Trigonometría y recursos didácticos

Trigonometría
y recursos
didácticos
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Instituto Pedagógico de Miranda
José Manuel Siso Martínez
Tópicos en Cálculo I
La Urbina, junio de 2015.
Autor: Alveiro SierraProfesor: Ramón Vielma

Introducción
En esta unidad didáctica vas aprender se desarrollaran conceptos de
triángulos y los ángulos y sobre todo, aplicaciones a problemas
reales, como medir árboles o edificios, medir distancias con una cinta
métrica, entre otros
En este tema vamos a trabajar con triángulos rectángulos (ángulo
recto) y te hará falta recordar tres cosas:
1.- Los lados que forman el ángulo recto se llaman "catetos", y el que
queda enfrente, "hipotenusa" ( el mayor de los tres.)
2.- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.
3.- El Teorema de Pitágoras: "La hipotenusa al cuadrado es igual a
la suma de los catetos al cuadrado".

Conceptos
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. La palabra
trigonometría procede del griego trigonos, triángulo y metría, medida.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los
primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones
trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la
construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros
esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la
predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar
la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

Motivación
El estudio de la trigonometría pasó después a
Grecia, donde debemos destacar al matemático y
astrónomo Griego Hiparco de Nicea(190 a.c.-120 a.c.),
por haber sido uno de los principales desarrolladores de
la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó
fueron las precursoras de las tablas de las funciones
trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia
donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se
difundió por Europa, donde finalmente se separa de la
Astronomía para convertirse en una rama independiente
que la hace hoy parte de las matemáticas.

En el siglo III A.C. el sabio griego Eratóstenes calculó por primera
vez, que se sepa, el radio de la Tierra.
Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el sol
está tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos
solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes, el día del solsticio de
verano(21 de junio), a las doce de la mañana, midió en Alejandría,
con ayuda de un palo colocado sobre el suelo el ángulo de inclinación
del sol, que resultó ser 7,2º; o lo que es lo mismo 360º / 50, es
decir, 1 / 50 de 360º.
¿Cómo midió Eratóstenes el
radio de la Tierra?

Eratóstenes sabía que en la ciudad de Siena (actual Asuán, a orillas
del Nilo), los rayos del sol llegaban de forma perpendicular al suelo
pues se podía observar el fondo de un pozo profundo. Entre
Alejandría y Siena había una distancia de 5 000 estadios ( 1 estadio =
160m) y ambas ciudades estaban en el mismo paralelo.
Eratóstenes pensó que entonces la distancia entre las ciudades
debía ser 1 / 50 de toda la circunferencia de la Tierra y por tanto la
circunferencia completa debía medir: 50 · 5 000 = 250 000 estadios,
o lo que es lo mismo 40 000 km. Despejando de la fórmula de la
longitud de la circunferencia: L = 2πr, sacó que el radio de la Tierra
era 6366,19 km.
Las actuales mediciones dan el valor de 6378 Km, con lo que se trata
de una extraordinaria exactitud teniendo en cuenta los escasos
medios de que disponía Eratóstenes.
¿Cómo midió Eratóstenes el
radio de la Tierra?

Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida
la 90-ava parte de un ángulo recto. Se denomina a dicha unidad
grado sexagesimal y se la denota 1º.
A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la denota 1' ;
y la 60-ava parte de un minuto se la denomina segundo y se denota
1''. Si se requiere más precisión se consideran décimas, centésimas,
etc. de segundo.
Sistema radian
Un radián representa la medida de un ángulo central de una circunferencia, de
modo tal que la longitud del arco comprendido sea igual al radio de la
circunferencia y se denota por 1 rad.
El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de
distintos arcos de circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales
medidos en radianes.

Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.

Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está
a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que
está observando la cúspide es de 60º y sostiene el
artilugio a una altura de 1,5 m.
Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una
vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la
altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5
m. Así pues, vamos a calcular el lado b.
Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto
contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto,
así pues planteo la tangente de 60º.
Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13,
61 m.
Aplicaciones

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