PROBLEMA ESPECIAL TE2.pdf
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Este documento describe cómo calcular la impedancia de Thévenin (THZ) en los terminales de recepción de una línea de transmisión. Explica que para una línea de transmisión sin pérdidas (LTSP), la expresión de THZ es: ( )( ) ( )( ) 0 0 2 2 0 0 2 2 1 1 j l j j l g g TH j l j l g g j V Z e e V Z e V j jZ tg l Z e Z tg l jZ e β π β β β β β
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- 1. Considere la existencia de una fuente real (transmisor real), tal como se muestra en la figura, que se conecta a una porción de línea de transmisión. Bajo esta circunstancia: a) Demuestre que el voltaje de Thévenin en los terminales de recepción 'a a− está dado por: ( )( ) 2 0 2 0 2 1 j l g TH j l g Z V e V Z tg l jZ e π β β β − + − = − + b) Encuentre el valor que debe tener gZ para que la impedancia de Thévenin THZ sea igual a 0Z . gV gZ entZ 0, Zγ 0z = z l= a 'a El circuito equivalente en los terminales del generador, sería: ( ) z z s o oV z V e V eγ γ+ − − = + ( ) z z s o oI z I e I eγ γ+ − − = + o o o V I Z + + = o o o V I Z − − = − ( ) z z s o oV z V e V eγ γ+ − − = + ( ) z zo o s o o V V I z e e Z Z γ γ + − − = − Se procederá a efectuar el análisis en la entrada; es decir, en los terminales del generador, donde se tienen las siguientes condiciones: ( )0 0sV V z= = ( )0 0sI I z= = 0 0 0 0 o o o o o o o o o o o V V V V V V V V I I Z V V Z Z + − + − + − + − = + = + ⇒ = − = − gV gZ 0V + − entZ 0I
- 2. De la solución de las dos ecuaciones simultáneas anteriores, se tiene que: ( )0 0 1 2 o oV V I Z+ = + ( )0 0 1 2 o oV V I Z− = − Mediante la aplicación de la Teoría de Circuitos Eléctricos, a partir del circuito equivalente anteriormente mencionado, se pueden obtener las siguientes relaciones: 0 g g ent V I Z Z = + 0 0 ent V I Z = 0 0 g g ent g ent ent g ent V VV V Z Z Z Z Z Z = ⇒ = + + A continuación, se procederá a efectuar el análisis en los terminales de carga, donde se tienen las siguientes condiciones: ( )'aa TH sV V V z l= = = ( ) 0L sI I z l= = = ' ' 2 0 l l aa TH o o l TH ol lo o aa o o V V V e V e V V eV V I e e Z Z γ γ γ γ γ + − − + −+ − − = = + ⇒ = = = − ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 o o ent o o ent oV V I Z I Z I Z V I Z Z+ + = + = + ⇒ = + ( )0 1 2 g o ent g ent V V Z Z Z Z + = + + ( ) ( )0 0 1 2 2 2 g g entl l l TH o ent TH g ent g ent V V Z Z V V e Z Z e V e Z Z Z Z γ γ γ+ − − − + = = + ⇒ = + + Procederemos a recordar el valor de la impedancia de entrada de una línea de transmisión disipativa en circuito abierto, mismo que está dado por: 0 0 0 0 L L ent ent L Z Z Z tgh l Z Z Z Z ctgh l Z Z tgh l γ γ γ =∞ + = ⇒ = +
- 3. 2 0 0 2 1 1 l l l ent entl l l e e e Z Z Z Z e e e γ γ γ γ γ γ − − − − + + = ⇒ = + + 2 2 2 0 02 0 2 0 0 1 1 1 1 1 l l l l l g l g l TH g g e e e V Z Z e V Z e e e V Z Z tgh l Z Z tgh l tgh l γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ − − − − − − − + + + − + − − = = + + ( )( ) ( )( ) 0 2 0 2 2 0 0 2 2 21 1 1 1 l lg l g TH THl l g g l V Z e V Z ee V V Z tgh l Z e Z tgh l Z e e γ γγ γ γ γ γ γ − −− − − − − = ⇒ = + + + + − La relación anterior es la expresión más general posible y es válida para el caso de una LTD. Como en el presente problema, se está requiriendo el voltaje de Thévenin para el caso de una LTSP, entonces se tendrían que efectuar los siguientes reemplazos: ( )( ) ( )( ) 0 0 2 2 0 0 2 2 1 1 tgh l jtg l l j l g g TH THl j l g g j V Z e V Z e V V Z tgh l Z e jZ tg l Z e γ β γ β γ β γ β γ β ← − − − − ← = ⇒ = + + + + Ahora, para que no se altere la expresión anterior, y para que tome la forma propuesta, procederemos a multiplicar y a dividir por j− . Es así que: ( )( ) ( )( ) /2 0 0 2 2 0 0 2 2 1 1 j l j j l g g TH j l j l g g j V Z e e V Z e V j jZ tg l Z e Z tg l jZ e β π β β β β β − − − − − − = = − + + − + ( ) ( )( ) ( ) /2 0 2 0 2 . . . . 1 j l g TH j l g V Z e V l q q d Z tg l jZ e β π β β − + − = − + ¿Cuál debe ser el valor que debe tener gZ para que la impedancia de Thévenin THZ sea igual a 0Z ? Pues bien, ahora para determinar la impedancia equivalente de Thévenin, el observador debe estar ubicado en los terminales de recepción y el generador debe estar en cortocircuito, teniéndose entonces lo siguiente:
- 4. 0gV= gZ THZ 0, Zγ 0z = z l= a 'a Para el efecto de la determinación de la impedancia de Thévenin, haremos uso de la relación de la impedancia de entrada de una línea de transmisión disipativa, teniendo presente que habría que reemplazar lo siguiente: L gZ Z← 00 0 0 0 0 L g gL ent TH L gZ Z Z Z tgh lZ Z tgh l Z Z Z Z Z Z tgh l Z Z tgh l γγ γ γ← + + = ⇒ = + + 0 0 0 0 0 0 1g g g g Z Z tgh l Z Z tgh l Z Z Z Z tgh l Z Z tgh l γ γ γ γ + + = ⇒ = + + ( ) ( )0 0 0 1 1g g gZ Z tgh l Z Z tgh l Z tgh l Z tgh lγ γ γ γ+ = + ⇒ − = − , donde: 0gZ Z=