Incidencia Normal de una OPU

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
1

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

REFLEXIÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA NORMAL

Hasta ahora, hemos considerado ondas planas uniformes (OPU - UPW) que se desplazan en
medios homogéneos de extensión ilimitada. Sin embargo, cuando una onda plana procedente de
cierto medio, se encuentra con un medio diferente, es parcialmente reflejada y parcialmente
transmitida. La proporción de la onda incidente a ser reflejada y a ser transmitida, depende de los
parámetros constitutivos de los dos medios implicados en este proceso, es decir, dependen de:
,  y .

Para el presente análisis, supondremos que el plano de la onda incidente, es normal a la frontera
entre los medios. La incidencia oblicua de ondas planas, será tratada más adelante, una vez que
haya sido comprendido el caso más sencillo, que es el de la incidencia normal.

Supongamos que una onda plana que se propaga a lo largo de la dirección  z incide en forma
normal en la frontera z  0 entre el medio 1  z  0  , caracterizado por  1 , 1 y 1 , y el medio 2
 z  0 , caracterizado por  2 ,  2 y 2 , tal como se muestra en la presente figura. Donde los
subíndices i , r y t , denotan las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente, y, para
facilitar la notación, suprimiremos el factor temporal e jt .

x
Medio 1  1 ,1 , 1  Medio 2  2 ,  2 , 2 

Ei
Et
Hi
Onda incidente
Ht
Er Onda transmitida

Hr z
Onda reflejada

z0

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Supuesto general: Ei , Er y Et tienen la misma polarización.

Onda incidente:

 Ei , H i  se desplaza a lo largo de   z en el medio 1. Por lo tanto, si:

Eis  z   Eio e 1z  x , entonces:

Eio 1 z
H is  z   H io e 1z  y  e y
1

Onda reflejada:

 Er , H r  se desplaza a lo largo de  z en el medio 1. Por lo tanto, si:

Ers  z   Ero e  1z  x , entonces:

H rs  z   H ro e 1z    y   
Ero  1 z
e y
1

Onda transmitida:

 Et , H t  se desplaza a lo largo de   z en el medio 2. Por lo tanto, si:

Ets  z   Eto e  2 z  x , entonces:

Eto  2 z
H ts  z   H to e  2 z  y  e y
2

Donde Eio , Ero y Eto son las magnitudes de los campos eléctricos incidente, reflejado y
transmitido, respectivamente, en z  0 .

Los campos eléctricos y magnéticos en los medios 1 y 2, estarían relacionados por las siguientes
expresiones vectoriales:

E1  Ei  Er H1  H i  H r

E 2  Et H 2  Ht

En la interfaz o límite z  0 , las condiciones de frontera exigen que las componentes tangenciales
de los campos eléctricos y magnéticos sean continuas. Debido a que estamos tratando con ondas
transversales, los campos eléctricos y magnéticos son absolutamente tangenciales a la interfaz.

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En z  0 , E1t  E2t y H1t  H 2t , es decir debe cumplirse:

Ei  0   E r  0   E t  0  Eio  Ero  Eto Eio  Ero  Eto 
 
Hi 0  H r 0  Ht 0
1 1 1  
Eio  Ero  Eto Eio  Ero   1  Eto 
1 1 2
 2 

Sumando las expresiones  y , se obtiene que:

 22  Eto 22
Eto    Eio   
 2  1  Eio 2  1

Reemplazando la expresión anterior en , se obtiene que:

    Ero  2  1 
Ero   2 1  Eio    
  2  1  Eio   2  1 

Donde  (letra griega gamma mayúscula) es el denominado “Coeficiente de Reflexión”, y  (letra
griega tau minúscula) es el denominado “Coeficiente de Transmisión”.

Notar que:

 1   
  y  son adimensionales y pueden ser números complejos.
 0  ||  1

Caso Especial:

El medio 1 es dieléctrico sin pérdidas, es decir dieléctrico perfecto:  1  0 y el medio 2 es
conductor perfecto:  2   .

Si  2   , entonces la impedancia intrínseca de ese medio es nula, es decir:  2  0 , a partir de lo
cual se puede determinar que:

0  1
  1 y como 1     , entonces:   0
0  1

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Lo cual nos indica que no existe porción transmitida de la onda incidente, es decir que la onda es
completamente reflejada. Esta conclusión no debería sorprendernos pues como se vio
inicialmente, los campos tiende a cero en los medios conductores perfectos, de modo que resulta
imposible la existencia de una onda transmitida: E2  0 .

Esta onda totalmente reflejada, se superpone a la onda incidente y forma lo que se denomina “Onda
Estacionaria”, llamada así porque se trata de una onda que no viaja, que se “estaciona”. Dicha
onda estacionaria, se compone de dos ondas en movimiento  Ei y E r  de igual amplitud pero de
dirección contraria.

La combinación de las siguientes ecuaciones, da como resultado la Onda Estacionaria:

Eis  z   Eio e 1z  x y Ers  z   Ero e  1z  x

Es así que en el medio 1, se tendría como resultante lo siguiente:


E1s  Eis + Ers = Eio e 1z  Ero e 1z  x 
Er 0
Recordemos que en el presente caso:   1  Ero   Eio
Eio

Adicionalmente como  1  0  1  0   1  j  , por lo cual se tiene:

  
E1s  Eio e 1z  Eio e 1z  x  Eio e 1z  e 1z x 
 
E1s  Eio e  j1z  e  j 1z  x  Eio  cos 1 z  jsen1 z    cos 1 z  jsen 1 z   x
 

E1s  Eio   j 2 sen1 z   x  j 2 Eio sen1 z  x 

A continuación, incluiremos el término que faltaba, es decir: E1  E1s e jt

E1   j 2 Eio sen1 z e jt  x

E1  z , t    j 2 Eio sen1 z  cost + jsent   x  2 Eio sen 1 z  sent - jcost  x

E1  z , t   2 Eio sen1 z sent  x

Con un tratamiento matemático similar, se obtiene la expresión de la intensidad de campo
magnético, la misma que está dada por:

2 Eio
H1  z , t   cos 1 z cost  y
1

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