Métodos de eliminación gaussiana tarea iii

Análisis de métodos numéricos
Autor
Luigui M. Guillen C
C.I 25023747

Métodos De Eliminación Gaussiana
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Consiste en
escalonar la matriz aumentada del sistema aumentado para obtener un sistema
equivalente:
Los cual consiste en realizar diversas transformaciones para la resolución del sistema
triangular, además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de
llegada, esto quiere decir que la matriz de inicio está delimitada con nuestro resultado
Los problemas o desventajas de este método son: división de cero que quiere decir esto
quiere decir que en algún punto puede quedar una división entre cero lo cual no nos da un
resultado; también se tiene el error de redondeo este es causado en el momento en que se
realiza un redondeo de valores decimales lo cual con valores que sus decimales son muy
largas viene este error y causar un error grande al dar un resultado y por último los sistemas
mal condicionados esto es que un rango amplio de respuestas puede satisfacer
aproximadamente al sistema pero con el redondeo este amplio resultado puede generar un
cambio o error muy grande en la resolución del sistema.
Método de Gauss-Jordan
Este método se trata de la resolución de ecuaciones lineales por medio de transformaciones
de algebra lineal que son de transformar la ecuaciones a matrices para la resolución de las
ecuaciones eliminando incógnitas en la matriz para poder llegar a una resolución más fácil
de estas variables; sin embargo este sistema solo puede ser usado con sistemas de

ecuaciones con la misma matriz o valor “X”, por lo cual este sistema nos perite eliminar
matrices.
Descomposición LU
El método lleva su nombre “LU” por la resolución de ecuaciones lineales para la resolución
“X” por la resolución de dos matrices (L y U)
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
=
Ejemplo
PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de
ecuaciones:

SOLUCIÓN:
4 - 2 - 1 9
[A] = 5 1 - 1 [B] = 7
1 2 - 4 12
ITERACIÓN 1
Factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
Factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
Fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 2.5 - 0.75
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 0 0
0.25 0 0
ITERACIÓN 2

Factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el
siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que
se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y
x3:

La solución del sistema es:
Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la
descomposición LU.
Factorización De Cholesky
La factorización de Cholesky es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales,
tenemos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones, llamada A. Una condición
necesaria y suficiente para que una matriz A admita factorización de Cholesky es que sea
simétrica y definida positiva. Si cumple podemos tratar de factorizarla la forma A = L*LT
Sea el sistema de ecuaciones lineales A x = b, donde A es simétrica y definida positiva,
entonces el método de Cholesky para la resolución del sistema A x = b está basado en la
descomposición de la matriz A como sigue:
Donde L es una matriz triangular inferior de orden n, es decir, L tiene la siguiente forma:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cholesky
A =










97922555
2255515
55156
y C=










100
150
100
Solución:
En el método de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las fórmulas
ii
i
j
kjijki
ki
l
lla
l





1
1
Y 



1
1
2
k
j
kjkkkk lal
La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para
elementos en la diagonal principal.
Entonces.
61111  al = 2.4495
4495.2
15
11
21
21 
l
a
l = 6.1237
4495.2
55
11
31
21 
l
a
l = 22.454 Ya sabemos que l12 = 0
22
212222 1237.655 lal = 4.1833
1833.4
)454.22)(1237.6(55
22
312132
32




l
lla
l = 20.916
De igual forma l13 = l23 = 0 y
)916.20454.22(979)( 222
32
2
313333  llal = 6.1106

La matriz L es igual a











1106.6916.20454.22
01833.41237.6
004495.2
L
En el método de Cholesky U = LT











1106.600
916.201833.40
454.221237.64495.2
U
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de
descomposición de LU
ii
i
j
jiji
i
l
dlc
d





1
1
4495.2
100
11
1
1 
l
c
d =40.8246
1833.4
)8246.40)(1237.6(150
22
1212
2




l
dlc
d =-23.9045
1106.6
)9045.23)(916.20()8246.40)(454.22((100)(
33
2321313
3




l
dldlc
d =-51.826
Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x.
ii
n
ij
jiji
i
u
xud
x



1
33
3
3
u
d
x  =-8.481
22
3232
2
u
xud
x

 = [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 =
36.690

11
3132121
1
)(
u
xuxud
x

 = [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.
Método de Jacobi
Este se encarga de transformar matrices simétricas en una matriz diagonal al eliminar de
forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Este método se basa en la
sucesión infinita de alelemos ya que los elementos son distintos a cero y gran números y
formulas infinitamente funciona solo para dar valores y dejar estos para siguientes
operaciones del mismo. Para ver si este método entrega un resultado propio se evalúan una
serie de pautas las cuales de hace en el orden dado lo cual si una no nos da como debe ser
de comienza de nuevo sabiendo ya que la siguiente función no se hace estos pasos.
1. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es
decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A:
Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la
suma de los elementos de esa fila i.
2. A partir de la siguiente identidad:
Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A
(D=diag (a11, a22,..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de
la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz
triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se
puede deducir la fórmula vectorial de este método:
, k = 1, 2,...

De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1(L+U). Para
que el método de Jacobi converja hacia una solución,
, para una norma matricial inducida.
3. ρ (BJ), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la
ecuación característica de la matriz BJ (det (BJ - λI)) es menor que 1.
Método De Gauss Seidel
Al igual que el Método de Jacobi, El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones,
a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se desee encontrar un nuevo
valor de una xi, además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza valores
actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1).
La ecuación es la siguiente:
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar la
convergencia del mismo, este proceso facilita la resolución de los ejercicios y lo vuelve uno
de los más usados para resolución de los mismos.
Conclusión
Aquí se puede tener en cuenta que todos estos métodos y formas de realizar ejercicios son
usados para los mismos tipos de problemas solo que cada uno de ellos pueden actuar en
formas especificas de ejercicios y el método de Gauss seidel es el más usado para la
resolución como consiguiente lo vuelve el más fácil y efectivo, todos estos métodos son
usados en el análisis numérico.

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