![Definición de conjuntos
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre si características
y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números,
canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de
planetas del sistema solar.
A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso de
un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se
lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo conforman,
que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el conjunto de
los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,
domingo].
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo
que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas
de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se
forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5,6,7,} y B= {8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:](https://image.slidesharecdn.com/presentacin-240113221224-1145946a/85/Presentacion-2-320.jpg)
Presentación
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRÉS ELOY BLANCO PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA BARQUISIMETO- EDO.LARA Presentación Estudiantes: Morillo. José C.I.: 31.803.242 Carrasquero. Lorena CI.: 32.705.838 Pérez. José C.I.: 32.441.983 Mendoza. Briangel C.I.: 31.803.032 Yépez. Carlos C.I.: 31.367.876 Sección: IN0103 Unidad Curricular: Matemáticas
- 2. Definición de conjuntos Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre si características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar. A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento. Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo]. Operaciones con conjuntos Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión o reunión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5,6,7,} y B= {8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 3. Números reales y desigualdades En matemáticas cuando hablamos de los números reales, estamos hablando del conjunto de números que nos han acompañado a lo largo de todo nuestro estudio, los números reales (R) se dividen en racionales (Q) e irracionales (I); los racionales (Q) a su vez se contiene el conjunto de Enteros (Z) y éste a los Naturales (N). Las desigualdades relacionan dos expresiones algebraicas que cumplen una condición, cuyo objetivo es mostrar que éstas expresiones poseen valores diferentes. Para dar condiciones entre éstas, tenemos los signos de desigualdad los cuales son: < Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que ≠ Diferente o desigual a En esta lección analizaremos los conjuntos de números reales y la resolución de desigualdades. Como definición de función tenemos que por cada elemento del conjunto x le corresponde uno y solo un elemento del conjunto y. Por ejemplo y=x2 es una función debido a que por cada x que se le asigne, nos arrojará un elemento y, sin embargo y=x2 , no es una función, es una ecuación, debido a que al despejar
- 4. tenemos y=±√ x, por lo que por cada valor que se le asigne a x tendremos dos valores para y. Las operaciones que pueden aplicarse a las funciones son, al igual que las ecuaciones, todas las que hemos trabajo a lo largo de nuestra academia: adición, sustracción, producto, cociente, potencia y radical, cada una de estas operaciones formará una expresión algebraica con gráfica única. En caso de poseer alguna restricción, ésta se respeta a lo largo de todo el procedimiento de operaciones. Componer una función, consiste en sustituir en cada variable de la primera función, la segunda función. Se denota por f o g, lo que se lee como: “f que contiene a g”, “g contenida en f” Por ejemplo f(x) = x2 +3x y g(x) = √x, obtener f o g. f o g (x) = (√x)2 +3(√x) = x+3√x Las funciones inversas son requeridas para conocer la proporcionalidad existente para algún fenómeno en específico. Existe una condición para conocer si una función tiene inversa, se dice que si la función es inyectiva (a distintos elementos del conjunto x les corresponden distintos elementos del conjunto y) podemos encontrar su inversa. El procedimiento para encontrar su inversa consiste en cambiar las variables x por y y viceversa, después debemos despejar y mediante métodos matemáticos. definición de Valor absoluto El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x). El valor absoluto se representa como |A|, donde A es el número cuyo valor absoluto tiene que ser determinado. Definición El valor absoluto se define como: |x| = x si x ≥ 0 |x| = -x si x < 0 Definiciones equivalentes Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
- 5. |x| = √(x2) |x| es igual al máximo de {x, -x} Propiedades fundamentales |x| > 0 No negatividad |x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva |x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa |x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular Otras propiedades |-x| = |x| Simetría |a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles |a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular |a – b| ≥ | (|a| – |b|) | (equivalente a la propiedad aditiva) |x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa desigualdades con valor absoluto •PRIMERA TEORÍA •(OSEA UN CONCEPTO DIFERENTE DEL TEMA) Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Se resuelven dividiendo la desigualdad original en dos desigualdades, una para el caso en que la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva, y otra para el caso en que la expresión es negativa. *Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva* En este caso, el valor absoluto de la expresión es simplemente la expresión misma. Por lo tanto, la desigualdad se resuelve de la siguiente manera: |x| ≥ a x ≥ a ó x ≤ -a *Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa* En este caso, el valor absoluto de la expresión es el opuesto de la expresión. Por lo tanto, la desigualdad se resuelve de la siguiente manera: |x| ≤ a
- 6. -a ≤ x ≤ a *Ejemplos* * *Resolver la desigualdad |x - 2| ≥ 5* En este caso, la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Por lo tanto, la desigualdad se resuelve de la siguiente manera: x - 2 ≥ 5 ó x - 2 ≤ -5 x ≥ 7 ó x ≤ -3 La solución de la desigualdad es el conjunto de todos los números reales x que satisfacen una de estas dos desigualdades. * *Resolver la desigualdad |x + 1| ≤ 2* En este caso, la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. Por lo tanto, la desigualdad se resuelve de la siguiente manera: -2 ≤ x + 1 ≤ 2 -3 ≤ x ≤ 1 La solución de la desigualdad es el conjunto de todos los números reales x que satisfacen una de estas dos desigualdades. *Observaciones* * Las desigualdades con valor absoluto se pueden resolver graficamente. Para ello, se traza la función f(x) = |x|. Las soluciones de la desigualdad son los puntos de la recta que se encuentran dentro del intervalo de la desigualdad. * Las desigualdades con valor absoluto se pueden resolver algebraicamente. Para ello, se puede utilizar el método de desigualdades de dos variables.
- 7. * Las desigualdades con valor absoluto se pueden resolver utilizando desigualdades compuestas. Para ello, se puede utilizar el método de desigualdades compuestas. •SEGUNDA TEORÍA • (EL OTRO CONCEPTO DEL TEMA) Una desigualdad con valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. El valor absoluto de una variable es su distancia al origen del plano cartesiano. Para resolver desigualdades con valor absoluto, hay dos casos a considerar: * *Caso 1: * La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. * *Caso 2: * La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. *Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva* En este caso, el valor absoluto de la variable es igual a la variable misma. Por lo tanto, la desigualdad se puede resolver como cualquier desigualdad ordinaria. Por ejemplo, la desigualdad |x| < 5 se puede resolver como x < 5 o x > -5. *Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa* En este caso, el valor absoluto de la variable es el inverso de la variable misma. Por lo tanto, la desigualdad se puede resolver de la siguiente manera: * Si la desigualdad es |x| <= a, entonces la solución es x <= a o x >= -a. * Si la desigualdad es |x| < a, entonces la solución es x < a y x > -a. Por ejemplo, la desigualdad |x| <= 5 se puede resolver como x <= 5 o x >= -5. *Ejemplos* * Resuelve la desigualdad |x - 3| < 2. En este caso, la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva, por lo que la desigualdad se puede resolver como cualquier desigualdad ordinaria. |x - 3| < 2 x - 3 < 2 x < 5 x > -1 Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son x < 5 y x > -1.
- 8. * Resuelve la desigualdad |x + 2| <= 5. En este caso, la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa, por lo que la desigualdad se puede resolver de la siguiente manera: |x + 2| <= 5 x + 2 <= 5 o x + 2 >= -5 x <= 3 o x >= -7 Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son x <= 3 y x >= -7. *Propiedades de las desigualdades con valor absoluto* Las desigualdades con valor absoluto tienen las siguientes propiedades: * La propiedad de simetría: |x| = |-x| * La propiedad de transitividad: |x| <= |y| <= |z| implica que |x| <= |z| * La propiedad de la suma: |x + y| <= |x| + |y| * La propiedad de la resta: |x - y| <= |x| + |y| Estas propiedades pueden ser útiles para resolver desigualdades con valor absoluto. Bibliografía: https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matemati ca01/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php https://definicion.de/valor-absoluto/ https://es.slideshare.net/IVN_Galileo/operaciones-en-conjuntos- numricos-y-nmeros-reales https://miprofe.com/valor-absoluto/ https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-desigualdades-con-valor- absoluto/