pdiscretos3.pdf aplicación de álgebra lineal.
- 1. Capı́tulo 3 EL MODELO ECONÓMICO DE LEONTIEF 3.1. Modelo de Leontief de Entrada-Salida El economista Wassily W. Leontief nació en San Petersburgo en 1906. Estudió en las Universidades de Moscú y Leningrado doctorándose en 1928 en Berlı́n y trabajó en la escuela de Kiel hasta su supresión por Hitler. En 1929 emigró a los Estados Unidos, se incorporó a la Oficina Nacional de Investigación Económica de New York, y fue profesor en la Universidad de Harvard. Obtuvo el Premio Nobel de Economı́a en 1973 por el desarrollo del método Entrada-Salida (input-output) y su aplicación a importantes problemas económicos. Los primeros pasos teóricos del modelo los desarrolló en Kiev, y en 1941 publicó su celebre libro ”The Structure of the American Economy”, donde por primera vez se presentó esta metodologı́a de estudio. El método es utilizado para analizar las relaciones existentes entre diferentes sectores de producción y consumo que forman parte de la economı́a de una nación aunque en la actualidad puede ser usado en contextos más limitados, como por ejemplo, grandes empresas. El modelo supone que la economı́a a estudiar está formada por diferentes sectores de producción y de servicios. Existe una demanda interna que se tiene que atender y también una demanda externa que también hay que satisfacer. Supongamos la tabla siguiente que representa a las necesidades de demanda interna: 19
- 2. 20 Capı́tulo 3 El modelo económico de Leontief producción/demanda Agricultura Manufactura Servicios Agricultura 0.4 0.03 0.02 Manufactura 0.06 0.37 0.1 Servicios 0.12 0.15 0.19 La primera columna se interpreta de la siguiente manera: el sector de la Agricultura necesita 0.4 del propio sector, 0.06 del sector de Manufactura y 0.12 del sector Ser- vicios. Generalizando, supongamos que una economı́a tiene n industrias (I1, I2, · · · , In) don- de cada una de ellas tiene unas necesidades de entrada (electricidad, materias pri- mas, etc.) y unas salidas (los productos acabados). Sea dij la cantidad de entrada que la industria Ij necesita de la industria Ii para producir una unidad. Con estos coeficientes confeccionamos la matriz de entrada-salida, D = d11 d12 · · · d1n d21 d22 · · · d2n . . . . . . . . . . . . dn1 dn2 · · · dnn donde las filas corresponden a los Ii provedores y las columnas a los usuarios Ij. Si, por ejemplo, d23 = 0.23 está dado en euros, entonces debe utilizarse 0.23 euros del producto de la industria 2 para producir un valor de un euro del producto de la industria 3. Es evidente que la cantidad total gastada por la industria Ij para producir un valor de un euro de salida está dada por la suma de los elementos de la columna j de la matriz D. En este caso, para que el modelo sea coherente tiene que ocurrir: Los valores dij deben ser tales que 0 ≤ dij ≤ 1 La suma de los elementos de cualquier columna debe ser menor o igual que uno. Se cumple la condición de equilibrio: los gastos debidos al consumo deben ser iguales a los ingresos obtenidos de las ventas. Resumiendo, el objetico del modelo de Leontief es encontrar el equilibrio entre la oferta y la demanda en una economı́a. Para cada uno de los sectores industriales existe una ecuación que relaciona oferta y demanda, de tal manera que en cualquiera de estos modelos es usual encontrarse con sistemas de miles de ecuaciones lineales con miles de incógnitas.
- 3. 3.1 Modelo de Leontief de Entrada-Salida 21 EJERCICIO 10 Supongamos una economı́a que consta de dos industrias I1 e I2, siendo las interacciones entre ellas las dadas por la tabla siguiente: Entrad. I1 Entrad. I2 Demand. finales Producc. total Producción de I1 60 64 76 200 Producción de I2 100 48 12 160 Entradas totales 200 160 También se supone que todo lo que se produce se consume. Es decir, la producción de cada industria debe ser igual a la suma de todas las entradas (en las mismas unidades) Observemos que de las 200 unidades producidas por I1, 60 las utiliza la misma industria, 64 la I2, y quedan 76 unidades diponibles para la demanda final (bienes no utilizadas por la propia industria). Supongamos que se ha realizado una investigación de mercado y se ha detectado que dentro de 5 años la demanda final para la industria I1 decrecerá de 76 a 70 unidades, mientras que la I2 pasará de 12 a 60 unidades. ¿Qué tanto deberı́a cada industria ajustar su nivel de producción a fin de satisfacer estas estimaciones? De la tabla, deducimos que la industria I1 necesita el uso de (60/200)x1 unidades de su propio producto y (100/200)x1 unidades del producto de I2, para producir x1 unidades. De manera semejante la industria I2 deberı́a usar (64/160)x2 unida- des del producto de I1 y (48/160)x2 unidades de su propio producto. De la tabla, observamos que: La industria I1 requiere la utilizacin de (60/200)x1 unidades de su propio producto y (100/200)x1 unidades del producto de I2, para producir x1 unidades. En forma análoga, I2 deberı́a usar (64/160)x2 unidades del producto de I1 y (48/160)x2 unidades de su propio producto. Al ser la producción total igual a las unidades consumidas por la industra I1 mas las consumidas por la I2 y además la demanda final, se obtiene: x1 = 60 200 x1 + 64 160 x2 + 700 Razonando de forma similar para la producción total de I2, x2 = 100 200 x1 + 48 160 x2 + 60 Este sistema de ecuaciones lineales puede ser expresado matricialmente: ( x1 x2 ) = ( 60/200 64/160 100/200 48/160 ) ( x1 x2 ) + ( 70 60 ) o de forma simbólica: X = AX + D
- 4. 22 Capı́tulo 3 El modelo económico de Leontief ecuación conocida como de insumo-producto, siendo, X la matriz de Producción, A la matriz Insumo-Producto y D la matriz de Demanda. Notemos: 1.- El elemento aij corresponde a la proporción de los insumos de la industria j que son producidos por la industria i. 2.- Cada elemento de la matriz A se encuentran entre cero y uno. 3.- La suma de los elementos de cualquier columna nunca es mayor que uno. Para hallar la matriz de producción X actuamos de la siguiente manera, X = AX + D ⇒ X − AX = D ⇒ (I − A)X = D si existe la matriz inversa (I − A)−1 entonces: X = (I − A)−1 D (3.1) Conclusión: La industria I1 debe producir 251.7 unidades y la industria I2 265 uni- dades de su producto con el fin de cumplir con las demandas finales de la proyección a 5 años. EJERCICIO 11 Supongamos la tabla siguiente que representa a las necesidades de demanda interna: producción/demanda Agricultura Manufactura Servicios Agricultura 0.4 0.03 0.02 Manufactura 0.06 0.37 0.1 Servicios 0.12 0.15 0.19 Supongamos que la matriz de demanda es D = 80 140 200 . Determinar la produc- ción total, que cumple la demanda interna y externa.
- 5. 3.1 Modelo de Leontief de Entrada-Salida 23 Debemos aplicar la fórmula (3.1), X = (I − A)−1D, siendo la matriz A de Insumo- Producto, A = 0.4 0.03 0.02 0.06 0.37 0.10 0.12 0.15 0.19 La solución es X = 158.36 288.52 323.76 EJERCICIO 12 Una economı́a simple tiene tres industrias que son dependientes entre si, pero que no dependen de industrias externas (modelo cerrado de Leontief). Estas industrias son: agricultura, construcción y transporte. La fracción de cada producto que consume cada industria viene dado por: Agricultura Construcción Transporte Agricultura 7 16 3 6 3 16 Construcción 5 16 1 6 5 16 Transporte 4 16 2 6 8 16 donde las filas representan al consumo y las columnas a la producción. Si x1, x2, x3 representan a los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y trans- porte, respectivamente. Determinar los ingresos de cada sector de la economı́a. Observemos que el elemento aij denota la fracción de bienes producidos por las personas que trabajan en la industria j y que es consumida por las personas que trabaja en la industria i. Por ejemplo, d31 = 4/16, significa que la industria del transporte consume 4/16 del total de la producción agrı́cola. Del enunciado deducimos, 7 16 x1 + 3 6 x2 + 3 16x3 = x1 5 16 x1 + 1 6 x2 + 5 16x3 = x2 4 16 x1 + 2 6 x2 + 8 16x3 = x3 ⇒ − 9 16x1 + 3 6 x2 + 3 16 x3 = 0 5 16 x1 − 5 6 x2 + 5 16x3 = 0 4 16 x1 + 2 6 x2 − 1 2 x3 = 0 que puede ser resuelto con Mathematicar,
- 6. 24 Capı́tulo 3 El modelo económico de Leontief La solución general es, {(α, 0.73α, α) : α ∈ I R} Existen infinitas soluciones siendo una solución particular (4, 3, 4), los ingreso de la industria de la agricultura, construcción y transporte están en la proporción 4:3:4. EJERCICIO 13 Consideremos un modelo de Leontief con sólo tres sectores in- dustriales: energı́a, construcción y transporte, interconectados de la manera que se expresa en la tabla siguiente: Energı́a Construcción Transporte Demanda consumidor Energı́a 0.4 0.2 0.1 100 Construcción 0.2 0.4 0.1 50 Transporte 0.15 0.2 0.2 100 ¿Cuántas unidades, en euros, de cada factor (energı́a, construcción y transporte) se debe producir y ofertar) para asegurar que la demanda del consumidor está sa- tisfecha? Estamos ante un modelo de Leontief cuyas ecuaciones son: x1 = 0.4x1 + 0.2x2 + 0.1x3 + 100 x2 = 0.2x1 + 0.4x2 + 0.1x3 + 50 x3 = 0.15x1 + 0.2x2 + 0.2x3 + 100 siendo x1, x2, x3 las demandas total de la energı́a, construcción y transporte, respec- tivamente. El lado izquierdo de cada una de las ecuaciones representa a la oferta existente de cada uno de los factores (energı́a construcción y transporte) expresada en euros. El lado derecho de las ecuaciones corresponden a las demandas, que son de dos tipos: las demandas (internas) de cada uno de los tres sectores y por otro lado la demanda en euros, de los consumidores (externa). Si el sistema es compatible, entonces diremos que el sistema se encuentra en equilibrio, puesto que la oferta de cada uno de los factores coincide con su deman- da. La restricción que impone el modelo de Leontief, es que la suma de las unidades que son necesarias emplear de cada uno de los tres sectores (suma de los elementos de las columnas), debe ser inferior a uno. Observemos que 0.4+0.2+0.15 < 1, por otro lado 0.2 + 0.4 + 0.2 < 1 y 0.1 + 0.1 + 0.2 < 1. Usamos Mathematicar para resolver el sistema,
- 7. 3.1 Modelo de Leontief de Entrada-Salida 25 Como hemos comprobado el modelo de Leontief estudiado está en equilibrio siendo la solución: x1 = 276.31, x2 = 213.81, x3 = 230.26. Por último recordar que el modelo también puede ser resuelto de manera matricial tal y como se ha realizado en ejercicios anteriores X = (I − A)−1D, o por iteración (repetición del proceso) de la manera siguiente. x1 x2 x3 = 0.4 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1 0.15 0.2 0.2 x1 x2 x3 + 100 50 100 El método consiste en calcular X(i + 1) = AX(i) ∗ D con i = 1, 2, 3, · · · Tomando cualquier valor inicial para el vector X, observamos que después de 15 iteraciones el vector X tiende al resultado anteriormente encontrado. Resumiendo, independientemente del método utilizado (resolución del sistema direc- tamente, matricialmente, y por iteración) el modelo de Leontief está en equilibrio. Es decir, la oferta de cada uno de los tres sectores coincide con la demanda de ellos
- 8. 26 Capı́tulo 3 El modelo económico de Leontief realizada por el consumidor. Las cantidades totales ofertadas en euros, necesarias para satisfacer la demanda del consumidor son: 276.31 euros de energı́a, 213.81 euros de construcción y 230.26 euros de transporte.
- 9. 3.1 Modelo de Leontief de Entrada-Salida 27 EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 14 1.- Supongamos una economı́a que consta de dos industrias I1 e I2, sien- do las interacciones entre ellas las dadas por la tabla siguiente: Entrad. I1 Entr. I2 Demand. final Producc. total Producc. I1 60 75 65 200 Producc. I2 80 30 40 150 Entradas T. 200 150 1.a.- Encontrar la matriz insumo-producto A. 1.b.- Determinar la matriz de producción, si las demandas finales cambian a 104 en I1 y a 172 en I2. Encontrar las unidades que debe producir I1 e I2 a fin de cumplir las nuevas demandas finales. 2.- Un pueblo tienes tres industrias primarias: una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energı́a eléctrica. Para producir una uni- dad (1 euro) de cobre, la mina gasta 0.20 euros de cobre, 0.1 euros de transporte y 0.2 de energı́a eléctrica. Para producir un euro de transporte, el ferrocarril requiere 0.1 euros de cobre, 0.1 de trans- porte y 0.4 de energı́a eléctrica. La planta eléctrica destina 0.2 de cobre, 0.2 de transporte, y 0.3 de energı́a eléctrica. Suponer que du- rante un año hay uja demanda externa de 1.2 millones de euros de cobre, 0.8 millones de euros de transporte y 1.5 millones de euros dd energı́a. ¿Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? 3.- En una compañia que produce, gasolina, aceite y gas, se sabe que para producir una unidad de gasolina utiliza 1 unidad de aceite y una de gas. Para producir una unidad de aceite, requiere de 1/5 unidades de aceite y 2/5 de gas. Finalmente para producir una unidad de gas requiere 1/5 de gasolina, 2/5 de aceite y 1/5 de gas. Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. ¿Cuánto debe producir la empresa de cada producto para cumplir con su mercado? 4.- Una economı́a tiene dos sectores productivos A y B. El 40 % de la producción de A es consumida por A, mientras que las compras de
- 10. 28 Capı́tulo 3 El modelo económico de Leontief insumos al sector B representa el 30 % de la producción de A. El 40 % de la producción de B es consumo proveniente del sector A y un 20 % de la producción de B es autoconsumida por B. La demanda final de los consumidores es de 1.000 euros de A y 2500 euros de B. Hallar la matriz de Leontief en este problema. Hallar el vector de producción que satisface la demanda agre- gada total.