Tema 5 : Resolución mediante series

Tema 5: Resolución mediante series.
Profa. Nathaly Guanda

La idea es suponer que las soluciones de una ED dada tienen
desarrollos en series de potencias y luego se intenta determinar los
coeficientes de dicha serie de modo que satisfaga la ED.
(a) Dada una función (f ϵ C∞
) ¿Cómo determinar una serie
de potencias alrededor de un punto x0
ϵ I tal que dicha serie
coincida con f para todo x ϵ I?
Hallamos la serie de Taylor para la función f alrededor de x0
, es
decir,
f : I⊆ℝ→ℝ
f ( x)=∑
n=0
∞
an(x−x0)n

con x ϵ I donde
Nota: Cuando una función admite una representación en serie de
Taylor alrededor de un punto x0
, entonces se dice que dicha función
es analítica en x=x0
.
Ejemplos:
1) Es f (x) = Sen(x) analítica en x0
= 0?
, para todo n ≥ 0
an=
f
(n)
(x0)
n!
an=
f
(n)
(0)
n!

Entonces, f (x) = Sen(x), f ' (x) = Cos(x), f '' (x) = -Sen(x),
f ''' (x) = -Cos(x), f (IV)
(x) = Sen(x), ....
Luego, a0
= 0, a1
= 1/1!, a2
= 0, a3
= -1/3!, a4
= 0, y así sucecivamente
se tiene que a2k
= 0 con k ≥ 0 y a2k+1
= (-1)k
/(2k+1)!
Entonces
Tiene representación en serie de Taylor alrededor de x0
= 0, entonces,
sí es analítica en x0
= 0.
2) Análogamente,
sin(x)=∑
k=0
∞
(
(−1)k
(2k+1)!
)x2k+1
cos(x)=∑
k=0
∞
(
(−1)k
(2k)!
) x2k

3) g(x) = Ln(x) no admite una representación en serie de
Taylor alrededor de x0
= 0, pues Ln(0) no existe y g ' (0) tampoco. Por
lo tanto, g(x) = Ln(x) no es analítica en x0
= 0.
(b) Dada una serie de potencias alrededor de x = x0
, ¿Para cuáles
valores de convergerá dicha serie?
Recordemos: converge absolutamente si
converge.
Criterio del Cociente:
Sea
x∈ℝ
∑
n=0
∞
an(x−x0)n
∑
n=0
∞
∣an(x−x0)n
∣
lim
n→∞
∣
an+1(x−x0)n+1
an(x−x0)
n
∣=∣x−x0∣lim
n→∞
∣
an+1
an
∣=∣x−x0∣
⋅L

entonces:
(i) converge absolutamente si | x – x0
|.L < 1.
(ii) diverge si | x – x0
|.L > 1.
(iii) Para un x fijo, si | x – x0
|.L = 1, el criterio no dice nada.
Observación: |x – x0
|.L < 1, |x – x0
| < 1/L, entonces |x – x0
| < R
donde R = 1/L.
 R se denomina radio de convergencia.
 |x – x0
| < R se denomina intervalo de convergencia de la serie.
∑
n=0
∞
an( x−x0)n
∑
n=0
∞
an( x−x0)n

Teorema:
(i) Si R=0 entonces la serie converge para el único punto x = x0
.
(ii) Si R = ∞ entonces la serie converge para todo
(iii) Si R > 0 (finito) entonces la serie converge para |x – x0
| < R y
diverge para |x – x0
| > R.
Ejemplo: Determine el radio y el intervalo de convergencia de
x∈ℝ
∑
n=1
∞
(
(x+1)n
n2n
)
lim
n→∞
∣(
(x+1)n+1
(n+1)2n+1
)⋅(
n2n
(x+1)n
)∣=∣x+1∣lim
n→∞
(
n
2(n+1)
)=
∣x+1∣
2

Por el criterio del cociente, la serie converge absolutamente si
|x + 1|/2 < 1.
De donde R=2. Por teorema anterior, la serie converge para |x + 1| < 2
y diverge para |x + 1| > 2.
De |x + 1| < 2 se tiene que -2-1 < x < 2-1, es decir, -3 < x < 1.
Estudiemos la convergencia de la serie para x = -3 y x = 1:
Cuando x = -3, se tiene:
∑
n=1
∞
(
(−2)n
n2n
)=∑
n=1
∞
(
(−1)n
n
)

la cual converge por el criterio de Leibnitz.
Cuando x = 1, se tiene: la cual diverge por ser la
serie armónica.
En resumen, la serie dada converge para todo x  [-3,1) y diverge
para todo x  [-3,1) .
Teorema: (Diferenciación término a término)
Si la representación en serie de potencia de la función f,
∑
n=1
∞
(
2n
n2n
)=∑
n=1
∞
(
1
n
)
f (x)=∑
n=0
∞
an(x−x0)n
,

converge para |x – x0
| < R, entonces f es diferenciable y puede
determinarse f ' derivando la serie término a término, es decir,
para |x- x0
| < R.
Principio de Identidad para series:
Si para |x – x0
| < R entonces an
= bn
para
todo n  0.
Si bn
 0 para todo n  0 entonces an
 0 para todo n  0.
f ' ( x)=∑
n=1
∞
nan(x−x0)n−1
∑
n=0
∞
an(x−x0)n
=∑
n=0
∞
bn(x−x0)n

Método de Serie de Potencia:
Se supone que la solución de una ED lineal es de la forma
donde se calculan los coeficientes an
para todo n  0 usando la idea
del método de los coeficientes indeterminados.
Ejemplo:
Resolver (x- 3)y ' + 2y = 0
y(x)=∑
n=0
∞
an xn

Suponemos que
Serie de potencia alrededor de x0
= 0 porque las funciones 1 y
son analíticas allí.
Sustituyendo en la ED dada, se tiene:
y(x)=∑
n=0
∞
an xn
y ' (x)=∑
n=1
∞
nan xn−1
2
x−3
(x−3)∑
n=1
∞
nan xn−1
+2∑
n=0
∞
an xn
=0
∑
n=1
∞
nan xn
−3∑
n=1
∞
n an xn−1
+2∑
n=0
∞
an xn
=0
k=n k=n-1 k=n

Luego del cambio de variable, tenemos:
Reagrupando en una sola serie,
Por el principio de identidad para series,
∑
k=1
∞
k ak xk
−3∑
k=0
∞
(k +1)ak +1 xk
+2∑
k=0
∞
ak xk
=0
∑
k=1
∞
k ak xk
−3a1−3∑
k=1
∞
(k +1)ak+1 xk
+2a0+2∑
k=1
∞
ak xk
=0
2a0−3a1+∑
k=1
∞
[k ak−3(k +1)ak +1+2ak ] xk
=0
2a0
– 3a1
= 0
Kak
– 3(k+1)ak+1
+ 2ak
= 0  k  1

Si k=1,
k = 2,
k = 3,
a1 =(
2
3
) a0
ak +1 =
(k + 2) ak
3 (k +1)
, k ⩾1
a2=
3a1
3.2
=(
3.2
3.2.3
)a0=(
3
3
2
) a0
a3=
4a2
3.3
=(
4.3
3.3 .3
2
) a0=(
4
3
3
) a0
a4=
5a3
3.4
=(
5.4
3.4 .3
3
) a0=(
5
3
4
) a0

Sucesivamente se tiene que
Luego,
La serie converge para | x | < 3.
an=(
n+1
3
n
) a0 ∀ n⩾1
y(x)=a0+∑
n=1
∞
an x
n
y(x)=a0+∑
n=1
∞
(
n+1
3
n
)a0 x
n
y(x)=a0(1+∑
n=1
∞
(
n+1
3
n
) x
n
)
lim
n→∞
∣(
n+2
3n+1
)xn+1
⋅(
3n
(n+1)xn
)∣=∣x∣lim
n→∞
(
n+2
3(n+1)
)=∣x∣(
1
3
)

●
● Zill, D. G. A First course in differential equations with applications.
Editorial Aaa.
● Brown, M. A brief course in ordinary differential equations with
applications. Editorial Aaa.
● Polking, Boggess and Arnold. Differential equations with boundary value
problems. University of California, Los Angeles Edition.
● Espinosa H. Ernesto J, Canals N. Ignacio, Muñoz M. Ismael, Pérez F.
Rafael, Prado P. Carlos D, Santiago Rubén D, Ulín J. Carlos A.
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Introducción. Editorial Reverté
UAM, 2010.
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