Matematica 1º3 b

23 24COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er. Año Secundaria MATEMÁTICA 1er. Año
Secundaria
Es la estructura o conjunto de unidades
correctamente organizados, ordenados y
distribuidos, que se utilizan para medir las
magnitudes y fenómenos físicos de los cuerpos.
Está en vigencia en el Perú desde el año 1982.
El SIU está constituido por :
a) Unidades de Base
b) Unidades suplementarias
c) Unidades derivadas
UNIDAD DE BASE
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de
Corriente Eléctrica
Temperatura
Termodinámica
Intensidad Luminosa
Cantidad de sustancia
Metro
Kilogramo
Segundo
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
m
Kg
s
A
K
cd
mol
UNIDADES SUPLEMENTARIAS
Angulo plano
Angulo sólido
Radián
Esteroradián
Rad
sr
UNIDADES derivadas
Area
Volumen
Densidad
Velocidad
Fuerza (peso)
Presión
Metro cuadrado
Metro cúbico
Kilogramo por
metro cúbico
Metro por
segundo
Newton
Pascal
m2
m3
kg/m3
m/s
N
Pa
Para hacer las CONVERSIONES de cualquier
magnitud debe tenerse presente los siguientes
prefijos con sus equivalencia.
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
E
P
T
G
M
K
H
D
PREFIJO S EQUIVALENCIA
10
18
10
15
10
12
10
9
10
6
10
3
10
2
10
1
M
U
L
T
I
P
O
L
S
PREFIJO S EQUIVALENCIA
deci
centi
mili
micro
nano
pico
fento
atto
d
c
m
f
a
10
1
10
2
10
3
10
6
10
9
10
12
10
15
10
18
m
u
l
t
i
p
o
l
s
ρ
η
µ
S
u
b
Para aplicar a las siguientes magnitudes de
LONGITUD, SUPERFICIE, VOLUMEN, PESO,
TIEMP0, etc. se usa así :
Ejemplo:
1. Convertir 7 Gm ( Gigámetros ) a hm
( hectómetros )
Solución : G = 10 9
h = 102
Luego 9 – 2 = 7
→ 7 x 10 7
Rpta
2. Convertir 15 x 10 5
cm a Km
Solución: cm =10– 2
Km = 10 3
→ - 2 – (3) = – 5
Luego 15 x 10 5
x 5
10−
= 15 Km
3. Convertir 75 x 10 5
mg a Kg :
Solución : mg = 3
10−
Kg = 10 3
→ – 3 – 3 = – 6
Luego 75 x 105
x 6
10−
= 75 x 1
10−
=7,5
Kg
4. Convertir 0,025 Gg a µg .
Solución : Gg =109
µg= 6
10−
→ 9+6 =15
Luego : 25 x 3
10−
x 1015
= 25 x 1012
µg
5. Convertir 432 x 104
ηg a g
Solución : ηg=10 –9
g =10°  – 9 – 0 = – 9
Luego 432 x 104
x 9
10−
= 432 x 5
10−
g
cm2
a Dm2
Solución : Se resuelve como en los casos
anteriores, pero como estamos en magnitud
de superficie, al resultado ( de exponentes ) se
le multiplica x 2 .
Así :
( ) ( )( ) 62331210Dm10cm 12
=−→−=−−→== −
Luego : 28 x 10 6
x 6
10−
= 28 Dm2
fm2
a cm2
Solución : fm = - 15 cm = - 2
- 15 - ( -2 ) = ( - 13 ) (-13) ( 2 ) = - 26
Luego: 517 × 1022
x 10–26
= 517 x 10–4
cm2
= 0,0517 cm2
8. Convertir 5 mm3
a µm3
Solución : Como estamos en volumen, al
resultado se le multiplica por 3 .
Así : mm = 3
10−
µm = 6
10−
 - 3 – ( - 6 ) = - 3 + 6 = 3
 3 ( 3 ) = 9
5 x 10 9
µ m3
9. Convertir 2m3
a dm3
Solución :
m = 10 dm = 10 -1
 0 – (- 1) = 1
 1 ( 3 ) = 3
Luego : 2 x 10 3
= 2000 dm3
Recuerda que : 1 L = dm3
PRACTICA DE CLASE
Convertir:
01.7200 dm a m :
a) 72m b) 720m c) 7200m
d) 72000 m e) N.a.
02.85 x 103
mm a m :
a) 0,85 b) 8,5 c) 85
d) 850 e) N.a.
03.76 x 10 9
nm a cm :
a) 76 x 102
b) 76 x 103
c) 76 x 104
d) 76 x 105
e) N.a.
S1MA33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1MA33B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
SISTEMA
INTERNACIONAL
III

Secundaria
04.1245 x 104
µm a cm :
a) 1,245 b) 12,45 c) 124,5
d) 1245 e) N.a.
05.15 Eg a hg :
a) 15 x 1015
b) 15 x 1016
c) 15 x 107
d) 15 x 1018
e) N.a.
06.2 Pg a Kg :
a) 2 x 2
10−
b) 12 c) 2 x 102
d) 2 x 1010
e) N.a.
07.75 Gg a mg :
a) 75 x 1012
b) 75 x 1010
c) 75 x 108
d) 75 x 106
e) N.a.
08.125 x 106
fg a µg :
a) 125 x 2
10−
b) 125 x 3
10−
c) 125 × 10–4
d) 125
e) N.a.
09.2 x 10 28
pl a µl
a) 2 x 1015
b) 2 x 10 7
c) 2 x 1022
d) 2 x 10 20
e) N.a.
10.25 x 3
10−
pl a ml
a) 25 x 106
b) 25 x 107
c) 25 x 108
d) 25 x 109
e) N.a.
11.8 x 108
mm2
a dm2
:
a) 8 x 10 2
b) 8 x 104
c) 8 x 106
d) 8 x 108
e) N.a.
12.62 x 1040
pm2
a dm2
:
a) 62 x 1010
b) 62 x 10 15
c) 62 x 1017
d) 62 x 1018
e) N.a.
13.6 Km2
a cm2
:
a) 6 x 106
b) 6 x 107
c) 6 x 108
d) 6 x10 9
e) N.a.
14.45 cm3
a Em3
:
a) 45 x 20
10−
b) 45 x 40
10−
c) 45 x 60
10−
d) 45
e) N.a.
15.10 mm3
a Tm3
:
a) 10 x 20
10−
b) 10 x
40
10−
c) 10 ×10–50
d) 10 x 10–60
e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS 01
01.7 gigámetros en hectómetros se escribe, así:
a) 70 b) 7 c) 7 × 107
d) 7 × 103
e) N.a.
02.Escribir 1 500 000 cm en Km.
a) 1,5 Km b) 15 km c) 150 km
d) 0,15 km e) N.a.
03.Expresa 7 500 000 miligramos en kilogramos.
a) 7,5 b) 0,75 c) 750
d) 0,075 e) N.a.
04.Escribir 0,025 gigagramos en microgramos:
a) 25 × 106
b) 25 × 1010
c) 25 × 1015
d) 25 × 1012
e) N.a.
05.Escribir 4 320 000 nanogramos en gramos:
a) 432 × 10–8
b) 432 × 10–3
c) 432 × 10–3
d) 432
e) N.a.
06.Escribir 5 días 8 horas en minutos.
a) 7680 b) 7860 c) 7480
d) 72 460 e) N.a.
07.La tierra gira alrededor de su eje movimiento
de rotación) de Oeste a Este
demorando ............ en dar una vuelta.
a) 1 mes b) 1 día c) un año
b) 365 días e) N.a.
08.Escribir 28 000 000 cm2
en decámetros
cuadrados?
a) 2,8 b) 28 c) 280
d) 0,28 e) N.a.
09.Escribir 2 metros cúbicos en litros.
a) 2000 b) 20 c) 200
d) 2 e) N.a.
10.Un hombre recorre 3 metros en 2 segundos y
un muchacho 100 metros en un minuto. ¿Qué
ventaja sacará el muchacho al hombre en 2
minutos y medio de recorrido?
a) 30 m b) 45 m c) 32 m
d) 64 m e) 25 m
TAREA DOMICILIARIA
01.Escribir 8 gigámetros en hectómetros.
02.Escribir 300 000 cm en Km.
03.Expresar 15000 000 miligramos en
kilogramos.
04.Expresar 8 días y 4 horas en minutos.
05.Escribir 2,5 Km2
en m2
06.Expresar 16,4 m2
en km2
07.452 litros se escribe en cm3
, como:
08.Expresar 16 × 108
a m3
en nm3

Secundaria
RAZÓN
Se llama razón, a la comparación de dos
cantidades.
Razón Aritmética.- Cuando se compara por
diferencia.
antecedente consecuente
A - B = r razón
Razón Geométrica.- Cuando se compara por
cociente.
kBA =÷ razón
consecuenteantecedente
SUCESIÓN DE RAZONES GEOMÉTRICAS
IGUALES
Dada:
k
b
a
.......
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
=====
PROPORCIÓN
Se llama proporción a la igualdad de dos razones
de la misma clase.
• Proporción Aritmética.- Igualdad de razones
aritméticas.
A - B = C - D
medios
extremos
"A es a B tanto
como C es a D"
• Proporción Geométrica.- Igualdad de dos
razones geométricas.
A
B
C
D
=
medios
extremos
"A excede a B tanto
como C excede a D"
CLASES DE PROPORCIONES
Clases Tipos
Discreta Continua
Proporción
aritmética
Términos medios
diferentes
A – B = C – D
"D" es cuarta
diferencial de A,
B y C
Términos medios
iguales.
A – B = B – C
"C" es tercera
diferencial de A y
B
"B" es media
diferencial de A y
C.
Proporción
geométrica
D
C
B
A
=
C
B
B
A
=
"D" es cuarta
proporcional de
A, B y C
"C" es tercera
proporcional de
A y B
"B" es media
proporcional de
A y C.
PRÁCTICA DE CLASE
01.Si:
11
15
b
a
= y a – b = 60
Hallar: "a"
a) 224 b) 225 c) 215
d) 220 e) 235
02.Si:
11
3
B
A
= y A + B = 210
Hallar: A . B
a) 7 925 b) 7 835 c) 7 415
d) 7 425 e) 7 325
03.Si
5
2
n
m
= y m + n = 56
Hallar: "m"
a) 16 b) 18 c) 24
d) 26 e) 36
04.Dos números son entres sí como 4 y 9; si la
suma de ambos es 221; dar el menor.
a) 40 b) 52 c) 68
d) 42 e) 64
05.Un número son entre sí como 4 y 9; si la
suma de ambos es 221; dar el menor.
a) 40 b) 52 c) 68
d) 42 e) 64
06.Dos números están en la relación de 3
4
1
a 5
5
1
. Si la razón aritmética de ellos es 3
030 uno de los números es:
a) 6 040 b) 4 060 c) 8 030
d) 8 050 e) 8 080
07.La suma de dos números es 270 y cuando se
le agrega 65 a cada uno de ellos su razón es
5
3
. Hallar el menor número.
a) 85 b) 80 c) 65
d) 80 e) 95
Propiedades:
1. k
b...bbb
a...aaa
n321
n321
=
++++
++++
2. n
n321
n321
k
b...bbb
a...aaa
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
3. a1 = b1 k
a2 = b2 k

Propiedades:
1. Si: a – x = x – b
⇒
2
ba
x
+
= "x" es media
diferencial de a y b
2. Si:
b
x
x
a
= ⇒ x = ba ⋅ " x es
media proporcional de a y b
3. Dada:
d
c
b
a
= , se cumple que:
*
d
dc
b
ba ±
=
±
*
dc
c
ba
a
±
=
±
*
d
c
b
a
dc
dc
ba
ba
==
−
+
=
−
+
* cbda ⋅=⋅
*
d
c
b
a
db
ca
==
+
+
RAZONES Y

Secundaria
08.Dos números están en relación de 2 a 5 pero,
agregando 175 a uno de ellos y 115 al otro,
ambos resultados son iguales.
Hallar el mayor.
a) 90 b) 120 c) 180
d) 60 e) 100
09.A una fiesta concurren 400 personas entre
hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por
cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2
hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se
retiraron?
a) 80 b) 40 c) 60
d) 100 e) 120
10.La media proporcional entre a y b es 14 y la
tercera proporcional de a y b es 112.
Hallar la diferencia entre a y b.
a) 21 b) 18 c) 20
d) 16 e) 24
11.En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 34 y la diferencia de
los mismo es 16. Hallar la media
proporcional.
a) 12 b) 18 c) 21
d) 15 e) 13
12.Las edades de Ana y Bety están en relación
de 1 a 3. Si la cuarta parte del mayor es la
tercera proporcional de 4 y la mitad del
menor. Hallar la suma de las edades.
a) 46 b) 40 c) 42
d) 48 e) 52
13.Si:
d
c
b
a
=
Además: a2
+ b2
+ c2
= 221
Hallar: a + b + c + d
a) 20 b) 30 c) 25
d) 35 e) 15
14.Hace 5 años, las edades de María y Timoteo
estaban en la relación de 5 a 3 y dentro de 9
años estarán en la relación de 11 a 8. Hallar la
edad actual de María.
a) 30 b) 31 c) 32
d) 35 e) 37
01.La razón geométrica de dos números es 5/13
y su razón aritmética es 72. Hallar el mayor.
a) 117 b) 115 c) 119
d) 118 e) 110
02.De un grupo de 416 personas las mujeres y
los hombres están en la relación de 5 a 3 y
por cada 5 hombres hay 4 niños; ¿cuántos
niños hay en total?
a) 48 b) 64 c) 112
d) 120 e) 96
03.Lolo recibe S/. 240 de su padre, enseguida
compra un pantalón y dice: "lo que gaste y no
gaste están en la relación de 5 a 11", ¿cuánto
le queda luego de hacer la compra?
a) 165 b) 90 c) 75
d) 15 e) 55
04.Si:
n
m
b
a
=
Además:
15nmba =+++
a) 20 736 b) 20 462 c) 20 780
d) 20 920 e) 20 502
05.La suma, diferencia y producto de dos
números enteros están en la misma relación
que los números 7; 1 y 48. Hallar el cociente
de los números.
a) 1,2 b) 2 c) 1,5
d) 1,3 e) 1,4
06.La suma de los cuadrados de los cuatro
términos de una proporción geométrica es
325. Hallar la suma de los cuatro términos.
a) 18 b) 29 c) 36
d) 35 e) 27
07.El corredor A da a B una ventaja de 20 m en
una carrera de 100 m; en otra carrera de 100
m el corredor B da a C 30 m de ventaja ¿qué
ventaja dará A a C en una carrera de 100 m?
a) 42 b) 46 c) 44
d) 52 e) 58
08.Si:
75
d
48
c
27
b
12
a 2222
===
b + d – a – c = 140
a) 940 b) 980 c) 720
d) 640 e) 600
09.La razón de dos números es
8
3
y su suma es
2 497. Hallar el menor.
a) 527 b) 531 c) 691
d) 731 e) 681
10.Si: k
d
11
c
7
b
3
a
2
====
dcba ⋅⋅⋅ = 37 422
Hallar "k"
a)
2
1
b)
3
1
c) 2
d) 3 e)
6
1
11.La razón de dos números es 0,375; si la
diferencia de los términos es 35, hallar el
consecuente.
a) 264 b) 272 c) 284
d) 248 e) 260
12.La razón de dos números es 0,375; si la
diferencia de los términos es 35, hallar el
consecuente.
a) 48 b) 46 c) 70
d) 42 e) 56
13.Actualmente las edades de dos personas son
19 y 24 años; dentro de cuántos años la
relación de dichas edades será 5/6.
a) 2b) 4 c) 6
d) 8 e) 3
14.Si: a + b + c = 26
k
20
c
b
6
8
a
===
a , b , c ∈ Z+
Hallar: "c"
a) 5b) 6 c) 10
d) 20 e) 18
15.En una granja hay "x" aves entre patos y
pollos. Si el número de patos ea a "x" como 5
es a 12 y la diferencia entre el número de
patos y pollos es 18. ¿Cuál será la relación
entre patos y pollos al quitar 27 pollos?
a)
5
3
b)
5
4
c)
7
3
d)
6
5
e)
9
7
16.En una reunión por cada 5 hombres adultos
que entran, ingresan 6 niños y por cada 3
mujeres adultas que entran, ingresan 8 niños.

Secundaria
Si en total ingresaron 858 niños y el número
de hombres es al número de mujeres como 7
a 4. ¿Cuántos hombres asistieron a dicha
reunión?
a) 315 b) 375 c) 305
d) 285 e) 278
17.Si:
d
c
b
a
=
a3
+ b3
+ c3
+ d3
= 315
a) 10 b) 12 c) 18
d) 14 e) 15
18.La suma de los extremos de una proporción
geométrica continua es 104. Hallar la media
proporcional si la razón es 6,0

.
a) 40 b) 46 c) 52
d) 48 e) 50
19.La suma, la diferencia y el producto de dos
números diferentes están en la misma
relación que: "a", "b", "c". Uno de los
números es:
a)
ba
c
+
b)
ba
c
−
c)
ac
b2
−
d)
ca
b2
+
e)
ba
c2
−
20.La cantidad de dinero de a es a la de B como
2 es a 3, el de b es a la de C como 3 es a 4.
Sabiendo que A y C tienen juntos S/. 60,
¿cuánto tienen entre A, B y C?
a) 70 b) 80 c) 90
d) 100 e) 120
TAREA DOMICILIARIA
01.La cuarta diferencial de A; B y C es 29 la
tercera proporcional de A y B es 36 y la
media diferencial de B y C es 39. Hallar la
tercera diferencial de A y C.
a) 25 b) 24 c) 21
d) 20 e) 23
02.Se tiene una proporción aritmética continua
donde la suma de sus cuatro términos es 200
y la diferencia de sus extremos es 28. Dar
como respuesta la media geométrica de los
extremos.
a)
90
119
b)
60
119
c)
61
117
d)
63
117
e)
23
118
03.Si la diferencia y la suma de dos números son
entre sí como 7 es a17. ¿En qué relación se
encuentra la diferencia de los cuadrados de
los números con el producto de los mismos?
a) 119/90 b) 119/60 c) 117/61
d) 117/63 e) 118/23
04.La suma; la diferencia y producto de dos
números están en la relación de 6; 2 y 24,
hallar el cociente entre estos dos números-
a) 1b) 2 c) 3
d) 1/4 e) 0,5
05.El radio de la luna es los 3/4 del radio
terrestre y el radio del sol es igual a 108
radios terrestres. ¿Cuál es la relación de los
radios de la luna y el sol}?
a)
396
1
b)
395
1
c)
394
1
d)
398
1
e)
392
1
06.Una frutera lleva en su cesta 90 fruta entre
naranjas y manzanas; si la razón del número
de naranjas y manzanas es como 4 a 6. Hallar
el número de manzanas.
a) 56 b) 54 c) 62
d) 72 e) 50
MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE
PROPORCIONALES.
I.- OBJETIVOS ESPECIFICOS:
β
1.1 Saber que al comparar dos magnitudes,
éstas pueden variar cuando toman diversos
valores dependiendo una de otra.
1.2 Saber que dos magnitudes son directamente
proporcional cuando al multiplicar o dividir
una de ellas por un número la otra cantidad
queda multiplicada o dividida por el mismo
número.
1.3 Saber que dos magnitudes son inversamente
proporcional cuando al multiplicar o dividir
una de ellas por un número la otra cantidad
queda dividida o multiplicada por el mismo
número.
II.- PROCEDIMIENTOS:
A) MOTIVACION: En casa la mamá hace una
cantidad de alimentos según el número de
personas que van a tomar los alimentos. Así,
si tiene invitados aumenta las cantidades de
alimentos para cocinar; en cambio, si no van
a comer algunos miembros de la familia,
disminuye los alimentos que debe cocinar.
¿La cantidad de alimento que toma un bebito,
es la misma que toma un adulto?.
¿Si una persona va a pie de Bellamar a Santa
empleará el mismo tiempo que otra que va en
bicicleta?.
B) CONTENIDO TEORICO: Analice la siguiente
información.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES.
En una fábrica 12 obreros hacen 72 pares de
zapatos por día, Si se aumenta el doble, triple,
cuádruplo, etc. El número de obreros. ¿En qué
proporción aumentará la producción de
zapatos en cada vez?. Y si en vez de aumentar
disminuye a la mitad, tercia, cuarta , etc. El
número de obreros, ¿en qué proporción
disminuirá la producción de zapatos?.
Representación Esquemática
12 obreros hacen 72 pares
x4 : 48 obreros hacen 288 pares :x4
x3: 36 obreros hacen 216 pares :x3
x2: 24 obreros hacen 144 pares :x2
12 obreros hacen 72 pares
:2 6 obreros hacen 36 pares :2
En esta proporcionalidad al ser
multiplicados el número de obreros por 2,
también la producción en la obra ha sido
multiplicado por 2; al multiplicar por 3 al
número de obreros, la producción también
ha sido multiplicado por 3, etc
Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando multiplicamos a una
de ellas por un número, la otra queda
multiplicado por el mismo número y al
dividir a una de ellas por un número la otra
queda dividida por el mismo número.
MAGNITUDES

Secundaria
MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES.
Si 6 obreros pueden hacer una construcción
en 30 días. Si se duplica o triplica el número
de obreros, o si se hacen trabajar la mitad o la
tercia de obreros. ¿En cuántos días harán la
construcción?.
Representación Gráfica:
5 obreros lo hacen en 30 días
x3 18 obreros hacen en 10 días : 3
x2 12 obreros hacen en 15 días : 2
6 obreros hacen en 30 días
:2 3 obreros harán en 60 días x 2
:3 2 obreros harán en 90 días x 3
En esta proporcionalidad al duplicar el
número de obreros, el tiempo para hacer
la obra es la mitad; si se triplica el
número de obreros se empleará la tercera
parte del tiempo. Al usar la mitad del
número de empleados, el tiempo se
duplicará, etc.
Dos cantidades son inversamente
proporcionales cuando al multiplicar a
una de ellas por un número, la otra queda
dividida por el mismo número y al dividir
a una de ellas por un número la otra
queda multiplicada por el mismo número.
PRACTICA DE CLASE
I. De las siguientes pares de magnitudes, diga
cuales son directamente proporcionales y
cuales son inversamente proporcionales.
(Puede hacerlo esquemáticamente).
01.El número de objetos y el precio que se paga
por ellas.
02.El peso y el precio de los artículos cuando se
paga a razón del peso.
03.La velocidad de un auto, con el tiempo
empleado en recorrer una distancia.
04.El número de obreros empleados y el tiempo
necesario para hacer una obre.
05.Los días de trabajo y las horas diarias que
trabajan.
06.El tiempo de trabajo y el salario de un obrero.
07.El número de obreros empleados y el trabajo
realizado.
08.La ración de alimentos y el número de
personas que consumen cuando es la misma
cantidad de víveres.
09.El espacio recorrido con la velocidad si el
tiempo no varía.
10.Esquematice la siguiente situación.
II. Un niño caminando a su paso natural, para ir
de su casa a la escuela emplea 12 minutos; si
va más rápido, supongamos duplicando su
paso, emplea ................................................,
Si va corriendo o sea triplicando su paso
emplea.............................. y si reduce su paso
a la mitad de lo natural
emplea .............................................................
....
III. Diga UD si cada par de magnitudes son:
Directamente proporcionales o Inversamente
proporcionales, según corresponda y realice
sus cálculos:
01.El área (A) de un circulo es ..................... al
cuadrado de su radio (r).
02.La longitud (L) de una circunferencia
es .................................a su radio (r).
03.El numero de kilogramos de una sustancia y
el costo de ella, son .................................
04.Las longitudes de dos lados ( variables) de un
rectángulo con el área o superficie,
son ..................................
05.La duración de un trabajo y el numero de
empleados, son .......................................
06.El numero de horas diarias de trabajo y el
numero de días que demoran en hacer una
obra, son ................................................
IV. Resuelva los sgtes. Problemas:
01.Se sabe que "P" es directamente proporcional
a "T" inversamente proporcional a "V" ,
cuando P = 8, T= 2 V = 4. Hallar el valor de
"P", cuando .
T=3 Y V=12.
02.Si "A" es directamente proporcional a "B"
inversamente proporcional a" C 2
", Si cuando
C=5; A=1/5 B, determinar "B", cuando A=5
Y C=2.
03.El sueldo por un trabajo será proporcional al
cuadrado de la edad del empleado, que
actualmente tiene 15 años. ¿Dentro de
cuantos años cuadriplicara su sueldo.
04."A" varia directamente proporcional con la
raíz cuadrada de "B" e inversa proporcional
con el cubo de "C" si A=3 cuando B=256 y
C=2, Hallar "B" cuando A=24 Y C=
2
1 .
05.Si "X" varia directamente proporcional a "Y"
inversamente proporcional al cuadrado de "Z"
cuando x=10, entonces; y=4; z=14. Hallar
"X" cuando Y =16; z=7.
06.Se sabe que el cuadrado de "a" es
directamente proporcional a "b", si a =2,
cuando b=16 Hallar "a" cuando b =12.
07.Se sabe que "A" es directamente proporcional
a la raíz cuadrada de B e inversamente
proporcional al cuadrado de C. Si A=3
cuando B=16 y C =8. Hallar "B" cuando A =
6 y C= 4.
08.El valor de una tela es directamente
proporcional al área e inversamente
proporcional al peso. Si una tela de 2m2
de
área con 50g de peso, cuesta s/100. ¿Cuánto
costara una tela de 3m2
de área y 100g de
peso.

Secundaria
01.Se tiene que "A" es DP a "B", si A = 10,
cuando B = 4. Hallar "B" cuando A = 8.
a) 1b) 2 c) 8
d) 4 e) 16
02."A" es IP a "B", si A= 20, entonces B = 30.
Hallar "A" cuando B = 50.
a) 10 b) 12 c) 8
d) 16 e) 20
03.Si A es directamente proporcional con B2
e
inversamente proporcional a C , cuando
A = 4, B = 8 y C = 16. Hallar "A" cuando B =
12 y C = 36.
a) 6b) 12 c) 2
d) 4 e) 10
04.Se sabe que A es DP a B e IP a .C3
Además cuando A = 14, entonces B = 64 y C
= B. Hallar "A" cuando B = 4 y C = 2B.
a) 2b) 7 c) 4
d) 5 e) 6
05.A varía en razón directa a B e inversa a C2
; si
A = 10, cuando B = 4 y C = 14. Cuando B =
16 y C = 7, A es igual a:
a) 210 b) 140 c) 160
d) 120 e) 180
06.Sabiendo que A es IP a B y B es IP a C,
hallar "A" cuando C = ,3 si A = 27
y C = 3.
a) 1b) 4 c) 3
d) 9 e) 3
07.Sabiendo que A es IP a B4
y C es DP a B.
Hallar "A" cuando C = 8, si A = 96 y C =
4.
a) 2b) 3 c) 4
d) 9 e) 6
08.Si A2
y B son IP y cuando A = 20, A es a B
como 10 es a 9. ¿Qué valor toma A cuando B
= 72?
a) 30 b) 40 c) 50
d) 16 e) 38
09.¿Cuántos gramos pesará un diamante que
vale S/. 1 125, si uno de 6g vale S/. 72,
además se sabe que el valor del diamante es
DP al cubo de su peso.
a) 16 b) 17 c) 15
d) 18 e) 20
10.El precio de un ladrillo es DP a su peso e IP a
su volumen, un ladrillo de densidad 2,5 g/cm3
cuesta S/. 1, ¿cuánto costará un ladrillo de
600 cm3
que pesa 1,2 Kg?
a) 0,80 b) 0,70 c) 0,90
d) 0,50 e) 0,52
11.Si "A" es DP a B2
, "B" es IP a C2
y "C" es DP
a
1
D
−
, luego, qué relación existe entre
A y D, aplicación A = 6, entonces D = 3.
Hallar D, si A = 150.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
12.En un empresa el sueldo de un empleado es
proporcional al cuadrado del número de años
de servicio. Si un empleado tiene actualmente
15 años de servicio, ¿dentro de cuántos años
cuadriplicará su sueldo?
a) 15 b) 30 c) 8
d) 45 e) 60
13.El precio de un diamante es proporcional al
cuadrado de su peso. Si un diamante de 4
quilates vale S/. 1 280.
¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.
3 920.
a) 5 quilates b) 14 quilates
c) 3 quilates d) 7 quilates
e) 5 quilates
14.Una rueda de 27 dientes engrana con otra de
12 dientes. Dando la primera 836 vueltas por
minuto, ¿cuántas vueltas dará por hora, la
segunda?
a) 112 860 b) 112 470 c) 1 881
d) 124 360 e) 9 640
15.El precio de un pasaje varía inversamente con
el número de pasajeros, si para 14 pasajeros,
el pasaje es S/. 15, ¿cuántos pasajeros serán
cuando el pasaje cueste S/. 6?
a) 31 b) 33 c) 34
d) 36 e) 35
16.Se tienen 2 magnitudes A y B, tales que a es
IP a B2
. Si cuando B aumenta en un quinto, A
varía en 22 minutos.
¿En cuánto, varía A, cuando B disminuye en
un cuarto?
a) 56 b) 72 c) 82
d) 28 e) 40
17.El precio de un ladillo es proporcional a su
peso e inversamente proporcional a su
volumen. Un ladrillo de densidad 1,5 g/cc
cuesta S/. 9.
¿Cuánto costará un ladrillo de 600 cc que
pesa 1,2 Kg?
a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 13
d) S/. 11 e) S/. 15
18.Se sabe que una magnitud A es inversamente
proporcional a B2
. Hallar el valor de A,
sabiendo que si disminuye en 36 unidades, el
valor de B varía en un 25%.
a) 180 b) 108 c) 200
d) 360 e) 100
19.Una rueda A de 80 dientes, engrana con otra
B de 50 dientes, fija al eje de B hay otra C de
15 dientes que engrana con una cuarta rueda
D de 40 dientes. Si la rueda A da 120 vueltas
por minuto, ¿cuánto tiempo tardará la rueda D
en dar 18 000 revoluciones?
a) 4h 10' b) 3h 10' c) 4h 15'
d) 3h 18' e) 3h 21'
20.Sabiendo que A es IP a B2
y B es IP a C.
Hallar A cuando C = ,6 si cuando A
= 28, C = 24.
a) 8b) 7 c) 4
d) 9 e) 12
TAREA DOMICILIARIA
I. Determine UD si cada par de magnitudes
son:
Directamente proporcionales o
inversamente proporcionales, según
corresponda.
01.El área (A) de un rectángulo es ......................
a su base.
02.La longitud (L) de una circunferencia
es ......................... a su diámetro (2r).
03.El numero de kilogramos de una arroz y el
precio son: ..............................................
04.Las longitudes de las dos diagonales de un
rombo con el área o superficie, son ...........
05.El tiempo de la duración de un trabajo y el
numero de trabajadores, son: ....................

Secundaria
06.El numero de horas diarias de trabajo y el
numero de días que demoran en hacer una
carretera, son. ........................................
II. Resuelva los sgtes problemas.
01.Se sabe que "P" es directamente proporcional
a "T" e inversamente proporcional a "V". Si P
= 4 cuando T = 6 y V = 3. Hallar P cuando T
= 12 y V = 2.
02.Si "A" es directamente proporcional a "B" a
inversamente proporcional a "C", si cuando
C=5; A=6 y B=8. Hallar B cuando A=10 y
C=6
03.El sueldo por un trabajo será proporcional al
doble de la edad del empleado, que
actualmente tiene 30 años.¿ Hace cuantos
años tenia la mitad de su sueldo su sueldo?
04."A" varia directamente proporcional con la
raíz cuadrada de "B" e inversamente
proporcional a "C". Si A=3 cuando B=16 y
C=2. Hallar "B" cuando A=4 Y C=1/2.
05.Si "X" varia directamente proporcional a "y"
e inversamente proporcional al cuadrado de
"z" cuando x=1 entonces y=2; z=21. Hallar
"x" cuando y=4; z=7.
06.El valor de un pedazo de metal es
directamente proporcional al área e
inversamente proporcional al peso. Si un
pedazo de 4m2
de área con 450g de peso,
cuesta S/. 900. ¿Cuánto costara un pedazo de
metal de 6m2
de área y 600g de peso?.
07.El precio de un pasaje varia inversamente
proporcional con el numero de pasajeros, si
para 8 pasajeros el pasaje es de S/. 33.
¿Cuánto costara el pasaje cuando el numero
de pasajeros sea 21?
II. De los siguientes pares de magnitudes
identifique cuales son directa y cuales son
inversamente proporcionales, los pares de
magnitudes
Puede hacerlo sistemáticamente.
1) La longitud y el ancho de un cuerpo
rectangular si el área es la misma.
2) El espacio recorrido con el tiempo si la
velocidad no varía.
3) Esquematice la siguiente situación.
Vendiendo al mismo precio el kilo de papas,
si en una bodega venden 6 kilos a S/. 12, si
después venden al doble de kilos y más tarde
venden la tercera parte de los 6 kilos. ¿Cuánto
recibirán en cada caso?.
I) OBJETIVOS ESPECIFICOS:
1.1 Saber que en los problemas de Regla de Tres
Simple están dadas tres cantidades conocidas
y una desconocida.
1.2 Saber que en la Regla de Tres simple
intervienen dos magnitudes que son directa o
inversamente proporcionales.
1.3 Saber plantear un problema considerando los
datos conocidos como un supuesto para luego
buscar la incógnita o lo que se busca.
II) PROCEDIMIENTO:
A) MOTIVACION: Ya hemos visto en la
proporcionalidad de las magnitudes, que si a
una cantidad de ellas se le aumenta o
disminuye en una proporción, la otra cantidad
se aumenta o disminuye en la misma
proporción, sea en su doble o mitad, triple o
tercia, etc. Pero en muchos problemas no se
dan esa proporciones, pero si se ve que hay
en más o menos cantidad entonces es
necesario resolverlos, planteándolos en tal
forma que se pueda encontrar inmediatamente
el valor de la incógnita que se busca.
CONTENIDO TEORICO:
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
01.Por 3 metros de tela se han pagado 36 soles,
si se desea comprar 8 metros de la misma
tela. ¿Cuánto se pagará?.
Planteamiento:
Si 3m cuestan 36 soles,
1m cuesta 12 soles ( 36 : 3)
8m costará 96 soles. ( 12 x 8)
Rpta: Se pagará S/. 96
02.En una fábrica, semanalmente a 8 obreros se
le paga S/. 1792 si en la siguiente semana se
han aumentado 3 obreros , ¿cuánto será el
pago de la semana sabiendo que ganan
iguales?.
Planteamiento:
Si 8 obreros ganan 1792 soles
1 obrero ganará .........soles ( 1792 : 8)
11 obreros ganarán ........... (.......x 11 )
Rpta. El pago de la semana será ..............
03.Una combi que ha ido a una velocidad de 60
kilómetros por hora(km/h) en un día a
recorrido 420 kilómetros en una carretera; una
bicicleta, a una velocidad de 18 km/h .¿Qué
distancia recorrerá en el mismo tiempo
empleado por la combi?.
Planteamiento:
A 60 km/h recorre 420 km
A 1 km/h recorrerá ............. km ( )
A 18 km/h recorrerá .............. km ( )
Rpta: .......................................................
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE
INVERSA
01.Para sacar las carpetas del aula, 5 niños lo
hicieron en 8 minutos, en otra oportunidad
para sacar las mismas carpetas se han enviado
a dos niños. ¿Qué tiempo habrán empleado
estos últimos?.
Planteamiento:
Si 5 niños emplean 8 min.
1 niño empleará 40 min. ( )
2 niños emplearán 20 min. ( )
Rpta: ......................................................
02.Un carro se fue a una velocidad de 60 km/h
empleó 16 minutos para ir de Lima al Callao,
en otra oportunidad empleó 24 minutos, ¿a
qué velocidad ha ido?.
Planteamiento:
Si empleó 16 min. Cuando fue a 60 km/h
Si emplea 1 min debe ir a ........................
Si emplea 24 min es por que va a .............
REGLA DE TRES

Secundaria
Rpta: .....................................................
03.12 obreros construyen un puente en 40 día, se
aumentan 8 obreros más en cuántos días
menos construirán el puente?.
Planteamiento:
Si 12 obreros construyen en 40 días
1 obrero lo construye en ....................
20 obreros lo construirán en ................
Luego: .....................................................
Rpta: .....................................................
PRACTICA DE CLASE:
Desarrolle los siguiente planteamientos.
01.Si cuatro libros cuestan 180 soles. ¿Cuánto
costarán 15 libros?.
02.14 campesinos pueden hacer el cultivo de una
chacra en 30 días, si se aumentan 6
campesinos, ¿en cuántos días harían la misma
labor?.
03.Un carnicero vende una pieza de carne de 12
kilos en 228 soles. ¿En cuánto venderá otra
pieza de carne de 15 kilos?.
04.Un móvil a una velocidad de 70 km/h empleó
45 minutos para unir la distancia de dos
pueblos; otro móvil que va a una velocidad de
90 km/h, ¿en qué tiempo unirá los dos
pueblos?.
05.15 obreros deben hacer una trabajo en 18 días
pero al momento de empezar no se pueden
conseguir 6 obreros. ¿En cuánto tiempo se
hará la obra con los obreros que quedan?.
06.En una ciudad todas las cuadras tienen igual
longitud. Un micro a velocidad contante
recorre 8 cuadras en 20 minutos. ¿Qué
distancia recorrerá en 2 horas 20 minutos?
07.Si un cocinero puede preparar 18 platos de
cabrito en 3 horas. ¿Cuántos platos de cabrito
podrá preparar en 17 horas?
08.Si 24 obreros hacen una zanja en 13 días. ¿En
cuántos días podrán hacer una zanja igual, 78
obreros?
01.Para pintar un cubo de 20 m de largo se gastó
130 000 soles. ¿Cuál será el gasto en soles
para pintar otro cubo de 40 m de lado?
a) 520 000 b) 1 500 000 c)1000 000
d) 620 000 e) 1 040 000
02.Un recipiente esférico de 6 m de diámetro
recepciona 200 Kg de maíz. ¿Cuántos Kg de
maíz recepcionará otro recipiente esférico de
12 m de diámetro?
a) 1 000 b) 1 200 c) 1 600
d) 2 000 e) 2 100
03."x" pintores pueden pintar un círculo de 5m
de radio. Si (x + 48) pintores pintan un
círculo de 7 m de radio, hallar "x".
a) 45 b) 50 c) 48
d) 65 e) 60
04.Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 de
agua, ¿cuántos litros de agua deberán
añadirse a esta mezcla para que un litro de la
misma tenga sólo 8 g de azúcar?
a) 20  b) 18  c) 
d) 22  e) 30 
05.20 operarios pueden producir 120 pares de
zapatos en 18 días, ¿cuántos operarios pueden
producir 160 zapatos en 24 días?
a) 7b) 10 c) 8
d) 9 e) 11
06.Si 8  de agua contiene 250 g de cal, ¿qué
cantidad de agua le debemos agregar para que
en cada litro exista 20 g de cal?
a) 5  b) 4,2 c) 3,8 
d) 4  e) 4,5 
07.Seis obreros pueden terminar un trabajo en 24
días, después de 8 días de trabajo se les
juntan 2 obreros más. ¿En cuánto tiempo
terminarán el resto de la obra?
a) 10 b) 14 c) 9
d) 12 e) 11
08.Un cuartel tiene provisiones para 90 días, si
se desea que duren 20 días más, ¿en cuánto
debe disminuirse la ración?
a)
11
3
b)
11
2
c)
9
2
d)
7
4
e)
7
2
09.Un ciclista corre en medio minuto 750 m de
una carretera, ¿cuántos metros recorrerá en 50
segundos?
a) 1 000 b) 1 250 c) 1 500
d) 1 350 e) 1 750
10.Para pintar una casa 3 pintores demorarán 80
días, ¿cuántos días demorarán para pintar la
misma casa 16 pintores?
a) 10 b) 20 c) 28
d) 15 e) 40
11.Una paredes fue hecha por 8 personas en 18
días. ¿Cuántos días demorarán para hacer la
misma pared 9 personas?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
12.Si una hormiga recorre todas las aristas de un
cubo en 3 minutos como mínimo, ¿en cuántos
segundos recorre una sola arista?
a) 15 b) 16 c) 12
d) 18 e) 21
13.Con 6 hombres ó 15 mujeres se puede
construir una obra en 24 días. ¿Cuántas
mujeres habrá que agregar a 4 hombres para
construir dicha obra en 18 días?
a) 11 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
14.Unos aserraderos cortan un tronco en trozos
de 1m. Si cada tronco mide 5 m y el aserrado
transversal de cada uno requiere 1 1/4 min.
¿En cuánto tiempo aserrarán 48 troncos?
a) 2 h b) 3 h c) 4 h
d) 6 h e) 4,5 h
15.Una tripulación de "n" hombres tiene víveres
para "d" días, si se reduce la tercera parte el
número de días de viaje, ¿cuántos hombres
más podrán viajar?
a)
3
n2
b)
2
n3
c)
5
n2
d) 3n e) 2n
16.Tres docenas de limones cuestan S/. 4.
¿Cuánto costarán 9 docenas de estos mismo
limones?
a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 15
d) S/. 6 e) S/. 8
17.Un barco tiene víveres para 70 tripulantes
durante 22 días, pero sólo viajan 66 personas.
¿Qué tiempo durarán los víveres?
a) 26 b) 18 c) 19
d) 24 e) 23

Secundaria
18.Una pared cuadrada de 10 m de lado es
pintada y se pagó por dicho trabajo S/. 120.
¿Cuánto se pagaría si el lado fuera de 5 m?
a) S/. 60 b) S/. 50 c) S/. 45
d) S/. 36 e) S/. 30
19.La habilidad de dos operarios es como 7 es a
9; cuando el primero ha hecho 126 m de obra,
¿cuántos metros habrá hecho el segundo?
a) 128 b) 126 c) 124
d) 132 e) 135
20.En un triciclo la relación de los radios de las
ruedas es como 5 es a 3, si la rueda mayor
recorre un ángulo de 480°m qué ángulo
recorre la rueda menor.
a) 600° b) 800° c) 720°
d) 780° e) 810°
TAREA DOMICILIARIA
01.Un barco tiene cierta cantidad de víveres
estos duran 22 días si lleva 39 tripulantes.
¿Cuántos días debe durar un viaje de 33
tripulantes en el barco?
a) 26 b) 24 c) 22
d) 28 e) N.a.
02.120 Kg de miel contienen 24 Kg de azúcar.
¿Cuántos Kg de agua hay que agregar a esta
miel, para que en 12 Kg de mezcla, hayan 2
Kg de azúcar?
a) 24 Kg b) 22 Kg c) 20 Kg
d) 18 Kg e) N.a.
03.Esquimales tiene víveres para 95 días. Si
después de 2 días se mueren 4 esquimales.
¿Cuántos días más de lo previsto duraron los
víveres?
a) 155 b) 157 c) 200
d) 62 e) N.a.
04.45 albañiles debían terminar una obra en 25
días. Habían trabajado 10 días cuando se
retiraron 20 albañiles. ¿Cuántos días más de
los previsto duró la obra completa?
a) 30 b) 20 c) 25
d) 35 e) 12
05.Si 6 obreros pueden terminar una obra en 24
días, y después de 8 días de trabajo se les
juntan 2 obreros más. ¿Cuántos días más
necesitarán los que quedan para terminar la
obra?
a) 13 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
06.Una guarnición de 240 soldados tienen
víveres para 32 días. Si llegan 80 soldados
más a la guarnición. ¿Cuántos días duraron
los víveres?
a) 32 b) 28 c) 24
d) 18 e) N.a.
1.1 Saber que el tanto por ciento de un número es
una o varias partes de las 100 partes iguales
en que se ha dividido a dicho número.
1.2 Saber aplicar el tanto por ciento a resolver
problemas.
II) PROCEDIMIENTOS:
A) MOTIVACION: Si tenemos en la mesa
grupos de 6 lapiceros cada uno y de cada
grupo sacamos 2 lapiceros se dice que se está
sacando 2 de cada 6.
Si a los alumnos del aula los formamos en
grupos de 10 alumnos cada uno, de ellos
sacamos 4 alumnos de cada grupo se dirá que
estamos sacando el 4 por 10.
Si se tiene en el huerto surcos de 100 piñas
cada uno, al sacar 16 piñas de cada surco
diremos que estamos sacando el 16 por 100,
es decir de cada 100 se saca 16. Si se
hubieran tenido en cada surco 200 piñas ,
¿cuántas piñas se sacarían?.
.........................................................................
.............................................................
El papá de Juan dice que gana el 20% sobre
sus ventas, ¿qué quiere decir con esto?.
Quiere decir que de cada 100 soles que vende
ganando 20 soles.
Supongamos que ha vendido 200 soles,
¿cuánto habrá ganado? ............................
B) CONTENIDO TEORICO:
Los problemas de Tanto por Ciento también
se plantean como una regla de tres y se
resuelven empleando el método de reducción
a la unidad.
Para ellos debemos tener en cuenta que a toda
cantidad que representa una totalidad se debe
considerar como el 100%.
IDEA DE TANTO POR CIENTO
01.El papá de Jorge es cobrador municipal y dice
que a él le pagan el 8 % de las cobranzas , si
en un día ha cobrado 400 nuevos soles,
¿cuánto le tendrán que dar por esa cobranza?.
Resolución Objetiva:
Poner los 400 nuevos soles en grupos de 100
nuevos soles y sacar de cada grupo 8 nuevos
soles, se ve que por cada 100 se obtiene 8 y
en los 400 se obtendrán 32 nuevos soles.
Resolución Gráfica:
En cuatro papeles cuadrados de 100
cuadraditos (10 por cada lado). Colorear ocho
cuadraditos de cada uno, lo que ha coloreado
es el 8% de 400.
Cada cuadradito coloreado es la centésima
parte, puesto que la unidad está dividida en
100 partes iguales, los 8 cuadraditos serán los
8 centésimos.
Es decir el 8% de 400 son los 8 centésimos de
400.
Resolución cifrada (Forma práctica)
El (8%) de 400; expresando en forma de
fracción.
El (8/100) x 400 ; simplificando y
multiplicado.
PROBLEMAS EXPLICATIVOS
01.En una farmacia el valor de una receta es de
240 nuevos soles, por comprar al contado
hacen una rebaja del 15%. ¿A cuánto asciende
la rebaja?.
Resolución:
En este problema ya no se puede separar
exactamente en grupos de 100 nuevos soles
cada uno, al hacerlo sólo tendremos 2 grupos
de 100 nuevos soles cada uno y otro grupo de
40 nuevos soles. De los 2 grupos de 100 cada
uno podemos sacar 15 nuevos soles de cada
grupo; pero de los de 40 nuevos soles no se
puede sacar 15 nuevos soles, se sacará menos.
Al separar en grupos de 100, lo que se está
haciendo es dividir la cantidad entre 100.
PORCENTAJES

Secundaria
Al hacer la rebaja del 15% está indicándose
que por cada 100 nuevos soles se rebaja 15
nuevos soles, se puede averiguar a cuanto
corresponde la rebaja en cada sol y luego la
rebaja de 240 nuevos soles, para lo cual se
tiene que plantear el problema de la siguiente
forma:
Planteo:
Si en cada 100 rebajan 15
En cada 1 rebajan 15/100
En 240 rebajarán (15/100)(240) = 36
Respuesta: La rebaja es de 36 nuevos soles.
02.En la Librería deben ganar el 12% del costo
de lo que compran. Si han comprado útiles
escolares por S/. 870. ¿Cuánto tendrán que
ganar?.
Planteo:
En cada 100 ganan 12
En cada 1 ganan 12/100
En 870 ganarán : (12/100) (870) = 104,40
Respuesta: Tendrán que ganar 104,40 n.s.
03.En una granja que tenía 860 gallinas, la peste
ha matado al 35%. ¿Cuántas gallinas
murieron?.
Planteo:
Si de cada 100 han muerto 35
De 800 han muerto x
X = (800) (35)/100= 301
Respuesta: Han muerto 301 gallinas
04.El empresario del cine tiene que pagar el 24%
de impuestos de las entradas. Si en una
función ha obtenido 2875 nuevos soles de
entradas. ¿Cuánto le quedará después de
pagar los impuestos?.
Resolución:
Los 2875 nuevos soles representa el 100%,
como paga de impuestos el 24% entonces
sólo le queda el 100% - 24% = 76%.
Planteo:
Por cada 100 le queda 76
Por cada 2875 le quedará x
x = (2875)(76)/100 =1185.
Respuesta: le queda 1185 nuevos soles.
05.Por la venta a plazos cobran el 18% más
sobre el precio de venta. Si una señora
compra una máquina de coser de S/. 2315,
¿cuánto le vendría costando la máquina?.
Resolución:
Los S/. 2315 es el 100%, como le cobran el
18% más; realmente le estrían cobrando el
100% + 18% = 118%
Planteo:
Por cada 100 le cobran 18
Por cada 2315 le cobrarían x
x = (2315)(18)/100 = 2731,70
Respuesta: Le vendría costando la máquina
S/. 2731,40.
PRACTICA DE CLASE
01.Un trabajador que gana S/. 380 mensual
siempre ahorra el 4% de lo que gana. ¿Cuánto
ahorra mensualmente?.
02.La Cooperativa de crédito paga el 6% de los
ahorros y depósitos que se haga. Si el papá de
Luis tiene depositado S/. 14 250. ¿Cuánto
estará ganando por su depósito?.
03.De la cosecha de naranjas de un huerto
escolar el 20% es para que coman los
alumnos. Si se ha cosechado 1860 naranjas,
que cantidad no comerán los alumnos?.
04.Una casa que costo S/. 78 240 se debe vender
rebajándose en 20%. ¿A cómo se venderá esa
casa?.
05.Un vendedor gana el 32% sus ventas. Si
vende una refrigeradora por S/. 2455.
¿Cuánto le corresponde por esa venta?.
06.Por la compra al contado hacen un descuento
del 15%. Si se ha comprado por un importe
de S/. 2340. ¿Cuánto se rebajará?.
07.De los 840 pollos que ha habido en la granja
se ha vendido el 75%. ¿Cuántos pollos no se
vendieron?.
08.Después de cancelar todas las letras de un TV
pagué S/. 1200. Sólo se que me cobraron el
20% más de intereses. ¿Cuál era el precio al
contado del TV?
TAREA DOMICILIARIA
01.Al sueldo de Juan le aumentaron el 15% .Si
Juan gana S/. 2400. ¿Cuál será su nuevo
sueldo?.
02.Por la compra de un celular te descuentan el
10%. Hoy compré un celular y sólo pague S/.
84. ¿Cuál era el precio real del celular?.
PROBLEMAS DIVERSOS SOBRE TANTO
POR CIENTO
1.1 Resolver diversos problemas aplicados a la
vida diaria donde intervenga el término tanto
por ciento.
II) PROCEDIMIENTOS:
A) MOTIVACION:
Ahora trate de resolver el siguiente problema:
“A la librería por la compra de cuaderno Loro
le hacen una rebaja del 25%. Si le han
descontado 50 soles. ¿A cuánto ascendía la
compra?.
Coloque su respuesta: ..............................
B) CONTENIDO TEORICO: Analice y complete
la resolución de los siguientes problemas:
01.En la granja de Juanito, han vendido 12 patos
que representan el 24% de los patos de la
granja. ¿Cuántos patos había en la granja?.
Resolución:
a) Por cada 100 patos que había en la granja se
venden ..........................................
Por “x” patos que había en la granja se
vendieron ................................................
24
)12()100(
x = = 50
Respuesta: ............................................
a) El 100% de los patos es “x” patos
El 24% de los patos es ............................
==
)(
)(%)100(
x
Respuesta: ............................................
02.Después de gastar el 16% del jornal de un
obrero le sobran 378 soles. ¿Cuánto era el
jornal del obrero?.
Resolución:

Secundaria
a)
b)
03.En el aula están matriculados 50 alumnos y
han asistido 45 alumnos. ¿Qué tanto por
ciento de los alumnos han asistido?.
Resolución:
Todos los alumnos matriculados es el 100%.
............ alumnos es el ..........
45 alumnos es el x
)(
)()(
x = =
Respuesta: ...........................................
04.Por un pantalón piden 120 soles , pero lo
pueden dejar en 111 soles. ¿Qué tanto por
ciento hacen de rebaja?.
Resolución:
Respuesta: ...........................................
PRACTICA DE CLASE
01.A la tienda por la comprar de chupetines le
hacen un descuento de 25%. Si le han
descontado 50 soles. ¿Cuánto era el importe
de su compra?.
02.En una granja han vendido 12 patos que
representa el 4% de los patos de la granja.
¿Cuántos patos quedan en la granja?.
03.Después de gastar el 16% del jornal de un
obrero, le sobran 378 soles. ¿Cuánto gastó el
obrero?.
04.En el aula están matriculados 50 alumnos y
han asistido 45 alumnos. ¿Qué porcentaje de
alumnos no han asistido?.
05.Por un saco piden 120 soles, pero le pueden
dejar en 111 soles. Qué tanto por ciento le
cobraron?.
06.Al vender un cerdo en S/. 990 se ha ganado
S/. 240. ¿Qué tanto por ciento se ha ganado?.
07.Qué porcentaje se ha perdido sobre el costo al
vender un reloj en S/. 17,10 si había costado
18,00?.
08.Al vender el 36% de las gallinas de la granja
han quedado 160 gallinas. ¿Cuántas gallinas
había en la granja?.
TAREA DOMICILIARIA
01.El 30% menos del dinero que tengo equivale
a S/. 140. ¿Cuánto tengo?.
02.Vendo un TV ganando el 20%, me pagan
S/.480, ¿Cuánto gané?.
03.Compre 100 kg. de arroz por S/. 240,
sabiendo que me rebajaron el 20%. ¿A cómo
querían venderme el kg.?.
04.Sabiendo que el 25% más de la edad que
tengo, hace que me registren de 15 años.
¿Cuál es mi edad realmente?.
PROBLEMAS ABSTRACTOS SOBRE TANTO
POR CIENTO
1.1 Desarrollar problemas diversos sobre
porcentajes.
II) DESARROLLO:
A) MOTIVACION: Muchas veces nos
encontramos con problemas abstractos, que
casi no los podemos relacionar con la vida
diaria y es por ello que se nos complica su
resolución, pero después de trabajar
conscientemente las sesiones anteriores para
nosotros no será ya una dificultad
desarrollarlos.
Por ejemplo que nos soliciten desarrollar el
siguiente problema: “ De qué número es 8 el
25%”
Dé Usted su respuesta: ..............................
B) DESARROLLO: Analice la resolución de las
siguientes situaciones y si le solicita
completar hágalo.
01.De qué número es 75 el 20%?.
Resolución:
75 es el 20% de ese número
El número es el 100%
Planteo:
75 es el 20%
x es el 100%
x = = ...............
Respuesta: ...............................................
¿Qué le pareció?. Fácil o difícil?.
02.Cuál es el 2 3/5 % de 240?.
Resolución:
El 100% es 240
El 2 3/5% es x
==
)(
)(%)5/13(
x
Respuesta: ...........................................
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar :
a) El 20% de 450
b) El 12,5% de 2000.
c) El 15% de 2400.
d) El 75% de 800.
e) El 24% de 7000.
02.El 10% de que número es 32?.
05.De qué número es 48 el 3 1/5%?.
06.De qué número es 82 el 5 1/8%?.
07.Qué porcentaje de 600 es 6?
08.Qué porcentaje de 95 es 30,4?
01.Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la
nueva cantidad se le disminuye también su
20%. Se puede afirmar con respecto a la
cantidad inicial que:
a) aumenta 10% b) disminuye 10 %
c) disminuye 4% d) no varía
e) disminuye 8 %
02.Si el 120% de A s igual al 80% de B; y el
25% menos de B es igual al 60% más que C.
¿Qué porcentaje de A es el 64% de C?
a) 45% b) 60% c) 20%
d) 40% e) 50%
03.Una máquina industrial que costó $ 75 000 se
desprecia cada años el 10%, pero el
mantenimiento que se le da le revalua
anualmente 20%. Al cabo de un año la
máquina costará:
a) $ 81 000 b) $ 86 000 c) $ 82 640
d) $ 84 650 e) N.a.

Secundaria
04.Si en una reunión social el 75% de los
hombres es igual, al 45% de las mujeres.
¿Qué porcentaje del total de personas son
mujeres?
a) 37,5 % b) 62,5% c) 56,5%
d) 43,5% e) 36%
05.En un corral el 40% son patos, el 35%
conejos y el resto pavos. Si el número de
patos se triplica y se duplican la de las otras
especies. ¿Qué porcentajes del nuevo total
son pavos?
a) 20,83% b) 40,6% c) 29,16%
d) 50% e) N.a.
06.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?
a) 2 % b) 4 % c) 6 %
d) 8 % e) 10 %
07.Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%.
¿En qué porcentaje aumenta su área?
a) 20% b) 30% c) 36%
d) 44% e) 48%
08.Si la base de un triángulo se triplica y su
altura se duplica. ¿En qué porcentaje aumenta
su área?
a) 200% b) 300% c) 400%
d) 500% e) 600%
09.Si el largo y el ancho de un rectángulo
aumenta en 20% y 25% respectivamente. Su
área aumenta en 2400 m2
. Hallar el área
inicial del rectángulo.
a) 3600 m2
b) 4800 m2
c) 3200 m2
d) 4500 m2
e) 7200 m2
10.Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por
45 de 1500.
a) 90 b) 60 c) 80
d) 120 e) 150
11.Al sueldo de un empleado se le hace un
aumento del 20% al comenzar el año, y en el
mes de Julio un aumento del 10% sobre el
total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año
anterior recibirá en Agosto?
a) 128% b) 130% c) 103%
d) 125% e) 132%
12.Dos aumentos sucesivos del 20% y 20%
respectivamente, equivale a uno solo de:
a) 40% b) 20% c) 44%
d) 38% e) N.a.
13.Si gastara el 30% del dinero que tengo y
ganara el 28% de lo que me quedaría perdería
S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?
a) 3500 b) 2000 c) 1500
d) 1560 e) 1800
14.Se estima que una mezcladora de concreto
sufre una deprecación de 10% por cada año
de uso, respecto al precio que tuvo al
comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su
precio es de S/. 131 220, entonces el costo
original de la mezcladora fue de:
a) S/. 200 000 b) S/. 150 000
c) S/. 250 000 d) S/. 300 000
e) S/. 170 000
15.En una industria se han fabricado 1000
productos; el 60% de ellos han sido
fabricados por la máquina A y el resto por la
máquina B. Si se sabe que el 5% de lo
fabricado por A y el 4% de B son
defectuosos. ¿Cuántos defectuosos hay en los
1000 productos?
a) 50 b) 90 c) 45
d) 46 e) 40
16.Hallar el 30% del 80% del 160% de 1500.
a) 548 b) 676 c) 576
d) 476 e) 690
17.La base de un triángulo aumenta en 30% y la
altura relativa a dicha base disminuye en
30%, entonces el área varía en 72 cm2
. Hallar
el área original.
a) 800 cm2
b) 600 cm2
d) 720 cm2
d) 640 cm2
e) N.a.
18.Si el 40% de A, l 50% de B y el 50% de C
son proporcionales a 6, 4 y 5. ¿Qué
porcentaje de (A + C) es B?
a) 64% b) 60 % c) 32%
d) 80% e) 48%
19.Un artículo se vende perdiendo el 24% de su
costo; si el precio de venta fue de S/. 744.
Hallar su costo.
a) 560 b) 580 c) 600
d) 620 e) 610
20.Un artículo se vende perdiendo el 8% de su
costo, si el precio de venta fue S/. 575. Hallar
su costo.
a) 625 b) 630 c) 644
d) 640 e) 620
TAREA DOMICILIARIA
01.Qué porcentaje de 1320 es 3.3?
02.Qué porcentaje de 1950 es 156?
03.La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje
es de los ¾ de 3600?
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04 05
01. C A D A C
02. B E B C A
03. A A A B A
04. D A B C B
05. C D C B A
06. A E C E A
07. B C E D D
08. B B B B D
09. A E C B B
10. E B A C A
11. D E D E
12. E A C C
13. C D E C
14. C A C A

Secundaria
15. B E E D
16. A A B C
17. E B A A
18. D E E C
19. E A B C
20. C B B A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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