![Se procede a la aplicaci´on del M´etodo Newton- Raphson en algoritmo para resolver
Ecuaciones No Lineales multivariable, cabe resaltar que con este Algoritmo se puede
inclusive resolver Ecuaciones No Lineales de una s´ola variable.
% Metodo de Newton-Raphson multivariable
%----------------------------------------
% Valores de entrada
%-------------------
% - f: vector de funciones simbolicas
% - x0: vector columna con los valores iniciales
% - tol: tolerancia permitida
% - c: ciclos o el numero de veces de iteraciones que se desea.
% Valores de Salida
%------------------
% - sol: vector solucin
% - iter: matriz de iteraciones hechas
% - jac: jacobiano del sistema
%--------------------------------------------------------------------------
function [sol,iter,jac]=newtonsi(f,x0,tol,c)
i=0;
jac=jacobian(f);
vars=findsym(f);
deltaX=x0;
iter=[x0’ 0];
while norm(deltaX)>norm(x0)*tol && i<c
fx0=subs(f,vars,x0);
dfx0=subs(jac,vars,x0);
deltaX = dfx0(-fx0);
x0=x0+deltaX;
i=i+1;
iter=[iter;x0’ norm(deltaX)];
end
if i<c
sol=x0;
else
sol =’No converge’;
end
%1 a).- Se pide hallar las iteraciones de Newton-Raphson, Dada las condiciones
% Iniciales, Pagina 198, Libro de Metodos Numericos de Mathews and Kurtis.
2](https://image.slidesharecdn.com/newtonrapshon-140618163605-phpapp02/85/M-etodo-Newton-Raphson-2-320.jpg)
![%--------------------------------------------------------------------------
% syms x1 x2
% A=[x1^2-x2-0.2; x2^2-x1-0.3]
% x0=[1.2;1.2]
% [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100)
% Valores de Salida
%-------------------
% sol =
% x1= 1.1923
% x2= 1.2216
% Numero de iternaciones
%-----------------------
% iter =
% 1.2000 1.2000 0
% 1.1924 1.2218 0.0231
% 1.1923 1.2216 0.0003
% 1.1923 1.2216 0.0000
% Matriz Jacobiana derivada
%--------------------------
% jac =
% [ 2*x1, -1]
% [ -1, 2*x2]
% 1 b).- Dado casi las similares condiciones del anterior problema.
% syms x1 x2
% A=[x1^2-x2-0.2; x2^2-x1-0.3]
% x0=[-0.2;-0.2]
% [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100)
% sol =
% x1= -0.2860
% x2= -0.1182
% iter = x1 x2 diferencia
% -0.2000 -0.2000 0
% -0.2905 -0.1238 0.1183
% -0.2861 -0.1182 0.0071
3](https://image.slidesharecdn.com/newtonrapshon-140618163605-phpapp02/85/M-etodo-Newton-Raphson-3-320.jpg)
![% -0.2860 -0.1182 0.0000
% -0.2860 -0.1182 0.0000
% jac =
% [ 2*x1, -1]
% [ -1, 2*x2]
%2.- Se pide hallar las iteraciones de Newton-Raphson, Dada las condiciones
% Inciales, Pagina 199, Libro de Metodos Numericos de Mathews and Kurtis.
%--------------------------------------------------------------------------
% syms x1 x2
% A=[x1^2+x2^2-2;x1*x2-1]
% x0=[1;1] %x0=[-1;-1]; condiciones iniciales
% [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100)
% Valores de salida
% -----------------
% sol = La solucion muestra NaN debido a que las raices tienden al infinito, asintoticamente.
% x1 = NaN
% x2 = NaN
% iter =
% -1 -1 0
% NaN NaN NaN
% jac =
% [ 2*x1, 2*x2]
% [ x2, x1]
4](https://image.slidesharecdn.com/newtonrapshon-140618163605-phpapp02/85/M-etodo-Newton-Raphson-4-320.jpg)
Metodo Newton- Raphson
- 1. —————————————————————————————————————— UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´IA Facultad de Ingenier´ıa Econ´omica y Ciencias Sociales MATLAB M´odulo B´asico Percy Huam´an Palomino Facultad de Ingeniera Econ´omica Lima - August 16, 2013
- 2. Se procede a la aplicaci´on del M´etodo Newton- Raphson en algoritmo para resolver Ecuaciones No Lineales multivariable, cabe resaltar que con este Algoritmo se puede inclusive resolver Ecuaciones No Lineales de una s´ola variable. % Metodo de Newton-Raphson multivariable %---------------------------------------- % Valores de entrada %------------------- % - f: vector de funciones simbolicas % - x0: vector columna con los valores iniciales % - tol: tolerancia permitida % - c: ciclos o el numero de veces de iteraciones que se desea. % Valores de Salida %------------------ % - sol: vector solucin % - iter: matriz de iteraciones hechas % - jac: jacobiano del sistema %-------------------------------------------------------------------------- function [sol,iter,jac]=newtonsi(f,x0,tol,c) i=0; jac=jacobian(f); vars=findsym(f); deltaX=x0; iter=[x0’ 0]; while norm(deltaX)>norm(x0)*tol && i<c fx0=subs(f,vars,x0); dfx0=subs(jac,vars,x0); deltaX = dfx0(-fx0); x0=x0+deltaX; i=i+1; iter=[iter;x0’ norm(deltaX)]; end if i<c sol=x0; else sol =’No converge’; end %1 a).- Se pide hallar las iteraciones de Newton-Raphson, Dada las condiciones % Iniciales, Pagina 198, Libro de Metodos Numericos de Mathews and Kurtis. 2
- 3. %-------------------------------------------------------------------------- % syms x1 x2 % A=[x1^2-x2-0.2; x2^2-x1-0.3] % x0=[1.2;1.2] % [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100) % Valores de Salida %------------------- % sol = % x1= 1.1923 % x2= 1.2216 % Numero de iternaciones %----------------------- % iter = % 1.2000 1.2000 0 % 1.1924 1.2218 0.0231 % 1.1923 1.2216 0.0003 % 1.1923 1.2216 0.0000 % Matriz Jacobiana derivada %-------------------------- % jac = % [ 2*x1, -1] % [ -1, 2*x2] % 1 b).- Dado casi las similares condiciones del anterior problema. % syms x1 x2 % A=[x1^2-x2-0.2; x2^2-x1-0.3] % x0=[-0.2;-0.2] % [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100) % sol = % x1= -0.2860 % x2= -0.1182 % iter = x1 x2 diferencia % -0.2000 -0.2000 0 % -0.2905 -0.1238 0.1183 % -0.2861 -0.1182 0.0071 3
- 4. % -0.2860 -0.1182 0.0000 % -0.2860 -0.1182 0.0000 % jac = % [ 2*x1, -1] % [ -1, 2*x2] %2.- Se pide hallar las iteraciones de Newton-Raphson, Dada las condiciones % Inciales, Pagina 199, Libro de Metodos Numericos de Mathews and Kurtis. %-------------------------------------------------------------------------- % syms x1 x2 % A=[x1^2+x2^2-2;x1*x2-1] % x0=[1;1] %x0=[-1;-1]; condiciones iniciales % [sol,iter,jac]=newtonsi(A,x0,0.00001,100) % Valores de salida % ----------------- % sol = La solucion muestra NaN debido a que las raices tienden al infinito, asintoticamente. % x1 = NaN % x2 = NaN % iter = % -1 -1 0 % NaN NaN NaN % jac = % [ 2*x1, 2*x2] % [ x2, x1] 4
- 5. −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 X: 0.08 Y: −0.6164 Parábolas Eje X EjeY f1(x,y)= x2 −y−0.2 f2(x,y)= y2 −x−0.2 Figure 1: Gr´afica muestra las ecuaciones del primer ejercicio . 5
- 6. −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Circunsferencia−Hipérbola Eje X EjeY f1(x,y)= x2 −y2 −2 f2(x,y)= yx−2 Figure 2: Ejercicio presenta Matrices singulares(su determinante es cero) en los puntos dados en el Algoritmo, lo cu´al dificulta obtener las ra´ıces. 6
- 7. REFERENCIAS BIBLIOGR´AFICAS 1. Jhon H. Mathews and Kurtis D. Fink , M´etodos Num´ericos con Matlab, Tercera Edici´on. 2. Linder Amancio Rodriguez & C´ıa, Matlab 2010 Para Ciencia e Ingenier´ıa. 7