Ondas 2017

Ondas-2017
Oscilaciones
Ondas
Óptica
Miguel Bustamante S.
Miguel Bustamante Página 1

Ondas-2017
Indice
Movimientos periódicos, y fenómenos periódicos......................................................................3
Movimientos periódicos..........................................................................................................3
Periodo Espacial.....................................................................................................................6
Onda Plana...........................................................................................................................12
Ondas Esféricas....................................................................................................................12
Ondas Cilíndricas..................................................................................................................14
Ondas vectoriales y escalares..............................................................................................14
Interludio matemático:................................................................................14
Oscilador armónico Simple: Resorte...................................................................................16
Péndulo simple o péndulo matemático.................................................................................18
Una masa y dos resortes......................................................................................................21
Analicemos el movimiento horizontal:.................................................................21
Sistemas de dos masas y tres resorte: Oscilaciones longitudinales.................26
Sistemas de N masas y N+1 Resortes...............................................................27
La cuerda..........................................................................................................................30
Membrana rectangular.....................................................................................................36
Oscilaciones no Armónica.........................................................................................................40
Oscilaciones, no armónicas..................................................................................................40
Péndulo simple (matemático)...........................................................................................40
Puntos de estabilidad.......................................................................................................41
Un resorte mas real..........................................................................................................45
Interferencia..............................................................................................................................47
Aplicación de interferencia: Interferometría.....................................................................51
Interferencia de mas fuentes...........................................................................................52
Difracción..........................................................................................................................56
Difracción por rendija múltiples........................................................................................59
Difracción por una abertura rectangular..........................................................................61
Difracción por una abertura circular.................................................................................64
La luz........................................................................................................................................70
Leyes de óptica.....................................................................................................................72
Principio de Fermat..............................................................................................................73
Reflexión y Refracción: Aplicaciones........................................................................................77
Superficies reflectoras: Espejos..........................................................................................77
Espejos.................................................................................................................................79
Espejos esféricos.............................................................................................................80
Convención de los signos:.......................................................................................83
Refracción: Medios ópticos...................................................................................................84
Lentes........................................................................................................................................87
Composición de Lentes.............................................................................................................90

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Movimientos periódicos, y fenómenos periódicos
En este capítulo, va,os a entran al mundo de los fenómenos con periodicidad tanto espacial
como temporal. Vamos a definir nuevos términos para entender el mundo de las “ondas”.
Movimientos periódicos.
En las antiguas civilizaciones (Egipcia, Zaumeria, Griega), la Astronomía fue unos de los
desarrollos importantes. Tanto así, que la confección de los calendario [1] fue debido a la
observación de los astros y los eventos repetitivos de los fenómenos en el firmamento: El Sol
sale cada “24 horas”, la órbita de la luna es de “28 días”, el movimiento de la Tierra en torno
al Sol es de “365 días”. Todos estos fenómenos tiene en común que repiten cada cierto
tiempo. Vamos a definir el primero concepto: Periodo.

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Según los anterior, el periodo de la rotación de la tierra es de “24 horas”, el periodo de
traslación de la Tierra en torno al sol es de “365 días”. En una representación gráfica, la
función f(t) puede ser discreta y periódica (figura 1 ).
La función en este ejemplo .es f (t)=Ceil(10sin (2t )) , donde la función ceil(t)
toma la parte entera del número. El periodo de esta función es T=π s. Como podemos
ver, el periodo es una variable temporal, por tanto se mide en unidades de tiempo, como el
segundo en el sistema internacional.
Definamos un nuevo concepto: frecuencia.
Periodo: Es el tiempo mínimo que tiene un proceso repetitivo en llegar al mismo
estado inicial, completar un ciclo. Es decir, si un fenómeno esta descrito por la función
f(t) aun tiempo t, en un tiempo T (periodo) va estar en el mismo estado que f(t), es
decir f(t+T)=f(t); pero en un tiempo nT, también va estar en el mismo estador, es decir
f(t)=f(t+nT)
con n entero ( n∈ℤ ).
Figura 1: Función periódica, con periodo

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La frecuencia, tiene como unidad el [1/s] que es conocido por “hertz” (1 hertz=1/s).
Pero también se habla de [rpm] (revoluciones por minuto). En un auto, el “tacómetro” mide la
revoluciones del motor, que es un de 3000 a 4000 [rpm]; otro ejemplo son los latinos del
corazón que es reposo puede ir de 70 a 80 latidos por minuto.
Existe otro término, con el que se confunde pero que están relacionado: frecuencia angular
w. La frecuencia angular se define como w=2πf y las unidades son [rad/s]. Este valor se
relaciona cuantos ciclos da en una unidad de tiempo.
Sin embargo, existe otro tipo de periodicidad: la espacial.
Periodo Espacial
El dominio ahora no es el tiempo, sin el espacio. El periodo espacial es la mínima distancia
de una función G(x) que está en el mismo estado de G(x), es decir G(x)=G(x+λ) , donde
 es el periodo espacial conocido como “longitud de onda”. La unidad de este parámetro es el m, cm,
mm, etc
Veamos un ejemplo de periodo espacial: Supongamos la función f (x)=e
−cos(3 x)
(figura 2).
En este caso, el periodo corresponde a =2/3.
Figura 2: Función periódica en el espacio
Frecuencia: Se define como el inverso del periodo T 1/T . La frecuencia corresponde al
número de ciclos (eventos) que ocurren en una unidad de tiempo.

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Mas ejemplo de esto, podemos encontrarlo en las calles, como los pasos de cebra (figura 3)
Ahora, vamos a definir un nuevo termino: Amplitud
En una representación, vemos que la amplitud es la magnitud desde el punto de
equilibrio a la cima (figura 4) y otro conepto de amplitud que se habla es la magnitud cima a
sima (peak to peak).
Figura 3: Paso de Cebra
Amplitud: En física la amplitud (del latín amplitūdō) de un movimiento oscilatorio,
ondulatorio o señal electromagnética es una medida de la variación máxima del
desplazamiento u otra magnitud física que varía periódica o cuasiperiódicamente en
el tiempo. Es la distancia entre el punto más alejado de una onda y el punto de
equilibrio o medio.[3]

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La unidades de la amplitud va a depender del fenómeno. Puede ser como longitud de voltaje
(volt), corriente (A), como dimensiones espaciales (m, cm. km), como la altura de un ola.
Comentarios finales
En la naturaleza existen varios fenómenos que se repiten en un
periodo T. Estos fenómenos se pueden describir con matemáticas
adecuada. Sin embargo, estas magnitudes son abstracciones de un
evento que vemos que se repite, pero que no es exactamente
periódico. Veamos el caso de un péndulo matemático. El periodo de
un péndulo matemático es T=2π
√L
g
, donde L es el largo del
péndulo, g la aceleración de gravedad (g=9.8 m/s2
). Según esta expresión de Perido T es
independiente del angulo de desviación inicial. Sin embargo, para ángulo mayores que 30°
comienza a haber una diferencia con la expresión del periodo. De hecho, se puede calcular
que el periodo para ángulos superiores depende del ángulo inicial. Por tanto, la expresión
que dimos como periodo es una aproximación válido para ángulo de desplazamiento inicial
menores a 30°[2].
Figura 4: Ondas, con amplitud y amplitud peak to peak
Figura 5:
Péndulo simple

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En la gráfica 6 se puede apreciar la diferencia
Figura 6: Periodo del pendulo simple, considerando el ángulo inicial

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[1] “Descubren en Escocia el calendario más antiguo del mundo.” Prensa Latina, 2013.
[2] J. B. Marion and J. B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed.
Reverté, 1996.
[3] “Amplitud (física) - Wikipedia, la enciclopedia libre.” [Online]. Available:
https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(física). [Accessed: 03-Jan-2017].

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Fundamentos matemáticos de las Ondas
En los capítulos previos se ha estudiado un campo en que la geometría euclidiana ha
dado una buena descripción junto con la hipótesis de Fermat. Sin embargo, la luz es una
onda y necesita de otras matemáticos para poder tener un mejor entendimiento de este y de
otros fenómenos.
Para comenzar debemos definir que es una onda.
La onda es una función matemática (r,t) que debe satisfacer la siguiente ecuación
diferencial:
∇
2
 −
1
v
2
∂
2

∂
2
t
=0
La Ecuación FM.1 es conocida como la ecuación de onda y (r,t) representa la
función solución de esta ecuación. La función (r,t) puede ser incluso una función vectorial,
no solo escalar.
Supongamos que tenemos una función f(r), con segunda derivada existente.
Definamos (r,t)=f(r-vt). Si aplicamos el laplaciano a f(r-vt), se obtiene
∇2
f r−v t=f r−v t ; si derivamos f(r-vt) dos veces con respecto al tiempo se obtiene
que
∂
2
f
∂
2
t
=v2
f r−v t Al remplazar en FM.1, se obtiene que es igual a cero. Por tanto una
función f(r), con segunda derivada existente cumple con la ecuación de onda y podemos
llamarla “onda”.
Supongamos que tenemos una función del tipo f(x-vt)= e
x−vt
2
2 En t=0, está centrado
en el origen. En t=1, se ha desplazado; t=4 ha avanzado más.
FM.1

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supongamos esta vez, que f(x-vt) es una función sinosoidal, del tipo
f(x-vt)=Asin(k(x-vt)). La función Sin(x) es periódica; la función f(x,t) es periódica en el espacio
y en el tiempo.
Periódica en el espacio es f(x+λ-vt)=f(x-vt). Esto implica que el armuento de la función
sin(k(x+λ-vt)=sin(k(x-vt)). La conclusión es que |kλ=2πLa magnitud λ se denomina
longitud de onda y k es el número de onda.
Supongamos que es periódica en el tiempo, es decir f(x-v(t+T))=f(x-vt). Esto implica
que |kvT|=2πdefinimos w=kv, y llamamos a T el periodo temporal y w es la frecuencia
angular. La frecuencia asociada a una onda es el inverso del periodo, es decir =1/T.
La unidad de T es el segundo o cualquier unidad de tiempo, la unidad de la frecuencia
es 1/seg, y se denomina Hertz; corresponde a los batidos por segundo de un evento
repetitivo.
Supongamos ahora que tenemos dos ondas que se mueven en direcciones opuestas,
f(x-vt) y g(x+vt). La función f(x)=exp(-x2
/2) y g(x)=x*exp(-x2
)

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La función que se ha graficado es h(x,t)=f(x-t)+g(x+t); con velocidad v=1. Como
vemos ha medida que las perturbaciones se acercan la función resultante es la suma de las
dos ondas. Sin embargo, pasado un lapso de tiempo las ondas permanecen de igual forma
una vez que se cruzaron. Estas es una de las características de las ondas. La información
no cambia al interactuar con otra perturbación, permanece inalterable.
En general, la función de onda con que vanos a trabajar tiene la forma analítica
f(x-vt)=Asin(k(x-vt));una función que va prestar muchos servicios en el entendimiento de las
ondas. Sobre la base de lo anterior, la función f(x) tiene una representación compleja que
tiene como mérito el usar las propiedades de los complejos en el desarrollo matemático del
problema; f(x-vt) se puede escribir como: f(x-vt)=Aeik(x-vt+)
.
Definamos (x,t)=k(x-vt). De la ecuación anterior se desprende ∣
∂
∂t x
∣=w , que es el
cambio de fase en el tiempo; ∣
∂
∂x t
∣=k . De las
expresiones anteriores, podemos obtener que
∂x
∂t 
=
−∂
∂tx
∂
∂x
Onda Plana.
Vamos a estudiar los tipos de ondas.
Supongamos que tenemos un vector r, y un
vector r0.
Una onda plana se caracteriza por que l producto interno de (r-r0)*k=0, o una expresión
equivalente r*k=a, donde a es una constante. La ecuación r*k=a, describe la ecuación de un
plano. Esto s denomina una onda plana. El avance del “plano” está en la dirección del vector
k .
Ondas Esféricas
Supongamos que tenemos una fuente puntual de onda. La propagación se realiza en
todas direcciones, como una esfera que aumenta de radio. Como existe una gran simetría
r-r0
.
r0
r
X
Y
Z
k

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en la propagación (se asume un medio isotrópico), la función de onda debe ser
independiente de la distribución angular. La expresión del laplaciano (ver tablas matemáticas)
se reduce a :
∇2
 =
1
r
2
∂
∂r
r2 ∂
∂r

Si aplicamos la ecuación de onda, desarrollando e igualamos a la ecuación FM.2 se obtiene
que :
1
r

∂
2
r
∂
2
r
=
1
v
2
∂
2

∂t
2
La ecuación FM.3 se puede rescribir como:
∂
2
r
∂r
2
=
1
v
2
∂
2
r
∂t
2
Pero, sabemos que la funciones que satisfacen la ecuación de onda son del tipo f(r-vt) ó
g(r+vt) ; por tanto r(r,t)=f(r-vt) ó r(r,t)=g(r+vt). Así, la inda esférica tiene una estructura del
tipo
 r , t=c1
f r−v t
r
c2
grv t
r
En una dimensión, vamos a suponer que f(x-vt)=sin(x-vt). Por tanto la onda
(x,y)=sin(x-vt)/x. En un gráfico de posición, para distintos tiempo se vería.
La función de onda disminuye su amplitud a medida que avanza, a la razón de 1/x.
En visión de una onda de agua en un estanque;
FM.2
Curva
1/x
Función f(x-vt)/x
FM.3

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La amplitud de la onda que se propaga en el estanque va disminuyendo, como
aumenta el radio de la onda.
Ondas Cilíndricas
En este caso el laplaciano se puede escribir, independiente del ángulo de z.
∇
2
 =
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r

Aplicando las matemáticas previas se obtiene que la función de onda es del tipo:
 r−v t≈
A
 r
e
k r−vt
Recordemos que eia
=cos(a)+isin(a). La representación compleja tiene la ventaja de una mejor
manipulación matemática. A es la amplitud inicial de la onda.
Una visión de una onda cilíndrica será:
Ondas vectoriales y escalares
Hasta el momento, hemos hablado de ondas escalares, pero si la amplitud A fuese un
vector, la función sería una función vectorial y también cumple con la condición de la
ecuación de onda.

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Interludio matemático:
Cuando escribimos una onda de la forma f(x,t)=sin(k(x-vt)) o f(x,-vt)=cos(k(x-vt)),
también podemos escribrila de de la forma f(x-vt)=ei(k(x-vt))
, ya que la parte real o imaginaria de
la solución compleja, son soluciones de la ecuación de onda.

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Equivalencias Matemáticas.
.
Coordenad
as
Cartesianas
(Referencia)
Cilíndricas Esféricas
x,y,z x=rcos(),
y=rsin(),z=z
x=rcos()sin(),y=rsin()sin(),z=rcos()
Elemento
de camino
dr
dxi+dyj+dzk kdzrdrdr ˆˆˆ    ˆ)(ˆˆ drsinrdrdr 
Elemento
de área
dxdy, dydz,
dzdx
rdrd,drdz,rddz rdrd,rdrsin()d,dr rsin()d
Elemento
de
Volumen
dxdydz rdrddz r2
drdsin()d
Gradiente
A
 k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ








zA
z
A
r
rA
r
ˆˆ1
ˆ)(














ˆ
)(
1ˆ)(
1
ˆ)( A
rsin
A
r
rA
r 







Laplaciano
A2
 2
2
2
2
2
2
z
A
y
A
x
A




























z
A
zr
A
rr
A
r
rr 
11











































A
sin
A
sinA
r
sinr
rsinr )(
1
)()(
)/
1 2
2
Rotor xA

zyx AAA
zyx
kji






ˆˆˆ



ArAA
zr
r
z
r
r
r






ˆˆˆ
 





ArsinrAA
r
rrsinsinr
r
r )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
2






x
Y
Z
x
Y
Z
P
P
(
(
(
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas

Ondas-2017
Oscilador y osciladores armónicos
En este nuevo capítulo, vamos a estudiar los movimientos ondulatorios. Queremos
que, a partir de las ecuaciones de la dinámica de Newton deducir las funciones que
describen la cinemática.
Oscilador armónico Simple: Resorte.
Vamos a estudiar un tipo de movimiento, que es la base de las posteriores análisis de
otros sistemas dinámicos. Este movimiento es el que describe una masa conectado a un
resorte horizontal, con una elongación inicial y/o velocidad inicial.
Al desplazar una distancia x hacia la derecha la masa M, el resorte ejerce una fuerza
de tipo -kx, en el sentido izquierdo. Al soltar la masa, la fuerza que actúa sobre el resorte es
MasaM.
Resorte de
constante K
Direcciòn d la fuerza del
resorte al estirarse una
distancia x

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del tipo -kx. Utilizando la segunda ley de Newton, podemos igualar esta fuerza a la masa M
por la aceleración, que es la segunda derivada de la posición inicial. Estya igualdad se puede
escribir de la forma:
m
d
2
x
dt
2
=−kx⇔m
d
2
x
dt
2
kx=0
Suponiendo soluciones del x(t)=X0eiwt
, se obtiene que w=(k/m)0.5
y se conoce w como
la velocidad angular. El periodo del movimiento es T=2π/w. La solución completa es
x(t)=Asin(wt)+Bcos(wt). Dependiendo de las condiciones iniciales, se imponen los valores
de A y B.
Este tipo de ecuación es conocido como ecuación de armónico simple; las funciones
sin(wt) y cos(wt) son funciones armónicas. La solución que que es desplazada una distancia
X0 del origen y parte del reposo tiene la forma X0cos(wt).
s
En la gráfica se presentan soluciones típicas del armónico simple.
Dejo al lector resolver el problema cuando el resorte está colgando con una masa M,
desplazado de punto natural de equilibrio del resorte.
OS.1

Ondas-2017
Péndulo simple o péndulo matemático.
Supongamos esta vez que tenemos una partícula de masa m, colgando en presencia
de gravedad de un hilo de largo L.
Se sabe que al desplazar o da un impulso, el péndulo oscila. Vamos a dar una
explicación de este fenómeno.
Analicemos las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m cuando se desplaza
un ángulo .
Descomponiendo las fuerzas
actuando sobre la partícula, obtenemos
las siguientes ecuaciones:
T-Mgcos()=0
Mgsin=−M
d
2
x
dt
2
Pero x=l, arco. La ecuación anterior se
puede expresar como:
Mgsin=−M l
d
2

dt
2
La ecuación anterior se puede escribir como: MgsinM l
d
2

dt
2
=0 Esta ecuación se
puede expresar de la forma
d
2

dt
2

g
l
sin=0 La ecuación diferencial OS.2 no tiene
una solución conocida analíticamente. Sin embargo, suponiendo que el ángulo de
desplazamiento es pequeño, podemos aproximar sin(x)x. En ese caso la ecuación OS.2 se
puede escribir como
d
2

dt
2

g
l
=0 que tiene la misma estructura analítica que OS.1
Sabemos que la soluciones son de la forma (t)=Asin(wt)+Bcos(wt), donde w=(g/l)0.5
. En esta
aproximación T=2π(l/g)0.5,
para ángulos pequeños.
Podemos concluir, que un péndulo simple para ángulo pequeños se comporta como
un oscilador armónico simple.
Escribamos, sin la aproximación, la ecuación de la energía. Suponiendo que el cero
de energía potencia está en el punto de donde cuelga el péndulo y no habiendo roce, la
ecuación de la energía queda -mg(l-lcos())+1/2mv2
=-mg((l-lcos()). De la ecuación de la

i
j

T
Mg
OS.2

Ondas-2017
energía se resume a lgcos()+v2
/2=lgcos(0). Pero a su vez, v=dx/dt; y x=l. Despejando la
velocidad en la ecuación de conservación se tiene que: v=2lgcos0−cos
Pero v=ld/dt, y nos queda la igualdad
d 
dt
=
2g
l
cos0 −cos .
El periodo T, es el tiempo que demora en llegar al mimo punto en el espacio. Como existe
simetría en el problema, este tiempo T es el doble que demora en llegar al lado opuesto del
punto inicial. La expresión se debe integrar de 0 hasta -0 y multiplicar por 2 para obtener el
periodo.
T =2
 l
2g
∫
0
−0
d
 cos0 −cos
la expresión OS.4, se puede expandir considerando las siguientes equivalencias
trigonométricas:
1. cos()=1-2sin(/2) y
2. sin(/2)=sin(/2)sin(/2)
La expresión OS.4 se escribe como:
T=2
 l
g
∫
− /2
/2
d
1−sin/22
sin2
En este nueva expresión,  es el ángulo inicial o de desequilibrio. Expandiendo La
expresión del periodo, se obtiene
T =2
 l
g
1
1
4
sin/22

9
64
sin/22
...
El periodo en función del ángulo a un largo fijo.
OS.4
OS.3

Ondas-2017
El gráfico del periodo de un péndulo de largo l en función del ángulo inicial, se observa
que con respecto a la ecuación tradicional del periodo. Recordemos que la solución
encontrada es solo una aproximación de la ecuación original.
El periodo versus el largo para distintos ángulos iniciales.

Ondas-2017
Nótese que la separación comienza para ángulo sobre los 45 grados. A medida que se más
largo el péndulo, mayor diferencia con la ecuación tradicional.
Una masa y dos resortes
Supongamos que tenemos una masa M, conectados a dos resorte de constante k1 y
k2 en ausencia de gravedad.
La masa se puede mover tanto en el eje vertical como horizontal.
Analicemos el movimiento horizontal:
Debemos suponer que la masa se desplaza un distancia x, para el lado derecho.
Las fuerzas actuando sobre la masa M: son La fuerza del resorte K1 y la fuerza del
resorte k2. Esta fuerza es: F=-K2x-K1x, ya que el resorte K2 fue estirado y tiende a volver a
su punto de equilibrio; el resorte K1, fue comprimido y tiende a regresar al punto de equilibrio.
Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos que:
M
d
2
x
dt
2
=−K2K1 x
K2 K1
M
x
K2 K1
M
L

Ondas-2017
La solución de esta ecuación es conocida, y con una frecuencia angular de
w=((K2+K1)/M)0.5
.
Esta ves realizamos un desplazamiento en la dirección vertical. El incremento es de Y
es muy pequeño.
Si el ángulo es pequeño, podemos dibujar las fuerzas actuando sobre la masa M
La fuerza neta es igual F=-(K1+K2)((L2
+y2
)0.5
-L)sin(), Pero sin()=y/(L2
+y2
)0.5
. La
expresión F=-(K1+K2)(y-1) y es igual a:
−K1K2 y−1=M
d
2
y
dt
2
Nuevamente la frecuencia de oscilación vertical, en esta aproximación es w=((K1+K2)/M)0.5
Sin embargo, el movimiento no está contenido en los ejes; es una combinación lineal
de ambos movimiento.
Supongamos que desplazamos una distancia vertical 1, y damos una velocidad
tangencial 1.
K1
x
L
M
K2

Ondas-2017
Analicemos el siguiente siguiente sistema:
El objeto en el interior tiene una masa M. Los resortes verticales son iguales y poseen
una constante elástica igual K', y los horizontales a K.
Según los análisis previos, en el eje horizontal, la frecuencia horizontal de movimiento
viene determinada por la ecuación :
K K
K'
K'

Ondas-2017
¨x
2K
M
x=0
y la frecuencia angular es w=(2K/M)0.5
.
Análogamente, en la dirección vertical la ecuación es: ¨y
2K'
M
y=0 y la frecuencia es
w'=(2K'/M)0.5
.
Supongamos que tenemos las mismas condiciones del caso anterior. La solución, en
la aproximación es X(t)=sin(wt) e Y(t)=-cos(w't).
Para la w'=w, se obtiene la siguiente órbita:
W'=W es una órbita circular.
W'=2W
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Orbitas
X
Y

Ondas-2017
En un cambio de órbita.
W'=4w
Como vemos la relación ente las frecuencias cambia el tiempo de órbita que describe
la masa m. Estas figuras son conocidas por la “figuras de Lisayoux”
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Orbitas
X
Y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Orbitas
X
Y

Ondas-2017
Sistemas de dos masas y tres resorte: Oscilaciones longitudinales.
Estudiemos el siguiente sistema de masas y resortes de igual constante k.
La posición del cuerpo uno está descrito por la variables x1, la del cuerpo 2, por x2 en
torno al punto de equilibrio de cada resorte.
La fuerza sobre el cuerpo 1 es: F1=-kx1-k(x1-x2). El resorte entre las masas, ejerce una
fuerza que depende del movimiento de ambas masas. Si x1 y x2, tienen la misma distancia
de, en la misma dirección, este resorte no ejerce fuerza sobre las masas, sólo los resortes de
los extremos.
La fuerza actuando sobre el cuerpo 2 es F2=-kx2-k(x2-x1). La ecuaciones
diferenciales acopladas son:
m ¨x1kx1kx1−x2=0
m ¨x2kx2kx2−x1=0
Sumando las ecuaciones OS.5a y OS.5b y llamando Y=X1+X2; obtenemos una
ecuación de oscilador armónico simple
¨Y
k
m
Y=0
Esta ecuación tiene como frecuencia angular w=(k/m)0.5
.
Si esta ves, restamos, y llamamos X=X1-X2, se obtiene la siguiente ecuación
¨X 
3k
m
X =0
La frecuencia angular de esta ecuación diferencial es w'=(3k/m)0.5
. Según estos resultados,
la ecuación general de Y(t)=Acos(wt)+Bsin(wt); la ecuación general de X(t)=A'cos(w't)
+B'sin(w't). Recordemos Y(t))=x1(t)+x2(t) y X(t)=x2(t)-x1(t). Sumando Y(t)+X(t) nos da x2(t)=
Acos(wt)+Bsin(wt)+A'cos(w't)+B'sin(w't). En el caso de x1(t)=A'cos(w't)+B'sin(w't)-Acos(wt)-
Bsin(wt).
Supongamos que x1(0)=1 y x2(0)=0, ambos partiendo del reposo. Según estas
soluciones analíticas se tiene que x1(t)=1/2cos(wt)+1/2cos(w't) y x2(t)=1/2cos(wt)-1/2cos(w't).
Si k=m, tenemos w=1 y w'=31/2
. La ecuaciones graficadas en el función de tiempo dan
1
OS.5a
2
OS.5b

Ondas-2017
Nótese que cuando la posición de x1 está en cero, la posición de x2 tiene una máxima
amplitud y así sucesivamente.
Desde el punto de la energía La energía se va traspasando de una masa a otra; la
energía total del sistema se conserva, pero está oscilando de una masa a otra.
Sistemas de N masas y N+1 Resortes.
Supongamos que tenemos N masas de valor m, y resortes de constante k, separados
por una distancia a, todos conectados como se observa en la figura.
Escribamos la ecuación de la masa j. Las fuerzas actuando sobre la masa j son:
F=-k(xj-xj+1)-k(xj-xj-1). En la masa de inicial (j=1) las fuerzas está dada por la expresión F1=-
kx1-k(x2-x1). La ecuación genérica que describe el comportamiento cinético de la partícula j
es:
m
k
j

Ondas-2017
¨xj
k
m
xj−xj−1
k
m
xj−xj1=0
Vamos a suponer que la solución xj(t) tiene la siguiente forma:
xj(t)=X0ei(wt+j)
. Remplazando en la ecuación anterior se obtiene la relación
-w2
eij
+k/m(eij
-eij-1
)+k/m(eij
-eij+1
)=0
dividiendo por eij
podemos obtener la relación -w2
+k/m(2-ei(j-1-ij)
-ei(j+1-j)
)=0
Vamos a suponer que j=j, es decir j veces un valor . Esto nos lleva a que la ecuación
anterior se puede escribir como:
−w
2

k
m
1−e
−i
−e
i
=0
Simplificando, se tiene que w frecuencia angular (w=2πf, f frecuencia) depende de este
factor  de la forma:
w=2
 k
m
∣sin

2
∣
Aún no sabemos que es , pero de la ecuación inicial, sabemos que xj(t)=X0ei(wt+j)
. La
periodicidad de xj(t) es aj=a2π/. Si asumimos una
estructura analítica del tipo wt+Kx, en este caso x=aj
e K=2π/λy =2πa/λ=Ka. Remplazando en la
ecuación OS.6, se tiene que
w=2
 k
m
∣sin
Ka
2
∣
Esta es una relación muy interesante. Nos dice como se relaciona el número de onda
K, con la frecuencia angular. Cuando estábamos estudiando las ondas que se propagan en
un medio, la velocidad de propagación se obtenía del producto λf=v, donde v es la velocidad ,
f es la frecuencia y λ es la longitud de onda. Esta relación es equivalente a w/K=v.
Despejando w, da que la frecuencia angular es proporcional al número de onda K, w=Kv Si
embargo la relación OS.7, no es lineal. Esto nos indica que la velocidad de propagación de
OS.6
2(k/m)0.5
2πa
Relación w v/s K
OS.7

Ondas-2017
las ondas cambia dependiendo del número de onda (longitud de onda); no todas las ondas
tienen la misma velocidad sin que cambia. Este tipo de relación, donde la velocidad de
propagación cambia según el número de onda (longitud de onda) se denominan relación de
dispersión. Una consecuencia de esta relación es el fenómeno de refracción. Las ondas
luminosas dentro de un cristal tiene distintas velocidades, y es por eso que los índices de
refracción cambian para cada “color” (longitud de onda).
.
Para este caso la velocidad de las ondas longitudinales viene dado por al expresión:
vK = f =
w
K
=
2
K k
m
∣sin
Ka
2
∣
Para números de ondas pequeños (K pequeño) la relación se comporta como conocemos,
pero el incremento de K, cambia esta relación.

Ondas-2017
Cuerda, membrana cuadrada y
membrana circular.
Estamos en condiciones de estudiar algunos sistemas reales como son las cuerdas y
membranas de los instrumentos musicales. Estos nos servirá para entender los principios
de los sonidos y escalas musicales.
La cuerda
Supongamos que tenemos una cuerda sometida a una tensión T, que puede estar
dado por el diagrama siguiente
Para proseguir debemos tener ciertas hipótesis:
Mas
a M

Ondas-2017
1. Despreciamos la carga que implica la atmósfera ambiente ; es decir, se supone que la
cuerda opera en el vacío.
2. Se supone que no hay pérdidas de energía ni en la cuerda si es el mecanismo de su
movimiento a través de la atmósfera.
3. Se supone que la cuerda está muy tensa entre los dos puntos 0 y 1.
4. Se suponen movimientos de pequeña amplitud.
5. Se desprecian deformaciones y fuerzas debida a la gravedad.
6. Se define la cuerda como un cuerpo cuyas dimensiones transversales son pequeñas
frente a su longitud. Las componentes de esfuerzo que se ejercen sobre una sección
normal a su longitud suelen poderse integrar para formar como una fuerza cortante y
un momento flector. Para la cuerda, se supone que
7. la fuerza y el momento flector se anulan, quedando la dirección dirigido axialmente.
Analicemos microscópica la región dentro del recuadro.
Sobre la base del diagrama , la fuerza vertical en el tramo x es F(sin(1)-sin(2)).
Para ángulo muy pequeños, sin()tang(). En el punto A, tenemos la siguiente relación:
F tang1=F
∂ y
∂x A
La fuerza neta actuando en el tramo se escribe como:
F
∂ y
∂x B
−F
∂ y
∂x A
Escribiendo una expansión de Taylor de primer orden de
∂ y
∂x B
en torno a A, se tiene
que :
∂ y
∂x B
=
∂ y
∂x A

∂
∂x
∂ y
∂x
 x . Remplazando la expresión en (*) se tiene que la fuerza
vertical es igual a Fy=F
∂
2
y
∂x
2
 x . Pero, según la segunda ley de Newton, la fuerza se
iguala a la masa por la aceleración. Anotamos m como la masa en el tramo AB. La igualdad
obtenida es: Fy=F
∂
2
y
∂x
2
 x= m
∂
2
y
∂t
2 o que es lo mismo
Ecu 1: ondas
, donde
A
B
F
F
1
2
x
(*)
C.1∂
2
y
∂x
2
−

F
∂
2
y
∂t
2
=0

Ondas-2017
=dm/dx (densidad lineal). Como notamos la ecuación obtenida tiene la estructura de la
ecuación de onda; y la velocidad de propagación es v=
F

.
Para resolver esta ecuación, se utiliza el método de variables separadas . Se asume que
y(x,t)=Y(x)T(t), donde Y(x) es una función de la posición y T(t) del tiempo. Remplazando en
la ecuación C.1 se obtiene las siguientes relación diferencial
T(t)Y''(x)=1/v2
T''(t)Y(x).
Las funciones X(x) y T(t) son independientes una de la otra, por tanto se obtienen las
siguientes ecuaciones diferenciales por cada función:
Y''(x)=k'Y(x) y T''(t)=k'/v2
T
Si k'=-c2
entonces la ecuación tiene la forma:
Y''(x)=-c2Y
(x)
T''(t)=-c2
/v2
T
La solución general de C.2 es de la forma Y(x)=A'sin(cx)+B'cos(cx).; y la solución de
C.3 tiene la forma T(t)= Acos
F

ctBsin
F

ct . La solución es X(x)T(t).
Si las condiciones de la cuerda son Y(0,t)=0 y Y(L,t)=0, Esto implica que B'=0, y que
Y(L)=Asin(cL)=0; esto implica cL=nπcon n natural. El valor c es un número que depende de
n, de la forma cn=nπ/L. La solución general es entonces de la ecuación diferencial:
Ecu 2: solución ecuación de ondas
con 0<x<L.
La condiciones extremas de la cuerda impone la solución. En la serie, el primer
termino es cuando n=0, que no contribuye a la solución, el segundo es cuando n=1, y
corresponde a la función sin(π/Lx), con n=2, la función es sin( 2π/Lx), etc...
La situación inicial es cuando t=0, y corresponde cuando Yx,0=∑
n=0
∞
An
sinn

L
x 
Esta situación es la condición inicial, la configuración inicial de la cuerda. Supongamos que
la cuerda tiene la condición inicial que se ve en la figura:
C.3
C.2
Yx ,t =∑
n=0
∞
An
cos
F

cn
t Bn
sin
F

cn
tsinn

L
x 

Ondas-2017
Si además suponemos que partió del reposo, la derivada de la posición con respecto
al tiempo es cero, lo cual se obtiene que
∂ y
∂tx,0
=0=2

L
∑
n=0
∞
nBn
sinn

L
x⇒Bn
=0
Los coeficientes de la serie, An se calculan como
An
=
!
L
 ∫
0
L /2
2Hx
L
sin n
x
L
dx∫
L/ 2
L
2HL
L
L−xsin
n  x
L
dx=
8H

2
n
2
sin
n
x

La expresiòn de An se puede reducir como A2i−1
=
8H

2
2i−1
2
−1i−1
y resto cero.
La solución se reduce a :
Yx,0=∑
n=1
∞
An
sin
n  x
L

Grafiquemos la solución, pero con distintos n. el valor de H=1
Observe que la cada onda contribuye a la suma total. Vamos a graficar con distintas
contribuciones de la suma de los n impares que contribuyen a la onda total.
H
L

Ondas-2017
Illustration 1: Grafico de la serie con distintos Terminos
Como vemos, a medida que sumamos más contribuciones la función tiene la forma de
la situación inicial.
Las amplitudes An están relacionadas con la frecuencias de oscilación de la cuerda.
Mientras mayor el valor sea el valor de An, mayor importancia tiene dentro de la onda
Pero, esta solución es cuando t=0. En particular, y sabiendo que la velocidad inicial de
cuerda es cero. La ecuación solución en función de tiempo es:
Yx ,t =∑
n=0
∞
An
cos
F

cn
t sinn

L
x
Supongamos que la velocidad de la velocidad de propagación es 100. Grafiquemos
la solución de la cuerda con los extremos fijos para distintos tiempos.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
4
6
8

Ondas-2017
Este gráfico es el resultado de la solución de la ecuación diferencial de la cuerda, con
los bordes fijos.
Veamos el caso de un extremo libre. La situación con extremo libre, implica que la
fuerza en ese extremo es cero. En forma matemática se puede expresar como:
Ecu 3
Esto implica de la solución general 2, el termino A=0 y B debe ser distinto de cero.
De la ecuación 3, se tiene que el valor de k debe satisfacer
kn= π
2L
(2n−1)
∂ y
∂ x x=L
=0

Ondas-2017
La solución de onda en estas circunstancias es:
y(x ,t )=∑
n
An sin(kn x)(Cnsin(kn v t)+ Dn cos(kn vt ))
Membranas
Membrana rectangular
Supongamos que tenemos una membrana de dimensiones conocidas. En un punto
(x,y) del plano de la membrana se ejerce una tensión constante S. Tomemos un elemento
de la membrana, un elemento de área dxdy. Observemos este elemento de área desde el
punto de vista de x.
En forma a náloga se puede estudiar desde el punto de vista de y. La ecuación para
el elemento de área de la membrana e igualando a la masa del elemento de área (segunda
ley de Newton), nos da la ecuación:
Sdy
∂²w
∂x²
dxS dx
∂²w
dy²
dy=
∂² w
∂t²
dxdy
o su expresión equivalente S
∂² w
∂x²
S
∂²w
dy²
=
∂² w
∂t²
. Tenemos una ecuación de la forma
∇ ²w=
1
c²
∂² w
∂t²
donde c=S/Vamos a suponer que la solución es la separación de
variables w=TXY. Esto implica que X''/X=-2
, Y''/Y=-2
y T''/(c2T)=-2
-2
. Por tanto
X=Asin(x)+Bcos(x), Y=Hsin(y)+Dcos(y) y T=Esin(c(    t)+Fcos(c(t). Es ta es la
solución general de la membraba rectangular de dimensiones a pot b. Las condiciones de
bordes son:
w(x,0,t)=0
w(0,y,t)=0
w(x,b,t)=0
w(a,y,t)=0
w
w+w',xdx
w',x+w'',xdxdx
w',x

Ondas-2017
w(x,y,0)=f(x,y) configuración inicial y w'(x,y,0)=0 (No hay velocidad inicial.
Imponiendo las condiciones iniciales se tiene la solución particular es:
w=∑
n=1
∞
∑
m=1
∞
Amn cos ct
m²
a²

n²
b²
sin
m  x
a
sin
n y
b

En este caso Ajk=
4
ab
∫
0
a
∫
0
b
f x , ysin
j x
a
sin
k y
b
dxdy y la frecuencia temporal
viene dada por la expresión f =
c
2 m²
a²

n²
b²
Representamos los modos normales de vibración:
Para n=1, m=1
n=2, m=1

Ondas-2017
n=2,m=3
Membrana circular.
La ecuación siguen siendo válida, pero debe expresarse en otras coordenadas,
coordenadas cilíndricas
∂ ² w
∂ t²
=c²
∂ ² w
∂ r
2

1
r
∂ w
∂r

1
r²
∂ ²w
∂  ²
La solución de este tipo de
ecuaciones es de la forma w=RT. Esto implica que cada función debe satisfacer las
siguientes ecuaciones diferenciales:
T ' '
c² T
=− ²=
R' '
R

1
r
R'
R

1
r²
 ''

Así, T(t)=Asin(cλt)+Bcos(cλt) . Ahora,  r²
1
R
r²R' 'rR'=
−' '

=my ²
Así Hsin(Dcos() . Por las condiciones geométricas  es una función
periódica; por tanto =n=0,1,2,3.... y la ecuación R es  r²
1
R
r²R' 'rR'−n²=0 La
solución de esta ecuación es R=AJn(λr)+BYn(λr), donde Jn e Yn son las funciones de
Bessel. Por las condiciones de frontera, en r=0, implica B=0 (Yn, r0).
R= Jn  r=∑
k=0
∞
−1
k
k!nk1

 r
2

n2k
Existe además la condición de contorno que Jn(λia)=0, que impone condiciones a λ

Ondas-2017
La solución general es
w= ∑
=1
∞
∑
n=0
∞
A' Jni rcosncosci t
Veamos las ceros de la función de Bessel: Si la membranas tienes una radio a,
busquemos los valores ia que sean las raíces de Jn(ia)
Bessel Raíces 1 2 3
J0(ia)=0 2.4048 5.5201 8.6537
J1(ia)=0 3.8317 7.0156 10.1735

Ondas-2017
Oscilaciones no Armónica
Hemos estudiado hasta el momento, los sistema armónicos, es decir sistema cuya
frecuencia es independiente tanto de la velocidad como de la posición. En este sesión,
vamos a ver sistema oscilante, pero no armónicos, y las soluciones aproximada que se
tiene.
Oscilaciones, no armónicas
Las oscilaciones armónicas son la consecuencias de una fuerza del tipo lineal F=−k r .
Como sabemos, una fuerza del tipo armónico tiene asociado un potencial armónico del tipo
U (r)=
1
2
k r
2
, y que la fuerza es conservativa.
Sin embargo, existen sistema sometidas a fuerzas del tipo conservativo, que no son
armónicos, y justamente es lo que vamos a estudiar en este capítulo.
Péndulo simple (matemático).
En el capítulo de oscilación armónica, vimos y se discutió que el periodo depende del
ángulo inicial, como se observa en la figura 7. Este es un ejemplo de una oscilación no
armónica.

Ondas-2017
El periodo de la ecuación viene dado por la expresión
T=2
 l
g
∫
− /2
/2
d
1−sin/22
sin 2
que es una expansión en el ángulo  , tiene la forma
T =2
 l
g
1
1
4
sin/22

9
64
sin/22
...
Es claro, que no es armónico mas si oscilante.
Puntos de estabilidad
En el potencial elástico U (r)=
1
2
k r
2
, corresponde a una parábola cuyo vértice es un
mínimo. Cuando se saca del equilibrio, el sistema oscila en torno este punto mínimo, que
corresponde a una fuerza neta igual a cero.
Supongamos que tenemos un potencial no elástico del tipo U(x). La expansión de taylor del
postencial en torno de un punto x0 viene dado por la expresión
U (x 0)+
dU
dxx0
(x−x 0)+
1
2
d
2
U
dx
2
x 0
(x−x0)
2
+...
Figura 7: Perido en función del largo, y del ángulo inicial.

Ondas-2017
La fuerza conservativa se obtiene a partir del potencial, con la expresión F=− ∇ U . En el
caso de U(x), corresponde a la derivada del potencial (primer termino de la serie). Cuando
x0 corresponde a un punto de equilibrio, la fuerza en ese punto es cero. Si la expasión de
taylor es en torno del punto de equilibrio, la expresión del potencial, tiene la forma
U (x 0)+
1
2
d
2
U
dx
2
x 0
(x−x 0)
2
+... (ona 1)
ya que la derivada del potencial U(x) es cero.
La expansión de la ecuación (ona 1) corresponde a un polinomio de grado 2, que es una
parábola.
Veamos un ejemplo de un potencial U (x)=4 cos
2
(2 x) (Figura 8).
En este potencial existen máximo y mínimos. En el caso de los mínimo, es cuando la función
cos
2
(2x)=0 , es de decir, los ceros son del tipo 2xn=(2n−1)π/2 , con n∈ℕ .Los
máximo corresponde a 2xm=mπ con m∈ℕ
Tanto el máximo como el mínimo con puntos donde la fuerza es cero (derivada del potencial
es igual a cero). Sin embargo, los máximo representa punto inestables; cualquier
perturbación en este punto lo saca del equilibrio. Por otro lado, los mínimos (
xn=(2n−1)π/4 ), son puntos estables, ya que una perturbación “pequeña” (x en torno de
Figura 8: Potencial U(x)

Ondas-2017
x0) hace que oscile en torno al punto mínimo. La estabilidad está relacionado con el signo de
la segunda derivada. Cuando el signo es positivo, es estable el punto, si es negativo es
inestable. Esta se relaciona con la dirección de la rama de la parabola asociada a la
expansión de taylor en torno al punto de equilibrio.
Un ejemplo de los anterior, para n=1 el punto de equilibrio x1=π/4 . La expansión
de taylor en torno de este punto es U (x)=16(x− π
4
)
2
, que corresponde a una parábola,
cuyo mínimo en el punto x1, y con las ramas hacia arriba.
La constante elástica a asociado a la expansión de Taylor en torno al mínimo es K=
∂
2
U
∂ x
2
x1
Por tanto, recordando la ecuación diferencial del armónico simple asociado a un resorte y
una masa,
¨x+w
2
x=0 , donde w=
√K
m
. Esta frecuencia es válida solo para x en torno del punto de
equilibrio. Como se observa en el gráfico, si x se aleja del punto de equilibrio, el periodo va
a depender de la posición inicial o de otra condición inicial.
Figura 9: Potencial U, y expansión de Taylor al
grado 2.

Ondas-2017
Veamos desde el punto de la energía. Asumiendo que se conserva, ET =U (x)+Ek ( ˙x) ,
donde ET es la energía total. Si desplazamos del punto de equilibrio una distancia u y con
velocidad incial cero, la energía total cumple ET =Ei(u)=U (u)=U (x)+ Ek ( ˙x) . Procedemos
como se hizo en el péndulo matemático, lo cual se obtiene que
dt=
dx
√2
m
[Ei(u)−U (x)]
→T=4∫x1
u dx
√2
m
[Ei(u)−U (x)]
=4
√m
2
∫x1
u dx
√Ei(u)−U (x)
Para ilustrar en un ejemplo, la expresión anterior tiene la forma
T(u)=2
√m
2
∫x1
=π/4
u dx
√cos
2
(2u)−cos
2
(2x)
Para u cercano a x1, el periodo debe ser mas o menos constante, pero a medida que se
aleja del equilibrio el periodo depende de u, como se observa en el gráfico 10
Para los valores cercanos a /4, el periodo es 0.78 x2√m , que es independiente de u.
Un punto que se quiere hacer notar. Este potencial es dependiente de una variable. La fuerza también lo
va a ser. En este caso la fuerza, si actúa en una dirección, tiene la forma f (x)=16 cos(2 x)sin(2 x)^i
. Al graficar la componente en función de x, y tomando el primer término de la serie se obtiene que en
torno del equilibrio se comporta como una fuerza restauradora lineal (figura 11).
(ona 2)
Figura 10: Periodo T en función de la
perturbación u

Ondas-2017
Un resorte mas real
Como vimos en el capítulo de oscilaciones armónicas, la fuerza de un resorte es proporcional
a la elongación. El potencial asociado es una parábola. Sin embargo, los resortes reales no
son tan lineales como uno piensa.
En un estudio de deformación del resorte en función de la fuerza aplicada, se puede
obtener una relación del tipo f (x)=−Kx− x
2
donde K es la constante elástica y  un
numero pequeño.
Supongamos que K=10 y =0.1, la curva que se obtiene es:
Figura 11: Representación de la componente de la
fuerza y la aproximación lineal
Figura 12: Fuerza y aproximación lineal

Ondas-2017
El potencial asociado a esta fuerza esta dado por la expresión U (x)=
1
2
K x
2
+
x
3
3
.
Aplicando la ecuación ona 2, con los valores anteriores se obtiene la siguiente relación (ver figura 13)
Figura 13: Periodo en función de la perturbación
y la posición inicial u

Ondas-2017
Interferencia y difracción
En este capítulo, estudiaremos un fenómeno inherente a las ondas: la interferencia y
difracción. Solo la teoría ondulatoria puede explicar los fenómenos que vamos a discutir.
Aunque lo estudiamos previamente, la óptica geométrica de la luz es aplicable solo con
objeto cuya longitud era muy superior a la longitud de onda de la luz. Cuando las longitudes
son comparables, la óptica geométrica ya no es aplicable.
Interferencia
¿Que es la interferencia? Para poder entender la interferencia, primero debemos
acordar ciertas notaciones. Del capítulo anterior, sabemos que podemos escribir una onda
como r,tei(k(r-vt))
. El usar complejo y funciones de ondas sinusoidales ayudará a facilitar
el concepto.
Una fuente puntual sinusoidal, propaga ondas en todas la direcciones.
Las
ondas se
propagan en
todas las
direcciones.
Supongamos
que tenemos

Ondas-2017
dos fuentes de ondas sinosoidales, que están separados por una distancia d. Cada fuente
producirá ondas,
Como vemos en distintos colores, la fuentes producen ondas desde su origen. Sin
embargo, lo que se observa es la suma de las funciones y no las ondas separadas.
Esta imagen es la suma de las funciones en cada punto del espacio. Observe que en
ciertas regiones , la ondas se anulan de modo que la función sea cero;en otros puntos se
suman, siendo máximo.
Cuando observamos que existe un patrón de aniquilación y/o de suma de intensidades
hablamos de interferencia. Analicemos desde otro punto de vista el problema:

Ondas-2017
Supongamos que tenemos las fuentes sincronizadas esperadas por una distancia d y
se simbolizan por puntos.
En el esquema las
líneas azules corresponde a
interferencia constructiva.
Cada fuente se puede
describir como (r,t)=Iei(k(r-vt))
.
Definimos R1 es el
vector de una fuente al punto
P, y R2, de la segunda fuente.
Según el álgebra vectorial, se
obtiene la relación D+R1=R2,
o lo que es equivalente D=R2-
R1. La onda resultante en el
punto P, es la suma de las
ondas, es decir (r,t)=1(R1,t)+2(R2,t)
Vamos a definir intensidad como el cuadrado de onda para un r y t dado. Sin embargo,
como son funciones que dependen del tiempo, es mejor usar el promedio d un periodo; es
decir =
1
T
∫
0
T
 r ,t
2
dt
De la ecuación ID.1 se obtiene que
=
1
T
∫
0
T
1r ,t 2r , t
2
dt=E0
1
2

2
e
i k⋅r1
e
i k⋅r2

2
La función de onda podemos separarlos en eiwt
eikr
. La parte real de eiwt
al calcular el
promedio temporal, aporta ½.
La expresión tiene la forma de I==I0 eik(r2+r1)
(cos(/2))2
.
La Suposición es que las fuentes emisoras son de igual intensidad, esto implica
necesariamente que el resultado para es =4Icos2
(/2), donde =k r1−r2 Este
último termino es de interés ya que produce el fenómeno de interferencia. El máximo de
intensidad se produce cuando cos()=1; esto implica que =2πm de lo cual se obtiene que
2πm/k=mλ. Lo que implica que r2-r1=mλ
Desde el punto de vista analítico r1 es la distancia desde la fuente al punto, que se
puede escribir como r1=
 y
d
2

2
x
2
 y de forma análoga r2=
 y−
d
2

2
x
2

Interferenci
a
constructiv
a
D
PR1
R2
ID.1

Ondas-2017
Por tanto la condición de interferencia se produce lineas hiperbólicas de máximo. En este
caso, como ambas fuentes están sincronizadas, con m=0 es la linea que divide en dos
zonas iguales el campo y corresponde a una interferencia constructiva.
La condición para producir mínimos es que cos()=0, es decir =π/2*(2k+1) con k
entero. Por tanto la relación para los mínimos (interferencia destructiva) es r2-r1=(k+1/2)λ.
Esta ecuación también corresponde a hipérboles nodales. En una representación gráfica se
observa los nodos (interferencia destructiva) y los antinodos (interferencia constructiva).
La líneas azules representan la interferencia constructivas, zonas de máxima
intensidad, y las lineas punteadas negras, son la lineas de nodales de interferencia
destructiva.
La intensidad de la onda a una distancia d va a estar descrita por la ecuación
M=0M=-1
M=-2
M=1
M=2
K=1K=-1
D Y

s

Ondas-2017
I=4I0 cos
2

Yd
s

Esta ecuación asume que sin()es decir s es mucho mayor que D (s>>D), y podemos
tomar estas aproximaciones. El gráfico de intensidad a una distancia s es:
Aplicación de interferencia: Interferometría.
Medición de escalón microscópico
Supongamos que queremos medir el espesor de un escalón cuyas dimensiones son
del orden de los micrones o menores.
ID.2
Nodos
Máximos
H

Ondas-2017
En realidad queremos medir la altura H.
Supongamos que los rayos luminosos inciden sobre la muestra, formando un ángulo
de  respecto a la vertical.
Según la ecuación de interferencia nodal r2-r1=(m+1/2)λComo estamos hablando de
magnitudes pequeñas, la distancia de observación son mucho más grandes que H, lo cual
se puede considerar para los cálculo como infinito; los rayos A y B salen paralelos.
La diferencia de camino es r2-r1=Hsin()=(m+1/2)λ . Pero como el ángulo es pequeño,
sin()tang(). Tangente del ángulo es la distancia Y divido por L, La ecuación para medir H
es H=λ /2L/Y, para m=1, el primer linea nodal. Es decir el reflejo de la luz en el escalón va a
producir lineas negras en la imagen que se observa con el microscopio. Midiendo la
distancia entre las lineas y sabiendo la longitud de onda de la lámpara podemos obtener H.
Interferencia de mas fuentes.
Supongamos que tenemos N fuentes en fase, separadas por una distancia D.
D
D
P

S
R1
R2
R3
L
H


 
A
B

Y

Ondas-2017
Suponiendo que el punto P esta muy lejano (S>>D),
La suma de las ondas en el punto, la N fuentes se puede escribir de la forma:
E=∑
i=0
N
E0 re
i kri−wt
Factorizando por E0(r)ei(kr1-wt)
, la expresión anterior toma la forma:
E=Eore
ikr1−wt
∑
j=0
N −1
e
ik rj 1 −r1 
Si recordamos la serie ∑
j=0
N
e
i j
=
ei N
−1
e
i
−1
=e
i N −1/2 sinN /2
sin/2
donde  es igual a kD/2 sin().
ya que rj+1-r1 es igual a iD/2sin().
La intensidad de la onda es I=I0
sinNkD/2sin 2
sinkD/2sin2 Grafiquemos esta función:
Para N=2, N=3, N=4

Ondas-2017
Según el gráfico y la función, la intensidad de la onda en los máximos va proporcional
a N2
número de fuentes. Los máximos se dan cuando kD/2sin()=mπ, otros máximos
comienzan a aparecer, de menos intensidad. Veamos otro gráfico con n mayores

Ondas-2017
la intensidad de los máximos ha aumentado, como N2
. Nótese los máximos que hay
con N=7, vecino al máximo central.
Para un N=50, se tiene el siguiente gráfico.

Ondas-2017
Los máximos son más intensos y los máximos secundarios se agrupan en torno a l
máximo central.
Supongamos que tenemos N=10, pero D=1, y el otra secuencia con D=0.5, D=2
Nótese el efecto el cambio de la intensidad al cambiar la distancia entre la fuentes.

Ondas-2017
Difracción
Para comenzar a hablar de difracción, debemos
entender el principio de Huygens. El principio de Hueygens
señala que un frente de onda se debe a la suma de ondas
esféricas cuya distancia entre ellas tiende a cero pero con
un número infinitos de estas ondas. En las palabras de
Huygens: “De cada punto de onda en un frente de onda
primario sirve como fuente de onditas esféricas secundarias
tales que el frente de onda primario un momento más tarde
es el envolvente de estas onditas. Además, las onditas
avanzan con una rapidez y frecuencia igual a la onda
primaria en cada punto del espacio.”
Un frente de onda es la suma de ondas de tipo esférico, formando un nuevo frente.
Supongamos que tenemos una rendija muy pequeña, en donde
incide un frente de onda plano. Al efectuar el experimento, siendo el
ancho de la abertura, del orden de la longitud de onda, se produce
difracción, como se observa en la figura. Esto se explica por el
principio de Huygens, ya que al al ser más pequeño la abertura, la
fuente se asemeja a una fuente puntual.
Sin embargo, al observa la intensidad a una distancia alejada
de este fuente tiene un comportamiento distinto.
En el desarrollo de interferencia de N fuentes, el patrón se obtenía de una suma
discreta de fuentes.
Frente de
onda.
D 

Ondas-2017
En la difracción, la suma pasa a ser una suma de elementos muy discretos,
infinitesimales.
E=∑
i=0
N
E0 re
i kri−wt
≈E0 e
i kr0−wt
∫
0
D
e
k  r
r
dx Del gráfico anterior, podemos obtener
r=xsin(), suponiendo que el punto de observación en muy lejano, r es una constante que
denotaremos R; r=xsin(). La integral que se obtiene es:
E=E0 e
ikr0 −wt 1
R
sinD k/2sin 
D k/2sin
Calculando el promedio en el tiempo, y llamando I0 la constante que acompaña a la función,
se obtiene la expresión:
I=I0
sinD k/2sin2
D k/2sin2
Si sin(), entonces la expresión se puede aproximar (aproximación de Fraunhofer) a la
siguiente expresión I=I0
sinD k/22
D k/22 . El gráfico que se obtiene es:
ID.4

Ondas-2017
La intensidad de difracción de la rendija simple está en el centro y máximo menores
En la aproximación de Fraunhofer, cuando D/k/2 es igual nπ se producen mínimos.
Para obtener los máximos debemos, derivar la expresión ID.4; de la cual se obtiene
que se tiene que resolver la ecuación: x-tan(x)=0, donde x=D/2k sin(). en el gráfico de tan(x)
y x, observamos la existencia de varios máximos.

Ondas-2017
Los máximos en la difracción por una rendija están cuando x=1.4303π,
2.5490π,3.4707π,...Dejo al lector el buscar otras raíces de la función.
Difracción por rendija múltiples
Supongamos que se tiene un arreglo como se dibuja, N rendijas de ancho D,
separadas distancia A
Cada rendija se comporta como la rendija anterior, pero además se va a porducir
interferencia. Veamos un esquema:

Ondas-2017
Suponiendo que el punto P está muy lejano, de modo que los rayos se pueden
considerar paralelos . En el punto P, la onda se puede escribir de la forma.
E=E0 ∑
k=1
N −1
∫
−D/2Ak
D/2Ak
e
iKxsin −wt
r
dx En este caso, nuevamente r para una distancia grande es
una constante r  R. La expresión de la integral, sabemos que se obtiene:
E=E0 e−iwt
∑
k=1
N −1
sin
 

eiKak
=E0 e−wti sin 

sinN alfa
sinalfa
donde =D/2Ksin() y =Ka/2sin(). La
intensidad a una gran distancia, la intensidad es:
I=I0
sin 


2

sinN alfa
sinalfa

2
Si tenemos dos fuentes (N=2), 4 fuentes y seis fuentes, y suponiendo que a es igual a 10D,
D
A 
P

Ondas-2017
Veamos con distintos valores de a.
Los máximos están van disminuyendo el valor, debido a ala función sin( la
función envolvente.
Difracción por una abertura rectangular.

Ondas-2017
Supongamos que tenemos el siguiente montaje. En este caso la integral que debemos
calcular es bidimensional.
E=E0 ∫
−a/2
a/2
∫
−b/2
b/2
ei kr−wt
r
da
Vamos a suponer que la distancia entre la rendija la proyección de la imagen es
mucho mayor que las dimensiones de a y b. en esta caso, r=(X2
+(Y-y)2
+(Z-z)2
)0.5
. Como está
muy alejado, r se puede aproximar a la siguiente expresión r=R(1-2(Yy+Zz)/R2
)0.5
E=E0
ei wt−kr
R
∫
−a/2
a/2
∫
−b/2
b/2
e
i kYykZz
rdYdZ
Esta integral da como resultado:
E=
E0
R
sin
alfa
alfa
sin 

donde =kaZ/(2R) y =kbY/(2R). La intensidad en el plano YZ, será
E=I0
sinalfa
alfa
sin


2
El diagrama de intensidad es:
a
b
R
ID.5

Ondas-2017
Un máximo central, y máximo menores. El máximo principal se produce en el punto
(0,0). Los máximos secundarios se produce cuando  tiene un valor igual (2k+1)π/2.
Los cero de la función se producen cuando  es igual a kπ con k entero.

Ondas-2017
Difracción por una abertura circular.
Supongamos ahora que en vez de una abertura rectangular, tenemos una abertura
circular de radio a.
La onda plana incidiendo sobre la abertura, es recortada . En el punto de la pantalla
P la onda incidente se puede escribir como:
E=E0
ewt−kR
R
∫
0
a
∫
0
2
e
k  q/R cos−
 dd
Por equivalencias matemáticas, que no vamos a detallar en este apunte, la integral
anterior se puede expresar como:
E=E0
e
wt−kR
R
2∫
0
a
J0k q/R d 
En la expresión aparece una nueva función J0(x). Estas funciones funciones son
conocidas como las funciones de Bessel. Al desarrollar la integral, utilizando propiedades de
las funciones de Bessel, se obtiene que la intensidad a una distancia muy lejana, es igual:
I=I0
2J1kasin
kasin

2
Como vemos en el gráfico de la intensidad, existen también máximos y mínimos. Nótese que
el máximo central es cuando I(0) ; los mínimos es cuando J1(x)=0. La primera raíz de esta
función es cuando x=3.83. Esto implica que el radio de la imagen, del primer mínimo es
cuando kar/R=3.83; es to implica que el radio es: r=1.22 Rλ/(2a)
ID.6
R

Z
Y
z
y
a
P

Ondas-2017
Los máximos secunradio están localizados cuando
d
du
J1u
u
=0 . Por razones de
equivalencia matemáticas los ceros corresponde a los ceros de J2(u)=0 y esto ocurre cuando
u=kar/R=5.14, 8.42, 11.6.
Nótese que hemos analizado la difracción de una abertura circular. Cualquier fuente
que emita luz, y cuyas ondas interactúen con una abertura circular producirá un patrón
similar, particular el iris del ojo.

Ondas-2017
Supongamos que usted se encuentra en una carretera en una noche oscura. Esta
carretera es recta. A lo lejos se ve un luz, ¿Cuantas luces usted ve? En verdad usted ve
solamente una fuente luminosa. A medida que se acerca usted comienza a notar que
realmente son dos luces, hasta que pasa en frente de usted y ve que es un vehículo. En
resumen, en un comienzo usted ve una fuente, y posteriormente dos fuentes. Como cada
fuente emite fuentes de ondas planas (muy alejados de la apertura), producen difracción.
Fuentes muy lejanas
La linea roja representa la suma de las dos intensidades, las lineas azul y verde son las
fuentes por separado.
Distancia media. Se observa una distinción entre las fuentes.

Ondas-2017
Ya totalmente resuelto

Ondas-2017
En un momento, al acercarse el vehículo somos capaces de distinguir los dos focos;
podemos resolver las fuentes.
Se observa que ha medida que se acerca las fuentes, llega un punto en donde
podemos resolver y distinguir estas fuentes. Esta capacidad se llama resolución. La
resolución depende de la abertura de diafragma o pupila.
Sabemos que el fenómeno de difracción depende la longitud de onda de la fuente. De
la ecuación ID.6 podemos obtener, para fuentes muy alejadas (sin(que   λD. El
poder de resolución de los sistemas se define como: 1/. Este es el criterio de Lord
Rayleigh, que es cuando el primer mínimo coincide con el el disco. En una imagen, es
cuando
Este fenómeno es necesario tenerlo presente cuando se trabaja con fotografía. La
abertura del diafragma para la resolución de la imagen.
Funciones de Bessel
Las funciones de Bessel, son las solución de la siguiente ecuación diferencial
x2
y''+xy'+(x2
-n2
)y=0, con n0. Y se anotan como Jn(x).
D

Abertura
Imágenes resueltas
Imágenes superpuestas

Ondas-2017
La expresión de serie de la función Jn(x) es:
Jn x= ∑
k=0
infinito
−1
k
x/2
n2k
k!nk1
En el caso de J0(x), tiena la siguiente expresión J0(x)=1-x2
/(22
)+x4
/(22
42
)+...
y J1(x)=x/2
-x3
/(22
4)+x5
/(22
42
6)+...
En el gráfico siguiente se observan estas funciones:
Grafiquemos J1(x)/x y (J1(x)/x)2
.

Ondas-2017

Ondas-2017
Óptica Geométrica
En este nuevo capitulo, estudiaremos las propiedades de luz. Pero antes de comenzar a
establecer las leyes de la “óptica geométrica' debemos entender que es la luz.
La luz
Para comenzar a entender que es la luz, debemos recordar las ecuaciones de
Maxwell.
Las ecuaciones de Maxwell son:
∇⋅E=

0
Expresión diferencial de la ley de Gauss
∇⋅B=0 Ausencia de monopolos magnéticos
∇ x E=
−∂ B
∂t
∇ x B=J 0
∂E
∂t
0 0
nótese que las ecuaciones OG.5 y OG.4 relacionan los cambios en el tiempo de los
campo con la derivadas en el espacio. Es decir, si un campo cambia en el tiempo, el otro
campo va a cambiar en el espacio.
Supongamos que estamos en el espacio, libre de fuentes de carga eléctrica y libre de
fuentes de corriente. Le ecuación ecuaciones de Maxwell OG.3 y OG.4 se escribe como:
∇ x E=
−∂ B
∂t
y ∇ x B=
∂ E
∂t
0 0
Derivemos la expresión OG.3' respecto al tiempo nos queda:
OG.1
OG.2
OG.3
OG.4
OG.3
'
OG.4'

Ondas-2017
∇ x
∂ E
∂t
=
−∂2
B
∂t
2 Pero la derivada parcial del campo eléctrico con respecto al tiempo
según la ecuación OG.4' es igual al rotor del campo B. Remplacemos esta condición en
OG.5 obteniéndose ∇ x ∇ x B
1
0 0
=
−∂2
B
∂t2
Esta ecuación se puede escribir como ∇ x ∇ x= ∇ ∇⋅−∇
2
Pero la divergencia de B es cero, por tanto solo sobrevive según las condiciones el
laplaciano de B
−∇
2
B
1
0 0
=
−∂ B
∂t
La ecuación OG.6 se puede escribir como:
∇
2
B−00
∂B
∂t
=0
La ecuación OG.7 es la expresión de la ecuación de onda para el campo magnético. Por la
ecuación OG.3, el campo eléctrico también cumple con esta ecuación: ∇2
E−0 0
∂ E
∂t
=0 .
Lo interesante de este resultado es que una perturbación electromagnética, se puede
propagar en el espacio, en ausencia de un medio físico. Hasta fines del siglo 19, se pensaba
que para que la luz se propagara en el espacio debía existir un medio llamado éter. Por los
experimentos de Michelson, se demostró que éter no existe, y por la teoría de
Maxwell,demostró que no era necesario este material, las ondas se propagan en el espacio
“vacío”.
La luz se propaga desde el sol, en el vacío. Por otros fenómenos de difracción e
interferencia que discutiremos después, la luz se comporta como una onda.
Otra cualidad que tiene la luz es que son campos eléctricos y magnéticos que se
propagan, pero no arbitrariamente. Por la ecuación GO.3, el campo magnético es
perpendicular al campo eléctrico, o el campo eléctrico es perpendicular al campo magnético.
En la ecuación de onda OG.6, la velocidad de propagación en el medio esta dado por la
formula C=1/()=299792458x108
m/seg.
OG.5
OG.6
OG.7

Ondas-2017
Definamos el vector de Poyntig como S=ExB. Este vector, por la definición es
perpendicular a E y B. Pero, como se dijo los campos son perpendiculares entre si.
Lo interesante es que l vector de Poyting, indica la dirección de la propagación del flujo
energético de la onda. Mientas no existe un obstáculo la onda se propagará en línea recta.
Este es uno de los principio de la óptica geométrica. La luz se propaga en línea
recta. Esto se comprueba cuando los objetos son de dimensiones muy superiores a la
longitud de onda de la Luz.
Leyes de óptica
En el estudio de la luz, antes que apareciera la teoría electromagnética, se conocían
ciertos comportamientos que pasaron a ser leyes naturales. En óptica geométrica se
resumen:
1. La luz se propaga en linea recta. Un fuente luminosa irradia en todas la direcciones y la
dirección es en línea recta en un medio isotópico y homogéneo.
La ley de reflexión: Se tiene un has incidente sobre una superficie que tiene la propiedad
de reflejar la luz. El ángulo saliente s, es igual al ángulo incidente i. Es decir :
is
i s

Ondas-2017
2. La ley de Snell. Este ley es muy interesante. Se produce cuando la luz pasa de un
medio óptico a otro. Recordemos cuando niños y jugábamos con un tenedor, agua y un
vaso. Nos llamaba la atención como la imagen del tenedor se quiebra. Esta observación
fue cualificada y se dedujo una ley al respecto.
Supongamos que tenemos dos medio ópticos distintos, y hacemos incidir una has de
luz sobre la superficie., pero de modo que se pueda trasmitir por el medio.
La ley de Snell dice:
nisin(i)=ntsin(t).
Donde ni, nt son los “índices de refracción” de
los materiales.
Estos índices caracterizan óptimamente
al material y está relacionado con la velocidad
de propagación de la luz en el medio.
Principio de Fermat
Las leyes vista anteriormente sobre la base de un principio: el principio de Fermat.
Este señala: “La luz recorre un camino, modo que el tiempo sea mínimo”.
Veamos una aplicación:
Supongamos que tenemos una fuente P a una altura h, u observador en un punto Q, a
la misma altura y has que se refleja en el punto X.
La velocidad de propagación de la luz
es v. La distancia total que debe recorrer el has
del segmento PXQ. El tiempo es t=(d1+d2)/V.
Para minimizar el tiempo debemos minimizar
la distancia PXQ.
Escribamos d1=(X2
+H2
)0.5
y d2=((D-
x)2
+H2
)0.5
. El ángulo sin()=X/(X2
+H2
)0.5
y
sin()=(D-X)/((D-x)2
+H2
)0.5
.
i
t
P Q
 
H H
d1
d2
X
D

Ondas-2017
La función que debemos minimizar y encontrar el valor de X es:
tx=
1
V
x
2
H
2

D−x2
H2

V
Si graficamos esta función con d=5, H=1, se observa que la función posee un mínimo.
Es este mínimo es que nos interesa. Al derivar la expresión se obtiene que :
dt
dx
=
x
 x
2
h
2


D−x
D−x
2
h
2

=0 . Sin embargo, el primer sumando es sin() y el segundo
corresponde a sin(  deben ser iguales., lo que implica que 
Si derivamos y evaluamos en X=D/2, obtenemos un mínimo. En esta condición, el ángulo
es igual al , cumpliendo con la ley de reflexión.
Una demostración geométrica es:
Dibujamos la imagen especular de Q, a
una distancia H. Los puntos PQQ',
pertenecen a los lados de un
rectángulo. La diagonal que une P y Q'
pasa por el centro de masa del cubo.
Geométricamente la distancia más
corta entre los puntos P y Q' es la
diagonal. Por tanto el tramo del punto
medio a Q es igual de P al punto
medio, y por tanto los ángulos son
iguales.
P Q
 
H H
d1
d2
X
D
H
Q'

Ondas-2017
Esto demuestra la ley de reflexión.
Veamos la ley de Snell.
Supongamos que tenemos
una señorita que se está
ahogando en el mar a una distancia
H de la playa. El salvavidas está a
una distancia H' . El bañista se
mueve a una velocidad Va en la
arena y en el agua Vw.
El bañista en la arena solo
puede correr en linea recta, y nadar
en linea recta. La cuestión que el
bañista debe llegar en el menor
tiempo posible.
La distancia del salvavidas a la bañista es:
d x=D
2
x
2
L−x
2
D?
2

Peo el tiempo está dado por la ecuación:
tx=
x
2
D
2

Va

L−x
2
D?
2

Vw
Derivando la expresión OG.8 e igualando a cero (buscando mínimo) podemos obtener una
relación entre los ángulos incidentes.
dt
dx
=
x
 x2
D2

1
Va
−
L−x
L−x2
D'2

1
Vw
=0 .
Pero sin(i)=
x
x
2
D
2

y sin(t)=
L−x
L−x
2
D?
2

, La expresión OG.8 se puede
escribir de la forma:
Salvavidas
Bañista
D
L
X
i
tD'
OG.8
OG.9

Ondas-2017
sini
1
Va
=sint
1
Vw
. Si multiplicamos esta igualdad por la velocidad C, que es la
velocidad del “bañista en el vacío”. Esta expresión tiene la forma:
sini
C
Va
=sint
C
Vw
Definimos ni=C/Va y nt=C/Vw
La expresión OG.10 se puede escribir como: sinini=nt sint
La expresión OG.11 es la ley de Snell.
La ley de reflexión, y la de Snell son consecuencia de del cambio de velocidad de un
medio óptico y que la luz minimiza el tiempo entre dos puntos.
OG.10
OG.11

Ondas-2017
Reflexión y Refracción:
Aplicaciones
En este capítulo estudiaremos las aplicaciones de los principios mencionados.
Muchos de nuestra vida cotidiana está rodeado por artefacto que usan y aplican estos
principios.
Superficies reflectoras: Espejos.
Supongamos que tenemos una superficie reflectora (Espejo).
Si tenemos una fuente P a una distancia s de un plano reflector, los rayos reflejados
saldrán en líneas recta, cumpliendo el principio de reflexión.
El objeto emite rayos y son
reflejados, de modo que cumpla con el
principio de reflexión. Los rayos reflejados
producen una imagen para un observador
del objeto de modo que el objeto se
observa a una distancia S pero del otro
lado (P').
Espejo
Fuente
luminosa
Rayos de
Luz
S SP
P'

Ondas-2017
Acordemos una nomenclatura para la descripción de estos fenómenos. La distancia de
la superficie reflectora al objeto, en un sentido opuesto a la luz incidente, la distancia será
positiva.
La imagen P' del objeto la llamaremos, “imagen virtual” ya que la luz no procede
realmente del objeto virtual. En este caso la distancia del objeto y de la imagen virtual son la
misma.
Un fenómeno de este tipo, son las imágenes múltiples. Supongamos una fuente
P un espejo que forma un ángulo de 90°
Como observamos la imagen de P es P'. lo interesante de este espejo compuesto, es
que la imagen que s observa no está invertida ya que se ha reflejado 2 veces.
Recordemos que si tenemos un objeto que emite luz frente a un espejo la imagen que
se forma es el reflejo especular del objeto.
P
P''
P'
Fuente de
Luz

Ondas-2017
Espejos
Analicemos una de las consecuencia de la ley de reflexión sobre superficie curvas; en
particular superficies esferoides.
Supongamos que tenemos una superficie elipsoidal y que una fuente está en uno de
los focos.
Una de las características de la superficie elipsoidal es que en cualquier punto que se
refleje un rayo, el rayo reflejado este en la dirección del otro foco. Todo Rayo reflejado en la
superficie interior pasa por el orto foco F'. Supongamos que el foco F, donde este la fuente
es alejada hasta infinito; se obtiene una superficie parabólica de modo que los rayos de una
fuente que este en infinito son reflejado y concentrado en un punto.
F F'

Ondas-2017
Este tipo de de espejos es que se observa en las antenas d microondas o radios
telescopios. Sin embargo, para el ámbito comercial estos diseños son caros, y se usan
aproximaciones de espejos esféricos.
Espejos esféricos
Supongamos que tenemos una superficie esférica.
La ecuación de esta curva esta descrita por la ecuación y2
+(x-R)2
=R2
. Despejemos x;
dando como resultado x=R(R2
-y2
)0.5
. En una expansión en serie en función de y , tomando
la forma la serie
x=
y
2
2R

y
4
2
3
2! R
3

1∗3∗y
3
2
3
3! R
5
...
Tomando el primer termino, podemos despejar y encontrar la ecuación y en función
de x: y2
=2Rx. el foco de esta parábola es f=R/2.
Los demás términos son despreciable para los efectos prácticos.
Y
X

Ondas-2017
En una superficie esférica cóncava de modo que todos los rayos que provienen de
infinito sean reflejado y se intercepten en un sólo punto que denotamos como f.
La distancia del punto f al espejo lo llamaremos la distancia focal con f=R/2.
Supongamos que la fuente está a una distancia s del borde del espejo.
Tenemos las siguiente relación:
M=
h'
h
=
−s'
s
S P
A
C
S0
S1
R

H
H'
Imagen
real
R
P
P'
f




Eje óptico: eje de
simetría
RR.1

Ondas-2017
El signo menos aparece por la inversión de la imagen. Escribamos el tangente de .
Se obtiene:
tang=
h
s−R
RR.2 y también tang=−h
'
R−s'
.RR.3.
Dividiendo RR.2 por RR.1 se obtiene:
h'
h
=
−R−s '
s−R
=
−s '
s
De la relación RR.4 se obtiene:
1
S0

1
S1
=
2
R
Esta ecuación es que la relaciona las distancias de la fuentes y convergencia de los
rayos luminosos a un foco dado. El foco del espejo es f=R/2.
RR.4

Ondas-2017
Convención de los signos:
Para entender los signos, existe una convención de signo para el foco, S0, S1.
Tabla Convenciones de signos para e espejos esféricos.
Cantidad Signos
+ -
S0 Izquierda de V, objeto real Derecha de V, objeto virtual
S1 Izquierda de V, imagen real Derecha de v, imagen virtual
f Si el centro de curvatura se
localizan frente al espejo
(Espejos cóncavos)
El centro de curvatura se
localiza atrás del espejo
(Espejos convexos)
R C a la derecha de V, convexo C a la izquierda V, cóncavo
y0 Arriba del eje objeto derecho Debajo del eje, objeto
invertido
y1 Arriba de eje, imagen
derecha
Debajo del eje, imagen
invertida.
Espejos Cóncavo. Observemos la formación de una imagen virtual cuando el objeto está
dentro de la región del foco y el espejo, en un espejo cóncavo.
FC O Imagen virtual

Ondas-2017
Veamos un espejo convexo , donde se forma la imagen.
Para saber que forma va a tener la imagen y donde se va formar usando argumentos
geométricos, podemos utilizar los siguientes pasos:
1. El rayo 1 se traza paralelo al eje óptico, partiendo de la cabeza del objeto y se refleja
por el punto focal F.
2. el segundo, el rayo 2, se traza desde la cabeza del objeto a través del punto focal. Por lo
tanto, es reflejado, paralelo al eje óptico.
3. El tercero, el rayo 3, se traza desde la cabeza del objeto pasando por el centro de
curvatura, C, reflejándose sobre si mismo.
Refracción: Medios ópticos
Supongamos que tenemos un cambio de medios óptico, como por ejemplo vidrio aire
o agua. En este caso se aplica el principio de Snell.
1
3
2

Ondas-2017
La imagen visto desde un observador del medio óptico derecho la ve más cerca que la
realidad. Esto se debe al cambio de dirección de la luz al pasar de un medio a otro. En la
tabla siguiente se presentan algunos indices de refracción de sustasncias sólidas y líquidas.
Tabla de indice de refracción de sustancias sólidas y líquidas.
Sustancia Sólido 20 °C n Sustancias líquidas 20
°C
n
Diamante (C) 0,002 Benceno 0,002
Fluorita (CaF2) 0,001 Disulfuro de Carbono 0,002
Cuarzo fundido (SiO2) 0,001 Tetracloruro de Carono 0,001
Vidrio Crown 0,002 Alcohol Etílico 0,001
Hielo (H2O) 0,001 Glicerina 0,001
Poliestireno 0,001 Agua 0,001
Cloruro de sodio 0,002 Aire Gases 0 °C 1 Atm 0,001
Curcón 0,002 CO2 Gas, 0 °C 1 Atm 0,001
Supongamos que tenemos un interfaz de forma circular.
Según el diagrama, la distancia L' se puede escribir como:
L'= R
2
S'−R
2
2RS'−Rcos y L= R
2
SR
2
−2RSRcos . La longitud
del camino óptico es n'L'+nL. Minimizando el camino óptico con respecto al ángulo . De
esta operación se obtiene la siguiente expresión:
nRSRsin
2L
−
n' RS'−Rsin
2L'
=0
De la ecuación RR.5 se deduce la ecuación de la interfase de medios:
n
L

n'
L'
=
1
R

n' S '
L'
−
nS
L

RR.5
RR.6

Ondas-2017
Este relación es exacta, pero un poco complicada. En la aproximación paraxial, el
ángulo  se considera pequeño, cos() 1 y sin()  . Las aproximaciones implica que LS
y que L'S'. La expresión RR.6 se escribe
n
S

n'
S '
=
n'−n
R
. Notemos que si S tiende a
infinito, la imagen se en el medio prima (') se forma a una distancia S'=n'/((n'-n)R). Definimos
como f'=n'/((n'-n)R) en el medio '. Si la fuente está en S' en infinito, la imagen se concentra
en S=n/(R(n'-n)): el foco es f=n/(R(n'-n)).
S' S
HR
L' L

i
t

Ondas-2017
Lentes e instrumentos Ópticos.
En este capítulo estudiaremos los lentes y la combinación de estos para producir
instrumentos ópticos, tales como los telescopios y microscopios.
Lentes.
Supongamos que tenemos un material de indice de refracción n', en un medio de
refracción n, con las dimensiones que muestra la figura. En el lado izquierdo está la fuente, y
la fase izquierda tiene un radio de curvatura R; el lado derecho, un radio de curvatura R'. en
la condiciones del dibujo, el R se considera positivo, al igual que R'.
Dibujo 1: Esquema de un lente grueso
S0 S1
D-S1
S2
D
Indice n'

Ondas-2017
Como hemos visto del capitulo anterior la relación entre las distancia S0 y S1, está
dad por la expresión, en una aproximación paraxial.
n
S¿

n'
S1
=
n'−n
R
Sin embargo, la imagen virtual formada dentro del medio, también cumple con la ecuación
anterior, es decir
n'
D−S1

n
S2
=
n−n'
R
'
Sumando las ecuaciones L.1 y L.2, obtenemos la expresión:
n
S0

n
S2
n'
D
S1D−S1
=n'−n
1
R
−
1
R '

La expresión L.3 es para un “lente” grueso. Sin embargo, los lentes conocido
corresponde a D pequeños, y una aproximación válida es D cercano a cero. En esta
aproximación, la expresión L.3 toma la forma:
1
S0

1
S2
=
n'−n
n

1
R
−
1
R '

Nótese que la expresión L.5, corresponde a la ecuación deducida para los espejos, y
se aplica para lentes delgados. El foco del lente es :
f =
n
n'−n
1
R
−
1
R
'
La curvatura R es importante para definir el foco del lente, ya que la combinación de
radio de curvatura caracteriza en parte al lente. Por ejemplo si R=R', el foco tiende a infinito.
En caso de los lentes que son diseñados para un medio atmosférico , n es iguala a 1
(n=1.0005). La fórmula del foco es para este tipo de lente:
f =
1
n'−1
1
R
−
1
R
'
L.1
L.2
L.3
L.5

Ondas-2017
Veamos los tipos de lente, cambiando las curvaturas R y R'.
Tipo de lentes R R'
Positivo Negativo
Positivo positivo
Negativo Negativo
Negativo Positivo
Cuando los lentes tienen un
foco positivo, podemos decir que son
lentes convergentes, si tiene un foco
negativo, son lentes divergentes.
Veamos en un esquema este último.
La distancia del foco es virtual;
corresponde a la intersección de los
rayos.
f

Ondas-2017
Veamos como se ve un objeto, de acuerdo a estos lentes.
Nótese que la imagen es virtual, no real
Composición de Lentes
Hasta el momento hemos deducido la ecuación de un lente y hemos conocido la
ecuación de un espejo. Sin embargo la combinación de estos dan como resultados
instrumentos ópticos , como el telescopio y/o microscopio, lupas compuestas etc.
Supongamos que tenemos dos lentes de distintos focos separados a una distancia D.
La flecha es la imagen vista de de un observador del lado izquierdo de la figura.
Nótese que la imagen está aumentada con respecto a la imagen original. El observador ve la
D
f1, foco f2, foco

Ondas-2017
imagen aumentada. Este es el funcionamiento básico del microscopio. Este modelo es
básico. El microscopio real usa mas de un lente.
La ecuación del conjunto esta dado por la siguientes ecuaciones.
El primer lente cumple con la fórmula
1
S

1
S '
=
1
f 1
El segundo lente, con la ecuación:
1
D−S '

1
S' '
=
1
f 2
Sumando las ecuaciones L.6 y L./ nos da como resultado:
1
S

1
S ' '
=
1
f 1

1
f 2
−
D
S ' D−S' 
si los lentes están en contacto, la distancia D se puede considerar como D=0; la
ecuación L.8 tiene la forma
1
S

1
S ' '
=
1
f 1

1
f 2
El foco de los lentes combinados cumple con
1
F
=
1
f 1

1
f 2
.
El aumento que experimenta una imagen es:
h: Altura original del objeto.
h': Altura aparente del primer lente
h'': Altura aparente del segundo lente
Luego, el aumento es:
h'
h
h' '
h'
=
h' '
h
=
S
S '
D−S '
S' '
. Si D=0, obtenemos la ecuación de
un lente.
L.6
L.7
L.8

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