Ondas viajeras a cv2

Ondas Viajeras
Oscilaciones
Introducción. Vibraciones mecánicas
Movimiento Armónico Simple
Algunos sistemas oscilanter
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas y resonancia
Ondas viajeras
Movimiento ondulatorio. La ecuación de ondas
Ondas periódicas: Cuerdas, sonido y ondas
electromagnéticas
Ondas en tres dimensiones. Intensidad
Ondas que encuentran barreras. Reflexión, refracción y
difracción
Efecto Doppler
Superposición e interferencia
Onsa estacionarias

INTRODUCCIÓN. ONDAS VIAJERAS
Una onda es una perturbación que viaja a través del espacio
y del tiempo, con transporte de energía
Las ondas viajan y el movimiento ondulatorio transporta energía de
un punto a otro, usualmente sin desplazamiento permanente de las
partículas del medio y, en muchas ocasiones, sin desplazamiento
de masa.
Las ondas se describen mediante la función de onda, cuya ecuación
matemática depende de la onda y del medio

INTRODUCCIÓN.TIPO DE ONDAS
Ondas transversales y longitudinales
En las ondas transversales la perturbación es en una direción perpendicular al
desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la
perturbación es en la misma dirección.
Teniendo en cuenta el medio en el que se propagan:
Ondas mecánicas, que se propagan en un medio en el que la substancia que
constituye el medio es la que se deforma. La deformación tiende a corregirse
mediante fuerzas restauradoras que aparecen como consecuencia de la
deformación.
Ondas en una cuerda
Ondas de sonido, que se propagan en un fluido, generalmente aire
Olas, tsunamis
Ondas electromagnéticas: Un tipo de ondas pueden viajar en el espacio
vacío, y se denomina radiación electromagnética, luz visible, radiación
infraroja, radiación ultravioleta, rayos gamma, rayos X, microondas, ondas de
radio y TV. Este tipo de ondas consiste en campos eléctricos y magnéticos
oscilando en la dirección perpendicular al movimiento.

Ondas transversales y longitudinales
En las ondas transversales la perturbación es en una direción
perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las
ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección.

Pulsos
Velocidad de
las ondas
La forma del pulso se
representa por f(x). El
pulso viaja a lo largo de
la cuerda
y  f x 
vt
 
( )
y f x vt
( )
Descripción matemática
del pulso que viaja: la
función de onda
y: la deformación del medio desde la posición de equilibrio
v: velocidad de propagación de la onda
Las funciones de onda son soluciones de una
ecuación diferencial llamada la ecuación de ondas,
que puede ser derivada de las Leyes de Newton
2
2
2 y
1
2 2
t
y
x v






Pulsos que viajan. Un ejemplo
Función de ondas
 
sen x t
2

x t
1 2 2
y
 

donde x, y están en
metros, t en
segundos
Escribimos la función de la onda de tal
forma que aparezca explícitamente el
grupo x+v·t.
Gráfica del pulso
a diferentes
instante



 
x (m)
y (m)
t = 0
t = 2
t = 4
2
2

1 4
2
sen 2










t
x
t
x
y
El pulso se mueve hacia la
izquierda con una velocidad
de 0.5 m/s. Notar que v t = t/2.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5

Velocidad de las ondas
Una propiedad general de las ondas es que su velocidad relativa al medio
permanece constante, pero es independiente del movimiento de la fuente de ondas.
F
F tension en la cuerda
densidad lineal de masa (kg /m)
v
T
T



Velocidad de una
onda en una cuerda
Una cuerda de 25 m de larga y masa de 0,5 kg
se mantiene tensa por un objeto de masa 10 kg
que cuelga de ella como se muestra en la figura.
¿Cuál es la velocidad de un pulso en esta
cuerda. Si la masa de 10 kg se reemplaza por
una de 20kg, ¿Cuál es ahora la velocidad del
pulso?
Ondas transversales viajan a 150 m/s en un
cable de longitud 1 m, que está bajo la tensión de
550 N. ¿Cuál es la masa del cable?
Una cuerda de piano de acero de 0,7 m de
longitus posee una masa de 5 g. Si se estira con
una tensión de 500N. ¿Cuál es la velocidad de
las ondas transversales en la cuerda?

Velocidad de las ondas mecánicas
Las ondas mecánicas requieren de un medio para propagarse. La
velocidad depende de las características del medio
Sonido

(en un material
v 
elástico) 
β modulo de
compresión
uniforme
ρ densidad
P
V

V

  
Para las ondas de sonido en el aire,los cambios de presión ocurren tan rápidamente, al menos para
las frecuencias audibles, que el proceso de compresión y expansión se puede considerar adiabático.
RT
M
v


Sonido
(en aire)
γ coeficiente adiabático, para aire 1,4
R Constante universal de los gases 8.314 J/(mol.K)
M: Masa molar del gas, aire 28.96x10-3 kg/mol
T: Temperatura absoluta
Calcular la velocidad del sonido (a) 0ºC y (b)
20ºC
El módulo de compresión uniforme para el agua
es 2.0x109 N/m2. Encontrar la velocidad del
sonido en el agua (b) La velocidad del sonido
en mercurio es 1410 m/s ¿Cuál es el valor del
módulo de compresión uniforme? (ρ = 13.6 x
103 Kg/m3 )
Ondas en sólidos
Y

v 
  densidad del sólido (kg/m3)
Y Módulo de Young
F /
A
L L
Y
/
esfuerzo
deformación

 

ONDAS PERIÓDICAS
Ondas Armónicas
Las ondas armónicas son el tipo de ondas más básico. Sin embargo, todas
las ondas, periódicas o no, pueden ser construidas como combinación de
ondas armónicas.
Un ejemplo de onda armónica es la que se genera en una cuerda cuando
en su extremo se aplica un movimiento armónico simple; en este caso una
onda sinusoidal recorre la cuerda, y cada punto de la cuerda vibra con un
movimiento armónico simple.

Ondas armónicas: La función armónica
cresta
λ, longitud de onda: la mínima distancia en que
la onda se repite (por ejemplo, la distancia entre
crestas consecutivas)
f

 
v 
T
Relación básica entre la longitud
de onda λ , velocidad v,
período, T, y frecuencia, f
La forma de la perturbación
sinusoidal se describe como
x
  
sin(2  )

y A
Para una onda viajera en la dirección
positiva de x, con velocidad v, se
obtiene reemplazando x, por x –vt, y
si consideramos δ = 0
sin(2 )
ft
x
 sin 2 (  )


y A kx t
sin( )
y A
x vt
y A




 



2

k 
k: número de ondas

Ondas Armónicas: Transferencia de energía en una cuerda
La energía de un punto que vibra con
un MAS es
1
2 2 2
E U K k A m A  total    
2
1
2
En la cuerda donde una onda
armónica se ha generado, la energía
de una partícula de masa dm es
1
m
2 2 2 2
2
m
dx
l
1
2
 dxA 
l
dm

E dm A
total  
Transferencia de
Energía
La energía se transfiere desde el punto
que vibra a toda la cuerda, de tal forma
que cuando la onda alcanza una
porción de la cuerda esta comienza a
vibrar y gana energía. La energía
transferida por unidad de tiempo a
través de un punto es la potencia
1
1
m
dx
l
sin 2 2 2 2
2
2
 vA
l
A
dt
m
dt
E
Potencia pas g   

Ondas armónicas: Energía de las ondas sonoras
La función de ondas del sonido es aquella
que obtenemos considerando en vez del
desplazamiento transversal y(x,t), el
desplazamiento longitudinal s(x,t), en la
forma
Energy transfer
En el caso del sonido, la masa
vibrando en un punto será la que
corresponda a un volumen de aire
dV, esto es dm = ρ dV. Así pues:
s(x, t) s sin(kx t) o  
A los desplazamientos corresponden
variaciones de presión, dadas por
p x t p kx t
o
p 
v s
o o



   )
2
( , ) sin(
1
2 2 2 2
dE  dm A 
dV s
  
total o
2 2
1
1
2
2
2
 
o
dE
total
s
dV

Energía por unidad de
volumen

Ondas en Tres Dimensiones
Fuente
Frentes de
onda Rayos

Intensidad de la Onda. Aplicación al caso de ondas sonoras
Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye
uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una
onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y
unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación
p
v
P
dE
 
  
dE
dE
1
 
v s v
P
dE
dr
A
dE
dV
dE
P
A
I
Av
dV
dt
dV
Adr
dV dt
dV
dtdV
dt
P
r
A
I
o
 
1
o 

2
2 2
2
2
2
4
   
Para el caso de una onda
sonora
El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra a 1 kHz, con una amplitud de 0.020
mm. Suponemos que las moléculas de aire vibran con esa amplitud, (a) encontrar la
amplitud de la presión (b) la intensidad de la onda sonora enfrente del diafragma © la
energía sonora radiada (d) si el sonido se irradia uniformemente en el hemisferio, calcular
cual es la intensidad a 5 m del diafragma

INTENSIDAD Y VOLUMEN SONORO. EL OIDO HUMANO
Respuesta del oido humano:
Intensidad umbral de la onda sonora 10-12 W/m2
Sensación dolorosa 1 W/m2
La percepción del oido
humano no es
proporcional a la
intensidad de la onda.
Es por ello por lo que
se usa una escala
logarítmica para
describir la intensidad
para el oído humano,
la cual se mide en
decibelios, y se define
por:
I
o I
  10 log10

Ondas que encuentran barreras:
Reflexión, refracción y difracción
Light beam exhibiting reflection,
refraction, transmission and
dispersion when encountering a
prism

Ondas que encuentran barreras:
Reflexión, refracción y difracción
Refracción de una onda
sinuosidal que incide bajo
cierto ángulo y entra en
una región en que la
velocidad de propagación
es menor. Ejercicio:
cuantificar la frecuencia
de la onda incicdente y
reflejada
Sinusoidal traveling plane wave
entering a region of lower wave
velocity at an angle, illustrating the
decrease in wavelength and
change of direction (refraction) that
results:

Ondas que encuentran barreras: difracción

EFECTO DOPPLER (a)
Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia
del receptor no es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de
acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia
es menor. Esto es conocido como el efecto Doppler.
v

fr 
v u
s
s
v u T

  (  ) 
s s f
Para el caso de un receptor
estacionario
Número de crestas por unidad
de tiempo que pasan por el
receptor
El signo negativo es para el receptor delante,
cuando la fuente se mueve hacia el receptor.
El signo positivo es para el receptor detrás de
la fuente, cuando la fuente se aleja de él.
s
v v
r f
s
v u
f

 

En el instante 5 la fuente emite una cresta. En un
período Ts, mientras la cresta viaja una distancia vTs,
la fuente se desplaza usTs y alcanza el punto 6, La
longitud de onda es entonces (v-us)Ts
Todo el movimiento se
describe respecto al medio

EFECTO DOPPLER (I)
Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia del receptor no
es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que
mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Esto es conocido como el efecto
Doppler.
Todo el movimiento se describe respecto al medio

r
r
v u
f


Para el caso de un
receptor que se mueve
respecto del medio
Número de crestas por
unidad de tiempo que
pasan por el receptor
Si se mueven simultáneamente fuente y receptor
v u
s
s
v u T

  (  ) 
s s f
s
r
v 
u
r f
s
v u
f


Movimiento
del receptor
El signo positivo del numerador es cuando el receptor
se mueve hacia la fuente. En el denominador, el signo
negativo es cuando la fuente se mueve hacia el
receptor. La regla básica es que la frecuencia tiende a
incrementarse cuando la fuente y cuando el recpetor
se mueve hacia la fuente.

EFECTO DOPPLER (y II)
Doppler.
Todo el movimiento se describe respecto al medio

r
r
v u
f


Para el caso de un
receptor que se mueve
respecto del medio
Número de crestas por
unidad de tiempo que
pasan por el receptor
Si se mueven simultáneamente fuente y receptor
v u
s
s
v u T

  (  ) 
s s f
s
r
v 
u
r f
s
v u
f


Movimiento
del receptor
El signo negativo es para el receptor delante.
El signo positivo es para el receptor detrás de
la fuente

EFECTO DOPPLER. Resumen y Ejercicios
Doppler.
Todo el movimiento,
todas las velocidades,
se describen respecto al medio
s
r
v 
u
r f
s
v u
f


fr frecuencia observada por el receptor;
fs frecuencia que emite la fuente;
v velocidad de propagación de la onda;
ur velocidad del receptor;
us velocidad de la fuente;
Cuando el receptor se mueve hacia la fuente,
se elige el signo positivo en el numerador.
Cuando la fuente se mueve hacia el receptor,
signo negativo en el denominador
La frecuencia del silbato de un tren es de 400 Hz. Si
el tren se mueve a una velocidad de 122 km/h, (a) con
qué frecuencia se oye la bocina por un observador
situado delante del tren en el sentido de la marcha;
(b) por un observador situado detrás del tren; (c).
Suponer ahora que el observador se mueve en una
vagoneta a una velocidad de 120 km/h, en la misma
dirección que el tren pero en sentido contrario ¿con
qué frecuencia oye ahora el silbato?
** El radar de la policía emite con frecuencia 1.5x109
Hz. Un coche pasa delante del radar y la frecuencia
de la onda reflejada por el coche, que recibe el
receptor, situado al lado del emisor, es de 500 Hz
menos que la emisora. ¿Cuál es la velocidad del
coche?. ** Considerar que el coche actúa como
receptor y emisor.
Un barco en reposo está equipado con un sonar que emite pulsos de sonido a 40 MHz. Los
pulsos reflejados por un submarino situado justo en la vertical del barco llegan con un tiempo de
retardo de 80 ms, y una frecuencia de 39.958MHz. (a) ¿Cuál es la profundidad del submarino?;
(b) cual es la velocidad del submarino en el eje vertical?. Velocidad del sonido en agua de mar:
1540 m/s

ONDAS DE CHOQUE
Cuando el emisor se mueve más rápidamente que la velocidad de
propagación de las ondas, no hay ondas delante del emisor, entonces las
ondas se acumulan detrás y forman una onda de choque.

SUPERPOSICION DE ONDAS, INTERFERENCIA
ONDAS ESTACIONARIAS
Cuando dos o más ondas se superponen en el espacio, las
perturbaciones individuales de cada onda se suman algebraicamente,
creando una nueva onda. Esta propiedad es el principio de
superposición
Cuando se superponen ondas armónicas de la misma frecuencia se
pueden producir patrones ondulatorios sostenidos en el tiempo. Este
fenómeno es interferencia
Fenónmenos de interferencia y difracción distinguen las partículas de
las ondas

SUPERPOSITION OF WAVES
y y y A kx t A kx t
   sin(   )  sin(    
)

1 2
A 1
kx t
1
2 cos( )sin( )
2
2
   

Constant
phase 0
Interference
Constant
phase π/2

Interferencia:
Constructiva y
destructiva
Diferencia de fase
debida a diferencia
en el recorrido.

ONDAS ESTACIONARIAS
Una onda estacionaria es una onda que permanece en la misma posición.
Este fenómeno ocurre cuando en un medio estacionario se d la interferencia
entre dos ondas que viajan en direcciones opuestas.
La suma de dos ondas que se propagan una contra otras (de igual amplitud y
frecuencia) crean una onda estacionaria, en la que se distinguen nodos y
vientres

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