![Vector Posición
En Física, la posición, vector de posición ó vector posición de un cuerpo respecto a un sistema de
referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de
referencia. Su expresión, en coordenadas cartesianas:
r⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗
donde:
•r⃗ : es el vector de posición
•x, y, z : Son las coordenadas del vector de posición
•i⃗ ,j⃗ ,k⃗ :Son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente
La unidad de medida de la posición en el Sistema Internacional es el metro [m]. Como todo vector, el
vector posición en Física cuenta con módulo, dirección y sentido. El módulo del vector posición es
la distancia que separa al cuerpo del origen del sistema de referencia. Para calcularlo puedes utilizar la
siguiente fórmula:
|r⃗ |=√x2+y2+z2−−−−−−−−
En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar
las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, el vector de posición en dos
dimensiones queda r⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =xi⃗ +yj⃗ ,y su
módulo |r⃗ |=x2+y2+z2−−−−−−−−−−−√=x2+y2−−−−−−√ . En la figura siguiente tenemos estos elementos
representados.](https://image.slidesharecdn.com/presentacionestaticaericklomeli1b-160903023231/85/Presentacion-estatica-erick_lomeli_1_b-5-320.jpg)
Presentacion estatica erick_lomeli_1_b
- 1. Vectores cartesianos Los vectores se definen por tres características, que son: módulo, dirección y sentido . Sabido esto, no es necesario conocer su ubicación en el espacio. Sin embargo, con la idea de facilitar su estudio resulta más conveniente ubicarlos en un sistema de coordenadas cartesianas , lo cual ayudará a tener mayor precisión al presentarlos tanto de forma algebraica como geométrica. Una de las opciones más útiles que nos brinda el plano cartesiano es que cuando tenemos un vector que no está en el origen del mismo, lo podemos trasladar, de manera que siempre el origen sea el (0,0) y así facilitar nuestros cálculos, pues sólo necesitaremos el punto final para determinarlo. Veamos el siguiente dibujo:
- 2. Componentes rectangulares o componentes de un vector Todo vector se puede escribir o identificar como la suma de otros dos perpendiculares entre sí (ortogonales), puestos en un plano cartesiano. Los vectores que se suman deben estar en alguno de los ejes y sus valores respectivos son las componentes rectangulares del vector resultante. Las componentes rectangulares se llaman así porque se fundamentan en la construcción de un rectángulo. Dos vectores perpendiculares originan un tercero. En la imagen de arriba se puede ver que el vector A , no es más que la suma de un vector en el eje "X" (valor 3) y otro en el eje "Y" (valor 6). A cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de componente, así el vector Ax es la componente "X" (valor 3) del vector A, y el vector Ay es la componente “Y” (valor 6) del mismo vector A; por lo tanto, este vector A = (3, 6). Ojo: Insistimos: estos valores (3, 6) representan las componentes del vector resultante, no confundir con puntos de coordenadas en un plano (con los cuales pueden ser coincidentes).
- 3. Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. Normalizar un vector Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo. Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido. http://www.vitutor.com/geo/vec/a_5.html
- 4. ANGULOS DIRECTORES Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan: Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha = α, Beta = β, Gamma = γ) Y sus formulas para saber el tamaño del ángulo son: Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A| Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A| Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A| Para saber el modulo del vector A se usa la formula: https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/04/25/cosenos-directores-de-un-vector-problema-resuelto/
- 5. Vector Posición En Física, la posición, vector de posición ó vector posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia. Su expresión, en coordenadas cartesianas: r⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ donde: •r⃗ : es el vector de posición •x, y, z : Son las coordenadas del vector de posición •i⃗ ,j⃗ ,k⃗ :Son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente La unidad de medida de la posición en el Sistema Internacional es el metro [m]. Como todo vector, el vector posición en Física cuenta con módulo, dirección y sentido. El módulo del vector posición es la distancia que separa al cuerpo del origen del sistema de referencia. Para calcularlo puedes utilizar la siguiente fórmula: |r⃗ |=√x2+y2+z2−−−−−−−− En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, el vector de posición en dos dimensiones queda r⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =xi⃗ +yj⃗ ,y su módulo |r⃗ |=x2+y2+z2−−−−−−−−−−−√=x2+y2−−−−−−√ . En la figura siguiente tenemos estos elementos representados.
- 6. Producto Escalar de Vectores El producto escalar y el producto vectorial son las dos formas de multiplicar vectores que vemos en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. El producto escalar de dos vectores se puede construir, tomando la componentede un vector en la dirección del otro vector y multiplicandola por la magnitud del otro vector. Esto se puede expresar de la forma: Si se expresan los vectores en términos de los vectores unitarios i, j, y k a lo largo de las direcciones x, y, y z, el producto escalar, tambien se puede expresar de la forma: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vsca.html
- 7. Ley de los senos La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces . Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html
- 8. Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL). Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. El tercer ángulo del triángulo es C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130° Por la ley de los senos, Por las propiedades de las proporciones
- 9. Ley de los cosenos La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece: c2 = a2 + b2 – 2abcos C. Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. La ley de los cosenos también puede establecerse como b2 = a2 + c2 – 2accos B or a2 = b2 + c2 – 2bccos A. http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.html
- 10. Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes. Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.