Metodo simplex
Descargar como DOCX, PDF1 recomendación507 vistas
Este documento presenta los conceptos y métodos del método simplex para resolver problemas de programación lineal, incluyendo las reglas de Crammer, el método de Gauss-Jordan, y la técnica de la holgura. También incluye ejemplos resueltos de problemas de maximización usando el método simplex.
Metodo simplex
- 1. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 1 MÉTODO SIMPLEX Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan 1. 2 3 4 3 4 5 2 2 7 9 4 4 2. 3. 7 2 4 6 5 3 13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2 4 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4 5 6 7 8 4 2 5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼ 8 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 4 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2 4. 5. -2/5 0 14/5 9/5 4/5 1 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5 5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17 /72 3 3 4 2 -1/7 0 15/7 1/7 8/ 74 3 2 2 5 13/7 0 8/7 - 13/ 7 29 /7 5 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/ 7 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2 -13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3 7/6 2/3 1 5/6 5/6 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6 3 2 9 7 2 5 3 8 3 3 7 4 6 5 5 4 3 5 6 7
- 2. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 2 Z A B H1 H2 VALO R Z -20 -30 0 0 0 H1 2 2 1 0 5 H2 1 1 0 1 3 CONCEPTOS A CONSIDERAR PIVOTE.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente. VECTOR ENTRANTE.- es la columna que contiene el número más pequeño. VECTOR SALIENTE.- número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante. se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento. EJEMPLO MAXIMIZAR Z = 20A + 30B SUJETO A 2A +2B ≤ 5 A + B ≤ 3 Vector entrante: B Vector Saliente: H1 Pivote: 2 3 4 2 5 3 2 4 2 3 6 2 3 2 8 4 7 9 4 3 5 9 8 3 2 8 3 2 5 3 2 -5 1 0 0 0 0 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0 -14 2 0 -3 3 0 -33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7 4 3/2 1 5/2 3/2 1
- 3. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 3 2. MAX Z= 3X1 + 4X2 + 9X3 Sa 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 X1, X2, X3 ≥ 0 SE TRANSFORMA A UNA IGUALDAD Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 – 2X2 -7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3 HOLGURAS Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 +H1 = 10 2X2 + 5X3 +H2 = 16 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 VB EC Z X1 X2 X 3 H1 H2 H3 VALORZ 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0 H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10 H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16 H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9 Vector entrante: X3 Vector Saliente: H3
- 4. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 4 Pivote: -7 MAXIMIZAR Z= 3X1 + 2X2 SA 2X1 + X2 ≤ 18 2X1 + 3X2 ≤ 42 3X1 + X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 H3 Z 1 -3 -2 0 0 0 0 H1 0 2 1 1 0 0 18 H2 0 2 3 0 1 0 42 H3 0 3 1 0 0 1 24 Z 1 0 1 0 0 1 24 H1 0 0 1/33 /3 1 0 - 2/3 2 H2 0 0 7/3 0 1 - 2/3 26 X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8 Z 1 0 0 3 0 -1 30 X2 0 0 1 3 0 -2 6 H2 0 0 0 -7 1 4 12 X1 0 1 0 -1 0 1 6 Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33 X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12
- 5. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 5 H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3 X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3 SO Z= 33 VO X1=3 X2=12 H1= 0 H2=0 H3=3 MAXIMIZAR Z= 3000X1 + 4000X2 SA X1 + X2 ≤ 5 X1 - 3X2 ≤ 0 10X1 + 15X2 ≤ 150 20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150 X1, X2 ≥0
- 6. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 6 FORMA CANÓNICA Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0 X1 + X2 + H1 = 5 X1 - 3X2 + H2 = 0 10X1 + 15X2 + H3 = 150 20X1 + 10X2 + H4 = 160 30X1 + 10X2 + H5 = 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 SO Z= 2000 VO X1=0 X2=5 H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H 1 H2 H3 H4 H5 Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150 H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160 H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150 Z 1 1000 0 400 0 0 0 0 0 20000 X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15 H3 0 -5 0 -15 0 1 0 0 75 H4 0 10 0 -10 0 0 1 0 110 H5 0 20 0 -10 0 0 0 1 100
- 7. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 7 H5=100 MAXIMIZAR Z= X1 +X2 SA X1 + 3X2 ≤ 26 4X1 + 3X2 ≤ 44 2X1 + 3X2 ≤ 28 X1, X2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0 X1 + 3X2 + H1 = 26 4X1 + 3X2 + H2 = 44 2X1 + 3X2 +H3 = 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 H3 Z 1 -1 -1 0 0 0 0 H1 0 1 3 1 0 0 26 H2 0 4 3 0 1 0 44 H3 0 2 3 0 0 1 28 Z 1 0 - 1/4 0 1/4 0 11 H1 0 0 9/4 1 - 1/4 0 15 X1 0 1 3/4 0 1/4 0 11 H3 0 0 3/2 0 - 1/2 1 6 Z 1 0 0 0 1/6 1/6 12 H1 0 0 0 1 1/3 -1 1/6 8 X1 0 1 0 0 1/2 -0.083333 8 X2 0 0 1 0 - 1/3 2/3 4
- 8. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 8 SO Z=12 VO X1=8 H1=8 X2=4 H2=0 H3=0 TÉCNICA DE LA M AÑADIR: ≤ +H1 = +A1 ≥ -H1+A1 Max –M Min +M EJEMPLOS: MAXIMIZAR Z= 5X1 + 6X2 SA -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 ≤ 5 6X1 + 7X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0
- 9. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 9 FORMA CANÓNICA Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1 =5 6X1 + 7X2 + H2=3 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 Z - 5X1 - 6X2 +MA1 - 0H1- 0H2 = 0 2MX1 - 3MX2 -MA1 = -3M VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H 2 A1 Z 1 2M-5 (-)3M-6 0 0 0 (-)3M A1 0 -2 3 0 0 1 3 H1 0 1 2 1 0 0 5 H2 0 6 7 0 1 0 3 Z 1 32/7M+1/7 0 0 3/7M +6/7 0 (-)12/7+18/7 A1 0 -4 4/7 0 0 - 3/ 7 1 1 5/7 H1 0 - 5/7 0 1 - 2/ 7 0 4 1/7 X2 0 6/7 1 0 1 / 7 0 3/7 SO Z= 18/7 VO X1=0 X2=3/7 H1=29/7 H2=0
- 10. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 10 MAXIMIZAR Z= 3X1 + 9X2 SA 2X1 + 6X2 = 2 5X1 + 4X2 = 3 4X1 + X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1 2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M) 5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M) 4X1 + X2 +H1=5 X1, X2, A1, A2, H1 ≥0 Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1= 0 -2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M -5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M Z+
- 11. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 11 VB VARIABLES VALOR Z X1 X 2 A1 A2 H1 Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M A1 0 2 6 1 0 0 2 A2 0 5 4 0 1 0 3 H1 0 4 1 0 0 1 5 Z 1 (-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0 3-5/3M X2 0 1/3 1 1/6 0 0 1/3 A2 0 3 2/3 0 - 2/3 1 0 1 2/3 H1 0 3 2/3 0 - 1/6 0 1 4 2/3 Z 1 0 0 3/2+2M M 0 3 X2 0 0 1 5/6 -0 0 1/5 X1 0 1 0 - 1/5 1/4 0 4/9 H1 0 0 0 1/2 -1 1 2 1/6 SO Z= 3 VO X1=4/9 X2=1/5 H1=13/6 H2=0
- 12. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 12 MINIMIZACIÓN SE MULTIPLICA A LA FUNCIÓN OBJETIVO POR -1 Y SE RESULEVE COMO UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN. MINIMIZAR Z= 3/2X1+2X2 SA 2X1 + 2X2 ≤ 8 2X1 + 6X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2 2X1 + 2X2 + H1 = 8 2X1 + 6X2 +A1-H2 =12 (M) X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 Z – 3/2X1 -2X2 2MX1 + 6MX2 - MA1 -0H1- 0H2 = 0 +MA1 -MH2 = 12M Z+(2M-3/2)X1+(6M-2)X2 -Z-(3/2-2M)X1-(2-6M)X2 -0H1–MH2= 12M +0H1+MH2= -12M (-1) VB VARIABLES VALOR Z X1 X 2 A1 H1 H2 Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-)12M H1 0 2 2 0 1 0 8 A1 0 2 6 1 0 -1 12 Z -1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3 -4 H1 0 1 1/3 0 - 1/3 1 1/3 4 X2 0 1/3 1 1/6 0 - 1/6 2
- 13. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 13 SO -Z= -4 Z=4 VO X1=0 X2=2 H1=4 H2=0 MINIMIZAR Z= 4X1 + 5X2 SA 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X1 + 6X2 ≥ 18 X1 + X2 = 7 Xi ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2 2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 =18 (M) X1 + X2 +A2 = 7 (M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0 2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M MX1 + MX2 +MA2 = 7M Z+(3M-4)X1+(7M-5)X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)
- 14. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 14 -Z-(4-3M)X1-(5-7M)X2 +0H1+MH2 = -25M VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 Z -1 4-3M 5-7M 0 0 0 M (-)25M H1 0 2 2 0 0 1 0 10 H2 0 2 6 1 0 0 -1 18 A1 0 1 1 0 1 0 0 7 Z -1 7/3-2/3M 0 (- 5/6+7M/6) 0 0 5/6-1M/6 (-15-4M) H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3 4 X2 0 1/3 1 1/ 6 0 0 - 1/6 3 A2 0 2/3 0 - 1/6 1 0 1/6 4 Z -1 0 0 (-1/4+M) 0 (-7/4+1M/2) 1/4 (-22-2M) X1 0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4 3 X2 0 0 1 1/ 4 0 - 1/4 - 1/4 2 A2 0 0 0 0 1 - 1/2 0 2 EL EJERCICIO NO TIENE SOLUCIÓN MAXIMIZAR Z= 3X1 + 5X2 SA X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 = 18 Xi ≥ 0 FORMA CANÓNICA Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1 X1 + H1 = 4 2X2 + H2 = 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M) Z - 3X1 - 5X2 -0H1-0H2 +MA1 = 0 - 3MX1 -2MX2 - MA1 = -18M
- 15. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 15 VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 A1 Z 1 -3M-3 -2M-5 0 0 0 -18M H1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 2 0 1 0 12 A1 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 2 0 1 0 12 A1 0 0 2 -3 0 1 6 Z 1 0 0 -9/2 0 M+5/2 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 0 3 1 -1 6 X2 0 0 1 -3/2 0 ½ 3 Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36 X1 0 1 0 0 - 1/3 1/3 2 H1 0 0 0 1 1/3 - 1/3 2 X2 0 0 1 0 1/2 0 6 SO Z= 36 VO X1=2 H1=2 X2=6 H2=0 MINIMIZAR Z= 3X1 + 5X2 SA X1 ≤ 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 ≥ 18 Xi ≥ 0
- 16. RUBÍ PARRA QUINTO SEMESTRE “A” Página 16 FORMA CANÓNICA Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1) -Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 -MA1 -MA2 X1 + H1 =4 2X2 + A1 = 12(-M) 3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 -Z + 3X1 + 5X2 +0H1+0H2 +MA1 + MA2 = 0 -2MX2 -MA1 = -12M - 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M VB VARIABLES VALOR Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 Z -1 (-)3M+3 (-)4M+5 0 M 0 0 (-)30M H1 0 1 0 1 0 0 0 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12 A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 Z -1 (-)3M+3 0 0 M 2M-5/2 0 (-)6M-30 H1 0 1 0 1 0 0 0 4 X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6 A2 0 3 0 0 -1 -1 1 6 Z -1 0 0 0 1 M-3/2 M-1 -36 H1 0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3 2 X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6 X1 0 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3 2 SO -Z= -36 Z=36 VO X1=2 H1=2 X2=6 H2=0