Kuhn Tucker y Lagrange
- 2. Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.
- 3. En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.
- 4. Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las variables adicionales. Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de un problema son despedidos por las restricciones.
- 5. La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto . El multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.
- 6. En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se interpretan como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.
- 7. Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos. Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange. Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante. Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.
- 8. Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.
- 9. Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez (1939) en la tesis de Maestría de William Karush (1917-1997) (en aquél entonces estudiante de matemáticas de la Universidad de Chicago), aunque fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker en 1951. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad.
- 10. En programación matemática, las condiciones de Karush-KuhnTucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática séa óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange
- 11. La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del consumidor.
- 12. Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
- 13. Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de los objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan cotidiana que prácticamente no le prestamos atención. En muchos casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como fruto de la experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos enfrentamos es muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y son graves sus consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y evaluación.
- 14. Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector privado como en el público, son tan complejos que no pueden resolverse usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica. Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten comprender los sistemas reales y, en general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un todo.
- 15. Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y financiera. Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y expresando en forma de igualdad las saturadas. También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de sistemas, matemática, toma de decisiones entre otras.