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- 2. EXPERIMENTOS FACTORIALES Adriana Quintero Palomino Departamento de Matem´aticas, F´ısica e Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. ANOVA DE DOS FACTORES INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES MODELO DE DOS FACTORES Suponga que existe interacci´on entre los tratamientos y los bloques, como lo indica el modelo yij = µ + αi + βj + (αβ)ij + ij El valor esperado del cuadrado medio del error entonces es dado por E SCE (b − 1)(k − 1) = σ2 + 1 (b − 1)(k − 1) k i=1 b j=1 (αβ)2 ij Los efectos del tratamiento y los bloques no aparecen en el cuadrado medio del error esperado, pero los efectos de la interacci´on s´ı. Entonces, si en el modelo hay interacci´on, el cuadrado medio del error refleja variaci´on debida al error experimental m´as una contribuci´on de la interacci´on y, para este plan experimental, no hay forma de separarlos.
- 4. ANOVA DE DOS FACTORES INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES MODELO DE DOS FACTORES Considere, por ejemplo, los siguientes datos de temperatura (factor A con niveles t1, t2 y t3 (en orden creciente) y tiempo de secado d1, d2 y d3 (tambi´en en orden creciente). La respuesta es el porcentaje de s´olidos. Estos datos son completamente hipot´eticos y se dan para ilustrar un aspecto. B A d1 d2 d3 Total t1 4.4 8.8 5.2 18.4 t2 7.5 8.5 2.4 18.4 t3 9.7 7.9 0.8 18.4 Total 21.6 25.2 8.4 55.2 El efecto de la temperatura sobre el porcentaje de s´olidos es positivo para el tiempo breve de secado d1, pero negativo para el tiempo prolongado d3.
- 5. ANOVA DE DOS FACTORES INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES Esta interacci´on clara entre la temperatura y el tiempo de secado es intere- sante para el bi´ologo; sin embargo, con base en los totales de las respuestas para las temperaturas t1, t2 y t3, la suma de cuadrados de la temperatura, SCT, producir´a un valor de 0. Entonces, se dice que la presencia de la interacci´on enmascara el efecto de la temperatura. Por ello, si se considera el efecto me- dio de la temperatura, promediado para el tiempo de secado, no existe efecto alguno. Entonces, esto define el efecto principal.
- 6. ANOVA DE DOS FACTORES REPRESENTACI ´ON GR ´AFICA DE LA INTERACCI ´ON La interacci´on se revela en las l´ıneas no paralelas. Debe ser evidente que el paralelismo en las gr´aficas indica la ausencia de interacci´on.
- 7. ANOVA DE DOS FACTORES AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES EXPERIMENTO DE DOS FACTORES CON N R ´EPLICAS B A 1 2 ... b Total Media 1 y111 y121 ... y1b1 Y1.. ¯y1.. y112 y122 ... y1b2 ... ... ... y11n y12n ... y1bn 2 y211 y221 ... y2b1 Y2.. ¯y2.. y212 y222 ... y2b2 ... ... ... y21n y22n ... y2bn ... ... ... ... ... ... a ya11 ya21 ... yab1 Ya.. ¯ya.. ya12 ya22 ... yab2 ... ... ... ya1n ya2n ... yabn Total Y,1. Y,2. ... Y.b. Y... Media ¯y,1. ¯y,2. ... ¯y.b. ¯y...
- 8. ANOVA DE DOS FACTORES AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES EXPERIMENTO DE DOS FACTORES CON N R ´EPLICAS Cada observaci´on de la tabla se puede escribir en la siguiente forma: yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk Las 3 hip´otesis por probar son las siguientes: 1 H0 : α1 = α2 = . . . = αa = 0 H1 : Al menos una de las αi no es igual a 0. 2 H0 : β1 = β2 = . . . = βb = 0 H1 : Al menos una de las βj no es igual a 0. 3 H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = . . . = (αβ)ab = 0 H1 : Al menos una de las (αβ)ij- no es igual a 0.
- 9. ANOVA DE DOS FACTORES PARTICI ´ON DE LA VARIABILIDAD EN EL CASO DE DOS FACTORES IDENTIDAD DE LA SUMA DE CUADRADOS Simb´olicamente, la identidad de la suma de cuadrados se escribe como SCT = SCA + SCB + SC(AB) + SCE donde a SCA y SCB se les denomina la suma de cuadrados para los efectos principales A y B, respectivamente, SC(AB) recibe el nombre de suma de cuadrados de la interacci´on para A y B, y SCE es la suma de cuadrados del error. La partici´on de los grados de libertad se efect´ua de acuerdo con la identidad abn − 1 = (a − 1) + (b − 1) + (a − 1)(b − 1) + ab(n − 1)
- 10. ANOVA DE DOS FACTORES PARTICI ´ON DE LA VARIABILIDAD EN EL CASO DE DOS FACTORES IDENTIDAD DE LA SUMA DE CUADRADOS Donde SCT = a i=1 b j=1 n k=1(yijk − ¯y...)2 SCA = bn a i=1(¯yi.. − ¯y...)2 SCB = an b j=1(¯y.j. − ¯y...)2 SC(AB) = n a i=1 b j=1(¯yij. − ¯yi.. − ¯y.j. + ¯y...)2 SCE = a i=1 b j=1 n k=1(yijk − ¯yij.)2
- 11. ANOVA DE DOS FACTORES AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES AN ´ALISIS DE VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON N R ´EPLICAS Fuente de variaci´on Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio f calculada Efecto principal A SCA a-1 s2 1 = SCA a?1 f1 = s2 1 s2 B SCB b-1 s2 2 = SCB b−1 f2 = s2 2 s2 Interacciones de 2 factores AB SC(AB) (a-1)(b-1) s2 3 = SC(AB) (a−1)(b−1) f3 = s2 3 s2 Error SCE ab(n − 1) s2 = SCE ab(n−1) Total STC abn − 1
- 12. ANOVA DE DOS FACTORES EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS ALEATORIOS EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON EFECTOS ALEATORIOS En un experimento de 2 factores con efectos aleatorios se tiene el modelo Yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ijk para i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; y k = 1, 2, . . . , n, donde Ai, Bj, (AB)ij, y ijk son variables aleatorias independientes con medias igual a 0 y varianzas σ2 α, σ2 β, σ2 αβ y σ2, respectivamente. Las sumas de cuadrados para experimentos de efectos aleatorios se calculan exactamente de la misma forma que en los experimentos de efectos fijos. Ahora se tiene inter´es en probar hip´otesis con la forma H0 : σ2 α = 0, H0 : σ2 β = 0, H0 : σ2 αβ = 0 H1 : σ2 α = 0, H1 : σ2 β = 0, H1 : σ2 αβ = 0
- 13. ANOVA DE DOS FACTORES EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS ALEATORIOS EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON EFECTOS ALEATORIOS donde el denominador en la raz´on f no es necesariamente el cuadrado medio del error. El denominador apropiado se determina examinando los valores esperados de los distintos cuadrados medios, los cuales se presentan en la tabla. CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS PARA UN EXPERIMENTO DE EFECTOS ALEATORIOS DE 2 FACTORES Fuente de variaci´on Cuadrado medio Grados de libertad Cuadrado medio esperado A a − 1 s2 1 σ2 + nσ2 αβ + bnσ2 α B b − 1 s2 2 σ2 + nσ2 αβ + anσ2 β AB (a − 1)(b − 1) s2 3 σ2 + nσ2 αβ Error ab(n − 1) s2 σ2 Total abn − 1
- 14. ANOVA DE DOS FACTORES EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS ALEATORIOS CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS PARA UN EXPERIMENTO DE EFECTOS ALEATORIOS DE 2 FACTORES En la tabla se observa que H0 y H0 se prueban usando s2 3 en el denominador de la raz´on f; mientras que H0 se prueba con s2 en el denominador.
- 15. ANOVA DE DOS FACTORES EXPERIMENTO DEL MODELO MIXTO MODELO MIXTO Hay situaciones en que el experimento dicta la suposici´on de un modelo mixto, es decir, una mezcla de efectos aleatorios y fi jos. Por ejemplo, para el caso de 2 factores se tiene que Yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ijk para i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; k = 1, 2, . . . , n. Las Ai pueden ser variables aleatorias independientes de ijk, y las Bj pueden ser efectos fijos. MODELO MIXTO La naturaleza mixta del modelo requiere que los t´erminos de la interacci´on sean variables aleatorias. Como resultado, las hip´otesis relevantes adoptan la forma H0 : σ2 α = 0, H0 : B1 = B2 = . . . = Bb = 0, H0 : σ2 αβ = 0 H1 : σ2 α = 0, H1 : Al menos una de las Bj no es igual a 0, H1 : σ2 αβ = 0
- 16. ANOVA DE DOS FACTORES EXPERIMENTO DEL MODELO MIXTO MODELO MIXTO Otra vez, los c´alculos de la suma de cuadrados son id´enticos a los de las situaciones de efectos fijos y aleatorios, y la prueba F es determinada por los cuadrados medios esperados. CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS Factor Cuadrado medio esperado A (aleatorios) σ2 + bnσ2 α B (fijos) σ2 + nσ2 αβ + an b−1 j B2 j AB (aleatorios) σ2 + nσ2 αβ Error σ2 A partir de la naturaleza de los cuadrados medios esperados queda claro que la prueba sobre el efecto aleatorio emplea el cuadrado medio del error s2 como denominador, mientras que la prueba sobre el efecto fijo utiliza el cuadrado medio de interacci´on.
- 17. ANOVA DE DOS FACTORES BIBLIOGRAF´IA Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L. Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias. Pearson Educaci´on. Novena edici´on. 2012. Navidi, William Cyrus. Statistics for engineers and scientists. McGraw-Hill Higher Education. Third edition. 2011.