Numerosdecimales 01
5 recomendaciones2,389 vistas
El documento trata sobre la medición del tiempo y la necesidad de mayor precisión. Con el paso del tiempo, ha aumentado la necesidad de conocer la hora con mayor precisión para actividades como la agricultura y el tráfico marítimo. Hoy en día, los relojes atómicos pueden medir el tiempo con una precisión de 0,0000000001 segundos. Esta gran precisión es necesaria para el control de satélites y las telecomunicaciones modernas, donde un error de 0,001 segundos puede provocar errores en la interpretación de datos satelitales.
Numerosdecimales 01
- 1. Números decimales Antes de empezar La medida del tiempo ha sido un reto cuya solución se ha abordado de muy diversas maneras y que ha sido fundamental para el desarrollo de la humanidad. Conocer por ejemplo la época del año ha sido muy importante para el desarrollo de la agricultura Con el paso del tiempo ha aumentado la necesidad de conocer con mayor precisión la hora. Medir con exactitud la hora permite por ejemplo predecir la evolución de las mareas, facilitando el tráfico marítimo. Hoy es posible medir el tiempo con gran precisión. Así, podemos usar más decimales para expresar una hora. Con un cronómetro podemos medir segundos, décimas y centésimas de segundos. Una medición de 45,56 segundos es impensable con un reloj de sol o de arena. Los relojes más precisos que existen son los relojes atómicos, que obtienen la hora midiendo el ritmo al que vibra un electrón de un átomo determinado. Un reloj atómico de Cesio puede medir 0,0000000001 s. ¿Y para qué es necesaria tanta precisión? Las telecomunicaciones modernas (teléfono, radio, TV…) dependen de una red de satélites artificiales que orbitan alrededor de la Tierra. Para controlar el movimiento de estos satélites es imprescindible medir el tiempo con gran exactitud Un error de 0,001 s en el tiempo puede provocar errores en la interpretación de los datos que proporciona el satélite. La importancia de este error dependerá del uso que se de a esta información. Si estamos intentando predecir una erupción volcánica o un terremoto, es necesario medir el tiempo con una precisión de al menos tres milésimas de segundo: un microsegundo. Por ejemplo, 23:42:45.125, que equivaldría a 23 horas, 42 minutos y 45,125 segundos. Investiga: Busca información en la Wikipedia sobre el Sistema de Posicionamiento Global, GPS, y los Relojes Atómicos.: http://es.wikipedia.org
- 2. Números decimales 1. Números decimales Elementos de un número decimal Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal, separadas por la coma decimal. Por Ejercicio resuelto: ejemplo, observa el número 31,245. Vamos a comprobar cuál es la parte 3 y 1 son sus cifras enteras. 2, 4 y 5 son sus cifras entera y la parte decimal del siguiente número decimal: 8,95 decimales. Su parte entera es: 8. 3,45 es un decimal exacto, pues tiene un número finito de cifras decimales. Su parte decimal es 0,95. El número es decimal exacto. 39 es un número entero. No tiene decimales. 2,3333... es un decimal periódico. Tiene infinitas Ejercicios: Comprueba si los siguientes cifras decimales. números son enteros, decimales exactos o decimales periódicos: a) 738,555… b) 5,59 c) 124,18383… d) 10,75 e) 2305 Ejercicios resueltos: Redondeo y truncamiento de un decimal a) Vamos a aproximar el número 39,188311524 Podemos aproximar un número decimal por otro que tenga menor número de cifras decimales. Esto a 3 cifras decimales podemos hacerlo de dos formas distintas: La primera cifra que quitamos es: 3 La primera cifra a redondear es: 8 Mediante truncamiento. Dejamos el número de Como 3<5, dejamos 8 como está. decimales deseado, quitando los demás. La aproximación: Mediante redondeo. La cifra que redondeamos por redondeo es 39,188 aumenta en uno si la primera cifra suprimida es por truncamiento es 39,188 mayor o igual que 5. En otro caso no varía. b) Vamos a aproximar el número Por ejemplo 3,4578 con dos decimales se aproxima como 3,45 mediante truncamiento, y 3,46 mediante 66,444882477 redondeo. a 4 cifras decimales La primera cifra que quitamos es: 8 La primera cifra a redondear es: 8 Recuerda, solo debes aumentar la cifra Como 8>4, dejamos 8 como está. redondeada si la primera cifra que quitas es 5,6,7,8 ó 9. La aproximación: por redondeo es 66,4449 por truncamiento es 66,4448 Ejercicio: Aproxima los siguientes números a 2 cifras decimales por redondeo y por truncamiento: a) 60,616685821 b) 36,472742211
- 3. Números decimales 2. Operaciones con decimales Ejercicios: Calcula el valor de las Suma de números decimales siguientes sumas de números decimales: Para sumar decimales debes situarlos unos debajo a) 815,243 + 837,232 de otros. Deben coincidir la coma decimal y también b) 606,215 + 541,157 las unidades de igual orden. c) 65,31 + 76,4 Después suma como si se tratara de números d) 727,148 + 76,078 naturales, y coloca la coma en el mismo lugar en que estaba. Veamos un ejemplo: Si en alguna posición no hay cifras, realiza la suma como si las cifras que faltan fueran cero. Resta de números decimales Ejercicios: Calcula el valor de las siguientes restas de números decimales: La resta de decimales también puedes hacerla a) 528,405 – 430,410 situando un número encima del otro. Si en el minuendo hay menos cifras que en el sustraendo, b) 455,401 – 106,684 puedes añadir ceros a la derecha del minuendo. c) 605,002 – 55,464 También puedes operar directamente sin poner los d) 560,338 – 358,606 ceros. Aquí tienes un ejemplo: Ejercicio resuelto. Realiza la mul- Recuerda que si en el minuendo hay un tiplicación: 9,308 · 2,31 cero, deberás restar de 10. Quitamos la coma decimal y mul- tiplicamos normalmente Multiplicación de números decimales 9308 · 231 = 2150148 Para multiplicar decimales opera como si la coma El primer número tiene 3 decimales y el decimal no estuviera. Cuando termines, pon la coma segundo 2 decimales. El resultado tendrá para que desde la derecha, el resultado tenga tantos 3 + 2 = 5 decimales. Por tanto: decimales como la suma de los decimales de los 9,308 · 2,31 = 21,501408 factores que has multiplicado. Ejercicios: Multiplica: a) 46,66 · 77,3 b) 6,261 · 5,36 c) 161,7 · 4,68 Si no tienes cifras suficientes para poner la coma decimal, añade los ceros que hagan falta a la izquierda del resultado.
- 4. Números decimales 2. Operaciones con decimales División de números decimales Ejercicio resuelto: Al dividir decimales debes distinguir dos casos: Vamos a realizar la siguiente división Si sólo el dividendo tiene decimales, divide normalmente. Al llegar a la coma del dividendo, pon una coma en el cociente. Antes de dividir corremos la coma un lugar hacia la derecha (hemos multiplicado dividendo y divisor por 10, que es la unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor) Si el divisor y el dividendo tienen decimales, quita los decimales del divisor. Multiplica dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenía el divisor. Después actúa como en el caso Al principio el dividendo tenía 3 anterior. decimales, luego el resto es 0,38 Ejercicios: Comprueba si los siguientes números son enteros, decimales exactos o decimales periódicos: a) 738,555… Ejercicio: Calcula el valor de las siguientes divisiones b) 5,59 de números decimales: c) 124,183183… d) 10,75 a) 45,48:7,2 b) 99,46:2,2 e) 2305 Potencia de un número decimal Para obtener la potencia de un decimal un primer Ejercicios resueltos: camino es realizar directamente las multiplicaciones a) Vamos a calcular 0,9892 necesarias. Pasos: 2,53=2,5· 2,5 ·2,5=15,625 Quitamos los decimales: 9892 Pero si lo prefieres, también puedes operar sin Calculamos la potencia: 9892=978121 decimales y añadirlos al final. El resultado debe tener 3·2=6 decimales 253=25·25·25=15625 Luego: 0,9892=0,978121 El número inicial tenía 1 decimal. Su cubo tendrá 3·1=3 decimales, es decir 15,625. b) ¿Cuántos decimales tendrá la potencia siguiente? (Responde sin obtener el resultado) 0,4533 Si un número de k decimales lo elevas a n Como el número tiene 3 decimales, su el resultado tendrá k·n decimales. cubo tendrá: 3 x 3 = 9 decimales Ejercicios: Calcula las siguientes potencias: c) Vamos a calcular 9,283 3 3 a) 2,82 b) 0,685 Pasos: ¿Cuántos decimales tendrán las siguientes potencias? Quitamos los decimales: 9283 (Responde sin obtener el resultado) Calculamos la potencia: 4 3 9283=799178752 c) 92,5 d) 7,31 El resultado debe tener 2·3=6 decimales Luego: 9,283=799,178752
- 5. Números decimales 2. Operaciones con decimales Raíz cuadrada de un número decimal Ejercicios resueltos: Puedes ayudarte de la calculadora para obtener la raíz a) Vamos a calcular 0,64 cuadrada de un número decimal. Pero, ¿qué tal si ejercitamos el cálculo mental en algunos casos Pasos: sencillos? 0,64 tiene dos decimales, por lo tanto su raíz cuadrada tendrá 1 decimal Por ejemplo, vamos a hallar la raíz cuadrada de 0,25. 2 Si al resultado le llamamos b, buscamos b que Como 8 = 64, entonces cumpla b2=0,25. 0,64 = 0,8 (y también -0,8) Razonando como en el apartado anterior, b debe b) Vamos a calcular 0,0081 tener 1 decimal.Y sin decimales su cuadrado debe ser 25. Pasos: Está claro entonces que b=0,5 (y -0,5). 0,0081 tiene cuatro decimales, por lo tanto su raíz cuadrada tendrá 2 decimales La raíz cuadrada de un número de 2k Como 92 = 81, entonces decimales tendrá k decimales. 0,0081 = 0,09 (y también -0,09) Ejercicio: Calcula las siguientes raíces: a) 0,09 b) 0,0121 3. Fracciones y números decimales Paso de fracción a decimal Para obtener el decimal correspondiente a una fracción, basta con hacer la división. Cuando la hagas, Ejemplo del paso de fracción a un puede ocurrir que el resultado: número decimal. 91 No tenga decimales (número entero). . Si simplificamos los factores 33 Tenga una cantidad finita de decimales (decimal primos nunca son 2 y 5 exacto). 91 13 · 7 33 = 11 · 3 Tenga una cantidad infinita de decimales (periódico puro o periódico mixto). tendremos un decimal periódico puro Una fracción que da lugar a un decimal exacto se 91 denomina fracción decimal. Si da lugar a un decimal = 2,75757575… 33 periódico se llama fracción ordinaria. La fracción siguiente, ¿es un entero, un decimal exacto, un periódico puro o mixto? Una fracción decimal irreducible sólo puede tener en el denominador los factores 33 . En el denominador de la fracción primos 2 y 5. 18200 al descomponer en factores, aparecen los factores 2 y 5 junto a otros primos 33 11 · 3 Ejercicio: Indica si las fracciones siguientes es un = 3 2 entero, un decimal exacto, un periódico puro o mixto: 18200 2 · 5 ·13 · 7 91 882 91 luego el resultado es un periódico mixto: a) b) c) 200 14 660 33 = 0,0018131868131868131868… 18200
- 6. Números decimales 3. Fracciones y números decimales Fracción generatriz de decimales exactos Ejercicio resuelto: La fracción generatriz de un número decimal es una Calculemos la fracción generatriz de 67,2 fracción cuyo resultado es ese número. El numerador: el número sin decimales. La fracción generatriz de un decimal exacto es muy El denominador: la unidad seguida de sencilla: su numerador es el número sin decimales. tantos ceros como decimales tiene el Su denominador la unidad seguida de tantos ceros número. como cifras decimales tenía el número decimal. 672 67,2 = 10 Y, si es posible, la fracción generatriz, se simplifica: Ejercicio: Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales exactos (simplifica siempre que sea posible): a) 5,76 La fracción generatriz de un decimal exacto b) 0,252 es una fracción decimal. c) 32,4 Fracción generatriz de decimales periódicos Ejercicio resuelto: puros Calculemos la fracción generatriz de Un número es periódico puro si tiene uno o más 27,74287428… decimales que se repiten indefinidamente. El numerador: resta del número hasta completar un periodo menos la parte entera. El denominador: tantos 9 como cifras hay en un período ¿Cuál es su fracción generatriz? El numerador son las cifras hasta completar un periodo menos la parte 277428 27 277401 entera. El denominador tantos 9 como cifras 9999 9999 periódicas haya. Ejercicio: Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos puros: a) 98,691691… La fracción generatriz de un periódico puro b) 89,69176917… es una fracción ordinaria. c) 19,111… Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos Ejercicio resuelto: Calculemos la fracción generatriz de Un número es periódico mixto si tiene uno o más decimales seguidos de una parte periódica. 91,3444… El numerador: resta del número hasta completar un periodo menos las cifras hasta el anteperiodo. El denominador: tantos 9 como cifras Su fracción generatriz es: numerador, las cifras periódicas y tantos 0 como no periódicas: hasta completar un periodo menos las cifras hasta el 9134 913 8221 anteperiodo; denominador, tantos 9 como cifras 90 90 periódicas y tantos 0 como cifras no periódicas haya. Ejercicio: Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos puros: La fracción generatriz de un periódico mixto a) 26,8171717… es una fracción ordinaria. b) 0,8171717… c) 8,91858585…
- 7. Números decimales EJERCICIOS resueltos Redondeo y truncamiento. Operaciones con decimales 1. Aproxima el número 83,259219645 con 4 cifras decimales mediante redondeo y truncamiento. Para aproximar mediante truncamiento debes tomar los decimales que te pidan: 83,259219645 con cuatro decimales por truncamiento es 83,2592. Para aproximar mediante redondeo, debes fijarte en la primera cifra que vas a quitar. Si es mayor o igual a 5, añade 1 a la anterior, en caso contrario trunca el número: 83,259219645 con cuatro decimales por redondeo es 83,2592. 2. Calcula la suma de los números 259,21 y 96,45. Para sumar decimales colócalos de forma que las comas coincidan. Si quieres, puedes poner ceros en los lugares decimales vacíos, aunque no es obligatorio. 259,21 + 96,45 355,66 3. Calcula la resta de los números 561,95 y 45,22. Para sumar decimales colócalos de forma que las comas coincidan. Si quieres, puedes poner ceros en los lugares decimales vacíos, pero intenta evitarlo. 561,95 - 45,22 512,73 4. Calcula el producto de los números de los números 51,46 y 5,99. Para multiplicar decimales, primero haz la multiplicación sin los decimales: 5146 x 599 = 3082454. El resultado debe tener tantos decimales como la suma de los que tenían los factores (en este caso 2 + 2 = 4). Así, la solución es: 51,46 x 5,99 = 308,2454 5. Indica el resto y el cociente de dividir 62,92 entre 9,4. Para dividir decimales, si es necesario, quita los decimales del divisor, para ello, multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como tenía el divisor: 629,2: 94 Se divide y resulta de cociente: 6,6 y de resto 8,8. Debemos ajustar los decimales del resto, corriendo en este caso, la coma un lugar hacia la izquierda. Solución: El cociente es: 6,6 El resto es: 0,88