Piñin r2

UNIVERSIDAD CIENTÍFICA DEL PERÚ
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
1COLUMNAS EN ESTRUCTURAS
I. INTRODUCCIÓN
Todas las grandes civilizaciones de la Edad del Hierro en el Oriente Próximo y
el Mediterráneo han utilizado columnas. Se inspiró en las formas de la
naturaleza vegetal de su tierra para transformar e imaginar los haces de cañas
utilizados en su primitivos alojamientos como elementos sustentantes en
forma de columnas, componente básico de la arquitectura de piedra.
Algunas de las columnas más elaboradas del mundo antiguo son las de
los persas. Los egipcios, persas y otras antiguas civilizaciones utilizaron las
columnas, de forma práctica, para sostener los tejados de sus edificios,
utilizando los muros decorados exteriormente con relieves o pinturas.
Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante
delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga
gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga
mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Esto se
diferencia de una poste corto sentido a compresión, el cual, aunque esté
cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable.
Aunque no existe una limita perfectamente establecido entre elemento corto y
columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna
si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor.

II. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Columnas
Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante
delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga
gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una
carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento.
Esto se diferencia de una poste corto sentido a compresión, el cual,
aunque esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral
despreciable. Aunque no existe una limita perfectamente establecido
entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento
a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su
dimensión transversal menor.
Una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de
compresión, y una columna larga está sometida principalmente al
esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la longitud de una columna
disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión
y aumenta correlativamente las del esfuerzo de flexión.
Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar
exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la
proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta
indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las
columnas intermedias.
No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de diferenciación entre
columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es
decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de
flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión
directa. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud
sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas
largas.

2.2. Cargas críticas
Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus
extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus
direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios,
de manera que produzca flexión según la dirección de máxima
flexibilidad. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la
deflexión, no experimentarán variación alguna si se añade una fuerza
axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente
con el aumento de P de manera que la deflexión en el centro no varíe.
Es estas condiciones, el momento flexionarte en el centro es:
M=H/2*(L/2)+P y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,
M= (Pcr)*.
Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna
deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P
sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión, lo que
incrementará M, con lo cual volverá aumentar y así sucesivamente
hasta que la columna se rompa por pandeo. Por el contrario, si P
disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la
deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir, etc., y
la columna termina por enderezarse por completo. Así, pues, la carga
crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede
someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio
inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se
deforme y quede pandeada.
2.3. Formula de Euler para columnas
En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un
análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en
la ecuación diferencial de la elástica: M=EI(d2y/dx2). Ahora se sabe
que este análisis es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite

de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los
conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él
no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga crítica.
Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la
columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores)
de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La
deflexión máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista
diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su
proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente
dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial
aproximada de la elástica de una viga: EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py.
El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario
al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo
menos. Si la columna se pandeara en sentido contrario, es decir, en la
dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el
criterio de signos adoptado. La ecuación anterior no se puede integrar
directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente
era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para
resolverla.
2.3.1. Limitaciones de la fórmula de Euler
Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la
cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el
momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es
siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La
tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje
principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.
La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que
puede producir el pandeo no depende de la resistencia del
material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico. Por

este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero
de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la
misma carga crítica ya que aunque sus resistencias son muy
diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así
pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar
lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área
dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del
centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia
con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más
parecidos posible ( como en una columna hueca).
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se
produzca en el pandeo no debe exceder al límite de
proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en
la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A es el área
de la sección recta y r es el radio de giro mínimo.
2.3.2. Suposiciones
Supongamos que esta columna inicialmente es:
 Recta, homogénea, y de sección transversal constante en
toda su longitud.
 Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al
límite de proporcionalidad del material.
 Cuando la columna es cargada con la carga crítica de
pandeo. Puede tener 2posiciones de equilibrio: La posición
recta y la posición ligeramente deformada.

 Como una columna ideal (fig. a) es recta, teóricamente la
fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la
falla, sea por fractura o por fluencia del material.
 Cuando se alcanza la carga critica Pcr, la columna está a
punto de volverse inestable, de manera que una pequeña
fuerza lateral (fig. b), ocasionara que la columna permanezca
en la posición deflexionada cuando F deje de actuar (fig. c).
 Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr
permitirá que la columna se enderece.
 Para determinar la carga crítica y la forma pardeada de la
columna, se aplicara la relación, el momento interno en la
columna con su forma deflexionada.

Este ecuación se satisface cuando C1 =0 en tal caso v=0, la cual
es una solución trivial que requiere que la columna siempre
permanezca recta, aun cuando la carga ocasione que la columna
se vuelva inestable.
La carga crítica (carga de Euler) para la columna es:
Donde:
 E: módulo de elasticidad del material.
 I menor: momento de inercia de la sección transversal de la
columna.
 L: longitud no soportada de la columna, cuyos extremos
están articulados.
La fórmula pandeada correspondiente es:

2.3.3. Fórmulas de Euler para otras condiciones de los extremos
La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión
de la curva deformada que adopta el eje de la columna.
2.4. Fórmulas para columnas intermedias
Las fórmulas de diseño se obtienen
tomando las características de la
curva vs L / r para el material que se
está considerando y escribiendo la
ecuación de la curva, incluyendo un
factor de seguridad adecuado en la
expresión.

Si se va a diseñar una columna de un edificio, las especificaciones del
American Institute of Steel Construction o las del American Concrete
Institute proporcionan las formulas, así como las restricciones
impuestas para su uso.
2.5. Formulas del AISC para columnas
El American Institute of Steel Construction (AISC) en sus
especificaciones establece las formulas siguientes para los esfuerzos
admisibles en miembros a compresión cargados axialmente.
2.6. Ejercicios de aplicación sobre columnas
Los ejercicios que se presentan a continuación básicamente están
relacionados a la mecánica de materiales, en donde se encontrara las
fuerzas internas a las que se encuentra sometida una columna,
también se puede realizar ejercicios de metrados para columnas entre
otros.

 Ejercicio N° 01

III.CONCLUSIONES
 Las vigas se clasifican en:
Largas.
Medias
Elementos cortos.
 La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de
momento de inercia mínimo de la sección recta.
 Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible
del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con
respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible
( como en una columna hueca).
 Las vigas se estudian mediante las formulas planteadas por Leonhard
Euler.

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