![Pensamiento numérico - varíacional
Adición y sustracción de números naturales
¿Cuántos años han pasado
desde la invención del telégrafo
en 1833 hasta el 2007?
¿Cuántos años transcurrieron
desde el nacimiento de la Pas-
calina en 1642 hasta la creación
del computador ENIAC en
1943?
C l a v e m a t e m á t i c a
r5m 6*0* íf |W> 5rc«o Lll IIIIBI m
M i - i J ^ t)í » J i-
• i
a : I - 1 1 J
A B C
1 2007 174
2 1883
3
4
Andrés decidió utilizarla calcu-
ladora del computador, dígito
la operación 1 9 4 3 - 1 6 4 2 y
obtuvo como resultado 3 0 1 .
Para contestar la primera
pregunta, Luisa decidió utili-
zar la hoja de cálculo de Ex-
cel y obtuvo como respuesta
1 74 años.
HG3CD S amfZDHE]
B E S s a r u m a s H
E3EDGJ H ruQaaaE]
HGJJEDG]
Para sumar y restar números naturales es importante sumar o restar cifras que se encuen-
tren en la misma posición, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc.
143 784 + 63 782 =207 566
V V „ „ J
i
Sumandos
i
Total
34 504-1 356 = 33 148
v y '^-v-^
i i i
Minuendo Sustraendo Diferencia
La adición y la sustracción de números naturales son operaciones inversas. Es decir, para
encontrar un sumando en una adición utilizo la sustracción y para encontrar el minuendo
o sustraendo en una sustracción empleo la adición. Ejemplos:
3 590 + X = 46 789
X = 46 7 8 9 - 3 590
X = 43 199
Prueba: 43 199 + 3 590 = 46 789
Y - 1 905 = 43
Y = 432 + 1 905
Y = 2 337
Prueba: 2 337 - 1 905 432
) TALLER Adición ysustracción denúmeros naturales 0 €>0
La tabla muestra el año de creación de algunos inventos.
Invento
Reloj de bolsillo
Aparición de la bicicleta
Primera máquina de escribir con memoria
Primera máquina de vapor
Técnica de cinematografía en color
Aparición de los juegos artificiales
1458
1869
1964
1705
1951
1378
Primeros robots láser
Primer cronómetro de Marina
1986
1736
Primeros teléfonos públicos de tarjeta .1980
Descubrimiento de los vasos capilares 1661](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-24-320.jpg)
![Conversión de números arábigos a números romanos
con ayuda del computador
Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la
cual se puede realizar cualquier tipo de cál-
culo, conversiones, gráficas, conteos, etc.
Es importante tener en cuenta que la hoja
de cálculo cuenta con columnas numeradas
con letras mayúsculas y las filas con núme-
ros; observa que en el cuadro de nombres
se encuentra la celda que está selecciona-
da, en la gráfica corresponde a B3.
O Microsoft Excel - Librol
: ¿ ] firthivo Bidón £er Insertar Eormato
<•«
A •B C
1
2
3 l I;
4
5
6
7 , , . „
8
Vamos a escri-
bir en la celda
Al el primer
número forma-
do por dos ci-
fras iguales, el
11 y en A2 el
segundo, 22.
C Microsoft Excel -Librol
^MP lrtswt<v
: _J w A _i •i -* « 1
: m —
3f ái
C?
A . B [ _
X
3
11
22
K
X
3
11
22
K
5
E Microsoft Excel Libn
i VJ ftrchwo £duán
*• IA!
A B
1 11
2 22
3
Para continuar con
los números hasta el
99, se seleccionan las
celdas Al y A2 y se
ubica el cursor sobre
el cuadrado negro
que se encuentra en
la parte inferior dere-
cha de la selección.
Con el cursor en esta ubicación, se des-
plaza manteniendo el click sostenido hasta
completar el 99, al soltar el click, los nú-
meros ya se habrán copiado.
C Microsoft Ixccl 1 inrol E3 Microsoft íxcel Librol
i 2] Sr**« t * w i s«r i r »
I J • J > J J < ~ : l ^ L J i J *
|- * ÉJ
A1 1 * 11 Al A 11
A ' B _ L A B
1 11 1 11
2 2 2 2 2 2
3 3 3
4 • • 44
5 5 5 5
6 6 6 6
7 7 7 7
8 8 8 8
9 9 9 9
10
aJ
10 B
11
aJ
11 i f
l-1
12
Vamos a calcular el cuádruple de los ante-
riores números. En la celda Bl escribimos
la siguiente fórmula: =A1 *4 y oprimimos
enter, automáticamente nos aparecerá el
cuádruple del valor digitado en A l , es de-
cir, 44. Si se quiere, en lugar de digitar el
nombre de las celdas, se da click en ellas.
Observa que en la barra de fórmulas se
muestra la fórmula dada.
fÜ? Microsoft Excel - l i b r o l
: á j frchrVO £dkson insertar £
i A
2Mi TA- "*Á 1
i
A B c
1 111=A1*4
2 22
3 33
4 44
5 55
6 86
7 77
8 88
9 99
10
II
12
Excel Librol
£cki6o i » - Insertar formato
A =A1*4
1 111 44Í
2 22
33
4 44
5 55
6 66
*
8 88
9 99
10
h i
6 6](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-59-320.jpg)
![Para copiar la fórmula
ubicamos el cursor en
el recuadro y con click
sostenido la desplaza-
mos hasta la celda B9,
se observará el cuádru-
ple de los números co-
piados anteriormente.
Para calcular la suma de los últimos re-
sultados, ubicamos el cursor en la celda
llamado en Excel
1 11 44
2 22 96
3 35 132
4 44 176
5 55 220
6 $6 2S4
7 77 306
e N 352
9 99 396
10
Bl 0 y oprimimos
autosuma; así obtendremos la suma de
las celdas Bl a la B9; oprimimos enter y
se nos mostrará el resultado.
B Microsoft Excel - Librol
£ j archivo EcWon ¡¿er Insertar fiomwto Herramientas
SUMA fi. =SUMA(B1:D16B9)
A B C 0
1 I T 44;
2 22 88
3 33 132
4 44 176
5 55 220
6 66 264 ¡
7 77 308
8 88 352
•
9 99 396
1D |=suMA¡gflgJHS3!
11 | SUMA(númerol; [número2]¡ ,..) |
12
13
! Microsoft Excel - Librol
archivo £o5ctón 5¡er Insertar Eormato
B10 fit =SUMA(B1:B9)
A B c
1 11 44
2 22 88
3 33 132
4 44 176
5 55 220
6 66 264
7 77 308
8 88 352
9 99 396
.10 I 1980
11
IÍ2l I 1
De esta forma se procede a realizar cualqui-
er operación con ayuda de la hoja de cál-
culo de Excel.
Ahora, para convertir este resultado en
número romano, nos ubicamos en la cel-
da en la cual queremos ver la conversión y
digitamos la siguiente fórmula: =NUMERO,
ROMANO(B10;0) y oprimimos enter; esto
quiere decir, que el valor encontrado en la
celda Bl 0, en nuestro caso, la suma realiza-
da, lo convertirá en número romano; el cero
indica el estilo clásico para Excel. Es necesa-
rio conservar la escritura en mayúscula.
[ A .1 B 1
1 11 44
22 88
X 33 132
3 ML_ 176
55 220
6 SE 264
7 77 308
e 86 352
11 99 396
en 1960
mra MCMLWX
l _ l
Al oprimir enter, se
mostrará el número
romano.
Ahora, realiza el procedimiento anterior para
los dígitos. No es necesario realizar todo de
nuevo, únicamente digitar en la celda Al
el número 1 y enter, en la celda A2 el 2 y
arrastrar la serie como se realizó inicial-
mente, observa cómo cambian automática-
mente los resultados y la conversión.
ET Microsoft Excel librol
Ü t* IPMrtw
• J ^ A 4 J J X *' *.
:- - » JÉ
A.' * * 22
í A l B
1 1
•2 el •
3 8' 132
4 44 176
5 66 220
6 66 264
7 77 308
e 69 362
9 99 396
10 1940
' i
12
13
' i
12
13
F Microsoft fxcel Librol
S* tmut 1
: 1 * A ; . .j ~ t* ...
i - . " n 1
A3 * :
A 1 B
1 i 1 4
2 1 11
•3 55' 132
X ! 44 176
66 220
fi 77
264
306
J
66 363
J 9) 396
!!
1660
!!
M0CCCIX
jfi [ 1](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-60-320.jpg)
![Completa la tabla, teniendo en cuenta los números cuadrados y números cúbicos.
. . 4 .
Base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cuadrado perfecto
(segunda potencia)
Cubo perfecto
(tercera potencia)
Calcula las operaciones y encuentra el resultado en la sopa de números.
La quinta potencia de cinco.
b . El cuadrado de doce.
c, La sexta potencia de la mitad de dos.
El cubo de tres.
e. La tercera parte del cubo de seis.
El doble de la tercera potencia de doce,
g . El cuadrado de diez.
La mitad de la cuarta potencia de cuatro.
El cubo de diez.
La décima potencia de uno.
Treinta elevado a la uno.
La cuarta potencia de diez,
m . Tres veces el cubo de dos.
El cubo de ocho menos el cuadrado de nueve.
ti. La quinta potencia de diez,
o . El cuadrado de cinco más el cubo de tres,
p . El cubo de dos más el cubo de cinco.
Escribe las diez primeras patencias de diez y encuentra una generalidad para hallar cual-
quier potencia de diez. ] : :
Un edifico tiene cinco pisos, en cada piso hay cinco ascensores y cada ascensor tiene una
capacidad para cinco personas. ¿Cuál es la capacidad total de los ascensores del edificio?
0 1 3 5 7 9 0 0 2 4 6 0 1
0 8 3 0 1 3 3 5 9
9|0 0 0
0 2 | 0 4 6 8 3 1 2 5 5 7
9 7 2 0 6 2 4 0 0 6 8 0 1
B 3 5 5 5 7 9 0 1 0 0 0 0
0 0
H 4 4 2
H 0 4
H 6 0 0
8 0 0 0 3
M 3 3 0 0 0 5 0
7 9 2 0 4_ 6 3 0 8 0
H 3 0
5 7 9 0 2~ 4 Q 1 0 0 0 0 0
6 2 "8 3 1 8 2 1 0 5 7 0 9
0 4 2 4 6 8 | 0 4 3
0 0 3
5 7 9 0 2 4 6 8 1 3 0 0 0
5 7 7 2 9 0 2 4 6 8 1 0 1
6, Un comerciante empacó cierta cantidad de chocolatinas en un camión, en el camión
hay siete cargas, cada carga contiene siete cajas, cada caja tiene siete bolsas de cho-
colatinas y cada bolsa tiene siete chocolatinas. ¿Cuántas chocolatinas se empacaron en
el camión?
7. Un centro comercial tiene 2 0 0 locales, en cada uno de ellos ingresan aproximadamente
2 0 0 personas al día. ¿Cuántas personas ingresan al centro comercial durante 2 0 0 días?
8 6
Descriptor de desempeño:
/ Aplicar la potenciación de números naturales en la solución de situaciones problema.](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-77-320.jpg)
![ropiedades de la potenciación
Producto de potencias de igual base.
Si a, m, n son números naturales
an
-am
= a n + m
23
• 22
= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25
Cociente de potencias de igual base.
Si a, es número natural, y n menor
quem. n
n
23
2 • 2 • 2 = 2 3 _ 2 = , =
22
2 - 2
Exponente cero 1 5 1 5 3-3 = 1 5 0 = 1
153
Distributiva de la potenciación respec-
to a la multiplicación y a la división.
Si a, b y n son números naturales.
UJ b-
{a-b)n
=a"-bn
(4^5
_ 4 4 4 4 4 _ 4 5
UJ 5 5 5 5 5 5 5
(ó-7)4
= 6 - 7 - ó - 7 . ó - 7 - ó - 7 = ó 4
- 7 4
Potencia de una potencia.
Si a , n, m son números naturales.
(an
)m
=o"'m
(24
)3
— 24
• 24
• 24 —
2'2
TALLER Propiedades de la potenciació
1, Completa los espacios vacíos.
Producto de potencias de igual base.
23 • 2 4
• 2 2
• 2 = 2-2-2-QOOD -2-2-2 = 2
73 .75 .72 = - 7 - 7 = 7 °
'• 1 3 3
- 1 3 - 1 3 3
= 3 • • £ ] = 13°
183
• 185
• 189
= 18°
e. 2 4 2
- 2 4 8
-243
= 24 '](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-78-320.jpg)
![Pensamiento numérico - variacional
Radicación de números naturales y propiedades
Clave matemática
La radicación de números naturales es una operación inversa a la potenciación; la ra-
dicación busca la base de la potenciación, por ejemplo:
Si 2 5
— 321 entonces, Indice! 32 = 2l
- v - J
Radicando
Se lee "raíz quinta de 32 igual a dos"
• yfTó = 4 porque 42
= 16; se lee "raíz cuadrada de 16 igual a cuatro", cuando se
trata de raíz cuadrada se omite el índice, es decir, VTó = 4 (el 2 no se escribe).
• yj]25 = 5 porque 53
= 1 2 5 ; se lee "raíz cúbica de 125 igual a cinco".. .
En general, para todo o, b, n e N
yfb = a si y solo si a" = b
• • • • w r i m n n j
Ejemplo
La raíz de un producto es el producto de las
. raíces de cada factor.
Si a,b,n pertenecen al conjunto de los natu-
rales
?Ja-b=Z¡a-l¡b
V4-9=^/4-V9 = 2-3 = 6
La raíz de un cociente es el cociente de cada
una de las raíces.
Ja Va
Vb " Vb
O TALLER Rad icación de números naturales y propiedades O O °
• /,.)) 1. Calcula las siguientes raíces escribiendo la base correspondiente de la potenciación.
b.
= 625
= 10 000 000
c.
d.
49
1 728
90](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-81-320.jpg)
![j=j La fracción es:
Completa los espacios vacíos, con una de estas palabras: propia, impropia, unidad y
enteras.
Si el numerador es el doble del denominador la fracción es:
Si el denominador es el triple del numerador la fracción es:
Si el denominador es la tercera parte del numerador la fracción es:
Si el numerador y el denominador son ¡guales la fracción es:
Si el numerador es la cuarta parte del denominador la fracción es:
S Soluciona las situaciones.
Las alcaldías de las diferentes ciudades y municipios apoyan diferentes grupos artísti-
cos. Al grupo Candidúo le obsequiarron 40 instrumentos musicales: 12 son flautas, 5
son tambores y los demás son instrumentos de cuerda.
El grupo Candidúo contaba únicamente con 10 flautas, fracción que tiene ahora
de flautas es O, por tanto, la fracción es:
•
La fracción que representa la totalidad de los instrumentos es: O, por tanto,
es: '
Escribe en el paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta la relación entre
números mixtos y fracciones impropias.
128
o.
c.
24
5
2
3
]_
4
53
4
( ) 13
1
)i2
10
5
( )
29](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-119-320.jpg)
![Completa la tabla.
Representación Fracción complificada por Representación
_3_
12
Fracción
Jl
4
2
3
2
5
6
Fracción
j4_
16
J _
14
10
15
_6_
18
Simplifica las fracciones hasta determinar una fracción equivalente irreductible.
Representación Fracción irreductible
1_
4
Representación
36
b .
120
c.
15 250 360
140
f.
180 480 200 150
Encierra en un círculo las parejas de fracciones equivalentes.
a. 1= 11 4 _ ] 6 c # 3 _ 3 0 d U
3 ~ 27 7 " 49 5 " 50 36
Encuentra el valor desconocido para que las fracciones sean equivalentes.
72
240
2
3
11
36
X
3
X
30
2
x
V2
18
X
8
49
56
3
4
x
28
S Resuelve en tu cuaderno.
Para construir un estante en la Galería de Arte, Henry divide una lámina en 4 partes
¡guales y utiliza 3, pero Alejandro divide una lámina con las mismas características en
1 2 partes ¡guales y emplea 9. ¿Henry y Alejandro utilizan la misma cantidad de lámina
para construir un estante? Justifica tu respuesta.
Descriptor de desempeño:
/ Encontrar fracciones equivalentes por medio de la complificación y simplificación.](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-124-320.jpg)
![f Escribe las notas musicales correspondientes.
Notas musicales mayores a la unidad.
Notas musicales menores a la unidad.
c. Notas musicales exactas a la unidad.
• Notas musicales exactas a dos unidades.
y Teniendo en cuenta la representación anterior escribe la nota musical que corresponde
a la fracción dada.
O» _ f3• ~~~ c* ~~ cS* 1 6* 11
'11
2
2 8 4 8
^ Expresa las notas musicales anteriores en números mixtos.
a. Re b. Mi c. Sol d. Si
•}•"> 8. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.
3 5 1 9 2 11 6
4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4
0 1 2 3
Completa los enunciados con los símbolos > , < , = , según corresponda.
2 6 b . l ] 8 4 d . 7 12 8 5 6 14
4 — 4 4 — 4 4 — 4 — 4 4 — 4 4 — 4
Escribe la fracción de cada ficha del tangram, arma diferentes figuras y organiza las
fichas del rompecabezas, de menor a mayor.
y Solución de problemas. , I
En una competencia de atletismo se encuentran Federico, Mauricio y Felipe. Al pasar
2 1*1
1 hora cada uno lleva —, —, —del recorrido. En ese momento, ¿quién va ganando la
3 2 3
carrera? ¿Quién va de último?
136 / Representar en la recta numérica fracciones y establecer relaciones de orden de los números fraccionarios.](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-127-320.jpg)
![•
Adición y sustracción de fracciones •mw^iin w • i i • • HHM
En la clase de matemáticas, una estudiante comenta que J m á s ^ es igual a o . Otra
o
estudiante dice que es igual a
¿Cuál de las dos estudiantes tiene la razón?
El profesor de la clase les comenta que _ + 2.
2 2
equivalente a la figura musical redonda.
2
2
Por lo tanto, una de las estudiantes afirma que _ + _
no es correcto. 2 2
1,
2
4
Para sumar o restar fracciones h o m o g é n e a s , es decir, fracciones con igual denomina-
dor, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.
2 4
— + —
7 7
6
7
2_2_9 = 3 3_ 14 = ]7_ 7_ J _ 6_
5 ~ 5 ~ 5 11 1 1 1 1 13 ~ 13 ~ 13
Para sumar o restar fracciones h e t e r o g é n e a s , es decir, fracciones con diferente deno-
minador, se encuentra el m í n i m o c o m ú n múltiplo de los denominadores, luego se buscan
fracciones equivalentes cuyo denominador sea el m.c.m. y se suman las fracciones encon-
tradas.
7 5
7 5 5
7 1 7
1
m.c.m. (5,7)= 5 • 7 = 35
3
7
V5
35
2
5
11
35
Al sumar las fracciones equivalentes tenemos — + —
M
35 35
5
8 ó
8 ó
4 3
2 3
1 3
1
m.c.m. (8,6)= 2 3
• 3 = 24
15 4
Al restar las fracciones equivalentes tenemos — —
H
24 24
29 3 2 29
— , por tanto, — + — = —
35 7 5 35
5
8 24
_4_
24
11 5 1 11
— , por tanto, = —
24 8 6 24
137](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-128-320.jpg)
![O TALLER Adición y sustracción de fracciones O o °
. 1, Escribe la fracción que satisface la igualdad.
. í + 1 = °
9 9 a
b.
7_
11
3_
11
•
•
Calcula las operaciones.
o. I + 8 + 1 =
5 5 5
c.
1 + 1
7 7
í—
lio"
4 • = ] 0
7 +
• ~ 7
I 2
.
17
•
•
_2_
17
2
7 ~
10 J 10
d. — -
e .
f.
7_
20
í-
U8 1 8 ,
e .
•
4
13
12
~ 13
• 8 12
• 15 15
r i— h
2 >
/
Uo 20y
r
+ 2^
3y
+
^3 " 3 y
11
í—
U8
V
18
Escribe falso o verdadero, según corresponda.
a. La suma de dos fracciones propias siempre es una fracción propia._
La suma de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia.
La suma de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia.
d. La resta de dos fracciones propias nunca es una fracción impropia._
La resta de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia._
f. La resta de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia._
Soluciona las expresiones.
3 2
a. _ aumentado en _
7 3
La diferencia entre — y —
8 Y
4
8 2 /
C. _ disminuido en _ /
3 5
d, — aumentado en
o c J -i i
e. La suma de _ v _ aumentada en _
3
y
ó :
Expresa los enunciados en forma numérica.
3 3 7
La diferencia entre — y la suma de — y —
7 2 11"
5 5 2
La suma de — y la diferencia entre — y —
9 7 3."
138](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-129-320.jpg)
![Aplica la jerarquía de operaciones para resolver los siguientes ejercicios.
5 _3 2 5
7 +
4 ' ó
5 6 9_
7 ' 5 +
12 ' ó
5
ó
]_
8
5
2
5 3
ó 5
3_
15
5
3
Escribe falso o verdadero.
a . El producto de dos números fraccionarios siempre es un número natural.
b. Un número natural es un fraccionario con denominador 1.
C. El producto de un número fraccionario y su recíproco es una fracción unitaria.
El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia.
El cociente de dos fracciones impropias es siempre una fracción impropia,
f. El número recíproco de un número natural es una fracción unitaria.
El número recíproco de una fracción propia es una fracción impropia.
El número recíproco de una fracción impropia es una fracción propia.
El producto de todo número por su recíproco es uno.
En el colegio se organiza una función especial con todos los grupos artísticos. De los
— son músicos y de estos —
30 3
1 500 estudiantes 2 L son músicos y de estos — son mujeres y el resto son hombres,
adicionalmente _L de la totalidad de los estudiantes son actores, -1 son de grado
10
sexto.
¿Cuántas mujeres pertenecen al grupo de música asistente a la función?
¿Cuántos hombres pertenecen al grupo de música asistente a la función?
C. ¿Cuántos estudiantes de grado sexto son actores?
Descriptor de desempeño:
/ Solucionar situaciones problema usando la multiplicación y división de números fraccionarios. 143](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-134-320.jpg)
![«• Pensamiento numénco - variacional
'% Potenciación v radicación de fracciones
En la clase de música se deduce que la semifusa es la mitad
de la fusa, la fusa es la mitad de la semicorchea, la semicor-
chea es la mitad de la corchea, la corchea es la mitad de la
negra y la negra es la mitad de la blanca.
Por tanto, la semifusa es la mitad de la mitad, de la mitad, de
la mitad, de la mitad, de la mitad de la blanca; la situación
expresada matemáticamente es:
]_]_]_]_]_]__ J _
2 2 2 2 2 2 ^
La multiplicación anterior se puede expresar como
6 4
Clave matemática
La potenciación de fracciones es el producto de factores iguales. En general, para todo
a, b, n e N , b * 0,
a o a
b'b'b
o
b
a ' a ^
v o y
/ La potenciación de fracciones cumple con las propiedades:
Propiedad
nHHHHNNMBi^Hi^^HiHHHRliMflMHHBi
Generalización Ejemplo
Potencia de una fracción
con exponente cero
u, u, = 1
Potencia de una fracción
con exponente uno
U,
1
_ a
" b
^ 8 Y
0 3 ,
. 8
13
Potencia de una fracción
1
_ an /
12V
5 J
1 2 3
" 5 3
Producto de potencias de
igual base
n + m
u,
4
í1 1
t
+ 4
v 3 J
Cociente de potencias de
igual base ,b)
" (i
' l
. n - m
1
í1 0
l
7
per
U,
^ 3
U,
I 7
" '
Í10
T
UJ
144](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-135-320.jpg)
![Pensamiento numérico - variacional
Adición y sustracción de decimales
El primer telescopio fue mostrado por Gali-
leo en 1610, su lente no superaba los 0,15
m de diámetro. Hoy los dos telescopios más
famosos son: el telescopio espacial Hubble,
localizado en los bordes exteriores de la at-
mósfera, cuyo espejo principal tiene un diá-
metro de 2,55 m; el otro es el Very Large
Telescope, es el más grande del mundo, ubi-
cado en Chile, con un lente de 8,50 m.
£] se alinearan los lentes del
telescopio Hubble y el Very
Large Telescope Project, ¿qué
ongitud alcanzarían? ¿Cuál
es la diferencia en metros de
os diámetros de estos dos
telescopios?
Para resolver la primera pregunta tenemos que hacer una adición, en la segunda una diferencia.
Adición Sustracción
u J décima centésima d
• M M M
U I décima centésima
2
•
5 5 Diámetro del
Hubble
8 i 5 0 Diámetro del
Very Large
8 5 0 Diámetro del
Very Large
2 •
5 5 Diámetro del
Hubble
1 1 0 5 Longitud de
ambos lentes
5 9 5 Diferencia
entre los dos
diámetros
Por tanto, si los lentes de los telescopios Hubble y el Very Large Telescope se alinearan
alcanzarían 1 1,05 m y la diferencia entre los diámetros de estos telescopios es 5,95 m.
Recuerda el orden de las décimas, centésimas, milésimas, etc., al realizar la suma y la resta
con números decimales.](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-175-320.jpg)
![Para tres elementos en cada permutación se pueden obtener 60 permutaciones.
a • A • m m m •* * ••
Para cuatro elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones.
:c¿'¡ A ••> p J .j ¿> ¡i . i ~ .:
i a •
^ ITKIO Irairiw Cutno de pagns formulas BMoi
¡ a j í ' - J 3 « J e -¿ 7 ti íi •
— * ; Inioo ; Insertir Diieñc Se oigme Fe,™
* % 9» *J .1
Dívudve « número de
t;o Oí 0t))*iM er
*ceol» I C*nc»»r
A 8 C • 0 i f Q Jí_ • '
1 129
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Con cinco elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones.
=P£RMUT ACIONES(5.5)
mm
Tamaño :
SI - s
m ••
objetn Qjt pueden M
TamaAo ei MI " w o de objetoeen ctdt. otntuwodn.
Actppy ] | C»r«*-y
Pega,
-j Copiai
Ohbri
M i
1
-|u
5 ' _ '
A* A
m m m ir m.
Generji
A l - ^ £ =PERMUTACI0MES(5,5)
1 120
2
3
4
5
6
7
S
9
10
11
12
13
Las actividades tres y cuatro tú las debes realizar.](https://image.slidesharecdn.com/misin6-151018170412-lva1-app6892/85/Mision-6-209-320.jpg)
Misión 6°
- 1. Contenido de tu libro 12 Pensom/enro L Ó G I C A Y C O N J U N T O S Estándar: Reconozco las principales características de un conjunto y una proposición. numérico - Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores 13 variaáonal Conjuntos 16variaáonal Rincón de la historia: John V e n n 16 Pensamiento numérico - variacional SISTEAAAS DE N U M E R A C I O N Estándar: C o m p r e n d o los diferentes sistemas de numeración. Pensamiento numérico - variacional Sistemas antiguos de numeración 21 Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración binario 2 4 Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración decimal 2 6 Pensamiento numérico- variacional N U M E R O S NATURALES Estándar: Resuelvo y formulo problemas con los números naturales y sus operaciones. Pensamiento numérico- variacional O r d e n de los naturales 3 0 Pensamiento numérico- variacional Adición y sustracción de números naturales 3 3Pensamiento numérico- variacional Propiedades de la adición de números naturales 36 Pensamiento numérico- variacional Multiplicación y división de números naturales 3 9 Pensamiento numérico- variacional Propiedades de la multiplicación 4 2 Pensamiento numérico- variacional Situación problema 4 6 E L E M E N T O S DE G E O M E T R Í A Y M E D I C I Ó N Estándar: Reconozco los términos básicos de la geometría y las relaciones entre unidades de longitud. Pensamiento métrico - geométrico Conceptos básicos de geometría 4 9 Pensamiento métrico - geométrico Ángulos 54Pensamiento métrico - geométrico Unidades de tiempo y longitud 5 7 Pensamiento métrico - geométrico Sistema de medición inglés 60 Pensamiento aleatorio DATOS E S T A D Í S T I C O S Estándar: Resuelvo situaciones problema usando recolección de datos. Recolección de datos: población, muestra y variables estadísticas. 6 3 Páginas especiales Proyecto: Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador 66 Páginas especiales Matemática recreativa: Internet sano 68 Páginas especiales Prueba de unidad 70 Pág. Pensamiento numérico - T E O R Í A DE N Ú M E R O S Estándar: Reconozco y utilizo algunos conceptos de la teoría de números. Pensamiento numérico - Múltiplos y divisores 73Pensamiento numérico - Criterios de divisibilidad 7 6 variacional Descomposición de números en factores primos 79variacional Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 82 P O T E N C I A C I Ó N , RADICACIÓN Y L O G A R I T M A C I Ó N Estándar: Resuelvo y formulo problemas con potenciación, radicación y logaritmación. Pensamiento Potenciación de números naturales 8 5 numérico - variacional Propiedades de la potenciación 8 7numérico - variacional Radicación de números naturales y propiedades 9 0 numérico - variacional Logaritmación de números naturales 94 Pensamiento numérico - variacional E C U A C I O N E S Estándar: Utilizo todas las estrategias para resolver ecuaciones.Pensamiento numérico - variacional Igualdades y ecuaciones 9 7 Pensamiento métrico - geométrico P O L I G O N O S Estándar: Clasifico polígonos según sus propiedades. Pensamiento métrico - geométrico Polígonos 100Pensamiento métrico - geométrico Triángulos 104 Pensamiento métrico - geométrico Cuadriláteros 108 Pensamiento aleatorio D I S T R I B U C I Ó N DE F R E C U E N C I A S Y DIAGRAMAS E S T A D Í S T I C O S Estándar: Utilizo diferentes representaciones gráficas para mostrar un conjunto de datos. Pensamiento aleatorio Frecuencias 1 1 0 Diagramas y gráficos estadísticos 113 Páginas especiales : Proyecto: Salida pedagógica (Recorramos el barrio) 116 Páginas especiales Matemática recreativa: La magia del origami 118Páginas especiales Prueba de unidad 1 2 0
- 2. Pág. , HBHHMHMHBHHHiHfflHIHBHHMHMHBHHHiHfflHI 1 F R A C C I O N E S Estándar: Emplea las fracciones y sus operaciones. Pensamiento numérico - variacional Representación de fracciones 123Pensamiento numérico - variacional Clasificación de fracciones y números mixtos 126 Pensamiento numérico - variacional Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación 130 Pensamiento numérico - variacional Representación de fracciones en la recta numérica y orden 134 Pensamiento numérico - variacional Adición y sustracción de fracciones 137 Pensamiento numérico - variacional Multiplicación y división de fracciones 141 Pensamiento numérico - variacional Potenciación y radicación de fracciones 144 Pensamiento métrico - SUPERFICIE Estándar: Calculo áreas por medio de la composición y descomposición de figuras. Pensamiento métrico - Unidades de superficie 148Pensamiento métrico - Área de políqonos 151 geométrico Perímetro de la circunferencia y área del círculo 154 geométrico Área de figuras sombreadas 157 Pensamiento aleatorio Diagrama circular 160 Pensamiento aleatorio Medidas de tendencia central 164 Páginas especiales Proyecto: Maqueta galería de arte 167 Páginas especiales Matemática ciudadana: Propiedad intelectual 168Páginas especiales Prueba de unidad 170 Pág. Grandes inventos de la historia Pensamiento N Ú M E R O S DECIMALES Estándar: Reconozco y utilizo los números decimales. Pensamiento Fracciones decimales y números decimales 173 Pensamiento Clasificación de números decimales y conversiones 176 Pensamiento Rincón de la historia: J o h n N a p i e r 1 8 0 numérico - variacional O r d e n entre números decimales 181numérico - variacional Adición y sustracción de números decimales 184 numérico - variacional Multiplicación y división de números decimales 187 Pensamiento numérico - variacional R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S Estándar: Explico con gráficas situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Pensamiento numérico - variacional Razón y proporción 192Pensamiento numérico - variacional Proporcionalidad directa y regla de tres 195 Pensamiento numérico - variacional Proporcionalidad inversa 199 Pensamiento numérico - variacional Porcentajes 2 0 2 Pensamiento numérico - variacional • N Ú M E R O S E N T E R O S Estándar: Identifico y reconozco los números enteros en diferentes situaciones. Pensamiento numérico - variacional Números relativos opuestos e inversos aditivos de un número 205Pensamiento numérico - variacional Rincón de la historia: origen del calendario gregoriano 2 1 0 Pensamiento numérico - variacional O r d e n entre números enteros y valor absoluto 2 1 1 Pensamiento numérico - variacional Adición y sustracción de enteros 2 1 4 Pensamiento métrico - geométrico V O L U M E N Y C A P A C I D A D Estándar: Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes. Pensamiento métrico - geométrico Volumen 2 1 7 Pensamiento métrico - geométrico Unidades de capacidad 2 2 0 Pensamiento métrico - geométrico Traslaciones, reflexiones, rotaciones 2 2 2 Pensamiento aleatorio «• PROBABILIDAD Y C O N T E O Estándar: Utilizo las técnicas de conteo y las reglas básicas de probabilidad.Pensamiento aleatorio Combinaciones y permutaciones Conceptos básicos de probabilidad ^ 2 2 7 2 2 9 Páginas especiales Proyecto: Cálculo de combinaciones y permutaciones con ayuda del computador 231 Páginas especiales Matemática recreativa: dominó y sudo/cu 2 3 4 Páginas especiales Prueba de unidad 2 3 8
- 3. Lógica y conjuntos • Sistemas de numeración Números naturales • Propiedades y operaciones • Elementos de geometría • Ángulos • Recolección de datos Las tecnologías del siglo XX y XXI "¡Tan+o hemos cambiado!" Los aparatos tecnológicos son las soluciones dadas por el ser humano para mejorar la calidad de vida. El siglo XX fue el escenario para grandes inventos y cambios tecnológicos, los cuales han marcado el desarrollo de nuestra sociedad; por ejemplo, el telégrafo, aparato eléctrico que emite y recibe señales según un código de impulsos eléctricos (clave Morse); el primer telégrafo fue inventado en 1 8 3 3 por Samuel Morse. O t r o cambio tecnológico significativo fue la evolución de instrumentos para guardar informa- ción de audio o video. Hoy en día contamos con medios de audío y video ópticos c o m o el C D y digitales como, el ¡Pod, los cuales funcionan con códigos internos. Una nueva herramienta tecnológica creada en el siglo XIX y desarrollada en los siglos XX y XXI es el computador. En 1 9 4 3 se crea el computador ENIAC, construido con tubos al vacío, con- densadores, interruptores, resistencias, entre otros, por lo que requería de un espacio amplio equivalente al de un salón de clase para su funcionamiento y pesaba aproximadamente 3 0 toneladas. En 1 9 6 0 , se diseñó el primer computador totalmente automático, que funcionaba en su componente aritmético con ceros y unos, c o m o los actuales sistemas digitales emplea- dos por computadores, celulares, sistemas de grabación de audio y video, entre otros. Responde en tu cuaderno. ¿Qué nombre recibe la clave utilizada por el telégrafo? 2 . ¿Cuáles números utilizaba el computador creado en- 1 9 6 0 para procesar la' in- formación? 3 . Hoy en día, ¿en qué formatos se graba la información de texto, audio y video? ¿Cómo se podrían clasificar los diferentes aparatos mencionados en la lectura? ¿Cuáles conjuntos se podrían formar con los elementos de audio y video? 6. ¿Qué beneficios nos ha traído la evolución tecnológica? Justifica tu respuesta. ¿Qué características de las antiguas tecnologías le aportaríasv a las actuales y por qué? C o n estas características, ¿qué invento tecnológico crearías?
- 4. «•»• Pensamiento numérico - variacional * Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores Clave matemática Las proposiciones son oraciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad. Las proposiciones se nombran con letras minúsculas, ejemplo: q : un CD guarda información (V) r ; el XBOX es un animal (F) Las anteriores proposiciones se denominan proposiciones simples. Al agregar la palabra NO en una proposición, el valor de verdad cambia; es decir, se niega la proposición. Esta negación se representa con el símbolo ~ . P : el cuadrado NO tiene cuatro ladosp : el cuadrado tiene cuatro lados Verdadero Falso Dos o más proposiciones simples se pueden unir por medio de los conectivos lógicos: A ( y ) , v (o), ~~* (entonces), (si y solo si), formando proposiciones compuestas con las que se pueden construir tablas de verdad. P<-><J Si en el long play la información es producida de forma análoga, si y solo si, el long play guarda la vibración producida por el sonido de la cinta. V F F V p p A q Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en ca en cásete. V V F F sica en CD. V F V F cásete y en CD. V F F F <Í pvq Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en ca en cásete. V V sica en CD. V F cásete o en CD. V V F F V F V F P q Si los im- pulsos del iPod y el CD Si los im- pulsos del iPod y el CDEl ¡Pod y el Si los im- pulsos del iPod y el CD Los impulsos CD transfor- producen ce- del ¡Pod y el man los ce- ros y unos, CD producen ros y unos entonces, el ceros y unos. en audio o iPod y el CD imagen. los transfor- ma en audio o imagen. los transfor- ma en audio o imagen. V V V V • F F F V F F V V En el long play la informa- ción es producida de forma análoga. El long play guarda la vibración producida por el sonido en la cinta. O TALLER Lógica O o ° P 1 . En los enunciados escribe si corresponde a una proposición o no. En caso de que sí corresponda, escribe su valor de verdad. á. 5 x 4 = 20 Nos vemos mañana_ C. El CD no es.circular d. Todos los celulares son de color neg ro e. El computador tiene más de un tecla- do i/f. ¿Cuántos ¡Pods tienes? g. El triple de cinco es quince h. 3 + 3 + 3 = 3 x 3 13
- 5. Completa la tabla. P 15 x 10 = 150 El Sol es un planeta. Valor de verdad V P Valor de verdad 15 X 10^150 F Un dólares igual a un peso colombiano. En las siguientes proposiciones resal- ta con rojo las que son simples, y con azul, las que son compuestas. En las proposiciones compuestas subraya el conectivo lógico. a . Los cuadriláteros tienen cuatro la- dos. b. La fiesta estuvo tranquila o yo estu- ve aburrido. c Febrero tiene 28 días. d . 2 + 3 ^ 6 0 3 x 2 = 6. e. Roma es la capital de Italia. f. Vamos a ir al cine y comeremos palomitas. g. El mar es azul y el planeta Tierra es redondo. h. Si está lloviendo, entonces, me voy a mojar. ¡« El vallenato no es un género mu- sical. Í. 5 x ó = 30 si y solo si 6 + ó + ó + 6 + ó = 30. k« La Luna es redonda o el Sol es amarillo. Escribe proposiciones simples de tal manera que el valor de verdad de las proposiciones compuestas sea verda- dero. 246 es par, si y solo si, V c. La palabra " c a f é " es aguda, si y solo si, d. El círculo es un sólido o e. Si 48 es múltiplo de ó , entonces, f, Los caballos no tienen alas y _ g, El domingo voy al parque o b. El gato toma leche y h. Si la música es un deporte, en- tonces, Y 5. Teniendo en cuenta las siguientes proposiciones simples: P: El primer telégrafo se utilizó en 1833. q: Los computadores no han evolucio- nado. r: El CD es un medio óptico de audio y video. Encuentra el valor de verdad de las pro- posiciones compuestas. En las propo- siciones con paréntesis, primero se en- cuentra el valor de verdad de ellos. a . p A r b. ~ r V q c. ?v p — » ~ (q *-* r) ú, ~ (~ q) —> q
- 6. e» ~ (p A q ) v ( ~ q A p ) 9» ~ (~ p r) f. ~ (~ (p A q) —>~ r) : 6. Sean p y q dos proposiciones simples. Escribe falso o verdadero según corresponda y justifica tu respuesta. a. p A q = q A p d. p—> q = ~ p q b. p V q = q V p e. p ^ q = q<-^p C. p—>q = q - + p f. p — > q = ~ q — > ~ p /../; 7. Completa las proposiciones con los cuantificadores correspondientes para que la proposi- ción sea verdadera. V: Cuantificador universal (para todo, todos, cualquiera) 3 : Cuantificador existencial (existen, algunos, unos) ci. ¡Pods son rectangulares d . días llueve b. los números son primos e. letra pertenece al abecedario c. computadores son negros f. los peces viven en el agua Durante las vacaciones de diciembre del año pasado, la familia de Juanita decidió viajar por cinco días a la isla de San Andrés. Durante el vuelo, ellos planearon sus actividades de la siguiente forma. DÍA HORA ACTIVIDAD PRIMERO 2:00-3:00 p.m. Llegada al aeropuerto, registro e instalación en el hotel. PRIMERO 3:00-5:30 p.m. Recorrido por los alrededores del hotel y observar el mar. 5:30 - 9:00 p.m. Descanso en el hotel y cena. SEGUNDO 7:30-9:00 a.m. Desayuno, alquilar lancha y dirigirse hacia Johnny Cay. SEGUNDO 9:00 a.m.- 5:00 p.m. Entrar al mar, almorzar y disfrutar los cocteles. 5:00-8:30 p.m. Regreso al hotel, descanso, cena y dormir. TERCERO 8:00-8:30 a.m. Desayuno. TERCERO 8:30 a.m.-5:30 p.m.' Alquilar automóvil y recorrido por la Isla, almorzar. 5:30-8:30 p.m. Devolver el automóvil, caminar por la playa, cenar y dormir. CUARTO 9:00-3:30 a.m. Desayuno, disfrutar de las olas del mar y almorzar. CUARTO 3:30-6:00 p.m. Disfrutar de la piscina del hotel. 6:00-9:00 p.m. Organizar maletas, cenar y dormir. QUINTO 7:00- 10:30 a.m. Desayuno e ir de compras. QUINTO 10:30 a.m.-1:00 p.m. Almorzar y dirigirse al aeropuerto. 4:00 p.m. Llegada al aeropuerto de Bogotá. y 8. Teniendo en cuenta la información anterior, escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda. a. La familia de Juanita todos los días observará el mar. b. La familia de Juanita todos los días entrará al mar. c. Todo el tiempo de la estadía, la familia permanecerá en el hotel. d. El tercer día, la familia alquilará el carro por algunas horas. e. Todas las vacaciones, la familia de Juanita visita San Andrés. f. Todas las horas de permanencia en la isla estarán fuera del hotel. Descriptor de desempeño: / Identificar proposiciones simples y compuestas y establecer su valor de verdad.
- 7. Pensamiento numérico - variacional ( ¿ , Conjuntos A Máquina de hilar Ferrocarril Bombilla Telégrafo Las herramientas -tecnológicas creadas en el siglo XVIII y principios del siglo XIX, forman el conjunte A" y las herramien+as creadas en el siglo XX determinan el conjunte B. B Radio Teléfono Automóvil Televisor Computadores Electrodomésticos C l a v e matemática Un conjunto es una colección de elementos que tienen por lo menos una característica o propiedad c o m ú n . Usualmente los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, ejemplo C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Un conjunto se determina cuando se sabe si un elemento pertenece o no al conjunto, el s í m b o l o utilizado para indicar la relación de pertenencia es e y el de no pertenencia es £ . Si el conjunto C = { l , 2 > 3 , 4 , 5 } , entonces, 4 6 C y 9 ^ C Si todos los elementos de un conjunto D están contenidos en otro conjunto C, entonces se dice que D es subconjunto de C. El símbolo de contenencia es C y el de no contenencia es (¡L . Ejemplo: ' • Dados los conjuntos C = { l , 2 f 3 , 4 , 5 } y D = { 1 , 2 } , entonces D C CY C (t D. O TALLER Conjuntos H 1 . Completa la tabla. Escritura de los conjuntos Comprensión Para determinar un conjunto por comprensión se enuncia una pro- piedad que cumplen todos los elementos del conjunto antecediendo la expresión x/x. Extensión Para determinar un conjunto por extensión se nom- bran todos los elementos del conjunto, si un conjun- to es infinito se utiliza puntos suspensivos. A = { x / x es un dígito par} A = {2,4,6,8} / = { x / x es un dígito impar} ,P = {13,1 7,19,23,29} 1 x / x es un elemento empleado para 1 [grabar i n f o r m a c i ó n de audio y videoj Q = { x / x es un invento del siglo XIX} R = { x / x es un invento del siglo XX} Rincón de ta historia John Venn (1834-1923) Matemático y filósofo británico, que intro- dujo el sistema de representación que hoy conocemos como "diagrama de Venn".
- 8. Observa la tabla y responde las preguntas. Operaciones entre conjuntos. Dados los conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, C = {l,2,3,4,5}, D = {2,4,7} Unión u Intersección D Diferencia Complemento' Producto cartesiano X La unión de los conjun- tos C y 0 es el conjunto formado por todos los elementos que pertene- cen al conjunto C, o al conjunto D. C u D = { x / x e C v x e ü } C „ D = {1,2,3,4,5,7} La Intersección entre La diferencia de C y Si C está conteni- El producto cartesiano de los conjuntos C y D, D, es el 'conjunto for- es el conjunto forma- mado por los elemen- do por los elementos tos que pertenecen al que pertenecen al conjunto C y no perte- conjunto C y al con- • junto D. C n D = { X / X € C A X 6 D } necen al conjunto D. - D = { x / x e C A x ¿ D } - D = {l,3,5} do en un conjunto CxD es un conjunto for- referencial U, el mado por todas las parejas complemento del ordenadas, cuyos primeros ele- conjunto C son los . mentas pertenecen al conjunto elementos que le C y los segundos elementos hacen falta a C para pertenecen al oonjunto-D. ser el conjunto refe- ' (1.2){UH1,7) C u D C n D C-D 2, Lee la información y represéntala en el diagrama de Venn. Las letras H, A/1 y C son los nombres de los conjuntos formados por las pizzas hawaiana, mexicana y carnes, respecti- vamente. Ana María invitó a su fiesta de cum- pleaños a Camilo, Andrés, María Paula, Jennifer, Federico, César y Daniel. En la fiesta comieron pízza según el gusto de cada uno. Camilo dijo que quería hawaiana y mexicana, María Paula es- cogió de carnes y hawaiana; Jennifer, al igual que César, solamente seleccio- nó hawaiana, Federico pidió mexicana y carnes, Daniel y Ana María comieron una pízza de cada sabor. H ^ M C x D (2,2¡(2,4)(2,7 (3,2)(3,4)(3,7 (4,2)(4,4)(4,7) (5,2)(5,4)(5,7) El producto cartesiano" se pue- de representar en un plano cartesiano. Observa el diagrama y escribe el símbolo e o í , según corresponda. a . Federico 0 H porque Federico no pertenece al conjunto H. b. María Paula _ C c. Camilo H d . Jennifer M e. Daniel _ C 3. Dados los conjuntos: L — {x/x es un dígito impar} ,.»•. D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ' T = {3,6,9} Completa las proposiciones con el sím- bolo e, ÍÉ, <z o ce para que cada afir- mación sea verdadera. Ejemplo: 3 G T porque 3 pertenece al con- junto T; L(£T porque no todos los elemen- tos del conjunto L están contenidos en. el conjunto T. a . 5 L b . T D c . 4 T
- 9. d. L D 4. Dados los conjuntos: U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9 , 2 0 } , , , .. , , í x / x es un número menor de 20 D = {x/x es un divisor de 2 0 } , C = {3,6,9,1 2,1 5 } , y V = y la suma de sus dígitos es Realiza las operaciones en el cuaderno y escribe el resultado por extensión. a. D U C b. Vn D c. D - C d. C x V i 10 9 - 8 - 7 - 6 5 - 4 - 3 - 2 - 1 e. O f. V g. VxD h. (VUD)' 1 ¡. (VnD) ¡. (C-D) n V k.(CuV)'U C . í. (Cuv)n(C-D) 2 10¥ 9 - 8«» » • - O - 1 2 3 4 5 6 7 i 8 i 1 9 i > 4 3 • 5 7 0 1 2 3 4 5. Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura. a. P ( , ) c. P3 ( , ) e . P5 ( , ) g . P7 ( , ) i. P9 ( , ) b. P2( , ) d.P4( , ) f. P ( , ) h. P8( , ) j . PIO ( , ) 3 5 6 i 7 i 8 i 9 10
- 10. 6. Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan. 10 - 9 - 8 7 6 5 - 4 - 3 - 2 1 Menú "i 1 1 1 1 1 1 1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 .a Parte 2.a Parte 3.a Parte 4.a Parte a . Pl (2,10) b. P2 (2,1) c. P3 (7,1) d. P4 (7,10) P5 (6,9) i P6 (3,9) g . P7 (3,7) h. P8 (6,7) i. P9 (5,5) m . P13 (4,2) |. PIO (4,5) n. P14 (5,2) k. Pl 1 (3,4) n. P15 (6,3) I. P12 (3,3) o. PIÓ (6,4) p. P17 (5,4) q. P18 (4,4) r. P19 (4,3) s. P20 (5,3) Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan. 1 .a Parte 2.a Parte 3.a Parte 4.a Parte a . Pl (10,2) b. P2 (1,2) c. P 3 ( l , 7 ) el. P4 (10, 7) e. P5 (9, 6) f. P6 (9, 3) g . P7 (7, 3) h. P8 (7, 6) i. P9 (5, 5) m. P13 (2, 4) j. PIO (5, 4) n. P14 (2, 5) k. Pl 1 (4, 3) ñ. P15 (3, 6) I. P12 (3, 3) o, PIÓ (4, ó) p. P17 (4, 5) q . P18 (4, 4) r. P19 (3, 4) s. P20 (3, 5)
- 11. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 8. Johanna, Sergio, Juan, William, An- drés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y Paula son estudiantes de grado sexto. El diagrama muestra sus preferencias al seleccionar un programa de televi- sión. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o ¿Qué relación existe entre las figu- ras obtenidas? Al comparar las coordenadas de las dos figuras anteriores, ¿qué concluyes? 7, Sombrea la operación indicada en cada diagrama de Venn. (HnC)U(L-C) H Videos musicales Novelas Muñecos animados Películas Seriados Juan William Sergio Mónica Viviana Paula Viviana Gisel Kevin Mónica Andrés Kevin Mónica William Sergio Viviana • Andrés Juan Gisel Paula William Juan Andrés Johanna Gisel Mónica Gisel Kevin Viviana Johanna Sergio Johanna Paula Andrés Juan Si el conjunto referencial es: U Johanna, Sergio, Juan, William, Andrés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y Paula Determina por extensión: o. N = { x / x prefieren ver novelas} x / x prefieren ver muñecos b . M = • animados c. S = { x / x prefieren ver seriados} x / x prefieren ver videos y j películas x / x prefieren ver novelas o películas d. R = C i N' g. M ' h . ( N n M ) u S i. D - N Descriptor de desempeño: / Reconocer las principales características de un conjunto, realizar, representar e interpretar operaciones entre ellos.
- 12. Pensamiento numérico - variacional Sistemas antiguos de numeración mm - • : Sistema de numeración romano: es un sistema de numeración aditivo en el cual los símbolos: I, X, C y M aparecen máximo tres veces; V, L y D no se repiten; I, X y C suman cuando están a la derecha de un símbolo y restan cuando están a la izquierda. Número arábigo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50 60 90 Número romano I II III IV V VI VII VIII IX X XI XX XXX XL L LX XC 100 101 110 200 300 400 500 600 900 1 000 4 000 1'000 000 c Cl ex ce CCC CD D DC CM M V / 1 689: MDCLXXXIX 957: CMLVII 2 007: MMVII 394: CCCXCIV Sistema de numeración egipcio: es un sistema de numeración aditivo que utiliza jeroglíficos para representar las unidades con su respectivo orden. Número arábigo 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 Número egipcio I A 9 2 4 5 3 6 : 2 0 0 0 0 SLSLSÍSL, 99999 AAAJ mm 4 0 0 0 5 0 0 3 0 Sistema de numeración maya: es un sistema de numeración posicional de base 2 0 , los números se colocan verticalmente de abajo hacia arriba, multiplicando el primer nivel por uno, el segundo por 2 0 y el tercero por 3 6 0 . Número arábigo 0 1 2 3 4 5 6 10 15 20 Número maya < ^ > • • • • • • • • • • • < É > 1 x 2 0 = 2 0 6 x 1 = 6 2 0 x 3 6 0 = 7 2 0 0 6 x 2 0 = 1 2 0 6 x 1 = 6 < É > 2 0 x 2 0 = 4 0 0 < D 0 x i = 0 21
- 13. O TALLER Sistemas antiguos de numeración O r o Q,,,) 1. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente teniendo en cuenta los números equivalentes en los tres sistemas de numeración. CL ( ) 2 536 ( A A A A A b. MMMDXCIII ( ) 739 ( ) 99 ni c. MMDXXXVI ) 150 00009000 ) A A A A d . DCCCXLII ( ) 203 ) 09099 A A A A A A A A A J7 e . can ( ) 3593 ( ) A A A INIIINI f. DCCXXXIX ( ) 842 SLSL <p <p <p C) (p A A A nnn ? 2. Escribe en tu cuaderno cada enunciado con su correspondiente número en el sistema de numeración decimal. | a . En el año A A A A A A A A A s e reformó la Constitución Política de Colombia. 1 b. La selección de fútbol de Colombia fue campeona de la Copa América en el año MMII. c. El papa Juan Pablo II falleció en el año ,f,^, d. El nimin de abril de MCMXLVIII fue asesinado Jorge Eliécer Garrón. e. En el año MCDLXVII un emperador chino puso cerdas en un mango de hueso. f. En 9999999 William Adis inventó nuestro cepillo actual. A A A A A A A A g. Galileo inventó el termómetro en el año 99999 *7 3. Completar la tabla convirtiendo cada número romano y maya en número decimal.
- 14. Número romano Número decimal Número maya Número decimal CDXLIV • • • • • MMMCCXLI • • • • DCCCXXIV • • MML • • • • L Encuentra la solución en el sistema de numeración decimal de los siguientes problemas. a . En el año ¿ > ¿ ) ¿ ) £ ) ¿ ) C ) S e menciona por primera vez la pólvora en China y en el año J*?*?*?*?*? rr^ realiza la primera producción de porcelana en este mismo país. ¿Cuánto más antigua es la pólvora que la producción de porcelana? b. En Europa aparece la carretilla en el año MCCCXI y en MDCXVIII el primer microsco- pio. ¿Cuánto más reciente es el microscopio que la carretilla? c. La balanza de dos platillos es inventada en el año MDCCXX y el manómetro en MDCCV. ¿Cuál es la diferencia de años entre estos dos inventos? d . El transbordador espacial Challenger explotó en MCMLXXXV y el transbordador Columbio en 41 H 111. ¿Cuántos años han transcurrido entre los dos inventos? e. En MCMLVII viaja el primer ser vivo al espacio: una perrito llamada Laika, en Q**? 9 9 9 f f f í f f " e 9 a e ' primer hombre al espa- cio; el ruso Yury Gagarín. ¿Cuántos años transcurrieron entre el viaje de la perrito Laika y el viaje del hombre al espacio? f. En MDCCLXXXIX se produce la Revolución francesa. ¿Hace cuántos años se conme- moró el centenario de la Revolución francesa? Descriptor de desempeño: / Identificar los sistemas antiguos de numeración y representar números del sistema de numeración decimal utilizando la simbologia de estos sistemas.
- 15. *» Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración binario El sistema de numeración bjnario se utiliza en sistemas electrónicos, por ejemplo, un b o m - billo encendido ® representa el número 1, porque hay un paso de corriente, mientras que un bombillo a p a g a d o © representa el 0 , por no tener corriente. © © © © © © representa el número 100100( 2 ) © © © © © © representa el número 101010( 2 ) © © © © © © representa el número 100110( 2 ) m a t e m á t i c a El sistema d e numeración binario es posicional, por lo tanto, el valor de un número depende de su ubicación. Ejemplo: en el número binario 1 1001 1 ( 2 ) cada uno tiene un valor específico, el pri- mero de derecha a izquierda equivale a u n o , el siguiente a dos, el quinto a dieciséis y el sexto a treinta y dos, al sumar estos números se obtiene 5 1 , por tanto, el número 1 1001 1 „. eauivale a 51 en el sistema de numeración decimal. 1 0 | 0 1 | 1 to to ' 1 to 1 ero do 6 5 4 3 2 (2 x 1) + (2 x 1) + ( 2 x 0 ) + ( 2 x 0 ) + (2 x 1) + (2 x 1) Orden posicional Orden posicional 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5) (en base 10) Valor representado en cada posición 2 e 1 254 27 i 128 24 i 64 25 i 32 2a l 16 1 8 22 1 4 2' i 2 2o l 1 O TALLER Sistema de numeración binario €> ® • / , „ ) 1 , Escribe el valor posicional de 1 en cada caso. a . 1 0 0 ( 2 ) = 4 porque el número 1 en 100(2) está en la tercera ubicación. 2 2 = 4 b . 1000(2) c. 10000(2) d . 1 0 0 0 0 0 0 ( 2 ) -,)) 2 . En el arreglo se pueden encontrar de manera horizontal y vertical números binarios de cinco cifras. Escribe todos los números binarios que aparecen en el arreglo. V 2 4 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 a . 1 1 0 0 1 ,
- 16. b . Escribe en decimal los números-binarios del ejercicio anterior. 19_, El número natural equivalente al número 1 001 1( 2 ) es 1 9, porque el primer uno de derecha a izquierda es 1, el segundo equivale a dos y el quinto a 1 ó. Al sumar estos valores se obtiene el número diecinueve. 3 . Escribe en el sistema binario los siguientes números del sistema decimal. Ejemplo: 27 b. 76 19=10011 c. 120 (2) d . 45 e. 37 ? 4 . La suma de los números binarios se realiza teniendo en cuenta el valor posicional de las cifras. Ejemplo: 1 1 0 0 ( 2 ) + 1 1 1 ( 2 ) = + 1 o 1 1 + 1 = 2. 2 en base 2 es ICL, Por eso se escribe 0 y se lleva I. 1 (2) 1 0 0 1 1 Calcula la suma de los siguientes números binarios. o. 11011( 2 ) + 1100( 2 ) b. 1 0 1 1 0 ( 2 ) + 1111( 2 ) y 5. La calculadora internamente convierte los números del sistema decimal a números bi- narios, los opera como binarios y, finalmente, entrega el resultado como un número en base diez. Felipe realiza las cuentas de los dulces recogidos el día de los niños con la calculadora. El 31 de octubre recibe 1 7 dulces en el colegio y 45 en su barrio. a . Felipe dígita primero la cantidad de dulces que le entregaron en el colegio. Para la calculadora este número es: . b. ¿Cuántos dulces más recibe en el barrio que en el colegio? Escribe el resultado en número binario. . c. Si la abuela de Felipe le regala 1100( 2 ) dulces, ¿cuántos dulces tiene ahora Felipe? Escribe la respuesta en el sistema de numeración binaria y en el sistema de numera- ción decimal Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones usando la conversión de un número binario a número decimal y viceversa.
- 17. <»*• Pensamiento numérico - variacional • Sistema de numeración decimal Clave matemática Unidades de billón Centenas de mil de millón Decenas demude millón Unidades de mil de millón Centenas de millón Decenas de millón Unidades de millón Centenas de mil Decenas de mil Unidades de mil Centenas Decenas Unidades u.b. c.m.M. d.m.M. u.m.M. C.M. d.M. u.M. c.m. d.m. u.m. c d U 1012 10" 10'° 10' 108 107 10" 105 10" 103 102 10 10» 10 c.m. = 1 u.m. 1 0 c.M. = 1 u.m.M. 1 u.b. = 1 0 c.m.M. Cada dígito recibe su nombre de acuerdo con la posición que ocupa, por esto el sis- t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l es un sistema posicional. Ejemplo: para octubre de 2 0 0 7 el número de usuarios de internet en Colombia era de 9 6 8 1 5 8 3 (1 de cada 4 colombianos es usuario de internet), con un crecimiento del 2 3 % , porcentaje considerado de los más altos de América Latina. Descompongamos esta cifra en forma polinomial, según la posición de cada una de sus cifras. 9 6 8 1 5 8 3 = 9 x 1 0 0 0 0 0 0 + 6 x 1 0 0 0 0 0 + 8 x 10 0 0 0 + 1 x 1 0 0 0 + 5 x 1 0 0 + 8 x 10 + 3 x 1 = 9 x l 0 6 + 6 x l 0 5 + 8 x l 0 4 + 1 x l 0 3 + 5 x l 0 2 + 8 x 1 0 + 3 x 1 0 ° = 9 0 0 0 0 0 0 + 6 0 0 0 0 0 + 8 0 0 0 0 + 1 0 0 0 + 5 0 0 + 8 0 + 3 "Nueve millones seiscientos ochenta y un mil quinientos ochenta y tres" O TALLER Sistema de numeración decimal O o 1. Escribe la lectura correspondiente con los siguientes números. a. 1 7 8 b. ó 4 7 8 3 6 7 c. 1 2 0 0 0 0 5 d . 3 8 4 0 0 2 0 . e. 8 9 0 0 0 2 5 3 6 1 0 0 2 i 2 4 5 1 3 6 5 7 8 4 0 2, Escribe con dígitos los siguientes números. a . Dos millones cuatrocientos ocho mil nueve b. Un billón doce mil millones trescientos quince mil c. Tres mil millones ocho mil novecientos once
- 18. d . e . f . Ciento catorce mil millones quinientos diecinueve Setenta y tres millones ciento noventa y seis mil trescientos doce Cincuenta mil millones nueve mil diecisiete Realiza una correspondencia entre la letra y la descomposición polinomial, escribiendo en el paréntesis la letra respectiva. a. 8 c.m. b . 2 u.b. c . 7 d d . 2 u.M. e. 9 c.m.M. f. 1 1 d.m. g . 3 c.m. Completa la tabla. ) 3 x 100 000 = 300 000 ) 8 x 100 000 = 800 000 ) 11 x 10 000 = 11 000 ) 9 x 100 000 000 000 - 900 000 000 000 ) 7 x 10 = 70 ) 2 x 1 000 000 000 000 = 2 000 000 000 000 ) 2 x 1 000 000 = 2 000 000 Número Más 3 u.m Menos 2 d Más 1 c Más 1 u.M. Menos 2 d.m 3427 865 7 843 510 507 437 687 143 278 409 3 430 865 3 427 845 3 427 965 4 427 865 3 407 865 Encuentra los números correspondientes a las descomposiciones decimales en la siguien- te sopa de números. Ten en cuenta que los números aparecen de forma horizontal o vertical y algunos están invertidos. a. 3 u.m. + 3 c.m. + 2 u + 7 d.m. b . 4 c + 5 c.m. + 7 d.m. + 2 u.M. + 1 u c . 8 d + 4 c.m. + 4 u + 8 d.m. d . 2 u.m. + ó d.m. + 7 c.m. + 7 u.M. + ó d.M. + 2 u.m.M. e. 2 u.b. + ó c.m. + 7 d.m. f. 8 u + l d + 2 c + 4 u.m. + 1 c.M. + 2 d.M. + 3 c.m. g . 3 c.M. + 4 d.M. + 8 u.M. + 3 u + 2 u.m.M. h . 3 u.m.M. + 4 c.M. + 5 d.M. + 7 d.m. + ó u.m. i. 2 d + l c + 3 u j . 5 d + 8 c + 7 u.m. + 3 u • 2 4 6 0 0 0 6 7 0 0 5 4 3 8 0 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 0 1 3 5 2 0 6 7 7 6 2 0 0 0 7 9 0 2 3 6 8 0 1 3 5 7 9 3 0 2 4 0 8 0 1 3 5 7 9 1 2 0 0 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0 1 0 2 4 0 6 8 0 1 3 5 7 4 9 3 0 2 0 4 6 8 7 8 5 3 0 1 7 3 5 0 7 9 0 2 4 6 8 7 3 3 2 4 8 1 3 6 4 7 0 4 5 2 0 1 0 4 8 0 0 8 4 5 8 2 0 0 5 9 3 1 5 7 3 0 8 5 7 9 2 7 1 2 0 3 0 4 2 1 8 0
- 19. ' 6 . Teniendo en cuenta las equivalencias entre cada valor de posición, une con una línea según corresponda. 3 c 8 u.m. 370 d.m.M. 70 d.M.i 1 u.b. 7 c.M. 80 c 410 u.M. 5 d.m.M. 10 c.m.M. 30 d 37 c.m.M. 50 u.m.M. 7. Encuentra la cifra correspondiente al valor posicional dado. En cada línea escribe la letra que acompaña al número donde encontraste la cifra. Descubrirás otro nombre empleado para los símbolos de nuestro sistema de numeración decimal. &29120 B736593 0 * 3 7 5 3 3 2 G1008602400 1818130758 N15128 R4932191 S2390087970 l 9 9 3 1 9 3 9 l 0 l 2 3 9 A03893167 03987 R38101 S7127 1 d.m. 9 u 4u.m. 3 c.m. 9 c.m. 0 c O.u.M. 9 u.M. l u 8 c.m. óu.m. 7c 0 c.M. 8d 7u.M. A continuación se muestra el nombre de la montaña más alta de cada continente. Continente Montaña Longitud América Aconcagua 6 959 m Europa Elbrus 5 633 m Asia Everest 8 848 m África Kilimanjaro 5 895m Oceanía Jaya 5 029 m Antártida Monte Vinson 4 897 m
- 20. Teniendo en cuenta la anterior información, contesta las preguntas. a . ¿Cuáles son las montañas que tienen ocho en la posición de las centenas? b. ¿Cuántas centenas tiene más el Aconcagua que el Elbrus? c. ¿Cuántas unidades de mil tiene menos la montaña más alta de la Antártida que la de Oceanía? d . ¿En cuál continente se encuentra la montaña de mayor longitud? e. ¿Cuál es el nombre de la montaña de menor longitud que aparece en la tabla? * 9. Compara y escribe la diferencia entre las unidades de mil de las longitudes de las montañas. Unidades de mil a . Everest-Aconcagua. b. Everest-Kilimanjaro- c. Everest-Elbrus d . Everest-Jaya S 10. Compara y escribe la diferencia entre las decenas y centenas, de las longitudes de las montañas. a . Everest-Monte Vinson b. Elbrus-Kilimanjaro — c . Aconcagua-Elbrus - d . Kilimanjaro-Jaya decenas centenas 11. Completa la tabla. Montaña Descomposición decimal Lectura Aconcagua 6 x 103 + 9 x 102 + 5 x 10 + 9 x 10° Seis mil novecientos cincuenta y nueve Elbrus Everest Kilimanjaro Jaya Monte Vinson Descriptor de desempeño: / Realizar la descomposición de números en el sistema de numeración decimal y aplicarlos en la solución de problemas. 2 9
- 21. i»* Pensamiento numérico - variacional • Orden de los naturales La línea d e l t i e m p o m u e s t r a a l g u n o s d e los a d e l a n t o s tecnológicos o c u r r i d o s e n los siglos XIX y XX. Alexonder Guglielmo Se lanza el: Graham Beli y Marconí John Logíe Se lanza el Se pone en Thomas transmite Baírd transmite primer satélite órbita la Watson señales de la primero Sputnik 1 al Estación exhiben un radio desde señal de espacio. Espacial teléfono Cornualles a televisión. Internacional. eléctrico en Terra nova. Boston. O LO I co O CN LO CN co O O CN o •— 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1800 2 0 0 0 Al o r g a n i z a r cronológicamente los diferentes a d e l a n t o s tecnológicos, d e l más a n t i g u o a l r e c i e n t e , se o b t i e n e el s i g u i e n t e o r d e n : Teléfono, t r a n s m i s i ó n d e señales d e r a d i o , p r i m e r a t r a n s m i s i ó n d e señales d e televisión, p r i m e r satélite, se p o n e e n órbita la Estación E s p a c i a l I n t e r n a c i o n a l . Orden de los naturales Si a y b r e p r e s e n t a n c u a l q u i e r p a r e j a d e n ú m e r o s n a t u r a l e s , a l c o m p a r a r l o s es v e r d a d e r a u n a y s o l a m e n t e u n a d e las s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s . a > b , a < b , a = b a es mayor que b, a es menor que b, a es igual a b E j e m p l o : Si a = 5 y b = 8 La proposición v e r d a d e r a es 5 < 8 5 > 8 , 5 < 8 , 5 = 8 i i i F V F O TALLER Orden de los naturales O o ° S 1 , En la s e m i r r e c t a numérica se p u e d e n u b i c a r los n ú m e r o s n a t u r a l e s . El número m a y o r es a q u e l q u e se e n c u e n t r e a la d e r e c h a d e l o t r o y m e n o r el q u e se e n c u e n t r e a la izquier- d a . Por e j e m p l o : 8 3 está a la i z q u i e r d a d e 6, l u e g o 3 < ó. 8 está a la d e r e c h a d e ó, l u e g o 8 > 6. 30
- 22. Teniendo en cuenta el valor numérico asignado a cada letra, ubícalas en la semirrecta y en- contrarás el nombre de un matemático. • • • • • /A • • • • 100 000 A 200 000 300 000 1 000 000 2 000 000 3 000 000 R = 380 000 T = 1 750 000 R = 350 000 1 = 1 200 000 A = 150 000 H = 100 000 O = 1 500 000 a. Consulta quién fue este matemático y qué aportes realizó. b. Compara el valor numérico asignado a cada letra y completa las proposiciones con el símbolo < , > , = correspondiente. I T, A H, O I, O A, A A, T + A _ I, O + H A Encuentra el menor valor con el cual la proposición es verdadera. a. 315 + < 635 b. 1 635 012 + = 3 265 124 c. 89 + 12 + 36 = 1 4 0 - | d . 8 256 987 - < 5 456 345 e. 7 + 2 > 4 + f. 1 458 000 + 6 859 000 < 1 265 x Escribe el mayor número posible que hace verdadera cada desigualdad. a. 5 + _ < 9 d . 45 x 12 - < 36 b. 7 + 8 + < 18 e . 36 + 6 5 - > 100 c. 9 + 12 - 3 + < 30 f. 5 x 45 - < 1 70 4. Crucinúmero. Menor número posible de nueve dí- gitos. Menor que 406 943 022 y mayor que 406 943 020. El número que es una unidad de diez mil mayor que 220 429. Mayor número posible formado con los dígitos 9, 4, 3, 2, 3, 1. Menor número posible formado por tres dígitos ¡guales.
- 23. S 5. Utiliza los datos de la tabla para responder las preguntas. Algunos inventos tecnológicos de los siglos XIX y XX A*0 Cásete compacto 1963 IPod 2001 Telégrafo 1833 Celular 1939 Computador ENIAC 1943 o . En orden c r o n o l ó g i c o , ¿cuáles inventos tecnológicos surgieron en el siglo XX? b. ¿Cuál fue el primer invento t e c n o l ó g i c o del siglo XIX? c. Si se traza la línea del tiempo, ¿cuál es el orden de los inventos, del m á s antiguo al más reciente? ; Y~ 6. El costo de una c á m a r a de video en febrero es de $ 1 245 000, en ¡ulio el costo ha dis- minuido en $ 60 000, pero en diciembre ha aumentado $ 50 000 con respecto al costo de ¡ulio. ¿En cuál mes la c á m a r a es m á s costosa? S 7. El precio de un celular es $ 80 000 en agosto, en la semana de p r o m o c i ó n en diciembre el valor es de $ 23 000 menos, pero en enero disminuye en $ 20 000 con respecto a agosto. ¿En cuál mes el celulares más e c o n ó m i c o ? 8. Escribe los números telefónicos de cuatro c o m p a ñ e r o s . ¿Cuál es el menor y el mayor número?_ Y* 9, Ordena cada conjunto de números de mayor a menor. a. 6 304 ó 034 634 4 603 4 630 b. 95 600 956 000 956 9 560 90 500 c. 28 533 25 633 26 000 25 000 25 533 d. 6 071 7 601 1 650 6 701 1 607 Descriptor de desempeño: / Establecer el orden entre los números naturales y aplicarlos en situaciones problema.
- 24. Pensamiento numérico - varíacional Adición y sustracción de números naturales ¿Cuántos años han pasado desde la invención del telégrafo en 1833 hasta el 2007? ¿Cuántos años transcurrieron desde el nacimiento de la Pas- calina en 1642 hasta la creación del computador ENIAC en 1943? C l a v e m a t e m á t i c a r5m 6*0* íf |W> 5rc«o Lll IIIIBI m M i - i J ^ t)í » J i- • i a : I - 1 1 J A B C 1 2007 174 2 1883 3 4 Andrés decidió utilizarla calcu- ladora del computador, dígito la operación 1 9 4 3 - 1 6 4 2 y obtuvo como resultado 3 0 1 . Para contestar la primera pregunta, Luisa decidió utili- zar la hoja de cálculo de Ex- cel y obtuvo como respuesta 1 74 años. HG3CD S amfZDHE] B E S s a r u m a s H E3EDGJ H ruQaaaE] HGJJEDG] Para sumar y restar números naturales es importante sumar o restar cifras que se encuen- tren en la misma posición, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc. 143 784 + 63 782 =207 566 V V „ „ J i Sumandos i Total 34 504-1 356 = 33 148 v y '^-v-^ i i i Minuendo Sustraendo Diferencia La adición y la sustracción de números naturales son operaciones inversas. Es decir, para encontrar un sumando en una adición utilizo la sustracción y para encontrar el minuendo o sustraendo en una sustracción empleo la adición. Ejemplos: 3 590 + X = 46 789 X = 46 7 8 9 - 3 590 X = 43 199 Prueba: 43 199 + 3 590 = 46 789 Y - 1 905 = 43 Y = 432 + 1 905 Y = 2 337 Prueba: 2 337 - 1 905 432 ) TALLER Adición ysustracción denúmeros naturales 0 €>0 La tabla muestra el año de creación de algunos inventos. Invento Reloj de bolsillo Aparición de la bicicleta Primera máquina de escribir con memoria Primera máquina de vapor Técnica de cinematografía en color Aparición de los juegos artificiales 1458 1869 1964 1705 1951 1378 Primeros robots láser Primer cronómetro de Marina 1986 1736 Primeros teléfonos públicos de tarjeta .1980 Descubrimiento de los vasos capilares 1661
- 25. 1. Con la información anterior, contesta las preguntas. a . ¿Cuál es la diferencia entre el invento m á s reciente y el m á s antiguo? b. ¿Cuántos años es m á s antiguo el reloj de bolsillo que el c r o n ó m e t r o de Mari- na? C. ¿ Q u é inventos tienen una a n t i g ü e d a d mayor a ocho centenas de años? d. ¿ Q u é inventos se realizaron entre los años 1 700 y 1 710? e. ¿ C u á n t o m á s reciente es la aparición de la bicicleta que el descubrimiento de los vasos capilares? 2. La siguiente información corresponde a la superficie de cada una de las regiones colombianas. Región Superficie (km2 ) Amazónica 403 348 Andina 305 000 Caribe 132 218 Orinoquia 310 000 Pacifica 83170 De acuerdo con la tabJa, escribe falso o verdadero según corresponda. a . Colombia tiene una superficie de 1 233 736 km2 b. La región Andina es mayor que la región de la Orinoquia c. La región A m a z ó n i c a excede en 98 348 km2 a la región Andina d. La región del Caribe excede en 1 77 782 km2 a la región de la Orinoquia e. La región Pacífica y la región Andina tienen una diferencia de superficie entre 220 000 km2 y 223 000 km2 f. El total de la superficie de la región Andina y la región Pacífica es igual al total de la superficie de la región Pacífica y la región Andina * Responde las preguntas 3,(4 y 5 de acuerdo con la siguiente información. El gráfico corresponde al consumo de agua de la familia González durante los últimos cinco periodos. Consumo familia González 9 T Febrero Abril Junio Agosto Septiembre Abril Junio Agosto Septiembre Noviembre MESES
- 26. El valor de la factura incluye cinco servicios: 1) el consumo de agua a $ 1 951 cada metro cúbico, 2) servicio de alcantarillado por un valor de $ 1 1 96 por metro cúbico, 3) cargo fijo de acueducto con un valor de $ 1 1 492, 4) cargo fijo de alcantarillado con un valor de $ 5 855 y, finalmente, el valor del servicio de aseo por $ 1 9 600. f 3, Calcula el valor que la familia González pagó en cada periodo facturado. a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre c. Abril-Junio ^ 4. Si la factura no incluyera el servicio de aseo, calcula el total por pagar en los periodos facturados. a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre c. Abril - Junio S 5, La cantidad de metros cúbicos en los cinco periodos facturados es 32, ¿cuál es la canti- dad de consumo en el último periodo facturado? . }•>)> 6. En 1 947 se postuló el concepto de una red de radio celular y en 1 983 se fabricaron los primeros equipos. En los siguientes enunciados escribe falso o verdadero, según corres- ponda. Justifica tu respuesta. a . Transcurrieron 36 años desde la postulación de la red hasta la creación de los pri- meros equipos. b. Han pasado más de 61 años desde la postulación de la red hasta el año 2008. C. Han transcurrido 25 años desde la creación del primer equipo hasta el año 2008. d. Para contestar el literal a, debo sumar 1 947 y 1 983. 7. Completa el siguiente crucigrama. En 1 877 se inventó el primer tocadiscos y en 1 895 se descubrieron las radiografías. c j Años transcurridos desde el inven- to de tocadiscos hasta el descubrí- b| miento de las radioqrafías. Años que han pasado desde el a invento del tocadiscos hasta el 2008. Años transcurridos desde el descu- brimiento de las radiografías hasta . el 2008. Descriptor de desempeño: / Aplicar la adición y la sustracción de números naturales en el análisis y solución de situaciones problema.
- 27. »«•• Pensamiento numérico - variaciona! Propiedades de la adición de números naturales ¿eré igual..." ... ¿Un carro con radio que un radio con carro? ... ¿Un televisor con antena que una antena con televisor? Los casos anteriores no son conmutativos, porque no se obtiene el mismo artefacto. Propiedad Ejemplo Elemento neutro o módulo E! número que sumado con cualquier número natural 1 542 310 + 0 = 1 542 310 da como resultado el mismo número natural es el 0, por tanto, el cero es el módulo de la adición. Propiedad clausurativa La suma de dos números naturales es otro número natural. 165 e N y 1 583 e N Luego 165 + 1 583 = 1 748 y 1 748 e N Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma. 1 345 + 3 478 = 4 823 3 478 + 1 345 = 4 823 Propiedad asociativa (1 356 + 1 256) + 2 568 = 2 612 + 2 568 = 5 180 Al agrupar los sumandos de diferente manera la suma ^ + M 256 + 2 568 ) = 1 356 + 3 824 = 5 180 no se altera. O TALLER Resuelve cada suma en la forma convencional y luego realiza una correspondencia con la propiedad empleada para su solución. a. 24 562 321 + 6 536 321= 6 536 321 + 24 562 321 = 5 436 235 + 0 = c. 32 565 + (26 569 652 + 125ó)=_ 32 565 + ( ) Propiedad asociativa ( ) Propiedad conmutativa ( ) Elemento neutro
- 28. Escribe las propiedades) utilizada(s) para resolver cada uno de los siguientes ejercicios, o, 98 565 + 28 569 762 + 5 256 = 98 565 + 5 256 + 28 569 762 Propiedad conmutativa = (98 565 + 5 256) + 28 569 762 Propiedad asociativa = 103 821 + 28 569 762 = 2 8 673 583 b. 56 325 + 59 321 + 9 658 + 658 123 = (56 325 + 59 321) + (9 658 + 658 123) = + 12 325 + 0 + 568 235 0) + 568 2 .+ 568 235 y = (12 325 + 0) + 568 235 Propiedad d. 163 587 + 385 126 + 123 987 = (163 587 + 123 987) + 385 126 Propiedad _ + 385 126 Aplica las propiedades mencionadas para resolver cada ejercicio. o, 35 325 697 + 2 358 + 12 698 = Propiedad conmutativa = Propiedad asociativa b. 56 328 369 + 23 956 123 + 0 + Propiedad asociativa y elemento neutro c. 2 358 265 + 123 1 68 + 45 698 256 + 21 859 569 + Propiedad asociativa d. 5 456 865 + 1 35 685 + 0 + 6 987 364 = + Propiedad asociativa y = elemento neutro
- 29. f 4. Resuelve las siguientes situaciones. a. De la lista de útiles escolares, Sergio compra cinco cuadernos cua- driculados, tres rayados y uno pentagramado. Su hermana M ó n i c a le dice que compre primero los tres rayados, luego el pentagramado y, por último, los cinco cuadriculados. ¿ C a m b i a la cantidad de cuader- nos comprados por Sergio? . Justifica la respuesta. b, María Camila tiene 21 muñecas de trapo. Para su c u m p l e a ñ o s quiere otra, pero se agotaron. ¿Cuántas muñecas de trapo tiene María Ca- mila después de su c u m p l e a ñ o s ? ¿Cuál fue la propiedad de la adición utilizada? Felipe tiene un tarro con canicas y para contarlas organiza tres grupos. El primero con 56, el segundo con 63 y el tercero con 45. Para saber la cantidad de canicas suma primero 56 y 63. Al resultado le agrega 45, ¿obtiene el mismo resultado si pri- mero suma 63 con 45 y al resultado le adiciona 56? Justifica la respuesta. •JÍJ Tatiana tiene doce insignias scout, en el cam- pamento Kevin le regala seis, Alejandro le ob- sequia nueve y Gloria ninguna. ¿Cuántas insig- nias recopila entre Alejandro y Gloria? ¿Cuál fue la propiedad de la adición utiliza- da? 5. Un vendedor de celulares compra el lunes tres decenas de carcasas amarillas, 15 decenas de color rosado y 27 carcasas azules. a . Si el s á b a d o compra 150 carcasas de color rosado, 30 amarillas y 27 azules, ¿cambia la cantidad de carcasas compradas entre el lunes y el s á b a d o ? . Justifica la respuesta. b. ¿Cuál fue la cantidad de carcasas compradas? c. Al colocar las carcasas en la vitrina mezcla los colores y organiza tres grupos: uno de 50, otro de 80 y el último de 77. Para verificar que están todas las carcasas, primero suma las del grupo dos y tres y, por último, las del primer grupo. El hijo del vendedor rectifica el conteo y primero suma los grupos uno, dos y finalmente el grupo tres. ¿El vendedor y su hijo obtienen el mismo n ú m e r o de carcasas? . Justifica tu respuesta. Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la adición de números naturales en la solución de situaciones problema.
- 30. Multiplicación y división de números naturales Con el paso de los años los artefactos tecnológicos bajan de precio debido a su mayor demanda. A finales de los noventa el costo de un r minuto a celular era de ? I 500, hoy el valor es cercano a la quinta parte, es decir, 1 500 -s- 5 = 300, de igual manera, un televisor plasma de 42 pulgadas en el 2 0 0 0 costaba unos $ 8 500 0 0 0 , hoy su valor es de aproximadamente la mitad. Clave matemática0 AHHHHBHHHHHHHHHHHBHHHHHHHHBHHHB El valor de un minuto a celular en una cabina telefónica es de $ 300, ¿cuánto valen 1 4 minutos? 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 = 14 x 3 0 0 = 4 2 0 0 1 4 sumandos La adición de sumandos ¡guales puede representarse por medio de una multiplicación o producto de dos números naturales. El primer número representará la cantidad de veces o sumandos de la operación, el segundo indica el sumando repetido. • Multiplicación De manera general la multiplicación se define así: Si c,b € N, entonces c x b = b + b + b + b+ ... + b _ ^ c y ¿, s e denominan factores c veces y a producto. En la multiplicación se puede emplear el símbolo • o x • División La división es la operación inversa de la multiplicación, porque se conoce un factor y el producto, se debe encontrar el otro factor. La multiplicación 14- = 252; puede reescribirse en forma de una división, así: 252 14 = 18, en este caso 252 es el di- videndo, 1 4 el divisor y 1 8 el cociente. TAUL6SR Multiplicación y división de números naturales O 1 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica la respuesta. a. 5 4 - 1 2 8 = 6 912 b. La mitad de 1 568 986 es 786 493 c. 407 904 ^ 28 = 1 4 568 d. El triple de 156 894 es 478 682
- 31. Completa la tabla. b a-b 264 132 34 848 216 27 768 3 1 170 24 26 568 324 a*b 2 Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Mitad de a El doble de b Tercera parte de b 132 264 44 Encuentra el número desconocido. ó - = 72 b. 12 • = 6 0 c. -100 =1 200 d . 1 2 0 - = 1 2 e . 68 i = 34 i 3 6 0 - = 1 2 0 Completa los dígitos en las operaciones. a . 3 2 x 3 c. 8 7 x 2 ti. • 0 1 1 3 • 1 8 2 7 6 7 3 7 1 0 1 4 8 8 3 4 6 0 7 3 1 8 0 2 1 3 Plantea multiplicaciones o divisiones según el caso y completa las proposiciones. a , La tercera parte de 156 es b. La mitad de 250 es C. El doble de 52 aumentado en 4 es d . La mitad del doble de 50 e, El triple de la mitad de 8
- 32. f 6, La distribuidora de carcasas para celular recibió $ 1 766 730 por concepto de las ventas de abril. a . Si se vendieron 987 unidades, ¿cuál es el precio unitario? b. En el mes de julio el valor de cada carcasa aumentó $ 50. La venta en este mes fue de 235 unidades, ¿cuánto dinero se recaudó en ¡ulio? El cuadro representa la venta promedio de algunos artículos electrónicos en un día de lunes a viernes. Responde. r 7. a. b. c. d. é. f. g. Cantidad Cada A representa 8 unidades Costo de una unidad Xbox Cámaras de vídeo A A A A A $ 800 000 « 1 258 000JA 1 luí U J J w V l * J ^ / U Celulares A A A A $ 250 000 La mitad del costo de cada artículo equivale a la inversión y la otra mitad es la ga- nancia. ¿Cuál es la ganancia diaria por las cámaras de video? ¿Cuánto dinero se recibe por ventas de Xbox en un día? Los fines de semana se vende en promedio el triple de un día entre semana, ¿cuán- tos celulares se venden un sábado? Si la mitad del costo de cada celular equivale a la inversión y la otra mitad es la ganancia. ¿Cuál es la ganancia por las ventas de celulares el fin de semana? En un día de promoción la ganancia es la cuarta parte del costo del artículo. ¿Cuál es la ganancia por la venta de tres Xbox en un día de promoción? ¿Cuántos artículos se venden un día de lunes a viernes? ¿Cuánto dinero se recauda en un día de ventas? Y 8. Observa las listas de precios en tres restaurantes y responde las preguntas. f i e s t a uran te , 5 a n t a n d e r e a n o Chivo $ 12 000 Tamales $ 5 600 santandereanos Hormigas culonas $ 2 500 Chivo y tamal para niños a mitad de precio O ra x¡o raO <D C ra>_ 3 ra M CU 0 ¿ Ajiaco $ 9 500 Chocolate $ 3 500 santafereño Hormigas culonas $ 2 500 Ajiaco para niños $ 5 300 Restaurante A n t i o q u e ñ o Bandeja paisa $ 10 200 Mazamorra . .. $ 7 800 Arepa de Chócolo Arepa de Chócolo ...$ 2 800 Bandeja Paisa para niños a mitad de precio / a . Mauricio fue ayer con sus dos hijos a uno de los restaurantes y pagó $ 24 000, ¿a cuál restaurante fue? b. Sandra pidió cuatro bandejas paisas y dos arepas de chócolo, ¿cuánto pagó? c. Felipe fue al Restaurante Antioqueño con 23 compañeros del colegio y cada uno ordenó una arepa, si la cuenta se paga entre 1 ó de ellos, ¿cuánto paga cada uno? T Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar problemas utilizando la multiplicación y división de números naturales.
- 33. »»*• Pensamiento numérico - variacional Propiedades de la multiplicación Para todo número natural la multiplicación cumple con las siguientes propieda- des. V a , b, c e N , s e tiene: • Propiedad conmutativa: a x b = b x a El orden de los factores no altera el producto, ejemplo: 15 x 30 = 30 x 450 = 450 • Existencia de elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a Al multiplicar un número natural por 1, el producto es el mismo número. El número 1 recibe el nombre de ele- mento neutro o módulo de la multi- plicación, ejemplo: 5 320 • 1 = 1 • 5 320 = 5 320 • Propiedad asociativa: a x (b x c) = (a x b) x c Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, ejemplo: 12 x (3 x 10) = (12 x 3) x 10 12 x 30 = 36 x 10 360 = 360 • Propiedad anulativa: o x 0 = 0 x o = 0 Al multiplicar un número natu- ral por cero, el producto es cero, ejemplo: 3 7 8 5 - 0 = - 3 7 8 5 = 0 • Propiedad distributiva de la multiplicación o división con res- pecto a la suma o resta a x ( b + c) = a x b + a x c Al multiplicar un número por una suma, da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar cada pro- ducto, ejemplo: 6 • ( 4 + 3 ) = ( 6 • 4 ) + ( 6 • 3 ) = 24 + 18 = 42 (18 + 6 ) - 3 = ( 1 8 - 3 ) + ( 6 - 3 ) = 6 + 2 = 8 O TALL6R Propiedades de la multiplicación O o ° %>> 1. Completa el espacio. a. El elemento neutro o módulo de la multiplicación es el . b. En la propiedad al cambiar el orden de los factores el producto no cambia.
- 34. C. Al multiplicar un número natural por el el producto es cero. d. Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, hace referencia a la propiedad . e. Al multiplicar un número natural por el el producto es el mismo número. 7 2. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta con ayuda de las propiedades estudiadas. a. 3 452 x 0 = 3 452 e. i x 0 = 0 b. 56 253 x 1 = 56 253 i 9 038 x 1 = 9 038 c. (25 x 15) x 10 = 25 x (15 xlO) 9- 0 x 65 378 = 0 d . 563 x 48 = 48 x 563 h. 0 x 1 = 0 fh») 3. Determina la propiedad que se aplicó y escríbela en el espacio. a- 264 x 35 x 10 x 20 x 1 = 264 x 10 x 35 x 20 x 1 = (264 x 10) x (35 x 20) x 1 = 2 640 x 700 x 1 = (2 640 x 700) x 1 = 1 848 000 x 1 -1 848 000 b. 1 245 x 6 473 x 0 x 1 564 x 1 546 = 1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546 x 0 = (1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546) x 0 = 0 c. 1 x 0 = 0 x 1 = 0 f„» 4. En las siguientes multiplicaciones se ha cometido un error. ¿Cuál es? Corrígelo. a. 4 352 x 962 x 10 x 0 = 4 352 x 0 x 962 x 10 = (4 352 x 0) x (962 x 10) = 0 x 962 = 0
- 35. b. 34 x 421 x 11 x 10 34 x 11 x 421 x 10 (34 x 11) x (421 x 10) 374 x 4 210 157 454 Federico el lunes compró cinco cuadernos a $ 2 000 cada uno, y el martes, tres lápices a $ 300 cada uno. Su hermana tenía que realizar una compra igual: ella compró pri- mero la misma cantidad de lápices al mismo precio y luego los cuadernos en la misma cantidad e igual precio. o . ¿Cuál fue el valor de los artículos comprados por Federico? b. ¿Cuál fuel el valor de los artículos comprados- por la hermana de Federi- co? c. ¿Federico y su hermana gastaron igual cantidad de dinero? Justifica tu repuesta. Marcela para su café internet ordena cinco pedidos de tarjetas prepago de $ 1 0 000 cada una, un pedido es de 20 tarjetas. a . Completa la multiplicación para calcular el valor de los pedidos. 5 • ( • ) b. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido usando la propiedad modulati- va. c. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido utilizando la propiedad asociativa. Encuentra los números desconocidos aplicando la propiedad distributiva y resuelve las divisiones o multiplicaciones. a . 1 000 + (1 000 H- 2) + + 80 + 2) - 2 = | -s- 2) + ( 8 0 H - 2 ) + (2 + 2) 200 + 1 I + 1 = ( + 2 4 + 9 * 3) + ( 10 + ) * 3 = 3) + (9 + 3 ) + (3 + 3) = + 3 + 1 c. 5 - f ( 5 - ; + 8 + i + (5-; + 3) + .(5- + (5-3) 10 + + 15 + = 80
- 36. d . (8 + | | +1 | + 4) • 12 = = (8 • 12) +(| | • 12) + ( 5 = I + 120 + 6 0 + + 12) = = 324 8. Cada n ú m e r o del sistema decimal tiene una descomposición según su valor posicional; por ejemplo, 4 596 = 4 000 + 500 + 90 + 6. Utiliza la propiedad distributiva para calcular la mitad y el doble de cada n ú m e r o , en lo posible realiza el proceso empleando cálculo mental. Mitad 4 596 +• 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + 6 ) - 2 = ( 4 000 - 2 ) + ( 500 - 2 ) + ( 90 * 2 ) + ( 6 - 2 ) = 2 000 + 250 + 45 + 3 = 2 298 Doble 4 596 x 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + ó ) x 2 ( 4 000 x 2 ) + ( 500 x 2 ) + ( 90 x 2 ) + ( 6 x 2 ) 8000 + 1 000 + 180 + 12 = 9 192 a. 840 c. 930 e. 456 g. 1 560 b. 650 d . 658 i 328 h. 2 458 Y 9. Hoy asistimos al museo Siglo XIX y XX. Cada niño p a g ó $ 8 000 y cada adulto el doble de lo que p a g ó cada niño. En la taquilla había la siguiente tabla de precios, complétala. Aplica la propiedad distributiva y responde: Cantidad de boletos para adulto 1 2 3 10 20 50 Precio Cantidad de boletos para niño 1 2 3 10 20 50 Precio o. ¿ C u á n t o dinero se paga por los boletos de trece adultos y veintidós niños? b. Si se paga con $ 150 000, ¿es posible comprar las entradas de doce niños? Justifica tu respuesta. c. Teniendo en cuenta la situación, inventa una pregunta cuya solución sea posible em- pleando la propiedad distributiva. Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación en la solución de situaciones problema.
- 37. i»* Pensamiento numérico - variacional Situaciones problema Uno de los carros más veloces del mun- do es el BUGATTI V E Y R O N 16.4, que desarrolla una velocidad de 4 0 7 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro horas? Datos: (información útil para resolver el problema) 4 0 7 kilómetros en una hora. Pregunta: (¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficientes datos? ¿Hay informa- ción extraña?) ¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro horas? Estrategia y ejecución: (una estrategia se entiende c o m o los pasos para llegar a una meta; en la solución de situaciones pueden ser un diagrama, resolver una o varias operaciones, usar coordenadas, etc.) En este caso la estrategia es multiplicar 4 0 7 por 4. 4 0 7 • 4 = 1 6 2 8 Respuesta: recorre 1 6 2 8 km en cuatro horas. Examine la solución obtenida ¿Puedes comprobar la respuesta, es acorde con la pregunta planteada?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Para solucionar una situación p r o b l e m a se debe tener en cuenta los datos y la pregunta, con esta información se decide la estrategia para resolver la pregunta planteada, no siem- pre es una operación, en algunos casos puede servir una representación gráfica, dibujo, un esquema u otra herramienta. TAULGR Situaciones profcl Y 1, Escribe una pregunta para cada enunciado y luego plantea, en tu cuaderno, el procedi- miento requerido para resolver las situaciones. a . Alba compró 17 paquetes de dulces para la salida de c a m p o de gra- do sexto. Cada paquete tenía 12 unidades. Al final del día quedaron 8 dul- ces. b. Clarita tiene una fábrica de cuentos en la que se producen al año 1 70 cuentos clá- sicos, 6 4 0 de Bob Esponja y 2 5 0 de los padrinos mágicos. El costo de cada libro es $ 5 0 0 0 . 46
- 38. c. Lupita tiene ahorrados $ 430 000. Ella quiere comprar dos muñecas, cada una vale $ 185 500. y 2. Plantea y resuelve una operación acorde con la información dada. El número descono- cido represéntalo por una incógnita. La suma de dos números es 45 386; si uno de los sumandos es 1 2 456, calcula el otro sumando. La suma de tres números naturales diferentes es 8. ¿Cuál puede ser su producto? ¿Cuál es el menor número de tres cifras, cuya suma digital es 27? ¿Cuál es el número cuyo triple es 60? El producto de dos numerases 1 28. Si uno de los factores es 32, encuentra el otro factor. Mario tiene el triple de la edad de su hijo. Si la edad de Mario es 45 años, la edad del hijo es: La diferencia de la edad de Carolina y Ana María son dos años. Si Carolina es la mayor y tiene 1 6, la edad de Ana María es: La tabla muestra el área y la población aproximada de los continentes. Responde las preguntas 3 a 6 con base en ella. Continente Área (km2 ) Población África 30 370 000 890 000 000 América 42 330 000 890 000 000 Asia CTi irrtrto 43 810 000 1 n 1finnnn 3 800 000 000 71 n nnn nnn turupd Oceanía I U ! OU UUU 9 010 000 I ÍU UUU UUU 33 552 994 y 3. ¿Cuál es el área total y la población total de los cinco continentes? a . Área total b . Población total
- 39. y 4. Encuentra la cantidad de población que le falta a cada continente para obtener la po- blación total. a . África d . Europa b. Asia e. Oceanía c. América y 5. Teniendo en cuenta la información registrada en la tabla anterior, responde las preguntas. a . ¿Cuál es la cantidad de kilómetros cuadrados que le debo sumar al área de Oceanía para igualar el área de Asia? b. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar al área de África para igualar el área de Europa c. ¿Qué cantidad debo restar de la población de América para igualar la población de Europa? d . ¿Qué cantidad debo restar de la población de Asia para igualar la población de Europa y Oceanía juntas? e. ¿Qué población debo sumar a la población de Asia para igualar la población de África y América ¡untas? f. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar del continente con mayor área para igualar al continente con menor área? 6. Escribe la letra correspondiente. En 1 945, el norteamericano Percy Le Barón Spencer patentó el microondas y en 1967 salieron los prime- ros de uso doméstico. En 1901 apareció la primera lavadora creada por Alva Fisher. a. Años transcurridos desde la patente del microondas hasta la aparición del primer uso doméstico. b. Años transcurridos desde la patente hasta el 2009. c. Años transcurridos desde la aparición del primer uso doméstico hasta el 2009. d . Años transcurridos desde la aparición de la lavadora hasta el 2009. ( ) 42 años ( ) 108 años ( ) 64 años ( ) 22 años Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar situaciones problema aplicando las operaciones básicas entre números naturales.
- 40. • Conceptos básicos de geometría El museo Vitro Design, en Suiza, es una de las maravillas de la arquitectura m á s importantes del siglo XX y XXI. El museo se construyó con modernas técnicas de ingeniería, lo que permite al espectador apreciar muchos elementos fundamentales de geometría y diseño. Clave matemática En geometría encontramos algunos conceptos básicos que no tienen definición, por esta razón reciben el nombre de ¡deas primitivas; sin embargo, podemos tener una noción de ellos a partir de las formas de nuestro entorno. Concepto Idea Dibujo Notación El punto no tiene longitud, Un punto se denota con una ni ancho, ni grosor. La idea igy letra mayúscula. Punto de un punto es la marca que deja un lápiz en un V .Bpapel. .B Una recta se denota con una letra minúscula o una línea con flechas en sus extremos sobre el nombre de dos puntos por los cuales pasa. Recta La recta no tiene ancho, ni grosor, ni extremos. La idea de recta es la línea que pasa por dos puntos. A < > m B > > Recta m Se lee recta m IB Se lee recta que pasa por los puntos A y 8 Los puntos que se encuen- tran en la misma recta se llaman puntos colineales. Plano El plano no tiene ancho, ni grosor. La idea de un plano es una hoja de papel lisa. Tres puntos que no están en la misma recta determi- nan un plano. .A C Se denota nombrando los puntos que están conteni- dos en él.
- 41. Clave matemática En cuanto a las rectas encontramos las siguientes definiciones. Nombre Definición Dibujo y notación Segmento de Es un trozo de recta que recta tiene principio y fin. Un segmento se denota con una línea sin flechas en sus extremos sobre el nombre de dos puntos de sus bordes. B Se lee segmento AB Semirrecta o rayo E s u n t r o z o d e r e c t a ^ u e tiene principio, pero no tiene fin. Una semirrecta se denota con una línea con una flecha sobre el punto por el cual comienza la recta y un punto por donde pasa. C D CD Se lee semirrecta que empieza en C y pasa por D Rectas interse- cantes Rectas perpendi- culares Son dos rectas que tie- nen un punto en común, es decir, se unen en un punto. Son dos rectas interse- cantes que forman un ángulo recto (90°). Se lee rectas p y q intersecantes Y a-Lb Son aquellas rectas que no tienen puntos en co- Rectas paralelas , . , . . ^ mun. Las rectas paralelas nunca se cruzan. m m II n Se lee recta m paralela a recta n
- 42. O TALLER Conceptos básicos de geometría O o ° 1» Traza rectas que pasan por los puntos que se nombran con letras mayúsculas. a . . p b. • A c. . Ñ . Q . 8 . N . M f..)) 2. En las imágenes, nombra y retiñe con verde los segmentos que forman el contorno y con rojo los puntos de intersección de los segmentos. fw>* 3. En los enunciados escribe falso o verdadero, según corresponda. ci, La pantalla de un computador es un ejemplo de plano. b. Un mouse no es un ejemplo de una figura plana. c. Una canica es un ejemplo de una figura plana. d. La unión de dos puntos determina un plano. e. La unión de tres puntos determina un plano. f. Tres rectas que se cortan entre sí determinan un plano. 1 4. Dibuja en tu cuaderno utilizando los instrumentos adecuados. a. Traza y denota la recta que pasa por dos puntos: C y D. b. Traza y denota el segmento que comienza en un punto O y finaliza en un punto P. c. Traza y denota la semirrecta que comienza en un punto C y pasa por un punto 8. d. Traza dos semirrectas que comiencen en un punto M. e. Traza tres rectas que pasen por un punto Z. f. Construye una figura con tres segmentos. g. Construye una figura con cinco segmentos.
- 43. ; ,i)í 5 . Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . Una antena de televisión es un ejemplo de rectas intersecantes. b. Una cruceta es un ejemplo de rectas intersecantes. c. Los lados opuestos de un iPod no son intersecantes. d . En un asterisco se encuentran rectas intersecantes. i- El número cinco en el Sistema de Numeración Romana es un ejemplo de rectas intersecantes. f. En el número diez en el Sistema de Numeración Romana no se observan rectas paralelas. y 6. Observa la figura y luego soluciona los ejercicios. Ten en cuenta que puntos colineales son los que se encuentran en una misma recta. a . Menciona tres rectas. b. Menciona cuatro grupos de puntos colineales c. Menciona dos grupos de puntos no colineales d . Menciona tres segmentos. e . Menciona tres semirrectas. f. Menciona los pares de rectas parale- las que se encuentran en la figura g . Menciona dos parejas de rectas intersecantes. ? 7. Da dos ejemplos de cada definición. a . Rectas paralelas b. Rectas intersecantes . c. Puntos colineales d . Puntos no colineales e . Semirrecta f. Segmento I H
- 44. }.,» 8 . Determina si las rectas de cada imagen son paralelas, horizontales, verticales o diago- nales. 9 . Dibuja con regla tres rectas paralelas a la recta dada de tal forma que pasen por tres países y una recta perpendicular. Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer conceptos básicos de geometría relacionándolos con mi entorno. 5 3
- 45. ««• Pensamiento métrico - geométrico Ángulos wmmmmmmmmmKmmmmmmmmmmmamm Uno de los inventos más importantes del siglo XX fueron los robots, algunas de estas máqui- nas simulan la estructura humana. El robot de la imagen fue fabricado por Toyota, para que este alcance la corneta con el brazo derecho, debe girarlo un cuarto de vuejta. Si el brazo se encuen- tra en posición vertical y gira un cuarto de vuelta contrario a la forma como giran las manecillas del reloj, el brazo robótico habrá realizado una rotación de 90 grados. El codo es el vértice y los lados son los brazos. Empleando los ángulos se programa internamente el robot para que realice giros en sus extremidades. Clave matemática Para nombrar un ángulo se marca y nombra sobre cada lado un punto. El ángulo se puede nombrar como <ABC o <CBA, se lee ángulo ABC o ángulo CBA, respectivamente, es decir, que la letra que nombra el vértice quede en el cen- tro. Algunas veces se puede nombrar mediante la letra que corresponde al vértice o a un número. .La medida de la amplitud de un ángulo se realiza empleando como unidad el grado sexagesimal, que equivale a la trescientos sesentava parte de un giro. La medida del <A8C se escribe m<ABC = 45°. O TALLGR Ángulos O o JQfP^ El reloj de cristal de cuarzo se desarrolló en 1929. w ¿, Estefanía y su primo Fernando tienen una cita en el centro comercial a las ip 3:00 p.m. A las 4:1 0 p.m. quieren ir a la heladería y a las 5:55 p.m. a cine, pero, a las 8:10 p.m. deben estaren casa. Ellos llevan un reloj de cuarzo. a, ¿Qué horas aparecen en la situación anterior?, represéntalas en un reloj de cuarzo. b. ¿Cuál es la medida de los ángulos formados por el horario y el minutero a las horas mencionadas en la situación? El lado inicial del ángulo será el horario y recuerda que la medida de un ángulo se realiza al contrario de las manecillas del reloj.
- 46. 2, Observa la clasificación de ángulos. Mide los ángulos y luego clasifícalos según su medida. Los ángulos se clasifican e n : Ángulo a g u d o menor de 9 0 ° Ángulo recto de 9 0 ° Ángulo obtuso mayor de 9 0 ° Ángulo llano de 1 8 0 ° Ángulo completo de 3 6 0 ° a. c. 3. Construye los ángulos en el cuaderno y clasifícalos según su medida. m<MFR = 35 , m<AGP = 128*, m<JNR = 47 , m<MPR = 53 , m<GJR = 27* 4. Completa las expresiones usando las palabras recto, a g u d o u obtuso, a. Un ángulo de 5 3 ° es: b. El ángulo que corresponde a la mitad de un ángulo llano es:_ c. Un ángulo de 1 2 8 ° es:
- 47. y "i. Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas es 90° y dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas esl 80°. Completa la tabla: Ángulo 57° 123° 12° 39° Complemento 48° 27° 25° Suplemento 63° ' 153° •f El día 1 7 de diciembre de 1903 se realizó el primer vuelo propulsado por motor. Ar- tefacto elaborado y probado por los hermanos Wright La estética de los aviones ha cambiado con el paso del tiempo, para ganar velocidad y seguridad en el vuelo. Nombra por lo menos diez de los ángulos que se encuentran en la figura. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos ¿AM., ¿GFJ, ¿CDF, ¿JKLy ¿KJL . ¿Cuáles ángulos de la figura son obtusos? d . ¿Cuáles ángulos de la imagen son rectos? 6 . En la figura hay cuatro parejas de ángulos suplementarios, ¿cuáles son? Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes. Ejemplo: <A8C es adyacente a <C8D, encuentra otras cuatro parejas de ángulos adyacentes. 7, Mide con el transportador los ángulos. Escribe en cada | °| la respuesta. G
- 48. Pensamiento métrico - geométrico Unidades de tiempo y longitud El 21 de julio de 1969, Neil Armstrong realizó el primer pa- seo a la Luna, la duración fue de 9 100 segundos. Como vehículo de lanzamiento se utilizó el Saturno V que tenía 1 1 dam de altura. Teniendo en cuenta que una hora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos y que 1 dam = 10 m, determina las horas y minutos que demoró el astronauta en la Luna y halla la altura del Saturno V en metros. Realiza las operaciones indicadas. Las operaciones son: (9 1 00 + 60) + 60 y 1 1 x 1 0 Tiempo caminata lunar : Altura Saturno V J71. El tiempo y la longitud son magnitudes, es decir, son cualidades que se pueden me- dir. Las principales unidades que se utilizan para medir el tiempo son años, días, ho- ras, minutos y segundos; y para medir longitudes se emplean kilómetros', hectómetros, decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros. Existen algunas relaciones entre las unidades de tiempo y longitud. TIEMPO 1 minuto = 60 segundos 1 bimestre = 2 meses 1 hora = 60 minutos 1 día = 24 horas 1 mes = 30 días L O N G I T U D 1 trimestre = 3 meses 1 semestre = 6 meses 1 año = 12 meses 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 1 00 años 1 milenio = 1 000 años Kilómetro km Hectómetro hm Decámetro dam Metro m Decímetro dm Centímetro cm Milímetro mm 1 000 m 100 m 10m 1 — = 0,1 m 10 l = 0,01 m 100 —-1 — = 0,001 m 1000 O TALLGR Unidades de tiempo y longitud O o ° 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta. o. El periodo de gestación de un bebé es de dos trimestres. b. El movimiento de rotación de la Tierra tiene una duración de 24 horas, es decir, 86 400 segundos. 57
- 49. c. Los periodos académicos en una universidad están dados por semestres. Una carrera profesional tiene una duración de 10 semestres, es decir, 30 trimestres. d. En Colombia la mayoría de edad se adquiere a los 240 meses. e. Un partido de fútbol se juega en 5 400 segundos. 2, Soluciona el siguiente crucinúmero. a. Cantidad de lustros en un siglo. b. Cantidad de horas en un bimestre. C. Cantidad de décadas en un milenio. d. Cantidad de milenios en 1 2 000 años. e. Cantidad de siglos en tres milenios. f. Cantidad de minutos en tres días. g . Cantidad de meses en una década. h. Cantidad de días en cuatro meses. i. Cantidad de horas en 86 400 segundos, j. Cantidad de semestres en veinticinco años, k. Cantidad de horas en un mes. I. Cantidad de horas en 1 4 400 segundos. !»» 3, En los siguientes acontecimientos históricos de Bogotá, calcula los años transcurridos hasta el 2009 y exprésalos en décadas y meses. a. En 1959 se inauguró el Aeropuerto Internacional El Dorado. b. El edificio de Avianca se inauguró en 1 969 y se incendió el 23 de ¡ulio de 1 973. c. En 1979 se inauguró el edificio más alto de Colombia, la Torre Colpatria con 198 m. d. En 1 984 se inició la era de los cajeros electrónicos. e. En 1 995 se inauguró el Parque Simón Bolívar y el primer festival de Rock al Parque. I. En 1 998 se inauguró el centro interactivo Maloka. g . En el 2000 se inauguró el sistema de transporte masivo TransMilenio. 4. Ordena, de mayor a menor, los siguientes años que se encuentran separados por un guión. a , Cuatro siglos, dos décadas, tres lustros y dos años - un milenio, dos siglos, una dé- cada y dos años. b. Dos milenios, ocho décadas y once años - veinte siglos, trece lustros y cuatro años. hl "a _b WSBSmm 91 _c f WBBBtm s&mmmm HMH *~~
- 50. c. Cuarenta décadas, veinticuatro lustros y nueve años - quince si- glos, dos décadas, tres lustros y seis años d. Dos milenios, tres siglos, siete lustros y un año - veinte siglos, ocho décadas y doce años |,)¡) 5. Completa los enunciados con la uni- dad de medida apropiada (kilóme- tro, decímetro, metro, centímetro o milímetro) para medir cada longitud. a . La altura de una montaña: b. El ancho de un cuaderno: c. El largo de una cancha de fútbol: d. La altura de una persona: e. La altura de una hormiga: ? 6. Responde. a . ¿Cuántos centímetros hay en tres decímetros? b. ¿Cuántos metros hay en cinco kilómetros? c ¿Cuántos decímetros hay en un metro? d. ¿Cuántos kilómetros hay en un metro? e. ¿Cuántos milímetros hay en 3 kilómetros? *f 7 . Realiza una correspondencia entre unidades de medida equivalentes. a . 12,3 dam b. 1,23 km c. 12,3 cm d. 123 hm e. 1 2 3 0 hm ) 1 2 3 0 m ) 123 m ) 123 000 m ) 12 3 0 0 m ) 0,123 m 8. Completa la equivalencia con la uni- dad de medida en cada caso. a . 3 5 0 km = 35 0 0 0 b. 324 hm = 324 0 0 0 c. 13,56 m = 0,1356 d . 154, 9 dam = 1 549 0 0 0 9. Escribe < , > o = , según corresponda. a . 25 m b. 38 dam c. 32,1 km d . 124 cm 3 dm 380 cm 32 145,7 hm 12,4 dm 1 0 . De acuerdo con la tabla, contesta las preguntas. Medio de transporte Velocidad máxima Moto Kawasaki ZZR 1400 312 kilómetros por hora El carro más potente, costoso y veloz del mundo El BUGATTI VEYRON 16.4 407 kilómetros por hora Tren bala 360 kilómetros por hora Avión Lockheed L-1011 970 kilómetros por hora I I . a . ¿Cuál es la máxima velocidad del carro expresada en decímetros por hora? ¿Cuál es la máxima velocidad del tren bala expresada en metros por hora? ¿Cuál es la diferencia en metros por hora, entre la velocidad del avión y la del tren bala? Transforma las siguientes unidades a la unidad solicitada. 53 m = b. a . b. 2 4 8 km = m = mm lam = mm c. 843 hm = m— dam cm d . 459 dam cm = m mm Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando conversiones entre las unidades de longitud.
- 51. ««• Pensamiento métrico - geométrico Existen algunas longitudes que se miden en unidades diferentes a las del Sistema de M e d i c i ó n Internacional (metro, kilómetro, centímetro, etc.); por ejemplo, las pantallas de los televisores y de los computadores se miden en pulgadas (televisores de 20", 25", etc.), la altura de los aviones y la profundidad de los pozos petroleros se miden en pies, las distancias de nave- gación marítima se mide en millas; estas unidades son universales, es decir, son iguales en cualquier lugar del mundo. La principal unidad de longitud en el sistema de medición internacional es el metro; sin embargo, algunos países utilizan otras unidades, como las que conforman el Sistema de M e d i c i ó n Inglés. Las equivalencias entre las unidades del Sistema de M e d i c i ó n Internacional y el Sistema de M e d i c i ó n Inglés son: 1 yarda (yd) = 91,44 cm 1 milla (mile) = 1,61 km 1 milla = 1 760 yardas (mile = 1 760 yd) 1 pulgada (in) = 2,54 cm 1 pie (ft) = 30,48 cm Otras equivalencias son: 1 pie = 12 pulgadas (ft = 1 2 in) 1 yarda = 3 pies (yd = 3ft) TALL6R Sistema de medición inglés O o ° 1, La tabla muestra las principales montañas de América con su respectiva altitud en me- tros. C o m p l é t a l a realizando las respectivas conversiones. Montaña Monte Aconcagua Ojos del Salado Monte Pissis Nevado de Huascarán Volcán Llullaillaco Cerro Mercedario Cerro Yerupajá Altitud (metros) Países Altitud Altitud (centímetros) (kilómetros) Pulgadas Pies Yardas Millas 6 959 Argentina 6 893 6 795 6 746 6 739 Chile Argentina Argentina Perú Chile Argentina 6 720 Argentina 6 617 Perú 60
- 52. Nevado e c p . 6 542 Sajama Bolivia V 0 , C á n 6 440 Antofalla Argentina y*? 6 438 llimani Bolivia y 2, En el municipio de Guatapé (Antioquia) se encuentra un lugar turístico llamado "Piedra del Peñol", cuya altura máxima es de 200 m, su perímetro es de 770 m y la altura sobre el nivel del mar es de 2 137 m. ¿Cuántas pulgadas de diferencia hay entre la a tura máxima y el perímetro? ¿A cuántas millas se encuentra la "Piedra del Pe- ñol" sobre el nivel del mar? C. ¿A cuántos pies de perímetro tiene la "Piedra del Peñol"? d . ¿cuántas yardas equivale la altura máxima de la Piedra? y 3. Un atractivo natural llamado "Las piedras del Tunjo" se encuentra ubicado en el muni- cipio de Facatativá (Cundinamarca). Consiste en un conjunto de rocas de arenisca de más de 1 5 m de altura que forman grutas o socavones de 50 o más metros de profun- didad. Este atractivo se ubica a 2 585 m de altitud. a . ¿Cuántas yardas mínimas de altura tienen las ro- c a s dfi a r e n i s c o ? b. ¿Cuántas millas de altitud tiene "Las piedras del Ti mjr>"2 c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ? d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones? c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ? d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones? y 4, En la ciudad de San Gil, Santander, se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" a 98 km al sur de Bucaramanga; el parque está en una isla formada por el río Fonce y la quebrada Curití. a, ¿A cuántas millas se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" HÉ* CI ir n p n i i r n r n n n n n n n c J : : U t i l o U I U C U U L U I U l 1 I U l í y U V ; . b. ¿A cuántas pulgadas?, ¿a cuántos pies? 61
- 53. y 5 . A 50 km de Bogotá se encuentra una de las maravillas del mundo, la "Catedral de Sal" de Zipaquirá, en la que se encuentra una cúpula desde donde se observa a 145 metros de distancia una cruz mayor de 1 6 metros de altura. b. c. ¿A cuántas pulgadas de distancia se encuentra la "Cate- dral de Sal" de la ciudad de Bogotá? ¿A cuántos pies de distancia se observa una cruz mayor de 1 ó metros de altura? ¿Cuántas yardas como mínimo tiene la cruz que se ob- serva desde la cúpula? y 6. En el departamento de Cundinamarca, a 30 km al suroeste de Bogotá, se encuentra una cascada natural que recibe el nombre del "Salto de'Tequendama"; este salto cae desde una altura de 2 467 m sobre el nivel del mar ya 1 57 m forma la cascada sobre un abismo rocoso. ¿A cuántas millas del suroeste de Bogotá se encuentra el "Salto de Tequendama"? ¿A cuántos pies de altura cae el salto? ¿A cuántas pulgadas se forma la cascada sobre el abismo rocoso? y 7 . En Bogotá se encuentra un cerro en el que descansa una imagen de Cristo que represen- ta una de las etapas del vía crucis, este cerro recibe el nombre de "Monserrate" y tiene una altitud de 3 210 m sobre el nivel del mar. Desde allí es posible observar El Parque de los Nevados, que está ubicado a más de 300 km de este lugar. a. ¿Cuántas yardas de altitud tiene el cerro de "Monserrate"? b. ¿A cuántas millas de distancia se encuentra El Parque de los Nevados de "Monserrate"? y 8. A 1 1 0 km de Bogotá ya 14 km de Tunja encontramos el "Puente de Boyacá", que tiene una altura de 2 820 m sobre el nivel del mar; en este lugar se realizó una de las batallas de la campaña libertadora de Colombia. a. ¿A cuántas millas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la ciudad de Bogotá? b. ¿Cuántos pies de altura tiene el "Puente de Boyacá"? c. ¿A cuántas pulgadas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la ciudad de Tunja? • M B a ^ ^ e a ^ - .uriHM» - «k. . . xm&m Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer relaciones y diferencias entre las unidades de medición del Sistema Internacional y el Sistema Inglés en la solución de situaciones problema.
- 54. >«• Pensamiento aleatorio Recolección de datosl población, muestra y variables estadísticas Para llegar a una conclusión acerca de un grupo o situación, es necesario realizar un estudio estadístico a partir de la recolección, análisis e interpretación de los datos o variables. Población: es un conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se van a obtener los datos para ser analizados. C u a n d o la población es muy grande, se toma un sub- conjunto de esta llamado muestra. Por ejemplo, si la población son los celulares que se encuentran en C o l o m b i a , la mues- tra son los celulares de una ciudad de C o l o m b i a . Variable: es una característica q u e , c o m o su nombre lo indica, cambia de una situa- ción o persona a otra. Estas características algunas veces son magnitudes, es decir, son atributos o cualidades que pueden ser medidos, en este caso se denominan variables cuantitativas; por ejemplo, la edad, el peso. Contrario a las cuantitativas están las variables cualitativas, que no aparecen en nú- meros y expresan una cualidad o gusto; por ejemplo, el color de los ojos, profesión, sexo, programa de televisión favorito, etc. TALL6R Recolección de datos O o ° 1, Completa el siguiente crucigrama, a . Subconjunto de una población. tí, Cualidad de los ojos que corresponde a una variable cualitativa. Nombre que reciben las variables que no se pueden medir. Conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se obtienen los datos. Nombre que reciben las variables que se pueden medir. Cualidad de los pantalones que corresponde a una variable cuantitativa. Nombre que recibe la característica de una situación o persona. di If 9t 63
- 55. I» 2 Teniendo en cuenta las siguientes poblaciones, escribe una muestra para cada una de ellas, a. Género musical preferido por los estudiantes de tu colegio. b, Enfermedades que más se presentan a nivel mundial. c. Cantidad de niños menores de 1 2 años que acceden a grado sexto en Colombia. d. Cantidad de adolescentes que en tu departamento ingresan a la universidad. Preferencia de las mujeres de Cartagena por una celebración. Escribe si es necesario tomar una muestra de las siguientes poblaciones. a . Cantidad de niños de tu barrio que tienen Xbox b. Cantidad de empresas de celulares en Colombia c. Color preferido por los niños de un jardín infantil el Equipo de fútbol que prefieren los hombres colombianos e. Cantidad de vehículos particulares en un barrio del lugar donde vives. f. Cantidad de familias de Medellín que tienen computador en su c a s a - Escribe falso o verdadero, según corresponda, a . Una muestra es igual a su población b. La población es mayor que la muestra C. Todos los conjuntos requieren de una muestra — eí. La muestra es un subconjunto de una población, e. La población es un subconjunto de la muestra Subraya las variables cualitativas en la siguiente lista: Edad, peso, sabor de la gaseosa, color de los ojos, número de hermanos, talla, marca de celular, consumo de agua en litros, sabor del postre. S 6. En tu cuaderno realiza la siguiente encuesta a diez personas que correspondan a una muestra de una población que elijas, empleando variables cualitativas y cuantitativas. Nombre de la persona Edad ¿Qué postre prefiere? c. Helado Gelatina Dulce de fruta Otro No le gustan los postres
- 56. a . ¿Qué población escogiste? b. ¿Cuál es la variable cualitativa en la encuesta y cuál la cuantitativa? c. Según la encuesta realizada y al comparar los datos con tus compañeros, ¿las per- sonas de qué edad prefieren helado, gelatina y dulce de fruta? d . ¿Influye la edad en el gusto de los postres? e. En todas las poblaciones encuestadas en tu salón, ¿se obtuvieron las mismas res- puestas? y 7. La siguiente información corresponde al consumo de teléfono de la familia Romero. Contesta las preguntas de acuerdo con la gráfica. 350 O 300 | 250 ¿o 200 O 1 5 0 <-> 100 50 0 133 A CONSUMO DE TELEFONO 2 9 4 •O 259 264 276 L i l i MESES 4 O voz | INTERNET a . ¿Qué tipo de variables corresponden a voz e internet?, b. ¿El mayor consumo durante los últimos seis meses corresponde a voz o internet? Justifica tu respuesta c. ¿En cuál mes el menor consumo semestral supera al mayor consumo? d . ¿En cuál mes se presenta un consumo mayor a 290? e. ¿Cuál es la diferencia entre el menor mes de consumo de voz y el mes de mayo? f. Elabora una tabla que muestre el consumo total de voz e internet. Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando recolección de datos relacionados con el entorno.
- 57. Matemática Internet sano El mundo de hoy nos ha llevado a estar más cerca unos de otros y tener información inmediata de lo que deseamos por medio de las nuevas tecnologías. En internet tenemos muchas herramientas como: el correo electró- nico, el messenger, facebook para hablar, compartir videos, tareas y documentos con nuestros amigos y amigas. Internet es como una ciudad en la que puedes transitar por las calles, conocer monumen- tos y ¡ugar en un parque con tus amigos. Pero, así como hay peligros en la calle, gente que te inspira desconfianza, lugares sospechosos, t a m b i é n en internet hay grandes peli- gros que debes saber identificar. Debes saber que es muy fácil publicar una página en internet, por eso mismo, hay muchas páginas creadas por delincuentes, cuyo contenido atenta contra la dignidad infantil y ju- venil. Esas páginas son ¡legales, porque su contenido es d a ñ i n o ; por eso debemos estar atentos, y si encuentras una página de estas, lo único que debes hacer es denunciarla en internet sano. ¿Cómo se denuncia? Es muy fácil, debes copiar la dirección o URL de la página sospechosa y entrar a www.internetsano.gov.co, o llamara la línea gratuita 018000 912667. Estas denuncias llegan al DAS o a la Policía Nacional, que luego envían al Ministerio de Comunicaciones el listado de direcciones de páginas ilegales. De esta forma, el Ministerio exige el bloqueo de estas páginas en Colombia para que no se puedan ver. (fuente: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/estudiantes/1 599/article-73581 .html) Veamos algunas recomendaciones que nos da el Estado colombiano a través de su pro- yecto Internet sano, para viajar seguros en el ciberespacio. Estos consejos son para protegerte en el ciberespacio, pero uno que nunca debes olvidar es dialogar con tus padres sobre las páginas que visitas, las personas con las que entras en contacto y, sobre todo, cuando te sientas amenazado u ofendido por alguien a través de internet. Nunca aceptes citas a ciegas o entables amis- tades con gente que has conocido por internet. Nunca aceptes regalos en línea, podrían estar cargados de virus o ma- terial indeseable. Competencias ciudadanas ( onvivencia v paz * Comprendo los riesgos y el cuidado que debo tener al manejar internet y las nuevas tecnologías de c o m u n i c a c i ó n .
- 58. Matemática ciudadana Actividades 1, Reúnete con tres compañeros del curso: o. Realicen una cartelera en la que expongan otras recomendaciones para ma- nejar de manera segura la red de internet. b, ¿Por qué es importante saber algunas normas para navegar de manera segura en internet? 2, Comparte en clase la cartelera y comenta las respuestas dadas a la pregunta anterior. 3, Pregúntale a tus padres, ¿por qué es importante saber navegar de manera segura en internet? Anota estas respuestas y compárala con las de tus compañeros. ¿Qué elementos nuevos encontraste? 4, Datos estadísticos sobre internet. (jPoblación mundial: I 6 4 9 0 697 060 Cantidad de usuarios en 1994: 3 000 000 Cantidad de usuarios en el 2000: 330 000 000 Cantidad de usuarios en el 2002: 560 000 000 Cantidad de usuarios en el 2006: 1 038 057 389 El buscador AlltheWeb.com tenía en el 2002 más de doscientos mil millones de páginas registradas. Unos 69 millones de personas visitan semanalmente sitios porno- gráficos de la red, la tercera parte de ellos se encuentran en Esta- dos Unidos y Canadá. De acuerdo con un estudio, uno de cada cinco niños que utilizan internet han recibido proposiciones sexuales. El 30% de los usuarios de internet en Colombia están entre los 12 y los 19 años. Con base en los anteriores datos, responde: o. Escribe en el sistema de numeración egipcio y romano, el número de usuarios de internet en 1994 y en 2006. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de usuarios de internet entre 1 994 y 2006? b. ¿Cuáles de los anteriores datos tienen un 3 en la posición de decenas de mi- llón? c. Escribe en cifras el número de páginas registradas que tenía el buscador AlltheWeb.com en el 2002. d . ¿Cuántas personas en Estados Unidos y Canadá visitan semanalmente sitios pornográficos?
- 59. Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la cual se puede realizar cualquier tipo de cál- culo, conversiones, gráficas, conteos, etc. Es importante tener en cuenta que la hoja de cálculo cuenta con columnas numeradas con letras mayúsculas y las filas con núme- ros; observa que en el cuadro de nombres se encuentra la celda que está selecciona- da, en la gráfica corresponde a B3. O Microsoft Excel - Librol : ¿ ] firthivo Bidón £er Insertar Eormato <•« A •B C 1 2 3 l I; 4 5 6 7 , , . „ 8 Vamos a escri- bir en la celda Al el primer número forma- do por dos ci- fras iguales, el 11 y en A2 el segundo, 22. C Microsoft Excel -Librol ^MP lrtswt<v : _J w A _i •i -* « 1 : m — 3f ái C? A . B [ _ X 3 11 22 K X 3 11 22 K 5 E Microsoft Excel Libn i VJ ftrchwo £duán *• IA! A B 1 11 2 22 3 Para continuar con los números hasta el 99, se seleccionan las celdas Al y A2 y se ubica el cursor sobre el cuadrado negro que se encuentra en la parte inferior dere- cha de la selección. Con el cursor en esta ubicación, se des- plaza manteniendo el click sostenido hasta completar el 99, al soltar el click, los nú- meros ya se habrán copiado. C Microsoft Ixccl 1 inrol E3 Microsoft íxcel Librol i 2] Sr**« t * w i s«r i r » I J • J > J J < ~ : l ^ L J i J * |- * ÉJ A1 1 * 11 Al A 11 A ' B _ L A B 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 • • 44 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 aJ 10 B 11 aJ 11 i f l-1 12 Vamos a calcular el cuádruple de los ante- riores números. En la celda Bl escribimos la siguiente fórmula: =A1 *4 y oprimimos enter, automáticamente nos aparecerá el cuádruple del valor digitado en A l , es de- cir, 44. Si se quiere, en lugar de digitar el nombre de las celdas, se da click en ellas. Observa que en la barra de fórmulas se muestra la fórmula dada. fÜ? Microsoft Excel - l i b r o l : á j frchrVO £dkson insertar £ i A 2Mi TA- "*Á 1 i A B c 1 111=A1*4 2 22 3 33 4 44 5 55 6 86 7 77 8 88 9 99 10 II 12 Excel Librol £cki6o i » - Insertar formato A =A1*4 1 111 44Í 2 22 33 4 44 5 55 6 66 * 8 88 9 99 10 h i 6 6
- 60. Para copiar la fórmula ubicamos el cursor en el recuadro y con click sostenido la desplaza- mos hasta la celda B9, se observará el cuádru- ple de los números co- piados anteriormente. Para calcular la suma de los últimos re- sultados, ubicamos el cursor en la celda llamado en Excel 1 11 44 2 22 96 3 35 132 4 44 176 5 55 220 6 $6 2S4 7 77 306 e N 352 9 99 396 10 Bl 0 y oprimimos autosuma; así obtendremos la suma de las celdas Bl a la B9; oprimimos enter y se nos mostrará el resultado. B Microsoft Excel - Librol £ j archivo EcWon ¡¿er Insertar fiomwto Herramientas SUMA fi. =SUMA(B1:D16B9) A B C 0 1 I T 44; 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 ¡ 7 77 308 8 88 352 • 9 99 396 1D |=suMA¡gflgJHS3! 11 | SUMA(númerol; [número2]¡ ,..) | 12 13 ! Microsoft Excel - Librol archivo £o5ctón 5¡er Insertar Eormato B10 fit =SUMA(B1:B9) A B c 1 11 44 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 7 77 308 8 88 352 9 99 396 .10 I 1980 11 IÍ2l I 1 De esta forma se procede a realizar cualqui- er operación con ayuda de la hoja de cál- culo de Excel. Ahora, para convertir este resultado en número romano, nos ubicamos en la cel- da en la cual queremos ver la conversión y digitamos la siguiente fórmula: =NUMERO, ROMANO(B10;0) y oprimimos enter; esto quiere decir, que el valor encontrado en la celda Bl 0, en nuestro caso, la suma realiza- da, lo convertirá en número romano; el cero indica el estilo clásico para Excel. Es necesa- rio conservar la escritura en mayúscula. [ A .1 B 1 1 11 44 22 88 X 33 132 3 ML_ 176 55 220 6 SE 264 7 77 308 e 86 352 11 99 396 en 1960 mra MCMLWX l _ l Al oprimir enter, se mostrará el número romano. Ahora, realiza el procedimiento anterior para los dígitos. No es necesario realizar todo de nuevo, únicamente digitar en la celda Al el número 1 y enter, en la celda A2 el 2 y arrastrar la serie como se realizó inicial- mente, observa cómo cambian automática- mente los resultados y la conversión. ET Microsoft Excel librol Ü t* IPMrtw • J ^ A 4 J J X *' *. :- - » JÉ A.' * * 22 í A l B 1 1 •2 el • 3 8' 132 4 44 176 5 66 220 6 66 264 7 77 308 e 69 362 9 99 396 10 1940 ' i 12 13 ' i 12 13 F Microsoft fxcel Librol S* tmut 1 : 1 * A ; . .j ~ t* ... i - . " n 1 A3 * : A 1 B 1 i 1 4 2 1 11 •3 55' 132 X ! 44 176 66 220 fi 77 264 306 J 66 363 J 9) 396 !! 1660 !! M0CCCIX jfi [ 1
- 61. Prueba de unidad Contesta las preguntas 1 a la 4 con base en la siguiente información. En la visita al Museo del Siglo XIX-XX, el 4 de mayo del 2009, la familia Marín disfruta del espectáculo central y del re- corrido guiado que les muestra el au- diocasete compacto creado por Philips en 1963, el telégrafo desarrollado en diciembre de 1836 y las tarjetas perfo- radas inventadas por el estadístico esta- dounidense Hermán Hollerith en 1880, entre otros inventos. Desde el desarrollo del telégrafo has- ta la visita de la familia Marín han pasado: Más de 1 70 años. Más de 1 836 meses y menos de 3 846 meses. Exactamente 1 73 años. D, 1 833 meses. 2. La bisabuela de la familia Marín en el 2009 tendría el triple de años que el audiocasete compacto creado por Philips. La bisabuela nació en el año: A. 1963 C. 1871 B. 1919 D. 1900 3. La diferencia de años entre el telé- grafo y las tarjetas perforadas es: 44 años B. 83 años C. 171 años D. 100 años 4. El invento más reciente de los men- cionados en la lectura, es: El telégrafo Las tarjetas perforadas C. El audiocasete El audiocasete y las tarjetas per- foradas En el siguiente plano se observa la ubicación del Museo del Siglo XIX-XX: 5. En el plano se encuentran varios seg- mentos paralelos, dos de estos segmen- tos son: AB1| AD BCHE HG || EF D. HG || GF En el plano los ángulos se pueden cla- sificar en agudos, rectos y obtusos. Uno de los ángulos obtusos es: <HEF <FGH <ADC D. <EFG
- 62. de unidad 7, En el plano dos segmentos intersecantes pueden ser: A, HE y HG C. DC y HG ñ AB y DC D, BC y AD S, En el plano del museo la medida del seg- mento AB es 43 cm. Teniendo en cuenta que 1 cm equivale a 1 m, el segmento AB mide: TOO A . 4 300 m C. 4,3 m B. 0,43 m 43 m 9. La altura de una persona en promedio es 1,60 m, esta medida en kilómetros equi- vale a: A, 1,60 km 16,0 km B. 0,00160 km D. 1 600 km Contesta las preguntas 10 a 12 con base en la siguiente gráfica VENTA DE CELULARES EN EL CENTRO COMERCIAL 10. La tabla de datos que mejor represen- ta la gráfica es: 3 Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 65 80 60 55 180 Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 60 80 60 50 180 Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 65 85 60 55 182 Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 65 75 60 45 172 50 100 150 Venta de celulares 200 B. I* D 1 1 , Las variables empleadas en la gráfica son de tipo: Cualitativas B. Contables C. Tanto cuantitativas como contable P, Cuantitativas De la gráfica se puede afirmar que: Se vendió igual cantidad de celu- lares en agosto y octubre. B. En agosto se vendieron menos de la mitad de celulares que en di- ciembre. Se vendieron más celulares en oc- tubre que en agosto. D. En diciembre se vendió el doble de celulares que en septiembre. A B 6 8 10 n 12 C
- 63. Teoría de números Potenciación, radicación y logaritmación • Ecuaciones • Polígonos • Frecuencias y diagramas estadísticos E l barrio Colombia se encuentra divida en 32 departamentos, algunas ciudades se organizan por loca lidades y otras por comunas. Bogotá con sus 20 localidades Cali con sus 22 localidades Medellín y sus 16 comunas Popular Manrique Gafad En cada localidad se encuentra un centro comercial, una avenida principal y en la mayoría de los barrios colombianos, sin importar la ciudad, se halla cerca una iglesia, un parque con su zona infantil y área deportiva. Las edificaciones en cada barrio varían según la época de construcción: las antiguas, de los años 50 aproximadamente, constaban de una o dos plantas o pisos y se empezaba a construir edificaciones de más de dos pisos. Hoy en día se encuentran construcciones similares, sin em- bargo, predominan los edificios de mínimo cuatro pisos. Para la organización y la ubicación de los barrios y de cada una de las edificaciones se emplea el sistema de direcciones, formado por calles, carreras, diagonales, transversales y avenidas. Este sistema facilita el desplazamiento por las ciudades y la entrega de correspondencia. Exploro los conceptos ¿Qué diferencia hay entre comuna y localidad? ? Menciona la quinta parte de las localidades de Bogotá. Y 3 Menciona la cuarta parte de las comunas de Medellín. %,)) Consulta cuántas localidades tiene la capital de tu departa- mento. y El centro comercial de Girardot tiene cuatro pisos y en cada uno de ellos, en promedio, hay cuatro locales de comidas. ¿Cuántos locales de comidas se encuentran en el centro comercial? ? ¿Qué números son la suma de dos números cuadrados? 5, 10, 13, 17, 20, 29, 40, 53, etc. Y 7 ¿Qué números son la suma de tres números cúbicos? 36, 73, 134, 225, etc. Rincón de ta historia Diofanto (Siglo III d.C.) Este matemático es cono- cido por ser el "padre del álgebra" y por crear una de las ramas de las mate- máticas que estudia las propiedades y relaciones de los números, denomina- da Teoría de los números.
- 64. Pensamiento numérico - variacional Una hacienda cafetera produce en promedio semanal la canti- dad de café registrada en la tabla. Días de la semana Lunes Lunes y martes Lunes, martes, miércoles Lunes, martes, miércoles, jueves Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes Cantidad de café 55 kg 110 kg 165 kg 230 kg 285 kg La cantidad de café que se produce en la hacienda corresponde a los múltiplos de 55 kg. ' l a t í c a Un n ú m e r o natural "a" es múltiplo de otro n ú m e r o natural " b " , si existe otro n ú m e r o natural c que al multiplicarlo por b, se obtiene como producto a. Por ejemplo, si a = 28, b = 14, luego 1 4 • • = 28, el n ú m e r o desconocido es 2, por tanto, 28 es múltiplo de 1 4. Un n ú m e r o a es divisor o factor pro- pio de otro n ú m e r o b, si a divide exac- tamente a b. Por ejemplo, ó es divisor de 24 porque ó divide exactamente a 24. Ten en cuen+a que: • El cero es múltiplo de cualquier número. • Todo número es múl+iplo y divisor de sí mismo. • Todo número es múltiplo del número uno. • I es divisor de cual" quier número. O TALLER Múltiplos y divisores O o ° S~ 1 En la cancha de baloncesto del barrio todas las tardes juega balon- cesto el equipo de Camilo contra el equipo de Federico. El equipo de Camilo anota únicamente canastas de dos puntos, mientras que el equipo de Federico solo encesta canastas de tres puntos. a, ¿Cuántas canastas necesita anotar cada equipo para obtener un empate de 24 puntos? Si la diferencia en puntos fue uno a favor del equipo de Federico, ¿cuántas canas- tas necesita anotar cada equipo? C, Si el equipo de Federico obtuvo cuatro puntos m á s que el de Camilo, ¿cuántas canastas anotó cada equipo? d . ¿A cuáles números corresponden los múltiplos de los puntos anotados por los equipos de Federico y Camilo?
- 65. La golosa es el juego de moda del ba- rrio Diamante de la ciudad de Girar- dot, Cundinamarca. Una tarde llega- ron a participar del juego 48 chicos, pero para poder jugar se tenían que formar grupos de igual cantidad de participantes. ¿Cuántas posibilidades hay para organizarse? o. En cada posibilidad, ¿cuántos ni- ños habría en cada grupo? ¿La cantidad de participantes en cada equipo corresponde a los múltiplos o a los divisores de 48? Justifica la respuesta. Completa los espacios vacíos: M, = {3,D,D,12/ 15,18,21/ D...} MD = {D,D,36,48A72,...} ^ = { • , 1 0 4 , 1 56,208A...} d. Ma — {•,•,•, 72,•, 108,...} DD = { l , 2 , 3 A 5 , 6 A l 2,15,D,n,n} f« D 3 4 = { 1 , D A 3 4 } g. f ^ = { l , 2 , D A K a } Completa la tabla. Número Primeros diez múltiplos diferentes de cero Múltiplos mayores de 100 y menores de 160 • • • • • • • Divisores 25 32 37 46 Encuentra los dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9) que hacen verdadera cada proposición: Múltiplo par de 3 b. Divisor de 81 Múltiplo de 2 y 8 d. Divisor de 137 Múltiplo f. Impar de 1 Responde en tu cuaderno. a. Con los dígitos 1, ó, 8 y 9, ¿qué números de tres cifras diferentes y múltiplos de 1 3 se pueden for- mar? b. Con los dígitos 1, 4, 5 y 8, ¿qué números diferentes de dos cifras y divisores de tres se pueden for- mar? Escribe verdadero (V) o falso (F), se- gún corresponda. a. Los múltiplos de un número son infinitos. ( ) b. El uno es divisor de algunos nú- meros. ( ) c. El 7 es divisor de 1 7 y 27. ( )
- 66. ci, 1 8 es múltiplo de 2 y del 9. ( ) 111 es múltiplo de 3. ( ) Resuelve en el cuaderno. Los conjuntos residenciales de edificios son viviendas comunes en las ciuda- des. El conjunto Platini comprende 15 bloques de apartamentos y en cada bloque hay 20 apartamentos. a, ¿Cuántos apartamentos hay en dos bloques, tres bloques, cua- tro bloques, cinco bloques... 15 bloques de apartamentos? b. Si en promedio en cada apar- tamento habitan tres personas, ¿cuántas personas habitan en todo el conjunto? C, Para el día de los niños se quiere organizar una fiesta en el conjun- to para los 1 82 niños residentes, por ello se establece una cuota de $ 6 500 por apartamento. ¿ C u á n t o dinero se recauda en tres bloques de apartamentos? d. El día de la fiesta asisten los 1 82 niños y el animador dice: orga- nicen grupos de 8 y quedan sin grupo 2 niños. ¿Todos los gru- pos están formados por 8 niños? Justifica tu respuesta. ^ 9. En B o g o t á , los domingos y festivos se realizan ciclovías. En uno de los puntos de la ciclovía se reúnen los domingos 205 personas para prac- ticar deporte. El instructor organiza a los partici- pantes en grupos con m á s de un integrante, de tal manera que todos estén conformados por igual n ú m e r o de personas. ¿Cuántas posibilidades hay para organizar los grupos y con qué cantidad de participantes? S Empleando los dígitos del 0 al 5: a. Escribe todos los números de dos cifras múltiplos de 3 que se pue- den formar. b. Escribe todos los números de dos cifras múltiplos de 5 que se pue- den formar. C. Escribe todos los números de dos cifras múltiplos de 2 que se pue- den formar. d. Escribe todos los números de dos cifras múltiplos de ó que se pue- den formar. S La edad de Felipe es el segundo múltiplo c o m ú n de 2 y 7. ¿Cuántos años tiene Felipe? S 2* La edad de María es el primer múlti- plo c o m ú n entre 3 y 7. ¿Cuál será la edad de María dentro de 5 años? / Identificar los múltiplos y divisores de un número para aplicarlos en la solución de situaciones problema.
- 67. » Pensamiento numérico - variacional i' Criterios de divisibilidad mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Clave matemática Existen regularidades entre los números que nos permiten determinar cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de efectuar la división. Estas regulari- dades se conocen como los criterios de divisibilidad, estos son: • Divisibilidad entre dos: un número es divisible entre dos, si su última cifra es cero o par. • Divisibilidad entre tres:, un número es divisible entre tres, si la suma de sus cifras (suma digital) es múltiplo de tres. Por ejemplo, 2 730: 2 + 7 + 3 + 0 = 1 2 ; como doce es múltiplo de tres, 2 730 es divisible entre tres. • Divisibilidad entre cuatro: un número es divisible entre cuatro, si sus dos últi- mas cifras son cero o múltiplos de cuatro. 1 00, 32 124, 520 y 948 son algunos ejemplos de números divisibles entre cuatro. • Divisibilidad entre cinco: un número es divisible entre cinco, si su última cifra es cero o cinco. • Divisibilidad entre seis: un número es divisible entre seis, si es divisible entre dos y tres simultáneamente. • Divisibilidad entre nueve: un número es divisible entre nueve, si la suma digital es múltiplo de nueve. • Divisibilidad entre diez: un número es divisible entre diez, si su última cifra es cero. En 1900, Bogotá tenía una superficie de 2 6 0 hectáreas. Vamos a averiguar cómo se puede repartir el terreno sin que sobren hectáreas Como 2 6 0 es divisible entre dos, cuatro, cinco y diez, se puede afirmar que es posible repartir 2 6 0 en dos, cuatro, cinco y diez terrenos sin que sobre algún espacio Q TALLER Criterios de divisibilidad y números primos < Completa la tabla, escribiendo la última cifra del número dado para que cumpla la condición. Número HHHHflHHHHflflflHHH Divisible entre Número Dos Cuatro Cinco Seis Nueve Diez 96_ 1 03_ 10 34 78 21 103 26_ 76
- 68. Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tu respuesta. a . Todo número par es divisible entre dos Todo número impar es divisible en- tre tres C. Algunos números pares son divisi- bles entre cinco : Algunos números divisibles en- tre cinco son divisibles entre diez. , Todos los números divisibles entre tres son divisibles entre nueve f. Todos los números divisibles entre nueve son divisibles entre tres !. Todos los números divisibles entre tres son divisibles entre seis Todos los números divisibles entre seis son divisibles entre tres Completa el siguiente crucinúmero. d_ h c e f ¡1 i b ii a Número de tres cifras iguales que es divisible entre nueve y cuya suma digital es 27. b . Número divisible entre seis, mayor que 1 1 5 y menor que 1 25. C. Número divisible entre nueve con cero decenas. d. Número divisible entre dos, tres, cuatro, cinco, seis, nueve y diez, mayor que 7 1 95 y menor que 7 205. e . Número de cifras diferentes divi- sible entre cinco, cuya suma di- gital es 1 8. Número de tres cifras divisible entre tres y cinco, cuya suma di- gital es tres y con dos cifras igua- les. g. Número divisible entre nueve mayor que 1 040 y menor que 1 050. h. Número de tres cifras iguales que es divisible entre seis, cuya suma digital es 1 8. Múltiplo de siete que es divisible entre dos y tiene una decena. ¡, Número de tres cifras con suma digital igual a doce, divisible en- tre seis, con cero decenas y las centenas corresponden al doble de las unidades. Escribe los divisores de los años en que ocurrieron diferentes aconteci- mientos en Bogotá. Ten en cuenta únicamente los criterios de divisibili- dad. a. El 6 de agosto de 1 538, Gonza- lo Jiménez de Quesada fundó la ciudad de Bogotá b. En 1 830 se disolvió La Gran Co- lombia C. El acueducto de San Victorino fue inaugurado en 1803 d. En 1938 se realizó la construc- ción del campus de la Universidad Nacional :
- 69. y En 1998 se inicia la ejecución del proyecto de construcción y dota- ción de centros educativos en zo- nas marginales La información representa el número de establecimientos educativos de Bo- gotá del año 2001 al 2004. Establecimientos educativos de Bogotá 2924 2549 ¿uuu B Oficiales | Privados 2001 2002 2003 2004 Año Escribe los números entre los cuales es divisible cada uno de los años de la información de los establecimientos educativos. Ten en cuenta los criterios anteriores. 2001- b. 2002. 2003. 2004_ Y" ' De acuerdo con la información ante- rior, contesta las preguntas. a. En el 2 0 0 1 , ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un nú- mero divisible entre seis? b . En el año 2002, ¿qué colegios ofi- ciales o privados corresponden a un número divisible entre cinco? En el 2003, ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un nú- mero divisible entre dos? ci. En el 2004, ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un nú- mero divisible entre cuatro? El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales for- mado por todos los números mayores que I que son divi- sibles, únicamente entre I y el mismo número, £ número diferente de I no es primo se denomina compuesto. Escribe cada número como la suma de dos números primos y como la suma de dos números compuestos. a. 32 = • + • 32 = • + • 28 = • + • 28 = • + • 40 - • + • 40 = • + • c. d . 124 = • + • 124 = • + • Crucinúmero u , Vertical: número primo mayor de 62 y menor de 70. a c b d b. Horizontal: número compuesto mayor de 100 y menor de 130, divisor de 250. C. Vertical: número primo impar divisor de 152. Horizontal: número primo par. Vertical: número compuesto mayor que 560 y menor que 630, divisor de 1 254. Descriptor de desempeño: / Identificar los criterios de divisibilidad y aplicarlos en la solución de algunas situaciones.
- 70. Desc Hay dos formas para descomponer un número en factores primos; por ejemplo, descom- poner el número 1 ó en factores primos utilizando dos métodos. Diagrama de árbol 16 A8 x 2 A A 16 = 2 x 2 x 2 x 2 Algoritmo de descomposición 1 6 es divisible entre el factor primo dos. 16 8 4 2 2 = 8 2 = 4 2 = 2 2 = 1 4 veces 16 = 2 x 2 x 2 x 2 -i 4 veces Clave r-í • . Todo número compuesto es igual al producto de dos o más factores primos. Esta afirmación se denomina " T e o r e m a f u n d a m e n t a l d e la aritmética". Existen dos métodos para descomponer un número en factores primos: el diagrama de árbol y el algoritmo de descomposición; para una adecuada descomposición es importante aplicar correctamente los criterios de divisibilidad y la identificación de números primos. O TALLER Descomposición de números en factores primos O O ° Completa las descomposiciones en factores primos por medio del diagrama de árbol. es, 4 0 4 0 A4 x 2 x x x 2 b , 3 6 0 3 6 0 A / / . 3 . 2 . A I I I . 2 . . . 5 A I I I I 79
- 71. 150 150 400 400 15 A l. 3 . . 2 I / Y A J / (,,;•, Completa las descomposiciones en factores primos usando el algoritmo de descomposición. 840 840 840 = c . 1 000 000 500 2 125 25 • 5 5 000 1500 500 3 5 1 500 _ 2 3 4410 4 410 — 4 410 = 3 3 ? 3, Escribe en el paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta los números y su res- pectiva descomposición en factores primos. a . 5 2 • 5 2 132 055 c. 2 2 • 32 • 52 • 72 • 11 d. 622 545 e. 24 • 3 2 • 5 3 • 7 • 11 i 1 830 125 ( )485 100 ( ) 1 386 000 ( ) 5 • 74 • 11 ( ) 5 3 - U 4 ( ) 3 • 5 • 73 • 112 ( ) 1 225
- 72. v Transcribe la situación con el método de descomposición en factores primos y encuentra el número respectivo. Un barrio tiene cinco manzanas, cada una de ellas tiene cinco casas y en cada casa hay tres habitaciones. b, En una ciudad hay cinco barrios, en cada uno de ellos hay siete casas y en cada casa hay tres habitaciones. c En una manzana hay siete casas con siete habitaciones cada una y en cada habita- ción hay dos camas. • , ; En un conjunto residencial hay once edificios con once pisos cada uno, en cada piso hay cinco apartamentos con tres habitaciones cada uno y en cada habitación hay dos camas. i En una cuadra hay siete casas con tres pisos cada una, en cada piso hay tres habita- ciones con dos camas cada una. La tabla corresponde a la cantidad de habitantes de cinco localidades de Bogotá. Realiza los ejercicios 5 al 8, teniendo en cuenta la información. Localidad Población Antonio Nariño 110 000 Chapinero 122 491 La Candelaria 27 450 Puente Aranda 370 292 Teusaquillo 157 884 San Cristóbal 460414 * Realiza la descomposición en factores primos de la población de las siguientes localidades. a. La Candelaria t Teusaquillo Antonio Nariño Teniendo en cuenta las descomposiciones anteriores, contesta las siguientes preguntas. a. ¿A cuál localidad corresponde la descomposición con mayor cantidad de factores primos? b. ¿A cuál localidad corresponde la descomposición con menor cantidad de factores primos? c. ¿A cuál localidad corresponde la descomposición que contiene un factor con suma digital igual a siete? el ¿A cuál localidad corresponde la descomposición que contiene un factor de dos cifras iguales? Descriptor de desempeño: / Aplicar la descomposición de números en factores primos en la solución de situaciones problema.
- 73. * Pensamiento numérico - variacional Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Para calcular el m.c.m. de dos o más nú- meros se descompone cada número en sus factores primos, se expresa la descom- posición como potencias, luego se multi- plican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. El producto co- rresponde al mínimo común múltiplo de estos números. Calcular el m.c.m. (120, 80) = Para calcular el M.C.D. de dos o más nú- meros se descompone cada número en sus factores primos, se expresa la des- composición como potencias, luego se multiplican únicamente los factores comu- nes con su menor exponente. El producto corresponde al máximo común divisor de estos números. 120 2 80 2 120 2 80 2 60 2 40 2 60 2 40 2 30 2 20 2 30 2 20 2 15 3 10 2 15 3 10 2 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 120 = 2 3 • 3 - 5 80 = 2 4 • 5 120 = 2 3 • 3 - 5 80 = 24 m.c.m. (120, 80) = 24 3 • 5 = 240 M.C.D. (120, 80) = 2 3 5 = 40 Clave m atemática El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural diferente de cero, múltiplo común de estos números. El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor número común divisor de estos números. O TALLER Mínimo común múltiplo y máximo común divisor O O ° : 1. Escribe los diez primeros múltiplos de cada número y todos sus divisores en el lugar correspondiente. My = { ^ 1 6 = { c. ^ = { M5 ={ M4 5 = { f. } } } } D 7 = { D1 6 = { D2 = { D 1 5 = { D 4 5 = { } } ¿Cuáles son los múltiplos comunes entre 7 y 2? ¿Cuál es el m.c.m. entre 7 y 2? 82
- 74. g . ¿Cuál es el m. c. m. de 1 5 y 45? ¿Cuál es el M.C.D. de 2 y 16? i. ¿Cuál es el M.C.D. de 15 y 45? Realiza la descomposición en factores primos, encuentra los números faltantes en las pirámides. El número superior corresponde al m.c.m. de los dos números que se en- cuentran en la parte inferior. 12 7 9 12 4 15 5 7 12 Realiza la descomposición en factores primos y encuentra los números faltantes en las pirámides. El número superior corresponde al M.C.D. de los dos números que se encuentran en la parte inferior. 18 12 14 21 42 Completa la tabla y realiza los procedimientos en el cuaderno. a b c m.c.m. (a,b) m . c m . ( b , c ) m.c.m. (a, b, c) M.C.D. (a,b) M.C.D. (b,c) M.C.D. (a, b, c) 2 3 6 4 '5 8 7 9 3 12 13 18 18 24 36 7 35 40 „;,,,; 5. Encuentra los números desconocidos. m.c.m. ( D y 20) = . m.c.m. (1 2 y • ) = 60 36 M.C.D. ( • y 24) = 6 c M.C.D. (15 y D ) = 180
- 75. Dos números se denominan primos relativos, si el M.C.D. de los dos números es uno. ¿Cuáles de las siguientes parejas de números son primos relativos? a . 24 y 41 i 24 y 4 b. 3 y 18 f. 8 y 19 6 y 9 g. 20 y 21 d. 33 y 38 h. 31 y 43 S Resuelve en tu cuaderno. J Tatiana, Luisa y Kevin realizan una competencia de atletismo. Tatiana emplea cuatro •^o minutos en dar una vuelta, Luisa utiliza cinco minutos y Kevin tarda ocho minutos. <fi %c ' Si mantienen la misma velocidad por una hora, ¿en'cuántos minutos los tres pasan al tiempo por el sitio de partida? Los padres de Camilo le permiten salir al parque cada ó días, y los padres de Se- bastián lo dejan salir cada 5 días. Si hoy es 4 de mayo, ¿en qué fecha se encontra- f/ rán nuevamente en el parque? Al salir de la ¡ornada escolar se reúnen en el parque 40 estudiantes de un colegio y 24 de otro, para contestar una encuesta sobre los derechos de los niños. El organi- ¿ zador reparte a los estudiantes en grupos con igual cantidad de estudiantes de cada •f^' colegio. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes de cada colegio por grupo? d 8. Resuelve en el cuaderno las siguientes situaciones. La torre Colpatria tiene 41 pisos y tres ascensores. El ascensor A se detiene cada tres pisos, el ascensor 8 para en los pisos pares y el ascensor C se detiene cada cinco pi- sos. i, Si parten del sótano (piso 0), ¿en qué pisos paran los ascensores A y 8? b . ¿En qué piso se encuentran por primera vez los ascensores A y 8, partiendo del sótano? Partiendo del sótano, ¿en qué piso paran por primera vez los ascensores 8 y C? Resuelve en el cuaderno. Cada semana los proveedores de galletas surten la tienda con 15 paquetes de galletas de chocolate y 25 paquetes de galletas de vainilla. a . Sonia quiere organizar el pedido en la vitrina y ubica en filas igual cantidad de paquetes de galletas de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de galletas que se pueden ubicaren una misma fila? El pedido de galletas es entregado cada siete días y el de lecheritas cada 13 días. Si el 24 de julio entregan pedido los dos proveedores, ¿cuándo volverán a entregar pedido el mismo día? Descriptor de desempeño: • Solucionar situaciones cotidianas usando el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de datos.
- 76. • Potenciación ele* iQL^KjQSifis^i^^s na^t^ir/a^lc^s En mi barrio hay cinco man- zanas con cinco conjuntos residenciales cada uno. Cada conjunto tiene cinco edificios, en cada edificio hay cinco pisos, en cada piso hay cinco apartamentos y en cada apar- tamento viven cinco personas, ¿cuántas personas viven en mi barrio? Para responder la pregunta es necesario rea- lizar las siguientes operaciones: • Cinco manzanas con cinco conjuntos resi- denciales cada una: 5 • 5 = 25; hay 25 con- juntos residenciales en el barrio. • Cinco edificios en cada conjunto residen- cial: 25 • 5 = 1 25 ; hay 125 edificios en el barrio. • Cinco pisos en cada edificio: 1 25 • 5 = 625; hay 625 pisos en el barrio. •Cinco apartamentos en cada piso: 625 - 5 = 3 125; hay 3 125 apartamentos en el barrio. • Cinco personas en cada apartamento: 1 25 • 5 = 625; hay 1 5 625 personas en el barrio. 5.5.5.5.5.5 En resumen, se realizaron los siguientes productos: > „ < = 15 625 6 veces La anterior multiplicación puede expresarse como 5 6 = 1 5 625 La potenciación de números naturales es el producto de factores iguales; para todo a, b, n € N. a • a • a • a... • a = b; a" = b O TALLER Potenciación de números naturales O o Completa la tabla. Potencia 7' = 49 6 HHHHI •••••I 3 121
- 77. Completa la tabla, teniendo en cuenta los números cuadrados y números cúbicos. . . 4 . Base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cuadrado perfecto (segunda potencia) Cubo perfecto (tercera potencia) Calcula las operaciones y encuentra el resultado en la sopa de números. La quinta potencia de cinco. b . El cuadrado de doce. c, La sexta potencia de la mitad de dos. El cubo de tres. e. La tercera parte del cubo de seis. El doble de la tercera potencia de doce, g . El cuadrado de diez. La mitad de la cuarta potencia de cuatro. El cubo de diez. La décima potencia de uno. Treinta elevado a la uno. La cuarta potencia de diez, m . Tres veces el cubo de dos. El cubo de ocho menos el cuadrado de nueve. ti. La quinta potencia de diez, o . El cuadrado de cinco más el cubo de tres, p . El cubo de dos más el cubo de cinco. Escribe las diez primeras patencias de diez y encuentra una generalidad para hallar cual- quier potencia de diez. ] : : Un edifico tiene cinco pisos, en cada piso hay cinco ascensores y cada ascensor tiene una capacidad para cinco personas. ¿Cuál es la capacidad total de los ascensores del edificio? 0 1 3 5 7 9 0 0 2 4 6 0 1 0 8 3 0 1 3 3 5 9 9|0 0 0 0 2 | 0 4 6 8 3 1 2 5 5 7 9 7 2 0 6 2 4 0 0 6 8 0 1 B 3 5 5 5 7 9 0 1 0 0 0 0 0 0 H 4 4 2 H 0 4 H 6 0 0 8 0 0 0 3 M 3 3 0 0 0 5 0 7 9 2 0 4_ 6 3 0 8 0 H 3 0 5 7 9 0 2~ 4 Q 1 0 0 0 0 0 6 2 "8 3 1 8 2 1 0 5 7 0 9 0 4 2 4 6 8 | 0 4 3 0 0 3 5 7 9 0 2 4 6 8 1 3 0 0 0 5 7 7 2 9 0 2 4 6 8 1 0 1 6, Un comerciante empacó cierta cantidad de chocolatinas en un camión, en el camión hay siete cargas, cada carga contiene siete cajas, cada caja tiene siete bolsas de cho- colatinas y cada bolsa tiene siete chocolatinas. ¿Cuántas chocolatinas se empacaron en el camión? 7. Un centro comercial tiene 2 0 0 locales, en cada uno de ellos ingresan aproximadamente 2 0 0 personas al día. ¿Cuántas personas ingresan al centro comercial durante 2 0 0 días? 8 6 Descriptor de desempeño: / Aplicar la potenciación de números naturales en la solución de situaciones problema.
- 78. ropiedades de la potenciación Producto de potencias de igual base. Si a, m, n son números naturales an -am = a n + m 23 • 22 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 Cociente de potencias de igual base. Si a, es número natural, y n menor quem. n n 23 2 • 2 • 2 = 2 3 _ 2 = , = 22 2 - 2 Exponente cero 1 5 1 5 3-3 = 1 5 0 = 1 153 Distributiva de la potenciación respec- to a la multiplicación y a la división. Si a, b y n son números naturales. UJ b- {a-b)n =a"-bn (4^5 _ 4 4 4 4 4 _ 4 5 UJ 5 5 5 5 5 5 5 (ó-7)4 = 6 - 7 - ó - 7 . ó - 7 - ó - 7 = ó 4 - 7 4 Potencia de una potencia. Si a , n, m son números naturales. (an )m =o"'m (24 )3 — 24 • 24 • 24 — 2'2 TALLER Propiedades de la potenciació 1, Completa los espacios vacíos. Producto de potencias de igual base. 23 • 2 4 • 2 2 • 2 = 2-2-2-QOOD -2-2-2 = 2 73 .75 .72 = - 7 - 7 = 7 ° '• 1 3 3 - 1 3 - 1 3 3 = 3 • • £ ] = 13° 183 • 185 • 189 = 18° e. 2 4 2 - 2 4 8 -243 = 24 '
- 79. Cociente de potencias de igual base 145 14.14.14.14.14 . 1 6 ' 2 = = 14 •• = • 143 14.14.14 1 ó9 3 5 8 D ¡ 1 4 8 . , n —- = =oD — - = 14° 3 5 5 1 4 3 5 1 6 • 2 7 ' 1 „ —- = =• * ——r=a 5 1 2 ••• 2 7 6 Distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación y la división. 3 (24-1 7)3 = (24-17)-(OD)-(24-17) = • 0 0 0 0 0 (7 0 ) 8 = 7 8 - 3 4 ° = 0 0 0 0 1 7 0 : 2 4 a O 3 (15 O ) 4 = ( 0 7 ) - ( 1 5 0 ) - ( 1 5 0 ) - ( O D ) = 0 0 0 0 0 0 0 7 = 0 0 0 0 7 0 - 7 0 = 1 5 D O 4 o. v 2 3 y O v 2 3 y 5 f CP v 2 3 y r 9? O I 1Q-110 23 0-23 0-23 • 5 Potencia de una potencia. ( 1 5 3 ) 2 = ( D 3 ) - ( 1 5 a ) - 1 5 a ( 2 7 5 ) 3 = ( D 5 ) - ( D 5 ) - ( 2 7 D ) = 2 7 a (1264 )5 =(D4 )-(D4 )-(D4 )-(D4 )-(D4 ) = D2 0 (2Ó58 )1 2 = D D
- 80. Escribe cada número como el producto de factores primos y luego aplica las propie- dades de la potenciación para expresar el número como el producto de potencias con factores primos. 125 =(3-2-2)5 = 3 5 - 2 5 - 2 5 = 3 s - 210 o. 18 d . 5 ó 4 b . 216 e , 1205 c. 709 Situaciones problema. a . En el hospital de Perei ra se realizó un análisis sobre el crecimiento de una bacteria adquirida por los niños. Al iniciar el estudio hay 23 bacterias, a los diez minutos hay el cuadrado de bacterias del minuto anterior, a los siguientes diez minutos nuevamente el cuadrado de bacterias del anterior registro y así sucesivamente. ¿Cuántas bacterias hay a los 30 minutos de iniciado el estudio? b . La gripe se transmite por medio de una bacteria. El crecimiento de la bacteria está dado por (4- D ) 5 ; • equivale a la edad de la persona, escribe como producto de potencias la cantidad de bacterias que crecen en una persona de tu edad. C. Al tomar medicamentos se eliminan bacterias que afectan el cuerpo, la cantidad Í 2 V de bacterias eliminadas en un día está dada por — , al segundo día se eliminan el cuadrado del día anterior, así sucesivamente. Emplea las propiedades de la po- tenciación para expresar la cantidad de bacterias eliminadas a los cuatro días. S~ J~~~~ En un conjunto residencial hay 20 torres con 20 pisos cada una; en cada piso hay 20 zonas de parqueo con 20 parqueaderos cada zona. ¿Cuántos parqueadero hay en el conjunto? Expresa como producto de factores ¡guales las siguientes potencias. a. 123 = ci. 2 8 = b. 105 = . 75 = c. ó6 = 1 12 = , Expresa como potencia los siguientes productos. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 = : e. 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = f• 5 x 5 x 5 " - - 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones usando las propiedades de la potenciación de números naturales.
- 81. Pensamiento numérico - variacional Radicación de números naturales y propiedades Clave matemática La radicación de números naturales es una operación inversa a la potenciación; la ra- dicación busca la base de la potenciación, por ejemplo: Si 2 5 — 321 entonces, Indice! 32 = 2l - v - J Radicando Se lee "raíz quinta de 32 igual a dos" • yfTó = 4 porque 42 = 16; se lee "raíz cuadrada de 16 igual a cuatro", cuando se trata de raíz cuadrada se omite el índice, es decir, VTó = 4 (el 2 no se escribe). • yj]25 = 5 porque 53 = 1 2 5 ; se lee "raíz cúbica de 125 igual a cinco".. . En general, para todo o, b, n e N yfb = a si y solo si a" = b • • • • w r i m n n j Ejemplo La raíz de un producto es el producto de las . raíces de cada factor. Si a,b,n pertenecen al conjunto de los natu- rales ?Ja-b=Z¡a-l¡b V4-9=^/4-V9 = 2-3 = 6 La raíz de un cociente es el cociente de cada una de las raíces. Ja Va Vb " Vb O TALLER Rad icación de números naturales y propiedades O O ° • /,.)) 1. Calcula las siguientes raíces escribiendo la base correspondiente de la potenciación. b. = 625 = 10 000 000 c. d. 49 1 728 90
- 82. = 243 e. f. — = 4 096 2, Escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta la relación entre la potenciación y la radicación de números naturales. a. Vi 4 641 = 11 142 = 196 c. VTOO = 10 94 = 6 561 e. V8 000 = 20 f. 2 1 0 = 1 024 g. V32 768 = 8 73 = 343 )V343 = 7 ) 2 0 3 = 8 0 00 ) 8 5 = 32 768 rVl 024 = 2 )Vó 561 = 9 )1 14 = 14 641 )VÍ96 = 14 )102 = 100 Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justifica tu respuesta. V225 = V225 Vi 331 = 11 _ VToo = 50 Vó4 = VTó _ e. Vl21 + V441 = Vi21 + 441 _ f. Vi 000 - 216 = Vi 000 - V2Í6 V729-216 =V729 • V2T0 V225 - VT69 = V225 -5- 169 Calcula las siguientes raíces, encuentra una regularidad. Justifica tu respuesta. ; VToo =_ Vi 000 VToooo = d. Vi 00 000
- 83. e. Vi 000 000 = f. Vio 000 000 = g. Vi 00 000 000 = Vi 000 000 000 = i. 'V 10 000 000 000 = Si en la comuna Castilla de Medellín se desea construir un colegio para 1 6 0 0 estudian- tes, teniendo en cuenta que la cantidad de salones debe ser igual a la cantidad de estu- diantes en cada salón, ¿cuántos salones y estudiantes por salón debe tener el colegio? 6, En la ciudad de Cali se construye un parqueadero para los ó 561 vehículos de una de las manzanas de la localidad 1 7. El número de conjuntos residenciales debe ser igual al número de edificios de cada conjunto, igual al número de pisos de cada edificio e igual al número de apartamentos de cada piso. a . ¿Cuántos conjuntos residenciales y edificios por cada conjunto tiene la manzana? b. ¿Cuántos pisos y apartamentos por cada uno hay en cada edificio? A la comuna Tesorito de Manizales se envían 1 0 2 4 bombillos para mejorar la ilumina- ción de sus iglesias. El número de iglesias es igual al número de vehículos que transpor- taron los bombillos, igual al número de cajas por vehículo, igual al número de bolsas por caja e igual al número de bombillos por bolsa. es. ¿A cuántas iglesias y vehículos por iglesia se enviaron? b, ¿Cuántas cajas y bolsas por cada caja transportaba cada vehículo? c. ¿Cuántos bombillos hay en cada bolsa? Encuentra el valor de cada raíz aplicando las propiedades de la radicación y realiza una correspondencia entre la letra que acompaña al ejercicio y los resultados que aparecen en la tabla. Luego, descubre cuatro palabras hindúes. Raíz de un producto a . (V) V49-64 = b. (A) V 8 M 2 1 = c. (G) V 8 - 1 2 5 - 2 1 6 = d. (M) V 2 4 3 - 3 2 = Raíz de un cociente h. (N) /
- 84. 56 3 99 6 5 15 4 60 1 56 99 3 60 99 6 5 15 99 mam 60 1 99 4 99 6 ,5 99 Los hindúes empleaban las anteriores palabras, propias del vocablo sáns- crito, para expresar raíz cuadrada y raíz cúbica, respectivamente. Calcula las raíces cuadradas como lo muestra el ejemplo. V900 = 900 450 225 45 9 3 1 900 = 22 -52 -32 j ^ g o , V900 = V22 • 52 • 32 AplicancLp la propiedad distributiva con respecto a la multiplicación se tiene: j22 -52 -3^J¥-sf¥-4¥ = 2-5-3 = 30 ci /324 g- Vi 764 y/5184 h. l¡2 304 ^9 801 i. ^5 929 el. 7441 i- >/l 225 e. 024 Vi 296 f. ^7 744 i. 73 600 Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones usando la radicación y sus propiedades de números naturales.
- 85. "» Pensamiento numérico - variacional JL«f ogaritmacion de números naturales ••••••••••••••••••^ La l o g a r i t m a c i ó n de n ú m e r o s naturales es una o p e r a c i ó n inversa a la p o t e n c i a c i ó n ; la loga- ritmación busca el exponente de la p o t e n c i a c i ó n , por ejemplo: Si 3 4 = 8 1 , entonces, l o g 3 81 = 4 , Se lee "logaritmo en base tres de 81 igual a cuatro" • l o g 4 16 = 2 , porque 4 2 = 1 6 ; se lee "logaritmo en base cuatro de 1 ó igual a dos" • l o g 8 4 0 9 6 = 4 , porque 8 4 = 4 0 9 6 ; se lee "logaritmo en base ocho de 4 0 9 6 igual a cuatro" • l o g 1 0 1 0 0 0 0 0 0 = ó ; se lee "logaritmo de 1 0 0 0 0 0 0 igual a seis", cuando se trata de un logaritmo en base diez se omite el s u b í n d i c e , es decir, log 1 0 0 0 0 0 0 = ó . Para todo a, b, n e N y a ^ 1 loga b = n si y solo si a n = b O TALLER Logaritmación de números naturales # oo Calcula los logaritmos, escribiendo el exponente correspondiente de la p o t e n c i a c i ó n . a. 4 ° = 64 b. 3 ° = 7 2 9 c. 2 = 1 0 2 4 d. 2 6 = 2 6 2 3 4 ° = 1 l 1 0 ° = 100 0 0 0 Calcula los logaritmos, encuentra una regularidad y explica en tu cuaderno por q u é la regularidad. a. log 10 = b. log 10 0 0 0 = c. log 10 0 0 0 0 0 0 = ti log 100 = e. log 1 0 0 0 0 0 = f. log 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = log 1 0 0 0 = h. log 1 0 0 0 0 0 0 = í. log 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = _
- 86. * Pensamiento numérico - variacional La logaritmación de números naturales es una operación inversa a la potenciación; la loga- ritmación busca el exponente de la potenciación, por ejemplo: Si 34 = 81, entonces, log3 81 = 4, Se lee "logaritmo en base tres de 81 igual a cuatro" • log4 16 = 2 , porque 42 = 16; se lee "logaritmo en base cuatro de 16 igual a dos" • log8 4 096 = 4 , porque 84 = 4 096; se lee "logaritmo en base ocho de 4 096 igual a cuatro" • log1 0 1 000 000 = ó ; se lee "logaritmo de 1 000 000 igual a seis", cuando se trata de un logaritmo en base diez se omite el subíndice, es decir, log 1 000 000 = 6 . Clave matemática J Para todo a, b, n e N y a * 1 loga b = n si y solo si an = b O TALLGR Logaritmación de números naturales O o ° i„,. Calcula los logaritmos, escribiendo el exponente correspondiente de la potenciación. a . 4 ° = 64 b. 3 J = 729 c. 2 ° = 1 024 d. 2 6 ° = 26 e. 2 3 4 ° = 1 f. 10D = 100 000 Calcula los logaritmos, encuentra una regularidad y explica en tu cuaderno por qué la regularidad. log 10 = log 10 000 = c. log 10 000 000 = log 100 = e. log 100 000 •= i log 100 000 000 = log 1 000 = h, log 1 000 000 = i, log 1 000 000 000 =
- 87. Expresa c o m o logaritmación las siguientes potencias. C 53 = 125 122 = 144 c. 28 = 256 _ 105 = 100 000 e. 35 = 243 f. 44 = 256 },,>) Calcula los siguientes logaritmos. a. l o g 1 5 3 375= l o g 2 0 3 200 000 c. l o g 9 6 561 = d . l o g 3 59 049 = _ log5 ,3 125 = — l o g 1 0 100 000 000 : y ^Jíp En el comedor escolar hay capacidad para 512 estudiantes; si la distribución es de grupos de 8, ¿cuál es la organización? *7 Calcula los siguientes logaritmos usando las propiedades respectivas: a l o g 3 (81 + 3) = b. l o g 2 84 = c. l o g 4 ( 4 - 6 4 ) = d . l o g 5 252 = l o g 3 (9 • 3) = l o g 2 (128 + 4) =. y El sistema de transporte masivo TransMilenio tiene capacidad para 225 personas, si la distribución corresponde a grupos de quince, ¿cómo es la organización? , La alcaldía de Manizales decide distribuir 216 cupos para jardines infantiles, si la or- ganización corresponde a grupos de seis, ¿cómo es la distribución? / " El coliseo El Salitre tiene una capacidad para 1 331 personas, si la distribución se hace con grupos de once, ¿cómo es la organización? y Una biblioteca de Cali tiene capacidad para 8 000 libros, si la organización corres- ponden a grupos de 20, ¿cómo es la distribución? Descriptor de desempeño: • Identificar la relación entre potenciación y logaritmación y la aplicar en la solución de situaciones problema.
- 88. • Pensamiento numérico - variacionai El número de centros comerciales de Cali es el doble de los registrados en el directorio de Manizales. Si en el direc- torio de Cali hay 46 centros comerciales, ¿cuántos centros comerciales hay registrados en Manizales? La ecuación que representa la situación anterior es 2 • x = 46, luego en Manizales hay 23 centros comer- ciales registrados porque 2 • 23 = 46 Una igualdad es una equivalencia entre dos o más expresiones numéricas. El símbolo que representa la igualdad es (=). 39 657 + 41 520 = 56 893 + 24 284 45 362-61 = 2 767 082 Miembro izquierdo Miembro derecho Las igualdades donde hay un término desconocido reciben el nombre de ecuaciones. El término desconocido se denomina incógnita y, por lo general, se representa con cual- quier letra minúscula (a, b, c, d...). El conjunto solución o la solución de una ecuación es el conjunto de números naturales que hacen la ecuación una igualdad. O TALLGR Igualdades y ecuaciones O o 0 Determina con un V cuáles de las siguientes expresiones son igualdades. En caso de no ser ¡guales, cambiar el signo = por ^ . • 40 + 12 + 8 = 7 0 - 1 0 60 = 60 b. 21 -4 + 8 = 90 + 2 + = d. 16 + 4 - 7 = 3 0 - 1 8 + 1 182-18 - 72 = 1 7 0 - 3 - 8 c, 56 + 8 + 6 = 7 0 - 8 • + = f. 721 + 31-11 = 2 7 - 3 0 + 252 + = + . Clasifica en la tabla las expresiones en igualdades o ecuaciones. 567 + 263 + 1 4 5 = 1 4 9 + 5 1 5 , • 2-a = 13 + 15, - 1 8 - 4 + 3 2 = 5 0 - 2 + 4 , 150+368 +221 = 7 0 0 + 3 0 + 9 / • 2-j = 138, . 635 + 5 + 8 = 270 + 2 , 1 280 = 1 160+v/ • t + 1 8 = 1 368/ • 145+180 + 2 = 2 3 5 , • 2 8 0 = 2 1 8 + v 97
- 89. Igualdades Ecuaciones Escribe como ecuación cada enunciado y emplea el cálculo mental para encontrar la solución. a. Un número aumentado en 20 es 45 s + 20 = 45 s = 25 b. La mitad de un número es 56 c. El doble de un número es 1 440 d ' La quinta parte de un número es 1080 e. Un numero disminuido en 64 es 6 f. El triple de un número es 1 74 g- La tercera parte de un número es 46 h. La diferencia entre un número y 9 es 42 La mitad de un número aumentada en 20 es 60 ¡ + 2 + 2 0 = 6 0 ¡ = 80 El doble de un número disminuido en 30 es 50 El triple de un número aumentado en 60 es 120 Realiza una correspondencia entre la situación y la ecuación que la representa. I El doble de la cantidad de perso- nas que van al parque es 1 38 , La tercera parte de las tiendas de un municipio es 1 38 I La mitad de los almacenes de ca- C ' rros en una ciudad son 138 H j La diferencia entre centros comer- d. cíales y hoteles en una ciudad es 138 ( ) g + 3 = 138 ( ) h - d = 138 ( ) 2-¡ = 138 ( ) k + 2 = 138
- 90. 5. Soluciona las siguientes ecuaciones: a. q + 45 = 186 b. 645 + w = 54 180 c. 6 4 5 9 + w = 89 380 r _ 4 3 = 154 e. y + 16 = 928 i 8 268 - e = 5 698 g. 96 458 - w = 87 568 y - 38 = 4 750 + 2 894 ¡. 6 498 + w = 54 180 + 2 356 j. 128 + 646 + x = 87 568 y í?, Soluciona en tu cuaderno cada situación, plantea ecuaciones y encuentra el valor de la incógnita. i.J La diferencia entre la población de Pereira y la de Manizales es 56 890 personas. Si la población de Manizales es 1 568 386, ¿cuál es la población de Pereira? b. En un centro comercial la cantidad de locales de ropa son el triple de los locales de comidas. Si la cantidad de locales de ropa es 120, ¿cuántos locales hay de comida? )j3 La suma de las edades de Adriana y Alexandra es 39 años. Si Adriana tiene 18 años, ¿cuántos años tiene Alexandra? I d.l Daniel y Felipe compraron nueve camisetas del mismo color. Daniel compró tres camisetas más que Felipe, ¿cuántas camisetas compró cada uno? í e . l A Fernando le regalaron $ 8 500, luego de pasear por la plazoleta de comidas del ' centro comercial quedó con $ 3 250, ¿cuánto dinero gastó Fernando? f. María solicitó un préstamo de $ 580 000, con ese dinero pagó la primera cuota del crédito. Si luego del pago María quedó con $ 524 000, ¿cuál es el valor de la cuota pagada? En un almacén de juguetes la cantidad de muñecos de peluche es el doble de la de muñecos de caucho. Si el total de muñecos de peluche es 458, ¿cuántos muñecos de caucho hay? h . La diferencia entre la cantidad de centros comerciales y alcaldías locales de una ciudad es doce. Si la cantidad de alcaldías locales es 20, ¿cuántos centros comer- ciales hay? Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones problema usando igualdades y ecuaciones.
- 91. Pensamiento métrico - geométrico Polígonos Los planos son una de las formas de representar gráficamente las ciudades. Para delimitar la mayo- ría de los lugares del centro de una ciudad se em- plean segmentos que forman figuras cerradas. Estas figuras se denominan polígonos. Clave matemática Un polígono es una figura plana formada únicamente por segmentos que se unen solo en sus extremos como máximo dos segmentos se encuentran en un punto y cada segmento toca exactamente con otros dos. Las diagonales de un polígono son segmentos que unen vértices no consecutivos. Ciasifilasificación de los polígonos según los ángulos Clasificación según los lados y ángulos A Si todos los lados y angu- Si no todos los lados y Si todos os angu os Si uno o mas de los ángulos . , ., A • , A i-M , . , . , 3 , . „ los de un polígono son de ángulos de un polígono son internos son menores de interiores es mayor de 180, . . , . ... , ,. ' . , „ ' . igual medida, el polígono de igual medida, el poligo- 180 grados, se denomina el polígono se denomina y s e d e n o m ¡ n a n Q y e d e p o m ¡ n a convexo. concavo. r e g u ) a r ¡ r r e g u | a r Según el número de lados, los polígonos reciben un nombre: ATriángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono 100
- 92. O TALLER En el plano de la página anterior resalta figuras planas que no sean polígonos. Colorea las figuras que son polígonos. Construye en el geoplano cinco polígonos y escribe el nombre de cada uno, según el número de lados. Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono y nóm- bralo según sus ángulos.
- 93. Polígonos convexos Polígonos cóncavos HBHHBHHHHHHHI '{ 5, Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono. Nombra los según sus lados y ángulos. "? 6. Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono.
- 94. Polígono Regular Irregular Cóncavo Convexo Traza las diagonales de cada polígono y completa la tabla. ^ O Polígono Cantidad de diagonales Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono ¿Qué concluyes? y Señales de tránsito. Las señales de tránsito se instalan en las calles, carreras, avenidas y carreteras. Sirven para regular el tránsito, prevenir accidentes y advertir o informar a los conductores, mediante palabras o símbolos. a , ¿Cuáles de las señales d e tránsito dibujadas son poli- gonales? ¿Consulta la diferencia entre emplear cuadriláteros, trián- gulos y círculos en las señales de tránsito? Observa en tu ciudad y en tu colegio qué señales diferen- tes a las de tránsito hay. ¿Son o no poligonales? Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones, identificando y clasificando polígonos. 103
- 95. «• Pensamiento métrico - geométrico Triángulos Manhattan es uno de los barrios (distrito metropolitano) más famosos de Nueva York. Allí se encuentran los principales rascacielos de la ciudad, los cuales tienen una arquitectura rica en detalles geométricos. La imagen corresponde al "Hearst Tower", de Manhattan, en este edificio se destacan polígonos que tienen tres lados, tres vértices y tres ángulos. Clasificación de triángulos Según la medida de los lados Según la medida de los ángulos Equilátero Isósceles Es el triángulo que Es el triángulo que tiene sus tres lados tiene dos lados de de igual longitud, igual longitud. Los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales. Sus tres ángu- los son de igual medida. Escaleno Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente longitud. Es el triángulo que tiene un ángulo recto: 90°. A Es el triángulo que tiene un ángulo obtu- so, mayor de 90°. -7 Es el triángulo que tiene sus tres ángu- los agudos, menor de 90°. A Sus ángulos son de k rdiferente medida. Todos los triángulos cumplen la llamada "Propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo", que dice: la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 1 80°. Por tanto, el ángulo desconocido (x°) del triángulo de la imagen equivale a: x° = 180 - (60 + 70) -+ x° = 50°.
- 96. TALLGR TriángulosO o ° Clasifica los triángulos teniendo en cuenta la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. C. e* V"^ tí b. d. f. Menciona tres objetos de un parque mecánico que al realizar sus movimientos formen respectivamente los siguientes triángulos: Triángulo isósceles Triangulo e s c a l e n o _ c. Triángulo equilátero_ Encuentra la palabra correspondiente a cada proposición en la sopa de letras. Figura geométrica de tres lados. Triángulo cuya longitud de sus lados son iguales. Unión de dos semirrectas con un origen c o - mún. Triángulo que tiene un ángulo obtuso. Intersección de dos rectas. f. Triángulo con dos lados de igual longitud. Punto común entre los lados de un ángulo. Triángulo cuyos lados son de diferente longitud. i. Unión de dos puntos y forma parte de un triángulo. Triángulo que tiene un ángulo recto. k. Los triángulos se según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Triángulo que tiene sus ángulos agudos. a r o a b c o d a 1 d e f n e 1 n a c i f i s a 1 c g c u i s o s c e 1 e s g u t g e h i ¡ k 1 m n ñ o 1 a n s p q r s t u V w x o n a c t r i a n g u 1 o y g s a z a b c d e f g e h U u 1 i i k 1 m n ñ o c p 1 t e q r s t u v w X i y o b n z o t n u P a b t c d o o e f g h i i k 1 r m o 1 u g n a t u c a n e o r e t a 1 i u q e ñ o V
- 97. 4, Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justifica tu respuesta. Un triángulo equilátero también es acutángulo h,: Un triángulo equilátero también puede ser rectángulo c. Un triángulo equilátero también es isósceles á. Un triángulo puede tener dos ángulos rectos e. Un triángulo puede tener un ángulo recto y los otros dos de igual medida f, Un triángulo equilátero tiene sus ángulos de 60° 5. Encuentra la medida de los ángulos que se indican, teniendo en cuenta la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo. a . A = 25°, 8 = 92°, C = ? b. Triángulo rectángulo en 8, C = 38°, A = ? : Triángulo isósceles con el ángulo diferente en A = 40°, 8 = ?, C = ? Triángulo isósceles con el ángulo diferente en C — 72°, A = ?, 8 = ? e. A = ?, 8 = 75°, C = 15o f. Triángulo rectángulo en A, 8 = 30°, C = ? é. Observa la figura y responde c b c Nombra dos triángulos isósceles— Nombra tres triángulos rectángulos. Nombra un triángulo escaleno Nombre un triángulo equilátero D E 7. La figura corresponde al plano de un centro comercial. 1 Terraza de comidas 2 Locales de ropa 1 0 3 Locales de muebles 4 Jugueterías 5 Parqueadero 1 C 5 Parqueadero 2 ^ s . "7 Parqueadero 3 Parqueadero 4 9 ? Cinemas Parque infantil 11 Lago 1.2 Pista de karts
- 98. Soluciona los ejercicios a y b, teniendo en cuenta el plano del centro comercial. a. Escribe la clasificación de las zonas del centro comercial, según las clases de triángulo. / Jugueterías / Parqueadero 2 • Zona de comidas ¡unto con locales de ropa / Parque infantil b. Escribe las zonas del centro comercial que forman los siguientes triángulos. / Triángulo equilátero / Triángulo acutángulo • Triángulo isósceles / Triángulo rectángulo Diseña un dibujo o plano que presente las seis clases de triángulos. + Descriptor de desempeño: / Identificar las diferentes clases de triángulos y establecer relaciones entre ellos y el entorno.
- 99. Pensamiento métrico - geométrico % Cuadriláteros El distrito de Pudong en Shanghai (China), es el barrio financiero y comercial más im- portante de Asia, en él se encuentran dos de los edificios más altos del mundo: la to- rre Jin Mao y el Shanghai World Financial Center. Estos dos edificios presentan en su fachada diseños con cuadriláteros. ¿Cómo podemos clasificar estos cuadriláteros? Shanghai World Financial Torre Jin Mao Clave matemática Un cuadrilátero es un polígono formado por cuatro lados. Además, la suma de sus ángu- los es 360°. Paralelogramo Dos pares de lados paralelos _ ' 1'Rectángulo Romboide Trapecio Un par de lados paralelos Trapezoide Ningún par de lados paralelos Cuatro ángulos No equilátero y sin los 4 ángulos rectos Cuadrados- Rombo •Equilátero Equilátero y 4 ángulos rectos Q TALl€R Cuadriláteros O o ° },-,) Contesta V (verdadero) o falso (F) y justifica la respuesta. Un cuadrado es un paralelogramo. ( ) Todos los rombos son cuadrados. ( ) c. Un trapecio es un paralelogramo. ( ) 108
- 100. Todo cuadrado es un rombo. Un rectángulo es un trapecio. ( ) ( ) Clasificar los cuadriláteros en trapezoides, trapecios y paralelogramos, empleando la notación correspondiente. Trapezoides: b. Trapecios: Paralelogramos: *? 3. Construye y clasifica cuadriláteros que cumplan las siguientes características. Un cuadrilátero con un ángulo de 30°. Un cuadrilátero con dos lados paralelos. Un cuadrilátero por lo menos con un ángulo recto. Un cuadrilátero con dos ángulos obtusos. Un cuadrilátero con un ángulo agudo y un ángulo obtuso. La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°. Formula una ecuación para calcular la medida del ángulo desconocido de cada uno de los siguientes cuadriláteros. h 90°
- 101. Las tiendas de barrio ofrecen productos como dulces, leche, mantequilla, entre otros. La Tienda Inmickey realiza un regis- tro de las ventas de cada producto, para efectuar el siguiente pedido. Producto Artículos vendidos Totales Dulces 1 1 1 1 1 1 1 1 8 Leche 1 1 1 1 4 Mantequilla l i l i l í 6 La columna de los totales se denomina Frecuencia absoluta. Clave matemática La frecuencia o frecuencia absoluta es la cantidad de observaciones que corresponden a un dato. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la mues- tra o suma de todas las frecuencias. Se puede expresar mediante fracción, número decimal o porcentaje La frecuencia absoluta acumulada de una variable es el número de veces que ha apa- recido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable. O TALLGR Frecuencias # • ° Escribe el nombre de cada columna teniendo como referente la clave matemática. Edad de los encuestados 11 años 25 personas 25 personas 25 106 0,23 23% 12 años 32 personas 57 personas 32 106 0,301 30% 13 años 35 personas 92 personas 35 106 0,330 33% 14 años 14 personas 106 personas 14 106 0,13 13%
- 102. Los centros comerciales tienen zonas de bancos, comidas, almacenes de zapatos, entre otros. Un centro comercial registra las personas que compran entre las 1 0 : 0 0 y las 1 1:00 de la mañana del sábado. El resultado del registro fue: deportes, ropa, zapatos, bancos, deportes, ropa, zapatos, zapatos, bancos, ropa, bancos, deportes, zapatos, ropa, bancos, ropa, zapatos, ropa, ropa, bancos, bancos, deportes, deportes, ropa, zapatos, deportes, ropa, zapatos, deportes, ropa, bancos, zapatos, zapatos, bancos, ropa, bancos, deportes, zapatos, ropa, bancos, ropa, zapatos, ropa, ropa. ti. Realiza una tabla de frecuencias absolutas para los datos obtenidos en el registro, b. ¿Cuál zona es donde más compran y donde menos compran? Para realizar un estudio sobre el manejo del tiempo libre, la Universidad Palermo rea- lizó un conteo de la cantidad de personas que están en su tiempo libre en los parques públicos en las horas de la tarde del jueves 8 de abril. Localidades de Bogotá Cantidad de personas asistentes a un parque público en horas de la tarde Bosa 164 000 Chapinero 48 000 Suba 175 000 Engativá 290 000 Santa Fe 50 000 Usaquén 317 000 Total 1 044 000 ¿Cuántas localidades se mencionan en la encuesta? b. ¿Cuál es la localidad con mayor número de personas? C. ¿Cuál es la localidad con el menor número de personas? et ¿Cuántas personas de las seis localidades se encuentran en su tiempo libre en el parque?
- 103. El calentamiento global afecta la temperatura en todo el planeta y, por ende en las ciudades colombianas. Una empresa de meteorología registra cada hora, durante 5 días, las diferentes temperaturas alcanzadas en San Andrés. Temperatura Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada 24° C 20 26° C 24 28° C 8 30° C 28 32° C 40 Completa la tabla. b. ¿ Q u é tipo de variable es la temperatura? Cualitativa o cuantitativa, justifica la respuesta. Durante los cinco días, ¿cuántas horas se obtuvo una temperatura igual o infe- rior a 2 8 ° C? Durante los cinco días, ¿cuántas horas se obtuvo una temperatura igual o mayor a 3 0 ° C? y En los hospitales es necesario llevar la estadística de cuántas personas ingresan al servicio de urgencias para determinar la cantidad de profesionales y medicamentos que se necesitan. La siguiente tabla muestra la cantidad de personas atendidas un lunes festivo entre 1 1:00 p.m. y 5:00 a.m. Hospital Personas atendidas Frecuencia relativa Hospital Personas atendidas Fracción Decimal Porcentaje Pediátrico 25 25 194 0,1288 12% Materno 46 Físico 62 Universitario . 27 Odontológico 34 Completa la tabla. ¿ Q u é fracción representa la frecuencia relativa en el Hospital Universitario? ¿ Q u é hospital requiere mayor n ú m e r o de médicos? Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar situaciones usando las diferentes clases de frecuencia.
- 104. Pensamiento aleatorio • Diagramas y gráficos estadísticos Un estudiante de grado sexto decide representar la información de la apertura de esta uni- d a d , acerca de la cantidad de localidades o comunas de algunas ciudades de C o l o m b i a . La información es la siguiente: Bogotá, 2 0 ; Medellín, 1 ó; Cali, 22 y Manizales, 1 1 . Las re- gistra por medio de dos representaciones: distribución de frecuencias y diagrama de barras horizontales. Ciudad Frecuencia Manizales Bogotá 20 "O • Cali Medellín 16 u Medellín Bogotá Cali 22 Medellín Bogotá Manizales 11 Comunas o Localidades 10 Frecuencia Clave - á tic. - Las representaciones gráficas son apropiadas para representar y organizar los d a - tos recogidos en un estudio estadístico; otros ejemplos son: el diagrama de barras vertical, diagrama circular y diagrama de línea o polígono de frecuencia. Localidades o comunas • • •Medellín Cali Manízale Ciudad Localidades o comunas • Bogotá • Medellín • Cali • Manizales Localidades o comunas Medellín Cali Ciudad Manizales O TALLGR Diagramas y gráficos estadísticos €> o ° },,)) Realiza una distribución de frecuencias, según el siguiente polígono de frecuencia. BARRIOS POR LOCALIDAD Antonio La Los San Nariño Candelaria Mártires Cristóbal LOCALIDAD Usme 113
- 105. Realiza un diagrama de barras para la siguiente distribución de frecuencias. Localidad Superficie (km2 ) Bosa 23,91 Chapinero 38,98 Kennedy 38,58 Rafael Uribe 13,44 Santa Fe 44,76 Sumapaz 727,44 Suba 43,72 Tunjuelito 10,62 3. Escribe falso o verdadero según corresponda. Cualquier distribución de frecuencias se puede representar p o r medio de otro diagrama estadístico. Cualquier diagrama estadístico se puede representar por medio de una distribución de frecuencias c. La información suministrada por un grupo de estudiantes acerca de la localidad donde vive se puede representar por medio de cualquiera de los gráficos ejempli- ficados Un diagrama estadístico es un medio para analizar información e. Los diagramas estadísticos se utilizan para representar únicamente variables cuali- tativas La información corresponde a la cantidad de hombres y mujeres que estudian algunas profesiones en una universidad de la ciudad de Bogotá. < 23 23 25 20 2 1 20 20 y 2 0 z 10 u • i i l H i J. 4 / / f PROFESIONES IHOMBRES • MUJERES 114
- 106. y 4. De acuerdo con la información anterior, responde: ¿Cuál es el título más apropiado para el diagrama? ¿La variable representada en el diagrama es cualitativa o cuantitativa? ¿ Q u é nombre recibe el diagrama anterior? y Contesta las preguntas, teniendo en cuenta la información representada. ¿Cuál es la profesión que menos prefieren los hombres? ¿Cuál es la profesión que más prefieren las mujeres? ¿Cuál es la profesión que más prefieren los hombres? ¿Cuál es la profesión que menos prefieren las mujeres? ¿ Q u é profesión tiene igual cantidad de preferencia por los hombres y las mujeres? f. ¿ Q u é profesiones prefieren más los hombres que las mujeres? • ¿ Q u é profesión es la que tiene mayor preferencia entre los estudiantes entrevistados? ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? : La información corresponde al porcentaje de estudiantes de primaria de un colegio. • Primero • Segundo • Tercero D Cuarto I Quinto ^ 6, De acuerdo con la gráfica, soluciona: ¿Cuál es el título apropiado para el diagrama? ¿La variable representada en el diagrama es cualitativa o cuantitativa? ¿ Q u é nombre recibe el diagrama anterior? y Contesta las preguntas de acuerdo con la información representada. ¿En cuál grado hay mayor cantidad de estudiantes? ¿En cuál grado hay menor cantidad de estudiantes? Descriptor de desempeño: / Interpretar y analizar información por medio de los diferentes diagramas estadísticos. 115
- 107. Matemática necieftt¿v& La magia del origami / La grulla voladora Para tu comodidad en las papelerías venden papel listo para origami. Recomendamos papel de 90 g/m2 , con los colores que más te gusten. Necesitas por lo menos dos octavos de papel. Cuando desarmes la figura, marca con colores diferentes todos los triángulos y cuadriláteros que identificaste. ¿Cuántos son? Vamos a construir nuestra grulla. Toma un pedazo de papel cuadrado. Haz dos dobleces en las esquinas y dos do- bleces en el centro de cada lado del cuadrado. Desdobla y pliega las cuatro esquinas del cuadrado hacia abajo. Dobla uniendo los lados in- feriores sobre la diagonal central del rombo. Dobla el triángulo superior sobre el resto de la figura. Desdobla los tres pliegues anteriores. Levanta la esquina inferior del rombo hacia arriba y haz dos dobleces siguiendo los dos pliegues laterales que realizaste anteriormente. Vuelve la figura y repite.
- 108. Esta es la base de la grulla terminada. Continúa para plegar la grulla voladora. Haz dobleces siguiendo la ilustración (estas dos puntas van a ser el cuello y cola de la grulla). Haz un contradoblez (de afuera hacia adentro) si- guiendo los pliegues defi- nidos en el paso 8. Dobla, desdobla y haz un contradoblez (de afuera ha- cia adentro). Esta es la cabe- za de la grulla. Haz un doblez siguiendo la ilustración. Vuelve la figura y repite. Las dos alas deben quedar simétricas. Esta es la grulla voladora terminada.
- 109. Salida pedagógica: recorramos el barrio Esta salida pedagógica la realizo a: fecha: Esta salida pedagógica es una oportunidad y una invitación a razonar y aplicar las competencias adquiridas en la unidad. Debes ser muy disciplinado y prestar atención a las orientaciones, tanto en el lugar al cual nos dirigimos, como fuera de él. Actividad 1. Ubicación ¿Dónde vivo? 1. Escribe el nombre de la localidad a la que perteneces. 2 . Averigua la cantidad y escribe los nombres de los barrios que la conforman. 3. Al recorrer la localidad, indaga y escribe los siguientes sitios de interés: • Centros comerciales: • Parques: • Iglesias: • Colegios: • Avenidas principales: 4 . Escoge un lugar específico que te gustaría visitar: 5. Menciona las rutas posibles que tienes para ir de tu casa al lugar que escogiste: • ; ' 1 6. Teniendo en cuenta las rutas que escribiste, contesta las siguientes preguntas: • ¿En cuál recorrido se gasta menos tiempo? • ¿En cuál recorrido se gasta más tiempo? • ¿En cuál recorrido se recorre mayor distancia? • ¿En cuál recorrido se recorre menor distancia? • ¿Qué recorrido no harías nunca? ¿Por qué?
- 110. • ¿Cuál es el recorrido que más prefieres? ¿Por qué? Actividad 2. Geometría Completa la siguiente tabla con base en la observación, la descripción y la representa- ción de objetos o construcciones que encuentres en tu entorno. Nombre Característica Representación Tiene caras triangulares Tiene caras formadas por cuadriláteros Tiene caras poligonales Tiene caras circulares No tiene caras poligonales Actividad 3. Estadística Elige un centro comercial: 1, Observa la cantidad de personas que ingresan a la plazoleta de comidas del centro comercial elegido y registra la información de las siguientes tablas: Edad Número de personas Frecuencia Frecuencia (Frecuencia) acumulada relativa Niños hasta doce años Jóvenes hasta 28 años Adultos hasta 60 años Adultos mayores Tipo de comida Número de personas Frecuencia Frecuencia (Frecuencia) acumulada relativa 2. Diseña en tu cuaderno un diagrama de barras con la información obtenida.
- 111. Prue Contesta las preguntas 1 a 3, con base en la siguiente información: En la mayoría de ciudades a nivel mun- dial se presentan dificultades por la pro- pagación de virus, la siguiente gráfica ilustra el crecimiento del virus o bacteria de la gripe en temporada de invierno. **% unidad c . 13, 53 • 51 (5 + 5)2 Si a las 12:30 p.m. hay cinco bacterias, la cantidad de bacterias existentes a las 3:30 p.m. es: A. 25 bacterias 625 bacterias C. 50 bacterias ih 825 bacterias Contesta las preguntas 4 a 8, con base en la siguiente información: 12:30 p.m. 1:30 p.m. La gráfica que corresponde a la can- tidad de bacterias existentes a las 2:30 p.m. es: A La potencia que representa la canti- dad de bacterias existentes a las 3:30 p.m. se puede expresar como 52 -52 y es equivalente a: 254 B. 5 2 + 5 2 Cada una de las ciudades de Colombia se identifica por la elaboración de algún pro- ducto específico. Medellín sobresale por las confecciones y telas. Edificio Vista superior • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• Edificio Vista frontal El dibujo de la izquierda corresponde a un cuadrado que representa la vista desde arriba del edificio Textidúo de Medellín y el de la de- recha es la vista frontal de la misma empresa. En la empresa de Textidúo los empleados desempeñan los siguientes roles: 36 son ope- rarios, 1 8 son jefes y 20 son de servicios ge- nerales. Para todos, además de los sueldos, se ofrece uno de dos incentivos económicos: la primera propuesta inicia con $3 000 e incre- menta la cantidad en $1 000 semanalmente. La otra propuesta se inicia con $10 en la pri- mera semana, la segunda semana correspon- de al cuadrado de la semana anterior y así sucesivamente.
- 112. Prueba d e u n i d a d 4. Si el área de la vista desde arriba del edi- ficio es 1 96 m2 , su perímetro es: 14 m 28 m 52 m 1 9 6 m 5. La cantidad de empleados en la empresa corresponde a: A. Un múltiplo de 37 B. Un múltiplo de 19 C. Un múltiplo de 18 Un múltiplo de 8 Para una actividad de análisis de resultados en la empresa Textidúo se organiza a los empleados en equipos con igual cantidad de personas que desempeñen el mismo rol. En un primer momento el coordinador organiza los grupos con la mayor cantidad de personas posibles, por tanto, la canti- dad de personas en cada grupo es: A. Más de quince Seis personas C. Más de uno y menos de cinco O. Más de doce personas 7, En la empresa Textidúo las personas de servicios generales ofrecen al público aro- mática cada 1 5 minutos, tinto cada 1 0 y agua cada 2 minutos. Si a las 4:00 p.m. ofrecieron los tres líquidos, a qué hora volverán a ofrecerlos: 6:00 p.m. 6:15 p.m. B. 6:30 p.m. D. No se encuentran. 8. Daniel, un empleado de la empresa Textudúo, afirma que es mejor acep- tar el segundo incentivo económico porque en comparación con el primer incentivo A A la segunda semana recibirá $ 3 900 más de bonificación. B. A la primera semana recibirá $ 1 000 mas de bonificación. C. A la cuarta semana recibirá $ 1 0 000 más de bonificación. 13% A la tercera semana recibirá el doble de bonificación. 9. Al realizar un censo sobre la edad de los niños entre 9 y 13 años se obtuvo la siguiente información: Edad HH Frecuencia Frecuencia acumulada 9 150 150 10 132 282 11 185 467 12 587 13 146 733 La fracción que representa la frecuen- cia relativa en los niños de once años es: 150/733 1 85/467 C. 120/733 D. 146/150
- 113. Fracciones • Operaciones con fracciones • Superficie • Diagrama circular • Medidas de tendencia central La matemática a lo largo de la historia ha sido una herramienta útil para el arte y sus diferentes ramas, c o m o la música, la pintura, la es- cultura y la arquitectura, entre otras. Una aplicación de la matemática en el arte está en la geometría, pues muchos autores utilizan figuras planas y cuerpos geométricos para desarrollar sus creaciones. La matemática y la física se encuentran relacionadas con la música: las ondas sonoras tienen un carácter periódico y a pesar de su dife- rencia se rigen por un modelo matemático, el análisis de las propie- dades del sonido genera las notas musicales para dar origen a nuevas composiciones. Además, las notas musicales tienen una relación q u e evidencia el uso de los números fraccionarios, pues cada nota vale la mitad que la anterior y el doble de la siguiente. redonda blanca negra corchea semicorchea fusa semifusa 5= o a d ) m m 1/2 1/4 1/8 J J j) $ J 1/16 1/32 1/64 fr,)) í I 2^ Menciona un ejemplo donde sea aplicable la matemática o la geometría en la pintura, música, escultura y la arquitectura. ¿Qué relación existe entre la matemática, la física y la música? ¿Cuál es la relación entre las oscilaciones y la frecuencia de una nota musical? ¿Cuál es la unidad de medida de las oscilaciones de las notas musicales? Explica la relación matemática entre las figuras musicales. Escribe los denominadores correspondientes a las siete figuras musicales. Completa gráficamente y explica con tus palabras el significado de los fracciona- rios en el pentagrama. 122
- 114. Pensamiento numérico - variacional Representación de fracciones La nota musical corchea se representa y tiene un valor proporcional de _ , número que matemáticamente se representa por 8 i€ mal ¡ :ica Una fracción representa la relación entre las partes de un total llamado unidad; por o ejemplo, si Rocío toma _ (2/3) litros de a g u a , significa que el litro de agua fue dividi- 3 do en tres partes ¡guales y se tomó dos. Una fracción está conformada por dos términos: Denominador: indica el número de partes ¡guales en que se divide la unidad. Numerador: indica el número de partes divididas que se deben tomar. Si a, b e N , b * 0, N u m e r a d o r a b D e n o m i n a d o r Por ejemplo: z.; de las siete partes se toman tres ; se toman siete partes de varias unidades divididas en dos partes ¡guales. Q TALLGR Representación de factores O o Escribe la fracción que representa la parte sombreada.
- 115. Representa las fracciones. 4 a . — 11 b. 8 d . Completa la tabla. _ _ Unidades Representación Fracción .... . coloreadasr utilizadas . . . totalmente Unidad no coloreada totalmente IFracción sombreada Fracción no sombreada ^~ 1 9 4 3 2 1 4 3 4 10 6 2 1 12 20 3 2 2 3 2 7 Escribe falso o verdadero según corresponda. Si el denominador de una fracción es menor que el numerador, se utiliza menos de una unidad. Si el denominador de una fracción es menor que el numerador, se utiliza más de una unidad. Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, se utiliza más de una unidad. Si el numerador es igual al denominador, se utiliza más de una uni- dad. Si el denominador y el numerador son ¡guales, la fracción equivale a la uni- dad. •
- 116. 5, Encuentra la fracción teniendo en cuenta las siguientes condiciones. a , El denominador es el doble del numerador y la suma de los dos es seis. Si al numerador se le adiciona tres se obtiene el mismo denominador. C. El numerador más el denominador es igual al doble de ocho. El numerador menos el denominador da c o m o resultado cuatro. El denominador menos el numerador da c o m o resultado cuatro. La información corresponde al valor proporcional de algunas notas musicales. C o n base en esta soluciona los ejercicios. Nombre Figura Valor proporcional Redonda o 1 Blanca J 1 2 Negra J 1 4 Corchea 1 8 y Contesta las preguntas. ¿Qué relación hay entre el valor proporcional de la redonda y la blanca? b. ¿Qué relación hay entre el valor proporcional de la blanca y la negra? ¿Qué relación hay entre el valor proporcional de la negra y la corchea? S Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, ordena de menor a mayor, las figuras repre- sentadas. f Según la relación anterior, escribe el valor proporcional de las siguientes figuras, sa- biendo que en la tabla de manera descendente continúan la semicorchea, la fusa y la semifusa. Semicorchea b. Fusa c. Semifusa / Representar fracciones y aplicarlas en la solución de situaciones problema.
- 117. «*• Pensamiento numérico - variacional Clasificación de fracciones y números mixtos La nota musical " l a " tiene una frecuencia de — con respecto al d o . En esta fracción el numerador es mayor que el denominador, por tanto, se denomina fracción impropia. Matemáticamente, esta frecuencia se representa por Observa que se utilizo más de una unidad; la fracción anterior se puede escribir c o m o 2 3 1 Parte entera F r a ¡ d ó n La parte entera indica la cantidad de unidades completas que se utilizaron y la fracción propia indica la fracción correspondiente a la otra unidad. Clave Si a, b, c, d e N , entonces, — se denomina propia si a < b . b Si a, b, c, d G N , entonces, — se denomina impropia si a > b . b Si a, b, c, d e N , entonces, — se denomina unitaria si a = b . b Si a, b, c, d e N , entonces, — se denomina entera si el numerador es múltiplo del b denominador. Las fracciones impropias se pueden expresar c o m o números mixtos y viceversa. TRANSFORMACIONES De fracción impropia a número mixto Se divide el numerador entre el denominador: el cociente indica la parte entera, el residuo el numerador de la fracción propia y el divisor, el denominador de la fracción propia. — ; 17 + 3 = 5 y sobran 2 ; por tanto, — = 5— 3 3 3 De número mixto a fracción impropia Se multiplica el denominador de la fracción propia por la parte entera, este resultado se suma con el numerador de la fracción propia, el resultado corresponde al nume- rador de la fracción impropia; el denominador es el mismo de la fracción propia del número mixto. 2 9 9 3 3 y ; 7 • 3 + 2 = 21 + 2 = 2 3 ; por tanto, 3 y = y 126
- 118. O TALL6R Clasificación de fracciones y números mixtos O o Realiza una correspondencia entre las tres columnas. Impropia Propia 16 7 21 7 Unidad Entera Escribe la fracción que le corresponde a la parte sombreada en cada figura y luego clasifícala en propia, impropia, entera o unidad. a. j ^ j La fracción es: b, La fracción sombreada de amarillo es j==j, La fracción sombreada de gris es O, por La fracción sombreada es por tanto se denomina: EH 127
- 119. j=j La fracción es: Completa los espacios vacíos, con una de estas palabras: propia, impropia, unidad y enteras. Si el numerador es el doble del denominador la fracción es: Si el denominador es el triple del numerador la fracción es: Si el denominador es la tercera parte del numerador la fracción es: Si el numerador y el denominador son ¡guales la fracción es: Si el numerador es la cuarta parte del denominador la fracción es: S Soluciona las situaciones. Las alcaldías de las diferentes ciudades y municipios apoyan diferentes grupos artísti- cos. Al grupo Candidúo le obsequiarron 40 instrumentos musicales: 12 son flautas, 5 son tambores y los demás son instrumentos de cuerda. El grupo Candidúo contaba únicamente con 10 flautas, fracción que tiene ahora de flautas es O, por tanto, la fracción es: • La fracción que representa la totalidad de los instrumentos es: O, por tanto, es: ' Escribe en el paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta la relación entre números mixtos y fracciones impropias. 128 o. c. 24 5 2 3 ]_ 4 53 4 ( ) 13 1 )i2 10 5 ( ) 29
- 120. 73 8 10 ) 9 i 8 1-3! 4 La información representa la frecuencia de las notas musicales con respecto a la nota mu- sical do. Soluciona los ejercicios teniendo en cuenta la siguiente información. Nota Frecuencia Do 1 Re 9 8 Mi 5 4 Fa 4 3 Sol 3 2 La 5 3 Si 15 8 Do 2 y Contesta las preguntas. ¿Cuál es la nota con menor frecuencia? ¿Cuál es la nota con mayor frecuencia? ¿ Q u é notas tienen una frecuencia mayor a la nota fa? ¿ Q u é notas tienen una frecuencia menor a la nota fa? y Responde. ¿Cuántos octavos de frecuencia reúnen las notas si y re? ¿Cuántos tercios de frecuencia reúnen las notas la y fa? ¿Cuántos cuartos de frecuencia tiene la nota mi? y Expresa las frecuencias de las notas musicales como números mixtos. a. re c. fa e. la b. mi d. sol f. si Descriptor de desempeño: / Reconocer fracciones propias e impropias y expresar estas últimas en números mixtos y viceversa.
- 121. «+ Pensamiento numérico • variacional Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación La fotografía como arte se desarrolla a partir del momento en que un individuo deja de considerarla como una reproducción de la realidad y decide trabajarla a partir de las ¡deas, en ese momento comienza la necesidad de expresar por intermedio de la luz contenidos que les son propios del llamado "Arte mayor"(p¡ntura, escultura, arquitectura). La fotografía permite visualizar la imagen en diferentes tama- ños, conservando sus características iniciales, por tanto, se considera como una representación a escala. Los dibujos a escala cumplen una característica particular, la fracción for- mada por la fotografía original al comparar sus dimensiones, representa la misma frac- ción que la formada por la fotografía en reducción o ampliación al comparar las mismas longitudes. 2cm 3 cm 6 cm — Representa la misma región que — 3 ó Luego, estas dos fracciones son equivalentes. Las fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo punto en la semirrecta numérica, por tanto, su representación gráfica también corresponde a la misma región sombreada. 2 I 0
- 122. O TALLER Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación O o ° Realiza particiones adicionales para representar fracciones equivalentes a la fracción dada.
- 123. Elimina particiones de cada unidad para representar tres fracciones irreductibles y equi- valentes a las fracciones dadas. a . Por medio de la complificación y simplificación de fracciones se pueden encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada. Complificación de fracciones Simplificación de fracciones Consiste en multiplicar el numerador y el denominador, por un mismo número. Consiste en dividir el numerador y el denominador entre un divisor común de estos dos números. Toda fracción se debe simplificar hasta que el numerador y el denominador sean primos relativos, es decir, la fracción obtenida sea irreductible. El mayor número que simplifica un fracciona- rio es el máximo común divisor del numerador y del deno- minador. & 2 2 2 4 1 1 - 2 2 1 2 — = = —, por tanto, — = — 2 2 - 2 A 2 4 4 2 1 1 8 4 4 2 Es posible volver a 4^-2 2 simplificar el nume- 2-^-2 1 Q + 2~ 4 r a c ' o r y denominador ~ 2 entre 2 El máximo común divisor de 4 y 8 es 4, por tanto: Al complificar una fracción se aumenta la cantidad de partes en que está dividida la unidad, pero se representa el mismo fraccionario, por tanto, son equivalentes. 4 8 4 ^ 4 _ 1 8-5-4 ~ 2 1 2 Al simplificar una fracción se reduce la cantidad de partes en que está dividida la unidad, pero se representa el mis- mo fraccionario, por tanto, son equivalentes.
- 124. Completa la tabla. Representación Fracción complificada por Representación _3_ 12 Fracción Jl 4 2 3 2 5 6 Fracción j4_ 16 J _ 14 10 15 _6_ 18 Simplifica las fracciones hasta determinar una fracción equivalente irreductible. Representación Fracción irreductible 1_ 4 Representación 36 b . 120 c. 15 250 360 140 f. 180 480 200 150 Encierra en un círculo las parejas de fracciones equivalentes. a. 1= 11 4 _ ] 6 c # 3 _ 3 0 d U 3 ~ 27 7 " 49 5 " 50 36 Encuentra el valor desconocido para que las fracciones sean equivalentes. 72 240 2 3 11 36 X 3 X 30 2 x V2 18 X 8 49 56 3 4 x 28 S Resuelve en tu cuaderno. Para construir un estante en la Galería de Arte, Henry divide una lámina en 4 partes ¡guales y utiliza 3, pero Alejandro divide una lámina con las mismas características en 1 2 partes ¡guales y emplea 9. ¿Henry y Alejandro utilizan la misma cantidad de lámina para construir un estante? Justifica tu respuesta. Descriptor de desempeño: / Encontrar fracciones equivalentes por medio de la complificación y simplificación.
- 125. • Representación de fracciones en la recta numérica y orden Un estudiante de grado sexto decide ubicar en la recta numérica las notas musicales, redon da o , blanca J, negra J y corchea #h La representación de las figuras musicales es la siguiente: >J J — h - ¥ — ¥ I ¥ i—I—h—¥—I—I—I—I—I—I—I—I • 0 1 1 1 1 8 4 2 Al ordenar estas notas musicales de mayor a menor tenemos: ! > — > — > — / por tanto, las notas ordenadas de la que más a la que menos vale es: o 2 4 8 tica Para representar números fraccionarios en la recta numérica, se divide la unidad tantas veces c o m o lo indica el denominador y se toman tantas partes c o m o indica el numerador de la fracción. 2 Al ubicar _ en la recta numérica se tiene 5 1 — h — * - H — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I • 0 2 1 2 3 7 S Al ubicar _ en la recta numérica se tiene 0 1 2 7 3 3 Para ordenar números fraccionarios es necesario comparar los números en la recta numérica. Un número fraccionario es menor que otro número fraccionario, si está a la izquierda sobre la recta numérica. Igualmente, es mayor si se ubica a la derecha. 2 7 Al ordenar las dos fracciones anteriores de menor a mayor, el resultado es _ < _ 5 3 O TALLER Representación de fracciones en la recta numérica y orden O 0 o Representa las fracciones en la recta numérica.
- 126. Escribe la fracción que se representa en las rectas numéricas. ci >¡ fa. 0 1 — 1 — * — 1 2 0 1 2 3 0 1 — 1 — 4 — h - 2 O 1 Escribe falso o verdadero, según corresponda. 15 Al ubicar — en la recta numérica se necesitan más de ocho unidades. 2 15 Al ubicar — en la recta numérica se necesitan menos de siete unidades. 2 — 15 Al ubicar — en la recta numérica se necesitan exactamente ocho unidades. 2 Escribe la fracción que resulta al realizar los siguientes desplazamientos. o a . _ desplazarlo tres unidades a la derecha. 5 o — desplazarlo cinco partes a la izquierda. 13 27 c . —desplazarlo dos partes a la derecha. 36 — desplazarlo dos unidades a la izquierda. 12 — desplazarlo cuatro unidades a la izquierda. La gráfica representa algunas notas musicales ubicadas en la recta numérica. Solucio- na los ejercicios teniendo en cuenta la recta numérica. Do Re Mi Sol Si Do 1 1 1 1 1 1 1 f | I 1 f • 135
- 127. f Escribe las notas musicales correspondientes. Notas musicales mayores a la unidad. Notas musicales menores a la unidad. c. Notas musicales exactas a la unidad. • Notas musicales exactas a dos unidades. y Teniendo en cuenta la representación anterior escribe la nota musical que corresponde a la fracción dada. O» _ f3• ~~~ c* ~~ cS* 1 6* 11 '11 2 2 8 4 8 ^ Expresa las notas musicales anteriores en números mixtos. a. Re b. Mi c. Sol d. Si •}•"> 8. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica. 3 5 1 9 2 11 6 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 0 1 2 3 Completa los enunciados con los símbolos > , < , = , según corresponda. 2 6 b . l ] 8 4 d . 7 12 8 5 6 14 4 — 4 4 — 4 4 — 4 — 4 4 — 4 4 — 4 Escribe la fracción de cada ficha del tangram, arma diferentes figuras y organiza las fichas del rompecabezas, de menor a mayor. y Solución de problemas. , I En una competencia de atletismo se encuentran Federico, Mauricio y Felipe. Al pasar 2 1*1 1 hora cada uno lleva —, —, —del recorrido. En ese momento, ¿quién va ganando la 3 2 3 carrera? ¿Quién va de último? 136 / Representar en la recta numérica fracciones y establecer relaciones de orden de los números fraccionarios.
- 128. • Adición y sustracción de fracciones •mw^iin w • i i • • HHM En la clase de matemáticas, una estudiante comenta que J m á s ^ es igual a o . Otra o estudiante dice que es igual a ¿Cuál de las dos estudiantes tiene la razón? El profesor de la clase les comenta que _ + 2. 2 2 equivalente a la figura musical redonda. 2 2 Por lo tanto, una de las estudiantes afirma que _ + _ no es correcto. 2 2 1, 2 4 Para sumar o restar fracciones h o m o g é n e a s , es decir, fracciones con igual denomina- dor, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. 2 4 — + — 7 7 6 7 2_2_9 = 3 3_ 14 = ]7_ 7_ J _ 6_ 5 ~ 5 ~ 5 11 1 1 1 1 13 ~ 13 ~ 13 Para sumar o restar fracciones h e t e r o g é n e a s , es decir, fracciones con diferente deno- minador, se encuentra el m í n i m o c o m ú n múltiplo de los denominadores, luego se buscan fracciones equivalentes cuyo denominador sea el m.c.m. y se suman las fracciones encon- tradas. 7 5 7 5 5 7 1 7 1 m.c.m. (5,7)= 5 • 7 = 35 3 7 V5 35 2 5 11 35 Al sumar las fracciones equivalentes tenemos — + — M 35 35 5 8 ó 8 ó 4 3 2 3 1 3 1 m.c.m. (8,6)= 2 3 • 3 = 24 15 4 Al restar las fracciones equivalentes tenemos — — H 24 24 29 3 2 29 — , por tanto, — + — = — 35 7 5 35 5 8 24 _4_ 24 11 5 1 11 — , por tanto, = — 24 8 6 24 137
- 129. O TALLER Adición y sustracción de fracciones O o ° . 1, Escribe la fracción que satisface la igualdad. . í + 1 = ° 9 9 a b. 7_ 11 3_ 11 • • Calcula las operaciones. o. I + 8 + 1 = 5 5 5 c. 1 + 1 7 7 í— lio" 4 • = ] 0 7 + • ~ 7 I 2 . 17 • • _2_ 17 2 7 ~ 10 J 10 d. — - e . f. 7_ 20 í- U8 1 8 , e . • 4 13 12 ~ 13 • 8 12 • 15 15 r i— h 2 > / Uo 20y r + 2^ 3y + ^3 " 3 y 11 í— U8 V 18 Escribe falso o verdadero, según corresponda. a. La suma de dos fracciones propias siempre es una fracción propia._ La suma de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia. La suma de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia. d. La resta de dos fracciones propias nunca es una fracción impropia._ La resta de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia._ f. La resta de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia._ Soluciona las expresiones. 3 2 a. _ aumentado en _ 7 3 La diferencia entre — y — 8 Y 4 8 2 / C. _ disminuido en _ / 3 5 d, — aumentado en o c J -i i e. La suma de _ v _ aumentada en _ 3 y ó : Expresa los enunciados en forma numérica. 3 3 7 La diferencia entre — y la suma de — y — 7 2 11" 5 5 2 La suma de — y la diferencia entre — y — 9 7 3." 138
- 130. C. La diferencia entre la suma de — y — y la suma de — y — 6 2 y 8 11 4 1 3 1 La suma de — disminuido en — y — aumentado en — 13 8 7 3 La suma de — disminuido en — y la diferencia entre — y — 8 3 11 9 La tabla muestra las notas musicales con su respectivo valor proporcional. Figura Valor proporcional Nombre o 1 Redonda J 1/2 Blanca J 1/4 Negra J> 1/8 Corchea 1/16 Semicorchea } 1/32 Fusa i 1/64 Semifusa •f De acuerdo con la anterior información, soluciona los ejercicios. Ordena de mayor a menor, según el valor proporcional, las figuras negra, redonda, fusa y blanca. ¿ Encuentra el valor de la semicorchea más la blanca. Encuentra el valor de la redonda menos la semifusa. Encuentra la diferencia entre la redonda y la suma de la blanca y la semicor- chea. f 1 Simplifica el resultado de cada operación y encuentra la figura que es equivalente. 5_ _3_ . _6_ J_ 10 10 1 3 1 64 64 24 24 128 128 La información corresponde a cinco compases musicales. 12 12 " T ^ T c o 139
- 131. S Contesta las preguntas de acuerdo con la información anterior. ¿A cuántas negras equivale una blanca en el primer compás? ¿A cuántas negras equivale una redonda en el tercer compás? c. ¿A cuántas blancas equivale una redonda? ¿A cuántas corcheas equivale una negra? y De acuerdo con la información anterior, halla el resultado de las operaciones. El primer compás, más el segundo compás, más el tercer compás. El cuarto compás, más el quinto compás. El tercer compás más el cuarto compás. el. La suma de los cinco compases. S Paola interpretó una semifusa, dos corcheas y tres blan cas. ¿Qué fracción tocó Paola? y Si Andrés tocó dos corcheas y otra nota musical y ob tuvo en total — . ¿Cuál fue la otra nota que tocó Andrés? o y Diana tocó en total _ . ¿Cuál y cuántas notas tocó? 2 Rincón de ta historia Pitágoras (582 a.C. - 500 a.C.) Fue uno de los primeros en estudiar la naturaleza de los sonidos musicales, descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban "armónicos" y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros. Pitágoras descubrió que al dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído, encontró que al dividir una cuerda a la mitad producía un sonido que era una octava más agudo que el original (do al do superior); que cuando la razón era 2:3 se producía una quinta (la distancia de do a sol) y que otras razones sencillas producían sonidos agradables. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles. Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones de estructura aditiva utilizando números fraccionarios.
- 132. Pensamiento numérico - variacional Multiplicación y división de fracciones La música coral o coro es un grupo de personas que cantan c o m o una unidad. Generalmente, el término música coral señala que hay dos o más cantantes por cada voz, mientras que el término canción se usa para la música vocal con un solo cantante por cada parte. El coro de un colegio de Bucaramanga está formado por 24 estudiantes, de los cuales .1 de la mitad son mujeres; la 3 cantidad de mujeres que pertenecen al coro corresponde a: 4 porque: 2 4 •1 1-^1 3 ' 2 " . 6 = 4 / Multiplicación La multiplicación entre fracciones se realiza multiplicando numeradores con numera- dores y denominadores con denominadores. Conviene hacer la simplificación siempre que sea posible. 4 7 _ 2 8 9 ' 3 ~ 2 7 Si a, b, c, a1 , e, f e N , entonces, — . a - c b d b-d f / División La división entre fracciones se realiza multiplicando una fracción por la recíproca de la otra. El recíproco (lat. reciprocus = invertido) de un número es el número que multiplicado con el numero obtiene c o m o producto 1. En una fracción se obtiene la recíproca intercam- biando el numerador y el denominador de la fracción. , , , . ' . , 2 5 2 5 10 e reciproco de la tracción — es —, porque — • — — H 5 2 H H 5 2 10 1 Si a, b, c, d, e, f e N entonces SL ^ £ = - b ' d b e d _ a • d _ e = ~b~c~= J VLLGR Multiplicación y división de fracciones Completa los espacios vacíos en cada operación. a, b. 5 • 3 5 3 . 7 3 • . 2 4 •' 6 "' 2 4 5 • " 5 7 " • 3 4 3 • _ 21 • • 5 _ • 2 • ~ 2 ' 4 " • 7 " 5 " 1 • 28 141
- 133. Si o = b = 1, c = 4 y , d = realiza la operación y ubica el resultado en la parte correspondiente de la tabla. a • b c+b D ' C d + a c- d b + c d a Propia Impropia Unidad Entera Realiza las operaciones en tu cuaderno. 0.1-5 b . 3 + ? c . i . s 8+ l , 2 . 9 7 , 2 7 9 9 6 8 3 En la unidad se selecciona la fracción representada por el primer factor, en este caso — y 4 en la región seleccionada se sombrea la región representada por el segundo factor -2. La región sombreada de la última gráfica representa el resultado de la multiplicación — x — simplificado, por tanto, el resultado es — 4 2 8 Sombrea en cada figura la multiplicación indicada. o. 2 1 — X — 3 4
- 134. Aplica la jerarquía de operaciones para resolver los siguientes ejercicios. 5 _3 2 5 7 + 4 ' ó 5 6 9_ 7 ' 5 + 12 ' ó 5 ó ]_ 8 5 2 5 3 ó 5 3_ 15 5 3 Escribe falso o verdadero. a . El producto de dos números fraccionarios siempre es un número natural. b. Un número natural es un fraccionario con denominador 1. C. El producto de un número fraccionario y su recíproco es una fracción unitaria. El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia. El cociente de dos fracciones impropias es siempre una fracción impropia, f. El número recíproco de un número natural es una fracción unitaria. El número recíproco de una fracción propia es una fracción impropia. El número recíproco de una fracción impropia es una fracción propia. El producto de todo número por su recíproco es uno. En el colegio se organiza una función especial con todos los grupos artísticos. De los — son músicos y de estos — 30 3 1 500 estudiantes 2 L son músicos y de estos — son mujeres y el resto son hombres, adicionalmente _L de la totalidad de los estudiantes son actores, -1 son de grado 10 sexto. ¿Cuántas mujeres pertenecen al grupo de música asistente a la función? ¿Cuántos hombres pertenecen al grupo de música asistente a la función? C. ¿Cuántos estudiantes de grado sexto son actores? Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones problema usando la multiplicación y división de números fraccionarios. 143
- 135. «• Pensamiento numénco - variacional '% Potenciación v radicación de fracciones En la clase de música se deduce que la semifusa es la mitad de la fusa, la fusa es la mitad de la semicorchea, la semicor- chea es la mitad de la corchea, la corchea es la mitad de la negra y la negra es la mitad de la blanca. Por tanto, la semifusa es la mitad de la mitad, de la mitad, de la mitad, de la mitad, de la mitad de la blanca; la situación expresada matemáticamente es: ]_]_]_]_]_]__ J _ 2 2 2 2 2 2 ^ La multiplicación anterior se puede expresar como 6 4 Clave matemática La potenciación de fracciones es el producto de factores iguales. En general, para todo a, b, n e N , b * 0, a o a b'b'b o b a ' a ^ v o y / La potenciación de fracciones cumple con las propiedades: Propiedad nHHHHNNMBi^Hi^^HiHHHRliMflMHHBi Generalización Ejemplo Potencia de una fracción con exponente cero u, u, = 1 Potencia de una fracción con exponente uno U, 1 _ a " b ^ 8 Y 0 3 , . 8 13 Potencia de una fracción 1 _ an / 12V 5 J 1 2 3 " 5 3 Producto de potencias de igual base n + m u, 4 í1 1 t + 4 v 3 J Cociente de potencias de igual base ,b) " (i ' l . n - m 1 í1 0 l 7 per U, ^ 3 U, I 7 " ' Í10 T UJ 144
- 136. / La radicación con fracciones cumple con las propiedades: Propiedad Raíz n-esima de un producto de fracciones Raíz n-esima de un cociente de fracciones Generalización la b c' d ib la _yfa ~b~!b Ejemplo 79^16 = V9 • Vl6 = 3 - 4 = 12 Í16 _ Vl6 _ 4 V 81 ~ M " 9 Raíz n-esima de una raíz m-esima a a VVib h [256 6561 2 3 "ALLER Potenciación y radicación de fracciones O o 1, Calcula las potencias. o b . 3 lllj • • • • C. d. ' 6 N V 10y • • • • e. 9 UoJ • • • • 2, Escribe el exponente que hace verdadera la igualdad. 1 024 O* b . (2 • < 5Y ,10 ) 16 81 625 " 10 000 UJ V 8 y 16 807 1 000 512 e. Í-T v4, 46 656 4 096 _4_ 25 Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta las propiedades de la potencia- ción de fracciones. a. (4 y f 4Y ( ) 4
- 137. V5 4 v5y ( ) ( ) 4 4 5 Escribe falso o verdadero, según corresponda. Cualquier fracción elevada a la cero da como resultado cero._ b . e . í-1 3^ 72 ' r Cualquier fracción elevada a la cero da como resultado uno. Una fracción elevada a la uno da como resultado la misma fracción. 3 2 Í 3 ^ 4 4 2 4 2 3 2 V4y Í-T v 4 , Í-T v4 J Una fracción elevada a la uno da como resultado uno. s2 (7} 8 (7^ 10 lio, lio, OoJ Contesta las preguntas teniendo en cuenta la siguiente información. Figura Valor proporcional Nombre o 1 Redonda J 1/2 Blanca J 1/4 Negra 1/8 Corchea 1/16 Semicorchea 1/32 Fusa 1/64 Semifusa ¿Cuál es la nota musical que corresponde a la cuarta parte de la cuarta parte de la negra? ¿Cuál es la nota musical que corresponde a la octava parte de la corchea? 146
- 138. ~f Soluciona las siguientes situaciones. ¿Cuál es la dieciseisava parte de la semicorchea? ¿Cuál es la treintaidosava parte de la treintaidosava de la fusa? ¿Cuál es la sesentaicuatroava parte de la sesentaicuatroava de la sesentaicuatroava de la semifusa? Completa los espacios y escribe la propiedad empleada en cada caso. ^32-100 000 =^32-^D 2 ? '625 625 a. Vi 81 81 ^625 _ • ^81 ~ • 2/9 • 1 6 • 4 = • VTó • Í4 c. d . ^ 6 4 - 4 096 = ^64-4 096 ^64-VB = • • • 9. Aplica la propiedad distributiva para calcular cada raíz cuadrada. 144 64 900 3 2 1 6 Jl 024 3 [ 8 " 36 V289 V324 V l 2 5 V 243 6 4 400 121 /441 Vi 69 Í484 Í 81 16 V625 ¡ 64 íl 7 2 9 V 2401 Expresa cada cantidad subradical como el producto de números cuadrados y aplica la propiedad. a. Vf96 b. yÍ900 c. V225 d. V576 e. ^ 225 f. ^7 744 Realiza primero las operaciones entre fracciones y luego calcula la raíz cuadrada de la fracción resultante. h. íl±Jl V 8 ' 4 a b. (100 4 81 9 Encuentra el error. a, 16 16 _7_ 16 + V16 16 16 V4 Descriptor de desempeño: / Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación de fracciones en la solución de situaciones problema. 147
- 139. * Pensamiento métrico - geométrico • Unidades de Superficie i i i mmmmmmmmmmmmmmmm El lienzo es una tela para pintar al ó l e o , se compone de una sola urdimbre elaborada de lino, a l g o d ó n , c á ñ a m o o yute preparado. El mejor lienzo para la pintura es el de lino, debidc a que tiene la superficie m á s suave y es el menos absorbente. Los lienzos se encuentran en cortes rectangulares de diferentes t a m a ñ o s , cada corte recibe un c ó d i g o especial y se pueder cubrir con una cantidad de cuadrados de 1 cm de lado. La cantidad estándar de cuadrados en los cuadros se encuentra en la siguiente tabla. Cantidad de cuadrados de un centímetro Número o Código de cada lienzo OF OP OM 1F 1P 1M 2F 8F La cantidad de cuadrados de un centímetro de lado que cubre un lienzo se denomina árec del lienzo. • • . • Una región del plano delimitada por una línea cerrada se denomina superficie. A la cantidad de unidades cuadradas que cubren una superficie se le denomina área de la región. Para medir el área de una superficie se seleccionan cuadrados cuyos lados correspondan a una unidad de longitud. La unidad principal para medir el área es el metro cuadrado, es decir, un cuadrado de 1 m de lado. Los submúltiplos del metro cuadrado son cuadrados cuyos lado son los submúltiplos del metro cuadrado, m2 . Decímetro cuadrado, dm2 , cuadrado de l d m de lado. Centímetro cuadrado cm2 , cuadrado de 1 cm de lado. Milímetro cuadrado m2 , cuadrado de 1 mm de lado. Los múltiplos del metro cuadrado son cuadrados cuyos lados son los múltiplos del metro cuadrado, m2 . D e c á m e t r o cuadrado, dam2 , cuadrado de 1 dam de lado. Hectómetro cuadrado, hm2 , cuadrado de 1 hm de lado. Kilómetro cuadrado km2 , cuadrado de 1 km de lado.
- 140. Q TALLER Unidades de superficie O o o Observa la gráfica y contesta las preguntas. La gráfica que se muestra corresponde a un metro cuadrado a escala y en su interior cuatro decímetros cuadrados. J r ¿Cuántos decímetros cuadrados hay en un metro cuadrado? ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un decímetro cuadrado? ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un metro cuadrado? t i ¿Cuántos metros cuadrados tendrá un d e c á m e t r o cuadrado? e. Analizando las preguntas y respuestas de la a a la d, ¿qué puedes concluir? 2. Convierte a metros cuadrados, decímetros cuadrados y centímetros cuadrados las si- guientes áreas. a. 25 dam2 = 4 8 h m 2 = _ c. 1 3 4 k m 2 = 36 hm2 = m 2 — m nrr 2 _ rrr dm2 = dm2 = dm2 = dm2 cnrr cnr 3. Completa las equivalencias con la unidad de medida en cada caso, a 376 hm2 = 37 600 9 800 cm2 = 98 1 580 dam2 = 15 800 000 6 350 000 dm2 = 635 2 380 km2 = 2 380 000 000 4. Transforma cada medida a la unidad solicitada a . 453 000 km2 = dam2 12 3 0 0 d m 2 = c, 12 535 hm5 m u 1 350 dam2 Realiza una correspondencia entre las unidades solicitadas trazando una línea. a. b. c, e. 1 568 hm2 15 680 km2 1,5680 dam2 156,80 cm2 156 800 dm2 156 800 dm2 1 568 m2 1 568 000 000 000 dm2 15 680 000 m2 15 680 mm2
- 141. Escribe F o V, según corresponda. 234 dam2 equivalen a 23 400 m2 , 340 000 dm2 ( ) b. 1 250 hm2 equivalen a 1 250 000 000 d m 2 y 25 000 dam2 ( ) 450 cm2 equivalen a 400 d m 2 y 50 cm2 ( ) 280 km2 equivalen a 28 000 hm2 y 2 800 000 dam2 ( ) Un lienzo de 24 dm2 , tiene la siguiente distribución: 1 de su área para los datos del dibujo, 1 para la pintura y el resto para d e c o r a c i ó n . 2 a . ¿ Q u é fracción del lienzo corresponde a la decoración? b. ¿Cuántos m2 del lienzo ocupan los datos del dibujo? ¿Cuántos cm2 del lienzo ocupa la pintura? ¿Cuántos cm2 del lienzo ocupa la decoración? f Resuelve las situaciones. El área del salón de clases de grado sexto es 36 m2 . ¿Cuántas baldosas cuadradas de 1 60 cm2 se necesitan para cubrirlo totalmente? b. Un terreno tiene un área de 285 hm2 . Si el valor del metro cuadrado es 1 250 000 pesos, ¿cuál es el costo del terreno? *f Calcular en m2 la superficie de un cuadrado cuyo perímetro es: a. 632 m b. 740 m c « 1 5 d m d. 86 dm < W v - ' v y- : T u r v mm Medidas agrarias Las medidas agrarias son medidas de superficie muy utilizadas para medir terrenos. Son: el área, la hectárea y la centiárea, cuyas definiciones son: 1 área = cuadrado de 10 metros de lado = 1 00 m 2 1 hectárea = cuadrado de 1 00 metros de lado = 1 0 000 m 2 1 centiárea = cuadrado de 1 m de lado = 1 m 2 ... $<err,—r-— <J'- . ._>V-_.. ___.Jc Completa los espacios. 1 0 km2 = hectáreas 1 20 m2 = centiáreas c. 8 000 000 m2 = áreas 240 hectáreas = m2 e. 60 000 = ó f. 800 hectáreas = hm2 Descriotor de desernosno! 150 / identificar las unidades de superficie y establecer equivalencias entre estas en la solución de problemas.
- 142. Area de polígonos Para la clase de arte de grado sexto, una estudiante va a realizar una exposición de la pin- tura de la Gioconda o Mona Lisa, para la exposición va a cubrir la pintura con cuadrados de un centímetro de lado. ¿Cuántos cuadrados se necesitan? 5 m Para calcular el área de la pintura se multiplica la longitud de la base por la al+ura, por tanto, A = 3 m • 5 m = 15 m2 ; es decir, se necesitan quince cuadrados. 3 m Para calcular el área de las figuras geométricas se utilizan las siguientes fórmulas. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Nombre Triángulo Figura Área b: base h: altura A = b_H Cuadrado Rectángulo Rombo Paralelogramo Trapecio Polígono regular b b h ~~E~ I: lado A - I2 b: base h: altura A = b • h D: diagonal mayor d: diagonal menor 2 b. base h: altura A = b • h B: base mayor b: base menor h: altura B ñ> P: perímetro a: apotema P a El perímetro de una figura geométrica es la suma de la longitud de todos sus lados. 151
- 143. Q TALL6R Área de polígonos O O ° / i 1. Encuentra el área de las siguientes figuras, según el patrón de medida indicado. C. A = A A D b. n A = • A = í A = • Encuentra el valor de x: Q. fe- Perímetro = 80 cm Área = 152 dam A A o Área = 36 m 3. Encuentra el área de los polígonos. 3 cm b. 3 cm 3 m 12 m m d. 7 m 5 m 3 m 4 . Calcula el perímetro y área de las figuras, a . Cuadrado cuyo lado mide 5 cm. 6 mm i 3 cm Rectángulo cuya base mide 3 m y su altura es el doble de la base. Un rombo cuyos lados miden 7 m y cuyas diagonales suman 19,5 m y una de ellas es el doble de la otra. Un trapecio cuyas bases son 7 dm y 3 dm y su altura corresponde a la mitad de la suma de las bases y los otros dos lados suman 8 dm. 152
- 144. 5, Escribe falso o verdadero, según corresponda. a. El perímetro de una figura geométrica es igual a su área. El área de un rectángulo es la mitad del área de un triángulo. El área de un rectángulo es el doble del área de un triángulo. d. El área de un paralelogramo es igual al área de un rectángulo. e. El perímetro de una figura geométrica siempre es menor que el área. Y~ Una sala de exposición de forma rectangular tiene un área de 48 m2 . ¿Cuál puede ser el perímetro de la sala? y 7. Una pintura en forma cuadrada tiene un perímetro de 36 m. ¿Cuál es el área de la pintura? y 8 Una escultura de forma triangular tiene 6 m de base y su altura es la mitad de la base. ¿Cuál es el área de la escultura? y ' ¿Qué figura geométrica tiene un área igual a su perímetro? Da un ejemplo. 10. Las aristas de una caja como la de la figura se van a reforzar con cinta plástica adhe- siva. ¿Cuánta cinta se necesita? 300 mm 60 cm y 11. De una revista se obtuvo el diseño de un jardín que se va a construir en un terreno. La forma que tendrá se muestra en el modelo. Con base en los datos que ahí aparecen, contesta las preguntas. Lado de la fuente = 50 m Distancia de la fuente a la esquina de cada área con jardín = 80 m a. ¿Cuántos dam2 mide cada parte triangular? b. ¿Cuál es el área que ocupará la fuente? C. ¿Qué superficie ocupan los jardines con la fuente? Descriptor de desempeño: / Calcular el área de figuras geométricas usando las respectivas fórmulas y aplicarlas en la solución de situaciones problema.
- 145. Pensamiento métrico - geométrico Perímetro de la circunferencia v área del círculo Leonardo da V i n a es uno de los m á s importantes artistas y genios de toda la historia. U n a de sus obras m á s importantes es "Hombre de Vitruvio", representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo h u m a n o , realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma. i /A I % i n . . . . . . •" ÉÜ ¿Cuál es el área y el perímetro de esta circunferencia? Clave matemática El perímetro de una circunferencia se determina por: P = 2_^1T • r : | I >• Longitud o medida de c a d a radio. En la circunferencia completa hay 2 • TC. Equivalentes a ó radios y 0 , 2 8 3 2 partes de radio El área del círculo se determina por medio del producto A = 7Y • r2 Por tanto, el perímetro de la circunferencia del Hombre de Vitruvio, es —» P = 2 - T C - r = 2 - T T - l . El área que a b a r c a la circunferencia es —> A — 7T • r2 = TC • 1 2 = 3,1 41 ó m 2 O T A L L E R Perímetro de la circunferencia y área del círculo O O ° Calcular el perímetro de las siguientes circunferencias.
- 146. E m p l e a n d o c o m p á s , r e g l a , c o l o r e s y tijeras, realiza los siguientes p a s o s . D i b u j a y r e c o r t a e n c a r t u l i n a u n círculo d e r a d i o d e l número n a t u r a l q u e q u i e r a s . Traza y m i d e la l o n g i t u d d e l r a d i o . C a l c u l a el perímetro d e la c i r c u n f e r e n c i a . d. D e l i n e a la m i t a d d e la c i r c u n f e r e n c i a c o n u n c o l o r y la o t r a m i t a d c o n o t r o color. D i v i d e el círculo e n dieciseisavos, traza u n r a d i o c o n u n c o l o r d i f e r e n t e p a r a d i v i d i r u n a región e n d o s sectores ¡guales. Recorta c a d a p a r t e . U b i c a las f i c h a s c o m o se m u e s t r a n a continuación. r a d i o ¿Es posible u b i c a r t o d o s los sectores circulares d e l i n e a d o s d e u n m i s m o c o l o r a r r i b a o a b a j o ? Justifica la respuesta c o n las fichas. Si las líneas d e la parte superior n o f u e r a n curvas sino un s e g m e n t o , ¿qué figura se for- maría? ¿Cuál es la fórmula p a r a c a l c u l a r el área d e la f i g u r a propuesta en el p u n t o anterior? Para d e t e r m i n a r el área d e u n círculo se r e c u b r e p o r sectores c i r c u l a r e s ; u n s e c t o r es u n a región l i m i t a d a p o r d o s r a d i o s y u n a r c o d e la c i r c u n f e r e n c i a . A l u n i r los d i f e r e n t e s sectores c i r c u l a r e s se f o r m a u n a región n o p o l i g o n a l , entre más p e q u e ñ o sea el a r c o d e la c i r c u n f e r e n c i a se aproximará más u n p a r a l e l o g r a m o . La b a s e d e la f i g u r a p o l i g o n a l es m e d i a c i r c u n f e r e n c i a , p o r t a n t o , e q u i v a l e a I T • r, y el área d e la c i r c u n f e r e n c i a se d e t e r m i n a p o r el p r o d u c t o TV • r • r = TV • r? • E n c u e n t r a el área d e c a d a círculo c o n b a s e e n c a d a r a d i o : r = ó c m r = 1 1 c m r = 1 3 c m r— 1 9 c m r = 2 1 c m r = 2 4 c m Realiza u n a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e las d i f e r e n t e s c o l u m n a s . Circulo Radio Área 4 cm 64 • I T cm2 8 cm 4 TC cm2 2cm ^ 16 • TC cm2
- 147. Calcula el área y el perímetro de la figura total y de los sectores sombreados. Área total Perímetro total Área sombreada Perímetro de la región (radio + radio + longitud del sector circular) r = 8 cm S>r= 6 cm Qr= 12cm er = 4 cm r = 10 cm y Resuelve las situaciones. :; El radio de una piscina circular es de ó m. ¿Cuál es la cantidad de baldosas cua- dradas de 4 cm de lado, que se necesitan para cubrir el piso de la piscina? fe Julián tiene cuadrados de cartulina de 50 cm de lado, para construir algunas figu- ras empleando el arte óptico. ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia con mayor longitud que se puede trazar en cada cuadrado de cartulina? C. Si el radio de cada uno de los círculos delineados con rojo en la obra de arte, mide 35 cm, ¿cuál es el área de los cuatro círculos señalados? Título: Arte óptico - Op Art A548W Técnica: digital sobre papel Fujlcolor Profesional Medidas: 1 m x 1 m Descriptor de desempeño: / Aplicar el perímetro de la circunferencia y área del círculo para solucionar problemas.
- 148. w Área de figuras sombreadas — Un artista desea exponer su trabajo en una galería de arte, y necesita encontrar el área de pintura, que está compuesta por el área de la pintura y el área sombreada. A = A -4- A " T O T A L PINTURA ' "SOMBREADA TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL (2 m • 4 m ) + 2 • 2 m • 2 m + 2 J = 8 m 2 + 2 • íüf- + 2 8 m ^ 2 8 m 2 + (4 m 2 + 8 m 2 ) 8 m 2 + 12 m 2 20 m 2 El área del trabajo para exponer es de 20 m5 r 2 m • 4 m l 2 Clave matemática Para calcular el área de figuras sombreadas, se le resta el área menor al área mayor o con las figuras sombreadas se forma una figura y se calcula el área. 4 cm sombreada 4 cm = área cuadrado mayor - área cuadrado menor (4 cm - 4 cm) - (3 cm - 3 cm)sombreada A . . = 16 cm2 - 9 cm' sombreada A . . = 7 cm2 sombreada O TALLER Área de figuras sombreadas O oo Escribe la diferencia de las áreas respectivas para calcular el área sombreada. a, c. e.
- 149. Dibuja una figura dentro de las figuras dadas, de tal forma que se pueda aplicar el área de figuras sombreadas. j — /— i i 1 1i * — i — • V 1i / 1i ) —1i / — Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta la fórmula respectiva para calcular el área sombreada. A SOMBREADA = 1 6 O! - 4 01 = 1 2 OI b . ( ) A SOMBREADA 4 TV CID2 - 2 C m 2 Ce ( ) ASOMBREADA 4 TV m 2 - 2 ^ el» ASOMBREADA = 1 8 m - 9 m = 9 m ' Escribe falso o verdadero, según corresponda. Cualquier figura se puede inscribir en otra figura de mayor área. Cualquier figura se puede inscribir en otra figura de menor área. c. Cualquier área sombreada es mayor a cualquiera de las áreas de las figuras que la conforman. Cualquier área sombreada es menor a cualquiera de las áreas de las figuras que la conforman. Cualquier área sombreada es igual a la suma de las áreas de las figuras que la conforman. -f Una obra de arte tiene forma rectangular con una base de 6 0 cm y altura de 4 0 c m . El color principal ocupa un área triangular inscrita en el rectángulo con igual base y altura del rectángulo. ¿Cuál es el área de la obra que no corresponde al color principal? 1 5 8
- 150. Encuentra el área de la circunferencia sabiendo que el radio es la mitad de la base. y - Una obra de arte tiene forma circular con un diámetro igual a 4 m y dentro de ella se encuentra inscrito un círculo con un radio igual a 1,5 m. ¿Cuál es el área comprendida entre los dos círculos? En un centro comercial se observa una baldosa cuadrada con el siguiente diseño: 10 m ¿A cuánto equivale el área sombreada de esta figura? Si un almacén tiene 15 baldosas, ¿cuánto es el área del piso sin sombrear? -f En la plaza central de un centro comercial se encuentra el siguiente diseño con cuatro fuentes circulares: 16 m Calcula el área sombreada de esta plazoleta. / Aplicar el área de figuras sombreadas en la solución algunas situaciones. 159
- 151. Diagrama circular Una función de teatro se c o m p o n e de varias escenas organizada por diferentes grupos de artistas. En la Academia Abstracta ningún actor está en dos o más escenas. En la primera escena participan 2 0 artistas, en la siguiente 1 0 artistas y en la última cuatro artistas. Para un estudio se muestra la información de la siguiente manera: Clave matemática El d i a g r a m a circular muestra la relación entre la cantidad total del registro y la fre- cuencia de cada dato, es decir, entre el total del círculo y sus partes. La comparación se puede dar por medio de números fraccionarios o porcentaje. El porcentaje se puede calcular realizando un producto entre la frecuencia relativa de cada dato por 100. T^JL»l»€!Fl Diagrama circular ® Revisa periódicos o revistas y encuentra cinco diagramas circulares, luego recórtalos, pégalos en el cuaderno y realiza con cada uno el siguiente análisis: Título del gráfico. Variables empleadas (cualitativas o cuantitativas). Total de personas encuestadas. Conclusiones de la información. Observa los siguientes diagramas y completa cada una de las tablas. Emplea la parti- ción más pequeña para expresar la fracción que corresponde a cada región sombrea- da.
- 152. Total de encuestados: 80 niños de 1 0 a 13 a ñ o s . • Punk QSka • Rock • Tropipop • Salsa Géneros musicales Punk Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia Ska Rock Tropipop Salsa o merenge Total de encuestados 80: jóvenes de 1 4 a 20 a ñ o s . • Punk • Ska • Rock • Tropipop • Salsa Géneros musicales Punk Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia Ska Rock Tropipop Salsa o merenge Total de encuestados: 80 adultos de 21 a 35 a ñ o s . • Punk B S k a • Rock • Tropipop • Salsa Géneros musicales Punk Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia Ska Rock Tropipop Salsa o merenge
- 153. Total de encuestados: 80 adultos de 36 a 60 años. • Punk B S k a • Rock • Tropipop • Salsa Géneros musicales Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia Punk Fracción del círculo Porcentaje Ska Rock Tropipop Salsa o merenge ¿En qué rango de edades se prefiere escuchar más salsa o merengue? ¿Cuál es el género musical que escuchan todas las edades? h. Inventa una pregunta y socialízala con tus compañeros. Realiza una correspondencia entre la tabla y el diagrama circular. Guitarra Flauta Organeta Batería Guitarra Flauta Organeta Batería Guitarra Flauta Organeta Batería Guitarra Flauta Organeta Batería ffl Guitarro 8 Flauta ü Organeta • Batería
- 154. C o n t e s t a f a l s o o v e r d a d e r o , t e n i e n d o c o m o referente el d i a g r a m a circular. Cantidad de estudiantes inscritos en cursos de manualidades • Vitrales H Cerámica H Títeres B Bordados La c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s inscritos e n clase d e vitrales es m e n o r q u e la c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s inscritos e n títeres y b o r d a d o s . El m a y o r p o r c e n t a j e d e e s t u d i a n t e s inscritos a clase d e m a n u a l i d a d e s c o r r e s p o n - d e n a e s t u d i a n t e s d e vitrales. La c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s inscritos e n vitrales y b o r d a d o s r e p r e s e n t a n el 5 0 % d e los e s t u d i a n t e s . El 2 5 % d e los e s t u d i a n t e s lo r e p r e s e n t a n los e s t u d i a n t e s d e cerámica y vitrales. Si el t o t a l d e e s t u d i a n t e s es 1 2 0 , la c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s q u e asisten a cerámica y vitrales es 2 5 . Realiza u n a e n c u e s t a e n el c o l e g i o d e u n a p r e g u n t a y c u a t r o o p c i o n e s d e respuesta a 2 0 p e r s o n a s s o b r e sus a p t i t u d e s artísticas. L u e g o , registra la información e n u n d i a g r a - m a circular. S Para realizar u n c o n c i e r t o e n la c i u d a d d e M o n t e r í a , se a d e l a n t a u n e s t u d i o e m p l e a n d o c o m o técnica p a r a r e c o l e c t a r d a t o s el envío g r a t u i t o d e los m e n s a j e s a celular. L u e g o d e entrevistar a 4 8 0 p e r s o n a s se n o m i n a r o n a los siguientes tres c a n t a n t e s . Cantante Cantidad de Votos Sakira 240 Wamba 60 Juanes 180 Otros 0 ¿ Q u é fracción d e l t o t a l r e p r e s e n t a c a d a d a t o d e la t a b l a d e f r e c u e n c i a s ? Escribe el p o r c e n t a j e . Cantante Fracción /o Sakira Wamba Juanes Otros C o n s t r u y e el d i a g r a m a c i r c u l a r t e n i e n d o e n c u e n t a la información a n t e r i o r . Descriptor de desempeño: / Interpretar y analizar información por medio de diagramas circulares. 163
- 155. «• Pensamiento aleatorio Medidas de tendencia central La distribución de frecuencias y su respectivo diagrama circular representan la información obtenida al encuestar un grupo de personas sobre su preferencia por alguna actividad artís- tica. • Música • Pintura • Escultura • Bordado • Vitrales Actividad Frecuencia Música 25 Pintura 20 Escultura 12 Bordado 18 Vitrales 30 Teniendo en cuenta el resultado de la encuesta, se observa que la actividad de mayor prefe- rencia son los vitrales, este dato recibe el nombre de moda (Mo). Clave matemática Las medidas de tendencia central son valores descriptivos cuyo objetivo principal es ubicar el centro del conjunto de datos; estas medidas son el promedio X , la mediana (Me) y la moda (Mo). / El promedio, t a m b i é n conocido como media aritmética o media, se utiliza cuan- do no se encuentran datos extremos en el conjunto. Para calcular la media se suman las frecuencias y el resultado se divide entre la cantidad de datos. Para el ejemplo anterior, el promedio se calcula: X = 25 + 20 + 12 + 18 + 30 105 = 21 / La mediana no se ve afectada cuando hay valores extremos, esta divide al con- junto de datos en dos conjuntos ¡guales. Para calcular la mediana se organizan los datos de menor a mayor o viceversa y se ubica el dato que se encuentra en el centro del conjunto. Cuando el conjunto tiene un n ú m e r o impar de datos, la mediana corresponde al dato que divide al conjunto en dos conjuntos ¡guales; para el ejemplo anterior tenemos: 12 18 20 25 30 El 20 es el dato que divide al conjunto en dos partes ¡guales, por tanto, la mediana es 20. Cuando el conjunto tiene un n ú m e r o par de datos, la mediana corresponde al promedio entre la pareja de datos que divide en dos partes ¡guales al conjunto; supongamos que para el ejemplo anterior tenemos: 12 18 20 24 25 30 164
- 156. La pareja que divide el conjunto en dos partes iguales es 2 0 y 2 4 , portanto la media- i i - i 2 0 + 2 4 4 4 na corresponde al promedio entre estos números, es decir, = — = 2 2 / 2 2 la mediana es 2 2 . / La m o d a es el dato que tiene mayor frecuencia; si un conjunto tiene una moda se dice que la distribución es unimodal; si tiene dos modas, bimodal y tres o más modas, multimodal; cuando el conjunto no tiene moda se dice que es a m o d a l . Para el ejemplo anterior, la mayor frecuencia es 3 0 , que corresponde a vitrales; por tanto la moda del conjunto es vitrales. O TALLER Medidas de tendencia central O o ° ,)j 1, Encuentra el promedio y la mediana de las distribuciones de frecuencias. o.. Músico Frecuencia Mozart 27 Bach 11 Bethoven 32 Vivaldi 12 c. — Voces Soprano Bajo Media Alta Barítono fa. Identifica la moda en los gráficos estadísticos. 35 30 < 25 u Z 20 ti 15 £ 10 5 0 GUSTO LITERARIO PELICULA PREFERIDA 40 35 " 25Z 25 " 20 U 15 | 10 5 0 Frecuencia 22 13 15 20 5 Instrumento Frecuencia d . Género musical Frecuencia Vlolín 25 Clásica 12 Flauta 20 Pop 33 Clarinete 12 Instrumental 10 Bajo 18 Tropical 15 Jazz 15 Suspenso Drama Novela Científica Universal LITERATURA Suspenso Ciencia ficción Cómica Cultural GÉNERO b , CANTANTE PREFERIDO • Shakira |H Juanes • Maia I- ! Corlos Vives [~l Los de Adentro d . EMISORA PREFERIDA 99.9 Amor Stereo Vibra Bogotá La Mega Tropícana 0 10 20 30 40 50 FRECUENCIA
- 157. Escribe la letra correspondiente en el paréntesis, teniendo en cuenta el promedio y la mediana de los conjuntos dados. 2 1 , 10, 14, 19, 20, 17 46, 40, 42, 44 87, 90, 85, 80, 83 d. 8, 4, 9, 3, 1 101, 98, 100, 90, 95 ) 9 Ó , 8 ) 5 ) 16,8 ) 4 3 ) 85 4 85 98 43 18 Escribe falso o verdadero, según corresponda. En un con En un con En un con En un con En un con En un con unto de variables cuantitativas se puede calcular el promedio, unto de variables cualitativas se puede calcular el promedio._ unto de variables cualitativas se puede calcular la mediana. unto de variables cuantitativas se puede calcular la mediana._ unto de variables cuantitativas se puede calcular la moda. unto de variables cualitativas se puede calcular la moda. La información representa la preferencia de un grupo de personas por algunos pintores famosos. Pintores Frecuencia Miguel Ángel 24 Picasso 30 Rafael 15 Leonardo 22 Van Gogh 27 Escribe el nombre de la representación anterior. b. ¿Cuál es el pintor que prefieren la mayoría de las personas? ¿Cuál es el pintor con menor preferencia? ¿Cuál es la moda del conjunto anterior? ¿ Q u é tipo de variable se representa en el diagrama? r El diagrama representa la preferencia de personas por algunos escultores famosos. Escultores preferidos • Rodin H Bosío D Algardi O Canova Escribe el nombre de la representación anterior. ¿Cuál es el escultor que prefieren la mayoría de las personas? ¿Cuál es el escultor con menor preferencia? ¿Cuál es la moda del conjunto anterior? ¿ Q u é tipo de variable se representa en el diagrama? 166 / identificar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.
- 158. Galería de arte Objetivo Diseñar la maqueta de una galería de arte apli- cando los temas vistos en la unidad. Materiales • Cartón paja rectangular (mínimo un cuarto de pliego) • Cartulina y papel de colores • Lápices, colores, regla, coibón, compás, tijeras • Elementos para decorar Distribución de la galería A continuación encontrarás la distribución de la maqueta y la fracción del cartón paja que corresponde a cada lugar. • Sala de exposición de pintura, —. • Sala de exposición de escultura, • Hall, el doble de la entrada. • Plazoleta de comidas, — . 1 • Entrada, J _ 48 • Sala de espera, el doble de la entrada. • Marca de la maqueta (datos del estudian- te), igual a la entrada. Instrucciones Debes tener en cuenta que: • La entrada comunica con el hall. • El hall comunica con la sala de exposición, la plazoleta y la sala de escultura. í • 1 1 • La plazoleta comunica con la sala de es- pera. • El alto de las paredes interiores y exterio- res de los lugares de la galería corres- ponde a la menor longitud de uno de los lados de la sala de exposición de pintu- ra. • En las paredes de la sala de pintura se deben insertar cuadros (mínimo tres por pared) con figuras geométricas; los datos de estas pinturas corresponderán al área y el perímetro de ellas. En la sala de escultura, diseñar y ubicar algunas esculturas en un lugar visible. • En la plazoleta, crear dos mesas redon- das proporcionales al tamaño de la pla- zoleta; sobre la tapa de una de la mesas escribir el perímetro de la circunferencia que la forma y sobre la otra tapa, el área del círculo de la tapa. • En la sala de espera, en el hall y en la en- trada, la creatividad corre por tu cuenta. « La marca no debe estar sobrepuesta en ningún lugar. • La maqueta no debe estar cubierta y de- bes preparar con tus compañeros una socialización de las diferentes galerías de arte.
- 159. ¿Qué es la propiedad intelectual? La propiedad intelectual tiene que ver con las creaciones de la mente: las invenciones, las obras literarias y artísticas, los símbolos, los nombres, las imágenes, los dibujos y modelos utilizados en el comercio. La propiedad intelectual se divide en dos categorías: la propiedad industrial, que incluye las invenciones, patentes, marcas, dibujos y modelos industriales e indicaciones geográficas de origen; y el derecho de autor, que abarca las obras literarias y artísticas, tales como las no- velas, los poemas y las obras de teatro, las películas, las obras musicales, las obras de arte, tales como los dibujos, pinturas, fotografías y esculturas, y los diseños arquitectónicos. Los derechos relacionados con el derecho de autor son los derechos de los artistas intérpretes o ejecutantes sobre sus interpretaciones o ejecuciones, los derechos de los productores de fonogramas sobre sus grabaciones y los derechos de los organismos de radiodifusión sobre sus programas de radio y de televisión. El derecho de autor y los derechos conexos ¿Qué es el derecho de autor? El derecho de autor es un término jurídico que describe los derechos concedidos a los creadores por sus obras literarias y artísticas. Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008. Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008. Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008.
- 160. ¿Qué abarca ei derecho de autor? El tipo de obras que abarca el derecho de autor incluye: obras literarias como novelas, poemas, obras de teatro, documentos de referencia, periódicos y programas informáticos; bases de datos; películas, composiciones musicales y coreografías; obras artísticas como pinturas, dibujos, fotografías y escultura; obras arquitectónicas; publicidad, mapas y dibujos técnicos . Portanto cuando uno hace trabajos escritos y toma ideas, frases, conceptos de otros autores para realizar esos trabajos estas obligado a citar el o los autores, ya que eso tiene que ver con el respeto, veneración, acatamiento que se hace a alguien. Para citar a otros autores hay unas normas y una forma de hacerlo, por eso averigua y res- ponde las siguientes preguntas: 1, ¿Qué es una bibliografía? 2. ¿Qué es una cita bibliográfica? 3 ¿Qué es una nota al pie? 4 , Pregúntale a tus padres ¿Por qué es importante saber hacer citas bibliográficas y notas de pie de página en un trabajo escrito que realicemos? Anótala. 5, Pregúntales a tus compañeros. ¿Por qué es importante saber hacer citas bibliográficas y notas de pie de página en un trabajo escrito que realicemos? Anótala y compárala con la que respuesta que tus padres te dieron y, ¿qué elementos nuevos encontraste? 6- ¿Qué son las normas Icontec? *í. Escribe un breve resumen de cómo citar a otros autores de acuerdo a las normas Icontec. Microsoft® Encarta® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
- 161. Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 6 con base en la siguiente información. En un colegio de la ciudad de Bucara- manga, los estudiantes del grado 601 op- taron por una de las electivas artísticas, la cantidad de participantes en cada clase se presenta en la siguiente tabla. Cantidad de estudiantes inscritos I Cantidad de estudiantes I , La tabla que representa la información anterior es: A, ÍA Electiva Cantidad de estudiantes inscritos Música 8 Manualidades 10 Ballet 12 Vitrales 7 Electiva Cantidad de estudiantes inscritos Música 8 Manualidades 12 Ballet 10 Vitrales 7 Electiva Cantidad de estudiantes inscritos Música 7 Manualidades 10 Ballet 12 Vitrales 8 Electiva Cantidad de estudiantes inscritos Música 8 Manualidades 10 Ballet 12 Vitrales 7 2, La fracción de los estudiantes que pre- fieren música corresponde a: A, Una fracción propia Una fracción impropia C. Una fracción entera 3. La fracción de estudiantes que prefie- ren vitrales y manualidades es equi- valente a una fracción: A, Con numerador 148 y denomi- nador 57 B, Con numerador 74 y denomina- dor 38 C, Con numerador 57 y denomina- dor 148 D Con numerador 38 y denomina- dor 74 4. La cantidad promedio de estudiantes inscritos en las electivas artísticas es: A: Mayor de 1 2 y menor de 1 4 ¡A Menor de 1 0 C, Menor de 37 y mayor de 1 2 D. Mayor de 20 y menor 23 5. La operación que modela la situa- ción "La mitad de los estudiantes que prefieren música" es: ; 1 + A l.JL 2 37 2 37 2 37 2 37 6. El diagrama circular que representa la información es: Música fu Música Ü Ballet • Ballet H[ Manualidades ¡ü Manualidades • Vitrales • Vitrales D. Una fracción unitaria
- 162. Prueba de unidad t,. D. Si Músico 0 Música • Ballet • Ballet |§| Manualidades B Manualidades • Vitrales • Vitrales Contesta las preguntas de la 7 a la 10 con base en la siguiente información. Observa algunos elementos empleados en un concierto musical, algunos de estos de- jaron marcas. 7., El perímetro de la pantalla gigante se calcula: A. Multiplicando la longitud de todos sus lados. Sumando la longitud de dos de los lados. Multiplicando la longitud de dos dé- los lados. Sumando la longitud de todos los lados. 8, La luz reflejada en el suelo del concierto demarca un polígono regular, si el lado de un lado de un polígono demarcado en el suelo es 80 cm, el perímetro es equivalente a: 2 0 0 c m + 200 cm 80 cm 400 cm + 8 0 cm 800 cm 9. Si la fórmula para calcular el área de un círculo es TV r2 . El área de la tapa del tambor es: 30 IV c m 2 225 Tí c m 2 15 TI c m 2 120 TV c m 2 A El área del lugar del concierto es 450 m2 , luego su equivalente en cm2 es: 45 000 cm2 4 500 000 cm2 C. 450 000 m2 450 cm2 A B C D O o o o o o ^Z-^ ^ZZ-^Z_Z^ ^CZZ^ ^ZZZ^ ^ZZ^ ^ZZ-^ CZZ-^ ^--—-^ ^ZZZ^ ^ZZ^ 8 < CU) c s s v_ o c 10 o
- 163. J Números decimales • Magnitudes proporcionales • Números enteros • Capacidad • Movimientos rígidos • Combinaciones y permutaciones • Probabilidad En esta unidad realizarás un recorrido a través de la máquina del tiempo desde nuestra época hasta m u - chos años antes de Cristo. Tu viaje será representado en una línea denominada línea del tiempo. En este viaje te mostraremos algunos de los inventos que el ser humano ha realizado a lo largo del tiempo para mejorar su calidad de vida. Prepárate, iniciamos el recorrido, pero antes observa la ruta de desplazamiento. a.C. — 1— 300 150 —I h— 1500 1610 + - • d.C. 5000 1500 1742 1801 1982 En la línea del tiempo los puntos que representan años consecutivos son equidistantes, es decir, se encuentran a la misma distancia. Observa que en la línea del tiempo unos acontecimientos están más cerca que otros por esta razón, así se puede determinar qué acontecimientos sucedieron antes de determinado año, después de cierto acontecimiento cuántos años han transcurrido entre un descubri- miento y otro, la cantidad de años que se encuentran entre un invento y el nacimiento de Jesucristo y los acontecimientos ocurridos la misma cantidad de años antes y después de Cristo, entre otros. Exploro los conceptos •7 •7 u }„)) Responde en tu cuaderno. 1 . Consulta inventos y ubica por lo menos tres en la línea del tiempo. 2 . Nombra dos inventos que estén a la misma distancia del año cero. 3 . ¿Cuántos años han transcurrido entre el nacimiento de Cristo y la invención del microscopio? 4 . ¿Cuántos años han pasado entre la invención del sismoscopio y el termómetro? 5 . ¿Qué significado tiene el año cero? 6. Antes y después del nacimiento de Cristo, ¿cuál es el acontecimiento más antiguo?, ¿Cuál es el más reciente? 7. Si el año cero corresponde al año de tu nacimiento, traza una línea del tiempo y ubica acontecimientos significativos para tu familia, antes y después de tu nacimiento.
- 164. Pensamiento numérico - variacional • Fracciones decimales y números decimales La balanza es un dispositivo empleado en diferentes lugares: casas, colegios, labo- ratorios, empresas e industrias para de- terminar el peso o la masa de un objeto o sustancia. Un invento del siglo XXI es la balanza digital. En la pantalla de la balanza digital se in- dica el peso del objeto una vez se colo- que sobre el sensor, esta medida es dada en múltiplos y submúltiplos del gramo, los cuales corresponden a potencias de 10. La balanza digital de la imagen indica que el bolígrafo pesa 0,30 g, número que equivale a 30 100 g y se lee 30 centesimos de gramo. Clave matemática Las fracciones con denominador 10 o alguna potencia de 1 0 se denominan fracciones decimales, se leen de forma particular y equivalen a un número decimal. 1 1 7 — = — - = 0,1 se lee "un décimo"; — 10 10' 6 6 103 ~ 1 000 7 100 102 = 0,07 se lee "siete centesimos"; = 0,006 se lee "seis milésimos" y 8 0 0 0 5 =8 0 0 0 5 = 8 0005 / se lee como 104 10 000 ' fracción ochenta mil cinco diezmilésimas; como número decimal ocho enteros, cinco diezmilésimas. Cada uno de los dígitos de un número decimal recibe un valor. Observa. Parte entera I Parte decimal u.m. c d u Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas 10 Partes iguales 100 Partes iguales 1000 Partes iguales 10 000 Partes iguales 0 • 0 0 1
- 165. TALLER Fracciones decimales y números decimales O o < 1. Completa la tabla teniendo en cuenta el peso de cada objeto, la fracción decimal que lo representa en kilogramos y su lectura. Pésol00g 100 1000 K " ° g r a m o s Cien milésimas de kilogramo JJlJl Peso 120 g 4 C - . 343 g H H H H 3 0 g v„» 2. Escribe la fracción decimal que corresponde a cada una de las gráficas y su lectura. a . -- • I • • • • • • 3. Encierra el número que corresponde a la escritura. a . Un entero doscientos treinta y cinco centésimas b. Ochocientos treinta y cuatro decimos c. Cincuenta y cuatro milésimas d . Mil cuatrocientos ochenta y dos diezmilésimas e . Cuatrocientos veintidós enteros y 1 5 centésimas 422,15 12,35 1,235 1,200305 834 800304 834 100 10 10 0,54 0,054 1 000,54 1 482 1 482 1 428 1 000 10 000 10 000 422,15 40022,15 242,15
- 166. f 4. Escribe el menor y el mayor número que cumpla con las siguientes características: a. 3 decenas, 2 unidades, 1 centésima. • b. 5 unidades de mil, 7 milésimas, 8 décimas, 2 centésimas, 4 decenas. C. 8 centenas, ó unidades de mil, 3 milésimas, 7 decenas, ó unidades, d. 1 centena, 1 milésima. 7 5. Completa la secuencia: a. 22,152; 22,252; 22,352; b. Según el valor posicional, ¿cuál es la cifra que varía? . 6. Crucinúmero. a. El mayor número con tres cifras decimales que se puede formar con los dígitos 1, 2, 5, 8, 9, 3 b. El menor número con tres cifras decimales que se puede formar con los dígitos 1,7,5,8,9,3 c. Ochocientos cuarenta y tres enteros, ciento veinticuatro diezmilésimas d. Cincuenta y siete diezmilésimas. e. Treinta y tres enteros ochocientos noventa y cinco milésimas a. Y~ 7. Observa la tabla de los múltiplos y submúltiplos del gramo y la información nutricional de una porción de gelatina. ¿Cuál es la fracción decimal Múltiplos del gramo gramo Submúltiplos del gramo que representa la cantidad de k g h g d a g hg producidos por los carbo- hidratos en una porción de gelatina? dg cg mg 1 000 g 100 g 10 g 1g 0,1 g 0,01 g 0,001 g _L JL_ i i o ? ioog iooog b. c. ¿Cuál es la fracción decimal que representa la cantidad de dg producidos por los azúcares en una porción de gelatina? ¿Cuál es la fracción decimal que representa la cantidad de g producidos por el sodio en una porción de gelatina? ¿Cuál es el número decimal que representa la cantidad de g producidos por la vitamina C en una porción de gelatina? Descriptor de desempeño: / Identificar fracciones decimales y números decimales. Sodio 50 mg Carbohidratos 6g Azúcares 6g 1 n rroieina Vitamina C 1 g 9mg
- 167. Pensamiento numérico - variacional Clasificación de números decimales y conversiones El microchip fue patentado en abril de 1949 por el inge- niero a l e m á n Werner Jacobi. Es un p e q u e ñ í s i m o circuito que, gracias a su sofisticado d i s e ñ o , ha logrado reducirse 11 3 al t a m a ñ o de un qrano de arroz ( — cm de larqo por — 2 5 cm de circunferencia), permite su paso a t r a v é s de una aguja h i p o d é r m i c a para ser implantado en el organismo de cualquier especie animal. La memoria de un microchip puede almacenar un n ú m e r o compuesto por nueve d í g i t o s y cuatro letras, los cuales combinados entre sí ofrecen 70 trillones de posibilidades. 11 3 Analicemos lo que representa — y — , ¿ c u á n t o s c e n t í m e t r o s son? 11 10 3_ 2 5 1 1 x 1 0 1 0 x 1 0 3 x 4 10 110 100 12 1,10cm 2 5 x 4 100 = 0,12 cm Por tanto, un microchip tiene de largo 1 cm y 1 0 c e n t é - simas de c e n t í m e t r o y de ancho tiene 12 c e n t é s i m a s de c e n t í m e t r o . Sabías que nuestro mundo está lleno de microchips; por ejemplo, el microprocesador es un circuito integrado que procesa toda la información en una computadora, también se encuentran en todos os aparatos electrónicos modernos, como automóviles, televisores, reproductores de CD, reproductores de MP3, teléfonos móviles, etc. Para convertir una fracción decimal a n ú m e r o decimal, se coloca el numerador de la fracción y se ubica la coma de tal forma que la cantidad de cifras decimales corresponda con la cantidad de ceros que hay en el denominador de la fracción decimal; en ocasiones es necesario agregar m á s ceros para completar el n ú m e r o decimal. 2,36 — = 0 , 4 1 2 =0,0012 100 10 10 000 Para convertir un n ú m e r o decimal en fracción decimal, se coloca como numerador el n ú m e r o de- cimal sin coma y como denominador el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya. Recuerda que los ceros a la izquierda no tienen ningún valor. 41,12 = ^-ü2 - 0,002 = —^— 0,8 = — 100 1 000 10 Algunas fracciones que no son decimales se pueden convertir en n ú m e r o decimal, siempre y cuan- do el denominador de la fracción sea divisor de una potencia de diez; para la conversión se busca una fracción decimal equivalente a la fracción dada. 3 75 2 4 7 35 - = — = 0,75 - = — = 0,4 - = — = 3,5 4 100 5 10 2 10 1 lé
- 168. O TALLGR Clasificación de números decimales y conversiones # ® • . 1 . C o n v i e r t e las f r a c c i o n e s d e c i m a l e s e n n ú m e r o s d e c i m a l e s . a . 26 100000 c. d. 1 652 10 100 e . 13 563 1 000 f. -L 100 10 10 /.:i¡ 2. Expresa los n ú m e r o s d e c i m a l e s e n f r a c c i o n e s d e c i m a l e s . a . 0,003 = C. 45,28 = e . 0,5 = b. 10,289 = d, 28,0004 = 1 0,001 = 3 . Escribe la letra c o r r e s p o n d i e n t e t e n i e n d o e n c u e n t a la f r a c c i ó n d a d a , su f r a c c i ó n d e c i - m a l e q u i v a l e n t e y su r e s p e c t i v o n ú m e r o d e c i m a l . a . - b . c. - d. — 1 . . 8 5 100 11 í ) 2 0 2 100 5 í ) 2 2 4 100 2 25 100 11 f ) 1 2 5 50 100 4 . C o m p l e t a la t a b l a . 15,50 10,08 11,25 10,22 10,20 Fracción Decimal Lectura parte decimal 56 lo 5,6 Seis décimas Tres milésimas 0,4 Tres milésimas 21 0,4 Y 12 1 000 13 50 Doce decimales
- 169. y 5, En 1856 se inventó la nnáquina de coser que podía utilizar solamente un hilo; este año se encuentra entre 1851 y 1861. a. ¿Qué fracción de esta déca- da corresponde al año de in- vención de la máquina de co- ser? b. Escribe una fracción decimal equivalente a la fracción del indi- cador a. c. Escribe el número decimal correspondiente a la fracción del indicador b. 6. En 1 895, la armada de los Estados Unidos le encomendó a J. R Holland la construcción de un submarino que recibió el nombre de Plunger; este año se encuentra entre 1 894 y 1899. a . ¿Qué fracción de este periodo corresponde al año de creación del Plunger? b. Escribe una fracción decimal equivalente a la fracción del indicador a. c. Escribe el número decimal correspondiente a la fracción del indicador b. Teniendo en cuenta la información de los ejercicios 5 y 6 responde las preguntas. a. ¿Cuál es el acontecimiento más antiguo? b. ¿Cuál es el acontecimiento más reciente? c. ¿Cuántos años de diferencia hay entre el año de invención de la máquina de coser con un hilo y la construcción del Plunger? Plantea y soluciona un problema en el que se involucre la conversión de fracciones de- cimales a números decimales o viceversa. f 7. Son ios decimales con una cantidad de cifras numerable Clasificación de decimales Observa la clasificación de números decimales y contesta las preguntas con base en este. —4 DfDecimales infinitos Son los decimales con una cantidad de cifras no numerable •Winr in^ L Periódicos puros Periódicos mixtos Desde la cifra de las décimas se repite una cifra o varias cifras decimales periódicamente. Se repite una cifra o varias cifras decimales periódicamente, pero no desde la cifra de ias décimas. Las cifras decimales no se repiten periódicamente 178
- 170. 9 . Entrevista a una persona mayor de 60 años, pregúntale sobre las monedas que se em- pleaban en su infancia o juventud y el costo de los artículos en aquella época, completa la tabla. Nombre: Año de nacimiento: Año del que recuerda los precios: Producto Precio Número decimal al que equivale el precio teniendo como referente el peso. cuestan lo mismo hoy que hace 30 años? b. Consulta qué es la devalua- ción del peso. C. ¿El peso colombiano se ha devaluado? Justifica la res- puesta. d. ¿Los números decimales empleados para representar el costo de cada producto son finitos o infinitos? e. ¿Consulta cuál fue la devaluación del peso el año anterior? ¿Qué clase de decimal es este número? 1 0 . Escribe cada número decimal periódico empleando la notación en barra y clasifícalo en decimal periódico puro o decimal periódico mixto a , 0,23232323... c. 352,128971289712897... e. 589,12539523523523... b. 2,5898989... d . 12,15434343... 11. Con la ayuda de la calculadora encuentra los cocientes. a . — = b. — = c. ——;= d . 9 99 . 999 9 999 e. ¿Qué regularidad encuentras? 12. Escribe cada decimal periódico o finito como una fracción. Sigue los pasos del ejem- plo. Si el número es decimal periódico puro, como es el caso de 7,45, se realizan los siguientes pasos: Paso 1 cantidad de ceros igual a las cifras del periodo í Número buscado 100- • =745,45 — ^ Número decimal periódico por 100 n „ 738 82 Paso 2 • = = — - • =7,45 99 l i 99 •• =738 100 números buscados menos un número buscado son 99 ci, 1,25 c. 27,42 e . 16,2 b. 51,215 d. 7,287 f. 10,12
- 171. 13.Completa la tabla. P,aoct ó „ Factores primos del denominador de la fracción Decimal Finito Periódico 3 4 4 = 2-2 0,75 X 10 25 24 80 5 8 2 100 6 16 3 5 4 25 a. ¿Qué concluyes de la tabla anterior? f 14,Responde falso o verdadero. a. Un decimal finito, algunas veces es un número decimal periódico. ( ) b. Todo decimal periódico se puede expresar mediante una fracción. ( ) c . 0,02es un número decimal periódico mixto. ( ) d. Toda fracción con denominador nueve equivale a un número decimal finito. ( ) e. Una fracción decimal equivale siempre a un número decimal finito. ( ) Rincón de ta historia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ K John Napier(1550-1617) Matemático escocés que desarrolló la forma actual de escribir I las fracciones decimales con números en los cuales utilizaba la flflH coma o un punto para separar la parte entera de la parte deci- I mal. Antes usaba una línea en la parte decimal. • ^ ^ • I ^ ^ B Descriptor de desempeño: 180 Clasificar números decimales en finitos e infinitos y convertir fracciones decimales en números decimales y viceversa.
- 172. Pensamiento numérico - variacional W Orden entre números decimales El primer teléfono celular apareció por primera vez en 1 983 y medía 1 2,9 cm. Para 2008 se desa- rrollaron teléfonos pequeños que tienen cámara, reproductor MP3, grabador, entre otros servicios. La imagen corresponde a un teléfono chino que tiene un largo de 6,7 cm, y uno coreano, el cual mide 6,95 cm. ¿Cuál es el teléfono más pequeño? C l a v e m a t e m á t i c a Para establecer relaciones de orden entre números decimales se procede de la siguiente forma: • Se comparan las partes enteras. 74,23 > 12,91 10,77 < 12,05 • Cuando la parte entera es igual, se comparan las cifras decimales. Al comparar cifras deci- males, los números deben tener igual número de cifras decimales, si uno de ellos tiene menor cantidad de cifras, estas se deben igualar completando con ceros. 45,211 45,9 35,29 < 35,45 123,65 > 123,09 45,211< 45,900 O TALLER Orden entre números decimales 0 # 0 /<•» 1. Escribe < , > , o = , según corresponda. a . 2 3 , 5 6 2 3 , 6 5 c. 9 8 , 3 2 8 9 , 3 2 e. 1 9 0 , 8 7 190,9 b. 2 0 , 2 3 4 2 0 , 9 d. 2 7 , 9 0 2 7 , 9 f. 12,09 1 2 , 0 9 0 181
- 173. f 2. Completa la tabla cambiando solamente una cifra del número dado. Menor Número 178,973 Mayor 2,08 12,65 90,07 10,8 9,14 3. Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta las características dadas y el número respectivo. a . Número decimal comprendido entre 5,15 y 5,16 ( ) 5,120 b . Número decimal mayor que 5,10 ( 15,115 c. Número decimal menor que 5,2 ( ) 5,11 d . Número decimal igual a 5,1 2 ( ) 5,155 e. Número decimal comprendido entre 5,11 y 5,12 ( )5,1 v 4» Escribe la letra correspondiente al orden, de mayor a menor, de los siguientes números decimales y descubrirás el nombre del inventor del reloj de péndulo en el año 1 657. j^f8(D31 g H l s « $fl8$ü (J 15,503 MflS^S® Y 15,350 g,üisS®g S 5. En l 787, John Fitch construyó el primer buque a vapor. En el primer mes recorrió 65,89 millas náuticas, en el segundo 66,89 y en el tercero 55, 89. De acuerdo con esta infor- mación, responde las siguientes preguntas. a . ¿En qué mes recorrió la menor cantidad de millas náuticas? b . ¿En qué mes recorrió la mayor cantidad de millas náuticas? C. ¿En cuántas millas difieren los meses de los indicadores a y b? 182
- 174. y 6. La taladradora fue inventada en 1 798 por John Wilkinson. En su primer trabajo taladró 4,8 m; en el segundo 3,9 m; en el tercero 4,01 m y en el cuarto 3,09. Teniendo en cuenta esta i n f o r m a c i ó n , contesta las preguntas. a . ¿En cuál trabajo se taladró mayor cantidad de metros, en el primer o en el terce- ro? b. ¿En cuál trabajo se taladró menor cantidad de metros, en el segundo o en el cuarto? c. ¿Cuántos metros de diferencia hay entre los trabajos a y b. Guericke inventó el m a n ó m e t r o en 1 663, que se utiliza para medir la tensión de los gases y su unidad de medida son las libras. En su primer uso se registraron 3,5 Ib, en el segundo uso 3,005 y en el tercero 3,15. Contesta las preguntas de acuerdo con la i n f o r m a c i ó n . a, ¿En cuál uso se obtuvo la menor cantidad de libras? b, ¿En cuál uso se logró la mayor cantidad de libras? c, ¿En cuántas libras difieren los usos a y b? y 8. La tabla muestra los elementos de la tabla periódica que no son metales. Elemento Símbolo Peso atómico Hidrógeno H 1 Flúor F 19 Cloro Cl 35,5 Bromo Br 80 Yodo 1 126,90 Oxígeno 0 16 Azufre s 32 Selenio Se 78,96 Teluro Te 127,60 Nitrógeno N 14 Fósforo P 31 Arsénico As 74,92 Antimonio Sb 121,75 Boro B 10,81 Bismuto Bi 208,98 Carbono C 12 Ordena los elementos de menor a mayor peso. ¿Cuál es el elemento m á s liviano?¿Cuál es el m á s pesado? Descriptor de desempeño: / Establecer relaciones de orden entre números decimales.
- 175. Pensamiento numérico - variacional Adición y sustracción de decimales El primer telescopio fue mostrado por Gali- leo en 1610, su lente no superaba los 0,15 m de diámetro. Hoy los dos telescopios más famosos son: el telescopio espacial Hubble, localizado en los bordes exteriores de la at- mósfera, cuyo espejo principal tiene un diá- metro de 2,55 m; el otro es el Very Large Telescope, es el más grande del mundo, ubi- cado en Chile, con un lente de 8,50 m. £] se alinearan los lentes del telescopio Hubble y el Very Large Telescope Project, ¿qué ongitud alcanzarían? ¿Cuál es la diferencia en metros de os diámetros de estos dos telescopios? Para resolver la primera pregunta tenemos que hacer una adición, en la segunda una diferencia. Adición Sustracción u J décima centésima d • M M M U I décima centésima 2 • 5 5 Diámetro del Hubble 8 i 5 0 Diámetro del Very Large 8 5 0 Diámetro del Very Large 2 • 5 5 Diámetro del Hubble 1 1 0 5 Longitud de ambos lentes 5 9 5 Diferencia entre los dos diámetros Por tanto, si los lentes de los telescopios Hubble y el Very Large Telescope se alinearan alcanzarían 1 1,05 m y la diferencia entre los diámetros de estos telescopios es 5,95 m. Recuerda el orden de las décimas, centésimas, milésimas, etc., al realizar la suma y la resta con números decimales.
- 176. Clave matemática Para sumar o restar números decimales se tiene en cuenta el valor posicional de cada dígito: se suman o restan unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc. Q TALLER Adición y sustracción de decimales O o •í ', , ) 1 , Realiza las siguientes adiciones o sustracciones. a. 327,42 + 68,43 d . 9 654,42 - 568,9 b. 6 3 8 , 9 6 - 8 9 , 1 2 e. 652,359 + 128,13 c. 43,568 + 2,56 f. 7 8 2 4 , 6 3 8 - 3 568 !•>)) 2, Encuentra los números desconocidos en cada una de las operaciones a. b. c. g. 658 + 1235,78 h. 12 8 9 7 - 1 5 8 , 9 6 7 3 , 4 8 9 6 5 8 7 + 0 , 6 + 2 0 - 7 6 4 8 9 1 , 5 7 0 8 0 4 1 3 5 6 7 3, Realiza una correspondencia entre la columna de la derecha y la columna de la izquierda. a. 256,913 + 79,24 b. 25,6913 + 792,4 c. 2569,13 + 7,924 d . 2569,13 + 79,24 e. 2569,13 + 79,25 Observa la tabla y responde. ) 818,0913 ) 2577,054 ) 2 648,37 ) 336,153 ) 2648,37 Barcos de vapor del más antiguo al más reciente Velocidad en kilómetros por hora Cunard Line Great Britain 16,668 km/h 22,224 km/h Clippers Criarles Agernon Persons 28,675 km/h 64,82 km/h a. ¿Cuántos kilómetros es más veloz el Great Britain que el Clippers? b. Los trasatlánticos viajaban a una velocidad mayor del Clippers en 13,665 km/h ¿Cuál era la velocidad de un transatlántico? c. ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre la velocidad del Charles Agernon Persons y el Cunard Line? d . Con unas buenas condiciones climáticas el Great Britain aumentaba la velocidad en 4,35 km/h y en condiciones adversas disminuía la velocidad 5,48 km/h. ¿Cuál era la velocidad del Great Britain en condiciones favorables y en condiciones adversas? 185
- 177. 5. Completa el cuadrado mágico, recuerda que todas las columnas, filas y diagonales suman el mismo número. 12,72 15,9 25,44 19,08 y 6. Una atleta recorre 1,56 km el lunes, 2,63 km el martes y 6,654 km el miércoles. Res- ponde. o. ¿Cuántos kilómetros recorre entre el lunes y el martes? b. ¿Cuántos kilómetros recorre entre el martes y el miércoles? c. ¿Cuántos kilómetros recorre en los tres días? d. ¿Cuántos kilómetros recorre más el martes que el lunes? e. ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre el lunes y el miércoles? §P 7. Consulta el largo de tres barcos y completa la tabla con estos datos, de mayor a menor, empleando números decimales. Nombre del barco Largo A B C a. ¿Cuántos metros es más largo el barco A que el barco B? b. ¿Cuál es la diferencia en metros entre el barco B y el barco C? c. Si un barco fuera tan largo como el barco A, B y C, ¿cuántos metros mediría de largo? d. Inventa una pregunta y respóndela. Descriptor de desempeño: 186 / Solucionar situaciones de estructura aditiva utilizando los números decimales.
- 178. Pensamiento numérico - variacional Multiplicación y división de decimales El primer automóvil fue inventado en Alemania en 1 886 por Cari Benz, alcanzaba una velocidad máxima de 1 ó km por hora. Hoy el auto más rápido del mundo es el Thrust SSC, que alcanzó a recorrer 1 km en tan solo 2,95 segundos en 1997. Suponiendo que la velocidad que alcanzó el Thrust SSC fue- ra constante, respondamos: I. ¿Cuánto tiempo tardaría en llegar a Barranquilla si partiera de Cartagena (la distancia entre Barranquilla y Cartagena es 1 1 0,4 km)? II. ¿Cuántos minutos representa este tiempo? III. ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer 1 km el auto de Cari Benz, (recuerda que 1 hora tiene 60 minutos) Para resolver la primera pregunta efectuamos una multiplicación, para las otras dos, dividimos. Pregunta Operación 1 1 0,4 X 2,9 5 5520 325,6 80 601 1 0,4 X 2,9 5 5520 25 6 5,428 99 36 1 6 8 2208 480 325,6 80 0 Respuesta El Thrust SSC tardaría El Thrust SSC tardaría 325,68 segundos en llegar a 5,428 minutos en llegar a Barranquilla. Barranquilla. 60 16 120 3,75 80 0 El auto de Cari Benz recorría 1 km en 3,75 minutos. Clave matemática Para multiplicar un número decimal por un número natural se realiza la multiplicación común y corriente, el producto o resultado de la multiplicación debe tener el mismo nú- mero de cifras decimales que el factor decimal. 3 4 , 5 - 5 = 1 7 2 , 5 23,46-7 = 1 6 4 , 2 2 12,001-2 = 24,002 Para multiplicar un número decimal por otro número decimal se realiza la multiplicación común y corriente, el producto o resultado de la multiplicación debe tener el mismo nú- mero de cifras decimales que los factores. 2,5-3,3 = 8,25 2 3 , 1 2 - 2 , 3 = 53,176 2 , 1 - 1 , 0 0 1 = 2,1021 1 8 7 # »
- 179. En la división de números naturales o decimales se presenta uno de los siguientes cuatro casos: División de un número natural entre un número natural: se realiza la división de manera convencional, si el residuo es diferente de cero se escribe un cero al lado derecho del residuo, en el cociente se coloca una coma y se continúa la división. División de un número decimal entre un número natural: Se realiza la división de manera convencional, pero en el momento de emplear las décimas, se escribe la coma decimal en el co- ciente y se continúa normalmente. División de un número natural entre un número decimal y División de un decimal entre un número decimal: se multiplica el dividendo y el divisor por la potencia de 10 con exponente igual a la cantidad de cifras decimales del divisor y se procede a realizar la división. O TALLER Multiplicación y división de decimales O o ° 1, En las siguientes multiplicaciones ubica la coma en el lugar correspondiente. a . 23,8 • 3,1 = 7378 c. 5 • 3,21 = 1605 b. 2,05 • 0,1 = 0205 d . 27,901 -3 = 83703 2. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones. a. 2,45 • 2,1 = c. 2,1 • 1,01 = b. 2 • 2,009= d . 9,1 • 0,21 = 3, Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . 23,09 • 0,5 < 11,545 b. 23,09 • 0,5 > 1 1,545 c. 4,7 • 2 = 4,7 + 4,7 d . 6,09 + 6,09 > 2 • 6,09 e . 3,2 • 4 = 6,4- 2 e. 2,01 • 2,04 = 41004 i 0,001 • 9 = 0009 e. 1,09 • 1,9 = f« 5f 5 2 f 2 Encuentra en la sopa de letras los si- guientes resultados. a . 1,2-5 b . 11,4 • 55 c. 2,8 • 5 d . 3,6 • 5 ©• 4,5 • 8 f« 9,2 • 5 8,8 • 5 h . 55 • 0,2 • 1 • 7,6- 5 i. 6,6 • 5 s U N 0 D O S T R E S C U A T R 0 E C 1 N C O S E 1 S S 1 E T E O c 1 H O N U E V E D 1 E C R O T A c s E z O O N C E D O C E T R E O c c E c R A T 0 R C E Q U 1 N C H E 1 D 1 T E C 1 S E 1 S D 1 E C C 1 E S 1 A S E T E D 1 E C 1 0 C 0 H N 0 D U E 1 E C 1 N U E V E V Y E T 1 N C R T E V E S E 1 S 1 N A T 0 1 U Y T N 0 V E 1 N T 1 D 0 T S S V E A Y 1 N T 1 T R E s V E N 1 V N T T A T R E 1 N T A Y S E 1 s E 1 C N T U A T R 0 V E 1 N T E 1 1 C 1 E N N C O V E 1 N T 1 S R 0 N E 1 R 1 S V E 1 N T 1 S 1 E T H T T E A E V E 1 N 0 N C E T 1 0 c 1 C H U R 0 V E 1 N T 1 N U E V 0 S E T C T R E I N T A T R E 1 N 1 1 T A Y U N 0 T R E 1 N T A Y D c E 0 S T R E 1 N T A Y T R E S T E T R S 1 E S Y A T N E R A U C E 1 E 1 N T A Y C U A T R O T R E 1 D
- 180. y 5. El español Miguel Servet fue el primero en descubrir la circulación de la sangre en 1553. A una persona le toman unas muestras de sangre para realizarle unos exámenes mé- dicos, las muestras fueron depositadas en tubos con una capacidad de 5,6 mm. Si se utilizaron 5,2 tubos, ¿cuántos mililitros de sangre fueron extraídos? y 6. El reloj de bolsillo fue inventado en 1 502 por el alemán Peter Hein- lein. Un reloj se atrasa 3,5 segundos cada minuto, teniendo en cuen- ta esta información contesta las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos segundos se atrasa en cinco minutos? b. ¿Cuántos segundos se atrasa en 7,5 minutos? c. ¿Cuántos segundos se atrasa en una hora? d. ¿Cuántos segundos se atrasa en hora y media? •f 7. En el 1 593, Galileo Galilei inventó el termómetro, instrumento que se utiliza para medir la temperatura de las personas; su unidad de medida es el grado centígrado (°C). Al tomarle la temperatura a un niño el termómetro registra 37,7 °C. Con la información anterior soluciona los siguientes ejercicios. a . Si en la segunda toma, la temperatura aumenta 1,1 veces la cantidad de la primera toma, ¿cuál es la temperatura de la segunda toma? b. Al cabo de unas horas, la temperatura del niño es 0,9 veces la temperatura inicial. ¿Cuál es la temperatura del niño en este instante? c. En la última toma, la temperatura es 1,2 veces la temperatura registrada del punto b, ¿cuál es la temperatura de la última toma? 8. Realiza las divisiones siguiendo el ejemplo'mi División de un número natural entre un número natural a . 126-5 I 51 2 2 6 6 1 c. 16 598-5 2 5 0 0 b, 1 358-8 d, 13 5 6 7 - 9 División de un número decimal entre un número natural f. 126,8-5 h. 8 965,2-8 1 2 2 6 6 1 8 5 2 5 3 6 8 3 0 0 e. 83 676-11 j . 32,263-25 g . 4 597,4-127 i. 3528,19-16 k. 36,8-5 1 8 9 * «
- 181. División de un número natural entre un número decimal i, 8268-5,21; 8 268 100-5,21 • 100 = 826 800-521 n. 6312-2,5 o, 92 658-0,4 8 2 6 8 0 0 15 2 1 3 0 5 8 1 5 8 6 , 9 4 5 3 0 3 6 2 0 4 9 4 0 2 5 1 0 m. 36 582-1,6 ñ. 3589-0,8 p. 1 268-3,6 División de un decimal entre un número decimal q. 82,68-5,2; 82,68-10-5,2 10 = 826,8-52 s. 40 729,6125-12,5 ü. 258,8775-0,07 8 2 6 , 8 1 5 2 3 0 6 1 5 , 9 4 6 8 0 r. 16 097,13-3,24 t. 39682,68-0,2 v. 188,535-1,5 9. Realiza una correspondencia en las divisiones. a. 126,598-5 ( ) 4,967808 b. 62,358-12,56 ( ) 83,73 c. 126,98-32= ( ) 25,3196 d. 1 256-15 ( ) 3,968125 10. Realiza las siguientes divisiones en el cuaderno y escribe el cociente. a. 13,6958-10= b. 13,6958-100 = c. 13,6958-1 000 = d. 13,6958-10 000= e. Al observar los resultados qué concluyes: 1 1 , Realiza las siguientes divisiones en el cuaderno y escribe en el libro únicamente los re- sultados. a. 6958-0,1= b. 6958-0,01= c. 6958-0,001= d. 6958-0,0001= e. Al observar los resultados que concluyes:
- 182. f 1 2.Entre 1452 y 1 500 se imprimieron aproximadamente ó 045,8 obras. La primera imprenta se fundó en Venecia en 1469 y hacia el a ñ o 1500 la ciudad ya contaba con 41 7 imprentas y cada una necesitaba 251,25 kilos de lingotes para la producción anual de material. a. Suponiendo que cada a ñ o se im- primieron la misma cantidad de obras, ¿cuantas obras se impri- mieron cada a ñ o ? b. ¿ C u á n t o pesaba la cantidad de lingote empleado cada mes en una sola imprenta? c. ¿ C u á n t o pesaba la cantidad de lingote empleado cada mes por todas las imprentas en la ciudad de Venecia? y Completa la tabla. En los espacios vacíos de la columna de productos escribe tres artícu- los de venta en paquete, el costo real y el valor unitario. Producto por paquetes Valor unitario 1 resma de papel $10125 1 hoja $ 20,25 1 libro de 220 hojas $ 65 800 1 hoja 1 docena de cuadernos de 100 hojas $ 29 766 1 hoja 100 dulces $3 050 1 dulce a . ¿Cuál es el costo de media resma de papel y media docena de cuadernos de 1 00 hojas? b. En la lista de precios cuál es el artículo m á s e c o n ó m i c o . c. ¿Cuál es el costo de la tercera parte de una hoja? d. Inventa una pregunta y soluciónala Descriptor de desempeño: / Aplicar la multiplicación y división de números decimales en la solución de situaciones problema.
- 183. Pensamiento numérico - variacionai Orden entre números enteros y valor absoluto El t e r m ó m e t r o fue inventado por Galileo en el a ñ o de 1 603, gracias a él podemos medir la temperatura en cualquier lugar y fecha del a ñ o . Observa la temperatura de algunas ciudades en enero. JÍ Ciudad Cartagena Moscú París Berlín Bogotá Medellín Temperatura 35 -20 2 -5 15 25 Ubiquemos en la recta numérica las temperaturas de la tabla. > aumenta • París Medellín i I ' 1 1 1 I I i i l I I -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35J Berlín Bogotá Cartagena disminuye Al ordenar las temperaturas de la m á s baja a la más alta (menor a mayor), tenemos: - 2 0 < - 5 < 2 < 15 < 25 < 35 >• M o s c ú < Berlín < Paris < Bogotá < Medellín < Carta- gena Observa que para que M o s c ú ¡guale la temperatura de Cartagena debe aumentar 55 grados. (20 + 35 = 55) Clav< • Un entero negativo siempre es menor que un entero positivo. - 7 < 1 9 > -1 000 -11 < 5 2 > -1 • Entre dos enteros negativos es menor el que se encuentra m á s alejado del cero; es decir, entre m á s cerca esté un entero negativo del cero, es mayor. - ó > -111 -1 90 < - 8 0 - 7 8 < -1 - 5 > - 2 7 6 • Entre dos enteros positivos es menor el que se encuentra m á s cerca del cero; es decir, entre más cerca esté un entero positivo del cero, es menor. 45 < 67 100 < 10 35 < 98 12 > 1 El valor absoluto de un n ú m e r o entero es la distancia entre dicho n ú m e r o y el cero. El valor absoluto se representa por dos barras | | y en el interior se escribe el n ú m e r o . | + b I = b I -a I = a
- 184. O TALLER Orden entre números enteros y valor absoluto O o ° 1, En cada ejercicio, ordena los números enteros de mayor a menor. a . 9, - 2 , 0, 2, - 9 , 10, - 8 d. 15, - 3 2 , 19, - 3 4 , - 1 , 4 b. - 7 , 0, - 4 , - 1 8 , - 3 4 , - 8 e. 0, 2, 78, 45, 10, 12, 7 c. 12, 100, - 4 6 , - 7 8 , -1 000 f. - 9 8 , 10, - 4 3 , 0, - 1 , 1, 4 7 2. Completa los espacios con un número entero. a . Un número tres unidades menor a - 8 . b. Un número mayor cinco unidades a -1 0. c. Un número menor dos unidades a 7. d . Un número mayor una unidad a 11. e. Un número menor ocho unidades a 4. f. Un número mayor seis unidades a - 1 . 7 3. Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . Un entero positivo es mayor a un entero negativo. b. Un entero negativo es mayor a un entero positivo. C. Cualquier entero es menor si se encuentra más alejado del cero. d . Un entero negativo es menor si se encuentra más cerca al cero._ e. Un entero negativo es mayor si se encuentra más cerca al cero._ 4. En el siglo II a.C. se descubrieron los ritmos biológicos del cuerpo humano y en el siglo IV a.C. se inventó la campana afinada. De acuerdo con esta información, responde las siguientes preguntas. a . ¿Cuál de los dos siglos es más antiguo? b. ¿Cuál es el inventó más reciente? C. ¿Cuál es el inventó más antiguo? d . ¿Cuál de los dos siglos es más reciente? y 5. La balanza fue creada hace más de 5000 años a.C. y el calendario se creó en el año 1500 a.C. a . ¿Cuál de los dos años es más antiguo? b. ¿Cuál es el inventó más reciente? c. ¿Cuál es el inventó más antiguo? d . ¿Cuál de los dos años es más reciente? 6. Plantea y soluciona un problema en tu cuaderno usando las relaciones de orden entre números enteros.
- 185. ',))) 7. Escribe la distancia de cada número hasta 0, empleando la notación de valor absoluto. a, b. c. d . e . 30 - 2 50 8. Completa la tabla -70 a • l*l ' |c| |a| + 5 H - 9 2 -10 -15 -9 -20 36 -12 36 -69 35 98 -124 ^t56 -120 364 -56 -35 -235 78 -21 525 ' 9. Escribe falso o verdadero según corresponda. a . El valor absoluto d e - 1 ó es 26 ( ) b. El valor absoluto de un entero negativo es positivo ( ) c. El valor absoluto de un entero positivo es negativo ( ) d . El valor absoluto de cero es uno ( ) 10. Encuentra el mensaje escondido. a = | - 3 | , e = |8|, o = |-15| , r= |-7|, b = |10|, u |-4|, v = | - l l | , g = 8 L 11 3 L 15 7 3 10 s 15 L 4 t 15 8 s m 3 y 15 7 15 i 2 4 3 L 3 c 8 7 15 Descriptor de desempeño: / Establecer relaciones de orden entre números enteros y aplicarlas en la solución de situaciones problema.
- 186. Pensamiento numérico - variacional A.dicióit v sustracción de cuteros Un anónimo cirujano chino en el año 200 a.C. recomendó el té para aumentar la capacidad de concentración y 81 8 años después fue la mejor época del té en la dinastía Tang, ya no fue solo un remedio, sino una bebida popular, al reconocerse sus propiedades reconstituyentes y el sabor especial. ¿En que año se comenzó el té como bebida popular en China? Para sumar dos números enteros empleando la recta numérica se parte de la ubicación del primer sumando y luego se realiza un desplazamiento a la derecha si el segundo sumando es positivo, o a la izquierda si el segundo sumando es negativo, la distancia recorrida para ubicar el punto de la suma o resultado es igual al valor absoluto del segundo sumando. -7 + 5 = 4 i _ - « — i — i — i — i — i — i — i — • — i — i — i — • - 7 - 4 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Para calcular la sustracción de dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. 4 _ ó = 4 + (-Ó) = 2 - 1 2 - 4 = - 1 2 + (-4) = En general, si a, b, e N , entonces, a - b = a + (-b) -16 -Ó - 4 0 = -Ó + (-40) = - 4 6 O TALLER Adición y sustracción de enteros # •o ,- ¡: 1, Representa las siguientes sumas en la recta numérica, para cada suma traza una recta. a . - 8 + ( - 5 ) = b. 9 + ( - 2 ) = c. 6 + (-5)= d. - 3 + (-5)= e. - 2 + (-6) = /:><> 2, Emplea la recta numérica para calcular el resultado de cada adición de números enteros, o. -17 + 8 = e. - 6 + ( - 9 ) = e. 14 + ( - 5 ) = g. -19 + 7 = b. 12 + ( - 2 4 ) = d . 27 + ( - 1 5 ) = f, 23 + (-5)= h. -15 + ( - 8 ) =
- 187. 3. Completa la tabla. a 12 -8 6 -20 b -31 -24 32 -15 C 52 ^ 3 -16 78 ? 4. Soluciona los cuadrados mágicos a. -12 -6 -8 a + b c. b + c c + a -3 6 -4 -3 -2 -7 -1 3 -4 -1 • H M 1 2 -7 5 -3 -2 9 14 -3 5. Resuelve las siguientes preguntas teniendo en cuenta la i n f o r m a c i ó n . Temperatura de Edmonton, C a n a d á Día Lunes Pronóstico Nublado / Sol por la tarde Max: igual a la mínima aumentada en 7 grados, Mín: -2o Martes Llovizna ligera Max: 5o , Mín: 1+(-5) Miércoles Chubascos Max: 6o Mín: -2o Jueves Lluvia por la tarde Max: 6o Mín: -4o Viernes Nublado / Sol por la tarde Max: 9o Mín: 0o Sábado Aguanieve Max: 7o Mín: -2o Domingo Aguanieve Mín: -2o a las 3 a.m; a. ¿Cuál fue la temperatura m á x i m a del día lunes? b. ¿Cuál fue la temperatura mínima el martes? c. Empleando la temperatura m í n i m a , exprese la temperatura m á x i m a del jueves mediante una suma d. Empleando la temperatura mínima ex- prese la temperatura m á x i m a del sá- bado mediante una suma. e. El domingo la temperatura estaba a - 2 o a las 3 p.m., a u m e n t ó 3 o a las 5 a.m., disminuyó 4 o a las 7 a.m. y subió 10 grados a las 11:30 a.m. ¿ Q u é temperatura hay el domingo a las 1 1:30 a.m.?, escribe los cambios del domingo mediante una suma de enteros.
- 188. 6. Escribe la suma que se debe efectuar para realizar las sustracciones. a. 5 - 10 c. - 1 3 - 7 e. - 9 8 - 1 5 0 b. 4 5 - 2 7 8 d . - 3 6 - 2 7 f. 7 8 - 5 6 1 7. Completa los espacios de tal forma que se obtenga la igualdad. a. - 2 3 + (-£3 = - 4 7 c. • + (-37) = - 1 0 0 e. - 8 7 + ( - Q = - 2 4 0 b. • + (-210) = - 4 5 0 d . - 7 8 + O = - 2 0 0 f. Q + (-78) = 110 8. Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta los resultados de las sustracciones. a. 5 4 - 7 8 ( ) - 5 2 b. - 1 2 - 8 7 ( ) - 9 5 c. 7 9 - 1 2 0 ( ) - 9 9 d . 9 8 - 1 5 0 ( ) - 1 3 2 e. 9 0 0 - 1 200 ( ) - 2 4 f. - 1 2 0 - 1 2 ( ) -41 9- - 2 6 - 69 ( ) - 3 0 0 7 9. Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . La sustracción de números enteros se puede expresar como una adición. b. La sustracción de números enteros no siempre es un entero. C. La sustracción de enteros negativos es un entero negativo. d . La sustracción de números enteros es un entero. e. Cero menos un entero negativo da como resultado el mismo entero negati- vo. f. Un entero negativo menos cero da como resultado un número diferente al entero negativo. 10.En el siglo IV a.C. se inicia el cultivo en surcos y en el siglo III se inventa el estribo. Con- testa las preguntas de acuerdo con la información. a . ¿Cuál es el invento más reciente? b. ¿Cuántos siglos hay de diferencia entre los inventos? c. ¿Cuántos siglos es más antigua la iniciación del cultivo en surcos que la invención del estribo? 11 .Recuerda que el sismoscopio se inventó en el año 150 a.C. y el calendario en el 1500 a.C. a. ¿Cuál es el invento más reciente? b. ¿Cuántos años hay de diferencia entre los inventos? 12.Plantea y soluciona un problema en el que utilices la sustracción de números enteros. Ecuación Descriptor de desempeño: / Encontrar la suma y diferencia entre números enteros y aplicar estas operaciones en la solución de problemas.
- 189. Pensamiento métrico - geométrico m Volumen El cubo m á g i c o o cubo de Rubik fue inventado por el arquitecto h ú n g a r o Erno Rubik en 1 974. Hacia 1980 todo el mundo hablaba de é l , lo tenía en sus manos e intentaba resolverlo. Lamentablemente, ese furor fue menguando, hasta que en los últimos años, quizás alimen- tado por la nostalgia, el interés en el cubo re- nació. Si un cubo de Rubik mide ó cm de lado, ¿cuán- tos de estos cubos caben dentro de una caja de 60 cm x 42 cm x 48 cm? Clave matemática metro cúbico Las unidades de volumen se emplean para medir el espacio que ocupa un cuer- po. El volumen se mide en múltiplos o submúltiplos del metro cúbico (m3 ), que es un cubo de 1 m de arista. Comercialmente las unidades más utilizadas son el 3 3 1m cm y m . 1m 60 x 42 x 4 8 - ó 3 = 560 Por tanto, caben 560 cubos de Rubik. O TALLGR Volumen O O 0 1. Completa la información teniendo en cuenta la tabla. Múltiplos del metro cúbico m3 Submúltiplos del metro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1 000 000 000 m son necesarios para llenar un cubo de un kilómetro de lado. 1000 000 m son necesarios para llenar un cubo de un hectómetro de lado. 1 000 m3 son necesarios para llenar un cubo de un decímetro de lado. 1 cubo de un metro de lado. 1 3 m 1 000 u n cubo de un decímetro de lado es la milésima parte de un cubo de un metro de lado. 1 3 m 1 000 000 un cubo de un centímetro de lado es la millonésima parte de un cubo de un metro de lado. 1 * ' 1 000 000 000 un cubo de un mi- límetro de lado es la mil millonésima parte de un cubo de un metro de lado. a . 8 dam3 = m3 d. 23 hm3 = m3 g. 16 km3 = m3 b. 20 hm3 = m3 e. 21 dam3 = nr h. 32 km3 = m3 c. Idm3 = m3 f. 24cm3 = m3 ¡. Smm3 = m3
- 190. 2. Contesta las preguntas, teniendo en cuenta que cada uno de los cubos que forman el cubo de Rubik miden 1 cm de lado. a. ¿Cuál es la medida del lado del cubo de Rubik? b . ¿Cuántos cubos de 1 cm de lado hay en un cubo de Rubik? c. ¿Qué relación existe entre las dimensiones del cubo de Rubik y la cantidad de cubos de 1 cm de lado determinada en el punto anterior? d. Escribe la fórmula para calcular el volumen de un cubo: e. Escribe la fórmula para calcular el volumen de un prisma de base rectangular: _ 3, Calcular el volumen de los prismas de base rectangular. a, Volumen = cm m d . Volumen cm = m A cm 5 cm b. Volumen cm m e. Volumen = cm m 11 fe*" 3 cm 2ar 5 cm c. Volumen cm m 3 f. Volumen cm m 4 cm 6 cm 4 cm 3cm 4, Calcular el volumen de cada prisma recto de base triangular. Sugerencia: recuerda que la fórmula para calcular el volumen de un prisma es a-h (área de la base por altura) y 1 la fórmula para calcular el área de un triángulo es — b.h 2 Volumen= a-h Volumen = %cm 1 4cm- }cm Volumen= a. *b,h V¿ J Volumen = 8 cm • í — cm2 Volumen= %cm • (6cm2 ) - 48 cm3
- 191. o. Volumen cm = m c. Volumen = m 6 cm 5 cm 3 crr ó crr 6 cm b. Volumen cm m d. Volumen cm m 2 cm 7 cm 8 cm 5, Calcula el volumen de un cilindro. Sugerencia: emplea la misma formula utilizada para calcular el volumen de un prisma a-h, debido a que se puede considerar la base del cilindro un círculo como un p o l í g o n o con un n ú m e r o infinito de lados. u - Volumen Volumen Volumen Volumem Volumem : (área de la base) • altura : {n • r2 ). altura -- {n • 32 cm2 ). 5 cm {K • 9 . cm2 ). 5 cm 45 • TI • cm3 3 cm 5 cm b. Volumen = cm" 2 cm c. Volumen = cm^ 4 cm 6 cm 2 cnn y 6. Resuelve las siguientes situaciones: a. Una caja de cubos de azúcar tiene de dimensiones: 12 cm, 3 cm y 4 cm, respec- tivamente, si cada cubo mide 1 cm de lado, ¿cuántos cubos de azúcar se pueden ubicar dentro de la caja? b. Para un juego infantil se utilizaron 20 cubos de 5 cm de lado y para guardarlos se necesita una caja. ¿ Q u é dimensiones debe tener la caja?, ¿cuántas posibilidades hay? Descriptor de desempeño: / Solucionar problemas aplicando el concepto de volumen. 219
- 192. Pensamiento métrico - geométrico Unidades de capacidad ¿Cuánto líquido cabe aquí? Con frecuencia habrás escuchado frases como, ¡un litro de leche!, ¡dos litros y medio de gaseo- sa!, ¡tres litros de agua! Para responderle la pregunta a nuestro personaje se usan las unidades de capacidad, las cuales se utilizan para determinar la cantidad de líquido que cabe en un recipiente. • La principal unidad para medir la capacidad es el litro, I. Sus múltiplos son: el kilolitro (kl), hecto- litro (hl) y decalitro (dal). Sus submúltiplos son: el decilitro (di), el centilitro (el) y el mililitro (mi). Las equivalencias entre el litro, sus múltiplos y submúltiplos son: 1 kl = 1000 / ; l hl = 100 / ; 1 dal = 10 / ; 1 / = 10 di; 1 / = 100 el; 1 / = 1000 mi Las unidades de capacidad y volumen también se relacionan entre sí de la siguiente forma: 1 / = 1 dm} = 0,001 m3 = 1 000 cm3 ; 1 000 / = 1 m3 es TALLER Unidades de capacidad />>;; 1 , Completa los espacios de tal forma que se cumpla la igualdad. a. 3 / = mi C. 2 dal = el e. 4 A7 = di kl f. 580 / = dalb. 7 hl = mi d . 1 500 dal = Escribe la letra correspondiente, teniendo en cuenta las equivalencias entre las unidades de capacidad y volumen. a. 300 / b. 3 kl c. 3 000 mi d . 30/;/ ( ) 30 000 cm3 ( ) 3dm3 ( ) 0,003 m3 ( ) 3m3 e. 3 000 el f. 30 dal g. 300 di ( ) 30 dm3 300 000 cm3 3 000 000 m3
- 193. ? 3. Escribe < , > , ó = , según corresponda. a. 10 / 1 dal C, 21 1000 cm3 b. 1 m3 3 kl d. 20 hl 100 da/ e. 5 000//?/ 500 el f, 5/ 500 cm3 y 4, Una atleta consume el primer día 1 30 dal, el se- gundo 1 200 hl y el tercero 1 500 el. Contesta las siguientes preguntas de acuerdo con la informa- ción. a. ¿Cuántos decalitros de agua consume el atleta durante el primer y segundo día? b. ¿Cuántos centilitros de agua consume el atleta durante el segundo y el tercer día? c. ¿Cuántos litros de agua consume el atleta durante los tres días? d. Expresa la cantidad de litros del punto c. en mililitros. e. Determina los litros que le faltan a la atleta para completar un kilolitro en los tres días. y 5. En una granja se obtiene en la primera semana 230 000 mi de leche, en la segunda semana 32 000 di y en la tercera semana 30 dal. Teniendo en cuenta la información contesta las siguientes preguntas. a . ¿Cuántos decilitros de leche se obtuvieron durante la primera y segunda semana? b. ¿Cuántos decalitros de leche se obtuvieron durante la segunda y tercera semana? c. ¿Cuántos litros de leche se ob- tuvieron durante las tres sema- nas? d. Expresa la cantidad de leche del punto c en kilolitros. Descriptor de desempeño: / Identificar las unidades de capacidad y establecer relaciones entre ellas y entre las unidades de volumen.
- 194. Pensamiento métrico - geométrico • Traslaciones, reflexiones, rotaciones Antiguamente los espejos eran chapas convexas de plata o de cobre fundido con estaño, pero con el paso del tiem- po estos espejos de metal se volvían oscuros y opacos. Los primeros espejos de vidrio fueron inventados en M u r a n o (Italia) en el año 1 5 0 7 por dos artesanos conocidos con los nombres de Dominico y Andrea. Los espejos nos permiten verificar si una figura es simétrica o no. Clave matemática Continuamente estamos ante situaciones en las que los objetos que nos rodean se mueven mediante rotaciones, traslaciones o reflexiones, movimientos denominados isométricos. Iso significa igual y métricos medida, es decir, movimientos que mantienen la forma y el tamaño de los objetos. La rotación es una transformación en el plano, consiste en girar una figura alrededor de un punto con una amplitud y un sentido específico. El punto sobre el cual gira la figura se denomina centro de rotación; la amplitud son los grados que gira la figura y el sentido es positivo cuando gira en dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj. Para realizar una rotación debes primero unir el centro de rotación con cada uno de los vértices de la figura; segundo, ubicar el grado según la amplitud con cada una de las líneas trazadas en el primer paso; tercero, con un compás marcar la amplitud de los vértices en los nuevos ángulos y, por último, unir los puntos respectivos. O TALLER Traslaciones, reflexiones, rotaciones O o ° 1 . La imagen que muestra un espejo se denomina reflexión, además del espejo, en el en torno se encuentran elementos que reflejan diferentes objetos o seres de la naturaleza ¿Cuáles son?
- 195. 2, Observa la imagen y determina el va- lor de verdad de cada enunciado. a . Cada punto de los que forman el personaje de la unidad tiene una imagen. ( ) b. El personaje de la unidad y la imagen en el espejo no coinciden en tamaño y forma. ( ) c. Un punto del personaje de la uni- dad y su imagen están a igual dis- tancia del eje de reflexión. ( ) 3, Utilizando el espejo refleja cada uno de los siguientes objetos: un reloj de pulso, una foto, el teclado del celular, la palma de la mano sobre una superficie Emplea también el espejo para encontrar los mensajes escondidos. - D m i 9 D 9 u q o n o 2 i 9 q onu 9 u p ol oboT" " b D b Ü D 9 T oh9DoH n ó i b o q a o i t o cionig .eáonDit Dt2Ü9von ,9meV oiluL 9219DDH 9 b T D ¡ 9 b Ofl 29 9 t n D t l O q m ¡ oJ" " 2 D t n u g 9 i q .oDÍtóm9tDrn y coiait ,(529 f -9X8 T) nigtaniB tigdIA ¿Qué concluyes? 4. Calca la silueta del personaje de la unidad, recórtalo y dóblalo por la mitad, ubica el tronco del muñeco de lado al espejo. a. ¿Qué figura se ve? b. ¿Qué elementos de tu entorno natural y artificial cumplen esta característica? Suge- rencia: verifícalo ubicándolos de lado al espejo. £} un eje de reflexión (espejo) divide una figura u objeto en partes igua- les, se dice que la figura es simétrica y tiene sime- tría de reflexión. El eje de reflexión se denomina eje de s¡me+tía.
- 196. En la silueta del personaje ubica los puntos A, A ' , 8, 8 ' y mide la distancia entre los pun- tos. a . ¿Cuál es la distancia entre el punto A y el eje de simetría? b. ¿Cuál es la distancia que hay entre el punto A ' y el eje de simetría? c. ¿Cuál es la distancia hay entre el punto 8 y el eje de simetría? d. ¿Cuál es la distancia entre el punto B' y el eje de simetría? e. Ubica otros puntos y contesta las preguntas d y e, con los nuevos puntos. f. ¿Qué concluyes? 5, Las siguientes figuras son simétricas, utiliza la cuadrícula para completar la figura.
- 197. Iy 7. Diseña en cartulina un cuadrilátero similar a este I I y recórtalo. a . En un octavo de cartulina diseña un geoplano, la distancia horizontal y vertical entre puntos es de 2 cm. b. Ubica la figura en el punto A del geoplano. c. Traza una flecha que inicie en el punto A y pase por el punto 8 y traslada la figura hasta el punto 8, cálcala. d. Traza una flecha del punto A al punto 8, del punto 8 al punto D, del punto D al punto C. e. Siguiendo la flecha traslada la figura del punto A al punto 8 y cálcala, del punto 8 al punto D y cálcala, finalmente del punto D al punto C y cálcala. ¿Para llegar a la última ubicación es posible realizar otras traslaciones de la figura? Justifica la respuesta. f. Selecciona un punto y denótalo con M, y ubica un punto de la figura en este lugar, luego trasládala 3 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo. ¿A qué posición llegaste? g. Inventa una traslación y socialízala a tus compañeros. B S 8. El arte usa muchas veces figuras tras- ladadas y simétricas. Traslada el dise- ño a cada uno de los cuadros, cálca- lo y encuentra los ejes de simetría en la figura formada.
- 198. * 7 9. Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . Al girar una figura, se conserva su forma. b. Al girar una figura, la posición no cambia. c. Al girar una figura, se conserva la forma mas no la ubicación ni la posición. d. El centro de rotación puede estar fuera de la figura. e. Si una figura gira 9 0 ° en sentido positivo, equivale a girar 9 0 ° en sentido negati- vo. f. Si una figura gira 6 0 ° en sentido negativo, equivale a girar 3 0 0 ° en sentido positi- vo. f 10.Teniendo en cuenta los giros que realizan las manecillas de un reloj, contesta las si- guientes preguntas. a . De las 1 2:00 a las 12:15, ¿cuántos grados giró el minutero? b. De las 1 2:35 a la 1:00, ¿cuántos grados giró el minutero? C. De las 2:45 a las 3:30, ¿cuántos grados giró el minutero? d. De las 4:00 a las 5:00, ¿cuántos grados giró el minutero? 1 1 . Teniendo en cuenta un transportador, contesta las siguientes preguntas. a . Si tengo un á n g u l o de 3 0 ° y el lado final gira en sentido positivo 9 0 ° con respecto al vértice, ¿cuál es la medida del nuevo á n g u l o ? b. Si tengo un á n g u l o de 4 5 ° y el lado final gira en sentido positivo 4 5 ° con respecto al vértice, ¿cuál es la medida del nuevo á n g u l o ? C. Si tengo un á n g u l o de 1 6 0 ° y el lado final gira en sentido positivo 2 0 0 ° con respecto al vértice, ¿cuál es la medida del nuevo á n g u l o ? d. Si tengo un á n g u l o de 1 8 0 ° y el lado final gira 3 6 0 ° con respecto al vértice, ¿cuál es la medida del nuevo á n g u l o ? 12. Mide y determina la cantidad de grados y sentido en el cual se giró la siguiente figura. / A/ / / A* & J ' X , u 5 — u X Descriptor de desempeño: / Aplicar rotaciones, reflexiones y traslaciones en el plano a diferentes figuras.
- 199. Pensamiento aleatorio • Combinaciones y permutaciones En la línea del tiempo se encuentran diferentes hechos y escritos sobre los derechos humanos: Cilindro de Ciro; declaración de los derechos humanos del rey persa Ciro el Grande. Declaración de los Derechos Humanos de Francia. Antonio La ley general Nariño divulgó de educación los derechos crea el cargo humanos en de personero Colombia. estudiantil. I V / J 1 - - - 1 1 1795 1798 1994 4 0 0 539 8 0 0 1 2 0 0 En un colegio de la ciudad se realiza la elec- ción de personero estudiantil, representante del comité de convivencia y representante al consejo directivo. Para los tres cargos hay cin- co candidatos: María, Pablo, Maribel, Carlos y Miriam. ¿De cuántas formas pueden estar ocupados los tres cargos? 1 6 0 0 2 0 0 0 Clave matemática Al ordenar un conjunto de objetos se dice que se está haciendo una permutación de esos objetos. Al organizar varios objetos y no es indispensable el orden, se dice que se está haciendo una combinación de esos objetos. w TALLER Combinaciones y permutaciones O o 0 1. Para contestar un examen de cuatro preguntas se da la opción a un estudiante de resol- ver solamente dos preguntas. a . Escribe todas las posibilidades que tiene para seleccionar las dos preguntas. b. ¿La situación anterior corresponde a una permutación o una combinación? Justifica la respuesta. C. ¿Cuántas posibilidades tiene cada estudiante de seleccionar las dos preguntas? d. ¿Cuántas posibilidades tiene el estudiante, si obligatoriamente debe contestar la primera pregunta?
- 200. y 2 . Camilo se encuentra en la Casa C y en la tarde tiene planeado ir a entre- gar invitaciones para la fiesta de cum- pleaños a sus tías Adriana, Elizabeth, Beatriz y Doris. a . Antes de salir, Camilo traza todos los posibles recorridos desde su casa, ayúdale delineando cada recorrido con un color diferente. b . Escribe en el cuaderno todas las posibilidades que tiene: 1) Casa , Casa , Casa , Casa C. ¿Cuántas posibilidades tiene Camilo para entregar las invitaciones? • / * 3. En una competencia de atletismo hay tres participantes y se premiarán únicamente los dos primeros puestos a . Escribe todas las posibilidades para ocupar los dos primeros lugares. b . ¿Cuántas posibilidades hay para ocupar los dos primeros lugares? c. ¿En esta situación es importante el orden? Justifica tu respuesta. d . ¿La premiación de la competencia corresponde a una permutación o a una combi- nación? y 4. Las placas de los carros en Colombia se componen de tres letras y tres dígitos, para asignar la placa al carro de Luis se tienen las letras S, T, A y los números 3, 5, 8. a . Escribe todas las posibilidades para formar la placa del carro. b . ¿Cuántas opciones hay para formar la placa del carro? c. ¿En este caso es importante el orden? Justifica tu respuesta d . ¿Esta situación corresponde a una c o m b i n a c i ó n o a una permutación? y 5. Soluciona cada situación y clasifícala en c o m b i n a c i ó n o p e r m u t a c i ó n . a . En un grupo de trabajo de cuatro integrantes hay cuatro roles definidos: líder, secre- tario, tesorero y relaciones públicas. ¿De cuántas maneras se pueden organizar? b . En el centro comercial Sofía c o m p r ó pantalonetas, camisetas y cachuchas, cada artículo en un lugar diferente. ¿Cuántos y cuáles recorridos pudo haber realizado Sofía? C. Al ingresar cuatro niñas, Johana, M ó n i c a , María Fernanda y Ana M a r í a , a una flota hay tres asientos libres. ¿Cuántas y cuáles posibilidades tienen para sentarse? Descriptor de desempeño: / Establezco diferencias entre combinaciones y permutaciones.
- 201. Pensamiento aleatorio % Conceptos básicos de probabilidad Supongamos que los números de los billetes de lotería tienen tres cifras. Escribe 40 posibles números para 40 billetes y escoge uno; ten en cuenta que es posible tener números con cifras ¡guales. Luego, pregúntale a un grupo de cinco personas por un número de tres cifras, ¿cuántas personas dijeron un número de los 40 que escribiste?, ¿cuántas dijeron el número que escogiste? ¡Imagínate la posibilidad de que nuestro personaje se gane la lotería, si los billetes tienen números de cuatro cifras! ¿Qué tan posible es ganarme la lotería? Clave matemática • Un experimento aleatorio es un ensayo o acción en la cual no se conoce el resulta- do hasta que se realice; sin embargo, se pueden determinar los posibles resultados antes de ser realizado. • El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento muestral; se simboliza con S. • Un evento es un conjunto formado por elementos del espacio muestral. • La probabilidad de un evento es el cociente entre el resultado favorable y el núme- ro de elementos del espacio muestral. Un experimento aleatorio es lanzar una moneda, para este experimento el espacio muestral es S = {cara, sello}; un evento podría ser obtener cara en un lanzamiento, por tanto, la probabilidad de que eso ocurra es — =0,5 ; es decir, de las dos posibilidades, una es cara. ^ O TALLGR Conceptos básicos de probabilidad O S 1. Escribe el espacio muestral de los experimentos. a . Lanzar un dado. b. Lanzar dos monedas. c. Sacar una balota negra de una bolsa que contiene dos balotas blancas, dos negras y dos grises. d . Lanzar dos dados. e. Escoger una mujer de un grupo de diez personas, donde la mitad son hombres y el resto son mujeres. ^ 2. Teniendo en cuenta el ejercicio uno, calcula la probabilidad de los siguientes eventos: a . Obtener un número par al lanzar un dado. b. Obtener dos figuras ¡guales al lanzar dos monedas.
- 202. C. Sacar una balota negra de la bolsa que contiene dos blancas, dos negras y dos gri- ses. d. Obtener dos números iguales al lanzar dos dados. e. Escoger una mujer de un grupo de diez personas donde la mitad son hombres y el resto son mujeres. 3. Escribe falso o verdadero, según corresponda. a. La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1. b. La probabilidad de un evento puede ser mayor a 1. un espacio mues- c. La probabilidad de un evento puede ser 1. d. Un evento puede tener los mismos elementos de tra I. e. Un evento puede tener mayor cantidad de elementos que un espacio mues- tral. f. Un evento puede tener menor cantidad de elementos que un espacio mues- tral. g. El resultado de una operación matemática es un experimento aleato- rio. 4. La siguiente información corresponde a algunas comidas y bebidas que se encuentran en un restaurante. Contesta las preguntas de acuerdo con la información. a. ¿Cuál es la probabilidad de comer pizza? b. ¿Cuál es la probabilidad de comer perro caliente y salchipapas? c. ¿Cuál es la probabilidad de comer hamburguesa y tomar malteada? d. ¿Cuál es la probabilidad de comer hamburguesa, salchipapas y jugo? Comida Bebida Perro caliente Jugo Hamburguesa Gaseosa Pizza Malteada Salchipapas Yogurt / " 6. La siguiente información corresponde al generó de películas que se encuen- tran en diez salas de cine de un centro comercial. De acuerdo con la informa- ción contesta las preguntas. a. ¿Cuál es el género con ma- yor probabilidad de ser escogi- do? b. ¿Cuál es el género con menor probabilidad de ser escogido?_ c. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una película de terror? d. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una película infantil? e. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una película de drama?_ Sala Género Sala Género 1 Drama 6 Terror 2 Terror 7 Drama 3 Infantil 8 Infantil 4 Drama 9 Terror 5 Drama 10 Drama Plantea y soluciona un problema que involucre el cálculo de la probabilidad de algunos eventos. Descriptor de desempeño: / Calcular la probabilidad de eventos simples en la solución de situaciones problema.
- 203. Matemática tecneativa D o m i n é y s u d o k u / S u d o k u Soluciona las ecuaciones. Escribe el resultado en el cuadro correspondiente y resuelve el sudoku. A. 2 x Y - 3,5 = 7,5 B. 2,5 x Y + 15 = 35 C. 2 x Y + 3 = 7 D. X - 5 , 2 5 - 3,75 E. X - 2 , 0 8 = 0,92 F. G. H, I / X + 8,01 = 9,01 X - 4 , 9 = 1,1 3 x Y - 1 = 2 0 X - 1,6 = 2,5 C E A H 1 G D 1 1 G F D H B ¡ H D B 1 F E F 1 C 8 1 H G H C 1 D F 5 E A E H F C 1 C E B G D F ) A D H F C B E G ¡ B B A E H 1 D o m i n ó Materiales • Cartón paja o cartón cartulina • Tijeras • Colores, temperas o recortes de gráficos de revistas Marcadores Instrucciones 1 Realiza en la cartulina 20 rectángulos de 3 cm x 6 cm, es decir del mismo tamaño que el rectángulo que aparece más adelante en el dibujo, y córtalos. Divide en dos partes ¡guales los rectángulos y marca la división con colores o marcado- res, tal y como aparece en el dibujo. Realiza este paso con todos los rectángulos.
- 204. 1 Matemática netneattouz 3, Escribe los siguientes números racionales en diferentes rectángulos, de tal manera que solo utilices una cara de cada rectángulo 6_ 12 11 7 Por ejemplo: 3 7 l 3 5 3 0 9 2_ 11 J_ 6 1_ 13 6 9 2 5 7 4. En los otros rectángulos escribe solamente en una cara los números decimales, que son equivalentes a cada uno de estos números racionales. o 5. En otras caras puedes escribir números racionales que sean equivalentes a algunos de los números que aparecen en el punto 3. o 6. Por último, en las caras que te faltan realiza gráficos que representen algunos de los números que aparecen en el punto 3. Juega Este d o m i n ó lo puedes jugar con tres personas más. / Reparte las fichas, que son los rectángulos que construíste. Tapa tus fichas, para que nadie las vea y rifa la salida. Comienza el que haya ganado la rifa, colocando una de las fichas en la mesa para que todos la vean. Después el jugador que está a su derecha coloca una ficha que tenga algún n ú m e r o o dibujo relacionado con lo que aparece en la ficha del primer jugador, solamente tiene dos opciones puesto que hay dos caras en la ficha. / C o n t i n ú a el jugador que está a su derecha y así sucesivamente. / Si algún jugador no tiene ninguna ficha relacionada con las que están puestas en la mesa, por tanto, cederá el turno a otro jugador. / Gana el jugador que quede sin fichas.
- 205. Jornada lúdica (paper toys) Actividad complementaria C u a n d o se tienen objetos semejantes, es decir, sus formas son iguales, pero difieren en t a - maño, se pueden establecer proporciones entre sus longitudes. Por ejemplo, el diámetro de las llantas del PT Cruiser que vas a armar es 2,3 cm aproximadamente, y en la realidad el diámetro de esta llanta es 51 c m , con lo cual se deduce que cualquier medida del modelo armado se multiplica por —^r = 22 . z, ó También se puede conocer el ancho real del auto. En el modelo su ancho es 7 cm y multipli- cado por 22 se obtiene el ancho real 154 cm Actividad Al terminar el armado del montaje, toma las medidas necesarias con una regla para calcular las siguientes medidas. De ser necesario, usa n = 3 1. La longitud del auto real. 2. La altura del auto. 3. La longitud del capó. 4. El ancho y el alto del vidrio panorámico. 5. Teniendo en cuenta las expresiones para área del círculo, halla el área de las ruedas del modelo, y del auto en la realidad. 6. Halla el área de la parte metálica de la rueda del carro (aro o rin) en el modelo y en la realidad. 7. Restando las áreas anteriores, halla el área de la parte de caucho (neumático) en el m o - delo y en la realidad. Anota los procedimientos en tu cuaderno. Calca el siguiente modelo, recórtalo y ármalo.
- 206. Matemática w&teOtiouZ Modelo PT Cruiser
- 207. Cálculo de combinaciones y permutaciones con ayuda del computador Ejercicio: 1. Encuentra el número de combinaciones posibles que se pueden realizar con la letras a, b, c, d y e, formando grupos de dos, tres, cuatro y cinco letras en cada combinación. 2. Halla el número de permutaciones que se pueden realizar con los números 1, 2, 3, 4 y 5, formando grupos de dos, tres, cuatro y cinco números en cada permutación. 3. Encuentra el número de combinaciones posibles que se pueden realizar con ó, 7, 8, 9 y 1 0 letras diferentes. 4. Encuentra el número de permutaciones que se pueden realizar con 6, 7, 8, 9 y 1 0 nú- meros diferentes. Para realizar la actividad número uno, el procedimiento es muy sencillo, solo debes escribir en una celda la siguiente fórmula: = combinat(5;2), el número 5 indica la cantidad de elementos, cinco letras, y el número 2 indica la cantidad de elementos que tiene cada combinación. Re- cuerda que para introducir una fórmula en Excel se debe anteponer el signo = . Al dar enter, el programa nos genera el número de combinaciones, 10. Ahora, con tres elementos en cada combinación, se pueden realizar diez combinaciones; la fórmula es = combinat(5;3).
- 208. Con cuatro elementos en cada combinación, se forman cinco combinaciones. mmm »m Con cinco elementos en cada combinación se puede obtener una combinación. •t;.-i-.: re ! ¡ . ; u n j I O r a » Realizaremos las actividad dos, el procedimiento es similar; la fórmula que se dígita es — permutaciones(5;2) para dos elementos en cada permutación; se obtienen 20 permutaciones. * - % m *4 -1 íPffiMUTACIOMES{57} J 4 1 wl5 8 T • 9 W 11 11 11 í* 232
- 209. Para tres elementos en cada permutación se pueden obtener 60 permutaciones. a • A • m m m •* * •• Para cuatro elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones. :c¿'¡ A ••> p J .j ¿> ¡i . i ~ .: i a • ^ ITKIO Irairiw Cutno de pagns formulas BMoi ¡ a j í ' - J 3 « J e -¿ 7 ti íi • — * ; Inioo ; Insertir Diieñc Se oigme Fe,™ * % 9» *J .1 Dívudve « número de t;o Oí 0t))*iM er *ceol» I C*nc»»r A 8 C • 0 i f Q Jí_ • ' 1 129 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Con cinco elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones. =P£RMUT ACIONES(5.5) mm Tamaño : SI - s m •• objetn Qjt pueden M TamaAo ei MI " w o de objetoeen ctdt. otntuwodn. Actppy ] | C»r«*-y Pega, -j Copiai Ohbri M i 1 -|u 5 ' _ ' A* A m m m ir m. Generji A l - ^ £ =PERMUTACI0MES(5,5) 1 120 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 12 13 Las actividades tres y cuatro tú las debes realizar.
- 210. Prueba de unidad Contesta las preguntas 1 al 10 con base en la siguiente información. Al pesar diferentes objetos en la báscula se observan los siguientes pesos: 1. Los objetos del más liviano al más pe- sado se encuentran en el siguiente or- den: Carpetas, marcadores, cuadernos, maleta. Carpetas, marcadores, maleta y cuadernos. C, Marcadores, carpetas, maletas y cuadernos. Maleta, cuadernos, marcadores y carpetas. 2. En cuántos kilogramos es más pesado la maleta que las carpetas: A. 3 660,76 g C 3 200,4 g 2 740,04 g 0 460,36 g El peso de cinco cajas de marcadores se obtiene: Dividiendo 480,78 entre 5 g 5 8. Sumando 480,78 con 5 g C. Multiplicando 480,78 por 5 g D. Restar 480,78 de 5 g La caja de marcadores vacía pesa 0,050 kg y contiene 12 unidades. El peso de un solo marcador es: A, 2 403,9 g C, 492, 78 g B. 40,065 g D, 40,069 g El triple del peso de los cinco cuadernos y la caja de marcadores es: A. 3 • (3200,38 g + 480,78 g) B. 3 200,38 g + 3. 480,78 g C. 3 • (3200,38 g) + 480,78 g 3 • 3200,38 g Si una caja de ¡abones pesa la mitad de la maleta con ropa, el peso de la caja es: A. 1 600,2 g C. 9 601,2 g 6 400,8 g 3 200,4 g La razón entre la cantidad de carpetas y la cantidad de marcadores es: 4 4_ 10 812 8 12 De las cualidades de los marcadores son magnitudes: A. El color y el peso. El peso y el ancho C, El ancho y el color D, El color y la forma Hoy puedo comprar con $ 1 0 000 los cinco cuadernos, pero al pasar el tiempo sube el precio de cada cuaderno a $2 500, luego con el mismo dinero compraré solamente 4 cuadernos. La situación anteriores ejemplo de: A. Una proporción directa Una razón
- 211. Prueba de unidad C. Una proporción inversa ti. Una multiplicación Teniendo en cuenta que con $ 1 0 000 pue- do comprar hoy cinco cuadernos. La canti- dad de cuadernos que puedo comprar hoy con $60 000 es: La tercera parte B. El doble Seis veces más D. La quinta parta Conteste las preguntas 11 a la 15 con base en la siguiente información. El túnel férreo de Seikan (Japón) fue construido a 240 m bajo el nivel del mar. El túnel vehicular de Hitra, Noruega, se cons- truyó a 264 m bajo el nivel del mar. La estatua más larga se ubica cerca de Bami- yan (Afganistán), mide 305 m de alto La escalara en espiral más alta se encuentra en Barcelona (España), mide 63 m William G. Smith, de Inglaterra construyó uno de los submarinos más pequeños y alcanza una profundidad aproximada de 348 m bajo el nivel del mar. Los submarinos rusos de clase Alfha, activados por energía nuclear, alcanzan una profundidad de 762 m bajo el nivel del mar. Los números enteros que representan cada una de las situaciones anteriores en el orden que se presentan son: 240, - 2 6 4 , 305, 63, - 3 4 8 , 762 240, 264, - 3 0 5 , - 6 3 , 348, 762 -240, 264, - 3 0 5 , 63, 348, - 7 6 2 -240, - 2 6 4 , 305, 63, - 3 4 8 , - 7 6 2 La cantidad de metros de altura que hay entre la estatua y un submarino Alfha en su máxima profundidad equivale a: A. - 7 6 2 + 1 0 6 7 305 - (-762) C. - 7 6 2 - 3 0 5 D. - 3 0 5 + 7 6 2 La distancia entre la escalera más alta y el submarino construido por Smith en su máxima profundidad se determina por: |63| + |-348| B. (-63)+348 |63| +1-348| D. 63 +(-348) La distancia del nivel del mar (0 m) al sub- marino construido por William G. Smith en su máxima profundidad se representa por: |348| 348 C. - 3 4 8 1-3481 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B O O O O O O O O O O o o o o c o o o o o o o o o o o o o o 239