respectivamente.Nóteseque el valor real es eo = 1.648721 271. Agréguense términos hasta que elvalor abso- luto del error aproximado e, sea menor al criterio preestablecido. f , que contempla tres cifrassignificativas. Solución: en primer lugar, la ecuación (3.7)se puede emplear para de- terminar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al me- 1 nos tres cifrassignificativas: es = (0.5 X 102-3)%= 0.05% Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que E, sea menor que este nivel.
- 82. APROXIMACIONES Y ERRORES 71 La primera estimación es iguala la ecuación (E3.2.1)con un sólo tér- mino. Por lo tanto la primer estimación es igual a l. La segunda estima- ción se obtieneagregando el segundo término, como sigue: e x = l + x y para x = 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5 Querepresenta un errorrelativoporcentualde [Ec. (3.3)] 1.648721271 - 1.5 = 9.029% €" = 1.648721271 La ecuación (3.5)determina una estimación aproximada del error, dado por: 1.5 - 1 Eo = 1.5 100%= 33.3% Ya que E, no es menor que elvalor prefijado, E$, los cálculos continúan agregandootro término, x2 / 2! y repitiendo los cdlculosdeerrores. El proceso se continúa hasta que eo < E,. Todos los cálculos se pueden re- sumirde la siguiente manera. Términos Resultado E" 9% EL7 5% 1 39.3 2 9.02 33.3 3 1.625 1.44 7.69 4 1.645833333 O. 1751.27 5 1.648437500 0.0172 O. 158 6 1.648697917 0.00142 0.0158 Así, después de que los seis términosse incluyen, el error estimado baja de E, = 0.05%, y el cálculotermina. Sin embargo, nótese que en vez de tres cifras significativas, ¡el resultadose mejora al llegar a cinco cifras! Esto se debe a que, para este caso, las ecuaciones (3.5)y 3.7) son con- servativas,esto es, aseguran que los resultados sonpor lo menos tan bue- nos como lo especifican. Aunque, como se analiza en el cápítulo 5, este no es siempreel caso para la ecuación (3.5),y es ciertocasisiempre. Con las definicionesanteriorescomoantecedente,sepuedeproceder ahora sobrelos dos tipos de error ligados directamente conlos métodos nu- méricos. Estos son los errores de redondeo y los erroresdetruncamiento.
- 83. 72 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS 3.4 ERRORES DE REDONDEO Como ya se ha mencionado, los errores de redondeo se deben a que las computadorassólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizanestafuncióndemanerasdiferentes. Por ejemplo,si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenary usar K como K = 3.141 592,omitiendolos términos restantes y generando un errorde redondeo,[de la ecuación (3.2)]: E, = 0.000 O00 65. Laanterioresunadelasvariasformasqueutilizaunacomputadora para redondear números. Esta técnica de retener sólo los primeros siete términos se lellamó “truncamiento”enel ambiente de computación. De preferencia se lellamará de corte paradistinguirlode los errores de trunca- mientodiscutidosen la próxima sección. Un corteignora los términos res- tantes de la representación decimal completa. Por ejemplo, el octavo dígito significativoeneste caso es 6. Por lo tanto K se representa de manera más exacta como3.141 593que como3.141 592 obtenido medianteun corte, ya que el valor está más cercano del valor verdadero. Esto se puede visuali- zardelasiguiente manera, si K seaproximapor K = 3.141 593, elerror de redondeo sereduce a: E, = 0.000 O00 35. Las computadoras se pueden desarrollar para redondear números de acuerdo a reglasde redondeo,como laquese acabademencionar.Sin embargo, esto agrega costo computacional por lo que algunas computado- rasusanelcorte directo. Este enfoque se justifica bajo la suposición de que elnúmerodecifrassignificativasen la mayor parte de las computadoras es muchomayorqueelerrorde redondeo dado por un corteusualmente in- significante.Estasuposiciónsesustentaenelsiguiente ejemplo. Los errores de redondeo asociados con el ejemplo 3.3 son impercep- tibles en todos los casos cuando se comparan conel error de truncamiento en t = 12 S que es (véanse los ejemplos 1.1 y 1.2): 4749.0 - 4995.9 E, = 4749.0 100 = -5.20% EJEMPLO 3.3 Efectos del error de redondeo en los cálculos del problema del para- caidista Enunciado del problema: repítanse los cálculos del ejemplo 1.2, usando tres, cuatrocinco y seiscifrassignificativas.
- 84. APROXIMACIONES Y ERRORES 73 CUADRO 3.1 Comparacibn del problema del paracaidista usan- do una cantidad diferente de cifras significativas,con un tamaño de paso igual a2 s. Los cálculos se reali- zan con el número de cifras significativas indicadas. VELOCIDAD, cmls (cifras significativas) Tiempo, S 3 4 5 6 O O O 0.0 0.0 2 1960 1960 1960.0 1960.00 4 3200 3200 3200.4 3200.46 6 3980 3985 3985.5 3985.54 8 4470 4482 4482.3 4482.41 10 ’. 4780 4796 4796.8 4796.88 12 4980 4995 4995.8 4995.91 Solución: usando tres cifras significativas, u(2) se calculará como en el ejemplo 1.2: u(2) = 1960 Con tres cifras significativas, el valor de u(4) = 3 200.5se representará como 3 200. Los cálculos continúan de la siguiente manera: u(6) = 3 980 u(8) = 4 470 u(10) = 4 780 u(12) = 4 980 El resto de los cálculos resueltos están en el cuadro 3.1. El valor numérico de t = 12 S y hasta 10 cifras significativas es de 4 995.921508. Por lo tanto, usando tres, cuatro,cinco y seis cifras signi- ficativasse producenlos errores relativos porcentuales de redondeo0.32, 0.018, 0.002 4 y 0.000 23, respectivamente. Ya que la mayorparte de las computadoras tienenentre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importan- tes. Sin embargo, hay dos razonesdel porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos: 1. Ciertos métodosrequierencantidadesextremadamentegrandespara obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Esto es, los cálculos posterioresson dependientes delos an- teriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual
- 85. 74 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS puedeser muy pequeño, el efecto deacumulación enel transcurso de lagran cantidaddecálculospuedesersignificativo. 2. El efecto del redondeo puede ser exageradocuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean númerosmuy pequeños y muy grandes almismo tiempo. Ya queeste caso se presenta en muchos métodos numéricos, elerrorde redondeo puederesultardemucha importancia. EJEMPLO 3.4 La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos Enunciado del problema: determínesela diferencia de dos números gran- des: 32 981 108.123 4 y 32 981 107.998 9.En seguida, repítanse los cálculosperoincrementando elminuendoen un 0.001%. Solución: la diferenciadelosnúmeroses 32 981 108.123 4 -32 981 107.998 9 0.124 5 Ahora, incrementandoel minuendo en un 0.001% se obtiene el número 32 981 437.934 5, y la diferencia es: 32 981 437.934 5 -32 981 107.998 9 329.935 6 que es considerablemente diferentede la primera. De aquí que una mo- dificación en el minuendo, aparentemente insignificante, provoca una gran diferenciaen el resultado. Los tipos de errores mencionados hasta ahora pueden tener dificulta- desparaciertosmétodosnuméricos.Estos se discutenenlassiguientes secciones dellibro. 3.4.1 Reglas deredondeo Las reglas para redondear números en cálculos manuales se analizan en el recuadro 3.1y se ilustran en el ejemplo 3.5. Estas reglasno se aplican normalmente cuandose realizan cálculos extensospor computadora. Sin embargo, ya que se usan cálculos manuales a lolargodel texto, se han incluido estas reglascomo punto de referencia para cálculos posteriores.
- 86. APROXIMACIONES Y ERRORES 75 RECUADRO 3.1 Reglas de redondeo Las siguientes reglas dan la pauta a seguirenel redon- deo de números cuando se realizan cálculos a mano. 1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta (fig. B3.1).El últimodígito que se conserva se aumenta en uno siel primer dí- gito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si elprimerdígito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces elÚltimodígito reteni- do se incrementa en 1, sólo si es impar. 2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último dígito retenido en la res- puesta corresponda al último dígito m6s significativo de los números que estdn sumando o restando. N6- tese que un dígitoen la columna de las centésimas es m6s significativo que uno de la columna de las mi- lésimas. 3 . Para lamultiplicación y para ladivisiónel redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas delresul- ultimo Primer digito digito 5.6170 431 tad0 es igual al número más pequeño de cifras signi- ficativas que contiene la cantidad en la operación. 4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o res- tar el resultado de las multiplicaciones o de lasdivi- siones. Multiplicación multiplicación ( diviión ) (divizón )o también se pueden multiplicar o dividir los resulta- dos de lassumas y las restas: En ambos casos, se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado antes de proceder con otra operación, en vez de redondear Únicamente el resul- tado final. Digitas Digitos retenidos o descartadas significativas FIGURA B3-1. Ilustración de los dígitos retenidos y descartadosde un número con cin- co cifras significativas. EJEMPLO 3.5 Ilustraciones de las reglas de redondeo Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizadasenel recuadro 3.1 1. Errores de redondeo 5.6723 ”+ 5.67‘ 3 cifrassignificativas
- 87. 76 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS 10.406 ”+ 10.41 4 cifrassignlficativas 7.3500 -7.4 2 cifrassignificativas 88.21650 -.+ 88,216 5 cifrassignificativas 1.25001 1.3 2 cifrassignificativas 2. Sumas y restas. (Nota: lasúltimascifrasmássignificativas que se re- tienen, estánennegritas) : a) Evalúese 2.2 - l.768 2.2 - 1.768 = 0.432 +0.4 b) Evalúese 4.68 x lop7 + 8.3 x - 228 x lop6.La eva- luación deeste cálculose facilita expresando los números conun mismo exponente: 0.004 68 x + 8.3 x - 2.28 x De esta manera, se puede ver claramente que el 3 es elúltimodígito significativoreteniendo, por lo que la respuesta se redondea de la si- guiente manera: 6,02468 x -6.0 x 3. Multiplicación y división: a) Evalúese 0.0642 X 4.8 0.0642 X 4.8 = 0.308 16 ”-+ 0.31 b) Evalúese 945 f 0.3185 945 0.3185 = 2 967.0329 67 . . . -”+ 2 970 4. Combinaciones: a) Evalúese [15.2(2.8 x + [(8.456 x + 0.1771 Primero, efectúense lamultiplicación y la división que estándentro de los corchetes: [4.256 X 10.~1+ [4.777 401 . . . + ‘10.~1 Ahora, antesde sumar, se redondeanlascantidades encerradas: y despuéssúmese y redondéese el resultado:
- 88. APROXIMACIONES Y ERRORES 77 I 9.08 X 10-3-A9.1X 10-3 6.740X 10-5- 8.7X 10-7 b) Evalúese 2.672X lo3+ 5.8 Antes de realizar las sumas y las restas, se expresan los números del nu- merador y del denominador de manera que estén elevadosal mismo ex- ponente. 674 X 10-7- 8.7 X 10-7 2.672 x lo3 + 0.0058 x lo3 Ahora se hace la suma y la resta: 665.3X 2.6778 x lo3 1 y seredondea: 665 X 10-7 2.678X lo3 finalmente, se divide y se redondea el resultado: 2.483 196. . . X lo-*"+ 2.48x 3.5 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproxi- mación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en el capitulo 1 se aproximó la derivada de la velocidad de caída de un para- caidista mediante la ecuación de diferencia divididade la forma [€c. (l.lo)]: Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación de diferencias sólo aproxima el valor verdadero de la deriva- da (Fig. 1.3).Además para obtener conocimiento de las características
- 89. 78 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS de estoserroresseregresa a la formulaciónmatemáticausadaamplia- mente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma poli- nomial:La serie de Taylor. 3.5.1 Serie de Taylor Enel ejemplo 3.2 se usauna serie infinitaparaevaluarunafunciónen un valor específico de lavariable independientex. De manera similar, la seriedeTaylordaunaformulaciónparapredecirelvalordelafunción en x,+lentérminos de lafunción y de susderivadasenunavecindad al punto x,. Envez de presentar en conjunto la serie de Taylor, se obtendrá más conocimiento de lamisma construyéndola términoa término. Por ejem- plo, elprimertérminodelaserie es: Estaigualdad, conocida como aproximacióndeorden cero, indica que el valor def en el nuevo punto esel mismo que el valor en el punto ante- rior.Esteresultado se lograintuitivamente ya que si xi y xi+ están muy próximasunade la otra, entonces esigualmenteposibleque el nuevo valor sea probablemente similaral anterior. La ecuación (3.9)da una estimación perfecta silafunción que se va a aproximar es una constante. Sin embargo, si la función cambia en todo el intervalo, entonces se requieren los términos adicionalesde la serie de Taylor para obtener unamejor aproximación. Por ejemplo, la aproxima- ción aprimerorden se obtienesumandootrotérmino al anteriorpara obtener: [3.10] El término adicional de primer orden consiste de la pendiente f' (xi) mul- tiplicada por la distancia entre xiy xi+l.Por lo tanto, la expresión ahora representa una línea rectay es capaz de predecir un incremento o un de- cremento de lafunción entre xi y x ~ + ~ . Aunque la ecuación (3.10)puede predecir un cambio, sólo es exacta paraunalínearecta o esdedirecciónlineal. Por lo tanto, se leagrega a la serie un término de segundo orden para obteneralgo sobre la curva- turade la función si es que la tiene: [3.11] De manera similar, se pueden agregar términos adicionales para desarro- llarla expansióncompletade la seriedeTaylor:
- 90. APROXIMACIONESY ERRORES 79 +m(xi+l- Xj)3 + . . . + -f(,)(Xi) 3! (Xii-1 - xi)" + R"n! [3.12] Nótese que debido a quela ecuación (3.12) es unaserie infinita, el signo igual reemplaza al de aproximación usado en las ecuaciones (3.9)a la (3.11). Seincluye un término residual para considerartodos los términos desde n + 1 hasta el infinito: f'"+"(h)R, = (n + l)! (Xi+1 - Xi),+] [3.13] donde el subíndice n indica que el residuo es dela aproximación a n-esimo orden y ( es un valorcualquiera de x que se encuentra en xi y xi+ La inclusión de dentro de la serie esdemucha importancia al grado que se dedica una sección completa (sección 3.5.2)para su estudio. Por ahora, essuficiente darsecuenta queexiste estevalor que da una estima- ción exacta del error. Frecuentemente es convenientesimplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = - xi y expresando la ecuación (3.12)como: en donde el término residual es ahora: [3.15] EJEMPLO 3.6 Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor. Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:
- 91. 80 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS desde elpunto xi = O y con h = 1. Esto es, predecirelvalor de la fun- ciónen xi+ = 1. Solución: ya que se tratadeunafunción conocida, se puedencalcular valoresde f (x) O y 1. Los resultados (Fig. 3.3) indicanquelafunción empiezaen f (O) = 1.2 y continúahaciaabajohasta f (1) = 0.2. Por lo tanto, elvalor que se tratadepredecires 0.2 La aproximaci6n en serie deTaylor de orden cero es [Ec. (3.9)1: Como se puede verenlafigura 3.3, la aproximacióndeorden cero es una constante. El errordetruncamiento en este caso es [recuérdese la ecuación (3.2)]: E” = 0.2 - 1.2:- 1.0 en x = 1. x = O, como: Para n = 1, laprimerderivada se debedeterminar y evaluaren FIGURA3.3 La aproximación de {(x) = -0.1 x4 - 0 . 1 5 ~ ~-0.5~’- 0 . 2 5 ~+ 1.2 en X = 7 mediante series de Taylor de orden cero, de primero y se- gundo orden.
- 92. APROXIMACIONESY ERRORES 81 I Laaproximaciónaprimerorden es[Ec. (3.10)] f ( x i + l )E 1.2 - 0.25h que se puede usar para calcularf (1)= 0.95. Por consiguiente,la aproxi- mación empieza a coincidir conla trayectoria de la función como la pen- diente de una línea recta (Fig.3.3).De esta manera el error de truncamiento se reduce a: E, = 0.2 - 0.95 = -0.75 en x = 1.Para n = 2, se evalúa la segundaderivadaen x = O: f”(0)= -1.2(0.0)*- 0.9(0.0)- 1.0 = -1.0 y de acuerdo a la ecuación (3.11): f ( x i + l ) 1.2 - 0.25h - 0.5h2 y, sustituyendo h = 1 f(1)= 0.45 Al incluirse la segunda derivadase añade una curvatura descendente que proporcionauna estimación mejor, como se muestra en la figura 3.3. El errordetruncamiento se reducea 0.2 - 0.45 = - 0.25. Los términos adicionales mejoranaún m6s la aproximación. En efec- to, incluyendo la terceray la cuarta derivada, se obtiene la ecuación original: f ( q + l ) = 1.2 - 0.25h - 0.5h2- 0.15h3- 0.10h4 donde eltérminoresidual es: ya que laquintaderivada de un polinomio de cuartoordenes nula, R4 = O. Por consiguiente, la expansiónenseriedeTaylorhastalacuarta derivadaproduceunaaproximación exacta en x = 1. En general,la expansión en serie de Taylor de n-ésimo ordenes exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas di- ferenciables, como las exponencialeso senoidales, no se obtiene una estima-
- 93. 82 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS ción exacta medianteun número finito de términos. Cada uno de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea con poco. Esto se muestra en el ejemplo 3.7. Seobtendría un resultadoexacto, únicamente si seagrega un númeroinfinito detérminos. Aunque lo anterior se cumple, elvalor práctico de la serie de Taylor estriba, enlamayorpartedelos casos, enel usode un númerofinito de términosquedaránunaaproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. La decisión sobre cuán- tos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”se basa eneltérminoresidualdela expansión. Recuérdese que eltérmino residualesdelaforma general de la ecuación (3.15).Esta fórmula tiene dos grandes desventajas. Primero [ no se conoce exactamente sino que sólo se sabe queestáentre xi y xi+ Segundo, para la evaluación de la ecuación (3.15)se requiereevaluar la (n + 1)-ésima derivada de f(x). Para hacerlo, se necesita conocer f(x) . Pero, siya se conoce f(xj, ¡enton- ces no hay razón para realizar la expansión en series de Taylor en primer lugar! A pesardeestedilema, la ecuación (3.15)aúnresulta útil parala eva- luación de errores de truncamiento. Esto se debea que tiene control sobre el término h de la ecuación. En otraspalabras, se puededecidirquétan lejos de x se desea evaluarf(x) y se puede controlarla cantidad de térmi- nosincluidosenla expansión. Por lo tanto, la ecuación (3.15)se expre- sa, usualmente como: R, = O(hntl) donde la nomenclatura O(h + I) significa que el error de truncamiento es de orden h,+ Esto es, el erroresproporcional al paso h a la (n + 1) -enésima potencia. Aunque esta aproximación noimplica nada relacionado conlasderivadasquemultiplica h ,+es extremadamente útil al evaluar el errorrelativode los métodosnuméricosbasadosenlas expansiones en serie de Taylor. Por ejemplo, siel error es O (hj,y se reduce a la mi- tadel paso, entonces elerror se reducirá a la mitad. Por otro lado. siel errores O(h2)y se reduce a lamitadel paso, entonces elerror se redu- cirá a unacuarta parte. EJEMPLO 3.7 Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un númeroinfinito de derivadas. Enunciado del problema:úsense los términosde la seriedeTaylorcon n = O hasta 6 paraaproximar: f (x) = cos x
- 94. APROXIMACIONESY ERRORES 83 en x = a / 3 (60O)en base alvalor def (x)y de sus derivadas alrededor delpunto x = a / 4 (45). Nóteseque esto significaque h = a / 3 - a / 4 = a / 1 2 . Solución: como en el ejemplo 3.6,el conocimiento dela función original implicaque se puede conocer elvalor exacto de f (a / 3 ) = 0.5. Laaproximacióndeorden cero es [Ec. (3.9)]: f(d3) = COS ( d 4 ) = 0.707 io6781 querepresenta un errorrelativoporcentual de: E” = 0.5 - 0.707106781 loo^ = “41,49g 0.5 Para la aproximación de primer orden, se suma el término que con- tiene a laprimer derivada,donde f’(x) = - sen x: f(:) COS (3-Sen(:)(g) = 0.521986659 quetiene un errorrelativoporcentualde E, = - 4.40. tiene a la segundaderivada,donde f’ ’ (x) = - cos x: Enla aproximaciónde segundoorden, se incluye el término quecon- con un errorrelativoporcentual de E, = -0.449. Por lo tanto, al agre- garmástérminos a laserie se obtieneunamejoraproximación. Este proceso se puede continuar,los resultados se muestran en el cua- dro 3.2. Nótesequelasderivadasnunca se acercan a cero, como es el CUADRO 3.2 Aproximaciones mediante la serie deTaylor de f (x) = cos x en x I 3 alrededor delpunto x 14. Los ~ valores se muestran para varios brdenesde apro- I xirnaci¿n (m). Orden n f”(x) P(nI3) C” O cos x 0.707106781-41.4 1 -sin x 0.521986659 2 -4.4 “cos x 0.497754491 3 0.449 sin x 0.499869147 4 2.62 x cos x 0.500007551 5 -sin x 0.500000304 6 -cos x 0.4999999882.40 x -1.51 X 10-3 -6.08 X 10-5
- 95. 84 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS casodelpolinomiodelejemplo 3.6. Sin embargo,cada término que se le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese también que la mayor aproximación se consigue con los primeros términos. En este caso, en el momento que se le agregó el tercer término, el error se redujo al 2.62 x lo-*%, lo que significa que se haalcanzado el 99.9738% del valor exacto. Por consiguiente, si se le agregan más términos a la serie el error decrece, pero la mejoría será mínima. En general, se puede suponer queel error de truncamientodisminu- ye agregando términos a la serie de Taylor. Además, si h es lo suficiente- mentepequeño,entonces los términos de primero y segundoorden influyen desproporcionadamente en el porcentaje del error. Esta propie- dad se ilustra en el ejemplo siguiente. 3.5.2 El residuo delaexpansión en la serie de Taylor Antes de demostrar cómo se usa la serie de Taylor en la estimación de errores numéricos, se debeexplicar por qué seincluye el argumento [ en la ecuación (3.15).Envez de presentar una derivación matemática ge- neral se desarrollará una exposición más simple basada en una interpre- tación geométrica. En seguida se puede extender este caso específico a una formulación más general. Supóngase que se truncóla expansión en seriede Taylor [€c. (3.14)l después del término de orden cero para obtener: f(Xi+l) = f(x0 En la figura 3.4 se muestra un bosquejo de esta predicción de orden ce- ro. El residuo o error de esta predicción, que se muestra también en la figura, consiste de la serie infinita de términos que fueron truncados: Ro = f’(xi)h + -h2 + -h3 + . . .f”(Xi) f’”(X.) 2! 3! Es obvio que tratar el residuo de esta serie infinita con este formato es inconveniente. Se puede obtener unasimplificación truncando el resi- duo mismo, de la siguiente manera: Ro 2 f’(xi)h [3.16] Aunque, como se mencionó en la sección previa, los términos de las de- rivadas de ordeninferior cuentan mucho más enel residuo que los térmi- nos de las derivadas de ordensuperior, este resultado todavíaes inexacto, ya que se han despreciado los términos de segundo orden y de órdenes
- 96. APROXIMACIONES Y ERRORES 85 FIGURA 3.4 Representacióngráfica de unapredicciónde la serie deTaylorcon residuo. superiores. Esta “inexactitud” se denota mediante el símbolo de aproxi- mación a la igualdad ( =) empleado en la ecuación (3.16). Una simplificación alterna que realiza la aproximación a una equiva- lencia está basada en el esquema gráfico. Nótese que en la figura 3.4 el error Lo pudo haberse determinado si se hubiera sabido la posición del valor exacto. Obviamente este valor es desconocidoya que de otra ma- nera no sehubiese requerido dela expansión en serie de Taylor.Sin em- bargo, el teorema delvalor medio del cálculo ofrece una forma de rehacer el problema para evitar en forma parcial este dilema. El teorema del oalor medio diceque si una función f (x)y su primera derivadasoncontinuassobre un intervalo [x, xi+J, entonces existe al menos un punto sobrela función que tiene una pendiente,dada por f’ (E), que es paralelaa la línea que une f’(xi)con f’(xi+1).El parámetro 4 marca el valor x donde ocurre la pendiente (Fig. 3.5).Se puede hacer una ilustración tangible de este teorema en el hecho de que si se viaja entre dos puntos con una velocidad promedio, habrá al menos un mo- mentodurante el curso del viaje en el quese mueva a esavelocidad promedio. Al hacer uso de este teorema resulta fácil darse cuenta, como seilustró en la figura 3.5,que la pendiente f’(4)es igual a cociente Roentre h, o:
- 97. 84 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 3.5 Representación gráfica del teorema del valor medio. que se puede reordenar para obtener: Por lo tanto, seha obtenido el término de orden cerode la ecuación (3.15). Los términos de órdenes superiores son una extensión lógicadel razona- miento usado para derivar la ecuación (3.17),basado en la forma general del teorema extendido delvalor medio (Thomas y Finney, 1979).Por lo tanto, la versión de primer orden es: [3.18] En este caso, el valor de 4 conforma el valor de x que corresponde a la derivada de segundo orden que hace exacta a la ecuación (3.18).Los términos de orden másalto se pueden desarrollar de la ecuación (3.15). 3.5.3 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento Aunque la serie de Taylor es extremadamente útil en la estimación de errores de truncamiento a lo largo de este libro, puede que aún no esté muy claro cómo la expansión puede aplicarse en estos momentos a los métodos numéricos. En realidad, esto ya se hizo en el ejemplo del para-
- 98. APROXIMACIONESY ERRORES a7 caidista. Recuérdese que el objetivo de los ejemplos l.1y l.2 fue el de predecir la velocidad en función del tiempo.Esto es, se deseaba determi- nar u (t). Como se especificó en la ecuación (3.12),u (t)se puede expan- dir en la serie de Taylor como: Ahora, truncando la serie después del término con primera derivada, se obtiene: La ecuación (3.20) se puede resolver para: [3.21] " Aproximación de Error primerorden detruncamiento La primera parte de la ecuación (3.21) es exactamentela misma relación que se usó para aproximar la derivada del ejemplo 1.2 [Ec. (1.lo)].Sin embargo, con el esquema de la serie de Taylor se ha obtenido una esti- mación del error de truncamiento asociadocon esta aproximación de la derivada.Usando las ecuaciones (3.13)y (3.21) seobtiene: O ~-R1 - O(tii.1 - ti) ti+1 - ti [3.22] [3.23] Por lo tanto, la estimación de la derivada [Ec. (1.10)o !a primera parte de la Ec. (3.21)]tiene un error de truncamiento deorden t,+ - ti. En otras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debe ser proporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éstese divide a la mitad, entonces se espera queel error de la derivada, se reduzca ala mi- tad. 3.5.4. Diferenciación numérica A la ecuación (3.21) se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico, se le llarr,a diferencias diuididas finitas. Se puede representar
- 99. 88 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS generalmente como: O [3.24] [3.25] donde a Aj,se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia "hacia adelante" ya que usa los datos i e i -t 1para estimar la derivada (Fig. 3.6~1).AI térmi- no completo Af,/h se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo,las aproximaciones a primeras de- rivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manerasimilar a la de la ecuación (3.24).Las primerasusan a (Fig. 3.6b),mientras que las segundasusan infor- mación igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimada la derivada (Fig.3 . 6 ~ ) .Las aproximaciones más exactasde la primer de- rivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anterioresse pueden desarrollar para derivadas de segundo orden,tercer orden y órdenes su- periores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilus- trando cómo se deriva cada uno de ellos. Aproximaciones a la primera derivada con diferencias hacia atrás. La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anteriorsobre el valor actual, dada por: [3.26] Truncando la ecuación después de la primer derivada y ordenando los términos se obtiene: [3.27] donde el error es O (h) y V f, indica la primer diferencia dividida hacia atrús. Véase lafigura 3.6b para una representación gráfica,. Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales. Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación (3.26)
- 100. APROXIMACIONESY ERRORES 89 FIGURA 3.6 Gráfica de aproximaciones con diferencias divididas tinitas de la prime- ra derivada, a) hacia adelante, b) haciaatrás y c) centrales.
- 101. 90 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS de la expansión en serie de Taylor hacia adelante: para obtener que se puede resolver para or [3.28] [3.29] La ecuación (3.29)es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de h2 en contraste con las diferencias divididas hacia adelan- te y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, elanálisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exactade la derivada (Fig.3 . 6 ~ ) .Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte. Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias fini- tas. Junto ala primer derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar parauna estimación numérica de las derivadas de ordensuperior. Para hacerlo, se escribe una expansión en serie deTaylor hacia adelante para f (xj+*)en términos de f (xi)de la siguiente forma: f(Xi+2) = f k i ) + f'(XiI(2h) + - f"(xi)(2h)Z + 2 [3.30] La ecuación (3.28) se puedemultiplicar por 2 y restarse de la ecuación (3.30)para obtener: . . . que se puede resolver para: [3.31]
- 102. APROXIMACIONESY ERRORES 91 A esta relación se lellamadiferenciasdiuididasfinitas hacia adelante de segundo orden. Se puedenusarprocedimientossimilaresparaobtener lasversioneshaciaatrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden delasdiferenciasdivididashacia adelante, haciaatrás y centrales tam- bién pueden obtenerse (Fig. 3.7 a la 3.9).En todos los casos, las diferen- ciascentradas danuna mejoraproximación. Fórmulasde exactitud para diferencias de orden superior.Todas las esti- maciones anteriores truncaron las estimaciones dadas porla serie de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de más exactitud se pueden desarrollarincluyendotérminosadicionales.Por ejemplo, la expansión hacia adelante [Ec. (3.28)jse puederesolver para: [3.32] FIGURA 3.7 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia atrás. Se presentan dos versiones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos de la serie de Taylor y, por lo tanto, esmás exacta.
- 103. 92 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS I FIGURA 3.8 Fórmulas de diferencias divididas finitas haciaadelante. Se presentan dosversiones paracadaderivada. La segunda forma incluye más términos de la serie de Taylor, ypor lo tanto, esmás exacta. En contraste con la ecuación (3.24),se puede retener el término de se- gundo orden sustituyendo la ecuación (3.31)en la ecuación (3.32)para obtener: o agrupando términos Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud O (h’). Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares pa-
- 104. APROXIMACIONESY ERRORES 93 FIGURA 3.9 Fórmulas de diferencias divididas finitas centrales.Se presentan dos ver- siones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos de lo serie de Taylor y, por lo tanto, es más exacta. ra diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior. Las fórmulas se resumen en las figuras 3.7 hasta la 3.9. El siguienteejemplo ilustra la utilidad de las mismas en la estimación de derivadas. En esta sección sólo se han cubierto algunas de las formas con que la serie de Taylor es útil en el análisi numérico. Sin embargo, este mate- rial tiene como propósito inicial ayudar en la estimación y el control de errores de truncamiento. Muchosde los métodos numéricos de este libro se basan en la representación de aproximaciones simples, de órdenesin- feriores en vez de expresiones matemáticas complicadas. Ya que la ex- pansión enla serie de Taylor da una estructura mediantela cual se separan componentes de orden inferior y superior, se demostrará a lo largo del texto que éste esun vehículo para profundizaren los métodos numéricos.
- 105. 94 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS EJEMPLO 3.8 Aproximaciones de derivadas usando diferencias divididas finitas Enunciado del problema: úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelantey hacia atrás de O (h) y centradas, deO (h'), paraestimularlapri- meraderivada de: f(x) = - 0 . 1 ~ ~- 0 . 1 5 ~ ~- 0 . 5 ~ ~- 0 . 2 5 ~+ 1.2 en x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repetirloscálculos usando h = 0.25.Nótese que la derivadase puede calcular directamen- te como: f'(x) = - 0 . 4 ~ ~- 0 . 4 5 ~ ~- 1 . 0 ~- 0.25 y se puedeusarparacalcular elvalor exacto de f' (0.5) = - 0.912 5. Solución: para h = 0.5, se puedeusar lafunciónparadeterminar: x,-1 = o f(Xj-1) = 1.2 Xi+! = 1.0 f(xj+J = 0.2 xi = 0.5 !(X¡) = 0.925 Estos datosse pueden usar para calcular la diferencia dividida haciaade- lante [Ec.(3.24)]: f'(0.5) = 0.2 - 0.925 O.5 = -1.45 E, = 58.9% la diferenciadivididahaciaatrás [ € c .(3.27)]: f '(0.5) = 0.925 - 1.2 0.5 -0.55 E, = 39.7% y la diferenciadivididacentral [Ec. (3.29)]: Para h = 0.25, los datos son: xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.10351563 x, = 0.50 f ( x , )= 0.925 Xi+l -- 0.75 f(xi+l)= 0.636328 13 que se pueden usar paracalcular la diferencia divididahacia adelan- te: f'(0.5) = 0.636 328 13 - 0.925 -"1.155 = E" = 26.5% 0.25
- 106. APROXIMACIONESY ERRORES 95 la diferenciadivididahacia atrás: f'(0.5)= 0.925 - 1.103 515 63 0.25 = -0.714 E" = 21.7% y la diferenciadividida,central 0.636 328 13 - 1.103515 63 f ' ( 0 . 5 ) ~ 0.5 = -0.934 E, -2.4% Para los dos tamaños depaso, las aproximacionesde diferenciascentra- les son másexactas que las diferencias hacia atrásy hacia adelante. Tam- bién, comolo predijo el análisis de la serie de Taylor,la división del intervalo endospartesigualesdividealamitadelerrordelasdiferenciashacia atrás y hacia adelante,y a la cuarta parte el error de las diferencias centrales. 3.6 ERROR NUMÉRICO TOTAL El errornuméricototal es lasumade los errores de redondeo y de trunca- miento. Desde el problema del paracaidista (ejemplo 3.3)se descubrió que laúnicaformademinimizar los erroresderedondeoesladeincrementar elnúmerodecifrassignificativasdela computadora.Más aún, se notó que los errores de redondeo crecen conforme aumenta el número de cálculos. En contraste, el ejemplo 3.8 demostróque laestimaciónporderivadas se puedemejorardisminuyendoeltamañodel paso. Ya que un decremento enel tamaño del paso lleva a un incremento en los cálculos, los errores de truncamientodecrecenconformeelnúmerodecálculosaumenta.Porlo tanto, seencara elsiguientedilema:laestrategiadedisminuir un compo- nentedelerrortotalllevaalincrementodelotro.En un cálculo es concebi- ble disminuir el tamaño del paso para minimizarlos errores de truncamiento sólo para descubrir que al hacerlo, ¡los errores de redondeo empiezan a dominar la solución y el error totalcrece!. Por lo tanto, el remedio se con- vierteenproblema (Fig. 3.10).Un reto que debe encararse es el de de- terminarun tamaño apropiado de paso paraun cálculo en particular. Sería bueno escoger unagrancantidaddetamañosde paso paradisminuirla cantidad de cálculos y los errores de redondeo, sinincurrirenla pena de un error mayor de truncamiento. Si el error total es el que se muestraen lafigura 3.10, elproblemaesidentificarelpuntodondeelprovechodis- minuye, es decir donde los errores de redondeo empiezan a negarlos be- neficiosobtenidoscon unareducciónenel tamaño del paso En casosreales, sin embargo,estoscasosnosoncomunes ya que la mayor parte de las computadoras manejan suficientes cifras significativas de formatalque los erroresderedondeonoinfluyen. No obstante, algunas vecesocurren,haciendopensar enuna especiede"principiosdeincerti- dumbre numérica", que coloca un límite absoluto sobre la exactitud que se puedeobtenerusandociertosmétodosnuméricosconcomputadora.
- 107. 96 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 3.1O Representacióngráfica de lasventajas y desventajasentreerrores de re- dondeo y truncamiento que en ocasiones influyen en el curso de un me- todo numérico. Aquí se muestrael punto óptimo, donde el error de redondeo comienza a negar los beneficios dados por la reducción del tamaño del paso. Debido a estas restricciones, hay limitaciones en la estimación de erro- res. Por lo tanto, la estimación de errores en el análisis numérico es, has- ta cierto punto, un arte que depende en gran parte de las soluciones de prueba-error, además de la intuición y experiencia del analista. Aunque eneste capítulo se ha tratadoun tipo de problema numérico "la solución de una ecuación diferencial ordinaria- las conclusiones an- teriores tienen una relevancia general en muchas delas otras técnicas del libro. Sin embargo, debe de hacersehincapié en que aunqueel tema es, hasta cierto punto, un arte, hay unavariedad de métodos quelos analis- tas pueden usar para cuantificar y controlar los errores en un cálculo. La elaboración de estas técnicas jugará un papel prominente en las páginas siguientes. 3.7 ERRORESPOR EQUIVOCACIÓN, DE PLANTEAMIENTO E INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS Aunque las siguientes fuentesde error no están conectadas directamente con la mayor parte de ios métodos numéricos de este libro, en algunas ocasiones pueden tenergran importanciaen el esfuerzo por hacer un mo- delo exitoso. Por lo tanto, se deben tener siempre en mente cuando se apliquen técnicas numéricas en el contexto de problemas del mundo real.
- 108. APROXIMACIONESY ERRORES 97 3.7.1 Erroresporequivocación A todos les son familiares los errores por torpezao por equivocación, En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas vecesal mal funcionamiento de la computado- ra misma. Hoy día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir aerrores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquiernivel del proceso de modela- ción matemática y pueden contribuir con todaslas otras componentesdel error. Se pueden evitar únicamente conel conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado sobre la aproximación y diseño de la so- lución a un problema. Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discusión de un método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto, inevitables. Sinembargo, recuérdese que hay ocasiones en que su aparición se puede minimizar. En particular, los buenos hábitos de programación que se bosquejaron en el capítulo 2, son extremadamente útiles para disminuir las equivocaciones. Además, hay for- mas muy simples de verificar cuando un método numérico está trabajando correctamente. A lo largo del texto, se estudian algunas formas de verificar los resultados de uncálculo numérico. 3.7.2 Errores de formulación Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no explica los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de la solución del ejemplo 1.1ya que estos errores son rnínimos en las escalas de tiempo y espacio de la caída del paracaidista. Sin embargo, supóngase quela resistencia del aire no es linealmente proporcional a la velocidad de caída, comoen la ecuación (1.6),sino que es unafuncióndel cuadrado de la velocidad. Si estefuese el caso, las soluciones analíticas y numéricas obtenidas en el primer capítulo serían falsas debido al error en la formulación. En algunos casos de estudio del resto del libro se incluyen algunas consideraciones adicionalesde los errores de formulación. Se debe estar conciente de estos problemas, y darse cuenta que si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico ge- nerará los resultados adecuados. 3.7.3 Incertidumbre en los datos Algunas veces se introducen erroresen un an3lisis debido ala incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo. Por ejemplo, supón- gase que se desea probar el modelo del paracaidista haciendo saltos re- petidosindividualmente y luegomidiendo la velocidad después de un
- 109. 98 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS intervalo de tiempo específico. Indudablemente se asociará con cada me- dición una incertidumbre. ya que el paracaidista caerá más rápidamente en unos saltos que en otros. Estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los instrumentos constantementesubestiman o sobreesti- man las mediciones de la velocidad. se estará tratando conun instrumento inexacto o desviado. Por el otro lado, si las medidas son casualmenteal- tas y bajas entonces se trata de unacuestión de precisión. Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más estadisticasbien conocidas, que generan tanta información como sea posible, observando las características específicas de los datos. Estas estadísticas descriptivas a menudo son seleccionadas para presentar 1) la posición del centro de distribución de los datos y 2) el grado de espar- cimiento de los datos. Comotales dan una medida dela desviación e im- precisión,respectivamente. En el capítulo 10 seretoma el temade caracterización de incertidumbre en los datos. Aunque se debeestar conciente de los errores por equivocación. erro- res de formulación e incertidumbreen los datos, los métodos numéricos usados para construir modelos pueden estudiarse, en la mayor parte de loscasos independientemente de estos errores.Por lo tanto, enia mayor parte de este libro se supondrá que nohay erroresde torpeza. que el mo- delo es adecuadoy que se está trabajando sin errores en las mediciones de los datos. Bajo estas condiciones. se puedenestudiar losmétodos nu- méricos sin complicaciones. PROBLEMAS 3.1 ¿Cuántas cifrassignificativashay en cada uno de los siguientesnúmeros'? a) 0.84 X 10' fl 0.046 00 b) 84.0 g) 0.00460 c) 70 h) 8.00 x 10' d) 70.0 i) 8.0 X lo3 e) 7 j) 8 000 3.2 Redondéense los siguientes números atrescifrassignificativas a) 8.755 d) 5.555 x 10" b) 0.368 124 X 10' e) 0.999 500 c) 4 225.0002 3.3 Efectúense lassiguientes sumas y restas y escríbanse los resultadoscontodaslas cifrassignificativas necesarias. ai 0.004 23 + (25.1 x 1 0 ~ " )+ (10.322 x 10 b) 5 068 - 2.4
- 110. APROXIMACIONES Y ERRORES 99 C) (4.68 X lo6)- (8.2 X 10') d ) (9.8 X - (8.696 X i r 5 ) e) (7.7 X - (5.409 X + (7.0 X 3.4 Efectúense las siguientes multiplicaciones y divisiones y escríbanse los resultados con todas lascifrassignificativas necesarias. a) (8.38X lo5) X (6.9 X b) (8.38 x lo4)x (6.90 x c) 87 619/(0.008 71 x 99999) d ) (2.06 x 111)/888 el (0.4 O00 x 0.020 00) (0.010 O0 x 0.800) 3.5 Efectúese cada una de las siguientes operaciones combinadas y escríbanse los re- sultados con todas lascifrassignificativas necesarias. a) 6.80(4.0 x 10~6)- 22 (8.06 x b) (14 x 10 + 555 - 80.8) x (2.000 1 - 0.004) C) 486 X 10-6 - 4.45 X 10-5 (7.777 X 103) + 9.6 dl 4.81 x (6.9134 x lo3)+ 32.26 - 6.7845 x 10~6 58.6 (12 x 10~6)- (208 x (1801) 4 468.94 x 3.6 En el ejemplo 3.2 se usó la serie infinita: para aproximar ex. a) Demuéstrese que esta expansión en serie Maclaurin es un caso especial de la expansiónen serie de Taylor [Ec. (3.1411con x, = O y h = x. b) Úsese la serie de Taylor para estimar f(x) = e-' en x , , ~= 2 para tres casos diferentes: x, = 0.5, 1.0y 1.5. Empléense los términos de orden cero, primero, segundo, y tercero,además calcúlese leul paracadacaso. 3.7 La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es: x2 x4 x6 x8 2! 4! 6! 8! cosx="-+"-+- Iniciando con el primer término, COS x = 1. agréguense los términos uno a uno para estimar 'COS (T / 3).Después que se agregue cada uno delos términos, calcú- lense los errores porcentualesrelativos. exactos y aproximados. Usese una calcula- dora de bolsillo para determinar elvalor exacto. Agrégueme términos hasta que
- 111. 1O0 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS el valorabsoluto del error aproximado falle bajocierto criterio de error, consideran- do dos cifrassignificativas. 3.8 Repítanse los cálculos del problema 3.7,pero ahora usando la serie de Maclaurin para el sen x: x3 xs x7 3! 5! 7! s e n x = x--- + + y estímese el sen (H / 2) 3.9 Úsense los términos en serie de Taylor de ceroa tercer orden para estimar f (3)para f(xj = 25x3 - 6x2 + 7x - 88 usando como puntobase x = 2. Calcúlese el error relativo porcentual correcto pa- ra cada aproximación. 3.10 Úsense los términos en la serie de Taylor de orden cero al cuarto para estimar f (4) para f (x)= In x usando como punto base x = 1.Cálculese el error relativo porcentual correcto para cada aproximación. 3.11 Úsense los términos en serie de Taylor de orden cero al cuarto para estimar f (2) paraf (x)= e-x usando como punto base x = 1.Calcúlese el error relativo por- central correcto e, para cada aproximación. 3.12 Úsense aproximaciones de diferencias de O (h)hacia atrás y hacia adelante y una aproximación central de O (h2) para estimar la primera derivada de la función mencionada en el problema 3.9. Evalúese la derivada en x = 2.5 usando un tamaño de paso deh = O.25. Compárense los resultados conel valorcorrecto de la deriva- da en x = 2.5. Interprétense los resultadosen base al término residual de la serie de Taylor. 3.13 Úsense aproximaciones con diferencias hacia atrás, centrales y hacia adelante de, O (h’) para estimar la segunda derivada de la función vista en el problema 3.9. Hágase la evaluación en x = 2.6 usando un tamaño de paso de h = 0.2. Compá- rense las estimaciones con elvalor correcto de la segunda derivada en x = 2.6. lnterprétense los resultados en base al término residual de la serie de Taylor.
- 112. EPíLOGO: PARTE I 1.4 ELEMENTOS DE JUICIO Los métodos numéricos son científicos en el senti- do de que representantécnicas sistemáticas para resolver problemas matemáticos. Sin embargo, hay cierto grado de arte, juicios subjetivos y términos me- dios, asociados con su usoefectivoen la práctica de ingeniería. Para cada uno de los problemas, la confrontación es con varias técnicasnuméricasal- ternativas y con muchos tipos de computadoras. Por lo tanto, la elegancia y la eficiencia de los dife- rentes enfoques de los problemas es muy indivi- dualista y se relaciona conla habilidad de escoger prudentemente entre todas las opciones. Desafor- tunadamente, como sucede con cualquier proce- so intuitivo, los factores que influyenen esta elección son difíciles de comunicar.Estas habilida- des pueden ser comprendidas y afinadas amplia- mente sólo por los programadores expertos. Sin embargo, ya queestas habilidades juegan un pa- pel muy importante en la implementación efecti- vade los métodos, se ha incluido esta sección como una introducción a algunos de los elemen- tos de juicio que se deben considerar cuando se seleccione un método numérico y las herramien- tas para su implementación. Aunque no se espe- ra que en la primer ocasión se capten todos los beneficios, si se tiene la esperanza de que estos análisis influyan en la orientación cuando se pre- sente el material subsecuente. También se espera que si se enfrentan alternativasy algunos elemen- tos de juicio en el restodel libro,se consultará nue- vamente este material. La figura 1.4 ilustra siete factores o elementos de juicio que se deben tener en cuenta cuandose se- lecciona un método numérico para un problema enparticular. l. Tipodeproblemamatemático.Comoya se mencionó en la figura 1.2, en este libro se discu- ten varios tipos de problemas matemáticos: a. Raíces deecuaciones b. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales si- multáneas
- 113. 102 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS ajuste de curvas d. Integración numérica e. Ecuaciones diferenciales ordinarias Probablemente el lector ya tenga algunos conocimientos básicos sobre la aplicación delos métodos numéricos al enfrentar alguno delos pro- blemas de la figura1.4. Los métodos numéricos se necesitaránya que los problemas no se pueden resolver eficientementeusando técnicas ana- líticas. Se debe estar consciente de que las actividades profesionales involucran, eventualmente, problemas en las áreas anteriores (Fig. 1.4). Por lo tanto, el estudio de los métodos numéricos y la selección de un equipo de cómputo'deben,al menos considerar estos problemas básicos. Los problemas más avanzados pueden requerir de habilidades en el manejo de soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas, ajuste de curvas de varias variables, optimiza- FIGURA 1.4 Siete consideraciones para escogerun métodonumérico en la solucióndeproblemasdeingeniería.
- 114. EPiLOGO PARTE I 103 ción de parámetros, programación lineal, problemas de valores pro- pios yecuacionesdiferencialesparciales. Estas áreasrequierende mayores esfuerzos computacionales y de métodos avanzados que no se cubren en este texto. Se pueden consultar algunas referencias ta- les como: Carnahan, Luther y Wilkes (1969); Hamming(1 973); Rals- tonyRabinowitz (1978) paraproblemasquevan más allá del contenido deeste libro. Además, alfinal de cada parte deeste texto, se incluye un breve resumen y referencias para los métodos avanza- dos para encaminarle en el estudio de consecución de métodos nu- méricos adicionales. 2. Tipo, disponibilidad, precisión,costo y velocidad de una computa- dora. Se tiene la oportunidad de trabajar con cuatro herramientas diferentes de cómputo (recuérdeseel cuadro 2.1). Que van desde una calculadora de bolsillo hastauna supercomputadora. De hecho, cual- quiera de las herramientas quese pueden usaren la implementación de un método numérico {incluyendo papel y>lápiz, que noestán in- cluidos en el cuadro). En general no s e trata de ultimar capacidades, sino costos, conveniencia, velocidad, seguridad, repetibilidad y pre- cisión. Aunque cada una delas herramientas enumeradasen el cua- dro 2.1 seguirán teniendo utilidad, los grandes avances recientes en el funcionamiento de las computadoras personales ya hantenido re- percusión en la profesión de ingeniero. Se espera que esta revolu- ción se siga extendiendo conforme los avances tecnológicos continúen, ya que las computadoras personalesofrecen un excelente término me- dio entre conveniencia, costo, precisión, velocidad y capacidad de almacenamiento. Más aún, se pueden aplicar útilmente a la mayor parte de los problemas prácticos de ingeniería. Las técnicas de este libro, por lo tanto, se escogieron expresamente para que sean com- patibles con esta clasede computadoras. 3. Costo en el desarrollo de programas contra el costo del software contra el costo del tiempo de ejecución, Una vez que se hayan identi- ficado los tipos de problemas matemáticos a resolver yel sistema de cómputo hayasido seleccionado, será apropiado considerar los cos- tos del software y del tiempo de ejecución. El desarrollo de progra- mas puede representar un esfuerzo adicional en muchos proyectos de ingeniería y por lo tanto ser de un costo significativo. A este res- pecto, es particularmente importante que seesté bien familiarizado con los aspectos teóricos y prácticos de los métodos numéricos rele- vantes. Se puede disponer de una cantidad limitada de programas desarrollados profesionalmente a alto costo para la solución de pro- blemas de ingeniería. Sin embargo, estos programas se deben usar con mucho cuidado, ya que en general no se esta familiarizado con la lógica delos mismos. Alternativamente, se puede disponer de pro- gramas de utilería general a bajo costo (tales como los que vienen
- 115. 104 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS con este texto) para implementar métodos numéricos que se pueden adaptar fácilmente a una variedadmuy amplia de problemas. El cos- to del desarrollo de programas yel costo del softwarese puede recu- perar enel momento de la ejecución si los programas se han escrito y probado eficientemente. 4. Características de los métodos numéricos. Cuando el costo de los componentes electrónicos de una computadora y de sus programas es alto, o si la disponibilidad de la computadora está limitada (p. ej., ensistemas de tiempo compartido), la manera de escoger cuidado- samente el método numéricoayudara a adaptarse a tal situación. Por el otro lado, si el problema aún se encuentra en una etapa experi- mental yel acceso y costo de una computadora notienen problemas, entonces puede ser apropiado seleccionar un método numérico que siempre trabaje aunque quizás no sea, computacionalmente hablan- do, muy eficiente. Los métodosnuméricosdisponibles para resolver un tipo particular de problema, involucrantodos los factores mencio- nados,ademásde: a. Cantidad de condiciones o de puntos iniciales. Algunos de los mé- todos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o en la so- lución de ecuacionesdiferenciales,requierenqueelusuario es- pecifiquealgunascondiciones o puntosiniciales. Los métodos simples requieren, en general de un valor, mientras que los méto- dos complicados pueden requerirmás de un valor.Se deben con- siderar los elementos de juicio; las ventajasde métodos complicados que son computacionalmente eficientes pueden compensar los re- querimientos de múltiples puntosiniciales. Se debe echar mano delaexperienciayde los juicios paracadaproblema en par- ticular. b . Velocidad de convergenciu. Ciertos métodos numéricos convergen más rápido que otros. Sin embargo, la convergencia rápida puede requerir de máspuntosiniciales y de programación más compleja que la de un método con convergencia más lenta. Nuevamente se debe hacer uso de juicios para la selección de cierto método. ¡los más rápidosno siempreson los mejores! c . fstabilidad. Algunos métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, en al- gunos casos pueden divergir en vez de converger a la respuesta correcta. iPor quése debe toleraresta posibilidad si se ha diseña- do o se ha planeado bien el problema? La respuesta es que estos métodos pueden ser altamente eficientes cuando funcionan. Por lo tanto, surgen nuevamente los elementos de juicio. Se debe de- cidir si los requisitos del problema justifican el esfuerzo necesario para aplicar un método que no siempre funciona.
- 116. EPíLOGO PARTE I 105 d. Exactitudy precisión. Algunos métodos numéricos, simplemente son más exactos y precisos que otros. Como ejemplos se tienen las di- ferentes ecuaciones disponibles para la integración numérica. En general, se puede mejorarel funcionamiento de métodos de poca exactitud disminuyendo el tamaño del paso o aumentando el nú- mero detérminos sobre un intervalo dado. 2Qué será mejor, usar un método con poca exactitud y con tamaños de paso pequeños o usar un método con altaexactitud y tamaños de paso grandes? Esta pregunta se debe analizar paso por paso considerando los factores adicionales tales como el costo y la facilidad de progra- mación. Además se deben tomar en consideración los errores de redondeo cuando se usan en forma repetida métodos de bajaexac- titud y el número de cálculos crece demasiado. Aquílas cifras sig- nificativas quemaneja la computadorapueden ser el factor decisivo. e . Alcance de las aplicaciones. Algunos métodosnuméricos sólo se pueden aplicara cierta clase de problemaso a los problemas que satisfacen ciertas restricciones matemáticas. Otros métodos no tie- nen estas restricciones. Se debe evaluar si vale la pena el esfuerzo de desarrollar programas que empleentécnicas apropiadas úni- camente para un número limitado de problemas.El hecho de que tales técnicas pueden usarse ampliamente, indica quetienen ven- tajas que a menudo son menos que las desventajas. Obviamente, deben evaluarse los elementos de juicio. f . Requisitos especiales. Algunas técnicas numéricas intentan incre- mentar la exactitud y la velocidad de convergencia usando infor- mación especial o adicional. Un ejemplosería el uso de valores estimados o valores teóricos de los errores para el mejoramiento de la exactitud. Sin embargo, estas mejorías, en general noseIle- van a cabo sin inconvenientes como el aumento enel costo de cóm- puto y el incremento en la complejidad del programa. g . Esfuerzos requeridos de programación. Los esfuerzos para mejo- rar la velocidad de convergencia, estabilidady exactitud pueden ser creativos e ingeniosos. Cuando se pueden hacer mejoras sin aumentar la complejidad en la programación,entonces se puede considerar que estas meioras son elegantes y probablemente en- cuentren uso inmediato en la ingeniería. Sin embargo, si requie- ren de programasmás complejos, otra vezse deben enfrentar los elementos de juicio que pueden o no favoreceral nuevo método. Se ve claro queel análisis anterior relacionado con la forma deesco- ger un método numérico se reduce sólo a costo y exactitud. Los cos- tos son los que están involucradoscon el tiempo de cómputo y el
- 117. 106 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS desarrollo de programas. La exactitud apropiada es una cuestión de éticay de juicio profesional. 5. Comportamiento matemático de las funciones, ecuaciones o da- tos. AI seleccionar un método numérico en particular,el tipo de com- putadora y el tipo deprogramas, se debe tomarencuentala complejidad de las funciones y de las ecuaciones o datos. Las ecua- ciones simples y los datos uniformes se pueden manejar apropiada- mente con algoritmos numéricos simples y con computadoras baratas. Sucede lo contrario con las ecuaciones complicadas y los datos que contienendiscontinuidades. 6. Facilidad de aplicación (iAccesible al usuario?). Algunosmétodos numéricos son fáciles de aplicar y otros difíciles. Esto se debe tomar en cuenta cuando se escoge un método sobre otro. Esta misma idea se aplica a las decisiones referentes al costo en el desarrollo de pro- gramas, contra programas desarrollados profesionalmente. El con- vertir un programa difícil en uno que sea accesible al usuario puede ser de considerable esfuerzo.Las formas de hacerlose mencionan en el capítulo 2 y se elaboran a lo largo del libro. Además los progra- mas de NUMERICOMPque acompañan a este texto son un ejemplo de programación accesible al usuario. 7. Mantenimiento. Los programas para resolver problemas de inge- niería requierenmantenimiento porque durantelas aplicaciones ocu- rren dificultades, invariablemente. El mantenimiento puede requerir un cambio enel código del programao la expansión dela documen- tación. Los programas simples y los algoritmos numéricos son más fá- ciles de mantener. Los siguientes capítulos involucran el desarollo de varios tipos de métodos numéricos para una variedad de problemas matemáticos. Se dan en cada capítulovariosmétodosalternativos. Se presentan estos métodos (en vez de un método escogido por los autores) ya que no existe uno que sea "el meior" de todos. N o hay métodos "mejores" ya que existen tantos elementos de juicio que se deben tomar en consideración cuandose aplica un método a proble- mas prácticos. AI final de cada parte del libro se presenta una tabla que resalta los elementos de juicio involucrados en cada método. Es- ta tabla debe ayudara seleccionar un procedimiento numérico apro- piado para cada problema en particulardentrode un contexto. I.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES El cuadro 1.2 resume la información más importante que se analizó en la parteI . El cuadro se puede consultar para tener un acceso rápi- do a las relaciones y fórmulas más importantes. El epílogo de cada parte del libro contiene estos resúmenes.
- 118. EPiLOGO PARTE I- 107 CUADRO 1.2 Resumende la información importante presentada enla parte 1. Definiciones deerror Error verdadero = valor verdadero - valor aproximado Errorrelativovalorverdadera - valoraproximado porcentual verdadero % = Errorrelativo,aprox.actual - aprox.previa porcentual oproximado Criterios de poro Terminar los cálculoscuando: 100% valor verdadero €0 = 100% aproximación actuol €0 < 6, donde es es elerrorrelativoporcentual deseado,especificado directamente o calculado en términosdelnúmerodeseado de cifrassignificativas n = (0.5 X lo2-")% Serie de Taylor Expansiónen la serie de Taylor 2! 3! n! f(x,+,) = /(X,) + f'(x,)h + -h2 f Y X J +-f'"(x) h3 + . , . I fcn)(X!)hn + R, donde Residuo O R, = O(h"+') Diferenciación numérica Primeradiferencia f ( X , + l ) - f(x,) dividida finlta hacia f'(XJ = + O(h)h adelante (Otras diferencias divididas se resumen de la fig. 3.7 a la 3.9.) 1.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES El epílogo de cada parte del libro también incluye una sección enca- minada afacilitar y fomentar estudios adicionales delos métodos nu-
- 119. 108 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS méricos. Esta sección dará algunas referencias sobre el tema así co- momaterial relacionadocon métodosmás avanzados.* Para extender los antecedentes mencionados en la parte I, existen nu- merosos manuales sobre programación de computadoras.Resultaría difícil mencionar todos los libros y manuales excelentes correspondien- tes a lenguajes y computadoras especificas. Además, probablemente ya se tenga material de contactos previos con la programación. Sin embargo, si ésta es la primer experiencia con computadoras, Bent y Sethares (1982) proporcionanunabuenaintroducción a BASIC. McCraken (1965))Merchant (1979)y Merchant, Sturgel (1977)son otros libros útiles sobre FORTRAN. El maestro o los compañeros de semestres avanzados del usuario deben poder darle unconsejo acer- ca de buenos libros de referencia para las máquinas y los lenguajes disponiblesen laescuela. También para el análisis de error, cualquier libro de cálculointroduc- tori0 incluira material suplementario relacionado con temas tales CO- mo la serie de Taylor. Los textos de Swokowski (1979)y Thomas y Finney (1979) proporcionan discusiones legibles de estos temas. Finalmente, aunque se espera que este libro sirva lo suficiente, siem- pre es bueno consultar otras fuentescuando se intenta conocer a-fondo un nuevo tema. Ralston y Rabinowitz(1978)y Carnahan, Luther y Wilkes (1969) ofrecen textos comprensibles de la mayor parte de los méto- dos numéricos, incluyendomuchos métodos avanzados que van más allá del alcance deeste libro. Otros libros útiles sobre el tema son Ge- rald y Wheatley (1984))James, Smith y Wolford (1977),Stark (1970)) Rice (1 983, Hornbeck (1975) y Cheney y Kincaid (1980). * Aquíúnicamente se hacereferenciaaestoslibros,unabibliografíacompleta se encontrará al final del texto.
- 120. PART’E I ~ ~ DOS RAKES 11.1 DE ECUACIONES . . a Desde hace años, se aprendió a uiar la fórmula cuadrática: pura resolver f(x) = ax2 + bx + c = O ~ [11.2] A los valores calculados con la ecuiación (11.1) se les llama “raíces” de la ecuación (11.2).Éstos re- presentan los valores de x que hacen la ecuación (11.2)igual a cero. Por IS tanto, se puede definir la raiz de una ecuación como el valor de x que hace f (x) = O. Por esta razón, algunas veces a las raíces se les conoce comoceros de la ecuación. Aunque la fórmula cuadrática es útil para resol- ’ ver la ecuación (ll.2), hay muchas funciones dife- rentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos des- critos en los capítulos 4 y 5 proporcionan medios eficientes para obtener la respuesta. , 13 II. 1 .l Métodos empleados antes de la era de la computadora pura determinar raíces. Antes deladvenimientode las computadoras digitales, había una serie de métodos para encon- trar las raíces de ecuaciones algebraicas o trascen- dentales. Para algunos casos, lasraíces se podían obtener con métodos directos, como se hace con la ecuación (11.1). Aunque había ecuaciones como ésta que se podían resolver directamente, había muchas otras que no lo eran. Por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal,como f (x) = e-” - x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativaes una técnica de solución aproximada. I _ ,A”.” -x/ .; ?.., L . U n método para obtener unasolución aproxima- da es la de graficar la función y determinar dón-
- 121. 110 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS de cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f (x) = O, es la raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5. Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimacio- nes aproximativas de las raíces, están limitadaspor la carenciade pre- cisión. Una aproximación alternativa es usar la técnica de prueba y error. Esta"técnica" consiste enescojer un valor de x y evaluar si f (x) es cero. Si no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para de- terminar si el nuevo valor da una mejor estimación de la raíz. El pro- ceso se repitehasta que se obtenga un valor que genere una f (x) cercana a cero. Estos métodosfortuitos,obviamentesonineficientes e inadecuados para las exigencias en la práctica de la ingeniería. Las técnicas des- critas en la parte Ill representan alternativas que no sólo aproximan sino emplean estrategias sistemáticas para encaminarse a la raíz ver- dadera.Además, se adaptanidealmentealaimplementación en computadoras personales.Tal como se presenta en las páginas siguien- tes, la combinación de estos métodos sistemáticos con la computado- ra hacen de la solución de la mayorparte delos problemas sobreraíces deecuacionesunatareasimpleyeficiente. 11.1.2 Raícesdeecuaciones y su práctica en laingeniería Aunque las raíces de ecuaciones caben dentro de otro contexto, fre- cuentemente aparecen enel área de diseño en ingeniería. El cuadro 1 1 . 1 muestra un conjunto de principios fundamentales que se utilizan frecuentemente en trabajos dediseño. Las ecuacionesmatemáticas o los modelos derivados de estos principios se emplean en la predic- ción de las variables dependientes en función de las variables inde- pendientes y de los parámetros. Nótese queen cada caso, las variables dependientes refleian el estado o funcionamiento del sistema, ya sea que los parámetros representen sus propiedades o su composición. Un ejemplo de tales modelos se presenta en la ecuación derivada de la segunda ley de Newton, usada en el capítulo 1 para la velocidad delparacaidista: [11.31 Donde la velocidadv es la variable dependiente,el tiempo t es la va- riable independiente y g la constante gravitacipnal, el coeficiente de rozamiento c y la masa m son parámetros. Si se conocen los paráme-
- 122. RAíCES DE ECUACIONES 111 CUA,DRO 11.1 Principiosfundamentales usados en los problemas de diseño en ingeniería Principio VariableVariable fundamental dependiente independiente Parámetros Balance decalor Temperatura Tiempo y Las propiedades Dosición térmicas del material y la geometría del sistema Balance de material Concentración o tiempo y cantidad de posición masa Balance de la Magnitud y Tiempo y fuerza dirección de posición fuerzas para establecer el equilibrio Balance de Cambios en los Tiempo y la energía estados de la posición energía cinética y potencial del sistema Leyes deNewtonAceleración, Tiempo y del movimiento velocidad o posición posición El comportamiento químico del material, masa coeficientes de transferencia y la geometría del sistema Resistencia del material, propiedades estructurales y la configuración del sistema. Propiedades térmicas, masa del material y la geometría del sistema Masa del material, geometría del sistema y parámetros disipativos tales comola fricción o el rozamiento. Leyes de Corriente y Tiempo Propiedades Kirchhoff voltajeen los eléctricas del circuitos sistema,tales como eléctricos la resistencia, capacitanciae inductancia. tros, la ecuación (11.3)se puede usar para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo directamente ya que v se expresa explicitamente como una función del tiempo.Esto es, está aislada a un lado del signo igual.
- 123. 112 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS 11.2 Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente de rozamiento paraun paracaidista de una masa dada, para alcan- zarunavelocidad prescrita enun periodo dado de tiempo. Aunque la ecuación (11.3)proporciona una representación matemática de la interrelación entre las variables del ,modelo y los parámetros, no se puede resolver explícitamente para el coeficiente de rozamiento. Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación para despejar c de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implicita. Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de diseñosen ingeniería, involucran la especificación de las propieda- des o la composición de un sistema (representado por sus paráme- tros) para asegurar que funciona de la manera deseada (representada por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren que se determinen sus parámetros de forma explícita. La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para raíces de ecuaciones.Pararesolver el problemausando métodos numéricos es conveniente cambiar la ecuación(11.3).Esto se hace res- tando la variable dependiente v de ambos lados de la ecuación, ob- teniendo: V [11.4] Por lo tanto, el valor de c que cumple f (c) = O, es la raíz de la ecua- ción. Este valor también representa el coeficiente de rozamiento que soluciona el problema de diseño. La parte I 1 de este libro analiza una gran variedad de métodos nu- méricos y gráficos para determinar raíces de relaciones tales como la ecuación (11.4).Estas técnicas se pueden aplicar a los problemas de diseño en ingeniería basados en los principios fundamentales deli- neados en el cuadro II.1 así como tantos otros problemas que se afron- tanfrecuentemente en laprácticadelaingeniería. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En la mayor parte delas áreas mencionadas en este libro, en general existen algunos prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesa- rios para conocer a fondoel tema. Por ejemplo, los conceptos de es- timación de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadas en el capítulo 3, tienen importancia directaen el análisis de raíces de ecua- ciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los tér-
- 124. RAlCES ECUACIONES 113 minos de ecuaciones"algebraicas"y "trascendentales".Puede resultar útil definir formalmente estos términos y discutir como se re- lacionancon esta partedellibro. Por definición, unafunción dada pory = f (x)es algebraica si se pue- de expresar de la siguiente manera: fnyn + fn-1yn-1 + . . . + f i y + fo = o [11.5] donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como: {(x) = a0 + UlX + * * . + a,x" C11.61 donde las a sonconstantes. Algunos ejemplosespecíficosson: {(X) = 1 - 2 . 3 7 ~+ 7 . 5 ~ ~ Y f(x) = 5x2 - x3 + 7x6 [11.7] [11.8] Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye fun- ciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas y otras menos fa- miliares. Algunos ejemplosson: f(x) = e-' - x [11.9] f(x) = sen x [11.10] f(x) = In x2 - 1 p1.1 1J Las raíces de las ecuaciones puedenser realeso complejas. Un ejem- plo simple de raícescomplejas es el caso para el cual el término b2 - 4 ac de la ecuación (II.1 ) es negativo. Por ejemplo, dado el po- linomio de segundo orden: f(x) = 4x2 - 16x + 17 La ecuación (11.1) se puede usar para determinar que las raíces son: 16 V(-16)2 - 4(4) (17) 16 * mX = 2 (4) -- 8 Por lo tanto,unaraíz es: x = 2 + ; ;
- 125. 114 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS 11.3 y la otra es: x = 2 - , i1 en donde i = J-" Aunque hay algunos casos donde las raíces complejas de las funcio- nes no polinomiales son de interes,ésta situación es menos común que para polinomios. Por lo tanto, los métodos estándar para encontrar raíces, en general caenen dos áreas de problemas parecidas en prin- cipio,perofundamentalmente diferentes: l. l a determinación de raíces realesde ecuaciones algebraicasy tras- cendentales. Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raízsimple de acuerdo a un conocimiento previo de su po- sición aproximada. 2. l a determinación ¿e todas las rakes reales y complejas de un po- linomio. Estos métodos se diseñaron específicamente para polino- mios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugarde simplemente una, dada una posiciónaproximada. Este libro está enfocado al área del primer caso.Los métodos diseña- dos expresamente para polinomios no se analizan ya que van más allá del alcance de este libro. Sin embargo, enel epílogo al final de laparte I I se recomiendanalgunas referencias para estas técnicas. Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raí- ces de ecuaciones, seráútil dar algunasorientaciones. El siguiente ma- terial es una introducción a los temas de la parte ll. Además, se han incluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus esfuerzos al estudiar el material. 11.3.1 Campodeacción yavance La figura 1 1 . 1 es una representación esquemática de la organización de la parte It. Examine esta figura cuidadosamente, iniciando en la parte de arriba y avanzandoen el sentido de las manecillas del reloj. Después de esta introducción, el capítulo 4 desarrolla los métodos que usanintervalos para encontrarraíces. Estos métodos empiezan con suposiciones que encierran o que contienen a la raíz y reducensiste- máticamente el ancho del intervalo. Se cubren dos métodos: el de bi-
- 126. RAiCES DE ECUACIONES 11s sección y el de la regla falsa. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento visual de las técnicas. Se desarrollan formulaciones es- peciales para ayudar a determinar cuanto esfuerzo computacionalse requiere para estimar la raíz hasta un nivelde precisiónpreviamente especificado. En el capítulo 5 se cubren los métodos abiertos. Estos métodos tam- biéninvolucraniteraciones sistemáticas de prueba y error pero no
- 127. 116 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS requieren que la suposicióninicial encierre a la raíz. Se descubrirá que estos métodos, en general son más eficientes computacional- mente que los métodos que usan intervalos, pero no siempre traba- jan. Se analizan los métodos de la iteración de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. Los métodos gráficos proporcionanconocimiento en los casos donde los métodosabier- tos no funcionan. Se desarrollan las fórmulas que proporcionan una idea de qué tan rápido un método abierto converge a la raíz. El capítulo 6 extiende los conceptos anteriores a los conceptos actua- les de la ingeniería. Los casos de estudio se emplean para ilustrar las ventajas y las desventajas de cada uno de los métodos y para pro- porcionar conocimiento sobre las aplicaciones de las técnicas en la práctica profesional.Los casos del capítulo 6 también resaltan los ele- mentos de juicio (estudiadosen la parte I) asociados con cada uno de los métodos. Se incluye un epílogo al final de la parte II. Éste contiene una compa- ración detallada delos métodos discutidos en los capítulos 4 y 5. Esta comparación incluye una descripción delos elementos de juicio rela- cionados con el uso correcto de cada técnica.En esta sección se pro- porcionatambién un resumende las fórmulasimportantes,con referencias a algunos métodos numéricos que van más allá del alcance de este texto. Ciertas capacidades automáticas de cálculose integran dediferentes maneras en la parteII. En primer lugar, programasen NUMERICOMP legibles para el usuario del método de bisección disponible para la Apple I 1 y la IBM PC. Pero también se dan los códigos en FORTRAN Y BASIC para el método de bisección directamente en el texto. Con estosetiene la oportunidad de copiar y aumentar el código para im- plementarlo en su propia computadorapersonal o supercomputadora. Se incluyen los algoritmos y diagramas de flujo para la mayor parte de los otros métodos expuestos en el texto. Este material puede servir de base para el desarrollo de un paquete de programación y apli- carloauna serie deproblemasdeingeniería. 11.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte 11, se debe tener la suficiente información para aprovecharsatisfactoriamente una am- plia variedad de problemas de ingeniería que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En términos generales se dominarán las técni- cas, se habrá aprendido a valorarsu confiabilidad y se tendrá la ca- pacidaddeescoger el mejor método (o métodos)paracualquier problema en particular. Además de estasmetas globales, se deben
- 128. RAíCES DE ECUACIONES 117 asimilar los conceptos específicos de el cuadro 11.2 para comprender mejor el materialde laparte It. Objetivos de computación. El libro proporciona algunos programas simples, algoritmos y diagramas de fluio para implementar las técni- cas analizadas en la parte II. Como herramientas de aprendizajeto- dos ellos tienen gran utilidad. Los programas opcionalesson legibles para el usuario. Incluye méto- dodelabisecciónparadeterminar las raíces realesde las ecua- ciones algebraicas y trascendentales. Las gráficasasociadascon NUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportamiento de la función en análisis. Los programas se pueden usar para deter- minar convenientementelas raíces de las ecuaciones a cualquier gra- do deprecisión. Es fácilde aplicar NUMERICOMP pararesolver muchos problemas prácticosy se puede usar para verificarlos resul- tados de cualquier programa que el usuario desarrolle porsí mismo. También se proporcionan directamente en el texto los programas en FORTRAN y BASIC para los métodosdebisección y para la itera- ción simple de punto fijo. Además,se proporcionan algoritmos y dia- gramas de fluio generales para la mayor parte delos otros métodos de la parte 11. Esta información permitirá aumentar la biblioteca de programas del usuario que sean más eficientes que el método de la bisección. Por ejemplo, puede desearsetener sus propios programas para los métodos de la reglafalsa, Newton-Raphson y de la secante, que en general sonmás eficientes que el métododebisección. CUADRO 11.2 Obietivos de estudio específicos de la parte II 1. Entender la interpretación gráfica de una raíz 2. Conocer la interpretación gráfica del método de la regla falsa y por qué,en general, es superior al método de bisecciones. 3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos abiertos para la localización de las raíces. 4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de lasdos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos. 5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir. 6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos esmás probable si el valor inicial está cercano a la raíz. 7. Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicaciones en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de Newton- Raphson. 8. Saberlas diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y la secante y cómo se relaciona su convergencia. 9. Entender los problemas que contienen lasraíces múltiples y las modificaciones que se les pueden hacer para resolverlos a medias.
- 130. C A P í T U L OC U A T R O MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizan los métodos que aprovechan el hecho de que una función, típicamente,cambia de signo en la vecindad de una raíz.A estas técnicasse les llamamétodos que usan intervalos porque se necesita de dos valores iniciales para laraíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben “encerrar”o estar uno de cada lado de laraíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto em- plean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así, converger a la respuesta correcta. Como preámbulo de estas técnicas, se discutirán los métodosgráfi- cos para graficar funcionesy sus raíces. Además dela utilidad de los mé- todosgráficosparadeterminarvaloresiniciales,tambiénsonútilespara visualizar las propiedades de las funcionesy el comportamiento delos mé- todosnuméricos. 4.1 MÉTODOS GRÁFICOS Un métodosimplepara obtener unaaproximación a laraíz de la ecua- ción f (x) = O consiste engraficarlafunción y observar en dondecruza el eje x. Este punto, que representa elvalorde x paraelcual f (x) = O, proporcionaunaaproximacióninicial de laraíz. EJEMPLO 4.1 Métodos gráficos Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener unaraíz apro- ximada de lafunción f (x) = e-x - x. Solución: se calculan los siguientesvalores:
- 131. 120 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS X f(x) 0.0 1.000 0.2 0.619 0.4 0.270 0.6 -0.051 0.8 -0.351 1.o -0.632 Estos puntos se muestran en la gráfica dela figura 4.l.La curva resultan- te cruza al eje x entre 0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximada estimación de laraíz de 0.57, que se acerca a la raíz exacta de 0.567 143 28. . ., que se debedeterminarconmétodos numéricos. La validez de la estimación visual se puede verificar sustituyendosu valor enla ecuación originalpara obtener: f(0.57) = e-057- 0.57 = -0.004 5 lacual se acerca a cero FIGURA 4.1 Metodo gráfico para la solución de ecuacionesalgebraicas y trascen- dentales. Representaciónde flx) = e-x -x contra x. La raíz corres- ponde al valor dex donde f(x) = O, esto es, el punto donde lafunción cruza el eje x. Una inspección visual de la gráfica muestra un valor aproximado de 0.57.
- 132. METODOS QUE 121 FIGURA 4.2 Ilustraciónde las formas que puede tener una raíz en un intervalo pres- crito por los límites infe- rior, x, y superior x,. Los incisos a) y b) indican que siAx,) y f (x,) tienen el mismo signo, entonces no habrá raíces dentro del intervaloo habrá un número par de ellas. Los incisos c) y d) indican signosopuestos en los extremos,entonces ha- brá un número impar de raícesdentrodelin- tervalo. que sif ( 4 Y Ax,) t'lenen Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficosse pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear co- mo valores iniciales paralos métodosnuméricos analizados eneste capí- tulo y en el siguiente. Porejemplo, los programas de NUMERICOMP que acompañan este texto le permiten graficar funciones sobre un rango es- pecífico. Esta gráficapuede hacerse seleccionando un par de valores ini- ciales de un intervalo donde está contenida laraíz antes de implementar el m&& num6rico.l a posibilidad de graficar aumenta considerablemente lautilidad de losprogramas. Las interpretaciones geQmétricas, además de proporcionar aproxima- ciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en el asimilamiento delaspropiedades de lasfuncionespreviendolasfallasdelosmétodos numéricos. Por ejemplo, lafigura 4.2 muestra algunas formas diferentes enlasquelaraíz puede encontrarse en un intervalo definido porun lími- te inferior x, y un límite superior x,. La figura 4.2b bosqueja el caso don- de los valores positivo y negativo de f (x)y f (x,)tienen signos opuestos respecto al eje x, encierrantresraícesdentrodelintervalo. En general, si f (x,)y f (x,)tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del intervalo definido porlos mismos. Como se indica en la figura 4.2a y c, si f (x,)y f (x,) tienen elmismo signo, nohay raíces o hay un númeropar de ellasentrelosvalores dados. Aunque estas generalizacionessonusualmenteverdaderas,existen casos en queno se cumplen.Por ejemplo, las raices múltiples, esto es, funciones tangencialesal eje x (Fig.4 . 3 ~ )y las funciones discontinuas(Fig. 4.3b) pueden no cumplir estos principios.Un ejemplo deuna función que tieneuna raízmúltiple es la ecuacióncúbica f (x) = (x - 2)(x - 2) (x - 4). Nótese quex = 2 anula dos vecesal polinomio, de ahí quea x se le conozca como raíz múltiple. Al final del capítulo 5, se presentan técni- casqueestándiseñadas expresamente paralocalizarraícesmúltiples. La existencia de casos deltipomostradoenlafigura 4.3 dificultael desarrollode algoritmos generales que garanticenla localización de todas las raíces en el intervalo. Sin embargo, cuando se usanlos métodos expuestos enlassiguientesseccionesenconjunciónconesquemasgráficos,sonde granutilidadenlasolución de problemasdemuchas raíces, fre- cuentemente se presentan enel área deingeniería y matemáticasapli- cadas. I EJEMPLO 4.2 Uso de gráficasporcomputadoraparalocalizarraíces Enunciado del problema: las gráficas por computadora pueden informar y acelerarlos esfuerzos para localizar raíces de unafunción. Este ejemplo se desarrollóusando los programasdeNUMERICOMPdisponiblescon .J
- 133. 122 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS FIGURA 4.3 Ilustracióndealgunas excepciones de los casos generales mostradosen lafigura 4.2.a) Pueden ocurrir raícesmúltiples cuandolafunción es tangencia1 al eje x. En estecaso, aunque los extremos son de signos opuestos, hay unnúme- ropar de raícesenel intervalo. b)Las funciones discontinuasendonde losextremostienensig- nos opuestos también contienen un númeropar de raíces. Se requieren estrategias especiales pa- radeterminar lasraíces enestoscasos. FIGURA 4.4 Escalamientoprogresivo def (x) = sen 1Ox + cos 3x mediante la computadora. Estas gráficas interactivas le permiten al analista determinar que exis- ten dos raíces entre x = 4.2 y x = 4.3. el texto. Sin embargo, de esta manera esposible entender cómo la grafi- cación por computadora ayuda a localizar raíces. La función: !(x) = sen lox + cos 3x tiene varias raíces sobre el r.qngo de x = -5 hasta x = 5. Empléese la opción de graficacióndel programa paraprofundizar en el comportamiento de esta función. Solución: Como se ilustró en el ejemplo 2.1, se puede usar NUMERI- COMP para graficar funciones. En la figura 4.4a se muestra la gráfica de f(x)desde x = -5 hasta x = 5.La gráfica muestra la existenciade varias
- 134. MÉTODOS QUE 123 raíces, incluyendo posiblemente una doble alrededorde x = 4.2 en don- de f (x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripción más de- talladadelcomportamiento de f (x) cambiando el rangodegraficación desde x = 3 hasta x = 5, como se muestraenlafigura 4.4b. Finalmen- te, enlafigura 4.4c, se acorta la escala vertical a f (x) = -0.15 y f (x) = 0.15 y lahorizontal a x = 4.2 y x = 4.3. Estagráficamuestra clara- mente queno existe una raíz en esta regióny que, en efecto, hay dos raí- ces diferentesalrededorde x = 4.229 y x = 4.264. Las gráficasporcomputadoratienengranutilidadenelestudio de los métodos numéricos. Esta habilidad también puede aplicarse en otras materias así como enlasactividadesprofesionales. 4.2 MÉTODO DE BlSECClÓN Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, enel ejemplo 4.1, se observó (Fig. 4.1) que f (x) cambió de signo hacia ambos lados de laraíz.En ge- neral, si j (x) es real y continua enelintervalode x1 a x, y f(xl)y f(x,) tienensignos opuestos, esto es, FIGURA 4.5 Algoritmo de la biseccion. -"l.." .... . . _" - "...
- 135. 124 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS entonces hay, al menos una raíz real entre x, y x,. LOSmétodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta carac- terística para localizar un intervalodonde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo (y por ende, de la raíz), se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estossubintervalos para encon- trar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en inter- valos más y más pequeños. Seestudia más sobre e¡ tema de búsquedas incrementales en la sección 4.4. El método de bisección, conocido también como de cortebinario. de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situán- dola en el punto mediodel subintervalo dentro del cual ocurreun cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.La figura 4.5 muestra un algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 se muestra un bosquejo gráfico del método. EJEMPLO 4.3 Bisección , Enunciado del problema: úsese el método de la bisección para determi- ;nar la Paíz de'j(x) =e "x - x. Solución: Recuérdesede acuerdo a la gráfica de la función (Fig.4.1)que la raíz se encuentra entre O y 1.Por lo tanto, el intervalo inicial se puede escoger desde x/ = O hasta x, = 1.Por consiguiente, la estimación ini- 'cia1 de la raíz se sitúa en el punto medio de este intervalo: i O + l X, = -= 0.5 2 Esta estimación representa un error de (elvalor exacto es 0.567 14329. , .) E, = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067143 29 o, en términos relativos: = I 143 29 1100% = 11.8% 0.567 143 29
- 136. METODOS QUEUSANINTERVALOS 125 FIGURA 4.6 Gráficadel método de bisección. Esta gráfica incluye las primeras tres iteraciones del ejemplo 4.3. donde el subíndicev indica que el errores con respectoal verdadero. Ahora se calcula: f(0)f(0.5) = (1)(0.10653) = 0.106 53 que es mayor de cero, y por consiguiente no hay cambio de signo entre x/ y x,. Y por lo tanto, laraíz se encuentra dentro del intervalo x = 0.5 y x = 1.Ellímiteinferior se redefine como x, = 0.5, y la aproximación a laraízenla segundaiteración se calcula como: 0.5 + 1.0 2 = 0.75 le,/ = 32.2%
- 137. 126 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS 5 El proceso se puede repetir para obtener aproximaciones más exactas. Por ejemplo, la terceraiteración es: f(0.5)f(0.75) -0.030 < O Por lo tanto, laraíz está entre 0.5 v 0.75: x, = 0.75 0.5 + 0.75 2 = 0.625 /E,[ = 10.2% Y la cuarta iteración es: f(0.5)f(0.625)= -0.010 < O Por lo tanto, laraíz está entre 0.5 y 0.625: x, = 0.625 El método se puede repetir para alcanzar mejores estimaciones.La figura 4.6 muestra una gráfica de las primeras tres iteraciones. En el ejemplo anterior, se puede observar queel error real no dismi- nuye con cada iteración. Sin embargo,el intervalo dentro del cual se lo- caliza la raíz se divide ala mitad en cada pasodel proceso. Comose estu- diaráen la próxima sección, la longituddelintervaloproporciona una aproximación exacta del límite superior del error en el método debisección. 4.2.1 Criterios de paro y estimación de errores El ejemplo 4.3 finaliza con la opción de repetir el método para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuando debe terminar el método. el error se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Se puede ver en el ejemplo 4.3, que el error relativo bajó de un 11.8a un 4.69% du- rante los cálculos. Puede decidirse que el método termine cuando seal- cance un errormásbajo,porejemplodel 0.1%.Esta estrategia es inconveniente ya que la estimación del erroren el ejemplo anteriorse ba- só en el conocimiento del valor exacto de laraíz de la función. Este no Una sugerencia inicial puede ser de que terminen los cálculos cuando .
- 138. METODOS 127 es el caso de una situación real ya que no habría motivo para usar elmé- todo siya se supiese laraíz. Por lo tanto, se requiere estimarel error de manera tal que no incluya el conocimientoprevio de laraíz.De maneraanáloga a como se ve en la sección 3.3, se puede calcular el error relativo aproximado € , d ela si- guientemanera [recuérdese la ecuación (3.5)]: donde es laraíz de la iteraciónactual y xYteriores elvalordela raíz de la iteraciónanterior. Se usaelvalorabsolutoya que, en general importa sólo lamagnitudde E , sin considerar su signo. Cuando I E, I es menorque un valorpreviamente fijado, quedefineelcriterio de paro, el programa se detiene. EJEMPLO 4.4 Estimación del error para el método de la bisección Enunciado del problema:úsese la ecuación (4.2) paraestimarelerror delasiteracionesdelejemplo 4.3. Solución: las primeras dos estimaciones de laraízenel ejemplo 4.3 fue- ron 0.5 y 0.75. Sustituyendo estos valoresenla ecuación (4.2)se obtiene: 0.75 - 0.5 lea' = 1 0.75 1100% = 33.3% Recuérdese queel error exacto para la raíz estimada de O.75 es del 32.2%. De esta manera, E, es mayor que E , . Este comportamientose muestra en lasotrasiteraciones Iteraci6n Xr I 4 ?fío /%It O h 1 0.5 2 3 4 5 11.8 O.75 32.2 33.3 0.625 10.2 20.0 0.56250.819 11.1 0.593754.695.3
- 139. 128 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS FIGURA 4.7 Errores delmétodode bisección. Se grafican los errores verdadero y aproximado contra el número de iteraciones. Estosresultados,juntocon los de lasiteracionessubsiguientes se resu- menenlafigura 4.7. Lanaturaleza“desigual”delerrorreal se debe a queparaelmétodode la bisección laraíz exacta se encuentra en cual- quier lugar dentro del intervalo.Los errores verdaderoy aproximado son casi igualescuando el intervalo está centrado sobrela raíz. Cuando la raíz se encuentra cerca de un extremo.del intervalo, entonces los errores son muy diferentes. I Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta delerror verdadero, lafigura 4.7 sugiereque E , capta la dirección des- ,endente de E,. Además, la gráficamuestraunacaracterística muy inte- resante; que E, siempre es mayor que E,. Por lo tanto, cuando E, es menor que E, los cálculos se pueden terminar con la confianza de saber que laraíz es al menos tan exacta como elnivel específicoprefijado. Aunquesiempre es dañinoaventurarconclusiones generales de un sólo ejemplo, se puededemostrarque E, siempreserámayorque E, en
- 140. METODOS QUE USAN INTERVALOS 129 el método de bisección. Esto se debe a que cada vez que se encuentra una aproximación a laraíz usando bisecciones como x, = (xr+ (x,)/2, se sabe que laraíz exacta cae en algún lugar dentro de intervalo (x, - xr)/2= b / 2 . Por lo tanto, laraíz debe situarse dentro de f A x/2 de la aproximación (Fig. 4.8). Por ejemplo cuando se terminó el ejemplo 4.3 se pudo decir definitivamente que: X, = 0.562 5 -+ 0.062 5 FIGURA 4.8 Tres formas diferentes en que un intervalo puede agrupar a la raíz. En a) el valor verdadero cae en el centro del intervalo, mietras que en b) y c) el valor se acerca a uno de los extremos. Nótese que la diferencia entre el valor verdaderoy el punto medio del intervalojamás sobrepasa la longitud media del intervalo, o Ax/2. FIGURA 4.9 Esauema gráfico del porqué la estimación del error en el método de bi- sección (Ax/2) esequivalente a laestimaciónactualdelaraíz (xrnueuo) menos la estimación anterior de la raíz
- 141. 130 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Debido a que A x/2 = xnUevo- Xanierior (Fig. 4.9), la ecuación (4.2) proporciona un límitesuperior exacto sobre elerror real. Para que se rebase este límite, laraíz reai tendría que caer fuera del intervalo que la contiene, lo cual, pordefiniciiin jamás ocurriráenelmktododebisec- ciijn. El ejemplo 4.7 muestra otras técnicas de localización de raíces que no siempre se portantan eficientes. Aunque el método de bisección, en general es más lento que otrosmétodos, la elegancia del análisis de error, ciertamente es un aspectopositivo que puede hacerlo atractivo paracier- tas aplicaciones de la ingeniería. 4.2.2 Programación del método de bisección Elalgoritmodelafigura 4.5: ahora se presenta en un programaque se muestraenlafigura 4.10. El programausaunafuncicin (línea 100)que facilita la localizaciónde laraíz y lasmodificaciones a la función. Ade: más, se incluye la línea 200 para verificar la posibilidad de divisiones por cero durante la evaluacióndelerror.Tal caso se presenta cuando el in- tervaloestácentrado respecto al origen. En este caso, la ecuación (4.2) es infinita. Si esto ocurre, el programa salta sobre la evaluación del error para esa iteraci6n. El programa de la figura 4.10 no es muy legible para el usuario; está diseñado únicamente para calcular la respuesta, elusuario debe hacerlo más fácil de usar y de entender. Dentro del paquete de NUMERICOMP asociado con este texto se proporciona un ejemplo de un programa legi- blealusuariopara encontrar raíces de ecuaciones. El siguienteejemplo F<X )nEXPC -X )-X 1 ~ .Ut& F N F I 1 E X P I -. X J -- R E I D < S , l ) X L ~ X U ~ E S , l U F O R M I T < 3 F l O . O , I S ) 1 1 , : ~ INPIJT ~ L , X I J . F ~ ,IM-" AR-FC XL )*F< XU ) 1 2 r j IF FN F i X L ) FN FCXLII , = XL,XU = límites inferiot'y XR-( XL+XU )/2 I F( L R . C E . O . 0 ) COTO 3 1 0 DO 240 N I G ! , I M W-F<XL )*F(XR > I Fí I f i . E P . O . 0 ) COTO 300 l d 0 1F AA = O THEN 300 I F <&A. LT. O , O )XU=XR 17G IF AA ,. ( 6 1Hb.N XIJ = YR XN-< XL+XU )/2 I F (fifi.CT,O.O)XL-XR 180 16 Ah .I c:) THEN XL = XU I F< X N . E Q . O . O X O T O 230 Efi-ABS< < XN-XR )LXN )*1 00 211:l E A = A B 5 ( 1 h N - XRI / XNI f I F <EA.LT.ES)COTO280 1< I ü XR = estimacióninicial de la (Función a la cual se le va a calcular la raíz)Y 1 2 0 NR = (XL + klJ) I c- i k FOR N I Y TI.¡ 111 1st) AA = F N F(XI.) * F NF ( k R ) O THEN 310 superior ES = error porcentual aceptable IM= numero máximo de Iteraciones. 190 kN = i k L + XU1 / 2 (Verifica si XL y XU encierran una raiz) 230 XR-XN 240 CONTINUE 2 ~ o ~ n f i ~ ( '';NO S EE N C U N T R OL f + . R I I Z ' ) P'nj PRINT "NO SF ENCON'TRU L A R A I ? " 3 F O R M A T < '' , 2 F 1 0 . 3 ) 2eo MRITE(6,4!XN.Efi.NI 4 F O R U R T ( ', 2 F 1 0 . 3 , 1 5 ) 3 6 , r PRINT "ILA R A I L E I A C I A FS =":X.R EA = error porcentual COTO 3 1 0 3 0 0 U R I T E ( 6 , S ) X R 5 FORMnT(' ' , ' L AR A 1 Z EX(ICT0 ES = ' , F l 0 . 3 ) (Prueba de error) 3 1 0 STOP raíz A.AOAH = LN M R I T E ( 6 . 2 ) 74*:,NEXT N I U R I T E < C , 3 ) X R , E f i lol:, PRINT YR,€A COTO 3 1 0 (Evaluaciónparadetermcnar que subintervalo contiene a laraizl XN = nueva aproximación aL/O GUTO 31o .!:u, PRINT kN.EA.NI .. ._.. 2"o c.010 310 la raíz ilir END calculado END FIGURA 4.10 Programapara el método de bisección.
- 142. METODOS QUE 131 muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. También propor- ciona una buena referencia para valorary examinar los programas del usuario. EJEMPLO 4.5 Localización de raícesusando la computadora Enunciado del problema: asociado con los programas de NUMERICOMP, se encuentra un programa legible al usuario sobre el métodode bisección. Se puedeusaresteprogramapararesolver un problema de diseño asociado con el ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo 1. Co- mo se recordará, la velocidad del paracaidista está dada, enfuncióndel tiempo, de lasiguiente manera: [E4.5.1] donde u es la velocidaddelparacaidistaencentímetrospor segundo, g es la constante gravitacionalcuyovalor es 980 cm / s2, m es la masa del paracaidista cuyo valores 68 100 g y c es el coeficiente de rozamien- to. Enel ejemplo l.1 se calculó la velocidad del paracaidista en función del tiempo para valores dadosde m,c y g. Sin embargo, supóngase que se desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma que se al- cance una velocidad prefijada en caída libre despuésde un tiempo dado. En este caso, se debe seleccionar un valor apropiado de c que satisfaga los requisitos de diseñocuando se mantengan constantesm,g, t y u. Una ojeada a la ecuación a (E4.5.1)muestra quec no se puede calcular explí- citamente en función de lasvariables conocidas. Supóngase que se de- sea que la velocidaddelparacaidista alcance un valorde 4 O00 cm/s después de7 s. De esta manera, se debe determinarun valor de c tal que: [E4.5.2] con t = 7 S y u = 4 O00 cm/s. Solución: para implementar el método de BISECCIÓN, se requiere ob- tener un intervaloinicialque contenga alvalor de c quesatisfaga la ecuación (E4.5.2).Es conveniente seleccionar este intervalo conjuntamente con la opción de graficación de BISECCIÓN que viene con el disco (op- ción 3). El programapregunta los valoresmínimo y máximo de x y de f (x) generando lagrdficamostradaenlafigura 4.1l a despuésque se han introducido las dimensionesde la gráfica. Puede verse que existe una raíz entre 10 O00 y 15 O00 g/s. El programa BISECCIÓN pregunta porun límite máximo de iteracio- nes permitido, un error de convergencia E , y un límite inferior y superior
- 143. 132 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 4.1 1 a) Gráfica de la ecuación (E 4.5.2)b)Resultados para determinar el coe- ficiente de rozamiento usando BISECCION enel problemadelpara- caidista. para la raíz. La figura 4.1lb muestra estos valores, junto con la raíz cal- culada de 11643.14g / s. Nótese que con 16iteraciones se obtiene un valor aproximado a laraíz con un error menor de E,. Más aún, la com- putadora muestra una verificación del error de: f(11643.14) = 1.025391X lo-' para confirmar los resultados. Si la exactitud que se requiere no se hubie- ra alcanzado con el número especificado de iteraciones, entonces el al- goritmo habría terminado después de 30 iteraciones. Estos ;esultados están basados enel algoritmo simple del método de BISECCION con el uso'de rutinas de entraday salida legibles al usuario. El algoritmo usado es similar al de la figura 4.10. El usuario debe estar listo para escribir sus propios programas sobre el método de bisección. Si tiene los programas de NUMERICOMP, entonces los puede usar co- mo modelo y para verificar que sus programas sean adecuados. I 4.3 MÉTODO DE LA REGLAFALSA Aunque el método debisección es una técnica perfectamenteválida para determinar raíces, su enfoquees relativamente ineficiente. Una alternati-
- 144. METODOS QUE USAN INTERVALOS 133 va mejorada es ladel método de lareglafalsaestábasadoenunaidea paraaproximarse en forma máseficiente a laraíz. Un defecto del método debisecciónesque aldividir el intervalo xI a x, enmitades iguales, no se toma en consideración lamagnitudde f(x()y de f(x,).Por ejemplo, si f(XI) está mucho más cerca de cero que f (xu),es lógico que laraíz se encuentra más cerca de xIque de x, (Fig. 4.12). Este método alternativo aprovecha laideade unir los puntos con una línearecta. La intersección de esta línea conel eje x proporcionauna mejor estimación de la raíz.El reemplazamiento dela curva por una línea recta dauna“posiciónfalsa”de la raíz,de aquí el.nombrede método de la reglafalsa o en latín, regula falsi. También se le conoce como méto- do de interpolaci6nlineal. Con el uso detriángulos semejantes (Fig. 4.12), la intersecciónde la línearecta y el eje x se puedecalcularde la siguiente manera: que se puede resolverDara (véaseel recuadro4.1 para mayores detalles) FIGURA 4.12 Esquema gráfico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos semejantes (áreas sombreadas). ~ ~ ” ~ . - ~ .I - l _ . . * _ ” , ~ - . . ” l l ” ” . ” ”-. ^ _ , ~ . -”.. -.”
- 145. 134 METODOS NUMtRICOSPARA INGENIEROS RECUADRO 4.1 Derivacióndelmétodo de lo regla falso Multiplicandoencruzla ecuación (4.3) se obtiene: sumando y restando x, del lado derecho: Dividiendo entre - f (x"): xuf(x1) - x,f(xu) f(X/) - f(xu) xr = x, = xu- f(xu>(x/- xu) f (XI) - f(xJÉsta es unaformadel método de la regla falsa. Nótese que esto permite cualcular laraíz x, en función de los 1:- que es igual a la ecuación (4.4).Se usa esta forma ya que manera alternativa, expandiéndola: analizadoen el capítulo 5. mites inferior, Y superiorxu. Se puede Ordenar de una es directamente con el método de la secante Esta es lafórmula de laregla falsa. El valor de xr, calculado con la ecua- ción (3.4), reemplazaa uno de los dos valores, x, o a x, queproduzca un valordelafunción que tenga elmismosigno de f (x,). De esta ma- nera, los valores xly x, siempre encierran a laraíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idénti- co al de la bisección (Fig.4.6)con la excepción de que la ecuación (4.4) se usa en los pasos 2 y 4. Además, se usan los mismos criterios de paro [(Ec. (4.2)] para detener los cSlculos.
- 146. b M ~ O D O SQUE USAN INTERVALOS 135 Solución: como enel ejemplo 4.3, inícieme los cálculos con los valores iniciales x, = O y x, = 1. Primeraiteración: x, = o j(x,>= 1 X, = 1 f(x,) = -0.632 12 El errorrelativoreal se puedeestimar como: 1 4 = 0.567 143 29 - 0.6127 I loo% = 8.0% 1 0.567 143 29 1 Segunda iteración: Por lo tanto, laraíz se encuentra dentro delprimersubintervalo y x, se convierte enellímite superior de la siguiente iteración, x, = 0.6127. x/= o f h ) = 1 x, = 0.612 7 f(x,) -0.070 8 X, = 0.612 7 - -0.070 8(0 - 0.612 7) 1 - (-0.070 8) = 0.572 19 E, = 0.89% El erroraproximado se puede calcular como: I 4 = 0.572 19 - 0.612 7 = 7.088 I 0.572 19 Se puedenllevar a cabo iteraciones adicionales para mejorar la estima- cióndelaraíz. Puede emitirse una opinión más completa sobre la eficiencia relativa de los métodos de bisección y de la regla falsa al observar lafigura 4.13 que muestra gráficas del error relativo porcentual de los ejemplos 4.3 y 4.6, Nótese cómo el error decrece mucho más rápidamente parael mé-
- 147. 136 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 4.13 Comparación de errores relativos de los métodos de la regla falsa y de btsecciones para f (x) = e' - x. todo de la regla falsa que para el de bisecciones ya que el primero es un esquema más eficientepara lalocalizaciónde raíces. Recuérdese que en el método de bisecciónelintervaloentre x/y x, decrece durante los cálculos. Por lo tanto, el intervalo dado por A x/ 2 = ~ x, - x,!,'2 proporciona unamedidadelerroren estas aproximacio- nes. Estenoesel caso paraelmétodode lareglafalsaya queuno de los extremospuede permanecer fijo a lo largode los cálculos, mientras que el otro converge a laraíz. Como enel caso, del ejemplo 4.4 donde el extremo inferior xise sostuvo en cero, mientras que x, convergió a la raíz.En tales casos, el intervalono se acorta, sinoque se mantiene más o menos constante. El ejemplo 4.6 sugiereque la ecuación (4.2)representa un criterio deerror muy conservador. De hecho, la ecuación (4.2) constituyeuna aproximación dela discrepancia dela iteraciónpreuia. Esto se debe a que para cada caso, tai como enel ejemplo 4.6, donde el método converge rápidamente (porejemplo, elerror se reducecasi unaordendemagni-
- 148. METODOS 137 tud por iteración), la iteraciónactual es unaaproximaciónmucho mejor alvalorrealdelaraízqueelresultadodelaiteraciónprevia xYterior.Por lo tanto, el numerador de la ecuación (4.2)representa la di- ferencia dela iteración previa.En consecuencia,hay confianza que cuando se satisface la ecuación (4.2), laraíz se conoce conmayorexactitud su- perando la toleranciapreestablecida.Sin embargo, como se veenla si- guiente sección, existen casos donde la regla de la posición falsa converge lentamente. En estos casos la ecuación (4.2)no es confiable y se debe desarrollar un criteriodiferentede paro. 4.3.1 Desventajasdelmétododelareglafalsa Aunque el método de la regla falsa pareciera siempre ser el mejor de los que usan intervalos,hay casos donde funciona deficientemente.En efec- to, como enel ejemplo siguiente, hay ciertos casos donde el método de biseccióndamejoresresultados. EJEMPLO 4.7 Un caso donde el método de bisecciónes preferible alde4a'reglafalsa Enunciado del problema: úsense los métodos de bisección y de la regla falsaparalocalizar laraíz de: entre x = O y x = 1.3. Solución: usando bisección, losresultados se resumen como: 1 O 1.3 0.65 35 2 0.65 1.3 - 0.975 2.533.3 30.975 1.3 1.1375 13.814.3 4 0.975 1.1375 1.05625 5.6 7.7 5 0.975 1.05625 1.O15625 1.64.0 De esta manera, después de cinco iteraciones.El error verdadero se reduce a menos del 2%. Con laregiafalsaseobtiene un esquema muy diferente
- 149. 138 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS 1 O 1.3 0.09430 90.6 2 0.09430 1.30.18176 81.848.1 3 0.18176 1.3 0.26287 73.730.9 4 0.26287 1.30.3381 1 66.222.3 5 0.33811 1.3 0.40788 59.217.1 ~~~ ~ Después de cinco iteraciones,el error verdadero se ha reducidoai 59%.Ade- más, nóteseque 1 E, 1 < 1 eV 1 . De estaforma, el erroraproximado es engañoso. Se puede obtenermayor información examinando unagráfica de la función. En la figura 4.14 la curva viola una hipótesis sobre la cual I FIGURA 4.14 Gráfica de la función f(x) = x" - 1 , ilustración de la convergencia lenta del método delareglafalsa.
- 150. MhODOS QUE 139 se basa la regla falsa; esto es, si f (x1)se encuentra mucho miis cerca de cero que f (x,), entonces laraíz se encuentra más cerca a x1 que x, (re- cuérdese la figura 4.12). De acuerdoa la gráficade esta función,la inver- sa es verdadera. El ejemplo anterior ilustra que en general no es posible hacer gene- ralizacionesrelacionadascon los métodos de obtención de raíces. Aun- que un método como el de laregla falsa, en generalessuperiar al de bisección, hay, invariablemente casos especiales que violanlas conclu- siones generales. Por lo tanto, además deusarla ecuación (4.2),los re- sultados se pueden verificar sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación originaly determinarsi el resultado se acerca a cero. Estas pruebasse de- benincorporarentodos los programas que localizan raíces. 4.3.2 Programa para el método de la regla falsa Se puededesarrollardirectamente un programapara lareglafalsa a partir del código del métodode bisección de la figura 4.10. La única mo- dificación es la de sustituir la ecuación (4.4)en las líneas 130 y 190. Ade- más, la prueba contracero sugerida en la última sección, también se debe incorporar enel código. 4.4 BúSQUEDASCONINCREMENTOS DETERMINANDOUNA APROXIMACIóNINICIAL Ademásdeverificarunarespuestaindividual, se debedeterminar si se han localizado todas las raíces posibles.Como se mencionó anteriormen- te, en general, unagráficadelafunciónayudaráen esta tarea. Otra opción es incorporar unabúsqueda incrementalal principio delprogrma. Consiste enempezaren un extremode laregióndeinterés y realizar evaluacionesde la funcióncon pequeños intervalos a lo largodela re- gión. Cuando lafuncióncambiade signo, se suponeque unaraíz cae dentro del incremento. Los valores dex de los extremosdel intervalopue- denservirdevaloresinicialesparauna de las técnicas descritasen este capituloqueusanintervalos. Un problema aunado a los métodos de búsquedas incrementales es el de escoger lalongituddel incremento. Si lalongitud es muy pequeña, labúsquedapuedeconsumirdemasiado tiempo. Por el otro lado, sila longitud es muy grande, existe la posibilidadde que las raícesmuy cerca- nas entresí pasen desapercibidas (Fig.4.15). El problema se combina con
- 151. 148 , METODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 4.15 Casos donde las raíces se pueden brincar debidoa que las longitudes de los intervalos en los métodos de búsquedas incrementalesson de- masiado grandes. Nótese quela últirna raízes múltiple y se iba a brin- car independientemente de la longitud del incremento. la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estos casos en calcular la primera derivada de la función f' (x) en los extremos del intervalo. Si la derivada cambia de signo, entonces puede existir un máximo o un mínimo en ese intervalo,lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la posibilidad de una raíz. Aunque estas modificaciones, o el empleo deun incremento muy fi- nopueden solucionar enparte el problema,sedebeaclararque los métodos sencillos tales como el de búsqueda incremental no son infali- bles. Se debe tener conocimiento de otras informaciones que profundi- cen en la localización de raícesa fin decomplementar las técnicas automáticas. Esta información se puede encontrar graficando la función y entendiendo el problema físico de donde se originó la ecuación. PROBLEMAS Cálculos a mano 4.1 Determínenselasraícesreales de: f(x) = - 0 . 8 7 4 ~ ~+ 1 . 7 5 ~+ 2.627 a) GrSrficamente b) Usando la fórmulacuadrática c) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz m& alta.Empléensecomovaloresiniciales xi = 2.9 y x, = 3.1.Calcúlese elerror es- timado ea y el errorverdadero E,, despuésdecadaiteración.
- 152. METODOS QUE USAN INTERVALOS 141 . . 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Determínense las raíces reales de f(x) =-2.1 + 6 . 2 1 ~- 3 . 9 ~ '+ 0 . 6 6 7 ~ ~ a) Gráficamente b) Usando bisección para localizar la raíz más pequeña. Empléense como valores iniciales x, = 0.4 y x, = 0.6 e itérese hasta que el error estimado F, se encuentre abajo de t , = 4% Determhense las raíces reales de: f(x) = -23.33 + 7 9 . 3 5 ~ " 8 8 . 0 9 ~ ~+ 4 1 . 6 ~ ~- 8 . 6 8 ~ ~+ 0 . 6 5 8 ~ ~ a Gráficamente b) Usando bisección para determinar laraíz más alta para es = 1 W . Empléese co- mo valores iniciales x, = 4.5 y x , = 5. c) Realícense los mismos cálculos de b) pero usando el método de la regla falsa. Determínense las raíces reales de: f(x) = 9.36 - 21.963~+ 16.2965~'- 3 . 7 0 3 7 7 ~ ~ a) Gráficamente b) Usando el método de la reglafalsa con unvalor de es correspondiente a tres' cifrassignificativas para determinar laraíz más baja. Localícese la primer raíz diferente de cero de tanx = 1.1.x donde x está en radia- nes. Úsese una técnica gr6fica y bisección con valores iniciales O. l y O.G. Realícen- se los cálculos hasta que E, sea menor del es = 10%.Verifíquense también los errores sustituyendo la respuesta final en la ecuación original. Determínese laraíz real de In x = 0.5 a) Gráficamente b) Usando el método de bisección con tres iteraciones y valores iniciales x) = 1 y x, = 2. c) Usando el método dela regla falsa con tres iteraciones y los mismos valores ini- ciales del inciso anterior. Determínese laraíz real de: 1 - 0 . 6 ~ f(x) = X i a) Analíticamente b) Gráficamente C)Usando el método dela regla falsa con tres iteraciones y valores iniciales de 1.5 y de 2.0. Calcúlese el error aproximado E, y el error verdadero E, después de ca- da iteración.
- 153. 142 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 4.8 Encuéntrese laraíz cuadrada positiva de 10 usando el método de lareglafalsa con E, = 0.5 % . Empléense los valoresiniciales de x, = 3 y x, = 3.2. 4.9 Encuéntrese laraízpositivamás pequeña dela función (x está dada en radianes): x' 1 sen XI = 4 usando el método dela regla falsa. Para localizarlaregión en que cae la raíz,pri- mero grafíquese la funciónparavalores de x entre O y 4. Realícense los cálculos hasta que eo haga que se cumpla es = 1 B. Verifíquese la respuesta final sustitu- yéndolaen la funciónoriginal. 4.10 Encuéntrese laraízrealpositiva de: !(x) = x4 - 8 . 6 ~ ~- 35.51~'+ 464x - 998.46 usando el método de laregla falsa. Úsese unagráficaparadeterminar los valores iniciales y realizar los cálculos con e, = O. 1 % . 4.11 Determínese laraízreal de: f(x) = x3 - 100 a) Analíticamente b) Con el método de lareglafalsa con es = 0.1 % 4.12 La velocidaddelparacaidista está dadapor la fórmula: donde g = 980. Para un paracaidista de masa m = 75 O00 g calcúlese el coefi- cientederozamiento c con u = 3600 cm/s en t = 6 s. Úseseelmétodo de lareglafalsa paradeterminar c con es = O. 1 %. Problemas para resolver con computadora 4.13 Vuélvase a programar lafigura 4.10 de forma tal que sea máslegible al usuario. Entreotras cosas: a) Documéntese indicando la funciónde cada secciór. b) Etiquétense las entradas y lassalidas c) Agréguese unaprueba que verifique si los valoresiniciales x, y x,, encierran a laraíz. d) Agréguese unapruebadeverificaciónpara que laraíz obtenida se sustituyaen la ecuación originalpara comprobar si el resultado final se ace:ca a cero. 4.14 Pruébese el programa del problema 4.13 duplicando los cálculos del ejemplo 4.3. 4.15 Úsese el programa del problema 4.13 pararepetirdesde el problema 4.1 al 4.6.
- 154. MÉTODOS QUE 143 4.16 Repítanse los problemas 4.14 y 4.15 usando los programas de NUMERICOMP dis- ponibles con el texto. Úsense las capacidades gráficas de este programa para verifi- car los resultados. 4.17 Úsense los programasdeNUMERICOMP para encontrar las raíces reales de dos funciones polinomiales cualesquiera. Grafíquense las funciones sobre un rango de- finido para obtener los límitesinferior y superior de las raíces. 4.18 Repítase el programa 4.17 usando dos funciones trascendentales 4.19 En este problema se usan solamente las capacidades gráficas de los programas NU- MERICOMP disponiblescon el texto. LOSprogramas trazan la función sobre inter- valos más y más pequeños para incrementar la cantidad de cifras significativasque se quieraestimar una raíz. Empiécese con f(x) = e-' sen (10 x). Grafíquese la funcióncon un rango a escala completa desde x = O hasta x = 2.5. Estímese laraíz. Trácese nuevamente la funciónsobre el rango x = 0.5 a x = 1.0.Estí- mese laraíz. Finalmente, grafíquese la función sobre un rango de 0.6 a 0.7. Esto permiteestimar laraíz con dos cifrassignificativas. 4.20 Desarrólleseun programa legible al usuario para el método de la regla falsa basado en la sección 4.3.2. Pruébese el programa con el ejemplo 4.6. 4.21 Úsese el programadelproblema 4.20 paraprobar los cálculos del ejemplo 4.7. Realícense corridas de 5, 10,15 y más iteraciones hasta que elerrorrelativo porcentualsea menor delO.1%. Grafíquense los errores relativos porcentualesapro- ximados contra el número de iteraciones sobre papel semilogarítmico.Interpréten- se los resultados.
- 156. C A P í T U L O C I N C O MÉTODOS ABIERTOS En los métodos del capítulo anterior que usan intervalos, laraíz se en- cuentra dentro del mismo, dado porun límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximacionesmás y más cercanas ala raíz. A tales métodos seles conoce comoconuergen- tes ya que se acercan progresivamente a laraíz a medida que crece el número de iteraciones (Fig. 5.la). FIGURA 5.1 Esquema gráfico de las diferencias fundamentales entrelos métodos que usan intervalos a) y los métodos abiertosb) y c) en la localización deraí- ces.Ena), que ilustra elmétodo debisección, la raíz está registrada dentro del intervalo dodo por x, y x,. En contraste, con los métodos abiertos, ilustrados en b) y c), se usa una fórmula para proyectarxi a xi+, con un esquema iterativo. De esta manera, el método puede divergirb) o con- verger c) rápidamente, dependiendo del punto inicial.
- 157. 146 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS En contraste con éstos, los métodos abiertos que se describen en este ca- pítulo, se basanenfórmulasquerequierende un solo valor x o de un par de ellos pero que nonecesariamenteencierran a la raíz. Como tales, algunas veces diuergen o se alejan dela raíz a medida quecrece el núme- ro de iteraciones (Fig. 5.lb). Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen (Fig. 5.IC),en general lo hacen mucho más rápido que los mé- todos que usan intervalos.Se empieza el análisis de los métodos abiertos con unaversiónsimple que es útil parailustrarsuforma general y tam- bién parademostrar el concepto de convergencia. 5.1 ITERACIóN DE PUNTOFIJO Como se mencionó anteriormente,los métodosabiertosempleanunafór- mulaqueprediceunaaproximación a laraíz.Talfórmula sepuededesa- rrollarparalaiteracióndepunto fijo,rearreglando laecuación f(x)=O de talformaque x quede delladoizquierdo de la ecuación: x = [5.11 Estatransformaciónsepuedellevar a cabo mediante operaciones alge- braicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo: x 2 - 2 x + 3 = o sepuedereordenarpara obtener: x2 + 3 í! x=”- mientrasquesen x = O puedetransformarseenlaformadelaecuación (5.1)sumándole x a ambosladospara obtener: x = senx + x La utilidad de laecuación (5.1)es que proporciona una fórmula para predecir un valor de x en función de x. De esta manera, dada un aproxi- macióninicial a la raíz, xi, la ecuación (5.1)se puedeusarparaobtener unanuevaaproximación xi+l,expresada porlafórmulaiterativa: Como con otras fórmulas iterativas del libro,el error aproximado de esta ecuación se puedecalcularusandoelestimador de error [Ec. (3.5)1:
- 158. MhODOS ABIERTOS 147 EJEMPLO 5.1 Iteración de puntofijo Enunciadodelproblema:úseseiteración de puntofijoparalocalizar la raíz de f(x) = e “x “x. Solución: lafunción se puede separardirectamente y expresarse enla forma de ecuación (5.2)como = e-”.Empezandocon un valor ini- cial de x,,=-O, se puedeaplicarestaecuacióniterativa y calcular: I Iteraci6n. i X O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 1.oooooo 0.367879 0.692201 0.500473 0.606244 0.545396 0.57961 2 0.5601 15 0.571 143 0.564879 1O0 76.3100.0 35.1171.8 22.146.9 11.838.3 6.8917.4 2.205.90 1.243.48 O.7051.93 0.3991.1 1 3.8311.2 I Deesta manera, cada iteración acerca cada vez más alvalorestimado con elvalorverdadero de laraíz, o sea 0.567 143 29. RECUADRO 5.1 Convergencia de la iteración de punto fiio AI analizar la figura 5.3, se debe notar que la iteración de punto fijo converge si en laregión de interés g’ ( x ) < 1. En otras palabras, la convergencia ocurre silamagnitud de la pendiente de g ( x ) es menor que la pendiente de la líneaf(x ) = x. Esta observaciónse puede demostrar teóri- camente. Recuérdese que la ecuación aproximada es: Xi+l = g(xi) Supóngase que la solución verdadera es: x, = S(&) Restando estas dos ecuaciones se obtiene: xr - Xi+l = g(xJ - g(xJ [B5.1.1] En el cálculo, existe un principio llamado teorema del valor medio (sección3.5.2).Dice que si una función g ( x ) y su primeraderivadason continuas sobre un intervalo a < x <b, entonces existe un valor de x = { dentro del intervaloparael que: [B5.1.2] El lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la lí- nea que une ag ( a ) y g ( b ) , De esta manera, el teorema del valor medio dice que hay al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, denotada por S({), que es paralelaa la línea que une g(a)con g(b) (Fig. 3.5). Ahora, si se hace a = xi y b = x, el lado derecho de la ecuación (B5.1.2)se puede expresar como:
- 159. 148 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS S k r ) - g(xJ = (xr - Xi) g ‘ ( 8 Por consiguiente,si g’ ( ) < 1, entonces los errores de- crecen. con cada iteración. Si g’ ( < ) > l, entonces los donde 4 se encuentra enalguna Parte dentro de x, Y x,. errores crecen. Nótesetambién que sila derivada es posi- Este resultado se puede sustituir en la ecuación (B5.1.2) tiva,los emores serán positivos, y por lo tanto, la solucióo para obtener: iterativaserá monótona (Figs. 5.3a y c). Si la derivada es [B5.1,31 negativa, entonces los errores oscilarán (Figs. 5.3b y d). Un corolario de este análisisdemuetra que cuando Si elerrorverdaderoparalaj-ésimaiteración se definecomo:el método converge, el error es casi proporcional a y me- nor que el error delpaso anterior. Por esta razón, la itera- X, - xi+1 = (X, - xi) S’([) Et,! = x, - xi ción de puntofijo se dice que es linealmenteconuergente. entonces la ecuación (B5.1.3)se convierte en: Et,i+l = S’(() Et,¡ 5.1.1 Convergencia Nótese que el error relativo exacto en cada iteración del ejemplo 5.1 es casi proporcional (porun factor de 0.5a 0.6) al error dela iteración ante- rior. Esta propiedad,conocida como convergencia lineal, es característi- ca de la iteración de punto fijo. En el recuadro 5.1 se presenta una base teóricapara esta observación. FIGURA 5.2 Dos métodos gráficos alternativos paro determinar la raíz de f(x) = e ‘-x. a) Raíz en el punto donde ésta cruza aleje x; b) raíz en la intersección de las funciones componentes. -
- 160. METODOS ABIERTOS 149 Además de la “velocidad” de convergencia, se debe hacer hincapié en estemomentosobre la“posibilidad” de convergencia. Los conceptos de convergencia y de divergenciase pueden ilustrar gráfi- camente. Recuérdese que enla sección 4.1 se graficóunafunciónpara visualizar su estructuray su comportamiento(Ej.4.1).Esta función se vuel- ve a graficarenlafigura 5.2a. Un planteamientográficodiferente es el desepararlaecuación f ( x ) = O endospartes, como en: f l k ) = f2 (x) Entonces las dos ecuaciones: Y1 = fl(4 r5.31 Y Y2 = f2 (x) P.41 se pueden graficar porseparado (Fig.5.2b). Los valores dex correspon- dientes a las intersecciones de estas funciones representan las raíces de f(x) = o. EJEMPLO 5.2 El método gráfico de dos curvas Enunciado del problema: sepárese la ecuación e “x - x = O endospar- tes y determínese suraíz gráficamente. Solución: reformúlese la ecuación como yl = x y y2= e -’. Calcúlense los siguientesvalores: X Y1 Y2 0.0 0.0 1.O00 0.2 0.2 0.819 0.4 0.4 0.670 0.6 0.6 0.549 0.8 0.8 0.449 1.o 1.o 0.368 Estos puntos se gráfican en la figura 5.2b. La intersecciónde las dos cur- vas indica una aproximación dex = 0.57, que correspondeal punto donde la curvaoriginal en lafigura 5 . 2 ~cruzaal eje x.
- 161. 150 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS El método de las dos curvas se puede usar ahora para ilustrar lacon- vergencia y divergenciade la iteración de puntofijo. Enprimerlugar,la ecuación (5.1) se puedeexpresar como un par de ecuaciones: y , = x y y2= g (x). Estasdos ecuaciones se pueden gra- ficar por separado. Tal fue el caso de las ecuaciones (5.3)y (5.4) las raí- ces de f(x) = O sonigualesalvalordela abscisa enla intersección de las doscurvas. Enlafigura 5.3se graficanlafunción y , = x y cuatro esquemas diferentesde la función y2= g(x). FIGURA 5.3 Esquema gráficode la convergenciaa)y b) y la divergencia c) y d) de la iteración de punto fino. A las grafips a) y c) seles conoce como patrones monótonos, mien- tras que a b) y d) seles conoce.como patrones oscilatorios o en espiral. Nótese que la convergencia se obtiene cuando 1 g’(x) 1 < 1. __I__ _LI_I_-^.. ~
- 162. MnODOS ABIERTOS lb1 Enelprimer caso (Fig. 5.3~4,elvalorinicial x, se usaparadetermi- narelpuntocorrespondientealacurva yz, [xg,g(xo)].El punto [x1,xl] se encuentra moviendo la curva y1 a la izquierda y horizontalmente.Es- tos movimientossonequivalentesa laprimeraiteracióndelmétodo de punto fijo: De esta manera, enla ecuación y enla gráfica se usa un valorinicial x. para obtener laaproximación xI. La siguienteiteraciónconsiste en mo- versealpunto [xl,g (xl)]b después a [x2,x2]. Estaiteración es equiva- lentea la ecuación: Lasoluciónenlafigura 5.3a es convergente ya que la aproximación de x se acerca mása laraíz con cada iteración. Lo mismo se cumplepara lafigura 5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras 5 . 3 ~y d, en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la convergencia ocurreúnicamentecuandoelvalordelapendientede y2 = g ( x ) es me- nor alvalor de la pendiente de yI = x, esto es, cuando 19' ( x ) I c 1. Enel recuadro 5.1 se presenta una derivación teórica de este resultado. 5.1.2 Programaparalaiteración de punto fijo El algoritmopara la computadora de la iteracióndepuntofijoes extre- madamente simple. Consisteen un ciclo que calcula iterativamente nue- vas aproximaciones junto con una declaración lógica que determina cuando se hacumplidoelcriterio de paro. FORTRAN f 1 so I70 2 a 1 0 a F O R M h T C ', Z F I 0 . 3 , I S f U R I T E ~ 6 . 3 ? X N , E A , N I STOP END BASIC 1X I I Iü 1213 130 140 150 160 1.70 180 I90 200 210 220 ,lFunc16n a la que se desea calcular la raizl ES = errorporcentualaceptable XN = aproximact6n a laraíz INPUrXR.ES. Ill FORNI = 1 TU In I F XN = 0, THEN 170 XN = FN FCXR) IM = numeromaxmodeiteraclones E A = AB5 ( I X N - XR) I XN) e-. EA = aproximaci6nporcentualdel I FE A = ES THEN 210 -(pruebade 1W error NEXT NI PRINT"NO SE ENCONTRO L A R A I L " END P R I N TX N . E A . N I XR = XN NINI - I FIGURA 5.4 Programa parala iteración de punto fijo.Nótese que este algoritmo general es similar al de los métodos abiertos.
- 163. 152 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS En la figura 5.4se presentanlos programas enFORTRAN Y BASIC para el algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abier- tos,simplementecambiando la fórmula iterativa (declaración 130). 5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Tal vez, dentro delas fórmulas paralocalizar raíces, la fórmula de Newton- Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíz-es x,, entonces se puede extender una tangente desde el punto [x;, f (xi)].El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz. El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita en el recuadro 5.2).Como en la figura 5.5, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente. que se puede reordenar para obtener: a la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson. FIGURA 5.5 Esquemagráfico del métododeNewton-Raphson. Se extrapolauna tangentea la función enel punto xi [esto es, f'(x;)] hasta el eje x pa- ra obtener una estimación de la raíz en x,+ !. _l__l ~~.~~
- 164. METODOS ABIERTOS 153 EJEMPLO 5.3 Método de Newton-Raphson Enunciadodelproblema:úseseelmétododeNewton-Raphsonpara calcular laraíz de e "x - x empleando elvalorinicialde x. = O. Solución: laprimeraderivada de lafunción se puedeevaluar como: f'(x) = -e-x - 1 que se puede sustituir, junto con lafunciónoriginalen la ecuación (5.6) para dar: p i - xi h Xi+l = xi - -e-x' - - J , 1 Empezandoconelvalorinicial x. = O, se puede aplicar la ecuación ite- rativaparacalcular: O 1O0 0.500000000 11.8 0.566311003 0.147 0.567143165 0.0000220 0.567143290 <10 Deesta manera, el planteamientoconvergerápidamente a laraíz real. Nótese que el error relativo en cada iteración decrece mucho más rápido que comolo hace la iteración de punto fijo (compárese con el ejemplo5.1). 5.2.1 Criterios de paro y estimación de errores Como con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación (3.5) se puede usar como un criterio deparo. Además, la derivación delméto- docon la seriedeTaylor(recuadro 5.2) proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidaddeconvergenciaexpresado como: Ei+ = O (Ei*).De esta forma, elerrordebesercasiproporcional al cua- drado del error anterior.En otras palabras,el número de cifras significati- vas se duplica aproximadamenteen cada iteración. Este comportamiento se examina enel siguiente ejemplo.
- 165. 154 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS RECUADRO5.2 Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson a partir de la serie de Taylor Además de laderivación geométrica [ecuaciones (5.5) y 0 = f(Xi) + f'(Xi) (xr - Xi) (5.6)],el método de Newton-Raphson se puede derivar también con eluso de la serie Taylor. Esta derivación al- f"(O ternativa es muyútil en el sentido de que muestra laDe- + 2(xr- X,)' [B5.2.3] netración en la velocidad de convergencia del método. L~ ecuación (B5.2.2) se puede restar de la ecuación puede representar como: Recuérdese delcapítulo 3 que la serie de Taylor se (85.2.3) para obtener: f"(47 + -(x~+I- X¡)' [B5.2.1] 2 L [B5.2.4] en donde t: se encuentraen parte de1intervaloen- Ahora, notando que el es igual a la diferencia entre tre xiy xi+,. Truncando la serie de Taylor después de la primera derivada, se obtiene unaversión aproximada: xi+l y elvalor real, x, como en: f(Xi+l) -- f(Xi) + f '(Xi)(X¡+l - Xi) Ev.i+l=xr"xi+l En la intersección con el eje x,f(xi+,) debe ser igual a ce- ro, o: y la ecuación (B5.2.4)se puede expresar como: 0 = f(Xi) + f '(Xi)(Xi+l - Xi) [B5.2.2] [B5.2.5] L que se puede resolver para: que es idéntica a la ecuación (5.6).De esta forma, se ha derivado el método de Newton-Raphson usando la serie de Taylor. Además de la derivación, la serie de Taylor se puede usar para estimarel error de la fórmula. Esto se puede lo- grar alutilizar todos los términos de la ecuación B5.2.1 con el resultado exacto. Por esta situación xi+l= x,, en donde x, es elvalor exacto de laraíz.Sustituyendo este valor, junto con f(x,) = O en la ecuación (B5.2.1)se obtiene: Si se supone que hay convergencia, entonces xi y t: se deberían aproximar a laraíz x,, y la ecuación (B5.2.5) se puede reordenar para obtener: [B5.2.6] De acuerdo a la ecuaci6n (B5.2.6)el errores casi propor- cional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctas se duplica aproxi- madamente en cada iteración. A este comportamientose lellama conoergencia cuadráfica. El ejemplo 5.4 ilustra esta propiedad. EJEMPLO 5.4 Análisis de error en el método de Newton-Raphson Enunciado del problema: como se dedujo enel recuadro 5.2, el método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente. Esto es, el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior, dado por: CE5.4.11
- 166. MÉTODOS ABIERTOS 1SS Examínese esta fórmula y véase si es aplicable a los resultados del ejem- plo 5.3. Solución: laprimeraderivada de !(x) = e ”x es: f ‘(x) = --e-’- 1 que se puedeevaluaren x,= 0.567 143 29 para dar: f’(0.567143 29) = -1.567143 29 Lasegundaderivada es: fff(x)= e-x que se puede evaluar, para obtener: f’(0.567143 29) = 0.567143 29 Estos resultadosse pueden sustituir en la ecuación (E5.4.1)para obtener: 0.567 143 29 EV l + l,’ =- Z(”1.567 143 29) E v , i 2 O € , , i t 1-- 0.180 95 E,,i2 Del ejemplo 5.3, el error inicial fue de Et,0= 0.567 143 29, que se pue- de sustituirenla ecuacióndelerrorpara obtener: E,,l 0.18095(0.56714329)2 = 0.058 2 que se acerca al error real de = 0.067 143 29. Enla siguiente iteración: Ev,2 0.180 95(0.06714329)2 = 0.000 815 8 que también se compara favorablemente con el error real de 0.000 832 3. Enla tercera iteración: = 0.180 95(0.000832 = 0.000 O00 125 que es exactamente elerrorobtenidoenel ejemplo 5.3. Laestimación del error mejora de esta manera ya que está más cercano a laraíz, xi y 4 se aproximanmejormediante x, [recuérdese la suposición manejada alderivarla ecuación (B5.2.6)a partir de la ecuación (B5.2.5),en el re- cuadro 5.21. Finalmente: Eu,4= 0.18095(0.000 O00 125)2= 2.83 X De esta manera este ejemplo ilustra que el error en el método de Newton- Raphson es en este caso, de hecho, casi proporcional (por un factor de O. 180 95) al cuadradodelerroren la iteraciónanterior.
- 167. 156 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 5.2.2 Desventajas delmétodo de Newton-Raphson Aunque el método de Newton-Raphson en general esmuy eficiente,hay situacionesen que se porta deficientemente. Un casoespecial-raíces múltiples- se analiza al final del capítulo. Sin embargo, aun cuando se trate de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5.5 Ejemplo de una función que converge lentamente con el método de Newton-Raphson Enunciado del problema: determínese laraíz positiva de f(x) = x10 - 1 usando el método de Newton-Raphson con un valor inicial de x = 0.5. Solución: la fórmula del método de Newton-Raphson es en este caso: que se puede usar para calcular: O 0.5 1 51.65 2 46.485 3 41.8365 4 37.65285 5 33,887565 De esta forma, después de la primera predicción deficiente, el método converge a laraíz 1,pero con una velocidad muy lenta. Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la fun- ción, se puedenoriginar otras dificutades,como se ilustra en la figura 5.6. Por ejemplo, la figura 5.6a muestra el caso dondeun punto de inflexión -esto es, f'(x) = 0- ocurre en la vecindad de una raíz. Nótese que las iteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz. En la figura 5.6b se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson a oscilar alrededor de un punto mínimo o máximo local. Tales oscilaciones persisten, o, como en la figura 5.6b, se alcanza una pendiente cercana a cero, después de lo cual la solución se aleja del área de inter&. En la figura 5.6c, seilustra como un valor inicial cercano a una raíz puede sal-
- 168. METODOS ABIERTOS 157 taraunaposiciónvariasraíceslejos.Estatendenciadealejarsedel área de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas acero. Ob- viamente, unapendiente cero Lf'(x)= O] es un realdesastrequecausa
- 169. 158 METODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS 5.3 una división por cero en la fórmula de Newton-Raphson [Ec. (5.6)]Gráfi- camente (Fig. 5.6d), esto significa que la solución se dispara horizontal- mente y jam& toca al eje x. La única solución en estoscasos es la de tenerun valor inicial cerca- no a la raíz. Este conocimiento, de hecho,lo proporciona el conocimien- to físico del problema o mediante el uso de herramientas tales como las gráficas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la so- lución. Esto sugiere tambiOn que se deben diseñar programas eficientes que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia. La siguiente sec- ción está enfocada hacia estos temas. 5.2.3 Programa para el método de Newton-Raphson Con sólo sustituir la línea 130 de la figura 5.4, se obtiene el método de Newton-Raphson.Nótese, sin embargo, que el programa se debetam- bién modificar para calcular la derivada. Estose puede llevar a cabo sim- plemente incluyendo una función definida por el usuario. Además, de acuerdoa las discusiones anteriores sobrelos problemas potenciales delmétodo de Newton-Raphson,el programa se debe modi- ficar incorporándole algunos rasgos adicionales: 1.Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del pro- - grama. 2.A1 final de los cálculos, la aproximación a la raíz siempre se debe susti- tuir en la función originalpara calcular en qué casosel resultado se acerca a cero.Esta prueba protege contraaquéllos casos donde se observa con- vergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de E,, mientras que la solución puede estar aún muy lejos de una raíz. 3.El programa siempre debeincluir un límite m6ximosobre el número per- mitido de iteracionesparaestarprevenidoscontra las oscilaciones y la convergencia lenta,o las soluciones divergentespersistirán intermina- blemente. MÉTODO DE LA SECANTE Un problema fuerte enla implementación del método deNewton-Raphson es el de la evaluación de la derivada. Aunque esto no esun inconvenien- te para los polinomios y para muchas otras funciones,existen algunasde éstas cuyas derivadas pueden ser extremadam-ente difíciles de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia divida, como (Fig. 5.7):
- 170. METODOS ABIERTOS 159 FIGURA 5.7 Esquemagráfico del métodode la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton-Raphson(Fig.5.5) en el sentidode que una apro- ximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de lasecante usa una diferencia en vezde la derivada para aproximar la pendiente. Estaaproximación se puede sustituirenla ecuación (5.6)obteniendo la ecuacióniterativa: La ecuación (5.7)es la fórmula para elmétodo de la secante. Nótese que el planteamiento requiere de dos puntos inicialesde x. Sin embargo, de- bido a que no se requiere que f(x) cambie de signoentre estos valores, a estemétodono se le clasifica como aquellosque usanintervalos. EJEMPLO 5.6 EL método de la secante Enunciado del problema: úsese el método de la secante para calcular la raíz de f ( x ) = e-x - x. Empiécesecon los valoresinicialesde x-1 = o y x0 = 1.0.
- 171. 160 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Solución: recuérdeseque laraíz reales 0.567 143 29 . Primeraiteración: "0.632 12(0 - 1) 1 "("0.63212) x 1 = 1 - = 0.612 70 / € , I = 8 . 0 8 Segunda iteración: x0 = 1 f(xo) -0.632 12 x1 = 0.61270 f(x1) = -0.070 81 (Nótese que las dos aproximaciones se encuentran del mismo lado que la raíz.) x2 = 0.612 70- "0.070 81 (1-0.612 70) -0.632 12 - (-0.070 81) = 0.563 84 (E,( = 0.58% Terceraiteración: x1 = 0.61270 f(x1) = -0.070 81 x2 = 0.563 84 f(x2) = 0.005 18 x3 = 0.563 84 - 0.005 18 (0.612 70-0.563) 84 "0.070 81 - (0.005 18) = 0.567 17 IE,/ = 0.0048% 5.3.1 Diferencias entre los métodos de la secante y de la regla falsa Nótese la similitud entre los métodos de la secante y de la regla falsa. Por ejemplo,las ecuaciones (5.7)y (4.4)son idénticas término a término. Am- basusan dos estimaciones iniciales, para calcularuna aproximación a la pendiente dela función que se usa para proyectar hacia eleje x una nue- va aproximación a la raíz. Sin embargo, existe una diferencia crítica entre ambos métodos y éstaestribaenlaformaen que uno de los valores ini- ciales se reemplaza porla nueva aproximación.Recuérdeseque en el mé- todo de la regla falsa, laGltima aproximación de laraíz reemplaza a aquel valorcuyafunciónteníaelmismosignode f ( x l ) .En consecuencia, las
- 172. METODOS ABIERTOS 161 dosaproximacionessiempreencierran a laraíz. Por lo tanto, en todos los casos prácticos,el método siempre convergeya que la raíz se encuen- tra dentro del intervalo. En contraste, el mdtodo de la secante reemplaza los valoresenuna secuencia estricta,con el nuevovalor xi+lse reem- plaza a xiy xireemplaza a xi-l.Como resultado de ésto, los dos valores pueden caer de un mismo lado de la raíz. En algunos casos, ésto puede provocardivergencia. EJEMPLO 5.7 Comparación de la convergencia en los métodos de la secante y la’ regla falsa. Enunciado del problema: úsense los métodos de la secante y de la regla falsa para calcular laraíz de f(x) = In x. Háganse los cálculos con los va- lores iniciales x/= xi-l . 0.5 y x, = xi= 5.0. 1 ,’ Solución: enel método de laregla falsa, usando la ecuación (4.4)y los criteriosde obtención de laraízenel intervalo mediante el reemplazo de los valores correspondientes en cada aproximación, se generan las siguien- tes iteraciones: I lteraciin X I XU x , 1 9.5 5.8 1.8546 2 e s 1.8546 1.2163 3 e s 1.2163 1.@585 Como se puede ver (Figs. 5.8a y c), las aproximaciones convergen a la raíz real = 1. En el método de la secante usando la ecuación (5.7) y el criterio se- cuencialparareemplazarlasaproximaciones se obtiene: 1 0.5 5.@ 1.8546 2 5.8 1.8546 -4.18438 Comose muestraenlafigura 5.8d, el comportamiento del método es divergente. t
- 173. 162 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 5.8 Comparación entre los métodos de la regla falsa y de la secante. Las primeras iteracionesa) y b) de ambos métodosson idénticas. Sin em- bargo, en las segundas c) y d), los puntos usados son diferentes. En consecuncia, el método de lasecante puede divergir, como lo mues- tra dl. Aunque el método dela secante sea divergenteen algunos casos, cuan- do converge lo hace más rápido que elmétodo de la regla falsa. Por ejem- plo, enlafigura 5.9, que se basaen los ejemplos 4.3,4.6, 5.3 y 5.6,se muestra la superioridad del métodode la secante. La inferioridad delmé- todo de la regla falsa ;e debe a que un extremo permanece fijo y de esta maneramantiene a laraíz dentrodelintevalo.Esta propiedad, que es unaventajaporquepreviene la divergencia,es una desventaja en rela- ción a la velocidad de convergencia; esto hace que la aproximación con diferencias divididas sea menos exacta que la derivada. 5.3.2 Programa para el método de la secante Como con los otros métodos abiertos,se obtiene un programa del méto- do de la secante simplemente modificandola línea 110, de tal forma que se puedan introducir dos valores inicialesy sustituyendo la ecuación (5.7) enlalínea 130 de lafigura 5.4.
- 174. METODOS ABIERTOS 163 FIGURA 5.9 5.4 Comparación de los errores relativos porcentuales t y para cada uno de los métodos en la determinación de las raíces de f(x) = e-x - x. Además, las opciones sugeridas en la sección 5.2.3para el método de Newton-Raphson se pueden aplicar al programa de la secante para obtener tales ventajas. RAíCES MÚLTIPLES Una raiz múltiple corresponde a un punto donde unafunción es tangen- cia1al eje x. Por ejemplo, dos raíces repetidas resultan de: f(x)= (x - 3)(x - l)(x - 1) f(x)= x3 - 5x2 + 7x - 3 o, multiplicandotérminos, La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos térmi- nos de la ecuación (5.8).Gráficamente, esto significa que la curva toca
- 175. 164 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 5.10 Ejemplos de raíces múl- tiples tangentes al eje X. Nótesequelafunción no cruza el eje en casos de mu!tiplicidad par a)y c), mientrasque para multiplicidad imparsí lo hace b). tangencialmente al eje x enlaraíz doble. Véase lafigura 5.10~en x = 1. Nótese que lafunción toca al eje pero no locruzaenlaraíz. Una raiz triple corresponde al caso en que un valorde x se anulaen trestérminosde la ecuación, como en: f(x) = (x - 3)(x - l)(x - l)(x - 1) o, multiplicando, )(X) = x4 - 6x3 + 1 2 ~ '- 1 0 ~+ 3 Nótese que el esquema gráfico (Fig.5.10bJ indica otra vez que la función es tangencia1al eje enlaraíz pero que en este caso sí cruzael eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras quela mul- tiplicidad par no lo cruza. Porejemplo, la raíz cuádruple en la figura 5 . 1 0 ~ nocruzael eje. Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultadesa los métodos numéri- cos expuestos enla parte 11: l. El hecho de que lafunción no cambia de signoenunaraíz de multi- plicidadparimpideeluso de los métodos confiables que usan inter- valos, discutidosenelcapítulo 4. De esta manera, de los métodos incluidoseneste texto, los abiertostienen lalimitación de que pue- dendivergir. 2. Otroposibleproblema se relacionacon el hechodequeno sólo f(x) se aproxima a cero. Estosproblemas afectana los métodos de Newton- Raphson y al de la secante, los que contienen derivadas (oaproxima- ciones a ella) en el denominador de sus respectivas fórmulas. Esto pro- vocaría una división entrecero cuandola solución se acerque a la raíz. Unaformasimpledeevitar estosproblemas,que se ha demostrado teóricamente (Ralstony Rabinowitz, 1978),se basa en el hecho de que f(x).Por lo tanto, si severifica flx) contra cero, dentrodelprograma, entonceslos cálculos se pueden terminar antes de quef'(x) llegue a cero. 3. Se puededemostrarque el métododeNewton-Raphson y elde Id secante convergenen forma lineal, en vez de manera cuadrática,cuan- do hay raíces múltiples (Raltsony Rabinowitz, 1978). Sehan propuesto algunas modificaciones para aliviar este problema. Ralstony Rabino- witz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio enla formu- laciónparaqueretorne su convergencia cuadrática, como: f (x,1 f '(Xi) xi+l= xi - m- en donde m es la multiplicidad de laraíz (esto es, m = 2 parauna raíz doble, m = 3 para una raíz triple, etc.). De hecho, puede resultar insatisfactorio porque presupone el conocimiento de lamultiplicidad delas raíces.
- 176. METODOS ABIERTOS 165 Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), es la de definir una nueva función u(x),que es el cociente de la función y su derivada, esto es: [5.10] Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posicio- nes que la función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puedesusti- tuir en la ecuación (5.6)y de esta forma desarrollar una formaalternativa del método de Newton-Raphson: Se puede derivar la ecuación (5.10),obteniendo: [5.11J [5.12] Se pueden sustituir las ecuaciones (5.10)y (5.12) en la ecuación (5.11) [5.13] EJEMPLO 5.8 Método de Newton-Raphsonmodificado para el cálculo de raíces múltiples. Enunciado del problema: úsenselos dos métodos, el estándar y el modi- ficado de Newton-Raphson para evaluar laraíz múltiple de la ecuación (5.9), con un valor inicial de xo= O. Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) esf(x) = 3x2- lox + 7, y por lo tanto, el método de Newton-Raphson para esteproblema [Ec. (5.6)]es: xi3- 5Xi2+ 7xi - 3 3xi* - loxi + 7 Xi+l = x, - que se puede resolver iterativamente para obtener:
- 177. 166 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS i Xi 1 € “ I Ojo O 0 1O0 1 0.42857142957 2 0.68571428631 3 0.83286540017 4 0.913328983 8.7 5 0.9557832934.4 6 0.9776551012.2 Como ya se habíaanticipado, el métodoconvergelinealmentehasta el valorverdadero de 1.O. Para el caso delmétodomodificado,lasegundaderivada es f” ( x ) = 60 x - 10, y larelacióniterativa es[Ec. (5.13)]: (Xi3 - 5xi2 + 7xi - 3) (3Xi2 - loxi + 7) Xi+l = xi - (3xi2- lOxi + 7)2- (xi3 - 5xi2 + 7x, - 3) (6xi - 10) que se puede resolverpara obtener: i xi lk”l O 0 1O0 1 l.105263158 1 1 2 1.003081664 0.31 3 1.O00002382 0.00024 De esta forma, el método modificado converge cuadráticamente.Se pue- denusarambosmétodosparabuscar laraízsimpleen x = 3. Usando un valorinicial de xo= 4 se obtienen los siguientesresultados: i Estándar, cy Modificado l t ~ l o 4 (33%) 4(33%) - 1 3.4(13%) 2.636 363 637(12%) 2 3.1 (3.3%) 2.820 224 720(6.0%) 3 3.008 695652 (0.29%) 2.961 728211 (1.3%) 4 3.000 074 641 (2.5X 2.998 478 719 (0.051%) 5 3.000000 O06 (2x 2.999 997 682 (7.7X De esta forma, ambos métodos convergenrápidamente,siendo el méto- do estándar más eficiente.
- 178. METODOS ABIERTOS 167 El ejemploanterior ilustra los factoresdemayorimportanciainvolu- crados al escoger el método de Newton modificado. Aunque es preferible en raícesmúltiples,algunasvecesesmenoseficiente y requiere más es- fuerzo computacionalque el método estándar parael caso de raíces sim- ples. Se debenotarque se puededesarrollarunaversiónmodificadadel método dela secante para raícesmúltiples sustituyendola ecuación (5.10) enla ecuación (5.7).La fórmula resultantees (Ralstony Rabinowitz,1978): PROBLEMAS Cálculos a mano 5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar laraízmayor de: f(x) = - 0 . 8 7 5 ~ ~+ 1 . 7 5 ~+ 2.625 Empléese un valorinicial de xi = 3.l. Realícese los cálculos hasta que E,, sea me- nordel E, = 0.01%. Tambiénverifíquense los errores enla respuesta final. 5.2 Determínenselasraícesreales de: f(x) = -2.1 + 6 . 2 1 ~- 3 . 9 ~ ~+ 0 . 6 6 7 ~ ~ a) Gráficamente b) Usando el método de Newton-Raphsonhastaque = 0.01% 5.3 Empléese el métododeNewton-Raphsonparadeterminarlasraícesreales de: !(X) = -23.33 + 79.35~- 8 8 . 0 9 ~ ~-k 4 1 . 6 ~ ~- 8 . 6 8 ~ ~+ 0 . 6 5 8 ~ ~ usando elvalorinicial de a) xi= 3.5;b) x= 4.0 y c) x,= 4.5. Pruébense y úsense los métodos gráficos para explicar cualquierpeculiaridaden los resultados. 5.4 Determínese laraízreal menor de: f(x) = 9.36 - 21.963~+ 16.2965~~- 3.70377~~ a) Gráficamentg b) Usando el método de la secante, hasta un valorde es, correspondienteatres cifrassignificativas. 5.5 Localícese laraízpositiva de: f(x) = 0 . 5 ~- sen x
- 179. 168 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS !(x) = 9.36 - 21.963~+ 16.2965x2 - 3.70377x3 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 donde x está dada en radianes. Usese un método gráfico y después calcúlese tres iteracionesconelmétodo de Newton-Raphsoncon un valorinicial de xi= 2.0 paracalcular laraíz. Repítanse los cálculos pero con un valorinicial de xi= 1.0. Úsese el métodográficoparaexplicar los resultados. Encuéntrese laraízrealpositiva de: f(x) = x4 - 8 . 6 ~ ~- 3 5 . 5 1 ~ ~+ 4 6 4 ~-- 998.46 usandoel método de la secante. Empléense losvaloresinicialesde xi., = 7 y xi= S y calcúlense cuatro iteraciones. Calcúlese E, e interprétense los resultados. Realícenselos mismos cálculos del problema5.6 pero usando el método de Newton- Raphson, con un valorinicial de x,= 7. Encuéntrese laraíz cuadrada positiva de 10 usando tres iteraciones con: a) El método de Newton-Raphson, con un valorinicialde xi= 3. b) El método de la secante, convaloresiniciales de = 3 y x,=3.2. Determínese laraízreal de: 1 - 0 . 6 ~ f(x) = X usando tres iteraciones y el método de la secante con valores iniciales xi., - 1.5 y xi = 2.0. Calcúlese elerroraproximado E, despuésde la segunda y la tercera iteración. Determínese laraízreal de: !(x) = x3 - 100 con el método dela secante, con es= 0.1% . Determínese laraízrealmayor de: x3 - 6x2 + llx - 6 a) Gráficamente b) Usandoel método de bisección (dos iteraciones, XI= 2.5 y X,= 3.6). C) Usandoel método de lareglafalsa (dos iteraciones, X/= 2.5 Y X,= 3.6). d) UsandoelmétododeNewton-Raphson(dos iteraciones, xi= 3.61. e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, x;-l= 2.5 y X,= 3.6). Úsese el método de Newton-Raphson paradeterminar todas las raíces de :(x) = x2+ 5.78 x - 11.4504 con e,= 0.001%. Determínese laraízrealmás pequeña de:
- 180. MÉTODOS ABIERTOS 169 a) Gráficamente b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, x,= 0.5 y xu= 1.1). c) Usando el método de la raglafalsa (dos iteraciones, x,= 0.5 y x,= 1.1). d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, xi= 0.5). e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, xi-,= 0.5 y xi= 1.1). 5.14 Determínese laraízpositiva realmás pequeña de: f ( x )= 4X4 - 2 4 . 8 ~ ~+ 57.04~'- 56.76~+ 20.57 a) Gráficamente b) Usando el método disponiblemás eficiente. Empléense los valores'inicia- les de x, = x , . ~= 0.5 y x, = x, = 1.5 y realícense los cálculos hasta que E,= 15% 5.15 Determínense las raíces de !(X) = x3 - 3 . 2 ~ ~- 1 . 9 2 ~+ 9.216 a) Gráficamente b) Usando el método disponiblemás eficiente con E,= 0.1% 5.16 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de Newton-Raphson 5.17 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de la secante. Problemas relacionados con la computadora 5.18 Desarróllese un programaparael método de Newton-Raphson basado en la figura 5.4 y en la sección 5.2.3. Pruébese el programa duplicando los cSlcu- los del ejemplo 5.3 5.19 Úsese elprogramadesarrolladoenelproblema 5.18 y duplíquense los cálcu- los del ejemplo 5.5. Determínese laraíz usando un valorinicial de xi= 0.5. Realícense 5, 10, 15 o más iteraciones hasta que el errorrelativo porcentual exacto sea menor del O.1B.Grafíquense los errores relativos porcentuales exac- to y aproximado contra el nlirnero de iteraciones sobre papel semilogarítmico. Interprétense los resultados. 5.20 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.18 para resolver los problemas 5.1 al 5.5. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de E S = 0.001%. 5.21 Desarróllese un programapara el método de la secante basado en lafigura 5.4 y en la sección 5.3.2. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.6. 5.22 Úsese el programa desarrollado enelproblema 5.21 para resolver los proble- mas 5.6, 5.9 y 5.10. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de es= 0.001%.
- 182. C A P í T U L O S E I S CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCES DE ECUACIONES La finalidad de este capítulo es la de usar los procedimientos numéricos analizados en los capítulos 4 y 5 para resolver problemas reales de inge- niería. Los métodos numéricos son importantesen la práctica ya quefre- cuentemente los ingenierosencuentranproblemasqueno se pueden plantear desde un punto de vista analítico. Por ejemplo, algunos mode- los matemáticos quese pueden resolver analíticamente no son aplicables en los problemas prácticos. Debidoa esto, se debenusarmodelosmás complicados. En estos casos, es conveniente implementarun método nu- mérico que se pueda usar en una microcomputadora.En otros casos, los problemas requerirán soluciones explícitas enecuaciones muy complica- das (recuérdese la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5). Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se encuentran durantelos estudios superiores o de licen- ciatura. MAS aún, son problemas representativosde aquéllos que se en- contraránenlavida profesional. Los problemas van desde laingeniería económica en general, hasta las especialidadesde la misma: química, ci- vil, eléctrica y mecánica. Estos casos deestudioilustranalgunosde los factores de másimportanciaentrelas técnicas numéricas. Por ejemplo, el caso 6.1 hace uso de todos los métodos, con excep- ción del método de Newton-Raphson para analizar puntos de equilibrio que resulteneconómicos.El método de Newton-Raphson nose usó porque la función en an6lisis es difícil de derivar. Entre otrascosas, en el ejemplo se demuestra como puede divergirel método de la secante, sielvalor inicial no se encuentra lo suficientemente cerca de laraíz. El caso 6.2 tomado de la ingeniería química, muestraun ejemplo ex- celente de cómo se pueden aplicar los métodos para la búsqueda de raí- ces de fórmulas quese presentan en la práctica de la ingeniería. Además, este ejemplo demuestrala eficiencia del método de Newton-Raphsoncuan- do se requiere un grannúmerodecálculosenlalocalizaciónde la raíz. LOScasos 6.3, 6.4 y 6.5 son problemas de ingeniería de diseño, to- mados del área de civil, eléctrica y mecánica. El caso 6.3aplica tres mé- todos diferentes para determinar las raícesde un modelo de crecimiento
- 183. 172 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS demográfico. En el cuso 6.4,se realiza un análisis semejante deun circui- to eléctrico. Finalmente, el caso 6.5analiza las vibraciones de un auto- móvil. Además de analizar la eficiencia de cada uno de los métodos, este ejemplo tiene una característica adicional, que es la de ilustrar cómo los métodos gráficos sirven de ayuda en el proceso delocalización de raíces. CASO 6.1 ANALISISDE PUNTO DE EQUILIBRIO (INGENIERíAENGENERAL) Antecedentes: en la práctica de la ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera queresulten económicos. Porlo tanto, aun ingeniero conex- periencia deben serle familiares los análisis de costos. El problema que se trata en esta sección se conoce como “problema de puntos de equili- brio”. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los cam- pos dela ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos persona- les, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de puntos de equilibrio,que se encuentran a menudoen la vida profesional. Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras: La “Micro-uno’’y la “Micro-dos”. En el cuadro 6.1se encuentran resu- midas algunas características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puedepedir un préstamo con un interés del 20% (i = 0.20), ¿cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el punto de equilibrio medido en años? Solución: como es común en problemasde economía,se tiene una mez- cla de costos presentes y futuros. Por ejemplo, en la figura 6.1se mues- tra que la compra de la Micro-uno involucra un gasto inicial de $3 000. Además de este desembolso,también se requiere dinero para el mante- CUADRO6. l Costos y beneficios de dos microcomputadoras.Los signos negativos in- dican un costoo una perdida mientras que un signo positivo indica una ganancia COMPUTADORA Micro-unoMicro-dos Costo decompra, $ -3000 Incrementoenelmantenimiento del costo por año,$/año/año -200 Ganancias y beneficiosanuales, $/año 1000 -1 0,000 -50 4000
- 184. FIGURA 6.1 Diagramade fluio de efectivos de costos y beneficiasde laMicro-uno. La abscisa muestra el número de años que se posee la computadora. El fluio de efectivos se mideen lo ordenada, con los beneficios positivos y los costos negativos. nimiento anual de la máquina. Debidoa que estos costos tiendena aumen- tar a medida que la máquina se usa más y más, se supone que los Costos de mantenimiento crecen linealmente con el tiempo. Por ejemplo, alre- dedor del décimoaño se requieren $2 O00 anuales para mantenerla má- quina en condicionesde trabajo (Fig.6.1).Finalmente y además de estos costos se deben deducir beneficios del propietario dela computadora.Las gananciasy las prestaciones derivadas dela Micro-unose caracterizan por un ingresoanualconstante de $1 000. Para valorar las dos opciones estos costos se deben convertir en me- didas comparables. Una manerade hacerlo es expresandotodos loscos- tos individualescomo si fuesen pagosanuales, estoes, el costo equivalente por año sobretoda lavida útil de la computadora. Las ganancias y las prestaciones yase encuentran en este formato.Se puede disponerde las fórmulas deeconomía para expresar los costos de compray de manteni- miento de la misma forma. Por ejemplo, el costo de la compra inicial se puedetransformarenunaserie de pagos anuales mediante la fórmula (Fig. 6.2~): A, = P i(1 + i)" (1 + i)" - 1 en donde A, es el montodelpago anual, P es el costo dela compra, i es la tasa de interés y n es el número de años. Por ejemplo, el pago
- 185. 174 M~TODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 6.2 Esquemagráficodel uso deunafórmuladeeconomía, a) Tranforma- ción de un pago en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.1)y b)transformación de una serie de gradiente aritmético en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.2). inicial de la Micro-uno es de$-3 000, en dondeel signo negativoindica pérdidas. Si la tasa de interés es del 20% (i = 0.2), entonces: Ap = -3000 O.Z(l.2)" 1.2"- 1 Por ejemplo, si los pagos iniciales se extienden hasta 10 años (n = lo), se puede usar esta fórmula para calcular que el pago anual equivalente sería de $-715.57 por año. A los costos de mantenimiento seles conoce comoserie de gradiente aritmético porque crecen a un promedio constante. La conversión de es- tas series a una tasa anual A se puede calcular con la fórmula: en dondeG es la tasa de crecimientoen el mantenimiento. Como se puede ver en la figura 6.26 esta fórmula transforma el costo de mantenimiento creciente en una serie equivalente de pagos anuales constantes. Estas ecuaciones se pueden combinarde forma tal que se pueda ex- presar el valor de cada computadoraen términos de una serie uniforme de pagos Por ejemplo, para la Micro-uno:
- 186. A,= -3 O00 0.2(1.2)" -200 ["1 1+ 1 O00 1.2" - 1 0.21.2" - 1 valor total = -costo de compra - costode mantenimiento + ganancias en donde A, denota el valor anual total. Agrupando términos, esta ecua- ción se puedesimplificar: -600( 1.2)"200n A, = +1.2" - 1 1.2" - 1 ~6.31 Sidespués de poseer la Micro-uno durante dosaños se decide descartar- la, entonces sustituyendon = 2 en la ecuación (6.3)resultará que el cos- to es de$1055por año. Si la computadorase descarta después de poseerla 10 años (n = lo),la ecuación muestra un costo de $330 por año. De manera similar, para la Micro-dosse puede desarrollar una ecua- ciónparael costo anual, dadapor: -2 OOO(1.2)" + A, = 50n + 3750 1.2" - 1 1.2" - 1 ~6.41 Los valoresde la ecuación (6.4) para n = 2 y n = 10 sonde $-2 568 y $ +1461 por año, respectivamente. De estamanera, aunque la Micro- dos es más costosa en base a periodos cortos, si se posee por periodos largos, no sólo es más barata, sino que producirá ganancias al propieta- rio. Enlafigura 6.3a se muestran las ecuaciones (6.3)y (6.4)para varids valoresde n. La identificación del punto enel que las dos máquinas tienen valores iguales indica cuando la Micro-dos vienea ser la mejor compra. Gráfica- mente, esto corresponde a la intersección de lasdoscurvasenlafigura 6.3~1.Desde un punto de vista matemático, elpuntodeequilibrio es el valor de n para el que las ecuaciones(6.3)y (6.4)son equivalentes, estoes: -600(1.2)" + 200n -- -2 OOO(1.2)" + 50n +3 750 1.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1 pasando todos los términos de un lado, el problema se reduce a encon- trar la raíz de la función: -1 400( 1.2)" f(n) = - 150n + 3 750 = O 1.2" - 1 - 1.2" - 1 ~6.51 Nótese que debidoa la formaen que se ha derivado la ecuación,la Micro- uno es más efectiva en cuanto a costos cuando f (n) < O y la Micro-dos lo es cuando f (n) > O (Fig. 6.3b). Las raíces de la ecuación (6.5) no se pueden determinar analíticamente. Por el otro lado,los pagos anuales equi- valentessonfáciles de calculardadauna n. De esta forma, como enel
- 187. 176 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 6.3 a) Curvas del costo neto de las computadorasMicro-uno[Ec. (6.3)]y Micro-dos[Ec. (6.4)]. b) La función de punto de equilibrio [Ec. (6.5)J. estudio de la sección 11.1.2y el ejemplo 4.5,los aspectos considerados en la elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamiento numérico. Las raíces de la ecuación (6.5)se pueden calcular usando algunos de los métodos numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se pueden aplicar los métodos que usan intervalos y el método de la secante con un esfuerzo mínimo, mientrasque el método deNewton-Raphson es em- barazoso ya que consume muchotiempo al determinar df/dn de la ecua- ción (6.5). En base a la figura 6.3,se sabe quela raíz se encuentra entre n = 2 y n = 10. Estos valores se pueden usar en el método de bisección. L a bi- sección de intervalos se puede llevar a cabo 18 veces para obtener un resultado en donde E, sea menor de 0.001%.El punto de equilibrio ocu- rre a los n = 3.23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndolo en la ecuación (6.5)para ver que f (3.23) = O. Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3)o en la (6.4)se muestra que en el punto de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es
- 188. CASOS LA PARTEDOS:íCES DE ECUACIONES 177 de $542 por año. Másallá de este punto, la Micro-doses másefectiva en cuanto a costos. Por consiguiente,si se piensa comprar una máquina y poseerlapormás de 3.23 años, la Micro-doses la mejor compra. El método de la regla falsa se puede aplicar fácilmente a este proble- ma. Se obtieneuna raízsimilar después de 12 iteraciones enelmismo intervalo inicial de2 a 10. Por otrolado, el método de la secante conver- ge a unaraíz de -24.83 con elmismointervaloinicial.Sin embargo, si el intervalo se reduce desde 3 hasta 4, entonces el método de la secante converge a 3.23 en sólo cinco iteraciones. Es interesantenotarque el método de la secante tambiénconvergeenformarápida siel intervalo iniciales de 2 a 3, el cual no encierraa la raíz. Estos resultados son típicos de losfactoresdeimportanciaque se debentomarenconsideración y que se estudian posteriormente en el epílogo. Entonces el mejor método numéricoparaesteproblema depende deljuicioemitidorespecto a los factores de importancia, tales como eficiencia numérica, costo de las compu- tadoras y laconfiabilidaddel método. CASO 6.2 LEYES DE LOS GASESIDEALES Y NO IDEALES (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: la ley de los gases ideales estádada por: en donde p es la presión absoluta, V es el volumen y n es el número de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura ab- soluta. Aunque esta ecuaciónla usan ampliamente los ingenieros y cien- tíficos, sólo es exacta sobre un rango limitado de presión y temperatura. Más aún, la ecuación (6.6)es más apropiada para algunos gases quepa- ra otros. Una ecuaciónalternativa del estadode los gasesestádada por: r6.71 a la que se le conoce con elnombre de ecuación de van der Waals. u = V / n es elvolumenmolal y a y b son constantes empíricas que de- penden de un gasenparticular. Un proyecto de ingeniería química requiere quese calcule exactamente elvolumenmolal (u) del bióxido de carbono y del oxígeno para combi- naciones diferentes de la temperatura y de la presión, detalformaque se pueda seleccionar una vasija apropiadaque los contenga. Asimismo, esimportanteexaminar que tanbien se apegacadagas a laley de los
- 189. 178 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS gases ideales, comparandolos volúmenes molales calculados conlas ecua- ciones (6.6)y (6.7).Se proporcionan los siguientesdatos: R = 0.082 054 1 . atm/(mol . K) a = 3.592 b = 0.042 67 bióxido de carbono a = 1.360 b = 0.031 83 Las presiones de interés en el diseño son de 1,10y 100 atm. para com- binaciones de la temperatura de 300, 500 y 700°K. Solución: los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la ley de los gases ideales, con n = 1.Por ejemplo, si p = 1atm y T = 300°K, entonces: RT = 0.082 054 I atm 300 K n P mol. K I atm v = - = - v = 24.616 2 l/mol Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y tem- peratura y se presentan en el cuadro 6.2. Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van der Waals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico que encuentre raíces de los estudiados en los capítulos 4 y 5, de la siguiente manera: CUADRO6.2 Cálculos del volumen molar del caso de estudio 6.2 VolumenmolalVolumenmolalVolumenmolal (leyde los (vanderWaals)(vander TemperaturaPreridngasesideales)bióxidodeWaals)oxígeno K atm llmol carbonollmolllmol 300 1 10 1O0 500 1 10 1O0 700 1 10 1O0 24.6162 24.5126 2.4616 2.3545 0.2462 0.0795 41.027040.982 1 4.10274.0578 0.41030.3663 57.437857.41 79 5.74385.7242 0.57440.5575 24.5928 2.4384 0.2264 41.O259 4.1016 0.4116 57.4460 5.7521 0.5842
- 190. CASOSDE LA PARTE DOS:RA~CESDE ECUACIONES 179 En este caso,la derivada def (u) se determina fácilmentey es convenien- te implementar el uso del método de Newton-Raphson. La derivada de f respecto a u está dada por: a 2ab f’(U) = p - - + - 3 u3 El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (5.6) como: la cual se puede usaren el cálculo de la raíz. Por ejemplo, usando el valor inicial de 24.616 2,el volumen molal del bióxido de carbono a 300°K y a 1atm se calcula como 24.512 6 I/mol. Este resultado se obtuvo des- pués de dos iteraciones y con un E,, menor de O.O01%. En el cuadro 6.2 semuestran resultados similares para todaslas com- binaciones de presión y de temperatura para ambos gases. Se observa que los resultados obtenidos con la ecuación de van der Waals difieren en ambos gases de los de la ley de los gases ideales, de acuerdo a los valores específicosde p y de T. Más aún, ya que algunos de estos resul- tados son significativamente diferentes, el diseño de las vasijas que con- tendrán a los gases sería muy diferente, dependiendo de qué ecuación de estado se haya usado. En este caso,al usar el método de Newton-Raphson se examinó una ecuación del estado gaseoso complicada. Los resultados variaron signifi- cativamente en varios casos usandola ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de Newton-Raphson fue apropiado en este casoya que f’(u) fue fácil de calcular. De esta manera, se pueden explotar las propiedades derápida convergencia delmétodo de Newton- Raphson. Además de demostrar su potencia en un simple cálculo, el método de Newton-Raphson ilustra en este caso de estudio lo atractivo que es cuando se requiere unagran cantidad de cálculos. Debido ala velocidad de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de los métodos en la solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones sevuelve indistin- guible en un cálculo simple. Aun la diferencia de decenas entre el méto- do eficiente de Newton-Raphson y el método poco. refinadode bisección no significa una gran pérdida de tiempo cuando serealiza un solo cálcu- lo. Sin embargo, supóngase que se desea calcular una raíz millones de veces para resolver un problema. En este caso, la eficiencia del método puede ser un factor decisivo al escogerlo. Por ejemplo, supóngase que es necesario diseñarun sistema de con- trol automático computarizado de un proceso de producción de sustan- cias químicas. Este sistema requiere una aproximación exacta de volúmenes
- 191. 180 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS molales con basea un medio esencialmente continuo para fabricarconve- nientemente el producto final.Se instalan calibradores que proporcionan lecturasinstantáneas dela presión y la temperatura. Se debenobtener evaluaciones deu para toda la variedad de gases que se usan en elproceso. Para estas aplicaciones,los métodos que usan intervalos, talescomo eldebisección o de laregla falsa, posiblemente consuman mucho tiem- po. Además, los valores iniciales quese requieren con estos métodos ge- nerarían un retraso enel procedimiento. Este inconveniente igualmente afecta al método dela secante, que también necesita dos valores iniciales. En contraste,el método de Newton-Raphson requiere 6nicamenteun valor inicial de la raíz. Se puede usar la ley de los gases ideales paraobte- ner este valor al iniciodel proceso. Después, suponiendo que el tiempo empleado sea lo bastante corto como para que la presión y la temperatu- ra novaríenmuchodurante los cálculos, la solución de laraíz anterior se puede usarcomo valor inicial de lasiguiente.De esta forma, se tendría disponible de forma automáticaun valor aproximadocercano a la solución, requisito indispensable en la convergencia del método de Newton-Raphson. Todas estas consideraciones favorecerán de manera considerable al método de Newton-Raphsonen estos problemas. CASO 6.3 DINÁMICA DEL CRECIMIENTODEMOGRÁFICO (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: la dinámica del crecimiento demográfico es de importan- ciaen todos los planes de estudio de ingeniería. Los progamas de cons- trucción y dedistribuciónderecursosenproyectos a gran escala, tales como el abastecimientodeagua y sistemasdetransportedependenen granmedidadelas tendencias dela población. Además, lastendencias deotrotipode poblaciones, tales como los microbios,sonimportantes en muchos procedimientos de ingeniería,como en el tratamientode ba- sura, enel manejo dela fermentación y enla elaboracióndeproductos farmacéuticos. Los modelos de crecimientoen un grupo de microbios suponen que el promedio de cambio dela población (p)es proporcional a la población existente en un tiempo (t): Lapoblación crece en un medio enel queexistealimentosuficientede manera que k no es una función de la concentración. (Véaseel caso 12.2 que muestraun ejemplo en donde k dependedel nivel alimenticio.)Cuan- doel alimento no escasea, el crecimiento se limita sólo porel consumo deproductostóxicos o de espacio, si esque el tamaño de la población crece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de creci-
- 192. CASOS DE DOS: RAiCESDE ECUACIONES 181 miento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza unadensidadmáximade pmex.En este caso, se modificala ecuación an- teriorde la siguiente manera: en donde las unidades de K sonlitrosporcélulapordía.Estaecuación diferencial se puedeintegrar de formaanalítica dando: en donde p(t = O) = po.A la ecuación (6.9) se le conoce como el mo- delo de crecimientologístico. Como se muestra en la figura 6.4,este mo- delo genera unacurva de p(t) enformade S. Como se puede ver, el modelosimula un crecimiento inicial lento, seguidopor un periodode crecimiento rápido y finalmente,un crecimiento limitadoa una densidad demográfica muy alta. Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de la ingenie- ría civil, considérese el crecimiento de una población bacteriológica enun lago. El crecimiento se comporta como lodefine la ecuación (6.9). La población es pequeñaen la primavera del año en donde f = O,p(f = O) = 10 célulasporlitro.Essabidoque la poblaciónalcanzaunadensidad de 15 O00 células Dorlitro cuando t = 60 días y que la tasa de crecimien- FIGURA 6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. El modelo simuiaun crecimiento inicial lento, después una aceleración en éI mismo seguido por un periodo de nivelación en una densidad poblacional alta.
- 193. 182 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS to K esde 2 X litrosporcélulapor día. Se requierecalcularla den- sidad de la población bacterial cuando t = 90 días. Si su número excede de 40 O00 células por litro,entonces la calidad estándar del aguarequie- rela implementación de algún procedimiento para disminuirlas y prote- ger a las personas que se introduzcanal agua. Solución: sustituyendo la informaciónconocida enla ecuación (6.9)se obtiene: 15O00 = Pm6x I [6.10] lacualtiene sólo unaincógnita, pmdx.Si la ecuación (6.10)se pudiera resolverpara pmAx,entonces p(t = 90) se podríadeterminarfácilmente de la ecuación (6.9).Sinembargo,yaque pmsxes implícita,nosepuede obtenerdirectamentedelaecuación (6.10).Por lo tanto, se debe usar un método numérico delos capítulos 4 y 5. No se usará el método de Newton- Raphson ya queladerivadadelaecuación (6.10)es difícil dedeterminar. Sin embargo,se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la reglafalsa y de la secante. Con un errorrelativodel 0.01% los valores ini- ciales dados de 60 O00 y 70 O00 células por litro generan las siguientes apro- ximacionesde pmsx. Método empleado Resultado lteracioner Bisección 63 198 1 1 Regla falsa 63 199 5 Secante 63 200 4 Nótese que los métodos delareglafalsa y de la secante convergen a la mitaddel númerodeiteraciones del métododebisección. Ahora, de la ecuación (6.9),con pmdx= 63 200: 63 200 P(90) = = 58 930 células por litro e-2x10-6(63 200)(90) Este nivel demográfico sobrepasa ellímite estándar en cuanto a calidad del agua que es de 40 O00 células por litro y por lo tanto, se debe tomar algunamedida de corrección. Este ejemplo, ilustrala eficiencia computacional relativa de tres mé- todos diferentes para encontrar raícesde ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil. Sin embargo, como se menciona anteriormen- te, el esquema general tiene unaaplicaciónampliaentodos los campos
- 194. CASOS DELAPARTE DOS: RAiCESDE ECUACIONES 183 de la ingeniería que tengan que ver conelcrecimientodeorganismos, incluyendo a los humanos. CASO 6.4 DISEÑODE UNCIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: losingenieroselectrónicos usan a menudo laley deKir- choff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en esta- do estacionario (que no varíanconel tiempo). Enel caso 9.4 se analiza el comportamiento de estos estados estacionarios. Otrotipo de proble- mas son los de corriente momentánea e implica a los circuitos dondesú- bitamente suceden cambios temporales. Esta situación ocurre cuando se cierraelinterruptor de lafigura 6.5. En este caso, despuésdecerrar el interruptor hayun periodo de ajuste hastaque se alcanza un estado esta- cionario. La longitud de esteperiodo de ajusteestárelacionadaconlas propiedades dealmacenamientode carga del capacitor y con el almace- namiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia enel circuito disipa la magnitud de las oscila- ciones. El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de vol- taje (V,) dado por: VR = iR en donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito. Cuando las uni- dades deR e i son ohm y amperes, respectivamente,entonces la unidad de V es elvolt. De manera semejante, un inductor resiste el cambio enla corriente, de forma tal que la caídadevoltaje (V,) alcruzarlo es de: di vr = L- dt , . A Interruptor -Batería y'; v0 - - 7-4 ,a Capacitor Inductor ' + + Resistencia FIGURA 6.5 Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente experi- menta una serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estado estacionario.
- 195. 184 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS _l_____-~__lll."""~"" .~ donde t = O, q = qo = VoC,y Vo es el voltaje enla batería.La ecua- ción (6.11) describe lavariación de la carga enel capacitor enfunción del tiempo. Lasolución q(t) se gráficaenlafigura 6.6. Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica, puede necesitar que se determinala resistencia apropiada para disipar energía a una velo- cidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se su- ponequelacargasedebedisiparal 1% desuvalororiginal (q/q,, = 0.01) en t = 0.05 S , con L = 5 H y C = lO-"F. en donde L es lainductancia.Cuandolasunidadesde L e i sonhenrios y amperes, launidadde V, es elvolt y launidadde t es el segundo. Lacaídadevoltaje a travésdelcapacitor (V,)dependedelacarga (4) sobreelmismo: 9 vc = c en donde C es la capitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culembios, launidad de C es el faradio. La segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraica de las caí- dasdevoltajeen un circuitocerrado es cero. Despuésdecerrar el inte- rruptor se tiene: di clt C L - + R i + - = O9 Sin embargo, la corrienteestádada enfuncióndela carga como: I = -. d9 dt Por lo tanto: Esta es una ecuación diferencial ordinariade segundo orden quese pue- de resolverusando los métodosde cálculo. Lasoluciónestádada por: FIGURA 6.6 La carga enun capaci- tor en función del tiem- po que se presenta enseguidade cerro:el interruptoren lafigura 6.5.
- 196. CASOS DEA DOS: RAiCESDE ECUACIONES 185 Solución: es necesarioresolver para R la ecuación (6.11),usando los va- lores conocidos de q , qo,L y C. Sin embargo, se debe emplear un mé- todo numérico ya que R es una variable implícita de la ecuación (6.11). Se usará el método de bisección para este propósito. Los otros métodos estudiados enlos capítulos 4 y 5también son apropiados, aunqueel mé- todo de Newton-Raphson tiene desventajas debido a quela derivada de la ecuación (6.11)es muy complicada. Reordenando la ecuación (6.11) se obtiene: o, usando los valores numéricos dados: f(R)= e-o.oo5Rcos(d2000 - 0.01R20.05) - 0.01 C6.121 Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonable de R es de O a 400 Q (ya que 2 O00 - 0.01R2 debe ser mayor de ce- ro). La figura 6.7, gráfica de la ecuación (6.12),lo confirma. Con vein- FIGURA 6.7 Gráfica de la ecuación (6.12)usada en la obtención de valores iniciales de R que encierren a la raíz.
- 197. 186 MÉTODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS CASO 6.5 Iresorteirnasa 'ncorriente circuito LR FIGURA 6.8 Ejemplos de tres oscila- dores armónicos.Lasfle- chas doblesindican las oscilaciones de cada sistema. FIGURA 6.9 tiún iteracionesdelmétodo de bisección se obtiene R = 328.1515, con un errormenor al 0.000 1%. De esta forma, se puede especificaruna resistencia con este valor en el diagrama de lafigura 6.5 y esperarque ladisipación sea consisten- tecon los requisitosdelproblema.Esteproblemadediseño no se puederesolvereficientemente sinusarlos métodos de loscapítulos 4 y 5. ANALISIS DE VIBRACIONES (INGENIERIA MECANICA) Antecedentes: las ecuaciones diferencialesse usan a menudo para mo- delar el comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de tales mode- los, que se aplicaampliamente enlamayorpartede los campos de la ingeniería, es el oscilador armónico. Algunos ejemplos bdsicos deloscila- dor armónico son elpéndulosimple,unamasaatada a un resorte y un circuito eléctrico inductor-capacitor (Fig.6.8).Aunque estos son sistemas físicos muy diferentes,sus oscilaciones se pueden describir mediante un mismo modelo matemático. De esta manera, aunque este problemaanaliza el diseño de un amortiguador paraun automóvil, el comportamientoge- neral se aplica a unagranvariedaddeproblemasentodoslos campos de la ingeniería. Como se ilustraenlafigura 6.9, un conjuntoderesortessostienen un auto de masam. Los amortiguadores presentan una resistenciaal mo- vimientodelautolacual es proporcional a la velocidadvertical (movi- miento ascendente-descendente)delmismo.Laalteracióndelequilibrio del auto provoca que el sistema oscile como x@).En un momento cual; quiera, las fuerzas que actúan sobre la masa m son la resistencia de los resortes y la capacidaddeabsorber el golpe de losamortiguadores. La Un auto de masa m.
- 198. CASOS DE LA PARTE DOS: RAfCES DE ECUACIONES 187 resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos (k) y a la distancia al punto de equilibrio (x): Fuerzadelresorte = "kx [6.13] en donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa al auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada por: dx dt Fuerza de amortiguación = "c- en donde c esun coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. Elsigno negativoindica que la fuerza de amortiguación actúa en dirección opuesta a la velocidad. Las ecuacionesde movimiento parael sistema están dadas por la se- gunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresada como: d2x dx dt dt m - -- "c - + ( - W Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerzadelresorte O d2x c dx k-+"-+"X=o dt2 m dt m Esta es una ecuacióndiferencial ordinaria de segundo ordenque se pue- de resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si el auto encuen- tra por casualidad un hoyo en el camino en t = O de tal forma que se desplazadel punto de equilibrio x = x. y dx/dt = O, entonces: x(t) = e-"' (xocos pt + donde n = c/(2m), p = - sen pt) n P [6.14] dk/m-c2/(4m2) v k/m > c2/(4m2).La ecuación (6.14) proporcionala velocidad vertical del auto enfunción del tiempo. Los valores de los parámetrosson c = 1.4por lo7g/s, m = 1.2 por lo6g y k = 1.25por lo99/s2. Si x. = 0.3. las consideracio- nes de diseño enla ingeniería mecánica requieren que se denlos estima- dos en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de equilibrio.
- 199. 188 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los méto- dos numéricos de Tos capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación (6.14) es complicada. Lasaproximacionesa los valores iniciales seobtienenfácilmente con base a la figura 6.10. Este caso de estudioilustra cómo los métodos gráficos proporcionan a menudo información muy importante para apli- car satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces, por lo que en este caso, se debenusar intervalos pequeños para evitar traslapes de raíces. En el cuadro 6.3se enlistan los resultados obtenidos porlos métodos de bisección, la regla falsa y la secante, con un criterio de paro del O. 1%. Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse,los métodos de la regla falsa y de la secante son más eficientes que el de bi- sección. Nótese que para todoslos métodos los errores relativos porcentuales aproximados son mayores que los errores reales. De esta forma, los re- sultados son exactosal menos hasta el criterio de paro,el O. 1%. Sin em- bargo, puede observarse también que el método de la regla falsa y el de FIGURA 611O Gráficode lo posición de un amortiguador respecto altiempodespués que lo rueda del auto cae enun hoyo delcamino. ". " ..
- 200. CASOS 189 CUADRO6.3 Resultados obtenidosal usar los m6todos de bisecciin, regla falsay de la secantepa- ra localizar las primeras tres raíces delas vibraciones de un amortiguador. Seu d un crfterio de paro del 0.1 para obtener estos resultados. N6tese quelos valores exac- tos de las raíces son0.055 209 532 9, 0.1 54 178 13y 0.253 146 726 ~ -~ ERRORRELATIVO PORCENTUAL ValorinicialValorinicialAproximaciinNúmerode MBtodo inferiorsuperior a la M ~ Z iteracionesAproximadoVerdadero Bisección 0.0 o.1 0.0552246 11 0.0880.027 0.1 0.2 0.1541992 10 0.0630.014 0.20.3 Regla 0.0 0.1 0.0552095 5 0.002 0.0001 falsa o.1 0.2 O. 1541790 40.069 0.0006 0.2 0.3 0.2531475 40.043 0.0003 Secante 0.0 o.1 0.0552095 5 0.038 0.0001 o.1 0.20.1541780 5 0.020 0.0001 0.2 0.3 0.2531465 5 0.017 0.0001 la secante son muy conservadoresen esta relación. Recuérdese el aná- lisis de la sección 4.3 en que elcriterio de paroconstituye esencial- mente una aproximación a la diferencia conla iteración anterior. De esta forma, para esquemas deconvergenciarápida como los métodos Cte la reglafalsa y de la secante, la mejora enexactitudentredositeraciones sucesivas es tangrandeque E" será, en general, muchomenor que E,. El significadoprácticode este comportamientoes de poca importancia cuando se va a determinar sólo una raíz. Sin embargo, si se requiere cal- cualar variasrakes, la convergenciarápida viene a ser una propiedadmuy valiosa como paratomarlaencuenta cuando se escoge un método en particular. PROBLEMAS Ingeniería en general 6.1 Usando los programaspropios,reprodúzcanselos cálculos realizados en el caso 6.1. 6.2 Realícense los mismos cálculos del caso de estudio 6.1, pero usandouna tasa de interés del 17% (i = 0.17). Si es posible, úsense los programaspropios para determinar los puntos de equilibrio. De otra manera, úsese cualquiera de los mé- todos analizados enlos capítulos 4 y 5 y realícense los cálculos. Justifíquese el uso del método escogido. 6.3 Enel caso 6.1, determínese el número de años que se debe poseer laMicro dos para que genere ganancias. Esto es, calcúlese elvalor de n en el cual A, de la ecuación (6.4) sea positivo.
- 201. 190 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS 6.4 Usando un esquema similar al del caso 6.1,se puede desarrollarla siguiente ecua- ción para determinar el costo anual neto de una microcomputadora: 175n-3000(1.2), A" +- + 5000 12" - 1 12" - 1 Encuéntrese el valor de n tal que A, sea cero. 6.5 Supóngasequesedeseacomprar un automóvil y est6 limitado adosopciones. Como enel caso 6.1, el costo anual neto de poseer cualquiera delos dos vehicu- los está compuesto por el costo de compra, costo de mantenimientoy de las ga- nancias: Modelode lu/o Modelo econ¿mico Costo de compra, $ -15,000 -5000 Costo de mantenimiento, $/año/aiio -400-200 Ganancias anuales y beneficios, $ 7500 3000 Si la tasa de interés es del 12.5% (i = 0.125),calcular el punto de equilibrio (n) para los automóviles. 6.6 Si se compra una pieza de equipo en$20 O00 en abonos, pagando $5O00 duran- te 5años. ¿Qué tasa deinterés se está pagando?La fórmula que relacionael costo actual (P),los pagos anuales (A),el número de años (n)y la tasa de interés es: A = P i(l + i)" (1+ i)" 6.7 Debido a que las tablas de economía se desarrollaron hace mucho tiempo, no se programaron para las tasas altas de interés que prevalecen hoy en día. Además, no se planearon para manejar tasasde interés fraccionarias. Comoen el problema siguiente, se puedenusar métodos numéricos para deteminarlas estimaciones eco- nómicas en estas situaciones. Un nuevo centro dediversiones cuesta $10 millones de pesosy produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 años ¿a qué tasa de interés debe hacerse el préstamo? El costo actual (P), el pago anual (A) y la tasa de interés (i)se relacionan entre sí mediante la siguiente fórmula: P (1 + i)" - 1- A -- i ( l + i)" donde n es el número de pagos anuales. Para este problema, P 10000000 A 2000000 "- = 5 Por lo tanto, la ecuación se transforma en: (1 + i ) ' O - 1 5 = i(1 - i)
- 202. CASOS LAPARTE DOS: RAiCES DE ECUACIONES 191 La tasa de interés que satisface esta ecuación se puede determinar encontrando laraíz de: j(i) = (1 + ¡)'O - 1 i ( l + i) - 5 a) Dibújese j(i) contra i y para obtener unaestimacióngráfica de laraíz. b) Cacúlese i usando el método de bisección (contar las iteraciones). c) Calcúlese i usando el método de la reglafalsa (contra las iteraciones) En los incisos (b)y (c) úsense los valoresiniciales de i = 0.1 y 0.2. Obténgase un niveldel errordel 2% en ambos casos. Ingeniería química 6.8 Usando losprogramas propios, realícense los cálculos del caso 6.2. 6.9 Ejecútense los mismoscálculosdel caso 6.2, pero con el alcoholetílico (a = 12.02 y b = 0.084 07) a una temperatura de 350" K y una p de 1.5 atm. Compárense los resultados con los de la ley de los gases ideales. Si es posible, úsense los pro- gramas propios para determinar el volumen molar. De otraforma, úsense cualquier- ra de los métodos numéricos analizadosen los capítulos 4 y 5 pararealizarlos cálculos. Justifíquese el método escogido. 6.1 O Repítase el problema 6.9 con óxido nitroso (a = 3.782 y b = 0.044 15) a una temperatura de 450" K y una p de 2 atm. 6.11 La temperatura (en gradosKelvin) de un sistema, varíadurante el díade acuer- do con: T = 400 + 200 COS ~ 27rt 1440 en donde t se expresa en minutos. La presiónsobre el sistema esta dada por p = e-t'1440. Desarróllese un programa que calcule el volumenmolardel oxi- geno en intervalos de un minuto a lolargodel día. Grafíquense los resultados. Si se tiene capacidad gráfica en la computadora grafíquense los datos. Si no es así, grafíquense los resultados a intervalos de 60 minutos. Los antecedentes de este problema se pueden econtrar en el caso 6.2. 6.12 En ingeniería química, los reactores de flujo (es decir, aquéllos en que un fluido va de un extremo al otro con una mezcla mínima a lo largo del eje longitudinal) se usan a menudo para convertir reactivos en productos. Se ha determinado que la eficiencia de la conversión se puede mejorar a veces reciclando una parte del flujodel producto de manera que regrese a la entrada para un paso adicional a travésdel reactor (Fig. P6. 12). La tasa de reciclaje se define como: R = volumen de fluido regresado a la entrada volumen de fluido que deja el sistema Supóngase que se est&procesando una sustancia químicaA para generarun pro- ducto B. Para el caso en que B de acuerdo a una reacción autocatalítica.
- 203. 192 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA P6.12 Representaciónesquemática de un reactor de fluioconreciclaje. (esto es, en la que uno de los productos actúa como catalizador o de estimulante en la reacción), o A + B - B + B se puede demostrar que una tasa óptima de reciclaje debe satisfacer en donde X,, es la fracción del reactante A que se convierteal producto B. La ta- sa óptima de reciclaje corresponde aun reactor de tamaño mínimo, necesario para alcanzar elnivel de conversión deseado. Úsese el método de bisección para determinar las tasas de reciclaje necesarias que minimicen al tamaño del reactor en conversiones fraccionales de U) X,, = 0.99 b)X, = 0.995 c)XA/ = 0.999 6.13 En un proceso químico, el vapor de agua (HzO)se calienta a una temperatura lo suficientementealta para que unaporción significativa del agua sedisocie o se rompa enpartesparaformaroxígeno (O,) ehidrógeno (Hz): Si se supone que es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar (x) de HzO que se separa puede representarse como: k, = - 1 - x [P6.13] en donde k, es la constante de equilibrio de la reacción y pt es la presi6n total de la mezcla. Si pt = 2 atm. y k, = 0.045 68, determínese el valor de x que satisfa- ce a la ecuación (P6. 13). Ingeniería civil 6.14 Usando los programaspropios,repítanse los cálculos del caso 6.3
- 204. CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCESDE ECUACIONES 193 6.15 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.3, pero con una tasa de crecimiento de 1.5 por lo6litros por célula por día. 6.17 La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo a la relación: Determínese el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10, usando a) un médoto gráfico y b) el métododeNewton-Raphson. 6.18 Muchos campos de la ingeniería requieren estimaciones exactas, de la población. Por ejemplo, para la transportación, los ingenieros consideran necesario determi- nar por separado la tendencia del crecimiento demográfico de una ciudad y de lossuburbiosadyacentes. La población delárea urbana declina en función deltiempo de acuerdo con mientras que la población suburbana crece, de acuerdo a en donde Pu,m6x,k,, Pu,mín,, Ps,max,Poy k, son parámetros derivados de forma empírica. Determínese el tiempo y los valores correspondientes deP,(t) y de P,(t)cuan- do las poblaciones son iguales. Los valores de los parámetros son Pu,,,&= 60 000; k, = 0.04 año"; Pu,mín= 12 000; Ps,mdix= 5 O00 y k, = 0.06 año"'Para obtener las soluciones,úsese a) un método gráfico y b) el métodode la regla falsa. 6.19 El movimiento deunaestructurasedefinemediante la siguienteecuaciónpara una oscilación amortiguada: y = 10e-kfcos wt donde k = 0.5 y w = 2. a) osese el método gráfico, para obtener unaestimación inicial del tiempo necesa- rio para que el desplazamiento baje hasta 4. b) Úsese el método de Newton-Raphson para determinar laraíz hasta un E, = 0.01%. c) Úsese el método de la secante para determinar laraíz hasta un es = 0.01%.
- 205. 194 METODOS NUMtRICOS PARA INGENIEROS- 6.20 La figura P6.20 muestra un canal abierto de dimensionesconstantes con un área transversal A. Bajo condiciones de flujo uniforme, se cumple la siguiente relación basada en la ecuación de Manning: 23 Q = "( ) su2 n B + 2y, [P6.7] en donde Q es el flujo, y, es la profundidadnormal, B es el ancho del canal, n es un coeficiente derugosidadusado para medir los efectos de lafriccióndel materialen el canal y S es la pendiente del canal. La ecua- ción se usa en ingeniería de fluidos y recursos de agua para determinar la profun- didad normal. Si este valor es menor que la profundidadcrítica: FIGURA P6. 20. en donde g es la aceleración de lagravedad (980cm/s2),entonces el flujo es sub- crítico. Úsese un método gráfico y el método de bisecciónparadeterminar y,, si Q = 14.15 m3/s; B = 4.572 m;n = 0.017 y S = 0.001 5. Señálese siel flujo es sub o supercrítico. Ingenieríaeléctrica 6.21 Úsense los programaspropios para repetir los cálculosdel caso 6.4. 6.22 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.4 suponiendo que la carga se debe disi- paral 2% de su valororiginalen 0.04 s. 6.23 Efectúense los mismoscálculosdel caso 6.4, determinando el tiempo necesario para que el circuitodisipeel 10% suvalor original, dado R = 300 Q C = lop4 F y L = 4 H . 6.24 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.4 determinando elvalor de L necesa- rio para que elcircuitodisipe al 1% de su valororiginalen t = 0.05 S, dado R = 300 Q y c = F. 6.25 Una corriente oscilatoriaen un circuito eléctrico se describemediante I = 1Oe" sen(27rt) en donde t está dado en segundos. Determínense todos los valores de t tales que I = 2. Ingeniería mecánica 6.26 Usando los programas propios, repítanse los cálculos realizadosen el caso 6.5. 6.27 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, usando c = 1.5 por lo7 g/s, k = 1.5 por lo9 g/s2 y m = 2 por lo6g.
- 206. CASOS LAPARTE DOS: RAíCESDE ECUACIONES 195 6.28 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, pero determinando el valor de k de forma tal que la primera raíz seencuentreen t = 0.08 s. 6.29 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, perodeterminando el valor de m de tal forma que la primera raíz se encuentre en t = 0.04 s. 6.30 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5 pero determinando el valor de c de tal formaque la segunda raíz seencuentreen t = 0.2 s. 6.31 Léanse todos los casos del capítulo 6. En base a la lectura y a la experiencia obte- nida, concíbase un caso de estudio en cualquier campo dela ingeniería. Esto im- plica la posibilidad de modificar o expresar de forma diferente alguno delos casos anteriores. Sin embargo, también puede ser totalmente original. AI igual que los ejemplos anteriores, se debe redactar desdeel contexto de los problemas de inge- niería y debe demostrar el uso de los métodos numéricos en la solución de raíces de ecuaciones. Descríbanse los resultados empleando los casos anteriores como modelo.
- 208. EPíLOGO: PARTE II 11.4 ELEMENTOS DE JUICIO El cuadro 11.3 proporciona un resumen de los fac- tores de mayor importancia quese emplean en la solución de raíces deecuacionesalgebraicasy trascendentales. Aunque los métodos gráficoscon- sumen tiempo, son muy útiles para comprenderel comportamiento de la función y para identificar valores inicialesy problemas potenciales,como las raíces múltiples. Par lo tanto, si el tiempo lo permi- te, un bosquejo rápido (o mejor aún, una gráfica por computadora) ayuda arelacionar información útil asociada al comportamiento de la función. Los métodos numéricosse dividen en dos catego- rías generales: métodos que usan intervalosy mé- todos abiertos. Los primeros requieren dos valores iniciales quecontenganalaraíz. Esta conten- ción" se respeta a medida que la solución avan- za, y de esta forma, estos métodossiempre son convergentes. Sin embargo, tiene el inconvenien- te que la velocidad de convergencia es demasia- do lenta. De los métodos que usan intervalos, el método de la regla falsa, en general, esel méto- do de preferencia ya que en la mayor parte de los problemas converge muchomás rápido queel método de bisección. # I Los métodos abiertos se distinguen de los que usan intervalos en que requieren informaciónúnicamen- te de un punto (o de dos, pero que no contengan a la raíz necesariamente)para extrapolar unanue- va aproximación a la raíz. Esta propiedad es una espada de doble filo. Aunque conduce a una con- vergencia más rápida, también permitela posibi- lidad de divergencia.En general, la convergencia de los métodos abiertos depende parcialmente de la calidad del valor inicial. Entre más cercano se encuentre éste de la raíz, más probable es que con- verja alamisma. De los métodos abiertos, el de Newton-Raphson se usa más a menudo, debido a su propiedad de convergencia cuadrática. Sin embargo, su mayor desventaja estriba en que la derivada de la fun-
- 209. 198 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS I - e C S O O M ._ W 3 z m O U .- i O C + 2 N
- 210. EPíLOGO PARTE I I 199 11.5 11.6 ción se debe obtener de forma analítica. Para algunasfunciones esto es impráctico. En estos casos, el método de la secante proporciona una alternativa viable empleandoun método dediferencias finitas para representar la derivada. Debido a la aproximación, la velocidad de convergencia del método de la secante es menor que la del método deNewton-Raphson. Sin embargo, amedidaquelaaproximación a la raízse hace más y más exacta, la aproximación a la derivada se convierte en una mejor representaciónde la derivada exacta y la ve- locidad de convergencia aumenta rápidamente. En el caso de raíces múltiples, se puede usar el método de Newton-Raphson modificado para alcanzar una convergencia rápida. Sin embargo, este método requiere de una expresión analítica de la primera y la segunda de- rivadas. Todos los métodos numéricos son fáciles de programar sobre unami- crocomputadora y requieren de un tiempo mínimo para determinar una raíz. En base a esto, se concluye que los métodos tales como la bisección son suficientes para propósitos prácticos. Esto sería verda- dero si se estuviese interesado únicamente en una raíz de una ecua- ción. Sin embargo, existen muchos casos dentro de la ingeniería en donde se requiere encontrar varias raíces en cuyo caso la velocidad viene a ser un factor muy importante. Enestos casos, los métodos lentos consumenmuchotiempoy por lo tanto se vuelvencostosos.Porel otro lado, los métodos rápidos pueden divergir ylos retardos ocasio- nados por esto se pueden volver también costosos. Algunos algorit- mos pretenden aprovecharlas ventajasde ambos métodos, empleando inicialmente un método que use intervalos para acercarse a la raíz y en ese momento cambiar a un método abierto para refinar rápida- mente la raíz. Mientrasse use sólo un método o una combinación de ellos, los factores a tomarse en consideración entre la convergencia y la velocidadson la baseen la elección del método para localizar raíces. RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES El cuadro 11.4 resume la información más importante que se analiza en la parteII.Este cuadro se puede consultar para tener acceso rápi- do a alguna relación o fórmulaimportante. MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES Los métodos de este capítulo han sido limitados para determinar las raíces de una ecuación algebraicao trascendental, basados enel co-
- 211. 200 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS CUADRO 11.4 Resumen de la informacidn más importante presentada en la parte I1 Mdtodo Interpretación Errores y Formulación gráfica criterios deparo MOtodos que usanintervalos: Bisección Regla falsa xr = -x/i-xu 2 Criterio de paro: Newton-Raphson Métodos abiertos: Secante Criterio de paro: nueva pesada Criterio de paro: 1x;+;,+; x, 1 Error: E,,.l : 100% Ie, = O(€?) Criterio de paro:
- 212. EPíLOGO PARTE II 201 nocimiento previo de su posición aproximada. Existen otras técnicas para deteminar raíces complejas y todas las raíces de un polinomio. Algunasreferenciasrecomendables al respectosonRalstonyRabi- nowitz (1978) y Carnahan, Luthery Wilkes (1969). James, Smith y Wolford (1977) y Gerald y Wheatley (1984) resumen algunos de los métodosy proporcionan sus programas. En cuanto a técnicas específicasel método de Newton-Raphsonse pue- de usar enciertos casos para localizarraíces complejasen base a una aproximación inicial compleja. Ya que la mayor parte de las compu- tadoras no llevan acabo operaciones complejas, algunas veces el mé- todo se ve limitado. Sin embargo, Stark (1970) ilustra una manera de eludir este dilema. El método de Mulleres parecido al método de la regla falsasólo que este usa interpolación cuadrática, en vez de lineal, para localizar la raíz. Este planteamiento se puede emplearen la determinacióntanto de raíces complejas como de reales (Muller, 1956; Gerald y Whea- tley, 1984; Rice, 1983). Existen varios métodos para determinar todas las raíces de un poli- nomio. El método de Bairstow requiere una buena aproximación ini- cial para la localización eficiente de raíces(Gerald y Wheatley, 1984 y James, Smith y Wolford, 1977). El método de Graeffe (Scarborough, 1966 y James, Smith y Wolford, 1977) y el algoritmo de/cociente de diferencias (QD) (Henrichi, 1964 y Gerald y Wheatley, 1984) deter- minan todas las raícessin una aproximación inicial.Ralston y Rabino- witz (1978) y Carnahan, LutheryWilkes (1969) contienentambién análisis de los métodos mencionados anteriormente, así como de las otrastécnicas para lalocalizaciónde lasraíces de un polinomio. En resumen, el análisis anterior va enfocado a proporcionaral lector formas de explorar más a fondo los temas. Además, todas las refe- renciasanteriores proporcionan descripciones de lastécnicasbási- cas cubiertas enla parte II. Es importante quese consulten estas fuentes de información para ampliarel conocimiento de los métodos numéri- cosen lalocalizaciónderaíces.* * El autor hace aquísólo una referencia alos libros, al final del texto se presenta una bibliogra- fíacompleta.
- 215. 104 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS cuatro o más ecuaciones la solución se torna difícil y se debe utilizar una computadora. Históricamente, la imposibilidad de resolverestos sistemas a mano, excepto sistemas muy pequeños, limitóel alcance de problemas dirigidosamuchasaplicaciones de ingeniería. Antes del usode las computadoras, las técnicas para solucionar siste- mas de ecuaciones algebraicaslineales requerían mucho tiempoy eran muy difíciles. Estos planteamientoscreaban restricciones sobre la crea- tividad ya que los métodos eran difíciles de implementar y de enten- der. Be ahí que se hacía hincapié enlastécnicas,acosta de otros aspectos del proceso de solución al problema,tales como la formula- ción y la interpretación (recuérdese la figura 1.1 yelanálisis que la acompaña). El advenimiento de computadoras personales de fácil acceso hacepo- sible y práctica la solución de grandes sistemas de ecuaciones alge- braicas lineales. De esta manera, se pueden plantear problemas más complejos y más realistas. Además, habrá más tiempo de examinar las habilidades creativas ya que se hará más hincapie en la formula- cióneinterpretacióndelproblema. FIGURA 1 1 1 . 1 Dos tiposdesistemasque pueden ser modelados usando sistemas de ecua- ciones algebraicas lineales: a) sistema macrovariable que involucra un conjunto acoplada decomponentes finitas y b)sistema microvariable que involucra continuidad.
- 216. SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 205 I II. 1 . 2 Ecuacionesalgebraicas linealesy su práctica en la ingeniería Muchas de las ecuaciones fundamentales de la ingeniería se basan en las leyes de conservación (recordarel cuadro 1 1 . 1 ) . Algunas canti- dades familiares que forman partede estas leyes sonla masa,la fuerza, la energía y el momento. En términos matemáticos, estos principios llevan a ecuaciones de equilibrio que estudian el comportamiento del sistema; estas ecuaciones consideran las incógnitas a obtener del mo- delo matemático: los niveles o respuestas de la cantidad que se está modelando, las propiedades o características del sistema, y los estímulos externos que actúan sobre el sistema. Como unejemplo,laconservacióndelamasa se puede usar para formular un balance de masa en un conjunto de reactores químicos (Fig. Ill.1 a). En este caso la cantidad que se modela es la masa de la sustancia en cada reactor. Las propiedades del sistema son las ca- racterísticasde la reacción de lasustancia además delos tamaños de los reactores y la velocidad de flujo. Losestímulos externosson los suministros de sustancias al sistema. En la parte anterior del libro,se ve cómo sistemas de un solo compo- nente generan una ecuación que se puede resolver con las técnicas de localización de raíces.Los sistemas con componentes múltiples ge- neran un conjunto de ecuaciones matemáticas acopladas que deben resolverse simultáneamente. Las ecuaciones están acopladas porque las partes individuales delsistema influyensobre otras partes. Por ejem- plo, en la figura 1 1 1 . 1 a, el reactor 4 recibe sustancias de los reactores 2 y 3. En consecuencia, su respuesta depende de la cantidad de sus- tanciade estos reactores. Cuando estas dependenciasse expresan en forma matemática, las ecua- ciones resultantes,a menudo, son de la forma algebraica de la ecuación (Ill.1). Las x, usualmente, miden las magnitudes y respuestas de los componentes individuales. Con la figura Ill.la como ejemplo, x, pue- de medir la cantidad de masa en el primer reactor, x:, la del segun- do, etcétera. Las a, representannormalmente las propiedades y características que se refieren a las iteraciones entre las componen- tes. Por ejemplo, lasa en la figura Ill.1 a pueden reflejar lasvelocida- des de flujo de masa entre los reactores. Finalmente, las c representan los estímulos externos que actúan sobreel sistema, talcomo los sumi- nistros de sustancias enla figura 111.1a. Los casos de estudio en el ca- pítulo 9 muestran otros ejemplos de tales ecuaciones, derivadas de laprácticadelaingeniería. Los problemas de componentes múltiples como los tipos anteriores re- sultan demodelosmatemáticos discretos (macro-) o continuos
- 217. 206 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIEROS -__ 111.2 (micro-) (Fig. 1 1 1 . 1 ) . Los problemasdevariables discretasimplican componentes finitos acoplados como las armaduras (caso9.3))reactores (Fig. III.la) y circuitos eléctricos (caso 9.4). Estos tipos de problemas usan modelos que proporcionan a grandes rasgosel comportamien- to de un sistema en función de ciertas variables. Por el contrario, los problemas microescalados intentan describir las características de los sistemas con una base continua o semicontinua. La distribución de sustanciasobre un reactorrectangular alargado (Fig. III.1 b)es un ejemplo de un modelo de variable continua.Las ecua- ciones diferenciales derivadas de las leyes de conservación especifi- can la distribución de la variable dependiente para tales sistemas (caso 9.2). Estas ecuaciones diferencialesse pueden resolver numéricamente para convertirlasa unsistema equivalente de ecuaciones algebrai- cassimultáneas. La solución de este conjunto deecuacionesrepre- senta unaimportanteaplicación enel áreadeingenieríapara los métodos de los capítulos siguientes. Estasecuaciones están unidas por- que las varihbles en cierta posición dependen de las variables de re- giones adyacentes. Por ejemplo, la concentracióna la mitad del reactor es una función de la concentración en regiones adyacentes. Se pue- den desarrollar ejemplos similares para la distribución de la tempe- ratura o delmomento. Además de los sistemas físicos, las ecuaciones algebraicas lineales si- multáneas también aparecen en una variedad de contextos en pro- blemas matemáticos.Esto resultacuando se requiere que las funciones matemáticas satisfagan varias condicionesde manerasimultánea. Ca- da condición da como resultado una ecuación quecontiene coeficientes conocidos y variables incógnitas.Las técnicas expuestas en esta par- te se pueden usar para encontrar los coeficientes de los sistemascuando las ecuaciones sean linealesy algebraicas. El análisis de regresión (ca- pítulo 10)y la interpolación cúbica segmentaria (spline, capítulo l l) son algunas de las técnicas ampliamente usadas que utilizan ecuacio- nes simultáneas. FUNDAMENTO§MATEMÁTICOS En todas las partes de este libro se requieren algunos fundamentos matemáticos. Son últiles, en la parte Ill, la notación matricial y el ál- gebra, ya que ofrecen una forma concisa de representar y manipular sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Si se está familiarizado con las matrices, puede pasarse por alto la sección 111.3. Para quie- nes noestánfamiliarizados o requieren una repasada, el siguiente materialproporcionaunabreveintroducciónaltema.
- 218. SISTEMAS ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 207 111.2.1 Notación matricial Una matriz-constade un arreglo rectangular de elementos represen- tados por un símbolo simple. Como se puede ver en la figura 111.2, [A]es la notación abreviada para la matriz y uiirepresenta un ele- mentoindividual delamatriz. Al conjunto horizontal de elementosse le llama renglón y al conjunto vertical se le llama columna. El primer subíndice i siempre denota el número del renglón en quese encuentra el elemento. El segundo sub- índice j denota la columna. Porejemplo,elelemento 023 estáenel renglón 2 y en la columna 3. La matriz de la figura 111.2 tiene m renglones y n columnas y se dice que es dimensión m por n (o m X n). Se le conoce como una matriz m por n. Las matrices con dimensión m = 1 en el renglón, tales como [B] = [b,b2. . . b"] seles llama vectores renglón. Nótese que por simplicidad, se omite elprimersubíndice. Las matrices con dimensiónn = 1 en lacolumna, tales como FIGURA 111.2 Una matriz.
- 219. 208 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS se les conoce como vectores columna. Por simplicidad se omite el se- gundo subíndice. A las matrices donde m = n se les llama matrices cuadradas. Por ejem- plo, una matriz 4 por 4 es a11 a12 a13 a14 [Al = a21 a22 023 024 [:: 2 2: 24 Se le llama diagonal principal de la matriz a la diagonal consistente de los elementos a,,,aZ2,q 3 y ad4. Las matrices cuadradas son particularmente importantes en la solu- ción de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Para tales siste- mas, el número de ecuaciones (correspondiente a los renglones) y el número de incógnitas (correspondientea las columnas)deben ser iguales en orden para que sea posible unasolución única. Porconsiguiente, las matrices cuadradas se encuentran al trabajar con tales sistemas. Al- gunos tipos especiales de matrices se describen en el recuadro 1 1 1 . 1 . RECUADRO 1 1 1 . 1 Tipos especiales de matrices cuadradas Hay algunas formas especiales de matrices cuadradas Nótese que se deian en blanco los bloques grandes de que son importantes y se deben mencionar: elementos que son cero. Una matriz simétrica es aquelladonde ai; = qij para Una matriz identidad es una matriz diagonaldonde to- toda i ytoda ;. Por ejemplo, dos los elementos de ladiagonal principal son iguales a 1 , como en [A] = [i 1a] [/I = r l l 11 11 es una matrizsimétrica 3 por 3. Una matriz diagonal es una matriz cuadradadonde to- tiene propiedades a la unidad. dos loselementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero, como en El símbolo [I] denota la matriz identidad. Esta matriz Una matriz triangular superior es aquella dondetodos sus elementos baio la diagonal principalson cero, como [all all a13 a141 [Al = I a23a33 a34 IL (7441
- 220. SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 209 Una motriz triangular inferior es aquella donde todos cero, conlaexcepción de una banda centradasobre sus elementos arribadeladiagonalprincipal son ce- la diagonalprincipal: ro, como Una motriz banda tienetodos los elementosiguales a le da un nombre especial, motr;z tr;d;agonal, La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se 111.2.2 Reglas deoperaciónsobre matrices Ahora que se ha especificado lo que significa una matriz, se pueden definir algunas reglas de operación que gobiernansu uso. Dos matri- ces m por n son iguales, si y sólo si, cada elemento de la primera es igual a cada elemento de la segunda; esto es [A] = [B]si a;, = bjjpa- ra toda i, j. La suma de dos matrices, [A]y [B],se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz [C]re- sultante se calculan como: p a r a i = 1 , 2 , . . ., m y i = 1 , 2, - .. , n. De formasimilar, la resta de dos matrices, [E]y [F], se obtiene restan- do los términos correspondientes, como: d..= e.."..'I 'I 'I para i = 1 , 2, . . . ,my j = 1 , 2, . . . , n. De la definición anterior, se sigue inmediatamente quela suma y la resta se puede llevara ca- bo sólo entrematrices que tienenlas mismas dimensiones. Lasuma y la restasonconmutativas: Y
- 221. 210 MÉTODOS NUM~RICOSPARAINGENIEROS La suma y la restatambién son asociativas, esto es, La multiplicación de una matriz [A]por un escalar g se obtiene multi- plicando cada elemento de [A] por g, como en El producto dedos matrices se representa como [C]= [A][B],en don- de los elementos de [C]se definen como (véaseel recuadro 111.2 donde se expone el conceptosimpledelamultiplicaciónmatricial) n k= 1 C;; = a r k bk; [111.2] Donde n = la dimensión de las columnas de [A]y la dimensión de los renglones de [B]. RECUADRO 111.2 Método simple para multiplicardosmatrices Aunque la ecuación (111.2)está bien definida para im- plementarse en una computadora, noes la forma más simple de visualizar la mecánica de multiplicación de dos matrices. En seguida se presenta una expresión más tangible sobre este concepto. Supóngase que se desea multiplicar [A] por [B] y obtener [C]: Una forma simple de representar el cálculo de [C]es elevar [B],como en Ahora la respuesta [C]se puede calcular enel espacio vacante deiado por[B]. Este formato tiene utilidad por- que alinea los renglones apropiados y las columnas que se van a multiplicar. Por ejemplo,de acuerdo a la ecua- ción (111.2)el elemento c1 se obtienemultiplicandoel primer renglón de [A]por la primera columna de [B]. Esto es equivalente a sumar el producto de y bl,, al producto de y b , ,como 912 7=22 For io tanto, cl,,es igual a 22. El elemento c2,,se pue- de calcular en unaforma similar, como
- 222. SISTEMAS DE ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 211 14".:',[A]+ 8 6 x 5 + 6 ~ 7 = 8 2 +[C] o 4 Nótese queeste método esclarece el porqué es impo- sible multiplicar si el número de columnasde la prime- ra matriz no es igual al número ¿e renglonesde la El calculo se puede continuar deesta manera, siguien- segunda. Nótese cómo demuestra que el orden de la do la alineación de renglones y columnas, para obte- mdtiplicación coincide también. De la misma manera ner el resultado: ilustra estos puntos el problema 7.3. Esto es, el elemento cji se obtiene sumando el producto de elemen- tos individualesdel i-ésimo renglón de la primera matriz,en este caso [A],por la i-ésima columna de la segunda [B]. De acuerdo aesta de- finición, la multiplicación de dos matrices sólo se puede realizar si la primera matriz tiene tantas columnas como renglones la segunda. Por lo tanto, si [A] es una matriz m por n, [B] deberá ser una matriz n por p. En este caso, la matriz [C]resultante tendrá dimensión m por p. Sin embargo, si [B]fuese una matriz p por n, la multiplicación no se podría llevar a cabo. La figura 111.3 muestra una forma fácil de verificar si se pueden multiplicar dos matrices. Si las dimensiones de las matrices son compatibles, la multiplicacion matricial es asociativo: FIGURA 111.3 Una manera simple de comprobar si es posible multiplicar dos matrices.
- 223. 212 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS y distributiva: Sin embargo, en generalla multiplicaciónno es conmutativa: [AI[Bl + [BI[AI Estoes,el orden de multiplicación es importante. Aunque la multiplicación es posible, la división matricial aún no está definida. Sin embargo, si una matriz [A]es cuadrada, hay otra ma- triz [A]", llamada la inversa de [A],tal que [A][A]" = [A]"[A] = [I] [111.3] De esta forma, lamultiplicación de una matriz por su inversa, es aná- loga a la división, en el sentido de que un número dividido por sí mis- mo es igual a uno. Esto es, la multiplicación de una matriz por su inversa es iguala la matriz identidad(recuérdese el recuadro 111.1). La inversa de unamatriz cuadrada bidimensional se puede represen- tar simplemente como: 1 [A)" = e2 -a12 0 1 1 a22 - a12 9 1 [- 9 1 al,] [111.4] Las matrices de dimensión mayor son mucho más difíciles de expre- sar.Lasección 8.2 se dedica a estudiar una técnica quecalculala inversa de talessistemas. Las operaciones finales de las matricesque tienen utilidad en este aná- lisis son las de transposición y de matriz aumentada. La transpuesta de una matriz comprende la transformación de sus renglones en co- lumnasy sus columnas en renglones.Latranspuesta de la matriz:
- 224. SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 213 denotada por [AlT,se definecomo: En otras palabras, el elemento a;;de latranspuesta es igualalele- mento ai;de la matriz original, o ai = ai;. La matriz transpuesta tie- ne una gran variedad defunciones enel álgebra matricial. Una ventaja simple es la de permitir escribir un vector columna como vector fila. Porejemplo, si: entonces en donde el superíndice T denota transposición. Esto puede ahorrar espacio al escribir un vector columna en un manuscrito. Además, la matriz transpuestatiene una gran variedad deaplicaciones en las ma- temáticas. Una matriz aumentada es el resultado de agregarle una columna(o más columnas) a la matriz original. Por ejemplo, supóngase que se tiene una matriz: Si se deseaaumentarestamatriz [A] con una matrizidentidad(re- cuérdese el recuadro Ill.1 ), entonces se obtiene una matriz 3 por 6 dimensional, dada por:
- 225. 214 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS- Esta expresión tiene utilidad cuandose desea realizar un conjunto de operaciones idénticas sobre dos matrices. De esta forma, se pueden llevar a cabo las operaciones sobre unamatriz aumentada en vez de hacerlo sobre dos matricesindependientes. 111.2.3 Representaciónenformamatricial de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Debe ser claro que las matrices proporcionan una notación concisa en la representación de ecuaciones simultáneas lineales. Por ejemplo, la ecuación (111.1) se puede expresar como: donde [A] es una matriz cuadrada n por n decoeficientes: [Al = [C]es unvector columna n por 1 de constantes: [C]T = [Cl c2c3 . . . cn] y [Aes un vectorcolumna n por 1 de incógnitas: [XIT= [x1x2x3 . . xn] Recuérdese la definición de la multiplicación matricial [Ec. (111.2)o re- cuadro 111.21 para comprobar laequivalencia de las ecuaciones(111.1) y (111.5).También, nótese que la multiplicación matricial (111.5)es vá- lida ya que el número de columnas (n)de laprimermatriz ([A])es igualalnúmeroderenglones (n) dela segunda matriz ([A). En esta parte del libro se resuelve la ecuación (111.5)para [A.Una manera formal de obtener una solución usando álgebra matricial es la de multiplicar cada lado de la ecuación por la inversa de [A]para obtener: Ya que [A]” [A]es la matriz identidad, la ecuación anterior se con- vierte en: [XI = [Al”[Cl 1 [111.6]
- 226. SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 215 Por lo tanto, la ecuaciónse ha resuelto para [A.Este es otro ejemplo del juego de la matriz inversa similar a la división en el algebra ma- tricial. Finalmente, algunasveces es útil aumentar [A]con [C].Por ejemplo, si n = 3 elresultado es una matriz 3 por 4 dimensional, dada por: [111.7] Expresar de esta manera la ecuacióntiene utilidad, ya que varias de las técnicas en la solución de sistemas lineales hacen operacionesidén- ticas a una fila de coeficientes y a la constante correspondiente del lado derecho. Comose expresó en la ecuación (lll.7), se pueden rea- lizar algunas operaciones sobre un renglón de la matriz aumentada en lugar de hacerlo separadamente sobre la matriz de coeficientes y el vectordel lado derecho. 111.3 Antes de considerar los métodos numéricos,es útil mencionar alguna orientación adicional. A continuación se muestra superficialmente el material analizado en la parte Ill. Además, se han formulado algu- nos objetivos para ayudar a enfocarlos esfuerzos cuando se estudie el material. 111.3.1 Metasyavances En la figura 111.4 se proporciona un esquema de la parteIll. El capitu- lo 7 muestra la técnica fundamental en la solución de sistemas alge- braicoslineales:laeliminacióngaussiana.Antesdeentrar en los detalles de esta técnica, se incluye una sección que menciona algu- nos métodos simples para sistemas pequeños. Esto se hace con el fin de dar una ideavisual y debido a que uno delos métodos -la elimi- nacióndeincógnitas- es la base de la eliminación gaussiana. Después de presentar los antecedentes,se analiza laeliminación gaus- siana simple. Se inicia con esta versión ya que permite la elaboración del método completo sin mayores complicaciones. Después,en las siguientes sec- ciones, se analizan posibles problemasque usen el método simple presentando ciertas modificacicnes que minimiceny eviten estos pro- blemas. AI final del capítulo, se dedica un recuadro a una formamuy
- 227. 216 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 111.4 Esquema deorganizaciónde la parte Ill: Sistemas de ecuaciones alge- braicas lineales. eficiente de la eliminación gaussiana que puede ser usado en siste- mas tridiagonales. En el capítulo8 se empieza con el análisis del método de Gauss-Jordan. Aunque esta técnica es muy parecida a la eliminación gaussiana, se analiza porque permite calcular la matriz inversa que tiene una utili- dad inmensaen laingeniería.
- 228. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 217 La eliminación gaussiana y el método de Gauss-Jordan son métodos directos. AI final del capítulo 8 se estudia un método diferente cono- cido como método de Gauss-Seidel. Éste es parecido a los métodos de aproximación de raíces de ecuaciones quese estudiaron en el ca- pitulo 5. Esto es, la técnica implica dar una aproximación inicial a la soluciónymedianteiteracionesobtenerun valor meiorado. En el capítulo 9 se demuestra como se pueden aplicar los métodos en la solución de problemas. Así como en otras partes del libro, se examinan aplicaciones extraídasde todos los campos de la ingeniería. Finalmente, al terminar la parte Ill se incluye un epílogo. Este repaso incluye el análisis de los elementos de juicio importantes en la imple- mentación de los métodos en la ingeniería práctica. En esta sección también se resumen las fórmulas de mayor importancia y los méto- dos avanzados relacionados conlas ecuaciones algebraicas lineales, por lo que se pueden usar para estudiar antes de un examen o como repaso cuandose tenga necesidad de utilizar las ecuaciones algebrai- caslinealesen lavidaprofesional. Las capacidades de cómputo automático se integran en la parte Ill en una variedad de formas. Primero, en NUMERICOMP,se encuen- tran disponibles programas amables conel usuario de la eliminación gaussiana para la microcomputadora Apple-ll eIBM-PC.También se proporcionan los programas en FORTRAN y BASIC de la eliminación gaussiana directamente en el texto. Esto le da al usuario la oportuni- dad de copiary aumentar los programas para implementarlos en su microcomputadora o supercomputadora. También se incluyen los dia- gramas de flujo o los algoritmos en la mayor parte de los métodos descritosen el libro. Este materialpuedeformarlabasede un pa- quete de programas que el mismo usuario puede desarrollar y apli- car a una gran cantidad de problemas de ingeniería. 111.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. AI terminar la parte Ill, el usuario debe ser ca- paz de resolver la mayor parte de problemas que impliquen utilizar ecuaciones algebraicas lineales y poder visualizar las aplicaciones de estas ecuaciones en todos los campos de la ingeniería. El usuario de- be hacerlo posible por dominar variastécnicas yvalorar la confiabi- lidadde lasmismas. Debe entenderlasventajasydesventajas involucradas en la selección del "mejor" método (o métodos)en cual- quier problema particular. Además de estos objetivos generales, se deben asimilar y dominar los conceptos específicos enumerados en el cuadro 1 1 1 . 1 .
- 229. 218 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Objetivos de c6rnputo. El objetivo fundamental en cuanto a cómputo, es el de ser capaz de usar en forma satisfactoria un programa para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.Debe quedar cla- ro el uso de los programas de NUMERICOMP,o también saber có- mo copiary usar el programa de laeliminacihn gaussianasimple dado en el texto. Estos programas le permitirán manejar adecuadamente muchos problemas prácticos que impliquen utilizar varias ecuaciones algebraicas lineales simultáneas.A medida quese avance en los pro- blemas que contengan más ecuaciones, se pueden usar los progra- mas, diagramas defluio y algoritmos proporcionados en la parte Ill. Eventualmente, se puede incorporar a los programas el pivoteo parcial, el cálculo de determinantes y la evaluación de condiciones. También se pueden obtenerlos programas paralos métodos de Gauss-Jordan y de Gauss-Seidel. CUADRO 111.1 Objetivos de estudiosespecíficos de la parte 111 1 . Entender las interpretaciones gráficas de sistemas mal condicionados y su rela- 2 . Entender por qué se le llama "simple" a la primera versión de la eliminación 3. Familiarizarse conla terminología: eliminación hacia atrás, sustitución hacia atrás, 4 . Entender los problemas de divisiónpor cero, errores de redondeo y mal condi- 5 . Saber cómo evaluar la condición del sistema. 6. Saber cómo calcular determinantes usando la eliminación gaussiana. 7. Entender las ventajas del pivoteo; entenderlas diferencias entreel pivoteo par- 8. Saber cómo aplicarlas técnicasde corrección de errorespara mejorar las soh- 9 . Entender por qué las matrices banda son relativamente eficientes ensu solución. 1O . Saber la diferencia fundamental entrela eliminación gaussianay el método Gauss- 1 1 .Entender cómo seusa el método deGauss-Jordan para calcular la matriz inversa. 12 . Saber interpretar los elementos de la matriz inversa en la evaluación de las in- 13. Comprender el uso de la matriz inversa en la evaluación de la condición del 14 . Entender por qué el método deGauss-Seidel es particularmente apropiado pa- 15 . Entender par qué el valor de la diagonal de un sistema de ecuaciones influye 1 6. Entender la razón existente detrás del concepto relajación;saber dónde es más ción con el determinante del sistema. gaussiana. normalización, ecuación pivotal y pivote. cionamiento. cial y el pivoteo total. ciones. Jordcn. cágnitas en ingeniería. sistema. ra sistemas grandes de ecuaciones. en que el método pueda ser resuelto mediante el método de Gauss-Seidel. apropiada la subrelajación y dónde la sobrerelajación.
- 230. C A P í T U L O S I E T E 7.1 ELIMINACIóN GAUSSIANA En estecapítulo se analizanlas ecuaciones algebraicaslinealessimultá- neas que en general se puedenrepresentar como: allxl + a12x2+ * + al,x, = c1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2,xn= c2 anlxl+ 0~2x2+ * - * + a,,x, = c, endondelas a soncoeficientesconstantes y las c son constantes. A la técnica quese describe en este capítulose le conoce como elimi- nación gaussiana porque involucra una combinación de ecuaciones a las que se leseliminanlasincógnitas.Aunqueéste es unodelosmétodos más antiguos en la soluciónde ecuacionessimultáneas,permanece hasta nuestros díascomo uno de los algoritmosde mayor importancia.En par- ticular, es fácil de programary de aplicar con el uso de microcomputadoras. SOLUCIÓN DE POCASECUACIONES Antes de entrar a los métodos que usan computadora,se describen algu- nos que son apropiados enla solución de pequeños grupos de ecuacio- nessimultáneas (n I3) quenorequierendeunacomputadora.Estos son los métodos gráficos,la regla de Cramery la eliminación de incógnitas. 7.1 .l Método gráfico Se obtiene unasolucióngráfica de dos ecuaciones representándolas en coordenadas cartesianas con un eje correspondiente a x1y el otro a x2. Ya que elproblemaesparasistemaslineales, cada ecuación representa
- 231. 220 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS unalínea recta. Esto puedeilustrarsefácilmenteporlas ecuaciones ge- nerales: QlXl + a12xz = c1 a21x1 + a22x2 = c2 Ambas ecuaciones se puedenresolverpara x2: De esta manera, las ecuaciones seencuentranahora en la forma de lí- neas rectas; esto es, x2 = (pendiente)x1 + intersección.Estaslíneas se pueden graficar en coordenadas cartesianas con x2como la ordenada y x1como la abscisa. Los valores de x1y x2enla intersección de las líneas representan la solución. EJEMPLO 7.1 El método gráfico para dos ecuaciones Enunciado del problema:úsese el métodográficopararesolver 3x1 + 2x2 = 18 [E7.1.1] -x1 + 2x2 = 2 [E7.1.2] Solución: sea x1la abscisa. AI resolver la ecuación (E7.1.1) para x2: que, al graficarse en la figura 7.1, da una línea recta con una intersección en 9 y pendientede -3/2. La ecuación (E7.1.2) se puederesolverparax2: x2 = (1/2)x, + 1 lacualtambién se grafica enlafigura 7.1. La solución es la intersección delasdoslíneasen x1 = 4 y x2 = 3. Esteresultado se puedeverificar sustituyendoestosresultados enlas ecuaciones originalespara obtener: 3(4) + 2(3) = 18 I -4 + 2(3) = 2
- 232. ELlMlNAClONGAUSSIANA 221 De esta manera, los resultados son equivalentes a los lados derechos de las ecuaciones originales. FIGURA 7.1 Solución gráfica de un conjunto de dosecuaciones algebraicas linea- les simultáneas. la intersección ¿e las líneas representa la solución. Para tres ecuaciones simultáneas, cada ecuación representaun plano en el sistema de coordenadastridimensional. El punto en donde se intersec- tenlostresplanosrepresenta la solución. Más alládetres ecuaciones, los métodos gráficos no funcionany, por consiguiente, la solución deecuac- ciones algebraicastiene muy poco valorpráctico.Sin embargo, algunas veces resultan útiles para visualizarpropiedadesde la solución. Porejem- plo, lafigura 7.2 muestratres casos que se puedenabordarcuando se desea resolver un conjunto de ecuaciones lineales. La figura 7.2a mues- trael caso en que la dos ecuaciones representan dos líneas paralelas. En estos casos, no existe solución ya que las dos líneas jamás se cruzan. La figura 7.2b representa el caso enque las doslíneas coinciden. En este caso existe un número infinito de soluciones. A estos dos tipos de siste- mas se lesllama singular. También los sistemasquesoncasisingulares causan problemas (Figura 7 . 2 ); a estos sistemas se les k m a mal condi- cionados. Gráficamente, indican que elpunto exacto de intersección de ambasrectases muy difícil devisualizar. Como se veenlas siguientes
- 233. 222 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 7.2 Esquema gráfico de sistemas malcondicionados: a) nohay solución, b) hay una infinidadde soluciones y c) un sistema mal condicionadoen donde las pendientes son muy parecidas en el punto de intersección yes difícil de detectar fácilmente la solución. secciones,los sistemas mal condicionados también tienen problemas cuan- do ?e encuentran en la soluciónnuméricade ecuaciones lineales. 7.1.2 Determinantes y laregladeCramer La reglade Crameres otra técnica de solución aplicablea pocas ecuacio- nes. Antes de describir estemétodo, se menciona brevementeel concep- to de determinantes, que se usanenla implementaciónde la reglade Cramer. Además, el determinante es útil enla evaluacióndemal condi- cionamiento de unamatriz. Determinantes. Se puedeilustrar un determinante medianteun conjun- to de tres ecuaciones: o. enformamatricial: en donde [A]es lamatriz de coeficientes: all a12 a13
- 234. ELlMlNAClONGAUSSIANA 223 El determinante D de este sistema se forma con los coeficientes dela ecua- ción, de la siguiente manera: Aunqueeldeterminante D y lamatriz [A]se componen de los mismos elementos,tienen conceptos matemáticos completamente diferentes. Para denotar lamatriz se usan corchetes y para los determinantesse usan ba- rras verticales. En contraste con una matriz,el determinantees un núme- ro. Por ejemplo, elvalordel determinantedesegundo orden: D = all a12 (a21 se calculamediante: Enel caso de tercer orden [Ec. (7.2)],se puede calcular elvalordel de- terminante como: en donde a los determinantesde 2 por 2 se lesllama menores. EJEMPLO 7.2 Determinantes Enunciado del problema: calcúlense los valores de los determinantesde lossistemasrepresentadosenlasfiguras 7.1 y 7.2. Solución: para lafigura 7.1: Para lafigura 7.2~1: -1/2 1 -1 1 1 = 1-1,2 11 = -(l)2 - 1(%) = o
- 235. 224 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS I Para lafigura 7.2b: I Para lafigura 7 . 2 ~ : Enel ejemplo anterior, los sistemas singulares tienen un valor de ce- ro. Además, elresultadoindicaqueelsistemacasisingular (Fig. 7 . 2 ~ ) tiene un determinante cercano a cero. Estas ideas se seguirán manejan- do posteriormente enlos análisis de mal condicionamiento (sección 7.3.3). Regla de Cramer. Estaregladicequecadaincógnita de un sistema de ecuaciones algebraicas linealesse puede expresarcomo el cociente de dos determinantescon el denominador D y con el numeradorobtenido de D reemplazando la columna de coeficientes de la incógnitaencuestión porlasconstantes cl, c2, . . . , c,. Por ejemplo, x1 se calcula como: EJEMPLO 7.3 Regla de Cramer Enunciadodelproblema:úsese lareglade Cramerpararesolver: 0.3~1+ 0.52~2+ x3 = -0.01 0 . 1 ~ 1+ O.3X2 + O.5X3 = -0.44 Solución: el determinante D se puedeescribir como [Ec. (7.2)]: D = 0.3 0.52 1 0.5 1 1.9 0.1 0.3 0.5
- 236. ELlMlNAClON GAUSSIANA 225 Los menores son: 1 1.9 = 10.3 0.5 0.5 1.9 0.1 0.5 0.5 1 A3 = 10.1 0.3 = l(0.5)- 1.9(0.3)= -0.07 = 0.5(0.5)- 1.9(0.1)= 0.06 = 0.5(0.3)- l(O.1) = 0.05 Éstos se pueden usar para evaluarel determinante,como enla ecuación (7.4): D = 0.3(-0.07) - 0.52(0.06)+ l(0.05)= -0.002 2 Aplicando la ecuación (7.5),la solución es: -0.01 0.52 1 0.67 11.9 I-o.44 I 0.032 78 -0.002 2 -0.002 2 x1 = -=.- = -14.9 0.3 -0.01 1 0.5 0.67 1.9 0.3 0.52-0.01 10.5 1 O.67 1O.l -0.043 56 = 19.8 x3 = -- "0.002 2 -0.002 2 Para más de tres ecuaciones, la regla de-Crameres imprdctica ya que a medida quecrece el número de ecuaciones, los determinantesse vuel- ven dificiles de evaluara mano. Por consiguiente,se usan otras alternati- vasmás eficientes.Algunas de estasalternativas se basanenlaúltima técnica cubierta en este libro que no usa computadora,la eliminación de incógnitas. 7.1.3 La eliminación de incógnitas La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es un esquema algebraic0 que se puede ilustrarpara un conjunto de ecua- ciones:
- 237. 226 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS c7.61 La estrategia básicaes multiplicar lasecuaciones por constantespara que una de las incógnitasse elimine al combinar las dosecuaciones. El resul- tado es unaecuaciónque se puederesolverpara la incógnita restante. Estevalor se puedesustituirencualquieradelas ecuaciones originales paracalcular la otravariable. Por ejemplo, la ecuación (7.6)se puedemultiplicarpor a21y la ecua- ción (7.7) por all paradar: Restando la ecuación (7.8) de la ecuación (7.9),se eliminael término x1 de la ecuaciónpara obtener: que se puederesolverpor [7.10] La ecuación 7.10 se puede sustituirenla ecuación (7.6),que se puede resolverpor [7.11] Nótese que las ecuaciones (7.10) y (7.11) se calculandirectamentepor la regla de Cramer, que establece: 1°C: :;;IXI = - c1a22 - a12c2- alla22 - (3112a21
- 238. ELIMINACION GAUSSIANA 227 EJEMPLO 7.4 Eliminación de incógnitas Enunciado del problema: úsese la eliminación de incógnitas para resol- ver (recuérdese el ejemplo 7.1): 3x1 + 2x2 = 18 -x1 + 2x2 = 2 Solución: usando las ecuaciones (7.11) y (7.10) 2(18) - 2(2) 3(2) - 2(-1) x1 = = 4 3(2) - (-1)18 3(2) - 2(-1) x2 = = 3 las cuales son consistentescon la solución gráfica (Fig. 7.1) La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más de dos o tres ecuaciones. Sin embargo, los cálculos numerosos que se requieren para sistemas grandes vuelven rnuy tedioso al método como para realizarlo a mano. Sin embargo, como se describe en la siguiente sección, el método se puede formalizar y programar fácilmente en una microcomputadora. 7.2 ELIMINACIóN GAUSSIANA SIMPLE En la secciónanterior,se usa la elirninación de incógnitaspararesol- ver un par de ecuaciones simultáneas. El procedimiento consta de dos pasos: 1. Se manejan las ecuaciones para eliminar una incógnita de una ecua- ción. El resultado de este paso de eliminación es una sola ecuación con una incógnita. 2. Por consiguiente, esta ecuación se puede resolver directamente y el resultado se sustituyehaciaatrás en las ecuaciones originales para encontrar la incógnita restante. Este comportamiento básico se puede extender a sistemas grandes de ecuacionesdesarrollando un esquema sistemático paraeliminar incóg- nitas y sustituir hacia atrás. La eliminación gaussiana es una delas técni- cas más comunes.
- 239. 228 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 7.2.1 Algoritmo para la eliminación gaussianasimple Se incluye en esta secciónla técnica sistemática de eliminación haciaade- lante y la sustitución hacia atrás que comprende la eliminación gaussia- na. Aunque estas técnicasse adaptan perfectamentea las condiciones de implementación sobre una microcomputadora,se requieren algunasmo- dificaciones para obtenerun algoritmo legible. En particular, el programa debe evitar divisiones por cero. Al método siguiente se le llama elimina- ción gaussiana"simple" porque no evitaestascontingencias. Enlas si- guientesseccionesse muestran algunos rasgos adicionales necesarios para tener un programa efectivo. El procedimiento estáplaneadopara resolverun conjunto de n ecua- ciones: allxl + ~112x2+ a13x3+ * * + al,xn = c1 C7.1201 a21x1+ a22x2 + ~ 1 ~ ~ x 3+ ' * * + aZnxn= c2 [7.12b] [7.12c] Como en el caso de solución de dos ecuaciones, el método para n ecua- ciones consiste de dos fases: la eliminación delas incógnitasy su solución mediantesustituciónhaciaatrás. Eliminaciónhacia adelante de incógnitas. La primera fase reduce elcon- juntode ecuaciones a un sistematriangularsuperior(Fig. 7.3).El paso inicial del procedimiento consiste en dividir la primera ecuación[Ec. 7.12a1 porel coeficiente de laprimer incógnita, all: a12 x1 + " x 2 + * . + " x , = - Q l n c1 a11 al1 all A este procedimiento se le conoce como normalización y tiene como fi- nalidad convertir el primer coeficiente de la ecuación normalizada en 1. En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primercoe- ficiente de la segundaecuación [Ec. (7.12b)],a21: [7.13] Nótesequeelprimertérmino de laprimera ecuaciónes ahora idéntico alprimertérmino de la segunda ecuación. Por consiguiente, se puede eliminarlaprimeraincógnita de la segundaecuaciónrestando la ecua- ción (7.13)de la (7.12b) para obtener
- 240. ELlMlNAClON GAUSSIANA 229 FIGURA 7.3 Esquema gráficode lasdos partes del método de eliminación gaussia- na. La eliminación hacia adelante reducela matriz de coeficientes a una forma triangular superior. Después, se usa la sustitución hacia atrás pa- ra encontrar las incógnitas. O ahax? + * * * + ahnxn= c$ en donde el apóstrofo indica que los elementos han cambiado sus valo- resoriginales. El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuacionesrestantes. Por ejemplo, la ecuación normalizadase multiplica por a31 y elresultado se resta de la tercera ecuación para obtener a&x2 + aj3x3 + * . + a&,x,,= c$ Repitiendoel procedimiento parael resto de ecuaciones da como resul- tado elsiguientesistemamodificado: [7.14a] [7.14b] [7.14c] [7.14d]
- 241. 230 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS De ahora en adelante, a la ecuación (7.12a)se le llama ecuación pivotal y a all se lellama pivote. En seguida se repite el proceso para eliminarla segunda incógnitade las ecuaciones (7.14~)hasta la (7.14d).Para hacerlo, se usa como ecua- ción pivotal la ecuación (7,14b)normalizándolay dividiéndola por el pi- votea'22. Multiplicando la ecuación normalizada por a'32 y restando el resultado a la ecuación (7.14~)se elimina la segunda incógnita. Repitien- do el proceso conlas ecuaciones restantes se obtiene: a"n3x3 + * . + axnx,= c: en donde el apóstrofe doble indica que los coeficientesse han modifica- do dos veces. El procedimiento se puedecontinuarusando las ecuaciones restan- tes como pivotales. La operación finalde esta secuencia es ladeusarla (n- 1)-ésimaecuaciónparaeliminar el términode la n-ésima ecua- ción. En ese momento elsistema se transforma en un sistematriangular superior (recuérdese el recuadro 111.1). [7.15a] [7.15b] [7.15c] [7.15dj Sustitución hacia atrás. La ecuación (7.15d)se puede resolver para x,: 1 17.161 Este resultadose puede sustituir en la (n-1)-ésima ecuacióny resolverse éstapara x,,~- El procedimientoserepiteevaluandolas x restantes, éste se puederepresentarmediante la fórmula:
- 242. ELlMlNAClON 231 [7.17] para i = n-1, n-2, . . . , 1. EJEMPLO 7.5 Eliminacióngaussianasimple Enunciadodelproblema:úsese la eliminacióngaussianapararesolver: 3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85 0.1~1+ 7x2 - O.3X3 = -19.3 0 . 3 ~ ~- 0 . 2 ~ ~+ lox3 = 71.4 [E7.5.lj [E7.5.2] rE7.5.31 Efectúense 10scálculosconseiscifrassignificativas. Solución: la primera parte del procedimientoes la eliminación haciaade- lante. La normalización de la ecuación (€7.5.1)se lleva a cabo dividién- dolapor el elemento pivotal, obteniendo: XI - 0,033 333 3x2 - 0.066 666 7x3 = 2.616 67 [E7.5.4] En seguida,multiplíquesela ecuación (E7.5.4)por 0.1 y t6stese el resul- tado de la ecuación (E7.5.2)se tiene: 7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.5] Por lo tanto almultiplicarla ecuación (E7.5.4)por O.1 y al restarla a la ecuación (E7.5.3)se elimina xl. Despuésdeestas operaciones, el con- juntode ecuaciones es 3x1 -- o.lx, - 0.2X3 = 7<65 rE7.5.61 7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.7] -0.190 000x2 + 10.020 Ox3 = 70.615 O [E7.5.8] Paraterminar la eliminaciónhaciaadelante xp debe desaparecer de la ecuación (E7.5.8).Para llevarlo a cabo, normalícese la ecuación (E7.5.7) dividiéndolapor 7.003 33: x2 - 0.041 884 8x3 = -2.793 20 [E7.5.9] Después,multiplíquese la ecuación (€7.5.9)por -0.190 O00 y réstese el resultado de la ecuación (E5.7.8). Con esto se elimina x2de la tercera ecuación y reduce el sistema a la formatriangularsuperior,dada por:
- 243. 232 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 3x1 - O.lx, - 0,2~3= 7.85 7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.10] 10.012 Oxg = 70.084 3 [E7.5.11] Ahora se puedenresolverestas ecuaciones porsustituciónhacia atrás. Enprimer lugar, la ecuación (E7.5.11)se puede resolver, dando: x3 = 7.00003 [E7.5.12] Esteresultado se puede sustituirenla ecuación (E7.5.10),para dar: 7.003 33x2 - 0.293 333(7.000 03) = -19.561 7 que se puederesolverpara x2 = "2.500 O0 [E7.5.13] Finalmente, las ecuaciones (E7.S.12) y (E7.5.13)se puedensustituiren la ecuación (E7.5.6)para dar: 3x1 - 0.1(-2.500 00) - 0.2(7.00003) = 7.85 que se puederesolver para: x1 = 3.000 O0 Aunquehay un pequeiio error de redondeo enla ecuación (E7.5.E ) , los resultadosson muy cercanos a lasoluciónexactade x1 = 3, x2 = -2.5 y xg = 7. Estosepuedeverificarsustituyendolasrespuestasenel con- junto de ecuaciones originales,para dar: 3(3) - 0.1(--2.5) - 0.2(7.00003) = 7.84999 = 785 0.1(3) + 7("2.5) - 0.3(7.00003) = -19.300 O = -19.3 0.3(3) - 0.2(-2.5) + lO(7.00003) = 71.4003 = 71.4 7.2.2 Programadelmétodode eliminación gaussiana simple La figura 7.4 muestra los programas de la eliminación gaussiana simple. Los programasconstan de cuatro partes: entradade dabs, eliminación hacia adelante, sustituciónhaciaatrás e impresiónde datos. Nótese que la matriz de coeficientes se aumenta por las constantes del ladoderecho. Esta informaciónse almacena enlamatriz A. Ya que estamatriz es aumen-
- 244. ELlMlNAClON GAUSSIANA 233 tada, el hecho de que susdimensionesseande 15 por 16 significa que el programa puede manejar hasta15 ecuaciones simultáneas de esta forma. FORTRAN sun-0 I-N-NN I P = I + l [)O 1 2 2 0J = I P , H SLlN-SUM+A( I , J >*X( J , 1220 CONTINUE 1240CONTINUE RETURli END ~ ~ I ~ = ~ ~ ~ l , ~ ~ - s u M ~ , ' a ~ l , I ~ Elim1nac16n hacia adelante Sustracci6nhaciaatrAs FIGURA 7.4 Programas FORTRAN y BASIC delmétododeeliminacióngaussiana simple. Nótese también que se ha programado el cuerpo principal del algorit- mo como una subrutina. Se hizo asíporque ademásde la solución direc- ta de los problemas de ingeniería, la eliminación gaussiana tambihn tiene utilidadformandoparte de otrosalgoritmos. Enlaúltima parte de este capítulo se desarrollan técnicas de corrección de erroresquerequieren unasubrutinaparalaelimiflacióngaussiana. Además, enelcapítulo 10 se necesita resolver ecuaciones algebraicas linealescomo parte de la téc- nicadeajustedecurvasllamadaregresiónmúltiple y polinomial.
- 245. 234 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 7.5 Tres paracaidistas encaídc libre conectados por cuerdas de peso despreciable. 7 . Pr El programa de lafigura 7.4 no es legible al usuario. Enel problema 16 alfinaldel capítulo, se presenta la tarea de hacer un bosquejo del .ogramaparahacerlofácilde Gsar y de entender. EJEMPLO 7.6 Solución de ecuaciones algebraicas lineales usando computadora Enunciado del problema:los programas de NUMERICOMP contienen uno que implementala eliminación gaussiana enun programa legibleal usua- rio. Se puede usar este programa para resolver problemas asociados con el ejemplo del paracaidista discutido enel capítulo 1.Supóngase que un grupo de tres paracaidistas se conecta por medio de cuerdas muy ligeras mientras caen a unavelocidadde 5 m/s (Fig. 7.5).Calcúlese la tensión en cada sección dela cuerda y la aceleración del grupo, dada la siguiente información: Paracaidista Masa, kg Coeficientesderozamiento, kg/s 170 2 60 14 3 40 17 .~.." . . ~ . . Solución: los cuerpos de los paracaidistas se muestranenlafigura 7.6. Considerandolasfuerzas en direcciónvertical y usando la segunda ley de Newton se obtieneun conjunto de tres ecuaciones lineales simultáneas: mlg - T - clu = mla m2g + T'c2u - R = m2a Estas ecuaciones tienen tres incógnitas: a, T y R.Después de sustituir¡os valores conocidos, las ecuaciones se pueden expresaren forma matricial (ya que g = 9.8 m/s2).
- 247. 236 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 7.7. (Continuación)b) Prueba de exactitud obtenida al sustituir la solución enlas ecuaciones originales para comprobar que los resultados son iguales a lasconstantes del vector de términos independientes original. Los resultados anterioresse basan en un algoritmo simple del méto- do de la eliminación gaussiana con rutinas legiblesal usuario sobreentra- da y salida de datos. El algoritmo empleado es similar al de lafigura 7.4. El usuario debe ser capaz de escribir un programa para el método de la eliminación gaussiana. Si ya lo tiene, use el programa anterior para com- probar la exactituddelpropio. 7.3 DESVENTAJASDE LOSMÉTODOS DE ELIMINACIóN A pesar de que existenmuchossistemas de ecuaciones que se pueden resolver con la eliminación gaussiana simple. Hay algunas desventajas que se deben de analizarantes de escribir un programaqueimplemente el método. Aunque elsiguientematerialhablaGnicamentedelmétodode eliminación gaussiana simple, esta información también es importante para otras técnicas de eliminación. 7.3.1 División entre cero La razónprincipalporla que se le ha llamado “simple” al método ante- rior, es porquedurantelas fases deeliminación y sustituciónesposible queocurraunadivisiónentre cero. Por ejemplo, si se usael método de eliminacióngaussianasimplepararesolver el sistema:
- 248. ELlMlNAClON GAUSSIANA 237 lanormalización de laprimer ecuaciónimplicaunadivisiónentre all = O. El problema se presentatambién cuando el coeficiente es muy cercano a cero. Se ha desarrollad? una estrategia del pivote0 para evitar parcial- menteestosproblemas.Este se describeenla sección 7.4.2. 7.3.2. Errores deredondeo Aun cuando la solucióndelejemplo 7.5 se acerca mucho a la solución real, hayuna pequeña diferencia enel resultadode x3 [Ec. (E7.5.12)]. Esta diferencia, quesignifica un errordel -0.000 43%, se debe al uso de seis cifras significativas durante los cálculos. Si se hubieran usado más cifrassignificativas,elerror se habríareducidoaún más. Si se hubieran usado fracciones envez de decimales(y por consiguientese hubieran evi- tadoloserrores de redondeo), la respuestahabríasido exacta. Sin em- bargo, ya que las microcomputadoras manejansólo un número limitado de cifrassignificativas ( = lo), puedenocurrirloserroresde redondeo y se debenconsiderar al evaluar los resultados. EJEMPLO 7.7 Efecto de los errores de redondeo en la eliminación gaussiana Enunciado del problema: resuélvaseelmismn problema del ejemplo7.5, usandotrescifrassignificativasduranteloscálculos. Solución: la eliminación de x1de la segunda y tercera ecuación y la eli- minaciónde x2 de la tercera llevaalsiguientesistematriangular: 3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85 7.00~2- 0.293~3= -19.6 9.99~3= 70.1 Compárese este sistema con el obtenido previamente usando seis cifras significativas [ecuación(E7.5.10)hasta la (E7.5.121. Sepuede usarla sus- tituciónhaciaatráspararesolverel sistema, obteniendo: x1 = 3.17 I E , ~ = 5.7% x2 = -2.51 I E, 1 = 0.4% x3 = 7.02 1 E , I = 0.29%
- 249. 238 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS Sustituyendoestosvalores enlas ecuaciones originales se obtiene: 3(3.17) - 0.1(-2.51) - 0.2(7.02) = 8.36 # 7.85 0.1(3.17) + 7(-2.51) - 0.3(7.02) = -19.4 # -19.3 0.3(3.17) - 0.2(-2.51) + lO(7.02) = 71.7 # 71.4 Aunque el uso de tres cifras significativas dentro del ejemplo7.7 hace del mismo un ejemplo fuerade la realidad, el problema de los errores de redondeo sí es real y puede serde mucha importanciaal resolver grandes cantidadesde ecuaciones. Esto se debe a quecadaresultado depende de todos los resultados anteriores. Por consiguiente,un error enlos pri- meros pasos tiendea propagarse,esto es, causa erroresen los siguientes pasos. Es muy complicadoespecificar el tamañodelsistema en donde los errores deredondeo vienen a ser significativos ya que dependen del tipo de computadoray de las propiedades del sistema. Una reglamuy general es la de suponer quelos errores de redondeo son de importancia cuandose tratadesistemas de 25 a 50 ecuaciones. En cualquier evento, siempre se deben sustituir las respuestas en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial.Sin embargo, como se menciona más ade- lante lamagnitud de los coeficientesmismos puede influir en los errores al buscar un resultado aceptable. 7.3.3 Ill-Sistemas mal condicionados La obtención de la solución depende de la condicióndel sistema. Enla sección 7.1.1 se muestra un esquema gráfico de la condición de un siste- ma. En sentido matemático, los sistemas bien condicionados son aque- llos en los que un cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarenla solución. Los sistemas mal condicionados sonaquellos en donde cambios pequeños en los coeficientes provocan cambios grandes enla solución. Una interpretación diferente del mal condicionamientoes que un rangoamplioderespuestaspuedesatisfaceraproximadamente al sistema. Ya que los errores de redondeo pueden inducir cambios pe- queños en los coeficientes, estos cambios artificiales pueden generar errores grandes enla solución de sistemas mal condicionados como se ilustra en elsiguiente ejemplo. EJEMPLO 7.8 b Ill-Sistemas mal condicionados Enunciado del problema:resuélvase el siguientesistema:
- 250. ELlMlNAClON GAUSSIANA 239 x1 + 2x2 = 10 [E7.8.1] 1 . 1 ~ 1+ 2x2 = 10.4 [E7.8.2] Después, resuélvase nuevamente, conel coeficiente de x1de la segunda ecuaciónmodificadolevemente a 1.05. Solución: usandolas ecuaciones (7.10)y (7.11), la solución es: 2(10) - 2(10.4) l(2) - 2(1.1) l(10.4) - 1.1(10) l(2) - 2(1.1) x1 = = 4 x2 = = 3 Sin embargo, conelcambioalcoeficiente a21de 1.1 a 1.05, el resulta- docambiadrásticamente a: 2(10) - 2(10.4) l(2) - 2(1.05) x1 = = 8 l(10.4) - 1.05(10) l(2) - 2(1.05) x2 = = 1 Nótese que la razón principal de la diferencia entre los dos resultados es que el denominador representa la diferencia de dos nfimeros casi iguales. Como se explica previamente enel ejemplo3.4,estas diferencias sonmuy sensitivas a pequeñas variacionesen los números quese están manejando. En este punto, se podríasugerirquelasustitucióndelosresultados en las ecuaciones originales alertaríaal lector enel problema. Desafortu- nadamente, este no esel caso en sistemas mal condicionados. La sustitu- cióndevalores erróneos de x1 = 8 y x2 = 1 enlas ecuaciones (E7.8.1) y (€7.8.2) lleva a: 8 + 2(1) = 10 = 10 1.1(8) + 2(1) = 10.8 = 10.4 Porlo tanto, aunque x1 = 8 y x2 = 1 nosonlassolucionesrealesal pro- blemaoriginal, la prueba de errorescasiigual, lo quepuedeprovocar el error al hacercreerquelassolucionesson correctas. Como se hizo previamente enla sección de métodos gráficos, se puede desarrollar una representación visual del mal condicionamiento grafican- dolas ecuaciones (E7.8.1)y (E7.8.2) (recuérdeselafigura 7.2).Debido a quelaspendientesdelaslíneassoncasiiguales,visualmentees difícil de ver exactamente donde se intersectan. Esta dificultad. visual se refleja
- 251. 240 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS cuantitativamenteen los resultados inciertos del ejemplo 7.8. Esta situa- ción se puede caracterizar matemáticamente escribiendo las dosecuacio- nes en su forma general: Dividiendola ecuación (7.18)por a12y la ecuación (7.19)por aZ2y or- denando términos se obtienenlasversionesalternativasdelformato de unalínearecta [x?= (pendiente)x1 + intersección]. a21 c2 x1 + " a22 x2 = " a22 Por consiguiente, silas pendientessoncasiiguales, entonces: - = -all 021 012 a22 o, multiplicandoencruz: alla22 = a21a12 que se puedeexpresartambién como: alla22 - a12~21= 0 r7.201 Ahora, recordandoque all a22- a12a21es el determinantedelsis- temabidimensional [Ec. (7.3)],se puedeobtener la conclusióngeneral deque un sistema mal condicionado es aquelenque su determinante se aproxima acero. En efecto, siel determinante es exactamente igual a cero, las dos pendientes son idénticas, lo que produce de forma indis- tinta o ningunasolución o un númeroinfinitode ellas, como enel caso delsistemasingularmostrado enlafigura 7.21y b. Es difícil especificar qué tan cerca debe estar el determinantede cero de maneraqueindique mal condicionamiento.Estosecomplicapor el hecho de queun determinante puede cambiarsu valor simplementemul- tiplicando una o más ecuaciones por un factor escalar sin alterar la solu- cicin. Por consiguiente, el determinante esun valor relativo que se modifica conlamagnitudde los coeficientes.
- 252. ELlMlNAClONGAUSSIANA 241 EJEMPLO 7.9 Efecto de escalamiento enel determinante Enunciadodelproblema:evalúeseeldeterminantedelossistemas Si- guientes: a) Del ejemplo 7.1: 3x1 + 2x2 = 18 [E7.9.1] -x1 + 2x2 = 2 [E7.9.2] b) Del ejemplo 7.8: x1 + 2x2 = 10 [E7.9.3] 1.lxl + 2x2 = 10.4 [E7.9.4] c) Repítase b) multiplicandolas ecuaciones por 10. Solución: a) El determinantede las ecuaciones (E7.9.1)y (E7.9.2)quees un sis- tema bien condicionado, es: D = 3(2) - 2(-1) = 8 b) El determinantede las ecuaciones (E7.9.3)y (E7.9.4),quees un sis- tema mal condicionado, es: D = l(2) - 2(1.1) = -0.2 c) Los resultadosde a) y de b) parecen corroborar el argumentodeque los sistemasmal condicionados tienen determinantescercanos a cero. Sin embargo, supóngase queel sistema mal condicionadob) se multi- plicapor 10, para obtener: 10x1 + 20x2 = 100 11x1 + 20x2 = 104 La multiplicación de una ecuación por una constante no tiene efecto en la solución. Además, aún está mal condicionado. Esto se puede verificar multiplicando por unaconstante que no tenga efecto enla solución gráfi- ca. Sin embargo, el determinanteresulta muy afectado. 1 D = lO(20) - 20(11) = -20 No sólo se han elevadodos órdenes de magnitud,sinoqueeldetermi- nante es el dobledelsistema bien condicionado a ) .
- 253. 242 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Como se ilustra en el ejemplo anterior, la magnitud de los coeficien- tes interpone un efecto de escalamiento que complica la relación entre la condición del sistema y el tamaño del determinante. Una manera de evitar parcialmente esta dificultad es la de escalar las ecuaciones de for- ma tal que el elemento máximo de cualquier renglón sea 1. EJEMPLO 7.1O Escalamiento Enunciado del problema: escálenselos sistemas de ecuaciones del ejem- plo 7.9a un valor máximo de 1y calcúlense de nuevo sus determinantes. Solución: a) En el sistema bien condicionado, el escalamientogenera XI+ 0.667~2= 6 -0.5x1 + x2 = 1 cuyo determinante es: l(1) - 0.667(-0.5) = 1.333 b) En el sistema mal condicionado, el escalamientogenera: 0.5X1 + X2 = 5 0.55~1+ X:, = 5.2 cuyo determinante es: 0.5(1)- l(0.55) = -0.05 c) En el último caso, e! escalamiento modifica el sistema de la misma forma que b).Por lo tanto, el determinante también es 0.05,y el es- calamiento no afecta. En la sección anterior (sección 7.1.2),se dijo que el determinante es difícil de evaluar para más de tres ecuaciones simultáneas. Por lo tanto, parece ser que noexiste una manera práctica de determinar la condición de un sistema. Sin embargo, como se muestra en el recuadro 7.1, existe un algoritmo simpleque resulta de la eliminación gaussiana y que se puede usar en la evaluación del determinante. Además del planteamiento usado en el ejemplo anterior para calcu- lar la condición de un sistema, existen otras formas de hacerlo. Por ejem- plo, existen métodos alternativos para la normalización de elementos (dase
- 254. ELlMlNAClON GAUSSIANA 143 Stark, 1970).Además, como seveenelcapítulosiguiente(sección 8.2.2), la matriz inversa puede usarse en la evaluación de la condición de un sis- tema. Finalmente, unapruebasimple (pero queconsumemuchotiem- po) consisteenmodificar un poco loscoeficientes y repetirlasolución. Si estas modificaciones generan resultados drásticamente diferentes, el sis- temaprobablementeestámalcondicionado. Como se puede deducir del análisis anterior, definitivamente no exis- te un métodosimpleparaevaluarelmalcondicionamiento.Enlaelimi- RECUADRO 7.1 Evaluación de determinantesusando la eliminacion gaussiana En la sección 7.1.2,se dijo que la evaluación de los de- terminantes por expansión de menores era impráctica para conjuntos grandes de ecuaciones. De esta forma, se concluye que la regla de Cramer sólo es aplicablepa- ra sistemas pequeños. Sin embargo, como se dijo en la sección 7.3.3,el determinantetiene sentido cuando va- lorala condición de un sistema. Por lo tanto, sería útil poseer un método práctico para calcular esta cantidad. Afortunadamente,la eliminación gaussiana propor- ciona unaformasimple de hacerlo. El método se basa en el hecho de que el determinantede la matriz triangu- lar se puede calcular simplemente con el producto de los elementos de su diagonal: D = a11a22a33. . . ann [B7.1.1] La validez de ,estafórmula se puede ilustrar en sistemas de 3 por 3: en donde el determinante se puede evaluar como [re- cuérdese la ecuación (7.4)] o, evaluando por menores (esto es, los determinantes 2 por 2). D = a11a22m - a d o ) + a d o ) = a11a~~a33 Recuérdese que el paso de eliminación progresiva de la eliminación gaussiana genera un sistema triangu- lar superior. Ya que el valor del determinante se puede evaluarsimplemente al final de este paso: D = a11a&a&. . . a?;') [B7.1.2] en donde los superíndices indican que los elementos se han modificado durante el proceso de eliminación. Por lo tanto, se puede aprovechar el esfuerzoque se ha he- cho al reducir elsistema a su formatriangular,y por aña- didura obtener una aproximación al determinante. Hay una pequeña modificación en elplanteamien- to anterior cuando el programa usa pivote0 parcial (sec- ción 7.4.2).En este caso, el determinante cambia de signo cada vez que un renglón se usa como pivotal. Una manera de representar esto es modificando la ecuación (B7.1.2): D = alla&?a:3. . . ak-l)(-l)p [B7.1.3] en donde p representa el número de veces en que los renglones se usan como pivotales. Esta modificación se puede incorporar de forma simple enun programa: úni- camente se toma en cuenta el número de pivoteos que se llevan a cabo durante los c6lculos y después se usa la ecuación (B7.1.3)pata evaluar el determinante.
- 255. 244 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS nacióngaussiana.serecomiendaescalar el determinante como en el ejemplo 7.10. Afortunadamente,la mayor parte de las ecuaciones alge- braicas obtenidas de problemasde ingeniería por naturaleza son sistemas bien condicionados.Además, algunas de las técnicas desarrolladas en la siguientesecciónayudan a aliviarel problema. 7.4 TÉCNICAS DE MEJORAMIENTOEN LAS SOLUCIONES LESsipientzs técnicas se puedenincorporar al algoritmo de la elimina- c i h gaussianasimpleparaevitaralgunasdelasdesventajasanalizadas en la secciónprevia. 7.4.1 Uso de más cifras significativas El remedio más simpleparaelmal condicionamiento es el deusar más cifrassignificativasen los cálculos (compárenselos ejemplos 7.5 y 7.7). Si la computadora tienela capacidad de extenderel tamaño de las cifras significativas aumentando el tamaño de la palabra, esta característicare- ducemucho el problema. 7.4.2 Pivoteo Como se dijoal principio de la sección 7.3,los problemas obvios ocurren cuando un elementopivotal es cero, debido al paso de normalización lo cual origina una división por cero. Estos problemasse obtienen cuando el ele- mento pivotal es cercano a cero envez de ser exactamente igual, por lo que silamagnituddel elemento pivotal es pequeño comparado con los otros elementos, entonces se introducenerrores de redondeo. Por lo tanto, antes de normalizar cadarenglón, es ventajoso determi-. nar el coeficiente mayor disponible.Entonces se pueden intercambiarlos renglones de tal forma que el elemento mayor sea el pivotal. A este mé- todo se le conoce conelnombre de piuoteo parcial. Si se buscatanto en las columnas como en los renglones el elemento mayor y se intercam- bian, entonces el procedimiento es de piuoteo total. El pivoteototal se usa muy raramente en programas elementales, ya que el intercambio de columnas cambiael orden de las x y, por consiguiente,aumenta la com- plejidad delos programas, generalmente,sin justificación.El siguiente ejem- plo ilustra la ventaja del pivoteo parcial. Además de evitar la división por cero, elpivoteotambiénminimizaelerror de redondeo. Como tal, sirve también como remedioparcial almal condicionamiento. EJEMPLO 7.1 1 Pivoteo parcial Enunciadodelproblema:úsese la eliminacióngaussianapararesolver:
- 256. ELlMlNAClON GAUSSIANA 245 0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1 1.0000x1 + 1.000 0x2 = 1.000 o Nótesequeenestaformaelprimer elemento pivotal, all = 0.000 3, es muy cercano a cero. Despuésrepítanseloscálculosconpivote0parcial pero invirtiendo el orden de las ecuaciones. La solución exacta es x1 = 1/3 y x2 = 2/3. Solución: normalizando laprimer ecuación se obtiene: x1 + 10 000x2 = 6 667 lacual se puedeusarparaeliminar x1de la segunda ecuación: -9 999x2 = -6 666 que se puederesolver para: x2 = 2/3 Esteresultado se puede sustituirenlaprimer ecuación y evaluar xl: 2.000 1 - 3(2/3) 0.000 3 x1 = [E7.11.1] Sin embargo, el resultado es muy sensitivoal número de cifras significati- vasincluidasenel cálculo: Valor absoluto del error relativo Cifras porcentual significativas x? X1 ¿e x1 3 0.667 -3.33 1 099 4 0.6667 0.000 1O0 5 0.66667 0.300 O0 10 6 0.666 667 0.330O00 1 7 0.666666 7 0.333 O00 O o.1 Nóteseque la soluciónpara x1 dependemuchodelnúmerode ci- fras significativas.Esto se debe a que enla ecuación (E7.11.1), se resta- ron dos números casi iguales (recuérdeseel ejemplo3.4). Por el otrolado, si se resuelvenlas ecuaciones en orden inverso, se normalizaelrenglón conel elemento pivotal mayor. Las ecuaciones son:
- 257. 246 METODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS 1.000 Ox1 + 1.000 ox* = 1.000o 0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1 La normalización y laeliminaciónproduce x2 = 2/3. Para cantidades di- ferentes de cifras significativas, x1se puede calcular de laprimera ecua- ción,como: [E7.11.2] Este caso es mucho menos sensitivo al número de cifras significativas en los cálculos: Cifras significativas x2 X1 0.667 0.333 0.666 7 0.333.3 0.66667 0.333 33 0.666667 0.333 333 0.666666 7 0.333 3333 Valor absoluto del error relativo porcentual de x1 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 o1 De esta forma, la estrategiapivotalesmuchomássatisfactoria. Los programas de NUMERICOMP de propósitos generales queacom- paiían este libro, incluyena menudo una estrategia pivotal.La figura 7.8 muestra un algoritmoparaimplementarestaestrategia.Esteprograma se puede integrar al de la figura 7.4 para incorporar el pivote0 parcialen los programasdelusuario. 7.4.3 Escalamiento En la sección 7.3.3 se dedujo que el escalamiento influye enla estandari- zación del valor del determinante.Más allá de esta aplicación,tiene utili- dadenlaminimizaciónde los erroresde redondeo paraaquellos casos en donde alguna de las ecuaciones de un sistema tiene unos elementos mucho más grandes que otros. Estas situacionesse encuentran frecuen- temente en la ingeniería cuando se usan ampliamente unidades diferen- tes en el desarrollo de ecuaciones simultáneas. Porejemplo, en problemas de circuitos eléctricos, los voltajes desconocidos se puedenexpresar en
- 258. ELlMlNAClON GAUSSIANA 247 FORTRAN BASIC 303r) ?O90 3140 3150 &=RP IF ( 6 - B P . G E . O . X O T O 308U . . .I .I= I CONTINUE I F ( J J - K . E O . O . 0 ) COTO 3150 .. - O0 3140 J-K,Nl f i ( J J , J > - R ( K , J ) TE=&< J J . J ) CONTINUE A f K, J )=TE CONTINUE RETURN END 31:103 . m = t 302hj B : AB', 1 A l I .t.. I I 3ü:xj FOR 1 = I + I TLJ N 3ü4<:, I W = ABS I A ( I .I., # ) 305.> IF P - BF' . =- ü THEN 3ü8U :üad E c BF' otrascolumnascontraelpivotel 31171'1 .I.) = I K = representaelrengldnpivotal (Almacena el valor absoluto del pivote actual) ICiclo que compara los elementos de las ~ . .. . 3 0 8 o biEx r I ~C.1'90 I F J.1 -- I, *: ü THLN 3150 3 1 1 0 I€ = A l ..IJ. ..I1 313ü A l b ~ d )= 1E 3140 N t k l J (Si no es asl, este ciclo -, . - (Sielpivoteescogido es el mayor, entonces regresa al programa principal) 3150 Rtll.lFIN lntercambia los renglones1 a continuar c o n laeliminacidnl (Regresa al programaprincipal FIGURA 7.8 Programa en FORTRAN y BASIC para implementar el pivoteo parcial. unidades que varían desde microvolts hasta kilovolts. Se pueden encon- trar ejemplos similares en todoslos campos de la ingehiqría. Mientrasca- daunadelas ecuaciones sea consistente, técnicamentdel sistemaserá correcto y tendrá solución. Sin embargo, eluso de unidades completa- mente diferentes puede generar coeficientes de magnitudes que difieran ampliamente entre sí. Esto puede tener un impacto sobre el error de re- dondeo ya que afecta al pivoteo, como se puedeverenelsiguiente ejemplo. EJEMPLO 7.12 Efectos del escalamiento en el pivoteo y el redondeo Enunciadodelproblema: a ) Resuélvaseel siguiente conjunto deecuacionesusando la eliminación gaussiana y la estrategiadelpivoteo: 2x1 + 100 000x2 = 100 O00 x1 + x2 = 2 b) Repítase la solución anterior después de escalar las ecuaciones detal formaqueelcoeficientemáximoen cada renglón sea 1. En ambos casos, reténganse sólo tres cifras significativas. Nótese que las respues- tascorrectasson x1 = 1.O00 02 y x2 = 0.999 98 o, contrescifras significativas,x1 = x2 = 1.00.
- 259. 248 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Solución: a) Sin escalar,,se aplicalaeliminaciónhaciaadelante y se obtiene: 2x1 + 100000x2 = 100 O00 -50 000x2 = -50 O00 I quesepuederesolverporsustituciónhacia atrás, para obtener: x:, = 1.00 x1 = 0.00 Aunque x2es correcta, x1tiene un 100% de errordebido al redon- deo. b) El escalamientotransformalas ecuaciones originales en: 0.000 02x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 Por lo tanto, se debeaplicar el pivote0 a los renglones y colocar el valormayorsobrela diagonal. IC1 + x:, = 2 0.000 02x1 + x2 = 1 Laeliminaciónhaciaadelante genera: x1 + x2 = 2 x1 = 1.00 que se puederesolver para: ~ ~ x1 = x:, = 1 ~ De esta forma, el escalamientoproduceunarespuesta correcta. AIigual que enel ejemplo anterior, el escalamientoaquítiene utilidad para minimizar los errores deredondeo. Sin embargo, se debe notar que el escalamiento mismollevaimplícito un error de redondeo. Por ejem- plo, dada la ecuación: 2x1 + 300 OOOXZ = 1 y usandotrescifrassignificativas,elescalamiento produce: 0.000 006 67x1 + x2 = 1
- 260. ELlMlNAClON GAUSSIANA 249 Por lo que e l escalamiento introduce un error de redondeo en el primer coeficiente. Por esta razón, algunas veces se sugiere que el escalamiento sólo se emplee en casos donde realmente sea necesario, esto es, cuando el sistema involucre coeficientes de magnitudes muy diferentes. 7.4.4 Correccióndeerrores En algunos casos, el pivote0 parcial y el escalamiento no son suficientes para asegurar resultadosprecisos. Por ejemplo, recuérdese el ejemplo 7.7, que tenía los elementos mayores en la diagonal, pero que debido a los errores de redondeo,la solución final aún presentaba errores. Estos erro- res, en general se pueden reducir con el siguiente procedimiento. Consi- dérese un sistema de ecuaciones lineales de la forma: [7.21] anlxl+ aax2 + * * + a,,x, = c, Supóngasequese tiene un vectorsoluciónaproximado dado por kl, kz, . . . , k,,.Estos resultados se sustituyenen la ecuación (7.21),para dar: [7.22] Ahora supóngase que la soluciónexacta xlrxz, . . . , x, se expresa en función de 21, 2 2 , . . . , k,, y de los factores de corrección Ax,, Ax2, . . . , Ax,, endonde [7.23] x, = R, + Ax, -. -. ." . .
- 261. 250 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS Si estosresultados se sustituyenenla ecuación (7.21) da como conse- cuencia el siguientesistema: Ahoralaecuación (7.22) se puederestarde la ecuación (7.24) para obtener: allAxl + a12Ax2 + * * + alnAx,= c1 - El = El azlAxl + a22Ax2 + * * + az,Ax, = c~- E2 = €2 [7.25] anlAxl+ ~ ~ ~ 2 6 x 2+ * + a,,Ax,, = c, - E, = E, Este sistema en sí mismo es un conjunto de ecuaciones lineales simultá- neas que sepuederesolverobteniendoconello los factoresde correc- ción. Estosfactores se pueden aplicar para mejorar la solución especificada porla ecuación (7.23). EJEMPLO 7.13 Uso de las ecuaciones de errorparacorregir los deredondeo Enunciado del problema: recuérdese que enel ejemplo 7.7 seusala eli- minacióngaussianacontrescifrassignificativaspara resoher 0.1~1+ 7x2 - 0 . 3 ~ 3= -19.3. O.3X1 - 0.2~2+ 10x3 71.4 , Debidoalnúmerolimitadodecifrassignificativas,lasolucióndifierede la verdadera (x1 = 3, x2 = -2.5, x3 = 7) en:
- 262. ELlMlNAClON 251 x1 = 3.17 E, 5.7% x2 = -2.51 E , = 0.4% x3 = 7.02 E, = 0.29% Úsenselas ecuaciones delerrorpararefinar estas aproximaciones. Solución: la sustitución de las soluciones en el conjunto originalde ecua- ciones produce el vectordetérminosindependientes: [elT= [8.36 -19.4 71.71 que no es igualalvalor real. Por lo tanto, se puede desarrollar un vector de error: Ahora, se puedegenerar un conjunto de ecuaciones error [Ec. (7.25)]: 3AX1 - 0.1Ax2 - 0.2Axs = -0.51 O.lAx1 + 7AX2 - 0.3Ax3 = 0.1 O.3Ax1 - 0.2A~2+ 1OAx3 = -0.3 que se puederesolver (usandotrescifrassignificativas de formatal que existaconsistenciacon elproblema original),para obtener: [AX]' = [-0.1710.015 7 -0.02461 los cuales se puedenusarparacorregirlas soluciones, dando: XI = 3.17 - 0.171 = 3.00 x2 = -2.51 + 0.015 7 -2.49 x3 = 7 O2 - 0.024 6 = 7.00 que se aproximanmuchomás a la soluciónverdadera Ecuaciones del error en los programas. Se puedenintegrarlas ecua- ciones del error en los programas de la eliminacióngaussiana.En la figu- ra 7.9 se delinea un algoritmoquerealizaesta tarea. Nótese que para hacer más efectiva la corrección de sistemas altamente mal condiciona-
- 263. 252 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 7.9 Algoritmode eliminacióngaussianaqueincluyecorreccióndeerrores. dos, las E enla ecuación (7.25)se deben expresaren aritmética de doble precisión. Esto se hace fácilmente en FORTRAN pero en algunas imple- mentaciones de BASIC no esposible hacerlo. 7.5 RESUMEN En resumen, estecapítulose ha dedicado a la eliminación gaussiana, el método fundamentalen la solución de sistemas deecuacionesalgebraicas lineales.Aunqueéstaes unadelas técnicas másantiguasdesarrolladas para este propósito,aún es un algoritmo muy efectivo enla obtención de solucionesdemuchosproblemas de ingeniería.Ademásde suutilidad práctica, proporciona un contexto enel estudiogeneraldetemastales como los erroresde redondeo, escalamiento y condicionamiento. Las respuestasque se obtienenmedianteelmétodo de eliminación gaussiana se pueden verificar sustituyéndolas en las ecuaciones origina- les. Sin embargo, esto no siempre representa unapruebaconfiablesiel sistemaestá mal condicionado. Por lo tanto, si se sospecha de un error de redondeo, entonces sedebecalcularalgunamedida de la condición tal como e l determinante del sistemaescalado. Dos opciones que amino- ran los erroresde redondeo sonelusodelpivote0parcial y eluso de
- 264. ELlMlNAClON GAUSSIANA 253 más cifras significativasen los cálculos. Si el problema parece ser sustan- cial, la corrección de errores (sección 7.4.4)se puede usar algunas veces para mejorar la solución. Existen otros planteamientos y variaciones de la eliminación gaussia- na para satisfacerlas necesidades particulares. Por ejemplo, como se ex- plica en el recuadro 7.2, se puede formularuna versión muy eficiente de la eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales. El capítulo 8 se encarga de mostrar dos métodos diferentes,el de Gauss-Jordany Gauss- Seidei. RECUADRO 7.2 Sistemas de banda: el caso tridiagonal Una matrizbanda es una matriz cuadrada que tiene todos soluciones en diferencias finitas de ecuaciones diferencia- sus elementos iguales a cero, con excepción de una ban- les parciales. Además hay otros métodos numéricos tales da centrada sobre la diagonalprincipal (recuérdese Ill.1). como la interpolacióncúbica segmentaria (sección 11.4) En el caso en que el ancho de banda es 3, a lamatriz se que requieren la solución de sistemas tridiagonales. le conoce con un nombre especial: matriz tridiagonal. Los Un sistematridiagonal es aquél en el que los coefi- sistemas tridiagonales se encuentran frecuentemente en cientes están ordenados enforma tridiagonal, como en: la ciencia y en la ingeniería. Por lo general resultan de las d3X2 + e3x3 + f3x4 Nótese que se ha cambiado la notación de los coeficien- tes delsistematridiagonal de las a y las c a las d, e, f y g. Esto se hizo para evitar el almacenamiento de cantida- des grandes de ceros en la matriz de a. Esta modificación que ahorra espacio, es muy ventajosa ya que el algoritmo resultante requiere menos espacio en memoria. Como era de esperarse,los sistemas bandados sepue- den resolver con una técnica similar a la eliminacióngaus- siana. Sin embargo, debido a la estructuraúnicadel I " I O I " - " FORTRAN c sistema, la implementación del algoritmo dela eliminación gaussiana se puede simplificar mucho y las soluciones se obtienen deuna manera muy eficiente. Para el sistema tridiagonallos pasos de eliminación progresivase simplifi- can ya que la mayor parte de sus elementos son cero. En seguida las incógnitasrestantes se evalúan por sustitución hacia atrás. El algoritmo completo se expresa de forma concisa en los programas siguientes:
- 265. 254 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS PROBLEMAS Cálculos a mano 7.1 Escríbase el siguiente conjunto de ecuaciones ennotaciónmatricial: Escríbase la transpuesta de la matriz. 7.2 Algunasmatrices se definen como: 1 5 6 4 0 5 [Al = [2 1 3 1 [Bl = [;;;]4 3 1 [Cl= [a] 5 4 3 6 [GI = [ 8 6 41 Respóndase a lassiguientespreguntasde acuerdo a las matrices anteriores: o) ¿Cuáles sonlas dimensiones de lasmatrices? b) Identifíquenselasmatrices cuadradas, columna y renglón. c) Cuáles son los valores de los elementos: 012 b23 d32 e22 112 912 d) Efectúense lassiguientes operaciones 7.3 Se definentresmatrices como: a) Efectúense todas lasmultiplicacionesposibles que se pueden llevar a cabo b) Usese el método del recuadro 111.2 para justificar por qué las parejas restan- eptre parejas de estas matrices. tes no se pueden multiplicar
- 266. ELlMlNAClON GAUSSIANA 255 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 c) Úsense los resultados de a) e ilústresepor qué es importanteelorden de lasmultiplicaciones. Úsese el método gráfico para resolver: 4x1 - 6x2 = " 2 2 -xl + 12x2 = 58 verifíquense los resultadossustituyéndolos en las ecuaciones originales Dado elsistema de ecuaciones: o.75X1 + xp = 14.25 1 . 1 ~ ~+ 1 . 6 ~ ~= 22.1 a) Resuélvase gráficamente. b) Enbase a lasolucióngrAfica,'qué se espera acerca de la condición del sistema? c) Resuélvase por eliminación de incógnitas. d) Verifíquense las respuestas sustituyéndolasen las ecuaciones originales. Para el conjunto de ecuaciones: a) Calcúlese su determinante. b) Usese la regla de Cramer y resuélvase para las x. c) Sustitúyanse los resultadosen la ecuación original y compruébenselos mismos. Dadaslas ecuaciones: 0 . 5 ~ 1- x2 = -9.5 0.28~1- 0.5~2= -4.72 a) Resuélvanse gráficamente. b) Después de escalarse, calcúlese su determinante. c) En base a a) y b) ¿qué se puede esperar de la condicióndelsistema? d) Resuélvanse poreliminación de incógnitas. e) Resuélvanse otra vez, pero modificando all a 0.55. Interprétense los resul- tados de acuerdo al análisis de mal condicionamiento de la sección 7.1.1. Dado el sistema "12x1 + x2 - 7x3 = -80 x1 - 6x2 + 4x3 = 13 -2x1 - x2 + = 92
- 267. 256 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS a) Resuélvase con el uso de la eliminacióngaussiana simple. Muéstrense todos b) Sustitúyanse los resultados enlas ecuaciones originales y compruébense las los pasos de los cálculos. respuestas 7.9 úsese la eliminación gaussiana para resolver: 4x, + 5x2 - 6x,{ = 28 ZX, - 7x3 = 29 - 5 ~ 1 - 8x2 = -64 Empléese el pivoteo parcialy compruébense las respuestas sustituyéndolasen las ecuaciones originales. 7.10 Úsese la eliminación gaussiana para resolver: 3x2 - 13~,$= -50 Zx, - 6x2 + x:( = 44 4x, + 8x,: = 4 Empléese el pivoteo parcial. Compruébense las respuestassustituyéndolas en las ecuaciones originales. 7.11 Repítase el ejemplo 7.6 con el coeficiente de rozamiento al doble. 7.12 Resuélvase el siguientesistematridiagonal: 5x, + 4x2 = 25 4x, - 3x, + 7x,3 = 3 x2 - 6x3 + 4x4 = 17 12x,, + 2x, = 36 7.13 Efectúense los mismoscálculosdel ejemplo 7.6, pero usando cinco paracaidistas conlassiguientes características: Paracaidista Masa, kg Coeficientesde rozamiento, kgls 1 60 15 2 80 14 3 75 18 4 75 12 5 90 10 Los paracaidistas tienen unavelocidad de 10 m/s
- 268. ELlMlNAClON GAUSSIANA 257 Problemas para resolver con una computadora 7.14 7.15 7.16 7.17 7-18 7.19 7.20 7.21 7.22 Escríbase un programageneralparamultiplicardosmatrices, esto es, [X] = [y][Zl donde [X]es m por n y [Zl es n por p. Pruébese elprogramausando Escríbase un programa que genere la transpuestadeunamatriz. Pruébese con Reprográmese la figura 7.4 de tal forma quesea más legibleal usuario. Entre otras cosas: a) Intégrese lafigura 7.8 al programa de tal forma que éste realice pivote0 b) Documéntese el programa para identificar cada sección. c) Etiquétese la entrada y la salida. d) Escálense las ecuaciones de talforma que el coeficiente mayor en cada parcial. renglón sea 1. Calcúlese el determinante como una medidadela condi- cióndelsistema (opcional). Pruébese el programa desarrollado en el problema 7.16 duplicando los cálculos del ejemplo 7.5 y 7.6. Úsese el programa desarrollado enelproblema 7.16 y repítanse los problemas 7.8 al 7.11. Repítanse los problemas7.17 y 7.18 usando los programas de NUMERICOMP disponiblescon el texto. Usese también NUMERICOMPpara realizar una prueba de error para cada problema. Desarróllese un programa para sistemas tridiagonales legiblesal usuario y basán- dose enel recuadro 7.2. Pruébese el programa desarrolladoen el problema 7.20 resolviendo el problema 7.12. Resuélvase el problema 7.13 usando los programas desarrolladosen el problema 7.16.
- 270. C A P í T U L O O C H O GAUSS-JORDAN, INVERSIóN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL En estecapítulo se describendosmétodosadicionalespararesolver ecuacioneslineales simultáneas.El primero deellos, el método de Gauss- Jordan es muy similaral de la eliminación gaussiana. El motivo principal para introducir estatécnica, estriba en que proporcionauna forma simple y conveniente de calcular la inversa de unamatriz.Lainversatiene un gran númerodeaplicaciones enla ingeniería.Estemétodotambién proporciona los mediosparaevaluar la condiciónde un sistema. El segundo de ellos,el método de Gauss-Seidel es fundamentalmente diferente al deeliminacióngaussiana y al de Gauss-Jordan porque es un método de aproximaciones iteratiuas.Esto es, emplea un valor inicial y mediante iteraciones obtieneuna aproximación másexacta a la solución. El método de Gauss-Seidel se adapta, en particular a grandessistemas de ecuaciones. En estos casos, los métodosdeeliminaciónestán su- jetos a los errores de redondeo. Ya que elerrorenelmétodo de Gauss-Seidel se puede controlar mediante el número de iteraciones,los errores de redondeo no tienen quever con estatécnica. Sin embargo hay ciertos casosen que el método de Gauss-Seidelno converge a la respuesta correcta. Se discutenenlassiguientespáginasestos y otros elementos dejuiciopara escoger entre laeliminación y los metodositerativos. 8.1 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. La principal diferencia consiste en que el método de Gauss-Jordan cuando se eliminaunaincógnitano sólo se elimina de las ecuaciones siguientes sino de todas las otrasecuaciones. De esta forma, el paso de eliminación generauna matrizidentidadenvezde una matriz triangular (Fig. 8.1). Por consiguiente,no es necesario emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución. El método se ilustra mejorcon un ejemplo.
- 271. 260 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 8.1 Esquema gráfico delmétodo de Gauss-Jordan. Compárese con la figura 7.3 y nótese la diferencia entreeste método y el de eliminación gaussiana. LOS asteriscosindicanqueelvector de términosindependientes se ha modificado varias veces. EJEMPLO 8.1 Método de Gauss-Jordan Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Jordan para resol- ver el mismo sistema del ejemplo 7.5: 3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85 0.1~1+ 7x2 - 0.3~3= -19.3 0.3~1- 0.2~2+ 10x3 = 71.4 Soluci6n: en primer lugar, se expresan los coeficientes y el vector de tér- minos independientes como una matriz aumentada: [os 3 -0.1 -0.2 7 -0.3 -19.3 0.3 -0.2 10 71.4 En seguida se normaliza el primer renglón dividiéndolo por el pivote 3, para obtener:
- 272. GAUSS-JORDAN,INVERSldN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 261 1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 2.616 67 0.1 7 -0.3 I -19.3 0.3 -0.210 I 71.4 1I El término x1se puedeeliminardelsegundorengónrestando 0.1 ve- ces el primerodelsegundorenglón. Deuna manerasimilar,restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se eliminaeltérminocon x1 del tercer renglón: [ [Oo "0.190 O00 10.020o ~ 70.615 O 1 1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 2.616 67 O 7.00333-0.293 333 I -19.561 7 O -0.190 O00 10.020 O ~ 70.615 O 1En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendolo entre 7.003 33: 1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 ~ 2.61667 -0.041 8848 1 "2.793 20 Reduciendolostérminos en x2 de laprimera y la tercera ecuación se obtiene: 1 O -0.068 062 9 I 2.523 561 O 1 -0.041 884 8 ~ -2.793 20 o o 10.012 o I 70.084 3 El tercerrenglón se normalizadividiéndoloentre 10.012 O: 1 O -0.068 062 91 2.523 56 O 1 -0.041 884 81 -2.793 O 0 1 Finalmente, los términoscon x3 se puedenreducirdelaprimera y se- gundazcuaciónpara obtener: 1 o o ~ 3.000 O0 O 1 O I 2.500 O 1 O O 1 ~ 7.000 03 1De esta forma, como se muestra en la figura 8.1:lamatriz de coeficientes se ha transformadoenlamatrizidentidad y la solución se ha obtenido en el vector de términos independientes. Nótese que nose necesita susti- tuciónhaciaatrásparaobtenerlasolución.
- 273. 262 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Todo el materialdelcapítulo 7 relacionadocon las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Por ejemplo, se puedeusar una estrategia similar al pivoteo para evitar divisiones por cero y reducir el error de redondeo. Aunque los métodosdeGauss-Jordan y de eliminación gaussiana pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente de 50 % menosoperaciones.Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelenciaen la obtención de soluciones exactas alas ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones paraincluir en estecapítulo el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo de obtener la matriz inversa, tal como se describe en la sección 8.2 8.1.1 Algoritmo del método de Gauss-Jordan Enla figura 8.2 se muestra un algoritmo del método de Gauss-Jordan sin pivote0 parcial. Un esquema con pivoteomuy parecido al que muestra en la figura 7.10 se puede incorporar a este algoritmo. 8.2 INVERSIóN DE MATRICES Enla introduccióna las operacionesconmatrices(sección 111.2.2) se mencionaque si una matriz es cuadrada, entonces existeotramatriz, [A]- I , llamada la matriz inversa de [A],para el cual[Ec. (111.3)]: [A][A]" = [A]" [A] = [I] También sedemuestraque la inversa se puede usarpararesolver un conjunto de ecuaciones simultáneas, si se toma [Ec. (111.6)J: [XI= [Al" [CI @.11 La aplicación de la inversa ocurre cuando esnecesario resolver varios sistemas de ecuaciones de la forma: que difieren únicamente en el vector de términos independientes [C].En vez de resolver cada sistema por separado, unaalternativadiferente consiste en determinar la inversa de la matriz de coeficientes. Entonces, se puede usar la ecuación (8.1)paraobtener las soluciones,simplemente multi- plicando la matriz [A] por el vector de términosindependientescorres- pondiente [C].Ya que la multiplicación matricial es mucho más rápida que la inversión, el consumo de tiempo se lleva a cabo sólo una vez y después se obtienen las soluciones adicionales de una manera eficiente. También,comosemencionaen la sección 8.2.1, los elementos de la inversa son extremadamente útiles en sí mismos.
- 274. FI dl G V( IGUI e flu¡ 'auss ,te0 1.2 Di( ?Imeí .dan, cial. 'O( SI ira d 0 in ma de pi-
- 275. 264 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 8.3 Esquemagráfico del métodode Gauss-Jordan,con inversiónde matrices. Con el método de Gauss-Jordan se puedecalculardirectamente la inversa. Para hacerlo, lamatriz de coeficientes se aumenta con una ma- triz identidad (Fig. 8.3).Posteriormente se aplicael métodode Gauss- Jordan para reducirla matriz de coeficientesa la matriz identidad. Cuando se completa esta tarea, el lado derecho de lamatriz aumentada contiene lamatriz inversa.Esta técnica seilustraenel ejemplosiguiente. EJEMPLO 8.2 El uso del método de Gauss-Jordan en el cálculo de la matriz inversa Enunciadodel problema: determínese la matriz inversa del sistema resuelto en el ejemplo 7.5. Obténgase la solución multiplicando [A]-1Por el vec- tor de términosindependientes: [CIT = [ 7.85 -19.3 71.4 1. Además, obténgase la solución para un vector de términos independientes diferente: [CIT = [2050 151. Solución: auméntese lamatriz de coeficientes con unamatriz identidad: 3 -0.1 -0.2 I 1 o o 0.3 -0.2 10 j O O 1 -0.3 I O 1 O] Usando all como pivote, elrenglón 1 se normaliza y se usaparaelimi- nar a x1 de los otrosrenglones 1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 0.333 333 O 7.003 33 -0.293 333 1-0.033 333 3 o -0.190 O00 10.020 o ~ -0.0999999 o 1
- 276. GAUSS-JORDAN, INVERSldN DEMATRICES Y GAUSS-SEIDEL 265 En seguida, se usa aZ2como pivote y xpse elimina de los otros renglones 1 O -0.068057 , 0.3331750.004739329 0 O 1 -0.041706 1 ~ -0.004739330.142 180 o o 10.012 1 I -0.100900.0270142 O 11 Finalmente, se usa a33como pivote y x3se elimina de los renglones res- tantes: 1 O O I 0.3324890.004922970.00679813 0 0 1 I "0.010 077 9 0.002 698160.099 880 1 1O 1 O I -0.005 164 40.142 293 0.004183 46 Por lo tanto, lainversa es: 0.332 489 0.004 922 97 0.006 798 13 -0.005 164 4 0.142 293 0.004 183 46 "0.010 077 9 0.002 698 16 0.099 880 1 Ahora, la inversa se multiplica por el primer vector de términos indepen- dientes, obteniendo la solución: x1 = 7.85(0.332489) - 19.3(0.00492297) + 71.4(0.006798 13) = 3.000 411 81 x2 = 7.85(-0.005164 4) - 19.3(0.142293) + 71.4(0.004183 46) - 2.488 096 40 x3 = 7.85(-0.010077 9) - 19.3(0.00269816) + 71.4(0.099 880 1) = 7.000 25314 La segundasolución,simplementese obtiene realizando otras multiplica- ciones, como: x1 = 20(0.332489) + 50(0.00492297) + 15(0.006 798 13) = 6.997 90045 x2 = í!O(-0.005 164 4) + 50(0.142 293) + 15(0.004 183 46) = 7.074 113 9 X3 = 20(-0.010 O77 9) + 50(0.002 698 16) + 15(0.099880 1) = 1.431 55150
- 277. 266 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 8.2.1 Cálculos estírnulo-respuesta Como sedijo enla sección III.1.2,muchos de los sistemaslinealesde ecuaciones usados en ingeniería se derivan de las leyes de conservación. La expresión matemática de estas leyes es un tipo de ecuaciónes de ba- lancequeaseguraque se conserve unapropiedadenparticular; masa, fuerza, calor, momento u otras. Enelequilibrio de fuerzas de una estruc- tura, laspropiedadespuedentener componentes horizontales y vertica- lesdelasfuerzas queactúansobrecadanodode la estructura (véase el caso de estudio9.3).Para un balance de masas, las propiedades pueden ser la masa en cada reactor de un proceso químico. Existen ejemplos si- milaresen otroscamposde la ingeniería. Se puede escribir una ecuación simple de balance para cada una de las partes delsistema,generandoun conjunto de ecuaciones que definen el comportamientodelsistema completo. Estas ecuaciones se interrela- cionan o se acoplandemaneraque cada ecuaciónincluyeuna o más delasvariablesdelasotras ecuaciones. En muchas ocasiones, los siste- masson lineales, y por lo tanto, dela forma exacta que se hatratado en estecapítulo: Ahora, en ecuaciones de balance, los términos de la ecuación (8.2) tieneninterpretaciónfísicadefinida.Por ejemplo, los elementos-de [X] representan los valoresdelasvariablesque se estánequilibrandopara cada unadelaspartesdel sistema. Enelequilibrio de fuerzas de la es- tructura, representan las fuerzas verticales y horizontales de cada miem- bro. Enel balance de masas, son las masas de sustancia química en cada uno de los reactores. En cualquier caso, representan las respuestas o es- tadosdelsistemaqueestátratando de determinar. El vector [C]de términos independientes contiene aquellos elemen- tos del balance que son independientes del comportamiento delsistema, esto es, son constantes. Como tales, representanlasfuerzasexternas o los estímulosquemanejan al sistema. Finalmente, lamatriz [A]de coeficientes contiene, en general los pa- rámetros que expresancomo interactúael sistemao su acoplamiento. Por consiguiente, la ecuación (8.2)se puedereexpresar como: [Iteraciones] [respuestas] = [estímulos] Ahora, como se havistoen este capítulo, existen muchas formas de re- solver la ecuación (8.2).Sin embargo, elusodelamatrizinversalleva a un resultado particularmente interesante. La solución formal [Ec. (8.1)] se puedeexpresar como:
- 278. GAUSS-JORDAN,INVERS16N Y GAUSS-SEIDEL 267 o (recordandola definiciónde multiplicaci6n matricial del recuadro111.2): De esta forma, se ha encontrado que lamatrizinvertida misma, además de proporcionar unasolución,tiene propiedadesmuy útiles. Esto es, ca- da uno de sus elementos representa la respuesta deuna parte simple del sistema a un estímulounitarioencualquierpartedelmismo. Nótese que estas formulaciones son lineales y, por lo tanto, se cum- plela superposición y la proporcionalidad.Lasuperposiciónindicaque si un sistema está sujeto a varios estímulos diferentes (lasc), las respues- tas se pueden calcular individualmentey sumarse los resultados paraob- tener la respuesta total. Laproporcionalidadindicaque si se multiplica el estímuloporunacantidad genera unarespuestarespecto al estímulo multiplicadaporlamisma cantidad.Deesta forma, el coeficiente all' es una constante deproporcionalidadqueproporcionaelvalorde x1 debido alnivelun'ttario cl. Este resultado es independiente de los efectos de c2 y c3 sobre xl, los cuales se reflejansobre aA12y aA13respectiva- mente. Por lo tanto, se puedellegar a la conclusióngeneraldeque el elemento a-llj de la matriz invertida representa el valor de x1debido a la cantidadunitariade cj. Usando el ejemplode la estructura, el elemento aAgde lamatrizinversa representa lafuerzaenelmiembro i debido a una fuerza externa individual en el nodo. j. Aun para sistemas pequeños, los comportamientosde las interacciones estímulo respuesta individuales no son obvios. Porlo que, la matriz inversa proporciona una técnica potente para comprender las interrelaciones de partes componentes de sistemas complicados.Esta potencia se demuestra enel caso deestudio 9.3. 8.2.2 La inversa y el malcondicionamiento Además de sus aplicacionesa la ingeniería,la inversa también suministra una maneradediscernircuando los sistemasestán mal condicionados. Existentresmétodosparaestepropósito: 1. Escalar lamatriz decoeficientes [A],detalformaqueel elemento mayor en cada renglón sea 1.Si los elementos de [A]-'son varias órdenes demagnitudmásgrandesquelos elementos de lamatriz original, entonces probablementeéstaesté mal condicionada. 2. Multiplicarlainversaporlamatrizde coeficientes original y estimar siel resultado se encuentra cerca de lamatriz identidad. Si no lo es- tá, entonces haymal condicionamiento.
- 279. 268 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 3. Invertirlamatrizinvertida y estimar siel resultadoestá lo suficiente- mente cerca de lamatriz original. Si no lo está, nuevamente el siste- ma está mal condicionado. 8.2.3 Algoritmo para la inversión matricial El algoritmo de la figura 8.2 se puede modificar para calcularla matriz in- versa.Estoimplica,aumentar lamatriz de coeficientesconuna matriz identidad al principio del programa. Además, alguno de los indices que manejan un ciclo se debe aumentar aldoblepara que los cálculos se Ile- ven a cabo en todas las columnas de la matriz decoeficientes aumentada. Si se incorporaelpivote0parcialenelalgoritmo de Gauss-Jordan, entonces serequierenalgunasmodificacionesadicionales.Esto se debe a que cada vez que un renglón de lamatrizusa un pivote, lacolumnd de lamatriz inversasedebeajustardeformasimilar. La figura8.4ilustra este fenómeno. Por ejemplosi el renglón 3 se usa como pivote o se mueve a la posiciónentre los renglones 1 y 2, se modifica también el “significado”o “interpretación” del renglón2 dela matriz invertida. Envez de indicar el efecto de un cambio unitariode c2 sobre las x, se debeindicar el efecto de un cambiounitariode c3 sobrelas x. Además de las características anteriores, el programa debe diseñarse para que calcule las soluciones de un gran número de vectores de térmi- nos independientes, como se menciona al principio de la sección8:2. Esto se puede llevar a cabo, simplemente colocando un ciclo después de cal- cularlamatrizinversa.Este ciclo puede llevar a usar un vector de térmi- nos independientes, puede entoncesmultiplicarseporlamatriz [A]-’pa- ra obtenerla solución. El procedimientose continúa hasta queel usuario indiqueque no requieremás soluciones. FIGURA 8.4 Esquemagráfico del cambio que se produce en los elementos de la matriz inversa resultante al mover un renglón de la matriz de coeficientes. 8.3 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Los métodos deeliminacióndirectaanalizadosenlas secciones previas se puedenusarpararesolveraproximadamente de 25 a 50 ecuaciones lineales simultáneas. Esta cantidada veces se puede aumentarsiel siste-
- 280. GAUSS-JORDAN,INVERS16N DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 269 maestábien condicionado, si se emplea la estrategiapivotal, si se usan las ecuaciones delerror o silamatriz es disprsa. Sin embargo, debido a loserroresde redondeo, losmétodos de eliminaciónalgunas veces son inadecuados para sistemas muy grandes. En este tipo de problemas, sepuedenusarlos métodos iterativos o deaproximaciónconalguna ventaja. En el capítulo 5 se usan tipos similares detécnicaspara obtener raíces deuna ecuacion. Aquellos planteamientos consistenenelusode un va- lorinicial a partirdel cual, medianteuna técnica sistemáticaseobtiene una mejoraproximación a laraíz.Debido a que en estapartedeltexto se enfrenta un problema similar "la obtención de valores para satisfacer simultáneamenteun conjunto de ecuaciones- se espera que puedan ser útiles talesmétodosdeaproximacióndentro de este contexto. La razónporlacuallos métodositerativossonútilesenla disminu- ción de los erroresde redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de algu- na tolerancia de error previamenteespecificada.De esta forma, el redon- deonoes un problema, ya que se controla elniveldeerror aceptable. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más usado.Supón- gaseque se hadado un conjuntode n ecuaciones: si los elementos de la diagonal son diferentes de cero, la primera ecuación se puederesolverpara xl, la segundapara x2,etcétera, lo quelleva a: [8.3a] [8.3b] [8.3c] cn- anlxl- an2x2- * - X" = an,n-&-1 [8.3d] ann Ahora, se puede empezarel proceso de solución usando un valor ini- cialparalas x. Lasolución trivial puedeservirdevalor inicial, esto es, todas las x valen cero. Estos ceros se puedensustituir en la ecuación (8.3a), que se puede usarparacalcular un nuevovalorde x1 = c1 / all. Lue-, go, se sustituyeelnuevovalorde xl, con x3,...,x,,aunen cero, enla ecuación (8.3b)con lacual se calcula un nuevovalorde x2.Este proce- so se repite en cada una de las ecuaciones hasta llegara la ecuación (8.3d)
- 281. 270 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS la cual calcula un nuevo valor de x,. En seguida se regresa a la primera ecuación y se repite todo el proceso hasta que la solución converja bas- tante cerca de los valores reales. La convergencia se puedeverificar usando el criterio [recuérdese la ecuación (3.5)]: - . E . = a,1 1 I x{ 1'100% < Es ~8.41 para toda i en donde j y j - 1denotan la iteración actual y la anterior. EJEMPLO 8.3 Método de Gauss-Seidel Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Seidely resuélvase el sistema del ejemplo 7.5 y 8.1: 3x1 - 0.1~2- 0.2~3= 7.85 0.1~1+ 7x2 - O.3X3 = -19.3 0.3~1- 0.2~2+ 10x3 = 71.4 Recuerdese que la solución real es x1 = 3, x2 = -2.5 y x? = 7. Solución: en primer lugar. se despejan cada una de las variables sobre la diagonal: 7.85 + 0.1~2+ 0.2~3 3 x1 = -19.3 - 0.1~1+x2 = 7 71.4 - 0.3~1+ 0.2~2 10 x3 = [E8.3.1] [E8.3.2] [E8.3.3] Suponiendo que x2 y x3 son cero, la ecuación (E8.3.1) puede usarse para calcular: 7.85 3 x1 = - = 2.616 666 667 Este valor,juntocon el de = O, puede sustituirse en la ecuación (E8.3.2)obteniendo: -19.3 - 0.1(2.616666 667) + O ="2,794 523 810 x2 = 7
- 282. GAUSS-JORDAN,INVERSIóN DEMATRICES Y GAUSS-SEIDEL 271 La primera iteración se completa sustituyendo los valores de xI y x2cal- culadosenla ecuación (E8.3.3),obteniendo: 71.4- 0.3(2.616 666 667)+ 0.2("2.794 523810) 10 x3 = = 7.005 609 524 Enla segunda iteración, se repiteelmismo procesoobteniendo: 7.85+ 0.1(-2.794 523 810)+ 0.2(7.005 609 524) 3 x1 = = 2.990 556 508)l e u (= 0.31% -19.3 - O.l(Z.990 556 508)+ 0.3(7.005 609 524) 7 x2 = = -2.499 624 684( E " I = 0.015% 71.4- 0.3(2.990 556 508)+ 0.2(-2.499 624 684) x3 = 10 = 7.000 290 81l ~ v l= 0.004 2% El método, por lo tanto, converge a la solución real. Para mejorar las so- luciones se debenaplicaralgunasiteracionesmds.Sinembargo,en este problema, no se debería saber la respuesta a priori. Por consiguiente, la ecuación (8.4)proporciona un medioparaestimarelerror: 2.990 556 508- 2.616 666 667 €0, I = 2.990 556 508 100 = 12.5% -2.499 624 684- (-2.794 523810) -2.499 624 684%,2 = 100= 11.8% -u, J I 7.000290811 I*"" I 7.000 290 811- 7.005 609 524I6. I ) = = 0.076% Nótese que, aligual que cuando se determinanraícesdeuna ecuación, la formulacionestales como la ecuación (8.4),engeneraldanuna eva- luación conservadora de la convergencia. Deesta manera, cuando fun- cionan, aseguranqueelresultadoseconozca al menos dentrode la toleranciaespecificadapor E,.
- 283. 272 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Nótese que el método de Gauss-Seidel, a medida que secalcula un nue- vo valor x, este mismo se usa inmediatamente en la siguiente ecuación que a su vez determina una nuevax. De esta forma, si la solución es con- vergente, se empleala mejor aproximación posible. Un planteamiento di- ferente, al cual se le conoce como iteración de Jacobi, usa una táctica un poco diferente. En vez de usar el Qltimovalor calculado de las x,usa la ecuación (8.3)para calcular un nuevo valor de x en base a la aproxi- mación anterior de las x.De esta forma, al generar un nuevo valor no se usa de inmediato sino que se almacena para la siguienteiteración. La diferencia entre los métodos de Gauss-Seidel y la iteración de Ja- cobi se muestra enla figura 8.5.Aunque existen algunos casos en donde el método de Jacobi converge más rápido,el uso de la Gltima aproxima- ción disponible convierte al método de Gauss-Seidel en el método pre- ferido. 8.3.1 Criterios deconvergenciaen el métododeGauss-Seidel Nótese que el método de Gauss-Seidel es similar en proceso al método simple de iteración de punto fijo usado en la sección 5.1en la solución de raíces de una ecuación. Recuérdese quela iteración de punto fijo tie- ne dosproblemas fundamentales: l)algunas veces no converge y 2) cuar.- do lo hace, es a menudo, muy lento. El método de Gauss-Seideltambién puede tener estas fallas. FIGURA 8.5 Esquema gráficode la diferenciaentre a) el métodode Gauss-Seidel y b) el metododeiteracióndeJacobi, en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas.
- 284. GAUSS-JORDAN,NVERSIóN Y GAUSS-SEIDEL 273 Una condición de convergencia es que los coeficientes sobre la dia- cJonalde cada una delas ecuaciones sea mayor quela suma de los otros coeficientes enla ecuación. Una expresión cuantitativade este criterio es: I b i r l =-wJL,I ~3.51 En donde la sumatoria varía desde j = 1 hasta n , excluyendo j = i. La ecuación (8.5)es un criterio de convergencia suficiente pero no necesa- rio. Esto es, aunque el método trabaje algunas veces sin que la ecuación (8.5)se cumpla, se garantiza la convergencia siempre y cuando (8.5)si se cumpla.A los sistemas donde secumple la ecuación (8.5)se les cono- ce como diagonalmente dominantes.Afortunadamente, muchos proble- mas de ingeniería de importanciapráctica llenan esterequisito. 8.3.2. Mejoramiento enla convergencia usando relajación La relajación representa una pequeña modificación del método de Gauss- Seidel y está diseñada para aumentar la Convergencia. Después que ca- da nuevo valor de x se calcula usando la ecuación (8.3),el valor se mo- difica mediante un promedio pesado de los resultados de las iteraciones anteriores y actuales: X,nUeLo -- AX,nueL'o + (1- ~ ) x , ~ a s a ~ ~ o P .61 en donde X es un factor de peso al cual se le asigna un valor entre-Oy 2. Si X = 1,(1- X ) es igual a cero y el resultado permanece inaltera- do. Sin embargo, si a X se le asigna un valor entre O y 1,el resultado es un promedio pesado de los resultados previos y actuales. A este tipo de modificación se le conoce como sobrerrelajación.Por lo general, esta opción se emplea paraconvertir un sistema divergente en uno convergente. Si X se encuentra entre1y 2 se considera otro peso enel valor actual.. En este ejemplo, existe una suposición implicita de que el nuevo valor se mueve en la dirección correcta hacia la solución real pero con una ve- locidad muy lenta. De esta forma, el peso agregado a X intenta mejorar la aproximación empujándola hacia la real. Porlo que estetipo de modi- ficación, al cual se le llama sobrerrelajación,está diseñado para acelerar la convergencia de un sistema que ya es convergente. La elección de un valor adecuado deX es un problema altamente es- pecífico y a menudo se determina por prueba y error. En general es ine- cesario en la solución de un sistema. Sin embargo, siel sistema bajo estudio se va a resolver varias veces, entonces puede ser de gran importancia una buena elección de X. Algunos ejemplos son los sistemas muy grandes de ecuaciones diferenciales parcialesque a menudotratan de modelar cam- bios en sistemas de variable continua (recuérdese el sistema a rnicroesca- la mostrado en la figura 1II.lb). El segundo caso de estudio del capítulo 9 muestra un ejemplo del empleo dela relajación dentro de un contexto de problemas de ingeniería.
- 285. 274 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS 8.3.3 Algoritmo del método de Gauss-Seidel En lafigura 8.6se muestraun algoritmo del método de Gauss-Seidel con relajación.Nótese que este algoritmo no estágarantizado para obtener resultados adecuados si las ecuaciones no son de tipo diagonalmente do- minante. Una manera demodificar el algoritmo para tomar un poco en cuenta esta desventaja es la de buscar los coeficientes de cada ecuación durante cada una delas iteraciones e identificar el mayor de ellos. La ecuación en turno se resuelve para el va!or de x asociadacon el coeficiente. En el siguiente cálculo, se rastrean los coeficientes de los valores restantes de x y se encuentra el coeficiente mayor. La ecuación se resuelve para el valor correspondiente de x. Procediendode esta manera,seaumentan al máximo las opor- tunidades de alcanzar unadominanciadiagonal. Sin embargo el es- quemano garantiza éxito en sistemas de alta divergencia.Porotra parte,no sería fácil de programar un algoritmo queimplementeeste esquema 8.3.4 ProblemasdecontextoenelmétododeGauss-Seidel Además deevitar el problema del redondeo, el método de Gauss-Seide! tiene otras ventajas quelo hacen particularmente atractivo en el contexto de ciertosproblemas de ingeniería. Porejemplo,cuando lamatriz en cuestión sea muy grande y muy dispersa (esto es, que la mayor parte de los elementos son ceros,los métodos deeliminación gastan una grancan- tidad de memoria para almacenar los ceros. En el recuadro 7.2, se muestra como puede evitarse este problema si la matriz de coeficientes es banda. Para sistemas diferentes, no es fácil evitar el uso de cantidades grandes de memoria, cuando se usan méto- dos deeliminación. Ya que todas las computadoras tienen una cantidad finita de memoria, esta ineficiencia puede llegar a ser una restricción real en el tamaño del sistema para el que, los métodos de eliminación resul- tanprácticos. Aunque un algoritmo general como el de la figura (8.6)está propen- sa a la misma restricción, la estructura de las ecuaciones de Gauss-Seidel [€c.(8.3)]permitedesarrollar programas concisos para sistemas espe- cíficos. Ya que en la ecuación (8.3)se necesita almacenar sólo los coefi- cientesdiferentes decero, es posible ahorrargrandescantidades de memoria.Aunqueestoimponemayorcostoen la inversión de desa- rrollo de programas, las ventajas a largo plazo son sustanciales cuando se manejansistemas grandes sobre los que se pueden realizar varios procesos. Los sistemas macro-y microvariables pueden generar matrices grandes y dispersaspara las cuales se utilizael método de Gauss- Seidel. En el caso de estudio 9.2 se trabaja un pocomás sobreestos puntos.
- 286. FIGURA 8.6 Diagrama de fluio del métodode Gauss-Seidel con rela- jación. 275
- 287. 276 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS PROBLEMAS Cálculos a Mano 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver el problema 7.6 Determínese la matriz inversa del problema 7.6. Compruébenselos resultados mul- tiplicando [A] por[A]" y obténgase lamatriz identidad. Usando el método de Gauss-Jordan, repítase el problema 7.9 Determínese la matriz inversa del problema 7.9. Compruébense los resultadosve- rificando que [A][A]" = [!] . Evítese el uso de la estrategia del pivoteo. Usando el método de Gauss-Jordan, conpivoteo parcial, calcúlese lamatriz in- versadelproblema 7.10. Ordenando la inversadetal forma, que los renglones y las columnas conformenla secuencia de la matriz original anterior al pivoteo (véase lafigura 8.4 y el análisis de la sección 8.2.3). Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver: 10x1 - 3x2 + 6x3 = 24.5 1x1 + 8x2 - 2x3 = -9 "2x1 + 4x2 - 9x3 -50 Determínese lamatriz inversadelproblema 8.6. Úsese la inversapararesolver el problemaoriginal así como para resolver el caso adicional en donde el vector de términos independientes es [CIT= [110 55 - 1051. Resuélvase el problema 8.6 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de paro del E, = 10 % . Resuélvase el problema 7.8 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de paro del t, = 10 % . - 6 ~ 1+ 12x3 = 60 4x1 - x2 - x3 = -2 6x1 + 8x2 = 4 4
- 288. GAUSS-JORDAN, INVERSldN DEMATRICES Y GAUSS-SEIDEL 277 8.12 Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones: usando a) eliminación gaussiana, b) el método de Gauss-Jordan y c) el método de Gauss-Seidel (es = 5 % ). 8.13 Resuélvase el siguientesistema de ecuaciones: usando a) eliminación gaussiana, b) el método de Gauss-Jordan y C) el método de Gauss-Seidel (E, = 5 % ). Problemas relacionados con la computadora 8.14 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jordan, basado en lafigura 8.2. Agréguese un esquema similaral mostradoen lafigura 7.10 empleando pivoteoparcial. 8.15 Pruébese el programa del problema anterior duplicandolos cálculos delejemplo8.1 8.16 Repítanse los problemas 7.6 y 7.8 hasta el 7.11 usando los programas desarrolla- dos enel problema 8.14. 8.17 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jordan, coninversión de matrices y pivoteo parcial.Inclúyanse dentro delprogramalas características sugeridasen la sección 8.2.3. 8.18 Repítanse los problemas 8.5 y 8.7 usando los programas desarrolladosen el pro- blema anterior. 8.19 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Seidel basado en la figura 8.6.Hágase de tal forma que compruebe el criterio de conver- gencia expresado por la ecuación (8.5). Además, inclúyaserelajación como en la ecuación (8.6). 8.20 Pruébese el programadesarrolladoen el problemaanterior usando un duplicado del ejemplo 8.3. 8.21 Usando elprogramadel problema 8.19,repítanse los problemas8.8hastael 8.11.
- 290. C A P í T U L ON U E V E CASOS DE LAPARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES El propósito de este capítulo, es el de usar los procedimientos analizados en los capítulos 7 y 8 en la solución de sistemas de ecuaciones algebrai- cas lineales en algunas aplicaciones de ingeniería. Estos métodos numé- ricossistemáticos,son de importanciapráctica ya que losingenieros encuentran frecuentementeproblemas que implican la solución de siste- mas de ecuaciones demasiado grandes para resolverse a mano. Los al- goritmos numéricos son particularmente convenientes en estas aplicaciones ya quepuedenimplementarseenmicrocomputadoras. Entre otras cosas, los casos de estudio se han elaborado de manera que proporcionen ilustraciones reales de las características yfactores de importancia mencionados en los capítulos teóricos. Por ejemplo, el caso 9.1 muestra una ilustración simple decómo usar las ecuaciones algebrai- cas lineales para satisfacerde forma simultánea cierta cantidad decondi- ciones independientes.Además, seusa ectecaso de estudio para mostrar la utilidad de la matriz inversa como una herramienta analítica, dentro del contexto de estos problemas. Aunquese ha tomado este ejemplodel cam- po de la ingeniería general, la idea básica tiene importancia en una gran variedadde contextos técnicos y analíticos. El caso 9.2, tomado de laingenieríaquímica, es un ejemplo de un sistema de variable continua (o microvariable).El caso de estudioilustra cómo se pueden emplear las diferencias finitas enlatransformación de ecuaciones diferenciales en algebraicas. Al hacerlo así, se puedenusar losmétodosdesolucióndesarrolladosenloscapítulos 7 y 8 y obtener las soluciones.Aunque el ejemplo pertenece a la predicción detempera- turas en sólidos, se utilizael planteamiento general para simularla distri- bución continua de muchas otras variables de la ingeniería tales como la velocidad, lafuerza y la masa. En contraste, los casos 9.3, 9.4 y 9.5 analizansistemas de variable discreta (o macrovariable).El caso 9.3hace hincapié en el uso de la ma- triz inversaenla determinación delcomplejo de las reacciones al aplicar cargas a unaestructura. El caso 9.4 es un ejemplodel uso delasleyes de Kirchhoff en el cálculo de corrientes y voltajes en un circuito de resis-
- 291. 280 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS tencias. Finalmente, el caso 9.5 muestra cómo se emplean las ecuacio- nes lineales para determinar la dinámica de partículas y cuerpos rígidos. CASO 9.1 DISTRIBUCIóN DE RECURSOS(INGENIERíA ENGENERAL) Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situacionesen las que ladistribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizarinventarios de construcción, distri- bución de productos y recursos enla ingeniería.Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricaciónde productos, el análisis ge- neraltieneimportanciaen un ampliopanoramadeotrosproblemas. Un ingenieroindustrialsupervisalaproduccióndecuatrotiposde computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos -horas-Hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos- enla producción. En el cuadro 9.1 se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos enla produccióndecadatipode computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 kg de metal, 970 kg de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿cuántascomputadoras de cada tipo se puedenconstruirpordía?. Solución: la cantidad total producida de cada computadora está restrin- gida al total de recursos disponiblesen cada categoría diariamente. Estos recursostotales se distribuyen entre los cuatrotiposdecomputadoras. Sea xl,x,,x,,y x4la cantidad total de computadoras producidas dia- riamentedecada clase. Se sabe que la cantidadtotal de horas-hombre disponibles diariamente es de 504. Por lo tanto, la sumadelasdistribu- ciones de horas-hombre enla produccióndecadaunadelas computa- dorasdebesermenor o igual que 504. Por lo tanto (usando los datos del cuadro 9.l), 3x1+ 4x2 + 7x3 + 20x4 5 504 r9.11 Delamisma manerapara los metales, plásticos y componentes: 20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 5 1970 10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 5 970 loxl + 8x2 + lox3 + 15x4 5 601 Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la pro- ducción de los cuatro tipos de computadoras. Silos recursos disponibles, representadospor el vectordetérminosindependientesde las ecua- ciones anteriores,se reducen todosa cero simultáneamente,entonces se
- 292. CASOS DE LAPARTE TRES: SISTEMASDEECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 281 CUADRO 9.1 Recursos necesarios para producir cuatro tipos de computadoras Horas/Metales PlásticosComponen- hombre, kglcompu- kglcompu- tes, unida- Compu- kglcompu- tadoratadora deslcompu- tadora 1 3 201010 2 4 2515 a 3 7 40 2010 4 20 50 2215 puede reemplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso, la cantidad total de cadatipo de computadoraproducida se puedecalcu- lar resolviendo un sistema de. ecuacionesde 4por 4 usando los métodos de los capítulos 7 y 8. Ya que este sistema no es diagonalmente dominante, el método de Gauss-Seidel puede divergir. Sin embargo, se puede aplicar la elimina- ción gaussiana o el método de Gauss-Jordany calcular: x1 = 10 x2 = 12 x3 = 18 = 15 Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales.Por ejem- plo, supóngase quelas ganancias correspondientes a cada computadora están dadas por p1,p2,p3,y p4.La ganancia total asociada con un día de actividad (P)está dada por p = PlXl + P2X2 + P3X3 + P4x1 P.51 Se sustituyen los resultados de x,= 10,x2= 12,x,= 18 y x4= 15 en la ecuación (9.5)y se calcula una ganancia de (usando los coeficien- tes del cuadro 9.2): P = 1 OOO(l0) + 700 (12) + 1 lOO(18) + 400(15) = 44 200 CUADRO 9.2 Ganancias correspondientesa cada una de las cuatro computadoras. Computadora $I computadora 1 2 3 Ganancias 1 O00 700 1 100
- 293. 282 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS De esta forma, se puede obtener una ganancia de $44 200 diarios, con los recursosespecificados enel problema. Ahora, supóngasequeexiste laposibilidad de aumentarcualquie- ra de los recursos disponibles. Un objetivoeseldevalorarquérecursosse debenescogerde talformaquegenerenlamayorganancia.Unamanera de hacerlo es el de incrementar cada uno de los cuatro recursos individual- mente, calcularlasganancias y posteriormentecomparar los resultados. Una alternativamás simple se basa en la matriz inversa, que se puede calcularusando el métodode Gauss-Jordan, como: [ 1 -0.081 7 0.0396 -0.146 5 0.191 8 [A]" = 0.1066 -0.225 6 0.408 5 0.010 7 -0.136 8 0.172 8 "0.190 9 -0.113 7 0.088 8 -0.021 3 0.007 1 0.0089 Cada uno de los elementos aij~'indicaelcrecimientoenlacomputadora i debido al crecimientounitariodelrecurso j. Por ejemplo, el elemento alyl especifica un incrementounitariode 0.039 6 delacomputadora 1 cuan- doseagrega un kilogramodemetal.Nótesequealgunosde los coeficientes son negativos, indicando que un incremento unitario en algunos recursos ba- jalaproduccióndeesetipodecomputadora. Ahora,con esta información como antecedente,se puede llevara cabo un evaluación rápida sobre los beneficios obtenidos al incrementar cada uno de los recursos multiplicandolos elementos de cada columna por la gananciaunitariadelcuadro 9.2. Por ejemplo, enlaprimera columna: API = -0.081 7(1 000) + 0.1066(700) - 0.136 8(1100) +0.088 8(400) = -122.04 en donde A Pj es el incremento en gananciasdebido a un incremento al recursoj . De esta forma, un incremento unitario enhoras-hombrebaja en $122.04 las ganancias. Se pueden llevar a cabo cálculos similaresso- bre los otros recursos, para obtener: Ap2 = $ 63.24 A% = $-67.70 AP4 = $ 77.78 De esta forma, un incrementode componentes 0' = 4 genera una mayor ganancia, seguida por el aumento en los metales 0'= 2). El análisis indi- ca tambiénque un incremento en losplásticos 0' = 3) genera pérdidas. El problema anterior es una variación del análisis general sobre eco- nomíaconocidocorno modelo de entrada-salida. Este ejemplo, difiere de la aplicación clásica de esta técnica enla cuantificación de transferen- cia de materialentre los sectores dela economía. Sin embargo, el USO de la matriz inversa profundiza en interacciones complejas de sistemasli- neales y es muy representativo del proceso del modelo de entrada-salida.
- 294. CASOS DELAPARTE: ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 283 Como tal, ayuda a ilustrar cómo los métodos numéricos aumentanla com- prensión al manejarsistemasacoplados muy grandes. CASO 9.2 CALCULO DEDISTRIBUCIóNDETEMPERATURAS (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: la mayorpartedelosdiferentescamposde la ingeniería manejan distribuciones de temperatura en materiales sólidos. Estos pro- blemas son tan variadoscomo la distribuciónde temperaturaen un cono de proareentrante y la temperatura de un río bajo una planta de energía productora de hielo. La distribución de temperatura en estadoestaciona- riobidimensional se defineporlaecuación de Laplace: a2T a2T - + - = oax2 ay2 ~9.61 en donde Tes la temperaturay x y y son las coordenadas. Las derivadas de la ecuación (9.6)se aproximan usando diferencias finitas(véasela sec- ción 3.5.4).La figura9.1 muestra una malla bidimensional,esquema útil enlas aproximaciones desarrolladas para la ecuación (9.6). Las aproxi- macionespordiferenciasdivididas de lasderivadas son: aT AT ?;+l,j - T.,- =" - dxAxAx y de manerasimilar, En seguida,suponiendo que A x = A y, la ecuación de Laplace se pue- deaproximar como: T +1,j + T - I,, + T,j+ 1 + T,j- 1 - 4T,j = O P .71 lacual es aplicable a cada nodo i , j de lafigura 9.1. Parece serque al aplicar la ecuación (9.7) a cadanodoresulta un sistema de ecuaciones acopladas, ya que la temperatura envarias posiciones aparece enmás deuna ecuación. Esto produce un sistemade ecuaciones algebraicas li- neales simultáneas, que se puedenresolverusando los métodos descri- tos en los capítulos 7 y 8. Considérese la placa plana de lafigura 9.2 Los lados de la placa se mantienen a temperaturasconstantesde O" y loooC, como se muestra
- 295. 284 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 9.1 Malla bidimensional que se usa enel desarrollo de aproximaciones por diferencias finitas dela temperatura sobre una placa plana. FIGURA 9.2 Placaplana en donde se mantienen los iodos a temperaturas constantes de O' y 100°C, como se indica en lafigura.
- 296. CASOS DE LAPARTE TRES: SISTEMASDE ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 285 enla figura. La distribución de la temperatura dentro de la placa se pue- de aproximar en nueve puntos internos aplicando la ecuación de Lapla- ce en cada punto. Esto genera el siguiente conjunto de ecuaciones dado en notaciónmatricial: r - 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 - 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 - 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 4 1 0 1 0 0 o 1 o 1 - 4 1 o 1 o 0 0 1 0 1 - 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 - 4 1 L o o o o o 1 o 1 - 4 T2 IT3 I T 2 i I T22T23 ITH I -100 -100 -200 O O -100 O O -100 Solución: se observaque elsistemaresultante de ecuaciones es diago- nalmente dominantey, por lo tanto, compatible conel método de Gauss- Seidel delcapítulo 8. En este caso, se garantiza la convergencia ya que se satisface la ecuación (8.5).Se aseguratambiénexactitudyaque los errores de redondeo no son problema en el método de Gauss-Seidel. Usan- douna E , = 0.05% después de 13 iteraciones se obtienen los resultados siguientes: FIGURA 9.3 Distribución de la temperatura sobreunaplaca plana, calculadacon el método de Gauss-Seidel.
- 297. 286 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS Los resultados se muestran en la figura 9.3. La simulaciónse lleva a cabocon el método estándarde Gauss-Seidel. Debido a que estesistema es convergente,la relajación puede servir para acelerar la convergencia.Por lotanto, serepiten dos veces más los cálculos, usando X = 1.25 y X = 1.5. Los resultados, que se grafican en la figura 9.4, sugieren un valor de X en la vecindad de 1.25.Usando las técnicas descritas en el capitulo 11 (nótese que se puedeusar un bosquejo para obtener un valor aproxima- do),se ajusta una ecuación cuadrática alos puntos dela figura (9.4).Esta ecuación es: n = 96A2 - 236A + 153 en donde n es el número deiteraciones correspondiente aun valor parti- cular de X. Se puededeterminar un mínimo derivandola ecuación y ob- teniendo: FIGURA 9.4 Gráfica delnúmero de iteracionescontra X,elcoeficiente de relajación. Los trespuntos proporcionados como datos sugieren un número mínimo de iteraciones en la vecin- dad de X = 1.25. Ajustando una parábola a los datos, se puede calcular que el nú- mero mínimo de iteraciones corresponde al valor de X = 1.23.
- 298. CASOSDE TRES: SISTEMASDEECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 287 dn dA " - 192A - 236 Elmínimo se encuentra cuando dn / dh es cero, locualllevaalpunto donde la pendiente de lafigura 9.4 es nula. En este caso, se determina un valor de h = 1.23Volviendo a realizar los cálculos con estecoeficien- tederelajación se obtiene la soluciónensólo ocho iteraciones. De esta forma, si se van a realizarmáscálculosparaesteproblema en particular, se debeemplearunavalorde h = 1.2 para alcanzar los resultados más eficientes.En este caso, el ahorro de tiem- po en un solo cálculo es despreciable. Sinembargo,en la simulación múl- tiple de sistemasgrandes, la elección acertada deh posiblemente redituará ahorrossustanciales. Este tipo de procedimientose puede extendera problemas máscom- plejos queincluyen esquemas geométricos irregulares. Los problemas prác- ticos de este tipo requieren algunas capacidades de cálculo automáticas, pero, excepto en casos desistemasextremadamente grandes, una mi- crocomputadorallenarátodoslosrequisitos. CASO 9.3 ANALISIS DE UNA ARMADURA ESTATICAMENTE DETERMINADA (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: un problemadeimportanciaeningenieríaestructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura es- táticamente determinada. La figura 9.5 muestra un ejemplo de tales ar- maduras. FIGURA 9.5 Fuerzas que actuánsobreunaarmadura estáticarnente determinada.
- 299. 288 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Las fuerzas ( F ) representan ya sea las tensiones o lascompresiones de los elementos dela estructura. Las reacciones externas (H2V2 V,) sonfuerzasquecaracterizan cómo interacciona la armaduracon la su- perficie quela soporta. El gozne del nodo2 puede transmitir fuerzas hori- zontalesy verticalesa la superficie, mientras queel rodillo del nodo 3 sólo transmite fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de 1 O00 kg se distribuye a todos los elementos de la armadura. Solución: este tipodeestructuras se puedendescribir como un sistema de ecuaciones algebraicaslineales acopladas. En la figura 9.6 se mues- tran los diagramas de cuerpo libre sobre cada nodo. La suma de las fuer- zasenlas direccionesvertical y horizontaldebeser cero en cada nodo, ya que el sistema se encuentra en reposo. Por lo tanto, para el nodo 1: XFV= O = -Flsen 30" - F3sen60" + F1," P.91 para el nodo 2: XFv= O = Flsen 30" + Fz,u + VZ [9.11] para el nodo 3: XFv = O = F3sen 60" + F3,"+ V3 [9.13] FIGURA 9.6 Diagramas de cuerpo libre en los nodos de laarmadura estáticamente determinada.
- 300. CASOSDE TRES: SISTEMASDEECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 289 en donde Fj,hes la fuerza horizontal externa aplicada al nodo i (una fuer- za positivava de izquierda a derecha) y F;,"es lafuerzavertical externa aplicada al nodo i (unafuerzapositivavadearriba hacia abajo). De esta manera, en este problema, la fuerza hacia abajo de 1 O00 kg sobre el no- do 1corresponde a F,," = - 1000. En este caso lasfuerzasrestantes Fj,v,F;,hson cero. Nótese que la dirección de las fuerzas y reacciones inter- nas son desconocidas. La aplicación correcta de la segunda ley de New- tonrequiereGnicamentequelassuposicionesrelacionadasconlas direcciones sean consistentes. Si las direccionesno se toman correctamente, entonces la solución será negativa. También nótese que en este proble- malasfuerzasde todoslos elementos se suponequeestán entensión y que actúan jalando a lavez a los nodos adyacentes. Este problema se puedeescribir como el siguientesistemadeseis ecuaciones conseis in- cógnitas: - 0.866 O -0.5 O 0 0 0.5 O 0.866 O O O -0.866 -1 O -1 o o -0.5 O 0 o -1 o O 1 0.5 O 0 0 O O -0.866 O O -1 Nótese que, como seformulaenla ecuación (9.14), i O - -1000 - 0 o- E9.141 J parcial para evitar divisiones porcero sobre loselementos de la diagonal. Empleando una estrategia de pivoteo, el sistema se puede resolver usan- dolas técnicas de eliminación analizadas en los capítulos 7 y 8. Sin em- bargo, debido a queesteproblemaes un caso deestudioidealpara demostrar la utilidad de la matriz inversa, seusa el método de Gauss-Jordan para obtener: y lamatrizinversa es: [A]-1 = 0.866 0.5 O 0 0 0 0.25 -0.433 O O 1 O -0.5 0.866 O O O O -1 O -1 o -1 o -0.433 -0.25 O -1 O O 0.433-0.75 O O O -1 se requiere-pivote0 Ahora, supóngase que el vector de términos independientes representa las fuerzas horizontalesy verticales aplicadas externamentea cada nodo, como:
- 301. 290 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Debido aque las fuerzas externas no tienen efecto sobrela matriz de coe- ficientes, el método de Gauss-Jordan no senecesita implementar una y otra vez para analizar el efecto de las fuerzas externas diferentes sobre la ar- madura. Envez de esto, todo lo que se tiene que hacer es multiplicar la matriz inversa por cada uno delos vectores de términos independien- tes para obtener soluciones alternativas diferentes. Por ejemplo, podría desearse estudiar el efecto de las fuerzas horizontales producidas por el viento que sopla de izquierda a derecha. Si la fuerza eólica se puede re- presentar como dos fuerzas puntuales de 1O00 kg cada una sobre los nodos 1y 2 (Fig.9.7),entonces el vector de términos independientes es: [Vector de términos independiente^]^ = [1O00 O 1 O00 O O O] que se puede multiplicar por lamatriz inversa para dar: Fl = 866 F 2 = 250 F3 = -500 H* = -2000 v2 = -433 v. = 433 Para un viento de derecha, Fj,h = -1 000, F3,h = -1000, y todas las demás fuerzas externas son cero, resultando: FI = -866 F2 = -1250 F3 500 H, = 2000 v, = 433 v, = -433 Losresultados indican que los vientos han tenido marcados efectos dife- rentes sobre la estructura. Ambos casos se muestran en la figura 9.7. Los elementos individuales de la matriz invertida tienen también utilidad directa en el esclarecimientode las interacciones carga-respuestade la es- tructura. Cada uno de los elementos representa el cambio de una de las variables hacia un cambio unitario de uno de las cargas externas.Por ejem- plo, e] elemento aG1 indica que la tercera incógnita F3) cambiará 0.866 "~ FIGURA 9.7 Dos casos de carga que muestran a) vientos de izquierda y b) vientos dederecha.
- 302. CASOSDEASES 291 debido a la carga unitaria de la segunda carga externa F1,”).De esta for- ma, sila cargaverticalenelprimernodo se aumenta en uno, entonces F3se incrementa en 0.866. El hecho de que los elementos sean cero in- dica que ciertas incógnitaspermanecen inalteradas por alguna de lascar- gas externas. Por ejemplo, a = O significaque F, nosealterapor cambiosen FZ,h.Estahabilidaddeaislar interacciones tiene unacantidad deaplicaciones enla ingenieríaincluyendo la identificacióndeaquellos componentes que son más sensibles a las cargas externas y, por lo tanto estánmáspropensos a lafalla. El planteamiento anterior vienea ser particularmente útil cuando se apli- ca a estructuras complejas. Enla práctica de la ingenieria puede necesi- tarse la solución de estructuras con cientos o talvezmiles de elementos estructurales. Las ecuacioneslineales son una herramienta útil enla com- prensióndelcomportamiento de estasestructuras. CASO 9.4 CORRIENTESY VOLTAJESENCIRCUITOSRESISTIVOS (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: un problema comúnen la ingeniería eléctrica es aquel que implicala determinación de corrientes y voltajes envarias posiciones de ley de corriente de Kirchhoffy laley de Ohm. La ley de la corriente dice que la sumaalgebraicadetodaslascorrientessobre un nododebeser cero (Fig. 9.8a), o il Nodo i, circuitos complejos deresistencias. Estos problemas se resuelvencon la ” I . ‘2 Cik = O [9.16] endondetodaslascorrientesqueentran al nodo tienen signo positivo. a) Y Rif 1: LaleydeOhmdice que la corriente a travésdeunaresistenciaestá .”.,‘ ’ ” , * - dada enfuncióndelcambio de voltaje y de la resistencia (Fig. 9.8b), ‘i/ b) FIGURA 9.8 Represen- tación esquemáticade la a)leyde la corrientede Kirchhoff y b)leyde Ohm. 3 R = l O R 2 R = 5 R v, = 200 v R = 5 nO R & = o v R = l 5 R R = 2 0 R 6 [9.17] FIGURA 9.9 Solucióndelcircuito deuna resistencia usando ecuaciones algebraicas linealessirnul- táneas.
- 303. 292 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIEROS 3 2 1 154 '65 c- -4 5 6 FIGURA 9.10 Direccionesen las cuales se supone quecircula la corriente. Solución: los problemas de este tipo generan sistemas de ecuaciones al- gebraicas lineales simultáneasya quelosciclosdentro de un circuito es- tán acoplados conlos otros. Porejemplo, considérese el circuito mostrado en la figura 9.9. Se desconoce la magnitud y la dirección de las corrientes asociadas con este circuito. Esto no presenta gran dificultad ya que sim- plemente se supone una dirección para cada corriente. Si la solución re- sultante de laley de Kirchhoff es negativa, entonces la dirección dada es incorrecta. Por ejemplo, lafigura 9.10 muestralas corrientes supuestas. Dadas estas ecuaciones, las cuatro ecuaciones de las corrientes para cada nodoestándadas por: iI2 + + = O i&- is2 - i.54 = o i43 - i32 = o i54 - i43 = O y lasseis ecuaciones delvoltaje como: 200 - v, . v 5 - v4 . v5 - v,= 5 154 - 15 152 = - 10 en donde la corriente fluye del voltaje más alto almás bajo. Estas ecua- ciones sonequivalentes a la siguientenotaciónmatricial: 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 o o 0 - 1 1 - 1 o o o o 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 o O 0 o 1 - 1 o o 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 - 1 0 O O 0 1 5 0 O 0 O 1 - 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 o o o O 0 1 0 1 o 0 - 1 I O O O O = o ZOO O O O O
- 304. CASOSDE 293 V = 153.85 i’=169.23 V = 200 : c 8 li = 146.15 I/= 123.08 V = O FIGURA 9.11 Solución de voltajes y corrientesobtenidos usando un método de eliminación. que representa un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. Aunque es impráctico resolver este sistemaa mano, se puede resolver fácilmente usando un métododeeliminacióntal como la eliminacióngaussiana o el métodode Gauss-Jordan. De esta manera, la solución es: i12 = 6.153 8 ¡a = -6.153 8 V4 = 146.15 ¡32 = -1.538 5 i52 = -4.615 4 V, = 123.08 iS4 = -1.538 5 V3 = 153.85 i43 = - 1.538 5 V2 = 169.23 Por lo tanto, con una interpretación apropiadade los signos en los resul- tados, lafigura 9.11 muestralascorrientes y los voltajesenelcircuito. Evidentemente se obtendríanmayoresventajas si se usaranalgoritmos numéricos y microcornputadoras en esteproblema. CASO 9.5 DINÁMICA DE PARTíCULAS Y CUERPOS RíGIDOS FIGURA 9.12 Tres bloques conectados por cuerdos de pe- so despreciable sobreun plano inclinado. (INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: la dinámica del movimiento de partículasy de los cuerpos rígidos juega un papel muy importante en muchos problemasde mecáni- ca y otros campos de la ingeniería.Estemovimiento se puededescribir mediante las leyes de Newton. La aplicación de las leyesde Newton para partículas simplesgenera dos ecuaciones. Sin embargo, si algunas partí- culas del sistema afectana otras, entonces se puede generar un gran nú- merode ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, considérese el sistema mostrado en la figura 9.12. Hay tres bloques atados por una cuerdade peso despreciable apoyados sobre unasuperficielisainclinada45O respecto a lahorizontal.El coeficiente de fricción entre el plano y la masa de 100 kg es de 0.25 y entre las ma- sas de 50 y 20 kg es de 0.375. Solución: en la figura 9.13 se muestran los diagramasde cuerpo libre de los tres bloques. Las unidades de las fuerzas son newtons (kilogramos por
- 305. 294 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS T R 100 X 9.8 = 980 50 x 9.8 = 490 20 X 9.8 = 196 FIGURA 9.13 Diagramas de cuerpo libre para los bloques sobre un planoinclinado. metro por segundo al cuadrado), m es la masa en kilogramos y a es la aceleración en metros por segundo al cuadrado.Sumando fuerzas en direcciónparalela al plano y usando la segunda ley de Newton (F = ma), 692.96 - 173.24 - T = lOOa 346.48 - 129.93 + T - R = 50a 138.59 - 51.97 + R = 2 0 ~ o. en forma matricial: Resolviendo este sistemacon eliminación gaussiana, se obtiene: a = 4.840 5 m/s2 T = 36.667 1N R = 10.190 6 N El expresar las ecuaciones del movimiento enforma matricial es un planteamientogeneral y adaptableparaproblemas de este tipo. Aunque el problema que se resolvió aquí fue fácil, el caso de estudio sirve para ilustrar el planteamientogeneral e inspirar, al menoseso se espera. las aplicaciones a problemasmás difíciles. Cuando se jun- tan con un métodonumérico y unamicrocomputadora, son una herramientamuy útil quesepuede usaren una granvariedad de problemascomplejos.
- 306. CASOSDE DE ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 295 PROBLEMAS Ingenieríaen general 9.1 Repítanse los cálculos del caso 9.1 usando los programas propios. 9.2 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.1, cambiando los totales de horas- hombre, metales, plásticos y componentes a 856 h,3 050 kg, 1450 kg y 948 unidades respectivamente. 9.3 Un ingenierosupervisala producción de trestipos de automóviles. Se requieren tres clases de materiales "metal, plástico y caucho- para la producción. La cantidad necesaria para producir cada automóvil es de Auto- Metalr Plirtiro, Cauchor móvil kglauto kglauto kglauto 1 1500 25 1O0 2 1700 33 120 3 1900 42 160 Si se dispone de un totalde 106 toneladas de metal, 2.17 toneladas de pltistico y 8.2toneladas de caucho diariamente, ¿cuántos automóvilesse pueden producir pordía?. 9.4 Un ingeniero requiere 4 800 m3 de arena, 5 810 m3 de gravafina y 5 690 m3 de gravagruesapara la construcción de un proyecto. Existentres bancos donde se pueden obtener estos materiales. La composición en cada banco es de: ~~~ Banco Arena Grava fina, Grava TO 010 010 gruesa O/o banco 1 52 30 banco 2 2050 banco 3 2520 18 30 55 ¿Cuántos metros cúbicos se debe tomar de cada banco para cumplir con lasnecesi- dades del ingeniero? Ingenieríaquímica 9.5 Repítanse los cálculos del caso 9.2 con los programas propios. 9.6 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.2 cambiando la temperatura de la pared a 200°C.
- 307. 296 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS 9.7 Usando elmismo planteamientodel caso 9.2,calcúlese ladistribución de tempera- tura en una varilla calentada en ambos extremos, como se muestra en la figura P9.7. Aplíquese la formaunidimensionalde la ecuación (9.6): d2T dx2 -__-- 0 en donde x es la distancia a lo largo de lavarilla. Grafíquese Tcontra x. FIGURA P9.7 Una varilla unidimensional se mantieneoislado a una temperaturaconstante en sus extremos. Los puntos indican las posiciones en donde debe aplicarse la forma unidi- mensional de la ecuaciól (9.6)para calcular la distribución de la temperatura a lo largo de la varilla. 9.8 Repítase el problema 9.7 incluyendounapérdida de caloren la ecuación: en donde r es el coeficiente depérdidade calor, igual a 0.01 cm -’y lalongitud de lavarilla es de 10 cm. Grafiquese T contra x. 9.9 La figura P9.9 muestratres reactores ligados por tubos.Como se puede ver. la ve- locidadde transferencia desustanciasquímicas a través de los tubos es igual a la velocidad de flujo (Q,conunidades de metroscúbicospor segundo) mul~iplicada por la concentración del reactor del cual surge el flujo (c. con unidades de miligra- mos por metro cúbico). Si el sistema es estacionario, la transferencia en cada reac- tor balancea la transferencia de salida. Por ejemplo. enel reactor 1. (entrada) = (salida), o: 500 + Q21C2 = Q12C1 + Q 1 3 ~ 1 o, usando las velocidades de flujo especificadas como en lafigura € 9 . 9 : 500 + 2 0 ~ 2= 8 0 ~ 1+ 4 0 ~ 1 en donde 500 es una entrada directa (miligramospor segundo). Desarróllenseecua- ciones de balance de masas comparables para cada unode los otros reactores y resuélvanse las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para la concentra- ciónen los reactores.
- 308. CASOSDE LA PARTETRES:SISTEMASDE ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 297 FIGURA P9.9 Tres reactoresligadosportubos. La velocidad de transferenciade masa a lo largo de cada tubo esigual al producto del fluio Q y la concentración c del reactor donde se origina el fluio. 9.10 Empleando el mismo planteamiento básico del problema 9.9, determínese la con- centración de cloruro en cada uno de los Grandes Lagos con la información de la figura P9.10. Ingeniería civil 9.11 Repítanse los cálculos del caso 9.3 con los programaspropios.
- 309. 298 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 9.12 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.3cambiando el ángulo del nodo 2 a 40° y eldel nodo 3 a 55”. I I i 9.13 Efectúense los mismosdálculosdel caso 9.3,con la estructura mostrada en la figu- 45 45 ra P9.13. ..~.”. . IP 9.14 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.3,con la estructura de lafigura P9.14. FIGURAP9.13. 500180 FIGURAP9.14. Ingeniería eléctrica 9.15 Repítanse los cálculos del caso 9.4,usando losprogramas propios. 9.16 Efectúense los mismoscálculosdel caso 9.4,cambiando la resistencia entre los no dos 3 y 4 a 15 Q y cambiando el voltaje V6 a 50 V. 9.17 Efectúense los mismoscálculosdel caso 9.4.con el circuitomostradoen la figura P9.17. FIGURA P9.18.
- 310. CASOS DELAARTE ECUACIONES ALGEBRAICASLINEALES 299 Ingenieríamecánica 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 Repítanse los cálculos del caso 9.5, usando los programas propios. Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, cambiando el ángulo a 55O respecto a la horizontal. Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, cambiando el coeficiente de fricción de la masa de 100 kg a 0.5 y el de las masas de 50 y 25 kg a 0.25. Efectúense los mismoscálculosdel caso 9.5, cambiando las masas de 100, 50 y 20 kg a 45, 20 y 80 kg, respectivamente. Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, para el sistema mostrado en la figura P9.23. 9.24 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, con elsistemamostradoen 13 figura P9.24. (los ángulosson de 45'). 9.25 Léanse todos los casos del capítulo 9. En base a la lectura y a la experiencia elabó- rense los propios casos en cualquier campo de la ingeniería. Esto puede implicar modificar o reexpresar alguno de ellos; sin embargo, pueden ser también totalmen- te originales. Como los ejemplos de este libro, se deben inspirar en el contexto de la ingeniería y se debe demostrar el uso de los métodos numéricos para solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Escríbanse los resultados usando los casos de este capítulo como modelos. FIGURA P9.24.
- 312. EP[LOGO: PARTE Ill 111.4 ELEMENTOS DE JUICIO En el cuadro 111.2 semuestraunresumen de los ele- mentos de juicio implicados en la solución de ecuacio- nes algebraicas lineales simultáneas.Hay tres métodos; gráfico, regla deCramer y manipulación algebraica que están limitadas a pocas ecuaciones (n I3) y por lo tanto tienen poca utilidad práctica en la solución de problemas. Sin embargo, estas técnicas son herramien- tasdidácticasmuyútilesen la comprensióndelcom- portamientodesistemaslinealesen general. Los métodos numéricos mismos se dividen en dos cate- gorías generales: métodos exactos y métodos aproxi- mados. Como su nombre lo indica, los primeros obtienensolucionesexactas. Sin embargo, ya que se venafectados por los erroresde redondeo, en algu- nas ocasiones ofrecen resultados erróneos. La magni- tud del error de redondeo varía de sistema a sistema y dependede unaserie de factores. Estos incluyen las dimensiones del sistema, su condición y si la matriz de coeficientes es dispersa o completa. Además, la preci- sión de la computadora influyeenel error de redon- deo. En general,se escogen los métodos exactos para resolverpocasecuaciones(estoes,aquellossistemas menores de 50 ecuaciones). Se usancomúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gaus-Jordan. Se recomien- da emplearlaestrategia de pivote0encualquier implementaciónque se haga de estosmétodossobre unacomputadora. Con la ayuda de estaestrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan pro- blemas como la divisiónpor cero. Aunque en todos los demássentidossoniguales,laeliminacióngaussiana es preferible a Gauss-Jordan,ya que la primera esun 50% más rápida. Sin embargo, elmétodo de Gauss- Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera quese pueda obtener la matriz inver- sa como beneficio adicional enlos cálculos. Aunque los métodos de eliminación tienen una granuti- lidad, eluso de toda lamatrizdecoeficientespuede ser un factor lirnitante cuandose trata de sistemas muy grandes y dispersos. Esto se debe a que grandes por- ciones de memoriaen la computadora deben almace- nar ceros sin sentido. Para sistemas en formade banda, existen métodos disponiblespara la implementación de la eliminación gaussiana sin tener que almacenar la ma- triz de coeficientes completa. En el recuadro7.2 sedes-
- 313. 302 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS U C Cc.- E.-J m
- 314. EPíLOGO PARTE Ill 303 U O o U e, i 2 O u) " N O u) O O O - a, a, o ?ul VI 3 s
- 315. 304 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS cribe un algoritmo muy simple para llevar a cabo lo anterior en sistemas es- peciales con forma de banda; el caso tridiagonal. AI método que se describe en este libro se le conoce con el nombre de Gauss- Seidel. Es diferente del método exacto en cuanto a que éste emplea un es- quema iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cerca- nas a la solución. Por lo tanto, el efecto del redondeo es un punto discutible dentro del método de Gauss-Seidel, ya que lasiteraciones se pueden pro- longar tanto como sea necesario para obtener la precisión deseada. Ade- más, la versión del método de Gauss-Seidel puede desarrollarse de manera que se pueda ahorrar espacio en memoria para sistemas dispersos. Por lo tanto, el método de Gauss-Seideles el método preferencial ensistemas gran- des de ecuaciones (loo),en donde los errores de redondeo y los requisi- tos dealmacenamientovienena ser un problemasignificativopara las técnicas exactas. LadesventajadelmétododeGauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces lo hace de manera muy lenta. Unicamen- tees confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Sin em- bargo, se dispone de los métodos de relajación que a veces ignoran estas restricciones. Además, ya que muchos sistemas algebraicos lineales origina- dos de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss- Seideltienegranutilidadenlasolucióndeproblemasdeingeniería. Enresumen, se conjuntanunaseriedefactoresenlaseleccióndeuna técnica para resolver un problema en particular que involucre ecuaciones algebraicaslineales. Sin embargo,comoya se mencionó, el tamaño y ladispersióndelsistemasonfactoresparticularmenteimportantesal determinarlaelección. 111.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES Cada una de laspartes de este libro contiene una sección que resume las fórmulas de mayor importancia. Aunque la parte Ill no menciona fórmulas simples, se ha usado el cuadro 111.3 para resumir los algoritmos que se han cubierto. La tabla proporciona una visión global que resulta útil en la revi- siónyenlaclarificaciónde las diferenciasprincipalesentre los métodos. 111.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES Los métodos de estetexto se han limitado a las técnicas más simples en la solucióndeecuacioneslinealessimultáneas.
- 316. EPíLOGO PARTE 111 305 d II IIII * " * " s t fi -"_ "_ m N N I l l I -SN x- ,x- 8( 5 " & -
- 317. 306 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Existenotrosmgtodosque uscin elmismocontexto de los problemasasícomo también otros que tratan sobre valores propios y ecuaciones simultáneas no li- neales. Descomposición LU (Llamadotambién método de Cholesky o método de Crout) es una técnicaparticularmenteeficienteenlasolucióndealgunosproblemas que se hanmencionado enlaparte Ill. Se encuentranbuenasdescripciones y algoritmos de computadora para este método en James, Smith y Wolford (1 977) y Gerald y Wheatley (1984). Existenuna variedad de tkcnicas para determinar los valores propios. James, Smith y Wolford (1977); Gerald y Wheatley (1984)y Hornbeck (1975)propor- cionan una introducción al tema. El temasetrata más a fondo en Ralston y Ra- binowitz (1978); Householder (1964) y en Wilkonson (1965). Las ecuaciones simultáneas no lineales a veces se pueden resolver usan- do el método de Gauss-Seidel. Además, una versión multidimensional ofre- ceunesquema más eficiente, aunque más complicadodelmétodode Newton-Raphson. Enlos libros de Carnahan,Luther y Wilkes (1 969); Ge- rald y Wheatley ( 1 984) y James, Smith y Wolford (1977)se analizan los métodos. El libro de Ortega y Rheinboldt (1970)ofrece un trabajo muy completoacercadeltema. En resumen, la información anterior intenta introducir al lector en estu- diosposterioresmás profundos sobre el tema y áreas afines. En todas las referencias anteriores se proporcionan descripciones de las técnicas básicas de la parte Ill. Además, Ralston y Rabinowitz (1 978) proporcio- nan un análisis más profundo y en Stark (1970) se incluye un estudio de temas tales como el mal condicionamiento.El lector debe consultar estas fuentes alternativas para complementar el material de este libro y enri- quecer sus conocimientos sobreecuacionesalgebraicas lineales simul- táneas.* 'Aqui sólo se hace referenciaa los libros por autor; al finaldel texto se halla una bibliografía completa.
- 318. ’ ! P A R T E C ~ J A T R O -AJUSTE DE CURVAS x IV.1 M O T I V A C I ~ N A menudo se proporcionan datosmediante .un conjunto de puntos discretos. Sin embargo, a ve- ces se requieren estimaciones de puntos entre esos valores discretos. Esta parte del libro describe al- gunas técnicas de ajuste de curvas de manera que con tales datos se obtengan aproximaciones inter- medias. Además, aveces se requiere una versión simplificada de una función muy complicada. Una manera de hacerloes la de calcular valores de la función en’un conjunto de valoresdiscretosa lo largo del rango deinterés. Después se puede ob- tener una función mas simple ajustando estos va- lores: A estas dos apticaciones seles conoce con el nombre de ajuste de curvas. Hay dos esquemas generales en el ajuste de cur- vas que se distinguen entre sí en base a la canti- dad deerrorasociadacon los datos.Primero, donde los datos muestran un grado significativo de’erroro “ruido”, la estrategia es derivar unacur- va simple que repre.senteel comportamiento ge- neral de los datos. Ya que cada punto in’dividual puede estar incorrecto, no es necesario intersec- ,tar cada punto individual puedeestar incorrecto, no es necesario intersectar cada uno de ellos. En vez de esto, la curva se diseña de tal manera que siga un patrón sobre los puntos tomados como un todo. A un procedimientode esta naturaleza se le conoce conel nombre de regresión con mínimos cuadrados (Fig. IV.la). Segundo, donde se conoce que los datos son muy exactos, el proceso es ajustar una curvao una se- rie de curvas que pasenexactamente por cadauno de los puntos. Estos datos generalmentese derivan de tablas. Algunos ejemplos son los valores de la densi- dad del agua y de la capacidad de calor delos gases como una funciónde latemperatura. A la estimación de valores entre puntos discretos conocidos sele co- noce con el nombre de interpolación(Fig.IV.l b y c).
- 319. 308 ____- - MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA IV.l Tres intentos de ajustar la "mejor"curva a troves de los cinco dotos o) regresión con mínimos cuadrados, b) interpolación lineal y c) interpolación curvilínea. IV.l. l . Métodosde ajuste de curvas antes del uso dela microcomputadora El método más simple de ajustar una curva a unconjunto de datos esel de trazar los puntos y unirlos con una línea recta. Aunque esta es una alternativa válida y se utiliza cuando se requiere hacer esti- maciones rápidas, los resultados son dependientes,desde un punto de vista subjetivo,dela personaquetrazalacurva. Por ejemplo, en la figura IV.l se muestran diferentes trazos sobre un mismo conjunto de datos hechos por tres estudiantes. El primero no intenta conectar los puntos, en vez de eso caracteriza el crecimiento
- 320. AJUSTE DE CURVAS 309 de los datosmedianteunalínearecta(Fig. IV.l .a). El segundo estudiante usó segmentos de línea recta o interpolación lineal en la conexión de los puntos (Fig. IV.l h ) . Esta técnica es muy común en ingeniería. Si los valores se acercan realmente al caso lineal y están espaciados muy cerca entre sí, entonces esta aproximación ofrece una estimación adecuada en muchos cálculos de ingeniería. Sin embargo, en donde la relación subyacente es altamente curvilínea o en donde los datos están muy separados entre sí, se pueden introducir errores significativos enla interpolación lineal.El tercer estudiante usó curvas que intentancapturar el comportamiento sugerido por los datos (Fig. IV.l c). Un cuarto o quinto estudiante desarrollaría un ajustediferente. Obviamente, la meta aquí es la de desarrollar métodos sistemáticos yobjetivos con el propósito de derivar tales curvas. IV.1.2 Ajuste decurvas en ingeniería El primer enfrentamiento del ingeniero con el ajuste de curvas pudo ser el de determinar un valor intermedio de datos contenidos en una tabla por ejemplo, de tablas de interés en la economía o de tablas de vapor en termodinámica. A lo largo de la profesión de un inge- niero, frecuentementese presentan ocasiones en las que se deben cal- cularvaloresintermediosde estas tablas. Aunque muchas de las fórmulas utilizadas ampliamente en ingeniería ya han sido tabuladas, existe otra gran cantidad delos que no tienen aplicación al hacerlas de esta forma. Los casos especiales y los pro- blemas nuevos de contexto requieren a menudo quese obtengan da- tos propios y que se desarrollenrelacionespredictivas,tambiér! propias. Se pueden encontrar, en general, dos tipos de aplicaciones cuando se ajustan datos experimentales: el análisis de tendencias y laprueba dehipótesis. El análisis de tendencias representa el proceso de usar el patrón de los datos y hacer predicciones. Para los casos en que los datos se mi- den con alta precisión, se pueden usar polinomios de interpolación. Los datos imprecisos, en general, se analizan con regresión de míni- mos cuadrados. El análisis de tendencias se puede usar para predecir o pronosticar valores de la variable dependiente. Esto a veces involucra extrapolar más allá de los límites de los datos observados o interpolar dentro del rango de datos. Generalmente,en todos los campos de la ingenieria se encuentra este tipo de problemas. Una segunda aplicación a la ingeniería del ajuste de curvas experi- mentales es la prueba de hipótesis. Aquí se compara un modelo ma- temático existente con los datos medidos. Si los coeficientes del mo-
- 321. 310 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS delo se desconocen, a veces es necesario determinar valores que se ajusten mejor a los datos observados. Por el otro lado, si las estima- ciones de los coeficientes delmodelo se encuentran disponibles puede ser apropiado comparar los valores predecidos del modelo con los valores observados y así probar laeficiencia del método. A menudo, se comparan modelos alternos y se selecciona "el mejor" en base a observacionesempíricas. Además de las aplicaciones anteriores a la ingeniería,el ajuste de cur- vas es importante en otros métodos numéricostales como la integra- ción y la solución aproximada de ecuaciones diferenciales. Finalmente, los métodos de ajuste de curvas se pueden usar para derivar funcio- nessimples y aproximar funciones complicadas. IV.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Los fundamentos matemáticos necesarios para la interpolación se en- cuentran en las expansiones de la serie de Taylor y diferencias dividi- das finitas introducidos en el capítulo 3. En la regresión con mínimos cuadrados se requieren conocimientos de estadística. Si el lector está familiarizado con los conceptos de media, desviación estándar, su- ma residualde cuadrados ydistribución normal, entonces puede omitir las siguentes paginas eir directamente a la secciónIV.3. Si no conoce estos conceptos o si necesita recordarlos, entonces se recomienda leer el siguientematerial comounabreveintroduccióna estos temas. IV.2.1 Estadísticasimple Supóngaseque enun curso de ingeniería se hacenvariasmedidas de una determinada cantidad. Por ejemplo, el cuadro IV.l contiene 24 lecturas del coeficiente de expansión térmica de un acero estruc- tural. AI observar estos valores, proporcionan una cantidad limitada de información, esto es, el rango de valores va desde un mínimo de CUADRO IV. 1 Coeficientes obtenidos al medir la expansión térmica de un acero estructural ( x 1O-6 pulg/pulg/°F) 6.495 6.625 6.635 6.655 6.665 6.51 5 6.625 6.775 6.755 6.61 5 6.575 6.555 6.565 6.435 6.395 6.655 6.595 6.71 5 6.485 6.605 6.505 6.555 6.71 5 6.685
- 322. AJUSTE DE CURVAS 311 6.395 hasta un máximo de 6.775.Se puede profundizaren el conoci- miento de los mismos agrupando los datos en una o mas medidas es- tadísticas conocidas que proporcionen tanta información como sea posible acerca decaracterísticas específicasdel conjunto de datos.Estas medidas estadísticas descriptivas se seleccionan más a menudo para representar 1 ) la posición central de la distribución de datos y 2) el grado de dispersióndelconjunto dedatos. La medida estadística más común es la medida. La media (y)de una muestra se define como la suma de los datos individuales (y;)dividi- do en La por el númerodepuntos (n), o: .. . [IV.l] dondela sumatoria va desde i = 1 hasta n. medida mas común de la dispersión de una muestra es la desvia- ción estándar (sJ, enfunción de la media: [IV.2] I I en donde S es la suma total de los cuadros de los residuos entre los puntosy la media, esto es: S, = c (y, - [IV.3] Por lo tanto, si las medidas individuales se dispersan muy lejos de la media, S, (y, por lo tanto sy) crecerá. Si se agrupan muy cerca de la media entonces la desviación estándar será pequeña. La dispersión también se puede representar por el cuadrado de la desviación es- tándar,alacuál se le llamavarianza: [IV.4] Nótese que el denominador en ambos casos es n - l. Esto toma en consideración que un promedio derivado previamente de los datos (estoes, la media) se usó para determinar S,. Formalmente, se dice que se pierde un grado ¿e Iibedad. Otra justificación de dividir por n - 1 es que no hay dispersión en un solo dato. Por lo tanto, en el casodonde n = 1, laecuación (IV.4) proporciona unresultado sin sentido o infinito.
- 323. 312 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Una medidaestadística final quetiene utilidad en la cuantificación de la dispersión de los datos es el coeficiente de variación (c. v). Esta me- dida estadística es el cociente de la desviación estándar dela media. Como tal, proporciona una media normalizada de la dispersión. A menudo se multiplica esta cantidad por 100, de tal manera que se pueda expresar en forma porcentual: [ ; IC.V. = = 100% [IV.5] Nóteseque elcoeficiente devariación essimilaralerrorrelativo porcen- tual (tu)mencionadoen la sección 3.3. Es decir, el cociente de una medida de error (S,,) entre una estimación del valor verdadero (a. EJEMPLO IV.l Tratamiento estadístico sencillo de una muestra Enunciadodelproblema: calcúlense lamedia,varianza,desvia- ción estándar y coeficiente de variación de los datos del cuadro IV.l. Solución: los datos se suman (cuadro IV.2) y los resultados se usan para calcular [Ec.(lV.l)]: - 158.400 24 = 6.6 Como enel cuadro IV.2, la suma de los cuadrados de los residuos es 0.217 00, que se puede usar en el calculo de la desviación están- dar [Ec.(lV.2)]: II sy = ,/T= 0.097 733 I 1 y la varianza[Ec.(lV.4)]: S’, = 0.009435 y los coeficientes de variación [Ec.(lV.S)]: C.V. =0.097 33100% = 1.47% 6.6
- 324. AJUSTE DE CURVAS 313 Cuadro IV.2 Cálculos para la obtenciónde las medidas estadísticas e histogra- ma delas lecturas del coeficiente de expansión térznica INTERVALO Limite límite I Y; (Y; - 7,’ Frecuencia inferior Superior 6.395 6.435 6.485 6.495 6.505 6.515 6.555 6.555 6.565 6.575 6.595 6.605 6.615 6.625 6.625 6.635 6.655 6.655 6.665 6.685 6.715 6.715 6.755 6.775 6.36 6.40 6.40 6.44 0.042 025 0.027 225 0.013 225 0.011 025 0.009 025 0.007 225 0.002 025 0.001 225 0.000625 0.000025 0.000025 0.000225 0.000625 0.000625 0.001 225i0.003 025 0.003025 0.004 225 0.007 2251 6.48 6.524 6 7 8 2 3 6.52 6.56 6.56 6.60 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 6.60 6.64 3 6.64 6.68 21 22 23 0.013 225) 0.013 225 3 6.68 6.72 0.024 025 0.030 625 6.72 6.76 6.76 6.8024 z 158.400 0.217 O00 IV.2.2 La distribución normal La característica final que se menciona en este análisis es la distribu- ción de datos, es decir, elcomportamientoconelcual los datos se distribuyen alrededor de la media. Un histogrurnu proporciona una representación visual simplede ladistribución. Como el cuadro IV.2, un histograma se construye ordenando los datos en intervalos. Los intervalos se grafican sobre eleje ¿e las abscisas y la frecuencia de ocurrencia de estos se grafica en el eje de las ordenadas. Por lo tari- to, cinco de las medidas caen dentro del intervalo6.60 y 6.64. Como en la figuraIV.2, el histograma sugiere que la mayor parte delos da- tosse agrupan cerca de la media. Si se tiene un conjunto grande de datos, a menudo el histograma se transforma de un diagrama de barras en una curva suave. La curva
- 325. 314 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA IV.2 Uso de un histograma para delinear la distribución de los datos. A medidaque el número de puntos aumenta, el histograma tiende a una curva uniforme y sin discon- tinuidades llamada distribución normal. simétrica y homogénea sobrepuesta a la figura IV.2 muestra una de estas curvas características; la distribución normal. Si se proporciona- ran medidas adicionales suficientes,entonces el histograma eneste caso en particular, tendería eventualmente a la distribución normal. los conceptos de media, desviación estándar, suma residual de cua- drados y distribuciónnormal tiene una gran importancia dentro de la ingeniería. Un ejemplo muy simple essu uso en lacuantificación de la confiabilidad que se le puede atribuir a un dato particular. Si unacantidad está distribuidanormalmente, el rangodefinidopor y -S, a y + S, abarcará aproximadamente el 68% del número to- tal de datos. De la misma manera, el rango definido por y - í's, a y + 2 S,, abarcará aproximadamente el 95% Por eiemplo,en los coeficientes de expansión térmica del cuadroIV.1 (y = 6.6 y S, 0.097 133),se puededecir que aproximadamente el 95% de los datos se encuentra entre 6,405 734 y 6.794 266. Si al- guien dijo que se midió un valor de 7.35, entonces se puede esperar que este dato sea erróneo. lo anterior es sólo un ejemplo muy simple de cómo se pueden usar las estadísticas para dar juicios acerca de la certeza de los datos. Es- tos conceptos también tienen importancia directaen el análisis de mo- delos de regresión. Se puede consultarcualquierlibro bdrsico de estadística (por ejemplo, Ang y Tang, 1975, o Laping, 1983) para ob- tener informaciónadicionalsobre el tema.
- 326. AJUSTE DE CURVAS 315 IV.3 ORIENTACION Antes de pasar a los métodos numéricos en el ajuste de curvas, pue- de ser útil una orientación. Lo que sigue está enfocado a dar una vi- sión general del material analizado en la parte IV. Además, se han formulado algunos objetivos para ayudar al aprendizaje dellector cuando estudie el material.
- 327. 316 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS IV.3.1 Avance y alcance En la figura IV.3 se muestra una visión global del material que se cu- bre en la parte IV. El capítulo 70 se dedica a la regresión con mínimos cuudrudos. Primero se aprenderá a ajustar “la mejor” línea recta a través de un conjunto de datos inciertos. A esta técnica se le conoce con el nombre deregresión lineal. Además del análisis sobreel cálcu- lo de la pendiente y punto de intersección de la línea recta, se pre- sentan también métodos cuantitativos y visuales para la evaluación delavalidezde los resultados. Además de ajustar una línea recta, se estudiatambién una técnica general paraajustar “al meior” polinomio. Por lo tanto, se aprende- rá a derivar un polinomio cuadrático, cúbicoo de orden superior que seajuste de manera adecuada a los datos inciertos. La regresión li- neal es unsubconjunto de este esquemamásgeneral, al cual se le conoce con el nombre de regresiónpolinornial. Finalmente, elúltimo tema cubierto enel capítulo 10 es la regresión lineal múltiple. Que está diseñada para casos en que la variable de- pendiente y sea una función lineal de dos o más variables indepen- dientes xl, x2, ..., x,. Este esquema tiene una utilidad especial en la evaluación de datos experimentales en donde la variable de interés depende deun conjunto de factores. En el capítulo 7 7 se describeunatécnicaalternativa de ajuste de curvas a laque se le llamainterpolación, Como se dijoante- riormente,lainterpolación se usa para estimularvaloresinterme- dios entredatosconocidos.En el capítulo 11 se derivanpolinomios que cumplen este propósito. Se introduce el conceptobásicode interpolaciónpolinominalusandorectas y parábolasparaconec- tarpuntos.Después, se desarrolla un procedimientogeneral para ajustar un polinomiode n-ésimo orden. Se presentandosformatos diferentes para expresar estos polinomios en forma de ecuaciones. Es preferible el primero de ellos,llamado polinornio de interpola- ción deNewton,cuando se desconoce el ordencorrectodelpoli- nomio. El segundo, llamado polinornio de interpolación de Lagrunge tiene algunasventajas cuando el ordendelpolinomio se conoce deantemano. La Última seccióndelcapítulo 11 se dedicaaunatécnica diferente en el ajuste preciso de datos. Esta técnica, llamada interpolación seg- rnenturia (en inglés spline),ajusta los datos a polinomios pero porin- tervalos. De ahí que sea particularmente útil cuando se ajusten datos que en general son homogéneos,pero muestrancambioslocales abruptos.
- 328. AJUSTE DE CURVAS 317 En el capitulo 72 se desarrollan casos de estudio que ilustran la utili- dad de los métodos numéricos dentro de contextos de la ingeniería. Se muestran algunos ejemplos tanto de la ingeniería en general co- mo de las cuatro ramas más importantes de la misma: química, civil, eléctricay mecánica. Finalmente, se incluye un epílogo al final de la parte IV. Este incluye un resumen de las fórmulas y conceptos más importantes relaciona- dos con elajuste de curvas, así como un análisis de los factores de mayor importanciaentre las técnicas y sugerenciaspara estudios pos- teriores. En la parte IV se incluyen algunas opciones de cálculo por computa- dora. Primero, el paquete de programas NUMERICOMPque acom- paña al texto contiene programas que son legibles al usuario sobre regresión lineal e interpolaciónde Lagrange. Alternativamente,se in- cluyen en el texto programas escritos en FORTRAN y en BASIC. Esto le proporciona al lector la oportunidad de copiar el programa para implementarlo en su propia microcomputadora o supercomputado- ra. También se incluyen los diagramas de fluio y los algoritmos para la mayor parte delos métodos descritos en el texto. Este materialpuede servir de base en la construcciór! de un paquete de programas que el lector puede desarrollar y aplicar a los problemas de ingeniería. IV.3.2 Metasy objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte IV, el lector debe haber aumentado en gran medida sus capacidades en el ajuste de cur- vas con datos. En general, se deben dominar lastécnicas, se debe haber aprendido a valorar la confiabilidad delas respuestas yser ca- paz de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier proble- ma. Además de estas metas generales, se deben asimilar y dominar los conceptosespecíficos del cuadro IV.3. Objetivos decómputo. El lector debe tener un conjunto de progra- mas simples decomputadora, algoritmosy diagramasde flujo queimplementen los métodos analizados en laparte IV. Todos ellos comoherramientasdeaprendizaje. El paquete opcional de programas NUMERICOMP,incluye los pro- gramas de regresión lineal de interpolación de Lagrange. Las gráfi- cas asociadas con este paquete le ayudarán al lector a visualizar el problema además delas operaciones matemáticas asociadas. Las grá- ficas son una parte crítica en la apreciación sobre la validez de una regresión. También proporcionan una guía relacionada conel orden
- 329. 318 MÉTODOS NUMfRICOS PARA INGENIEROS CUADRO IV.3 Objetivos deestudiosespecíficosde la parte IV 1 . Entender la diferencia fundamental entreregresión einterpolaciónydarse cuenta que elconfundirlos puedeacarrear serios problemas. 2. Entender la derivación de la regresión lineal con mínimos cuadradosy ser capaz devalorar la confiabilidad del ajuste usando gráficas a apreciaciones cuan- titativas. 3. Saber linealizar datos para llevara cabo transformaciones. 4. Entender lassituacionesen dónde es apropiado usar regresiónpolinomial 5. Entender que hay uno y sólo un polinomio de grado n o menor que pasa exac- 6. Saber como derivar el polinomiodeinterpolaciónde Newton de primer orden. 7. Entender laanalogía entreel polinomio de Newton y la expansión de la serie de Taylor y cómo se relacionancon el error de truncamiento. 8. Reconocer que las ecuaciones deNewton y de Lagrange sonmeramente formulaciones diferentesdelmismo polinomio de interpolación y de enten- der sus respectivasventajas y desventoias. 9. Observar que se obtienenresultadosmásexactos si los puntosusados para interpolación se centranalrededor y cerca de la incógnita. 10. Reconocer que los puntosnotienen porqué estarigualmente espaciados nienningún orden enparticular para los polinomios de Newton y de La- o múltiple. tamente a través de los R + 1 puntos. grange. utilidad. 1 1 Conocer el por qué las fórmulas de interpolación igualmente espaciados tienen 12. Reconocerlaslimitaciones y lasincertidumbresasociadas con la extrapolación. 13. Entender por quélasfuncionessegmentariastienenutilidad para datos con áreas locales de cambiossignificativos. correcto de una interpolación polinomialy si es confiable efectuar la extrapolación. El paquete es muy fácil de aplicarse en la solución de problemas prácticos y se puede usar en laverificación de los resulta- dos de cualquier programa que el lector haya desarrollado por sí mismo. Además, se incluyen los programas de computadora, los algoritmos o los diagramas de flujo para la mayor parte de los métodos de la parte IV. Esta información le permitirá ai lector expander su bibliote- ca de programas incluyendo técnicas que van más allá de la regre- sión lineal y de la interpolación de Lagrange. Por ejemplo, puedeser útil, desde un punto de vista profesional, tener un paquete de pro- gramas que incluya regresión polinomial, polinomio de interpolación de Newtone interpolación cúbicasegmentaria (delinglés cubic spline).
- 330. C A P í T U L O D I E Z REGRESI~N CONMíNIMOS CUADRADOS Cuando se asocia un error sustancial con los datos, la interpolación poii- nomial es inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorioscuan- do se usaparapredecirvaloresintermedios. Los datosexperimentales a menudo son de este tipo. Por ejemplo, enlafigura 10. la se muestran siete datos obtenidos experimentalmente que muestran una variación sig- nificativa.Lainspecciónvisualde los datossugiereunarelaciónpositiva entre y y x. Es decir, la tendencia totalindicaque a valores mayores de y se le asocian valores mayores a x. Ahora, si se ajusta un polinomio in- terpolante desexto orden a estos datos (Fig. lO.lb), pasará exactamente por todos los puntos. Sin embargo, debido a la variabilidad de los datos, la curva oscila ampliamenteen los intervalos entre puntos. En particular, los valores interpolados x = 1.5 y x = 6.5 parecen ir más allá d e l rango sugeridopor los datos. Una estrategia más apropiada en estoscasos es la de obteneruna fun- ciónaproximada que ajuste “adecuadamente”el comportamiento o la tendencia general delos datos,sin coincidir necesariamente con cada punto en particular. La figura 10.ICmuestra una linearecta que puede usarseen la caracterización de latendencia delos datossin pasar sobreningún punto en particular. Unamanera de determinarlalínea de la figura 1 0 . 1 ~es inspeccio- narvisualmente los datosgraficados y luegotrazarla “mejor” línea a travésde los puntos.Aunque este enfoque recurre al sentidocomún Y esválidoparacálculos“asimplevista” es deficiente ya quees arbitrario. Es decir, a menos que los puntosdefinanunalínearecta perfecta (en cuyo caso la interpolaciónsería apropiada), cadaanalista trazarárectasdiferentes. Lamaneradequitarestasubjetividad es considerar un criterioque cuantifiquela suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datosy la curva. En este capí- tulo se analiza un métodoparallevar a cabo esteobjetivo al que se le llama regresión con minimos cuadrados.
- 331. 320 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 1O. 1 a) Muestra de datos con un error significativo. b) Ajuste polinomial con oscilaciones que violan el rango de los datos, c) se obtienen resultados más satisfactorios usando el ajustedemínimos cuadrados.
- 332. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 321 10.1 REGRESIóNLINEAL Ei ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observa- das: (x1,yl), (xp,y2), ...,(x,,,y,,). La expresión matemática de una línea rectaes: y = a0 + alx + E [10.1] en donde a. y al son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o resi- duo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reor- denando la ecuación (10.1)como: E = y - a0 - alx Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor aproximado, a. + a, x, predichopor la ecuaciónlineal. 10.1.1 Criterio para un mejor” ajuste Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debe minimizar la suma de los errores residuales, como en: / / i=1 i=l [10.2] Sin embargo, estecriterio es inadecuado, como se puedever en la figura 10.2a, en donde semuestra la línea recta que ajusta dos puntos. Obvia- mente, la mejor línea ajustada esaquella que conecte ambos puntos. Sin embargo, cualquier línea que pasa por el punto medio de la línea que los conecta (excepto unalínea perfectamente vertical)genera un valor mí- nimo en la ecuación (10.2)igual a cero ya que los errores se cancelan. Otro criterio sería minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias,esto es: n n 1 6 1 = 2 I M - a0 - alxil i= 1 i= 1 En la figura 10.21se muestra por qué este criterio también es inadecua- do. Con los cuatro puntos mostrados, cualquier línea recta que se en- cuentre dentro de las líneas punteadas minimiza el valor absoluto de la suma. Por lo que estecriterio aún no produceel mejor ajusteque sea único. Una tercera estrategia en el ajuste de una línea óptima es el criterio de minimax. En este método, la línea se escoge de tal manera que mini- mice la distancia máxima a la que se encuentraun punto de la linea rec-
- 333. 322 MbODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS" FIGURA 10.2 Ejemplos de algunos de los criterios de "meior ajuste" que son inade- cuados en la regresión: a) minimización de la suma de los residuos; b) minimizaciónde la suma de los valores absolutosde los residuosy c) mi- nimización del error máximo de cualquier punto individual. ta.Comose muestra en lafigura lo.&, está estrategia está mal condicionada pararegresión ya que influye de maneraindebida sobre un punto externo, aislado,cuyoerror es muy grande. Se debe notar que el criterio minimax algunas veces estábien condicionado paraajustar una función simple a una función complicada (Carnahan, Luther y Wilkes, 1969). Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimi- zar la suma delos cuadrados de los residuos, S,, de la siguiente manera: n n S, = 2E? = (yi- a0 - alxi)2 ¡=1 i=l E10.31
- 334. REGRESIóN CON MíNIMOS CUADRADOS 323 Este criterio tiene muchasventajas, incluyendoel que ajusta una linea única a un conjunto dado de datos. Antes deanalizar estas propiedades, se mues- tra un métodoquedetermina los valoresde a. y al que minimizanla ecuación (10.3). 10.1.2 Ajuste deunarectautilizando mínimos cuadrados Paradeterminar los valoresdelas constantes a. y al, se derivala ecua- ción (10.3)conrespecto a cadaunodelos coeficientes: Nóteseque se hansimplificadolossímbolosdelasumatoria; a menos queotra cosa se indique,todaslassumatorias van desde i = 1 hasta n. Igualando estas derivadas a cero, se genera un mínimo S,. Si se hace así', las ecuaciones anteriores se expresarán cómo: Ahora, considerandoque C a. = nao,las ecuaciones se pueden expre- sar como un conjunto de dosecuaciones lineales simultáneas con dosin- cógnitas (aoy al): nao + C xial = yi [10.4] [10.5] A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones normales.Se pueden resolversimultáneamente y obtener [(recuérdese la Ec. 7.10)]: [10.6] Este resultado se puede usar junto conla ecuación (10.4)para obtener: en donde v y X sonlamedid¿+de lll__..... .". . . [10.7] y y x, respectivamente.
- 335. 324 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS EJEMPLO 1O.1 Regresión lineal Enunciadodelprblema: ajústese unalínearecta a los valores x y y de lasprimeras doscolumnasdelcuadro 10.l. CUADRO 1O. 1 Cálculos para el análisis del error del ajuste lineal 1 0.5 8.5765 0.1687 2 2.5 0.8622 0.5625 3 2.0 2.0408 0.3473 4 4.0 0.3265 0.3265 5 3.5 0.0051 0.5896 6 6.0 6.6122 0.7972 7 5.5 4.2908 0.1993 c. 24 22.7143 2.9911 - Solución: sepuedencalcularlassiguientescantidades: n = 7 2 xjyj = 119.5 xf = 140 24 7 2yi = 24 J = - = 3.428 571 429 Usandolas ecuaciones (10.6)y (10.7), an = 3.428 S71 429 - 0.839 285 714(4) = 0.071428 57 Por lo tanto, el ajusteconmínimoscuadrados es: y = 0:071 428 57 + 0.839 285 7 1 4 ~ La línea, juntocon los datos, se muestra enla figura 10.1~.
- 336. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 325 10.1.3 Cuantificación del error enla regresión lineal Cualquier línea recta diferentea la que se calculó en el ejemplo 10.1 ge- nera una mayor suma de cuadradosde los residuos. Porlo tanto, la línea esúnica y en términosdelcriterioescogido es “la mejor” línea a través de los puntos. Se puede derivar un gran número de propiedades adicio- nales deeste ajuste, examinando más de cerca la manera como se calcu- laron los residuos. Recuérdese que la suma de los cuadrados se define como [Ec. (10.3)]: I S, = 2 (yi - a. - alxi)* 110.81 Nótese lasimilitud entre las ecuaciones (IV.3)y (10.8).Enelprimer caso, los residuos representabanla diferencia entrelos datosy una aproxi- mación simple de la medida de la tendencia central; la media. En la ecuación (10.8),los residuos representanel cuadrado dela distancia vertical entre los datos y otra medida de la tendencia central; la línea recta (Fig. 10.3). La analogía se puede extender más paracasos en donde 1) la dispersión de los puntos alrededorde la recta son de magnitud similar a lo largo del rango entero delosdatos y 2) ladistribución de estospuntosalrededor de la línea es normal. Se puede demostrar que si este criterio se cumple, la regresión con mínimos cuadrados proporciona la mejor(esdecir, la más probable) aproximación de a. y al (Draper y Smith, 1981). A esto se le conoce como principio de probabilidad máxima dentro de la estadística. Además, si este criterio se cumple, una “desviación estándar”de la línea deregresión se puededeterminar como [compárece conla Ec. (IV.2)]: i= 1 FIGURA 10.3 El residuo en la regresiónlinealrepresenta el cuadradode la distancia verticalentreunpunto y la línearecta.
- 337. 326 M~TODOSNUM~RICOSPARA lNGENlEROS [10.9] en donde sy,x se llama error estándar de la aproximación.Lanotación consubíndice “y/x” indicaque el error es para un valorpredichode y correspondiente a un valorparticular de x. También, nótesequeahora ladivisión es por n - 2 ya que se usan dosaproximacionesobtenidas de los datos; a. y a, paracalcular S; por lo tanto, se han perdidodos grados de libertad.Como con el análisis de desviación estándar en lasec- ción IV.2.1,otrajustificaciónde dividir por n - 2 es que no existeuna “dispersión de los datos”alrededordeunalínearecta que conecta dos puntos.Deesta manera, para el caso cuando n = 2, la ecuación (10.9) noproporciona un valordeinfinitoelcual no tiene sentido. Así como con la desviación estándar,el error estándx de la aproxima- cióncuantifica ladispersión de los datos. Sin embargo, cuantificala dispersión alrededor de la linea de regresión, como se muestra en la figura 10.4, contrario a la desviaciónestándaroriginal, S, quecuantifica la dispersión alrededor de la media. Los conceptos anteriores se pueden emplear para cuantificarla “efi- ciencia”del ajuste. Esto es particularmente útil enla comparación de va- riasregresiones (véase la Fig. 10.5).Parahacerloseregresa a losdatos originalesy se determina la suma de los cuadrados alrededorde la media para la variable dependiente (en este caso,y). Se le puede llamar a esto
- 338. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 327 FIGURA 10.5 Ejemplos de la regresiónlinealcon a) erroresresidualespequeños y b) grandes. lasumatotalde los cuadrados, S,. Esta es lacantidad de dispersiónen la variable dependiente que existe antes de la regresión. Después de Ile- var a cabo la regresiónlineal, se puedecalcular S,, que es la5uma de los cuadradosde los residuos alrededorde la linea de regresión. Este pre- senta la dispersión que existe despuésde la regresión. La diferencia entre lasdos cantidades, o St - S, cuantifica la mejora enla reduccióndel error debidoal modelo de la línea recta. Esta diferenciase puede norma- lizar al errortotal y obtener: [10.10] endonde r es el coeficiente de correlación y r2 es el coeficiente de de- terminación. Para un ajuste perfecto, S, = O y r2 = l, indicando que la línearectaexplicael 100 % de lavariabilidad. Si r2 = O, entonces el ajustenorepresenta mejorías.
- 339. 328 MhODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS EJEMPLO 10.2 Estimación de los errores en el ajuste por mínimos cuadrados lineal Enunciadodelproblema:calcúlese la desviaciónestándar total, elerror estándar de la aproximación y el coeficiente decorrelación de los datos del ejemplo 10.1. Solución: lassumatorias se muestranenel cuadro 10.1. L.a desviación estándar total es [Ec.(IV.2)] y el errorestándar de la aproximaciónes IEc. (10.9)]: por lo tanto, ya que S , , < S,, el modeloderegresiónlineales acepta- ble. El alcance dela mejoríasecuantificamediante [Ec. (10.lO)l 22.714 3 - 2.991 1)-2 = 22.714 3 = 0.868 O r = = 0.932 Estos resultados indican que el 86.8% de laincertidumbreoriginal se ha explicadomediante el modelolineal. Antes de proceder con el programa de computadora parael método de regresión lineal, son necesarios algunos comentarios.Aunque el coe- ficiente de correlación proporcionaun medio fácil de medir la efectividad del ajuste, se debe tener cuidado de no atribuirle significado garantizado. El que r esté “cercano”a 1, no significa que el ajuste sea necesariamente “bueno”. Por ejemplo, es posible obtener un valorrelativamentealto de r cuando la relación mencionada entre y y x ni siquiera es lineal. Draper y Smith (1981) proporcionan una guía y material adicional que sirve para valorar los resultados de una regresión lineal. Además, como mínimo, se debe inspeccionar siempre una gráfica de los datos con una línea de re- gresión cuando se ajusten curvas de regresión. Como se verá en la siguien- te sección, los programasdeNUMERICOMPcontienenestas opciones. 10.1.4 Programadecomputadoraparalaregresión lineal Es relativamente sencillo desarrollarun programa parala regresión lineal. La figura 10.6 muestra las versiones en FORTRAN y BASIC. Ya que las opciones gráficasdeunamicrocomputadora
- 340. REGRESION 329 FORTRAN BASIC DATA SX/O./,SU/O./,XZ/O./,XY/O./ 100 FORHAT (I5 120 Do 170 I=l,N 139 READ(5,2)X,Y 140 fOiWAT(2F10.0) 150 READ(5rl)N 110 9!=SX*X 160 sY=sv+Y I79 x2=X2+x~x 1BO sY=xY+x'Y 190 XY=SX/N CONTINUE 200 YM=SY/N 210 kl=(N~XY-SX~SY)/(N.X2-sX*Sx) 229 .?,O=YM-Al*XH 230 WRITE(6t3)AOrAl FORMAT(' *,2F10.3) STOP mn INPUT N FOR I = 1 TO N X = independentvariable INPUT X . Y Y = dependentvariable N = number of data points sx = sx + x SX = sum of X's SY = S Y + Y SY = sum of Y's x2 = x2 + x I x- X Y = X Y + X O Y X2 = sum of square of X's NEXT I __2_____ X Y = sum of product of X andY X t l = SX / N XM = meanof X's YM = SY / N A I = (N :X Y - sx t S Y ) (N m , YM=meanofY's x2 - sx :SX) PRINT ClO.61 END i A l = slope A0 = interceptA 0 = YM - Al I XH FIGURA 10.6 Programas FORTRAN y Basic para la regresión lineal. son muy variadas,no se incluyengráficasdeestosprogramas.Sin em- bargo, como se mencionó anteriormente,esta opción es importante para el uso e interpretación efectiva de la regresión y se incluye en el paquete suplementario de NUMERICOMP. Si la computadora que el lector usa, tiene la posibilidad de graficaciónse recomienda quese expandan los pro- gramas de tal manera quese incluya una gráfica dey contra x que mues- tre los datos y la línea de regresión. La inclusión de gráficas aumenta en gran medida la utilidad de los programas dentro delcontexto de solución deproblemas. EJEMPLO 10.3 Regresión lineal usando la computadora Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICOMP aso- ciado a este texto incluye un programa legibleal usuario que implementa la regresiónlineal.Esteprogrdmasepuedeusar enla solucióndelpro- blema de pruebadehipótesis asociado conelparacaidistaanalizadoen el capítulo 1.Se dio un modelo matemático teórico parala velocidad del paracaidistamediante la fórmula [Ec. (1.9)]:
- 341. 330 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS en donde u es la velocidad en centímetros porsegundo,g es la constante de aceleración gravitacional de 980 cm/s’, m es la masa del paracaidis- ta e igual a 68 100 g , y c es el coeficiente defricción de 12 500 g/s. Co- mosedescribeenelejemplo l . l ,el modelopredice la velocidaddel paracaidista en función del tiempo.En el ejemplo2.1 se muestra una gráfica de lavariacióndelavelocidadenfuncióndel tiempo. Un modelo empírico para la velocidad del paracaidista está dado por la siguientefórmula: v(t) = [ ]t c 3.75 + t [E10.3.1] Supóngase quese desea probar y comparar la suficienciadeestos dos modelos matemáticos. Esto se puede llevara cabo midiendo la velo- cidad verdadera del paracaidista en intervalos detiempo conocidosy compa- rando los resultados con la velocidad predicha por cada uno de los modelos. Se tiene un grupodedatosmedidosexperimentalmente los que se listanenla columna a) delcuadro 10.2. Las velocidadescalculadas de cada modelo se listanenlas columnas b) y c). CUADRO 10.2 Velocidades medidas y velocidades calculadas para la caída del paracaidas Tiempo, S V Calculada, Medida V Calculada, cmls cmls [ecuación cmls [ecuación (1.9)] (E10.3.l)l ( 4 ( 4 ( 4 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 a 100 o 163 O 230 O 275 O 310 O 356 O 390 O 415 O 429 O 450 O 460 O 455 o 460 O 490 O 500 O 895.3 1 640.5 2260.7 2776.9 3 206.5 3 564.1 4109.5 4315.6 4 630.1 4749.0 4847.9 4 930.3 3861.7 4487.2 4998.8 1 124.0 1 857.0 2 372.9 2755.6 3 050.9 3 285.5 3 476.6 3 635.1 3 768.7 3981.6 4143.7 3 882.9 4067.8 4211.0 4 271.2 Solución: lavalidez de los modelos se puede probar graficando las velo- cidadesmedidascontra la velocidadcalculadapor el modelo. Se usala regresión lineal enel cálculo de lalínea recta y se gráfica. Esta línea ten-
- 342. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 331 FIGURA 10.7 a) Resultados obtenidos usando regresión lineal en la comparaciónde valores medidos contra el modelo teórico calculado mediante la ecua- ción (1.9). b) Resultados obtenidos usando regresión lineal en la comparación de valores medidos contra el modelo empírico calculado con la ecuación (E10.3.1). drá una pendiente de1 y una intersección en O siel modelo coincide con los datos perfectamente. Cualquierdesviaciónde estos valores se usará como indicación de ser poco confiableel modelo. Enlafigura 1 0 . 7 ~ ~se grafica lalínea y los datosde la regresiónde la columna a) contra las columnasb) y c) respectivamente. Estas graficas indican que la regresión lineal entre los datosy cada uno de los modelos es bastante aceptable. Ambosmodeloscoincidenconlosdatoscon un coeficientedecorrelaciónmayorde 0.99. Sin embargo, el modelo descrito por la ecuación (1.9)conforme el criterio de prueba es mucho mejor que eldescritopor (E10.3.1)ya que la pendiente y la intersección estdnmás cerca de 1 y de O. Por lo tanto, aunque cada una de las gráficasse describe muy bien mediante una línea recta, la ecuación (1.9) es un modelomejorqueel de la ecuación (E10.3.1). La prueba y selección de modelos sonmuy comunes y de extremada importancia en actividades llevadasa cabo en todos los campos de la in- geniería.El material presentado previamenteen este mismo capítulojun- to con el paquete NUMERICOMP y los programas del usuario le permiten a ésteresolvermuchosproblemasdeestetipo.
- 343. 332 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 10.8 a) Datosmal condicionados en la regresión lineal con mínimos cuadra- dos. 6)Indicación dequeunaparábola es preferible. 10.1.5 Aplicaciones delaregresión lineal;linealizaciónde relaciones no lineales La regresión lineal proporciona una técnica muy poderosa para ajustar datos a una “mejor” línea. Sin embargo, se ha predicho que la relación entre las variablesdépendiente e independiente eslineal. Este no es siempre el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión es el de trazar y visualizar los datos para decidir si es correcto o aceptable el aplicar un modelo lineal. Por ejemplo, en la figura 10.8se muestran algunos datos que, obviamente son curvilíneos. En algunos casos, técnicas como la re- gresión polinomial, descrita en la sección 10.2serán apropiadas.En otros, se puedenhacer transformaciónesque expresenlos datos de manera que sean compatibles con la regresión lineal. Un ejemplo es el modelo exponencial: y = aleblX [lo.111
- 344. REGRESIóN 333 FIGURA 10.9 a) Ecuaciónexponencial, b)ecuación de potenciasy c) ecuación del pro- medio de crecimiento de saturación. Las partes d),e) y fl sonversiones linealizadas de aquéllas, lascualesson transformaciones simples. en donde al y bl son constantes. Estemodelo se usaen muchos cam- pos de la ingeniería caracterizando cantidades quecrecen (b,positiva) o que decrecen (b,negativa en un promedio proporcionala su magnitud. Por ejemplo, el crecimiento poblacionaly la disminución radiactivo mues- tran este comportamiento.Como se muestra en la figura (10.9a),la ecua- ción, representaunarelaciónlineal(para bl . O) entre y y x. Otroejemplo de un modelonolineal es la ecuación elevada a una potencia: y = agxb2 [lo.121
- 345. 334 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS en donde a2 y b2son coeficientes. Este modelo tiene una amplia aplica- ción en todos los campos de la ingeniería. Como se muestra en la figura 10.9b, la ecuación (para b2 # O o 1) es no lineal. Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de prome- dio de crecimiento de saturación: X y = a3- b3 + X [10.13] en donde a3 y b3son coeficientes constantes. Este modelo, que es parti- cularmente útil enla caracterización de crecimientospoblacionales bajo condicioneslimitantes,tambiénrepresentaunarelaciónnolinealentre y y x (Fig. 10.94 que nivela, o “satura”conforme x crece. Las técnicas de regresión no lineal se usan para ajustar directamente estas ecuaciones a los datos experimentales. Sin embargo, una alternati- va mássimple es ladeusar manipulacionesmatemáticas y transformar las ecuaciones a la forma lineal. En seguida se puede aplicar la regresión linealsimpleparaajustarlas ecuaciones a los datos. Por ejemplo, la ecuación (10.11)se puedelinealizarmediante loga- ritmosnaturales y obtener: In y = In al + blx In e Pero, ya que In e = 1, se tiene: In y = In al + blx [10.141 Por lo tanto una gráfica semilogarítmicade In y contra x genera una línea rectacon una pendientede bly una intersecciónde In al (Fig. 10.9d). La ecuación (10.12)se puedelinealizartomadologaritmosdebase 10 y obtener: log y = b2log x + log a2 [lo.151 De esta forma, una gráfica logarítmica de log y contra log x genera una línearectaconunapendiente de b2 y unaintersecciónde log a2 (Fig. 10.9e). La ecuaci6n (10:13) se linealizainvirtiéndola, y se obtiene: [10.16] Y a3 x a3 Por lo tanto, unagráficade l / y contra l/x serálineal,conpendiente b3/a3y unaintersecciónde l/a3 (Fig. lO.9j). Estos modelos,en sus estados transformados,se ajustan usando regre- siónlinealparaevaluarlos coeficientes constantes. Después se pueden transformar a su estado original y usarse para propósitos predictivos. En el ejemplo 10.4 se ilustra esteprocedimientopara la ecuación (10.12). Además los casos 12.2 y 12.3 proporcionan ejemplos de este tipo de cálculos aplicados a problemasdeingeniería.
- 346. REGRESION 335 Ejemplo 10.4 Linealización de unaecuacióndepotencias Enunciado del problema: ajústesela ecuación (10.12)a los datos del cua- dro 10.3usando una transformación logaritmica de esos datos. CUADRO 10.3 Datos para ajustar en la ecuación de potencia X Y log x log Y 1 0.5 O -0.301 2 1.7 0.301 0.226 3 3.4 0.477 0.534 45.7 0.602 0.753 5 8.4 0.699 0.92:! Solución: en la figura 10.10~~se muestra una gráfica de los punto origi- nales en su estado sin transformación. En la figura 10.10bse muestra una FIGURA 10.10 a) Gráfica de datos sin transformación, junto con la ecuación de poten- cias que ajusta los datos. b)Gráfica de los datos transformados, usados al determinar los coeficientes de la ecuación de potencias.
- 347. 336 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS ~ gráficalog-logde los datostransformados.Laregresiónlinealde los da- tos transformadoslogarítmicamntegenera la ecuación: log y = 1.75log X - 0.300 Por lo tanto, la intersección, log a2, esigual a -0.300, porconsiguien- tetomando el mando el antilogaritmo,a2 = = 0.5. Lapendien- tees b2 = 1.75. Como consecuencia la ecuación de potencias es: y = O . ~ X ' . ~ ~ Esta curva, como lo muestra la figura 10.lob, indica un ajuste aceptable. 1O. 1.6 Comentarios generales sobre la regresión lineal Antes de continuar conla regresión curvilínea y múltiple, se debe recalcar la naturaleza introductoria del material anterior sobre regresión lineal.Se ha enfocado en la forma simple y eluso práctico de las ecuaciones para ajustar datos. Se debeestar conciente dequeexisten aspectos teóricos de regresión que tienen importancia en la solución de problemas pero que van más allá del alcance de este libro. Porejemplo, existen algunas hipó- tesis estadísticas inherentes al procedimiento de mínimos cuadrados lineales tales cómo: 1. x tiene un valor fijo; no es aleatorio y se midesinerror 2. Los valores de y sonvariables aleatorios independientesy tienen to- daslamismavarianza. 3. Losvalores de y para una x dada deben estar distribuidos de manera uniforme. Estashipótesissonimportantes enel desarrollo y uso correctode la re- gresión.Por ejemplo, laprimera hipótesis, 1) significaquelas x deben estarlibresdeerror y la segunda 2) que laregresiónde y contra x no es lamismaquelade x contra y (pruébeseel problema 10.4 alfinaldel capítulo). Se sugiere consultar otras referencias talescomo Draper y Smith (1981) y de esta forma apreciar aspectos y matices de la regresión que vanmás alládel alcance de estelibro. 10.2 REGRESIóN POLINOMIAL Enla sección 10.1 se desarrolla un procedimientoqueobtiene la ecua- cióndeunalínea rectausandoelcriteriodemínimos cuadrados. Aigu-
- 348. REGRES16N 337 nosdatosdeingeniería,aunquemuestren un marcadopatrón como el de lafigura 10.8, se representan pobremente mediante unalínea recta. En estos casos, se ajustamejor unacurva a los datos. Como se analiza enla sección anterior, un métodoparallevar a cabo esteobjetivoes el de usar transformaciones. Otra alternativaes ajustar polinomiosa los da- tos usandoregresiónpolinomial. El procedimiento de mínimos cuadradosse puede extender fácilmente y ajustardatos a un polinomiodem-ésimogrado: y = a0 + alx + a2x2+ * * + a,xm En este caso, la sumade los cuadradosde losresiduos es [compárese con la Ec. (10.3)]: n Sr= (yi - a. - alxi - a2x? - * . - amx?)2 [10.17] i= 1 Siguiendo elmismo procedimiento dela sección anterior, se toma la de- rivada de la ecuación (10.17)con respecto a cada uno de los coeficientes delpolinomio,para obtener: Estas ecuaciones se puedenigualar a cero y reordenarde tal forma queseobtenga el siguienteconjuntode ecuaciones normales:
- 349. 338 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS en dondetodaslassumatorias van desde i = 1 hasta n. Nótesequelas m + 1ecuaciones anterioressonlineales y tienen m + 1 incógnitas:ao. al, ..., a,. Los coeficientes delasincógnitas se puedencalculardirecta- mente de los datos observados. Por lo tanto, el problema de determinar polinomios de gradom con mínimos cuadradoses equivalentea resolver un sistemade m + 1 ecuaciones linealessimultáneas. Los métodos de solución de estos sistemas se analizanen los capítulos 7 y 8. Así como en la regresión lineal, el error enla regresión polinomial se puedecuantificarmediante el errorestándarde la aproximación: %/x = u'".- n - (m + 1) [10.19] en donde m es elordendelpolinomio.Estacantidad se dividepor n- ( m + 1) ya que se usaron m + 1 coeficientes - a. , al,...,am- derivadosde los datosparacalcular S; por lo tanto, se hanperdido m + 1gradosdelibertad.Ademásdelerror estándar, se puedecalcular también el coeficiente de correlación en la regresión polinomial de la mis- ma maneraquepara el caso lineal: r2 = S" - Sr S" Ejemplo 10.5 Regresión polinomial Enunciado del problema: ajústese un polinomio de segundo orden a los datosdelasdoscolumnasdelcuadro 10.4. Solución: de los datos dados: m - 2 x, = 15 2,xp = 979 n = 6 y, = 152.6 xx,y, = 585.6 - x = 2.5 x' = 55 2 x'y, = 2 488.8 I 5 = 25.433 x? = 225 Por lo tanto, las ecuaciones linealessimultáneas son: 6ao + 15al + 55a2 = 152.6 15ao + 55al + 225a2= 585.6 55ao + 225a1 + 979a2= 2 488.8
- 350. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 339 CUADRO 10.4 Cálculos del análisis de error de un aiurte cuadráticocon mínimos cuadrados. O 2.1 544.44 O. 143 32 1 7.7 31 4.47 1.O02 86 213.6 140.03 1.08158 327.2 3.12 0.804 91 440.9 239.22 0.61 9 51 5 61.1 1 272.11 0.094 39 c. 152.62513.393.746 57 I Resolviendoestas ecuaciones conalgunadelas técnicas como laelimi- 1 nacióngaussiana se obtiene: 1 a0 = 2.47857 I al = 2.35929 ' a2 = 1.86071 1 Por lo tanto,la ecuación cuadrática con mínimos cuadrados en este caso es: y = 2.478 57 + 2.359 29x + 1.860 71x2 El error estándar de la aproximación,basadoenlaregresiónpolinomial es [Ec. (10.191: sy/x = E= 1.12 El coeficientededeterminación es: 2 513.39 - 3.746 57 r2 = 2 513.39 = 0.998 51 y el coeficientedecorrelación es: r = 0.999 25 Estos resultados indican que el 99.851% de la incertidumbre originalse ha explicadomediante el modelo. Esteresultadoapoya la conclusión de que la ecuación cuadrática representaun ajuste perfecto, como es evi- dente enlafigura 10.11.
- 351. 340 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 10.11 Ajuste de un polinomiode segundo orden. FIGURA 10.12 Algoritmopara implernentarlaregresiónpolinomial.
- 352. REGRESldN CUADRADOS 341 SUBROUTINE POLREG(X,P,A) DIMEIiSION X(15),Y(15).A(15.161 IP=Io*1 2030 FOR L = 1 TO N 2000 FOR I = 1 TO I O + 1 2010 FOR J = 1 TO IO + 1 2020K = I + J - 2 IO = order of regression ccnnoN N,IO polynolnsal N = number of data oolnts 2050 2060 2090 2100 DO 2100 I=l,IP DO 2060 J=l,IP K=I+J-2 W 2050 L=l,N A(I,Jl=A(I.Jl+X(L)~~K CONTINUE CONTINUE ~~ 2040 A ( I , J ) = A ( I , J ) + x ( L ) 2050 NEXT L 2070 FOR L = 1 TO N 2060 NEXT J 2080 A ( I , I O + 2 ) = A ( I , I O + Y ( L ) t X ( ¡ ) ( 1 - 1 ) K- (Determlnatlon of coefficlents of normal equations and storage In matrix A l (Deterrnlnation of 2) +, " 2090 NEXT L " .. right hand side constants M) 2090 L=l,N ' 2100 NEXT I IR=lP+l 2 11O RETURN CONTINUE A ~ 1 , I R ~ = A ~ I . I R ~ + Y ~ L I ~ X ~ L ~ ~ ~ ~ I - l ~ CONTINUE RETURN END and storage In last for normal equations column of rnatrlx A l FIGURA 10.13 Subrutinasen FORTRAN y BASIC que calcula las ecuaciones normales, de la regresión polinomial, en forma matrical. 10.2.1 Algoritmo para la regresión polinomial En la figura 10.12 se muestra un algoritmo sobrela regresión polinomial. Nótese que la tarea principales la obtención delos coeficientes de lasecua- ciones normales[Ec. (10.la)].(Lassubrutinas que llevan a cabo esta tarea se presentan enlafigura 10.13).En seguida se pueden aplicar los méto- dos de los capítulos 7 y 8 enla solución de estas ecuaciones simultáneas para esos coeficientes. Un problema potencial quese presenta conla implementación polino- mial es que algunasveces las ecuaciones normales estánmal condiciona- das. Esto se cumple en particular cuandolos sistemasson muy grandes. En estos casos, los coeficientescalculadossonaltamentesusceptiblesa los errores de redondeoy, por lo tanto, los resultados resultan inexactos. Entre otrascosas, este problema está relacionado con e!hecho de que parapo- linomios de órdenes superiores las ecuaciones normales pueden tenercoe- ficientes muy grandes y muy pequeños almismo tiempo. Esto se debe a que los coeficientes son sumatorias de los datos elevados a potencias. Aunque algunas de las estrategias para amortiguarlos errores de redon- deo analizadas enel capítulo 7, tales como el pivote0 y las ecuaciones de error, pueden ayudar a remediar parcialmente este problema, una al- ternativa más simple es usaruna computadora de alta precisión. Este es un caso dondelasmicrocomputadoraspuedenrepresentardesventajas en la implementación efectiva de este método numéricoen especial. Afor- tunadamente, la mayor parte de los problemasprácticosestdnlimitados apolinomiosdeordeninferior en los que los erroresde redondeo, en general, son despreciables. En situaciones dondese requiera polinomios de orden superior, se disponedeotrasalternativasparaciertostiposde datos. Sin embargo, estos métodos (talescomo los polinomiosortogona- les) van más allá del alcance de este libro. El lector debe consultar textos sobre regresión tales como el Draper y Smith (1981)para obtener infor- maciónrelacionadacon el problema y susposiblesalternativas.
- 353. 342 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 10.3 REGRESIóNLINEALMúLTIPLE Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una función lineal de doso más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una fun- ción lineal de x1 y x2, de la forma: Tal ecuación es útil particularmente cuando seajustan datos experimen- tales en donde la variable que se está analizando, a menudo es función de otras dosvariables. En este casobidimensional, la “línea” de regresión viene aser un “plano” (Fig. 10.14). Como con los casos anteriores,los “mejores”valores de los coeficientes se determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos: n Sr = (yi --‘a0 - alxl,¡ - ~ 2 , ~ ) 2 i=l y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes: [10.20] Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtienen igualando cada unade las derivadas parciales a cero y expresando la ecuación (10.20)como un conjuntodeecuaciones li- neales simultáneas, de la forma: o como una matriz:
- 354. REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 343 FIGURA 10.14 CUADRO 10.5 Esquema grafico de la regresión lineal múltiple en donde y es una fun- ción lineal de X I y X?. EJEMPLO 10.6 Regresión linealmúltiple Enunciado del problema:lossiguientesdatos se calcularon de la ecua- ción y = 5 + 4x1 - 3x2. 2 O O 5 1 2.5 10 1 2 9 3 O 4 7 6 2 3 27 Úseseregresiónlinealmúltipleparaestos datos. Cilculos necesariospara desarrollar las ecuaciones normales del eiemplo10.6 Y X I x2 x: x f x1x2 XI Y *2Y 5 O 0 0 10 O 2 O 1 4 0 1 0 9 2.5 2 2 20 6.25 10 O 1 3 45 22.518 1 34616 9 3 36 0 0 277 2 491418954 24 12 4 18 E 54 16.51476.255448243.5
- 355. 344 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Solución: las sumatorias necesarias para desarrollar la ecuación (10.21) se calculan en el cuadro 10.5.Sustituyéndolas enla ecuación (10.21)se obtiene: [;{.5 :::5 g]54 [a2 = [g.51 que se puede resolver usando un método comola eliminación gaussiana para obtener: a. = 5 al = 4 a2 = -3 los cuáles son consistentes con la ecuación original de donde sederiva- ron los datos. La regresión lineal múltiple se puede formular en el caso más general como: y = a0 + alxl + a2x2 + * * . + a,xm en dondelos coeficientes que minimizan la suma delos cuadrados delos residuos se determinan resolviendo el sistema: El error estándar de la aproximación para regresiónli formula de la siguiente manera: [10.22] neal múltiple se y el coeficiente de correlación se calcula como en la ecuación (10.10). Aunque existenciertos casos en donde una variable es linealmente dependiente de dos o más variables diferentes, la regresión lineal múlti-
- 356. REGRES16N CON MíNIMOS CUADRADOS 345 pletieneutilidadadicionalenlaobtención de ecuaciones de potencias de la forma general: Tales ecuaciones son extremadamente útilescuando se ajustan datosex- perimentales. Además, para usar la regresión lineal múltiple, lasecuacio- nes se transforman tomando su logaritmopara obrener: log y = log a0 + allog x1 + a2 log x2 + * + a, log x,,, Estatransformación es similar a las que se usanenla sección 10.1.3y el ejemplo 10.4paraajustarunaecuación de potencias en donde y era una función de una variable simple x. Enel caso de estudio 12.5se pro- porciona un ejemplodeestaaplicación. PROBLEMAS Cálculos a mano 10.1 Dados los datos 0.95 1.42 1.54 1.32 1.15 1.47 1.46 1.47 1.92 1.85 1.74 1.65 2.39 1.82 2.06 1.55 1.63 1.95 1.25 1.35 1.05 1.78 1.71 2.14 2.27 determínese a) la media, b) la desviación estándar, c) lavarianza y d) el coeficiente de variación. 10.2 Constrúyase un histograma de los datos delproblema 10.1.Usese un rango de 0.6 a 2.4 con intervalos de 0.2. 10.3 Dados los datos 52 6 18 21 26 28 32 39 22 28 24 27 27 33 2 12 17 34 29 31 34 43 36 41 37 43 38 46 determínese a) la media. b) la desviación estándar, c) la variara y d) el coeficiente de variación. e)Constrúyase un histograma.k e s e un intervalo de O a 55 con incrementosde 5.fl Supo- niendo que ladistribución es normal y que la aproximación de la desviación estándar es
- 357. 346 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS- 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 válida, calcúlese el intervalo (es decir,los valores inferior y superior) que abarqueel 68% de las lecturas. Determínese si ésta es una aproximación válida para los datos de este problema. Utilicela regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a: x I 1 3 5 7 10 12 13 16 1820 y 1 3 2 6 5 8 7 1 0 9 1 2 1 0 J w t o con la pendiente y la intersección, calcúlese el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea de regresión. En seguida repítase el problema, pero ahorax contra y; es decir,intercámbiense las variables. Inter- prétense los resultados. Úsese regresión de mínimos cuadrados para ajustaruna línea recta a: x 1 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28 28 34 36 38 y 1 30 18 22 28 14 22 16 8 20 8 14 14 O 8 Junto con la pendiente y la intersección, calcúlese el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea de regresión. Si alguien realizó una medida adicional de x = 30, y = 30, ¿se esperaría basándose en una obser- vación visual y en el error estándar, quela medida fuese válida o inválida? Justifíquense las conclusiones. Empléese regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea rectaa los datos: x+ O 2 4 4 8 12 16 20 24 28 30 34 10 12 18 22 20 30 26 30 26 28 22 20 a) Junto con la pendiente y la intersección. calcúlese el error estándar dela aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea recta. Valórese el ajuste. b) Repítase el cálculo de a) pero usando regresión polinomial para ajustar una parábola a los datos. Compárense los resultados con los de a). Ajústese un modelo de promedio de crecimiento de saturacijn a' x I 1 2 2.5 4 6 8 8.5 y I 0.4 0.7 0.8 1.0 1.2 1.3 1.4 Grafíquense los datos y la ecuaciqn. Ajústese una ecuación de potenciasa los datos del problema 10.7.Grafíquense los datos y la ecuación. Ajústese una parábola a los datos del problelna 10.7.Grafíquense los datos y la ecuación.
- 358. REGRESION CON CUADRADOS 347 10.10 Ajústese unaecuacióndepotencias a: x 1 2.5 3.5 56 7.5 10 12.5 15 17.5 20 y I 5 3.4 21.6 1.2 0.8 0.6 0.4 0.3 0.3 Grafíquese y contra x además de la ecuación de potencias 10.11 Ajústese un modeloexponencial a: x I 0.05 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 y I 550 750 1000 1400 2000 2700 3750 Grafíquense los datos y la ecuación en papel estándary semilogarítmico. Analícense los resultados. 10.12 Ajústese una ecuación de potencias a los datos del problema 10.11.Grafíquense los da- tos y la ecuación. 10.13 Ajústese una parábola a los datos del problema 10.11.Grafíquense los datos y la ecuación. 10.14 Dados los datos: x 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y I 17 25 30 33 36 38 39 40 41 42 Úsese regresión con mínimos cuadrados para ajustar a) a una línea recta, b) a una ecua- ción de potencias, c) a una ecuación de promedio de crecimiento de saturación y d) a una parábola. Grafíquense los datos junto con todaslas curvas. ¿Alguna de ellas es me- jor? Si es así justifíquese. 10.15 Ajústese a unaparabolaa: x 1 O 2 4 69 11 13151719232528 y I 1.2 0.6 0.4 -0.2 O -0.6 -0.4 -0.2 -0.4 0.2 0.41.2 1.8 Calcúlense los coeficientes, el error estándar dela aproximación y el coeficiente de corre- lación. Grafiquense los resultados y valórese el ajuste. 10.16 Úsese regresión lineal múltiple paraajustar: X l I O 1 2 0 1 2 X2 y 1912 11 24 2215 2 2 4 4 6 6 Calcúlense los coeficientes, el error estándarde la aproximación y el coeficiente decorrelacihn.
- 359. 348 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 Usese regresiónlinealmúltiplepara ajustar: x1 x2 1 1 2 2 3 3 4 4 18 12.825.720.6 35.0 29.845.540.3y 1 2 1 2 1 2 1 2 Calcúlense los coeficientes, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de corre- lación. Problemasrelacionadoscon la computadora Desarrólleseun programa legible al usuario para regresión lineal basado en la figura 10.6. Entreotras cosas: a) Agréguense instrucciones que documenten el programa. b) Háganse másdescriptivas las operaciones de entrada salida y orientadas al usuario. C) Calcúlese e imprímaseel error estándar de la aproximación [Ec.(10.9)]y el coeficiente de correlación [la raíz cuadrada de la ecuación (10.10)]. d) (Opcional)Inclúyase una gráfica por computadora delos datos y de la línea de regresión. e) (OpcionalInclúyase una opción que permita analizar ecuaciones deltipo exponencial, de potencias y depromediode crecimiento de saturación. Desarróllese un programa que sea legible al usuario para regresión polinomialbasado en las figuras 10.12 y 10.13.Pruébese el programa repitiendo los cálculos del ejemplo 10.5. Desarróllese un programa que sea legible al usuario para la regresión múltiple basado en lafigura 10.12, pero con lamatriz especificada como la ecuación (10.22).pruébese el progrmarepitiendo los cálculos del ejemplo 10.6 Repítanse los problemas 10.4 y 10.5 usando el programadelproblema 10.18 Úsese el paquete de programas NUMERICOMP para resolver los problemas 10.4, 10.5 y 10.6a Repítanse los problemas 10.9, 10.13 y 10.15 usando el programa del problema 10.19. Repítanse los problemas 10.16 y 10.17 usando el programadelproblema 10.20
- 360. C A P í T U L O O N C E Confrecuenciasetienenqueestimarvaloresintermediosentrevalores conocidos. El método más común empleado para este propósitoes la in- terpolaciónpolinominal. Recuérdese que la fórmulageneral de un polinomioden-ésimo or- den es: f(x) = a0 + a1x + a2x2+ * + anxn [11.1] Para n + 1 puntos, existeuno y sólo un polinomio de n-ésimoorden o menor que pasaa través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (esdecir, un polinomio de primer orden) queconecta dos puntos (Fig. 11.la). De manera similar hay sólo una parábolaque conecta a tres puntos (Fig. 11.lb). El polinomio de interpolaciónconsisteendetermi- narelÚnicopolinomio de n-ésimoorden que se ajusta a los n + 1 pun- tos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcularlos valores intermedios. Aunque existe unoy sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existenunagranvariedaddefórmulasmatemáticas FIGURA 1 1 . 1 Ejemplos de interpolación polinomial:a) Primer orden (lineal),conexión de dos puntos; b) conexión de tres puntos, segundo orden (cuadrática o parabólica) y c) conexión de cuatro puntos, tercer orden(cúbico).
- 361. 350 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En este capítulo, se estudian dos técnicas alternativas que est6n bien condicionadas para implementarse en una microcomputadora. Estos son los polinomios de Newton y los de Lagrange. 11.1 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNCON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Como ya se dijo, existe una variedad de maneras diferentes de expresar un polinomio de interpolación. El polinomio de interpolacióncondife- rencias diuididas de Newton, entre otros, es la forma más popular además de la más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan las ver- siones de primero y segundo orden debido a sufácil interpretación visual. 11.l. 1 Interpolación lineal La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal,se muestra en la figura 11.2. Usando triángulos semejantes, se tiene: FIGURA 11.2 Esquema gráfico de la interpolación lineal. Las áreossombreadas mues- tran triángulos semejantes usados en la derivación de la fórmula de in- terpolaciónlineal [€c. (1 1.2)].
- 362. INTERPOLACldN 351 que se puedereordenar como: [11.2] lacual es unafórmuladeinterpolaciónlineal. La notación fl(x) indica que se trata de un polinomio de interpolacióndeprimer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, eltérmino Lf(xl)-f (xo)]/(xl- xo)es una aproximación de di- ferencias divididasfinitas a laprimeraderivada [recuérdesela ecuación (3.24)].En general, entre máspequeño sea el intervalo entre lospuntos, más exacta será la aproximación. Esta característica se demuestra en el ejemplo, siguiente. EJEMPLO 1 l . 1 lnterpolaciónlineal Enunciado del problema: calcúlese el logaritmo natural de 2 (In 2) usan- do interpolación lineal. Primero, llévense a cabo los cálculos interpolan- do entre In 1 = O y In 6 = 1.791 759 5. Despuésrepítanse el procedimiento,perousando un intervalomás pequeño desde In 1a In 4 (1.386 294 4). Nóteseque elvalorrealde In 2 = 0.693 147 18. Solución: usando la ecuación (11.2),unainterpolaciónlinealde x = 1 a x = 6 da: f,(2) = 0 + 1.791 759 5 - O 6 - 1 (2 - 1) = 0.358 351 90 la cual representa un error porcentualde = 48.3%.Usando el intervalo más pequeño desde x = 1 a x = 4 da: fi(2)= 0 + 1.386 294 4 - O 4 - 1 (2 - 1) 0.462 098 13 Por lo tanto, usandoelintervalomás pequeño reduce elerrorrelativo porcentual a E, = 33.3%.Ambasinterpretaciones se muestranen la fi- gura 11.3,juntocon lafunción verdadera. 1 l. 1.2 interpolación cuadrática El errorenelejemplo 11.1se debe a que se aproximó unacurva me- diante una línearecta. Por consiguiente,una estrategia que mejora la apro-
- 363. 352 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS FIGURA 11.3 Dos interpolaciones lineales para aproximar In 2. Nótese cómo el intervalo más pe- queño proporciona una mejor aproximación. ximación es la de introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos: lo anterior se puede llevar a cabo conun polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cua- drático o parábola). Una manera conveniente para este caso es: Nótese que aunque la.ecuación (11.3)parezca diferente de la ecuación general de un polinomio [Ec. (11.l)], las dos ecuaciones son equivalen- tes. Esto se puede demostrarsi se multiplican lostérminos de la ecuación (11.3)y obtener: A(x) = bo + blx - blxo + b2X2 + bzxoxl - ~ ~ x x O- b2XXI o, agrupando términos: f2(x) = a0 -t alx + a2x2 en dónde:
- 364. INTERPOLACI6N 353 De esta manera, las ecuaciones (11.1)y (11.3)son fórmulas alternativas equivalentes del Único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos. Se puedeusar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo, se usa la ecuación (11.3) con x = x0 y se obtiene bo = f (xo) [11.4] Sustituyendo la ecuación (11.4) en la ecuación (11.3) y evaluando en x = x1 se obtiene: [11.5] Y por último, las ecuaciones (11.4) y (11.5)se sustituyen en la ecuación (11.3),y se evalúa ésta en x = x2 y seobtiene: [11.6] Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, bl aún re- presenta la pendiente de la línea que une los puntos x0 y xl. Por lo tan- to, los primeros dos términos de la ecuación (11.3)son equivalentes a la interpolación de x. a xl, como ya se especificó anteriormenteen la ecuación (11.2).El Gltimo término, b2(x- xo)(x- xl),introduce la cur- vatura de segundo orden en la fórmula. Antes de ilustrar como se usa la ecuación (11.3), sedebe examinar la forma del coeficiente b2. Es muysimilar a la aproximación por dife- rencias divididas finitas de la segunda derivada introducida previamente en la ecuación (3.31).Por io tanto. la ecuación (11.3)empieza a mani- festar una estructura muy similar a la serie de Taylor. Esta observación se explora con más detalle cuando se relacione el polinomio de Newton con la serie de Taylor en la sección 11.1.4.Pero primero, se muestra có- mo se usa la ecuación (11.3)para interpolar entre tres puntos. EJEMPLO 11.2 Interpolación cuadrática Enunciado del problema: ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el ejemplo 11.1: x0 = 1 f(xo) = o XI = 4 f(x1) = 1.386294 4 x2 = 6 f ( ~ 2 )= 1.791759 5
- 365. 354 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS úsese el polinomio para evaluar In 2. Solución:aplicando la ecuación (11.4)da: Las ecuaciones (1l .5) generan : y la ecuación (11.6)da: 1.791 759 5-1.386 294 4 "o.426 098 13 b2 = 6-4 = - 0.051873 116 6 . 1 Sustituyendo estos valores en la ecuación (11.3)se obtiene la fórmula cuadrática: f 2 ( ~ ) O + 0.462 098 1 3 ( ~- 1)- 0.051 873 1 1 6 ( ~- l)(x- 4) que se evalúa en x = 2 y se obtiene f2(2) = 0.565 84436 lo que representa un error porcentual del .E" = 18.4%.Por lo tanto, la curvatura introducida por la fórmula cuadrática (Fig. 11.4)mejora la in- terpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una línea recta en el ejemplo 11.1y la figura 11.3. 11.1.3 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n + 1puntos. El polinomio den-ésimoorden es: j n ( X ) = bo + bl(x - ~ g )+ * * * + b,(x - XO)(X- XI) . . . (X - Xn-l) [11.7] Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráti- cas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes bo. b l , . . . . b,. Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x(),xl, , . . , x,. Usando estos datos, con las ecuaciones siguien- tes se evalúan los coeficientes: [11.8] [11.9]
- 366. lNTERPOLACl6N 355 FIGURA-11.4 uso de la interpolación cuadratica para calcular In 2.Se incluye también la interpo- lociónlineal de x = 1 a 4 para comparación. b 2 = f b 2 , x17 x01 [11.10] en donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia divididafinita se re- presenta generalmente como: [ll.121 La segunda diferencia diuididafinita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias dividas finitas, se expresa generalmente como: [11.13]
- 367. 356 MÉTODOS NUM~RICOSPARAINGENIEROS Estas diferenciasse usan para evaluar los coeficientes de lasecuacio- nes (11.8)a la (1l.ll),los cualesse sustituyen en la ecuación (11.7) pa- ra obtener el polinomiodeinterpolación: FIGURA 11.5 [11.15] Al cual se lellama polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton. Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (11.15)estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisanecesariamenteseencuentrenenordenascendente,como se ilus- traenelsiguiente ejemplo. Tambiénnótesequelasecuaciones (11.12) a la (11.14)son recursivas, esto es, las diferencias de orden superior se com- ponen de diferenciasde orden inferior (Fig. 11.5).Esta propiedadse apro- vechará al desarrollar un programa eficiente para la computadora enla sección 11.1.5 queimplementeeste método. Esquema gráfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida finita. EJEMPLO 11.3 Polinomios de interpolacion de Newtoncon diferencias divididas Enunciado del problema: enel ejemplo 11.2, se usaron los puntos en x. = 1, xi = 4 y x2 = 6 paracalcular In 2 conuna parábola. Ahora, agregando un cuartopunto [x3 = 5; f(x3)= 1.609 437 91, calcúlese In 2 con un polinomio de interpolacióndeNewtoncondiferenciasdivididas detercer orden. Solución: el polinomiodetercer orden, ecuación ( 11.3) con n = 3, es
- 368. INTERPOLACI6N 357 las primeras diferencias divididas del problema son [Ec. (11.12)J fkl, x01 = 294 - o = 0.462 098 13 4 - 1 1.791 759 5 - 1.386 294 4 = o.2o2 732 55 f k 2 , x11 = 6 - 4 1.609 437 9 - 1.791 759 5 = o.182 321 6o f[X3, x21 = 5 - 6 Las segundas diferencias divididas son [Ec.(11.13)] 0.202 73255 - 0.46209813 6 - 1 f k 2 , x19 x01 = = - 0.051 873 116 0.182 321 60 - 0.202 73255 5 - 4 fix39 x27 x11 = = - 0.020 410950 La tercera diferencia dividida es [Ec. (11.14)]con n = 31 -0.020 410 950 - (-0.051 873 116) 5 - 1 f b 3 , x2, x19 x01 = = 0.007 865 541 5 FIGURA 11.6 USOde interpolación cúbica para aproximar In 2. " " ~ - _ I .._" "X.L.1 I -."l"""-.-.---
- 369. 358 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Los resultadospara f[xl,xo],f[x2,xl,xo]y f[x3,x2,xl,x"] representan los coeficientesbl, b2y b3dela ecuación (11.7).Juntocon bo = f(xo)= 0.0 la ecuación (11.7) da f3(~) = O + 0.462 09813 (X - 1) - 0.051 873 116(X " 1 ) (X - 4) + 0.007 865 541 5(x- l)(x - 4)(~- 6) conlaquesepuedeevaluar f3(2) = 0.628 768 69 lo que representa un error relativo porcentual del t u = 9.3%.El polino- mio cúbicocompleto se muestraenlafigura 11.6.- 11.1.4 Errores en los polinomios interpolantes de Newton Nótese que la estructura de la ecuación (1l.15)es similar a la expansión de la serie de Tayloren el sentido de quelos términos agregadossecuen- cialmente consideran el comportamiento de orden superior dela función representada. Estos términosson diferencias divididas finitasy, por lo tanto, representan aproximaciones a lasderivadasdeordensuperior. En con- secuencia, como sucede con la serie de Taylor, si la función representati- va es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante den-ésimo ordenbasado en n + 1 puntosllevará a resultados exactos. También, como enel caso de la seriede Taylor, se puedeobtener unaformulacióndelerrordetruncamiento. Recuérdese dela ecuación (3.13)que elerrordetruncamientoen la seriedeTaylor se expresa en formageneral cómo: f'"'(S) (x,+1- xi)"+'R,,= (n-+ 1)! en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo [x,,x,,,),Una re- lación an6loga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden estádada por: .. [11.16] en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo quecontiene las incógnitas y los datos. Parauso de estafórmula lafunciónencuestión debe ser conociday diferenciable.Y usualmente, esteno es el caso. Afor- tunadamente, existeuna fórmula alternativa que no requiere conocimiento
- 370. lNTERPOLACl6N 359 previo de la función. Envez de ello, se usaunadiferenciadivididafinita queaproxima la (n + 1)-ésima derivada: en donde f[x, x,, x,-1 ,. . . , xo]es la (n + 1)-ésima diferenciadividi- da. Yaque la ecuación (1l.17) contiene la incógnita)(x), ésta nose pue- deresolver y obtener el error. Sin embargo, si se disponede un dato adicional f(x,+J, la ecuación (11.17) daunaaproximacióndelerror como: EJEMPLO 11.4 Estimación del error en el polinomiodeinterpolaciónde Newton Enunciado del problema: úsesela ecuación (11.18) para calculare! error del polinomio de interpolación de segundo orden del ejemplo112 . Usense los datosadicionales f(x3) = f(5) = 1.609 437 9 para obtener los re- sultados. Solución: recuérdese que en el ejemplo 11.2 el polinomiodeinterpola- cióndesegundoordenproporcionóunaaproximaciónde f(2) = 0.565 844 346, querepresenta un errorde 0.693 147 18 - 0.565 844 346 = O. 127 302 835.Si no se sabe elvalor verdadero, como es enla ma- yorparte de los casos, se puede usarla ecuación (1l.18),junto con el valoradicionalen x3,paracalcular el error, como O R2 = 0.007 865 541 5 (X - l)(x - 4 ) ( ~- 6) en donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer ordense calcu- ló previamente enel ejemplo 11.3. Estarelación se evalúa en x = 2 y se obtiene: R2 = 0.007 865 541 5 (2 - 1)(2 - 4)(2 - 6) = 0.062 924 332 quees delmismoordenqueelerrorverdadero
- 371. 360 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 11.1.5 Programa de computadora para el polinomio de interpolación de Newton Son tres las propiedades que hacen delpolinomio de interpolación de Newton un método extremadamente atractivo para usarse en una computadora: 1. Como enla ecuación (11.7),las versiones de orden superiorse pue- den desarrollar secuencialmente agregandoun término simplea la si- guiente ecuación de orden inferior. Esto facilitala evaluación de varias versiones de orden diferente enelmismo programa. Esta capacidad es muy útil cuando no seconoce a priori el orden del polinomio. Agre- gando nuevos términossecuencialmente,puede determinarse cuán- dosealcanza un puntode retorno, es decir, cuándo al agregar un término de orden superior no se mejora significativamentela aproxi- mación o en ciertos casos se disminuye. Lasecuacionesde error ana- lizadasenelpunto (3)sonútilesaldefinir un criterioobjetivoen la determinacióndeestepuntodetérminos decrecientes. 2. Las diferenciasdivididasfinitas que constituyen los coeficientes del polinomio [Ec. (11.8) a la (11.1l)] se calculan con una relación re- cursiva.Esto es, como enla ecuación (11.14) y lafigura 11.5, las diferencias de orden inferior se usan para calcular las diferencias de orden superior. Usando la información previamente determinada,los coeficientes se calculan eficientemente.El programa dela figura 11.7 contiene este esquema. ORTRA ASIC DIMENSION F X C 1 0 , l O ) ~ X ~ l O ) READ<5 , l )N 1 FORRLTC I S ) DO 140 I - $ . N READ<S,2)X<I ) , F X <I , 1 ) 2 FORMAT<2F1 U ~ 0 ) 140 CONTINUE M-N-1 DO 2 0 0J - I , M NP-N- J K=J+T DO 190 I=l,NP F x ( I , K ) - ~ F X ~ I + l , J ) - F ~ ~ I , J ~ ) ~ ~ X ( I + J ) - % ~ I ) ~ 190CONTINUE 200 CONTINUE DO 230J=t,N 3FORMRTC. - , F 1 0 . 3 ) W R I T E ( 6 , 3 > F X ( I , J ) 2 3 0 CONTINUE RERD<S,2)XI F A - l . Y.0, DO 340 J-V.N Y-Y+FX< 1 , J >+Fa WRITE(6,3)Y FA-FR*<XI-X( J i ) EAnFArFX<1, JP > JP-J+l WRITEC6,J)EA IF CJ.GE.N)COTO350 340 CONTINUE 350 STOP END F h l N T EA I E X I . I F FIGURA 11.7 Programaparacomputadoradelpolinomiointerpolante de Newton
- 372. INTERPOLACldN 361 3. Laecuacióndeerror [Ec. (11.18)]se expresa entérminosdelasdi- ferencias divididas finitas que yase han calculado para determinar los coeficientesdelpolinomio.Por lo tanto, si se guardaestainforma- ción, se calculaelerroraproximado sinvolver a calcularestas can- tidades. Todas las características anterioresse pueden aprovechar e incorpo- raren un programageneralparacomputadoraqueimplementeelpoli- nomio de Newton (Fig. 11.7).Aligual que todoslos programas del libro, esta versión no se documenta. Además, no incluye el error aproximado mencionado en el punto (3).Una de las tareas esla de hacereste progra- mamáslegiblealusuario (véase elproblema 11.11) y queincorpore la ecuación de error. La utilidad de esta ecuación se demuestraenel ejem- plosiguiente. EJEMPLO 11.5 Uso de la estimación de error para determinar el orden apropiado de interpolación Enunciadodel problema: después de incorporarel error [Ec. 11.181, uti- lícese el programa de computadora dado en lafigura 11.7 y la siguiente informaciónparaevaluar f(x) = In x en x = 2. x f(x)= In x 1 O 4 1.386 294 4 61.791 759 5 5 1.609 437 9 3 1.O9861 23 1.5 0.405 465 11 2.5 0.916 290 73 3.5 1.252 763 O Solución: losresultados de emplear elprograma de lafigura 11.7 para obtener la solución se muestranen la figura 11.8. Enla figura 11.9 se representa el error aproximado,junto con el error verdadero (basadoen el hecho deque In 2 = 0.693 147 18).Nótesequeelerrorcalculado y el verdadero son similaresy su coincidencia mejoraa medida quecrece el orden. Dela gráfica se puede concluir que las versiones de quinto or- den llevan a una buena aproximación y que los términos de orden supe- riornoprecisansignificativamentelapredicción. Este ejercicioilustra también la importancia de la posición y orden de los puntos. Por ejemplo, las aproximacionesde orden superior al tercero mejoranmáslentamente ya que los puntosque se le agregan(en x = 4 , 6 y 5) estándistantes y a un ladodel punto en cuestión en x = 2.
- 373. 362 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS -a Number of data potnts FIGURA 11.8 Salida del programa BASIC para evaluar In 2. La aproximación de cuarto orden muestra mayor mejoría porque elnue- vo punto en x = 3 está más cerca de la incógnita. Sin embargo, el decre- mento en el error más dramático estáasociado conla inclusión del término dequintoordenusando los datos en x = 1.5. No sólo estepuntoestá cerca de la incógnita sino tambiénse encuentra al lado opuesto de la ma- yor parte de los puntos. En consecuencia, el error se reduce casi una or- den de magnitud. El significado dela posición y secuencia de los datos pueden también ilustrarsealusar los mismosdatospara obtener unaaproximaciónpara In 2, pero considerando los puntosenuna secuencia diferente. Enla fi- gura 11.9 se muestran los resultadosparael caso enque se inviertenel ordende los puntosoriginales, esto es, x. = 3.5, x1 = 2.5, x2 = 1.5, etc. Debido a que los puntos iniciales en estecaso se encuentranmás cerca y espaciados a los lados de In 2, el error decrece mucho más rápidamen- teque enla situaciónoriginal.Medianteeltérmino de segundo orden, elerror se hareducido a un nivelrelativoporcentualdemenosdel E, = 2%. Se pueden emplear otras combinaciones para obtener diferentesprome- dios de converqencia. El ejemplo anterior ilustra la importancia de escoger los puntos base. Como es obvio, los puntosdebenestartan cerca como sea posiblede lasincógnitas.Estaobservacióntambiénsenotaporsimpleexamendela ecuacióndeerror [Ec. (11.17)]. Suponiendo que la diferenciadividida
- 374. FIGURA 11.9 11.2 Errores relativos porcentuales en la aproximación de In 2 en función del ordendelpolinomiodeinterpolación. finita no varía demasiadoa lo largo del rango de datos, entonces el error es proporcional al producto:(x - xo)(x - xl) . . . (x - x,,).Obviamen- te, mientrasmás cercanos estén los puntosbase a las x, menorserá la magnitud de este producto. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una refor- mulación del pqlinomio de Newton que evita los cálculos de las diferen- ciasdivididas.Este se puederepresentar concretamente cómo: en donde: [11.19]
- 375. 364 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS [11.20] endonde I’I denota el “producto de.”. Porejemplo, la versiónlineal (n = 1)es: I y la versión de segundo orden es: [11.21] [11.22] Al igual que el método de Newton,la versión de Lagrange tiene un error aproximado, dado por: n La ecuación (11.19)se deriva directamente del polinomio de New- ton (recuadro 11.1).Sin embargo, la razón fundamental de la formula- ción de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(x)será 1en x = x,y O en todos los demás puntos. Por lo tan- to, cada producto LJx) f(xi)toma un valor de f(x,)en el punto x,.For consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (11.19)es el Único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n + 1puntos. RECUADRO 1 1 . 1 Derivación delaformadeLagrange directamente del polinomio de interpolación deNewton El polinomio deinterpolación de Lagrange se puedederi- var directamente de la formulación de Newton. Se hará esto en el caso de primer orden, f [XI, x03 = f(XI) - f (xo, x1 - x0 fdx) = f(x0) + (x - xO)f[Xl, x01 [B11.1.1] sepuede reformular como: Para derivar la forma de Lagrange, se reformulan las di- ferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia di- f b l , x03 = ___f(x1) + ~ f (x01 [B11.1.2] vidida. x1 - x0 x0 - XI
- 376. INTERPOLACldN 365 a la cual se le conoce con elnombre de forma simétrica. Finalmente, agrupando términos similares y simplifican- Sustituyendo la ecuación (B11.1,2) en la ecuación do, se llega a la forma de Lagrange, (B1l.l.l)se obtiene EJEMPLO 11.6 Polinomios de interpolación de Lagrange Enunciado del problema: úsese un polinomio de interpolaciónde Lagrange de primero y segundo orden paraevaluar In 2 en base a los datos dados en el ejemplo 11.2: x0 = 1 f(xo) = o XI = 4 !(XI) = 1.386 294 4 x2 = 6 f ( ~ 2 )= 1.791759 5 Solución: el polinomio de primer ordenes [Ec. (11.21)] y, por lo tanto, la aproximación en x = 2 es 2 - 4 2 - 1 f l k ) = ~ O+"- l " 44 - 1 1.386 294 4 = 0.462 098 1 De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como [Ec. (11.22)]: + (2 - 1)(2- 4) (6 - 1)(6 - 4) 1.791 759 5 = 0.565 844 37 Como se esperaba, ambosresultados coinciden muy de cerca con los que se obtuvieron previamente usando la interpolación polinomialde Newton.~
- 377. 366 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS En resumen, paralos casos en dondeel orden del polinomio se des- conozca, el método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento delas diferentes fórmulas de orden superior. Ade- más, la aproximación del errordada porla ecuación (1l.18),en general, puede integrarse fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproxi- mación usa una diferencia dividida (Ejemplo 11.5).De esta forma, des- de el punto de vista de cálculo, a menudo,se prefiere el método de Newton. Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos méto- dos, el de Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo decálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange esun poco másfácil de pro- gramar. También existen casos en dondela forma de Newton es mássus- ceptible a los errores de redondeo (Ruckdeschel, 1981).Debido a esto y a que no requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuandoel orden del polinomio se cono- ce a priori. EJEMPLO 11.7 Interpolación deLagrange usando computadora Enunciado del problema: en el paquete NUMERICOMP que acompaña a este textose encuentra un programa legible al usuario que implementa la interpolación de Lagrange. Se puede usar este paquete para llevar a cabo un problema de análisis asociado con el problema de paracaidista. Supóngase que se ha desarrolladoinstrumentación para medir la veloci- dad del paracaidista. Los datos medidos para una pruebaparticular son: Tiempo, Velocidad medida S v, cmls 1 800 3 2 310 5 3 090 7 3 940 13 4 755 El problema es determinar la velocidaddelparacaidista en t = 10 S y llenar el gran espacio de medidas entre t = 7 y t = 13s. Se sabe que el comportamiento delos polinomios de interpolación puede ser inespe- rado. Por lo tanto, se construyen los polinomios de órdenes 4, 3, 2 y 1 y se comparan los resultados. Solución: el programa NUMERICOMP se usa para construir los polino- mios de interpolación de cuarto, tercero, segundo y primer orden. Los resultadosson
- 378. INTERPOLACldN 367 COEFICIENTEDE: Ordendel cuartotercer segundo primer cero calculado de polinomioorden ordenorden orden orden v para t = 10 S 4 -1.7630244.87501-392.871813.625-663.8675430.195 3 -4.49858676.093751.2392581742.6564874.838 2 -36.14584858.75-300.10354672.81 1 135.83332989.1675 Valor El polinomio de cuarto ordeny los datos de entrada segrafican como se muestra en la figura 11.loa. Es evidente en esta gráfica que el valor aproximado de y en x = 10es mayor que la tendencia total de los datos. FIGURA 11.10 Gráficas generadas por computadora, las cuálesmuestran a) interpolación de cuar- to orden; b) de tercer orden c) de segundo orden y d) de primer orden.
- 379. 368 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Enlafigura 11.10b a la d se muestrangráficas de los resultadosde los cálculos delos polinomios de interpolación de tercero, segundo y pri- mer orden. Se nota que al disminuir el orden del polinomio de interpola- ción se disminuyeelvalor aproximado dela vecindad a t = 10 s. Las gráficas de los polinomios de interpolación indican quelos polinomios de orden superior tiendena descomponer la tendencia de los datos. Estosu- giere que los polinomios de primero o segundo grado son más apropia- dos en este análisis en particular. Se debe recordar, sin embargo, que ya que se tratadedatosinciertos, la regresiónpodríasermás apropiada. 11.3 COMENTARIOSADICIONALES Antes de proceder con la siguiente sección, se deben mencionar dos te- masadicionales: la interpolacióncondatosigualmenteespaciados y la extrapolación. Ya que los métodos deNewton y Lagrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, el lector debe preguntarse por qué se aborda el caso de los datosigualmenteespaciados (recuadro 11.2). Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodostu- vierongranutilidadenlainterpolacióndetablas condatosigualmente espaciados. De hecho se desarrolló un esquema conocido como tabla de diferenciasdivididas para facilitar la implementación de estas técnicas (la figura 11.5 es un ejemplodeestas tablas). Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de Newtonde Lagrangecompatiblescon la computadora y ya que se dispone de muchas funciones tabularescomo rutinas de biblio- teca, la necesidad de puntos equiespaciados se fue perdiendo. Por esta razón, se han incluido en esta parte del libro por su importancia en partes posterioresdel mismo. En particular, se pueden emplearenla derivación de fórmulas de integraciónnuméricaqueempleancomúnmentedatos equiespaciados (capítulo 13). Ya quelasfórmulasdeintegración numé- rica tienen importancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. el material del recuadro 11.2 también tiene importanciaen el capítulo 17. RECUADRO 11.2 lnterpolación con puntos igualmente epaciados Si los datos se encuentran igualmente espaciadosy en or- En donde h es el intervalo, o tamaño del paso, entre los den ascendente, entonces la variable independiente su- datos. En base a esto, las diferencias divididas finitas se pone valores de pueden expresar en forma concisa. Porejemplo, la segun- da diferencia dividida es
- 380. INTERPOLAC16N 369 que se puede expresar como ya que x, - x1 = x1 - x2 = (xo- x?)/2 = h. Ahora recuérdese que la segunda diferencia dividida hacia ade- lante A2j(xo)es igual al numerador de la [Ec. (3.3111. A2f(x0) = f(x0) - 2f(xJ + f(x2) Por lo tanto, la ecuación (B11.2.1)se puede representar mediante: o. en general. [B11.2.2] Usando la ecuación (Bll.2.2),el polinomio de interpola- ción de Newton [Ec. (11.15)]se puede expresar enel ca- so de datos igualmente espaciados como A"f (x0)+- n !h" (X - XO)(X - xo - h) {X - xo - (n - 1)h) + R n [B11.2.3] en donde el residuo es el mismo de la ecuación (11.16). Esta ecuación se conoce como fórmula de Newton ofórmula hacia adelante de Newton -Gregory. Esta se puedesim- plificar más aún definiendo una nueva cantidad, (Y: X" h (y=- Esta definición se puedeusar para desarrollar la siguiente expresión simplificada de los términosen la ecuación (8112.3): los cuales pueden sustituirse en la ecuación (B11.2.3) para dar (a - n + 1) + R, [B11.2.4] en donde Esta notación concisa tieneutilidad en la derivación y aná- lisis de error de las fórmulas de integración del capítulo 13. Además de la fórmula hacia adelante, existen tam- bién lasfórmulas centrales y hacia atrásdeNewton- Gregory. Se puedeconsultar Carnahan, Luthery Wilkes (1969)para mayor información acerca dela interpolación de datos igualmente espaciados. La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(x)que cae fuera delrangode los puntosbase conocidos, xo,x1 ,. . . , x, (Fig. 11.11). En una sección anterior,se dijo que la interpolación más exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de lospuntos base. Obvia- mente, esto no sucede cuando las incógnitascaen fuera del rango, y por lo tanto, elerrorenla extrapolaciónpuedeser muy grande. Como se
- 381. 370 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS FIGURA 1 1 . 1 1 Ilustración de las posiblesdivergenciasdeunapredicciónextrapolada. La extrapalación se basa en el ajuste de una parabola a través de los primeros tres puntos. muestra en la figura 11.11,la naturaleza abierta-en-los-extremosde la ex- trapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extien- de la curva más a116 de la región conocida. Como tal, la curva verdadedra diverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar. El caso de estudio 12.1en el capítulo siguiente muestra un ejemplo del riesgo que se corre al pro- yectarse más allá de los límites de los datos. 11.4 INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINE) Enla sección anterior se usaron polinomios de n-ésimo orden para in- terpolar entre n + 1puntos.Porejemplo, en ochopuntos,se deriva un polinomio perfecto de séptimo orden. Esta curva captura todos los ser- penteos (al menos considera hasta derivadas de séptimo orden) sugeri- dos por los puntos. Sin embargo, existen casos endonde estas funciones pueden llevar a resultados erróneos. Una alternativa es la de aplicar poli- nomios de orden inferior a subconjuntos de datos. Estos polinomios co- nectados se llamanfuncionesde interpolación segmentaria (en inglés, spline functions).
- 382. INTERPOlAC16N 371 Por ejemplo,las curvas de tercer orden empleadas para conectar ca- da par de datos se llaman funciones deinterpolación cúbica segmentaria (del inglés cubic splines). Estas funciones tienen la propiedad adicional de que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes son visual- mente suaves. Superficialmente parece que la aproximación segmentaria de tercer orden es inferior a la expresión de séptimo orden. El lector puede preguntarse por qué la interpolación segmentaria siempre es preferible. FIGURA 1 l. 12 Representación visual de una situaciónen dondela interpolación seg- mentaria (spline) es meior a la interpolación polinomial de orden supe- rior. La función muestra unsalto abrupto en x = O. En losincisos a) al c) se muestra que el cambio abrupto indica oscilaciones con la inter- polación polinomial. Encontraste y debido a que se limita a curvas de tercer orden con transiciones suaves, la interpolaciónsegmentaria d)pro- porciona una aproximación mucho más aceptable.
- 383. 372 METODOS NUMERICOSPARA INGENIEROS Enlafigura 11.12 se ilustra un caso en donde la interpolación seg- mentaria se lleva a cabo mejorqueconpolinomiosdeordensuperior. Este es el caso donde una función es generalmente suave pero muestra un cambio abrupto en algún lugar de la región de interés.La figura 11.12 es un caso extremode este cambio y sirveparailustrarel punto. Enlasfiguras 11.12~hasta la 11.12~se ilustra cómo los polinomios de orden superior tienden a balancearse a través de oscilaciones bruscas enla vecindad de un cambio abrupto. En contraste la interpolación seg- mentaria también conecta a los puntos, pero como está limitada a cam- bios de tercer orden, las oscilacionesse mantienen mínimas. De ahí que la interpolación segmentaria proporcione una aproximación superior del comportamientodelasfuncionesquetienencambioslocalesabruptos. El concepto de interpolación segmentaria se originó de la técnica de uso de una lámina de plástico delgada (llamadacuruigrufo, en inglés spli- ne) eneltrazodecurvassuaves a travésde un conjuntodepuntos. El proceso se muestra enla figura 11.13sobre un conjuntode cinco tachuelas (datos).En esta técnica, el dibujantecoloca papel sobreun tablero de ma- dera y clava tachuelas en el papel (y enel tablero) enla posición de los datos. Al pasar un hilo entre las tachuelas resulta una curva cúbica sua- ve. De ahí que se haya adoptadoel nombre de “interpolaciónsegmenta- ria” (en inglés“cubicspline”)parapolinomiosdeestetipo. En esta secciónse utilizan primero funciones lineales simples parain- troducir algunosconceptos y problemas básicosasociadoscon la interpo- lación segmentaria. Despuésse deriva un algoritmo para ajustar polinomios FIGURA 1l. 13 Técnica de dibujo para trazar curvas suaves utilizando un curvígrafo, da- dos una serie de puntos. Nótese como la unión de un punto a otro se realiza mediante diferentes tipos de curvas. A este tipo de interpolación de punto Q punto (segmentaria)se conoce como interpolación segmen- taria natural (natural spline).
- 384. INTERPOLACldN 373 de segundo orden a los datos. AI final, se presenta material sobre inter- polacióncúbica segmentaria, la cuál es laversiónmáscomún y útil en la práctica de la ingeniería: 11.4.1 Interpolación segmentaria lineal Laconexiónmássimpleentre un par de puntosesunalínea recta. Se pueden definir los polinomios interpolantes de primer orden medianteun conjunto de puntos ordenados y definirse como un conjunto de funcio- neslinealesqueunen a los puntos: en donde mi es la pendiente de lalínearectaqueunelospuntos: r11.231 Estas ecuaciones se usanen la evaluación de funciones de cualquier punto entre x. y x,, localizando primeroel intervalo dentro del que se en- cuentra el punto. Después se usala ecuación apropiada y se determina el valor funcional dentro del intervalo. Obviamente,el método es idénti- co a la interpolaciónlineal. EJEMPLO 11-8 lnterpolación segmentaria de primer orden Enunciado del problema: ajústense los datosdelcuadro 11.1 coninter- polaciónsegmentariadeprimer orden. Evalúese lafunciónen x = 5. CUADRO 11.1 Datospor aiustar con funciones segmentarias X {(x) 3.0 2.5 4.5 1.o 7.0 2.5 9.0 0.5
- 385. 374 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Solución: los datos se pueden usar para determinar las pendientes entre puntos. Por ejemplo, enelintervalode x = 4.5 a x = 7 la pendiente se puedecalcularusando la ecuación (1123): I m = 2.5 - 1.0 7.0 - 4.5 = 0.60 Los pendientessobre los otrosintervalos se pueden calcular, y los po- linomios de primerorden se graficanenlafigura ll.4a. El valorpara x = 5 es 1.3. Unainspecciónvisualsobrelafigura 11.14~1indicaque laprincipal desventaja de los polinomios de primer orden es que noson uniformes. En esencia, en los puntos donde coinciden los polinomios (llamados no- dos), la pendientecambiaabruptamente. En términos formales, la pri- mera derivada de la función es discontinua en estos puntos. Esta deficiencia se supera conel uso de polinomios de orden superior, que aseguranuni- formidad en los nodos igualando derivadas enesos puntos, como se mues- traenlasiguiente sección. 11.4.2 lnterpolación cuadratica segmentaria Para asegurar que las m-ésimas derivadas sean continuas en los nodos, se debe usar un polinomiode al menos (m + 1)-ésimoorden. Los poli- nomios de tercer ordeno cúbicos se usan más frecuentementeen la práctica asegurandocontinuidad enlaprimera y segunda derivada. Aunque las derivadasdeordensuperiorseandiscontinuas al usarsepolinomios de tercer orden,en general,no se detectan visualmente y por ende, se ignoran. La interpolación cúbica segmentaria se estudia en una secciónsubse- cuente. Antes de ésta seilustrael concepto deinterpolacióncuadrática segmentaria usando polinomiosde segundo orden. Estos “polinomiosma- dráticos” tienen laprimeraderivadacontinuaen los nodos. Aunque los polinomios cuadráticos no garantizan segundas derivadas iguales enlos no- dos, sirven muy bien para demostrar el procedimiento general en el de- sarrollodepolinomiosinterpolantessegmentariosdeordensuperior. El objetivo de los polinomios cuadráticoses el de obtener un polino- mio de segundo orden para cada uno de los intervalos entre los puntos. El polinomio paracada uno de los intervalosse representa generalmente como: fi(x)= aix2-t bix + ci [11.24j
- 386. INTERPOLAC16N 375 FIGURA 1l. 14 Ajustecon interpolaciónsegmentariasobreunconjunto de cuatro pun- tos. a) interpolación segmentaria lineal;b)interpolación segmentaria cua- drática y c) interpolación cúbica segmentaria, con un polinomio cúbico interpolante que también aparece en la gráfica. Se haincluidolafigura 11.15paraayudar a clarificarlanotación. Para los n + 1puntos (i = O, 1,2,. . . , n), existen n intervalos, y por lo tan- to, 3n incógnitas constantes por evaluar (lasp, las b y las c).Por lo tanto, se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas.Es- tas son: 1. Los valores de las funciones deben ser iguales en los nodos interio- res. Esta condiciónserepresentamediante: [11.25] [11.26]
- 387. 376 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 11.15 Notación usadaen la derivación de interpolación segmentaria cuadráti- ca. Nótese que hay n intervalosy n + 1 puntos. El ejemplo que se mues- traes para n = 3. para i = 2 hasta n. Como se usan sólo los nodos interiores, las ecuacio- nes (11.25) y (11.26) proporcionancadauna n - 1condiciones, con un total de 2n - 2. 2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos fi- nales. Esto agregados ecuaciones adicionales: [11.27] [11.28] con un total de 2n - 2 + 2 = 2n condiciones. primeraderivada enla ecuación (11.22)es: 3. Las primeras deriuadas en los nodos interiores deben ser iguales. La f '(x) = 2ax + b Por lo tanto, la condición se representa generalmente cómo: íkblxi+ bi-l = 2aixi+ bi E11.291 para i = 2 hasta n. Esto proporcionaotras n - 1 condicionescon un totalde 2n + n - 1 = 3n - 1. Debido a que hay 3n incógnitas, se tiene una condición menos. A menos que exista una información adicional en relación a las funciones o sus derivadas, se debe escoger
- 388. INTERPOLACI~N 377 arbitrariamente una condición para calcular eficientemente las cons- tantes. Aunque existen algunas alternativas diferentesque se pueden hacer, aquí se escoge la siguiente: 4. Se supone que la segunda derivada es cero en el primer punto. Ya que la segunda derivada de la ecuación (11.24) es 2a,esta condición se expresa matemáticamente cómo: al = O [11.30] La interpretación visual de esta condición es que los primeros dospun- tos se conectarán medianteunalínea recta. EJEMPLO 11.9 Interpolacion cuadráticasegmentaria Enunciado del problema: ajústense polinomios cuadráticos-por segmen- tos a los datos usados en el ejemplo 11.8 (Cuadro 11.1). Usense los re- sultadosparacalcularelvalorpara x = 5. Solución: en este problema, se tienencuatrodatos y n = 3 intervalos. Por lo tanto, se debendeterminar 3(3)= 9 incógnitas. Las ecuaciones (11.25)y (11.26) llevana 2(3) - 2 = 4 condiciones. 20.25~1~+ 4.5bl + c1 = 1.0 2 0 . 2 5 ~+ 4.5b2 + c2 = 1.0 49a2 + 7b2 + c2 = 2.5 49a3 + 7b3 + c3 = 2.5 Pasando laprimera y laúltima función por los valores iniciales y finales agrega dos más: [Ec. (11.27)] gal + 3bl + c1 = 2.5 y [Ec. (11.28)] 81a3 + 9b3 + c3 = 0.5 Lacontinuidad de lasderivadas crea adicionalmente 3 - 1 = 2 [Ec. (11.29)]:
- 389. 378 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Finalmente, la ecuación (11.30)especifica que al = O. Ya queesta ecuación especifica al exactamente, el problema se reduce aresolver ocho ecuaciones simultáneas. Estas condiciones se pueden expresar en forma matricial como 4.5 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 o.o 20.25 49.00 o.O o.o 0.0 -9.00 14.00 0.0 0.0 4.5 1.0 7.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 o.o 49.00 o.o 81.00 o.o - 14.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 7.00 1.00 0.0 0.0 9.00 1.00 0.0 0.0 -1.00 0.0 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 0.5 o.o o.o Estas ecuaciones se resuelven usando las técnicas de la parte 111 con los resultados: al = O bl = "1 c1 = 5.5 a2 = 0.64 b2 = -6.76 c2 = 18.46 a3 = -1.6 b3 = 24.6 ~3 = -91.3 los cuales se sustituyen en las ecuaciones cuadráticas originales desarro- llando la relación siguiente para cada intervalo: fI(X) = "x + 5.5 3.0 5 x 5 4.5 f2(x) = 0 . 6 4 ~ ~- 6.76~+ 18.46 4.5 5 X 5 7.0 f3(~)= -1.6~' + 24.6~- 91.3 7.0 5 X 5 9.0 la predicción para x = 5 es, por lo tanto f2(5) = 0.64(5)' - 6.76(5)+ 18.46 = 0.66 El ajuste polinominal segmentario totalse muestra en la figura 11.14b. Nótese que hay dos inconvenientes enelajuste: 1)la línea recta que une los primeros dos puntosy 2) el polinomio del último intervalo parece ser- pentear demasiado alto. Los polinomios segmentarios cúbicos de la si- guiente sección no muestran estos incovenientes y como consecuencia, en general son mejores métodos de interpolaciónsegmentaria. 11.4.3 lnterpolaciónsegmentaria El objetivo de la interpolación cúbica segmentaria es obtener polinomios de tercer orden para cada uno delos intervalos entre nodos, dela forma fi(x) = aix3+ bix2+ cix + di [11.31]
- 390. INTERPOLACldN 379 Por lo tanto, para los n + 1 puntos (i = O, 1, 2,. . . , n ) ,existen n inter- valos y. por lotanto, 4 n incógnitas constantespor evaluar. Como sehizo parapolinomios cuadrájicos, ahora se requierede 4n condicionespara evaluarlasincógnitas.Estas son: 1. Los valores de la función deben seriguales en los nodos interiores (2n - 2 condiciones). 2. La primera y la última funciones deben pasar a través de los puntos finales (2 condiciones). 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben seriguales (n - 1 condiciones). 4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n - 1 condiciones). 5. Las segundas derivadas enlos nodos finales son cero (2condiciones). La interpretación visual de la condición 5 es que la función sea una línea recta en los nodosfinales.Debido a la especificación de estacondición es que se le llama interpolación segmentaria “natural”.Se le da este nombre ya que el polinomio interpolante se comporta de manera natural en este esquema (Fig. 11.13). Si elvalordela segundaderivadaenlos nodos finales fuese diferente de cero (es decir, existe alguna curvatura),enton- ces esta informaciónse usaría alternativamente para proporcionar lasdos condiciones necesarias. Los cincotiposanteriores de condicionesproporcionan un totalde 4n ecuacionesnecesarias para encontrarlos 4n coeficientes. Mientras que es posibledesarrollarinterpolacióncúbicasegmentariaconeste esque- ma, aquí se presentauna técnica diferente que requiere únicamente de la soluciónde n - 1 ecuaciones. Aunque laderivacióndeestemétodo (recuadro 11.3) es algo menos directo que el de interpolación cuadrática segmentaria, la ganancia en eficiencia bienvaleel esfuerzo. RECUADRO 11.3 Obtención de la interpolación cúbica segmentaria El primer pasoen la obtención(Chene y Kincaid, 1980) x - xi se basa en la observación de que debidoa que cada pare- ja de nodos está conectada por un polinomio cúbico, la segundaderivadadentro intervalo esuna línea [B11.3.1] recta. La ecuación (11.31)se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con base a lo anterior, las se- gundas derivadas se representan mediante los polinomios en donde f,” (x)es el valor de la segunda derivada en el de interpolación de primer ordendeLagrange[Ec. primer nodo x dentrodel i-ésimointervalo. Por lo tanto, x - xi-1 xi-1 - xi xi - xi-1 fl’(x) = f”(Xi-1)~ +f“(Xi)_ _ _ c (11.21)l: estaecuaciónesuna línea rectaqueconecta la segunda
- 391. 380 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS derivada en el primer nodo f”(xiPl)con la segunda deri- vada en el segundo nodo f”(x,). En seguida, la ecuación (B11.3.1)se integra dos ve- ces y se obtiene una expresión para ft(x).Sin embargo, esta expresión contendrá dos incógnitasconstantes de in- tegración. Estas constantes se evalúan invocando lascon- diciones de equiespaciamiento, f(x) debe ser igual f(x,-J en y f(x) debe ser igual a !(x,) en x,. Llevando a ca- bo estas evaluaciones,resulta la siguiente ecuacióncúbica: Ahora, esta expresión es mucho más complicadapara los polinomios de interpolación segmentariaen el i-ésimo in- tervalo, digamos, la ecuación (11.31).Sin embargo, nó- tese que esta contiene sólo dos “coeficientes” incógnitas, las segundas derivadas al principio y al final del intervalo, f’ ’h-1) y f’ ’(xi).Por lo tanto, si se determina propia- mente la segunda derivadaen cada nodo, la ecuación (B11.3.2)es un polinomio de tercer orden que se usa pa- rainterpolar dentro de un intervalo. Las segundas derivadas se evalúan usando la condi- ción de que lasprimerasderivadasen los nodos deben ser continuas: f I-1(Xi) = f I(Xi) [B11.3.3] La ecuación (B11.3.2)se deriva y se obtiene una expre- sión de la primera derivada. Si esto se hace para los inter- valos (¡ - l)-ésimos e ¡-ésimos y los dos resultados se igualan, de acuerdo a la ecuación (B11.3.3),resulta la si- guiente relación: (Xi - xi-1) f“(Xi-1) + 2(Xi+l - X,-d f ’ W + (Xi+l - Xi) f“(Xi+l) Si la ecuación (B11.3.4)se escribe para todos los nodos interiores, resultan n - 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas derivadas incógnitas.Sin embargo, yaque este es un polinomio interpolante “natural”,las segundas derivadas en los nodos finales son cero y el problema se reduce a n - 1 ecuaciones con n - 1 incógnitas. Ade- más, nótese que elsistema de ecuaciones será tridiago- nal. Por lo tanto, no sólo se tiene que reducir el número de ecuaciones sino que también se calculan de forma que sean muy fáciles de resolver (recuérdeseel recuadro 7.2). La derivación del recuadro 11.3genera las siguientes ecuaciones cú- bicasparacadaintervalo: [11.32]
- 392. INTERPOLACldN 381 Esta ecuación contiene únicamente dos incógnitas, las segundas deriva- das al final de cada intervalo. Estas incógnitasse evalúan usandola ecua- ciónsiguiente: Si estaecuación se escribepara todos los nodos interiores, se generan n - 1 incógnitas. (Recuérdese que las segundasderivadasenlos nodos finales son cero). La aplicación de estas ecuaciones se ilustraenel ejem- plosiguiente: EJEMPLO 11.10 Interpolación cúbica segmentaria Enunciado del problema: ajústese un polinomio cúbico por segmentos a los datosusadosen los ejemplos 11.8 y 11.9 (Cuadro 11.1). Utilicense losresultadosparacalcularelvaloren x = 5. Solución: el primer paso es emplear la ecuación (11.33) para generarun conjunto de ecuaciones simultáneasque se usaránenladeterminación de las segundas derivadas en los nodos. Por ejemplo, en el primer nodo interior, se usan los siguientes datos: xo=3 f(xo) = 2.5 x1 = 4.5 f(xJ = 1 x2 = 7 f(~2)= 2.5 Estosvalores se sustituyenenla ecuación (11.33) y se obtiene (4.5 - 3)fff(3)+ 2(7 - 3)frr(4.5)+ (7 - 4.5)f”(7) (2.5 - 1) +7 - 4.54.5 - 3 - 6- (2.5 - 1) Debido a la condición natural de los polinomios,f ”(3) = O, y la ecuación se reduce a 8f”(4.5)+ 2.5ff’(7)= 9.6 De manerasimilar, la ecuación (11.33)se aplica a los segundospuntos interiorespara obtener
- 393. 382 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS I 3.5f"(4.5)+ 9f"(7) = -9.6 Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente cómo f"(4.5) = 1.745 45 f " (7) = -1.74545 Estos valores se sustituyen en la ecuación (11.32),junto con los valo- res de las x y de las !(x), obteniendo: 1.745452.5 fib) = (x - 3 ) 3 + (4.5 - x) 6(4.5 - 3) 4.5 - 3 1.745 45 (4.5 - 3) + [4.5f 3 - 6 1(x - 3) O fI(x) = 0.193 9 3 9 ( ~- 3)3+ 1.666 667(4.5- X) + 0.230 3 0 3 ( ~- 3) Esta ecuación es el polinomio cúbico interpolante para el primer interva- lo. Se pueden llevar a cabo sustituciones similares y desarrollar las ecua- ciones para el segundo y tercer intervalo: fi(x) = 0.116 364(7 - x)3 - 0.116364(x - 4.5)3 - O. 327 273 (7 - X) + 1.727 2 7 3 ( ~- 4.5) Y f3(~)= - 0.145455(9 - + 1.831818(9 - X) + 0 . 2 5 ( ~- 7 ) Las tres ecuaciones se emplean para calcular los valores dentro de cada uno de los intervalos. Por ejemplo, el valor en x = 5, que cae dentro del segundo intervalo, se calcula cómo fZ(5) = 0.116364(7 - 5)3- 0.116364(5 - 4.5)3 - 0.327273(7 - 5) + 1.727273(5 - 4.5) = 1.125 5 Se calculan otros valores y los resultados obtenidos se muestran en la fi- gura 11.14~. Los resultados del ejemplo11.8al 11.10se resumen en la figura 11.14. Nótese cómo se obtienen mejoras progresivas conforme se pasade inter- polación lineal a cuadrática y a cúbica. También se ha sobrepuesto un
- 394. lNTERPOLACl6N 383 polinomiodeinterpolacióncúbica enlafigura 1 1 . 1 4 ~ .Aunque la inter- polación cúbica consiste de una serie de curvas de tercer orden, el ajuste resultante difiere del que se obtiene usando polinomios de tercerorden. Esto se debe a que la interpolación natural requiere de segundas deriva- das en los nodos finales, mientras que el polinomio cúbico no tiene esta restricción. 11.4.4 Algoritmo para la interpolación cúbicasegmentaria El método para calcular los polinomioscúbicosde la interpolación seg- mentariavistaenlas secciones anterioresesidealpara su implementa- ción en microcomputadoras. Recuérdese que por algunas manipulaciones inteligentes, el método se reduce a resolver n - 1 ecuaciones simultá- neas. Un beneficioadicionalobtenido de la derivación es que, como lo especifica la ecuación (11.33), elsistema de ecuaciones es tridiagonal. Como se describe en el recuadro 7.2, se dispone de los algoritmos para resolvertalessistemasdeunamaneraextremadamente eficiente. Enla figura 11.16 se presenta el algoritmode interpolación cúbica segmentaria elcualincluyelos aspectos antes mencionados. FIGURA 1 1 . 1 6 Algoritmo de interpoiación cúbicasegmentaria. PROBLEMAS Cálculos a mano 11.1 Calcúlese el logaritmo de 4 en base 10 (log 4) usando interpolaciónlineal. a) Interpolarentre log 3 = 0.477 1213 y log 5 = 0.698 970 O. b) Interpolar entre log 3 y log 4.5 = 0.653 212 5. Para cada una de las interpolacionescalcúlese el error relativo porcentual basado en el error verdaderode log 4 = 0.602 060 O. 11.2 Ajústese un polinorniodeinterpolación de Newton de segundo ordenpara apro- ximar log 4 usando los datos del problema 1 1 . 1 , Calcúlese el error relativo por- centual.
- 395. 384 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS 11.3 Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para calcular log 4 usando los datos del problema 11.1además del punto adicional, log 3.5 = 0.544 068 O. Calcúlese el error relativo porcentual. 11.4 Dados los datos x I O 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 f(x) I 1 2.119 2.910 3.945 5.720 8.695 a) Calcúlese f (1.6)usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta el 3. Escójase la secuencia de puntos de las aproximaciones para lograr exactitud. b) Úsese la ecuación (11.18)para calcular el error en cada predicción. 11.5 Dados los datos x 1 1 2 3 5 6 f(x) I 4.75 4 5.25 19.75 36 Calcúlese f (3.5)usando polinomios de interpolación de Newton de orden1hasta el 4. Escójanse los puntos base para obtener una buena aproximación.¿Qué in- dican los resultados respectoal orden delpolinomio que seusa para generar los datos en la tabla? 11.6 Repítanse los problemas 11.1al 11.3 usando polinomios deLagrange. 11.7 Repítase el problema 11.40usando interpolación deLagrange. 11.8 Repítase el problema 11.5 usandopolinomios de Lagrane de orden 1hasta el 3 11.9 Desarróllese la interpolación cuadrática segmentaria para los datos del problema 11.5 y calcúlese f (3.5). 11.10 Desarróllese la interpolación cúbica segmentaria para los datos del problema 11.5 y cálculese f (3.5). Problemas relacionados con la computadora 11.11 Vuélvasea programar la figura 11.7 de tal manera que sea legible al usuario. Entre otras cosas: a) Insértese documentación a lo largo del programa para identificar lo que cada una de las secciones debe hacer. b) Etiquétense las entradas y las salidas. c) Inclúyase la ecuación (11.18)para calcular el error de cada ordendel polino- mio (excepto el último). 11.12 Pruébese el programa que el lector haya desarrollado en el problema 11.11du- plicando los cálculos del ejemplo 11.5. 11.13 úsese el programa desarrollado porel lector en el problema 11.11y resuélvanse los problemas 11.1al 11.3. 11.14 Úsese el programa desarrollado en el problema 11.11y resuélvanse los proble- mas 11.4y 11.5.En el problema 11.4,utilícense todos los datos par desarrollar
- 396. INTERPOLAC16N 385 los polinomiosdelordenprimariohastael quinto. En ambos problemas, grafí- quese el error calculado contra el orden. 11.15 Repítanse los problemas 11.12 y 11.13, usando el paquete NUMERICOMP aso- ciado con este texto. 11.16 Úsese el paquete NUMERICOMP con los ejemplos 11.6 y 11.7 11.17 Desarróllese un programa legiblealusuarioparalainterpolación de Lagrange. Pruébese con el ejemplo 11.7. 11.18 Desarróllese un programa legiblealusuario para la interpolación cúbica segmen- taria basado enlafigura 11.16 y en la sección 11.4.4. Pruébese el progama con el ejemplo 11.10. 11-19 Úsese el programa desarrolladoenel problema 11.18 para ajustar polinomios cúbicos con los datos de los problemas 11.4 y 11.5. En ambos casos, calcular f (2.25).
- 398. C A P í T U L O D O C E CASOS DE LAPARTE IV: AJUSTEDECURVAS El propósito de este capítulo es el de hacer uso de los métodos de ajuste de curvas en la solución de problemas de ingeniería. Aligual que enlos otros casos de estudio de los otros capítulos, el primer ejemplo se toma del área general de laingeniería económica y de administración. A este caso lo siguen las cuatro áreas principalesde la ingenieria: química, civil, eléctrica y mecánica. Enel caso 12.1se hace un análisis sobre los datos de venta de com- putadoras. El ejemplo ilustra dos puntos importantes relacionados con el ajuste de curvas: 1) los polinomios de interpolación están bien condicio- nados para el ajuste de datos imprecisos y 2) la extrapolaciónes un pro- cedimiento,poco confiable cuandola relación de causa-efectosubyacente a la tendencia se desconoce. El caso 12.2, tomado de laingeniería química, demuestra cómo se puede linealizarun modelo no lineal y ajustarse a datos que usan regre- siónlineal. El caso 12.3 usa un esquema similar pero empleatambién interpolación polinomial para determinar la relación esfuerzo-deformación enproblemasdeestructuraseningenieríacivil. El caso 12.4 ilustra cómo se usa un simplepolinomiodeinterpola- ción para aproximar una función más complicada en ingeniería eléctrica. Finalmente, el caso 12.5demuestracómo se usala regresión lineal múl- tipleenelanálisis experimentaldedatos en un problema de fluidos to- madodelaingeniería mecánica. CASO 12.1 MODELO DE INGENIERíA DEVENTA DEPRODUCTOS (INGENIERíA EN GENERAL) Antecedentes: los ingenieros encargados del diseñoy fabricación de pro- ductos talescomo automóviles, televisoresy computadoras pueden ver- se implicadosen otros aspectos de los negocios. Estasimplicaciones incluyenlas ventas, mercadeo y distribucióndelproducto.
- 399. 388 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Supóngase que un ingenierotrabajaparalacompañía que fabrica las Computadoras de tipoMicro 1 (véase el caso 6.1).Las consideracio- nes sobre planificacióny localizaciónde recursos (caso9.1)requieren que este ingeniero sea capaz de predecirhastacuándopermaneceránenel mercado lascomputadorasde su compañía enfuncióndel tiempo. En este caso de estudio, se proporcionan datos que describen el número de computadorasde la compañía que se encuentran en el mercado en dife- rentestiemposhasta 60 días (Fig. 12.1). Al ingeniero se lepide que examine estos datos y, usando método de extrapolación, calcular cuán- tas computadorasse tendrán disponiblesa los 90 días. Los datosse mues- tranenelcuadro 12.1. FIGURA 12.1 Número de computadoras en el mercadocontra el tiempo. CUADRO 12.1 Número de computadorasen el mercado en función del tiempo Tiempo,computadoras días en el mercado Número de ~~ ~~ ~ O 50 O00 10 35 O00 20 31 O00 30 20O00 40 1 9 O00 50 1 2 O00 60 1 1 O00
- 400. CASOS DE LA PARTE IV: NUSTE DE CURVAS 389 Este análisis de tendenciay extrapolación se resuelve usando polino- mios de interpolación del primero hastael sexto grado así como con poli- nomios de regresión del primero hasta el sexto grado. Las curvas resultantes se usan para predicciones en los días55,65 y 90 que ilustran el contraste entreinterpolación y extrapolación. Solución: analizando lafigura 12.1 se observa que los datos no son uni- formes. Aunque el número de computadoras decrezca con el tiempo, la tasa de decrecimiento varía de intervalo a intervalo comportiíndose alea- toriamente. Por lo tanto, aún antes de que empiece el análisis, se puede esperarque la extrapolacióndeestosdatostraerádificultades. Los resultados del cuadro 12.2 confirman esta conjetura. Nótese que hay una gran discrepancia entre las predicciones con cada uno de los mé- todos. Para cuantificar la discrepancia se calcula la media, ladesviación estándar y un coeficiente devariacióndelas predicciones.El coeficiente de variación, que es lamediadivididaporladesviaciónestándar (multi- plicada por el loo%, proporciona una medida relativa de la variabilidad de cada conjunto de predicciones [ € c .(IV.5)J. Nótese cómo el coeficien- CUADRO 12.2 Resultados del ajuste de varios polinomios de interpolacibny poli- nomios¿e minimos cuadrados alos datos del cuadro12.1. Se mues- tra una interpolacibn ent = 55 y una extraplacibn de t 65 y 90. Nbteseque, debido aque las ecuaciones notmales estbnmalcon- dicionadas, el polinomio con minimos cuadrados de sexto orden di- fiere del polinomio de interpolacibn mbspreciso(recuerdese la sección 10.2.1) INTERPOlACldNEXTRAPOlACldN ~~ t 55 t = 65 t 90 Polinomios de interpolación Primer orden 1 1 525 10 475 7 850 Segundo orden10788 12 688 43 230 Tercer orden10 047 16 391 161 750 Cuartoorden8961 992 578 750 Quinto orden7 300 38 942 1 854 500 Sexto orden4 660 67 975 5 458 100 Media 8 880 28 411 1 350 700 Desviaciónestándar2 542 21 951 2128 226 Coeficientedevariaci6n9% Polinomios con mínimos cuadrados Primer orden9 820 3 573 -1 2 045 Segundoorden 1 1 829 10 939 16 529 Tercer orden 12 040 8 872 Cuartoorden 1 1 10112 73383104 Quinto orden 1 1 768 9 366 -78 906 Sexto orden426171 266 5 768 460 Media 10 203 18 910 910 623 Desviaciónestándar2 834 24 233 2 228408 Coeficiente de variación 28%128%245% -3 046
- 401. 390 MGTODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS te de variación es el menor para el valor interpolado en el día 55. Tam- bién, nótese cómo la mayor discrepanciase daen el día 90, que representa la extrapolación más lejana. Además, los resultados de los polinomios de extrapolación disminu- yen a medida que crece el orden, hasta el punto en queel caso de sexto orden lleva a la ridícula predicción de que en el día 90 se tendrán dispo- nibles 5 458 100 computadoras. La razón de este resultado sin sentido se ilustra en la figura 12.2,que muestra el polinomio de sextogrado. Ya que la tendencia sugerida por los datos no es uniforme, los polinomios de grado superior oscilan para intersectar cada punto.Estas oscilaciones llevan a interpolaciones falsas y extrapolaciones del tipo manifestado en la figura 12.2. Ya que la regresión no se restringe para pasar por cada uno de los puntos, algunas veces resulta útil para remediar esta situación. La figura 12.3que muestra los resultados de la regresión cuadrática y cúbica su- giere que es real para regresión de nivel bajo. Dentro del rango de los datos (t = O hasta 60 días), los resultados de las dos regresiones llevan a resultados poco consistentes. Sin embargo, cuando se extrapolan más allá de este rango, la predicción diverge. En t = 90, la regresión de se-
- 402. CASOS LAPARTE IV: AJUSTEDE CURVAS 391 FIGURA 12.3 Gráfica de las curvas de regresión de segundoy tercer orden usadas para interpolar y extrapolar los datos de venta de computadoras. gundo orden lleva al resultado absurdo de que el número de computa- dorasha crecido, mientrasque laversiónde tercerordenlleva a la proyección ridícula de que habráun número negativo de computadoras. La razón principal de que la interpolación y la regresión estén malcon- dicionadas para este ejemplo es que ni siquiera se basanen un modelo de larealidadfísica.En ambos casos, el comportamientodelaspredic- ciones es puramente un artificio del comportamientode los números. Por ejemplo, ni los modelos tomanen consideración que más allá det = 60. elnúmerodecomputadorasdebeestarentre O y 11 000. Por lo tanto, si se estuviera interesadoen una aproximación rdpida del número decom- putadoras enel mercado, en un tiempo futuro,un ajuste y una extrapo- lación“visula”arrojaríaresultadosmásrealistas.Esto se debe a que se está conciente de lasrestriccionesfísicasdelproblema y se puede, por lo tanto, incorporarestasrestriccionesen la solucióngráficasimple. En el caso de estudio 18.1, se usa una ecuación diferencial para desarrollar un modelo que tenga una base teórica y, por consiguiente,lleve a resul- tadosmássatisfactorios. Porelladopositivo se debe notar que este ejemplo ilustra cómo la regresión tiene alguna utilidad para la interpolación entre puntos un tan- to erróneos o inexactos. Sin embargo,la primera conclusión de este caso es que la extrapolación siempre se debe llevar a cabo con cuidadoy precaución. CASO 12.2 REGRESIóNLINEAL Y MODELOS DEMOGRÁFICOS (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: los modelosdecrecimientopoblacionalsonimportantes en muchos campos de la ingeniería. La suposición de que la tasa de cre-
- 403. 392 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS cimientode la población (dp/dt)es proporcional a la población actual (p) enel tiempo (f) es de fundamental importancia en muchos de los mode- los, enforma de ecuación - = / qdP dt [12.11 en donde k es un factor de proporcionalidad conocido como la tasa de crecimientoespecífico y tieneunidadesde tiempo-l. Si k es una cons- tante, entonces se puedeobtener lasolucióndela ecuación (12.1) de lateoría de ecuaciones diferenciales: en donde poes la población enel tiempo t = O. Se observaque p(t)en la ecuación (12.2)tiende a infinitoa medida que t crece. Este comporta- miento es claramenteimposible en los sistemas reales. Por lo tanto, se debemodificarelmodelo y hacerlomásrealista. Solución: primero, se debe reconocer que la tasa de crecimiento específi- co k nopuedeserconstante a medidaque la población crece. Esto es porque, cuando p tiende a infinito, el organismo que semodela se ve limitado por factores talescomo el almacenamientode comida y produc- ción de desperdicios tóxicos. Una manera de expresar esto matemática- mente es la de usar el modelo de tasa-de-crecimiento-y-saturacióntal como: [12.3] en donde kmdxes la máxima tasa de crecimiento posible para valores de comida v) abundante y K es la constante de semi-saturación. La gráfica de la ecuación (12.3) de lafigura 12.4 muestraquecuando f = K, k = kmex/2.Por lo tanto, K es la cantidad de comidadisponible que sos- tiene una tasa de crecimiento poblacionaligual a la mitad de la tasa máxima. Las constantes K y kmáxsonvaloresempíricosbasados en medidas experimentales de k para varios valores de f. Como ejemplo, supóngase que la población p representa una levadura empleada en la producción comercialdecerveza y f es la concentraciónde la fuentede carbono a fermentarse. Las medidas de k contra f de lalevadura se muestranen el cuadro 12.3. Se necesitacalcular kmáx y K de estosdatosempíricos. Esto se lleva a caboinvirtiendo la ecuación (12.3) demanera similar a la ecuación (10.16),obteniendo [12.4]
- 404. CASOS IV: AJUSTEDE CURVAS 393 FIGURA 12.4 CUADRO 12.3 Gráfica del promedio de crecimiento específico contra la comida dispo- nible con el modelode promedio-de-crecimiento-de-saturaciónusado en la caracterización de la cinética microbial. El valor de K es llamado cons- tante de saturaciónmedia ya que representa la concentración endonde el promedio de crecimientoespecífico es la mitad del valor máximo. Datos usadosen la evaluación de las constantes en un modelo de promedio-de-crecimiento-de- saturaciónque caracterizaa la cinéticamicrobial f, mglL k, dias" llf, Llmg Ilk, día 7 0.29 9 0.37 15 0.48 25 0.65 40 0.80 75 0.97 1O0 0.99 150 1.O7 O.142 86 0.111 11 0.066 66 0.040 O0 0.025 O0 0.013 33 0.010 O0 0.006 66 3.448 2.703 2.083 1.538 1.250 1.O31 1.o1o 0.935 De esta manera, se ha transformado la ecuación (12.3)a la forma lineal; esto es, l / k es unafunciónlineal de l/f, conpendiente K/kmdX.Estos valores se grafican en lafigura 12.5. Debido a la transformación, se puede usar el procedimientode míni- moscuadradoslinealesdescrito enelcapítulo 10 paradeterminar kmdx = 1.23 días" y K = 22.18 mg/L.Combinando estos resultadoscon la ecuación (12.3) y comparándolos con los datos sin transformarde la figura 12.6, y cuando se sustituyenenelmodelode la ecuación (12.1) se obtiene: [12.5]
- 405. 394 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 12.5 Versión linealizada delmodelo de promedio-de-crecimiento-de- saturación. La línea es unajusteconmínimos cuadrados que seusa en la evaluación de los coeficientes del modelo kmbx= 1.23 días” y k = 22.18 mg/L para levadura usada en la fabricación de cerveza. Esta ecuación se puede resolver usando la teoría de las ecuaciones dife- renciales o usando los métodos numéricos analizadosen los capítulos 16 y 17 cuando se conocef(t). Si f se aproxima a cero a medida que p cre- ce, entonces dp/dt tiende a cero y la población se estabiliza. La linealización de la ecuación (12.3) esunamanera de evaluarlas constantes kmdxy K . Otramanera de hacerlo, y queajusta la relación a FIGURA 12.6 Ajuste del modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación de la le- vaduraempleada en la fabricación comercial de cerveza.
- 406. CASOS IV: AJUSTEDECURVAS 395 su formaoriginal,se le conoce con el nombre de regresión no lineal (Dra- per y Smith, 1981).En cualquier caso, se puedeusaranálisisderegre- sión para calcular los coeficientesdel modelo usando los datos medidos. Este es un ejemplodeluso de laregresiónparalaprueba de hipótesis, como se estudióenlasección IV.1.2. CASO 12.3 AJUSTEDECURVAS EN EL DISEÑODE UN MÁSTIL PARABARCO (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: elmástil de un barco (véase el caso 15.3paramayores detalles)tiene un área transversal de 0.876 pulg2 y se construyede una aleación de aluminioexperimental. Se llevan a cabo pruebaspara definirlarelaciónentre esfuerzo (fuerzapor área) aplicada almaterial y deformación (deflexión por unidad de longitud). Los resultadosde estas pruebas se muestranenlafigura 12.7y se resumenenelcuadro 12.4. Es necesario calcular el cambiodelongituddelmástildebido a la defor- mación causada por lafuerzadel viento. La compresión causada por el aire se puedecalcularusando la relación: Esfuerzo = fuerzaenelmástil área de la seccióntransversaldelmástil FIGURA 12.7 Curva de esfuerzo-deformación en una aleación de aluminio. En el caso 12.3 se debe obtener una deformación aproximada a partir de estos datos que conforman un esfuerzo de 7 350 libras/pulgada2.
- 407. 396 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS CUADRO 12.4 Datos de esfuerzo-deformación ordenados de tal maneraque los puntos usados enla interpolación estén siempre más cercanos al esfuerzo de7 350 Iblpulg' Número de Esfuerzo, Deformación puntos lblpu1g2 pieslpie 1 7 200 0.002 o 2 7 500 0.004 5 3 8 O00 0.006 O 4 5 200 0.001 3 5 10 O00 0.008 5 6 1 800 0.000 5 En este caso, se tiene una fuerza del vientode 6 440.6 libras (nótese que al igual que enel caso 15.3 se usan métodos numéricos para determinar este valor directamente de los datos del viento), y elesfuerzo se calcula mediante: Esfuerzo = 440'6 = 7 350 Ib/pulg2 0.876 Este esfuerzo puede ser usado para calcular la deformación de la fi- gura 12.7,el cual, a su vez, se puede sustituir en la ley de Hooke y calcu- larelcambioenlalongituddelmástil: AL = (deformación) (longitud) [12.6] en donde la longitud se refiere a la altura del mástil. Por lo tanto, el pro- blema se reduce a la determinación de valores de la deformación de los datos enlafigura 12.7. Ya que no se dispone de ningún punto para un valor de esfuerzo dado de 7 350, el problema necesitará algún ajuste de curvas. En este caso se usarándosplanteamientos:eldeinterpolación polinomial y elderegresiónconmínimoscuadrados. Solución: elprimer planteamientousará la interpolaciónpolinomialde orden O al 5 paracalcular la deformación a un esfuerzo de 7 350 lb/pulg2.Para hacerlo, los datos se ordenan de tal manera que la inter- polación siempre use información quese encuentre más cercana a los pun- tos incógnitas (cuadro 12.4). Sepuede aplicarla interpolación polinomial de Newton,con los resultadosdadosen el cuadro 12.5. Todos los polinomios excepto el de orden cero llevan a resultados que casi coinciden. En base al análisis, se concluiríaqueunadeformacióndeaproximada- mente 3.4 X pies/pieesunaaproximaciónrazonable. Sin embargo, hayuna aclaraciónimportante.Esrealmentefortuito que la aproximaciónde la deformacióntienda a un mismovalor.Esto se puede ver examinando lafigura 12.8, en donde se muestra el polino-
- 408. CASOS DE LAPARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 397 CUADRO 12.5 Resultados del polinomio deinterpolacihde Newtonpara prede- cirunadeformacióncorrespondiente a unesfuerzode 7 350 lblpu1g2 en basea la información del cuadro 12.4 Orden del Coeficiente de Deformación polinomio (n) n-ésimo orden (con esfuerzo 7 350) 2 X 10-3 -6.67 X 10-9 8.33 x -3.62 X 10”’ 1.198 x 2.292 x 2 X 10-3 3.27 X 1 0 - ~ 3.42 X 10-3 3.36 X 10-3 3.38 X 10-3 3.401 x FIGURA 12.8 Gráfica de un polinomio interpolantede quinto orden que ajusta perfec- tamente los datos del cuadro 12.4. Nótese que aunque la curvapasa muy bien a través de los trespuntosen la vecindad del esfuerzo de 7 350, la curva oscila ampliamente en otras partes del rango de datos.
- 409. 398 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS miodequintoordenjuntocon los datos. Nótese que debido a que los tres datos se encuentran muy cercanos delvalor de 7 350, la interpola- ción no debe variar significativamente en este punto, como era de espe- rarse. Sin embargo, si se requieren aproximaciones de otras fuerzas, las oscilaciones de los polinomiospuedenllevar a resultados inexactos. Los resultados anterioresilustran que la interpolación con polinomios de grado superior está mal condicionada para datos inciertoso con “rui- do” del tipo de este problema. La regresión proporciona una alternativa que, en general, esmásapropiadoparaestassituaciones. Por ejemplo, se puede usar la regresión lineal para ajustar una línea recta a travésde los datos. Lalíneademejorajustees Deformación = -0.002527 + 9.562 x esfuerzo [12.7] la línea y los datos se muestranenlafigura 12.9. Sustituyendoel esfuer- zo = 7 350 libras/pulg2en la ecuación (12.7) se obtiene unapredicción de 4.5 X pulgs/pulg. Un problema con regresión lineal llevaa resultados fuera de la reali- dad con deformaciones negativas en un esfuerzoigual a cero. Una ma- neradiferente de regresión que evita este resultado no realistaes la de ajustar una línea recta al logaritmo (base 10) de la tensión contra el loga- ritmo del esfuerzo (recuérdesela sección 10.1.5).El resultado en este ca- so es: log (deformación)= -8.565 + 1.586 log(esfuerzo) Esta ecuación se puede transformar a laformainicial que predice la de- formación, sacando antilogaritmos se obtiene: deformación = 2.723 X (esfuerzo) [12.8] Esta curva tambiénse superpone a la figura 12.9 en donde se puede ver que esta versión muestralos resultados físicos más realistasya que la de- formaciónes cero cuando el esfuerzo escero. Lacurvatambién es un poco más realista ya que captura algunas de las curvaturas sugeridas por los datos. Sustituyendoel esfuerzo = 7 350 enla ecuación (12.8)se ob- tieneunapredicciónde la deformación = 3.7 x lop3pulgs/pulg. De esta manera, la interpolación polinomialy los dos tipos de regre- sión llevan a resultados diferentesde deformación.Debido al realismo fí- sico y al comportamientomássatisfactorio a travésdelrango completo de los datos, se optará por la ecuación (12.8)ya que proporciona mejo- res predicciones. Usandoun valor de longitud = 30 pies y con la ecuación (12.6)se obtiene el siguiente resultado del cambio en la longitud del mástil: AL = (3.7 x pies/pie)(30 pies) = 0.11 pies
- 410. CASOS DE LAPARTE IV: AJUSTEDECURVAS 399 FIGURA 12.9 Gráficade una línea usando regresión lineal y una línea de regresión usando la transformación logarítmica con los datos de esfuerzo- deformacióndel mástil de un barco. CASO 12.4 AJUSTEDE CURVAS EN LA ESTIMACIóN DELA CORRIENTE RMS (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: elvalor promedio de una corriente eléctrica oscilante du- rante un periodopuedeser cero. Por ejemplo, supóngaseque la co- rriente se describemedianteunasenoidalsimple: i(t) = sen (2at/T) en donde Tes el periodo. El valor promedio de esta funciónse puede deter- minar mediante la siguiente ecuación: -- -cos 27T + cos o T = o
- 411. 400 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS La misma aproximaciónse muestra gráficamente enla figura 12.loa. Co- mo se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero ya que las áreas positiva y negativa bajo la curva se cancelan. A pesar de que el resultado neto es cero, esta corriente es capaz de realizar un trabajo y generar calor. Por lo tanto, los ingenieroseléctricos, a menudo, caracterizanestacorrientemediante [12.9] en donde I,,, se conoce como corriente RMS (raíz cuadradamedia, en inglés “root-mean-square”).El problema de cancelación de signos positi- vos y negativos se evita elevandola corriente al cuadradoantes de calcu- larel promedio. FIGURA 12.1O a) Gráfica de una corriente eléctrica oscilante. Sobre un periodo T (esto es, un cic!o completo), laintegral de la función es cero ya que las áreos positivasy negativas son iguales, y por lo tanto, se cancelan. Paraevitar este resultado, la corriente se eleva alcuadrado, como en b). La raíz cuadrada del promedio del cuadrado, a lacual se le llama corriente RMS, proporcionauna medida de la magnitud de la corriente. ””
- 412. CASOS IV: AJUSTEDECURVAS 401 En este caso, supóngaseque la corriente en un circuito es de i(t) = 10e-t’Tsen- para O It IT / 2 i(t) = O para T / 2 < t 5 T ( 2;t) [12.10] Determínesela corriente RMS ajustandoun polinomio de segundo grado quecoincidacon i2(t)exactamente en t = O, T/4 y 1/2. En seguida, in- tégrese este polinomio analíticamentey calcúlese la corriente RMS en el intervalode O a T usandolaecuación (12.9).Supóngase que T = 1s. Este resultado se puede comparar al caso 15.4 en donde se emplear6n otrastécnicasparacalcular la corriente RMS. Solución: usando la ecuación (12.lo),se generan los siguientes puntos. t i(t) i*(t) O 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0 114 7.788007 831 60.653 065 98 1/2 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0 Ajustando un polinomiodeNewtonde obtiene elpolinomio segundoorden(Fig. 12.11),se i2(t)= 242.612 264t - 970.449 056t(t - 1/4) FIGURA 12.1 1 Gráfica de la corriente verdadera [Ec. (1 2.10)], junto con laparábola que se usa como aproximación.
- 413. 402 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS que se puedeintegrardesde t = O hasta t = T/2(T = 1 S) y obtener: i: i2(t)dt-= 121.306132t2 -.323.483 0187t3 + 121.306132$ I: obteniendo elresultado 20.217 688 66, el cual, a suvez se sustituyeen la ecuación (12.9) y se obtiene lRMs= 4.496 408 418. Enel caso 15.4 se usanvarias técnicas de integración numérica para llevar a cabo estos mismos cálculos. CASO 12.5 REGRESIóNLINEALMQLTIPLEEN EL ANALISIS DE DATOSEXPERIMENTALES (INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: las variables de diseño en la ingeniería,a menudo, dependen de muchasvariablesindependientes.Confrecuenciaestadependencia funcional se caracteriza mejor con ecuaciones de potencia multivariable. Como se analizaenla seccidn 10.3, una regresión lineal múltiple de da- tos transformados mediante logaritmos porporciona un medio para eva- luar tales relaciones. Por ejemplo, un estudiodeingenieríamecánicaindicaque elflujo de fluido a través de un tubo es funcióndeldiámetrodeltubo y de su pendiente (cuadro 12.6). Paraanalizarestosdatos se usaunaregresión linealmúltiple.En seguida, se usaelmodeloresultanteparapredecirel flujoen un tubocon un diámetro de 2.5 pies y conunainclinaciónde O.O25 piedpie. Solución: la ecuación de potencias se evalúa como Q = u,D"~S"* c12.111 2 3 1 2 3 1 2 3 0.001 0.001 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.05 8.3 24.2 4.7 28.9 84.0 11.1 69.0 200.0
- 414. CASOS DE IV: AJUSTE DE CURVAS 403 en donde Q es el flujo (en pies cúbicos por segundo), S es la pendiente (en pies por pie), D es el diámetro del tubo (en pies) y ao, al y a2 son coeficientes. Extrayendo logaritmos a esta ecuación se obtiene log Q = log a. + al log D + a2 log S De esta forma, la ecuación se adapta ala regresión lineal múltiple ya que log Q es función lineal de log S y de log D. Usando los logaritmos (base 10)de los datos en el cuadro 12.6,se generan las siguientes ecua- cionesnormales expresadas en forma matricial [recuérdesela Ec. (10.21)]: 2.3340.954 -4.903][ :t]= [ 3.9451 2.334 -18.903 log a. 11.691 -18.903-4.903 44.079-22.207 Este sistemase puede resolver usando eliminación gaussiana para obtener: log a. = 1.747 5% al = 2.62 a2 = 0.54 Si log a. = 1.747 5, entonces a. = 55.9 y la ecuación (12.11)se con- vierte en: Q = 55.902.62SO.54 [12.12] La ecuación (12.12) se puede usar para predecir elflujo en el caso en que D = 2.5 pies y S = 0.025 piedpie, dando Q = 55.9(2.5)2.62(0.025)o.54= 84.1 pies3/s Se debe notar que la ecuación (12.12) puedeusarse para otros pro- pósitos además de calcular flujos.”Por ejemplo, la pendiente está dada en función de la pérdida de calor hL y la longitud del tubo L por S = h,/L. Si esta relación se sustituye en la ecuación (12.12)y la fórmula re- sultante se resuelve para hL. se obtiene la siguiente ecuación: Esta relación se conoce con el nombre de ecuación de Hazen-Williams.
- 415. 404 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS PROBLEMAS Ingeniería en general 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 Efectúense los cálculos llevados a cabo en el caso 12.1 usando los programas propios. Ejecútense los mismos cálculos del caso 12.1, pero con el número de computa- dorasen el mercado en los días 50 y 60 modificados un poco a 12 O00 y 11 050. Si se deposita una cantidad de dinero con cierta tasa de interés, se pueden usar las tablas económicas para determinar la suma acumulada en un tiempo poste- rior. Por ejemplo, la siguiente informaciónse encuentra en una tabla económica sobre elvalorfuturo de un depósito después de 20 años: Tara de F/P inter& Oh (n=20 años) 15 16 366 20 38337 25 86736 30190 05 en donde FIP es el promedio delvalorfuturoalvalor actual. Por lo tanto. si se depositaron P = $10000, después de 20 años al 20% de interés se debe tener: F = (F/P)P= 38.337(10 000) = $383 370 Utilíceseinterpolación lineal, cuadrática y cúbica y determínese elvalorfuturo de $25 O00 depositados al 23.6% de interés. Interprétense los resultados desde la perspectiva de lainstitución prestamista. Utilícese la información dada en el problema 12.3. pero suponiendo que sehan invertido $40 O00 y le dicen que después de 20 aiios elprestamistaregresará $2 800 000. Úsese interpolación lineal, cuadrática y cúbicaparadeterminar la tasa de interés que se está dando. Supóngase que al ganador de un premio se le da la oportunidad de escoger en- tre $2 millones ahora o $700 O00 por atio durante 5 años. La relación entre el valor actual P y una serie de pagos anuales A está dada por la siguiente informa- ción de unatabla de economía: Tasa de A/P inter& 016 (n =5 años) 15 0.29832 200.33438 25 0.37185 30 0.41058
- 416. CASOS DE LAPARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 405 en donde A/Pes el promedio de pagos anuales alvalor actual. Por lo tanto, la tasa de interésdel 15%, los cinco pagos anuales A que son equivalentes a un solo pago actual (P= $2 millones) se calculan como A = (A/P)P = 0.298 32(2 O00 000) = $596640 Utilicese interpolación para determinarla tasa de interés a la cual los $2 millones es la mejor decisión. 12.6 Se est5 llevando a cabo un estudiopara determinar la relación entre la fuerza de fricción que actúa hacia arriba y la velocidad de caída del paracaidista. Se llevan a cabo algunos experimentos para obtener la siguiente información sobre la velocidad (u medidaen centímetros por segundo) y lafuerza de rozamiento (F, medidaen lo6 dinas): u I 1O00 2 O00 3 O00 4 O00 5 O00 F, 1 5 15.3 29.3 46.4 66.3 GraffqueseF contra u y úsese regresión para determinarla relación entre la fuer- za de rozamiento y la velocidad. Ingeniería química 12.7 Repítanse los cálculos del caso 12.2 usando los programas propios. 12.8 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.2, pero usando regresiónpolinomial paraajustarunaparábola a los datos. Analícense los resultados. 12.9 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.2, pero usando regresiónlineal con transformaciones paraajustar los datos a una ecuación de potencias. Ignórese elprimerpunto cuando se ajuste la ecuación. 12.10 Se llevan a cabo los siguientes experimentos y se determinan los siguientesvalo- res de capacidad calorífica (c)a varias temperaturas ( T ) para un metal: r -50 " 2 0 10 70 100 120 C 0.125 0.128 0.134 0.144 0.150 0.155 Utiliceseregresión y determínese.un modelo parapredecir c en función de T. 12.11 La concentración de saturacióndel oxígeno disuelto en el agua enfunción de la temperatura y del cloruro se muestra en el cuadro P12.11.Utilicese interpola- ciónparacalcular elnivelde oxígeno disuelto para T = 22.4OC con cloruro = 10 oon mg/L. 12.12 osese interpolación polinomial con los datos del cuadro P12.11para derivar una ecuación sobre la concentración de oxígeno disuelto en función de la temperatu- ra para el caso en que la concentración de cloruro es igual a 20 O00 my/L.
- 417. 406 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO P12.11 Dependencia de la concentración de oxígeno en función de la tem- peratura y de la Concentración de cloruro OXiGENO DISUELTO (mglL) PARA CONCENTRACIONES DE CLORURO Temperatura OC CloruroCloruro = O mgll = 10 O00 mgll 5 12.8 1 1.6 10 11.3 10.3 15 10.0 9.1 20 9.0 8.2 25 8.2 7.4 30 7.4 6.8 Cloruro 20 O00 mglL 10.5 9.2 8.2 7.4 6.7 6.1 12.13 Utilicese regresiónpolinomial para llevar a cabo el mismo problema 12 12 12.14 Úsese regresión lineal múltiple y trsnsformaciones logaritmicas para derivar una ecuación queprediga la concentración del oxígeno disuelto en función de la tem- peratura y de la concentración de cloruro. Evalúense los resultados Ingenieria civil 12.15 Repítanse los cálculos del caso 12.3usando los programaspropios. 12.16 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3. pero usandoregresión polinomial de segundo orden para relacionardeformación y esfuerzo. 12.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3pero usando una formulación ex- ponencia1 para relacionardeformación y esfuerzo 12.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3 pero usando interpolacljnpolino- mial para evaluar AL si el esfuerzo es de .7 700 libras/pulgada'. Ingenieriaeléctrica 12.19 Repítanse los cálculos delcaso 12.4 usando los programas proplo5 12.20 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.4ajustando e integrando un polino- mi0 de tercer orden que coincida con i2(t) exactamenteen t = O. TíG. T1'3. y T / 2 . 12.21 Se mide la caída de voltaje II a través de una resistencia para cierto número de valores de la corriente i. Los resultados obtenidos son i 1 0.250.75 1.25 1.5 2.0 u I -0.23 -0.33 0.70 1.88 6.00
- 418. CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTEDECURVAS 407 Úsese interpolaciónpolinomialparacalcular la caída de voltajepara i = 0.9. Interprétense los resultados. 12.22 Duplíquenselos cálculos delproblema 12.21 usandoregresiónpolinomial para obtener una ecuación cúbica que ajuste los datos. Grafíquense y evalúense 10s resultados. Ingeniería mecánica 12.23 Efectúense los cálculos del caso 12.5 usando los programaspropios 12.24 Basándose enel cuadro 12.6 utilícese interpolaciones lineal y cuadrática para calcular Q con D = 1.23 pies y S = 0.01 piedpie. Compárense los resultados con elmismovalor calculado con la fórmuladerivadaen el caso 12.5. 12.25 Utilíceseel caso 12.5 paradesarrollaruna ecuación que predigaeldiámetroen función de la pendiente y del flujo. Compárense los resultados con los de la fór- muladel caso 12.5 y analícense los resultados. 12.26 Laviscosidad cinemática del agua. u , está relacionada con ia temperatura de !a siguiente manera: T(OF) i 40 50 60 70 80 u pies2/s) I 1.66 1.41 1.22 1.06 0.93 Grafíquense estos datos y utilíceseinterpolación para predecir u en T = 62'F. 12.27 Repítase el problema 12.26 usandoregresión 12.28 Léanse todos los casos delcapítulo 12. Con base a la lectura y a la experiencia, elabórense los propios casos de cualquiwa de fos campos de la ingeniería. Esto puede involucrar la modificación o la reexpresión de los casos. Sin embargo, tam- bién pueden ser totalmente originales. Como los ejemplos del capítulo, se deben elaborar con un enfoque a losproblemasdeingeniería y debe demostrarse el uso de los métodos numéricos para ajustar curvas. Escríbanselosresultados usando los casos delcapítulo como modelos.
- 420. EPíLOGO: PARTE IV IV.4 ELEMENTOS DE JUICIO En el cuadro IV.4 se proporciona un resumen de los elementos de juicio relacionados con el ajuste de curvas. Los métodos se dividen en dos amplias categorías dependiendode la incertidumbre delos datos. Para las medicionesimprecisas, se usa la regresión para desarrollar la "mejor" curva que ajuste todas las tendencias de los datos sin pasar necesariamente a través de algún punto.Para me- diciones precisas, se usa la interpolación para de- sarrollar una curva que pase directamentea través de cada uno de los puntos. Todos los métodos de regresión se diseñan de ma- nera que ajustenfuncionesqueminimicen la su- ma delos cuadrados de los residuos entrelos datos y la función. A estos métodos seles conoce como regresión con mínimos cuadrados. La regresión con mínimos cuadrados lineal se usa en aquellos casos en donde una variable dependiente y otra independiente se relacionande manera lineal. Pa- ra situaciones en que lasvariables dependiente e independientemuestren una relación curvilínea, se dispone de varias alternativas. En algunos ca- sos, se pueden usar transformacionespara linea- lizar la relación. En estos casos se puede aplicar la regresión lineal a variables transformadas pa- ra determinar la mejor línearecta. Alternativamen- te, se puede emplear la regresión polinomial y ajustar una curva directamente a los datos. La regresión linealmúltiple se usa cuando una va- riable dependiente es una función de dos o más variables independientes.Se pueden aplicar tam- bién transformaciones logaritmicasa este tipo de regresión en algunos casos donde la dependen- cia múltiple es curvilínea. La interpolación polinomial esta diseñada para ajustar un polinomio Único de n-ésimo orden que pase exactamente por los n + 1 puntos exactos. Este polinomio se presenta en dos formatos dife- rentes. El polinomio de interpolación de diferen- cias divididas de Newton se adapta idealmentea
- 421. 410 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS O 0 7 7 a 0 P P Q a , - + O C
- 422. EPíLOGO PARTE IV 411 IV. 5 IV.6 aquellos casosen que el orden propio del polinomio se desconoce. El polinomio de Newton es apropiado para tales situaciones ya que se programa fácilmente enun formato que compara los resultados con órdenes diferentes. Además, se puede incorporar con facilidad una aproximación del error enel método. De esta forma, se puede comparar y escoger a partir de los resultados usando varios polino- mios de órdenes diferentes. La otra formulación alternativa esel polinomio de interpolación de Lagrange el cual es apropiado cuando el orden se conoce a priori. En estos casos, la versión de Lagrange es algo más simple de progra- mar y no requiere de los cálculos y almacenamiento de diferencias divididas finitas. El método final deajuste de curvases mediante interpolación segmen- taria. Este método ajusta un polinomio de orden bajo a cada uno de los intervalos entre los puntos. El ajustese hace uniforme obligando a que las derivadas de dos polinomios adyacentes en el mismo valor de su puntode conexión sean iguales. La interpolación cúbica seg- mentaria es la versión más común. Los segmentos son muy útiles cuan- do se ajustan datosque en general son uniformespero exhiben áreas locales de saltos de los datos. Tales datos tienden a inducir oscilacio- nes en los polinomios de interpolación de orden superior. La interpo- lación cúbica segmentaria está menos propensa a estas oscilaciones ya que se limita a variaciones de tercer orden. RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES En el cuadro IV.5 se resume la informaciónde mayor importanciaque se presenta en la parte IV. El cuadro se puede consultar para tener una referencia rápida de las relaciones y fórmulasde importancia. MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES Aunque se han repasado una gran cantidad de métodos deajuste de curvas, aúnexisten otros métodos que tienen mucha utilidad en la prác- tica de la ingeniería. Por ejemplo, los polinomios ortogonales se pue- den emplear enel desarrollo de un método alternativo para la regresión polinomial. Esta técnica tiene mucha utilidad ya que no es susceptible al mal condicionamiento cuando se deben ajustar polino- mios de orden superior. La información sobre polinomios ortogonales se encuentra en Shampine y Allen (1 973) y en Guest (1 961). Existe una gran variedad de métodos que desarrollan directamente el Gjuste con mínimos cuadrados de una ecuación no lineal. Estas téc-
- 423. 412 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS rl ,i II v) L - N L. -@ F v h x x" I x" 4 I I v* v j¿ F x h h I I v* - x" x" x h h It 11 oc" boc" /I
- 424. EPlLOGO PARTE IV 413 nicas deregresiónno lineal incluyenal método de Gauss-Newton, mé- todo de Marquardt’s y mcitodos de pasos descendentes. La informa- ción sobre estos métodos y de regresión en general se encuentran en Draper y Smith (1981). Todos los métodos de la parte IV se han expresado entérminos del ajuste de una curva a un conjunto de puntos. Pero se puede ajustar una curva a otra curva. La motivación principal de tal aproximación funcionales la de representar una funcióncomplicadaa una más simple que sea más fácil de manejar. Una manera de hacerlo es la de usar función complicada para enerar unatabla de valores. Después se pueden usar cualquieradeBas técnicas analizadas en este libro para ajustar polinomios a esos valores discretos. Más allá de este planteamiento, existe una variedad de métodos al- ternativos,y en general, preferiblesen la aproximación funcional. Por ejemplo, si la función es continua y diferenciable, se puede ajustar a una serie de Taylor truncada. Sin embargo, esta estrategiase dese- cha ya que el error aumenta a medida que se ale’a del punto base Por lo tanto, se puede tener una buena predicción del intervalo y una mala aproximación para un Un enfoque alterno se basa en el principio de minimax (recuérdese la Fig. 10.2~).Este principio especifica que los coeficientes del poli- nomio de aproximación se escogen de tal forma que la discrepancia máxima seatan pequeña como sea posible. Por lo tanto, aun ue la aproximación no puede ser tan buena como la obtenida con4a ex- pansión de la serie de Taylor en el punto base, generalmente, es me- jor a travésde todo el dominio delajuste. l a economización de Chebyshev es un ejemplo delacercamiento de una aproximación fun- cional basada en esta estrategia (Ralstony Rabinowitz, 1978; Gerald y Wheatley, 1984 y Carnahan, Luther y Wilkes, 1969). Un método final de aproximación funcional es la de usar funciones trigonométricas. La transformadaru ida de Fourier es un ejemplo de este enfoque y es ampliamente usaBo en la ingeniería práctica (Bri - ham, 1974; Davis y Rabinowitz, 1975 y Gerald y Wheatley, 19847. En resumen, lo antes mencionado tiene la finalidad de proporcionar al lectorsenderos de exploración más profundos sobre la materia. Además, todas las referenciasanteriores proporcionan descripciones de las técnicas básicas cubiertas en la parte IV. Se sugiere al lector que consulte estas fuentes alternativaspara profundizar en el conoci- miento de los métodos numéricos sobre elajuste de curvas.* * Aquí se hace referencia a los libros únicamentepor autor; se encuentra una bibliografía corn- pleta al final del libro.
- 427. 416 MÉTODOS NUM&lCOS PARA INGENIEROS FIGURA V.l Representación gráficadela integral de {(x) entre los límites x 3 a y b. Lo integral es equivalente al área baio la curva. 2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3. Una función tabulada en donde los valores de x y f (x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como esel caso, a menudo, de los datosexperimentales. En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analiticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Un planteamiento lógico es el de graficar la función sobre una malla (Fig. V.2) y contar el número de cuadros que aproximan el área. Este número multiplicado por el área de cada uno de ellos da una estima- ción aproximada del área total baio la curva. Esta estimación puede meiorar a costa de un mayor esfuerzo, usando una malla más fina. Otro planteamientocon sentido común es el de dividir el área en seg- mentos verticales, o bandas, con una altura igual al valor de la fun- ción enel punto medio de cadabanda (Fig. V.3). El área de los rectángulos se puede entonces calcular y sumar para estimar el área total. En este planteamiento,se supone queel valor de los puntos me- dios proporciona una aproximación válida de la altura promedio de
- 428. lNTEGRACl6N 417 FIGURA V.2 Uso de una malla para aproximar una integral. FIGURA V.3 X" .. - - Uso de rectángulos, O bandas para aproximar la integral.
- 429. 418 MÉTODOSNUMÉRICOS PARAINGENIEROS la función de cada banda. Comocon el método de mallas, es posible obtener una estimación, mejor usando más (y más delgadas) bandas paraaproximarla integral. Aunque estos esquemas simples tienen utilidad para estimaciones rá- pidas, se dispone de métodos alternativos llamados integración nu- mérica o cuadratura gaussiana para los mismos propósitos. Estos métodos, que son más fáciles de implementar que la técnica de ma- FIGURA v.4 Aplicaciónde un método numérico de integración a) función continua complicada; bJtabla de valores discretos de f(x) generados de la fun- ción, y c) USO de un método numérico (elmétodo de bandas) para apro- ximar la integral en base a los puntos discretos. Para una función tabular, 10s datos se encuentran en forma tabular en b); por lo tanto el paso 0) es innecesario.
- 430. lNTEGRACl6N 419 las, son similares en esencia al método de bandas. Esto es, las altu- ras de la función se multiplican por el ancho de las bandas y se suman para calcular la integral. Sin embargo, con eluso de la alternativa másinteligente de factores de peso, la estimación resultante puede ser más exacta que la obtenida con el "método de bandas" simple. Como en el método simple de bandas,los métodos de integración nu- mérica utilizan datos enpuntosdiscretos. Ya que la información ta- bulada ya se encuentra en esta forma, es naturalmente compatible con muchos métodosde integración numérica. Aunque las funciones continuas no están originalmente en forma discreta, en general una proposición simplees la de usar la ecuación dadapara generar una tabla de valores. Como se muestra en la figura V.4, esta tabla se emplea enel cálculo de la integración numérica. V.1.2 Integración numéricae ingeniería práctica La integraciónde unafunción tiene tantasaplicaciones en la ingenie- ría que probablemente al lector se le enseñe el cálculo integral en el primer año de la facultad. Puedendarse muchos ejemplos específicos de sus aplicaciones entodos los campos de la ingeniería. Uno de ellos es el uso de la integración para determinar la media de una función continua. En la parte IV se introdujo el concepto de me- dia de npuntosdiscretos [recuérdese la Ec. (lV.1)J: .iy; Media = L n N21 en donde y son medidas individuales. La determinaciónde la media de puntosdiscretos se muestraen la figura VSa. En contraste, supóngase que y es una función continua de una varia- ble independientex, como se muestra enla figura VSb. En este caso, existe un número infinito de valores entre a y b. Así como se puede aplicar la ecuación (V.2) para determinar la media de una lecturadis- creta, también se puede estar interesado en calcular la media o pro- medio de una función continua y = f (x)en el intervalo de a a b. Se usa la integración para este propósito, tal como se especifica en la fórmula:
- 431. 420 MÉTODOS NUM6RICOS PARA INGENIEROS FIGURA V.5 Ilustración de la mediaa) caso discreto, b) caso continuo. Esta fórmula tiene cientos de aplicaciones en la ingeniería. Por ejem- plo, se usa para calcular el centro de gravedad de objetos irregula- res en ingeniería mecánica y civil y para determinar la corriente RMS en ingeniería eléctrica. Las integrales las emplean los ingenieros también para evaluar la can- tidad total o para cuantificar una variable física dada. La integral se puede evaluar sobre una línea, una áreao un volumen. Por ejemplo, la cantidad total de masa de sustanciasquímicas que contiene un reac- tor está dada como el producto de la concentración de sustancias químicas y el volumendel reactor, o sea Masa = concentración X volumen en donde la concentración tiene unidades de masa por volumen. Sin embargo, supóngase que la concentración varia de posición a posi- ción dentro del reactor. En este caso, es necesario sumar los produc- tos de concentración local c y sus volúmenes elementales correspon- dientes (AVi):
- 432. INTEGRAC16N 421 n Masa = c;AV, i= 1 en donde n es el número de volúmenes discretos. En este caso conti- nuo, en donde c (x,y,z,) es una función conocida y x, y y z son varia- bles independientes quedenotan la posición, en coordenadas cartesianas, la integración se puede usar para el mismo propósito: Masa = 111c(x,y, z) dx dy dz Masa = 111c(V)dV V a la cual se le conoce como integral de volumen. Nótese la fuerte ana- logía entre la sumatoria y la integración. Se pueden dar ejemplos similares para los otros campos de la inge- niería. Por ejemplo, el promedio total detransferencia de energía a través de un plano en donde el fluio (en calorías por centímetro cua- drado por segundo) es una función de la posición dada por Transferencia de calor = JJ fluio dA A A la cual se le conoce como integralde superficie endonde A = área. De manera similar, para el caso unidimensional, el peso total deuna varilla con densidad variable está dada por w = A lo’p(x) dx en donde w es el peso total (en libras), I es la longitud de la varilla (en pies), p (x) es la densidad conocida (en libras por pie cúbico) en función de la longitud x (en pies) y A es el área transversal de la vari- lla (en pies cuadrados). Finalmente, las integrales se usan para la evaluación de ecuaciones promedio. Supóngase que la velocidad de una partícula es una fun- ción cococida continua del tiempo v (t). La distancia total drecorrida por esta partícula en un tiempo dado t está dada por d = v(t) dt rv.41 Estos son sólo algunos ejemplos de las aplicaciones de las integrales que se pueden encontrar regularmente en el desarrollo de la profe-
- 433. 422 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS v.2 sión. Cuando las funciones a integrar sonsimples, normalmente se integran analíticamente. Por ejemplo, enel problema del paracaidis- ta, se determinó la velocidad en función del tiempo (Ec. (1.8)]. Esta relación se puede sustituir en la ecuación (V.4), la cuál se integra fá- cilmente y de esta manera se determina que tan rápido cae el para- caidista enun periodo detiempo t. En este caso, simplementese evalúa la integral. Sin embargo, es dificil o imposible cuando la función se complica, como es el caso para ejemplos más comunes. Además, la función en cuestión a menudo se desconoce y se define únicamente con medidas en puntos discretos. En ambos casos,se debe tener la suficiente habilidad como para obtener valores aproximados a las in- tegrales usando métodos numéricos. Algunosde estos métodosse ana- lizan enesta parte del libro. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En la preparatoriao en los primeros años de la facultad, se ven intro- ducciones al c6lculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen solucionesanalíticas o soluciones exactasde integrales definidas e in- definidas. En la parte VI se analiza la integración indefinida, que involucra en primer lugarla determinación de una función cuya deri- vada está dada. En esta parte del libro se desarrolla la integraci6n definida, que se ocupa de determinar una integral entre un par de límites específicos, como en I = f(x)dx De acuerdo al teorema fundamental del cálculo integral, la ecuación (V.5) se evalúa como labf(x) ¿x = F(x) 1." ~ 5 1 1:en donde F (x) es la integral de f (x), esto es, cualquier función tal que F' (x) = f (x). La nomenclatura sobre el lado derecho queda F(x)1 = F(6)- F(a) [ W I = r8(0.2+ 25x - 200x2+ 675x3 - 900x4 + 400x5)dx [V.7] En este caso, la función es un simple polinomio quese puede integrar analíticamente evaluando cada uno delos términos de acuerdo a la regla b O Un ejemplo de una integral definida es
- 434. INTEGRACldN 423 x n t ~ b Jab x" dx = - n + l a en donde n no puede ser igual a -1. Aplicando esta regla a cada uno de los términos en la ecuación (V.7) se obtiene 200 400 1O'* I = 0 . 2 ~+ 1 2 . 5 ~ ~- -x3 + 1 6 8 . 7 5 ~ ~- 1 8 0 ~ ~+ -X' 3 I o que se puedeevaluardeacuerdo a la ecuación (V.6) como I = 1.640 533 34. Este valor es igual al área bajo el polinomio original [Ec. (V.7)] entre x = O y x =0.8. La integración anterior depende del conocimiento de laregla expresa- da por la ecuación (V.8). Otras funcionespermitenreglasdiferentes. Todas estas "reglas" son meros ejemplos de antidiferenciación, esto CUADRO V. 1 Algunas integrales simples usadas enla parte V. La a y la b en este cuadro son constantes y no se deben confundir con los límites de integracibn discutidos enel texto. j u d v = u v - j v d u ""+l ubxdx = -U bx b In a + c U > O , U f l l u " d u = - n + 1 + c n f - 1 j $ = In 1x1+ c j e o x d x = - +eUOx C j x e a x d x = 7 ( u x -eOx 1) + C U
- 435. 424 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS v.3 es, encontrando f (x)de tal manera que F’ (x) = f (x).Por consiguiente, la integración analítica depende del conocimiento previo de la res- puesta. Este conocimiento se adquiere por experiencia. Muchas de estas reglas se resumen en manuales y en tablas de integrales. En el cuadro V.l se listan algunas de las integrales más comúnmente usa- das. Sin embargo, muchas funciones de importancia prácticason de- masiado complicadas para incluirlas en tales tablas. Una razón por la que las técnicas de esta parte del libro son tan valiosas, es porque proporcionan un medio de evaluarrelaciones tales como la ecuación (V.7) sin conocimiento de las reglas. Antes de continuar con los métodos numéricos de integración, puede ser de utilidad información adicional. Lassiguientes secciones están enfocadas a dar un bosquejo del material analizado en la parte V. Además, se han formulado algunos objetivos que ayudarán al apren- dizaje cuando se estudie este material. V.3.1 Alcances y avances La figura V.6 proporciona un panorama de la parteV. En el capitulo 73 se desarrolla el planteamiento más común de la integraciónnu- mérica: las fórmulas de Newton-Cotes. Estas relaciones se basan en el reemplazo de una función complicada o de un conjunto de datos en forma tabular a polinomios simples que son fáciles de integrar. Se analizan en detalle tres de las fórmulas más ampliamente usadas de Newton-Cotes: la regla trapezoidal,la regla 713 de Simpson y la re- gla 318 de Sirnpson. Todas estas fórmulas están proyectadaspara casos en donde los datos a integrarse están igualmente espaciados. Ade- más, se incluye un análisis de la integración numérica de datos que no están igualmenté espaciados. Este es un tema muy importante ya que muchas aplicaciones del mundorealmaneian datos de esta manera. Todo el material siguiente trata sobre la integración cerrada, en donde se conocen los puntos finales de los límites de integración.AI final del capítulo 13, se presentan las fórmulasde integraciónabiertas, en donde los límites de integración se extienden más allá del rango de los datos conocidos. Aunque no se usan comúnmente en la integración defini- da, se presentan aquí las fórmulas de integración abierta porque se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordina- rias de la parte VI.
- 436. INTEGRACldN 425 FIGURA V.6 Esquema de la organización del material dela parte V: Integración numérica. Las formulacionesestudiadas en el capítulo 13 se pueden emplear en el análisis de funciones tabularesy continuas. En el capitulo 14 se ana- lizan dos métodos diseñados expresamente para integrar funciones continuas: integraciónde Rombergy cuadratura gaussiana. También se proporcionan algoritmos para estos dos métodos. El capitulo 75demuestra como los métodos se pueden aplicar a laso- lución deproblemas. Como con el resto de las partes dellibro, se men- cionan casosdetodos los campos de la ingeniería.
- 437. 426 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Se incluye una sección de repaso o epilog0 al final de la parte V. Este repaso incluye un análisis de los elementos de juicio incluidos en la implementaciónde los métodosen la ingeniería práctica. Además, se resumen las fórmulas y conceptos más importantes relacionados con los métodosnuméricos deintegración.Finalmente, se hace un repaso breve de los metodos avanzados y algunas referencias adicionales que facilitarán estudiosposteriores sobre integración numérica. Se proporcionan varias opciones para efectuar el cálculo por com- putadora de cálculo. En primer lugar, el paquete de programas NU- MERICOMP contiene la regla trapezoidal a usarse sobre una base opcional enlas microcomputadoras APPLE II e IBM-PC. Alternati- vamente, semuestran directamenteen eltexto programas en los lenguajes FORTRANy BASICde la reglatrapezoidal. Esto le da opor- tunidad al lector de copiar estos programas e implementarlo sobre una microcomputadora o en una supercomputadora. Se suministran diagramas de fluio para la mayor parte de los otros métodos descritos enel texto. Estos diagramas de flujo, combinados con los progra- masescritos por ellectoren cualquierlenguaje, proporcionan pro- gramas que pueden aplicarsea un conjunto de problemas de ingeniería. V.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte V, el lector debe ser capaz de resolver muchos problemas de integración numérica y apreciar su aplicación en la solución de problemas de ingeniería. Se debe hacer lo posible por dominar varias técnicas y valorar su con- fiabilidad. Debe entender los elementos de juicio involucrados en la selección del "mejor" método (o métodos)para cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, se deben asimi- lar y dominar los conceptos específicos listados en el cuadro V.2 Objetivosde cómputo. El lector debe tener unpaquete de programas, programas simples para la computadora, algoritmosy diagramas de flujo que implementenlastécnicas analizadas en la parte V. Todas ellastienen utilidad como herramientas de aprendizaje. El paquete personal de programas NUMERICOMPes legible al usua- rio. Emplea la regla trapezoidal para evaluar la integraldefunciones tabulares o continuas. Las gráficas asociadas con estos programas ha- bilitarán al lector a visualizar fácilmente los problemas y las opera- cionesmatemáticas asociadas como el área entre la curva y eleje x. Este paquete de programas es muy fácil de aplicar en la solución de problemas prácticos y se puede usar en la prueba de resultados de cualquier programa de computadora que el lector pueda desarrollar por sí mismo.
- 438. INTEGRACldN 427 CUADRO V.2 Objetivos de estudios especificos de la parte V l. Entender la derivación de las fórmulas de Newton-Cotes; saber cómo derivar la regla trapezoidal y cómo derivar los dos casos de la regla deSimpson; reconocer que la regla trapezoidal, la regla 1/3 y la regla 3/8 de Simpson representan las areas baio polinomios de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. 2. Conocer lasfórmulas y las ecuaciones de error para a) La regla trapezoidal b) La regla trapezoidal de segmentosmúltiples. c) Laregla 1/3 de Simpson d) Laregla 3/8 de Simpson e) La regla de Simpson de segmentosmúltiples. Ser capaz de escoger la "meior" de estas fórmulas para cualquier problema en particular. 3. Reconocer que la regla 1/3de Simpson es exacta hasta cuarto orden aun cuando está basada en sólo tres puntos; darse cuenta que todas las fórmulas de Newton- Cotes de segmentos par y punto impar tienenexactitudsimilar. 4. Saber cómo evaluar la integral de datos desigualmente espaciados. 5. Reconocer la diferencia entrefórmulas de integración abiertas y cerradas. 6. Entender lasbases teóricas de la extrapoloción de Richardson y cómo se aplica al algoritmo de integración de Romberg. 7. Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cua- dratura gaussiana. 8. Reconocer por qué la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana tienen utilidad en la integración de funcionescontinuas (opuesta a la forma tabular). Alternativamente, se proporcionan directamente en el texto los pro- gramas de la regla trapezoidal en los lenguajes FORTRAN y BASIC. Además, se proporcionan los algoritmos generales y diagramas de fluio de la mayor parte de los métodos de la parte V. Esta informa- ción le permite al lector aumentar la biblioteca de programas de tal manera que incluya métodos más a116 de la re latrapezoidal. Por ejemplo, sería útil, desde un punto de vista pro3esional, desarrollar programas que manejen datos que no estén igualmente espaciados. Se pueden desarrollar también programas sobre la regla de Simpson, la integración de Romberg y la cuadraturagaussiana, que, en gene- ral, sonmáseficientes y exactos que la regla trapezoidal.
- 440. C A P í T U L O T R E C E FóRMULAS DE INTEGRACIóN DE NEWTON-COTES Lasfórmulas de integración de Newton-Cotesson los esquemas más co- munesdentrodelaintegraciónnumérica. Se basanenlaestrategiade reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con algunafunciónaproximadaqueseamásfácildeintegrar: endonde j,(x) es un polinomio de la forma: fn(x)= aa + al + . . . + a,-l xn-l + a, x" [13.1] FIGURA 13.1 Estimación de una integral mediante el área baio a) una línea recta, y b) una parábola.
- 441. 430 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 13.2 Aproximación de laintegral mediante el área baio tressegmentos de línea recta. en donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo, en la figura 13.la,se usaunpolinomio de primer orden (una línea recta) como aproxima- ción. En la figura 13.lb se emplea una parábola para el mismo propósito. Laintegral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longi- tud constante. Por ejemplo, en la figura 13.2,se usan tres segmentos de línea rectapara aproximar la integral. Se pueden usar polinomiosde ma- yor grado para este mismo propósito. Con estos fundamentosahora FIGURA 13.3 Diferencia entre fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas. ~-. ~ ...__I___
- 442. FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 431 se reconoceque el “método de bandas” de la figuraV.3 empleó una se- riedepolinomiosdeorden cero (esto es, constantes) para aproximar la integral. Se dispone de las formas abiertay cerrada de las fórmulas de Newton- Cotes. Lasformas cerradas son aquéllas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen (Fig. 13.3~1).Las fórmu- las abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos (Fig. 13.3b). En este sentido, se parecen a la extrapolación analizadaalfinaldelcapítulo 11. Las fórmulasabiertasdeNewton- Cotes, engeneral,noseusanen la integracióndefinida.Sinembargo,se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En este capítulo se hace hincapié en las fórmulas cerradas. Sin embargo, el material de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes se introduce brevemente alfinaldelcapítulo. 13.1 REGLADEL TRAPECIO La regla del trapecioo regla trapezoidal es la primera de las fórmulas ce- rradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de laecuación (13.1) es deprimerorden. Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar co- mo (Ec. (11.2)] [13.2] El área bajo la línea rectaes una aproximación de la integral def (x) entre loslímites a y b: El resultado de la integración (véaseel recuadro13.1 para mayores deta- lles) es [13.3] alque se lellamareglatrapezoidal. Geométricamente,la regla trapezoidal es equivalentea aproximar el área deltrapeciobajolalínearectaqueune a f (a) y f (b) enlafigura 13.4. Recuérdesede la geometría de lafórmulaparacalcularelárea
- 443. 432 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS RECUADRO 13.1 Derivaciónde la regla trapezoidal Antesdeintegrar, la ecuación (13.2)se puedeexpresar Este resultadosepuedeevaluar,obteniendo como Agrupando los dos últimos términos se obtiene f(x) = . f(b) - f(a) X Ahora,considerando que b2 - a2 = (b - a) (b + a) b - a Multiplicando y agrupando términos se obtiene que es la fGrmula de la regla trapezoidal que se puede integrar entre x = a y x = b y obtener f(b) - f(a)x* r = - + bfb) - af (b)x 1b - a 2 b - a a de un trapecio es laalturaporelpromedio de las bases (Fig. 13.5~).En este caso, el concepto es elmismo pero el trapecio se encuentrasobre uno de sus lados (Fig. 13.56).Por lo tanto, la aproximación a laintegral se puederepresentar como I =ancho X alturapromedio [13.4] FIGURA 13.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal. ~ ~~~ _l_l
- 444. FoRMlJLACl6NDE lNTEGKACl6NDE NEWTON-COTES 433 FIGURA 13.5 a) Fórmula para calcular el area de un trapecio: altura por el promedio de las bases. b)En la regla trapezoidal, el concepto es el mismo sólo que el trapecio estásobreuno de sus lados. I = (b - a) x altura promedio [13.5] en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio de los valores de la función en 10s puntos de los extremos, es decir v (a) + f ( W 2 . Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar en el formato general de la ecuación (13.5).De hecho, solo difieren con res- pecto a la formulación de la altura media. 13.l. 1 Error en laregla trapezoidal Cuando se emplea la integral bajo un segmento delínea recta para apro- ximar la integral bajo una curva, obviamente que sejncurre en un error que puede ser sustancial (Fig. 13.6)Una estimación del error de trunca- miento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (recuadro 13.2) [13.6] en donde E es un punto cualquiera dentro del intervalo de a a b. La ecua- ción (13.6)indica que sila función que se está integrando es lineal, la
- 445. 434 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 13.6 Esquema gráfico al usar sólo una aplicación dela regla trapezoidal a ra aproximar la iqtegral de f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x2 + 675 x Y -- 900 x4 + 400 x’ desde x = O hasta 08. regla trapezoidal ser%exacta. De otra manera,ocurrir6 un error parafun- ciones con derivadas de segundoy tercer orden (estoes, con curvatura). RECUADRO 13.2 Obtención y estimacion de error de lareglatrapezoidalbasada en la integración del polinomio de interpolación hacia adelante de Newton-Gregory. Una forma para obtener la regla trapezoidales integrando a O y 1, respectivamente. Porlotanto,laecuación (813.2.1) elpolinomiodeinterpolaciónhaciaadelantedeNewton- se puedeexpresarcomo Gregory.Recuérdesequepara laversióndeprimer or- dencontérminode error,laintegralsería(recuadro 11.2) 1 = b lo1[f (a) + Af (a)a [,B13.2.11 Se suponequepara h pequeña, eltérmino f’’([) es parasimplificar el analisis, tomandoen que aproximadamente constante, la ecuaciónsepuedeinte- a = (x - a)/ h, grar: dx = h da Debido a que h = b - a (para lareglatrapezoidalde un segmento),los límitesdeintegración. a y b. corresponden y evaluarse como
- 446. FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 435 1 = h f(a) + - - ,,f”(8h3 [ *Y)] Debido a que A f (u) = f (b)-f (u),el resultado se puede escribir como ReglatrapezoidalErrordetruncamiento Por lo tanto, elprimertérmino es el de la regla trapezoi- dal y el segundo es unaestimacióndel error. EJEMPLO 13.1 Aplicación de lareglatrapezoidal simple Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3) para integrar numé- ricamente f(x) = 0.2 + 2 5 ~- 200~‘+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~ desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que el valor exacto de laintegral se puededeterminaranalíticamente como 1.640 533 34. Soluci6n: losvaloresde lafunción f(0) = 0.2 f(0.8)= 0.232 se pueden sustituirenla ecuación (13.3) y obtener 0.2 + 0.232 2 I = 0.8 = 0.1 728 querepresenta un errorde E, = 1.640 533 34 - 0.1 728 = 1.467 733 34 quecorresponde a un errorrelativoporcentual de E , = 89.5 %. La ra- zón para este error tan grandees evidente en la gráfica de la figura 13.6. Nótesequeel área bajo la línearectadescuidaunaporciónsignificativa de la integralsobre la línea. Enlasituación actual, nosetendríaconocimientopreviodelvalorver- dadero. Porlo tanto, se requiere una aproximación al error. Para obtener esta aproximación,se calcula la segunda derivada dela función sobre el inter- valo, derivando lafunciónoriginaldos vecespara dar f’’(X) = -400 + 4 0 5 0 ~- 10 800~’+ 8 OOOx3 elvalor promedio de lasegundaderivadapuedesercalculadausando la ecuación V.3
- 447. 436 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS (-400 + 4 0 5 0 ~- 10 8002 + 8 OOOx9dx f,= 0.8 - O - -60 que se puede sustituirenla ecuación (13.6)y obtener E, -=(-60)(0.8)3 = 2.56 1 1L que es delmismoordendemagnitud y signo que tiene el error verdadero. Existe una discrepancia debidoa que en un intervalo de estetamaño, el pro- medio de la segundaderivadanoesnecesariamenteunaaproximación exacta de f’ ’(E). Por lo tanto, se denota que elerroresaproximado usando la notación E,, envez deusar E,. 13.1.2 La regla deltrapecio usando segmentos multiples Una manera de mejorarla exactitudde la regla trapezoidales la de dividir elintervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y apli- car el método a cada unode los segmentos (Fig. 13.7). En seguida se suman las áreas de los segmentosindividualesy se obtiene la integral so- breelintervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce co- mofórmulas de integración de segmento múltiple o fórmulas de integración compuestas. En la figura 13.8 se muestra el formato generaly la nomenclatura que se usaráenlacaracterización de integrales de segmentos múltiples. Hay n + 1 puntosbaseigualmenteespaciados (xo,xl, x2,.. ., x,), Por con- siguiente, hay n segmentos de igual anchura: h = -b - a [13.7] n Si a y b se igualan a x. y a x,, respectivamente,la integral total se repre- senta como I = l:f(x)dx + [f(x)dx + Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integrales, se obtiene [13.8] o, agrupandotérminos [13.9]
- 448. FORMULACIóN DE INTEGRACIóN DE NEWTON-COTES 437 FIGURA 13.7 Ilustración de la regla trapezoidal múltiple o) dossegmentos; b) tresseg- mentos: c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos. ~~~ ~ -. -
- 449. 438 METODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS - FIGURA 13.8 Formatogeneral de la nomenclaturapara integralesde segmentos múltiples. o, usando la ecuación (13.7)para expresar la ecuación (13.9)en la for- ma generaí de la ecuación (13.5),se obtiene I + < Ancho Altura promedio [13.10] Ya que la sumatoria de los coeficientes de f (x) en el numerador dividido por 2n es igual a 1,la altura promedio representa un promedio pesado de los valores de la función. De acuerdo a la ecuación (13.lo),las altu- ras de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a los puntos finales f (xg)y f (x,,).
- 450. FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 439 El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando loserro- resindividualesde cada uno de los segmentos, dando [13.11] en dondef’’(ti)es la segunda derivada de la función evaluada en el pun- to tilocalizado dentro del segmento ¡. Este resultado se simplificacalcu- lando la mediao el valor promedio de la segunda derivada sobre el intervalo completo [Ec. (V.2)]: n J n [13.12] Por lo tanto, C f’ ’ (ti)= n f’ ’ y la ecuación (13.11)sereescribe como [13.13] De manera que, siel número de segmentosse duplica, el error de trun- camientodisminuyea un cuarto de suvalor.Nótesequelaecuación (13.13)es un erroraproximadodebidoa la naturalezaaproximada de la ecuación (13.12). EJEMPLO 13.2 Regla trapezoidal de segmentos múltiples Enunciado del problema: utilícese la regla trapezoidal de dos segmentos paracalcular laintegralde !(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4+ 400x5 desde a = O hasta b = 0.8. Empléese la ecuación (13.13)paracalcular el error. Recuérdese de la sección V.2 que el valor correcto de la integral es 1.640 533 34. Solución: n = 2 (h = 0.4): f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8)= 0.232 I = 0.8 0.2 + Z(2.456) + 0.232 4 = 1.068 8
- 451. 440 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS ~ E , = 1.640 533 34 - 1.068 8 = 0.571 73 E, = 34.9% E, = - 12(2)2 (-60) = 0.64 I en donde -60 es el promedio de la segunda derivada determinada pre- viamente enel ejemplo 13.1. ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~ .~~~ En el cuadro 13.1 se resumen los resultados delejemplo anteriorjun- toconlaaplicacióndelareglatrapezoidalusando desde tres hasta diez segmentos. Nóteseque elerrordisminuye a medidaqueelnúmero de segmentos crece. Sin embargo, también se nota que el promedio de disminución es gradual.Esto se debeque elerror es inversamente pro- porcionalal cuadrado de n [Ec. (13.13)]Por lo tanto, si se duplica el nú- mero de segmentos el error disminuyea un cuarto de su valor. En secciones posteriores se desarrollan fórmulas de orden superior que son másexac- tas y que convergen más rápidamente a laintegralreal a medida que el númerode segmentos crece. Sin embargo, antesdeinvestigarestas fórmulas,primero se analiza un programadecomputadoraqueimple- mente lareglatrapezoidal. 13.1.3 Programa de computadora sobre lareglatrapezoidal de segmentosmúltiples Enlafigura 13.9 se muestra un pequeño programaqueimplementa la regla trapezoidal. Este programa tiene algunos inconvenientes.Primero, está limitado a que los datosesténenformatabular. Un programageneral debe tener la capacidad de evaluartambiénfunciones conocidas. Ade- más, el programa no es legibleal usuario, está diseñado estrictamente para CUA,DRO 13.1 Resultadode la regla trapezoidalde seg- mentos múltiplesparacalcular la integral de + 400x5de x O hasta 0.8. el valor exac- to es 1.640 533 34 n h I t, 9 0 f(x) 0.2 + 2 5 ~-2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~-9 0 0 ~ ~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.4 0.266 7 0.2 0.16 0.133 3 0.1 14 3 o.1 0.088 9 0.08 1.O68 34.9 1.3695 16.5 1.484 8 9.5 1.539 9 6.1 1.570 3 4.3 1.588 7 3.2 1.600 8 2.4 1.609 1 1.9 1.615 O 1.6
- 452. FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 441 FORTRAN DIMENSION F ( 2 0 ) , Y < 2 0 5 WEAL IN COMMON N, A , B READ< 5, 1 >N 1 FORMUT<I5 5 t.II=N-l READ<5,2)A,B 2 FORMUTC 2F1 O . O j H=( B-A >/HI DO 170 I = l , N READ(5,3 )Y( I j 3 F U R M A T < F I O . O > 170 CONTINUE CALL TRAP<Y, IN 1 URITE<6,4>IW 4 FORMAT<' ',F10,3> STOP END SUBROUTINETRAP<Y, I N ) DIMENSION Y< 20 Z HEAL IN COMMON N,FI,E NIXN-1 SU=Y<1 > DO 1 0 3 0 I r 2 , N I SlI=SU+2*YC I > HT=<SU+Y( N ) >/( 2*NI Z I N=< B-A M H T RETURN END 1030 CONTINUE BASIC DIM F (.2lS.l,Y(21)) I NPIJT N N I r N - 1 INPUT A , B A , B = límitesdeintegracibn FOR I = 1 TO N L'NPIJT Y ( I j Y = valor de la variable NEXT I dependiente GOSUB 1O00 PRINT IN END N = númerodepuntos NI = númerodesegmentos H = anchodelsegmentoH = (B - A ) / NI- (Subrutina para calcular la regla trapezoidal) FIGURA 13.9 Programa de la regla trapezoidal consegmentosmúltiples para datos tabulados. imprimir Gnicamentela respuesta. En elproblema 13.21se enfrentala tarea de facilitar el uso y la comprensión de este programa. También se tiene la oportunidadde modificar el programa de tal manera que sea ca- paz de evaluarlaintegraldefunciones conocidas. El paquete suplementariode programas NUMERICOMP que acom- paña a este texto incluye un ejemplo de un programalegible alusuario implementandola regla trapezoidal. Este paquete evalúa las integrales de datostabulares o defuncionesdefinidaspor elusuario.Enelsiguiente ejemplo se demuestrasu utilidad en la evaluación de integrales. También proporciona unabuenareferencia'paravalorar y probar los programas delusuario. EJEMPLO 13.3 Evaluación deintegrales con lacomputadora Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICOMP aso- ciado con este texto contiene un programa para computadora implemen-
- 453. 442 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS tando lareglatrapezoidaldesegmentosmúltiples. Estos programas se pueden usar para resolverun problemaasociadocon el problema delpa- racaidista. Como se recordar6 del ejemplo l.l,la velocidad del paracai- distaest6dada como lasiguientefuncióndel tiempo: [E13.3.1] en donde u es la velocidad en centímetros porsegundo,g es la constante de aceleracióngravitacionaligual a 980 cm/s2, m es lamasadel para- caidistaigual a 68 100 g, y e es el coeficiente defricciónigual a 12 500 g / s . El modelo predice la velocidad del paracaidista en función deltiem- po como se describe en el ejemplo 1.1. Unagráficadelavariaciónde la velocidad se desarrollaenel ejemplo 2.1. Supóngase que se desea conocer la distancia que ha recorrido el pa- racaidista después de cierto tiempoT.La distancia está dada por[ € c .(V.4)] d = v(t) dt endonde d es la distancia en centímetros.Sustituyendo la ecuación (E.13.3.1) y haciendo T = 10 S , FIGURA 13.1O Pantallas de la computadora que muestran a)entrada de los parámetros de integración y los resultados de la integración y b)gráfica de la integral como el área baio la función y el eje x.
- 454. FORMULAC16N DE INTEGRAC16NDECOTES 443 Realizando la integración y sustituyendolosvalores conocidos resulta d = 28 943.5147 cm Este resultadoexacto se puede usar en el análisis de eficiencia de la regla trapezoidal de segmentos múltiples.En la figura 10.130se muestra lapan- talla de la computadora que pide los límites superiore inferior de integra- ción y el tamaño de paso. Después de queloscálculos se terminan, se imprimelaintegral como 28 874.91. Laintegral es equivalente al área bajo u (t) y el eje t, como se muestraenlafigura 13.10b. Unaobserva- ción confirma que la integral es el ancho del intervalo (10,)porlaaltura promedio(alrededor de 2 900 cm/s). Se pueden probar fácilmente otros conjuntos de segmentosrepitien- do los cálculos. Los resultados indicancomo la distanciade caída delpa- racaidista se aproxima al valorexactoa medida que el tamaño del segmento decrece: SegmentosTamañoEstimado d, cm E"% del segmento 10 1 .o 28 874.9146 0.237 20 0.5 28 926.3574 0.0593 50 0.2 28 940.7692 9.49 x 10-3 1O0 o.1 28 942.8282 2.37 x 10-3 2000.05 28 943.3431 5.93 x 10-4 500 0.02 28 943.4871 9.52 x 10-5 1 O00 0.0128943.507 6 2.44 x 2 O00 0.005 28943.513 3 4.65 x 5 O00 0.002 28943.515 7 -3.63 x 10 O00 0.001 213943.5159 -4.32 x Por lo tanto, con la reglatrapezoidalmúltiple se obtieneunaexactitud excelente. Sin embargo, nótese cómo el error cambia el signo y empieza a crecer envalorabsolutomásalládel caso de 5 O00 segmentos. Esto se debe a laintrusión de errores de redondeo debido algran número de cálculos para esta cantidadde segmentos. Por lo tanto, el nivel de preci- sión está limitado,y jamás se alcanza el resultadoexacto de 28 943.514 7 obtenidoanalíticamente.Estalimitación se analiza de maneradetallada enel capitulo 14. 13.2 REGLA DE SIMPSON Ademásdeaplicar lareglatrapezoidalcon segmentos cada vezmás fi- nos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomiosde orden superior paraconectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entref (a)y f (b), entonces se pue-
- 455. AA4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS den conectar los tres puntos con una parábola (Fig. 13.1l a ) .Si haydos puntos igualmente espaciados entref (a)y f (b),entonces los cuatro pun- tos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (Fig. 13.l l b ) . A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se lesllama reglasde Simpson. 13.2.1 Regla de Simpson de 113 LaregladeSimpson de 1/3 resultacuandosesustituye un polinomio desegundoorden enla ecuación (13.1): f(x) dx = f&)dx b Si a y b se denomina como x. y x2,y f2 (x)se representamediante un polinomiodeLagrangedesegundoorden [Ec. (11.22)1,entonces la in- tegral es: (x - x&. - x2) foco) + (x - XONX - x2) (x0 - XI)(x0 - X d (x1 - xo)(x1 - x2) f (x11 Después de integrary de reordenar términos, resultala siguienteecuación: FIGURA 13.1 1 a) representacióngráficadelareglade Sirnpson de 1/3: consiste en to- rnar el área baio una parabolaque una los puntos. b)representación grá- ficadelareglade Sirnpson de 3/8:consiste entomar el área baio una ecuacióncúbicaqueconecta 4 puntos.
- 456. iORMULACl6N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 445 [13.141 donde, en este caso, h = (b - a ) / 2 . Esta ecuación se conoce como re- gla de Simpson de 113. Esta es la segunda fórmula de integración de Newton-Cotes. La etiqueta “1/3”viene de que h se divide por 3 en la ecuación (13.14).Enel recuadro 13.3se muestra una derivación alter- nativa en donde seintegra el polinomio de Newton-Gregory y se obtiene la misma fórmula. Laregla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formato de la ecuación (13.5): I + Ancho Altura promedio I [13.15] en donde a = xo,b = xp,y x1es el punto medio entre a y b, dado por (b + a ) / 2 .Nótese que de acuerdo ala ecuación (13.15),el punto medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto. Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp- sonde 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3): RECUADRO 13.3 Obtención y estimación del errorde la reglade Simpson basado en el polinomio de interpolación haciaadelantedeNewton-Gregory. Como se hizoenel recuadro 13.2 para laregla trapezoi- mo se esperaría que fuese. La razón de esto es que apa- dal, la regla de Simpson de 1/3 se puede derivar integran- rentemente será corto. Nótese también que 10s límites de do el polinomio de interpolaciónhacia adelante de integración van desde x, hasta xp. Por lotanto, cuando Newton-Gregory. se hacen lassimplificaciones y la sustitución (recuérdese el recuadro 13.2), la integral va desde a= O hasta 2: I = I”[ ~ ( x o )+ Af(x0)a + -A2f(xo) (a - 1) a (a - l ) ( a- 2) X0 2 I = h loz[f ( x o ) + Af(x0) a + -a (a - 1) AZf(x01 A3f(xo) 2 +- 6 +-A3f(x0)a (a - l ) ( a- 2) 6 Nótesequeseha escrito el polinomiohastatérminos de +-f‘4’(n cuarto orden en vez de hasta términos de tercer orden co- 24 a (a - l ) ( a- 2)(a - 3) h 4 da l
- 457. 446 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS que se puede integrar para obtener Nótese el resultadosignificativo de que el coeficiente de la tercera diferencia dividida es cero. Debido a que A (xo) = f (x1) - f (x01Y de que A2f (x,) = (XP)- 2 f (x1 + f (xo), la ecuación (B13.3.1)se puede reescribir como --f'4'(i3 h5 1 90 " Regla Error de Simmon de 1/3 de truncamiento ;; 11a3 1'+ -- - + -- - j [ 4 ) ( # h 4 72 8 Por IO tanto, el primer término es la regla de Simpson de 0 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Debido a y evaluarse en los límites para dar que la tercera diferencia dividida se anula, se obtiene el resultado significativode que la fórmulatiene exactitud de tercer orden.A2f(xo)2j(~0)+ 2Aj (a)+ - 3 + ( 0 ) A 3 j ( ~ )- 90f'4)(# h4 [B13.3.1] 1 1 o, ya que h = (b - a)/2: [13.16] en donde cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. Por lo tanto, la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sin embargo, la comparación con la ecuación (13.6) indica que es mucho más exactade lo que se esperaba.En vez de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuartaderivada. Esto se debe a que, como semostró en el recuadro 13.3,los coeficientes del término de tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de inter- polación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos. EJEMPLO 13.4 Aplicación de la regia Simpson de 1/3 simple. Enunciado del problema: utilícesela ecuación (13.15)para integrar f(x) = 0.2 + 2 5 ~- 2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~ desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdeseque la integral exacta es 1.640533 34.
- 458. FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 447 Solución: f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8)= 0.232 Por lo tanto, la ecuación (13.15)se puede usar para calcular 1 = 0.8 0.2 + 4(2.456) + 0.232 = 466 67 6 que representa un error exacto de E, = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273066 66 t u = 16.6% que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una aplica- ción de la regla trapezoidal (Ej. 13.1). El errorestimado es [Ec. (13.16)] E, = - (03)5 2 880 (-2 400) = 0.273066 67 en donde -2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo obtenido usando la ecuación (V.3).Como fue el caso del ejemplo 13.1, el error es aproximado (E,)porque el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de f4 (E). No obstante, ya que en estecaso se trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia no es mayor y los errores exacto y aproximado son casi idénticos. 13.2.2 Regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson sepuede mejorar dividiendo el intervalo de integraciónen segmentosde igual anchura (Fig. 13.12): h = -b - a n La integral total se representa como [13.17] Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales indivi- duales se obtiene 1 = 2h f k o ) + 4fkd + f(x2) + 2h f(X2) + 4f(x3) + f(X4) 66 + * . . + 2h f(X,-z) f 4f(Xn-1) f(X,) €
- 459. 448 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 13.12 Representación gráfica del uso de segmentos múltiples sobre la regla de Simpson de 3/8.Nótese que el método sólo se puede emplear si el nú- mero de segmentos es par. o, reordenandolostérminos y usando la ecuación (13.17),se obtiene + I Ancho Altura promedio Nótese que, como se ilustraenlafigura 13.12, se debe usar un número par de segmentosparaimplementareste método. Un errorestimadopor laregladeSimpsondesegmentosmúltiples se obtienede la misma manera quelo hace la regla trapezoidal, sumando los errores individuales de cada uno de los segmentos y promediando la derivadaparaobtener [13.191 en donde f(4J es el promedio de la cuartaderivada enel intervalo EJEMPLO 13.5 Aplicación de la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples Enunciado del problema:utilícese la ecuación (13.18) con n = 4 para calcular laintegral de:
- 460. FORMULACldN DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES 449 f(x) = 0.2 + 2 5 ~- 2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~ desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese que laintegral exacta es 1.640 533 34. Solución: n = 4 (h = 0.2): f(0)= 0.2 fi(0.2) = 1.288 fi(0.4) =-2.456t(0.6) = 3.464 f,(0.8)= 0.232 de la ecuación (13.18) 1 = 0.8 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232 12 = 1.623 466 67 E, = 1.64053334 - 1.623466 67 = 0.017066 67 e, = 1.04% El errorestimado [Ec. (13.19)Jes E, = -A 180(4)4 (O 8)5 (-2400) = 0.017 066 67 El ejemplo previo muestra quela versión de segmentos múltiples de la regla de Simpson de 1/3proporciona resultadosmuy exactos. Por es- ta razón, se considerasuperior a la reglatrapezoidalen la mayorparte de las aplicaciones. Sin embargo, como se dijo previamente,est& limita- da a los casos en que se cuenta con un número par de segmentos y un númeroimpar de puntos. Por consiguiente, como se examinaen la si- guiente sección, se usala regla de segmentosimpares puntos pares, co- nocida como regla de Simpsonde 3/8, en conjuncióncon lareglade 1/3 parapermitirla evaluación de cualquier número de segmentos, pa- res o impares. 13.2.3 Regla de Simpson de 3/8 De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3,se pueden ajustar polinomios de Lagrangede tercer or- den a cuatropuntos e integrar; paraobtener
- 461. 450 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS en donde h = (b - a)/3. A esta ecuacipn se le llama regla de Simpson de 318 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes. La regla de Simpson de 3/8 se puedeex- presar en la forma de la ecuación (13.5): " U , Ancho Altura promedio [13.20] Por lo tanto, a los dos puntos interiores se les dan pesos de tres octavos, mientras que a los puntos extremos se les da un peso de un octavo. La regla de Simpson de 3/8 tiene un error de 3 80 E,, = "h5j'"'(d FIGURA 13.13 Ilustración de cómo las reglas de Simpson de 1/3y de 3/8 se pueden apli- cara la vez para manejar segmentos múltiples connúmerosparesde intervalos.
- 462. FORMULACldN DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 45 1 o, ya que h = (b - a)/3: [13.21] Por lo tanto, laregla 3/8 es algo más exacta que laregla de 1/3 [ecua- ción (13.16)]. La regla de Simpsonde 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanzaexactituddetercerordencontrespuntosen vez de los cuatropuntosnecesariospara laversiónde 3/8. No obstante, laregla de 3/8tiene utilidadenlas aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. Obsérvese que enel ejemplo 13.5 se usala regla de Simpsonparaintegrar la funcióndecuatro segmentos. Supóngase que se desea unaestimaciónparacinco segmentos. Una opción sería usar una aplicación de segmentos múltiples de la regla tra- pezoidal como se hizoenel ejemplo 13.3. Sin embargo esto noes aconsejable, debidoalerrorgrande de truncamientoasociado con este método. UnaalternativaseríaladeaplicarlaregladeSimpson de 1/3 a los primeros dossegmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres (Fig. 13.13). De esta manera, se obtendría una estimación con exacti- tud detercerorden a travésdelintervalo completo. EJEMPLO 13.6 Regla de Simpson de 3/8 Enunciadodelproblema: a) Utilíceselaregla de Simpsonde 3/8 paraintegrar f(x') = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + WOx5 desde a = O hasta b = 0.8. b) Utilíceseen conjunción con laregla de Simpson de 1/3 para integrar lamismafunciónusandocinco segmentos. Solución: a) Una aplicación simple de la regla de Simoson de 3/8requiere de cua- tropuntosigualmente espaciados: f(0) = 0.2 f(0.266 7) = 1.432 724 28 f(0.5333) = 3.487 176 96 f(0.8) = 0.232
- 463. 452 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Usando la ecuación (13.20), 1 2 0.8 0.2 + 3(1.432 724 28 + 3.487 176 96) + 0.232 8 = 1.519 170 37 E, = 1.640 533 34 - 1.519170 37 = 0.121 362 97 E, = 7.4% E, = -- 6 480 (0'8)5(-2 400) = 0.121 362 96 b) Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = O.16)son f(0)= 0.2 f(0.16)= 1.296 919 04 f(0.32) = 1.743 393 28 f(0.48) = 3.186 014 72 f(0.64) = 3.181928 96 f(0.80)= 0.232 La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpsonde 1/3: I = 0.32 0.2 +4(1.296 919 04)+1.743 393 28= o.38o 323 7o 6 Para los últimos tres segmentos, se usalaregla de Simpson de 3/8 para obtener 1.743393 28 + 3(3.186014 72 + 3.181928 96) + 0.232 8 1 = 0.48 = 1.264753 46 La integraltotal se calculasumando los dosresultados: I = 0.380 323 70 + 1.264753 46 = 1.645 077 16 E , = 1.640533 34 - 1.645077 16 = -0.004 543 83E, = -0.28% 13.2.4 Algoritmo para computadora de la regla de Simpson En lafigura 13.14se esboza un diagramade flujo para la regla de Simp- son. Nótese que el programa está elaborado de tal forma que se pueda usar un número par e imparde segmentos. Enelprimer caso se aplica la regla de Simpson de 1/3 a cada par de segmentosy los resultados se sumanpara obtener elvalorfinal de la integral. Enel segundo caso, se aplica la regla de Simpsonde 3/8 a los últimostres segmentos y la regla de 1/3 se aplica a todoslossegmentosprevios.
- 464. FIGURA 13.14 Diagrama de fluio de una versión de segmentosmúltiples de la regla de Simpson.
- 465. 454 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS -4 x h + 6 ' 6 - 3 S S S I I I .
- 466. FORMULACION DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 455 13.2.5 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes de orden superior Como se dijo previamente,la regla trapezoidaly la reglade Simpson son miembros de unafamilia de ecuaciones de integración conocidas como fórmulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Enel cuadro 13.2 se encuentran resumidas algunas deestasfórmulas, junto con las estima- ciones de su error de truncamiento. Nótese que, aligualenel caso de lasreglasdeSimpson de 1/3 y 3/8,las fórmulasde cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta característica general se cumpleparalasfórmulasconm6spuntos y trae como consecuencia de que las fórmulasde segmentospares punto impares (por ejemplo la regla de 1/3 y la regla de Boole) sean, en gene- ral, losmétodos de preferencia. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que en la ingeniería prsctica, las fórmulas de orden superior (esto es, mayores de cuatro puntos) rara vez se usan. Las reglas de Simpson son suficientes enla mayor parte de lasaplicaciones. Se puedemejorar la exactitudusandounaversión de segmentosmúltiples en vez de optar por las fórmulas de mds puhtos. Adem&, cuando la función seconoce y se requiere de exactitud muy alta, los métodosde integración de Rombergo cuadratura gaussiana,ana- lizadosenelcapítulo 14, ofrecen alternativasviables y atractivas. 13.3 INTEGRACIóNUSANDOINTERVALOSDESIGUALES Hastael momento, las fórmulas de integración numérica se han basado enpuntosigualmenteespaciados.Enlapr6ctica,existenmuchos casos en donde esta suposiciónno se cumple y se debe tratar con diferentestama- ños de segmentos. Por ejemplo, los datos derivadosexperimentalmente, a menudo, son de este tipo. En estos casos, un método es aplicarla regla trapezoidala cada unodelos segmentos y sumar los resultados: [13.22] en donde hies el ancho del segmento i. Nóteseque este fueelmismo planteamiento usado enlareglatrapezoidal de segmentos múltiples. La únicadiferenciaentrelasecuaCiones (13.8) y (13.22) es quelas h de la primera son constantes. Por consiguiente,la ecuación (13.8) se puede simplificar y llevarala ecuación (13.9).Aunqueestasimplificaciónno se puede aplicar ala ecuación (13.22),se puede desarrollar con facilidad un programadecomputadora que acomode lossegmentosde tamaño desigual. Antesde describir tal programa, se ilustra en el siguiente ejem- plo como se aplica la ecuación (13.22)enla evaluación de una integral.
- 467. 456 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS - = 1.564 800 98 querepresenta un errorrelativoporcentualabsolutode E , = 4.6 %. EJEMPLO 13.7 Regla trapezoidal con puntos que noestán igualmente espaciados Enunciadodel problema:la información del cuadro 13.3se generó usando el mismo polinomio empleado enel ejemplo 13.l . Utilícesela ecuación (13.22)para determinarla integral de estos datos.Recuérdese que la res- puestacorrectaes 1.640 533 34. Solución: aplicando la ecuación (13.22)a los datosdelcuadro 13.3 se obtiene 1.309729 28 + 0.2 + o,1o1.305241 28 + 1.309729 28 I = 0.12 2 2 + * . - + 0 . 1 0.232 + 2.363 2 = 0.090 58376 + 0.130748 53 + . . . + 0.129 75 CUADRO 13.3 Datos de f(x) 0.2 + 25x-200x2 + 675x3-900x4 + 400x5con valores dex desigualmente espaciados 0.0 0.200000O0 0.442.842894 96 0.121.309729280.543.50729696 0.221.30524128 0.64 3.18192896 0.321.743393280.702.363 O00 O0 0.36 2.07490304 0.80 0.232O00 O0 0.40 2.456 O00 O0 Los datosdelejemplo 13.7 se muestranenlafigura 13.15. Nótese que algunos segmentos adyacentes son de igual anchoy, por consiguiente, podríanhabersidoevaluadosusandoreglasdeSimpson.En general, esto llevaaresultadosm6s exactos, como se ilustraenel ejemplo siguiente. Programa de computadora paradatos queno están igualmentees- paciados. Es muy simple programar la ecuación (13.22).Sin embargo, como se demuestra en el ejemplo 13.8,la aproximación se acrecenta si se im- plementanlasreglasdeSimpsonhastadonde sea posible.Poresta ra- zón, se hadesarrollado un algoritmoqueincorpora esta opción.
- 468. FORMULACldN DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 457 FIGURA 13.15 Uso delareglatrapezoidalpara determinar la integral de datos espa- ciados irregularmente. Nótese cómo se pueden evaluar lossegmentos sombreados con las reglas de Simpson para obtener mayor exactitud. EJEMPLO 13.8 Inclusión de la regla de Simpsonen la evaluación de datos impares Enunciadodelproblema:calcúlesenuevamentelaintegralde los datos del cuadro 13.3,pero usando las reglas de Simpson en aquellos segmentos dondeseanapropiadas. Solución: el primer segmento se puede evaluar con la regla trapezoidal: 1.309 729 28 + 0.2 = o.o9o 583 76 I = 0.12 2 Debido a que lossiguientesdos segmentos desde x = 0.22 a 0.36 son de igual longitud, su integral se pJede calcular usandola regla de Simp- son de 1/3. 1.743 393 28 + 4(1.30524128) + 1.309 729 28 6 1 = 0.2 = 0.275 802 92
- 469. 458 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Los siguientes tres segmentos sontambién iguales, y por lo tanto, se pue- den evaluar con la regla de 3/8para dar I = 0.272 686 31. De manera similar, se puede aplicar la regla de 1/3a los dos segmentos desde x = 0.44 a x = 0.64 para obtener I = 0.668 470 06. Finalmente, los últi- mos dos segmentos, que tienen longitud desigual, se puedenevaluar con la regla trapezoidaly obtener losresultadosde O.166 347 87 y O.129 750 00, respectivamente. El área de estos segmentos individuales se puede sumar para obtener una integral total de 1.603 640 92. Esto representa un error de q, = 2.2%, que es superior al resultado obtenido con la regla trape- zoidaldel ejemplo 13.7. __- """ ."" Como se muestra en la figura 13.16, el diagrama de flujo verifica la longitud de intervalos adyacentes. Si dos segmentosconsecutivos tienen igual longitud, entonces se aplica la regla de Simpson de 1/3. Si tres de ellos son iguales, entonces se aplica la de 3/8. Cuando los segmentos adyacentes son desiguales se implementa la regla trapezoidal. Se sugiere al lector que implemente su propio programa a partir de este diagrama de flujo. Esto no sólo le permite la evaluación de segmen- tos desiguales, sino que si se usa también la información de segmentos iguales, reduce las reglas de Simpson. Como tal, representa un algorit- mo básico de propósitos generales, en la determinación de la integral de datos tabulares. 13.4 FóRMULAS DE INTEGRACIóN ABIERTA Recuérdese de la figura 13.3b que las fórmulas de integración abierta tie- nen límites quese extiendenmás allá del rango de los datos. En el cuadro 13.4 se resumen las fórmulas de integración abierta de Newton- Cotes. Las fórmulas se expresan en la forma de la ecuación (13.5)de tal manera que resultan evidentes los factores de peso: Como con las ver- siones cerradas, los pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo or- den de error. Las fórmulas de segmentos pares-puntos impares son, en general, los métodos de preferencia ya que requieren algunos puntos me- nos para alcanzar la misma exactitudde las fórmulasde segmentos impares: puntos pares.Nótese que el método de bandas mostrado enla figura V.3 es, en realidad, una versión de segmentos múltiples del método de pun- to medio del cuadro 13.4. Como se menciona previamente, las fórmulasabiertas rara vez se usan en la integración. Sin embargo, tienen aplicación directa con los métodos de paso múltiple en la solución de ecuaciones diferencialesordinariasana- lizadas en el capítulo 17.
- 470. FIGURA 13.16 Diagrama de fluio para la integracióncondatosdesigualmenteespaciados. 459
- 471. 460 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS -CY h 0 I S -4- LD
- 472. FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 461 PROBLEMAS Cálculos a mano 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 Utilícensemediosanalíticos para evaluar (a) I" (10 + 2x - 6x2 + 5x4) dx (b) 15 (1 - x - 4x3 + 3x5)dx (c) Jv (8 + 5 sen X) dx Utilícese una aplicación simple de la regla trapezoidal y evalúense las integrales delproblema 13.1. O -3 O Evalúense las integrales delproblema 13.1 con la regla trepezoidalde segmentos múltiples, con n = 2, 4 y 6. Evalúense las integrales del problema 13.1 con una aplicación simple de la regla Simpson de 1/3. Evalúense lasintegralesdel problema 13.1 con una regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples, con n = 4 y 6. Evalúense las integrales del problema13.1 con una aplicación simplede la regla de Simpson de 3/8. Evalúense las integrales del problema 13.1 usando la regla de Simpson de 3/8 con segmentos múltiples, con n = 5. Intégrese la siguientefunción analíticamente y usando la regla trepezoidal, con n = 1, 2, 3 y 4: Calcúlese el error relativoporcentual y evalúese la exactitud de la aproximación trapezoidal. Intégrese la siguiente función analíticamentey usando las reglasde Simpson,con n = 4 y 5 : Estúdiense los resultados 13.10 Intégrese la siguiente función analíticay numéricamente. Úsese la reglatrapezoi- dal y la regla de Simpson de 1/3 para integrarla función. En ambos casos, úsese
- 473. 462 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS laversión de segmentos múltiples, con n = 4: Compárese el errorrelativo porcentual de los resultados numéricos. 13.11 Intégrese la siguiente función analítica y numéricamente. Utilícese laregla trape- zoidal y laregla de Simpson de 1/3 y 3/8 además de laregla de Boole (véase el cuadro 13.2). lo*15.32.5xdx Calcúlese elerrorrelativo porcentual de los resultados numéricos 13.12 Evalúese laintegral I,” (4 + 2 sen x) dx a) Analíticamente. b) Mediante la aplicaciónsimple de la reglatrapezoidal. c) Mediante la aplicaciónmúltiple de la reglatrapezoidal (n = 5). dj Mediantelaaplicaciónsimple de la regla de Simpson de 1/3. e) Mediante la aplicaciónsimple de la regla de Simbson de 3/8. f) Mediante la aplicaciónmúltiple de lasreglas de Simpson (n = 5). En los casos b) a f), calcúlese elerrorrelativoporcentual (c,) basadoen a). 13.13 Evalúese la integral de los siguientesdatos tabulares mediantela regla trapezoidal: X I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f ( x ) I l 7 4 3 5 9 13.14 Efectúense lasmismas evaluaciones delproblema 13.13 usando lasreglas de Simpson. 13.15 Evalúese laintegral de los siguientes datos tabulares usando laregla trapezoidal. x 1 - 3 - 1 1 3 5 7 9 11 f(x) I 1 -4 -5 2 4 8 6 -3 13.16 Efectúese lamisma evaluación del problema 13.15 usando lasreglas de Simpson. 13.17 Determínese elvalormediode la función !(x) = -46 + 4 5 . 4 ~- 13.8~’+ 1 . 7 1 ~ ~- 0 . 0 7 2 9 ~ ~ entre x = 2 y x = 10: a) Graficando la función y calculando visualmente el valor. bj Usando la ecuación (V.3)y la evaluación analítica dela integral. cj Usando la ecuación (V.3)y unaversión de cuatro segmentos de laregla tra- pezoidal enla estimaciónde la integral.
- 474. FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 463 d) Usando la ecuación (V.3) y una versión de cuatro segmentos de la regla de Simpson de 1/3. 13.18 La función !(X) = 10 - 3 8 . 6 ~+ 74.07~' - 40.1~' se usa en el cálculo de la siguiente tablade datos que no están igualmente espa- ciados: X I O 0.1 0.3 0.50.70.95 1.2 !(x) I 10 6.84 4 4.20 5.515.77 1 Evalúese la integral desde a = O y b = 1.2 usando a) Mediosanalíticos b) La reglatrapezoidal c) Una combinación de lasreglasde Simpson y la regla trapezoidal; utilícense las reglasde Simpson en donde sea posible para obtener la m6s alta exactitud posible. En b) y c) calcúlese el errorrelativo porcentual (E,,) 13.19 Evalúese la siguienteintegral doble: a) Analíticamente b) Usando la reglatrapezoidal con segmentos múltiples (n = 2). c) Usando unaaplicaciónsimple de la regla de Simpson de 1/3. En b) y c) calcúlese el errorrelativo porcentual (e"). 13.20 Evalúese la integraltriple I,"I:l (x4 - 2Y4 dx dY dz a) Analíticamente b) Usando unaaplicaciónsimple de la regla de Simpson de 1/3 En b) calcúlese elerrorrelativo porcentual (E,,). Problemasrelacionadosconlacomputadora 13.21 Desarróllese un programa para computadora que sea amable con elusuario de la reglatrepezoidal de segmento múltiple basado en lafigura 13.9. Entreotras cosas, a) Agréguense declaraciones de documentación al programa. b) Hágase la entrada y la salida más descriptiva y orientada al usuario. c) Inclúyanse diagnósticos que alerten al usuario cuando se accesen datos que d) (Opcional) Modifíquese el programa de tal manera que sea capaz de evaluar Pruébese este programa repitiendo los cálculos del ejemplo 13.2. no estén igualmente espaciados o enorden ascendente. funciones predefinidas y enformatabular.
- 475. 464 M h O D O S NUMÉRICOS PARA INGENIEROS " 13.22 Desarróllese un programapara computadora amablecon elusuariopara la ver- sión de la regla de Simpson de segmentos múltiples basado enlafigura 13.14. Pruébese reproduciendo los cálculos de los ejemplos 13.5 y 13.6. 13.23 Desarrólleseun programa para computadora que sea amable con el usuario para integrar datos desigualmente espaciados basados en lafigura 13.16. Pruébese repitiendo los cálculos del ejemplo 13.7 13.24 Utilícese el programa TRAPEZOIDAL RULE del paquete de programas NUME- RICOMP (o elprogramapropiodelproblema 13.21) y repítase a) el problema 13.2, b) el problema 13.3, c) el problema 13.8, a') el problema 13.10 y e) el pro- blema 13.13. Utilícesela opción de graficaciónpara que le ayude a visualizar el concepto de que 1 = f (x) dx es el área entre la curva f (x)y el eje. Prué- bense variostipos de pasos para cada uno de los problemas. S1 13.25 Desarróllense cinco funciones. Úsese el paquete de programasNUMERICOMP (o los programas propios) para calcular laintegral de cada una de las funciones sobre algunoslímites basados en los datos de entrada. Pruébense los tamaiios de paso h = (b - a)/ n para = n 1, . . ,n = 10. Grafíquese I en funciónde n . 13.26 Utilícese el paquete de programas NUMERICOMP (olos programas propios)pa- ra calcular la integralde datostabulares. Invéntense datos para x y f (x),Úsense valores negativosy cero para x y f (x).Obsérvese la función, graficándola; el lec- tor puede convencerse de que el paquete NUMERICOMP trabaja perfectamente.
- 476. C A P í T U L OC A T O R C E INTEGRACIóN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA Enla introduccióna la parte V se menciona que lasfuncionesa integrar- se numéricamente tienen, en general, dosformas:unatabladevalores o una ecuación. Laforma de losdatostieneunainfluenciaimportante enel esquema que se va a usarparaevaluarla integral. Para el caso de información tabular,se está limitadoal número de puntosdatos. En con- traste, si se dispone de la funciónanalíticamente,entonces se pueden ge- nerar tantos valores def(x)como sean necesarios para alcanzaruna exac- titud aceptable (recuérdese la Fig. V.4). Este capítulose dedica al estudio de dos métodos que estánexpresa- mentediseñadosparaanalizar casos en que se conoce la función. Am- bos métodos aprovechanla facilidad de generar valores de la función en el desarrollode esquemas eficientes de la integraciónnumérica. El pri- mero de ellos se basa enla extrapolación de Richardson,método que combina dos aproximaciones de integración numéricaen la obtención de un tercer valor que es más exacto. El algoritmo que implementala extra- polación de Richardsonensuforma más eficiente se llamaintegración de Romberg. Este métodoes recursivo y se usa para generar una aproxi- mación a laintegral dentro de unatolerancia de error especificada. El segundométodoes elllamadocuadratura gaussiana.Recuérdese que enelúltimocapítulo los valores de f(x) enlasfórmulasdeNewton Cotes se determinanenvaloresespecíficos de x. Por ejemplo, si se usa la regla trapezoidal para determinar una integralse está restringiendoa tomar el promedio pesado def(x)en los intervalos de los extremos.Las fórmulas de cuadratura gaussiana emplean valores dex contenidos dentrode a y de b de talformaqueresultaunaintegralmuchomás exacta. 14.1 INTEGRACIóN DE ROMBERG Enel capítulo 13 se presenta una versión de la regla trapezoidal con seg- mentos múltiples y lasreglasde Simpson. Paraunafunciónanalítica (opuestaa la forma tabular),las ecuacionesde error [Ec. (13.13)y (13.19)]
- 477. 466 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS indican que aumentandoel número n de segmentosse genera una apro- ximación más exactaa la integral. Esta observación la comprueba la figu- ra 14.1,que es una gráfica del error real contra n para la integral de f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 = 675x3 - 900x4 + 400x5. Nótesecómo el error decrece a medida que n crece. Sin embargo nótese también que para valores muy grandesde n , el error empieza a crecerya que los erro- res de redondeo empiezana dominar. También obsérveseque se necesi- taunnúmeromuygrandedesegmentos (y por lo tanto,esfuerzo de FIGURA 14.1 Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el núme- ro de segmentosen la determinación de la integral {(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3- 900x4 + 400x5, evaluada de a = O a b = 0.8 usan- do la regla trapezoidal desegmentos múltiples y la regla deSimpson de 1/3 de segmentosmúltiples. Nótese que ambos resultados indican que para un número considerable de segmentos, los errores de redondeo li- mitan la precisión.
- 478. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 467 cálculo)paraalcanzarnivelesaltosdeexactitud. Como una consecuen- cia de estos inconvenientes,la regla trapezoidal de segmentos múltiples y las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problemas donde se necesita gran eficiencia y pocos errores. La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos inconvenientes.Es muy similar a losmétodosanalizados enel capítulo 13, enel sentido de que está'basado en la aplicación sucesiva de la regla trapezoidal. Sin embargo, mediante manipulacionesmatemáticas,se ob- tienen mejores resultadoscon menos esfuerzo. 14.1.1 Extrapolación de Richardson Recuérdese que en la sección 7.4.4se usan ecuacionesde error parame- jorar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales. En el mismo sen- tido, existenmétodosquecorrigenerrores y mejoran los resultadosde la integración numérica en basea la estimación de la integral misma.Co- nocidos generalmentecomo extrapolación de Richardson, estos métodos usan dos cálculosde la integral para efectuarun tercer cálculo másexacto. El cálculo y el error asociado con lareglatrapezoidaldesegmentos múltiples se representa generalmente como: I = I(h) + € ( h ) en donde I es el valor exacto de la integral, I(h)es la aproximación de la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con tamaño de paso h = (b - a)/n y E(h)es elerrordetruncamiento. Si se obtienen dos aproximaciones porseparado usando tamaños de paso hl y hz y se tiene elvalor exacto del error, entonces Ahora recuérdese queel error de la regla trapezoidal de segmentos múl- tiplesserepresentapor la ecuación (13.13) [con n = (b - a)/h]: [14.2] Si se supone quef'' es una constante que depende del tamaño delpaso, entonces la ecuación (14.2)se usaenla determinacióndelpromediode losdos errores,que es: [14.3] Este cálculo tiene elimportante efecto de quitareltérmino f' ' de los cál- culos. AI hacerlo, se ha hecho posibleutilizarlainformaciónrelacionada
- 479. c 468 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS c con la ecuación (14.2) sin conocimientopreviode la segundaderivada de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3)para obtener: lacual se puede sustituirenla ecuación (14.1): la cual, puederesolverse Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error detrun- camiento en teiminos delvalordelaintegral y el tamaño de paso. Esta estimación se sustituyeen I = I(h2) + E(h2) obteniendounaestimaciónmejoradade la integral: r 1 1 [14.4] Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti- mación es O(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimacionesde la reglatrapezoidalde O(h2) enla obtenciónde unanuevaestimaciónde O(h4).Enel caso especial en que el intervalo se divide en dos partes (h2 = h l / 2 ) ,la ecuación se transforma a: o, reordenando términos, [14.5] EJEMPLO 14.1 Correction de errores en la reglatrapezoidal Er,unciadodelproblema:en el capítuloanterior (ejemplo 13.1 y el ma- dro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lie-
- 480. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 469 va a los siguientesresultados: -~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~ Segmentos h Integral ev,% 1 0.8 0.172 8 89.5 2 0.4 1.068 8 34.9 4 0.2 1.484 8 9.5 Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5)para calcular me- jores estimacionesde la integral. Solución: los cálculoscon uno y dos segmentosse combinan y se obtiene 4 1 33 I = -(1.068 8) - -(O. 172 8) = 1.367 466 67 El errorenlaintegral mejoradaes E, = 1.640533 34 - 1.36746667 = 0.273 066 67 E, = 16.6% queessuperior a la aproximación en que se basó. binan y se obtiene De la misma manera, los cákulos de dosy cuatro segmentosse com 4 1 33 I = "1.484 8) - -(1.068 8) = 1.623 46667 querepresenta un errorde E, = 1.640533 34 - 1.623 46667 = 0.017 066 67 E, = 1.0% La ecuación 14.4proporciona una formade combinar dos aplicacio- nesde lareglatrapezoidalconerror O(h2)y calcular una estimación de O(b4).Este planteamiento es un subconjunto de un método más general que combina integrales paraobtener mejores estimaciones. Porejemplo, enel ejemplo 14.1, se calcularondosintegralesmejoradas de O(h4) en base a tres estimaciones de reglas trapezoidales. Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse paraobtenertodavía una mejor estimaciónde O(h6).Para el caso especialen que lasestimaciones me- diante regla trapezoidal originalse basen en divisiones sucesivasa la mi- taddel intervalo, la ecuaciónusadacon O(h6) deexactitud es: 16 1 1515 I = "I,- "4 [14.6]
- 481. 470 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS en donde I, y I, son las estimaciones más y menos exactas, respectiva- mente. De manera similar, dos resultados de O(h6) se combinanpara calcularunaintegral que es O(h8) usando 64 1 I = -I, - -1, 63 63 [14.71 EJEMPLO 14.2 Corrección del error de órdenes mayores de dosen la estimación de integrales Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1se usa la extrapolación de Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de O(h4). Utilí- cense la ecuación (14.6)y combínense estas estimaciones para calcular una integral con O(h6). Solución: las dos aproximacionesde O(h4) obtenidas en el ejemplo 14.1 fueron 1.367466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.6) y se obtiene la cual es la respuesta correcta a nueve cifrassignificativas que son las obtenidas en este ejemplo. 14.1.2 Algoritmo de la integración de Romberg Nótese que los coeficientesen cada unade las ecuacionesde extrapolación [Ec. (14.5),(14.6)y (14.7)]suman 1. Por lo tanto, representan factores de peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamen- te pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientos pueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a las implementaciones mediante computadora: [14.8]
- 482. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 471 en donde [,+I,+" y lj,k-lson las integrales más y menos exactas, respec- tivamente, 1j.k es laintegral mejorada. El índice k indicaelnivelde inte- gración, k = 1 corresponde a la estimación de la regla trapezoidal original, k = 2 corresponde a O(h4), k = 3 a O(h6),etcétera. El índice j se usa paradistinguir entrelasestimaciones mejores (j + 1) y menores (j). Por ejemplo, si k = 2 y j = 1, entonces la ecuación (14.8)se transformaen lacual esequivalente a la ecuación (14.5). La forma general representada mediantela ecuación (14.8)se le atri- buye a Romberg, y a la aplicaciónsistemáticaenlaevaluacióndeinte- gralesse le conoce como integración de Romberg. La figura 14.2 muestra un esquema gráfico de la secuencia deestimaciones generadas usando este método. Cada una de las matrices corresponde a una iteración. La primera columnacontiene las evaluaciones dela regla trapezoidal quese denotan por J,l, en dondej = 1 es la aplicación sobre un solo segmento (eltamaño del paso es b - a);j = 2 es la aplicación sobre lossegmentos [tamaño del paso (b - a)/4];etcétera. Las otras columnas de lamatriz se generansistem6ticamenteaplicando la ecuación (14.8) paraobtener sucesivamente mejores estimacionespara la integral. Por ejemplo, la primera interación (Fig. 14.2a) implica calcularla re- glatrapezoidaldeuno y dos segmentos (11,1y 12,1).En seguida se usala ecuación (14.8)paracalcularel elemento 11,2= 1.367 466 67, que tie- ne un errorde O(h4). FIGURA 14.2 Esquema gráfico de la secuencia de aproximaciones a la integral gene- radas usando la integración de Romberg.
- 483. 472 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS Ahora, se debeverificarque este resultado sea adecuadoa las nece- sidades. Como se hizo con los otros métodos de aproximación de este libro, se requiere un criteriode terminación o de paropara valorar la exac- titud de los resultados. Un método que se puedeemplear para los propó- sitos actuales es(Ec. (3.5)] [14.9] en donde E, es una estimación del error relativo porcentual. Por lo tan- to, de la manera como sehizo anteriormente en los otros procesos iterati- VOS, se compara la nueva estimación con el valor anterior. Cuando el cambio entre los valores anterior y actual representados mediante E*, es- tá bajo un criterio de error preespecificado E,, los cálculos se terminan. Enla figura 1 4 . 2 ~esta evaluación indica un cambio del 87.4% decam- bio sobre el curso de la primera interación. El objeto de la segunda iteración (Fig. 14.2b) esel de obtener la esti- mación O(h6):11,s. Para hacerlo, se determina una nueva estimación tra- pezoidal, 13.1 = 1.484 8. En seguida ésta se combina con 12,1usando la ecuación (14.8)para obtener 12,* = 1.623 466 67.Este resultado, a la vez, se combina con 11,2para obtener 11,3 = 1.640 533 34. La ecuación (14.9)se aplica para determinarque este resultado representa un cambio del 16.6% cuando se compara con el anterior 11,2. La tercera iteración (Fig. 14.2%)continúa el proceso de la misma ma- nera. En este caso,se agrega una estimación trapezoidal a la primera co- lumna y luego se aplica la fórmula (14.8)al cálculo sucesivo de integrales más exactasbajo la diagonal inferior. Después de tres iteraciones, se sabe que el resultado, 11,5= 1.640533 34, es exacto al menos hasta nueva cifrassignificativas. La integración de Romberg es más eficiente que la regla trapezoidal y que las reglas de Simpson analizadas en el capítulo 13.Por ejemplo. en la determinación de la integral mostrada en la figura 14.1,la regla de Simpson de 1/3requeriría una aplicación de 256 segmentospara encontrar un valor de 1.640533 32. No serían posibles mejores aproximaciones debido al error de redondeo. En contraste, la integración de Romberg ob- tiene un resultado exacto (hasta nueve cifras significativas)basado en la combinación de la regla trapezoidal de dos, cuatro y ocho segmentos. Enla figura 14.3se muestra un diagrama de flujo de la integración de Romberg. Usando ciclos, el algoritmo implementa el método de ma- nera eficiente. Recuérdeseque la integración de Romberg está diseñada para casos en que la función por integrar se conoce. Esto se debe a que el conocimiento de la función permite las evaluaciones necesarias para las implementaciones inicialesde la regla trapezoidal. Los datos en forma tabular rara vez se encuentran en forma necesaria para llevar a cabo eva- luaciones sucesivas.
- 484. NUR de ciór A 14.3 fluio de 7 de Ron Di la 1be agra- inte- r g. 473
- 485. 474 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 14.2 CUADRATURA GAUSSIANA En el capítulo 13se analiza un conjunto de fórmulas de integración nu- mérica o de cuadratura conocidas como las ecuaciones de Newton-Cotes. Una característica de estas fórmulas (con la excepción del caso especial de la sección 13.3)es que la estimación de la integral se basa en puntos igualmente espaciados. Por consiguiente,la posición de los puntos base usados en estas ecuaciones estaba predeterminado o fijo. Por ejemplo, como se puede ver en la figura 14.4~1,la base de la re- gla trapezoidal es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de la función evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para calcular esta área es 1 (b - U) f (a>+ f tb) 2 [14.10] FIGURA 14.4 a)Esquema gráfico de la regla trapezoidal dada por el área baio la línea recta que une los puntos extremos. b) Se obtiene una aproximación meiorada a la integral tomando el área baio la línea recta que pasa a través de dospuntos intermedios. Colocandoadecuadamente estos puntos, los errores, positivo y negativo se equilibran y resulta una aproximación a la integral meiorada.
- 486. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 475 en donde a y b son los límites de integración y b - a es el ancho del inter- valo de integración. Debidoa que la regla trapezoidal debe pasara través de los puntos límites, existen casos como el de la figura 14.4a en donde lafórmula genera un error muy grande. Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimi- na y se va a evaluarlibrementeel área bajo la línearectaqueunedos puntos cualesquiera de la curva. Colocando estos puntos de manera in- teligente, se puede definir una línea rectaque balancee los errores nega- tivos y positivos.De ahí que, como enlafigura 14.4b, se llegara a un valormás exacto de laintegral. La cuadratura gaussianaes el nombre de uno de estos métodos que implementa esta estrategia.Las fórmulas particulares de cuadratura gaus- sianadescritasenesta sección se llaman fórmulasde Gauss-Legendre. Antesdedescribirel método, se demuestra cómo lasfórmulasdeinte- gración numérica talescomo la regla trapezoidalse derivan usando elmé- todode coeficientes indeterminados.Estemétodo se emplea enel desarrollodelasfórmulasde Gauss-Legendre. 14.2.1 Método de coeficientes indeterminados Enel capítulo 13 se derivalareglatrapezoidalintegrando un polinomio lineal mediante un razonamiento geométrico. El métododecoeficientes indeterminados ofrece una tercera alternativa que tiene también utilidad enla derivacióndeotrosmétodostales como la cuadraturagaussiana. Para ilustrarel método, la ecuación (14.10)se expresa como en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla trape- zoidal debe llevara resultados exactos cuando la función a integrarse sea una constanteo una línearecta. Dos ecuacionessimples que representan este caso son y = 1 y y = x. Ambas se ilustranenlafigura 14.5. Por lo tanto, se debencumplirlassiguientesigualdades: Y o, evaluandolasintegrales: .
- 487. 476 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 14.5 Dos integrales que lareglatrapezoidalevaluará exactamente: a) una constante y b) una línea recta. Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse por c1 = c2 = - b - a 2 las cuales, cuando se sustituyendenuevo enla ecuación (14.11) dan lacual es equivalente a la reglatrapezoidal.
- 488. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 477 14.2.2 Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos Como enel caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal,la cua- dratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de la forma en donde lasc son los coeficientes incógnitas. Sin embargo,en contraste a la reglatrapezoidal que usapuntosextremos a y b, losargumentos de lafunción x1y x2 ahora no estánfijos a lospuntos extremos, sino que son incógnitas (Fig.14.6). Por lotanto, ahora se tiene un total de cuatroin- cógnitas que se deben evaluar, y por consiguiente,se requieren de cua- trocondicionesparadeterminarlos exactamente. Al igual que con la regla trapezoidal,se pueden obtener dos de estas condicionessuponiendoque la ecuación (14.12) ajusta exactamente la integral de una corstante y deunafunciónlineal. Entonces, parallegar a las otras dos condiciones,se extiende este razonamientoal suponer que también se ajusta laintegral a unafunciónparabólica (y = x2) y a una funcióncúbica (y = x3).Haciendo esto, se determinanlascuatro incóg- nitas conviniendo enderivarunafórmula de integración de doble punto que sea exacta paracúbicas. Las cuatro ecuaciones porresolverson Clf(X1) + C2f(X2) = 1 dx = 2 [14.13] [14.14] [14.15] [14.16] Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16)se resuelven simultáneamente, c1 = c2 = 1 x l = - = -0.577 350 269. . . -1 d3 x 2 = " - 0.577350 269. . . d3
- 489. 478 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas -x1 y x2- para integración usando cuadratura gaussiana. las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12)y obtener la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos [14.17] Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple de los valores de la función en x = 1/& y - l/& lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden. Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13)a la (14.16)van desde - 1a 1.Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como seaposible. Un simple cambio de la variable se puedeusar para trasladar otroslímites de integración en es- ta forma. Esto se lleva a cabo suponiendo quela nueva variable xd está dada en función de la variable original x en una forma lineal como en: x = a. + alxd [14.18] si el limite inferior, x = a, corresponde a x d = - 1, estosvalores S e sustituyen en la ecuación (14.18)y se obtiene: a = a0 + al(-l) [14.19] Demanera similar el límite superior, x = b, corresponde a xd = 1, y obtener b = a0 + al(1) [14.20]
- 490. INTEGRACI~NDE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSlANA 479 Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente,ge- nerando: b + a a0 = - 2 b - a at = -2 Y quesesustituyeenlaecuación (14.18) para obtener: (b + a) + (b - a)xd 2 X = Estaecuación se diferencia dando: & = -b - a 2 dx; [14.21] [14.22] [14.23] [14.24] Las ecuaciones (14.23)y (14.24)se pueden sustituir parax y dx, respec- tivamente, enla ecuaciónporintegrar.Estassustitucionestransforman efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los valores de la in- tegral. El ejemplosiguienteilustra cómo se hace esto enla práctica. EJEMPLO 14.3 Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos Enunciadodel problema: utilícese la ecuación (14.14)para evaluarla in- tegral !(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4+ @Ox5 entre los límitesx = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fueel mismo pro- blema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de laintegral es 1.640 533 34. Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de va- riable de tal forma que los límites sean desde - l hasta l. Para hacerlo, se sustituye a = O y b = 0.8 enla ecuación (14.23) y se obtiene X = 0.4 + 0.4xd al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)] I & = 0.4 dxd
- 491. 480 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Estosdosvalores se sustituyenenla ecuación originalpara obtener (0.2 + 2 5 ~- 2 0 0 ~ ~+ 6 7 5 ~ ~- 9 0 0 ~ ~+ 4 0 0 ~ ~ )dx - {[0.2 + 25(0.4 + 0.4~d)- 200(0.4 + 0.4xd)' - !:I + 675(0.4 + O.4xJ3 - gOO(0.4 + O.4xJ4 Por lo tanto, el lado derecho está enla formaque es adaptablepara la evaluaciónmediante la cuadraturagaussiana.Lafuncióntransformada se puede evaluar en - l/&siendo igual a 0.516 740 55y en 1 4sien- do igual a 1.305 83723. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (14.171, laintegral es: 1 = 0.516 74055 + 1.305837 23 = 1.82257778 que representa un error' relativo porcentualdel - 11.1% . Este resultado es comparableen magnitud a la aplicación de la regla trapezoidal decua- tro segmentos (cuadro 13.1) o a unaaplicaciónde laregla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 (ejemplos 13.4 y 13.6). Este últimoresultadoya se esperaba porque las reglas de Simpson tienen también exactitud de ter- cer orden. Sin embargo, debido a la formahábilde escoger los puntos, la cuadratura gaussiana obtiene esta exactitud en basea sólo dos evalua- ciones de la función. 14.2.3 Fórmulas de más de dos puntos Además de la fórmula de dos puntos, analizadaenla sección previa, se puedendesarrollartambiénversiones de másdedos puntos, lascuales se presentan enla forma general: En el cuadro 14.1se resumen los valores de las c y de las x de las fórmu- las de hastaseis puntos, incluyendo a éstas. EJEMPLO 14.4 Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos Enunciadodelproblema:utilícese lafórmuladetrespuntosdel cuadro 14.1 paracalcular laintegral de lamismafuncióndel ejemplo 14.3.
- 492. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 481 CUADRO 14.1 Factores de peso c y argumentos x de la funci6n usados en las f6rmulas de Gauss-legendre Factores Puntos de peso Argumentos de la funelen Error de trunca- miento 2 c1 = 1.000O00 O00 x1 = -0.577 350 269 = f(41([) 3 c1 =0.555 555 556 x1 = -0.774 596 669 = f(6)([) c:, = 1 .O00 O00 O00 X:, = 0.577 350 269 c:, = 0.888 888 889 x2 = 0.0 ~3 = 0.555 555 556 x3 = 0.774 596 669 4 c1 = 0.347854845 X] = -0.861136312 = f(*)([) c:, = 0.652 145 155 X:, = -0.339 981 044 ~3 = 0.652 145 155 x3 = 0.339 981 044 ~4 = 0.347 854 845x4 0.861136312 5 ~1 = 0.236926885 x1 = -0.906179846 = f(”](t) C? = 0.478 628 670X:, = -0.538 469 310 ~3 = 0.568 888 889 x3 = 0.0 ~4 = 0.478 628 670 x4 = 0.538 469 310 ~5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846 6 ~1 = 0.171324492 X, = -0.932469514 = Cl2’([) c:, = 0.360 761 573 X:, = -0.661 209 386 ~3 = 0.467 913 935x3 = -0.238 619 186 ~4 = 0.467 913 935x4 = 0.238 619 186 ~5 = 0.360 761 573 x5 = 0.661 209 386 c6 = 0.171 324 492 X6 = 0.932 469 514 Solución:deacuerdo al cuadro 14.1, lafórmuladetrespuntoses 1 = 0.555 555 556 f(”0.774 596 669) + 0.888 888 889 f(0) + 0.555 555 556 f(0.774596 669) 1 1 = 0.281301 290 + 0.873244 444 + 0.485987 599 = 1.640533 34 lacuales exacta. Debido a quelacuadraturagaussianarequieredeevaluacionesde la función en puntos que no están uniformemente espaciados dentro del intervalo de integración, no es aplicable a loscasosenquelafunciónse desconoce. Por lo tanto, noseadapta a muchosproblemasdelainge-
- 493. 482 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS nieríaendonde se manejandatostabulares.Sin embargo, en dondese conoce la función, su eficiencia tiene grandesventajas. Esto es particular- mente cierto cuando se deben realizar numerosas evaluaciones funcionales. 14.2.4 Programa para la computadora de la cuadratura gaussiana Enlafigura 14.7 semuestranprogramas en FORTRAN y BASIC sobre el método de cuadratura gaussiana. Nótese que los programas están di- señados detalmaneraque se aprovecha lasimetríade los factoresde peso y los argumentosde lafunciónenel cuadro 14.1. Los programas mostrados en lafigura 14.7 están listos para resolver las mismas ecuaciones analizadasen los ejemplos 14.3y 14.4. Secalcu- lan aproximaciones hasta e incluyendo lafórmuladeseis puntos. Por lo tanto, si se desea aplicarestosprogramas a otro caso, se debecambiar la función que especifica la ecuación a integrarse. Haciendoesto, el pro- grama se puedeemplear enel análisisdeunagranvariedadde proble- masdeingeniería. EJEMPLO 14.5 Aplicación de la cuadratura gaussiana al problema del paracaidista Enunciadodelproblema: enel ejemplo 13.3 se usala reglatrapezoidal de segmentos múltiplesparaevaluar d = - b [ l - gm 10 C en donde g = 980, c = 12 500 y m = 68 100.Elvalor exacto de la integral se determina medianteel cálculo y fue de 28 943.514 7.Recuér- dese que la mejor estimación, calculada usando lareglatrapezoidalcon 5 O00 segmentosfue de 28 943.517 7 con un Icvl = 4 x lo-%%. Re- pítase este cálculo usandoel programa de lafigura 14.7 sobre la cuadra- tura gaussiana. Solución: después de modificar la función, se obtienen los siguientes re- sultados: estimacióncon dos puntos = 29 001.447 8 estimacióncontrespuntos = 28 943.929 7 estimaciónconcuatropuntos = 28 943.516 2 estimaciónconcincopuntos = 28 943.514 7 estimaciónconseispuntos = 28 943.514 7 Por lo tanto, las estimacionescon cinco y seis puntos obtienen resultados exactos hastanuevecifrassignificativas.
- 494. INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 483 FORTRAN DIMENSION C ( l l > , X Q < l l > , J 0 < 5 > , J l ~ 5 > FCIXDI=AU+Al*:(D F( Xj=O.2+25*:(-%UO*X**2+675*%**3 DATA C/l.,.888888,.555555,.652145, C-900*X**4+400*X**5 C.347855,.568889,.478629,.236927, C.467914,.360762,.171324/ [)ATA XQ/.577350, O . , ,774597, , 3 3 9 9 8 1 , c.a61136,0.,.~38469,.90618~,.238~~9, C661209, ,932470,' D A T IJ 0 / 1 , 3 , 4 , 7 . 9 / DATAJ1/1,3,5,8,11c 1 FORMIT( ' 0 ' , 5 X , 'CUIDRAIURA GAUSSIANA' W R I T E ( 6 , l > 4 FORMFIT<2 F 1 0 , O > READ<5,4 ) I ,B A O=( B+I)/2 DO 4 1 01 - 1 , s JA= JOC I ) J B = J l ( I ) FIp( 1/2>-1/2 I F ( F X . N E . 0 . ) COTO 3 5 0 K=( 1-1 >*2 SM=SM+C( K )*F( FCC XQ<K ) >> A 1=( 8-A >/2 sn=o. 350 DO 3 8 0J = J A ,J B SM=SM*C< J >*F(-FCC XQ< J >j > SM=SM+C( J )*FI FC<XQ( J > j > 380 CONTINUE s n = s r m 1 BASIC UIM XQ(ll),C(lIi,J0(5),Jl(5) L>EF F N C(XD) = A0 + A l * XD- (Funcidn que implementa LIEF- FN F ( X ) = .2 + 25 % X +- (Funci6n que especifica 200 * x A 2 + a75 * x 1 3 - la ecuaci6n a '300 a X A 4 + 400 *: X A 5 integrarse) PRINT : PRINT " CUADRATLIRA F U R I = 1 TO 1 1 FcCAU C i I i NEXTI FOR I i 1TO 11 READ XI2 t. I ) NEXT I los argumentos de la FORI = 1 TO 5 READ JO(.I ) NEXT I FOR I = 1 TO 5 READ 541 ( I ) NEXT I el cambio de variable) GALISSIANA":PRINT Clll = vector que contlene los factores de peso (Cuadro 14.11 X(Il = vector que contlene funci6n (Cuadro 14.1) 2 d 1 INF'IJT "LIMITE5 DE INTEGRACIO N i A . B ) = " : A , B 270 A0 = ( H - A ) / 2 1:3O A l = I B - A) / 2 290 PRlNT .::cid FURI = 1 TO 5 3 1 0 5M = O 321) I F INT(,I / 2) - I / 2 < i _ . O THEN ,350 FIGURA 14.7 Programas para la computadora en FORTRAN y BASIC queimplementan la cuadratura gaussiana usando fórmulas de Gauss-Legendre.
- 495. 484 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 14.2.5Análisis de error en la cuadratura gaussiana El error en las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica generalmente mediante(Carnahan et al.,1969): [14.26] en donde n es el número de puntos menos uno y f""+*J(~) es la (2n + 2)-ésima derivada de la función después del cambio de variable y 4 se localiza en algún lugar dentro del intervalo de - 1a 1.La comparación de la ecuación (14.26) con el cuadro 13.2 indicala superioridad de la cuadratura guassiana sobre las fórmulas de Newton-Cotes, dado quelas derivadasde orden superior no crecen sustancialmentea medida que crece n.En el problema 14.8,al finalde este capítulo se ilustra un caso en don- de las fórmulas de Gauss-Legendre trabajan deficientemente. En estos casos, serápreferible la regla de Simpson de segmentos múltipleso la in- tegración de Romberg. Sin embargo, la cuadratura de Gauss proporcio- na un medio eficiente para evaluar las integrales en muchas funciones usadas en ingeniería. PROBLEMAS Cálculos a mano 14.1 Utilícese la integración deRombergpara evaluar [sen (5x + l)] dx con una exactitud de E, = 0.5%. Los resultados se deben presentar en la for- ma dada en la figura 14.1. Calcúlese la solución analítica y úsese para determi- nar el errorreal E, delresultadoobtenidocon la integracion deRomberg. Verifíquese que E , sea menor que el criterio de paro E,. 14.2 Efectúense los mismos cálculos del problema 14.1con la integral xeZxdx 14.3 Utilicese la integración deRombergpara evaluax dx con unaexactitud del O.1 % . Los resultados se deben presentar enla forma dada en la figura 14.2.
- 496. lNTEGRACl6N DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 485 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 ObtQngaseuna estimación de la integral del problema 14.1usando fórmulas de Gauss-Legendre de dos, tres y cuatro puntos. Calcúlese E, para cada caso en base a la solución analítica. Obténgase una estimación de la integral delproblema 14.2, usando fórmulas de Gauss-Legendre de dos,tres y cuatro puntos. Calcúlese para cada caso con ba- se a la solución analítica. Usando fórmulas de Gauss-Legendre desde dos hasta cinco puntos, obténgase una aproximación de la integraldel problema 14.3. Usando integración de Romberg (E, = O.Ol%), repítanse los cálculos de los ejemplos 13.3 y 14.5 para el problema del paracaidista. Utilícense métodos analíticos (recuérdeseel cuadro V.1)y las fórmulas de Gauss- Legendre de dos a seis puntos para resolver 14.9 Desarróllese un programa legibleal usuario sobre la integración de Romberg ba- sado en la figura 14.3.Pruébese repitiendolos cálculos mostrados enla figura 14.2. 14.10 Desarróllese un programa legibleal usuario sobre la cuadratura gaussiana basa- do en la figura 14.7.Pruébese repitiendo los cálculos de los ejemplos 14.3y 14.4. 14.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 14.9 para resolver los proble- mas 14.1 y 14.2 y 14.3. 14.12 Utilíceseel programa desarrollado en el problema 14.10para resolver 10s pro- blemas 14.4, 14.5 y 14.6. " . ..
- 498. C A P í T U L OQ U I N C E CASOSDELAPARTE V: INTEGRACI~N El propósito de este capítuloeseldeaplicarlosmétodosdeintegración numérica analizados en la parte V, a problemas prácticos de ingeniería. Frecuentementese encuentran dos situaciones;la primera de ellas es cuan- do la funciónen estudio se puede expresar de forma analítica peroes de- masiado complicada para integrarse usando los métodos del cálculo. La integración numérica se aplica a casos de este tipo usando la expresión analítica para generar una tabla de argumentos y valores de la función. Enel segundo caso, la función a integrarse es, por naturaleza, de forma tabular. Este tipo de funciones, en general, representan una serie de medidas, observacioneso alguna otra información empírica.Los datos en cualquier caso son compatibles directamente con varios esquemas deintegración numéricaanalizadaenloscapítulos 13 y 14. El caso 15.1,que analiza los flujos de efectivos en una compañía de computadoras,es un ejemplo de la integraciónensuforma tabular. Se usa la regla trapezoidal y la regla de Simpson de 1/3 para determinar el flujo de efectivos. El caso 15.2,que trata de cálculos de calor de la inge- nieríaquímica, comprende datosanalíticos. En este caso de estudio, se integra numéricamente una función analítica para determinar el calorne- cesario queeleve la temperatura de un material. Los casos 15.3 y 15.4 se relacionanconfuncionesdadasenforma analítica. El caso 15.3, tomado de la ingenieríacivil,usalaintegración numérica para determinar la fuerza del viento total que actúa sobre el mástil de un velerode carreras. El caso 15.4 determina laraíz de la corriente media al cuadrado (RMS) de un circuito eléctrico. Esteejemplo se usa enla demostración de lautilidad de la integración de Romberg y la cua- draturagaussiana. Finalmente, el caso 15.5 regresa al análisisde la información tabular para determinar el trabajonecesariopara moverun bloque. Aunque este ejemplo tiene conexión directacon la ingeniería mecánica, tiene aplica- ción en todas las otras áreas de la ingeniería. Entre otras cosas, este caso ilustrala integración de datosdesigualmente espaciados.
- 499. 488 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS CASO 15.1 ANALISIS DE MOVIMIENTO DE EFECTIVOS (INGENIERíAENGENERAL) Antecedentes: el análisis de movimiento de efectivos es una parte impor- tante dentro de cualquier proyectode ingeniería o de cualquier proyecto de negocios. El efectivo disponible puede afectar muchos aspectos del pro- blema, por ejemplo, la localizaciónderecursos (véase el caso 9.I). La posiciónde un ingeniero enla Compañía de Computadoras Micro-1 es lade calcularelefectivototal generado deunaventadecomputadoras en los primeros60 días que siguen a la introducción de una computado- raal mercado (véaseel cuadro 15.1 sobre los datos de venta de compu- tadoras). Su problema es complicado ya que elcosto de la computadora esmuy sensitivo a la demanda abastecimiento o a ladisponibilidad. Los equipos de ventas e investigación de mercados han obtenido la información de que el precio de venta base considerando una demanda óptima es de $1 250 por computadora.A medida que la demanda disminuye, el precio aumenta a un máximo de $3 O00por computadora.Más aún, la variación continua del costo con un suministro N se define por la ecuaciónderivadaempíri- camente: Costo por computadora ($) = 3 O00 - 1 750 N 10 O00 + N [15.13 que se grafica enlafigura 15.1. CUADRO 15.1 Datosde venta de computadorasy de fluio deefectivos. La columnac) se calcula usando derivación num6ricade la información enla columna b). El primero y últimovalor de la columnae) se determinan usando diferen- cias hacia adelantey hacia atrásde orden h2,los valores medios median- te diferencias centrales de ordenh2 CostoporEfectivo computadora,generado CantidaddePromediode ($) [basado diaria- computadoras Númerode computadorasen la columnameme disponibles computado- vendidas 4 Y la $ Tiempo en el mercado ras vendidas diariamente ecuación (1 5.1 )] [(c)X (d)] en días a) b) 4 4 e) f) 50 O00 O 2 050.0 1 542 3 161 100 O 35 O00 15 O00 950.0 1 639 1 557 050 10 31 O00 19 O00 1 500.0 1 677 2 515 500 20 20 O00 30 O00 600.0 1 833 1 099800 30 19 O00 31 O00 397.5 1 853 736 568 40 12 050 37 950 400.0 2 040 816 O00 50 11 O00 39 O00 -1 90.0 2 083 -395 770 60
- 500. CASOS DE LA PARTE V: lNTEGRACl6N 489 FIGURA 15.1 Costo de las computadoras contra el número de computadoras enelrner- cado. La curva se basa en la ecuación (15.1). Solución: el efectivototal generado estádadopor Efectivototal = (efectivo generado diariamente) dt (u" Efectivototal = (promediodeventas X costo unitario) dt rEn este caso, el promediodeventas de los días O al 60 estádadopor la columna c) delcuadro 15.1. El promedio se determinausandodife- renciasdivididas finitas(recuérdesela sección 3.5.4) para apoximarla pri- mera derivada de la columna b). Nótese cómo, debido a lavariación de los datos, la aproximación a la derivadaenla columna c) varía mucho. En efecto, aunque la venta total de computadoras siempre crece, la va- riaciónen los datos proporciona un promedio de ventas negativo enel día 60. Este inconveniente se debe a que las aproximaciones numéricas delasderivadassonaltamentesensitivas al cambio en los datos. El costo por computadora diariose calcula en base a la ecuación (15.1) y elnúmerodecomputadorasdisponibles se muestraenla columna a) delcuadro 15.1. El costo porcomputadoradiariodesdeeldía O hasta el 60 está datoen la columna d ). En la columna e) se muestra el efectivo generado diariamente. Este dato se puede usar en conjunto con los pro- cedimientosdeintegraciónnuméricaanalizados enelcapítulo 13. En el cuadro 15.2 se muestran los resultados de aplicarla regla trape- zoidal y la regladeSimpsonde 1/3 a este problema. Nótese como va-
- 501. 490 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS CUADRO 15.2 Resultadosal aplicar la regla trapezoidaly la regla de Simpsonde 113 para calcular el flulo de efectivos generado dela venta de computadoras Mdtodo SegmentosEfectivogenerado $ Regla trapezoidal 1 2 3 6 82 959 900 74 473950 96 294 660 81 075 830 Regla de 2 Simpson de 1/3 6 71 645 300 77 202 887 rían los resultadosampliamente, dependiendo de cuántos segmentos se empleen enel análisis. En particular, la estimaciónde laversióndetres segmentos de la regla trapezoidal es mucho mayor que las otras estima- ciones debido a la inclusión selectiva delas altas estimaciones de flujo de efectivos eneldía 20. En base a este análisis se puede concluir que elflujode efectivos es de aproximadamente $77 millones. Sin embargo, los resultadosindican que se debe tener cuidadocuando se aplican los métodos de integración numérica y que las aproximacionesde datos tabulares pueden, en gene- ral, mejorarsesi se obtiene información adicional. Esta conclusiónla com- pruebael caso deestudio 15.5 en dondesedemuestraque elnúmero de datos puede tenerun efectosignificativo en el resultado final de laapro- ximación a unaintegral. CASO 15.2 EL USO DEINTEGRALESPARADETERMINARLA CANTIDAD TOTALDECALOR EN LOS MATERIALES (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: los cálculos de calor se empleanrutinariamenteen la in- geniería química, asícomo también en otros campos de la ingeniería. Es- te caso proporciona un ejemplo simplepero muy útil de estos cálculos. Un problema que se encuentra a menudo es determinar la cantidad de calor necesaria para elevarla temperatura de un material. La caracte- rística necesaria para realizareste cálculo es la capacidad caloríficac. Este parámetro representala cantidad de calor necesaria para elevar una uni- dad de masa a unaunidad de temperatura. Si c es la constante sobre el rango de temperaturas quese van a examinar, el calor necesario AH (en calorías) se calcula como AH = me AT [15.2]
- 502. CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 491 en donde c tiene unidades de calorías por gramo por grado centígrado, m es la masa (en gramos) y AT es elcambio de temperatura (en grados centígrados). Porejemplo, la cantidad de calor necesaria para elevar20 g deaguade 5 a 10°C es igual a AH = (20)1(10 - 5) = 100 cal en donde la capacidad calorífica del aguaes aproximadamente1 cal/g/"C. Tal valor es adecuado cuando AT es pequeño. Sin embargo, en rangos mayores de temperatura,la capacidad caloríficano es constante, y de he- cho, varía en función de la temperatura. Por ejemplo, la capacidad calo- rífica de un material aumenta conla temperatura de acuerdoa relaciones tales como c(T) = 0.132 + 1.56 X 10-4T + 2.64 X 10-7T2 [15.3] En este caso se pidecalcularelcalor necesario paraelevar 1 O00 g deestematerialde -100 a 200°C. Solución: la ecuación (V.3)proporciona una manera de calcular el valor promedio de c(T): quepuedesersustituidoen la ecuación (15.2) y obtenerse AH = m ITT:c(T)dT [15.4] en donde AT = T2- T1.Ahora, ya que en este caso c(T)es una cua- dráticasimple, AH se determinaanalíticamente. La ecuación (15.3) se sustituyeenla ecuación (15.4) y elresultado se integraparaobtenerel valor exacto de AH = 42 732calorías. Es útil y además instructivocom- parar este resultado conlos métodos numéricos desarrollados en elcapí- tulo 13. Para llevara cabo esto, es necesariogenerar una tabla de valores de c paravariosvaloresde T: T, OC c callglOC -100 0.119 04 -50 0.124 86 O 0.132 O0 50 0.140 46 100 0.150 24 150 0.161 34 200 0.173 76
- 503. 092 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Estos puntos se usan junto con laregladeSimpsonde 1/3 usando seis segmentosy se calcula una integral aproximada de42.732. Este resulta- do se sustituyeenla ecuación (15.4)quelleva alvalor AH = 42 732 calorías, resultado que coincide exactamente con la solución analítica. Esta coincidencia se esperaba ya que c es unafuncióncuadrática y laregla deSimpson es exacta parapolinomiosdetercerorden o menos (véase la sección 13.2). Los resultadosobtenidoscon lareglatrapezoidal se muestranenel cuadro 15.3. Se ve que lareglatrapezoidaltambién es capaz de estimar el calor total de manera exacta. Sin embargo, se necesita un paso peque- ño (< 10°C) paraunaexactitud de cinco cifras significativas. Este ejem- plo ilustrabienelpor qué laregladeSimpson es muy popular. Es fácil llevarla a cabo, ya sea usandocálculos a mano o, mejor aún, conuna computadora personal. Además porlo comGn, eslo suficientemente exacta con tamaños de paso relativamente grandesy exacta para polinomios de tercerorden o menos. CUADRO 15.3 Resultadosobtenidosusando la regla trapezoi- dal con varios tamaños de paso Tamañodepaso, OC AH €+ Yo 300 150 1O0 50 25 10 5 1 0.05 96 048 43 029 42 864 42 765 42 740 42 733.3 42 732.3 42 732.01 42 732.000 3 125 0.7 0.3 0.07 0.018 < 0.01 < 0.01 < 0.01 < 0.01 CASO 15.3 FUERZAEFECTIVA SOBRE EL MÁSTIL DE UN VELERODECARRERAS (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: enlafigura 15.2a se muestra un cortetransversalde un velerode carreras. Las fuerzasdelviento (fl ejercidasporpie de mástil desde las velasvarían en función de la distancia sobre la cubierta del bote (z) como lo muestra lafigura 15.2b. Calcúlese lafuerzadetensión T en el cable de soportedelladoizquierdodelmástil,suponiendoqueel so- portedelcable derecho está flojo y elmástilseuneal casco de manera quetransmitafuerzasverticales y horizontalesperono momentos. Su- póngase que elmástil permanece vertical.
- 504. CASOS DE LA V: INTEGRACldN 493 FIGURA 15.2 a) Sección transversal de un velero de carreras. b) Fuerzas del viento f eiercidas por pie de mástil en función de la distancia z sobre el casco del bote. 0 = tan- (3/30),’ = 0.099 668 7 , -I “N FIGURA 15.3 Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas ejercidas en el mástil de un velero. Solución: para proceder con elproblema,se requiere que la fuerza distri- buida f se convierta enunafuerzatotalequivalente F y que se calcule su posición efectiva d sobre el casco (Fig. 15.3). Este cálculose complica porel hecho de que lafuerza ejercidaporpiedemástilvaríaconladis- tancia sobreel puente. La fuerza total ejercida sobreel mástil expresa co- mounaintegraldelasiguientefuncióncontinua: Estaintegralnolineal es difícildeevaluaranalíticamente.Por lo tanto, es conveniente emplearun método numérico tal como la regla de Simp- son y la regla trapezoidal paraeste problema. Esto se lleva a cabo calcu- lando f(z) paravariosvalores de z y, después, usandolas ecuaciones (13.10)y (13.18).Por ejemplo, el cuadro 15.4 tiene valores def(z) para un tamaño de paso de3 pies que proporciona datosde la regla de Simp- son de 1/3 y de la regla trapezoidal. Enel cuadro 15.5 se muestran re- sultadosdevariosvaloresdel tamaño de paso. Se observaque ambos métodosproporcionan un valor de F = 1 480.6 libras a medidaque el tamaño de paso decrece. En este caso, el tamaño de paso de 0.05 pies en la regla trapezoidal y de 0.5 en la regla de Simpson proporciona bue- nosresultados.
- 505. 494 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS CUADRO 15.4Valoresde f(z) con un tamaño de paso de 3 piesquepro- porcionandatosde la regla trapezoidal y la regla de Simp- son de 113 z, pies f(z),lblpies O 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 O 6 1.40 73.13 70.56 63.43 55.18 47.14 39.83 33.42 27.89 23.20 La línea de acción F (Fig. 15.3) se calculaevaluando la integral. CUADRO 15.5 Valores de F calculados en basea varias versio- nes de la regla trapezoidal y la regla de Simp- son de 113 _____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Método Tamaño de Segmentos F, ~~ paso,pies libras Regla 15 trapezoidal 10 6 3 1 0.5 0.25 o.1 0.5 Reglade 15 Simpson de 113 5 3 1 0.5 2 3 5 10 30 60 120 300 600 2 6 10 30 60 1 001.7 1222.3 1 372.3 1450.8 1 477.1 1 479.7 1 480.3 1 480.5 1 480.6 1 219.6 1 462.9 1 476.9 1 480.5 1 450.6
- 506. CASOS DE V: INTEGRACldN 495 O lo3'200z[z/(5 + ~ ) ] e - ~ / ~ 'dz 1480.6 d = Esta integral se evalúa usando métodos similaresa los anteriores. Porejem- plo, la regla de Simpson de1/3con un tamaño de paso de0.5 proporciona 19 326.9 1 480.6 d = = 13.05 pies Con F y d conocidos de los métodos numéricos, se usa un diagrama de cuerpo libre paradesarrollar ecuaciones de equilibrio de fuerzas y mo- mentos. Este diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 15.3. Su- mando fuerzas en la dirección verticaly horizontal y tomando momentos alrededor delpunto O, se obtiene EFH= O = F - Tsen 8 - H CF"= O = v - reos o EM0 = O = 3V - Fd [15.9] [15.10] E15.111 en donde T es la tensiónenel cable. H y V sonlas reacciones que se desconocen sobreelmástiltransmitidasal casco. Ladirección y magni- tud de H y V se desconocen. Laecuación (15.11) se resuelvedirecta- mentepara V ya que se conocen F y d. Por lo tanto, de la ecuacion (15.lo), y de la ecuación (15.9), H = F - T sen 8 = 1480.6 - (4 473)(0.099 5) = 836.54 lb Estasfuerzasleayudanal diseñadorparacontinuarconotros aspectos del diseño estructural delvelero, tales como los cablesy el sistema deso- porte del mástil sobre el puente. Este problema ilustra muy bien dos usos dela integraciónnuméricaque se puedenencontrardurante el diseño
- 507. 496 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS de estructuras.Se ha visto que la regla trapezoidaly la regla de Simpson de 1/3 sonfáciles de aplicar y sonherramientasprácticas enla solución de problemas. La regla de Simpsonde 1/3 es más exacta que laregla trapezoidalpara el mismotamañodepaso y por lo tanto, se prefiere a menudo. CASO 15.4 DETERMINACIóN DE LA CORRIENTERMS MEDIANTEINTEGRACIóN NUMÉRICA (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: el valor efectivo de una corriente eléctrica cuyo valorvaría periódicamente está dado porla fórmula de raíz cuadrada de la corriente al cuadrado (véase el caso 12.4): 1 IWS= i2(t)dt [15.12] endonde T es el periodo, esto es, eltiempode un ciclo e i(t) es la co- rriente instantánea.Calcúlese la corriente RMS de la forma de onda mos- tradaenlafigura 15.4 usando laregla trapezoidal, lareglade Simpson de 1/3,laintegración de Romberg y la cuadratura gaussiana para T = 1 s. Recuérdese que enel caso 12.4, se resolvióesteproblemaporintegra- FIGURA 15.4 Corriente eléctrica que varíaperiódicamente.
- 508. CASOS DE V: INTEGRACldN 497 CUADRO 15.6 Valores dela integral calculada usando varios métodos num6ricos. El error relativo porcentual E, se basa en el valor verdadero de 15.412 608 1 Método SegmentosIntegral E, % Regla 1 trapezoidal 2 4 8 16 32 64 128 Reglade 2 Simpson de 1/3 4 8 16 32 0.0 15.163 2665 15.401 4291 15.411 9584 15.412 5682 15.412 6056 15.412 6079 15.412 6081 20.217 6887 15.480 8166 15.415 4681 15.412 7714 15.412 6081 1O0 1.62 0.0725 4.21 x 10-3 2.59x 10-~ 1.62X 10-5 1.30x low6 O -31.2 -0.443 -018 6 O -1.06 x 103 ción analítica dela parábola quese había ajustadoa la función cuyaapro- ximación a laintegralfuede 20.217 688 7. Solución: enel cuadro 15.6 se muestra la aproximación a la integral con varias aplicaciones de lareglatrapezoidal y la regla de 1/3 de Simpson. UnaaplicacióndelaregladeSimpsonde 1/3 obtiene elmismoresulta- do delcaso de estudio 12.4. Esto ya se esperaba porquela reglade Simp- son de 1/3corresponde al área bajo la parábola ajustada a los tres puntos. Nótese que la regla de Simpson es más exacta que la regla trapezoidal. El valor exacto de laintegral es 15.412 608 1. Este resultado se ob- tiene usando la regla trapezoidal con 128 segmentos o la regla de Simp- son con 32 segmentos. Usando la integración de Romberg se determina la mismaaproximación (Fig. 15.5). " FIGURA 15.5 Resultados obtenidosusando la integracióndeRomberg para calcular lacorriente RMS.
- 509. 498 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Además, se puedeusar la cuadratura gaussiana para obtener la mis- ma aproximación. Recuérdeseque la determinación de la corriente RMS del caso 12.4 se incluye la evaluación de la integral (T= 1) I = (b” (lOe-tsen 2at)* dt [15.13] Primero se hace un cambio de variable aplicando la ecuación (14.23) y (14.24)paraobtener 1 1 t = - + - t d 4 4 Y 1 dt = - dtd 4 Estas relaciones se sustituyen en la ecuación (15.13)y se obtiene Con la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos,la función se eva- lúa en td = 1/43 y - 1/43, con los resultados de 7.684 096 2 y 4.313 728 O,respectivamente. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.17)y se obtiene una aproximación a la integral de 11.997 824 2, que representa un error del = 22%. La fórmula de tres puntos es (cuadro 14.1): I = 0.555555556 (1.237449 345) + 0.888888889 (15.163266 49) + 0.555 555 556 (2.684914 679) = 15.657 550 21 = 1.6% En el cuadro 15.7se resumen los resultados del uso de fórmulas de más puntos. CUADRO 15.7 Resultadosobtenidosusandovarios puntos y la cuadratura gaussiana para aproximar la integral Puntos Aproximacih !% ~~ 2 11.997824 3 22.1 3 15.657 550 2 -1.59 415.405802 3 4.42 x 5 15.412 639 1 -2.01 X 1 0 - ~ 615.412 610 9 -1.82 x 10-5
- 510. CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 499 Laaproximación a laintegralde 15.412 608 1 se sustituyeenla ecuación (15.12) y se calcula IRMscomo 3.925 889 5 A. Esteresul- tado se emplea enlaguíade otros aspectos deldiseño y operación del circuito. CASO 15.5 INTEGRACIóN NUMÉRICA EN EL CALCULODE TRABAJO (INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: muchos problemas de ingeniería incluyenel cálculo del tra- bajo. Lafórmulageneral es: Trabajo = fuerza X distancia Cuando se estudiaeste concepto en la materia de físicaa nivel preuniver- sitario, se presentanaplicacionessimplesusandofuerzasque permane- cen constantes a travésdeldesplazamiento. Por ejemplo, si se usauna fuerza de 10 libras para jalar un bloque una distancias de 15 pies, el tra- bajo se calcula como 150 pies X libra. Aunqueestecálculosimplees útil enla introduccióndel concepto, los problemas realistas, en general, son más complejos. Por ejemplo, su- póngase que la fuerza varía durante el curso del cálculo. En estos casos, la ecuación deltrabajopuedeexpresarse como w = F(x) cix [15.14] donde W es el trabajo enpie X libra, x. y x, sonlasposicionesinicial y final, respectivamentey F(x)es la fuerza que varía en función de la posi- ción. Si F(x)es fácilde integrar, entonces la ecuación (15.14)se integra analíticamente. Sin embargo, en problemas reales, la fuerza no se puede expresar de esta manera. De hecho cuando se analizanlos datos medios, la fuerza puede estar disponible en forma tabular. En estos casos, la inte- graciónnumérica es laúnicaopciónviablepara la evaluación. Cuando el ángulo de la fuerza y la dirección del movimiento también varíanconla posición, se introducemayorcomplejidad(Fig. 15.6). La ecuación del trabajo se puede modificar aún más tomando en cuenta es- te efecto, w = F(x) cos [O(x)]dx [15.15] Otravez, si F(x) y O(x) sonfuncionessimples, la ecuación (15.15)se re- suelve analíticamente. Sinembargo, como enlafigura 15.6, es más fácil
- 511. 500 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 15.6 Caso de una fuerza variable que actúa sobre un bloque. Eneste caso, el ángulo, así como la magnitud de la fuerza varían. que la relación funcional sea complicada. En este caso, los m6todos nu- méricosproporcionan laúnicaalternativaparadeterminar la integral. Supóngase que seva a calcular la situación mostrada en la figura15.6. Aunque lafigura muestra los valores continuos deF(x)y B(x),se supone que debido a restricciones experimentales, dnicamente se proporcionan las medidas discretas en intervalos dex = 5 pies (cuadro 15.8).Utilicen- se las versiones deun segmento y de segmentosmúltiples de la regla tra- pezoidal y lasreglas de Simpsonde 1/3 y 3 / 8 paracalcular el trabajo con estos datos. Solución: en el cuadro 15.9 se muestran los resultados resumidos delaná- lisis. Se calculó un error relativo porcentual E ~ ,en referencia alvalor real
- 512. CASOS DE LAE V: INTEGRACldN 501 CUADRO 15.8 Datos de la fuerza F(x) y del ánglo @(x)en fun- cidn de la posicidn x CUA x, pies F(x),libras O, radianes F(x)cos 0 O 0.0 030 0.000o 5 9.0 1.40 1 S29 7 1013.0 0.75 9.512 O 1514.0 0.90 8.702 5 2010.5 1.30 2.808 7 2512.0 1.48 1.088 1 30 5.0 1 S O 0.353 7 de laintegral cuyo valor es 129.52, calculando en base a los valores to- mados de lafigura 15.6 conintervalosde un pie. Estos resultados son importantes porque el resultado másexacto ocurre cuando se usala reglatrapezoidal de dos segmentos. Las estimaciones más refinadas usando mássegmentos, así como la regla de.Simpson, lle- van aresultados menos exactos. La razónde este resultado aparentementeilógico es que el espacia- miento grueso de los puntos no es adecuado para capturar las variacio- nesdelasfuerzas y losángulos.Esto es evidente enlafigura 15.7, en donde se ha graficado la curva continua de los productos de F(x) y cos [e(x)].Nótese cómo el uso de siete puntos para caracterizar la continui- dad de la función falla en los dos picosx = 2.5 y x = 12.5 pies. La omi- sión de estos dos puntos limita efectivamente la exactitud de la integración numérica en el cuadro 15.9. El hecho de que la regla trapezoidal de dos segmentosobtenga la mayorprecisiónen estos resultados se debe a la forma en que se posicionan los puntos en este problema en particular (Fig. 15.8). ,DRO 15.9 A roximacionesdel trabalo calculado usando la re- gPatrapezoidaly lareglade Simpson. El error relati- vooreentual (e,) se calculdenreferencia al valor reaPde la integral (129.52pies libra)calculadoen base a los valores en intervalos de1 pie M6todo Regla trapezoidal 1 5.3195.9 2 3 133.19-2.84 124.983.51 6 1 19.09 8.05 Regla de Simpson de 1/3 2 175.82-35.75 6 117.139.57 Regiade Simpson de 3/8 3 139.93 -8.04
- 513. 502 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FlGlJRA 15.7 Gráfica continua de f(x) cos [O(x)]contralaposición, junto con los siete puntos discretos usados para desarrollar la aproximación a la integral numérica del cuadro 15.9. Nótese cómo el uso de siete puntos para ca- racterizar esta funciónquevaríacontinuamente omite dospicos en x = 2.5 y 12.5 pies. FIGURA 15.8 Esquema gráfico del por qu6 la regla trapezoidal de dos segmentos ge- nera una buena aproximación de la integral para este caso en particu- lar. Por casualidad el uso de los dos trapecios genera un balance entre los errores positivos y negativos.
- 514. CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACION 503 FIGURA 15.9 Esquemas de segmentación desigual que resulta al incluir dos puntos iniciales en x = 2.5 y 12.5 en los datos delcuadro 15.8. Se mues- tran las fórmulas de integración aplicadas a cada conjunto de seg- mentos. La conclusión derivada delafigura 15.7 es que se debe hacer un nú- mero adecuado de medidas para calcular exactamente las integrales. En este caso, si se conociera F (2.5)cos [0(2.5)]= 4.350 O y F(12.5) cos [6(12.5)] = 11.360O se podría determinarun cálculo de la integral usando elalgoritmode datos desigualmente espaciados descrito previamente enla sección 13.3. En la figura 15.9 se ilustra la segmentación desigualen este caso. Incluyendo los dos puntos adicionales, llevaa un mejor cálculo dela integral de 126.9 (E,, = 2.02%). Por lo tanto, lainclusiónde los datos adicionales podría incorporarlos picos quese habían ignorado previamente y, en consecuencia, !levar a un resultado mejor. PROBLEMAS Ingeniería en general 15.1 Repítanse los cálculos del caso 15.1usando los programas propios
- 515. 504 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS 15.2 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.1, pero envez de usarla ecuación (15.1) utilícese la siguientefórmulaalternativa: Costo por computadora ($) = 1250 + 1750e-5”10-5N 15.3 AI efectuar un estudio de la linea de ensamble de unaplanta de automóviles, en un periodo de 24 horas, se visitan dos puntossobre la línea y en instantes diferentes durante el día se verifica el ntímero de autos que pasa por ahí en un minuto. Los datos son ~~ ~~ ~ ~ ~~ PuntoA ~~ ~~ _ _ ~~~~ ~~~ ~ Punto B Tiempo Carrodminuto Tiempo Carrodminuto Medianoche 3 Medianoche 3 2 A.M. 3 1 A.M. 3 3 A.M. 5 4 A.M. 5 6 A.M. 4 5 A.M. 2 9 A.M. 5 7 A.M. 1 11 A.M. 6 10 A.M. 4 2 P.M. 2 1 P.M. 3 5 P.M. 1 3 P.M. 4 6 P.M. 1 9 P.M. 6 7 P.M. 3 10 P.M. 1 Media noche 6 Medianoche 6 a P.M. 4 11 P.M. 3 Utilícese integración numéricay la ecuación V.3para determinar el número total de carros que pasa por día en cada punto. 15.4 Los datos del cuadro P15.4 proporcionan medidasdelflujo de calor q sobre la superficie de un colector solar en intervalos de una hora. Calcúlese el calor total absorbido por un panel colector de 150 O00 cm2 durante un periodo de 14 ho- ras. El panel tiene una eficiencia de absorción eobdel 45%. El calor total absor- bido está dado por H = eab q A dt S1 en donde A es el área y q es el flujo de calor Ingeniería Química 15.5 Repítanse los cálculos del caso 15.2 usando los programas propios. 15.6 Efectúense los mismoscálculos del caso 15.2calculandola cantidad de calor ne- cesario para elevar la temperatura de 2 O00 g de material desde ”2000 hasta
- 516. CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 505 TABLA P15.4 Medidas del flujo de calor solar Flujo de calor q, Tiempo, h colorks/cm2/h 6 7 8 9 10 11 12 13 14 o.1 1.62 5.32 6.29 7.8 8.81 8.00 8.57 8.03 7.O4 6.27 5.56 3.54 1.o 0.2 100°C. Utilicese la regla de Simpson en los cálculos, con valores de Ta interva- los de 5OOC. 15.7 Repítase el problema 15.6 usando integraci6n de Romberg con E" = 0.01%. 15.8 Repítase el problema 15.6 usando la fórmula de Gauss-Legendre de dos y tres puntos. Interprétense los resultados. 15.9 Utilicese la regla de Simpson paracalcular el calor total de la placa mostrada en el caso 9.2 sila capacidad calorífica está definidapor la ecuación (15.3). Ingeniería civil 15.10 Repítanse los cálculos del caso 15.3 usando sus propiosprogramas 15.11 Repítanse los cálculos del caso 15.3 usando la integraciónde Romberg para eva- luarla integral. Usese un criterio de paro de e, = 0.25%. 15.12 Ejecútense los mismos c6lculos del caso 15.3 usando la cuadratura de Gauss pa- raevaluar la integral. 15.13 Ejecútense losmismos cálculos del caso 15.3 cambiando la integral a
- 517. 506 METODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS 15.14 Para ciertos trabajos sobre ingenieríade recursos de agua, que incluye la preven- ción de inundacionesy el diseño de reservas, se requieren canales de área trans- versal (A).A menos que se disponga de dispositivosde sondeo electrónico en la obtención de perfiles continuos del fondo del canal. el ingeniero debe confiar en las medidas discretas de la profundidad a calcular. En la figura P15.14 se ilus- trauna sección transversal de un canal común. Los puntos representan posicio- nes en donde se ancló el bote y se tomaron lecturas dela profundidad. Utilícense dos ecuaciones dela reglatrapezoidal (h = 4 y 2 m) y laregla de Simpson de 1/3 para calcular el área transversal a partirde estos datos 15.15 Durante una investigación de campo es necesario calcularel área del campo mos- trado en la figura P15.15. Utilícense las reglas de Simpson para determinar elárea. 15.16 Un estudio de ingeniería de tránsito'sequiereel cálculo del número total de ca- rros que pasa a través de una intersección en un periodo de 24 horas. Un indivi- duo visita laintersección varias veces durante el díay cuenta el número de carros que pasa a través de la intersección en un minuto. Utilícense estos datos, que se encuentran resumidos en el cuadro P15.16, para calcular el número total de carros que pasa por la interseccióndurante el día. (Téngase cuidado con las unidades.) Ingeniería eléctrica 15.17 Repítanse los cálculosdel caso 15.4 usandolosprogramaspropios TABLA P15.16 Promediode flujo de tráfico en una intersec- ción medido envorios tiempos en un perio- do de24 horas Tiempo Promedio, carroslmin 12:OO Medianoche 2:00 A.M. 6:OO A.M. 7:OO A.M. 8:OO A.M. 9:OO A.M. 11:o0 A.M. 1:OOP.M. 3:OO P.M. 4:OO P.M. 5:OO P.M. 6:OO P.M. 7:OOP.M. 8:OOP.M. 1O:OOP.M. 12:OO Medianoche 10 4 . 6 40 60 80 25 18 17 28 35 77 40 30 31 15
- 518. CASOS V: INTEGRACION 507 FIGURA P15.14 Seccióntransversal de un canal. FIGURA P15.15 Campo limitado por dos caminosy un arroyo. """.""". ...
- 519. 508 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS 15.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.4usando una función de corriente dada por: i(t) = sen 2?rt por O It S r/2 i(t) = O por T / 2 It IT en donde T = 1s. Utilícese la regla de Simpson de 1/3con 16segmentos para calcular la integral. 15.19 Repítase el problema 15.18usando cuadratura gaussiana 15.20 Repítase el problema 15.18usando integración de Romberg a E , = 0.1%. Ingeniería mecánica 15.21 Repítanse los cálculosdel caso 15.5usando los programas propios 15.22 Ejecútense los mismos cálculos del caso 15.5usando la siguiente ecuación para calcular: F(x) = 1 . 1 7 ~- 0 . 0 3 5 ~ ~ Empléense los valores de 6 del cuadro 15.8 15.23 Ejecútense los mismos cálculos delcaso 15.5pero con la siguiente ecuación pa- ra calcular: Empléese la ecuación del problema 15.22 para F(x).Utilíceselaregla trapezoi- dalcon cuatro, ocho y dieciséis segmentos para calcular la integral. 15.24 Repítase el problema 15.23 con la regla de Simpson de 1/3 15.25 Repítase el problema 15.23 usando integración de Romberg hasta E$ = O. 1% . 15.26 Repítase el problema 15.23usando cuadratura gaussiana 15.27 Leánse todos los casos del capítulo 15. En base a las lecturas y a la experiencia invéntese un caso propio en cualquiera de los campos de la ingeniería. Esto pue- de implicar la modificación o la reexpresión de alguno de los casos. Sin cmbar- go, también puede ser totalmente original.Como sucede en los ejemplos deltexto, se debe elaborar enfocando los problemas de ingeniería y debe demostrar el uso de los métodos numéricos para la integración. Escrlbanse los resultados usando los casos propios como modelos.
- 520. EPíLOGO: PARTE V V.4 ELEMENTOS DE JUICIO El cuadro V.3 muestra un resumende los elemen- tos de juicio relacionados con la integración nu- mérica o cuadratura. La mayor parte de estos métodos se basa en la interpretaciónfísica simple de que una integral esel área baio la curva. Es- tos métodosestán diseñados para evaluar la in- tegral endoscasosdiferentes: 1 ) una función matemática continua y 2) datos discretos en for- ma tabular. Las fórmulas de Newton-Cotes son los primeros métodos analizados en el capítulo 13. Son apli- cables a funciones continuasy a funciones discre- tas. Se dispone de estas fórmulas en sus versiones cerradas y abiertas. las formas abiertas, que tie- nen límites de integración extendidos más allá del rango de los datos, rara vez se usanen la eva- luación de integrales definidas. Sin embargo,tienen gran utilidad en la solución de ecuaciones diferen- ciales ordinarias, analizada enel capítulo 17. Las fórmulas de Newton-Cotes cerradas se basan en el reemplazo de una función matemáticao de datos enforma tabular enun polinomio quees fácil de integrar. La versión más simple es la reglatra- pezoidal, que se basa en tomar el área baio una línea recta que une los valores adyacentes de la función. Una manera de meiorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración de a a b enun conjunto de segmen- tos yaplicar el método a cada uno de los seg- mentos. Además de aplicar la regla trapezoidal con seg- mentación más fina, otra manera de obtener una aproximación más exacta a la integral es eluso de polinomios¿e orden superior para conectar los puntos. Si se emplea una ecuación cuadrática, el resultado es la regla de Simpson de 1/3.Si se usa una cúbica el resultado es la regla deSimpson de 3/8. Estas reglas se prefieren a la de la regla tra- pezoidal debido a que son mucho más exactas. Existen versiones de segmentos múltiples.En situa-
- 521. 510 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS ? > O L P a aW
- 522. EPILOG0 PARTE V 511 ciones con un número par desegmentos, se recomienda la aplicación múltiple de la regla de1/3.Para el caso de un número impar de seg- mentos, se puede aplicar la regla 3/8a los últimos tres segmentos y lareglade 1/3a los restantes. También existen fórmulas de Newton-Cotes de ordensuperior. Sin em- bargo, rara vez se usan en la práctica. Cuando se requiere de alta exactitud se dispone de la integración de Romberg y de la cuadratu- ra gaussiana. Debehacerse notar quelas fórmulas de integración de Romberg y la cuadratura gaussiana tiene valor práctico sólo en ca- sos donde se conoce la función en forma continua. Estos métodos no funcionan para datos tabulares. V.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES En el cuadro V.4 se resume la información más importante analizada en la parte V. Este cuadro se puede consultar para tener un rápido accesoa las relaciones y fórmulas de mayor importancia. V.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES Aunque se han analizado varios métodos numéricos, existen otros más que tienen utilidad en la práctica de la ingeniería. Por ejemplo, la in- tegración adaptiva de Sirnpson se basa en la división del intervalo de integración en una serie de subintervalos de ancho h. En seguida se usa la regla de Simpson de 1/3para evaluar la integral en cada su- bintervalo, partiendo el tamaño de paso de maneraiterativa, es de- cir, con un tamaño de paso h, h/2, h/4, h/8, etc. Las iteraciones se continúan para cada uno de los subintervalos hasta que una aproxi- mación con error calculado E, [Ec. (3.5)]cae dentro de un criterio de paro antes especificado E,. La integral total se calcula como la suma- toria de las aproximaciones a la integral evaluadas en cada subinter- valo. Este método se usa, especialmente, en funciones complicadas que tienen regiones con variaciqnes de baio y alto orden. El análisis de la integraciónadaptiva se encuentra en Gerald y Wheatley (1 984) y Rice (1983). Otro método para la obtención de integrales esel de ajustar polino- rnios cúbicos segrnentarios a los datos. La ecuación cúbica resultante se puede integrar fácilmente (Forshyteet al., 1977).Finalmente,aparte de las fórmulas de Gauss-Legendre analizadas en la sección 14.2,exis- te una variedad de fórmulas de cuadratura. En Carnahan, Luther y
- 523. 512 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS x I x h x' x v +h x'v x m C - x x 3 S I C 9 y U -2N t N l! x Y - x' i; x t U e,
- 524. EPíLOGO PARTE V 513 Wilkes (1 969) y Ralston y Rabinowitz (1 978) se resumen algunas de estas formulaciones. En resumen, lo anterior tiene la finalidad de proporcionar caminos para exploraciones más a fondo sobre el tema. Además, todas las referencias anterioresproporcionan descripciones de los métodos bá- sicos cubiertosen la parte V. Sele sugiere al lectorconsultar estas fuentes alternativas de información para profundizar en los métodos numéricosde integración.
- 527. 516 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS d2x dX dt dt m - + C" + k x = O [VI.21 en donde c es un coeficiente de amortiguamiento y k es la constante delresorte. Demanera similar, una ecuaciónde n-ésimo orden in- cluiría una n-ésima derivada. Las ecuaciones de orden superior se pueden reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden. Para la ecuación (V1.2)) estose lleva a cabo definiendo una nueva variable y donde dx Y = % que se puede derivar y obtener dy d2x-"- df dt2 [V1.3] [V1.4] Las ecuaciones (V1.3) y (V1.4) se pueden sustituir en la ecuación(V1.2) y obtener m- + cy + &x = odY dt O dy cy + kx"-- dt m [VIS] [V1.6] Por lo tanto, las ecuaciones (V1.3) y (V1.6) son un par de ecuaciones de primer orden que son equivalentes a la ecuación original de se- gundo orden. Debido a queotras ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden se pueden reducir de lamisma manera, esta parte del libro se enfoca a la solución de ecuaciones de primer orden. Algunos de los casos de estudio del capítulo 18 tratan con la solución de E D 0 de se- gundo ordenreduciéndolas a un par deecuaciones de primer orden. VI. 1.1. Métodos anteriores al uso de computadoras en la solución d e ED0 Antes de la era de la computación, las E D 0 se resolvían por lo co- mún, con métodos de integración analítica. Por eiemolo, la ecuacion (VI.l) se puede multiplicar por dt e integrarse para obtener [V1.7]
- 528. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 517 AI lado derecho de esta ecuación se le llama integralindefinida debi- do a que los límites de integración no están definidos. Esto contrasta con las integrales definidasanalizadas previamente enla parteV [com- párese la Ec. (V1.7)con laEc. (VS)]. Se obtiene una solución analítica de la ecuación (V1.7)si la integral indefinida se puede evaluar exactamente en forma de una ecuación. Por ejemplo, recuérdese que para el problema del paracaidista la ecuación (VI.7)se resuelve analíticamente mediantela ecuación (1.9) (suponiendo que v = O en t = O): FIGURA VI.l Péndulo oscilador. [V1.8] La mecánica de derivación de talessolucionesanalíticas se analiza en la sección V1.2. En este momento, lo importante es que, como en el caso de la integral definida, la evaluación analítica de las integra- les indefinidas, en general depende del conocimientoprevio de la res- puesta. Desafortunadamente,las soluciones exactasde muchas EDOsde importancia práctica no existen. Como sucedeen la mayor parte de las Gtuacionesanalizadas en otras partes de este libro, los métodos numéricos ofrecen la única alternativa viable enestos casos. De- bido a que estos métodos numéricos, por lo común, requieren de computadora, los ingenieros de la era anterior al uso de las mismas se veían limitados enel alcance de sus investigaciones. Un método muy importante que los ingenieros y matemáticos desa- rrollaron para evitar este dilema fueel de linealización. Una ecua- ción diferencial ordinaria es aquella que se ajusta alaforma a,(x)y'"' + . . . + a1(x)y' + uo(x)y = +(x) [V1.9] en donde y(")es la n-ésima derivada de y con respecto a x y las a y las f son funciones específicas de x. A esta ecuación se le llama li- neal ya que no hay productos o funciones no lineales de la variable dependiente y de sus derivadas. La importancia práctica de las ED0 lineales es que se pueden resolver analíticamente.En contraste,la ma- yor parte de las ecuaciones no linealesno se pueden resolver exacta- mente. Porlo tanto en la épocaanterior al uso de computadoras, una táctica para resolver las ecuaciones no lineales fue la de linealizar- las. Un ejemplo simple de la aplicación de ED0 es el predecir el mo- vimientodel péndulo oscilante (Fig. VI.1). De manera similar ala derivación del problema del paracaidista, se puede usar la segunda ley de Newton para desarrollar la siguiente ecuación diferencial (véase el caso 18.5 para la derivación completa: d28 g -+-sen0 = O dt2 I CVl.1O]
- 529. 518 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS donde e es el ángulo dedesplazamiento del péndulo,g es la acelera- ción gravitacional y I es la longitud del péndulo. Esta ecuación no es lineal ya que contiene el término sen 8 . Una manera deobtener una solución analítica es la de considerar pequeños desplazamientos del péndulo a partir del equilibrio (estoes, para valores pequeños de6 ), sen 8 = 8 [VI.11] Por lo tanto, si se supone que sólo estamos interesados en los casos donde O sea pequeña, entonces la ecuación (VI.11) se puede sustituir en la ecuación (VI.1O) para obtener [V1.12] De esta manera se ha transformado la ecuación (VI.1 O) en una for- ma linealfácil de resolveranalíticamente. Aunque la linealización sigue siendo una herramienta muy útil en la solución de problemas de ingeniería,existen casos donde no se pue- de usar. Por ejemplo, supóngase queestamos interesados en estudiar el comportamiento del péndulo para grandes desplazamientos a partir del punto de equilibrio. En estos casos, los métodos numéricos ofre- cen una opción viable en la obtención de soluciones. Actualmente, la amplia disponibilidad de computadoras coloca esta opción al al- cance de todos los ingenieros. Vi.1.2 Las ED0 en la prácticadelaingeniería Las leyes fundamentales de la física, la mecánica, laelectricidad y la termodinámica se basan en general en observaciones empíricas que explican la variación delas propiedades físicas y estados de los siste- mas. En lugar de describir el estadode los sistemas físicos directamente, las leyes se expresan en cambios del tiempo y del espacio. En el cuadro VI.l se muestranvarios ejemplos. Estas leyes definen me- canismos de cambio. Cuandoéstas se combinan conlas leyes de con- tinuidad ¿e la energía, de mesa o de momento, se generan ecuaciones diferenciales. La integraciónsubsecuente de estas ecuaciones diferen- ciales genera funciones matemáticas que describen el estado espacial y temporal de un sistema en términos variacionales de la energía, de la masa y de la velocidad. El problema del paracaidista introducido en el capítulo 1 es un ejem- plo de la derivación de una ecuación diferencial ordinaria apartir de una ley fundamental. Recuérdese que la segunda ley de Newton se usa en el desarrollo de una E D 0 que describe el cumbic propor-
- 530. CUADRO VI. 1 v1.2 Ejemplos de lasleyes fundamentales escritas en terminos del promedio de cambiode las variables (t = tiempo y x = posición) Ley Expresión matemática Segunda ley de dv f Newton del movimiento dt m - = - Ley del calor de Flujo de calor = k- aT Fourier ax Ley de difusión Flujo de masa = 4- ac axde Fick Ley de Farafay (describe la caída del Caída de voltaje = L- di voltaje a través de un dt conductor) Conservación de Acumulación = V-- dc la masa dt Variables y parámetros Velocidad (v ), fuerza (F) y masa (m) Conductividad térmica (k) y temperatura (T) Coeficiente de difusión (D) y concentración (c) lnductancia (I)y corriente (i) Volumen (V) y concentración (c) ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 519 "I*_ .c. ~ ... cional de la velocidad de caída del paracaidista. Integrando esta re- lación se obtiene una ecuación que predice la velocidad de caída en función del tiempo. Esta ecuación puede usarse de diferentes mane- ras, incluyendo propósitos de diseño. De hecho, estas relaciones matemáticas sonla base de la solución de un gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como se describe en la sección anterior, muchas de las ecuacionesdiferencia- les de significancia práctica no se pueden resolver usando métodos analíticos delcálculo. Por lo tanto, los métodos analizados en los ca- pítulos siguientes son sumamente importantes entodos los campos de la ingeniería. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una funciónes- pecífica de la variable independiente y de sus parametros que satis- facen la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, se tiene la siguientefunción y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ 1 [V1.13] la cual esun polinomio de cuarto orden (Fig. V1.20). Ahora, si se de- riva la ecuación (VI.13), se obtiene la EDO:
- 531. 520 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA V1.2 Gráfica de a) y contra x y b) dy/dx contra x de la función y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ l. ” dx d~- - 2 x 3 + 12x2 - 2oX + 8.5 [VI.141 Esta ecuación también describe el comportamiento del polinomio pe- ro de manera diferente que la ecuación (Vl.13). En vez de represen- tar explícitamente los valores de y para cada uno de los valores de x, la ecuación (VI.14) proporciona la relación de! cambio de y res- pecto a x(esto es, lapendiente) para cada valor de x. En la figura V1.2 se muestran la función y su derivada graficadas contra x. Nóte- se que los valores cero de la derivada corresponden aun punto don- de la función original es plana, estoes, tiene una pendiente cero. También, los valores absolutos máximos alcanzados delas derivadas son los extremos delintervalo en donde las pendientes de una fun- ción son mayores. Aunque, como yase ha demostrado,se puede de- terminar una ecuación diferencial dada la función original, el objetivo
- 532. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521 aquí es el de determinar la función original dada laecuación diferen- cial. La función original representa entonces la solución. En este caso se puede determinar la solución enforma analítica, integrando la ecua- ción (VI. 14): y = [-2x3 + 1 2x2 - 2Ox + 8.51 dx I Aplicando las reglas de integración(recuérdese el cuadro V.l) AI resolver cada término de la ecuación se obtiene la solución: y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ C [VI.15] que es idéntica a la función original con una notable excepción. En el acto de derivacióne integración, se pierde el valor de la constante 1 en la ecuación original y se gana el valor C. Esta C es conocida con el nombre de constante de integración. El hecho de que aparez- ca una constante indica que la solución no es única. De hecho, ésta es sólo una de un número infinito de funciones posibles (correspon- dientes a un número infinito de valores posibles para C)que satisfa- cen a la ecuación diferencial. Por ejemplo, en la figura V1.3 se muestran seis posibles funciones que satisfacen la ecuación (V1.14). FIGURA V1.3 Seis soluciones posibles de laintegral de -2x3 + 12x2 - 2Ox + 8.5. Cada uno tiene un valor diferente de la constante de integración c. ""I.. .- . ."... ..~
- 533. 522 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS VI.3 Por lo tanto, para especificar la solución completamente, una ecua- ción diferencial se acompaña decondiciones auxiliares. Para EDOs de primer orden, a un tipo de condición auxiliar sele llama valor inicial y es necesaria para determinar la constante y obtener una solución única. Por ejemplo, la ecuación (VI.14)puede ir acompañada de una condición inicial en que x = O, y = l . Estos valores se sustituyen en la ecuación (VI.15): 1 = -0.5(0)4+ 4(0)3- 10(0)2+ 8.5(0) + C [VI.161 para determinar C = l. Por lo tanto, la solución única que satisface a la ecuacióndiferencial y a la condicióninicial especificada se obtie- ne sustituyendo C = 1 en laecuación ('41.15) para obtener y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ 1 [VI.17] De esta manera, se ha considerado en la ecuación (VI.15) que pasa a través de la condición inicial, al hacerlo, se ha obtenido una solu- ción única para laE D 0 y se ha completado el círculo hasta la función inicial [ecuación (VI.13)]. Las condiciones iniciales por lo común tienen interpretacicpes muy tan- gibles en ecuaciones diferenciales de problemasfísicos. Por ejemplo, en el problema del paracaidista la condicióninicial fue reflectiva del hecho físico de que en un tiempo cero la velocidad vertical fue cero. Si el paracaidista hubieraestado en movimientovertical en el momento cero, la solución se habría modificado para tomar en consideración esta velocidad inicial. Cuando se trata con ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden se re- quieren de n condiciones para obtener una solución única. Si todas las condiciones se especifican en el mismo valor de la variable inde- pendiente (por ejemplo, en x o t = O), entonces al problemase le co- noce como problema¿e valor inicial. Esto contrasta con los problemas de valor en la frontera en donde las especificacionesde las condiciones ocurren en valores diferentes de la variable independiente. Los capítu- los 16 y 17se enfocan a problemas con valores iniciales. Los problemas con valores en la frontera se mencionan al final del capítulo 16. Antes de continuar con los métodos numéricos en la solución de ecua- ciones diferenciales ordinarios, puederesultar otil una orientación.El material siguiente tiene lafinalidaddeproporcionaruna visión general de los temas analizados en la parte VI. Además, se han for-
- 534. ECUACIONES DIFERENCIALES 523 mulado objetivos para orientar al lectorenelestudiode los temas de esta área. V1.3.1 Alcances y avances En la figura V1.4 se muestra una visi6n general de la parte VI. Dos categorías importantes de los métodos numéricosse analizan en esta FIGURA V1.4 Representación esquemática de la organización del material de la parte VI: ecuaciones diferenciales ordinarias. _I,.. . .
- 535. 524 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS parte del libro. Los métodos de un paso, cubiertos en el capítulo 16, permiten al cálculo de y;lh 1, dada la ecuación diferencial y y;. Los mé- todos de pasos múltiples, cubiertos en el capítulo 17, requieren valo- res adicionales de y además de los dados para i. En todo, con algunas excepciones menores, los métodos de un paso del capitulo 76 pertenecen a los métodos de Runge-Kutta. Aunque el capítulo esté organizado alrededor de este concepto teórico, se ha optado por abordar el tema demanera más gráfica. Por lo tanto, el capítulo empieza con el método de Euler que tiene una interpreta- ción gráfica muy clara. Después, se usan argumentos orientados ha- cia lo visual para desarrollardos versiones meioradas del método de Euler: el método de Heun y el método del polígono mejorado.En se- guida deesta introducción, se desarrolla formalmente el concepto de los métodos de Runge-Kutta (o RK) y se demuestra como los métodos anteriores son métodos RK de primer y segundo grado. A esto le si- gue un análisis de laformulación RK de orden superior que se usa frecuentemente en la solución de problemas de ingeniería.El capítu- lo termina con secciones sobredosaplicaciones de los métodos de un paso: sistemas de € D Oy la solución de problemas con valores en la frontera usando métodos de disparo. €1 capitulo 7 7 se dedica a los métodos de pasos múltiples que algunas veces son mas difíciles de programar en una computadora pero que alcanzan exactitudes comparables a los métodos de un paso ycon menor esfuerzo. Otra vez, al comienzo se enfoca el tema en forma visual usando un método simple; el método de Heun sin principio, pa- ra introducir todos los rasgos esenciales de los métodos de pasos múl- tiples. En seguida se entra en un análisis de las fórmulas de integración numérica que sonel corazón de los métodos de pasos múltiples. A esto le sigue una sección sobre las versiones de orden superior, inclu- yendo dos esquemas comunes, el método de Milne yel método de cuar- to orden de Adams. En el capítulo 78 se desarrollan casos para todos los campos de la ingeniería. Finalmente, se incluye una sección de repaso al término de la parteVI. Este epilog0 resume y compara las fórmulas importan- tes y los conceptos relacionados con las EDO. Esta comparación in- cluye un análisis de los elementos de juicio importantes para su implementación en la práctica de la ingeniería. El epílogo resume tam- bién las fbrmulas importantes e incluye referencias adicionales sobre temas avanzados. Se suministra información de cómputo automático de diferentes ma- neras. Primero, está disponible el paquete NUMERICOMP para el mé- todode Euler conlaopciónbasede usarse en l a s computadoras
- 536. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 525 IBM-PC y Apple I I . En forma alterna se da directamente eneltexto el programa parael método de Euler en ambos lenguajes FORTRAN y BASIC. Esto posibilita copiar el programa e implementarlo en la com- putadora o en una supercomputadora. Se proporcionan también los diagramas deflujo y algoritmos de los programas para computadora de la mayor parte delos métodos descritos en el texto. Esta informa- ción, combinadacon los programas propios bien escritos y documen- tados en cualquier lenguaje, proporcionan herramientasaplicables a un gran número de problemas de ingeniería. V1.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte VI, el lector debe de aumentar sus habilidades para confrontar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Las metas de estudio generales deben incluir el dominio de los métodos, tener la capacidad de valorar laconfiabi- lidad de las respuestas, y ser capaz de escoger "el mejor" método (o métodos) de cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, se deben dominar los objetivos específicos de es- tudiodel cuadro V1.2. Objefivos de cómputo. Se debe estar bien equipado con un paquete que incluya programas simples para la computadora, algoritmos, y diagramas de flujo que implementenlos métodos analizados en la parte VI. Todos éstos tienen utilidad como herramientas de apredizaje. El paquete de programas para computadoras personales NUMERI- COMP, que utiliza el método de Euler, es legible al usuario. La solu- ción se puede mostrar ya sea en forma gráfica o en forma tabular. La salida gráfica posibilita visualizar fácilmente el problema y su so- lución. Se puede estudiar la eficiencia del método probando varios tamaños de paso. El paquete es muy fácil de implementar y puede ser usado para verificar los resultados de cualquier programa de com- putadora desarrollado por el lector. Alternativamente, los programas del método de Euler escritos en los lenguajes FORTRANy BASIC se suministran directamente en el texto. Además, se proporcionan los algoritmos y los diagramas de flujo pa- ra la mayor parte delos otros métodos anulizados en la parte VI. Es- ta informaciónpermitirá expander la biblioteca deprogramas del lector, incluyendo métodos que vayan más allá del método de Euler. Por ejemplo, puede ser de muchautilidaddesde un punto de vista profesional, el tener un paquete de programas queemplee los méto- dos de cuarto orden deRunge-Kutta o el método de Adams.También se puede desarrollar un paquete de programas que solucione siste- mas de ecuacionesdiferenciales ordinarias.
- 537. 526 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO V1.2 Bbietivos de estudios específicos de la parte VI 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1o. 11. 12. 13. 14. Ehtender la representación visual de los métodos de Euler, Heun y el polígono meiorado. Conocer la relación del método de Euler con la expansión en serie de Taylor y que su conocimiento está relacionado con el error del método. Entender la diferencia entre los errores de truncamiento locales y globules y cómo se relacionan con la selección de un método numérico en particular para la solución de un problema. Conocer el orden y la dependencia de los tamaños de paso de los errores de truncamiento para todos los métodos descritos en la parte VI; comprender cómo estos errores influyen en la exactitud de los métodos. Entender la base de los métodos predictor-corrector. Comprender en particular que la eficiencia del corrector es altamente dependiente de la exactitud del predictor. Conocer la forma general de los métodos de Runge-Kutta. Entender la derivación del método de RK de segundo orden y cbmo estese relaciona con la expansión en serie de Taylor; reconocer que existe un número infinito de posibles versiones para los métodos RK de orden superior. Saber aplicar cualquiera de los métodos RK a sistemas de ecuaciones; ser capaz de reducir una ED0 de n-ésimo orden a unsistema de n E D 0 de primer orden. Entender la diferencia entre problemas de valor inicial y con valores a la frontera; ser capaz de implementar el método de disparo en problemas con valores a la frontera. Conocer la diferencia entre los métodos de pasos múltiples y de un solo paso; reconocer que todos los métodos de pasos múltiples son predictor- corrector pero que no todos los métodos predictor-corrector son de pasos múltiples. Entender la importancia de los modificadores en los algoritmos de pasos multiples. Entender la conexión entre las fórmulas de integración y los métodos predictor-corrector. Conocer la diferencia fundamental entre los métodos de integración de Newton-Cotes y de Adams. Entender la conexión entre los modificadores y el ajuste en el tamaño de paso; reconocer el tipo de contexto de un problema donde el ajuste de tamaño de paso es importante. Comprender el hecho de que el método de Milne es inestable y reconocer por qué posee dificultades en ciertos tipos de problemas.
- 538. C A P í T U L O D I E C I S É I S MÉTODOS DE UN PASO Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones diferencialesor- dinariasdelaforma Enel capítulo 1 se usa un métodonuméricopararesolverelproblema del paracaidista.Recuérdese que la ecuación usada enla solución de es- teproblemafuede laforma general [Ec. (1.13)] Valoractual = valoranterior + pendiente X tamaño delpaso o, en términosmatemáticos FIGURA 16.1 Esquema gráfico del método de un paso.
- 539. 528 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 16.1 Y i t l = Y¡+ 4h [16.1] De acuerdoa esta ecuación,se usa la aproximación a la pendiente 4 pa- ra extrapolar a partir de un valor anterior y, a un valor actual y,, l en una distancia h (Fig. 16.1).Esta fórmula se aplica paso a paso para calcular una solución futura y, de aquí, trazar la trayectoria de la solución. Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma ge- neral, con la única diferencia en el cálculo de la pendiente. Como en el problema del paracaidista, el esquema simple como la primera derivada de xi. Este esquema, llamado método de Euler, se analiza en la primera parte de estecapítulo. A este le siguen otros métodos de un paso que emplean aproximaciones alternativas ala pendiente que dan comoresul- tado mejoresaproximaciones. MÉTODO DE EULER La primera derivada proporciona una aproximación directaa la pendien- teen xi (Fig. 16.2): 4 = f h ,Y¡) donde f (xt,y,) es la ecuación diferencial evaluada en x,y y,. Esta apro- ximación se sustituye en la ecuación (16.1): [16.2] A estafórmula se le conoce como método de Euler (o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original x) paraextrapolarlinealmentesobre el tamaño de paso h (Fig. 16.2). FIGURA 16.2 Método de Euler. ~ -
- 540. MÉTODOS DE PASO 529 EJEMPLO 16.1 Método de Euler Enunciado del problema:utilícese el métododeEulerparaintegrar nu- méricamente la ecuación (VI.14). y) = -2x3 + u X 2 - 20x + 8.5 de x = O hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. Lacondición ini- cialen x = O es y = 1.Recuérdese que la solución exacta está dada porla ecuación (VI.17): y = - 0 . 5 ~ ~+ 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~+ 1 Solución: se puede usarla ecuación (16.2)para implementar el método deEuler: ~ ( 0 . 5 )= y(0) + f(0, 1) 0.5 en donde y(0) = 1 y la aproximación a la pendienteen x = O es: f ( 0 ,1) = + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5 Por lo tanto: y(0.5) = 1.0 + 8.5 (0.5)= 5.25 La soluciónverdaderaen K = 0.5 es: ~ ( 0 . 5 ) -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - lO(O.5)' + 8.5(0.5) + 1 = 3.21875 Por lo tanto, elerror es: E, = verdadero - aproximadQ = 3.21875 - 5.25 = -2.031 25 gundo paso: O , expresado como errorrelativo porcentual, E, = -63.1 % . enel se- y(1.0)= y(O.5) + f(0.5,5.25) 0.5 = 5.25 + [ ~ - 2 ( 0 . 5 ) ~+ lZ(O.5)' - 20(0.5) + 8.530.5 = 5.875 .I "_ -..
- 541. 530 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS CUADRO 16.1 Comparación delos valores verdaderos y aproximados de la inte- gral de y' = 2x3 + 12x2-2Ox + 8.5, con la condicióninicialde que y 1 enx O. Los valores presentadosse calcularon usandoel mé- todo de Euler conuntamañode paso de0.5. El error localse refiere al error obtenido en un paso. El error globales IQdiferencia total debido a los pasos anteriores así como al actual e,, error relativoDoreentual X Yverdadero 0.0 1 .O00O0 0.5 3.218 75 1 .o 3.000 OG 1.5 2.218 75 2.0 2.000 O0 2.52.718 75 3.0 4.000 O0 3.5 4.718 75 ~ 4.0 3.000O0 __ YEuler 1 .O00O0 5.250 O0 5.875 O0 5.125 O0 4.500 O0 4.750 O0 5.875 O0 7.125 O0 7.000 O0 Global local -63.1 -63.1 -95.8 -28.0 "131.O -1.41 -1 25.0 20.5 -75.7 17.3 -46.9 4.0 -5 1 .O -1 1.3 -1 33.0 -53.0 FIGURA 16.3 Comparaciónde la solución verdadera con una solución numérica usando el método de Euler para la integral de y' = -í!x3 + 12x2 -2Ox + 8.5 de x = O a x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = O es y = l . La solución verdadera en x = 4.0 es 3.0, y por lo tanto el error relativo porcentuales -95.8%. Los cálculos se repiten, los resultados se resu- menenel cuadro 16.1 y enlafigura 16.3. Obsérvese que, aunque los
- 542. MÉTODOS DE UN PASO 531 cálculos capturan la tendencia general de la solución verdadera, el error es considerable. Como se analizaenlasiguiente sección, esteerror se puedereducirusando un tamaño depaso menor. 16.1.1 Análisis deerror enel métodode Euler Lasoluciónnuméricade ED0 incluyedostiposdeerror (recuérdesela sección 3.6): 1. Erroresdetruncamiento causados porlanaturalezade los métodos empleados enla aproximación a los valoresde y, y 2. Erroresde redondeo causadosporelnúmerolimitado de dígitos o decifrassignificativasquepuederetenerlacomputadora. Los errores de truncamientose componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resultaal aplicar elmétodo en cues- tiónen un paso. El segundo es un error de programación que resulta de las aproximaciónesproducidasdurante los pasosanteriores.Lasuma delosdoseselerrordetruncamientoglobal. El conocimientode lamagnitud y propiedadesdelerror de trun- camiento se puede obtener derivando el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Con el fin de hacer esto recuérde- se que la ecuacióndiferencialque se estáintegrandoserá de la forma general. Y' = f k Y) [16.3] donde y' = dy/dx y x e y son las variables independiente y dependien- te, respectivamente. Sila solución, estoes, la función que describe elcom- portamientode y tienederivadas continuas, ésta se puederepresentar mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto inicial (xl,yi),como en [recuérdese la Ec. (3.14)]: donde h = x,, - x, y R, es eltérminoresidualdefinido como [16.4] r16.51
- 543. 532 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS donde <;.estádentro delintervalode x; a xi+ Se puededesarrollaruna forma alternativa sustituyendo la ecuación (16.3)enlas ecuaciones (16.4) y (16.5)y obtener. [16.6] en donde O (h"+')especifica que elerror de truncamiento local es pro- porcional al tamaño de paso elevado a la (n + 1)-ésima potencia. Comparandolas ecuaciones (16.2)y (16.6),puede verse que el mé- todo de Euler correspondea la serie de Taylor truncada hastael término f (xi,yi) h. Adicionalmente, la comparaciónindicaqueelerrorde trun- camiento se debe a que se aproxima la soluciónverdaderausandouna cantidad finita de términos de la serie de Taylor. Por lo tanto, se trunca o se deja fuera una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento enel método de Euleresatribuible a los términos res- tantes de la expansión que no se incluyenenla ecuación (16.2).Restan- dola ecuación (16.2) de la ecuación (16.6)se obtiene [16.71 donde € , e sel error de truncamiento local. Para una h lo suficientemen- te pequeña, loserrores en los términosde la ecuación (16.7)decrecen por lo común a medidaqueelorden crece (recuérdeseel ejemplo 3.7 y elanálisisquelo acompaña), y el resultado, a menudo, serepresenta como O E, = O(h2) [16.8] [16.9] donde E, es el error de.truncamiento local aproximado. EJEMPLO 16.2 Aproximación del error en el método de Euler usando la serie de Taylor. Enunciadodelproblema:utilíceselaecuación (16.7) paraaproximarel error del primer paso del ejemplo 16.1. Úsesetambién la ecuación para
- 544. METODOS DE UN PASO 533 determinar el error ocasionado porcadaunodelostérminosdeorden superior de la expansiónde la serie de Taylor. Solución: debidoa que se trata de un polinomio, se puede usarla expan- sión de la serie de Taylor para obtener una aproximaciónexacta del error usando el método de Euler. La ecuación (16.7)se puede escribir como: rE16.2.11 en donde !’(x,, y,) es laprimeraderivadadela ecuacióndiferencial (es decir, la segundaderivada de lafunción original).Paraeste caso, es: f‘(xi, yi) = - 6 ~ ’ + 2 4 ~- 20 [E16.2.2] y f “ (xi,y) es la segundaderivada de la E D 0 ff’(xi,yi) = - 1 2 ~+ 24 [E16.2.3] y f”’ (xi,yi) es la tercera derivada de la ED0 f”’(Xi, y¡) = -12 rE16.2.41 Se puedenomitir los términosadicionales (esto es, lasderivadascuarta y deordensuperior) de la ecuación (E16.2.1) ya que en este caso en particular son cero. Se debe notar que en otras funciones (porejemplo), las funciones trascendentes tales como seno, coseno o exponenciales) esto no es necesariamente cierto, y los términos de ordensuperiornovalen cero. Sin embargo, en este caso, las ecuaciones (E16.2.1) hasta la (E16.2.4)definen completamente el errordetruncamientodeunaapli- cacióndelmétododeEuler. Por ejemplo, el error debidoal truncamiento del segundo término se puedecalcular como: -6(0.0)’ + 24(0.0) - 20 2 E u 2 = (0.5)2= -2.5 Para el términodetercerorden -12(0.0) + 24 6 Eu3 = (0.5)3= 0.5 y para el términodecuarto orden: -12 24 Eu4 = -(0.5)4= -0.031 25
- 545. 534 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Estos tres valores se pueden sumar para obtenerel error total de trunca- miento: E, E,,z + Eu,3+ Eu,4 = -2.5 + 0.5 - 0.031 25 = -2.031 25 que esexactamente el error incurrido en el paso inicial delejemplo 16.1. Obsérvese cómo .E,,* > E,,3> E,,4,que apoya la aproximación repre- sentada por la ecuación (16.8). I Como se puedever en el ejemplo 16.2, la serie de Taylor es un me- dio para cuantificar el error en el método de Euler. Sin embargo, existen muchas limitaciones asociadas con su uso para este propósito: 1. La serie de Taylor sólo proporciona una aproximación local del error de truncamiento, es decir, el error generado durante el primer paso del método. No proporciona una medida de la propagación y, por ello, el error global de truncamiento. En el cuadro 16.1se han inclui- do los errores de truncamiento locales y globales del ejemplo 16.1. El error local se calcula para cada unode los valores de x con la ecua- ción (16.2),pero usando el valor verdadero de y, (la segunda columna del cuadropara calcular cada una de las en lugar del valor aproxi- mado (la tercera columna), como se hizo con el método de Euler. Como era de esperarse,el promedio local del error de truncamiento (25%) esmenor al error global promedio (90%).La única razón por la que se podrían calcular estos errores exactamentesería la de cono- cer a priori el valorverdadero. Este no es el caso enun problema como el actual. Por consiguiente, como se analiza anteriormente, por lo co- mún se deben aplicar los métodos tales como el Euler utilizando un tamaño de paso diferente hasta obtener una aproximación indirecta de los errores considerados. 2. Como se menciona anteriormente, en problemas verdaderos, usualmente se trata con funciones más complicadas que un simple polinomio. Por consiguiente, las derivadas necesarias para evaluar la serie de Taylor no siempre son fáciles de obtener. Aunque estas limitaciones no ayudan enel análisis exacto de errores en la mayor parte de los problemas prácticos, la serie de Taylor propor- ciona una idea valiosa delcomportamiento del método deEuler. Deacuer- do a la ecuación (16.8),se ve que el error locales proporcionalal cuadrado del tamatio de paso y la primera derivada de la ecuación diferencial.Tam- bién se puede demostrar que el error global de truncamiento es O ( h ) ; esto significa que es proporcional al tamaño del paso (Carnahan et al., 1969).Estas observaciones llevan a las siguientes conclusiones:
- 546. MhODOS DE UN PASO 535 1. Elerrorsepuedereducirdisminuyendoeltamañodel paso. 2. El método proporciona predicciones libres de error si la función fun- damental (estoes, lasolución a la ecuacióndiferencial)eslineal, ya quelasegundaderivadadeunalínearectaes cero. Estaúltimaconclusióntienesentidointuitivodebido a queelmétodo deEulerusasegmentosdelínearectaparaaproximarlasolución.De aquí que, elmétododeEulerseconozcacomo métodode primer orden. EJEMPLO 16.3 Efecto de la reducción del tamaño de pasoenelmétodo de Euler Enunciado del problema: repítanselos cálculos del ejemplo 16.1 usando un tamañodepasoigual a 0.25. Solución: serepiten los cálculos, y los resultados se muestran en la figura . 16.4a. AI utilizar el tamaño de paso más pequeño,se reduce el valor ab- soluto del error global promedio en un 40% y el valor absoluto del error localen un 6.4%. Esto es comparable con los erroresglobales y locales del ejemplo 16.1 del 90% y.del24.8%. Por lo tanto, como era deespe- rarse, el error local se reduce a la cuarta parte y el error global se reduce a lamitad. Obsérvese también que el error local cambia de signo en valoresin- termedios a lo largo del rango de valores. Esto se debe, en primer lugar, a que la primer derivada de la ecuación diferencial es una par6bola que cambia de signo [recuérdese la Ec. (E16.2.2) y véase laFig. 16.4bl. De- bido aque elerrorlocalesproporcional aestafunción, el efectoneto de la oscilación en el signoes el de mantener el error global en crecimien- tocontinuo a medidaqueaumentanloscálculos.Por lo tanto, de x = O a x = 1.25, los errores locales son todos negativos y por consiguiente, el error globalcrece en este intervalo.Enla sección intermedia delrango, los erroreslocalespositivosempiezan a disminuirelerrorglobal.Cerca del extremo, el proceso se invierte y elerror global nuevamente crece. Sielerrorlocalcambiaracontinuamentedesignosobreelintervalo de interés, entonces el efecto neto, por lo general, minimizaría el error glo- bal. No obstante, endonde los erroreslocalessondelmismosigno,la solución numérica puede diverger cada vez más rápido dela solución ver- dadera a medida que los cálculos aumentan. Estos resultados se dice que son inestables.
- 547. 536 M~TODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 16.4 a)Comparación de dossolucionesnuméricas con el método de Euler usando tamaños de paso de0.5 y 0.25 b)Comparación delos erro- res de truncamiento locales verdaderos y aproximados. Enlafigura 16.5 se ilustrael efecto de reducir más y másel tamaño del paso sobre el error de truncamiento global con el método de Euler. Esta gráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 enfuncióndel tamaño del paso sobre los problemas que se han analizado en los ejem- plos 16.1 al 16.3. Nótese que aun cuando h se ha reducido a 0.001,el error aún excede al O.1W . Debido a que este tamaño de pasocorrespon- de a 5 O00 iteraciones quevan desde x = O hasta x = 5, la gráfica mues- traquelosmétodosdeprimerordentales como eldeEuler demandan un gran esfuerzo de cálculo para obtener niveles de error aceptabies. En las siguientes secciones se muestran métodos de órdenes superiores que alcanzan mucha más exactitud con el mismo esfuerzo de cálculo. Sin em- bargo, se debe notar que a pesar de su ineficiencia,la simplicidad del mé-
- 548. METODOS DE UN PASO 537 FIGURA 16.5 Efecto del tamaño depaso sobre el errorglobalde truncamiento enel método de Euler para la integral de y' = 2x3 + 1 2 2 -20x + 8.5. La gráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 en función del ta- maño de paso. todo deEuler hace muy atractivo suuso dn muchosproblemasde la ingeniería. Debido a que es muy fácil de programar, el método es parti- cularmenteútil en cálculos iniciales rápidos, previosa un análisisde esca- la completa. Enla siguiente sección,se desarrolla un programapara computadorasobre el métododeEuler. 16.1.2 Programa paracomputadora delmétodo de Euler Los algoritmos de métodosde un paso tales como el de Euler son fáciles de programar en una computadora personal.Como se menciona previa- mente alprincipiodel capítulo, los métodos de un paso tienen la forma: Valoractual = valoranterior + pendiente X tamaño del paso [16.101 En lo Único que se diferencian los métodos es enla forma en que calcu- lanla pendiente. Aunque el programa de la figura 16.6 está disenado específicamente para implementar el método de Euler, vadirigido a laforma general de
- 549. 538 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS COMMOH x . Y F( X , Y )-4*EXP< ~ 8bX )- R E A D ( 5 , l )XO.X1 1 FORUaT( 2F1 O . O ) 2 F O R M l T ( F 1 0 . 0 ) READ<S , 2 )YO READ( S , 2 )n NC-PI/H REIID( S , 2 )PI NP-<Xl-XO>/PI x-x0 Y R I T E ( 6 , 3 ) X , Y Y-YO 3 FORMfIT < ’’.2F20.3) DO 270 I - l . N P DO 250 J-1,NC C A L L EUL~SL) Y - w s L w x-x+n 250 CONTINUE U R I T E < 6 , 3 ) X , Y 270 CONTINU€ STOP €NO INPUT K O . X 1 X I - .S * Y INPUTH INPUT YO NP = ( X I - X O ) / PI INPUT P i NC = P I / H x = x c:, Y = Y0 PRINT X , Y FhR I = 1 TUNP FDSIJU l0OC:l FUR J = 1 ro NC X = X + H f = I + S L * H NEXT J P R I N l X . V NEXT I ENIl X 0 . X l = valor lnclal y flnal de la vanablemdependlente YO = valor lniclal dela varlable dependlente H = tamaño del paso PI = Intervalo de mpreslán NP = numero de pasos de Irnpreslón NC = numero de Dasosdecalculo ISubrutlnaparacalcular la pendlentel RETURN EN0 FIGURA 16.6 Programaparalacomputadora del método de Euler en FORTRAN y BASIC. la ecuación (16.10).Todo lo que serequiere para aplicar este programa a otro método de un paso es modificar el cálculo de la pendiente en la subrutina (línea 1000). El progama de la figura 16.6 no eslegible al usuario, está diseñado estrictamente para arrojar la respuesta. En el problema 16.12 se deja de tarea el hacer este programa más fácil de usar y de entender. Enel pa- quete suplementario de programas NUMERICOMP asociado con este li- bro se incluye un ejemplo de un programa legible al usuariosobre el método de Euler. El siguiente ejemplo demuestra el uso de este programa en la solución de EDO. También proporciona una referencia para la validación y la prueba de sus programas.
- 550. METODOS DE UN PASO 539 la parte I que el modelo matemático de la velocidad se basa en la segun- da ley de Newton de la forma: dv C dt -g-mU" Se resuelve la ecuación diferencial analíticamente (ejemplo l.1)y numé- ricamente usando el método de Euler (ejemplo 1.2).El objetivo de este ejemplo es el de repetir estos cálculos numéricos empleando un modelo sobre la velocidad más complicado basado en unadescripción matemáti- ca más completa acerca del coeficiente de fricción causado por la resis- tencia del viento. Este modelo está dado por: [E16.4.1] en donde a, b y umáXson constantes empíricas. Obsérvese que este mo- delo es capaz de ajustar más exactamente medidas empíricas de coefi- cientes de fricción contra la velocidad que el modelo lineal simple del ejemplo l. l.Sin embargo, esto incrementa la flexibilidad a expensas de evaluar tres coeficientes en vez de uno. Además, el modelo matemático resultante es másdifícilde resolver analíticamente. En este caso, el méto- do de Euler proporciona una alternativa conveniente para obtener una solución numérica aproximada. FIGURA 16.7 a) Resultados tabulares de los cálculos y b) resultados gráficos de la so- lución de la E D 0 [Ec. (E16.4.11.Nótese que b)también muestra la solu- ción del modelo lineal con propósitos de comparación. De hecho, el programa no está diseñado para superponer gráficas de esta manera.
- 551. 540 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Solución: se usaráel paquete NUMERICOMP para abordar la ecuación (E16.4.1).Enlafigura 16.7a se muestralasolucióndelmodelocon un tamaño de paso de O. 1 s. Para propósitosde comparación en la gráfica de la figura 16.7bse muestra la solución no linealy el modelo lineal superpues- tos. Nótese quela computadora puede graficarsólo una solucióna la vez. Los resultados de los dos cálculos indican el crecimiento de la com- plejidad enla formulación de los efectos que lafuerzadefricción ejerce sobre la velocidaddelparacaidista. En este caso, la velocidadterminal disminuye debido a la resistencia causada por los términos de orden su- periorenla ecuación (E16.4.1). Se pueden probar modelos alternos de manera similar. La combina- cióndel paquete NUMERICOMP y la computadora hacen que esto sea una tarea fácil y eficiente. Estaconvenienciapermite alusuariodedicar más de su tiempo en considerar alternativas creativas y aspectos globales delproblemaenlugarde los tediososcálculos manuales. 16.1.3 Métodos con serie de Taylor de orden superior Una manera de reducir el error en el método de Euler sería incluir térmi- nosdeordensuperiorenlaexpansión de la seriedeTayloralrededor de la solución. Por ejemplo, incluyendo el término de segundo orden de la ecuación (16.6) se obtiene [16.11] con un errorlocaldetruncamiento de: Aunque la incorporación de términos de orden superiores lo suficien- temente simple como para implementarse en polinomios,su inclusión no es tantrivial cuando la E D 0 es complicada. En particular,las ED0 que son una función de la variable dependientey de la variable independien- te requieren derivación conlaregla de la cadena. Por ejemplo, la prime- ra derivadade f (x, y) es Lasegundaderivada es
- 552. MhODOS DE UN PASO 541 Y las derivadas de ordensuperior vienen a ser crecientemente más com- plicadas. Por consiguiente, como sedijo en las secciones previas, se han desa- rrollado métodos alternativos de un paso. Estos esquemas son compara- bles en ejecución a1 de la serie de Taylor de órdenes superiores pero re- quieren únicamente el cálculo de la primera derivada. 16.2 MODIFICACIONES Y MEJORAS AL MÉTODO DE EULER Una fuente fundamentalde error en el método deEuler es quela deriva- da al principio del intervalo se supone quese aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este in- conveniente. Como se demuestra en la sección 16.3, las dos modifica- ciones en realidad pertenecen a unaclase mayor de métodos desolución llamados métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, ya que tienen una in- terpretación gráfica sencilla, se presentan antes de la derivación formal de los ,métodos de Runge-Kutta. 16.2.1 Método de Heun Un método paramejorar la aproximación a la pendiente implica el cálcu- lo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Este esquema, llamado método deHeun, se muestra gráficamente en la figu- ra 16.8. Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio de un intervalo Y: = !(X¡, Y¡> r16.121 Se usa para extrapolar linealmente a Enel método estándar de Euler se pararía en este punto. Sin embargo, en el método deHeun, la calculada con la ecuación (16.3)noes la respuesta final sino una predicción intermedia. Esto se debe a que se ha distinguido a ésta con el superíndice O. La ecuación (16.13) sellama ecuación.predictora. Proporcionauna aproximación de y¡+ que permi- te el cálculo de una pendiente aproximada alfinaldel intervalo: y:+1 = f(Xi+l, Y?*d [16.14] "P"__ I.... . .. ".".,
- 553. 542 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 16.8 Esquema gráfico del método de Heun. o) Predictor y b) corrector. Por 10 tanto, se pueden combinar las dos pendientes [ecuaciones(16.12) y (16.14)]y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo: Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de y, a y,, usando el método de Euler: que se llama una ecuación correctora. El método de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los mé- todos de pasos múltiples por discutirseen el capítulo 17 son de este tipo. El Único método corrector-predictor de un paso descrito en este libro es el método de Heun. Como sedijo antes, se puedeexpresar concisamen- te como:
- 554. MÉTODOS DE UN PASO 543 I Predictor(Fig 16.8a): = yi + f(xi,yi) h I [16.15] Corrector(Fig. 16.8b): yi+l = yi + f k i , Y¡> + f(Xi+lr Y?+J [16.161 2 Nótese que debido a que la ecuación (16.16) tiene y¡+ 1 en ambos lados del signo igual, ésta puede aplicarse para “corregir” enun esquema itera- tivo. Esto es, se puede usar una aproximación anterior varias veces para proporcionarunaaproximaciónmejoradadeElprocesomuestra enlafigura 16.9. Se debe entender que este proceso no necesariamente converge a la respuesta correcta sino que converge a una aproximación con un error de truncamiento finito, como se demuestra enelsiguiente ejemplo. Como conlosmétodositerativossimilaresanalizadosenlas seccio- nes previas del libro,un criterio de paro en la convergencia del corrector lo proporciona[recuérde la ecuación (3.5)] [16.17] en donde y!;: y yj+l son el resultado de la iteración anterior y actual del corrector, respectivamente. FIGURA 16.9 Representacióngráfica de la iteración del corrector del método de Heun para obtener una rrleior aproximación.
- 555. 544 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS EJEMPLO 16.5 Método de Heun Enunciado del problema: empléese el método de Heun para integrar y ' = 4e08x - 0 . 5 ~desde x = O a x = 4 contamañodepaso 1.La con- dicióninicialen x = O es y = 2. Solución: antes de resolver el problema numéricamente,se puede efec- tuarel cálculomediante la siguientesoluciónanalítica: 4 1.3 y = - e-0.5~) + &-0.5~ [E16.5.1] Esta fórmula se puede usar para generar los valores verdaderos los cua- les se presentan enel cuadro 16.2. Lasoluciónnumérica se obtieneusando la fórmulapredictora [Ec. 16.15)]paraobtener un valorde y para 0.5: y': = 2 + [4e0 - 0.5(2)] 1 = 5 Obsérvese que este esel resultado que se debería obtener con el método deEulerestándar.Usando elvalorverdaderodelcuadro 16.2, a este corresponde un errorrelativoporcentualdel 19.3%. Lapendiente en (xo,yo) es yó = 4 e o - 0.5(2) = 3 Este resultado es muy diferente de la pendiente promedio verdaderoen intervalode O a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculadade la ecuación diferencial original usando la ecuación (V.3).Por lo tanto, para mejorarla aproximaciónde la pendiente, se usaelvalor y: parapredecir la pen- diente alfinaldel intervalo: que se puedecombinarcon la pendiente inicial y obtener: que es más cercana a la pendiente promedio de 4.194 6.Este resultado se puede sustituirenla ecuacióncorrectora [Ec. (16.16)]paraobtener la predicción en x = 1: y1 = 2 + (4.701 081 86)l = 6.701 081 86
- 556. MCTODOS DE UN PASO 545 CUADRO 16.1 Comparacidn delos valores verdaderosy aproximados dela inte- gral de y' = 4eo*8x-0.5~con la condicidn incial de que y 2 en x O. Los valores aproximadosse calcularon usandoel metodo de Heun con un tamañode paso de1. Se muestran dos casos, corres- pondientesa números diferentes de iteracionesdel corrector, jun- to con el error relativoporcentual absoluto lteraciones con el metodo de Heun 1 15 x Yverdmdero Yheun lEvl '10 Yheun kv1 O 2.000 O00 O0 2.000O00 O0 0.00 2.000 O00 o 0.00 1 6.19463138 6.701 081 86 8.18 6.360 865 492.68 2 14.843921 9 16.319 7819 9.94 15.302 2367 3.09 3 33.677171 8 37.199 2489 10.46 34.743 2761 3.17 4 75.338 962 6 83.337 7674 10.62 77.735 0962 3.18 querepresenta un errorrelativoporcentualdel -8.18%. Por lo tanto, el método deHeun reduce el valor absoluto del error en un factor de2.4 comparadocon el método de Euler. Ahora esta aproximaciónse puede usar para refinaro corregirla pre- dicción de yl sustituyendo el nuevo resultado de nuevo enel lado dere- cho de la ecuación (16.16): [3 + 4eo.8"' - 0.5(6.701081 86)] y ] = 2 + 2 1 = 6.275 81139 querepresenta un errorrelativoporcentualdel 1.31%. Esteresultado, a suvez se puede sustituirenla ecuación (16.16)para una mejor aproxi- mación yl: [3 + 4eo.8(1) - 0.5(6.275 811 39)] y 1 = 2 + 2 = 6.382 129 O 1 que representa un error 1 ~ ~ 1de 3.03%. Nótese cómo los errores algunas veces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por ejemplo, enlas tresiteraciones el error crece en un 3.03%, estos incrementospueden ocurrir,especialmente en tamaños depaso muy grandes. Elusuario debeevitarlaconclusióngeneraldequeunaiteraciónadicionalsiempre mejora el resultado. No obstante, para un tamaño depaso lo suficien- temente pequeño, la iteracióndebeeventualmenteconverger a un solo valor. En este caso, se obtiene el resultado6.360865 49, que representa un error relativo del2.68% después de 15 iteraciones.Enel cuadro 16.2 se muestran los resultados delos calculos restantes usandoel método con 1 y 15 iteracionespor paso.
- 557. 546 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Enel ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable de- pendiente y y de la variable independiente x. Para casos polinomiales, endonde las ED0 son sólo función de la variable independiente, el tamaño predictor [Ec. (16.15)Jno se necesita y se aplica únicamente el corrector a cada una de las iteraciones. En estos casos el método se expresa abreviadamente como [16.18] Nótese la similitud entre el lado derecho de la ecuación (16.18)y la regla trapezoidal [Ec. (13.3)].La conexión entre los dos métodosse pue- de demostrarformalmenteempezando con la ecuación diferencial ordinaria Esta ecuación se resuelve para y integrando: r+'dy = R"!(x)dx que lleva a [16.19] [16.20] O Y i t l = yi + [+I f(x) dx [16.21] Ahora, recuérdese de la sección 13.1que la regla trapezoidal [Ec. (13.3)] se define como o, enestecaso L16.221 donde h = xi+l- xi. Sustituyendo la ecuación (16.22)en la ecuación (16.21) se obtiene
- 558. METODOS DE UN PASO 547 [16.23] queesequivalente a la ecuación correctora [Ec. (16.16)]. Debido a que la ecuación (16.23)es una expresión directa dela regla trapezoidal, el error local de truncamiento está dado por [recuérdesela Ec. (13.6)] [16.24] donde está entre xi y xi+l.Por lo tanto, el método es de segundo orden debido a que la derivadadesegundoorden de E D 0 es cero cuando la solución es cuadrática. Además, loserroreslocal y globalson de O(h3) y O(h2),respectivamente. Por lo tanto, disminuyendoel tamaño de pa- so se disminuye también el error más rápidamente que usando el méto- do de Euler. Lafigura 16.10, que muestra el resultado de usar el método de Heun para resolver el polinomio del ejemplo16.1, demuestra estecom- portamiento. 16.2.2 Método meiorado del polígono (Euler modificado) La figura 16.11 ilustra otra modificación simple del método de Euler. Es- te método, llamadopoligono mejorado (o€ d e rmodificado),usa el mé- Figura 16.1O Comparación de la solución verdadera con un método numérico usan- do los métodos de Euler y Heundela integral de y' = -2x3 + 12x2 - 2oX + 8.5 """ . . - .- ' ... .
- 559. 548 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 16.11 Esquema gráfico del método del polígono mejorado. a)Ecuación ( 1 6.25) y b) ecuación (1 6.27). todo deEuler para predecir un valorde y en el punto medio del intervalo (Fig. 16.l l a ): 116.251 Entonces este valor predecid0 se usa en la aproximación de la pendiente en el punto medio: I y:+1/2 = f(Xi+l/2,Yi+l/2) I [16.26] lo cual, se supone, representa una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapo- lar linealmente de x,a x,, usando el métodode Euler (Fig. 16.l l b ) :
- 560. METODOS DE UN PASO 549 1 Yi+l = Y¡ + f(X,+1,2, Yi+l/2)h 1 [16.27] Nótesequedebido a quenoestáenambos lados, la correctora [Ec. (16.27)]no se puedeaplicariterativamenteparamejorar la solución. El método del polígono mejorado es superior al método de Euler ya que éste utiliza una aproximación dela pendiente enel punto medio del intervalodeprediccfón. Recuérdese delanálisisdederivaciónnumérica de la sección 3.5.4 que las diferenciasdivididas centrales fueron mejores aproximaciones a la derivada que lasversioneshaciaadelante y atrás. Enelmismo sentido, unaaproximación centrada, como la ecuación (16.26)tiene un error de truncamiento local de O(h2)en comparación con la aproximaciónhacia adelante del método de Euler que tiene un error de O(h). Por consiguiente,los errores local y global del método del poli- gono mejorado son O(h3)y O(h2),respectivamente. 16.2.3 Algoritmo para lacomputadora de los métodosde Euler meiorado y modificado El métodode Heuncon un correctorsimple y el métodomejoradodel polígono se pueden programar con facilidad usandola estructura general mostrada enlafigura 16.6. Es una tarea relativamente simplela de mo- dificar lasubrutinadelprogramageneralparacalcularlapendientede acuerdoconestos métodos. Sin embargo, cuando se implementa laversióniterativadel método de Heun, las modificaciones son un poco más complicadas. Enla figura 16.12se ha desarrollado una subrutina para este propósito. Esta subruti- SUBROUTINEHEUN( X , Y > COMMON H. I M , E S F( X , Y )-4*EXP( ,8oX )- , 5-Y X-X+N S l = F < X , Y ) YI=Y+$I*n DO 1100 IT=l.IM S P - F ( X . Y l ) SL-~s1*S2,,'2 EA=ABS( ( V 2 - Y I )/Y2 M 1 0 8 YP-Y+SL.M Y I -Y2 I F < E A . L E , E S ) G O TO I 1 2 0 Y R I T E ( 6 . 4 ) E A I 1 O9 CONTINUE 4 FORMAT( ' ' I ' L A I T E R A r l O N MAXIMA EXCEDID EA= I 1 2 0 X-X-H C F 1 0 . 5 ) RETURN E N 0 S1 = pendiente al prmclplo del intervalo Y1 = prediccldn al h i l l del 1nterva10 IM = ttsracl6n rnAxma del COrleCtOr S2 = pendente al fm.9 del !"tervalo SL = pendmnte promedlo EA = error calculado % fCorrector1 ES = error aceptable1 fPrueba del error donde FIGURA 16.12 Versionesen FORTRAN y BASIC de la subrutinaqueimplementaelmé- todo iterativo de Hewn. """" .. . ._,." . ...,..- .
- 561. 550 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS na se puede combinar con lafigura 16.6 para desarrollar programas del métodoiterativode Heun. 16.2.4 Resumen Manipulando el métododeEuler se handerivadodosnuevosmétodos de segundo orden. Aun cuando estas versiones requieren mayor esfuer- zo de cálculo para determinarla pendiente, la reducción que acompaña al errorpermitiráconcluirenunasecciónsubsiguiente (sección 16.3.4) que la exactitud mejoradaes, en general, merecedora del esfuerzo. Aunque existenciertos casos en dondelosmétodosfácilmenteprogramables talescomo el método de Eulerse pueden aplicarventajosamente,los mé- todos del polígono mejorado son generalmente superioresy se deben im- plementar si sonconsistentescon los objetivos del problema. Como se menciona al principio de la sección, el método deHeun (sin iteraciones), el métododelpolígonomejorado y, de hecho, el método mismo de Euler son versiones de una clase más amplia de esquemas de un paso llamado métodosde Runge-Kutta.Ahora se desarrollala deriva- ciónformaldeestos métodos. 16.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA Los métodos de Runge-Kutta tienenla exactitud del esquema de la serie de Taylor sin necesitardelcálculo de derivadas superiores. Existen mu- chas variaciones pero todas ellasse pueden ajustar a la forma general de la ecuación (16.1): Yi+l = Y, + +(Xi, Yi, h) h r16.281 donde a 4 (xi,yi, h) se le llama función de incremento y puede interpre- tarse como elpromedio de la pendientesobre el intervalo.Lafunción de incremento se puedeescribir enla formageneral como # = alkl + a2k2 + * * + ankn [16.29] endondelas a sonconstantes y las k son [16.29a] [16.29b]
- 562. METODOS DE UN PASO SS 1 Obsérvesequelas k sonrelaciones recurrentes. Esto es, kl aparece en la ecuación de kZ,que aparece enla ecuación de k3,etc. Esta recurren- cia hace alosmétodos RK eficientespara su cálculo en computadora. Se pueden desarrollar varios métodos de Runge-Kutta empleando una cantidad diferente de términos enla función de incremento especificados por n. Nótese que el método RK de primerordencon n = 1 es, de he- cho, el métododeEuler.Una vez que se haescogido n, losvaloresde las a, de las p y de las q se evalúan igualando la ecuación (16.28) a los términosenunaexpansión de la serie de taylor (recuadro 16.1). Porlo tanto, al menos para versiones menores dela orden, en general, el nú- mero de términos n representa elordendel método. Por ejemplo, enla siguente sección, los métodos RK desegundoorden usanunafunción de incremento con dos términos (n = 2). Estos métodos de segundo or- den son exactos si la solución ala ecuación diferenciales cuadrática.Ade- más, debido a que se desprecian los términos con h3 y de orden superior durante la derivación, elerrorlocal de truncamiento es O(h3) y elerror global es O(h2).En secciones posterioresse desarrollan los métodos RK de tercer y cuartoorden (n = 3 y 4). En estos casos, loserroresglobales detruncamientoson O(h3) y O(h4), respectivamente. RECUADRO 16.1 Obtención de los coeficientes de los métodos de segundo orden de Runge-Kutta Laversióndesegundoordendelaecuación (16.28)es: donde [B16.1.5] Sustituyendola ecuaci6n (B16.1.5)en (B16.1.4)se obtiene: donde f' (xi,y,) debedeterminarsederivandoconla re- g(x+r, y + ~ )= g(x, y) + r-as + s-as + * - . gladela cadena(sección 16.1.3): ax ay
- 563. 552 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Aplicando estemétodo enlaexpansióndelaecuación Ahora,comparandotérminossemejantes enlas ecuacio- (B16.1.3)seobtienenes (B16.1.6)y (B16.1.7),se determinaqueparaquelas dos ecuaciones sean equivalentes, se debecumplir lo si- f(xt + plh, YI + q11klh) guiente: al + a2 = 1 azpl = $ a2q11 = 5 Esteresultadosepuedesustituirjuntoconlaecuación 1 (B16.1.2)enlaecuación (B16.1.1)paraobtener Estastres ecuaciones simultáneascontienenlascuatro másqueelnúmerode ecuaciones, nohay un conjunto Únicodevaloresquesatisfaganlas ecuaciones. Sin em- yi+l = y, + alhf(x1,y11+ a2hf(xi,yi) constantesincógnitas.Debidoaqueexisteunaincógnita af ax ay bargo,adjudicándole un valor a unadelas constantes, se + azph2- + azqllh2f(xi,y3-af +o@3) puedendeterminarlasotrastres.Por consiguiente,existe una familia de métodos de segundo orden en vez de una o, reordenandotérminos,sola + o(h3) [B16.1.7] 16.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden La versión de segundoordende la ecuación (16.28) es [16.30] [16.30a] [16.30b] Como se describeenelrecuadro 16.1, los valoresde al, a2,P1y q1 se evalúan igualandola ecuación (16.30)a la expansión de la serie de Tay- lor hasta el segundo término. Haciendoesto, se obtienen tresecuaciones paraevaluarlascuatroincógnitas constantes. Estastres ecuaciones son al + a2 = 1 [16.31] [16.32] [16.33]
- 564. METODOS DE UN PASO 553 Debido a que se tienen tresecuaciones con cuatro incógnitasse debe suponer el valor de una de las incógnitaspara determinar las otras tres. Supóngase que se especificaelvalor de a2. Entonces las ecuaciones (16.31)a la (16.33) se resuelven simultáneamente para: a1 = 1 - a2 1 [16.34] P1 = 911 = - 1 2a2 [16.35] Ya que se puede escoger una cantidadinfinita de valores de a2, existe un número infinito de métodos de RK de segundo orden. Cada versión llevaría exactamente a los mismos resultados sila solución de la ED0 es cuadrática, lineal o constante. Sin embargo, llevan a resultados diferen- tes cuando la solución es más complicada(comoes el caso típico).A con- tinuación se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas y preferidas: Método de Heun con un corrector simple (a2 = 1/2).Si se considera que a2 es igual a un medio (1/2), entonces 1% ecuaciones (16.34) y (16.35)se pueden resolver para al = 1/2 y p1 = qll = 1.Estos pará- metros, cuando se sustituyen en la ecuación (16.30) generan [16.36] donde [16.364 l16.3661 Obsérvese que kles la pendiente al principio del intervalo y k2 es la pen- diente alfinaldelintervalo.Por consiguiente, este segundo método de Runge-Kutta es realmente el método de Heun con una sola iteración del corrector. El método meiorado del polígono (a2= 1). Si se supone que a2 sea 1,entonces al = C, p1 = qll = 1/2, y la ecuación (16.30)viene a ser: [16.37] donde [16.37a] [16.376]
- 565. 554 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Estees el métodomejorado delpolígono Método de Ralston (a2 = 2/3).Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978)determinaronque escoger a2 = 2/3 proporciona un límitemíni- moenelerrorde truncamiento delos algoritmosRK de segundo orden. Paraesta versión, a , = 1/3 y p1 = qI1= 3/4: donde [16.38] EJEMPLO 16.6 Comparación de varios métodos RK de segundo orden Enunciadodelproblema:utilícese el polígonomejorado [Ec. (16.3711 y el método de Ralston [Ec. (16.38)]para integrar numéricamentela ecua- ción (VI.14): f(x, y) = - z X 3 + 12x* - zox + 8.5 desde x = O hasta x = 4 usando un tamañodepaso de 0.5. La condi- cióninicialen x = O es y = 1.Compárense estosresultadoscon los va- lores obtenidos usando otro algoritmoRK de segundc orden: el método deHeunconiteracionesde un corrector (Fig. 16.10 y cuadro 16.3). Solución: elprimer paso enel métododelpolígonomejorado es elde usarla ecuación (16.37a) paracalcular: kl = -2(0)3 + 12(0)' - 2O(O) + 8.5 = 8.5 No obstante, debido a que la ED0 es una función sólo de x,este resulta- do se requiereparacalcular k,; alusarla ecuación (16.37b)se tiene k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75 Nótese que esta aproximaciónde la pendiente es mucho más cercana al valor promedio sobre el intervalo (4.437 5) que la pendiente al principio delmismo (8.5)quedebióusarseenelmétodode Euler. Lapendiente 1 en el puntomediosepuedesustituirenlaecuación (16.37)para predecir
- 566. METODOS DE UN PASO 555 CUADRO 16.3 Comparación delos valores verdaderosy aproximados dela inte- gral de y ' -2x3 + 12x2-2Ox + 8.5, con la condicidn inicial de que y 1 en x O. Losvalores aproximadosse calcularon usando tres versiones RK de segundo orden con un tamaño de paso de0.5 Heun simplemejoradodesegundoorden correctorPolígonoRalstonRK x Y veradera y I 4 Y 1% % y lk"l 0.0 0.5 1.o 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1.o00 O0 3.218 75 3.000O0 2.218 75 2.000O0 2.718 75 4.000 O0 4.718 75 3.000O0 1.000O0 o 3.375O0 12.5 2.68750 21.1 2.500O0 25.0 3.18750 17.2 4.375O0 9.4 4.93750 4.6 3.000O0 O 3.43750 6.8 1.000 O0 o 3.1093753.4 2.81250 6.3 1.984 375 10.6 1.7512.5 3.81250 4.7 4.6093752.3 3 O 2.484375 8.6 1.o00 O0 O 3.277 343 75 1.8 3.101 5625 3.4 2.140625 7.0 2.855 468 75 5.0 4.117 1875 2.9 4.800 781 25 1.7 3.03125 1.o 2.347 65625 5.8 ~(0.5')'= 1 + 4.21875(0.5) = 3.109375 E" = 3.4% El cálculoserepite, y losresultadosseresumenen la figura 16.13 y en el cuadro 16.3. FIGURA 16.13 Comparación de la solución verdadera con los métodosnuméri- cos,tres RK de segundo orden y método de Euler.
- 567. 556 M~TODOSNUMÉRICOS PARA INGENIEROS Enel método de Ralston, kl en el primer intervalo también es igual a 8.5 y [Ec. (16.38b)l: k2 = -2(0.375)3 + 12(0.375)2- ZO(0.375) + 8.5 = 2.582 031 25 La pendiente promedio se calcula mediante 4 = i(8.5)+ $ (2.582 031 25) = 4.554 687 5 que se puede usar para predecir ~(0.5)= 1 + 4.5546875(0.5) = 3.27734375 = -1.82% Los cálculos se repiten, y los resultados se resumen en la figura 16.13 y el cuadro 16.3.Obsérvese cómo todoslos métodos RK de segundo or- den son superiores al método de Euler. 16.3.2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden Se puede llevar a cabo unaderivación análoga ala del método de segun- do orden,para n = 3. El resultado de esta derivación es de seis ecuacio- nes con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben especificar a priori los valores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restan- tes. Una versión común que resulta es donde r16.391 [16.39a] [16.39b] [16.39c] Obsérvese que si la derivada es una función sólo de x, este rnétodo de tercer orden se reduce a la regla de Simpson de 1/3. Ralston (1962)y Ralston y Rabinowitz (1978)han desarrollado una versión alternativa que proporciona un límite mínimo en el error de truncamiento. En cualquier caso, los métodos RK de tercer orden tienen errores globales de O(h4) y O(h3), respectivamente, y llevan a resultados exactos cuando la solu- ción es de ordencúbico. Como semuestra enel siguiente ejemplo, cuan- dose trata de polinomios, la ecuación (16.39)seráexacta cuando la ecuación diferencial sea de orden cúbico y la solución de orden cuarto.
- 568. MÉTODOS DE UN PASO 557 Esto es porque la regla de Simpson de 1/3proporciona aproximaciones exactas a laintegraldeordencúbico (recuérdese el recuadro 13.3). EJEMPLO 16.7 Método RK de tercer orden Enunciado del problema:utilícese la ecuación (16.39) paraintegrar a) Una ED0 queesexclusivamenteunafunciónde x [Ec. (VI.14)]: "d~ - -2x3 + 12x2 - 20x + 8.5 dx con y(0) = 1 y detamañodepaso igual a 0.5. b) Una ED0 que es unafunciónde x y y: dY - = 4e0,&- 0 . 5 ~ dx con y(0) = 2 desde x = O a 1 con un tamañodepaso 1. Solución: a) Se puedenusarlas ecuaciones (16.39~1)a la (16.39~)paracalcular: kl = -2(0)3 + 12(0)2- 20(0) + 8.5 = 8.5 k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75 k3 = -2(0.5)3 + 12(0.5)2- 20(0.5) + 8.5 = 1.25 que se puedesustituirenla ecuación (16.39) para obtener: y(0.5) = 1 + {i[8.5 +4(4.218 75)+ 1.25]}0.5 = 3.218 75 la cual es exacta. Porlo tanto,ya que la solución verdaderaes un polinomio de cuarto orden [Ec. (VI.13)].La regla de Simpson de 1/3 proporciona un resultado exacto.
- 569. 558 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS que se puede sustituirenla ecuación (16.39)y obtener: ~(1.0)= 2 + + 4(4.217 298 79) + 5.184 864 92411 1 = 6.175 676 681 querepresenta un E , = 0.31 % (valorverdadero = 6.194 631 38),que es superior en mucho a los resultados obtenidos previamente con los mé- todos RK de segundo orden (esto es, elHeunsin iteraciones) del ejemplo 16.5. 16.3.3 Métodos de Runge-Kutta de cuartoorden Los métodos RK más populares son los de cuarto orden. Como sucede con los métodos de segundo orden, existe un número infinito de versio- nes. El siguiente algunas veces se llamamétodo clásicoRK de cuarto orden: donde [16.40~11 [16.40b] [16.40~1 [16.40d] Obsérvese que para las ED0 que sólo son función de x, el método clási- co deRKtambién es equivalente a laregladeSimpsonde 1/3. EJEMPLO 16.8 Método clásico RK de cuarto orden Enunciado del problema: utilícese el método clásico RKde cuarto orden [Ec. (16.4O)Jparaintegrar: f(x,y) = -2x3 + 1 z x 2 - 2oX + 8.5 usando un tamaño de paso de 0.5 y unacondicióninicialde y = 1 en x = 0. Solución: las ecuaciones (16.40~)a la (16.40d)se usan paracalcular:
- 570. METODOS DE UN PASO 559 kl = -2(0)3 + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5 k2 = ~ 2 ( 0 . 2 5 ) ~+ 12(0.25)' - 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75 k3 = 4.218 75 k4 = -2(0.5)3 + 12(0.5)* - 20(0.5) + 8.5 = 1.25 que se puedensustituirenla ecuación (16.40)para obtener: y(O.5) = 1 + {i[8.5 + 2(4.21875) +2(4.218 75) + 2(4.21875) + 1.25110.5 = 3.21875 el cual es exacto. Por lo tanto, debido a que la solución verdadera es de cuartoorden [Ec. (VI.131,el método de cuartoordenproporciona un resultado exacto. 16.3.4 Métodode Runge-Kutta de orden superior Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda elmétodoRK de quinto orden, Butcher (1964): donde kl = f k i , Y¡) [16.41a] k5 = f(xi + h, yi + &hkl + & h b ) [16.41e] ks =/(xi + h, yi - Qhkl +'$hk2 + yhk3 - Yhk4 + $hk5) [16.41f] Obsérvese lasimilitud entre el método de Butcher y la fórmula Newton- Cotes de quinto orden del cuadro 13.3. Se puede disponer de fórmulas RK de orden superior, tales como el método de Butcher, pero, en gene- ral, la ganancia obtenidaen exactitud por los métodos de orden superior al cuarto se contrapone con la complejidad y esfuerzode cálculo.
- 571. 560 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS EJEMPLO 16.9 Comparación de los métodosdeRunge-Kutta Enunciado del problema: emplirenselos métodos RK desde primero has- ta quinto orden para resolver con y(0) = 2 de x = O hasta x = 4 con varios tamaños de paso. Com- párese la exactitud de los varios métodos en el resultado x = 4 basado en la respuestaexacta de y(4) = 75.338 962 61. Solución: efectúense los cálculos usando los métodos deEuler, Heun sin corregir, RK de tercerorden[Ec. (16.39)],RK clásico de cuarto orden y el método RK de Butcher de quinto orden. Los resultados se mues- tran en la figura 16.14, en donde se ha graficado el valor absoluto del error relativo porcentua! contra el esfuerzo computacional.Esta última can- FIGURA 16.14 Comparación del errorrelativoporcentualcontra el esfuerzo de cálculo de los métodos del primero ai cuarto de Runge-Kutta.
- 572. METODOS DE UN PASO 561 tidad es equivalente al número de evaluaciones de lafunción necesarias paraalcanzar un resultado, Esfuerzo = nf~ b - a h [16.42] en donde nf es el número de cálculos de la función relacionados con el cálculoparticular RK. Para órdenes 5 4, nf es igualalordendel méto- do. Sin embargo, obsérveseque el método RK de Butcher de quinto orden requiere de seis cálculosde la función [Ec. (16.41a)a la (16.41fl1. Lacantidad (b - a ) / h es el intervalototaldeintegracióndivididopor el tamaño del paso, es decir, es el númerodeaplicacionesdelmétodo RK necesarias para obtenerel resultado. Por lo tanto, ya que las evalua- ciones de lafunción son, en general, los pasos que consumen más tiem- po, la ecuación (16.42)proporciona una medida aproximada del tiempo decorridanecesariosparaalcanzar la respuesta. Analizandolafigura 16.14 se llega a algunas conclusiones: prime- ro, que los métodos de ordensuperiorobtienen mejores exactitudes con el mismo esfuerzo de cálculo y segundo, que la ganancia en exacti- tud por el esfuerzo adicional tiefidea disminuir después de un punto. (NÓ- tese que lascurvas caen rápidamente alprincipio y despuéstienden a nivelarse.) El ejemplo 16.9 y lafigura 16.14 llevan a la conclusióndeque los métodos RK de orden superior son siempre los métodos de preferencia. Sin embargo, se deben considerar también otros factores tales como los costosdeprogramación y los requisitosdeexactituddelproblemacuando se escoja un método de solución. Estos elementos de juicio se analizan de- talladamenteen los casos delcapítulo 18 y enelepílogo de laparte VI. 16.3.5 Error local de truncamiento de los métodos de Runge-Kutta Debido a que un método de Runge-Kutta de n-ésimo orden se determi- naigualando los términosde la ecuación (16.28) y la expansiónde la seriedeTaylorhasta los términosquecontienen h", elerrorlocalde truncamiento se puedeexpresar como E, = O(,"+') [16.43] en donde elvalor exacto de E, depende de f(x,y) y sus derivadas supe- riores. En general, noesposiblecalcular E, enbase a la ecuación (16.43) ya que los cálculossondemasiadocomplicados. Enel mejor de los casos, si h es pequeña, y por consiguiente si a la ecuación la domina el primertérminode la seriede Taylor, los coeficientes del método de RK [esto es, las a, p y q de la ecuación (16.29))sepuedenescogerdetal
- 573. 562 M~TODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS maneraqueminimicenellímitesuperior E,. Más alláde eso, un análisis delerrordelmétodo RK viene a sermás complicado. Por ejemplo, el método deRunge-Kutta-Fehlbergse basaenel cálculo de dosaproximaciones RK deorden diferente, restando los resultados para obtener una aproximación del error.El método consisteen la fórmula de cuarto orden: 25 1408 2 197 1 2 565 4 104 5 Y i + l = + ( E k 1 + ~ k3 + ~ k4 - -ks) h 1r16.441 juntocon lafórmuladequinto orden: 6 656 28 561 12 825 k3 + 56 430 yi+l = yi + ( g k l + [16.45] donde 12 1932 k4 = f(xi + Gh, yi + - 7 296 2 197 hkl - ~ 2 197 'Oo hkp + -hk3 32 197 439 3 680 + h, yi + -hkl - 8hk2 +"-216 513 410 1 8 ki = f(xi + Zh, yi - -hk, + 2hk2- ___ 3 544 27 2 565 hk3 1859 4 104 40 +- la aproximacih al error se obtienerestando la ecuación (16.44) de la (16.45) paraobtener I I
- 574. MÉTODO DE UN PASO 563 Por lo tanto, la ED0 se puede resolver conla ecuación (16.44)y la apro- ximación del error dela ecuación (16.46).Sin embargo, la aproximación al error se alcanza a costa de una complejidad extra y de un esfuerzo de cálculo. Nóteseque, después de cada uno delos pasos, la ecuación (16.46) se puede sumara la ecuación (16.44)y llegar a resultados de quinto orden. Aunqueelmétodo de Runge-Kutta-Fehlberges algomás pesado para manejarse que el método Runge-Kutta de cuarto orden, existen si- tuaciones en donde el error aproximadolo convierte en un método pre- ferible. El cálculodelerrores de particularimportanciacuando se trata de funciones que requieren pasospequeños en algunas regionesy pasos grandes en otras. En tales funciones, un erroraproximadoproporciona una baseparacambiar el tamañodepasodurante los cálculos. De otra forma, el tamaño del pasose debe escogerconservadoramente,es decir, debe sermás pequeño que lo necesario para alcanzarla exactitud desea- da, ademásde acomodar laregiónquerequieradelostamañosmás pequeños. Esta limitación se considerará con más detalle cuandose ana- licen métodos de pasos múltiples en el capítulo 17 para los cuales las apro- ximaciones delerror se obtienenconmayorfacilidad. 16.3.6 Algoritmos para computadora de los métodos de Runge-Kutta Como en todos los métodoscubiertosen el capítulo, el métodode RK se ajusta muy bienenelalgoritmo general de lafigura 16.6. Enlafigura 16.15 se presentan subrutinas en los lenguajes FORTRANy BASIC que determinanlapendientedelmétodo RKde segundoorden de Ralston [Ec. (16.38)].Las subrutinas para calcular pendientes de todas las otras versiones se puedenprogramarfácilmentedemanerasimilar. Enel método de RK-Fehlberg, el tamaño variable de paso se puede incorporardediferentes maneras. Unaformadehacerlo (Maron, 1982) es lade especificarun límite inferior y otro superior enel error. El objeti- vo es el deemplear un tamaño de pasoque genere unaaproximación FIGURA 16.15 Subrutinas en FORTRAN y BASIC para determinarlapendienteusando el métodode Ralston desegundoordende RK
- 575. 564 METODOSNUMfRICOSPARAINGENIEROS del error dentro del rango aceptable. Si el error aproximado es mayor que el límite superior, el tamaño de paso se parte a la mitad hasta que el error se encuentre dentrodel rango aceptable. Si el error aproximado es menor que ellímite inferior, el tamaño de paso se duplica hasta que el error se eleva de un rango aceptable. 16.4 SISTEMAS DE ECUACIONES Muchos problemas prácticos de ciencia e ingeniería requieren de la solu- ción de un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias en lugar de una sola ecuación. Tales sistemas se pueden representar generalmente como [16.47] La solución de este sistema requiere que las n condiciones iniciales se co- nozcan en unvalorinicial de x. Todos los métodos analizados en este capítulo para ecuaciones sim- ples se puedenextender para el sistema mostrado anteriormente. Las apli- caciones de la ingeniería pueden implicar la solución de varios cientos de ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento de solución del sistema de ecuacionessimplementesignifica aplicar elmétodo de un paso a cada una de las ecuaciones antes de continuar con el siguiente paso. Es- to se ilustramejor en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 16.1O Solución de sistemas de ED0 usando el método de Euler Enunciado del problema: resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando elmGtodo de Euler, suponiendo que en x = O, y1 = 4, y y2 = 6. Intégrese a x = 2 con un tamañodepaso de 0.5.
- 576. METODOS DE UN PASO 565 Solución: el método de Euler se implementa como en la ecuación (16.2) yZ(0.5) = 6 + [4 - 0.3(6)- 0.1(4)]0.5 = 6.9 Obdervese que yl(0) = 4 se usa en la segunda ecuación en vez de yl(0.5) = 3, calculado con la primera ecuación.Procediendo de una manera semejante se obtiene X Y1 Y2 O 4 6 0.5 3 6.9 1.0 2.25 7.715 1.5 1.6875 8.445 25 2.0 1.2656215 9.094 0875 16.4.1 Algoritmo para la computadora para la solución de sistemas de ED0 El programa para resolver una sola E D 0 con el método de Euler (Fig. 16.6)se puedeextender fácilmente a un sistema de ecuaciones. Las mo- dificaciones incluyen: 1. 2. 3. 4. 5. Introducir el núrrero de ecuaciones, n. Introducir los valc'resiniciales para cada unade las n variables depen- dientes. Modificar lasubrutina de tal manera que calcule las pendientes de ca- da una de lasvariables dependientes. Incluir funciones adicionales para calcular las derivadas de cada una de las EDO. Incluir las ecuacicnes restantes(del tipo en la linea 230 de la versión BASIC)para calc.darun nuevo valor de cada una delas variablesde- pendientes. Obsérvese que cualquiera de los métodos de un paso deeste capitu- lo se pueden usar para este algoritmo. Laúnica diferencia seria la for- mulación de la subrutina que calculalas pendientes. El método clásico RK de cuarto orden es una buena alternativa para este propósito ya que proporciona una exactitud excelente y es relativamente fácil de progra- mar. Una característicaimportante de un programa de computadora para resolver sistemas de E D 0 con un método RK es la secuencia del cálculo de las k como se demuestra en el ejemplo siguiente.
- 577. 566 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS EJEMPLO 16.1 1 Solución de sistemas de ED0 empleando el método RK de cuarto orden Enunciado del problema: utilícese el método RK de cuarto orden para resolver las E D 0 del ejemplo 16.10. Solución:primero, se deben resolver para todas las kl: kl,l = f(0, 4, 6) = -0.5(4) == -2 k1.2 = f(0,4, 6) = 4 - 0.3(6) - 0.1(4) = 1.8 en donde k,,,es el i-ésimo valor de k para la j-ésima variable dependien- te. En seguida, se calculan los valores de yl y y2 quese necesitan para determinar las k2: y1 + $hkl,l = 4 + $(0.5)(-2) = 3.5 y2 + ihkl,2 = 6 + $(0.5)(1.8)= 6.45 quese usan para calcular: k2,1 = f(0.25,3.5,6.45) = -1.75 k2,2 = f(0.25,3.5, 6.45) = 1.715 El proceso continúa hasta calcular las k restantes: k3,1 = f(0.25, 3.562 5, 6.428 75) = -1.78125 k3,2 =f(0.25, 3.562 5, 6.428 75) = 1.715125 k4.1 = f(0.5, 3.109375,6.8575625) = -11.554 687 5 k4.2 = f(0.5, 3,109 375, 6.857 562 5) = 1.631 79375 Los valores de k se pueden usar para calcular [Ec. (16.40)l: yl(0.5) = 4 + iL-2 + 2(-1.75 - 1.781 25) - 1.554 687 510.5 = 3.115 234 38 y2(0.5) = 6 + 2[1.8 + 2(1.715+ 1.715 125)+ 1.4317937510.5 = 6.857 670 32 ~ ~~ ~
- 578. METODOS DE UN PASO 567 Procediendodemanera semejante enlospasos restantes, se obtiene X Y1 Y2 O 4 6 0.5 3.115234 4 6.857 6703 1 .O 2.426171 3 7.632 1057 1.5 1.889523 1 8.326 886O 2.0 1.471576 8 8.946 8651 16.4.2 Problemas con valores en la frontera: métodosde disparo La solución de ecuaciones convaloresenla frontera usando el método de disparoes un ejemplo de un problema que en el contexto de los siste- masde ED0 se puederesolver. Recuérdese delanálisis alprincipio de la parte VI, que una ecuación diferencial ordinaria va acompañada de condiciones auxiliares. Estas condiciones se usan para evaluar las cons- tantes de integración que resultan durante la solución de una EDO. Para unaecuación de n-ésimo orden, se debenevaluar n constantes, y por lo tanto, se requieren n condiciones. Si se especifican todas las condicio- nes en un mismovalor de lavariable independiente, entonces se trata de un problema con valores iniciales. En su mayoría la parte VI trata este tipodeproblemas. En contraste hayotraclasede ED0 para la quelascondicionesno se danen un solo punto pero sí envarios valores de lavariable depen- diente. Debido a que estas condiciones se expresan enlos puntos extre- mos o límites, éstosse les conocen conel nombre deproblemas con valores en la frontera. Una variedad de problemas significativosde ingeniería caen dentro de estaclase. En este capítulo, se analiza un esquema general pa- ra resolverestosproblemas: el método de disparo. El método de disparo está basado enla conversión de problemas de valoresenlafronteraenproblemas de valorinicialequivalente. Se im- plementa un esquema de prueba y error que resuelve la versión de valo- resiniciales. El esquema se puede ilustrarcon un ejemplo. EJEMPLO 16.12 El método de disparo Enunciadodelproblema: empléese el método de disparopararesolver I dx2 d2Y-+ 0.2y = 2
- 579. 568 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS con las condiciones en la frontera y(0) = O y y(10) = O. Solución: usando el mismo esquema empleado en la transformación de la ecuación (VI.2)en las ecuaciones (VI.3)y (VI.6),la ecuación de se- gundo orden se puede expresar como dos EDO: dY dx " - 2 Y dz dx " - 2 - 0.2y [E16.12.1] [E16.12.2] FIGURA 1616 Métododedisparo: a)el primer "disparo"; b) segundo "disparo"; y c) el "tiro" exacto final.
- 580. METODOS DE UN PASO L 569 A fin deresolverestas ecuaciones, se requiere un valorinicialpara z. Para el método de disparo, se elige un valor, que puede ser 40) = 1. Entonces la solución se obtieneintegrandolas ecuaciones (E.16.12.1) y (E16.12.2) simultáneamente.Por ejemplo, usando un método RK decuartoordenparasistemas de ODES, se obtiene un valorfinaldel intervalode y(10) = 10.208 (Fig. 16.164, quedefine elvalor verdade- ro y (10) = O por lo tanto, se hace otra elección, z(0) = 2, y se llevan a cabo nuevamenteloscálculos.Estavez, elresultado y (10) = 8.035 está un poco más cercano alvalorverdaderode y(10) = O, peroaún persisteelerror (Fig. 16.166). Ahora, debido a que la ED0 es lineal, los valores z(0) = 1 y(10) = 10.208 Y z(0) = 2 y(10) = 8.035 están relacionados linealmente. Como tales, se pueden usar para calcu- larelvalorde z(0) queconforma a y(10) = O. Se puedeemplear una fórmuladeinterpolaciónparaestepropósito [recuérdesela Ec. (ll.í!)]: z(0) = 1 + 2 - 1 8.035 - 10.208 (O - 10.208) = 5.7 Estevalorse pQedeusarparadeterminarlasolución correcta como se muestraenlafigura 16.16~. Paraproblemasconvalor a la frontera no lineales, la interpolación lineal o extrapolacióna través dela solución de dos puntos no resultane- cesariamente una aproximación segura de la condición en la frontera re- queridaparaobtenerunasolución exacta. Un esquema alternoes el de realizar tres simulacionesy usar un polinomio de interpolación cuadrático para calcular la condición enla frontera. Sin embargo, no es muy proba- ble que tal esquema lleve a la respuesta exacta, y con iteraciones adicio- nalesseríanecesarioobtener la solución. Debido a que éste esun proceso ineficiente, existen métodos alterna- tivosentales casos. Los máscomunes son los métodos de diferencias finitas. Estosmétodossonapropiadosparaproblemasconvalores a la fronteralineales y no lineales. En estos esquemas, lasdiferencias dividi- das finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación original. De esta
- 581. 570 METODOS NUM~RICOSPARA INGENIEROS manera, la ecuacióndiferencialsetransformaen un conjunto de ecua- ciones algebraicas simultáneas quese puede resolver usando un método de la parte 111. Este es el esquema que se usaenel caso 9.2 para resolver ladistribucióndela temperatura de una placa caliente. Los problemas 9.8, 16.9 y 18.10 se relacionancon la solucióndeproblemasconvalo- res a la frontera. PROBLEMAS Cálculos a mano 16.1 Resuélvase el siguienteproblema con valorinicial sobre el intervalo de x = O a x = 2: 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 dY - = yx2 -y dx donde y(0) = 1.Grafiquese la solución Utilicese el método de Euler con h = 0.5 y 0.25 para resolver el problema 16.1. Grafíquense los resultados en la misma gráfica y compárese visualmente la exac- titudde los dos tamaños de paso. Utilicese el método de Heun con h = 0.5 y 0.25 para resolver el problema 16.1. Itérese el corrector a E, = 1%. Grafíquense los resultadossobre lamisma gráfi- ca y compárese visualmente la exactitud de los dos tamaños con la solución analí- tica. Interprétense los resultados. Utiliceseel método delpolígono mejorado con h = 0.5 y 0.25 pararesolver el problema 16.l. Utiliceseel método RK de Ralston de segundo ordencon h = 0.5 para resolver elproblema 16.1 Utilicese el método clásico RK de cuarto orden con h = 0.5 para resolver el pro- blema 16.1. Utiliceseel método de RK-Fehlberg de cuarto ordencon h = 0.5 pararesolver el problema 6.1. Calcúlese el error aproximado en cada paso. 16.8 Repítanse los problemas 16.1 al 16.7 pero con el siguienteproblemaconvalores iniciales sobre el intervalo x = O a x = 1. "dy - 4 y(0) = 1 dx
- 582. MÉTODOS DE UN PASO 571 16.9 Utilíceseel método de disparo para resolver d$ + 16- - 4y = 20 dx dy con la condicióna la frontera, y(0) = 5 y y(20) = 2. te sistemade ecuaciones de x = O a x = 10: 16.10 Utilícese el método de Euler con un tamaño de paso de 1 para resolverel siguien- "dy1 - y1 - 0.1Y1Y2 dx en donde y, = 25 y y2 = 7 enx = O. h = 1 . 0 d e x = O a x = 1. 16.1 1Utilícese el método RK de cuarto orden para resolver el problema 6.10 usando Problemas relacionados con la computadora 16.12 Progrimese nuevamente lafigura 16.6 de talforma que sea legiblealusuario. Entre otras cosas, a) Colóquense declaraciones de comentarios, a lo largo del programapara identi- ficar lo que cada una de las secciones vaarealizar. b) Etiquétese la entrada y la salida. 16.13 Pruébese el programa delproblema 16.12 duplicando los cSlculos de los ejem- plos 16.1, 16.3 y 16.4. 16.14 Utilicese el programa del problema 16.12 repitiendo los problemas 6.1 y 6.2. 16.15 Repítanse los problemas 16.13 y 16.14, pero usando elpaquete NUMERICOMP, disponible con el texto. 16.16 Desarróllese un programalegible al usuario delmetodo de Heun con un corrector iterativo. Tómesecomo base del programa lasfiguras 16.6 y 16.12. Pruébese el programa duplicando los resultadosdel cuadro 16.3. 16.17 Desarróllese un programa legible al usuario del método RK de Ralston de segun- do orden basado enlasfiguras 16.6 y 16.15. Pruébese el programa duplicando el ejemplo 16.16. 16.18 Desarróllese un programa legibleal usuario del método cldsico RK de cuarto or- den. Pruébese el programa duplicandoel ejemplo 16.8 y elproblema 16.6. 16.19 Desarróllese un programa para la computadora que sea legiblealusuario para sistemas de ecuaciones usando el método de Euler. Tómese como base del pro- grama el andlisis de la sección 16.4.1. Utilícese este programa para duplicar los cSlculos del ejemplo 16.12. 16.20 Repítase el problema 16.19. pero usando el método RK de cuarto orden.
- 584. C A P í T U L OD I E C I S I E T E MÉTODOS DE PASOS MÚ LTIPLES Los métodos de un paso analizados enel capítulo anterior utilizanla in- formación de un solopunto xi parapredecir un valordelavariable de- pendiente en un puntoposterior x , + ~(&. 17.1~1):Las técnicas alternas,llamados métodos de pasos múltiples, (Fig. 17.lb),se basan en el conocimiento de que una vez que los cálculos han empezado, la infor- mación evaluada en puntos previos sirve de guía. La curvatura de las lí- neasque conectan estos puntosanterioresproporcionainformación refermte a la trayectoria de la solución. Los métodos de pasos múltiples explorados en este capítulo consideran esta información para resolverED0 y evaluar su error. Antes de describir las versiones de orden superior, se presenta un método simplede segundo orden que sirveparademostrar lascaracterísticasgeneralesde los esquemas de pasosmúltiples. FIGURA 17.1 Esquemagráficode las diferenciasfundamentalesentre o) métodos de un paso y b) métodosdepasos múltiples enlasoluciónde EDO.
- 585. 574 MtTODOSNUMERICOS PARA INGENIEROS 17.1 UNENFOQUESIMPLE DE PASOSMúLTIPLES: MÉTODO DE HEUNSINPRINCIPIO Recuérdese que el métodode Heunusael método de Euler como un predictor: y la regla trapezoidd como corrector: [17.2] Por lo tanto, elpredictor y el corrector tienen errores locales de trunca- mientode O(h2)y O(h3),respectivamente.Estosugiereque el predictor sea el puntodébilenel método ya que tiene el mayor error. Este punto débil es significativo debidoa que la eficiencia delpaso corrector iterativo depende de la exactitud de la prediccióninicial.Por consiguiente, una manerademejorarelmétododeHeun es desarrollar un predictorque tenga un error local de O(h3).Esto se puede llevar a cabo usando el mé- todo de Euler y la pendiente en y,, perohaciendo la correccióndesde un puntoprevio yi.l, como en: La ecuación (17.3)no es auto-principianteya que implica un valor ante- rior de lavariable dependienteEstevalornodeberíaestardisponi- bleen un problematípico de valorinicial.Debido a este hecho, a las ecuaciones (17.3) y (17.2) se les conoce como método de Heun sin principio. Obsérvese que, como se muestraenlafigura 17.2, la aproximación a la derivadaenla ecuación (17.3) se localizaahoraenelpuntomedio envez de alprincipiodelintervalosobreelcual se hace la predicción. Como se demuestra subsecuentemente,este centrado mejorael error del predictor a O(h3).Sin embargo, antes de continuar a unaderivación for- mal del método deHeun sin principio,se resume el método y se expresa usandounanomenclatura un poco modificada: Predictor: ykl = yP1 + f(xi,y?) 2h Corrector: y(+l = y7 + fhi, Y 3 + f(Xi+l, YG) 2 (paraj = 1, 2, . . . , m) [17.4] C17.51
- 586. MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 575 FIGURA 17.2 Esquema gráfico del método de Heun sin principio. al método de P’Jnto medio usado como predictor; b) regla trapezoidal empleada como CO- rrector. donde los Subindices se han agregadoparadenotarque el corrector se aplica iterativamente desdej = 1a m para obtener soluciones refinadas. Nóteseque y? y y,ml son los resultadosfinalesdelasiteracionesdel co- rrector en los pasos de cálculo anteriores. Las iteracionesse terminan en cualquierpasodelcálculoenbase alcriteriode paro [17.6] Cuando E, es menor que una tolerancia preespecificada enel error, E, se terminanlas iteraciones. En este punto, j = m.El usodelas ecuaciones (17.4)a la (17.6)enla solución de una E D 0 se demuestraenel ejemplo siguiente.
- 587. 576 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS EJEMPLO 17.1 Método de Heun sin principio Enunciado del problema: utilicese el método de Heun sinprincipio para realizar los cálculos del ejemplo 16.5usando el método de Heun. Es de- cir, intégrese y ' = 4e0.8X- 0.5 y desde x = O hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 1.0. Como con el ejemplo 16.5, la condición inicial en x = O es y = 2. Sin embargo, debido a que se está utilizando un mé- todo de pasos múltiples, se requiere la información adicional de que y es iqual a -0.392995325 en x = - 1. Solución: se usa el predictor [Ec. (17.4)]para extrapolar linealmente de x = -1 a x "1: y': = -0.392 995 325 + [4e0.8io)- 0.5(2)]2 = 5.607 004 675 Entonces se usa el corrector [Ec. (17.5)]para calcular el valor - 0.5(2) + 4eo.8(') - 0.5(5.607004 675)] y : = 2 + 2 1 = 6.549 330 688 que representa un error relativo porcentual de - 5.73% (Valorverdade- ro = 6.194 631 377). Este error es algo más pequeño que elvalor de -8.18% contraído con el método de Heun auto-principiante. Ahora se puede aplicar iterativamente la ecuación (17.5)para mejo- rar la solución: y T = 2 + 3 + &o.8i') - 0.5(6.549330 688) = 6.313 749 185 2 que representa un E, del - 1.92%.También se puede determinar una aproximación del error usando la ecuación (17.6): 6.313 749 185 - 6.549 330 688 = 3,7%1 4 1 = 6.313 749 185 La ecuación (17.5)se puede aplicar iterativamente hasta que to se en- cuentre dentro de un valor E, preespecificado. Como en el caso del mé- todo de Heun (recuérdese el ejemplo 16.5),las iteraciones convergen al valor 6.360 86549 (E, = - 2.68%).Sin embargo, debido a que el va- lor del predictor inicial es más exacto, el método depasos múltiples con- verge en proporci6n un poco más rápida:
- 588. METODOS DE PASOS MúLTIPLES 577 1 Enel segundopaso, el predictor es y; = 2 + - 0.5(6.360865 49)]2 = 13.443461 2 €, = 9.43% que es superior a la predicción de 12.082 569 46 (E, = 18%calculada con el método de Heun original. El primercorrector lleva a 15.95539553 E, = - 6.8%) y las iteraciones siguientes convergen al mismo resultado que se obtiene con el método de Heun sin principio: 15.302 236 7 (E, = - 3.1%). Como en el paso anterior, la proporción de convergencia del corrector se perfecciona un poco debido ala mejor preducción inicial. 17.1.1 Obtencióny análisis de error de las fórmulas predictor-corrector Se han empleado conceptosgráficos para derivar el método sin principio de Heun. Hasta ahora se ha demostrado como las mismas ecuaciones se puedenderivar matemáticamente. La obtención de estas fórmulas par- ticularmente interesante debido a sus vínculos con las ideas de ajuste de curvas, integraciónnumérica y EDO. La obtención de estas fórmulas tam- bién es útil ya que proporciona un medio de avancesimple en el desarro- llo de métodos de pasos múltiples de orden superior y la aproximación a sus errores. La obtención se basa en la solución de la ED0 general Esta ecuación se puede resolver multiplicando ambos ladospor dx e inte- grandoentre los límites i e i + 1: El lado izquierdo se puede integrar y evaluar usando el teorema funda- mental [recuérdese la ecuación (16.21)]: Yi+l = Y¡ + h, f(x, y) dx Kit1 [17.7] Si se puedeevaluar la integral, entonces la ecuación (17.7)represen- ta la solución a la EDO. Es decir, esta fórmula proporciona una manera de calcular un nuevo valor de la variable dependiente y;, I en base al va- lor anterior y; y la ecuación diferencial. Las fórmulas de integración numérica tales como las desarrolladas en el capítulo 13proporcionan una manera de realizar esta evaluación. Por ejemplo, la regla trapezoidal [ecuación (13.3)Jse puede usar en la eva-
- 589. 578 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS luación de la integral, como en [17.8] donde h = x , + ~- x, es el tamaño de paso. Sustituyendo la ecuación (17.8) en la ecuación (17.7)seobtiene Y i i l = Yi + f k i l Y¡>+ f(Xi+l, Y i + d 2 -h que es la ecuación corrector delmétodo de Heun.Debido a queesta ecua- ción se basa en la regla trapezoidal, el error de truncamiento se puede tomardirectamente del cuadro 13.2: E, = - -1 h3Y"'((c) = - 1h3 f"((J 12 12 [17.9] donde el subíndice c denota que éste es el errordelcorrector. caso, los límites de integraciónvan desde i - 1 a i + 1: Se puede usar un esquema similar para derivar el predictor. En este y" dy = r"f (x, y) dx ]Y¡-1 J x ~ -1 que se puede integrar y reordenar para obtener [17.10] Ahora, en vez de usar una f6rmula cerrada del cuadro 13.2,se puede usar la primera fórmula de integraciónabierta de Newton-Cotes (véase el cuadro 13.4)para evaluar la integral [17.11] a la cual se le llama el método del punto medio. Sustituyendo la ecua- ción (17.11) en la ecuación(17.10) se obtiene yi+l = yi-1 f f(xi, yJ2h que representa al predictor del método de Heunsin principio. Como su- cede con el corrector, el error local de truncamiento se puede tomar di-- rectamente del cuadro 13.4 E, = 5 h 3 y"'((,) = 5 h3 f"(&,) [17.12] donde el subíndice p denota que éste es el errordelpredictor. Por lo tanto, el predictor y el corrector del método de Heunsin prin- cipio tienen los mismos errores de truncamiento. Además de aumentar la exactitud del predictor, este hecho tienelos beneficios adicionales rela- cionados con el análisis del error. como semuestra en la siguiente sección.
- 590. METODOS DE PASOS 579 17.1.2 Aproximación del error Si el predictor y el correctorde un métododepasos múltiplessondel mismo orden, entonces el error local de truncamiento se puede obtener a lo largo delcálculo. Esta es una ventaja tremenda debidoa que estable- ce un criteriodeajusteen el tamaño del paso. Elerror local de truncamiento del predictor se calcula mediante laecua- ción (17.12).Esta aproximación del errorse puede combinar conla apro- ximación de y;, ,del paso predictor para obtener [recuérdesela definición básicade la ecuación (3.l)]: Valorverdadero = yp+l + $ h3 y”’(&,) C17.131 Usando un esquema similar, la aproximacióndelerrorparaelpredictor [Ecuación (17.9)]se puede combinar con el valor verdadero y el resulta- dodel corrector genera: Valorverdadero = y21 - ffh3y”’(&) C17.141 La ecuación (17.13)se puede restar de la ecuación (17.14)para obtener o = y21 - y?+1 - & h 3 y”’([) r17.151 donde 4 está entre xiPly xi+l.Ahora dividiendo la ecuación (17.15)en- tre 5 y reordenandotérminos el resultado es C17.161 Obsérvese quelos lados derechos de las ecuaciones (17.9)y (17.16)son idénticos, conla excepción delargumentode la terceraderivada.Si la tercera derivada no varía apreciablemente sobreel intervalo en cuestión, se suponeque los lados derechos soniguales, y, por lo tanto, también los ladosizquierdosdebenser iguales, como en [17.17] Por lo tanto, hemos llegado a una relación que se puede usar para apro- ximar el error de truncamiento por pasoen base a dos cantidades,el pre- dictor (y:+l) y el corrector (yzJ, quesonrutinasporproductos de los cálculos.
- 591. 580 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS EJEMPLO 17.2 Aproximación del error de truncamiento por paso para el método de Heun sin principio Enunciado del problema: utilícese la ecuación (17.17)para aproximar el error de truncamiento por paso del ejemplo 17.l. Obsérvese que los va- lores verdaderos en x = l y 2 son 6.194 63138 y 14.843921 9, respec- tivamente. Solución: en x,, = 1,el predictor genera 5.607 004 675 y el corrector genera 6.360 865 49. Estos valores se pueden sustituir en la ecuación (17.17)y obtener 6.360865 49 - 5.607 004 675 = -o,150 772 163E = - 5 que es comparable con el error exacto, .E,= 6.194 631 38 - 6.360 865 49 = -0.166 234 110 En x , , ~= 2, elpredictor genera 13.4434619 y el corrector 15.302 236 7, que se usan para calcular E = "- 15.302 236 7 - 13.4434619 = "o,371 754 960 5 que también secompara favorablemente con el error exacto, E, = 14.843 921 9 - 15.302 236 7 = - 0.458 314 8. Lafacilidad con que se puede calcular el error usando la ecuación (17.7)representa una ventaja importante delos métodos de pasosmúlti- ples sobre los mgtodos de un solo paso. Entre otras cosas, esto propor- ciona una base racional en el ajuste de tamaño de pasodurante el curso de los cálculgs. Por ejemplo, sila ecuación (17.17) indica que el error es mayor alnivel aceptable, el tamaño de paso debe disminuir. En una sección subsiguiente (sección 17.4),delinearemos como estos ajustes en los tamaiios de paso se pueden incorporar en un algoritmo para la com- putadora. 17.1.3 Modificadores Antes de desarrollar algoritmospara la computadora, se deben notar otras dos formas enque se puede hacer más exacto y más eficiente al método de Heunsin principio. Primero, se debe tomaren cuenta que la ecuación (17.17),además de proporcionar un criterio en el ajuste del tamaño del
- 592. MÉTODOS PASOS MÜLTIPLES 581 paso, representa una aproximación numéricade la diferencia entre el va- lorcorregidofinalen cada unodelospasos y,+] y el errorverdadero. Por lo tanto, éstepuedesumarsedirectamente y,,] paramejorar aún másla aproximación: YZ1 - Yi+l 5 O YZl + YE1 - L17.181 A la ecuación (17.18) se lellama corrector modificador. (Elsímbolo -se lee“sereemplaza por”.) El ladoizquierdo es elvalormodificadode Y%]. Una segundamejora, relacionada más conla eficiencia de programa- ción,es el predictor modificador, elcual estádiseñadoparaajustar el resultado del predictor de tal manera queesté más cercano al valor con- vergentefinal del corrector. Esto es ventajoso debidoa que, como se men- ciona al principio de esta sección, el número de iteraciones del corrector depende altamente de la exactitud de la predicción inicial. Por consiguiente, sila predicción se modifica de manera conveniente, se puede reducir el número de iteraciones necesarias para convergera un valor final del co- rrector. Este modificador puede derivarse simplemente suponiendo que la ter- cera derivada es relativamente constante de paso a paso. Por lo tanto, usando el resultado del paso anterior en i, la ecuación (17.16) se puede resolverpor [17.19] la cual, suponiendo que y ’’ (t)= y ”’ (,$J. se puede sustituirenla ecua- ción (17.12) para obtener E17.201 que entonces se puedeusarparamodificarelresultadodelpredictor: Yi+l +YLl + 4 (y? - y:)O r17.211 EJEMPLO 17.3 Efecto de los modificadores en los resultados del predictor-corrector Enunciado del problema: calcúlese nuevamente el ejemplo 17.1 usando losmodificadoresespecificadosen lafigura 17.3. Solución: como enel ejemplo 17.1, el resultadodelpredictorinicial es 5.607 004 675. Debido a que elpredictormodificador [Ec.(17.21)] requiere de valoresde una iteración previa,éste no puede emplearsepa- ra mejorar elresultadoinicial.Sin embargo, la ecuación (17.18) se usa
- 593. 582 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS FIGURA 17.3 Secuencia de fórmulas usadas en la implementación del método de Heun sin principio. Nótese que la aproximación al error del corrector se pue- de usar para modificar el corrector. N o obstante, debido a que esto puede afectarlaestabilidaddelcorrector, el modificadorno se incluye en el algoritmo. El error calculado del corrector se incluye debido a su utili- dad en el ajuste del tamaño del paso. paramodificarelvalorcorregidode 6.360 865 49 (e, = - 2.684%), como en: yí'' = 6.360 865 49 - 6.360 865 49 - 5.607 004 675 = 6,210 093 327 5 que representa un E, = - 0.25%. Por lo tanto, el errorsereduceen cuanto a su magnitud. Enla siguiente iteración el predictor [Ec. (17.411se usaparacalcular y$ = 2 + [4eU.8(')- 0.5(6.210 093 327112 = 13.594 234 10 e:, = 8.42%
- 594. MÉTODOS DE PASOSMÚLTIPLES 583 es alrededor de delejemplo 17 se est&usando la mitad del error del predictor de la segunda itera- . l , elcualfue E , = 18.6%. Esta mejora se debe a unaaproximaciónsuperiorde y (6.210 093327, opuesto a 6.360 865 49)en el predictor. En otras palabras, el error pro- pagado y global se reducen mediante la inclusión del corrector modificador. Ahoradebido a que se tieneinformacióndelaiteración anterior, la ecuación (17.21) se empleaparamodificar el predictor. = 13.594 234 10 + - (6.360 865 49 - 5.607 004 675) 4 5 = 14.197 32275 E, = -4.36% que nuevamente, divideendosel error. Esta modificación no tieneefecto sobre el resultado final de los pasos del corrector subsiguientes. Independientementede cuando se usen pre- dictores modificados o sin modificar, el corrector finalmente converge a lamisma respuesta. No obstante, debido a que la proporción o eficiencia de la convergencia depende dela exactitudde la predicción inicial, lamo- dificación puede reducir el número de iteraciones necesarias parala con- vergencia. La implementación del corrector llevaal resultado de 15.211777 23 ( E , = - 2.48%) elcualrepresentaunamejoríasobreel ejemplo 17.1 debido a la reducción del error global. Finalmente, este resultado se mo- dificausando la ecuación (17.18): y 5 = 15.211 77723 - 15.211 77723 - 13.59423410 5 = 14.88826860 E , = -0.30% Nuevamente, elerror se hareducidoenmagnitud. Como en el ejemplo anterior,la suma delos modificadores incrementa la eficienciay la exactitud de los métodos depasos múltiples. En particu- lar, el correctormodificadorefectivamenteincrementa el ordendel mé- todo. Por lo tanto, el métododeHeun sinprincipiocon modificadores, es el tercer orden envez de segundo orden como fueel caso enla ver- sión sin modificar. Sin embargo, se debe notar que existen casos en don- de el correctormodificador afecta laestabilidaddel corrector. Como consecuencia, elmodificadorno se incluyeenelalgoritmodel método de Heun sin principio delineado enlafigura 17.3. No obtante, el correc- tormodificadoraúnpuedetenerutilidadparaelcontroldeltamañode paso analizado en la sección 17.1.5.
- 595. 584 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS I 2 3 aao D I M E N S I O NX ( l O O ) , Y ( l O O ) COMMOH X I , Y l , U F<X,Y1*4*EXP( .B*X>-.S*V READ(5.1 >X( 1 >,XF Xl.X( I >... ... .. READ( S , 1 >U FORMAT<ZF1 O . O1 REIDCS.2)MX FORMAT( IS> READCS. 1 )ES LVLI 1Y 0 210 220 230 ... 2 4 0 250 260 27ü" 280 290 30CI 310 320 333 340 350 300 370 380 3uo 4üü 430 410 440 4sü 46ü 470 FOR J = I TU MX I ) 5 2 = F N F ( f < h l ) x x = X ( h ) YP = vet., YIK! = Y i P I + H * ($1 + S i J / 2 PI = PIJ CI = CIJ NEXT I PRINT XlIl.VlI) END ecuaclóndiferenclali IFunclÓn queespeciflca la X i l l . XF = valores Inlclal y flnal de la variable Independiente H = tamaño del paso M X = Iteraclones máxlmas del corrector ES = error aceptable (%I delcorrector Y11 l = valor lnlclal de la varlable dependlente (Subrutinaparacalcular el segundo valor de la varlable dependlenteusando el método RK decuarto orden1 NC = número depasos de XI1 1 a X F (Predlctorl IPredlctor modlflcadorl (Corrector) FIGURA 17.4 Programas en FORTRAN Y BASIC delmétododeHeun sin principio. 17.1.4 Programa para computadorade los métodos de pasos múltiples En la figura 17.4se muestra un programa para la versión de tamaño de paso constantedel método de Heunsin principio. Obsérvese que el pro- grama incluye el predictormodificador delineado en la figura 17.3. Debido a que este algoritmo emplea un tamaño de paso constante, se debe escoger unvalor de h al principio de los cálculos. En general, la experiencia indica que un tamaño de pasoideal debe ser bastante pe- queño para asegurar la convergencia dentro de dos iteraciones del co- rrector (Hully Creemer, 1963).Además, debeser demasiado chico para generar un error de truncamiento lo suficientemente pequeño. Al igual que conlos otros métodos paraEDOs, la única forma práctica de valorar la magnitud del error global es la de comparar los resultados del mismo problema pero disminuyendo los tamaños de pasoa la mitad cada vez. Obsérvese que se usa un método RK de cuarto orden para generar los puntos necesarios al principio del cálculo. Para este propósito se es- coge un método RK de cuarto orden debido a que, aunque es un poco más difícilde programar que los métodos de orden inferior, su mayor exac- titud justifica su uso.
- 596. MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 585 17.1.5 Beneficios en el control del tamaño de paso Con la excepción del método RK-Fehlberg analizado enla sección 16.3.5, se ha empleado un tamañodepasoconstanteparaintegrarnumérica- mente ecuacionesdiferenciales ordinarias. Aunque tal esquema tieneuna alta utilidad en muchos problemas de ingeniería, existen ciertos casos en donde es altamente ineficiente. Porejemplo, supóngase yuese está inte- grando una E D 0 conunasolucióndeltipomostradoenlafigura 17.5. Para la mayorpartedel rango, lasolucióncambiagradualmente un ta- maño de paso grande para obtener resultados adecuados. Sin embargo,en unaregiónlocalizadade x = 1.75 a x = 2.25, la soluciónmuestra un cambioabrupto enla formadeunafunciónimpulso o pico. A las ED0 cuyassolucionesconsisten de componentes devariaciónrápida o lenta se lesllama ecuaciones rigidas. La consecuencia práctica al tratar con tales ecuaciones es que se re- quiere un tamañode paso muy pequeño paracapturar exactamente el comportamiento impulsivo. Si se empleara un algoritmo con tamaño de paso constante, el tamario de paso necesario m6s pequeño enlaregión de cambio abrupto tendría que aplicarse al rango entero de cálculo. Co- mo una consecuencia, se aplicaría un tamaño depaso más pequeño que el necesario y, por lo tanto, muchos más cálculos a laregión de cambio FIGURA 17.5 Ejemplo de la solución de una ED0 que muestra un comportamiento ti- po impulsivo. Los ajustes automáticos en el tamario del paso son desven- tajososenestos casos. """" ,.
- 597. 586 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS gradual. En tales casos un algoritmoqueajusteautomáticamente el ta- maño de paso evitaría estas deficienciasy por lo tanto sería de gran ventaja Corno ya se dijopreviamente,los mktodos de pasos múltiples descri- tos en este capítulo proporcionan una base para tal algoritmo. Porlo tan- to, puede parecer accidental queel programa para computadora descrito enla sección anterior empleara un tamaño de paso constante. La razón por la que se haseparadoestaventajadelalgoritmogeneralesque el ajuste al tamaño de paso no es una tarea de programación trivial.De he- cho el costo (dado entérminosdeltiempodeprogramación o el costo dedesarrollo de programas)puedeser un factordecisivocuando se escoja la incorporación de esta opción. Con este antecedente, se descri- bela mecánica del control del tamaño de paso. Este análisis debe hacer- se claroporque incluir este aspecto no es un ejerciciotrivial. Lamanera de escoger el tamañodelpaso se prediceenbase a un conjunto de factores. En general, el tamaño dellapsodebe hacerse lo suficientementepequeño de tal forma que el corrector converja y que se mantenga asíen tantas iteraciones comosea posible. Adicionalmente, debe sertan pequeño que los resultados sean lo sufientemente exactos para los requisitos de un problema. AI mismo tiempo, el tamaño del paso de- be ser tan grande como sea posible de tal forma que minimice el tiempo al momento de la corrida y elerrorde redondeo. Comúnmente seusandoscriteriosparadecidircuando un cambio enel tamaño del paso se justifica. Primero, sila ecuación (17.17) es ma- yor que un criterio de error previamente especificado, entonces el tama- ño del paso decrece. Segundo, se escogeel tamaño del paso de tal manera que el criterio de convergencia del corrector se satisfaga en dos iteracio- nes. Estecriterio se proponeconsiderarlasventajas y desventajasque existenentre la relacióndeconvergencia y el númerototaldepasosen el cálculo. Para valores pequeños de h , la convergencia es másrápida pero se requierenmás pasos. Para h más grande, la convergenciaes lentapero se necesitan menos pasos. Laexperiencia (Hull y Cremer, 1963) sugiere quelos pasos totales seminimizan si h se escoge de tal ma- neraqueelcorrector converja dentrodedos iteraciones. Por lo tan- to, si se requieren más de dos iteraciones, el tamaño de paso disminuye y si se requieren menos de dos iteraciones, entonces el tamaño del paso se aumenta. Aunque la estrategiaanteriorespecificacuando se llevan a cabo las modificacionesdel tamaño del paso no especificacómo se debe cambiar. Esta es unapreguntacrítica ya que los métodosdepasosmúltiplespor definición requieren de varios puntos para calcular uno nuevo. Unavez que el tamaño delpaso se cambia, se debe determinar un nuevo conjun- to de puntos. Una manera de hacerlo es la de reiniciarlos cálculos y usar el método de un solo punto para generar un nuevo conjunto de puntos iniciales. Una manera más eficiente de hacerlo y que hace uso de la informa- ciónexistente es aumentar al doble y disminuirel tamaño de paso a la
- 598. MhODOS DE PASOS 587 mitad. Como se muestra en la figura 17.6a,si se ha generado un núme- ro suficiente de valores anteriores, aumentando el tamaño del pasoal doble, es algo relativamente correcto (Fig. 17.6~).Todo esto es necesario para mantener la informacióndelossubindices de talformaque los valores anteriores dex y y vengan a ser los nuevos valores. Disminuir a la mitad el tamaño del paso es algo más difícilya que algunos de los nuevos valo- res no se encuentrandisponibles (Fig. 17.6~).Sin embargo, se pueden usar los polinomiosdeinterpolacióndeltipodesarrollado enel capítulo 11 paradeterminarestosvaloresintermedios. En cualquier caso, la decisión de incorporar el control sobre el tama- ño del paso representa hacer una evaluación entre el tiempo para desa- FIGURA 17.6 Gráfica que indica la estrategia de dividir y duplicar unsegmento que permite el uso de a) valores calculados previamente con un método de pasos múltiples de tercerorden. b) Dividiendo a la mitad y c) duplicando.
- 599. 588 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS rrollar un programa complejo paralos términos grandesy la eficiencia que se requiere. Obviamentela magnitud y la importancia del problema mis- mo ayudará a elegir una opción. 17.2 FóRMULAS DE INTEGRACIóN El método de Heun sin principio es característico de la mayor parte de los métodos de pasosrn~últiples.Emplea una fórmula de integración abierta FIGURA 17.7 Ilustración de la diferencia fundamental entre el método de Newton-Co- tes y la fórmula de integración de Adams. a) Las fórmulas de Newton- Cotes usan una serie de puntos para obtener una aproximación a la in- tegral sobre un conjunto de segmentos.La aproximación se usa después pura proyectarse sobre el rango completo b) Las fórmulas de Adams usan una serie de puntos para obtener una integral aproximada con un solo segmento. La aproximación seusa entonces para proyectarse so- bre este segmento.
- 600. MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 589 (elmétodo del punto medio) paracalcular una aproximación inicial. Este paso predictor requiere un punto previo. En seguida se aplica iterativa- mente unafórmula de integración cerrada (laregla trapezoidal) para me- jorar la solución. Es obvio que una estrategia de mejoramiento sobre los métodos de pasos múltiples podría ser la de usar fórmulas de integración de orden superior como predictores y correctores. Por ejemplo, podrían ser útiles para este propósito las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior de- sarrolladas en el capítulo 13. Antes de describir estos métodos, se revisan algunas de las fórmulas de integración máscomunes sobre las cuales estánbasados. Como se men- ciona anteriormente, las primeras de éstas son las fórmulas de Newton- Cotes de orden superior. No obstante existe una segunda clase llamadas fórmulas de Adams que también se revisan y que seprefieren a menudo. Como muestra la figura 17.7, la diferencia fundamental entrelas fórmu- las de Newton-Cotes y de Adams está relacionada con la manera como se aplica la integral para obtener la solución. Como semuestra en la figu- ra 17.7a, las fórmulas de Newton-Cotes calculan la integral sobre un in- tervalo generando varios puntos. Esta integrai se emplea para proyectar desde el principio hasta elfinaldel intervalo. En contraste, las fórmulas de Adams (Fig. 17.7b) usan un conjunto de puntos deun intervalo para calcular la integral solamente del último segmento en el intervalo. La in- tegral se usa después paraproyectarse a través de este último segmento. 17.2.1 Fórmulas de Newton-Cotes Algunas de las fórmulas más comunes pararesolver ecuaciones diferen- ciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolación de n-ésimo grado para n + 1puntos conocidos de y y después se usa esta ecuación paracalcular la integral. Como seanaliza previamente en el ca- pítulo 13,las fórmulas de integración de Newton-Cotes se basan en este esquema. Estas fórmulas son de dos tipos: abiertas y cerradas. Fórmulas abiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las fórmulas abiertas se pueden expresar en la forma de una solución de una EDO, como sehizo anteriormente en la ecuación (17.10).La ecuación general para este propósito es [17.22] donde !,(x) es un polinomio de interpolación de n-ésimo orden. La eva- luación de la integral obtiene una fórmulade integración abiertade Newton- Cotesde n-ésimo orden. Por ejemplo si n = 1.
- 601. 590 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS donde f, es una abreviación de f(xi,y,), esto es, la ecuación diferencial evaluada en xiy y,. A la ecuación (17.23) sele llama método del punto medio y se usa previamente como el predictor del método de Heun sin principio. Para n = 2, 3h Yi+ 1 = Yi-2 + 7j-ifi + fi-1) y para n = 3, La ecuación (17.24) se muestra gráficamente en la figura 17.8~1 Yi+l = Y¡-n+l + I f"(XMX Y + I Xi-n+l [17.251 FIGURA 17.8 Esquema de las fórmulas de integración cerradadeNewton-Cotes. a) Tercera fórmula abierta [Ec. (17.24)] Y b) regla de Simpson de 1/3 [Ec. (17.26)].
- 602. METODOS DE PASOS 591 donde la integral se aproxima mediante unafórmula cerrada de Newton- Cotes(cuadro 13.2).Porejemplo,para n = 1: h Yi+l = Y¡ + 5 (fi + f i + l > que es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2: h 3 Y ~ + I= yi-1 + - Cfi-1 + 4fi + f i + l ) C17.261 la cual es equivalente ala regla de Simpson de 1/3. La ecuación (17.26) se muestra en la figura 17.8b. 17.2.2 Fórmulas de Adams El otro tipo de fórmulas de integración que se puede usar en la solución de E D 0 son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de pasos múlti- ples muy utilizados en computación que resuelven E D 0 se basan en es- tas fórmulas. Fórmulas abiertas (Adams-Bashforth).Las fórmulas de Adams se pue- den obtener de varias formas. Un método esel de escribir una expansión hacia adelante de la serie de Taylor alrededor del punto xi: que se puede escribir como [17.27] Recuérdese de la sección 3.5.4 que se puede usar una diferencia hacia atrás para aproximar la derivada: f; = -fi - fi-1 fI’ h 2 + - h + O(h2) que se puede sustituir en la ecuación (17.27)para obtener o, agrupando términos: yi+l = y, + h($fi - fi-1) + & b 3 fl‘ + O(h4) [17.28]
- 603. 592- MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS A estafórmula se le llama segunda fórmulaabierta de Adams. Las Fórmulas abiertas de Adamsson designadas también como fórmulas de Adams-Bashforth. Por consiguiente a la ecuación (17.28) algunas veces se le llama segunda fórmula de Adams-Bashforth. Se pueden desarrollar fórmulas de Adams-Bashforth de orden supe- rior sustituyendo las derivadas de orden superior por aproximaciones en la ecuación (17.27). La fórmula abierta de Adams de n-ésimo orden se puede representar por lo común como n-1 [17.29] Los coeficientes Pk se muestran en el cuadro 17.1. La versión de cuarto orden se muestra en la figura 17.9a. Nótese que la primeraversión es el método de Euler. Fórmulas cerradas (Adams-Moulton).Una expansión de la serie de Tay- lor alrededorde xi+ se puede escribir como yi = Y¡+] - h+lh + -+* - f:+1 L Resolviendopara yj+ seobtiene l17.301 Se puede usar una diferencia para aproximar la derivada: CUADRO 17.1 Coeficientes y error de truncamiento en los predictoresde Adams-Bashforth Error local de Orden Po PI Pz P3 P4 P s truncamiento 1 1 4 55 59 37 9 242424 24 - " - " 1901 2 774 2 616 1 274 251 475 720 720720 720720 1440 4 277 792399827 298 2877 475 19 087 h7f(6)(0 5 6 __ "__ "~ -h6f'"([) __ -~ __ "__ 720720 720 720720 720 60 480 " -
- 604. MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 593 FIGURA 17.9 Esquema de las fórmulas de integración deAdams abiertas y cerradas. u). Fórmula abierta de Adams-Bashforth de cuarto orden y b) fórmula cerrada de cuarto orden de Adams-Moulton. f! = ___I+ 1 fi+l - fi + &lh + O(h2) h 2 que se sustituyeenla ecuación (17.30)para obtener: Y,+]= y; + h [i.,,- A esta fórmula se le llama fórmula cerrada de Adams de segundo orden o segunda fórmula de Adams-Moulton. Obsérvesetambiénqueésta es la reglatrapezoidal.
- 605. 594 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CUADRO 17.2 Coeficientes y error de truncamiento en los correctoresde Adams-Moulton 2 1 1 2 2 - - 3 4 5 5 8 12 12 9 19 2424 251 646 720720 - - - - " Error local de P2 P 3 P4 PS truncamiento 1 12 1 1 12 - -h3P(5) " -- __ h4{f'3)(() -h5f'4'(5) 19 720 26410619 720720 720 " - " -.-.____27 ,!,6f(5)(5) 1 AA0 6 475 1 427 798 482 173 27 863 h7f(6,(5) _ _ - 1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 &I480 "~~""- L a fórmula cerrada de Adams se puede escribir generalmente como n-1 y!+] = yi + h P k f i i l - k + O(h"+') k=O Los coeficientes & se listan en el cuadro 17.2. El método de cuarto or- den se muestra en lafigura 17.9b. 17.3 MÉTODOS DE PASOSMúLTIPLES DE ORDEN SUPERIOR Ahora que se han desarrollado formalmente las fórmulas de integración de Newton-Cotes y de Adams, podemosusarlas en la derivación de mé- todos de pasos múltiples de orden superior.Como en el caso del método de Heun sin principio, las fórmulas de integración se aplican en fila como los métodos de predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y ce- rradas tienen errores locales de truncamientodel mismo orden, entonces los modificadores listados en la figura 17.3 se pueden incorporar en el mejoramiento de la exactitud y para permitir el control sobre los tamaños del paso. En el recuadro 17.1se proporcionan ecuaciones generalespa- ra estos modificadores. Enla siguiente sección, se presentan dos de los RECUADRO 17.1 Obtenciónde las relacionesgeneralesde los modificadores La relación entre el valor verdadero,laaproximación, Va,or verdadero = + "& + I ~ ( ~ + I ) ( ~ ~ ) y el errorde un predictor se puederepresentargene- % ralmente como [B17.1.1]
- 606. MÉTODOS DE 595 donde vc y 6, son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento del predictorde cual- quiera de los métodos abiertosde Newton-Cotes (cuadro 13.4) o de los métodos de Adams-Bashforth(cuadro17.1) y n es el orden. Se puede desarrollar una relación similar para el co- rrector Valor verdadero = y;"+l- s,h'Jc n + l y (n+l)(5,) [B17.1.2] donde y 6, son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento para cualesquieraCO- rrector de Newton-Cotes abierto (cuadro 13.2) O de Adams-Moulton (cuadro 17.2). Como sehizo en la deri- vación de la ecuación (17.15),la ecuación (B17.1.1)se puede sustraer de la ecuación (B17.1.2)para obtener [B17.1.3] Ahora dividiendo la ecuación entre vc + vp6J¿iP,multi- plicando elúltimo término por 6,/6, y reordenando tér- minos se obtiene una aproximación del error local de truncamiento del corrector Yl+l - YE1 rlc + 'JPWS, O E, = Para el predictor modificador, la ecuación (B17.1.3) se puede resolver en el paso anterior mediante que se puede sustituir en el término del error de la ecua- ción (B17.1.1) para obtener [B17.1.5] Las ecuaciones (B17.1.4) y (B17.1.5)son versiones ge- nerales que se pueden usar para mejorar los algoritmos de pasos múltiples. Por ejemplo, el método de Milne tie- ne ?, = 14, 6, = 45, vc = l, y 6; = 90. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (B17.1.4)y en (B17.1.5) se obtienen las ecuaciones (17.33)y (17.34).Se pueden desarrollar modificadores sirnilares para otro par de fórmulas abiertas y cerradas que tienen errores locales de truncamiento delmismo orden. métodos de paso múltiple de orden superior más comunes: el método de Milne y el método de Adams de cuarto orden. 17.3.1 Método de Milne El método de Milne es el método depasos múltiples más común basado en las fórmulasde integración de Newton-Cotes.Este usa la fórmula abierta de Newton-Cotes de tres puntos como predictor: [17.31] y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson de 1/3) como corrector: y{+1 = yim_1+ !gfi"-l+ 4jy + f{;!) [17.32] Los modificadores predictor y corrector del método deMilne se pue- den desarrollar a partir de las fórmulas del recuadro 17.1y los coeficien- tes del error de los cuadros 13.2 y 13.4: E, = %(y? - y?) [17.331
- 607. 596 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Y EJEMPLO 17.4 Método de Milne Enunciado del problema: utilicese elmétodo deMilne para integrar y' = 4&.Y - 0.5y desde x = 4 usando un tamaño de paso de 1.La condi- ción inicial en x = O es y = 2. Debido a que se utiliza un método de paso múltiple, se necesitan los puntos anteriores. En una aplicación verdadera se debe usar bun método de un paso tal como RK de cuarto orden para calcular lospuntos necesarios. En este ejemplo, se usa la solución analítica [recuérdese la Ec. (E16.5.1) del ejemplo 16.51 para calcular los valores exactos en xi-3 = - 3, xi-2 = - 2, y xi"l = 1de yi-3 = - respectivamente. 4.547 302 219, yi-2 = - 2.306 160 375 y yi-1 = - 0.392 995 325 Solución: el predictor [Ec. (17.31)]se emplea para calcular un valor en x = 1: y; = -4.547 302219 + 4[2(3) - 1.993813 519 + 2(1.960 666 259)] 3 = 6.022 723 13 €, = 2.8% El corrector [Ec. (17.32)J seempleaentonces para calcular y: = -0.392 995 325 + 711.993 813 519 + 4(3) + 5.890 802 1-57] 1 = 6.235 209 902 C, -0.66% Este resultado se sustituye en la ecuación (17.32)para corregir iterativa- mente la aproximación. Este proceso converge a un valor corregido final de 6.204 854 65 (E, = - 0.17%). Este valor es más.exacto que la aproximación comparable de 6.360 865 49 (E, = - 2.68%) obtenido previamente con el método de Heun sin principio (ejemplos17.1al 17.3).Los resultados en los pasos restantes son y (2) = 14.860307 2 (E, - O . l l % ) , y (3)= 33.724260 1 = - 0.14%),y y (4) = 75.432 948 7 (E, = - 0.12%). Corno en el ejemplo anterior, el método deMilne, en general, obtie- ne resultados de alta exactitud. Sin embargo, existen ciertos casos en los que ésta es baja. Antes de entrar en detalle en estos casos. se describirá otro método de pasosmúltiples de orden superior, el método de Adams de cuarto orden.
- 608. METODOS D E PASOS MúLTIPLES 597 17.3.2 Método de Adams de cuarto orden Un método de pasos múltiples ampliamente usado basadoen las fórmu- las de integraciónde Adams utiliza la fórmula de cuarto ordende Adams- Bashforth(cuadro 17.1)como predictor: y?+* = y? + h(zf!"24 I - sf?24 I 1 + zf"'24 1-2 - zfF3) [17.35] y la fórmula de cuarto orden de Adams-Moulton (cuadro17.2)como co- rrector: y{+l y? + h (xfj-124 1+1 + Bf!"24 I - Af!"24 1-1 + 'f!"24 1-2 ) [17.36] Los modificadores predictory corrector del método de Adams de cuar- to orden se pueden desarrollara partir de las fórmulas del recuadro 17.1 y los coeficientesdeerror de loscuadros 17.1 y 17.2 para obtener: [17.37] [17.38] EJEMPLO 17.5 Método de Adams de cuarto orden Enunciado del problema: utilícese el método de Adams de cuarto orden pararesolverelmismoproblemadelejemplo 17.4. Solución: el predictor [Ec. (17.35)lse usa para calcularun valor en x = 1. y? = 2 + I(E3 - $1.993 813 519 + 1.960 666259 - 9 2.649 382 908)24 = 6.002 716992 E , = 3.1% que es comparable pero un poco menos exacto que el resultado obteni- doconel métododeMilne. El corrector [Ec. (17.38)Jse empleapara calcular y{ = 2 + l(&5.900 805 218 + E3 - & 1.993 813 519 + & 1.960 666 259) = 6.254 118 568 E , = -0.96% quenuevamente es comparablepero un poco menos exacto que el re- sultado obtenido con el método de Milne. Este resultado se puede susti-
- 609. 598 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENfEROS tuir en la ecuación (17.38)para corregir iterativamente la aproximación. El proceso converge a un valor corregido final de 6.214 423 582 (E, = 0.32%) el cual es un resultado exacto pero nuevamente algo inferior al obtenido con el método de Milne. 17.3.3 Estabilidad de los métodos de pasos múltiples La gran exactitud mostrada por el método deMilne en los ejemplos 17.4 y 17.5puede anticiparse con base en los términos del error de los predic- tores[Ec. (17.33) y (17.37)]y a los de los correctores [Ec. (17.34) y (17.38)].Los coeficientes del método de Milne, 14/45 y 1/90, son más pequeños que para el método de Adams, 251/720 y 19/720. Adicio- nalmente, el método de Milne emplea algunas evaluaciones más de la función para alcanzar estas altas exactitudes. Por los valores obtenidos, estos resultados pueden llevar a la conclusión de queel método deMilne es superior y, por lo tanto, es preferible al método de Adams de cuarto orden. Aunque esta conclusión se cumple en la mayor parte de los ca- sos, existen ejemplos en donde el método de Milne trabaja inadecuada- mente. Este comportamientose muestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 17.6 Estabilidad del método de Milne y del método de Adams de cuarto orden Enunciado del problema: utiliceseel método de Milne y el método de Adams de cuarto orden para resolver "- dx con la condición inicial de que y = 1en x = O. Resuélvase la ecuación de x = O a x = 10 usando un tamañode paso h = 0.5. Nótese que la solución analítica es y = e "'. Solución: los resultados, resumidos en la figura 17.10. indican problemas con el método de Milne. Un pocodespués del arranquede los cálculos, los errores empiezan a crecer y a oscilar en el signo. En t = 10, el error relativo se ha inflado a 2 831% y elvalor predecid0 mismo ha empezado a oscilar en el signo. En contraste, los resultados delmétodo de Adams son mucho másacep- tables. Aunque el error también crece, lo hace de manera lenta. Adicio- nalmente, las diferencias no deberían exhibir los cambios bruscos de signo mostrados por el método de Milne.
- 610. MÉTODOS DE PASOS 599 FIG1J RA 17.10 Esquema de la inestabilidad del método deMilne. AI comportamientoinaceptablemanifestado enel ejemploanterior delmétodo de Milne se lellama inestabilidad. Aunque esto nosiempre ocurre, su posibilidadllevaalaconclusiónde que el método de Milne debe evitarse. Porlo tanto, normalmente se prefiere el método de Adams decuarto orden. La inestabilidad del método de Milne se debe al corrector. Por consi- guiente, se han hecho intentosderectificaresteinconveniente desarro- llando correctores estables. Una alternativa usada comúnmente que emplea este esquema es el método de Hamming, que usaelpredictor de Milne y un correctorestable: . 9yT - yrp + 3h(f{;: + 2fT - f rl) Yi+l = 8 que tiene un errorlocal de truncamiento E, = &h5f4)(&) El métododeHammingtambiénincluyemodificadores de la forma
- 611. 600 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS Y El lectorpuedeobtenerinformaciónadicionalsobreeste y losotros mé- todos de pasos múltiples en otras obras (Hamming, 1973; Lapidus y Sein- field, 1971). PROBLEMAS Cálculos a mano 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 Resuélvase el siguiente problema de valorinicialsobreelintervalo de x = 2 a x = 3: dY d X - -0.5, Utilicese el método de Heunsin principiocon un tamaño de paso de 0.5 y las condiciones inicialesy(1.5) = 4.723 67 y y(2.0) = 3.678 79.ltérese con el co- rrector hasta E, = l%.[Nota: los resultadosexactos obtenidos analíticamente son y(2.5) = 2.865 05y y(3.0) = 2.231 30.1Calcúlese el errorrelativo porcentual E" en los resultados. Repítase elproblema 17.1 usando el método de Milne. [Nota:y(0.5) = 7.788 O1 y y(1.0) = 6.065 31.) Itérese el corrector hasta que E, = 0.018. Repítase el problema 17.2 pero con el método de Adams de cuarto orden (EE = 0.0156). Resuélvase el siguienteproblemaconvalorinicial desde x = 4 hasta x = 5: dY Y-= - - dx X Utilícese un tamaño de paso de 0.5 y valores iniciales de y(2.5) = 1.2,y(3) = 1, y(3.5) = 0.857 142 857 y y(4) = 0.75. Obténganse las soluciones usando los métodos siguientes: a) método de Heunsinprincipio (es = 1 %), b) método de Milne (ES = 0.01%) y c) método de Adams de cuarto orden (ES = 0.01%). [Nota:Las respuestas exactas obtenidas analíticamenteson y(4.5) = 0.666 666 67 y y(5) = 0.6.1Calcúlese el error relativo porcentual 6" de los resultados: Resuélvase elsiguienteproblema de valorinicial desde y = O hasta y = 0.5: dv 2 - = y x - y dx Utiliceseel método de Heun sinprincipio con un tamaño de paso de 0.25. Si y(-0.25) = 1.277 355 170, empléese un método RKde cuarto orden con ta- maño de paso l para predecir elvalorinicialen y(0).
- 612. MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 601 17.6 17.7 17.8 17.9 Resuélvase elsiguienteproblema de valorinicial desde x = 1.5 a x = 2.5: dY dx I + x "--Y- Utiliceseel método de Adams de cuarto orden. Empléese un tamaiío de paso de 0.5 y el método RK de cuarto orden para predecirlos valores inicialesde arran- que si y(0) = 2. Repítase elproblema 17.6 usando el método de Milne Determíneseel predictor, el corrector y los modificadores delmétodo de Adarns de segundo orden. Empléese pararesolverelproblema 17.1. Determínese el predictor, el corrector y los modificadores delmétodo de Adarns de tercer orden. Empléese pararesolver el problema 17.4. Problemas relacionados con la computadora 17.10 Desarróllese un programa legible alusuario sobre el método de Heunsin princi- pioconmodificadores basado en la sección 17.1.3. Empléese un método RK de cuarto orden para calcular los valores iniciales. Pruébese el programa con el ejemplo 17.3. 17.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 17.10 para resolver el proble- ma 17.5. 17.12 Desarróllese un programalegible alusuario sobre el método de Milne de cuarto orden con modificadores. Empléese un método RK de cuarto orden para calcu- lar los valoresiniciales. Pruébese el programa con el ejemplo 17.5. 17.13 Utilícese el programa desarrollado en el problema 17.12 para resolver el proble- ma 17.6.
- 614. C A P í T U L OD I E C I O C H O CASOSDE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS El próposito de este capítuloes el de resolver algunasecuacionesdiferen- ciales ordinarias usandolos métodos numéricos presentados en los capí- tulos 16 y 17. Las ecuaciones se originan de aplicaciones pr6cticas de la ingeniería. Muchas de estas aplicaciones generan ecuaciones diferencia- les no lineales que no pueden resolverse usando métodos analíticos. Por lo tanto, comúnmente se necesitanlos métodos numéricos.En consecuen- cia, elusode los métodos de soluciónnuméricade ecuaciones diferen- cialesordinarias es unahabilidadfundamentalquecaracterizaalbuen ingeniero. Los problemas de este capítulo ilustran algunos de loselemen- tos de juicioasociados con varios de los métodos analizados en los capí- tulos 16 y 17. Enel caso 18.1se usa una ecuación diferencial para predecir lasten- dencias de la venta de computadoras. Entre otrascosas, este ejemploilustra como se ajustan datosa un parámetro deun modelo matemático.Se usa el método RK de cuartoorden en estaaplicación. El caso 18.2tiene su origen en el contexto de los problemas de inge- nieríaquímica,quedemuestra cómo escoger adecuadamente un tama- ño de pasoy cómo se puedenusar lasecuaciones diferenciales para mejorar el proceso de producción química. Se usael método de Runge-Kutta de segundoordenpara este ejemplo. Los casos 18.3 y 18.4 tomados de la ingeniería civil y eléctrica res- pectivamente, tratandelasolución de un sistemade ecuaciones. En el caso 18.3, se usael métododeEulerdebido a que el problemanore-' quiere de resultados con una gran exactitud. Enel caso 18.4,por el otro lado, se requiere de una exactitud alta, y por consiguiente,se usa el mé- todo RK decuarto orden. Finalmente, enel caso 18.5 se emplea una variedad de métodos di- ferentes para investigar el comportamientode un péndulo en oscilación. Este problema también usa dos ecuaciones simultáneas. Un aspecto im- portantedeeste ejemplo es eldeilustrar cómo los métodosnuméricos permitenlafácilincorporaciónde efectos nolinealesdentrodelanálisis de ingenería.
- 615. 604 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS CASO 18.1 MODELOSMATEMÁTICOS PARAPROYECTOSDE VENTA DE COMPUTADORAS (INGENIERíA EN GENERAL) Antecedentes:las operacionesy las utilidades de una compañíade compu- tadoras dependen mucho del conocimiento sobreel manejo del número de computadoras disponibles en el mercado enun tiempo cualquiera.Los métodosde extrapolación analizados en elcaso 12.1 han demostrado que no existeconfiabilidad ni exactitud. Se tiene, por lo tanto, quederivar un modelomatemáticoque sea capaz de simular y predecirelnúmero de computadoras disponiblesenel mercado en función del tiempo t . Se puededesarrollarunaecuacióndiferencialparaestepropósito. El departamento demercadeo de la compañía ha determinado a tra- vés de la experiencia y de observaciones empíricas, quelas ventas espe- radasdelascomputadoras se describenmediante. Promedio de venta (número de computadoras o: número de computadoras en el mercado vendidas por día) costo por computadora [18.11 Es decir,mientras más computadoras se muestren al público, mayor venta de las mismas; y a mayor costo, menos ventas. Además, el costo de una computadora individual está relacionado con el número de computado- rasenel mercado, [recuérdese la Eq. (15.1)] N 10 O00 + N Costo porcomputadora ($) = 3 O00 - 1750 [18.2] donde N es el númerodecomputadoras. La razóndecambio a travésdeltiempodelnúmerodecomputado- ras restantes enel mercado es igualal registrodelpromediode ventas: dN dt - = - promedio de ventas [18.3) donde el promedio de ventasse deriva combinando las ecuaciones(18.1) y (18.2): N 3 O00 - 1750N/(10 O00 + N) Promediodeventas = k I18.41 donde k es una constante de proporcionalidad que tiene unidades dedó- larespor tiempo. Sustituyendola ecuación (18.4)enla ecuación (18.3) se obtiene dN N dt 3 O00 - 1750N/(10 O00 + N) -= -k [18.5]
- 616. CASOSDELAPARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIOS 605 Las consideraciones de planeación requierenque se obtenga una es- timación de cuánto tiempopermaneceránen el mercado 50 O00 nuevas computadoras. En el cuadro 12.1 se cuenta con algunos datos. Utilicese esta información para calcular el parámetro k. Después empléese el mé- todo RK decuartoordenpararesolver la ecuación (18.5) desde t = O hasta t = 90. Solución: elprimer paso de este análisis será determinar un valor de k. Para hacerlo, se puederesolver la ecuación (18.5) dN 3 x lo7 + 1250Nk = - - dtN(10 O00 + N) Con base en esta ecuación, se puede evaluark si tiene una aproximación a dN / dt. Esto se puede hacer con los datosdelcuadro 18.1, usando diferenciasdivididas finitas para calcular dN / dt, [recuérdesela sección 3.5.41: ""I=Ni+l - 4 - 1 dt . 2At Los resultados se muestran en el cuadro 18.1 y se pueden usar para de- terminar un valormedio de k = $49.3 diarios. Cuadro 18.1 Cálculosde k obtenidos de los da- tos de venta de computadoras.l a media de k es 49.3 t dias N dNldt k O 50 O00 10 35 O00 -95044.5 20 31 O00 -75040.6 30 20 O00 -600 55.0 40 19 O00 -397.538.8 50 12 050 -40067.8 60 1 1 O00 Ahora este valor se puede sustituirenla ecuación (18.5)para obtener: dN N dt 3 O00 - 1750 [N/(10 O00 + N ) ] " - -49.3 que se puede integrarusan¿o un método RK de cuarto orden conla con- dicióninicial N = 50 O00 y un tamaño de paso de un día.Obsérvese que se llevó a cabo la simulación usando un tamaño de paso de0.5 días
- 617. 606 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 18.1 Gráfica del número de computadoras Nen el mercado contra el tiempo t en días. Se usan tres simulaciones con un modelo de ecuación diferen- cialordinaria[Ec. (18.5)], se muestran en el casodonde N = 50 O00 en t = O. Las tres simulaciones corresponden a valores diferentes del pa- rámetro k. y se obtuvieron resultados casi idénticos, indicando quela exactitud al usar un tamatio de paso de 1.0 es aceptable. Los resultados se muestranen lafigura 18.1 juntoconlos datos. Así como sucede enla regresión, se puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos para cuantificar la calidaddel ajuste. El resultado es 2.85 X lo7.Aunque al ajuste parece ser satisfactorio, se llevan a cabo nuevamentelosc6lculosusan- do valores de k que son f20% del valor original de $49.3diarios. Usando losvalores de k de 59.2 y 39.4 se obtienenlassumasresidualesdelos cuadradosiguales a 1.05 x 10' y 5.35 x lo', respectivamente. Estas si- mulacionestambién se muestranen la figura 18.l. En seguida se grafica la suma de los cuadrados de losresiduos contra k (Fig. 18.2) y se ajustaunaparábola a travésde los puntosusando un polinomio de interpolación, Después se determina k, como la suma mí- nima de los cuadrados, derivando la ecuación de segundo orden, igua- lándolaa cero y resolviendo parak. El valor resultante de k = $46.8diarios se sustituyeenla ecuación (18.5)y se obtiene dN N dt 3 O00 - 1 750[N/(10 O00 + N ) ] - = -46.8
- 618. FIGURA 18.2 Gráficc de la suma de los cuadrados de los residuos (S,) contra los va- lores del parámetro k del modelo. La curva es una parábola ajustada a tres puntos. El punto de pendiente cero de esta curva, representa una aproximación del valor k ($46.8/día) que corresponde a un valor míni- mo de S,. FIGURA 18.3 Modelo de predicciones usandola ecuación (18.5) con k igual a $46.8/día. 607 . - ..
- 619. 608 MhODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Estemodeloproduce unasumadeloscuadradosdelosresiduosigual a 2.24 X lo7;se puedeusarparalospropósitospredictivos. Las pre- dicciones se muestran en la figura 18.3junto con los datos iniciales. Los resultadosen t = 55, 65 y 90 díasson 11720, 9 383 y 5 596, respecti- vamente. Esta información, que es superiora la obtenida mediante ajus- te de curvas enel capitulo 12, se puedeusarenel manejo detomade decisionesrelacionadascon la venta de estascomputadoras. CASO 18.2 DISEÑODE UN REACTOR PARA PRODUCCIóN FARMACÉUTICA (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: los ingenieros químicos diseñan reactores para el crecimiento poblacionaldeorganismosmicrobianos (recuérdese el caso 12.2). Los subproductos del crecimiento pueden ser productos farmacéuticos útiles. Enlafigura 18.4 se muestra el esquema de un reactor que opera a base de flujo continuo.Elflujo de entradacontienepocos microorganismosde- rivados,pero un altocontenidodenutrientes.Esteflujo permanece en el reactor poralgúntiempomientrasqueocurrelareacciónbioquímica y después fluye hacia el exterior.El flujo de salida contiene una gran can- tidadde nuevosmicroorganismos en crecimiento y unaalta concentra- cióndederivadosdelCrecimiento. Los nutrientessonmás bajos que a la entrada debido a suutilización microbiana. El contenido del reactor se mezcla vigorosamentede tal manera que la composición dela mezcla de salida y del tanque seaniguales. Si la proporción deflujo y el contenido de los nutrientes esconstante, el crecimiento de microorganismos se balanceapor lapérdidade orga- nismos del tanquey se alcanza con el tiempo una densidad de población estable. Al intervalo de tiempo en que los organismos se ajustan e incre- mentan su densidad se le llama periodo de inicio. La longitud del perio- do de inicioes importante debidoa que éste es tiempo perdidoque cuesta dinero a la compañía. Al investigadorse le propone desarrollarun modelo matemático para los microbios del reactor para predecir el periodo dearranque. El labora- torio de investigaciones bioquímicas ha determinado que los microorga- nismoscrecen de acuerdoal modelo de crecimiento logístico(recuérdese el caso 6.3): Velocidad de crecimiento = K (pmAx- p)p donde p máx = 2 x 10 célulasporlitroesladensidadmicrobiana má- xima y K = 2 x litrosporcélulapordíaeselcoeficientede la velo- cidad de crecimiento. Se requiere calcularel periodo de inicio parael caso donde p(t=O) = 100 000 células por litro, el promedio de flujo de enira- daal tanque Q = 100 I/día y el volumen del tanque V = 700 I. El perio-
- 620. CASOSDE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 609 .""_""" __ - FIGURA 18.4 Representación esquemáticade un reactor de fluio continuo con mezcla- do total empleado en el crecimiento de la población de organismos mi- crobianos. do deinicio se define como eltiempo necesario paraque la población crezca a 6 x lo5célulasporlitro. En estemomento la producciónfar- macéuticapuedeempezar. Después de haber obtenido un cálculo confiable, se necesitausar el modeloparaayudar a los operadores de la planta a decidirelnúmero óptimo de células a usarse enel tiempo t = O. Cuantos más organismos existanen t = O, más corto será el tiempo de inicio. Esto es importante debido a que cuesta a la compaiiía 1 O00 dólares diariossiel tanque está fuera de producción. Por lo tanto, existe la ventaja de reducir el tiempo deiniciousandomásorganismosen t = O. Por otro lado, los organismos nuevos son muy caros para comprar- se. Enla actualidadla compañía obtienecepas de un laboratorio biológi- co con un costo de3 O00 dólares por100 millones de células. Porlo tanto, el costo de 100 O00 célulasporlitrousadoenestean6lisls sería: Costo = 100 O00 células/1(7001) $3 O00 100 x IO6 células = $2 100 El costo de 200 O00células por litro seríael doble .Por consiguienteexis- ten ventajas y desventajas entre la reducción del periodo de arranque y el costo de nuevos organismos.El trabajo consisteen usar un modelo que proporcione unaguía a los operadores de la plantarelacionadocon el númeroidealdeorganismosen el tiempo t = O. Solución: primero se debe desarrollarla capacidad de simular el número de organismos en función del tiempo. Las consideraciones de balance de masassugierenque dP dt - Acumulaciónrnicrobiana - crecimiento de pérdida de masa en el tanque - biomasa microbiana - microbiana al exterior Sustituyendolospardmetros enla ecuación (18.6)se obtiene:
- 621. 610 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS -dP = 2 X 10-~(2X lo6 - p)p - - p100 dt 700 o, reordenando términos ___ = 0.257 14 p - 2 X p 2dP dt Esta ecuación se puede resolver analíticamente, pero se usará un méto- do numérico para obtenerla solución. Primero, se usa el método de Euler con un tamaño de paso deun día para calcular los resultados mostrados en la figura 18.5.Se usa el método Euler para este propósito debido a que es muy fácil de programar y proporciona una estimación rápida del comportamiento general dela solución. Comose puede ver, los microor- ganismos necesitan alrededor de 10 días para el periodo de inicio; en t = 20 díashan alcanzado unapoblacióncasiestable. A este periodo estable se le llama estado estacionario. En base al resultado anterior, se decide llevar a cabo la simulación en un periodo de 20 días. También se decidió usar el método deRalston o RK de segundo orden debido a su fácil programación y a su creciente exactitud en el resto de los cálculos. Enel cuadro 18.2 se muestran los FIGURA 18.5 Simulación del crecimiento microbiano en un procesodeproducción quí- mica. Se usa el método de Euler en la simclación para hacer una evalua- ción rápida del comportamiento de la solución.Nótesequedentrode 1 O días se termina el periodo de inicio, y en 20 días el reactor ha alcan- zado casi el estadoestacionario.
- 622. CASOSDE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 61 1 CUADRO 18.2 Crecimiento microbiano simulado utilizando una ED0 y el metodo de Ralston RK de segundo orden.Se muestran resultadospara ta- maños de paso diferentes, así comola solucidn verdadera. M6todo de Ralston RK de segundo orden t, Solucidn días h = 2 h = l h 0.5 ver- dadera O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 100 O00 157 389 241 459 356 983 502 124 664 649 824 332 961 864 1 068 231 1 144 048 1 195 245 100 O00 158 482 244 265 361 805 508 550 671 699 831 161 968 558 1 074 745 1 150 200 1 200 719 100 O00 158 810 245 097 363 218 510 415 673 738 833 149 970 419 1 076 459 1 151 723 1 207 002 100 O00 158 931 245 403 363 736 511 095 674 479 833 867 971080 1 077 050 1 152 233 1 202 420 resultados paratamaños de paso de2, 1y 0.5 días. Aunqueel resultado analítico exacto espoco factible en la mayor parte de los problemas de apli- caciones verdaderas, se haincluidoenel cuadro 18.2 parapropósitos decomparación.Obsérvesequetodos los resultadosnuméricosson muy buenos, aun con el tamaño de pasot = 2 - h se muestran errores de menos del 5%. Si no se conoce lasolución verdadera,la exactitud de los cálculos se puede apreciar comparandolos resultados obtenidos variando el tamaño del paso. Por ejemplo, las diferencias entrelos resultados de h = 1 y 0.5 ocurren enla tercera cifra significativa. En consecuencia no se garantiza másexactituddebido a que unamayorprecisiónnoseríadiscernibleenuna gráfica. Porlo tanto, se decide queh = 0.5 es adecuada para este propósito. Al usar este tamaño de paso y el modelo de Ralston se realizandos simulaciones adicionales con las condiciones iniciales de 200 O00 y 400 O00 células por litro. Enlafigura 18.6 se muestran estos resultados,jun- to con el caso de 100 O00 células por litro.Como era deesperarse,cuan- to más organismosse usen como base másse acortaráel periodo de inicio, como se puede veren los resultados del cuadro 18.3. Nótese que usan- do más organismos al incio, se reduce el costo de retardo de 9 200 a 2 500 dólares. Sin embargo, el costo de compra de los organismosaumen- ta de2 100 a 8 400 dólares. El costo total, mostrado enlafigura 18.7, sugiere un mínimo alrededor de250 O00 células por litro.El punto míni- mo se puedeaproximarajustandounaparábolaa los trespuntos.Esta función puede diferenciarse,igualarseladerivadaa cero y resolver para encontrar un valorde 264 O00 célulasporlitro.Estenivelcorresponde a un costo total de 10 O00 dólares, quelepresenta el costo total más ba- jo, tomando en cuenta tantolos costos del periodode inicio como de los organismossemilla.
- 623. 612 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS FIGURA 18.6 Simulaciones delcrecimientomicrobialusando tres condiciones iniciales diferentes. Estos casos demuestran que, cuando se incrementa el núme- ro de organismos semilla, el periodo de arranque se acorta. FIGURA 18.7 Gráfica del costo contra el número de organismos semilla (esto es, número de orga- nismos en t = O). El hecho de que la curva sea plana sugiere que aunque exista ur mínimo en 264 O00 células por litro, este resultado es insensible relativamente al nú- mero de organismossemilla.
- 624. CASOS DELA VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 613 Inconvenientes de costo en varios niveles iniciales de organismos empleados en un proceso químico de producción CASO 18.3 FIGURA 18.8 ConcentraciónCosto de Tiempo de Costo por Costo inicial de compra de inicio retardo total organismos organismos célulasllitro $ h $ $ 100 O00 2 100 9.2 9 200 11 300 200 O00 4 200 6.0 6 O00 10 200 400 O00 8 400 2.5 2 500 10 900 ~~ ~~ ~ ~ -~ DEFLEXIÓN DEL MÁSTILDE UNVELERO (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: en la figura 18.8se muestra un velero similar al de los ca- sos 12.3y 15.3,con una fuerza uniforme f distribuida a lo largo del más- til. En este caso, los cables que soportan al mástil se han quitado, pero elmástil se monta firmemente en el casco del velero. La fuerza del viento causa que elmástil se desvíe como se muestra en lafigura 18.9.La desviación es similar a la de una viga en voladizo. Se puede usar la siguiente ecuación diferencial, basada en las leyes de la mecánica, para calcular la deflexión: -- (L - 2)* d2Y d z 2 2EI " [18.7] Mástil del velero sujeto a una fuerza uniforme f.
- 625. 614 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS FIGURA 18.9 Deflexióndel mástil sujeto a unafuerzauniforme. en donde E es el nódulo de elasticidad, L es la altura del mástil e I es el momento de inercia. En z = O y dy / dz = O. Calcúlese la deflexión en el tope del mástil en donde z = L usando métodos analíticos y numé- ricos. Supóngase que el casco no gira. Solución: la ecuación (18.7)se puederesolver analíticamente para la de- flexión en z = L: fL4y(z = L)= - 8EI [18.8] Este problema incluye una ecuación diferencial que tiene una solución con características uniformes. Además, el intervalo de integración es re- lativamente corto y la desviación del mástil es pequeña. También los va- lores de f y E se basan en datos experimentales variables y difíciles de medir exactamente.Por lo tanto,parece satisfactorio usarunmBtodo de bajo orden pararesolver la ecuación diferencial. Só10 se necesitará un valor inicial,y probablemente se use un tamaño de paso pequeñosin acu- mulación de errores de redondeo excesivos. La ecuación (18.7)se puede escribir como un sistema de dos ecua- ciones de primer orden con una transformación de variables. Sea dY- = u dz y, por lo tanto, la ecuación (18.7)seexpresacomo [18.9] du dz 2El ”- - (L- 2)* [18.10]
- 626. CASOSDE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 615 Este par de ecuaciones diferencialesse puede resolver simult6neamente usando el método de Euler. Sin embargo, en primer lugar se puede obtenerla solución analítica por comparación.Dadaunacargauniforma f = 50 libras/pie,L = 30 pies, E = 1.5 x lo8libras/pie2e I = 0.06 pies4laecuación (18.8)se resuelve para: 50(30)4 y(30) = 8(1.5x 108)0.06 = 0.5 625 pies Enseguida seresuelvenlasecuaciones (18.9)y (18.10)usandoelmétodo ~ deEuler.Losresultadosdealgunospasosdeintegraciónson: Tamaño de paso Y(30) de Euler 0.5744 1.0 0.5637 0.1 0.563 1 0.05 I Por lo tanto, la respuesta obtenidaparece satisfactoria;la deflexión del más- FIGURA 18.10 til semuestraenlafigura 18.10. Gráfica de la deflexión Los resultadossepuedenusarparapropósitosdediseño. Esto es espe- del mástil de un velero cialmentevaliosoen casosdonde lafuerzadelviento no es constantesino de Euler. calculada conel método varíadeunaformacomplicadaenfuncióndelaalturasobrelacubiertadel velero. El problema 18.13proporciona un ejemplo de estasituación. CASO 18.4 SIMULACIóN DE UNA CORRIENTETRANSITORIA EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: son muy comunes los circuitos eléctricos en donde la corriente varíaconeltiempoenvezdemantenerse constante. Enelciclodelado derecho se establece una corriente transitoria del circuito mostrado en la fi- gura 18.ll cuando elconmutadorsecierrade repente. Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito delafigura 18.11se basan en las leyes de Kirchhoff, que dicen que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de un ciclo cerrado es cero (re- cuérdese el caso 6.4). Por lo tanto, di dt C L-++Ri+"€(t)=O9 r18.111 dondeL(di/dt) es la caída de voltaje a través del inductor,L es la inductan- cia (en henrios),R es laresistencia(en ohmios),q es lacargadelcapacitor
- 627. 616 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS Eit) a-. . " h Conmu-'#* i *,. 1 tador ,, . - Batería -2Vo ,:' Capacitor , Inductor - + t / i s . Resistencia FIGURA 18.1 1 Circuito eléctricodondelacorrientevaríaconel tiempo. (en coulombs),C es la capacitancia (en faradios),E(t)es la fuente de voltaje (en voltios)variablecon el tiempo, y [18.12] Lasecuaciones (18.11) y (18.12)son un par deecuacionesdiferenciales linealesdeprimerordenquesepuedenresolveranalíticamente.Por ejem- plo, si E(t) = Eo sen wt y R = 0, -Eo w €0 U P 2 - w2) P L(p2 - w2) q(t) = "-senp t + senw t [18.13] en donde p = i/mLos valoresde q y dq/dt son cero en t = O. Empléese un método numérico para resolver las ecuaciones (18.11)y (18.12) y compárense los resultadoscon la ecuación (18.13). Solución:esteproblemaincluye un intervalodeintegración más grande y demanda el uso de métodos de gran exactitud para resolver ecuaciones di- ferenciales si seesperanbuenosresultados.Supongamosque L = 1 H, Eo = 1V, C = 0.25 C y W2 = 3.5 s2.Estogenera p = 2 y lasolución analíticadelaecuación (18.13) viene a ser: q(t) = - 1.870 8 sen 2t + 2 sen (1.8708 t) Esta funciónse muestraen la figura 18.12. La naturaleza de cambio r6pi- do de la función exige grandes requerimientosa cualquier procedimiento numérico para calcularq(t).Además, debido a que la función exhibe una pequefia variación de naturaleza periódica así como un componente de variación rápida,se necesitan periodosde integración grandes para tratar de nuevo la solución. Por lo tanto, se espera que sea preferido un méto- dodeordensuperiorenesteproblema. No obstante, se pueden probar los métodos de Euler y Runge-Kutta de cuartoorden y comparar los resultados.Con el método de Euler y usando un tamañodepasode 0.1 S en t = 10 S se obtiene un valor de q igual a -6.638 mientras que con el método de Runge-Kutta de cuarto orden se obtiene un valorde -1.989 7. Esteresultadoescomparable a la solución exacta, -1.996 C.
- 628. CASOS DE LA PARTE VI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 617 FIGURA 18.12 Pantalla de la computadora mostrando la gráfica de una función [Ec. (18.13)]. Lafigura 18.13muestra los resultados de la integración de Euler cada 1.O S comparada conla solución exacta. Nótese que se grafica sólo cada décima de punto en la salida. Se puede ver que el error global aumenta a medida que t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica a medida que t tiende a infinito. FiGURA 18.13 Resultados de la integración de Euler contra la solución exacta. Nótese que se grafi- ca sólo cada décima de punto. """"".-.-..-"". . . . . ....~.. _ ~ _ - ~.
- 629. 618 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS CASO 18.5 W FIGURA 18.14 Diagrama de cuerpo libre del péndulo oscilante mostrando las fuerzas sobre la partícula y la aceleración. EL PÉNDULO OSCILANTE (INGENIERíA MECÁNICA) Antecedentes: en la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenie- rías) a menudo se enfrentan problemas relacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres (recuérdese el caso 6.5).Los métodos de in- geniería requieren fundamentalmente que seconozca de la posición y la velocidad del cuerpo en función del tiempo. Estas funciones del tiempo invariablemente son ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales, en general, se basan en la segunda ley de Newton del mo- vimiento. Como ejemplo, considéreseel péndulo simple mostrado previamen- te en la figura VI.l. La partícula de peso W se suspende de un hilo de peso despreciable, de longitud l. Las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son un peso y la tensión R del hilo. La posición de la partícula en cualquier tiempo seespecifica completamente en términos del ángulo 0 y 1. El diagrama de cuerpo libre de la figura 18.14muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula asícomo su aceleración. Es conveniente apli- car la segunda ley de Newton del movimiento en la direcciónx, tangente a la trayectoria de la partícula: F = -Wseno =-a W 9 donde g es la constante gravitacional (32.3pies/s2) y a es la aceleración en ladirección x. La aceleraciónangular de la partícula (a)es Por lo tanto, en coordenadas polares (a = d2d/dt2), O d2e g -+ -sen6 = O df2 1 [18.14] Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, En general, tales ecuacionesson difícileso hasta imposi- bles de resolver analíticamente. Existen dos alternativas relacionadas con el avance en la solución de este problema. Primero,la ecuación diferen- cial se puedereducir a una forma deresolver analíticamente (recuérdese la sección (VI.l.1).O se puede usar un método numérico para resol- ver la ecuación diferencial directamente. Se examinan ambas alternati- vas en este ejemplo.
- 630. CASOS DE LAPARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIOS 619 Solución: de acuerdo al primer método, se puede ver que la expansión de la serieTaylordel sen 8 está dada por o3 o5 07 seno=o--+-." 3! 5! 7 ! + * * * [18.15] Para pequeños desplazamientosangulares, sen 6es aproximadamenteigual a 8 cuando se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pe- queños la ecuación (18.14)se convierte en: d20 g - + - o = odt2 I E18.161 que es unaecuacióndiferenciallineal de segundo orden. Esta aproxima- ción es muy importante debido a que la ecuación (18.16)es muy fácil de resolver analíticamente. La solución, basada en la teoría de las ecuaciones diferenciales,esta dada por: o(t) = eocos 4t [18.17] donde es el desplazamientoen t = O y en donde se supone que la ve- locidad (u = dO/dt) de la partícula es cero en t = O. Al tiempo necesario para que la partícula complete un ciclo de oscilación se le llama periodo y está dado por FIGURA 18.1 5 Gráfica del desplazamiento (e)y la velocidad (d8/dt)en función del tiempo (t), colcu- lada de la ecuación (18.17).eo es n/4 y la longitud es de 2 pies. "."I.._""I_ . , .. . - . .._"_
- 631. 620 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS En la figura 18.15se muestra una gráfica del desplazamiento (O)y la velocidad (de/&) en función del tiempo, como se calcula en la ecua- ción (18.17)con Bo = 7r/4 y 1 = 2 pies. El periodo,calculadocon la ecuación (18.17) es 1.5659 s. Los cálculos anteriores en esencia son una solución completa del movi- miento de la partícula. Sin embargo también se debe considerar la exactitud de los resultados debido a la suposición inherente en la ecuación (18.16). Además, para evaluar la exactitud, es necesario obtener una solución nu- mérica de la ecuación (18.14)! que es una representación física más com- pleta del movimiento. Se puede usar cualquiera de los métodos analizados en los capítulos 16 y 17 para este propósito, por ejemplo, los métodos de Euler y RK de cuarto orden. La ecuación (18.16)5% debe transformar en dos ecuaciones de primer orden compatibles con los métodosanteriores. Esto se lleva acabocomosigue. La velocidad u se define como dO dt - = u y, por lo tanto la ecuación (18.14)se puede expresar como [18.181 [18.19] Lasecuaciones (18.18)Y (18.19)son un par de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. En el cuadro 18.4se muestran los resultados gene- radoscon la solución numéricapor el método de Euler y el método RK CUADRO 18.4 Comparaciónde la solución analiticalinealdel péndulo oscilante con tres soluciones numéricasno lineales Soluciones no lineales Solución analitica Tiempo lineal Euler RK de cuarto RK de cuarto (h=0.05) orden orden (h=0.05) (h=0.0 1) S ( 4 (b) ( 4 ( 4 0.0 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.2 0.545 784 0.615 453 0.566 582 0.566 579 0.4 -0.026 852 0.050 228 0.021895 0.021 882 0.6 "0.058 3104 -0.639 652 -0.535 802 -0.535 820 0.8 -0.783 562 -1.050 679 -0.784 236 -0.784 242 1.o -0.505 912 -0.940 622 -0.595 598 -0.595 583 1.2 0.080 431 -0.299 819 -0.065 611 -0.065 575 1.4 0.617 698 0.621 700 0.503 352 0.503 392 1.6 0.778 062 1.316 795 0.780 762 0.780 777
- 632. CASOSDE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 621 CUADRO 18.5 decuarto orden. Enelcuadro 18.4 se comparalasoluciónanalíticadela ecuaciónlinealdelmovimiento [Ec. (18.17)]enla columna a) conlasolu- ciónnuméricaenlascolumnas b), c) y d). Losmétodos de Euler y RK de cuarto orden generan resultados dife- rentes y ambosdivergen de la solución analítica, aunque el métodoRK de cuarto orden parael caso no lineal se acerca más a la solución analíti- ca que el de Euler. Para evaluar propiamentela diferencia entre los mo- delos lineal y no lineal es importante determinar la exactitud delos resultados numéricos. Esto se lleva a cabo de tres formas diferentes. Primero, la so- luciónnumérica de Euler se reconoce fácilmente ya queesinadecuada debido a sus inconvenientesenla condición inicial ent = 0.8s. Esto vio- la claramente laleydela conservaciónde la energía. Segundo, las co- lumnas c) y d) delcuadro 18.4 muestranlasolucióndel métodode Runge-Kutta de cuarto orden con tamaños de paso de0.05y 0.01.Debi- do a queestos varíanenelcuartolugar decimal, es razonablesuponer que la solución con un tamaño de paso de0.01 también será exacta con este grado de certeza. Tercero, para el caso con un tamaño de paso de 0.01S , 6alcanza un valor local máximo de0.785 385 en t = 1.63 S (que no se muestra en el cuadro 18.4).Esto indica que la partícula regresa a su posición original con una exactitud de cuatro cifras con un periodo de 1.63 s. Estas consideraciones permiten tener la seguridad que la diferen- cia entre las columnas a) y d) del cuadro 18.4 representan realmente la diferenciaentre el modelolineal y no lineal. Otra manera de caracterizar la diferencia entre el modelo lineal y no lineal es en base al periodo. Enel cuadro 18.5 se muestra el periodo de oscilacióncalculadoconlosmodeloslineal y no linealparatresvalores diferentes iniciales del desplazamiento.Se ve que losperiodos calculados casi son igualescuando 0 es pequeño debida a que 0 es una buenaapro- ximación para sen 0 en la ecuación (18.15).Esta aproximación se dete- riora a medidaque 6 crece. Estos análisis soncomunes en los casos en que rutinariamentese en- cuentra un ingeniero. La utilidadde los métodosnuméricosviene a ser particularmente significativacuando se trata de problemas no lineales, y muchosproblemasdela vida realsonnolineales. Comparación del periodo de un cuerpo oscilante calculadode los modelos lineal y no lineal Periodo, S ~ Desplazamiento Modelo lineal Modelo no lineal inicial ( I 2 7 r J / / g ) [solución numérica de la 60 ecuación (18.14)] a/l6 a/4 1.565 9 1.57 1.565 9 1.63 1.565 9 1.85 ~~~~~ ~ ~~
- 633. 622 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS PROBLEMAS lngeniería en general 18.1 Repítase los cálculos realizadosen el caso 18.1 usando los programaspropios 18.2 Efectúense losmismos cálculos del caso 18.1 usando k = $60/día. 18.3 Efectuénse los mismoscálculos del caso 18.1 con una nueva ecuación del costo de las computadoras [reemplácese la Ec. (18.2)]: Costo por computadora individual ($) = 1 500 (I + e - 4 4x10-5N 1 18.4 Repítase el problema delparacaidista (ejemplo 1.2), pero con unafuerza ac- tuando hacia arribadebida a lafuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad al cuadrado: F, = -cu2 donde c = 2.4 g/cm. Grafíquense los resultados y compárensecon los del ejem- plo 1.1. Ingeniería química 18.5 Repítanse los cálculos del caso 18.2 usando los programaspropios 18.6 Efectúense los mismoscdlculosdel caso 18.2 peroparaelcasoenque p(t= 0) = 50 O00 célulasporlitro. 18.7 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.2, pero para p ( t = 0) = 100 O00 células por litro y k = 3 X litros por célulapor día. 18.8 Enel caso 12.2 se desarrolla la ecuación (12.5) paramodelar el crecimiento de la levadura empleada en la producción comercial de cerveza. Si el decai- miento de la levadura es proporcional a 0.8 p y sila proporción de cambio de f se describe como df dP" dt dt - -_ resuélvase para j y p en función del tiempo si f(0)= 100 y p(0)= 1.Intégrese el par de ED0 hasta que p y f alcancen niveles estables. Grafíquense los re- sultados 18.9 Un balance de masa deunasustanciaquímicaen un reactor mezclada comple tamente, se puede escribir como velocidad de flujo de Acumulación = alimentación - - reacción salida
- 634. CASOSDE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 623 donde V es elvolumen (10 m3), c es la concentración, F es la alimentación (200 g./min), Q esla velocidad de flujo (1 m3/min),y K es la velocidad de reacción (0.1 m3/g/min). Si c(0) = O, Resuélvase la ED0 hasta que la con- centración alcance un nivel estable. Grafíquense los resultados. 18.10 Repítase el problema usando el método de disparo. Ingeniería civil 18.11 Repítanse los cálculos del caso 18.3 usando los propios programas. 18.12 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.3, pero con una cargauniformede 80 libras/pie y una E = 2 x lo8libras/pie2.Verifíquense los resultados com- parándolos con la soluciónanalítica. 18.13 Efectuénse los mismos cálculos del caso 18.3, pero en vez de usarunafuerza delviento constante, utilíceseunafuerza que varíe con laaltura de acuerdo a (recuérdese el caso 15.3): . !(x) = 200 -e -22/30 5 + 2 Grafíquese y contra z compárense con los resultados con los del caso 18.3. 18.14 Duplíquesela figura 6.4integrando numéricamente la ED0 del caso 6.3. VerifC quense los resultados comparándoloscon los de la soluci6n analítica [Ec. (6.9)]. 18.15 El modelo de crecimiento logísticodel caso 6.3se puede aplicar tanto a la po- blaciónmicrobial como a la humana. Supóngase que se planea un sistema de abastecimiento de agua para unaisla. Si pmlx= 100 O00 personas y K = personas . año y si lapoblacióninicial es de 10 O00 personas, ¿qué tiem- PO pasará para que la poblaciónllegue a 90 O00 habitantes? Ingeniería eléctrica 18.16 Repítanse los cálculos del caso 18.4 usando los programaspropios 18.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.4, pero con R = 203. 18.18 Resuélvase la ED0 del caso 6.4 usando los métodos numéricos si q = 0.1 e i = -3.281 5i5 en t = O. 18.19 En un circuito RL simple, laley de los voltajes de Kirchhoff requiere que (sise cumple laley de Ohm): di dt L - + Ri = O donde i es la corriente, L la inductancia y R la resistencia. Resuélvase para i, si L = R = 1 e ¡(O) = amperios. Resuélvase este problema analítica- mente y con un método numérico.
- 635. 624 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 18.20 En contraste con el problema 18.9, las resistencias reales no siempre obedecen la ley de Ohm. Por ejemplo,la caída de voltaje puede ser no linealy la dinámicz delcircuitodescrita por relaciones deltipo donde todos los parámetros soniguales a los definidos enel problema 18.19 e I es unacorriente de referencia igual a 1. Resuélvase para i en función del tiempo bajo las mismas condiciones especificadas en el problema 18.19. Ingeniería mecánica 18.21 Repítanse los cálculosrealizados en el caso 18.5 usando los programas propios. 18.22 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.5 con un péndulo de 3 pies de longitud. 18.23 Empléese un método numérico para duplicar los cálculos mostrados enlafigura 6.10. 18.24 La tasa deenfriamientode un cuerpo se puede expresar como donde T es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados), T,es la tempe- raturadelmedio que rodea al cuerpo (tambiénengrados centígrados) y k es una constante de proporcionalidad (porminuto). Por lo tanto, esta ecuación es- pecifica que el enfriamiento es proporcional a la diferenciade temperaturas en- tre el cuerpo y el medio que lo rodea. Si se calienta una bola de metal a 90°C y se sumergeen el agua que se mantiene a unatemperatura constante To = 20" C, empléese un método numéricoparacalcular el tiempo que le toma a la bolaenfriarse a 30" C si k = O. 1 min 18.25 Léanse todos los casos delcapítulo 18. Con base a la lectura y a la experiencia, invénteseun caso propio en cualquiera delos campos de la ingeniería. Esto puede implicarla modificación o la reexpresión de alguno de los casos. No obstante éste puede ser totalmente original. Como sucede enlos ejemplos del texto, se debe elaborar dentro del contexto de la solución de problemas de la ingeniería y se debe demostrarel uso de los métodos numéricosen la soluciónde EDO. Escríbanse losresultadosusandolos casos de este libro como modelos.
- 636. EPíLOGO: V1.4 ELEMENTOS DE JUICIO PARTEVi En la tabla V1.3 se muestran los factores de ma- yor importancia asociadoscon los métodos numé- ricos en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un ingeniero debe evaluar los facto- res de esta tabla cuando seleccione un método pa- ra cada uno de los problemas en particular. Se pueden emplear los métodos simples de auto- principio tales como el método de Euler, si los re- quisitos del problema comprenden intervalos de integración pequeños. En este caso, se puede ob- tener la exactitud adecuada empleandointervalos para evitar grandes errores de truncamiento, y los errores de redondeoserán aceptables. El método de Euler tambiénes apropiado en casos donde el modelo matemáticotenga un nivel inherentemente alto de incertidumbre o tenga coeficientes y fun- ciones forzadas con errores significativos, como puede suceder durante las mediciones de un pro- ceso. En este caso la exactitud del modelo mismo simplemente no justifica el esfuerzo aplicado en el empleo deun método numérico más complicado. Finalmente, los métodos más simples pueden ser los mejores cuando el problema o la simulación se necesiten llevar a cabo sólo pocas veces. En estas aplicaciones tal vez sea mejor probar un mé- todo simple que sea fácil de programar y de en- tender, a pesardeque el método pueda ser inefibente en cuanto al trabajo de cómputo, y con- suma mucho tiempo para correrse en una compu- tadora. Si el intervalo de integración del problemaes de- masiado grande de tal forma que comprendaun gran número de pasos (más de 1 000), entonces puede resultar necesario y apropiado usar un mé- todo más exacto que el de Euler. Los métodos de Runge-Kutta de cuarto orden y el de Adams de cuarto orden son comunes y confiables en muchos problemas deingeniería. En estos casos, es acon- sejable calcular el error de truncamiento en cada paso como una guiaen la selección del mejor ta- maño de paso.
- 637. "-"N- 5555 O 0 0 0 Z Z Z Z o 0 0 - 7 - - " .- .-u u 'U'U LLLL Y"í SS O 0 z z O 0 " o O O 3 S C x C x
- 638. EPiLOGO PARTE VI 627 Esto se puede llevara cabo con los métodos de cuartoorden de Adams o de Runge-Kutta-Fehlberg.Si los errores de truncamiento son extre- madamente pequeños, puede serútil aumentar el tamaño del inter- valo, con lo cual se ahorra tiempo de cómputo. Por otro lado, si los errores de truncamientoson muy grandes, el tamaño del intervalo se debe disminuir para evitar acumulamiento de errores. El método de Milne se debe evitar si se esperan problemas cuya estabilidad sea sig- nificativa. El método de Runge-Kuttaes simple de programar y con- veniente en suuso pero puede sermenoseficiente que los métodos de pasos múltiples. Sin embargo, el método de Runge-Kuttaseem- plea generalmente en cualquier evento para obtener valores inicia- lesen los métodos de pasos múltiples. Si se necesitan respuestasextremadamenteexactas o si la función tie- ne derivadas de orden superior, se podrán usarel método de But- cherdeRunge-Kutta de quinto orden. Un gran número de problemas de ingeniería pueden caer enunin- tervalo medio de requisitos entre la integración y la exactitud. En es- tos casos los métodos de Heun sin principio y el método deRunge-Kutta de segundo orden son simples de usarse y son relativamenteeficien- tes y exactos. VIS RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES Enel cuadro V1.4se resumen las fórmulas importantes se presenta- ron en la parte VI, y puede consultarse para un acceso rápido a las relaciones y fórmulas importantes. V1.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES Aunque se han revisado una gran cantidad de métodosen la solu- ción de ecuaciones diferenciales ordinarias, existe información adi- cional que esmuy importante en la práctica de la ingeniería. El tema de estabilidad se introdujoen la sección 17.3.3; es de importancia fundamentalen todos los métodos de solución deEDO. Se pueden en- contrar anállsis más detallados acerca de este asunto en Carnahan, Luther y Wilkes (1 969), Gear (1 971) y Hildebrand (1 974). La estabilidad tiene un significado especial sobre un tema menciona- do brevemente en la sección 17.1.5 y en el caso 18.4, la solución de ecuaciones rigidas. Estas ecuaciones contienen componentescon va-
- 639. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS X F .+' .- ...- $ : ** " -+ c .- -o O E O - +L L +o u II 2?L - U o .&
- 640. EPíLOGO VI 629 riaciones lentas y rápidas. Aunque el empleo de un método con ta- maño de paso variableo de ordensuperior puede ayudaren algunas ocasiones, en general se necesitan métodos especiales para la solu- ción adecuada de ecuaciones rígidas. Se puede consultar Enright et al. (1975),Gear (1971)y Shampine y Gear (1979))los cuales inclu- yeninformación adicional relacionada con estos métodos. En la sección 16.4.2 se introdujo el método de disparo en la solución de problemas con valores a la frontera. También se aludió al hecho de que los métodos de diferencias finitas del tipo utilizado en el caso 9.2 se pueden emplear en estos problemas. Se puede consultar Isaac- son y Keller (1 966), Keller (1 968), N a (1 979) y Scott y Waits (1976) paraunainformaciónadicional sobre problemasde valoresala frontera. Finalmente, existen métodos númericos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Carnahan, Luther y Wilkes (1969), Gerald y Wheatley (1 984) y Rice (1983) proporcionan buenas introducciones al tema. Se puedenconsultar también Ames (1977))Gladwell y Wait (1979)) Vichnevetsky,(1 981, 1982)y Zienkiewicz (1 971) para tratamientos mas profundos. En resumen, lo anteriorpretende proporcionar al lector un caminc para que pueda seguir con estudios más profundos sobre el tema. Adi- cionalmente, todas las referencias anteriores proporcionan descrip- ciones de los métodos básicos cubiertos en la parte VI. Sugerimos al lector consulte lo más pronto posible estas referencias alternas para completar el dominio de los métodos numéricos enla solución de ecua- ciones diferenciales ordinarias.
- 641. BIBLIOGRAFíA Ames, W. F., Numerical Methods for Parhal Differential Equations, Academic Press, Ang, A. H-S., and W. H. Tang,ProbabilityConcepts in EngineeringPlanningand Bent, R. J.,and G. C. Sethares,An Introductionto Computer Programming, 2ded., New York, 1977. Design,Vol. 1:Basic Principles,Wiley,NewYork, 1975. BrookdCole,Monterey,Calif., 1982. Brigham,E. O., The Fast Fourier Transfom, Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,N.J., 1974. Butcher, J. C., “OnRunge-KuttaProcesses of Higher Order,”J.AustralianMath Camahan,B., H. A. Luther,and J. O. Wilkes,AppliedNumericalMethods,Wiley, Cheney,W., and D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole, Davis,P. J.,and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, Academic P r e s s , Draper, N. R., and H. Smith, Applied Regression Analysis, 2ded., Wiley, New York, Enright,W. H.,T.E. Hull, and B. Lindberg, “Comparing Numerical Methods for Stiff Forsythe, G. E., M. A. Malcolm,andC. B. Moler,ComputerMethodsforMathe- Gear, C. W., NumericalInitial-ValueProblems in OrdinaryDifferentialEquations, Gerald,C. F., andP. O. Wheatley,AppliedNumericalAnalysis,3d ed., Addison- Gladwell, J., andR.Wait, A SurveyofNumericalMethodsforPartialDifferential Guest, P. G ,Numerical MethodsofCurveFitting, Cambridge University Press, New Hamming, R. W., Numerical Methods for Scientists and Engineers, 2ded., McGraw- Henrici,P. H., Elements ofNumericalAnalysis,Wiley,NewYork, 1964 Hildebrand,F. B., Introduction to NumericalAnalysis,2d ed., McGraw-Hill,New Soc., 4179 (1964). NewYork, 1969. Monterey,Calif., 1980. New York, 1975. 1981. Systems of ODES,”BIT, 15:lO (1975). maticalCompvtation,Prentice-Hall,EnglewoodCliffs, N.J., 1977. Prentice-Hall,EnglewoodCliffs, N.J., 1971. Wesley,Reading,Mass., 1984. Equations,OxfordUniversityPress,New vork, 1979. York, 1961. Hill, New York, 1973. York, 1974.
- 642. BIBLIOGRAFíA Hornbeck, R. W., Numerical Methods, Quantum,NewYork, 1975. Householder, A. S., The The0y of Matrices in Numerical Analysis, Blaisdell, New York, 1964. Hull, T. E.,and A. L. Creemer, “TheEfficiencyof Predictor-CorrectorProcedures,” J.Assoc. Cornput.Mach., 10291 (1963). Isaacson, E.,and H.B. Keller, Analysis of Numerical Methods, Wiley,NewYork, 1966. James,M. L.,G. M. Smith,and J.C. Wolford,Applied NumericalMethodsfor Digital Computations withFORTRAN and CSMP, Harper & Row,NewYork, 1977. Keller, H. B., Numerical Methodsfor Two-PointBoundary-ValueProblems,Wiley, NewYork, 1968. Lapidus, L.,and J. H. Seinfield,Numerical Solution of OrdinaryDifferentialEqua- tions, AcademicPress,NewYork, 1971. Lapin, L. L., Probability and Statisticsfor Modern Engineering, Brooks/Cole,Mon- terey,Calif., 1983. Lyness, J. M., “NotesontheAdaptiveSimpsonQuadratureRoutine,” J. Assoc. Comput. Mach., 16483(1969). McCracken, D.D.,A Guideto FORTRANNProgramming,Wiley, New York, 1965. Malcolm, M.A., and R. B. Simpson, “Local Versus Global Strategies forAdaptive Quadrature,”ACM Trans. Math. Software, 1:129 (1975). Maron, M. J., NumericalAnalysis, A Practical Approach, Macmillan,NewYork, 1982. Merchant, M. J., The ABC’s of Computer Programming, Wadsworth,Belmont, Calif., 1979. and J. R. Sturgul, AppliedFORTRANProgrammingwithStandard FOR- TRAN, WATFOR, WATFN andStructural WATFN; Wadsworth,Belmont, Calif., 1977. Muller, D. E., “A Method for Solving Algebraic Equations Usinga Digital Computer,” Math. TablesAids Comput., 10205 (1956). Na, T.Y.,ComputationalMethods in Engineering Boundary ValueProblems,Aca- demic Press, NewYork, 1979. Noyce,R. N., “Microelectronics,”ScientificAmerican, 237:62 (1977). Ortega,J., and W. Rheinboldt,lteratiueSolution of Nonlinear Equations in Seueral Variables,AcademicPress.NewYork, 1970 Ralston, A,, “Runge-Kutta Methodswith Minimum Error Bounds,”Match. Comp., 16:431(1962). and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2d ed., McGraw- Hill,NewYork, 1978. Rice, J. R., Numerical Methods, Software and Analysis, McGraw-Hill,NewYork, 1983. Ruckdeschel,F.R., BASIC Scientific Subroutines,Vol.2, ByteiMcGraw-Hill,Peter- borough,N.H.,1981. Scarborough,J.B.,Numerical Mathematical Analysis,6th ed.,Johns Hopkins Press, Baltimore,Md., 1966. Scott, M. R., and H. A. Watts, “A SystematizedCollection of Codes for Solving Two-Point Boundary-Value Problems,”in Numerical Methods for Differential Equations, L.Lapidus and W. E. Schiesser.eds.,Academic Press, NewYork, 1976.
- 643. BIBLIOGRAF~A 633 Shampine, L. F., and R. C. Allen, Jr., NumericalComputing: An Introduction, and C. W. Gear, "A User'sViewofSolving Stiff Ordinary Differential Equa- Saunders,Philadelphia,1973. tions," SIAM Review, 21:l (1979). Stark, P. A., Introduction to Numerical Methods, Macmillan,NewYork, 1970. Swokowski, E.W., Calculus with Analytical Geometry, 2d ed., Prindle, Weber and Schmidt,Boston, 1979. Thomas, G. B., Jr., and R. L.Finney, Calculus and Analytical Geometry, 5th ed., Addison-Wesley,Reading,Mass., 1979. Vichnevetsky, R., Computer MethodsforPartialDifferentialEquations, Vol. 1:Ellip- ticalEquations and theFinite Element Method,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1981. ,Computer Methods forPartial Differential Equations, Vol. 2: Initial Value Problems, Prentice-Hall,EnglewoodCliffs, N.J., 1982. Wilkonson, J. H., The Algebraic Eigenualue Problem, Oxford University Press, Fair Lawn, N.J., 1965. Zienkiewicz,O.C.,TheFinite Element MethodinEngineering Science, McGraw-Hill, London,1971.
- 644. INDICE Ábaco, 22-23 Ajustedecurvas: con datosigualmenteespaciados, 368-369 elementosdejuicioen el, 409-411 interpolaciónsegmentaria(spline)en el, métodosavanzadospara el, 411-413 NUMERICOMP,329-331.366-368 polinomio: 370-383 deNewtonen el, 350-364 deLagrangeen el, 363-368 linealen el, 319-337 múltipleen el, 342-344 polinomialen el, 337-341 regresión: resumendefórmulaspara el, 412 WdasetarnbidnInterpolación;Regresión) de bisección, 124 decorreccióndeerroresparalaeliminación gaussiana, 252 dediferenciadecocientes (DC), 201 definición de,25 diserio de,25-26 deeliminacióngaussianasimple, 227-231 deintegraciónde Romberg, 470-472 ' deinterpolacióncúbicasegmentaria (spline), parainversióndematrices. 268 delmétodo: Algoritmo(s): 383 de Heun, 549 de Gauss-Seidel,274 mejoradodelpolígono, 549 de los métodosdeRunge-Kutta, 563 deregresiónpolinomial, 341-342 delareglade Simpson, 452 desistemasde EDO, 565 desumasimple, 26 Almacenamiento,45 AnSlisis: dedirección, 309,387-391, 604.607 estructural, 287-291,296-297 devibraciones (uéaseOsciladorarmónico) Aproximaciónfuncional, 413 Balance de masas, 297, 520, 624 BASIC: definicidn de,29 tabladecomparación con FORTRAN, 32-40 (udase tarnbidnprogramasbajoComputadora) Búsquedaincremental, 124,139-140 CSlculosdeestímulo-respuesta, 205-206, 266-267 Casos: elmétododeRKdecuartoorden, 605-607, 616-621 elmétododeRKdesegundoordende Ralston, 610-611 Cifrassignificativas, 64-66, 74-77 Circuitosintegrados, 22 Código, 27 Coeficiente(s): criteriosdeterminaci6n (€'I, 70-71 decorrelación (r), 328, 337 dedeterminaci6n (r'), 326, 338 indeterminados,método de, 475-476 devariación, 312, 390 definiciónde una, 22 grandes, 24 grbficadpor, 54-56 programas: Computadora(s): paralaeliminacióngaussianasimple, 232-233 paraHeunsinprincipio, 583-584 paralaimplementaci6ndelacuadratura paraiteracióndepuntofijo, 151 iterativoparalaimplementacióndelmétodo gaussiana, 482-483 deHeun, 549 de bisección, 130 de Euler, 537-538 Ralston, 563 para el método: para los métodosdeRKdesegundoordende parapivote0parcial. 246 paraelpolinomiodeinterpolacióndeNewton, 360-361 paraelproblemadelparacaidista: versiónlegiblealusuario, 51 versiónsimple, 49 440-441 paralareglatrapezoidaldesegmentosmúltiples,
- 645. 636 íNDlCE para regresión lineal, 328-329 pollnomial, 341 para sistemas tridiagonales, 253 para suma simple, 30 de los determinantes, 241-243 de lamatriz inversa, 267-268 de la regresión polinomial. 342, 411 ecuaciones algebraicas linealcs para la ley de. EDO, 518, 522 Condicionamiento malo,221,238-243 Conservación de masa 296 Constantede integración. 521 Convergencia: de la iteración depunto fljo, 147-151 del método. deHeun,544,545 deNewton-Raphson.154-157 sin principio, 583 de la regla falsa. 139 272-273 para el método de Gauss-Seidel. criterlos de. Corrección deerrores,249-252,468-469, Corrector modificador, 581-582, 594-597 Corriente raíz cuadrada media (RCM), 399-401, Criterios de terminaclón ( E ’ ) , 70-71 579-580 496-499 corrector de Heun. 542 integración de Romberg. 472 iteración depunto fijo 146 método: de bisecclón, 127-130 deNewton-Raphson,154 de la regla falsa, 136-137 Cuadratura (véase Integración) Cuadratura gaussiana, 474-484 analisis del error para la, 478-479 cambio de variables en la. 484-485 caso,497-498 fórmulas de Gauss-Legendre para la, 475-484 método de coeficientes indeterminados para la, 475-476 Descomposición LU (métododeCholeskyi,306 Desviación estandar. 311-314 Determinantes, 222-223 c6lculo de,223-224.243 de sistemas mal condicionados, 241-243 Diagonal dominante,273 Diagramas de flulo para el caso simple del problema del paracaidista, 47 definición de los, 26 para integración: desigualmente espaclada, 459 de Romberg, 473 deGauss-Jordan,263 símbolos usadosen los, 28 deGauss-Seidel,275 para la suma simple, 28 para la versión de segmentos múltiples de la para el método: regla de Simpson. 453 Diferenciación numérica. 16. 8 7 ~ 9 3 sensibilidad de los datos al ruldo en la. 489 Diferencias divididas finitas, 16. 86-95 caso,282-287,490-491 Interpolación igualmente espaciada con métodode la secantecon,159 polinomios de Newton con, 350, 352-361 192-193,392-395,608-612 368-369 DinBmica del crecimlento demográfico. 180-182, Disco flexible, 45 Distribución normal, 313 Dtvergencla (uéase Convergencia) Documentación,43-46.52 Economía, 59. 172.176,189-190,404-405 Economización de Chebyshev. 413 Ecuaciónies) algebraicas (véase Sistemas de ecuaciones diferenciales: algebraicas lineales; ordinarias (EDO) de cuarto orden deAdams, 597~600 definidas, 515 elementos de JUICIO en las. 625~627 estabilidad de las. 627 linealización de las. 517 518 método(s): avanzados para la soluclón de las. de Euler para la solución de las. 528-540 de Hamming, 600 deHeun.541-547.549-550 de RK-Fehlberg para la solución de las. de Runge-Kutta para la soluclón de las. 618-628 sin principio, 574-587 563 550-563.565-566 de Milne. 595-600 NUMERICOMP. 540 ordendelas, 515 polígono mejorado,547-550 problemas con valores a la frontera en las, 282-287. con valorinicial, 522 522,566-570.627-628 reducaón de órdenes superiores. 516 resumen de fórmulas de las. 628 &idas, 627 sistemas de,564-567 algoritmo para la computadora sobre, usando el métodode Euler, 564 usandométodosde two, 567-570 usando RK de cuarto orden. 566-567 565 solución analítica de las. 519 S23 defimdas, 515 distribución de la temperatura usando, 283-287 de Hazen-Wllliam, 404 deLaplace,282-283 normales: parciales (EDP),629 de la regresión lineal, 324 polinominal, 338 múltiple, 344 del promedio de creclmiento en la saturaclón. 304
- 646. INDICE 637 caso, 392-395 raíces de (uéoseRaíces de ecuaciones) rígidas. 585 s1mult6neas (uéose Sistemas de ecuaciones de Van der Waals, 177-178, 190-191 algebraicaslineales no lineales, 306 ordinarias): rígidas, 627 comprendidos dentro delajuste de curvas, comprendidos dentro de las ecuaciones comprendidos dentro de las ecuaciones ED0 (uéose Ecuacionesdiferenciales Elementos de juic~o, 101-106 409-411 algebraicaslineales, 301-304 diferenciales ordinarias, 627 comprendidos dentro de la integración, 509-511 comprendidos dentro de lasraíces de ecuaciones, 113 Eliminación: gaussiana: caso de la, 293, 294 desventajas de la, 236-243 efecto de los errores de redondeo enla. escalamiento en la,240-243, 246-248 evaluacióndel determinante. 243 237-238,250-251 formulaciónparasistemastridiagonales, NUMERICOMP. 234-236 253-254 programa de computadora para la, 232-233 simple, 227-233 sistemas mal condicionados y, 238-243 de incógnltas, 225-227 en el momento de la ejecución. 42 por equivocación, 95-96 global de truncamiento en lasEDO, 531 loca! de truncamiento: Error(es) enlasEDO, 531,579-580 enel método de Euler, 531-537 enlos métodos de pasos múltiples, 579-580 de redondeo, 64, 67, 72-74 enlas ecuaciones diferenciales ordinarias, enlaeliminación gaussiana, efectos de los, enlospolinomios de interpolación, 366 enlaregla trapezoidal, 442, 467 en la regresiónpolinomial, 342 aprox~mados(Ea),69-70 enbisección, 127-130 encorrector de Heun, 544 eninteracción de Romberg, 472 eninteracción de punto fijo, 146 en el método: 72-73,530 237-238. 250-251 relativos, 68-71 de Gauss-Seidel, 270 de Heunsinprincipio. 574-575 de Newton-Raphson. 154 de la regla falsa, 139 reales, 66-67 de sintaxis. 41 de semántica, 41 de truncamiento. 64,67,77-85,531 en la integración, 434, 438, 444, 448, 450, 467,482 enla interpolación, 358-363 en los métodos de un paso,530-536,539,547, 551, de pasos múltiples, 513 153-154 561-563 enlasraíces de ecuaciones, 580-581, veasetambignPropagación de errores de truncamiento; Criterios de terminación (Es) Escalemiento. 241-244, 246-248 Estabilidad, 598-599,627 Estadistica, 310-314 de los coeficientes de variación, 312 de la desviaciónestAndar, 312 de ladistribución normal, 313 grados de libertad sobre, 312 histograma de, 314 de la media, 310 de la varianza, 311 para regresión lineal, 326 múltiple, 344 polinomial, 338 Estimacióndelerrorestfmdar: Eulermodificado, 547-550, 553-556 Exactitud, 66-67 Expansiónenserie de Maclaurin, 59, 70-72, 99-100 Extrapolación, 309,369-370 caso de, 387-391, 604-607 de Richardson, 467-469 Fluidos, 194,401-403 Forma de codificación, 30-31 Formulación de errores, 97 Fórmula(s): compuestas de integración, 435 de Gauss-Legendre, 475-484 de integración: abierta de Adams-Bashforth,591-592, 597 cerrada de Adams-Moulton, 592-594, 597 de interpolación de Newton-Gregory,369, 434, 445 de Newton-Cotes, 429, 454, 460 integración' abiertaconlas, 458, 460-461, 590-591, cerrada conlas, 453,454-455,591,595 595 FORTRAN: de Newton-Raphson. 152 tabla de comparación de BASIC con, 32-39 definición, 29 (véase también programas, bajo Computadora) de incremento, 550 trascendentes. 113 suaves y continuas (spline), 370 Función(es): Grados, de libertad, 311 Histograma, 313
- 647. 638 ~ N D I C E Inestabilidad, 558-559, 629 Integración: abierta, 430 fórmulas de: de Newton-Cotes, 458, 460-461. 589-590 de Adams-Bashforth, 591-592, 597 595 adaptiva deSimpson, 511 cerrada, 431 fórmulas de: Adams-Moulton para, 592-594, 597 de Newton-Cotes para, 454-455. 591 595 cuadratura gaussiana en la, 475-484 definición de, 413 definida, 420 elementos de juicioen la, 509-511 fórmulas: de Adams. 591-594 cerradas deordensuperior para, 454-455 compuestas, 454 de Newton-Cotes, 454-460, 589-591 indefinida, 517 coninterpolacióncúbicasegmentaria (spline),511 con intervalos desiguales, 455-459 métodos avanzados para la, 511 NUMERICOMP,442-444 promedio de funciones continuas, 419 con la regla 1/3 de Simpson, 443-448 con la regla 3/8 de Simpson, 449-451 reglatrapezoidal en la, 431-443 resumen defórmulas de, 512 de Romberg, 465-474 caso,501-503 caso, 498 para implementar la extrapolación de Richard son, 467-469 soluciones analíticas de, 423-424 teorema fundamental de, 423 usando segmentación suave (spline), 511 definida, 423 indefinida, 516 de superficie. 421 Integral(es): tabla de, 423 de volumen, 421 caso,387-391,396-397,400-401 cuadrstica, 351-354 segmentaria (spline),373-378 cúbica segmentaria (spline). 378-383 algoritmo para la, 383 derivaciónde la, 379-380 integración con. 511 Interpolación: con datos igualmente espaciados, 368-369 lineal, 350-351 polinomial de Lagrange, 363-368 de Newton, 350-364 cúbica, 378-383 lineal. 373-374 cuadrAtica, 374-379 algoritmopara la. 268 enel cálculodeestímulos y respuestas, 266~267 segmentarla (spline),370-383 . Integración medlante. 51 1 Inversiónde matrices. 211-212 caso,281-282.289-291 y mal condicionamiento, 267-268 método de Gauss-Jordan paracalcularla. 262-265 de Jacobi. 272, 273 de punto fijo: Iteración: convergencia de la, 148-151 aproximación gráficade la,148.151 programade computadora parala. 151 Ley(es): de Faraday, 519 deFickdeladifusión, 521 de Fourierdel calor, 521 de Kirchoff, 183.186,194,291-293.298-299, 615-618 Leibnitz.GottFried W von, 22 Lmealización de ecuaciones no lineales, 332-336 de EDO. 519 Macrocornputadoras.2 5 Mantenimiento, 45 Matriz(ces), 207-210 aumentada, 213-214 cuadrada, 208 213-214 ecuaciones algebraicas linealesque emplean. inversa, 211-212 multiplicación de,210-211 reglasde operación sobre, 209-214 transpuesta, 213-214 tridiagonal, 209 Media, 310-313 Método(s) avanzados: paralustede curvas, 411-413 paradeterminar raíces de ecuaciones. 199 en general, 107 para integración, 513 oara la solución. 201 de ecuaclones diferencialesordinartas. 627-629 desistemasde ecuaciones algebralcas linea les, 304-306 de Bairstow, 201 de bisección: algoritmo del, 123 análisisdeerror del. 127.130 casos del. 177, 183, 184-186, 188 criterios de termmaclón del. 126.130 en In determinaaón de raíces de ecuaciones, 122-132,136-139 NUMERICOMP. 54-56. 122-123.131-132 programas de computadora del. 130 de coeficlentes indeterminados. 475-476 de Crout ldescomposición LU), 306 de Cholesky idescomposiclón LU).306 de diferenciasfinltas. 282-287. 571 de disparo. 56?-569 de Euler, 528-541 análislsdeerror pala el. 531 caso del. 608. 614. 616~621
- 648. ~NDICE 639 paraelejemplodelproblemadelpara- 16-19,538-539 errores: caidista, deredondeoen el, 531 detruncamientoen el, 531-537 fórmula del, 528 NUMERICOMP, 538-539 modificacionesy mejoras al, 541-551 deprimer orden, 534 paralasolucióndeEDO. 564 programadecomputadora del, 538-539 de Gauss-Jordan,259-268 caso, 281-282,289-292 diagramadeflujopara el, 263 matricesinversasmediante el, 262-265 pivoteo, 268 deGauss-Newton, 411 de Gauss-Seidel,268-274, algoritmopara el, 274 casos, 285-287 aplicacionesdel. 274, 247 criterios: deconvergenciapara el, 272-273 determinaciónpara el, 270 diagramadeflujopara el, 275 dominanciadiagonal, 273 y laiteraclónde Jacobl, 272-273 con relajación, 272-273 de Graeffe, 201 grdficos: paraecuacionesalgebraicaslineales, 220-221 paraintegración, 416-417 paralas rakes de ecuaciones, 119-122,140, 145-152 resumende los, 5 deHamming, 600 deHeun. 541-550 corrector del: criteriosdeterminaciónpara el, 543 derivación del, 447-547 erroren el. 547 ra el. 547 estimaciónde los erroresdetruncamientopa- fórmulas del, 543 sin principio, 576-586 métododeRunge-Kuttapara el, 552-554 an6lisisdel erra para el, 577-579 criterios determinaciónpara el. 574-575 derivación del, 579 estimaciónde los erroresdetruncamiento para el, 579-580 fórmulaspara el, 574 modificadorespara el, 580-583 programadecomputadorapara el, 584-517 programapara el. 549 queusanintervalos, 119-142 deMarquardt. 413 iterativos, 70-71 mejoradodelpolígono. 547-550, 553-556 deMilne. 596-597 deMuller, 201 deNewton-Raphson: estabilldad del, 598-599 aspectosdeprogramaciónde los, 158 andlisisdeerroresen los. 154-156 caso de los, 178-179 derivación delos. 151-154 desventajasde los, 151-156 seriesdeTayloren los, 153-154 pararaícesmúltiples, 164-167 parasistemasnolineales, 306 de un paso, solución a los, 527-528 depasosdescendentes, 411 métodos: de un paso, 563 depasosmúltiples para, 585-586 delpunto medio, 460, 578, 590 delareglafalsa: andlisisdeerrorpara el, 135-136 casosparael. 177,183, 188 Y SU comparaciónconelmétododela secan- te,160-162 convergencia del, 138 criteriosdeterminaciónpara el, 136-137 desventajas del, 137-139 enladeterminaciónde raíces, 133-139, 160-163 fórmulapara el, 134 programadecomputadorapara el, 139 de Runge-Kutta,550-563 errores en los, 561-563 decuartoordencldsicas, 558-559 dequintoordende Butcher, 559-560 desegundo orden, 551-556 algoritmoparacomputadora, 563 derivación de, 551 métododeHeuncon un solo corrector, polígonomejorado, 554 de Ralston, 554 553 detercerorden, 556-557 de Runge-Kutta-Fehlberg,562-563 dela secante: casos, 177.183. 188 convergencia del, 160-162 programadecomputadorapara el, 162 raícesmúltiples v el.167 deseriesdeTaylo;deordensuperiorparalas EDO, 540-541 devariospasos , 573 andlisisdelerroren los, 577-578 de cuartoordendeAdams. 529-597 derivación de,577-579 fórmulasdeintegraciónpara los, 588-594 deAdams, 591-594 de Newton-Cotes,589-591 deHamming, 599 métododeMilneen los, 589-596 estabilidad del, 598-599 Heun sin principio, 574-587 modificadoresdel, 579-583,594-595 Microcomputadoras,24 Minimax, 333,369 Minicomputadoras, 24 Modelaciónde entrada-salida,413 Modelo(s): decrecimientologistico, 180-182, 192 exponencial, 332-333 macrovariables.205 matemAtico, 11 microvariables,206 depotencias. 333-335 caso, 398-399 .___
- 649. 640 íNDlCE de temperatura, 283-287. 296-297, 525 devariable continua, 206 variables agrupados, 206 derivación general de los, 594-595 del predictor, 581-583,594-596 Modificadores. 580-583 Nodos, 373 Normalización. 228 Notación matriclal, 207-209 NUMERICOMP, 53-56 I ~~ bisección dentro de,131.132 gráficas dentro de,54-56,121-122 eliminación gaussiana dentro de, 233-235 interpolaciónde Lagrange dentro de, 366-368 método de Euler dentro de, 538-539 reglatrapezoidal dentro de, 442-443 regresiónlineal dentro de, 329-332 Oscilador armónico, 186-189.194,618-621 Pascal, 27 Blas, 22 Pendiente en un punto (véase Método de Euler) Pivoteo, 244-246 Polinomio(s): deinterpolación con diferenciasdivididas de I’íewton, 350-364 cuadraticos, 351-352 errores en los, 358-363 forma general de los, 354~358 programa de computadora de los, 360-361 lineales, 350-351 redondeo en los, 366 de Lagrange, 363-368 derivación del, 364 error en el, 363 errores de redondeo en el, 366 NUMERICOMP. 336-368 Precisión, 66-67 Predictor-corrector, 542-543 Principio de probalidad mdxima, 325 Problema(s): ejemplo: ortogonales, 411 (usosetambién Métodos de varios pasos) del paracaidista debisección para el, 131-132 de cuadratura gaussiana para el. 482-484 de eliminación gaussiana para el, 233-236 de interpolación de Lagrange para el. del metodo de Euler para el, 538-539 de la reglatrapezoidalpara el, 441-443 de regresiónlinealpara el, 329-332 modelos del, 12-19 programa de computadora para el, 46-51 366-368 de valoresen la frontera, 282-287, 522. 567-570 métodos: de dlferenciasfinitas, 282-287. 571 de disparopara la solución de. 567-570 enla solucióndediferencias finitas, 629 devalor inicial, 522 almacenamiento y mantenimientodela, 45-46 composición de la. 27. 27-41 definiciónde la, 24 descendente, 48 diseño dealgoritmos de, 24-26 documentación de la. 43-44 modular. 41 rastreo y pruebadela. 41-42 símbolosdelosdiagramasdeflujopara la, 28 (uéase también NUMERICOMP,programas, Propagación de errores de truncamiento, 531 bajo Computadora) Pruebas de hipótesis, 309, 395 Programación: Programas, 24 Raíces complejas, 114.201 de ecuaciones. búsquedas mcrementales. 124139-140 elementos de jumo en las. 197-199 métodos analíticospara resolver, 109 avanzados paradeterminar las. 199. 201 de la bisecciónpara encontrar las. 123-133, de Newton-Raphsonpara las, 152-158 delareglafalsapara encontrar las. 137-139 133-139. 160.162 las, 119-122,145.148-152,157-158, métodos gráficospara la obtención de resumendefórmulas. 200 163-164 ~~ NUMERICOMP. 131.132 múltiples, 121~122,163-167 de la secante paradeterminar las,158.162 Rastreo, 41 Regla(s1: de la cadena en la derivach. 540-541. 551 de Cramer, 224-226 de redondeo, 75-77 de Simpson, 443-452 dlagrarnadeflujopara la. 453 de 1/3,444-449 caso, 490. 491, 493-497. 500~501 derivación de. 445 estimacióndel error de, 445-446 fórmula de,445.454 relación con las EDO. 591 con el método de RungeKutta. 556-558 segmentos múltiples, 442-446. S91 de 3 / 8 , 449-451 caso,502-503 estimaciónde errores de la. 451 fórmulade la, 450 trapezoidal, 431-443 caso, 489, 491. 493, 496-499. 500-503 de segmento(s) desiguales, 455-455 múltiples, 437-443 rorrección de errores, 467-470
- 650. -~NDICE 641 estimacióndelerror en, 439 fórmula de, 438 extrapolaciónde Richardson,467.470 NUMERICOMP, 441-443 redondeo, 443, 466 programaparaelmétodo de, 440-441 simple. 431-437,453,547,577,590,593 comparación conlacuadratura gaussiana, derivación, 432, 434, 475-476 estimacióndel error, 433-434 fórmula. 431 relaciónconlas EDO. 547, 577, 591. 474-475 593 Regresión lineal, 321-336 coeficiente: caso,388-389.398-399 decorrelación (r) de la, 328 criteriodelmejor ajuste, 321-322 dedeterminación (r2) de la, 326 ecuaciones normales, 323 limitacionesde la, 336-337 estimacióndelerrorestdndarpara el, 326 linealizaciónde ecuaciones nolineales, NUMERICOMP, 329-331 programadecomputadora para, 328-329 múltiple, 37,342-344 332-337 casodeestudio, 402-403 ecuacióndepotenciasde la, 344 estimacióndelerrorestándarpara la, 344 no lineal, 393, 411 pol~nomial,336-342 caso, 388-392 algoritmopara la, 341-342 estimacióndelerroresrdndarde la, 338 ecuaciones normalesde la, 338 subrutinaparalas ecuaciones normalesde la, 341 Regulafalsi(véaseregia falsa, baloMétodo) Relajación, 273-274 caso,286-287 Resumendefórmulas: para ecuaciones: paraelajustedecurvas, 412 algebraicaslineales, 305 diferencialesordinarias, 628 paraintegración, 512 mtroducclón al, 107 Segunda ley deNewton, 11-14, 187, 293-294, Serie(s): 521,620 de Taylor, 78-93 degradientearitmético, 60, 174-175 fórmulas: deintegraciónde Adam para la, 591-593 deNewton-Raphsonque usa, 154-155 deEulerenla. 531-534 deordensuperiorparalas E D 0 con, métodos: 540-541 Sistemas: residuoen la, 78-79, 82, 84-86 de ecuaciones algebraicaslineales definición, 203 factores deimportancia, 301-304 eliminacióngaussianaen los, 227-252 Gauss-Jordan, 259-268 Gauss-Seidel, 268-274 métodosavanzados, 304, 306 inversióndematricesmediante los, 262-267 NUMERICOMP, 234-235 depocas ecuaciones, 219-227 tridiagonales, 253-254,380-381 resumendefórmulas, 305 singularesmalcondicionados, 221 Software, 24 (véase tambiénNUMERICOMp) Soluciónanalítica: de EDO, 518-524 deintegrales, 422-423 Spline (véase interp0;aciÓnsegmentariacúbica) enlasoluciónderaícesde ecuaciones, 109 Paraelproblemadelparacaidista, 15 Tabladeintegrales. 423 Teorema: fundamentaldelcdlculointegral, 422, 577 del valormedlo. 85, 147 Transformada rdpidade Fourier, 413 Valorespropios, 306 Varianza, 312