Ms-Antiderivadas de una función de variable real.pdf
- 1. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
- 2. CONTENIDO 1 ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN 2 FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS 3 PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS 4 REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR
- 3. Objetivo General Utilizar las reglas básicas de integración para hallar la antideriva- da de una función. Objetivos Especı́ficos 1 Hallar la antiderivada de una función potencia. 2 Usar las propiedades de la suma y resta para hallar la antide- rivada de una función polinómica. 3 Determinar la antiderivada de una función exponencial, trigo- nométrica y logarı́tmica.
- 4. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Antiderivada de una función f(x)
- 5. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición Una función F(x) es la Antiderivada de una función f(x) en un intervalo (a,b), si F′ (x) = f(x) para todas las x ∈ (a,b).
- 6. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Ejemplo Si f(x) = 4x3 entonces F(x) = x4 +C es una antiderivada de f. Si f(x) = 1 x2 entonces F(x) = −1 x +C es una antiderivada de f.
- 7. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Nota Para la función f(x) = 3x existen muchas antiderivadas tales como F(x) = 3 2 x2 F(x) = 3 2 x2 −1 F(x) = 3 2 x2 +1 Por tanto, es importante entender el siguiente teorema.
- 8. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Teorema Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo (a,b), en- tonces la antiderivada más general de f(x) sobre (a,b) es F(x)+C donde C es una constante arbitraria.
- 9. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN −2 −1 1 2 −2 2 4 6 x y F(x) = 3 2 x2 −1 F(x) = 3 2 x2 F(x) = 3 2 x2 +1 F(x) = 3 2 x2 +2 FIGURA 1: Antiderivadas de f(x) = 3x
- 10. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) es conocida como la integral indefinida de f(x). Se denotada por Z f(x) dx El sı́mbolo R es un signo de integral. La función f es el integran- do de la integral y x es la variable de integración. Por tanto, Z f(x)dx = F(x)+C
- 11. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Ejemplo Dada la función f(x) = 3x entonces Z 3x dx = 3 2 x2 +C
- 12. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Fórmulas de Antiderivadas
- 13. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de funciones constantes y funciones potencias Función f(x) Antiderivada F(x) Z k dx k constante F(x) = kx+C Z (xn ) dx n ̸= −1 F(x) = xn+1 n+1 +C Z 1 x dx F(x) = ln|x|+C
- 14. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Ejemplos 1 Z 3 dx = 3x+C 2 Z x5 dx = x6 6 +C 3 Z x3/4 dx = 4 7 x7/4 +C 4 Z √ x dx = Z x 1/2 dx = 2 3 x 3/2 +C
- 15. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de Funciones Exponenciales Función f(x) Antiderivada F(x) Z ex dx F(x) = ex +C Z ekx dx k constante F(x) = ekx k +C Z ax dx F(x) = ax ln(a) +C Z akx dx k constante F(x) = akx k ·ln(a) +C
- 16. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Ejemplos 1 Z e2x dx = e2x 2 +C 2 Z e−3x dx = e−3x −3 +C 3 Z e 1 2 x dx = 2e 1 2 x +C 4 Z 2−3x dx = 2−3x −3ln(2) +C
- 17. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de Funciones Trigonométricas seno y coseno Función f(x) Antiderivada F(x) Z cos(x) dx F(x) = sin(x)+C Z cos(kx) dx F(x) = cos(kx) k +C Z sin(x) dx F(x) = cos(x)+C Z sin(kx) dx F(x) = − cos(kx) k +C
- 18. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Ejemplos 1 Z cos(2x) dx = sin(2x) 2 +C 2 Z cos 1 2 x dx = sin 1 2x 1/2 +C 3 Z sin(3x) dx = − cos(3x) 3 +C 4 Z sin 1 5 x dx = − cos 1 5x 1/5 +C
- 19. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de Funciones de los cuadrados de secante y cosecante Función f(x) Antiderivada F(x) Z sec2 (x) dx F(x) = tan(x)+C Z sec2 (kx) dx F(x) = tan(kx) k +C Z csc2 (x) dx F(x) = −cot(x)+C Z csc2 (kx) dx F(x) = − cot(kx) k +C
- 20. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de otras funciones Función f(x) Antiderivada F(x) Z 1 1+x2 dx F(x) = tan−1(x)+C Z 1 a2 +x2 dx F(x) = 1 a ·tan−1 x a +C Z 1 √ 1−x2 dx F(x) = sin−1 (x)+C
- 21. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS Antiderivada de otras funciones Función f(x) Antiderivada F(x) Z sec(x)tan(x) dx F(x) = sec(x)+C Z csc(x)cot(x) dx F(x) = −csc(x)+C Z sec(x) dx F(x) = ln(sec(x)+tan(x))+C
- 22. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Propiedades de las Antiderivadas
- 23. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Multiplicación por una constante Si k es una contante, entonces Z k · f(x) dx = k · Z f(x) dx
- 24. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Ejemplo Z 4·x2 dx = 4· Z x2 dx = 4 x3 3 +C = 4 3 x3 +C
- 25. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Linealidad Si k es una contante, entonces Z f(x)±g(x) dx = Z f(x) dx± Z g(x) dx
- 26. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Ejemplo Z e2x +cos(3x) dx = Z e2x dx+ Z cos(3x) dx = e2x 2 + sin(3x) 3 +C
- 27. PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS Ejemplo Z x6 − 1 x dx = Z x6 dx+ Z 1 x dx = x7 7 +ln|x|+C
- 28. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR Reeescribir antes de Antiderivar
- 29. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR En muchas ocasiones, es necesario reescribir la función antes de intentar antiderivarla. Por ejemplo, 1 Z x2 (x+3) dx 2 Z 2x5 − √ x x dx
- 30. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR Ejemplo Z x2 (x+3) dx = Z x3 +3x2 dx = Z x3 dx+ Z 3x2 dx = x4 4 +3 x3 3 +C = x4 4 +x3 +C
- 31. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR Nota En el ejemplo anterior Z f(x)·g(x) dx ̸= Z f(x) dx· Z g(x) dx Es decir, Z x2 (x+3) dx ̸= Z x2 dx · Z x+3 dx
- 32. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR Ejemplo Z 2x5 − √ x x dx = Z 2x5 −x1/2 x dx = Z 2x5 −x 1/2 ·x−1 dx = Z 2x4 −x−1/2 dx = 2x5 5 −2x 1/2 +C
- 33. REEESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR Nota En el ejemplo anterior Z f(x) g(x) dx ̸= Z f(x) dx Z g(x) dx Es decir, Z 2x5 − √ x x dx ̸= Z 2x5 − √ x dx Z x dx