TE1-TE-2014-2S
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Este documento presenta tres problemas de teoría electromagnética resueltos por un profesor. El primer problema determina la función de permitividad y capacitancia de un cable coaxial con dieléctrico no homogéneo. El segundo calcula la densidad de flujo magnético en el centro de una espira rectangular. El tercero encuentra las corrientes de magnetización y flujos magnéticos producidos por un cilindro magnetizado.
TE1-TE-2014-2S
- 1. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ING. OTTO ALVARADO MORENO ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( ) TERCERA EVALUACIÓN Fecha: martes 10 de marzo del 2015 Alumno: ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Estudiante Examen Deberes Lecciones Total Tercera Evaluación ------------ --------------
- 2. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Primer Tema (33%): Un cable coaxial de radio interior “a” y radio exterior “2a”, tiene el espacio entre conductores lleno con un dieléctrico cuya permitividad ( )rε es una función de la distancia “r” medida desde el eje central del cable. Si el valor de la permitividad del dieléctrico en contacto con el conductor interior es 1ε , determinar: 1) La función de la permitividad ( )rε para que el campo eléctrico sea constante en todos los puntos. 2) La capacitancia por unidad de longitud del sistema. 1( )r aε ε= =( )rε a b r 2b a= Vamos a asumir que al cable coaxial lo someteremos a una diferencia de potencial oV , donde la placa de radio a será más positiva que la placa de radio b , con lo cual se tendrá lo siguiente: ( ) ( )NETAa r b d Q a r b → < ≤ ⋅ = Σ < ≤∫⊙ D S ( ) ( )2a r b rl Q r aπ< ≤ = =D ( ) ( ) 2 Q r a a r b rlπ = < ≤ =D ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) r r Q r a Q r a a r b a r b rl rl rπ π ε = = < ≤ = ⇒ < ≤ =D Eµ µµ µµ µµ µ Para que la intensidad de campo eléctrico sea la misma en todos los puntos, la permitividad del dieléctrico debe tener la siguiente forma ( ) /r k rε = ; y, como además se conoce que 1( )r aε ε= = , se tendría entonces que 1k aε= . A partir de lo cual, la permitividad del dieléctrico no homogéneo, estaría dada por la siguiente expresión: 1 ( ) a r r ε ε = ( )rε r a 2b a=0 1ε 1 2 ε ( ) 1 ( ) 2 r Q r a a r b alπ ε = < ≤ =E µµµµ
- 3. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ( ) ( ) ( ) 1 180 180 2 a a o o o b b Q r a V a r b d cos dr cos alπ ε = = − < ≤ = − −∫ ∫E l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a o b Q r a Q r a Q r a Q r a V dr a b b a a a a a a aπ ε π ε π ε π ε = = = = = − = − − = − = −∫ o a V = ( ) 2 Q r a l aπ = ( ) 11 2 o Q r a V lπ εε = ⇒ = ( ) 12sist sist o Q r a C C l V πε = = ⇒ = 12sistC l πε=
- 4. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Segundo Tema (33%): Una espira rectangular, descansa en el plano x y− y está centrada con respecto al eje z . Los lados paralelos al eje x tienen una longitud 4a , y los lados paralelos al eje y tienen una longitud 2a . La espira transporta una corriente 0I circulando en el sentido horario cuando es observada desde arriba. Determine la densidad de flujo magnético en el centro de la espira. (Las expresiones a utilizar deben ser previamente deducidas) y x 4a VISTA SUPERIOR 2a x y z 0I yµµµµ xµµµµ zµµµµ 0 P • 0I 4a 2a Con la finalidad de cumplir con lo requerido en el enunciado del presente problema, se considerará la existencia de un segmento de alambre de longitud L, tal como se muestra a continuación, por el cual circula una corriente de intensidad I . Se procederá a determinar la densidad de flujo magnético en el punto de estudio P , expresando la respuesta, en función de la información indicada. Triángulo pequeño: Triángulo grande: Se puede apreciar, que el menor ángulo formado por las cabezas que se alejan de los vectores dl y r es el ángulo θ , cuyo valor varía entre α y β conforme se aumenta la longitud del segmento de 0 hasta L. Por el producto vectorial d ×l r o utilizando la regla de la mano derecha, se determina que la densidad de flujo magnético es perpendicular a la página y saliendo de la misma, por lo tanto: dB dl r h I L dl dS r h
- 5. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ( ) 2 4 o d senI P θµ π = ∫ l B r Se pueden apreciar claramente la existencia de dos triángulos; y, para su identificación, los llamaremos triángulo pequeño y triángulo grande. Para formar el triángulo pequeño, se procederá a trazar una circunferencia, con centro en el punto de estudio P , que pase por la cabeza o flecha del vector dl , tomándose en cuenta el arco dS que subtiende el ángulo θ . Como las dimensiones son infinitesimales, ese radio de la circunferencia será muy aproximadamente igual a r , de ahí que: ddS sen d sen d d d θ θ θ θ= = ⇒ = r l r l l ( ) ( )2 4 4 o o dI I d P P θµ µ θ π π = ⇒ =∫ ∫ r B B rr Con la utilización del triángulo pequeño y por su relación, se ha logrado disminuir las variables, de tres a dos. Ahora, se utilizará el triángulo grande para disminuir las variables de dos a una y proceder a la integración. ( ) 4 o Ih h sen P sen d sen h θ β θ α µ θ θ θ θ π = = = ⇒ = ⇒ = ∫r B r ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 o oI I P cos cos P cos cos h h µ µ α β α β π π = − ⇒ = −B B Í Recordando de que tramo de un conductor, es una sección que no cambia de dirección, en el presente problema, se puede apreciar la existencia de cuatro tramos; donde las densidades de flujo magnético producidas por el tramo 1 es idéntica a la producida por el tramo 3; similar cosa ocurre entre los tramos 2 y 4; con lo cual, se obtendría lo siguiente: kTRAMO ( )k PB SENTIDO - 0 0 0 0 52 5 2 4 5 5 I I a a µ µ π π = z−µµµµ - ( ) 0 0 0 0 55 2 4 2 5 20 I I a a µ µ π π = z−µµµµ TOTAL ( ) ( ) 0 0 1 2 5 2 2 I P P a µ π + = B B z−µµµµ
- 6. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Tercer Tema (34%): Un cilindro de radio R , longitud infinita y con su eje coincidente con el eje z , está magnetizado según la expresión 0M φ=M µµµµ , donde 0M es un valor constante. Una espira cuadrada está ubicada de lado L se encuentra en el plano y z− y su lado más cercano al eje z se encuentra a una distancia D R> . Calcular las corrientes de magnetización (magnitud y sentido) y los flujos magnéticos a través de la espira, producidos por cada una de estas corrientes. 2R z y D L L D L x y 2R yµµµµ xµµµµ zµµµµ φµµµµ Para la determinación de las densidades de corrientes de magnetización, y por la simetría que se presenta en el referido problema, se requerirá trabajar en coordenadas cilíndricas, es decir: ( ") "m s s = ×J M∇∇∇∇ ( )1 1z r z r r z MM M M M rM r z z r r r φ φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ × = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ M µ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ∇∇∇∇ En virtud de que 0r zM M y M constanteφ= = = , se tendría lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 m z m zr R rM r R rM r r r r φ ∂ ∂ ≤ = × = ⇒ ≤ = × = ∂ ∂ J M J Mµ µµ µµ µµ µ∇ ∇∇ ∇∇ ∇∇ ∇ ( ) 0 m z M r R r ≤ =J µµµµ 0 0 2 r R m m m r M I d I r dr r π = Σ = = ⋅ ⇒ =∫ ∫J S 02mI M Rπ=
- 7. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S A continuación, procederemos a determinar las distribuciones superficiales de corrientes de magnetización: ( ) ( )m r a r a r a= ≤ = = ×j M n ( ) 0 ( ) 0m r a r m r a zr a M Mφ= == = × ⇒ = −j jµ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ ( )( ) 0m r a zM= =j −µ−µ−µ−µ Ahora, para la densidad superficial de corriente de magnetización, se tendría que su corriente micoscópica asociada, sería la siguiente: ( ) ( )( ) 02 2m m r R mi r R = a i r R = RMπ π== ⇒ =j Vamos a determinar solamente el flujo magnético producido por la corriente microscópica debida a la densidad superficial de corrientes de magnetización, por cuanto ambas –la superficial y la volumétrica- son iguales en valor, pero tienen sentidos contrarios: D L x y 2R yµµµµ xµµµµ zµµµµ φµµµµ r ( )PB dS Trayectoria Amperiana El presente gráfico, representa la densidad de flujo magnético producido, en región en la que se encuentra la espira cuadrada, producido por la corriente ( ) 02mi r R = RMπ= : ( )sup P d Σ Φ = ⋅∫ B S ( ) 0 0 2 D L o m sup sup r D i P d cos Ldr r µ π + Σ = Φ = ⇒ Φ =∫ ∫B S 0 0 0 ln ln 2 2 2 D LD L m m m sup r Dr D i L i L i Ldr D L r r D µ µ µ π π π ++ == + Φ = = = ∫
- 8. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S 0 02 ln 2 sup M RL D L D µ π π + Φ = 0 0 lnsup D L M RL D µ + Φ = Por lo indicado anteriormente, el flujo magnético producido sobre la espira cuadrada, por la corriente ( ) 02mI r R = RMπ≤ , será el mismo que la expresión anterior; es decir: 0 0 lnvol D L M RL D µ + Φ = De esta forma, el flujo magnético total sobre la espira cuadrada será: 0Total sup vol TotalΦ = Φ − Φ ⇒ Φ =