Monte Carlo simulation

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Simulación de Monte Carlo
Fernando Casas & Sandra Rubio

Contenido

1 Introducción

2 ¿Cómo funciona?

3 Ventajas

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1. Introducción

 Definición: uso deliberado de
números aleatorios en el cálculo
que tiene la estructura de un
proceso estocástico.
 Proceso estocástico: secuencia de
estados cuya evolución se determina por
eventos aletorios.
 Computacionalmente: un algoritmo
determinista que genera una secuencia
de números pseudoaleatorios.

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1. Introducción

 Tipos de eventos:
 Elementales (cara/cruz)
 Compuestos: definidos desde un
número de eventos elementales.
 Aplicaciones posibles:
 Resolución de problemas en
mecánica, transporte de radiación,
modelado económico…

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1. Introducción

 Simulación:
 Transcripción directa en términos
computacionales de un proceso
estocástico natural.
 Monte Carlo:
 Es la solución mediante métodos
probabilísticos de problemas no
probabilísticos.

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Contenido

1 Introducción

2 ¿Cómo funciona?

3 Ventajas

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2. ¿Cómo funciona?

Distribución de probabilidad
Describe el rango de valores que puede tomar una
variable aleatoria y la probabilidad asignada a cada
valor o rango de valores.
 Para eventos repetibles y medibles.
 Para eventos que no son repetibles o mensurables.

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Fase 1 Fase 2 Fase 3

Calculo de
Sustitución de los resultados
un rango de una y otra vez
Creación de valores
modelos de con diferentes
(distribución grupos de
posibles de
resultados valores
probabilidad) aleatorios de
para cualquier las funciones
factor con de
incertidumbre. probabilidad.
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Distribuciones de probabilidad.

Las variables pueden generar
diferentes probabilidades de que
se produzcan diferentes
resultados.

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Distribuciones Histograma

>hist(x)

BoxPlot

>boxplot(x)
BoxPlot
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x<-rnorm(200, mean=100000, sd=25000)
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k<-rlnorm(200, meanlog=0, sdlog=1)

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y<-runif(200)

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m<-rexp(200,2); mean = 2

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e<-rtriangle(200, 25, lower=0, upper=100)

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d<-rlogis(200, location = 0, scale = 1)

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 Problemas numéricos más
frecuentes en estadística:
 Optimización: generalmente
asociados a una aproximación
probabilística.
 Integración: generalmente
asociados a una aproximación
Bayesiana.

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6+1
5+1 5+2 6+2
4+1 4+2 4+3 5+3 6+3
3+1 3+2 3+3 3+4 4+4 5+4 6+4
2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 3+5 4+5 5+5 6+5
1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 2+6 3+6 4+6 5+6 6+6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

17% 42% 58% 89% 100%

 ¿Qué valor obtenemos si tiramos dos dados simultáneamente?
 Hay 36 combinaciones posibles.
 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 o menos?¿6 o menos?
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Código de R

>m=X;
>cara=numeric(m);
>for(i in 1:m)
>{ alpha=rexp(1, rate=1);
>q=rbeta(1,alpha,alpha);
>cara[i]=rbinom(1,1,q);
>}
>table(cara)/m;
>pie(table(cara),
>col=c("grey","black"),
>main="1=Cara 0=Cruz",
>xlab="Fracción de 0's y 1's");

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Integración de Monte Carlo

Temática

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Integración de Monte Carlo

Solución

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22/26


Calculamos esta integral

Por otro lado 1) Generamos
tenemos la var. aleatorias
variable (X1,…,Xn) i.i.d
aleatoria X con con f.
función de densidad g.
densidad g y 2) Estimamos θ
soporte A. con:

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Estimamos la siguiente integral: Resultados

X=10
theta pnorm(2)
Código de R 0.888 0.977
(0.091)
>m=X; X=100
>x=runif(m, min=0, max=2); 0.950 0.977
>theta=0.5+mean(2*exp(-x*x/2))/sqrt(2*pi); (0.027)
>c(theta,pnorm(2));
X=10000
>abs(theta-pnorm(2))/pnorm(2);
0.980 0.977
(0.003)

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Contenido

1 Introducción

2 ¿Cómo funciona?

3 Ventajas

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4. Ventajas

Resultados probabilísticos
Resultados gráficos
Análisis de sensibilidad
Análisis de escenarios
Correlación de variables de entrada

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¡Muchas Gracias!
Fernando Casas & Sandra Rubio

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