Tema5b ud3
0 recomendaciones234 vistas
Este documento presenta conceptos clave sobre variables aleatorias continuas. Explica que una variable aleatoria continua puede representarse mediante una función de densidad de probabilidad f(x) o una función de distribución acumulativa F(x). También proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular probabilidades utilizando estas funciones. Finalmente, describe algunas medidas características comunes de una variable aleatoria continua como la esperanza matemática y la varianza.
![3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO
X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]
3
2,5
42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1 2
f(x) = 1,5
0 en otro caso 1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0.3
P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx
0.2
Probabilidades y Estadística I](https://image.slidesharecdn.com/tema5b-ud3-120312114916-phpapp02/85/Tema5b-ud3-3-320.jpg)
![4. Medidas características de una v.a. (1/4)
Esperanza matemática (definición)
(caso discreto) E[X ]
= ∑ xp( x)
= µ
x
(caso discreto) E[X ]
= ∫=
xf ( x)dx µ
RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
k
X = ∑ fi x 'i
i =1
PROPIEDAD E [ aX + b ] aE [ X ] + b
=
Probabilidades y Estadística I](https://image.slidesharecdn.com/tema5b-ud3-120312114916-phpapp02/85/Tema5b-ud3-8-320.jpg)
![4. Medidas características de una v.a. (2/4)
Varianza (definición)
(caso discreto) Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) =
∑ σ2
x
(caso discreto) Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx =
∫ (x − µ σ2
PROPIEDAD Var [ aX + b ] =Var [ X ]
a2
Probabilidades y Estadística I](https://image.slidesharecdn.com/tema5b-ud3-120312114916-phpapp02/85/Tema5b-ud3-9-320.jpg)
![4. Medidas características de una v.a. (4/4)
Momento centrado en el origen
Caso especial
αr = E X r
= E[X ] µ
α1 =
Momento centrado en la media
Caso especial
= E ( X − µ )
µr
r
µ2 = E ( X − µ ) 2 = Var [ X ] = σ 2
µ2 α 2 − α12
=
Probabilidades y Estadística I](https://image.slidesharecdn.com/tema5b-ud3-120312114916-phpapp02/85/Tema5b-ud3-11-320.jpg)
Tema5b ud3
- 1. 3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Probabilidades y Estadística I
- 2. 3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: origen de f(x) Histograma para 20 clases Histograma para 50 clases 400 200 160 300 120 200 80 100 40 0 0 -5 -3 -1 1 3 5 7 -5 -3 -1 1 3 5 7 Probabilidades y Estadística I
- 3. 3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1] 3 2,5 42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1 2 f(x) = 1,5 0 en otro caso 1 0,5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0.3 P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0.2 Probabilidades y Estadística I
- 4. 3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua) PROPIEDADES Probabilidades y Estadística I
- 5. 3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x) Probabilidades y Estadística I
- 6. 3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO 1 0.2 P(X < 0.2) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0,8 −∞ 0,6 = 0,4 P(X ≤ 0.2) = F(2) 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0 x <0 F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 1 1 x ≥1 Probabilidades y Estadística I
- 7. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias 4. Medidas características de una variable aleatoria 5. Desigualdad de Tchebychev Probabilidades y Estadística I
- 8. 4. Medidas características de una v.a. (1/4) Esperanza matemática (definición) (caso discreto) E[X ] = ∑ xp( x) = µ x (caso discreto) E[X ] = ∫= xf ( x)dx µ RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA k X = ∑ fi x 'i i =1 PROPIEDAD E [ aX + b ] aE [ X ] + b = Probabilidades y Estadística I
- 9. 4. Medidas características de una v.a. (2/4) Varianza (definición) (caso discreto) Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) = ∑ σ2 x (caso discreto) Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx = ∫ (x − µ σ2 PROPIEDAD Var [ aX + b ] =Var [ X ] a2 Probabilidades y Estadística I
- 10. 4. Medidas características de una v.a. (3/4) Mediana F(x) = ½ Moda Max f (x) Percentiles F(x) = i/100 Cuartiles F(x) = i/4 GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidades y Estadística I
- 11. 4. Medidas características de una v.a. (4/4) Momento centrado en el origen Caso especial αr = E X r = E[X ] µ α1 = Momento centrado en la media Caso especial = E ( X − µ ) µr r µ2 = E ( X − µ ) 2 = Var [ X ] = σ 2 µ2 α 2 − α12 = Probabilidades y Estadística I
- 12. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias 4. Medidas características de una variable aleatoria 5. Desigualdad de Tchebychev Probabilidades y Estadística I
- 13. 5. Relaciones entre media y varianza Desigualdad de Tchebychev P ( X − µ > kσ ) ≤ 2 ⇔ P ( X − µ ≤ kσ ) > 1 − 2 1 1 k k 1 P ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) > 1 − 2 k Normalización de una v.a X −µ σ Probabilidades y Estadística I