Ponencia CONEEST 2012

1. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad del Brasil Análisis Bayesiano del Censo de 2010 Juan de Jesús Sandoval UNIVERSIDAD FEDERAL DE MINAS GERAIS CEDEPLAR/UFMG Doctorado en Demografía Fac. de Ciencias Económicas Lima, Perú Septiembre de 2012 Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

2. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Contenido 1 Introducción 2 Modelación de la Fecundidad 3 Modelacion Bayesiana 4 Resultados 5 Conclusiones Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

3. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Cambios en TGF En los últimos años se han observado cambios en la distribución la fecundidad en la mayoría de los países del mundo y mas recientemente en Latinoamerica. Esto ha hecho que se piense en que los modelos estadísticos actuales no dan explicación al cambio en la distribución de la fecundidad por edad en las mujeres en edad fértil. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

4. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Cual es su importancia La modelación de los patrones de fecundidad es esencial para que los investigadores comprendan las variaciones mundiales de los indicadores demográcos en la población. Varios tipos de modelación de la fecundidad se han reportado en la literatura que buscan capturar los patrones especícos especialmente en países desarrollados. Mientras tanto, se ha hecho un gran esfuerzo en la reducción de las tasas de fecundidad en latinoamerica. No obstante, hay escasez en la modelación que describan patrones de fecundidad metodológicamente descritos. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

5. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones La modelacion estadistica TGF La modelación estadística de las tasas de fecundidad permite: Observar tendencias globales de las tasas de fecundidad de un determinado país Calcular percentiles o intervalos de conanza para los indicadores Calcular la varianza poblacional Plantear hipótesis estadística Construcción de modelos estadísticos que expliquen determinantes de la fecundidad Predecir y proponer cambios futuros en los países con base en tales indicadores Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

12. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Definición tasa de fecundidad Nac. periodo 0 a T mujeres edades: x , x +n n Fx [0, T ] = Años-per. vividos periodo 0 a T mujeres edad: x , x + n β−n TGF [ 0, T ] = n · n Fx [0, T ] (1) x =α Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

13. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Algunos datos del Censo 2010 Tabla: Tasa global de fecundidad TGF del Brasil 2000-2010, resultados del censo 2010 IBGE Grande regiones 2000 2010 D. relativa Brasil 2.38 1.86 -21.9 Norte 3.16 2.42 -23.5 Nordeste 2.69 2.01 -25.2 Sudeste 2.10 1.66 -21.0 Sur 2.24 1.75 -21.7 Centro-oeste 2.25 1.88 -16.3 Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

14. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Algunos Antecedentes Varios tipos de modelos han sido propuestos para la modelación de las tasas especícos de fecundidad por edad de la madre, en muchas poblaciones: La función de Coale-Trussell (Coale and Trussell 1974,1978) La funcion de Pearson Tipo I (Mitra 1967; Romaniuk 1973) Curvas Tipo III (Nurul Islam and Mallick 1987) La funcion Beta y Gamma (Hoem et al. 1981) modelos splines cubicos (Hoem and Rennermalm 1978; Gilks, 1986) the Gompertz curve (Wunsch 1966; Murphy and Nagnur 1972; Fraid 1973) Funcion spline cuadratico Schmertmann (2003) Modeling fertility in modern populations Peristera y Kostaki (2007) Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

23. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación de las tasas especificas Sea y una variable aleatoria. Sea θ un parámetro desconocido. Si condicionamos el valor θ, dado algunos valores conocidos de y , si p () es la función de masa de probabilidad entonces: p (θ | y ) ∝ p (θ) · p (y | θ) (2) Ahora considere que la verosimilitud en la ecuación (1) es de la forma a b p (y | θ) ∝ θ · (1 − θ) (3) Si adicionalmente asumimos que la distribución apriori del parámetro θ es es una Beta(α, β): p (θ) ∝ θα−1 · (1 − θ)β−1 (4) Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

24. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación de las tasas especificas Si se asume adicionalmente que se pueden seleccionar valores razonables de α y β , de acuerdo con la teoría de estadística bayesiana, la densidad posterior de θ dados los valores de y es: p (θ | y ) ∝ θy · (1 − θ)n−y × θα−1 (1 − θ)β−1 = θy +α−1 (1 − θ)n−y +β−1 = Beta(θ | α + y, β + n − y) Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

25. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación de la TGF Sea y1 , y2 , · · · yn el numero de hijos nacidos vivos por mujeres en edad fertil. Vamos a asumir que: yi ∼ Poisson(xi λ), Donde los valores xi son conocidos desde una variable explicatoria, digamos x. λ es un parámetro desconocido de interés. el valor λ es la tasa de ocurrencia y xi es la exposición en la unidad i : 1, 2, · · · , n . La verosimilitud extendida de λ al modelo de poisson es: y −( x )θ p (y | λ) ∝ λ e i i (5) Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

26. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Ademas, si se asume la distribución gamma es la conjugada para λ, yi ∼ Gamma(α, β), aplicando la teoría bayesiana, se puede llegar a que la distribución posterior de λ dados los valores de y , es: n n λ | y ∼ Gamma α + yi , β + xi (6) i =1 i =1 Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

27. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Tasas especificas fecundidad apriori Dist. empírica tasas de fecundidad, Brasil 2000 0.30 0.25 0.20 Probabilidad a priori 0.15 0.10 0.05 0.00 20 30 40 50 Edad Figura: proporciones especicas de fecundidad, Brasil 2000. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

28. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación a posteriori de fecundidad 2010 posterior 0.3 0.2 0.1 Probabilidad 0.0 prior 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P Figura: Densidad a priori y posterior especicas de fecundidad, Brasil 2000-2010. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

29. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación a posteriori de fecundidad 2010 Apriori Verosimilitud Aposteriori 3 Densidad 2 1 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P Figura: Densidad a priori, verosimilitud y posterior Brasil 2000, agregando la información de Sandoval Juan de Jesús 2010. Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

30. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Histograma de la aposteriori vía simulación Histograma de la D. Posterior 800 600 Frecuencia 400 200 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 P Figura: Histograma de la aposteriori vía simulación. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

31. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Un intervalo de credibilidad del 95% puede ser calculado con base en la información de la simulación mediante los percentiles 2.5 y 97.5% de la distribución de probabilidades posterior vía simulación. 2.5% y 97.5% 0.2300483 y 1.0068217 indicando que la mayoría de mujeres en edad fértil aun están teniendo sus hijos entre edades de 17 y 28 años aproximadamente, con un 95% de credibilidad. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

32. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Modelación de la tasa global de fecundidad TGF TGF CENSO 2000 0.3 Density D.Apriori 0.2 D.Apost 0.1 0.0 0 2 4 6 8 10 Tasa 2000 TGF CENSO 2100 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 D.Apriori Density D.Apost 0 2 4 6 8 Tasa 2100 Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

33. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Conclusiones Las tasas de fecundidad en el Brasil, han sufrido una disminución importante en los últimos años, lo que indica un cambio en la dinámica de la población. La metodología bayesiana es util en la modelación de las tasas especicas de fecundidad. En Brasil, se puede concluir con base en los resultados que, en general no ha habido postergamiento en el embarazo en las mujeres. Es importante probar con otros modelos empíricos vía MCMC, ya que la distribución de las tasas aun se muestra un poco extraña. Es importante evaluar la modelacion de las tasas de fecundidad en otros paises y comparar con latinomerica. Los modelos bayesianos son una importante herramienta, cuando no se tiene claridad el modelo estadístico de los datos Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

34. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones Bibliografía Peristera, P and Tostación, A. (2007) Modeling fertility in modern populations. Demographic Research, Vol 16 (6), p 141-194. Gayawan,E; Adebayo, S.B;Ipinyomi R.A et al (2010). Modeling fertility curves in Africa. Demographic Research, Vol 22 (10), p 211-236. Potter,Joseph E.; Schmertmann,Carl P.; Cavenaghi,Suzana M.(2002) Fertility and Development: Evidence From Brazil.Demography, Volume 39, Number 4, November, pp. 739-76. Assunção,Renato M.; Potter, Joseph E.; Cavenaghi,Suzana M.(2002) A Bayesian space varying parameter model applied to estimating fertility schedules. Statist. Med.; 21:2057?2075. Gelman, A; Carlin,H.S; Rubin, S. et al (2004). Bayesian Data Analysis. 2d ed. Chapman Hill. N.Y Albert J.(2009). Bayesian Computation with R. 2d edition. Springer. London. Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

35. Introducción Modelación de la Fecundidad Modelacion Bayesiana Resultados Conclusiones ½ GRACIAS!, por la atención Juan de Jesús Sandoval Modelación Estadística de las Tasas de Fecundidad

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