Primos 2
- 1. TTEEMMAASS MMAATTEEMMÁÁTTIICCOOSS ______________________________________________________________ NÚMEROS PRIMOS (2) Triángulo primo El triángulo de números de abajo se llama triángulo primo, no porque esté formada por números primos (unos lo son como 2, 3 o 5 y otros no como 4, 6 u 8) sino porque la suma de dos números “vecinos” de cualquier fila es un número primo. Fíjate en sus propiedades: § Cada fila del triángulo comienza por 1 y termina por el número de la fila. § En cada fila están todos los números naturales desde el 1 hasta el número de la fila. § La suma de cada par de números vecinos es un número primo. Por ejemplo, fíjate en la fila 5: 1. Están en ella todos los números comprendidos entre 1 y 5. 2. Comienza por 1 y termina por 5. 3. La suma de cada par de números vecinos es un número primo: 1+4=5 4+3=7 3+2=5 2+5=7 * 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 4 3 2 5 1 4 3 2 5 6 1 _ _ _ _ _ 7 1 _ _ _ _ _ _ 8 1 2 3 4 7 6 5 8 9 1 _ _ _ _ _ _ _ _ 10 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 12 ü Busca los números que faltan en el triángulo primo. ü ¿Qué patrones observas en el triángulo? ü ¿Cuál es tu estrategia para completar el triángulo?
- 2. Programa ESTALMAT. Curso 2001-2002. M.L. CALLEJO. Primer curso. Una sesión 2 Sabías que... § El francés Fermat hizo muchas aportaciones a las matemáticas y con excepción de una de ellas, todas se han probado o se cree que son ciertas. La excepción es que Fermat afirmó que los números de la forma 2 2 n + 1 son primos. En 1732 Euler mostró que si n=5 la fórmula de Fermat da 442299449667722997 que es igual a 641 x 677000417. § Una conjetura dice que el número de primos gemelos es infinito. Hasta ahora nadie la ha refutado ni demostrado. § Un tipo especial de números primos son los números de Mersenne que se obtienen mediante la fórmula 2 p -1 siendo p un número primo que toma los valores 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Fueron necesarios 304 años para descubrir los errores de esta lista: además de poder añadirse otros números como 61, 89 y 107, en el año 1922 se encontró que 2257 - 1 no es primo. El mayor número de Mersenne conocido 2216091 -1, tiene 65050 dígitos y fue descubierto en Houston, Tejas, en una supercomputadora Cray X-MP por los científicos de Chevron Geosciences Company1 . § Golbach (1690-1764) conjeturó que todo número par mayor que 4 es igual a la suma de dos números primos. Hasta ahora nadie lo ha demostrado. § A mediados de los años setenta, Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adelman diseñaron un ingenioso método que permite a cualquier persona que desee recibir un mensaje secreto hacer pública la forma de codificar los mensajes que se le envían. Y a pesar de que el método usado para codificar el mensaje es del dominio público, solamente la persona a la que le envía el mensaje es capaz de descifrarlo. El método se llama esquema de cifrado de clave pública RSA, en honor de sus descubridores. La idea se basa en que existen métodos eficientes para encontrar números primos muy grandes (digamos de alrededor de 100 dígitos) y para multiplicarlos entre sí, pero nadie conoce un algoritmo eficiente para factorizar grandes números (digamos por ejemplo de 200 dígitos). 1 Dato de 1986
- 3. Programa ESTALMAT. Curso 2001-2002. M.L. CALLEJO. Primer curso. Una sesión 3 Buscando números primos Con el paso del tiempo hemos aprendido muchas cosas sobre los números primos. Pero sin embargo no se ha descubierto una fórmula que permita obtener todos los números primos desde 2 en adelante. Deberán continuarse los intentos para encontrar dicha fórmula. Una fórmula para obtener algunos números primos es: Pn = n2 - n + 41 Pn es un número primo si n toma valores desde 1 hasta 40: P1 = 41, P2 = 43, P3 = 47. ü Calcula P4 , P5 , P6 ,..., P40 con una calculadora. ü ¿Cuál es el valor de P41 ? ¿Es primo o compuesto? ¿Por qué? ü ¿Cuáles son los valores de n > 1 tales que Pn es un número compuesto? ü Pn es primo para algunos valores de n > 41. Busca alguno. Sabrías... ü Poner en cada espacio un signo "+" o "_" para obtener una relación de igualdad. 17 = 1 2 3 5 7 11 13 13 19 = 1 2 3 5 7 11 13 17 23 = 1 2 3 5 7 11 13 17 19 19 29 = 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 ü Demostrar que existen números primos seguidos tan distantes como queramos. Por ejemplo, ¿podrías encontrar una sucesión de un millón de números consecutivos que sean todos compuestos? Para escribirla basta que digas cuáles son el primer y el último término de ésta. ü Demostrar que para cualquier número primo p mayor que 3, su cuadrado es igual a un múltiplo de 12 más una unidad. ü Te dan n+1 números de entre los siguientes 1, 2, 3, ..., 2n. o Demuestra que dos de los que te han dado son primos entre sí, es decir, su máximo común divisor es 1. o Demuestra que hay alguno de ellos que es múltiplo de otro. ü Calcular el tiempo necesario para factorizar un número de 200 cifras con un ordenador que haga un millón de divisiones por segundo.