Presentacion Matemática.docx
- 1. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} 1.-Un conjunto P tiene “n» elementos y un conjunto Q que tiene “2n» elementos, origina 992 subconjuntos más que P. ¿Cuántos subconjuntos tiene el complemento de P, si se sabe que “P n Q» tiene 3 elementos y que el complemento de Q tiene 64 subconjuntos? Solución: Por datos: n(P) = n; n(Q) = 2n También: subc. Q – subc. P = 992 22n – 2n = 992 2n (2n – 1) = 32 (31) = 25 (25 - 1) Entonces n es igual a 5 Se tiene ahora que: n(P) = 5 y n(Q) = 10
- 2. Además: Q′= 64 = 26 Entonces, n(Q’) =6 Luego: Vemos que: n(P’) = 11 Por lo tanto: P’ tiene 211 = 2048 subconjuntos. En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}). Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.
- 3. Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y del producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión. Ejemplos En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar cómo es de forma gráfica, a continuación, pondré también algunos ejemplos prácticos: 1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A= {1,2,3} y B= {4,5,6} sería el conjunto C= {1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3} ∪ {4,5,6} = {1,2,3,4,5,6} 2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan al fútbol o baloncesto. Calcula: A U B = {3,4,5,6,7,8,9} A ∩ B = {6,7} A-B = {3,4,5}
- 4. B-A= {8,9} A’ = {8,9} B’ = {3,4,5} A ∩ B = {3,4,5,8,9} Los números reales son todos aquellos valores numéricos que se encuentran contenidos en una recta real, desde el infinito negativo hasta el positivo. Es el conjunto de números que resulta de la unión de los números racionales e irracionales, que al mismo tiempo se clasifican en subconjuntos como los naturales y enteros. A este conjunto se lo representa con la letra "R". Estos números son empleados en las matemáticas para todo tipo de cálculos y mediciones, asociados al mismo tiempo con otras ramas de la ciencia que precisan de ellos para un mejor entendimiento. 1) Solución:
- 5. La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes 1) 3 (2 x-1) >4 +5 (x-1) Solución: 3 (2 x-1) >4 +5 (x-1) 6x-3 > 4+5x-5 6x-3 > -1+5x 6x-5x > -1 +3 X > 2
- 6. El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Calcular el valor numérico de: a(a+b) -b(a-b) cuando a= 2 y b= -3 Solución: 2(2-3) + 3(2+3) = 2(-1) + 3(5) = -2 + 15 = 13 Valor Absoluto La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
- 7. Ejercicio de Valor Absoluto Demostrar la propiedad siguiente: Solución: escribimos el valor absoluto en función del signo: Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas posibles: Es decir, x= -y, o bien , x = y . Desigualdades con Valor Absoluto
- 8. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que Así, y El conjunto solución es Ejercicio de Desigualdades con Valor Absoluto Podemos escribir la inecuación como Tenemos que resolver las dos inecuaciones. Podemos hacerlo al mismo tiempo: Sumamos 1: O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado: De ambas formas obtenemos la misma solución: