Objetivo 6-2.ppt

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología de Cumaná
Cumaná – Estado Sucre
Objetivo 6
Árboles
Prof: Leonardo J. Malavé Q.
Sección: 01
Programación Estructurada II
Período Académico: II-2004

Tabla de Contenidos
Objetivo 6.- Árboles I Parte
Objetivo 6.- Árboles Binarios de Búsqueda (ABB) II Parte

Objetivo 6.- Árboles Binarios de Búsqueda (ABB)
Introducción:
Se trata de árboles de orden 2 en los que se cumple que para cada
nodo, el valor de la clave de la raíz del subárbol izquierdo es menor que el
valor de la clave del nodo y que el valor de la clave raíz del subárbol derecho
es mayor que el valor de la clave del nodo.

• Operaciones
1. Declaración
2. Búsqueda
3. Inserción
4. Eliminación
5. Movimientos:
• Izquierda
• Derecha
• Raíz
6. Información:
• Comprobar si el árbol esta vacío
• Calcular el número de nodos
• Comprobación si un nodo es hoja
• Cálculo de la altura de un nodo y de un árbol

1. Declaración
typedef struct _nodo
{
int dato;
struct _nodo *rama[ORDEN];
} tipoNodo;
typedef tipoNodo *pNodo;
typedef tipoNodo *Arbol;

2. Búsqueda
Partiendo siempre del nodo raíz, el modo de buscar un elemento se define
de forma recursiva.
Si el árbol está vacío, terminamos la búsqueda: el elemento no está en el
árbol.
Si el valor del nodo raíz es igual que el del elemento que buscamos,
terminamos la búsqueda con éxito.
Si el valor del nodo raíz es mayor que el elemento que buscamos,
continuaremos la búsqueda en el árbol izquierdo.
Si el valor del nodo raíz es menor que el elemento que buscamos,
continuaremos la búsqueda en el árbol derecho.
El valor de retorno de una función de búsqueda en un ABB puede ser un
puntero al nodo encontrado, o NULL, si no se ha encontrado.

3. Inserción de un Elemento:
Para insertar un elemento nos basamos en el algoritmo de búsqueda. Si el
elemento está en el árbol no lo insertaremos. Si no lo está, lo insertaremos
a continuación del último nodo visitado.
Necesitamos un puntero auxiliar para conservar una referencia al padre del
nodo raíz actual. El valor inicial para ese puntero es NULL.
Padre = NULL
nodo = Raiz
Bucle: mientras actual no sea un árbol vacío o hasta que se encuentre el
elemento.
continuaremos la búsqueda en el árbol izquierdo: Padre=nodo,
nodo=nodo->izquierdo.
continuaremos la búsqueda en el árbol derecho: Padre=nodo,
nodo=nodo->derecho.

Si Padre es NULL, el árbol estaba vacío, por lo tanto, el nuevo árbol
sólo contendrá el nuevo elemento, que será la raíz del árbol.
Si el elemento es menor que el Padre, entonces insertamos el nuevo
elemento como un nuevo árbol izquierdo de Padre.
Si el elemento es mayor que el Padre, entonces insertamos el nuevo
elemento como un nuevo árbol derecho de Padre.
Este modo de actuar asegura que el árbol sigue siendo ABB.

4. Eliminación de un Elemento:
Para borrar un elemento también nos basamos en el algoritmo de
búsqueda. Si el elemento no está en el árbol no lo podremos borrar. Si
está, hay dos casos posibles:
a.- Se trata de un nodo hoja: en ese caso lo borraremos directamente.
b.- Se trata de un nodo rama: en ese caso no podemos eliminarlo, puesto
que perderíamos todos los elementos del árbol de que el nodo actual es
padre. En su lugar buscamos el nodo más a la izquierda del subárbol
derecho, o el más a la derecha del subárbol izquierdo e intercambiamos
sus valores. A continuación eliminamos el nodo hoja.

Necesitamos un puntero auxiliar para conservar una referencia al padre del
nodo raíz actual. El valor inicial para ese puntero es NULL.
Padre = NULL
Si el árbol está vacío: el elemento no está en el árbol, por lo tanto salimos
sin eliminar ningún elemento.
(1) Si el valor del nodo raíz es igual que el del elemento que buscamos,
estamos ante uno de los siguientes casos:
El nodo raíz es un nodo hoja:
Si 'Padre' es NULL, el nodo raíz es el único del árbol, por lo tanto
el puntero al árbol debe ser NULL.
Si raíz es la rama derecha de 'Padre', hacemos que esa rama
apunte a NULL.
Si raíz es la rama izquierda de 'Padre', hacemos que esa rama
apunte a NULL.
Eliminamos el nodo, y salimos.

El nodo no es un nodo hoja:
Buscamos el 'nodo' más a la izquierda del árbol derecho de raíz o
el más a la derecha del árbol izquierdo. Hay que tener en cuenta
que puede que sólo exista uno de esos árboles. Al mismo tiempo,
actualizamos 'Padre' para que apunte al padre de 'nodo'.
Intercambiamos los elementos de los nodos raíz y 'nodo'.
Borramos el nodo 'nodo'. Esto significa volver a (1), ya que puede
suceder que 'nodo' no sea un nodo hoja. (Ver ejemplo 3)

4. Eliminación de un Nodo Hoja:
En el árbol de ejemplo, borrar el nodo 3.
a.- Localizamos el nodo a borrar, al tiempo que mantenemos un puntero a
'Padre'.
b.- Hacemos que el puntero de 'Padre' que apuntaba a 'nodo', ahora apunte a
NULL.
c.- Borramos el 'nodo'.

4. Eliminación de un Nodo Rama con un Intercambio de un Nodo Hoja:
En el árbol de ejemplo, borrar el nodo 4.
a.- Localizamos el nodo a borrar ('raíz').
b.- Buscamos el nodo más a la derecha del árbol izquierdo de 'raíz', en
este caso el 3, al tiempo que mantenemos un puntero a 'Padre' a
'nodo'.
c.- Intercambiamos los elementos 3 y 4.
d.- Hacemos que el puntero de 'Padre' que apuntaba a 'nodo', ahora
apunte a NULL.
e.- Borramos el 'nodo'.

Para este ejemplo usaremos otro árbol. En éste borraremos el elemento 6.
a.- Localizamos el nodo a borrar ('raíz').
b.- Buscamos el nodo más a la izquierda del árbol derecho de 'raíz', en este
caso el 12, ya que el árbol derecho no tiene nodos a su izquierda, si
optamos por la rama izquierda, estaremos en un caso análogo. Al mismo
tiempo que mantenemos un puntero a 'Padre' a 'nodo'.
c.- Intercambiamos los elementos 6 y 12.
d.- Ahora tenemos que repetir el bucle para el nodo 6 de nuevo, ya que no
podemos eliminarlo
e.- Localizamos de nuevo el nodo a borrar ('raíz').
f.- Buscamos el nodo más a la izquierda del árbol derecho de 'raíz', en este
caso el 16, al mismo tiempo que mantenemos un puntero a 'Padre' a 'nodo'.

g.- Intercambiamos los elementos 6 y 16.
h.- Hacemos que el puntero de 'Padre' que apuntaba a 'nodo', ahora apunte a
NULL.
i.- Borramos el 'nodo'.

5. Movimiento a través del árbol:
No hay mucho que contar. Nuestra estructura se referenciará siempre
mediante un puntero al nodo Raiz, este puntero no debe perderse nunca.
Para movernos a través del árbol usaremos punteros auxiliares, de modo
que desde cualquier puntero los movimientos posibles serán: moverse al
nodo raíz de la rama izquierda, moverse al nodo raíz de la rama derecha o
moverse al nodo Raiz del árbol.
6. Información:
Hay varios parámetros que podemos calcular o medir dentro de un árbol.
Algunos de ellos nos darán idea de lo eficientemente que está organizado
o el modo en que funciona.
Comprobar si un árbol está vacío.
Un árbol está vacío si su raíz es NULL.

6. Información:
Calcular el número de nodos.
Tenemos dos opciones para hacer esto, una es llevar siempre la cuenta de
nodos en el árbol al mismo tiempo que se añaden o eliminan elementos. La
otra es, sencillamente, contarlos.
Para contar los nodos podemos recurrir a cualquiera de los tres modos de
recorrer el árbol: inorden, preorden o postorden, como acción
sencillamente incrementamos el contador.
Comprobar si el nodo es hoja.
Esto es muy sencillo, basta con comprobar si tanto el árbol izquierdo como
el derecho están vacíos. Si ambos lo están, se trata de un nodo hoja.
Calcular la altura de un nodo.
No hay un modo directo de hacer esto, ya que no nos es posible recorrer el
árbol en la dirección de la raíz. De modo que tendremos que recurrir a otra
técnica para calcular la altura.
Lo que haremos es buscar el elemento del nodo de que queremos averiguar la
altura. Cada vez que avancemos un nodo incrementamos la variable que
contendrá la altura del nodo.
Empezamos con el nodo raíz apuntando a Raiz, y la 'Altura' igual a cero.

6. Información:
Lo que haremos es buscar el elemento del nodo de que queremos
averiguar la altura. Cada vez que avancemos un nodo incrementamos la
variable que contendrá la altura del nodo.
Empezamos con el nodo raíz apuntando a Raiz, y la 'Altura' igual a cero. Si
el valor del nodo raíz es igual que el del elemento que buscamos,
terminamos la búsqueda y el valor de la altura es 'Altura'. Incrementamos
'Altura'.
Calcular la altura de un árbol.
La altura del árbol es la altura del nodo de mayor altura. Para buscar este valor
tendremos que recorrer todo el árbol, de nuevo es indiferente el tipo de
recorrido que hagamos, cada vez que cambiemos de nivel incrementamos
la variable que contiene la altura del nodo actual, cuando lleguemos a un
nodo hoja compararemos su altura con la variable que contiene la altura
del árbol si es mayor, actualizamos la altura del árbol.

6. Información:
Iniciamos un recorrido del árbol en postorden, con la variable de altura
igual a cero.
Cada vez que empecemos a recorrer una nueva rama, incrementamos la
altura para ese nodo.
Después de procesar las dos ramas, verificamos si la altura del nodo es
mayor que la variable que almacena la altura actual del árbol, si es así,
actualizamos esa variable.

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