Método algebraico
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Este documento describe el método algebraico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica que la solución óptima siempre se encuentra en un vértice de la región factible y no en su interior. Proporciona un ejemplo para ilustrar cómo encontrar los vértices y evaluar la función objetivo en cada uno para determinar la solución óptima. También define qué es una región factible acotada y no acotada.
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MÉTODO ALGEBRAICO
El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer un método de
solucionar un problema con dos variables.
En un problema de I.O con dos variables, si existe una solución única que optimice la
función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible
acotada, nunca en el interior de dicha regióni
.
Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico
valor en los puntos del segmento que determinan.
En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza
necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de
los vértices de la región
La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir
encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
EJEMPLOii
Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y
sujeto a: 4x + 5y 40
2x + 5y 30
x 0 , y 0
1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones:
Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:
{4x + 5y = 40, 2x + 5y = 30}. Solución A(5,4) { 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución: B (0,8)
{4x + 5y = 40, y = 0}. Solución: C(10,0) { 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6)
{2x + 5y = 30, y = 0}. Solución : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)
2) Determinar los vértices de la región factible:
Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones.
Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:
B no cumple la segunda restricción 2x + 5y 30, ya que 2·0 + 5·8 = 40. Por tanto,
el punto B no es un vértice de la región factible.](https://image.slidesharecdn.com/mtodoalgebraico-130909164114-/85/Metodo-algebraico-1-320.jpg)
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E no cumple la primera restricción 4x + 5y 40, ya que 4·15 + 5·0 = 60. Por tanto,
el punto E no es un vértice de la región factible.
Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región
factible.
3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices:
f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30
f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0
La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor
máximo. En este caso es el vértice D(0,6).
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Se
presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que
se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
La solución de un problema, en el supuesto de que exista, debe estar en la región
determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y
puede estar o no acotada.
Región factible acotada Región factible no acotada
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean
en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con
un número de lados menor o igual que el número de restricciones.”iii
i
Tomado de http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_3.html
ii
Ejemplo tomado de http://www.investigacion-operaciones.com/Aspectos_Generales_PL.htm
iii
Tomado de http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_3.html](https://image.slidesharecdn.com/mtodoalgebraico-130909164114-/85/Metodo-algebraico-2-320.jpg)
Método algebraico
- 1. [Escribir texto] MÉTODO ALGEBRAICO El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer un método de solucionar un problema con dos variables. En un problema de I.O con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha regióni . Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos. EJEMPLOii Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeto a: 4x + 5y 40 2x + 5y 30 x 0 , y 0 1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones: Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones: {4x + 5y = 40, 2x + 5y = 30}. Solución A(5,4) { 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución: B (0,8) {4x + 5y = 40, y = 0}. Solución: C(10,0) { 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6) {2x + 5y = 30, y = 0}. Solución : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0) 2) Determinar los vértices de la región factible: Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones. Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que: B no cumple la segunda restricción 2x + 5y 30, ya que 2·0 + 5·8 = 40. Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.
- 2. [Escribir texto] E no cumple la primera restricción 4x + 5y 40, ya que 4·15 + 5·0 = 60. Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible. Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región factible. 3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices: f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30 f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0 La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(0,6). En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. La solución de un problema, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada. Región factible acotada Región factible no acotada La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.”iii i Tomado de http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_3.html ii Ejemplo tomado de http://www.investigacion-operaciones.com/Aspectos_Generales_PL.htm iii Tomado de http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_3.html