Historia y conjeturas
- 1. Los números primos siempre han generado en el argot de los amantes de la matemática un romanticismo puro en tiempo de la antigua Grecia los pitagóricos concibieron a el número como un elemento natural que formaba parte del universo, y fueron ellos los que determinaron la diferencia entre primos y compuestos. Eratóstenes describe un método llamado “criba” para reconocer los primeros cien primos y 1900 años después Schosten utilizando el mismo método, público una tabla hasta el diez mil, hoy ya otros han llegado por medio de la tecnología a publicar tablas de hasta un millón ventimil. Generalmente las personas que incursionan en el estudio de estos números intentan encontrar alguna fórmula que les permita encontrarlos. Sin embargo desde aficionados, como profesionales e incluso científicos pero en el intento han fallado aún aunque hoy en día se ofrecen grandes premios de carácter económico. Definición. Uno de los principales aspectos que ha generado controversia en este tema es la definición misma de número primo y de su profundidad. Un número natural se llama primo si sus únicos divisores positivos son 1 y . En caso contrario se llama compuesto Este es uno de los más importantes componentes del estudio de los primos ya que es basta la cantidad de ellos aquí se mencionan algunos de ellos y de estos con mas detalle. Teorema Fundamental de la Aritmética La propiedad más importante de los números primos es que constituyen las piezas básicas en las que se descompone cualquier número natural. Más exactamente, el Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única, como producto de números primos. Por ejemplo, el número 90 podemos escribirlo como 2 × 3 × 3 × 5. Es importante recalcar que el teorema no sólo nos dice que podemos escribir 90 como producto de números primos, sino que además nos dice que hay una única manera de hacerlo. Por supuesto, se consideran iguales todas las maneras que se obtienen cambiando el 2
- 2. orden de los números primos; en el caso de 90, consideramos como iguales los productos 2 × 3× 3 × 5 y 3 × 2 × 3 × 5. Obsérvese que si considerásemos el número 1 como número primo, la descomposición de un número natural como producto de números primos no sería única, ya que podríamos escribir, por ejemplo, 6 = 2 × 3, 6 = 2 × 3 × 1, 6 = 2 × 3 × 1 × 1, etc. El Teorema Fundamental de la Aritmética aparece en el libro IX de Los Elementos de Euclides, texto del siglo IV antes de nuestra era considerado por muchos como el primer libro de Matemáticas modernas de la historia. Resulta interesante observar el lenguaje que usa Euclides en este contexto. En vez de decir que un número divide a otro, Euclides usa la expresión mide a, considerando conceptos geométricos: 3 mide a 15 porque podemos dividir un segmento de longitud 15 en 5 segmentos de longitud 3. Esta percepción geométrica es coherente con la mentalidad de la época que consideraba la palabra Matemáticas como un sinónimo de Geometría. Con el Teorema Fundamental de la Aritmética en mente podemos pensar en los números primos como un análogo numérico de los átomos en Química, que son irreducibles y además generan, mediante distintas combinaciones, todas las moléculas. Esto hace que los números primos tengan estrechas relaciones con aspectos de las Matemáticas que aparentemente no están directamente relacionados con ellos. Teorema de Fermat Los primos de Mersenne Han sido muchos los matemáticos que han dedicado esfuerzos al estudio de los números primos, encomendándose a su búsqueda como si del mismísimo Santo Grial se tratara. Esto ha hecho que ciertos tipos de números primos se conozcan con el nombre del matemático que más los estudió. Éste es el caso de Marin Mersenne, fraile francés de la orden de los mínimos que en el siglo XVII convirtió la habitación de su convento en París en un centro de reunión de matemáticos de la talla de Fermat o Pascal. Mersenne estudió especialmente los números primos de la forma . Se puede probar que si p no es primo entonces tampoco es primo, con lo que sólo tienen interés los números con p primo. Antes de Mersenne, otros matemáticos habían establecido ya que ciertos números del tipo eran primos. En particular, se sabía que era primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17 y 19, y que no era primo para p = 11. Entonces Mersenne en 1644, en el prólogo de su libro Cogitata Physica-Mathematica, escribe que considerando un primo p entre 2 y 257, el número es primo sólo para los números p siguientes: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. Toda la comunidad matemática opinaba que era imposible que Mersenne hubiese estudiado tal cantidad de
- 3. números, pero tampoco había nadie capaz de probar que su enunciado era incorrecto. La afirmación estaba tan por encima de las posibilidades de la época que tuvieron que pasar más de 100 años para que alguien hiciese un avance real en su estudio: finalmente se logró probar que efectivamente el número es un número primo. Éste es sólo uno de la cantidad ingente de resultados matemáticos asociados al nombre del matemático más prolífico de la historia, el suizo Leonhard Euler. El estudio del resultado anunciado por Mersenne no se completó hasta 1947, estableciéndose que la lista correcta es: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127. Al final resultó que Mersenne había puesto dos números de más y tres de menos en su lista original. A pesar de todo, los primos de la forma conservan el nombre de Mersenne. Quedaban así entonces establecidos los 12 primeros primos de Mersenne. Merece la pena escribir en su totalidad la representación decimal del duodécimo primo de Mersenne: = 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727. Este número, que se mantuvo con el récord del primo más grande conocido durante 75 años, muy probablemente pase a la historia como el número primo más grande descubierto con 6 métodos manuales. Fue descubierto por Lucas en 1876 usando un resultado que actualmente se conoce como el test de Lucas-Lehmer por haber sido simplificado por Lehmer alrededor de 1930. Este test nos dice que para ver si es primo basta ver que divide a una cierta cantidad definida recursivamente. En 1951 Ferrier dio un salto cualitativo en el estudio de los números primos y superó el récord de Lucas en 5 cifras usando una calculadora mecánica. No duró sin embargo mucho este nuevo récord ya que ese mismo año se supera el récord en 35 cifras con el uso de un computador. Así empieza la era de la electrónica y el test de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne toma todavía más relevancia. Este test se adapta especialmente bien a la tecnología digital debido a que en sistema binario la división por se reduce a sumas y rotaciones de cifras. Esto ha hecho que todos los récords de tamaño en primos los hayan ostentado desde entonces primos de Mersenne. Con los nuevos computadores el número de cifras de los nuevos primos-récords se dispara. Si en 1951 el primo conocido más grande tenía 79 cifras, al año siguiente ya tiene 687, y once años más tarde, 3.376. El número de cifras de estos récords aumenta según se incrementa la potencia de los nuevos computadores. En 1996 el super computador Cray T94 determina que el número es primo. Es el trigesimocuartoprimo de Mersenne y tiene 378.632 cifras. La Conjetura de Goldbach El 7 de Julio 1742, Christian Golbach, profesor de San Petesburgo que acabó en Moscú como tutor de la familia del zar Pedro II, escribe una carta a Euler donde le comenta que, a pesar de no haber encontrado una
- 4. demostración, está seguro de que todo número natural mayor o igual que 6 se puede escribir como suma de tres números primos. Euler le contesta que el resultado es equivalente a que todo número natural par mayor o igual que 3 es la suma de dos primos. Este último enunciado es el que pasa a la historia con el nombre de Conjetura de Golbach, uno de los problemas abiertos más famosos de las Matemáticas. No se duda de su veracidad, como además sugieren los cálculos hechos con algunos de los ordenadores más potentes, pero nadie ha sido capaz de dar una demostración general. El último avance en la comprobación directa del resultado mediante ordenador asegura que el resultado es cierto para todo número par hasta 400 billones. La Conjetura de los Primos Gemelos Dos números primos p y q se dice que son gemelos si p = q + 2. Como ningún número primo puede ser par, dos primos son gemelos si están todo lo cerca que dos primos pueden llegar a estar. Primos gemelos son, por ejemplo, las parejas (17, 19), (29, 31) y (1.000.000.000.061,1.000.000.000.063). La Conjetura de los primos gemelos dice que hay infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esta afirmación parezca muy similar al resultado que hemos demostrado sobre la existencia de una cantidad infinita de números primos, todavía nadie ha sido capaz de determinar si es cierta o no. Esta conjetura puede sugerir que los primos se encuentran cerca unos de otros. Sin embargo, es fácil ver que hay listas de números naturales consecutivos no primos de cualquier longitud. Una versión más fuerte y más general de esta idea es la Conjetura de Polignac La Conjetura de Legendre La Conjetura de los Números Primos (Gauss) Hipotesis de Riemann Otros enunciados sobre números primos aún sin demostrar de forma general son: La Conjetura de Brocard La Conjetura de Cramer
- 5. El problema ternario Para cualquier n éste es un cuadrado de la suma de un primo y un cuadrado. La Conjetura de Hardy-Littlewood