Tema 9 ud4

TEMA 9
Introducción a la Inferencia Estadística
Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Muestreo
3. Muestra aleatoria simple (m.a.s)
4. Media muestral. Propiedades
5. Distribución asintótica de la media muestral
6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal

Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Muestreo2. Muestreo2. Muestreo
3. Muestra aleatoria simple (m.a.s)3. Muestra aleatoria simple (m.a.s)3. Muestra aleatoria simple (m.a.s)
4. Media muestral. Propiedades4. Media muestral. Propiedades4. Media muestral. Propiedades
5. Distribución asintótica de la media muestral5. Distribución asintótica de la media muestral5. Distribución asintótica de la media muestral
6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal

1. Introducción (1/9)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES INFERENCIA ESTADÍSTICA

Población vs. Muestra

Ejemplo 1 Muestras:
T ñ 2 ( l i t )Tamaño n=2 (con reemplazamiento)
Muestra 01: H HMuestra 01: H, H
Muestra 02: H, H
Muestra 03: H, M
Muestra 04: H, M
M t 05 H H
Población: H, H, M, M
Tamaño de la población N=4
Muestra 05: H, H
Muestra 06: H, H
Muestra 07: H, M
Muestra 08: H, M
Tamaño de la población N=4 Muestra 09: M, H
Muestra 10: M, H
Muestra 11: M, M
Muestra 12: M, M,
Muestra 13: M, H
Muestra 14: M, H
Muestra 15: M, M
Muestra 16: M, M
Muestra 16: M, M

Parámetro
Muestra: Tamaño n=2 (con reemplazamiento)
Ejemplo 1
Muestra 01: H H
X1 X2
ˆP
1
Estadístico / Estimador
Población (X)
Muestra 02: H H
Muestra 03: H M
Muestra 04: H M
Muestra 05: H H
1
0.5
0.5
1
H, H, M, M
Tamaño de la población
uest a 05:
Muestra 06: H H
Muestra 07: H M
Muestra 08: H M
Muestra 09: M H
1
1
0.5
0.5
0.5p
N=4
Muestra 09: M H
Muestra 10: M H
Muestra 11: M M
Muestra 12: M M
Muestra 13: M H= 0 5
0.5
0.5
0
0
0 5Muestra 13: M H
Muestra 14: M H
Muestra 15: M M
Muestra 16: M M
= 0.5 0.5
0.5
0
0Parámetro poblacional

ˆP
1
8
1
1
0.5
0.5
4
8
1
1
0.5
0.5
= 0.5
0.5 10
Distribución muestral
0.5
0.5
0
0 Distribución muestral0
0.5
0.5
0
00
Parámetro poblacional Estimación Error muestral

Inferencia estadística
MUESTRA POBLACIÓN
ESTIMADOR PARÁMETRO POBLACIONAL
ˆP P 
ERRORES
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

Inferencia estadística
Población (X) Muestra EstimadoresPoblación (X) Muestra
X X X
Parámetro poblacional
Estimadores
1 2
ˆ ˆ( )x x x X1, X2,….,Xn
 2
 
1 2( , ,....., )nx x x 

  

Catálogo de distribuciones
0,3
0,4
0 06
0,08
0,1
0
0,1
0,2
0
0,02
0,04
0,06
-5 -3 -1 1 3 5
( , )N  
0 10 20 30 40 50 60
( )Exp 
0 4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
( , )Erlang k 

POBLACIÓN Variable aleatoria
1
1,2
X
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
 (parámetro)
MUESTRA Conjunto de n variables aleatorias
1
1,2
1
1,2
1
1,2
X1, X2,…, Xn
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
…..
Estimador
ˆ ˆ
Variable aleatoria
0,4
1 2( , ,....., )nx x x 
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3

Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción
2. Muestreo

2. Muestreo (1/2)

2. Muestreo (2/2)
Objetivo
S l i bi l l d l i l ó
Al no poder contar con la población completa, necesitamos extraer un
subconjunto
Seleccionar bien los elementos de la muestra para que aproxime al patrón
lo mejor posible
Tipos
a) Aleatorio
b) Estratificado
c) Sistemático
d) Polietápico
Población homogénea En listas
Población en estratos Muy heterogéneab) Estratificado d) PolietápicoPoblación en estratos Muy heterogénea

Esquema inicial
3. Muestra aleatoria simple (m.a.s)

3. Muestra aleatoria simple (1/2)
POBLACIÓN Variable aleatoria
X 0 2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4
0
0,2
S C j t d i bl l t iMUESTRA Conjunto de n variables aleatorias
0 6
0,8
1
1,2
0 6
0,8
1
1,2
0 6
0,8
1
1,2
X1, X2,…, Xn 0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
…..
Idénticamente distribuidas e independientes

3. Muestra aleatoria simple (2/2)
POBLACIÓN Función de densidad /probabilidad
X ( )f x
F ió d d id d / b bilid dMUESTRA Funciónes de densidad /probabilidad
individuales
X1, X2,…, Xn
1( )f x 2( )f x ( )nf x…
1 2
1
( , , , ) ( )
n
n i
i
f x x x f x

 

Esquema inicial
4. Media muestral. Propiedades

4. Media muestral. Propiedades (1/3)
Definición
Sea X1,X2,…,Xn una m.a.s de una población X de media  y varianza 2.
Se denomina media muestral a la siguiente variable aleatoria nueva:Se denomina media muestral a la siguiente variable aleatoria nueva:
X X X  1 2 .... n
n
X X X
X
n
  

E X    
2
Var X

   nE X    nVar X
n
   

   2 2
1 1
1P X k P X k
k k
          
2 2
 
   2 2
1P X k P X k
k k
 
         
 
2
1P X k

    2
1nP X k
nk
   

Ejemplo

Esquema inicial
5. Distribución asintótica de la media muestral

5. Distribución asintótica (1/)
Máquina de Galton (Quincunx)

5. Distribución asintótica (2/)

5. Distribución asintótica

Esquema inicial
6. Distribuciones asociadas a la Normal6. Distribuciones asociadas a la Normal

6. Distr. asociadas a la Normal (1/9)
Caso particular de
CHI CUADRADO con n grados de libertad

t- Student con n grados de libertad

F de Snédecor con n,m grados de libertad

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