2. Sucesiones numéricas.
Sucesiones numéricas.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números
Una sucesión es un conjunto ordenado de números
reales:
reales: a
a1
1, a
, a2
2, a
, a3
3, a
, a4
4,
, …
…
Cada elemento de la sucesión se denomina término,
Cada elemento de la sucesión se denomina término,
el subíndice es el lugar que ocupa en la sucesión.
el subíndice es el lugar que ocupa en la sucesión.
El primer término es
El primer término es a
a1
1, el segundo
, el segundo a
a2
2, el tercero
, el tercero a
a3
3 …
…
Ejemplo: En la sucesión de los números pares:
Ejemplo: En la sucesión de los números pares:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …..
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …..
¿Cuál es el primer término?
¿Cuál es el primer término?
2
2
¿Cuál es el quinto término?
¿Cuál es el quinto término?
10
10
3. Término general de una sucesión
Término general de una sucesión.
.
Representa un término cualquiera de la sucesión
Representa un término cualquiera de la sucesión
En las sucesiones que siguen una ley de formación, la
En las sucesiones que siguen una ley de formación, la
fórmula del término general,
fórmula del término general, a
an
n, permite determinar
, permite determinar
cualquier término de la sucesión.
cualquier término de la sucesión.
Ejemplos:
Ejemplos:
En la sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, …
En la sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, …
El término general es:
El término general es: a
an
n = 2
= 2n
n
En la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, …
En la sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, …
El término general es:
El término general es: a
an
n =
= n
n2
2
En la sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, …
En la sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, …
El término general es:
El término general es: a
an
n = 2
= 2n
n -1
-1
4. Sucesiones recurrentes.
Sucesiones recurrentes.
Los términos de estas sucesiones se obtienen a partir de los
Los términos de estas sucesiones se obtienen a partir de los
anteriores.
anteriores.
Ejemplo: La sucesión de Fibonacci
Ejemplo: La sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
¿Cuál es el sexto término?
¿Cuál es el sexto término? 8
8
¿Cuál es el séptimo término?
¿Cuál es el séptimo término? 13
13
¿Cuál es el octavo término?
¿Cuál es el octavo término? 21
21
¿Cuál es la ley de formación?
¿Cuál es la ley de formación?
Cada término es la suma de los dos anteriores:
Cada término es la suma de los dos anteriores: a
an
n= a
= an-1
n-1+ a
+ an-2
n-2
La sucesión cambia si se modifican los dos primeros términos
La sucesión cambia si se modifican los dos primeros términos
Calcula los 9 primeros términos de una sucesión con la
Calcula los 9 primeros términos de una sucesión con la
misma ley de formación con
misma ley de formación con a
a1
1 = 1 y
= 1 y a
a2
2 = 3
= 3
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …
5. Progresiones aritméticas.
Progresiones aritméticas.
Son sucesiones el las que cada término se obtiene a
Son sucesiones el las que cada término se obtiene a
partir del anterior sumándole una cantidad constante
partir del anterior sumándole una cantidad constante
llamada,
llamada, d,
d, diferencia.
diferencia.
Cuál es la sucesión si el primer término,
Cuál es la sucesión si el primer término, a
a1
1 = 3 y la diferencia,
= 3 y la diferencia, d
d = 2:
= 2:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
Cuál es la diferencia de la siguiente progresión aritmética:
Cuál es la diferencia de la siguiente progresión aritmética:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …
d
d = 4
= 4
En una progresión aritmética la diferencia entre dos
En una progresión aritmética la diferencia entre dos
términos consecutivos es una constante.
términos consecutivos es una constante.
6. Ejemplos de progresiones aritméticas
Ejemplos de progresiones aritméticas
En la sucesión numérica del número de cuadrados azules. ¿Cuál
En la sucesión numérica del número de cuadrados azules. ¿Cuál
es el valor del primer término? ¿Cuál es la diferencia?
es el valor del primer término? ¿Cuál es la diferencia?
En la sucesión numérica del número de cuadrados verdes. ¿Cuál
En la sucesión numérica del número de cuadrados verdes. ¿Cuál
es el valor del primer término? ¿Cuál es la diferencia?
es el valor del primer término? ¿Cuál es la diferencia?
7. Término general de una progresión aritmética.
Término general de una progresión aritmética.
En una progresión aritmética:
En una progresión aritmética:
a
a2
2 = a
= a1
1 + d
+ d
a
a3
3 = a
= a2
2 + d = a
+ d = a1
1 + 2d
+ 2d
a
a4
4 = a
= a3
3 + d = a
+ d = a1
1 + 3d
+ 3d
a
a5
5 = a
= a4
4 + d = a
+ d = a1
1 + 4d
+ 4d
……………………………
……………………………
a
an
n = a
= a1
1 + (n-1)d
+ (n-1)d
8. Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de términos de una progresión aritmética
Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
forman una progresión aritmética de diferencia,
forman una progresión aritmética de diferencia, d
d =
=
1.
1.
Para sumar los diez primeros términos se observa
Para sumar los diez primeros términos se observa
que:
que:
La suma de los 10 primeros términos,
La suma de los 10 primeros términos, S
S10
10= 11. 5 = 55
= 11. 5 = 55
En general para sumar
En general para sumar n
n términos:
términos:
2
)
( 1
n
a
a
S n
n
9. Progresiones geométricas.
Progresiones geométricas.
Son sucesiones el las que cada término se obtiene a
Son sucesiones el las que cada término se obtiene a
partir del anterior multiplicándolo por una cantidad
partir del anterior multiplicándolo por una cantidad
constante llamada,
constante llamada, r
r, razón.
, razón.
Cuál es la sucesión si el primer término,
Cuál es la sucesión si el primer término, a
a1
1 = 3 y la razón,
= 3 y la razón, r
r = 2:
= 2:
3, 6, 12, 24, 48, 96,192, …
3, 6, 12, 24, 48, 96,192, …
Cuál es la razón de la siguiente progresión geométrica:
Cuál es la razón de la siguiente progresión geométrica:
2, 6, 18, 54, 162, 486, …
2, 6, 18, 54, 162, 486, …
r
r = 3
= 3
En una progresión geométrica el cociente entre dos
En una progresión geométrica el cociente entre dos
términos consecutivos es una constante.
términos consecutivos es una constante.
10. Ejemplos de progresiones geométricas
Ejemplos de progresiones geométricas
El lado del cuadrado gris de la figura mide 1 unidad
El lado del cuadrado gris de la figura mide 1 unidad
¿Cuál es el valor de su área?
¿Cuál es el valor de su área?
¿Cuánto vale el área del cuadrado verde?
¿Cuánto vale el área del cuadrado verde?
¿Y el área del cuadrado rojo?
¿Y el área del cuadrado rojo?
¿Y la del cuadrado azul?
¿Y la del cuadrado azul?
Observa que el proceso de construcción de los cuadrados puede
Observa que el proceso de construcción de los cuadrados puede
continuar indefinidamente y sus áreas forman la sucesión:
continuar indefinidamente y sus áreas forman la sucesión:
1, 1/2, 1/4, 1/8, …. , que es una progresión geométrica de razón
1, 1/2, 1/4, 1/8, …. , que es una progresión geométrica de razón
1/2
1/2
Considera la sucesión formada por las longitudes de los lados:
Considera la sucesión formada por las longitudes de los lados:
1, 1/
1, 1/√2, 1/2, 1/2 √2. …, ¿E
√2, 1/2, 1/2 √2. …, ¿Es una progresión geométrica?
s una progresión geométrica?
¿Cuál es la razón de esta progresión?
¿Cuál es la razón de esta progresión?
11. Término general de una progresión geométrica.
Término general de una progresión geométrica.
En una progresión geométrica:
En una progresión geométrica:
a
a2
2 = a
= a1
1 ∙ r
∙ r
a
a3
3 = a
= a2
2 ∙ r
∙ r = a
= a1
1 ∙ r
∙ r2
2
a
a4
4 = a
= a3
3 ∙ r
∙ r = a
= a1
1 ∙ r
∙ r3
3
a
a5
5 = a
= a4
4 ∙ r
∙ r = a
= a1
1 ∙ r
∙ r4
4
……………………………
……………………………
a
an
n = a
= a1
1 ∙ r
∙ r(n-1)
(n-1)
12. Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de términos de una progresión geométrica
La sucesión: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … es una
La sucesión: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … es una
progresión geométrica de razón,
progresión geométrica de razón, r
r = 2.
= 2.
Para multiplicar los 8 primeros términos se observa
Para multiplicar los 8 primeros términos se observa
que:
que:
El producto de los 8 primeros términos,
El producto de los 8 primeros términos, P
P8
8= (512)
= (512)4
4
=2
=236
36
En general el producto de
En general el producto de n
n términos es:
términos es:
n
n
n
n
n a
a
a
a
P )
(
)
( 1
2
1
13. Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
Imagina la siguiente situación:
Imagina la siguiente situación:
Un alumno de 3º de ESO cuenta un secreto, a las 9 de la mañana, a dos
Un alumno de 3º de ESO cuenta un secreto, a las 9 de la mañana, a dos
compañeros, a las 10, cada uno de ellos se lo han contado a otros dos,
compañeros, a las 10, cada uno de ellos se lo han contado a otros dos,
una hora más tarde, los cuatro alumnos que acaban de conocer el
una hora más tarde, los cuatro alumnos que acaban de conocer el
secreto se lo cuentan a otros dos y así sucesivamente.
secreto se lo cuentan a otros dos y así sucesivamente.
Determina la sucesión del número de personas que conocen el secreto
Determina la sucesión del número de personas que conocen el secreto
cada hora a partir de las 8 de la mañana.
cada hora a partir de las 8 de la mañana.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
¿Es una progresión geométrica? ¿Por qué? ¿Cuál es la razón?
¿Es una progresión geométrica? ¿Por qué? ¿Cuál es la razón?
r
r = 2
= 2
¿A cuántas personas les cuentan el secreto a las 2 de la tarde?
¿A cuántas personas les cuentan el secreto a las 2 de la tarde?
64
64
¿Cuántas personas conocen el secreto a las 2 de la tarde?
¿Cuántas personas conocen el secreto a las 2 de la tarde?
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = ¿?
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = ¿?
Para realizar esta suma con facilidad se va a buscar una fórmula.
Para realizar esta suma con facilidad se va a buscar una fórmula.
14. Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
Sea
Sea S
Sn
n la suma de
la suma de n
n términos de una progresión geométrica:
términos de una progresión geométrica:
S
Sn
n =
= a
a1
1 + a
+ a2
2 + a
+ a3
3 + a
+ a4
4 + … + a
+ … + an
n
r
r∙
∙S
Sn
n =
= r
r∙
∙a
a1
1 + r
+ r∙
∙a
a2
2 + r
+ r∙
∙a
a3
3 + r
+ r∙
∙a
a4
4 + … + r
+ … + r∙
∙a
an
n y por lo tanto:
y por lo tanto:
r
r∙
∙S
Sn
n =
= a
a2
2 + a
+ a3
3 + a
+ a4
4+ a
+ a5
5 + … + r
+ … + r∙
∙a
an
n
Al calcular la diferencia entre
Al calcular la diferencia entre r
r∙
∙S
Sn
n y
y S
Sn
n se obtiene:
se obtiene:
r
r∙
∙S
Sn
n -
- S
Sn
n = r
= r∙
∙a
an
n -
- a
a1
1 , sacando factor común
, sacando factor común S
Sn
n en el primer término:
en el primer término:
S
Sn
n (
(r
r – 1)
– 1) = r
= r∙
∙a
an
n -
- a
a1
1 , al despejar
, al despejar S
Sn
n se obtiene la fórmula:
se obtiene la fórmula:
Para sumar los siete primeros términos de la progresión anterior:
Para sumar los siete primeros términos de la progresión anterior:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 , se aplica la fórmula y se obtiene:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 , se aplica la fórmula y se obtiene:
1
1
r
a
r
a
S n
n
127
1
2
1
2
64
1
1
7
7
r
a
r
a
S
15. Progresiones
Progresiones geométricas crecientes, decrecientes y
geométricas crecientes, decrecientes y
oscilantes.
oscilantes.
Una progresión geométrica es creciente si su razón
Una progresión geométrica es creciente si su razón r
r es mayor que 1
es mayor que 1
Por ejemplo la sucesión de los múltiplos de 3:
Por ejemplo la sucesión de los múltiplos de 3:
3, 9, 27, 81, 243, …
3, 9, 27, 81, 243, …
Una progresión geométrica es decreciente si su razón
Una progresión geométrica es decreciente si su razón r
r es mayor que 0 y
es mayor que 0 y
menor que 1
menor que 1
Por ejemplo la sucesión con
Por ejemplo la sucesión con r
r = 1/2 y
= 1/2 y a
a1
1 = 1:
= 1:
1, 1/2, 1/4, 1/8, ….
1, 1/2, 1/4, 1/8, ….
Una progresión geométrica es oscilante si su razón
Una progresión geométrica es oscilante si su razón r
r es un número
es un número
negativo
negativo
Por ejemplo la sucesión con
Por ejemplo la sucesión con r
r = -1 y
= -1 y a
a1
1 = 1:
= 1:
1, -1, 1, -1, 1, -1. …
1, -1, 1, -1, 1, -1. …
16. Suma de infinitos términos de una progresión
Suma de infinitos términos de una progresión
geométrica
geométrica
En la sucesión de cuadrados de la figura, la sucesión
En la sucesión de cuadrados de la figura, la sucesión
numérica formada por las áreas de los triángulos
numérica formada por las áreas de los triángulos
que sobran para obtener el siguiente cuadrado es:
que sobran para obtener el siguiente cuadrado es:
1/2, 1/4, 1/8, …
1/2, 1/4, 1/8, …
La suma de estas infinitas áreas es el área del
La suma de estas infinitas áreas es el área del
cuadrado gris que vale 1:
cuadrado gris que vale 1:
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1
En general, en una progresión geométrica
En general, en una progresión geométrica
decreciente la razón,
decreciente la razón, r
r, es menor que 1 y cuando
, es menor que 1 y cuando n
n
es muy grande el término
es muy grande el término a
an
n se aproxima a 0.
se aproxima a 0.
Eliminando este valor en la fórmula de la suma de
Eliminando este valor en la fórmula de la suma de n
n
términos de una progresión geométrica:
términos de una progresión geométrica:
Se obtiene la expresión que calcula la suma de los
Se obtiene la expresión que calcula la suma de los
infinitos términos de una progresión geométrica
infinitos términos de una progresión geométrica
decreciente:
decreciente:
1
1
r
a
r
a
S n
n
r
a
S
1
1
17. El interés compuesto y las progresiones geométricas
El interés compuesto y las progresiones geométricas
Se ingresan en un banco 3000 € a un interés anual del 4%
Se ingresan en un banco 3000 € a un interés anual del 4%
Al finalizar el primer año se tiene un capital:
Al finalizar el primer año se tiene un capital:
C
C1
1 = 3000
= 3000∙
∙(1+0,04)
(1+0,04)
Después de dos años:
Después de dos años:
C
C2
2 = 3000
= 3000∙
∙(1+0,04)
(1+0,04)2
2
Cuando han pasado cinco años:
Cuando han pasado cinco años:
C
C5
5 = 3000
= 3000∙
∙(1+0,04)
(1+0,04)5
5
Y después de
Y después de n
n años:
años:
C
Cn
n = 3000
= 3000∙
∙(1+0,04)
(1+0,04)n
n
C
Cn
n es el término general de esta progresión geométrica.
es el término general de esta progresión geométrica.
En general si se ingresa en un banco una cantidad,
En general si se ingresa en un banco una cantidad, C
C, a un
, a un
interés anual del
interés anual del i%
i%, la fórmula que permite calcular la cantidad
, la fórmula que permite calcular la cantidad
que se tiene después de
que se tiene después de n
n años es:
años es:
n
n
i
C
C
100
1
