Presentacion
- 1. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujeros Negros en Dos Dimensiones Ignacio Vega Acevedo Colaboradores : Alfredo L´opez Ortega Rub´en Cordero Elizalde Departamento de F´ısica, ESFM-IPN 18 de septiembre de 2011
- 2. Agujeros Negros en Dos Dimensiones 1 Relatividad General Relatividad General en 2D 2 Agujeros negros Agujeros negros en 4D Agujeros negros en 2D 3 Modos cuasinormales Campos sin masa Campo de Klein-Gordon Campo de Dirac Potenciales Efectivos 4 Agujero negro de Witten 5 Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz 6 Conclusiones
- 3. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Relatividad General Relatividad General Las ecuaciones de Einstein en D dimensiones Gµν = 8πG c4 Tµν , (1) se pueden obtener de una acci´on. La m´as com´un es la acci´on de Einstein-Hilbert SEH = c4 16Gπ R |g| + LM dD x , (2)
- 4. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Relatividad General Relatividad General en 2D Relatividad General en 2D Como en muchas ´areas de la f´ısica, en la relatividad general son usados modelos simplificados, usualmente conocidos como “modelos de juguete”. Las teor´ıas de la gravedad en dos dimensiones tienen que: Existen soluciones tipo agujero negro a sus ecuaciones de movimiento. Muchos de los conceptos y detalles de la f´ısica no dependen de la dimensi´on del espaciotiempo.
- 5. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujeros negros Agujeros negros en 4D Agujeros Negros Definici´on. En la relatividad general existen algunas soluciones que tienen regiones en las cuales el campo gravitacional es tan intenso que la luz no puede escapar. A esta regi´on del espaciotiempo se le conoce como agujero negro.
- 6. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujeros negros Agujeros negros en 4D Schwarzschild, ds2 = − 1 − 2M r dt2 + 1 − 2M r −1 dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 . Reissner-Nordstr¨om, ds2 = − 1 − 2M r + Q2 r2 dt2 + 1 − 2M r + Q2 r2 −1 dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 . (3) Kerr, ds2 = − 1 − 2Mr A dt2 + A B dr2 + Adθ2 − 4aMr sin2 θ A dtdφ + (r2 + a2 )2 − a2 B sin2 θ A sin2 θdφ2 , A ≡ r2 + a2 cos2 θ y B ≡ r2 − 2Mr + a2 .
- 7. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujeros negros Agujeros negros en 2D Agujeros Negros en Dos dimesiones La m´etrica de un agujero negro gen´erico en dos dimensiones ds2 = f (r)dt2 − dr2 g(r) , (4) donde la funciones f y g dependen ´unicamente de la variable r. Witten, ds2 = 1 − e−r dt2 − dr2 (1 − e−r ) . (5) Ach´ucarro Ortiz (AO), ds2 = (r2 − r2 +)dt2 − dr2 (r2 − r2 +) , (6)
- 8. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujeros negros Agujeros negros en 2D La coordenada tortuga x se define por x ≡ dr √ fg , Asint´oticamente planos (Horizonte, +∞) → (−∞, +∞) . Anti-de Sitter (Horizonte, +∞) → (−∞, 0) . Witten x = dr 1 − e−r = ln(er −1), si r → 0 ⇒ x(r) → −∞, si r → +∞ ⇒ x(r) → +∞. Ach´ucarro Ortiz x = dr r2 − r2 + = 1 2r+ ln r − r+ r + r+ , si r → r+ ⇒ x(r) → −∞, si r → +∞ ⇒ x(r) → 0.
- 9. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Modos Cuasinormales Definici´on. Una perturbaci´on es un campo cl´asico que se propaga en el agujero negro. Definici´on. Los modos cuasinormales son aquellas perturbaciones que satisfacen las siguientes condiciones de frontera: ←φ φ→ r = rh r→∞ Figura: Condiciones de frontera. Son puramente entrantes cerca del horizonte de sucesos. Son puramente salientes en la regi´on asint´otica.
- 10. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales La dependencia temporal de las perturbaciones es de la forma e−iωt = e−iωR t+ωI t , (7) La parte imaginaria de ω debe ser negativa para que la perturbaci´on sea estable. Si todos los modos cuasinormales son estables decimos que el agujero negro es perturbativamente estable. Si encontramos uno o mas modos inestables entonces es necesario realizar un an´alisis m´as completo sobre la estabilidad de las perturbaciones en el agujero negro. Figura: Representaci´on de perturbaciones.
- 11. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Campos sin masa Campos sin masa La ecuaci´on de movimiento sin masa en el Campo de Klein-Gordon Φ = 1 f ∂2 t − g f ∂r gf ∂r Φ = 0. (8) Proponiendo la separaci´on de variables Φ(t, x) = R(x)e−iωt , (9) se obtiene que la funci´on radial R satisface d2 dx2 + ω2 R = 0. (10) El campo de Klein-Gordon sin masa no satisface las condiciones de frontera que definen a los modos cuasinormales.
- 12. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Campos sin masa Para el campo de Dirac sin masa la ecuaci´on de movimiento es iγµ µΨ = 0. (11) Usando la coordenada tortuga la m´etrica d˜s2 toma la forma ds2 = dt2 − dx2 , (12) de modo que la ecuaci´on de Dirac en el l´ımite sin masa es (∂t − ∂x ) Ψ2 = 0, (∂t + ∂x ) Ψ1 = 0. dR2 dx + iωR2 = 0, dR1 dx − iωR1 = 0.
- 13. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Campos sin masa Resultado En resumen, los campos de Klein-Gordon y de Dirac sin masa no tienen frecuencias cuasinormales cuando se mueven en agujeros negros bidimensionales asint´oticamente planos
- 14. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Potenciales Efectivos Potenciales Efectivos Ecuaci´on tipo Schr¨odinger Diremos que una ecuaci´on es tipo Schr¨odinger cuando tiene la forma: d2R dx2 + ω2 R = V (x)R. (13) Un hecho interesante es que para varios tipos de perturbaciones propag´andose en agujeros negros sus ecuaciones de movimiento pueden reducirse a esta forma.
- 15. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Modos cuasinormales Potenciales Efectivos En el caso de Klein-Gordon para la parte radial tenemos que d2 dx2 + ω2 − fm2 R = 0, V = fm2 . Para el campo de Dirac tenemos las ecuaciones radiales acopladas d dx + iω ˜R2 = − √ f m˜R1, d dx − iω ˜R1 = − √ f m˜R2. Si definimos las funciones Z± ≡ ˜R1 ± ˜R2, ⇒ d2 dx2 + ω2 Z± = V±Z±, donde los potenciales efectivos V± est´an dados por V± = fm2 m 2 √ g df dr .
- 16. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Witten Agujero Negro de Witten Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas del campo de Klein-Gordon que satisfacen las condiciones de frontera: Las ondas son puramente entrantes en el horizonte. Las ondas son puramente salientes en el infinito. Ahora bien proponiendo la separaci´on de variables Φ(r, t) = R(r)e−iωt . (14) ( + m2 + ζR)Φ = 0, (15) ζ es la constante de acoplamiento de la curvatura escalar, R = e−r .
- 17. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Witten Se obtiene: Frecuencias para Klein-Gordon ω± = −i 2n + 1 ± √ 1 − 4ζ 4 − m2 2n + 1 ± √ 1 − 4ζ , n = 0, 1, 2, ... (16) Son estables cuando 2m − 1 √ 1 − 4ζ 2 < n. (17)
- 18. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Witten Para el campo de Dirac se tiene el sistema de ecuaciones acopladas (∂t − f ∂r ) Ψ2 = −im √ f Ψ1, (∂t + f ∂r ) Ψ1 = −im √ f Ψ2. (18) Imponemos pues las condiciones de frontera Frecuencias de ˜Ψ2 ω+2 = − i 2 n + 1 2 n + 1 2 2 − m2 , n = 0, 1, 2, . . . ω−2 = − i 2n n2 − m2 . n = 1, 2, 3, . . . condici´on de estabilidad n > m
- 19. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Witten Frecuencias de ˜Ψ1 ω+1 = − i 2(n + 1) (n + 1)2 − m2 , n = 0, 1, 2, . . . ω−1 = − i 2 n + 1 2 n + 1 2 2 − m2 . con la condici´on de estabilidad n > m − 1 2 Son puramente imaginarias las frecuencias esto puede indicar que no forman un conjunto completo de funciones.
- 20. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz Agujero Negro de Ach´ucarro Ortiz Calcularemos exactamente las frecuencias cuasinormales del campo de Klein-Gordon. f d2 dr2 + df dr d dr − m2 + ω2 f R = 0. (19) Debido a que este agujero negro es asint´oticamente anti-de Sitter las condiciones de frontera son: El campo es puramente entrante en el horizonte. El campo tiende a cero en el infinito. ←φ φ=0 r = rh r→∞ Figura: Condiciones de frontera.
- 21. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz Encontrando que Frecuencias para el campo de Klein-Gordon ω1 = −ir+ 2n + 1 2 + 1 2 1 + 4m2 , n = 0, 1, 2, . . . ω2 = −ir+ 2n + 3 2 + 1 2 1 + 4m2 . (20) Las condiciones de estabilidad son 1 2 + 1 2 1 + 4m2 > −2n, 3 2 + 1 2 1 + 4m2 > −2n. (21) De igual forma las frecuencias son puramente imaginarias lo que puede indicar que no forman un conjunto completo de funciones.
- 22. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Conclusiones Conclusiones Los campos de Klein-Gordon y de Dirac sin masa no tienen frecuencias cuasinormales cuando se mueven en agujeros negros bidimensionales asint´oticamente planos. Mostramos que las ecuaciones de movimiento para los campos masivos de Dirac y Klein-Gordon pueden simplificarse a ecuaciones de tipo Schr¨odinger. En el agujero negro gen´erico bidimensional el potencial efectivo para el campo de Klein-Gordon no depende de la funci´on g. En contraste los potenciales efectivos V± para el campo de Dirac s´ı dependen de la funci´on g.
- 23. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Conclusiones Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas en los campos de Klein-Gordon y Dirac para el agujero negro de Witten. Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas en el campo de Klein-Gordon para el agujero negro de Ach´ucarro Ortiz. En ambos casos las frecuencias cuasinormales son puramente imaginarias, esto nos hace creer que los modos cuasinormales de estos agujeros negros no forman un conjunto completo de funciones. Estudiamos la estabilidad cl´asica de estas perturbaciones. Para el agujero negro de Witten encontramos que el modo fundamental para el campo de Klein-Gordon y de Dirac es inestable y que si la masa se incrementa otros modos pueden ser inestables. En el caso del agujero negro Ach´ucarro Ortiz encontramos que los modos cuasinormales del campo de Klein-Gordon siempre son estables.
- 24. Agujeros Negros en Dos Dimensiones Conclusiones Gracias