P O L A R I Z A C I O N

POLARIZACIÓN

1.- INTRODUCCION
La radiación electromagnética se propaga en la forma de dos ondas vectoriales
acopladas mutuamente, una onda del campo eléctrico y una onda del campo magnético. Tanto el
campo eléctrico E(r,t) como el magnético B(r,t) son funciones de la posición r y del tiempo t, y
estos campos están relacionados entre sí por medio de las ecuaciones de Maxwell que, en el
vacío y en ausencia de cargas eléctricas y corrientes, toman la forma:

div E = 0

div B = 0
(5.1)
(1)
rot E = - ∂ B
∂t
rot B = ε 0 µ 0 ∂E
∂t

donde ε 0 = 8.8544 x 10-12 N-1m-2C2 y µ0 = 1.2566 x 10-6 m kg C-2 son la permitividad y la
permeabilidad del vacío, respectivamente, de modo que las ondas electromagnéticas se
propagan en el vacío con una velocidad:
1 8
c= ≈ 3 x 10 m/s (2)
ε 0 µ0

En el caso de la luz, aunque la energía luminosa es transportada por los dos campos, el
eléctrico E y el magnético B, cuando se estudian los fenómenos luminosos es costumbre asignar
un papel preferente al campo eléctrico E, pues es el responsable de la mayoría de los fenómenos
que permiten detectar la luz, como son la acción fotoquímica en la retina del ojo o el
desplazamiento de cargas en los cristales de las emulsiones fotográficas.

2.- POLARIZACION
Las ondas electromagnéticas son ondas transversales. En toda onda transversal, la
vibración es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Por tanto en una onda
electromagnética plana que se propague en la dirección del eje x, el campo eléctrico E es
perpendicular a esta dirección al igual que el campo magnético B que, además, también es
perpendicular a E (Figura 1).

Si la vibración de una onda transversal se mantiene paralela a una línea fija en el espacio,
se dice que la onda está polarizada linealmente. En la Figura 1 la dirección de propagación, que
viene determinada por la dirección del producto vectorial E x B, corresponde al eje x, y si la onda
está polarizada linealmente E vibra según la dirección del eje y, mientras que B lo hace según el
eje z. Normalmente la dirección de polarización se define según el vector E en lugar de B. De
acuerdo con este convenio en la Figura 1 la onda electromagnética está polarizada linealmente
según el eje y. El plano que contiene a E y a la dirección de propagación de la onda se denomina
plano de polarización (plano xy en la Figura 1).

A. Beléndez, "Fundamentos de Óptica para ingeniería Informñatica". Universidad de alicante (1996). ISBN: 87-7908-278-X.

REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN 2

y

E c

B
x
z

y
Frente
de onda

E
0 Dirección de
c propagación

B x

z

Figura 1

Se dice que una onda está polarizada circularmente cuando el vector E mantiene su
módulo fijo, mientras que su dirección gira en el espacio con una frecuencia angular ω
constante. La variación de E puede representarse mediante un vector de módulo constante que
gira alrededor del eje x con velocidad angular ω constante (Figura 2). En este esquema, la punta
del vector E describe una circunferencia, y las componentes Ey y Ez del vector campo eléctrico
oscilan con la misma amplitud y tienen una diferencia de fase de π/2. Cuando un observador
que se pusiera en el eje x viendo venir hacia él la onda y viera que el vértice del vector E gira en
el sentido de las agujas del reloj, entonces diría que la onda está polarizada circularmente a
derechas (dextrógiro), tal y como se ve en la Figura 2, mientras que si lo hace en sentido
contrario del giro de las agujas del reloj, la onda está polarizada circularmente a izquierdas
(levógiro).

Una onda polarizada elípticamente es similar a una onda polarizada circularmente
salvo que, en cada punto, las componentes Ey y Ez del vector campo eléctrico E tienen
amplitudes diferentes. En este caso el vértice del vector E describe una elipse (Figura 3).



y

z

x

Figura 2

z

E
Ez
ωt
0 Ey y

Figura 3

En el caso de considerar ondas electromagnéticas correspondientes a la zona visible, se
tiene que la luz que emite una fuente ordinaria no está polarizada. Este es el caso del filamento
de una bombilla, en el que átomos y moléculas actúan independientemente, emitiendo trenes de
ondas de luz cuyas polarizaciones no están relacionadas, de modo que la luz resultante consiste
en una mezcla de polarizaciones al azar y la luz es no polarizada, recibiendo el nombre de luz
natural.

Vamos a considerar a continuación una onda luminosa cuyo vector campo eléctrico E
tiene como componentes (Ey ,Ez), las cuales, en un punto x determinado del espacio varían con el
tiempo t según las ecuaciones:



 
Ey = A y cos  ω  t - x 
  + ϕy  (3)
  c 


 
Ez = A z cos  ω  t - x 
  + ϕz  (4)
  c 

donde:

E(x,t) = Ey uy + Ez uz (5)

siendo uy y uz los vectores unitarios según el eje y, y el eje z, respectivamente. Llamando:

δ = ϕz - ϕy (6)

a la diferencia de fase de las dos ondas, es posible escribir, a partir de las ecuaciones (3) y (4),
la ecuación paramétrica de una elipse:

2
Ey Ez2 Ey Ez
+ - 2 cos δ = sen2δ (7)
2
Ay 2
Az Ay Az

La ecuación (7), tomando Ey = y, Ez = z, representa una elipse y recibe el nombre de
elipse de polarización (Figura 4(a)), cuya excentricidad y orientación de sus ejes en el plano yz
depende sólo de δ, pero no de t. La onda electromagnética resultante es, por tanto, polarizada
elípticamente. Como los valores extremos que pueden tomar Ey y Ez son ±Ay y ±Az,
respectivamente, la elipse se encontrará siempre inscrita en el rectángulo de lados 2Ay y 2Az. Al
variar t, varían sinusoidalmente Ey y Ez y el extremo del vector campo eléctrico resultante E
recorre la elipse. Para ver el sentido de recorrido conforme aumenta el tiempo t, vamos a escribir
las ecuaciones (3) y (4) como:

Ey = Ay cos (ω t - kx) (8)

Ez = Az cos (ω t - kx+ δ) (9)

lo que puede hacerse cambiando convenientemente el origen de tiempos, y ahora analizaremos lo
que sucede en el plano x = 0 y en el instante t =0. Como se ve en la Figura 4(b), en este instante
el vector E = 0M tiene su extremo en el punto M de tangencia de la elipse con el lado 2Az en las
z positivas, y como se cumple que (∂Ez/∂t)t = 0 = - Az sen δ, entonces Ez será decreciente a partir
de M si 0 < δ < π. En este caso, un observador que mirara el extremo del vector E desde el eje x
positivo de modo que las ondas avanzasen hacia él, lo vería circular con el sentido que se indica
en la Figura 4(b), es decir, en sentido dextroso, por lo que a esta onda electromagnética elíptica
se llama dextrógira. Por el contrario, si π < δ < 2π, se tendrá una onda electromagnética levógira.



z
z
Az
Ez y
M(x,y)
E E M
Ay
2A z y
0
Ey
x

2A y

(a) (b)

Figura 4

Si δ = 2mπ, con m un entero, de la ecuación (7) queda:

Az
Ez = E (10)
Ay y

por lo que la elipse degenera en una recta doble y corresponde a una onda electromagnética
polarizada linealmente (Figura 5(a)).

z z

2A z 2A z
y y

2A y 2A y

(a) (b)
Figura 5

Si por el contrario δ = (2m+ 1)π, con m un número entero, de la ecuación (7) se tiene
que:
Az
Ez = - E (11)
Ay y

y la onda electromagnética también es polarizada linealmente (Figura 5(b)).
Los demás casos corresponden a polarización elíptica. La Figura 6 representa la elipse
de polarización y su sentido de recorrido para distintos valores de δ de quien únicamente



depende, observándose que cuando δ = 2kπ y δ = (2k + 1)π, la elipse degenera en una recta
doble, resultando en ambos casos luz polarizada linealmente.

2Ay

2Az Dextrógiro

0 < δ < π/2 δ = π/2 π/2 <δ < π

Levógiro

π <δ < 3π/2 δ = 3π/2 3π/2 <δ < 2π

Figura 6

Cuando Ay = Az y δ = (2k + 1)π/2 es fácil comprobar que la elipse se convierte en una
circunferencia, obteniéndose una onda electromagnética polarizada circularmente. )

3.- MEDIDA DE LA POLARIZACION
En el caso particular de la luz, ésta puede polarizarse cuando se hace pasar a través de
un dispositivo denominado polarizador. Los polarizadores más familiares son las láminas
Polaroid o polaroides. Un polarizador es un dispositivo que transmite selectivamente luz que
tiene su plano de polarización paralelo el eje de transmisión del polarizador. La luz que tiene su
plano de polarización perpendicular al eje de transmisión queda bloqueada. En la Figura 7 un
haz de luz no polarizada incide sobre un polarizador y el campo eléctrico de la onda transmitida
en un punto, y en un instante particular, es paralelo al eje de transmisión del polarizador. En este
caso el polarizador deja pasar la mitad de la intensidad de la luz natural incidente.

3.1 Ley de Malus
Supongamos que la luz polarizada previamente mediante un polarizador pasa a través de
un segundo polarizador, como se ve en la Figura 8. Para distinguirlo del primero el segundo
polarizador suele denominarse analizador.
Vamos a suponer que el eje de transmisión del polarizador forma un ángulo θ con la
vertical, mientras que el eje de transmisión del analizador es vertical. Si la amplitud del campo
eléctrico transmitido por el polarizador es E0 , sólamente su componentes E0 cosθ, paralela al eje
de transmisión del analizador pasará hacia el detector (suponiendo que no hay absorción).



θ
E
θ
Detector

Luz polarizada
Luz natural Polarizador linealmente
incidente lineal transmitida

Figura 7

Eje de
transmisión
E cos θ

E cos θ
θ Detector
E
θ

Analizador Luz polarizada
linealmente

Polarizador Luz polarizada
Luz natural lineal linealmente
incidente

Figura 8

Como la intensidad I de la onda es proporcional a la amplitud E, tenemos que:

I0 ∝ E0 2 (12)

I ∝ E0 2cos2θ (13)

como la constante de proporcionalidad es la misma en ambos casos, queda:

I = I0 cos2θ (14)

Expresión que se conoce como Ley de Malus. Es evidente que si los ejes de transmisión del
polarizador y el analizador son paralelos (θ = 0°) se tiene que I = I 0 , mientras que si estos ejes
son perpendiculares (θ = 90°), entonces I = 0, y no hay luz transmitida por el analizador.
3.2 Grado de polarización
En un polarizador ideal toda la luz polarizada paralela al eje de transmisión se transmite,


y no se transmite luz perpendicular a dicho eje. Sin embargo, en un polarizador real si que se
puede transmitir algo de luz polarizada perpendicularmente a su eje de transmisión. Para
caracterizar la polarización de la luz se utiliza el grado de polarización P de la luz, definido
mediante:
I || + I⊥
P = (15)
I || + I⊥

donde I|| es la intensidad medida por el detector (Figura 8) cuando los ejes de transmisión del
polarizador y el analizador son paralelos (θ = 0°), e I⊥ cuando estos ejes son perpendiculares (θ
= 90°), suponiendo que el polarizador no es ideal pero sí lo es el analizador. Si por ejemplo la
luz que incide sobre el analizador no está polarizada, entonces se tiene que I|| = I ⊥, y por tanto P
= 0, mientras que si la luz que incide en el analizador está totalmente polarizada, I⊥ = 0, y
entonces P = 1. Así pues, se cumple que 0 ≤ P ≤ 1.

4.- REFLEXION Y REFRACCION
En este apartado se va a examinar la reflexión y la refracción de una onda
electromagnética plana monocromática de polarización arbitraria que incide sobre una superficie
plana que separa dos medios dieléctricos homogéneos e isótropos de índices de refracción n 1 y
n2. Las ondas incidente, reflejada y refractada se indicarán mediante los subíndices i, r y t,
respectivamente, como se muestra en la Figura 9, en la que k i, k r y k t representan los vectores
de onda de las ondas incidente, reflejada y refractada, respectivamente.

ki

θ1
kr
θ1

n1
θ2
n2 Superficie
de separación
kt
Plano de
incidencia

Figura 9

Podemos considerar que cada uno de los campos eléctrico y magnético pueden
escribirse como la suma vectorial de una componente paralela al plano de incidencia, designada
por el subíndice ||, y una componente perpendicular al mismo, designada por el subíndice ⊥ .
Debido a la perpendicularidad entre los campos E y B, tenemos una componente E|| asociada
con B⊥ y una componente E⊥ asociada con B|| . Según se ha indicado en el apartado 2, la
polarización de una onda electromagnética está determinada, por convenio, por la dirección del
campo eléctrico; por ello se ha representado en la Figura 10(a) las componentes de E y B
polarizadas paralelamente al plano de incidencia y en la en la Figura 10(b) para polarización



perpendicular al plano de incidencia. En cada caso las flechas indican las orientaciones
consideradas positivas para las componentes de E. En el caso general es una combinación de
ambas polarizaciones, ya que, como se ha indicado anteriormente, los campos E y B pueden
siempre separarse en las componentes || y ⊥ . El modo en el que el campo eléctrico está
polarizado en una dirección perpendicular al plano de incidencia se denomina transversal
eléctrico (TE), mientras que si el campo eléctrico está polarizado en una dirección paralela al
plano de incidencia se denomina transversal magnético (TM), pues entonces, al ser E y B dos
vectores perpendiculares, la dirección del campo magnético es perpendicular al plano de
incidencia.

Ei||
Ei ⊥ kr Er || kr
Er⊥ Bi ⊥
ki ki Br⊥
Bi|| θ1 θ1 B r|| θ1 θ1

n1 n1

n2 n2

θ2 θ2
Et ||
Et⊥ Bt⊥
Bt||

kt kt

(a) (b)
Figura 10

Las ecuaciones de Maxwell proporcionan ciertas relaciones entre las componentes
paralela y perpendicular de los campos eléctrico y magnético a ambos lados de la superficie de
separación entre los dos medios, lo que permite establecer las relaciones entre las componentes
del campo eléctrico en las ondas incidente, reflejada y refractada. Según la teoría
electromagnética la componente de E tangente a la superficie de separación y la componente de
B normal a la superficie de separación deben ser continuas en el superficie de separación, es
decir:
un x Ei + un x Er = un x Et (16)

un. Bi + un. Br = un. Bt (17)

donde u n es un vector unitario normal a la superficie de separación entre los dos medios. A
parte de estas condiciones y de la relación k x E = vB existente entre los campos E y B (en la
que k es el vector de onda y v la velocidad de propagación), pueden calcularse los coeficientes
de reflexión, r, y de refracción o transmisión, t, definidos como la razón de la amplitud
reflejada a la incidente, y de la amplitud transmitida a la incidente, respectivamente. Para medios
no magnéticos se cumple µ1 = µ 2 ≈ µ 0 , lo que es válido en un gran número de casos, y se
obtiene:

Er || n cos θ2 - n2 cos θ1
r || = = n1 (18)
Ei || cos θ2 + n2 cos θ1
1



Er ⊥ n cos θ - n cos θ
r⊥ = = n1 1 2 2 (19)
E cos θ1 + n2 cos θ2
i⊥ 1
Et || 2n1 cos θ1
t|| = = n (20)
E cos θ2 + n2 cos θ1
i ||1
E 2n 1 cos θ1
t⊥
t⊥ = = n (21)
Ei ⊥ cos θ1 + n2 cos θ2
1

Estas ecuaciones se conocen con el nombre de fórmulas de Fresnel.

Luz incidente Luz reflejada Luz incidente
(no polarizada) (linealmente polarizada) Ei || polarizada (TM)
E i ||
kr
Ei ⊥ ki ki
θB θB E r⊥ θB

n1 n1
π
2 n2 n2

θ2 θ2 Et ||
Et ||
Et ⊥
Luz refractada Luz refractada
(no polarizada)
kt kt
polarizada

(a) (b)
Figura 11

Hay una situación muy importante que corresponde a r || = 0. Entonces, según la
ecuación (18), la onda reflejada no tiene componente eléctrica del tipo Er|| , sino sólo la Er⊥ .
Luego, la onda reflejada está totalmente polarizada en un plano perpendicular al plano de
incidencia, lo que según la ecuación (18) ocurre cuando se cumple n2cosθ1 = n1cosθ2. Como
según la ley de Snell se debe cumplir también la condición n1senθ1 = n2senθ2, entonces resulta
que:
senθ1 cosθ1 = senθ2 cosθ2 (22)

o bien sen2θ1 = sen2 θ2, cuya solución es 2θ1 = π - 2θ2 o bien θ1+ θ2 = π/2, y esto implica que
los rayos reflejado y refractado son perpendiculares. En consecuencia, cuando los rayos
reflejado y refractado son perpendiculares, el rayo reflejado está totalmente polarizado, estando
el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Esta situación se ha representado en la
Figura 11(a). Como además de esta figura se ve que senθ1 = sen θ2 y por tanto, de la ley de Snell
queda:



n
tg θ1 = n2 (23)
1

Ecuación que recibe el nombre de Ley de Brewster y el ángulo de incidencia que cumple la
ecuación (23) recibe el nombre de ángulo de polarización o ángulo de Brewster, θ1 = θB. Se
volverá sobre esta cuestión en al apartado 5.1.

Por otra parte, si una onda TM, es decir, polarizada en una dirección paralela al plano de
incidencia, incide sobre la superficie de separación con el ángulo de Brewster θB, como se tiene
que r|| = 0 no hay onda reflejada y toda la luz es transmitida al segundo medio sin pérdidas por
reflexión (Figura 11(b)). Las láminas planoparalelas que trabajan de esta manera, es decir, con
ondas planas TM incidiendo con el ángulo de Brewster se conocen como ventanas de Brewster.

Puede demostrarse que no es posible tener r⊥ = 0 y satisfacer al mismo tiempo la ley de
Snell. Por consiguiente, la componente perpendicular del campo eléctrico en la onda reflejada no
puede ser cero a menos que ya lo sea la onda incidente. También puede comprobarse de las
ecuaciones (20) y (21) que los coeficientes de transmisión t⊥ y t|| no pueden anularse y por
consiguiente la onda refractada no está nunca completamente polarizada, salvo que la onda
incidente lo esté. Además, se puede ver como los coeficientes de transmisión t son positivos, de
modo que la onda transmitida está siempre en fase con la onda incidente. Sin embargo, los
coeficientes de reflexión r pueden ser positivos o negativos, y la onda reflejada puede estar en
fase (r > 0) o tener un defasaje de π (ejπ = -1; r < 0) respecto a la onda incidente.

A partir de las ecuaciones (18)-(21) es fácil comprobar lo que sucede si la onda
incidente sobre la superficie de separación es TE o TM, pues en el primer caso únicamente
existirían los coeficientes r || y t|| , mientras en el segundo serían r ⊥ y t⊥ .

Por otro lado, la energía que transporta la onda incidente se divide, en un cambio de
medio, en dos partes correspondientes a las ondas reflejada y transmitida. Para estudiar las
relaciones que existen entre las intensidades de la luz incidente, reflejada y transmitida, Ii, Ir e It,
respectivamente, se introducen el factor de reflexión R y el factor de transmisión T como
cocientes de la energía reflejada y transmitida a la energía incidente por unidad de área de la
superficie de separación, cumpliéndose, por el principio de conservación de la energía, la
relación:

R+T=1 (24)

Como las ondas reflejada e incidente se propagan en el mismo medio y forman el mismo ángulo
con la normal a la superficie, entonces:

R = | r |2 (25)

y por tanto, T = 1 - R = 1 - | r | 2, es decir:

n cos θ2
T = 2 2
n 1 cos θ1 | t | (26)

que, en general, no coincide con | t | 2. Es fácil comprobar que tanto para polarización TE como
para TM, y para refracción interna como externa, el factor de reflexión en incidencia normal es:



 n1 - n2 2
R= 


 (27)
n1 + n2

Por ejemplo, y para el caso de la luz, en la superficie de separación entre vidrio (n = 1.5)
y aire (n = 1) se tiene R = 0.04, es decir, en incidencia normal sólo el 4% de la luz incidente es
reflejada. Sin embargo, en la superficie de separación entre Ga As (n = 3.6) y aire (n = 1), R ≈
0.32, de modo que en incidencia normal el 32% de la luz incidente es reflejada. El factor de
reflexión R puede ser mucho mayor o mucho menor para ángulos oblicuos como se ve en la
Figura 12, en la que se ha representado R en función del ángulo de incidencia θ1 para
polarizaciones TE y TM en el caso de la superficie de separación entre aire y Ga As.

1.0
R
Factor de reflexión,

θ1

n=1 TE
0.5

n = 3.6 TM

0.0
0 15° 30° 45° 60° 75° 90°
θ1

Figura 12

5.- METODOS PARA POLARIZAR LA LUZ
El uso de la luz polarizada en sus diversas formas es frecuente en distintos sistemas
ópticos, pero, como es sabido, las fuentes naturales de luz no producen luz polarizada pura, por
lo que es necesario recurrir a ciertos métodos y dispositivos para obtener luz polarizada a partir
de luz natural. Lo más cómodo es obtener luz polarizada linealmente, pues a partir de ella se
puede obtener fácilmente luz polarizada circularmente y elípticamente de determinada
especificación. Entre los fenómenos más utilizados para producir luz linealmente polarizada
figuran la absorción selectiva y la reflexión y refracción en medios isótropos y anisótropos.

5.1 Polarización por reflexión
Cuando la luz natural incide sobre una superficie reflectante se observa que existe
reflexión preferente para aquellas ondas en las que el vector eléctrico vibra perpendicularmente
al plano de incidencia. Constituye una excepción el caso de incidencia normal, en el cual todas
las direcciones de polarización se reflejan igualmente. Para un ángulo de incidencia particular,
llamado ángulo de Brewster, θB, no se refleja más luz que aquella para la cual el vector eléctrico
es perpendicular al plano de incidencia (Figura 13).
Para un haz de luz natural que llega a una superficie que separa dos medios de índices
de refracción n1 y n2. Cuando, y si el ángulo de incidencia θ1 es igual a θB, los rayos reflejado y
refractado son perpendiculares entre sí (Figura 11(a)), y en este caso se cumple la ecuación (23):



n
tg θB = n 2 (28)
1

que es Ley de Brewster. Esta ley da el valor del ángulo de incidencia para el cual el haz reflejado
está totalmente polarizado.

Luz transmitida intensa,
pero sólo parcialmente
polarizada

θB
θB

Luz reflejada débil, pero
Normal
polaizada linealmente
Luz natural (en su totalidad)
incidente

Figura 13

5.2 Doble refracción o birrefringencia
La propagación de un tren de ondas en un medio homogéneo e isótropo, tal como el
vidrio, puede determinarse gráficamente mediante la construcción de Huygens. Las ondas
secundarias en dicho medio son superficies esféricas. Existen, sin embargo, muchas sustancias
transparentes que, aunque homogéneas, son anisótropas; es decir, la velocidad de una onda
luminosa que se propaga en ellas no es la misma en todas las direcciones. Los cristales que
tienen esta propiedad se dice que son birrefringentes o que exhiben doble refracción. En estos
cristales, cada frente de onda da lugar a dos conjuntos de ondas secundarias de Huygens, uno de
forma esférica y otro elipsoidal. Estos dos conjuntos de ondas secundarias son tangentes entre
sí en una dirección llamada eje óptico del cristal. Ciertos materiales cristalinos exhiben doble
refracción como la calcita (CO3 Ca) y el cuarzo cristalino (Si O2).

Un rayo que incide normalmente se divide en dos que atraviesan el cristal: el
correspondiente a los frentes de onda tangentes a las ondas secundarias esféricas no se desvía y
se denomina rayo ordinario; el correspondiente a los frentes de onda tangentes a los elipsoides
es desviado, aunque el incidente es normal a la superficie, y se llama rayo extraordinario. Tal y
como se ve en la Figura 14, desde un manantial puntual, en un cristal uniáxico, divergen ondas
esféricas y elipsoidales (Figura 14(a)). En la dirección del eje óptico no hay distinción entre los
haces ordinario (O) y extraordinario (E) (Figura 14(b)). En la dirección perpendicular al eje
óptico, es máxima la diferencia de velocidad y longitud de onda de los haces O y E (Figura
14(c)). Para una dirección que forme un ángulo arbitrario con el eje óptico, los haces O y E
difieren en dirección, velocidad y longitud de onda (Figura 14(d)). En la Figura 14 se ha
representado este efecto para un cristal en el cual la velocidad de las ondas elipsoidales es mayor
que las de las ondas esféricas, excepto en la dirección del eje óptico. En ciertos cristales la



velocidad de las ondas elipsoidales es menor que la de las ondas esféricas, salvo en la dirección
del eje óptico, donde son iguales. Este tipo de cristal y el descrito anteriormente se llaman
uniáxicos. Algunos cristales, que tienen dos direcciones diferentes en las cuales las velocidades
son iguales, se denominan biáxicos.

Eje óptico
A'

•0

Eje
A óptico

(a) (b)

Eje óptico
E
Frentes de onda E

O

Eje
Frentes de onda O óptico

(c) (d)
Figura 14

Si giramos el cristal tomando el rayo incidente como eje, el rayo ordinario permanece
fijo, mientras que el extraordinario gira alrededor de él (Figura 15).

Figura 15



Además, para ángulos de incidencia distintos de 0°, la ley de Snell (es decir, la relación
senθ1/senθ2= constante) se cumple para el rayo ordinario, pero no para el rayo extraordinario,
puesto que evidentemente la velocidad del último es distinta en las diferentes direcciones. El
índice de refracción para el rayo extraordinario es función de la dirección. Es costumbre
referirse al índice que corresponde a la dirección perpendicular al eje óptico, en la cual la
velocidad es máxima o mínima. en la Tabla I se indican algunos valores de los índices de
refracción nO y n E, correspondientes a los rayos ordinario y extraordinario para una longitud de
onda de 589 nm.

Tabla I.- Indices de refracción para la luz amarilla del Na (λ = 589 nm)
de varios cristales uniáxicos
Sustancia nO nE

apatita 1.6461 1.6417
calcita 1.6583 1.4864
circonio 1.9239 1.9682
cuarzo 1.5442 1.5533
esmeralda 1.582 1.576
espato de Islandia 1.658 1.486
hielo 1.309 1.313
nitrato de sodio 1.5854 1.3369
rutilo 2.616 2.903
turmalina 1.669 1.638

Los materiales birrefringentes se utilizan como polarizadores, pues las ondas ordinaria y
extraordinaria en un cristal birrefringente están polarizadas linealmente en direcciones
perpendiculares entre sí (Figura 16). En consecuencia, si se dispone de algún medio para separar
una onda de la otra, podrá utilizarse un cristal birrefringente para obtener luz polarizada
linealmente a partir de luz natural.

S θS Rayo Rayo
superficie k
extraordinario ordinario
k
Eje Eje •
ópt ópt
ico k ico θS

Cristal

Aire

Rayo
incidente
•

Figura 16

Un tipo de dispositivo muy utilizado para polarizar luz natural incidente está formado
por dos prismas cementados fabricados cada uno de ellos con un material anisótropo uniáxico,



pero con los ejes ópticos de cada uno de los prismas con diferentes orientaciones, como se ve en
la Figura 17 en la que se han representado un prisma de Wollaston (a), un prisma de Rochon
(b) y un prisma de Sénarmont (c). Estos prismas se pueden utilizar como divisores de haz de
polarización, pues las ondas emergen en distintas direcciones y con polarizaciones
perpendiculares.

Eje óptico Eje óptico Eje óptico

Eje óptico Eje óptico Eje óptico

(a) Prisma de Wollaston (b) Prisma de Rochon (c) Prisma de Sénarmont

Figura 17

5.3 Absorción selectiva o dicroísmo
Algunas sustancias anisótropas absorben las ondas ordinaria y extraordinaria en
proporciones diferentes de manera que estas sustancias transmite la luz que tiene su plano de
polarización paralelo a una dirección particular del material, y absorbe fuertemente la luz que
tiene su plano de polarización perpendicular a esta dirección. Estas direcciones corresponden a
ciertas orientaciones moleculares y cristalinas. En esta situación un haz de luz natural que se
propague por una porción de material de este tipo lo suficientemente gruesa, aparecerá
gradualmente polarizado en un plano, ya que una de las ondas, la ordinaria o la extraordinaria,
será casi completamente absorbida. Este fenómeno recibe el nombre de dicroísmo y se ha
representado en la Figura 18. Una cuestión importante es que el fenómeno depende de la
longitud de onda de la luz incidente. Para la zona visible hay dos sustancias dicroicas naturales
importantes que son la turmalina (borosilicato de aluminio), que absorbe preferentemente el
rayo ordinario, y la hepatita (sulfato de yodoquinina), que tiene el inconveniente de que sus
cristales son muy quebradizos. Otro ejemplo de material dicroico es el polaroide, que es un
material artificial y no es anisótropo, sino que consiste en una película de alcohol de polivinilo
estirada, en la cual por imbibición líquida se introducen los átomos de iodo en sus largas
cadenas poliméricas alineadas en el proceso de estiramiento y laminación. Estas cadenas
resultan altamente dicroicas absorbiendo la luz cuyo vector eléctrico vibra en una determinada
dirección. Estos tipos de polaroides, denominados láminas H, transmiten aproximadamente el
80% de la luz que vibra en la dirección de transmisión, y menos del 1% de la luz que lo hace en
la dirección perpendicular.



Material dicróico
Luz natural
incidente

Las vibraciones verticales
son parcialmente absorbidas

Las vibraciones horizontales
son completamente absorbidas

Luz transmitida
polarizada linealmente

Figura 18

6.- RETARDADORES Y POLARIZADORES CIRCULARES
6.1 Retardadores
Un retardador es un dispositivo capaz, sin absorber, de producir un haz de luz formado
por dos componentes que vibran en direcciones perpendiculares, estableciendo entre ellas un
desfase determinado Γ, también denominado retardo de fase. Para fabricar un retardador suele
utilizarse una lámina planoparalela de espesor d de un cristal uniáxico como el cuarzo, la calcita
o el espato, talladas paralelamente al eje óptico. Tal y como se ve en la Figura 19(a), si sobre una
lámina de cristal uniáxico, como el cuarzo o la calcita, cortado con las caras paralelas al eje
óptico que tomaremos según el eje y, incide perpendicularmente luz polarizada linealmente con
la dirección del campo eléctrico E formando un ángulo θ con el eje óptico, de modo que:
E = E0 cos (ω t - kx) (29)

donde k = ω /c, por lo que podremos escribir para las componentes del campo eléctrico en la
onda incidente según los ejes y y z:

Ey = E0 y cos (ω t - kx) (30)

Ez = E0 z cos (ω t - kx) (31)
donde E0 y = E0 cosθ y E0 z =E0 senθ.

Onda
extraordinaria
θ
Luz incidente E0 y E O E
polarizada Onda
linealmente E0 z ordinaria

eje
óptico
d

(a) (b) (c)

Figura 19



Al penetrar en la lámina se produce un desdoblamiento de la luz incidente en luz
extraordinaria que vibra en la dirección del eje óptico, de amplitud Ecosθ, y en luz ordinaria
vibrando en la dirección perpendicular al eje óptico de la lámina y con una amplitud Esenθ.
Ambas luces se propagan en la dirección perpendicular a las caras de la lámina como se ve en la
Figura 19(b), pero como la velocidad de propagación de cada onda es vO = c/nO y v E = c/nE, los
correspondientes vectores de propagación son:

k O = ω = ω nO = knO k E = knE (32)
vO c

Por lo tanto, después de que las ondas han atravesado el espesor d de la lámina, los campos
eléctricos respectivos están representados por las expresiones:

Ey = E0 y cos(ω t - kOx) (33)

Ez = E0 z cos (ω t - kEx) (34)

resultando un desfasaje Γ entre las dos ondas:

Γ = 2π (nE - nO )d (35)
λ0

donde λ 0 la longitud de onda en el vacío y nE - nO recibe el nombre de birrefringencia. Después
de atravesar la placa, las dos ondas se combinan de nuevo por lo que se tendrá la superposición
de dos vibraciones perpendiculares (Figura 19(c)) con diferencia de fase Γ, que darán en general
luz polarizada elípticamente cuyos semiejes de la elipse dependerán del valor de θ de la vibración
incidente, y su sentido de giro del desfase Γ, que a su vez depende de d, fijado el material de la
lámina.

La dirección del eje óptico y su perpendicular se suelen llamar líneas neutras de la
lámina, pues la lámina no ejerce ninguna acción sobre un haz de luz polarizado linealmente que
la atraviese vibrando en estas direcciones. También estas líneas neutras se suelen denominar eje
lento y eje rápido dependiendo del valor relativo de las velocidades vO y vE de las luces que se
propagan vibrando en sus direcciones dentro del medio.

6.2 Lámina de cuarto de onda. Polarizador circular
Si se incide sobre la lámina considerada en el apartado 6.1 con luz polarizada
linealmente que vibra con θ = 45°, entonces E0 y y E0 z serán iguales, y si además la lámina tiene
un espesor d tal que la diferencia de fase que produce entre la onda ordinaria y la onda
extraordinaria es Γ = π/2, a la salida tendremos luz polarizada circular. Según la ecuación (35), si
Γ = π/2, entonces el espesor d que corresponde a esta lámina es:

λ0
d = (36)
4(nE - nO )

por lo que recibe el nombre de lámina de cuarto de onda. El polarizador circular se obtiene
acoplando un polarizador lineal y una lámina de cuarto de onda orientados a 45° de modo que el
plano de vibración de la luz que transmite el polarizador lineal forme un ángulo de 45° con el eje



óptico de la lámina. La Figura 20 muestra como una lámina de cuarto de onda transforma luz
polarizada linealmente en luz polarizada circularmente, y ésta última en luz polarizada lineal.

Eje Eje
rápido rápido

Eje Eje
lento lento
Lámina de Lámina de
cuarto de onda cuarto de onda

Figura 20

6.3 Lámina de media onda. Rotor
Si sobre una lámina cristalina tallada paralelamente al eje óptico incide
perpendicularmente sobre una de sus caras luz polarizada linealmente con el vector campo
eléctrico formando un ángulo θ con el eje óptico (Figura 21(a)), entonces produce una diferencia
de fase entre las ondas ordinaria y extraordinaria de Γ = π, deberá, según la ecuación (35), tener
un espesor:
λ0
d = (37)
2(nE - nO )

y se llama lámina de media onda. Si a la salida de la lámina, la luz ordinaria aparece como
indica la Figura 21(b), entonces la vibración extraordinaria aparecerá en oposición de fase
respecto a la que tenía a la entrada. Estas dos vibraciones a la salida darán una resultante que
formará un ángulo -θ con el eje óptico, con lo cual la vibración inicial ha girado un ángulo 2θ.
Ajustando el ángulo θ a la entrada se consigue que a la salida el plano de polarización haya
girado un ángulo deseado 2θ, de ahí el nombre de rotor.

θ
θ 2θ
E0 y E
E0z
E0z
E0 y
eje E
eje θ
óptico óptico

(a) (b)
Figura 21

Como muestra la Figura 22, una lámina de media onda transforma luz polarizada
linealmente en luz polarizada linealmente en otro plano girado 2θ respecto al plano de
polarización de la luz incidente, y luz polarizada circularmente dextrógira en levógira.



Eje Eje
rápido rápido

Eje Eje
lento lento
Lámina de Lámina de
media onda media onda
Figura 22

7.- ACTIVIDAD OPTICA
Otro fenómeno relacionado con el carácter transversal de la luz es el de la rotación del
plano de polarización, propiedad llamada actividad óptica. Si un haz de luz polarizada
linealmente pasa a través de una sustancia ópticamente activa, la onda transmitida está polarizada
linealmente, pero en un plano que forma un ángulo θ con el plano de incidencia (Figura 23). El
valor de θ es proporcional a la longitud d que el haz recorre en la sustancia y depende también
de la naturaleza de la misma. Desde el punto de vista del observador que recibe la luz
transmitida, las sustancias se clasifican en dextrógiras o levógiras según que la rotación del
plano de polarización vista por el observador sea en el sentido horario o antihorario. Sustancias
que presentan actividad óptica son el cuarzo, el selenio, el telurio y el óxido de telurio (Te O2).

La rotación que todas las sustancias ópticamente activas producen sobre el plano de
polarización depende de la cantidad de sustancia presente, lo que facilita un medio sencillo de
determinarla, por ejemplo, cuando está disuelta en un medio inactivo. Se define la rotación
específica o poder rotatorio ρ como la rotación producida por una columna de líquido de 10 cm
que contiene 1 g de sustancia activa por cada cm3 de disolución; en consecuencia, el ángulo
girado θ por el plano de polarización será:

θ = ρ d[c] (38)

expresión que recibe el nombre de ley de Biot y en la que [c] es la concentración que se mide en
g/cm3 y d en dm. La relación anterior permite determinar la concentración [c].
Hay que tener en cuenta que ρ depende de la longitud de onda de la luz y de la
temperatura; por esta razón al hacer las medidas se opera con luz monocromática.



Figura 23

8.- EFECTO FARADAY
El plano de vibración de la luz linealmente polarizada incidente en ciertos materiales gira
cuando se aplica un campo magnético B en la dirección de propagación (Figura 24). Este
fenómeno se conoce como efecto Faraday o magnetoóptico y fue una de las primeras
indicaciones de la interrelación del electromagnetismo y la luz. El ángulo de rotación θ que gira
el plano de vibración es proporcional al campo magnético B y a la longitud del medio atravesado
d de modo que:

θ= VBd (39)

donde V es un factor de proporcionalidad conocido como constante de Verdet. Si ρ es el poder
rotatorio, es decir, el ángulo girado por unidad de longitud (ρ = θ/d), entonces:

ρ= VB (40)

La constante de Verdet V depende de la longitud de onda de la luz incidente.

Materiales que exhiben efecto Faraday son los vidrios, el granate de itrio y de hierro
(YIG), el granate de terbio y de galio (TGG) y el granate de terbio y de aluminio (Tb Al G). La
constante de Verdet para el Tb Al G es V = 1.16 min/Oe . cm para una longitud de onda de 500
nm.

Figura 24


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