Métodos de resolución de EDOs mediante series
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Este documento describe el método de las series para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Explica que cuando las soluciones de EDOs no pueden expresarse en términos de funciones elementales, se puede usar este método. Detalla los conceptos clave de series de Taylor y potencias, y los teoremas relacionados. También presenta dos métodos para obtener soluciones de EDOs lineales mediante series: diferenciaciones sucesivas y coeficientes indeterminados.
Métodos de resolución de EDOs mediante series
- 1. Método de las Series para la resolución de EDOs Facultad de Ingeniería – Universidad de Cuenca
- 2. En ciertas ocasiones las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales no pueden ser representadas de manera implícita o explicita en términos de funciones elementales. Además de los métodos gráficos vistos previamente y los numéricos que se revisaran más adelante, presentaremos el método de las series para la resolución de ecuaciones diferenciales. Resulta complicado encontrar los valores de la variable dependiente a partir de los valores dados a la variable independiente. Entonces, primero se realizará un repaso de las series de Taylor como de definiciones y ciertos teoremas.
- 3. Revisión: Serie exponencial a0, a1, a2, a3, …, xo son constantes x es la variable Intervalo de convergencia, los valores de x para los cuales la serie converge 1. Converge cuando x=xo 2. Converge absolutamente para los valores de x que se encuentran en el vecindario de xo, converge para lx-xol<h; diverge para lx-xol>h 3. Converge absolutamente para todos los valores de x, para -∞ <x<∞
- 4. Test del radio Se emplea para determinar un intervalo de convergencia en una serie de potencias. Sea la serie: Converge absolutamente si:
- 5. Ejemplo 37.14 Sea la serie de potencia: Se determina u(n) = n!x^n y u(n+1)=(n+1)!x^(n+1) Aplicando el test del radio: Para x ≠ o, l(n+1)xl → ∞ si n → ∞. Por lo que no cumpliéndose el límite ≠ k<1 la serie converge cuando x=0.
- 6. Ejemplo 37.15 Sea la serie de potencia: Se determina u(n) = x^2(n-1)/ (2n-2)! y u(n+1)=x^2n/ 2n! Aplicando el test del radio: Siendo el valor de K=0 < 1 se determina que como todos los valores de x como el intervalo de convergencia.
- 7. Teorema 37.16. Si una serie de potencias converge en un intervalo I: lx-xol < R, en donde R es una constante positiva, de la serie de potencias se define una función f(x) que es continua para cada x en el intervalo I.
- 8. Para la serie: Es convergente para un I: -1 < x < 1. Entonces se necesita conocer la función f(x). Como se trata de una serie geométrica para lxl < 1 Sea x = 1/2, f(1/2) = 1/(1 – 1/2) = 2 la serie geométrica converge a 2. Sea x = 2, f(2)= 1/(1-2) = -1 la serie no converge a -1.
- 9. Sea la serie: Cuyo intervalo de convergencia I: -1 < x < 1 La función f(x) será Arctan(x). Es importante resaltar que algunas series de pontecias convergentes pueden ser representadas por funciones elementales por lo que se presentan una serie de teoremas que nos permitirán definir funciones para esas series de potencias.
- 10. Convergen en el mismo Intervalo I de converger f(x) en dicho interval I. Teorema 37. 2 Sean f(x) y f’(x) series de potencias definidas por:
- 11. f(x) = g(x) si y solo si: ao=bo, a1=b1, a2=b2, … . Teorema 37.23 Sean f(x) y g(x) dos funciones que definen sus respectivas series de potencias:
- 12. TEOREMAS • Si la serie converge en un intervalo 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅 con un radio de convergencia constante, entonces la serie define una función 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐼. • Si 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥0 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 converge en un intervalo 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, su derivada 𝑓′ 𝑥 = 𝑎1 + 2𝑎2(𝑥 − 𝑥0) + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛(𝑥 − también converge en el mismo intervalo. • Si 𝑓 𝑥 = 0 𝑛 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 , 𝑔 𝑥 = 0 𝑛 𝑏𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 con el mismo intervalo de convergencia 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ↔ 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖∀𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 . • Si 𝑓 𝑥 = 0 𝑛 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 convergiendo en 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, 𝑎𝑖 = 𝑓 𝑖 𝑥0 𝑖! ∀𝑖 ∈ 0,1 … , 𝑛 • Serie de Taylor: 𝑓 𝑥 = 0 ∞ 𝑓 𝑛 𝑥0 𝑛! 𝑥 − 𝑥0 𝑛 , Serie de Maclaurin: 𝑓 𝑥 =
- 13. CONCEPTOS • Si 𝑓(𝑥) se deriva para todos los ordenes en un intervalo 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < ℎ, 𝑓 𝑥 = ) 𝑥0 𝑛 + +𝑅𝑛(𝑥), donde 𝑅𝑛(𝑥) representa el término restante o suma desde el n+1-ésimo término. • Función analítica en un punto: 𝑓(𝑥) es una función analítica en 𝑥 = 𝑥0 si se puede expresar la misma en una expansión en series de Taylor/Maclaurin en potencias de 𝑥 − 𝑥0 válida, para cada 𝑥 en el vecindario de 𝑥0. • Función analítica en un intervalo: 𝑓(𝑥) es analítica en un intervalo 𝐼 si es analítica en cada 𝑥 ∈ 𝐼. MÉTODOS DE SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR SERIES • Se plantean soluciones para las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con siguiente estructura: 𝒚 𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙
- 14. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD • Teorema 65.2 (Tenenbaum et. al, 1963): Si los coeficientes 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1) y 𝑄(𝑥) en la ecuación diferencial lineal son continuas de 𝑥 ∈ 𝐼, entonces para 𝑥0 ∈ 𝐼 y 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1 hay una sola función 𝑦(𝑥) que satisface las condiciones iniciales 𝑦𝑖 𝑥0 = 𝑎𝑖 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1). • Teorema 37.51 (Tenenbaum et. al, 1963): Si cada uno de los coeficientes 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1) y 𝑄(𝑥) es analítica en 𝑥 = 𝑥0, hay una única solución 𝑦(𝑥) que es en 𝑥 = 𝑥0 y satisface las condiciones iniciales 𝑦𝑖 𝑥0 = 𝑎𝑖 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1). COMENTARIOS • Un polinomio es una serie finita, por lo que es válido para todas las 𝑥. • Si 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1) son polinomiales, entonces cada solución tiene una serie de Taylor válida para todas las 𝑥.
- 15. PRIMER MÉTODO MEDIANTE SERIES: DIFERENCIACIONES SUCESIVAS Ejercicio 37.8 (Tenenbaum et al, 1963): Obtenga términos hasta el k orden en potencias de 𝑥 − 𝑥0 de solución general de la ecuación 𝟏 − 𝒙 𝒚′′′ − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟑𝒚 = 𝟎 → 𝒚′′′ − 𝟐𝒙 𝟏 − 𝒙 𝒚′ + 𝟑 𝟏 − 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝑘 = 5, 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = −1, 𝑦′′ 0 = 2, 𝑥0 = 0 𝑦 𝑥 = 0 ∞ 𝑦 𝑛 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑛 𝑛! , 𝑦 𝑥 = 0 ∞ 𝑦 𝑛 0 𝑥 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑥 = 𝑦 𝑥 → 𝑦 𝑥 = 𝑦 0 + 𝑦′ 0 𝑥 + 𝑦′′ 0 𝑥2 2! + 𝑦′′′ 0 𝑥3 3! + 𝑦 4 0 𝑥4 4! + 𝑦 5 0 𝑥5 5! + ⋯ 𝑦′′′ − 2𝑥 1 − 𝑥 𝑦′ + 3 1 − 𝑥 𝑦 = 0 → 𝑦′′′ 0 = −3 𝑦 4 − 2𝑥 1 − 𝑥 𝑦′′ − 2 1 − 𝑥 2 𝑦′ + 3 1 − 𝑥 𝑦′ + 3 1 − 𝑥 2 𝑦 = 0 → 𝑦 4 0 = −2
- 16. 𝑦 5 − 2𝑥 1 − 𝑥 𝑦′′′ − 2 1 − 𝑥 2 𝑦′′ − 2 1 − 𝑥 2 𝑦′′ − 4 1 − 𝑥 3 𝑦′ + 3 1 − 𝑥 𝑦′′ + 3 1 − 𝑥 2 𝑦′ + 3 1 − 𝑥 2 𝑦′ + 6 1 − 𝑥 3 𝑦 = 0 → 𝑦 5 0 = −2 𝑦 𝑥 = 1 − 𝑥 + 2𝑥2 2! − 3𝑥3 3 · 2 − 2𝑥4 4 · 3 · 2 − 2𝑥5 5 · 4 · 3 · 2 + ⋯ 𝒚 𝒙 = 𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝟐 − 𝒙𝟒 𝟏𝟐 − 𝒙𝟓 𝟔𝟎 + ⋯ lim 𝑛→∞ 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 = 𝑘 < 1 2𝑥 1 − 𝑥 = 1 ∞ 2𝑥𝑛 → lim 𝑛→∞ 2𝑥𝑛+1 2𝑥𝑛 = 𝑥 < 1, −1 < 𝑥 < 1 3 1 − 𝑥 = 0 ∞ 3𝑥𝑛 → lim 𝑛→∞ 3𝑥𝑛+1 3𝑥𝑛 = 𝑥 < 1, −1 < 𝑥 < 1 −𝟏 < 𝒙 < 𝟏
- 17. PRIMER MÉTODO MEDIANTE SERIES: DIFERENCIACIONES SUCESIVAS PROCEDIMIENTO • Expresar la ecuación diferencial de la forma 𝑦 𝑛 + 𝑓𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑓1 𝑥 𝑦′ + 𝑓0 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 . al menos 𝑛 − 1 condiciones iniciales. • Plantear una serie de Maclaurin (si 𝑥0 = 0) o una serie de Taylor (si 𝑥0 ≠ 0) para expresar la solución de la ecuación diferencial. 𝑦 𝑥 = 0 ∞ 𝑦 𝑛 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑛 𝑛! • Encontrar mediante el uso de las condiciones iniciales brindadas el siguiente valor de 𝑦 𝑛 (𝑥0). • Derivar sucesivamente la ecuación diferencial original, mientras se reemplazan los valores ya encontrados de 𝑦 𝑖 𝑥0 hasta cierto 𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 hasta encontrar 𝑦 𝑛 (𝑥0) donde 𝑛 = 𝑘. • Reemplazar todos los 𝑦 𝑖 𝑥0 encontrados donde 𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑘) en 𝑦 𝑥 , es decir, nuestra solución expresada como: 𝑦 𝑥 ≈ 𝑛=0 𝑘 𝑦 𝑛 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑛 𝑛! • En la ecuación original, para todas las 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 − 1 existe un intervalo de convergencia de su
- 18. EJERCICIOS DE EJEMPLO (Tenenbaum et. al, 1963) Ejemplo 37.541 Ejemplo 37.56 Ejercicio 37.6
- 20. Según método de las series, coeficientes indeterminados: Este segundo método de la obtención de soluciones a series resultara más útil que el método precedente, a pesar de ello resultara difícil la obtención de derivadas sucesivas.
- 21. La solución en serie de potencias de x es valido para toda x y tiene la forma: Ejemplo 37.6. Encuentre por el método de las series de potencias una solución particular para la ecuación lineal. Con los valores iniciales y(0) = 1 y’(0) = 1
- 22. Substituyendo y(x), y’(x) y y’’(x) en la Ecuación diferencial se cumple la igualdad: Por el Teorema 37.2, existen dos derivadas sucesivas, que son validas para todo x, siendo:
- 23. Por el Teorema 37.23, la ecuación será una identidad en x si y solo si cada coeficiente es cero. Por ende se iguala a: Operando la expresión anterior se simplifica a:
- 24. Por el Teorema 37.24 y las condiciones iniciales dadas y(0) = 1 y y'(0) = 1 tenemos: El mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 37.541
- 25. Esta ED tiene como solución una serie en potencia de (x-1) para 0< x <2, esta tiene la forma: Ejemplo 37.6. Encuentre por el método de las series de potencias una solución particular para la ecuación diferencial. Con los valores iniciales y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1
- 26. Por el Teorema 37.2, existen tres derivadas sucesivas, que son validas para todo 0< x <2, siendo:
- 27. Substituyendo y(x), y’(x), y’’(x) y y’’’(x) en la Ecuación diferencial se cumple la igualdad:
- 28. A fin de simplificar la expresión, se utilizan las expresiones: Obteniendo:
- 29. Igualando los coeficientes de la expresion anterior a cero, se obtiene:
- 30. Por el Teorema 37.24 y las condiciones iniciales dadas y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1 tenemos: El mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 37.56
- 31. Todos los coeficientes de la ED son analíticos cuando x = 0. Entonces la serie será: Ejemplo 37.6. Encuentre por el método de series de potencias la solución general para la ecuación diferencial. Con los valores iniciales y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1
- 32. Por el Teorema 37.2, existen dos derivadas sucesivas. Se conoce:
- 33. Substituyendo y(x), y’(x), sen(x) y e^(x) en la Ecuación diferencial, cumple la igualdad:
- 34. Simplificando la expresión anterior se obtiene:
- 35. Igualando los coeficientes a cero, se obtienen las siguientes expresiones:
- 36. Tenemos la solución general de la ED con términos de orden cinco, en donde ao y a1 son constantes arbitrarias.