Mi 03 integration by partial fractions
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El documento describe la técnica de fracciones parciales para integrar funciones cuando el diferencial tiene factores que faltan o sobran. Explica el proceso paso a paso con un ejemplo donde el denominador se puede factorizar en factores lineales distintos. El proceso implica dividir el denominador común entre cada fracción para obtener los numeradores y luego igualar la suma de fracciones a la fracción original.
Mi 03 integration by partial fractions
- 1. G. Edgar Mata Ortiz න 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑐ℎ𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠
- 3. Métodos y Técnicas de integración G. Edgar Mata Ortiz C 1
- 5. El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.
- 6. Resolución individual de problemas En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.
- 7. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
- 8. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
- 9. Las técnicas de integración En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de: Fracciones Parciales
- 10. Fracciones Parciales Esta técnica se basa en la suma de fracciones algebraicas. Consiste en invertir el proceso: En la operación directa se obtiene el resultado de sumar dos o más fracciones. En las fracciones parciales se conoce el resultado de la suma y se desea determinar cuáles fueron las fracciones que lo produjeron.
- 11. Fracciones Parciales Existen varios casos, que dependen del grado del denominador y la forma en la que es posible factorizarlo. En este ejemplo se explica el primer caso, cuando se obtienen factores lineales no repetidos, es decir, todos los factores son diferentes entre sí. Factores lineales distintos
- 12. Como en los ejemplos anteriores, no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración. Ejemplo: න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =
- 13. Ejemplo: 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟏) El primer paso consiste en factorizar el denominador. න −3𝑥 − 1 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝑑𝑥 = = 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
- 14. Ejemplo: Las fracciones parciales son: න −3𝑥 − 1 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝑑𝑥 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 Factores: 𝒙 𝒙 + 𝟏 (𝒙 − 𝟏) Los numeradores de estas fracciones no los conocemos, será necesario determinarlos.
- 15. Ejemplo: Para determinar los valores de los numeradores de las fracciones parciales, se utiliza el hecho de que la fracción original debe ser igual a las fracciones parciales න −3𝑥 − 1 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝑑𝑥 = −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏Factores: 𝒙 𝒙 + 𝟏 (𝒙 − 𝟏)
- 16. Ejemplo: El primer paso consiste en obtener el común denominador, multiplicando los denominadores de las tres fracciones: Equis, por equis más uno, por equis menos uno. 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 = 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) Suma de fracciones 1. Primer paso
- 17. Ejemplo: Se divide el común denominador, entre el denominador de cada fracción, y el resultado se multiplica por el numerador; en este caso, se divide el común denominador entre equis, y el resultado (equis más uno por equis menos uno), se multiplica por “A”. 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 = 𝑨(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) Suma de fracciones 2. Paso número dos; Obtener el numerador de la fracción 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
- 18. Ejemplo: La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 = 𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙(𝒙 − 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) Suma de fracciones 2. Se divide el común denominador entre el denominador de cada fracción, y el resultado se multiplica por el numerador 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒙 − 𝟏)
- 19. Ejemplo: La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 = 𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) Suma de fracciones 2. Se divide el común denominador entre el denominador de cada fracción, y el resultado se multiplica por el numerador 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙 − 𝟏 = 𝒙(𝒙 + 𝟏)
- 20. Ejemplo: La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales න −3𝑥 − 1 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝑑𝑥 = −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 Factores: 𝒙 𝒙 + 𝟏 (𝒙 − 𝟏) Efectuamos la suma indicada en el lado derecho del signo de igual −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
- 21. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
- 22. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) Vamos a tomar esta expresión para obtener los valores de A, B y C
- 23. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan. −𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒙 𝟑 − 𝒙)(𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
- 24. Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan. −𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒙 𝟑 − 𝒙)(𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙) 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) −𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙
- 25. Ejemplo: Se agrupan términos semejantes Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los términos independientes. −𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 −𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐 + −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨
- 26. Ejemplo: Se agrupan términos semejantes Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los términos independientes. −𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐 − 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 −𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐 + −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨 Con la finalidad de igualar término por término, en este paso se considera que la expresión del lado izquierdo del signo igual, al no tener término cuadrático es cero equis cuadrada. 𝟎𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐 + −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨
- 27. Ejemplo: Se igualan los coeficientes Los coeficientes de equis cuadrada: 𝟎𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐 + −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 Los coeficientes de equis: −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 Los términos independientes: −𝑨 = −𝟏 Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
- 28. Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3x3) Ejemplo: El sistema de ecuaciones obtenido puede resolverse por cualquiera de los numerosos métodos existentes. 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 −𝑨 = −𝟏 Explicaciones y ejemplos acerca de estos métodos pueden encontrarse en: http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/solving-cramers-method-determinants.html http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/gauss-jordan-3-ecuaciones.html http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/5-tips-on-cramer-method.html http://licmata-math.blogspot.mx/2013/11/linear-equation-systems-problem-solving.html http://licmata-math.blogspot.mx/2011/10/formato-gauss-jordan-3x3.html
- 29. Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2) Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones. 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟏 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 ∴ 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 −𝑨 = −𝟏 ∴ 𝑨 = 𝟏 En este caso el sistema de ecuaciones puede simplificarse gracias a que la tercera ecuación nos proporciona directamente el valor de una de las incógnitas: A. El valor de A es uno, y al sustituirla en la primera ecuación obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
- 30. Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2) Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones. 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Los métodos empleados en la resolución de sistemas 3x3 también pueden emplearse en sistemas de 2x2, sin embargo, frecuentemente resulta más sencillo emplear otros métodos: Método de Reducción Método de Sustitución Método de Igualación Método Gráfico
- 31. Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2) Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones. 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas En este ejemplo, debido a los coeficientes de las ecuaciones es conveniente aplicar el: Método de Reducción o de suma y resta Se elige este método porque al sumar las dos ecuaciones, se eliminará la incógnita B, obteniéndose una sencilla ecuación de primer grado con una incógnita (C), de la que se despeja y obtiene el valor de C.
- 32. Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2) Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones. 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Método de Reducción o de suma y resta 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 𝟐𝑪 = −𝟒 𝑪 = −𝟒 𝟐 ∴ Obtenemos el valor de la incógnita C 𝑪 = −𝟐
- 33. Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2) Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones. Método de Reducción o de suma y resta 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 𝟐𝑪 = −𝟒 𝑪 = −𝟒 𝟐 ∴ 𝑪 = −𝟐 El valor de la incógnita C, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema de 2x2 y se despeja la incógnita faltante (B). 𝑩 + 𝑪 = −𝟏 → 𝑩 − 𝟐 = −𝟏 → 𝑩 = −𝟏 + 𝟐 𝑩 = 𝟏
- 34. Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3x3) Ejemplo: No olvidemos que todo este proceso fue realizado para determinar los valores de las tres incógnitas que conforman el sistema original. 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 −𝑩 + 𝑪 = −𝟑 −𝑨 = −𝟏 Las soluciones fueron: 𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏
- 35. Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3x3) Ejemplo: Significado de las soluciones del sistema de 3x3 Las soluciones fueron: 𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏 Estas soluciones son los numeradores de las fracciones parciales planteadas para descomponer la fracción propia que se desea integrar න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =
- 36. Ejemplo: Ahora conocemos los numeradores de las fracciones parciales. −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 𝒙 − 𝟏 −𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏
- 37. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥
- 38. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = න 1 𝑥 𝑑𝑥 + න 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + න −2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 2 න 𝑑𝑥 𝑥 − 1
- 39. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = න 1 𝑥 𝑑𝑥 + න 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + න −2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 2 න 𝑑𝑥 𝑥 − 1
- 40. Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus fracciones parciales. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = න 1 𝑥 𝑑𝑥 + න 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + න −2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 2 න 𝑑𝑥 𝑥 − 1 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪
- 41. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos podemos simplificar el resultado. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪 = න 1 𝑥 𝑑𝑥 + න 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + න −2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 2 න 𝑑𝑥 𝑥 − 1
- 42. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos podemos simplificar el resultado. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪 = ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2 𝑪 = න 𝑑𝑥 𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 + 1 − 2 න 𝑑𝑥 𝑥 − 1
- 43. Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos podemos simplificar el resultado. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 + −𝟐 𝒙 − 𝟏 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝒍𝒏𝑪 = ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝒍𝒏𝑪 = ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2 𝑪 = ln 𝑪 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 2
- 44. Solución del problema: El objetivo de las fracciones parciales es expresar una fracción propia que no puede integrarse directamente, en sus fracciones parciales que sí pueden integrase con alguna de las fórmulas básicas de integración. න −3𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝐶 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 2
- 45. Fuentes de información en línea http://licmata-math.blogspot.mx/ https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata