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El documento describe las propiedades del triángulo de Pascal. Explica que Blaise Pascal introdujo esta notación en 1654 para organizar los coeficientes binomiales de forma triangular. Luego detalla cómo se construye el triángulo colocando números de acuerdo a reglas específicas. Finalmente, enumera varias propiedades notables del triángulo como su simetría, su relación con el binomio de Newton, la sucesión de Fibonacci y patrones dentro del triángulo.
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- 1. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCALLic.: Cristian Ernesto Martínez Morejón
- 2. CONTENIDOS A DESARROLLAR 1 Reseña Histórica 2 Construcción del Triángulo de Pascal 3 Propiedades del Triangulo de Pascal
- 3. COMPETENCIAS: 1 Internaliza la metodología para la construcción del Triángulo de Pascal, desde diferentes enfoques. 2 Visualiza las propiedades que satisface el Triángulo Pascal.
- 4. RESEÑA HISTÓRICA En matemáticas, el Triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes.
- 5. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCALPaso 1: colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Paso 2: después, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. Paso 3: en la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos unos colocamos un 2 (1 + 1). Paso 3: en la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Notas: 1. Cada línea se construye a partir de la anterior. 2. Con excepción de los números 1, que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene por encima.
- 6. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCALOtra manera de construir el triángulo es la siguiente. Cambiamos los números por puntos o nodos, como se indica en la figura. Escribimos un 1 sobre el vértice superior, y luego, sobre cada nodo, el número de maneras que hay para llegar a este punto a partir del vértice superior, moviéndonos únicamente
- 7. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL INFINITO Y SIMÉTRICO No tiene fin y es simétrico respecto al eje vertical. Se puede leer igualmente empezado por la izquierda que por la derecha.
- 8. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL TRIÁNGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTÓN La fórmula general del llamado Binomio de Newton: (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n del triángulo de Pascal. Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo. Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos: (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3. Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 3 del
- 9. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL TRIÁNGULO DE PASCAL Y SUCESIÓN DE FIBONACCILa sucesión de Fibonacci está definida por la relación de recurrencia homogénea lineal de segundo orden 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 +𝑓𝑛−2 𝑛 ≥ 3 sujeta a las condiciones iniciales 𝑓1 = 1, 𝑓2 = 1 Es decir, sus primeros dos elemento son el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores. Por tanto los primeros elementos son:
- 10. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL TRIÁNGULO DE PASCAL Y POTENCIAS DE 11. En cada una de las filas del Triángulo de Pascal se pueden visualizar las potencias de 1.
- 11. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL TRIÁNGULO DE PASCAL Y LAS POTENCIAS DE 2 Si sumamos los elementos de cada fila en el Triángulo de Pascal, obtenemos las potencias de 2: 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 ⋮
- 12. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL PATRONES DENTRO DEL TRIÁNGULO DE PASCAL 1. La primera diagonal, esta constituida, sólo por “1”. 2. La segunda diagonal, son todos los números consecutivos (1, 2, 3, …) 3. La tercera diagonal, son los números triangulares (1, 3, 6, ... ) 4. La cuarta diagonal, son los números tetraédricos (1, 4, 10, … )
- 13. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL PATRONES EN LA SEGUNDA DIAGONAL DEL TRIÁNGULO DE PASCALPara la segunda diagonal, el cuadrado de un número es igual a la suma de los números junto a él y debajo de ambos Ejemplos: 32 = 3 + 6 = 9, 42 = 6 + 10 = 16, 52 = 10 + 15 = 25, ...
- 14. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL TRIÁNGULO DE PASCAL, Y SU RELACIÓN CON LOS NÚMEROS PARES E IMPARES Si coloreas los números impares y pares, terminas con un patrón igual que el triángulo de Sierpinski.