Presentación resolución de probelmas

Una situación
significativa de
contenido matemático
que implica una
dificultad, cuya
solución requiere de
un proceso de
reflexión, búsqueda
de estrategias y toma
de decisiones.

 Encontrar el camino allí
donde no se conocía
previamente camino
alguno.
 Encontrar la forma de
salir de una dificultad.
 Hallar la forma de
superar un obstáculo.
 Lograr lo que uno se
propone, utilizando los
medios adecuados.

Etapas en la Resolución de
Problemas según Polya

 Ver claramente lo que se pide
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es la condición? ¿es
suficiente para determinar la
incógnita? ¿Es insuficiente?
¿Redundante? ¿Contradictoria?

Por ejemplo:
 Usar objetos para representar la
situación problemática.
 Dibujar esquemas para visualizar
el problema.
 Buscar la solución por
aproximación.
 Construir una tabla de datos.

Encontrar las relaciones que existen entre los
diversos elementos.
Ver que liga la incógnita con los datos.
Encontrar la idea de la solución y trazar un
plan.

Tenemos un plan cuando sabemos, al menos a
“grosso modo” , qué cálculos, que
razonamientos o construcciones se deben
efectuar para determinar la incógnita.

 Encontrar problemas relacionados
(incógnita o enunciados similares)
 Utilizar la solución o método de
solución de un problema
anteriormente resuelto.
 Enunciar el problema de otra
forma
 Imaginar un problema análogo,
más general o más específico.
 Resolver una parte del problema.

 Considerar una parte de la condición;
descartar el resto ¿varía la incógnita?
 Deducir algún elemento de los datos.
 Buscar datos apropiados para la
incógnita.
 Cambiar la incógnita, o los datos, o
ambos.
 Revisar si se ha empleado todos los
datos, condiciones. Considerar qué
nociones son necesarias para
resolver el problema.

Al ejecutar su plan de la
solución, compruebe cada uno de
los pasos y asegúrese que los
cálculos estén correctos.

 Verificar cada paso
 Tener cuidado que cada paso sea
el correcto
 Demostrar o contrastar
constantemente

 Esvolver atrás una vez
encontrada la solución,
revisarla y discutirla.

 Verificar el resultado
 Verificar el razonamiento
 Buscar otras formas para obtener el
resultado
 Observar la solución de manera general.
 Emplear el resultado o el método en algún
otro problema.

 Cada una de estas fases es importante.
 Puede suceder que a uno se le ocurra por
casualidad una idea excepcionalmente
brillante y vaya directamente a la solución.
Puede llegarse a un resultado no deseado,
desafortunado, si el alumno descuida
cualquiera de las cuatro fases. Además, esto
no sucede todo el tiempo.

Hay alumnos que se lanzan a hacer
cálculos o construcciones sin haber
comprendido el problema.
Es inútil ocuparse de los detalles
sin haber trazado un plan previo.
Se puede evitar muchos errores si
el alumno verifica cada paso al
llevar al cabo el plan.
Los mejores resultados pueden
perderse si el alumno no
reconsidera la solución obtenida.

A través del siguiente ejemplo se establece
un posible diálogo entre un maestro y sus
alumnos:
Problema:
Rosa ha comprado un diccionario por S/.
42,7 ; un cuento por S/. 12,8 ; una camisa
por S/. 35 y un atlas por S/. 54 ¿ Cuánto
gastó Rosa en libros?

a) ¿Cuál es la incógnita?
b) ¿Cuáles son los datos?
c) ¿Cuál es la condición?
d) ¿Es suficiente la condición
para determinar la incógnita?
¿insuficiente?
e) ¿Hay algún dato innecesario?

a) Cuánto gastó Rosa en libros.
b) Diccionario: S/. 42,7 ; cuento: S/.
12,8 ; camisa: S/. 35 y atlas: S/.
54
c) Rosa ha realizado una compra y
queremos encontrar el total de
gasto en libros
d) La condición es suficiente
e) El precio de la camisa.

a) ¿Conocen un problema que relacione a este?
b) Consideren la incógnita ¿Conocen algún
problema que tuviese la misma incógnita?
c) ¿Conocen algún problema que tuviese una
incógnita similar?
d) ¿Pueden utilizarlo?
e) Recuerde que si aun no puede concebir el
plan, puede enunciar el problema de otra
forma o plantear otro similar más accesible.

El profesor debe insistir en que el alumno
verifique cada paso.
 ¿Pueden ver claramente que el paso es
correcto?
 ¿Pueden demostrarlo?

S/. 42,7
+
S/. 12,8
S/. 54,0

S/. 109,5

 ¿Pueden verificar el resultado?, ¿Pueden
verificar el razonamiento?
 ¿Pueden obtener el resultado con otro
procedimiento?
 ¿Pueden emplear el resultado en otra
situación o problema?

S/. 42,7 + S/. 12,8 + S/.
54

S/. 55,5 + S/. 54

S/. 109,5

¿Qué podemos hacer si
detectamos que nuestros
alumnos tienen dificultades
en algunas de las etapas?

 Identificardatos que faltan o
que sobran.
 Buscar datos en textos, tablas y
gráficos.
 Inventar datos, preguntas y
enunciados.
 Seleccionar preguntas.

 Elegir las operaciones.
 Hacer esquemas.
 Representar la situación
utilizando objetos
concretos.

Resolver las operaciones
seleccionadas.
Empezar por el final.
Resolver con ayuda de un
gráfico.
Encontrar el error.

 Verificar si la respuesta hallada
es lógica y pertinente.
 Elegir la respuesta correcta.
 Buscar otra forma de resolver
el problema.
 Cambiar los datos y verificar
que la respuesta también sea
coherente.

 Problemas de combinación
 Problemas de cambio
 Problemas de comparación
 Problemas de igualación
 Problemas de composición
 Problemas de transformación
 Problemas de transformación sobre estados
relativos.

Son aquellos en cuyos enunciados
se describe una relación entre
conjuntos que responden a la
estructura parte-parte-todo. La
pregunta del problema puede
versar acerca del todo o acerca de
una de las partes.

N° PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

1 Hay 15 varones. Hay 25 mujeres. ¿Cuántas personas hay?

2 Hay 15 varones. Hay 40 personas. ¿Cuántas mujeres hay?

Son aquellos problemas en cuyos
enunciados están establecidas
relaciones lógicas aditivas en una
secuencia temporal de sucesos.
Las tres cantidades que aparecen
en los enunciados de esta clase de
problemas reciben los nombres de
cantidad inicial, final y de cambio.

N° PROBLEMAS DE CAMBIO
1 Samuel tenía a. Le dan b. ¿Cuánto tiene ahora?
2 Sara tiene a. Da b. ¿Cuántos le quedan?
3 Rosa tenía a. Samiq le dio algunos. Ahora tiene c.
¿Cuántos le dio Samiq?
4 Elena tenía a. Dio algunos a Rosa. Ahora tiene c.
¿Cuántos dio a Rosa
5 Sarai tenía algunos. Sara le dio b. Ahora tiene c.
¿Cuántos tenía?
6 Rosa tenía algunos. Dio b a Tito. Ahora tiene c.
¿Cuántos tenía?

Son aquellos problemas en cuyos enunciados
se presentan relaciones de comparación entre
dos cantidades. Estas cantidades se
denominan cantidades de referencia,
cantidad comparada y de diferencia. La
cantidad comparada aparece a la izquierda de
la expresión “más que” y “menos que” y la
cantidad de referencia a su derecha.

N° PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
1 Samuel tiene a. Kusi tiene b. ¿Cuántos más tiene Kusi que
Samuel? (b>a)
2 Samuel tiene a. Kusi tiene b. ¿Cuántos menos tiene Kusi
que Samuel? (a>b)
3 Samuel tiene a. Kusi tiene c más que Samuel. ¿Cuántos
tiene Kusi?

4 Samuel tiene a. Kusi tiene c menos que Samuel. ¿Cuántos
tiene Kusi?
5 Kusi tiene b. Kusi tiene c más que Samuel. ¿Cuántos tiene
Samuel?
6 Kusi tiene b. Kusi tiene c menos que Samuel. ¿Cuántos
tiene Samuel?

Son aquellos en cuyos enunciados se
establecen relaciones comparativas entre
cantidades, a través del comparativo de
igualdad “tanto como”. Es similar a los
problemas de comparación, están presentes
los tres tipos de cantidades: de referencia,
comparada y diferencia y la incógnita puede
ser cualquiera de ellas.

N° PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
1 Samiq tenía a. Wayta tiene b. ¿Cuánto tiene que ganar Wayta
para tener tantos como Samiq?
2 Samiq tiene a. Wayta tiene b. ¿Cuántos tiene que perder
Wayta para tener tantos como Samiq?
3 Samiq tiene a. Wayta gana c, tendrá tantos como Samiq.
¿Cuántos tiene Wayta?
4 Samiq tiene a. Si Wayta pierde c, tendrá tantos como Samiq.
¿Cuántos tiene Wayta?
5 Wayta tiene b. Wayta gana c, tendrá tantos como Samiq.
¿Cuántos tiene Samiq?
6 Wayta tiene b. Wayta pierde c, tendrá tantos como Samiq.
¿cuántos tiene Samiq?

Problemas de Composición, en que dos cantidades de
elementos de una colección se combinan para hallar una
tercera.

En una bolsa hay 13 chapas de Coca Cola y 17
chapas de Inca Kola. ¿Cuántas chapas
tenemos?

De las 25 flores en nuestro jarrón 14 son
moradas. ¿Cuántas flores son blancas?

Problemas de Transformación, en la que se produce una
modificación en el tiempo, se establece relaciones lógicas aditivas
en una secuencia temporal de sucesos.

El paquete de velas tiene 5 velas, prendemos 2.
¿Cuántas velas quedan sin prender?

Carlos tiene 25 chapas, se ha encontrado una
bolsa de chapas y ahora tiene 48 chapas
¿Cuántas chapas había en la bolsa?

Problemas de Transformación sobre Estados
Relativos, en los que una transformación actúa sobre un
estado relativo, para dar lugar a otro estado relativo.

Jean le debe a Esteban 9 flores. Si le devolvió 4
flores ¿Cuántas flores le debe Jean a esteban?

Rosa le debe 12 velas a Marla. Si le devuelve 5
velas ¿Cuántas velas le debe Rosa a Marla?

Los problemas en cuyo enunciado no se sugiere
implícitamente el procedimiento a aplicar,
iniciándose más en la búsqueda de una
estrategia para encontrar la solución.

Ejemplo:
Apolonia debe pagar S/. 25 por una chompa.
¿De cuántas maneras puede pagar si sólo tiene
monedas de 1 y 5 nuevos soles y un billete de 10
Nuevos Soles?

 Son aquellos problemas que tratan de un tipo
particular de sucesiones aritméticas simples,
cuyo término general es de la forma f (n) =
an + b, con a y b números enteros tales que
a = 0, b = 0, a > 0 y a + b > 0
(b puede ser un número entero negativo).

EJEMPLO:
Usando palitos, podemos
construir escaleras de
diferentes tamaños: en la
construcción de la escalera
con 2 peldaños usamos
………… palitos y en la
construcción de la escalera
con 3 peldaños usamos
………… palitos.

Alicia compra un libro de
recetas en 190 soles y se lo
vende a una amiga en 196
soles. Al día siguiente Alicia le
compra el mismo libro a su
amiga en 200 soles y lo vende
a su vecina en 206 soles.
¿Ganó o perdió? ¿Cuánto?

Cuatro amigos van a comprar 11, 11,
10 y 4 panes respectivamente.
Aprovechando una oferta, van a una
panadería que, por la compra de 12
panes obsequia dos panes. Si los
amigos consiguen que se les
obsequie el mayor número de panes
y todo lo obsequiado se le da al que
compra menos. ¿Cuántos panes
llevará en total este último?

El siguiente cuadro
muestra la
asistencia a una
80

asamblea de
70
60
padres de familia. 50
¿Qué porcentaje 40
representa el 30

número de varones 20

respecto del 10

número de
0
Mujeres Varones
mujeres?

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