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- 2. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA Adriana Quintero Palomino Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA HIP ´OTESIS ESTAD´ISTICA Cuando un cient´ıfico o un ingeniero conjeturan algo acerca de un sistema, se ven obligados a utilizar datos experimentales para poder tomar una decisi´on. La conjetura que se plantea puede ser expresada en forma de una hip´otesis estad´ıstica. En esta presentaci´on describiremos los procedimientos que conducen a la aceptaci´on o al rechazo de algunas hip´otesis estad´ısticas de inter´es general, las cuales hacen parte del conjunto de conceptos de la inferencia estad´ıstica.
- 4. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA ESTRUCTURA DE LA PRUEBA DE HIP ´OTESIS La conjetura que se desea probar se denomina hip´otesis nula, y esta se denota con H0. Cuando se rechaza el planteamiento, es decir H0, debe existir la aceptaci´on de una contraparte, la cual se denominar´a hip´otesis alternativa, que se denota con H1. La hip´otesis alternativa H1 por lo general representa la pregunta que se responder´a o la teor´ıa que se probar´a, por lo que su especificaci´on es muy importante. La hip´otesis nula H0 anula o se opone a H1 y a menudo es el complemento l´ogico de H1. En este sentido se podr´an tener cualquiera de las siguientes dos conclusiones: Rechazar H0 a favor de H1 debido a evidencia suficiente en los datos. No rechazar H0 debido a evidencia insuficiente en los datos. EJEMPLO: HIP ´OTESIS H0: El 90 % de los estuadiantes de Probabilidad y Estad´ıstica de Colombia aprueban el curso.
- 5. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA ERROR TIPO I El rechazo de la hip´otesis nula cuando es verdadera se denomina error tipo I. ERROR TIPO II No rechazar la hip´otesis nula cuando es falsa se denomina error tipo II. H0 es verdadera H0 es falsa No rechazar H0 Decisi´on correcta Error tipo II Rechazar H0 Error tipo I Decisi´on correcta P-VALOR Un valor P es el nivel (de significancia) m´as bajo en el que el valor observado del estad´ıstico de prueba es significativo.
- 6. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA El modelo para la situaci´on subyacente se centra alrededor de un experimento con X1, X2, . . . , Xn, que representan una muestra aleatoria de una distribuci´on con media µ y varianza σ2 > 0. Para la hip´otesis: H0 : µ = µ0 H1 : µ = µ0 El estad´ıstico de prueba adecuado se debe basar en la variable aleatoria ¯X. PROCEDIMIENTO DE PRUEBA PARA UNA SOLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA) z = ¯x−µ0 σ√ n > −zα/2 o z = ¯x−µ0 σ√ n < zα/2 Si −zα/2 < z < zα/2, no se rechaza H0. El rechazo de H0, desde luego, implica la aceptaci´on de la hip´otesis alternativa µ = µ0. Con esta definici´on de la regi´on cr´ıtica deber´ıa quedar claro que habr´a ? probabilidades de rechazar H0 (al caer en la regi´on cr´ıtica) cuando, en realidad, µ = µ0
- 7. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA (σ2 CONOCIDA) Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas con queso chedar pesan, en promedio, 5.23 onzas, con una desviaci´on est´andar de 0.24 onzas. Pruebe la hip´otesis de que µ = 5,5 onzas contra la hip´otesis alternativa de que µ < 5,5 onzas, al nivel de significancia de 0.05.
- 8. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜no de muestra: n = 64 Media poblacional: µ = 5,23 Deasviaci´on poblacional: σ = 0,24 Media muestral: ¯x = 5,5 Nivel de significancia: α = 0,05 2 Planteamiento de Hip´otesis: H0 : µ = 5,5 H1 : µ < 5,5 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ < 5,5, la prieba que se realizar´a ser´a de una sola cola, por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,645 4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = 5,5−5,23 0,05√ 64 z = 43,2 5 Decisi´on: No rechazar H0 6 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que una bolsa de palomitas con queso chedar pesa en promedio menos de 5.5 onzas.
- 9. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PROCEDIMIENTO DE PRUEBA PARA UNA SOLA MEDIA (VARIANZA DESCONOCIDA) El estad´ıstico t para una prueba sobre una sola media. Para la hip´otesis bilateral (dos colas): H0 : µ = µ0 H1 : µ = µ0 rechazamos H0 a un nivel de significancia α cuando el estad´ıstico t calculado t = ¯x−µ S√ n excede a t(α/2,n−1) o es menor que −t(α/2,n−1). EJEMPLO: PH PARA UNA MUESTRA (σ2 DESCONOCIDA) Se afirma que los autom´oviles recorren en promedio m´as de 20.000 kil´ometros por a˜no. Para probar tal afirmaci´on se pide a una muestra de 100 propietarios de autom´oviles seleccionada de manera aleatoria que lleven un registro de los kil´ometros que recorren. ¿Estar´ıa usted de acuerdo con esta afirmaci´on, si la muestra aleatoria indicara un promedio de 23.500 kil´ometros y una desviaci´on est´andar de 3900 kil´ometros?
- 10. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜no de muestra: n = 100 Media poblacional afirmada: µ = 20000 Desviaci´on muestral: S = 3900 Media muestral: ¯x = 23500 Nivel de significancia: Se fijar´a en α = 0,01 2 Planteamiento de Hip´otesis: H0 : µ = 20000 H1 : µ > 20000 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ > 20000, la prueba que se realizar´a ser´a de una sola cola, por tanto se rechazar´a H0 si t > t(0,01,99) = 2,364 4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = 20000−235300 3900√ 100 z = −8,97 5 Decisi´on: No rechazar H0 6 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que los autom´oviles recorren en promedio menos de 20.000 kil´ometros por a˜no.
- 11. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS PEQUE ˜NAS) 1 H0 : p = p0. 2 Una de las alternativas H1 : p < p0, p > p0 o p = p0. 3 Elegir un nivel de significancia igual a α. 4 Estad´ıstico de prueba: variable binomial X con p = p0. 5 C´alculos: obtener x, el n´umero de ´exitos, y calcular el valor P adecuado. 6 Decisi´on: sacar las conclusiones apropiadas con base en el valor P. EJEMPLO: PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS PEQUE ˜NAS) Un constructor afirma que en 70 % de las viviendas que se construyen actualmente en la ciudad de Richmond, Virginia, se instalan bombas de calor. ¿Estar´ıa de acuerdo con esta afirmaci´on si una encuesta aleatoria de viviendas nuevas en esta ciudad revelara que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.
- 12. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA Soluci´on: 1 H0 : p = 0,7 2 H1 : p = 0,7 3 α = 0,10 4 Estad´ıstico de prueba: Variable binomial X con p = 0,7 y n = 15. 5 C´alculos: x = 8 y np0 = (15)(0,7) = 10,5. Por lo tanto, el valor P calculado es: P = 2P(X ≤ 8 cuando p = 0.7) = 2 8 x=0 b(x; 15, 0,7) = 0,2622 > 0,10 6 Decisi´on: No rechazar H0. Concluir que no hay raz´on suficiente para dudar de la afirmaci´on del constructor.
- 13. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS GRANDES) Sin embargo, para n grande por lo general se prefiere la aproximaci´on de la curva normal, con los par´ametros µ = np0 y σ2 = np0q0, la cual es muy precisa, siempre y cuando p0 no est´e demasiado cerca de 0 o de 1. Si utilizamos la aproximaci´on normal, el valor z para probar p = p0 es dado por z = xnp0 √ np0q0 = ˆp − p0 p0q0/n que es un valor de la variable normal est´andar Z. Por consiguiente, para una prueba de dos colas al nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es z < −zα/2 o z > zα/2. Para la alternativa unilateral p < p0, la regi´on cr´ıtica es z < −zα, y para la alternativa p > p0, la regi´on cr´ıtica es z > zα.
- 14. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBA SOBRE LA VARIANZA POBLACIONAL Para probar la hip´otesis nula H0 de que la varianza de la poblaci´on σ2 es igual a un valor espec´ıfico σ2 0 contra una de las alternativas comunes σ2 < σ2 0, σ2 > σ2 0 o σ2 = σ2 0. El estad´ıstico apropiado sobre el que basamos nuestra decisi´on es el estad´ıstico chi cuadrada. Por lo tanto, si suponemos que la distribuci´on de la poblaci´on que se muestrea es normal, el valor de chi cuadrada para probar σ2 = σ2 0 es dado por χ2 = (n − 1)s2 σ2 0 donde n es el tama˜no de la muestra, s2 es la varianza muestral y σ2 0 es el valor de σ2 dado por la hip´otesis nula. Si H0 es verdadera, χ2 es un valor de la distribuci´on chi cuadrada con v = n − 1 grados de libertad. En consecuencia, para una prueba de dos colas a un nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es χ2 < χ1−α/2 o χ2 > χα/2. Para la alternativa unilateral σ2 < σ2 0, la regi´on cr´ıtica es χ2 < χ1−α/2; y para la alternativa unilateral σ2 > σ2 0, la regi´on cr´ıtica es χ2 > χα/2.
- 15. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA SOBRE LA VARIANZA POBLACIONAL Se deben supervisar las aflotoxinas ocasionadas por moho en cosechas de cacahuate en Virginia. Una muestra de 64 lotes de cacahuate revela niveles de 24.17 ppm, en promedio, con una varianza de 4.25 ppm. Pruebe la hip´otesis de que σ2 = 4,2 ppm contra la alternativa de que σ2 = 4,2 ppm. Utilice un valor P en sus conclusiones. Soluci´on: 1 Planteamiento de hip´otesis: H0 : σ2 = 4,2 H1 : σ2 = 4,2 2 Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente) 3 Establecer regi´on cr´ıtica: χ2 (63,0,975) = 42,9644 y χ2 (63,0,025) = 86,8153 4 Estad´ıstico de prueba: χ2 = (63)(4,25) 4,2 χ2 = 63,75 5 Decisi´on: No existe evidencia suficiente para afirmar σ2 no es igual a 4.2 a un nivel de significancia del 5 %.