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Presentacion Geometria
- 2. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Mecánica y Análisis SEMESTRE 07-1
- 3. Elementos de Geometría Básica para Ingenieros Adaptación de un trabajo realizado por alumnos que cursaron la Asignatura Análisis Gráfico en el semestre 2001-2 Cruz Andrade Jorge Pedro Romero Serrano Noe de Jesús Sánchez Galicia Roberto Uribe López Oscar
- 4. Índice Geometría: definición. Elementos básicos: conceptos y teoremas. Polígonos: características, clasificación. Triángulos. Circunferencia y círculo. Áreas, perímetros y volúmenes.
- 5. Geometría Geometría ( del gri ego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Se le con- sidera como la ciencia de la posi- ción, la forma y la magnitud , y que tiene por objeto el estudio de la ex- tensión considerada bajo sus tres dimensiones línea, superfice y cuerpo. Definición.
- 6. Elementos Geométricos Básicos Punto Línea Superficie Cuerpo Estos elementos no tienen definición. Sin embargo es importante tener una idea concreta de dichos elementos.
- 7. Punto Se le considera como la intersección de dos líneas y es denotado con una letra mayúscula. Es la mínima expresión de la extensión y, por tanto no tiene longitud, ni anchura ni altura; sólo nos indica una posición en el espacio. P
- 8. Línea Se considera generada por un punto en movimiento que sigue cierta dirección . Su longitud es indefinida. También se le con- sidera como la intersección de dos planos. Es posible conceptualizarla como aquello que limita a una super- ficie o como un conjunto de pun- tos que tienen como única medida la longitud.
- 9. Superficie Se considera generada por una línea en movimiento con una dirección determinada. Se entiende intuitivamente como la forma experior de los cuerpos. También se considera como el límite que separa a un cuerpo del espacio que lo rodea. Es importante resaltar que superficie y área no son sinónimos.
- 10. Cuerpo Se le considera como la parte del espacio limitado por superficies llamadas caras. El sólido entonces está limitado por superfcies planas, como los poliedros, por curvas, como la es- fera, o planas y curvas, como el cilíndro.
- 11. Ángulo. Es la magni- tud de rotación de una semirrecta que gira sobre otra que permanece fija. A
- 12. TIPOS DE ÁNGULOS Ángulo agudo es menor de 90° Ángulo recto mide 90°
- 13. Ángulo obtuso mayor de 90° y menor de 180° Ángulo llano es igual a 180°
- 14. Ángulo entrante es mayor de 180° y menor de 360° Ángulo perigonal es igual a 360°
- 15. Ángulos adyacentes complementarios . Son dos ángulos que suman un ángulo recto Ángulos Adyacentes Suplementarios Son dos ángulos que suman dos ángulos rectos
- 16. Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro. Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado común que separe a los otros dos.
- 17. Ángulos formados por dos rectas paralelas, cortadas por una secante . Correspondientes (a, e) (c, g), (b,f), (d, h). Adyacentes (a,c), (b, d), (e, f), (e,g), (f,h), (g,h), (c, d). Opuestos por el vértice (a,d), (b,c), (e, h), (g, f). Alternos internos (c, f), (d, e). Alternos externos (a, h), (b, g). Colaterales internos (c, e), (d, f). Colaterales externos (a, g), (b, h).
- 18. Polígonos Definición Clasificación Características
- 19. Poligonal Es la unión de segmentos de un plano que se intersecan sólo en sus extremos, sin formar otro segmento. Los extre- mos de los segmentos que integran la poligonal se llaman vértices de la poli- gonal y los segmentos son lados de la poligonal. Poligonal abierta. Es una poligonal donde se puede determinar cual es su lado inicial y cual su lado final. Poligonal cerrada. Es cualquier poli- gonal que no tiene determinados su lado inicial y lado final. Abierta Cerrada
- 20. Polígonos Un polígono es una poligonal cerrada. Polígono circunscrito. Es aquél cuyos lados son tangentes a una circunferencia. Polígono inscrito. Es aquél cuyos vértices pertenecen a una circunferencia. Polígono convexo. Es áquél cuyos ángu- los interiores (todos) son menores de 180°. Polígono cóncavo. Es aquél que tiene al menos un ángulo interior mayor de 180 °.
- 21. Clasificación de los Polígonos
- 22. Clasificación de acuerdo a sus lados
- 23. La suma de los ángulos interiores y ángulos exteriores de un polígono. Teorema. La suma de los ángulos interiores (S) de un polígono con- vexo es igual a tantas veces dos án- gulos rectos como lados menos dos tiene el polígono. Características La suma de los ángulos exteriores de todo polígono convexo es igual a cuatro ángulos rectos. S = 180° (n-2) Ángulo exterior de un polígono. Son cada uno de los ángulos formados al prolongarse sucesivamente los lados de un polígono convexo.
- 24. Triángulos Un polígono con una trascendencia diferente. Definición Elementos Clasificación Congruencia Semejanza Rectas y puntos notables
- 25. Definición Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Polígono de tres lados.
- 26. Características Los puntos de intersección son los vértices de triángulo: A, B, C. Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b, c. A B C a b c
- 27. Elementos del triángulo Un triángulo tiene como elementos: 3 ángulos 3 lados 3 vértices
- 28. Clasificación de los triángulos Según los lados que lo conforma. Según sus ángulos interiores.
- 29. Atendiendo a sus lados Triángulo Equilátero Es aquél que tiene sus tres lados congruentes Triángulo Isósceles Es aquél que tiene dos lados congruentes
- 30. Triángulo Escaleno Es aquél que tiene todos sus lados desiguales
- 31. Acutángulo Es aquél que tiene los tres ángulos agudos. Atendiendo a sus ángulos Obtusángulo Es aquél que tiene un ángulo obtuso.
- 32. Triángulo Rectángulo Es aquél que tiene un ángulo recto. Hay que resaltar que los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales: Catetos son los lados que forman al ángulo recto. Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto: BC
- 33. Rectas y puntos notables del triángulo En el estudio de los tríángulos los siete sabios de Grecia des- cubrieron y desarrollaron a través de la búsqueda de las propiedades de elementos geométricos, trazos que hacen al triángulo un polígono bas- tante trascentedente. Mediana Altura Bisectriz Mediatriz
- 34. Mediana Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto: Hay tres medianas una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra “m” y un subíndice que indica el lado: Donde el punto de intersección G de las medianas se denomina baricentro.
- 35. Altura Es la perpendicular trazada desde un vértice opuesto o a su prolongación: Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra h y un subíndice que indica el lado. El punto O donde concurren las tres alturas se llama ortocentro. ALTURAS
- 36. Bisectriz Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Por lo tanto hay tres bisectrices para cada ángulo, aquí nombradas por las letras griegas α, β, γ. <1 = <2; <3 = <4; <5 = <6; El punto I donde concurren las tres bisectrices se llama incentro.
- 37. Mediatriz Es la perpendicular en el punto medio de cada lado se denominan con la letra “M” y un subíndice que indica el lado. El punto K de intersección de la tres mediatrices se llama circuncentro. MEDIATRIZ
- 38. Conceptos Semejanza Se refiere a elementos geométricos que tienen la misma forma pero diferente medida. Equivalencia Se da cuando elementos geométricos tienen la misma área pero diferente forma. Congruencia Se da cuando dos figuras son seme- jantes y equivalentes al mismo tiempo. Se presenta cuando mediante super- posición directa los puntos de una figura caen exactamente sobre la otra. Homólogo Se designa así a los lados o a los ángulos correspondientes de figuras que son congruen- tes o semejantes.
- 39. Primer Criterio Dos triángulos son semejantes si por lo menos tienen dos ángulos homólogos congruentes. Segundo Criterio Dos triángulos son semejantes si tienen proporcionales dos lados homólogos y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
- 40. Tercer Criterio Dos triángulos son semejantes cuando tiene proporcionales sus tres lados homólogos .
- 41. Congruencia en triángulos Dos triángulos son congruentes si y solo s í son semejantes y equivalentes, es decir los ángulos homólogos interiores son congruentes así como congruentes sus lados homólogos.
- 42. Primer Criterio Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente dos lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también es congruente.
- 43. Segundo Criterio Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado homólogo y sus ángulos adyacentes.
- 44. Tercer Criterio Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes sus tres lados homólogos.
- 45. Teorema del Cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
- 46. Teorema de Pitágoras La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el nombre de Teorema de Pitágoras el cual se enuncia de la siguiente ma- nera: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado cons- truido sobre la hipotenusa. c b a b 2 a 2 c 2
- 47. Teorema de la altura La altura relativa a hi- potenusa de un trián- gulo rectángulo es me- d ia proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.
- 48. Circunferencia . Es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto fijo, llamado centro. Círculo. Es el conjunto de puntos de la circunfe- rencia y de los del interior de ella.
- 49. Rectas y segmentos asociados la circunferencia Radio . Es un segmento que une al centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda . Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro . Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
- 50. Rectas y segmentos asociados a la circunferencia Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente. Es una recta que corta a la circunferencia en un solo punto. Punto de tangencia . Es el punto que tienen en común la tangente y la circunferencia.
- 51. Ángulos en la circunferencia Ángulo central Ángulo interior Ángulo inscrito Ángulo semi-inscrito Ángulo exterior
- 52. Ángulo central Es el ángulo formado por dos radios. Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. A B O
- 53. Ángulo interior Es el ángulo formado por dos cuerdas y que tiene su vértice dentro de la circunferencia. A B C D
- 54. Ángulo inscrito Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en un punto de la circunferencia A B C
- 55. Ángulo semi-inscrito Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente, tiene su vértice en el punto de tangencia. Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante. A B C
- 56. Ángulo exterior Es el ángulo formado por dos secantes que se cortan en un punto exterior de la circunferencia. A B C D E
- 57. Figuras en el círculo Segmento circular Sector circular Corona circular Trapecio circular
- 58. Segmento Circular Es la zona delimitada por una cuerda dentro de un círculo.
- 59. Sector circular Es la zona de un círculo delimitada por dos radios Sector circular
- 60. Corona Circular Porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas.
- 61. Perímetros, áreas y volúmenes
- 62. Perímetro Es la medida de límite o frontera, de un polígono, se obtiene sumando todas las longitudes de sus lados.
- 63. Área Es la medida de la superficie delimitada por el perímetro.
- 64. Algunas fórmulas para calcular áreas
- 65. Volumen Es la medida del espacio que se localiza en el interior y exterior del sólido geométrico.
- 66. Algunas fórmulas para calcular volúmenes
- 67. Bibliografía Jesus García Arenas y Celestí Bertran Infante “ Geometría y Experiencias” Editorial: Biblioteca de Recursos Didacticos Alambra Longman Editores Alambra Mexicana 5 reimpresión México 1997
- 68. Bibliografía Doctor J. A. Baldor “ Geometría plana y del espacio; y trigonometría” Editorial: Publicaciones Cultural Décima Sexta reimpresión México 1999
- 69. Bibliografía Daniel Robles Robles y Maria de Lourdes Minquini y Castañeda “ El Matemático de Segundo de Secundaria” Editorial: Fernández Editores Tercera Edición México 1993
- 70. Bibliografía Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer “ Trigonometría (Serie Shaums)” Editorial: McGraw Hill Segunda Edición México 1991
- 71. Bibliografía Arquimedes Caballero “ Matemáticas Primer Curso” Editorial: Esfinge Trigésima Sexta edición Mexico 1992
- 72. Bibliografía Arquimedes Caballero “ Ejercicios de Arimética y Geometría para las Escuelas Primarias” ( Cuadernos Alfa) Editorial: Esfinge Vigésimo Quinta Edición Mexico 1985
- 73. Bibliografía Microsoft “ Enciclopedia Encarta” Editorial: Microsoft 1999 y 2000
- 74. Bibliografía Lectus Vergara “ Enciclopedia Temática de Matemáticas Lectus Vergara” Editorial: Lectus Vergara
- 75. Referencias de Imágenes y Videos En caso de que alguna imagen presentada en este trabajo tenga derechos reservados, ó exclusividad. Por favor comuniquese con nosotros al correo: [email_address] Dicha imagen será eliminada de inmediato. Por las demás imágenes no presentadas en las referencias de este trabajo, estas son propias y desarrolladas por los coautores.
- 76. Fin