Paper Ctr3 R

CONTROL DE TRAYECTORIA DE ROBOT DE 3 GDL
Javier A. Rojas T.1 Nilton C. Anchayhua A2.
jartm6uni@gmail.com cesar.anchayhua@gmail.com

Universidad Nacional de Ingeniería

RESUMEN
El presente trabajo de investigación trata sobre el control PID para el seguimiento de trayectoria de un
sistema robótico de 3 grados de libertad, a partir del modelo del robot RV-M1 de mitsubishi. Se introduce un
nuevo criterio menos conservador, para seleccionar las ganancias del controlador, y cuando se toma en
consideración durante el diseño la dinámica eléctrica de los motores de corriente directa (DC) con escobillas
usados para el servocontrol de par de los actuadores. Este resultado no requiere que la dinámica eléctrica de
los actuadores sea rápida comparada con la dinámica de la parte mecánica. Se presenta un estudio formal de
la técnica de control conocida como control de par la cual es ampliamente utilizada en la práctica industrial.

Palabras clave: Control de robot, Control por corriente, Diseño y simulación.

ABSTRACT

This research deals with the PID control for tracking the trajectory of a robotic system with 3 degrees of
freedom, from the model of the robot Mitsubishi RV-M1. A new less conservative criterion for selecting the
controller gains, and when taken into consideration when designing the dynamics of electric direct current
motors (DC) for use with brushed servo torque actuators. This result does not require that the dynamics of
electric actuators is rapid compared with the dynamics of the mechanical part. We present a formal study of
the control technique known as torque control which is widely used in industrial practice.

Key words: Robot Control, Current Control, Simulation and design.

INTRODUCCION
Este trabajo esta organizado del siguiente modo. Se
Los sistemas de control para manipuladores diversa inicia con el proceso de modelado de la dinámica del
topología, como es el caso de los de cadena abierta o manipulador. En la siguiente sección se presenta un
serial, los reguladores PID pueden satisfacer un estudio sobre el control de par del motor DC, para
control, sin embargo la selección de sus parámetros posteriormente mostrar los resultados de simulación
se ajustan mucho mejor cuando el sistema a controla incluyendo la dinámica de los actuadores.
sea conocido, caso contrario esta la sintonización de Finalmente las conclusiones correspondientes.1
este en simulación y en la practica industrial.

Para el presente, se considerara la dinámica de los
actuadores, como es el motor de corriente directa,
con su respectiva caja de reducción, a fin de que el
sistema a controlar sea más verídico y/o realista del
sistema. 1
Universidad Nacional de Ingeniería – Alumno de Esp. Ing.
Mecatrónica
2
Universidad Nacional de Ingeniería – Docente de Esp. Ing.
Mecatrónica

MODELO DEL ROBOT Cinemática Directa

Nuestro robot de 5 grados de libertad, es el RV – Determinar la posición del efector final, a partir de la
M1, a partir del cual obtendremos nuestros posición de los eslabones que lo conforman, para
parámetros de la cinemática directa e inversa. El desarrollar la cinemática del manipulador se utilizan
robot RV – M1, Fig. 1, y con la representación matrices de transformación homogénea [1]. En la
según Denavit – Hartenberg. tabla 1, se tiene los parámetros D – H del
manipulador.

Tabla 1. Parámetros DH del Manipulador RV-
M1
Eslabón αi ai di θi
1 90 0 d1 θ1
2 0 l2 0 θ2
3 0 l3 0 θ3
4 90 0 0 90 + θ 4
5 0 0 l4 θ5

Figura 1. Manipulador RV-M1 A partir de la configuración hallada, las matrices
Homogéneas
Representación del robot.
Las matrices de transformación homogénea para la
cinemática directa son representadas por la letra A,
con un subíndice que representa el eje de
coordenadas inicial y un superíndice que representa
el eje de coordenadas final. Los términos i
θ
representan el ángulo en radianes de cada eslabón,
partiendo desde la base y hasta el último eslabón y
l
los i representan la longitud de cada eslabón, de
igual forma desde la base y hasta el último eslabón,
considerando la herramienta.
Figura 2. Equivalente en D-H
La cinemática directa es el resultado de multiplicar
todas las matrices de transformación homogénea,
Cinemática para tener una matriz que va del eje de coordenadas
La cinemática del manipulador es necesaria, ya que 0 al eje de coordenadas 5 representada como
T50 ,
es la base para desarrollar la simulación, poder como muestra la ecuación 1.
observar cómo el robot manipulador sigue la
trayectoria y evaluar sí los resultados de los T50 = A10 A2 A32 A4 A54
1 3
(1)
algoritmos son correctos, para poder pasar éstos
resultados al robot manipulador real.
Al realizar las operaciones matemáticas para obtener
Así es de interés el desarrollo completo de la la matriz de transformación homogénea del sistema,
cinemática del manipulador, dar a entender el se obtiene:
procedimiento que se siguió para el cálculo de la
cinemática inversa con base a los resultados de la
cinemática directa.

⎡nx ox ax px ⎤ ⎡nx ox ax px ⎤
⎢n oy ay py ⎥ ⎢n oy ay py ⎥
T5 = ⎢ y
0 ⎥ (2) Td = ⎢ y ⎥ (4)
⎢ nz ox az pz ⎥ ⎢ nz ox az pz ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦
Donde:
n x = s5 s1 − c1c5 (s2 c43 + c2 s43 )
n y = − s5 c1 − s1c5 (s2 c43 + c2 s43 )
Donde los vectores n, o y a representan la
orientación del efector final con respecto al sistema
n z = c5 (c2 c43 − s2 s43 ) base y el vector p la posición en el espacio
igualmente referenciado a la base. Para resolver la
o x = c5 s1 + c1 s5 (s2 c43 + c2 s43 )
cinemática inversa basta igualar la matriz de
transformación deseada con la matriz de
o y = −c5 c1 + s1 s5 (s2 c43 + c2 s43 ) transformación original, T =T, y resolver para los
d
o z = s5 (− c2 c43 + s2 s43 ) ángulos q1, q2, q3, q4 y q5.

a x = c1 (− s2 s43 + c2 c43 ) La orientación de la herramienta en el espacio, esta
a y = s1 (− s2 s43 + c2 c43 ) determinada por la trayectoria que se obtendrá en la
generación de trayectorias a través de curvas y/o
a z = c2 s43 + s2 c43 líneas paramétricas y de la ubicación de éstas en el
espacio de trabajo del manipulador. El espacio de
p x = c1 (l2 c2 − s2 (l3 s3 + l4 s43 ) + c2 (l3c3 + l4 c43 )) trabajo para este manipulador se muestra en la figura
p y = s1 (l2 c2 − s2 (l3 s3 + l4 s43 ) + c2 (l3c3 + l4 c43 )) 3.

p z = d1 + l2 s2 + c2 (l3 s3 + l4 s43 ) + s2 (l3c3 + l4 c43 )

Considerando, solo los 3 primeros grados de
libertad, tenemos

T30 = A10 A2 A32
1
(3)

⎡c1c23 − c1 s 23 s1 c1 (l3 c23 + l 2 c2 ) ⎤
⎢s c − s1 s 23 c1 s1 (l3 c23 + l 2 c 2 ) ⎥
T50 = ⎢ 1 23 ⎥
⎢ s 23 c 23 0 l3 s 23 + l 2 s 2 + d1 ⎥ Figura 3. Espacio de Trabajo del manipulador
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦
Para la resolución del problema cinemático inverso,
Cinemática Inversa los métodos geométricos es adecuado para robots de
pocos grados de libertad o para el caso de que se
Para los cálculos de la cinemática inversa, primero consideren sólo los primeros grados de libertad,
hay que conocer la trayectoria que debe seguir el dedicados a posicionar el extremo. Es decir,
robot, en función de la trayectoria se encuentra la encontrar suficiente número de relaciones
orientación del efector final con respecto al sistema geométricas en las que intervendrán las coordenadas
base, esta orientación junto con cada punto de la del extremo del robot, sus coordenadas articulares y
posición de la trayectoria (px, py, pz), forman la las dimensiones físicas de sus elementos. Para
matriz de transformación deseada T . mostrar el procedimiento seguiremos los siguientes
d
pasos, con dato de inicio las
( )
coordenadas p = p x , p y , p z , y los ángulos de
orientación, “pitch - roll” referidas al sistema base
en las que se quiere posicionar su extremo.

Jacobiano
Pasos:
i. Dato: Posición y Orientación. A partir de las matrices obtenidas con los parámetros
P = ( px , p y , pz ) de Denavit – Hartenberg. El jacobiano se evalúa
O = (o pitch , oroll )
según las derivadas parciales de esta con respecto a
las articulaciones.
ii. El ángulo de orientación “Roll”,
q5 = oroll ∂T
iii. Primer ángulo de giro. q1 J= , i = 1 : n (5)
∂qi

q1 = arcTg ( p y p x )
Por otro lado, del esquema equivalente del robot,
iv. Tercer ángulo q3 podemos obtenerlo del siguiente modo.

P3 = P − l4 ⋅ μ(q1,opitch ) Ejes en la dirección de articulación de las juntas

b0 = (0,0,1) b1 = (s1 ,−c1 ,0)
⎛ cos(q1 ) cos(o pitch )⎞
T T

⎛ px3 ⎞ ⎛ px ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b2 = (s1 ,−c1 ,0 )
⎜ sin (q1 ) cos(o pitch ) ⎟
T

⎜ p y 3 ⎟ = ⎜ p y ⎟ − l4 ⋅
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ejes directores de los eslabones
pz3 ⎠ ⎝ pz ⎠ ⎜ sin (o ) ⎟
⎝ ⎝ pitch ⎠
r0 = (0,0,1) r1 = (c1c 2 , s1c1 , s 2 )
T T

r2 = (c1c 23 , s1c 23 , s 23 )
T

(
cos(q3 ) = ( p z 3 − d1 ) + p x 3 + p y 3 − l2 − l3
2 2 2 2 2
) 2l l
2 3 Las distancias del efector final hacia el sistema base.
r2,e = l3 ⋅ r2

v. Segundo ángulo q2
r1,e = r2,e + l 2 ⋅ r1
r0,e = r1,e + l1 ⋅ r0

tan A = ( p z 3 − d1 ) px3 + p y3 El Jacobiano queda definido, de la siguiente forma
2 2

⎛ b0 × r0,e b1 × r1,e b2 × r2,e ⎞
J =⎜
⎜b
⎟
⎟
tan B = l3 sin (q3 ) (l2 + l3 cos(q3)) ⎝ 0 b1 b2 ⎠
q2 = A − B
Evaluando, con las constantes, tenemos:
vi. Cuarto ángulo q4 , Verificar Orientación
Pitch.
⎛ − s1 (l2c 2 + l3c23 ) − c1 (l2 s2 + l3 s23 ) − c1 (l3 s23 )⎞
q4 = o pitch − q3 − q2 ⎜
⎜ c1 (l2c2 + l3c23 ) − s1 (l2 s2 + l3s23 )
⎟
− s1 (l3 s23 ) ⎟ (6)
⎜ l2c2 + l3c23 l3c23 ⎟
vii. fin de cinemática inversa J =⎜
0
⎟
⎜ 0 s1 s1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 − c1 − c1 ⎟
⎜ ⎟
Ejecutado los pasos anteriores, obtenemos los ⎝ 1 0 0 ⎠
valores las articulaciones que toman, a fin de dar la
ubicación deseada del efector final. Ahora para el jacobiano inverso.

Necesitamos hallar el jacobiano inverso para que
cuando se tenga la trayectoria deseada ( Td , conjunto
de puntos deseados, Pd ), hallando las articulaciones
deseadas ( qd ). Luego con estos y la velocidad

deseada de la trayectoria, V pd y los qd , podremos Entonces el conjunto hallado de condicionas definirá
que valores de las articulaciones harán que el
obtener las velocidades deseadas de las
sistema perderá grados de libertad o no es posible
articulaciones. Velocidades que el controlador de los
alcanzar. Evaluando el determinante, tenemos.
actuadores tendrá que lograr .

El sistema tiene la siguiente forma, donde se Det ( J ) = −l 2 l3 s3 (l 2 c2 + l3 c 23 ) = 0
considera la velocidad lineal y angular del efector Condiciones
lineal. q3 = 0 ∨ l 2 c 2 + l3 c 23 = 0
⎛ q1 ⎞
&
⎛ ve ⎞ ⎜ ⎟ Dinámica
P = ⎜ ⎟ = J 6×3 ∗ ⎜ q 2 ⎟ (7)
⎜w ⎟ &
⎝ e ⎠ 6×1 ⎜q ⎟ Los cálculos realizados previamente serán de
⎝ & 3 ⎠ 3×1
utilidad, sin embargo se adicionara nuevos términos
Analizando solo la velocidad lineal de efector final, a fin de simplificar su representación.
entonces el jacobiano lo podremos reducir al
siguiente modo: r0,c1 = lc1 ⋅ r0
r1,c 2 = lc 2 ⋅ r1
r0,c 2 = l1 ⋅ r0 + lc 2 ⋅ r1
J = (b0 × r0,e b1 × r1,e b2 × r2,e ) (8) r1,c 3 = l2 ⋅ r1 + lc 3 ⋅ r2
r0,c 3 = l1 ⋅ r0 + l2 ⋅ r1 + lc 3 ⋅ r2
Con lo que solo tendremos como referencia la r2,c 3 = lc 3 ⋅ r2
velocidad lineal del efector final, por lo que ahora
obtendremos la inversa de esta matriz, a partir del Por otro lado, hallaremos el jacobiano para cada uno
jacobiano modificado. de los puntos, centro de masa de los eslabones.
⎛ − s1 (l2c2 + l3c23 ) − c1 (l2 s2 + l3s23 ) − c1 (l3s23 )⎞
⎜
J = ⎜ c1 (l2c2 + l3c23 ) − s1 (l2 s2 + l3s23 )
⎟
− s1 (l3s23 )⎟
J L1) = { b0 × r0,c1
(
0 0 }
⎜
⎝ 0 l2c2 + l3c23 l3c23 ⎟ ⎠ J L2 ) = { b0 × r0,c 2 b1 × r1, c 2
(
0 }
Obteniendo la inversa del jacobiano, a partir de la
J L3) = { b0 × r0,c 3 b1 × r1,c 3 b2 × r2, c 3
(
}
definición:
Adj ( J ) J A1) = { b0 0 0
(
}
J −1 =
Det ( J ) J A2) = { b0 b1
(
0}
Llegado a este resultado, podremos evaluar las J A3) = { b0 b1
(
b2 }
velocidades angulares de las articulaciones a fin de
lograr el objetivo y/o referencia dentro de la Con el conjunto de matrices hallados, podremos
generación de trayectoria. Sin embargo, como es de evaluar la energía cinética del sistema y la energía
esperar todo sistema robótico posee un espacio de potencial gravitatoria.
trabajo, entonces es necesario predecir si la
trayectoria a desarrollarse se encontrara en este. Energía cinética

Singularidad Para el sistema robótico, la energía cinética queda
definida como:
El análisis de singularidad es llevado a acabo a fin

( )
de determinar aquellos puntos o superficie de
1 3
∑ mi qi J L(i ) J L(i ) qi + qi J Ai ) I i J Ai ) qi
T T ( T
T=
condiciones donde el sistema robótico puede perder T (
& & & &
grados de libertad de una u otra forma. Un indicador 2 i =1
de esta situación es mediante la evaluación del ( 10)
determinante del jacobiano, si es igual a cero.

Det ( J ) = 0 ( 9)

Energía potencial G3 = −m3 g (lc 3c23 )
En el calculo de la energía cinética jf, necesitamos Sistema dinámico del robot de 3 GDL.
hallar a la energía potencial U, y las fuerzas
generalizadas a fin de derivar las ecuaciones de Definido
movimiento bajo el principio de Lagrange.
3 3 3

La energía potencial queda definida como: ∑ H ij q&j + ∑∑ hijk q j qk + Gi = Qi
j =1
& & &
j =1 k =1
(14)

( )
3
U = ∑ mi g T r0,ci (11) (H i1q&1 + H i 2 q&2 + H i 3 q&3 ) +
& & &
i =1
⎛ hi11 q1 2 + hi12 q1 q 2 + hi13 q1 q3 + ⎞
& & & & &
U = m1 g r0,c1 + m2 g r0,c 2 + m3 g r0,c 3
T T T ⎜ ⎟
⎜ hi 21 q 2 q1 + hi 22 q 2 + hi 23 q 2 q3 + ⎟
& & &
2
& &
Evaluando ⎜ ⎟
U = −m1 glc1 − m2 g (d1 + lc 2 s2 ) − m3 g (d1 + l2 s2 + lc 3 s23 ) ⎜ hi 31 q3 q1 + hi 32 q3 q 2 + hi 33 q3 2 ⎟
⎝ & & & & & ⎠
+ Gi = Qi
Tensor Inercia

Del análisis de energía cinética, la matriz H es Actuadores
calculada, la matriz H incorpora todas las
La ganancia del actuador es definido a partir de la
propiedades de masa de todas las articulaciones que
consideración de una caja de trasmisión (reductor),
conforman el brazo, reflejado en los ejes de las
entre el actuador y la articulación correspondiente
juntas, y se conoce como tensor inercia de
del manipulador, representado en la figura 4
manipulador, del calculo en la energía cinética, el
tensor inercia se define, así

3
(

i =1
(
H = ∑ mi J Li ) J Li ) + J Ai ) I i J Ai )
( ( T ( T
)
Coeficientes de Christoffel

Definido a partir de la matriz de tensor de inercia, H.
∂H ij 1 ∂H jk
hijk = − (12) Figura 4. Junta con trasmisión del eje del motor
∂qk 2 ∂qi
Con la suposición de cuerpos rígidos de la
Calculando, i, j, k=1:3, se tendrá 27 coeficientes. trasmisión y la ausencia de holgura (backlash), la
relación entre el torque de entrada y las fuerzas de
Derivada de potencial salida, son definidos de manera proporcional.

Definido a partir de la derivada de la energía
potencial θ m = k r qi (15)
∂U
( )
3
Gi = = ∑ m j g T J Lij ) (13)
( Donde θ m es el desplazamiento angular del motor, qi
∂qi j =1 es el cambio angular de la junta del robot y la
Evaluando constante k r es un parámetro que se define a partir
Gi = m1 g T J Li) + m2 g T J Li2 ) + m3 g T J Li )
(1 ( (3
de la caja de reducción., τ i es el torque de carga en el
eje del robot, y τ m es el torque producido por el
Para cada articulación actuador en su eje de giro, cuya relación es:
G1 = 0
G2 = − m2 g (lc 2 c2 ) − m3 g (l2 c2 + lc 3c23 ) τ m = τ i kr (16)

CONTROL POR CORRIENTE Considerando una carga externa, donde la carga
mecánica esta formado por un rozamiento fluido (f)
Dado el modelo del motor DC. y una inercia (J), como:

C (s ) − f ⋅ W (s ) = J ⋅ s ⋅ W (s ) (19)

El sistema estudiado conduce al siguiente esquema
de bloques.

Figura 5. Motor DC.

Figura 7. Sistema de Control con Carga.
Considerando el motor como una maquina excitada
por corriente, en vacío. En este caso, la tensión
suministrada a los bornes del inducido del motor esta Y la función de transferencia
en función de una tensión de control U C (s ) y de
una tensión S (s ) ⋅ I (s ) , imagen del corriente del
W (s ) k ⋅ A(s )
= 2
U C (s ) k + ( f + Js )(Ra + La s + S (s ) ⋅ A(s ))
inducido.

U (s ) = A(s )(U C (s ) − S (s ) ⋅ I (s )) (17)
Observación
A(s ) := FT del controlador de corriente. Si A(s ) y S (s ) son funciones de transferencia
S (s ) := FT del sensor de corriente. constantes, el retorno de la corriente es equivalente a
un aumento de la resistencia del inducido.

Ra → Ra + r ⋅ A (Observador de resistencia)

Si A(s ) es la función de transferencia de un control
tipo PI:
Figura 6. Sistema de Control en Vacío.
A(s ) = A
(1 + as )
Debido a que algunos casos, la imagen de la s
corriente no es perfecta y necesita que se filtre, por
ejemplo un filtro de primer orden, como: Y si el detector de intensidad tiene una función de
transferencia constante e igual a “r”, se obtiene una
FT del conjunto.
S (s ) =
r
18)
1 + bs
⋅ (1 + as )
k
W (s ) r⋅ f
=
U C (s ) k + Ra ⋅ f + r ⋅ A ⋅ J + Ra ⋅ J + Ra ⋅ a ⋅ A ⋅ f
2

Por otro lado A(s ) es la función de transferencia de 1+
Ra ⋅ A ⋅ f
s+

asocia un corrector de intensidad al interfaz de Ra ⋅ J + La ⋅ f + r ⋅ a ⋅ A ⋅ J 2 L ⋅J 3
s + a s
potencia. Si en régimen estático la ganancia de este r ⋅ A⋅ f r ⋅ A⋅ f
corrector es infinitamente grande (acción integral,
por ejemplo), I tiende hacia U c r .

Elección de los coeficientes r, b, A y a. Es necesario elegir un coeficiente de
amortiguamiento suficiente, ya que esta FTBC será
En todas las aplicaciones la constante de tiempo incluida en el bucle externo (servocontrol de
eléctrico es netamente inferior a la constante de posición o velocidad).
tiempo mecánica. Por ejemplo, si se escoge un coeficiente de
El establecimiento de la corriente se hace muy amortiguamiento e igual a “1” se obtiene A=R/4rb
rápidamente, antes de que la velocidad haya tenido
tiempo de evolucionar y/o estabilizarse. IMPLEMENTACION EN MATLAB

La corriente en régimen estable es impuesta por el Para la evaluación del controlador, se tomo como
coeficiente r (presencia de la acción integral en el parámetros del robot, los siguientes datos:
corrector de intensidad). Se escoge r para que esta
corriente sea máxima cuando la tensión de control d 1 = 0.367 metro. l 3 = 0.160 metro.
sea también máxima. m1 = 1 Kg . m 2 = 1 Kg . m.3 = 1 Kg .

Uc U max
I= ⇒r= Control PID
r I max
El Sistema Total implementado, con ganancias de
Por regla general, se escoge la constante de tiempo controlador, de altas ganancias
“a” igual a la constante de tiempo eléctrica L/R
(compensación de la constante de tiempo dominante K p = 742 K I = 4 K D = 32.9
en el bucle). La constante de tiempo “b” del filtro de
la imagen de la corriente esta en función de la Modelo
frecuencia de funcionamiento del recortador del 3
3

interfaz de potencia. em
3
3
GeomDireta
MATLAB
Function
[3x1]
3 Error de P

Gravedad
MATLAB [3x1]
[3x1] Function
3 xr yr Graph
xy rb [3x1] [3x1] Tensor Inercia

Se elegirá: xz rb
Scope

xr zr Graph1
Error de Posicion
Angular
Torque
[3x3]
MATLAB
Function
[3x1]

1
b>
3 H
po(1)+vpf(1)*u [3x3]
[3x1]
Scope1 [3x1] q
xr [3x1]

2πFH
e G
3 MATLAB [3x1] qd [3x1] [3x1]
po(2)+vpf(2)*u
3 Function [3x1]
[3x1]
yr GeomInversa taur tau
[3x1]
[3x1]
dq
po(3)+vpf(3)*u
de C
MATLAB [3x1] [3x1] 3
zr
[3x3] Function
ddq
JacInversa Coriolisis
Control PID [3x1]
vpf(1)

Se ha elegido “A” para que la estabilidad del bucle Clock xr1
vpf(2)
3
[3x3]
A

B
A*B
3

[3x1]
[3x1]
MATLAB
Function [6x1]
[3x1]

[3x1]

sea correcta. La función de transferencia en bucle yr1
vpf(3)
Jinv*Vp [3x1] Error de Velocidad

zr1

cerrado tiene por expresión: 4

⋅ (1 + bs )
1 Tiempo

I (s ) r Figura 8. Sistema Robótico
=
U C (s ) R b ⋅ Ra 2
1+ a s + s
A⋅r A⋅r Para este segundo caso, se incluyen saturadores en el
torque y en la velocidad del actuador, a partir de las
Esta FTBC es de segundo orden, pudiéndose poner especificaciones del motor, y un aproximado de la
el denominador de la forma habitual de segundo relación de reducción.
orden.
s ⎛ s ⎞
2
τ Max = ±15 N .m ω Max = ±2 rad / seg
1+ 2 ⋅ z ⋅ +⎜ ⎟
w0 ⎜ w0
⎝
⎟
⎠
Con:
Impulso propio no amortiguado
A⋅r
ω0 =
b ⋅ Ra
Coeficiente de amortiguamiento
1 Ra
z=
2 b⋅r⋅ A

Los controladores, con

K p = 60 KI = 6 K D = 18

Gain GeomDireta -K-
Error de P
MATLAB
em -K- Gain1
Function
Gravedad
MATLAB
Function
xr yr Graph
xy rb Tensor Inercia
Scope
Error de Posicion Torque MATLAB
xz rb Angular Function
xr zr Graph1

H
po(1)+vpf(1)*u
Scope1 q
xr
e G
MATLAB qd
po(2)+vpf(2)*u
Function
yr GeomInversa taur tau

Torq. Maximo dq
po(3)+vpf(3)*u
de del Actuador C
zr MATLAB
Function
ddq
JacInversa Coriolisis
Control PID
vpf(1)
A MATLAB
Clock xr1 A*B Function
vpf(2) B
Vel. Maxima
yr1
Jinv*Vp Error de Velocidad de Articulacion
vpf(3)

zr1

0

Tiempo

Figura 9. Inclusión de Saturadores de Torque y
Figura 11. Expansión de la Respuesta
Velocidad
transitoria.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Los resultados experimentales de la simulación son
desarrollados incluyendo la dinámica de los
actuadores, cada uno con sus respectivos controles
de par de actuador.

Experimento

Respuestas ante una trayectoria recta.

Figura 12. Error de Posición Angular
(Articulaciones).

Figura 10. Error de Posición del Efector Final.

Figura 13. Referencia X-Y

CONCLUSIONES

El sobreimpulso de la respuesta transitoria es
relativo, pues esta condicionado a partir de las
condiciones iniciales del robot; es decir ubicado el
robot en la posición Pa, (Posición aleatoria dentro
del espacio de trabajo), desea llegar a un Po, (Punto
inicial de trayectoria a seguir), cuanto distante se
encuentre la respuesta transitoria será mas evidente.

La implementación del controlador en simulación,
toma valores muy altos, lo que se aproxima a un
controlador no lineal.
Figura 14. Referencia X-Z
Dada la no linealidad de la dinámica del
manipulador RV – M1, los valores fueron hallados
en base a pruebas iterativas de acuerdo al tipo de
respuesta requerida, para el presente caso, fue lograr
un margen de error de ± 1mm, lo que equivale a ±
0.001m en el grafico de error de posición del efector
final, error en el espacio X.

El esquema de control y la función de transferencia
de la maquina de corriente continua depende de
cómo este alimentado y, por consiguiente, del
interfaz de potencia utilizado. Una alimentación por
tensión permite minimizar la influencia de las
constantes de tensión mecánica sobre el
comportamiento dinámico del conjunto motor carga.
Siempre es preciso señalar que, en este caso, a
Figura 15. Respuesta del Robot XY – Efector
menudo interviene una limitación de corriente
final
cuando existen grandes variaciones en la tensión de
control. Mientras dure esta limitación, la maquina
estará alimentada con una corriente constante, de
valor igual a la corriente limitadora.

REFERENCIAS

[1] John Dorsey. “Sistemas de Control
Continuos y Discretos: Modelado,
Identificación, Implementación”. Mc
GrawHill, 2005.
[2] Ragazzini, J. R and Franklin, G. F.
“Sampled Data Control System”. Mc
GrawHill, 1958.
[3] Lung –Wen Tsai, 1999, “Robot analysis:
The mechanical of serial and parallel
manipulators”, J. Wiley.
Figura 16. Respuesta del Robot XZ – Efector
final.
[4] Barrientos A. y Balaguer C., 1997,
“Fundamentos de Robótica”, Mc Graw
Hill, Primera Edición, España.

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