Presentación Estructuras Discretas Contenido

Universidad Nacional Experimental
de los Llanos Occidentales
“Ezequiel Zamora”
Estructuras Discretas

Funciones Booleanas y Funciones de conmutación
Funciones Booleanas:
• Las funciones booleanas son
expresiones matemáticas que toman
una o más variables binarias como
entrada y generan una salida
binaria.
• Estas funciones pueden
representarse mediante tablas de
verdad o mediante expresiones
algebraicas utilizando operadores
lógicos como AND, OR, NOT, XOR,
etc.
Funciones de Conmutación (Switching Functions):
• Las funciones de conmutación son un tipo específico
de función booleana que tiene una característica
especial: están representadas por una combinación
de términos de producto (AND) y términos de suma
(OR).
• Estas funciones se expresan típicamente en forma
canónica, donde cada término de producto (AND)
representa una combinación única de las variables
de entrada que hace que la función sea igual a 1.
Cada término de producto se suma (OR) para formar
la función completa.

Funciones Booleanas y Funciones de conmutación
• Ejemplo: Una función de conmutación podría ser F(A, B, C) = AB + AC + BC, donde los términos AB, AC y BC
son los términos de producto, y están sumados juntos.
• Las funciones de conmutación son útiles en la simplificación y análisis de circuitos lógicos y en la
implementación de sistemas digitales.
• Ejemplos de funciones booleanas: incluyen la función AND (que devuelve 1 si todas las entradas son 1), la
función OR (que devuelve 1 si al menos una entrada es 1) y la función NOT (que invierte la entrada).

Formas Normales Disyuntiva
• Forma Normal Disyuntiva:
También conocida como Forma Normal Disyuntiva Canónica, la FND es una representación de una función
booleana como una serie de términos de suma (OR) en los que cada término de suma consiste en una
combinación de variables de entrada o sus complementos (negaciones) que hace que la función sea igual a
1.
Define la operación suma lógica (OR, + ): La función OR de dos o más variables vale ‘1’ cuando alguna de
ellas vale ‘1’, y vale ‘0’ en caso contrario.
Para hallar la forma normal disyuntiva de una función a partir de su tabla de verdad, en las filas donde la
función vale 1 se forma el producto de todas las variables, remplazando los “ceros” por su respectiva variable
negada, y los “unos” por su correspondiente variable sin negar.

Ejercicios Formas Normales Disyuntiva
Dada la siguiente tabla, encontrar la FND:
a b c F(a, b, c)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1ero: Tomamos los Valores que den como resultado 1.
2do: Sacamos la FND de la siguiente manera:
• La Formula es la Siguiente, es la Suma de sus
Mini términos: m0 + m1… + mn
• Tomamos a, b y c, de los que dieron 1 y multiplicamos y
sumamos así:
• Cuando veamos un 0 en a, b y c, negamos esos valores.
• FDN = m1 + m2 + m4
• = (!a * !b * c) + (!a * b * !c) + (a * !b * !c)
• Todos los valores tienen que dar 1, por eso negamos los
valores que están en 0
m1
m2
m4
m0
m3
m5
m6
Mini-Termino : Es la Multiplicación de las
Variables y su resultado tiene que dar 1.

Ejercicios Formas Normales Disyuntiva
Ejercicio:
Dada la Siguiente tabla, realice la forma norma disyuntiva:
Pasos:
1. Vamos a Buscar aquellos donde el resultado sea 1, en este
Caso tenemos 3.
2. Luego Nos vamos a las fila de p y q, si los valores están en 0 negamos las variables, pero si están en
1, se deja como esta.
3. Ahora hacemos lo siguiente :
P q p-> q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
P q p-> q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
¬p ∧ ¬q
¬p ∧ q
p ∧ q
4. Realizamos la Disyunción y queda de la
siguiente manera:
(¬p ∧ ¬q ) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ q )

Formas Normales Conjuntiva
Forma Normal Conjuntiva (FNC):
• También conocida como Forma Normal Conjuntiva Canónica, la FNC es otra representación de una función
booleana, pero en esta forma, se expresa como una serie de términos de producto (AND), donde cada
término de producto consiste en una combinación de variables de entrada o sus negaciones que hace que la
función sea igual a 0 (cuando se usa el complemento).
• En la FNC, se utilizan todas las variables de entrada y sus negaciones para formar los términos de producto,
y estos términos se suman utilizando la operación OR.
• Para hallar la forma normal conjuntiva de una función a partir de su tabla de verdad, en las filas donde la
función vale 0 se forma la suma de todas las variables, reemplazando los “unos” por su respectiva variable
negada, y los “ceros” por su correspondiente variable sin negar.

Ejercicios Formas Normales Conjuntiva
a b c F(a, b, c)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
Dada la siguiente tabla, encontrar la FNC
M1
M2
M4
m3
M5
M6
M0
1ero: Tomamos los Valores que den como resultado 0.
2do: Sacamos la FNC de la siguiente manera:
• La Formula es la Siguiente, es la Multiplicación de sus
Maxi términos: M1 * M2 *……Mn
• Tomamos a, b y c, de los que dieron 0
• Cuando veamos un 1 en a, b y c, negamos esos valores.
• FDC = M0 * M3 * M5 * M6
= (a + b + c) * (a + !b +!c) * (!a + b + !c) * (!a + !b + c)
• Todos los valores tienen que dar 0, por eso negamos los
valores que están en 1.
Maxi-Termino : Es la Suma de las variables
y su resultado tiene que dar 0.

Ejercicios Formas Normales Conjuntiva
Ejercicio:
Dada la Siguiente tabla, realice la forma normal Conjuntiva:
Pasos:
1. Vamos a Buscar aquellos donde el resultado sea 0, en este
Caso tenemos 1 solo caso.
2. Luego Nos vamos a las fila de p y q, si los valores están en 1 negamos las variables, pero si están en
0, se deja como esta.
3. Ahora hacemos lo siguiente :
P q p-> q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
¬p v q esto es equivalente a decir ¬(p ∧ ¬q)

Puertas Lógicas O Circuitos Lógicos
• Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más
entradas y exactamente una salida.
• Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos
elementales
denominados compuertas lógicas, Compuertas lógicas
básicas: OR, AND, NOT.
• En cada instante cada dispositivo de entrada tiene
exactamente un bit de información, un 0 o un 1; estos datos
son procesados por el circuito para dar un bit de salida, un 0
o un 1, en el dispositivo de salida.

Puertas Lógicas O Circuitos Lógicos
• Puerta Lógica AND :
La puerta AND toma dos o más señales de entrada y produce
una salida que es 1 (verdadero) solamente si todas las
entradas son 1.
• Puerta Lógica OR :
La puerta OR toma dos o más señales de entrada y produce
una salida que es 1 si al menos una de las entradas es 1.
• Puerta Lógica NOT :
La puerta NOT toma una sola señal de entrada y produce la
inversa lógica de esa entrada. Es decir, si la entrada es 1, la
salida es 0, y viceversa

Ejercicios Puertas Lógicas O Circuitos Lógicos
1. Dado el Siguiente circuito, obtener la tabla de verdad del mismo y su salida :
1010
0110
a b c
1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 0
Construimos la tabla de verdad de la siguiente manera:
Como Podemos Observar la imagen representa una puerta
lógica AND:
Sabemos que en el operador lógico AND, da verdadero si y
solo si las entradas dan 1, entonces:
Tienen que Fijarse bien en las compuertas para poder
obtener la tabla.
0010
Esta sería la salida
de este ejercicio

Ejercicios Puertas Lógicas O Circuitos Lógicos
Dado el siguiente circuito, obtener la tabla de verdad a través del mismo:
• Primero se Obtiene el número posibles de combinaciones = 2 elevado al Nro. de entradas.
A B Salida
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
A
B
Salida
• Como Podemos Observar tenemos dos Entradas, A y B,
entonces son 4 combinaciones las que haríamos, las que
comúnmente se usan son las que se colocaran en la tabla:
• Recorremos el circuito por cada combinación y vamos a
obtener la salida.
Tabla de Verdad
0
0 1
0
NOT
AND
NOT
1
0 1
0
1 1
1 0
1
1
1
0
0
0
0
0 1
1
1
0
1
0 1
• Por acá les dejo un Video Con la explicación más Exacta
https://www.youtube.com/watch?v=LPy80kf7PRM

Minimización de Circuitos
• La minimización de circuitos en el contexto de la lógica digital implica simplificar una función booleana para reducir
el número de puertas lógicas necesarias para implementarla.
• Existen varios métodos para minimizar circuitos, siendo los métodos de mapa de Karnaugh (también conocidos
como mapas Karnaugh o K-maps) uno de los más populares y efectivos para funciones booleanas de pocas
variables.
• Una vez que se obtiene la expresión booleana para un circuito lógico, podemos reducirla a una forma más simple
que contenga menos términos, la nueva expresión puede utilizarse para implantar un circuito que sea equivalente
al original pero que contenga menos compuertas y conexiones.

Minimización de Circuitos
Pasos comunes para minimizar un circuito utilizando mapas Karnaugh:
1.Obtén la tabla de verdad: Para la función booleana que se desea minimizar, crea una tabla de verdad que enumere todas las
combinaciones posibles de las variables de entrada y el valor correspondiente de la función.
2.Crea el mapa de Karnaugh: Organiza los valores de la tabla de verdad en un mapa de Karnaugh. Este es un cuadro con las
combinaciones posibles de las variables de entrada como encabezados de fila y columna, y los valores de la función
correspondientes dentro del cuadro.
3. En la tabla de verdad buscamos los resultados que nos dieron 1 y lo ponemos en el mapa en coordenadas.
4. Identifica grupos de unos: En el mapa de Karnaugh, busca grupos contiguos de unos (1) en las celdas. Estos grupos pueden ser
de forma rectangular, cuadrada o lineal. Cada grupo debe tener una potencia de dos (1, 2, 4, 8, etc.) de unos.

Ejercicios de Minimización de Circuitos
Dada la siguiente tabla de verdad, simplificarla con el
mapa de Karnaugh y escribir su función simplificada:
A B C X
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
00 01 11 10
1 1
1 1 1
3. Buscamos en la tabla de verdad, los
resultados que den 1 y con las coordenadas de
ABC, allí colocamos 1 en el mapa
C
AB
0
1
1. Se dibujo el mapa de la siguiente manera:
2. La parte Superior las coordenadas son fijas
4. Luego agrupamos los 1, Cada grupo debe tener
una potencia de dos (1, 2, 4, 8, etc.) de unos.

00 01 11 10
1 1
1 1 1
C
AB
0
1
5. Se Sacaron dos grupos, luego analizamos cada
grupo de la siguiente manera:
Las variables que permanezcan igual se toman y las
que varían se eliminan:
• Analizamos por grupo y ver si de un cuadro a
otro cambia la variable
Grupo 1 Amarillo =>
• En C vemos que el 1 no cambia de un cuadro a
otro, porque están en la misma fila, así que la
variable C pasa a la Formula.
• Vamos con AB => Vemos que varia de 0 a 1 y
que B Permanece Igual, así que B se agrega.
AB AB AB
Formula Final => Z = CB + A
Grupo 2 Rojo => En la variable C vemos que en
todos los cuadros cambia 1 a 0 o de 0 a 1, así que
se elimina.
AB => A permanece en 1 y B Cambia de 1 a 0, así
que se elimina y se agrega solamente A.

Por acá les dejo videos para que entiendan mejor el ejercicio
https://www.youtube.com/watch?v=8WgEmX0ExaY
https://www.youtube.com/watch?v=bZI2gdOS3RQ

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